›
›
›

Tài liệu cơ bản và nâng cao Toán 8

docx 43 trang thaodu 8530
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu cơ bản và nâng cao Toán 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_co_ban_va_nang_cao_toan_8.docx

Nội dung text: Tài liệu cơ bản và nâng cao Toán 8

  1. Cơ bản và nâng cao Toán 8 MỤC LỤC BÀI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC 3 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 B. SAI LẦM CẦN TRÁNH 3 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 4 D. VÍ DỤ MINH HỌA 4 Mức độ cơ bản 4 Mức độ nâng cao 4 E. BÀI TẬP 5 Mức độ cơ bản 5 Mức độ nâng cao 5 BÀI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC 7 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 7 B. SAI LẦM CẦN TRÁNH 7 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 7 D. VÍ DỤ MINH HỌA 7 Mức độ cơ bản 7 Mức độ nâng cao 7 E. BÀI TẬP 8 Mức độ cơ bản 8 Mức độ nâng cao 8 BÀI 3: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 9 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 9 B. SAI LẦM CẦN TRÁNH 9 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 9 D. VÍ DỤ MINH HỌA 9 Mức độ cơ bản 9 Mức độ nâng cao 10 Mức độ cơ bản 11 Mức độ nâng cao 11 Trang 1
  2. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 4: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP) 13 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 13 B. SAI LẦM CẦN TRÁNH 13 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 13 D. VÍ DỤ MINH HỌA 13 Mức độ cơ bản 13 Mức độ nâng cao 14 E. BÀI TẬP 14 Mức độ cơ bản 14 Mức độ nâng cao 14 BÀI 5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP) 15 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 15 B. SAI LẦM CẦN TRÁNH 15 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 15 D. VÍ DỤ MINH HỌA 15 Mức độ cơ bản 15 Mức độ nâng cao 15 E. BÀI TẬP 16 Mức độ cơ bản 16 Mức độ nâng cao 16 BÀI 6: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG 17 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 17 B. SAI LẦM CẦN TRÁNH 17 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 17 D. VÍ DỤ MINH HỌA 17 Mức độ cơ bản 17 Mức độ nâng cao 17 E. BÀI TẬP 18 Mức độ cơ bản 18 Mức độ nâng cao 18 Trang 2
  3. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 7: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG 19 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 19 B. SAI LẦM CẦN TRÁNH 19 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 19 D. VÍ DỤ MINH HỌA 19 Mức độ cơ bản 19 Mức độ nâng cao 19 E. BÀI TẬP 20 Mức độ cơ bản 20 Mức độ nâng cao 20 BÀI 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG 21 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 21 B. SAI LẦM CẦN TRÁNH 21 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 21 D. VÍ DỤ MINH HỌA 21 Mức độ cơ bản 21 Mức độ nâng cao 22 E. BÀI TẬP 22 Mức độ cơ bản 22 Mức độ nâng cao 22 Trang 3
  4. Cơ bản và nâng cao Toán 8 CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Hằng đẳng thức đáng nhớ Cũng chẳng khó lắm đâu! Cứ thường xuyên vận dụng Bạn sẽ nhớ rất lâu! BÀI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. A B C D A.B A.C A.D B. SAI LẦM CẦN TRÁNH Sai Đúng 3x 2x 1 6x2 3x 3x 2x 1 6x2 3x C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Hãy chọn phương án đúng. 3 2 1 Câu 1. 2x x 3x 4 1 1 1 1 A. 2x6 6x3 .B. 2x5 6x4 .C. 2x5 6x4 x3 . D. 2x5 6x4 . 2 2 2 2 Câu 2. Cho 2x 3x 1 3x 2x 3 11 . Số x bằng 7 11 A. 1 .B. . 1 C. .D. . 11 7 D. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: 5x3 4x2 3x 2x2 7x 1 . Giải: 5x3 4x2 3x 2x2 7x 1 5x3 4x2 6x3 21x2 3x x3 17x2 3x . Lưu ý: Cần thực hiện phép tính đúng theo thứ tự sau: Nhân 3x với 2x2 7x 1 , sau đó thu gọn đa thức. Mức độ nâng cao Trang 4
  5. Cơ bản và nâng cao Toán 8 Ví dụ 2: Cho A 5x 2y và B 9x 7y với x và y là những số nguyên. Chứng minh rằng nếu A chia hết cho 17 thì B chia hết cho 17 . Giải: Cách 1 (khử biến y ). Xét biểu thức 7A 2B 7 5x 2y 2 9x 7y 35x 14y 18x 14y 17x17 Ta có 7A 2B17 mà 7A17 nên 2B17 Ta lại có 2 và 17 nguyên tố cùng nhau nên B17 . Cách 2 (khử biến x ). Xét biểu thức 9A 5B 9 5x 2y 5 9x 7y 45x 18y 45x 35y 17y17 Ta có 9A 5B17 mà 9A17 nên 5B17 Ta lại có 5 và 17 nguyên tố cùng nhau nên B17 . Cách 3. Xét biểu thức 5A B 5 5x 2y 9x 7y 25x 10y 9x 7y 34x 17y17 Ta có 5A B17 mà 5A17 nên B17 . Lưu ý: - Trong cách 1, việc xét biểu thức 7A 2B nhằm khử biến y , khi đó 7A 2B 17x17 . - Trong cách 2, việc xét biểu thức 9A 5B nhằm khử biến x , khi đó 9A 5B 17y17 . - Trong cách 3, do hệ số của y trong các biểu thức A và B là 2 và 7 , mà 5.2 7 17 nên để hệ số của y trở thành 17 ta xét biểu thức 5A B , khi đó 5A B 34x 17y17 Cách 3 không dùng đến kiến thức về hai số nguyên tố cùng nhau. E. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Câu 1: Thực hiện phép tính: a) 3 2x 1 5 4x 2 b) 4x 3x 5 2 4x 1 x 7 2 2 2 1 3 2 3 2 c) 3x xy y xy d) x x x x 1 x x x 1 3 2 Hướng dẫn giải Trang 5
  6. Cơ bản và nâng cao Toán 8 a) 14x 7; b) 12x2 29x 9 3 1 1 c) x3 y x2 y2 xy3 2 3 2 d) x4 1 1 Câu 2: Rút gọn biểu thức rồi tính giá trị của biểu thức A với x . 2 2  2  A 5x 4x 3x x 2  Hướng dẫn giải 1 Rút gọn biểu thức được 4x2 6x . Với x= giá trị của biểu thức bằng 4. 2 Câu 3: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x : 1 2 2 a) 2x 3x 1 6x x 1 3 8x b) 0,2 5x 1 x 4 3 x 2 3 3 Hướng dẫn giải a) Giá trị của biểu thức bằng -3. b) Giá trị của biểu thức bằng -0,2. Câu 4: Tìm x , biết: a) 5 2x 1 4 8 3x 7 b) 7 2x 5 5 7x 2 2 5x 7 x 2 x 4 Hướng dẫn giải a) Rút gọn được 22x-37=7. Đáp số : x=2. b) Rút gọn được .-11x-39=-6. Đáp số : x=-3. Mức độ nâng cao Câu 5: Rút gọn các biểu thức: Trang 6
  7. Cơ bản và nâng cao Toán 8 a) 310.210 67 63 1 b) 2xn 3xn 1 1 3xn 1 2xn 1 Hướng dẫn giải a) 310.210 67 (63 1) 610 610 67 67 b) 3xn 1 -2xn . Câu 6: Cho a và b là những số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu 2a b13 và 5a 4b13 thì a 6b13 . b) Nếu 100a b7 thì a 4b7 c) Nếu 3a 4b11 thì a 5b11 Hướng dẫn giải a) a 6b (5a 4b) 2(2a b)13 . b) Xét 4(100a b) (a 4b) c) Xét 4(3a 4b) (a 5b) hoặc (3a 4b) 3(a 5b) Câu 7: Chứng minh rằng nếu một số chia hết cho 7 thì hiệu giữa số chục và hai lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho 7 (Ví dụ: Số 315 chia hết cho 7 , có 31 2.5 21 chia hết cho 7 ). Hướng dẫn giải Xét số chia hết cho 7 dưới dạng 10a+b trong đó a là số chục, b là chữ số hàng đơn vị. Theo đề Câu 10a b7 cần chứng minh a 2b7 Ta có 2(10a b) (a 2 b) 20a 2b a 2b 21a7 Mà 10a b7 nên a 2b7 Trang 7
  8. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. A B C D A.C A.D B.C B.D B. SAI LẦM CẦN TRÁNH Sai Đúng 3 x 1 x 2 3x 3 3x 6 3 x 1 x 2 3 x2 2x x 2 9x2 18x 9x 18 2 2 3 x 3x 2 3x 9x 6 9x2 27x 18 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Hãy chọn phương án đúng. Câu 1. x 1 x2 x 1 A. x3 1 . B. x3 1 . C. x3 2x2 1 . D. x3 2x 1 . Câu 2. Tính giá trị biểu thức 3x 1 2x 5 2x 3 3x 2 tại x 12,5 ta được A. 1,5 . B. 11 . C. 11 . D. 1,5 . D. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: 3 1 2x 5 3x 6 3x 5 x 4 Giải: 3 1 2x 5 3x 6 3x 5 x 4 3 5 3x 10x 6x2 6 3x2 12x 5x 20 3 5 13x 6x2 6 3x2 7x 20 15 39x 18x2 18x2 42x 120 3x 135 . Mức độ nâng cao Ví dụ 2: a) Chứng minh rằng nếu a b m và a.b n thì x a x b x2 mx n . b) Áp dụng câu a) để viết ngay kết quả của các phép nhân: x 3 x 4 , x 5 x 3 , x 4 x 6 Giải: a) Ta có x a x b x2 bx ax ab x2 a b x ab x2 mx n b) Ta có: 3 4 7 và 3.4 12 nên x 3 x 4 x2 7x 12 Ta có: 5 3 8 và 5 . 3 15 nên x 5 x 3 x2 8x 15 Ta có: 4 6 2 và 4. 6 24 nên x 4 x 6 x2 2x 24 Trang 8
  9. Cơ bản và nâng cao Toán 8 E. BÀI TẬP Mức độ cơ bản x 2 Câu 8: Hình 1 minh họa kết quả của phép nhân x 2 x 2 . x x2 2x Hãy vẽ hình minh họa kết quả của phép nhân x 3 x 5 . 2 2x 4 Hướng dẫn giải Xem hình 105 x 5 x2 5x x 3x 3 15 Hình 105 Câu 9: Thực hiện phép tính: a) 2x 6x 1 3x 4x 1 b) 2 3x 1 2x 5 4x 1 3x 2 c) a 2 a2 a 1 a a2 1 Hướng dẫn giải a) x b) 37x 12 c) a2 2 Câu 10: Tìm x , biết: a) x 8 x 6 x2 104 b) x 1 x 2 x 3 x 4 6 c) 3 2x 1 x 2 2 3x 2 x 4 5 Hướng dẫn giải Trang 9
  10. Cơ bản và nâng cao Toán 8 a) Rút gọn được 14x 48 104 . Từ đó x = 4 b) Rút gọn được 2x 14 6 . Từ đó x = -4 5 c) Rút gọn được 29x 10 5 . Từ đó x 29 Câu 11: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y : x 2y x2 2xy 4y2 8y3 Hướng dẫn giải Rút gọn được x3 . Mức độ nâng cao Câu 12: Rút gọn các biểu thức: a) x 1 x3 x2 x 1 b) x 1 x4 x3 x2 x 1 Hướng dẫn giải a) x4 1 b) x5 1 Câu 13: Chứng minh các đẳng thức sau: a) x a x b x c x3 a b c x2 ab bc ca x abc . b) a b c a2 b2 c2 ab bc ca a3 b3 c3 3abc . c) a2 b c b2 c a c2 a b a b b c a c . Hướng dẫn giải a) Cả hai vế đều bằng x3 +ax2 +bx2 +cx2 abx bcx cax abc . b) Làm phép nhân ở vế trái, ta được vế phải. c) Cả hai vế đều bằng a2 b-a2c+b2c-b2a+c2a-c2b . Trang 10
  11. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 3: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Bình phương của một tổng hai biểu thức bằng: - Bình phương của biểu thức thứ nhất - Cộng hai lần tích của hai biểu thức - Cộng bình phương của biểu thức thứ hai 2 A B A2 2AB B2 2. Bình phương của một hiệu hai biểu thức bằng: - Bình phương của biểu thức thứ nhất - Trừ hai lần tích của hai biểu thức - Cộng bình phương của biểu thức thứ hai 2 A B A2 2AB B2 2 2 Lưu ý: Ta luôn có A B B A 3. Hiệu các bình phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức với hiệu của chúng. A2 B2 A B A B B. SAI LẦM CẦN TRÁNH Sai Đúng x y y x x2 y2 x y y x y2 x2 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 Câu 1. Điền hằng số nào sau đây vào chỗ trống của biểu thức x 3x  để được bình phươn của một nhị thức? 1 9 A. . B. . C. 9 . D. 1 . 4 4 5 1 Câu 2. Cho x2 y2 và x y . Các số x và y theo thứ tự bằng 36 6 1 1 5 5 1 1 A. và . B. 1 và . C. 1 và . D. và . 2 3 6 6 2 3 D. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản 2 2 1 2 1 1 Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: A 5a 2 25a 5a 2 4 2 Giải: 1 1 1 Cách 1: A 25a2 5a 50a2 25a2 5a 1 . 4 2 4 Trang 11
  12. Cơ bản và nâng cao Toán 8 2  1 1  2 Cách 2: A  5a 5a  1 1 .  2 2  Ví dụ 2: Tính nhẩm: a) 492 b) 232 212 Giải: 2 a) 492 50 1 502 100 1 2401 . b) 232 212 23 21 23 21 44.2 88 . Mức độ nâng cao 4 2 Ví dụ 3: Nêu hai cách điền vào chỗ trống của biểu thức x x  để được bình phương của một nhị thức. Giải: 2 2 2 4 2 1 2 2 1 1 2 1 Cách 1: x x x 2.x . x 4 2 2 2 2 2 Cách 2: x4 x2 2x3 x2 x2 2.x2 .x x2 x Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức: a) A 4x2 12x 15 b) B x2 x 1 Giải: 2 a) A 4x2 12x 9 6 2x 3 6 6 3 Giá trị nhỏ nhất của A bằng 6 tại x . 2 2 2 1 3 1 3 3 b) B x x x 4 4 2 4 4 3 1 Giá trị nhỏ nhất của B bằng tại x . 4 2 Ví dụ 5: (*) Tìm hai số tự nhiên có hiệu các bình phương bằng 41 . Giải: Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a và b , ta có a2 b2 41 , hay a b a b 41 . Vì 41 là số nguyên tố nên a b 1 và a b 41 . Do đó b 41 1 : 2 20 ; a 41 1 : 2 21 . Vậy hai số tự nhiên phải tìm là 20,21 . BÀI TẬP Trang 12
  13. Cơ bản và nâng cao Toán 8 Mức độ cơ bản Câu 14: Tính: 2 2 2 2 2 x a) 1 3x b) 2a b c) 2y 2 2 d) x2 0,1 e) 2x 3 2x 3 f) a2 5 5 a2 Hướng dẫn giải a) 1 6x 9x2 ; b) 4a4 4a2b2 b4 x2 c) 2xy 4y2 d) x4 0,2x 2 0,01 4 e) 4x2 9 g) 25-a4 Câu 15: Thực hiện phép tính: 2 2 2 a) 2 x 1 4 3 x 2x x 5 b) 2 2x 5 3 4x 1 1 4x 2 2 c) 4 x 1 2x 1 8 x 1 x 1 Hướng dẫn giải a) 38x 34 b) 56x2 40x 47 c) 4x 13 1 Câu 16: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với x và y 2 : 3 2 2 A x y x y 2 x y y x Hướng dẫn giải 2 1 1 4 Rút gọn A được 4x . Thay x=- được 4 - 3 3 9 Câu 17: Tìm x , biết: 2 2 a) 2x 1 4 x 2 9 2 2 b) 3x 1 2 x 3 11 x 1 1 x 6 Hướng dẫn giải a) Rút gọn được 12x 15 9 . Đáp số x = -2 b) Rút gọn được 6x 30 6 . Đáp số x = -4 Câu 18: Tính nhanh các biểu thức sau: Trang 13
  14. Cơ bản và nâng cao Toán 8 a) 1212 212 b) 672 332 c) 1322 1122 d) 39.41 e) 1012 f) 992 99.2 1 g) 582 84.58 422 h) 20112 2010.2012 2 2 2 2 2 2 i) 40 39 38 37  2 1 Hướng dẫn giải a) 1212 -212 (121 21)(121 21) 142.100 14200 . b) 672 -332 (67 33)(67 33) 100.34 3400 c) 1322 -1122 (132 112)(132 112) 244.20 4880 . d) 39.41 (40 1)(40 1) 402 1 1599 e) 1012 (100 1)2 10000 200 1 10201 . g) 992 +99.2+1 (99 1)2 1002 10000 . h) 582 84.58 422 (58 42)2 1002 10000 i) 20112 2010.2012 20112 (2011 1)(2011 1) 20112 (2011 1) 1 . 402 -392 382 -372 22 -12 (40 39)(40 39) (38 37)(38 37) (2 1)(2 1) k) 40 39 38 37 2 1 . (40 1).40 820 2 Câu 19: Viết các biểu thức sau dưới dạng một tích của hai đa thức: a) 16 x2 b) 4x2 9y2 2 c) a4 25 d) a b 4 Hướng dẫn giải a) (4 x)(4 x) b) (2x 3y)(2x 3y) c) (a2 5)(a2 5) d) (a b 2)(a b 2) Câu 20: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một nhị thức: a) a2 2a 1 b) 1 4x 4x2 c) a2 9 6a d) 25x2 20xy 4y2 Hướng dẫn giải a) (a 1)2 b) (1 2x)2 c) (a 3)2 d) (5x 2y)2 Trang 14
  15. Cơ bản và nâng cao Toán 8 Mức độ nâng cao 2 2 Câu 21: Tìm n , biết: 102 25 102 25 10n Hướng dẫn giải (102 25)2 (102 25)2 1252 752 (125 75)(125 75) 200.50 104. Vậy n = 4 Câu 22: Tính giá trị của các biểu thức: a) A x2 6x 10 tại x 103 . b) B x2 4x 1 tại x 98 . Hướng dẫn giải a) A (x 3)2 1 (103 3)2 1 10001 b) B (x 2)2 3 (98 2)2 3 9997 Câu 23: Tính biểu thức sau bằng hai cách (áp dụng quy tắc nhân đa thức và áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ): 2 a) a b c b) a b c a b c Hướng dẫn giải a) Cách 1. Nhân a – b c a – b c . Bạn đọc tự giải. Cách 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 2  a b c (a b) 2c(a b) c a 2ab b 2ac 2bc c a b c 2ab 2ac 2bc b) Cách 1. Nhân (a + b + c) (a + b - c). Bạn đọc tự giải. Cách 2. 2 2 2 2 2 2 2 2  a b c  a b c (a b) c a 2ab b c a b c 2ab Câu 24: Rút gọn các biểu thức: 2 2 2 2 a) a b c a b 2c a b b) a b c b c 2a b c Hướng dẫn giải Trang 15
  16. Cơ bản và nâng cao Toán 8 2 2 2 2 2 2 a)  a b c (a b) 2c(a b) (a b) 2c(a b) c (a b) 2c(a b) c 2 2 2 2 2 2 b) a b c  (b c) 2a(b c) a 2a(b c) (b c) (b c) 2a(b c) a 2 Câu 25: a) Chứng minh hằng đẳng thức: a b c a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc . 2 b) Áp dụng câu a), tính a b c . Hướng dẫn giải 2 2 a b c a b c  a2 2a(b c) (b c)2 a2 2ab 2ac b2 2bc c2 a)   a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2 b) a b c a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Câu 26: Chứng minh B 3A với A 4 1 42 1 44 1 48 1 416 1 và B 432 1 Hướng dẫn giải 3A=(4-1)(4+1)(42 +1)(44 +1)(48 +1)(416 +1) =(42 -1)(42 +1)(44 +1)(48 +1)(416 +1) =(44 -1)(44 +1)(48 +1)(416 +1) =(48 -1)(48 +1)(416 +1)=(416 -1)(416 +1)=(432 -1)=B Câu 27: Tính a2 b2 , biết a b 5 và a.b 1 . Hướng dẫn giải Ta có a2 b2 (a b)2 2ab 52 2.1 23 Câu 28: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có giá trị dương: a) x2 6x 10 b) 4x2 20x 27 c) x2 x 1 d) x2 4x y2 6y 15 Hướng dẫn giải a) x2 6x 10 (x 3)2 1 0 b) 4x2 20x 27 (2x 5)2 2 0 Trang 16
  17. Cơ bản và nâng cao Toán 8 1 3 c) x2 x 1 (x )2 0 2 4 d) x2 +4x y2 6y 15 (x 2)2 (y 3)2 2 0 Câu 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) x2 12x 33 b) 9x2 6x 5 c) x2 x 3 Hướng dẫn giải a) x2 12x 33 (x 6)2 3 có giá trị nhỏ nhất là -3 tại x = 6 1 b) 9x2 6x 5 (3x 1)2 4 có giá trị nhỏ nhất là 4 tại x 3 1 11 11 1 c) x2 +x 3 (x )2 có giá trị nhỏ nhất là tại x 2 4 4 2 Câu 30: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) x2 4x 4 b) 4 16x2 8x Hướng dẫn giải a) x2 +4x 4 8 (x 2)2 có giá trị lớn nhất là 8 tại x = 2 1 b) 4 16x2 8x 5 (4x 1)2 có giá trị lớn nhất là 5 tại x 4 Câu 31: Tìm x và y biết: x2 2x y2 6y 10 0 Hướng dẫn giải (x 1)2 (y 3)2 0 nếu x = -1 và y = 3 và ngược lại. Câu 32: Chứng minh rằng: a) Nếu a2 b2 ab ba thì a b . b) Nếu a2 b2 c2 ab bc ca thì a b c . Hướng dẫn giải a) a2 b2 2ab (a b)2 0 a b Trang 17
  18. Cơ bản và nâng cao Toán 8 a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 -2ab 2bc 2ca 0 b) (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b b c c a 0 a b c Câu 33: Viết tích a2 b2 c2 d2 dưới dạng tổng của hai bình phương. Hướng dẫn giải (a2 b2 )(c2 d2 ) a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 a2c2 2abcd b2d2 a2d2 2abcd b2c2 (ac bd)2 (ad bc)2 Câu 34: Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết rằng hiệu các bình phương của chúng bằng 56 . Hướng dẫn giải Gọi hai số lẻ liên tiếp là a và a + 2 ( a lẻ). Từ (a 2)2 a2 56 , ta tìm được a = 13. Đáp số: 13 và 15. Câu 35: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hiệu của số đó và số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại bằng 36 , hiệu các bình phương của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 40 . Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm là ab . Từ ab ba 36 ta suy ra a – b = 4. (1) Ta lại có a2 b2 40 nên từ (1) suy ra a + b = 10 (2).và b = 3. Từ (1) và (2) suy ra a = 7. Số phải tìm là 73. Câu 36: Ta biết rằng số chính phương là bình phương của một số nguyên. Chứng minh rằng: a) Số dư trong phép chia một số chính phương cho 3 thì khác 2 . b) Số dư trong phép chia một số chính phương cho 4 thì khác 2 , khác 3 . c) Số dư trong phép chia một số chính phương cho 5 thì khác 2 , khác 3 . Hướng dẫn giải a) Nếu n 3a(a Z) thì n2 9a2 chia hết cho 3 Trang 18
  19. Cơ bản và nâng cao Toán 8 Nếu n 3a 1 thì n2 (3a 1)2 9a2 6a+1 chia 3 dư 1 Vậy số dư trong phép chia một số chính phương cho 3 thì khác 2. b) Nếu n 2a(a Z) thì n2 4a2 chia hết cho 4 Nếu n 2a+1 thì n2 (2a+1)2 4a2 +4a+1 chia 4 dư 1 Vậy số dư trong phép chia một số chính phương cho 4 thì khác 2, khác 3. c) Nếu n 5a(a Z) thì n2 25a2 chia hết cho 5 Nếu n 5a 1 thì n2 (5a 1)2 25a2 10a+1 chia 5 dư 1 Nếu n 5a 2 thì n2 (5a 2)2 25a2 20a+4 chia 5 dư 4 Vậy số dư trong phép chia một số chính phương cho 5 thì khác 2, khác 3. Lưu ý : Từ kết quả của câu c) ta thấy : Một số chính phương không có chữ số tận cùng là 2,3,7,8. Câu 37: Bạn An tính bình phương của bốn số tự nhiên được bốn kết quả là 47436 , 16819 , 27641 , 41528 . Bạn Tuấn nói rằng cả bốn kết quả trên đều sai. Vì sao Tuấn khẳng định như vậy? Hướng dẫn giải Số 47436 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương. Số 16819 chia cho 4 dư 3 nên không là số chính phương( xem Câu 37b). Số 27641 chia cho 3 dư 2 nên không là số chính phương( xem Câu 37a). Số 41528 có tận cùng là 8 nên không là số chính phương Trang 19
  20. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 4: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Lập phương của một tổng hai biểu thức 3 A B A3 3A2 B 3AB2 B3 Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng 3 A B A3 B3 3AB A B 2. Lập phương của một hiệu hai biểu thức 3 A B A3 3A2 B 3AB2 B3 Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng 3 A B A3 B3 3AB A B B. SAI LẦM CẦN TRÁNH Sai Đúng 3 3 x y x3 y3 3xy x y x y x3 y3 3xy x y C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 3 3 Câu 1. a b a b A. 6ab2 B. 2a3 6ab2 C. 6a2b 2b3 D. 6ab2 2b3 Hãy chọn phương án đúng? Câu 2. Hãy nối mỗi ô của cột bên trái với một ô của cột bên phải để được khẳng định đúng. 3 3 1) x 2 A) x 8 6x x 2 3 3 2 2) x 2 B) x 6x 12x 8 C) x3 6x2 6x 8 D) x3 6x 12x2 8 Đáp án: Câu 1. (C); Câu 2. Nối 1-B, Nối 2-A D. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức: a) A x3 3x2 3x tại x 29 b) B x3 6x2 12x 10 tại x 22 . Giải: 3 a) A x3 3x2 3x 1 1 x 1 1 3 Thay x 29 vào biểu thức, ta được 29 1 1 303 1 26999 . 3 b) B x3 6x2 12x 8 18 x 2 18 3 Thay x 22 vào biểu thức, ta được 22 2 18 203 18 8018 . Trang 20
  21. Cơ bản và nâng cao Toán 8 Mức độ nâng cao 3 3 2 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A a b 1 a b 1 6 a b Giải: Ta thấy biểu thức a b lặp lại nhiều lần. Để cho gọn, ta đặt a b x . 3 3 Do đó: A x 1 x 1 6x2 x3 3x2 3x 1 x3 3x2 3x 1 6x2 2 E. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Câu 38: Thực hiện phép tính: 3 2 3 a) x 1 x x 3 1 b) x 2 x2 x 6 . Hướng dẫn giải a) 3x2 6x b) 12x + 16 3 3 Câu 39: Giá trị của biểu thức x 2 x 2 có phụ thuộc vào biến x không? Hướng dẫn giải Rút gọn biểu thức được 12x2 16 . Giá trị của biểu thức có phụ thuộc vào biến x. Câu 40: Tìm x , biết: 3 3 a) x 1 x2 x 3 2 b) x 2 x x 1 x 1 6x2 5 Hướng dẫn giải 1 a) Rút gọn được 3x + 1 = 2. Đáp số : x 3 b) Rút gọn được 13x - 8 = 5. Đáp số : x 1 Mức độ nâng cao Câu 41: a) Chứng minh các hằng đẳng thức: 4 a b a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 5 a b a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5 4 5 4 5 b) Áp dụng câu a) để tính a b , a b , a 1 , a 1 . Trang 21
  22. Cơ bản và nâng cao Toán 8 Hướng dẫn giải a) Làm phép nhân (a b)2 (a b)2 được biểu thức ở vế phải. Làm phép nhân (a b)3 (a b)2 được biểu thức ở vế phải. Thay b bởi –b, tức là đổi dấu các hạng tử của (1) chứa b với số mũ lẻ ta được (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 Với cách làm tương tự như trên, từ (2) ta được (a b)5 a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5 (a 1)4 a4 4a3 6a2 4a 1 (a 1)5 a5 5a4 10a3 10a2 5a 1 Câu 42: Cho a b c 0 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 3abc . Hướng dẫn giải Ta có a + b + c = 0 nên c = - (a + b). Suy ra c3 (a b)3 a3 b3 3ab(a b) Do đó a3 b3 c3 3ab(a b) 3abc Câu 43: Chứng minh rằng không có ba số tự nhiên liên tiếp nào mà tổng các lập phương của chúng bằng 2013 . Hướng dẫn giải Xét tổng (n 1)3 n3 (n 1)3 với n N * . Tổng đó bằng 3n3 6n 3(n3 2n) Ta thấy n3 2n n3 n 3n n(n 1)(n 1) 3n chia. hết cho 3 Suy ra (n 1)3 n3 (n 1)3 chia hết cho 9, không thể bằng 2013(số này không chia hết cho 9) Trang 22
  23. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Tổng các lập phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức ấy. A3 B3 A B A2 AB B2 Lưu ý: A2 2AB B2 gọi là bình phương của hiệu A và B . A2 AB B2 gọi là bình phương thiếu của hiệu A và B . 2. Hiệu các lập phương của hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức ấy. A3 B3 A B A2 AB B2 Lưu ý: A2 2AB B2 gọi là bình phương của tổng A và B . A2 AB B2 gọi là bình phương thiếu của tổng A và B . B. SAI LẦM CẦN TRÁNH Sai Đúng a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. a b a2 2ab b2 3 3 A. a3 b3 B. a b C. a3 b3 D. a b Hãy chọn phương án đúng? Câu 2. Hãy nối mỗi ô của cột bên trái với một ô của cột bên phải để được khẳng định đúng. 1) x3 8 A) x 2 x2 2x 4 2) x3 8 B) x 2 x2 4x 4 C) x 2 x2 2x 4 D) x 2 x2 2x 4 Đáp án: Câu 1. (B); Câu 2. Nối 1-D, Nối 2-C D. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A x2 1 x2 x 1 x2 x 1 Giải: A x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x3 1 x3 1 x6 1 . Mức độ nâng cao Trang 23
  24. Cơ bản và nâng cao Toán 8 Ví dụ 2: Tính a3 b3 , biết a b 7 và a.b 3 . Giải: 3 3 Ta có a b a3 b3 3ab a b nên a3 b3 a b 3ab a b 73 3.3.7 280 . E. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Câu 44: Thực hiện phép tính: 3 a) x 2 x2 2x 4 x 1 7 b) x x 2 2 x x 3 x2 3x 9 Hướng dẫn giải a) 3x2 3x ; b) 4x + 27 1 Câu 45: Rút gọn biểu thức A rồi tính giá trị của biểu thức tại x . 2 A 64 x 4 x2 4x 16 Hướng dẫn giải 3 3 1 1 A 128 x 128 128 2 8 Câu 46: Giá trị của biểu thức A 8 x 1 x2 x 1 2x 1 4x2 2x 1 có phụ thuộc vào biến x không? Hướng dẫn giải A = - 7, không phụ thuộc vào biến x. Câu 47: Tìm x , biết: a) x 3 x2 3x 9 x x 4 x 4 5 3 b) x 2 x 5 x2 5x 25 6x2 11 Hướng dẫn giải a) Rút gọn được 16x – 27 = 5. Đáp số : x = 2. b) Rút gọn được 12x – 133 = 511. Đáp số : x = 12. Trang 24
  25. Cơ bản và nâng cao Toán 8 Câu 48: Viết các biểu thức sau dưới dạng một tích của hai đa thức: x3 y3 a) 27 x3 b) 8x3 0,001 c) 64 125 Hướng dẫn giải a) (3 x)(9 3x x2 ) b) (2x 0,1)(4x2 0,2x 0,01) x y x2 xy y2 c) 4 5 16 20 25 Mức độ nâng cao Câu 49: Cho a và b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: a) Nếu a2 b2 chia hết cho 2 thì a b chia hết cho 2 . b) Nếu a3 b3 chia hết cho 3 thì a b chia hết cho 3 . Hướng dẫn giải 2 2 a) Cách 1. a b 2 nên a và b hoặc cùng chẵn, hoặc cùng lẻ. Khi đó a b2 Cách 2. Ta có (a b)2 a2 b2 2ab 2 2 2 Nếu a b 2 thì (a b) 2 nên a b2 b) Ta có (a b)3 a3 b3 3ab(a b) 3 3 3 Nếu a b 2 thì (a b) 3 Do 3 là số nguyên tố nên a b3 3 3 3 3 Câu 50: Cho A 1 2 3  10 . Chứng minh rằng: a) A chia hết cho 11 . b) A chia hết cho 5 . Hướng dẫn giải 3 3 2 2 3 3 Ta có a b (a b)(a ab b ) nên a b a b a) A (13 103 ) (23 93 ) (33 83 ) (43 73 ) (53 63 ) Suy ra a11 b) A (13 93 ) (23 83 ) (33 73 ) (43 63 ) 53 103 Trang 25
  26. Cơ bản và nâng cao Toán 8 Suy ra a5 Trang 26
  27. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 6: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. 2. Khi các hạng tử của một đa thức có chung một nhân tử, ta có thể đặt nhân tử đó ra ngoài dấu ngoặc theo công thức. AB AC A B C B. SAI LẦM CẦN TRÁNH Sai Đúng 2 2 2 2 x y y x x y x y x y y x x y x y x y 1 x y x y 1 x y C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Phân tích đa thức 2x x y y y x y x thành nhân tử, ta được: A. x y 2x y B. x y 2x y 1 C. y x 2x y 1 D. x y 2x y 1 Hãy chọn phương án đúng? D. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 a) 2x x 1 1 x b) 7x x y 2 y x Giải: a) 2x x 1 1 x 2x x 1 x 1 x 1 2x 1 2 2 b) 7x x y 2 y x 7x x y 2 x y x y 7x 2x 2y x y 9x 2y Lưu ý: Ở câu a) khi thay 1 x bởi x 1 , ta đã đổi dấu hai nhân tử của tích. Nhờ đổi dấu mà xuất hiện nhân tử chung là x 1 . 2 2 Ở câu b) ta có y x x y . Mức độ nâng cao Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức 9x4 15x3 6x2 5 , biết 3x2 5x 2 . Giải: 9x4 15x3 6x2 5 3x2 3x2 5x 6x2 5 3x2 .2 6x2 5 5 . Trang 27
  28. Cơ bản và nâng cao Toán 8 E. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Câu 51: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 a) x4 x5 b) 8x2 y2 12xy3 4xy2 c) x y x3 y3 Hướng dẫn giải a) x4 x5 x4 (1 x) b) 8x2 y2 12xy3 4xy2 4xy2 (2x 3y 1) c) (x y)3 x3 y3 x3 3x2 y 3xy2 y3 x3 y3 3xy2 3x2 y 3xy(y x) Câu 52: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3x x y 2y x y b) a x 2 2b x 2 x 2 c) 5x x y y x d) 2x x 3 3 x Mức độ nâng cao Hướng dẫn giải a) (x y)(3x 2y) b) (x 2)(a 2 b 1) c) (x y)(5x 1) d) (x 3)(2x 1) Câu 53: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: n 2 n * 2 a) 4x 8x với n b) x 1 y x 1 2 2 3 c) 4x x 2 2 x d) x 2 2 x Hướng dẫn giải a) 4xn 2 8xn 4xn (x2 2) b) (x-1)2 y(x 1) (x 1)(x 1 y) c) 4x(x 2) (2-x)2 4x(x 2) (x 2)2 (x 2)(4x x 2) (x 2)(3x 2) d) (x-2)2 (2 x)3 (x 2)2 (x 2)3 (x 2)2 (1 x 2) (x 2)2 (x 1) Câu 54: Tìm x , biết: Trang 28
  29. Cơ bản và nâng cao Toán 8 a) 2x x 3 3 x 0 b) 3x x 5 6 x 5 0 c) x4 x2 0 Hướng dẫn giải 1 a) Biến đổi thành (x 3)(2x 1) 0 . Đáp số: -3 và 2 b) Biến đổi thành 3(x 5)(x 2) 0 . Đáp số: -3 và 2 c) Biến đổi thành x2 (x 1)(x 1) 0 . Đáp số: 0, 1, -1. Câu 55: Chứng minh rằng 315 316 317 chia hết cho 13 . Hướng dẫn giải Ta có 315 316 317 315 (1 3 32 ) 315.13 chia hết cho 13 Câu 56: Chứng minh rằng hiệu các bình phương hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8 . Hướng dẫn giải Gọi hai số lẻ bất kì là 2a+1 và 2b+1 ( a và b là số nguyên). Ta có : (2a 1)2 (2b 1)2 4a2 4a 1 4b2 -4b-1 4a2 4a 4b2 -4b=4a(a 1) 4b(b 1). Ta thấy a(a+1) và b(b+1) đều là tích của hai số nguyên liên tiếp, chúng chia hết cho 2. Do đó 4a(a+1) và 4b(b+1) đều chia hết cho 8. Vậy (2a 1)2 (2b 1)2 chia hết cho 8. Trang 29
  30. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 7: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Ta có thể áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học để phân tích đa thức thành nhân tử B. SAI LẦM CẦN TRÁNH Sai Đúng Không phân tích được đa thức x2 2 Phân tích được đa thức x2 2 thành nhân thành nhân tử. tử: x2 2 x 2 x 2 . C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 Phân tích đa thức 4 a b thành nhân tử, ta được A. 2 a b 2 a b B. 4 a b 4 a b C. 2 a b 2 a b D. 4 a b 4 a b Hãy chọn phương án đúng. D. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản 2 Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A x2 4 16x2 . Giải: 2 2 2 2 A x2 4 4x x2 4 4x x2 4 4x x 2 x 2 . Ví dụ 2: Phân tích đa thức x6 1 thành nhân tử. Giải: 2 x6 1 x3 1 x3 1 x3 1 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 3 Lưu ý: Nếu viết x6 x2 thì có thể phân tích x6 1 như sau: 3 x2 1 x2 1 x4 x2 1 Ta phân tích tiếp x4 x2 1 thành nhân tử bằng cách thêm và bớt x2 được 2 x4 x2 1 x4 2x2 1 x2 x2 1 x2 x2 x 1 x2 x 1 Mức độ nâng cao Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Trang 30
  31. Cơ bản và nâng cao Toán 8 A a b a2 c2 a c a2 b2 Giải: A a b a c a c a c a b a b   a b a c  a c a b  a b a c c b . E. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Câu 57: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 1 9x2 b) 16x2 0,01 c) a4 b4 2 2 2 x y 2 d) a b 1 e) f) 4 a b 9 16 2 2 2 2 g) x y m n h) 3x 2y 2x 3y Hướng dẫn giải 1 3x 1 3x 4x 0,1 4x 0,1 a) ; b) ; x y x y a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b a b c) 3 4 3 4 ; d) ; a b 1 a b 1 2 a b 2 a b e) ; g) ; x y m n x y m n h) ; 3x 2y 2x 3y 3x 2y 2x 3y 5 x y x y i) . Câu 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 12xy 9y2 b) x4 2x2 1 c) a4 4 4a2 d) x2 2xy y2 e) 10a a2 25 f) a4 2a2 1 Hướng dẫn giải 2 2 2x 3y 2 x2 1 a2 2 a) ; b) ; c) ; 2 2 2 x y 2 a 5 2 a2 1 a 1 a 1 d) ; e) ; g) . Câu 59: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Trang 31
  32. Cơ bản và nâng cao Toán 8 a) x3 8 b) 27x3 0,001 c) x3 y6 d) x6 6x4 12x2 8 Mức độ nâng cao Hướng dẫn giải x 2 x2 2x 4 3x 0,1 9x2 0,3x 0,01 a) ; b) ; 3 x y2 x2 xy2 y4 x2 2 c) ; d) . Câu 60: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 2 2 2 a) 9 a b 4 x y b) a2 9 36a2 c) x y 2 x y 1 Hướng dẫn giải 3a 3b 2x 2y 3a 3b 2x 2y a) . a2 9 6a a2 9 6a a 3 2 a 3 2 b) . x y 1 2 c) . Câu 61: Tìm x , biết: a) x2 16 8x 0 b) 10x x2 25 0 Hướng dẫn giải x 4 2 0 a) nên x 4 . 2 b) x 5 0 nên x 5 . Trang 32
  33. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Ta có thể nhóm nhiều hạng tử của đa thức một cách thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. B. SAI LẦM CẦN TRÁNH Sai Đúng ax a bx b x 1 a x 1 b x 1 x 1 ax a bx b x 1 a x 1 b x 1 x 1 x 1 a b x 1 a b 1 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Phân tích 3x2 3y2 4x 4y thành nhân tử, ta được: A. x y 3x 4 B. x y 3x y 4 C. x y 3x 3y 8 D. x y 3x 3y 4 Hãy chọn phương án đúng. D. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) A ax bx ab x2 b) B x2 y2 4x 4 Giải: a) Nhóm các hạng tử đầu và cuối với nhau, nhóm hai hạng tử còn lại với nhau: A ax x2 bx ab x a x b a x a x x b b) Nhóm các hạng tử thứ nhất, thứ ba, thứ tư với nhau 2 B x2 4x 4 y2 x 2 y2 x 2 y x 2 y Lưu ý: -Ở câu a), ta có thể nghĩ đến cách nhóm thành hai nhóm, mỗi nhóm gồm hai hạng tử liền nhau: A ax bx ab x2 x a b ab x2 Đến đây gặp bế tắc. -Ở câu b), ta cũng có thể nghĩ đến cách nhóm như trên: B x2 y2 4x 4y x y x y 4 x 1 Đến đây gặp bế tắc. Trang 33
  34. Cơ bản và nâng cao Toán 8 - Các ví dụ trên cho thấy: Cần tìm cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp. cách thích hợp đó là nhóm các hạng tử nhằm làm xuất hiện nhân tử chung a x (câu a), hoặc xuất hiện dạng a2 b2 (câu b). Mức độ nâng cao Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x2 y2 8 y 2 . Giải: 2 2 4x2 y2 8 y 2 4x2 y2 8y 16 4x2 y2 8y 16 2x y 4 2x y 4 2x y 4 . E. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Câu 62: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ax ay 3x 3y b) xy 1 x y c) x3 2x2 2x 4 d) x2 ab ax bx e) xy 4 2x 2y f) ax bx cx a b c Hướng dẫn giải a) x y a 3 ; b) y 1 x 1 : c) x 2 x2 2 ; d) x a x b ; e) y 2 x 2 ; g) a b c x 1 . Câu 63: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 4xy 4y2 4 b) 16 x2 2xy y2 Hướng dẫn giải a) x 2y 2 x 2y 2 ; b) 4 x y 4 x y . Câu 64: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử rồi tính giá trị của đa thức với x 5,1 và y 3,1 : x2 xy 3x 3y Hướng dẫn giải Biểu thức bằng x y y 3 . Đáp số: .4,2 Mức độ nâng cao Trang 34
  35. Cơ bản và nâng cao Toán 8 Câu 65: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 2x 4y2 4y b) x4 6x3 54x 81 2 2 c) ax2 ax bx2 bx a b d) x2 y2 2 2xy 2 Hướng dẫn giải a) x2 4y2 2x 4y x 2y x 2y 2 x 2y x 2y x 2y 2 . b) x4 81 6x3 54x x2 9 x2 9 6x x2 9 3 x2 9 x2 9 6x x 3 x 3 . c) ax2 ax a bx2 bx b a x2 x 1 b x2 x 1 x2 x 1 a b d) x2 y2 2 2xy 2 x2 y2 2 2xy 2  x y 2 4 x y 2 x y 2 x y 2 x y 2   . Câu 66: (*) Cho ab bc ca 1 . Chứng minh rằng 2 2 2 a2 1 b2 1 c2 1 a b b c c a . Hướng dẫn giải Do ab bc ca 1 nên a2 1 a2 ab bc ca a a b c a b a b a c . Tương tự b2 1 b a b c , c2 1 c a c b . Suy ra điều phải chứng minh. BÀI 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Trang 35
  36. Cơ bản và nâng cao Toán 8 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi phân tích một đa thức thành nhân tử, nhiều khi ta cần hợp nhiều phương pháp: - Phương pháp ưu tiên số 1 là đặt nhân tử chung. - Phương pháp ưu tiên số 2 là dùng hẳng đẳng thức. - Cuối cùng là nhóm các hạng tử. Mục đích của việc nhóm các hạng tử nhằm làm cho quá trình phân tích đa thức thành nhân tử được tiếp tục bằng cách đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức. B. SAI LẦM CẦN TRÁNH C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM D. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản E. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản Trang 36
  37. Cơ bản và nâng cao Toán 8 Trang 37
  38. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC F. KIẾN THỨC CƠ BẢN G. SAI LẦM CẦN TRÁNH H. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM I. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản J. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản Trang 38
  39. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC K. KIẾN THỨC CƠ BẢN L. SAI LẦM CẦN TRÁNH M. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM N. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản O. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản Trang 39
  40. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC P. KIẾN THỨC CƠ BẢN Q. SAI LẦM CẦN TRÁNH R. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM S. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản T. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản Trang 40
  41. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC U. KIẾN THỨC CƠ BẢN V. SAI LẦM CẦN TRÁNH W. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM X. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản Y. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản BÀI 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Z. KIẾN THỨC CƠ BẢN AA. SAI LẦM CẦN TRÁNH BB. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CC.VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản DD. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản Trang 41
  42. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC EE. KIẾN THỨC CƠ BẢN FF. SAI LẦM CẦN TRÁNH GG. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM HH. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản II. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản Trang 42
  43. Cơ bản và nâng cao Toán 8 BÀI 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC JJ. KIẾN THỨC CƠ BẢN KK. SAI LẦM CẦN TRÁNH LL. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MM. VÍ DỤ MINH HỌA Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản NN. BÀI TẬP Mức độ cơ bản Mức độ cơ bản Trang 43