Tài liệu luyện thi vào 10 - Chuyên đề III: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Mr. Phúc

100 trang thaodu 6851

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu luyện thi vào 10 - Chuyên đề III: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Mr. Phúc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_luyen_thi_vao_10_chuyen_de_iii_giai_bai_toan_bang_c.pdf

Nội dung text: Tài liệu luyện thi vào 10 - Chuyên đề III: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Mr. Phúc

Tài liệu luyện thi vào 10 CHUYÊN ĐỀ III: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT, HỆ PT LOẠI 1: BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI DIỆN TÍCH, TAM GIÁC, TỨ GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. Các bước giải: Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình: - Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn. - Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống nhất đơn vị). - Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán, dựa vào điều kiện tìm kết quả thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số. II. Các công thức liên quan: Diện tích tam giác vuông= nữa tích hai cạnh góc vuông. Diện tích hình chữ nhật= dài nhân rộng. Diện tích hình vuông= cạnh nhân cạnh. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: (Bắc Giang, 2015 – 2016) Nhà bạn Dũng được ông bà nội cho một mảnh đất hình chữ nhật. Khi bạn Nam đến nhà bạn Dũng chơi, Dũng đố Nam tìm ra kích thước của mảnh đất khi biết: mảnh đất có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng và nếu giảm chiều rộng đi 2 m, tăng chiều dài lên gấp đôi thì diễn tích mảnh đất đó sẽ tăng thêm 20 m2. Các em hãy giúp bạn Nam tìm ra chiều dài và chiều rộng của mảnh đất nhà bạn Dũng đó. Giải: Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m) (điều kiện: x > 2) Khi đó chiều dài của mảnh đất là: 4x (m) Diện tích mảnh đất nhà bạn Dũng là: 4x2 (m2) Diện tích mảnh đất sau khi giảm chiều rộng 2m và tăng chiều dài lên gấp đôi là: 8x.(x – 2) (m2) Theo bài ra ta có phương trình: 8x.(x – 2) – 4x2 = 20 Giải phương trình ta được x = 5 và x = -1. Đối chiếu với điều kiện ta được x = 5.
Vậy chiều rộng mảnh đất là 5 m và chiều dài mảnh đất là 20 m. Ví dụ 2: (Bắc Ninh, 2015 – 2016) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 m. Đường chéo của hình chữ nhật dài 10 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó. Gi ải: Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là a (m) ( 0 b = 14 – a thay vào (2) được : aa22 (14)100 aaa2219628100 228960aa2 aa2 14480 '49481 abloai 7168() abtm 7186() Vậy chiều dài của HCN là 8 m. Chiều rộng của HCN là 6 m. Ví dụ 3: (Yên Bái, 2016 – 2017) Từ những miếng tôn phẳng hình chữ nhật có chiều dài 1,5 dm và chiều rộng 1,4 dm. Người ta tạo nên mặt xung quanh của những chiếc hộp hình trụ. Trong hai cách làm, hỏi cách nào thì được chiếc hộp có thể tích lớn hơn. Gi ải: Cách 1: Chu vi đáy hình trụ là 1,5 dm, chiều cao hình trụ là h1 = 1,4 dm. 1,5 3 Hình trụ này có bán kính đáy r ( dm ), diện tích đáy 1 24
2 22 39 S11  r .() dm 4 16 9 63 Thể tích V S h .1,4 ( dm3 ) 1 1 1 16 80 Cách 2: Chu vi đáy hình trụ là 1,4 dm, chiều cao hình trụ là h2 = 1,5 dm. Hình trụ này có 2 1,4774949147 223 rdmSrdmVS22222 2 hdm();.();.1,5() 21010100100200 Ta có V1 > V2 nên cách 1 sẽ cho hình trụ có thể tích lớn hơn. Ví dụ 4: (Bình Phước, 2014 – 2015) Cho mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 360 m2. Nếu tăng chiều rộng 2 m và giảm chiều dài 6 m thì diện tích không thay đổi. Tính chu vi của mảnh vườn lúc ban đầu. Giải: Gọi x(m) là chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật (x >0) 360 Chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật : ()m x 360 Theo đề bài ta có pt: (x+2)( -6)=360 x -6x2-12x+720=0 x2+2x-120=0 x 10( TM )  xL 12( ) Ví dụ 5: (Cà Mau, 2014 – 2015) Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm 5 cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng 153 cm2. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu. Vớ i x=10=> =36.Chu vi của mảnh vườn : 2(10+36) = 92 (m2) Giải: Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu (x > 0) (cm)
Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: 3x (cm) Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: x + 5 (cm) Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: 3x + 5 (cm) Theo đề bài ta có phương trình: (x + 5)(3x + 5) = 153 32  3x2 + 20x – 128 = 0  x = 4 (thỏa mãn) hay x = 0 ( )L 3 Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: 12 cm và 4 cm. 3 Ví dụ 6: (Đà Nẵng, 2015 – 2016) Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng bằng chiều dài. Nếu chiều rộng 5 giảm đi 1cm và chiều dài giảm đi 4cm thì diện tích của nó bằng nửa diện tích ban đầu. Tính chu vi miếng bìa đó. Giải: Gọi chiều dài của hình chữ nhật đó là x (cm) (x > 4) 3 Vì chiều rộng bằng chiều dài nên chiều rộng của hình chữ nhật là x(cm) 5 Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là x2(cm2) Khi giảm chiều rộng 1cm và giảm chiều dài 4cm thì diện tích của hình chữ nhật mới là 3 (1)(4)()xxcm 2 5 Diện tích hình chữ nhật mới bằng một nửa diện tích ban đầu nên ta có phương trình: 31 3 (1)(4).xxx 2 52 5 317 xx2 40 105 xTM 10()  4 xL ()  3 3 Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu lần lượt là 10cm và .10=6cm 5 Chu vi miếng bìa là 2.(10 + 6) = 32 (cm)
Ví dụ 7: (Hà Nội, 2016 – 2017) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2. Nếu tăng chiều dài thêm 10 m và giảm chiều rộng 6 m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Giải: Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là x (x>0; đơn vị: m) 720 Vì diện tích của của mảnh vườn hình chữ nhật là 720 m2 nên chiều dài là: (m) x Sau khi thay đổi kích thước: Chiều rộng của của mảnh vườn hình chữ nhật là: x – 6 (m) Chiều dài của của mảnh vườn hình chữ nhật là: +10 (m) Vì diện tích của của mảnh vườn hình chữ nhật không đổi nên ta có phương trình: (x-6).( +10)=720 =>(x-6)(72+x)=72x x2-6x-432=0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=24 (thỏa mãn điều kiện); x2=-18 (loại) Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật đó là 24 m; chiều dài mảnh đất hình chữ nhật đó là: 720:24 = 30 (m). Ví dụ 8: (Hải Phòng, 2013 – 2014) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 3 m và diện tích bằng 270 m2. Tìm chiều dài, chiều rộng của khu vườn. Giải: Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là x (m) (x > 0) Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng 3 m nên chiều dài của hình chữ nhật là x+3 (m) Lại có diện tích hình chữ nhật là 270 m2 nên ta có phương trình: x(x+3)=270 x2+3x-270=0 (x-15)(x+18)=0 x = 15 (TMDK x > 0) hoặc x = -18 (loại vì x > 0) Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 15 m
chiều dài của hình chữ nhật là 15 + 3 = 18 (m) Ví dụ 9: (Hải Phòng, 2016 – 2017) Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 20 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 4 cm. Tính độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông đó. Giải: Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là x (cm) (x > 0) Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là x + 4 (cm) Theo Pitago, cạnh huyền của tam giác vuông đó dài là xx22 ( 4) (cm) Vì cạnh huyền bằng 20cm nên =20 xx22(4)400 283840xx2 x = 12 (tm) hoặc x = –16 (loại) Vậy độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là 12cm và 12 + 4 = 16cm. Ví dụ 10: (Hưng Yên, 2014 – 2015) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 12 m . Nếu tăng chiều dài thêm 12 m và chiều rộng thêm 2 m thì diện tích mảnh vườn đó tăng gấp đôi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó. Giải: 1) Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là x (m) ĐK : x > 0 Thì chiều dài của khu vườn hình chữ nhật là : x + 12 (m) Diện tích của khu vườn khi đó là: x(x + 12) ( m2) Nếu tăng chiều dài 12m và chiều rộng lên 2m thì : Chiều dài mới là : x + 12 + 12 = x + 24 (m) Chiều rộng mới là : x + 2 (m) Diện tích của hình chữ nhật mới là : ( x +2)( x + 24) (m2) Vì diện tích sau khi thay dổi gấp đôi diện tích ban đầu nên : (x +2)( x + 24) = 2x( x+ 12)  x2 -2x – 48 = 0
 ' ( 1)2 1( 48) 49 0 ' 7 x1 8   x2 6 Vậy chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật là 8(m), chiều dài của khu vườn là 20m. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài toán 1: (Lạng Sơn, 2013 – 2014) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5 m. Tính kích thước của mảnh đất, biết rằng diện tích mảnh đất là 150 m2 Giải: Gọi chiều rộng của mảnh đất là a (m), a > 0 Khi đó ta có chiều dài của mảnh đất là a + 5 (m). Theo bài ra ta có diện tích của mảnh đất là 150 m2 nên: a(a-15)=150=>a=10(tm) ; a=-15 (loại) . Vậy chiều rộng là 10m, chiều dài là 15 m. Bài toán 2: (Nghệ An, 2013 – 2014) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh vườn giảm 2 m2. Tính diện tích của mảnh vườn. Giải: Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh vườn ( 0<x<25) Chiều dài của mảnh vườn là: 50-x. Diện tích của mảnh vườn là: x(50-x). Nếu tăng chiều rộng 3m thì chiều rộng mới là x+3; giảm chiều dài 4 m thì chiều dài mới là 46- x. Diện tích mới của mảnh vườn là: (x+3)(46-x) Theo bài ra ta có phương trình: x(50-x)-(x+3)(46-x)=2 50x-x2-43x+x2-138=2 7x=140 x=20 (TM) Vậy diện tích của mảnh vườn là 20(50-20)=600 m2. Bài toán 3: (Ninh Bình, 2015 – 2016) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 8 m. Nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 90 m2. Tính diện tích thửa ruộng đã cho ban đầu.
Giải: Gọi hình chiếu của thửa ruộng đã cho ban đầu là x (đơn vị: m, đk: x > 0) Khi đó chiều dài của thửa ruộng đã cho ban đầu là x + 8 Diện tích của thửa ruộng đã cho ban đầu la x(x + 8) Chiều rộng của thửa ruộng khi tăng thêm 3m là x + 3. Chiều dài của thửa ruộng khi tăng thêm 2m là x + 10. Diện tích của thửa ruộng sau khi tăng chiều dài và chiều rộng là (x + 3)(x +10) Theo đề bài ta có phương trình: (x+3)(x+10) - x(x+8) = 90 xxx221330(x8)90 560x xTM12() Vậy diện tích của thửa ruộng ban đầu là 12(12+8)=240 (m2) Bài toán 4: (Sơn La, 2015 – 2016) Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m2. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5 m thì diện tích của thửa ruộng tăng thêm 5 m2. Giải: Gọi chiều dài ban đầu của thửa ruộng là a (m) (a > 0) Chiều rộng ban đầu của thửa ruộng là b (m) (0<b<a) Diện tích ban đầu của thửa ruộng là 100m2 nên ta có : a.b=100 (1) Chiều rộng của thửa ruộng sau khi tăng m là : b + 2 (m) Chiều dài của thửa ruộng sau khi giảm 5m là : a – 5 (m) Diện tích sau của thửa ruộng là :(b + 2) (a – 5) Diện tích sau của thửa ruộng tăng thêm m2 là 100 + 5 = 105 (m2) (b+2)(a-5)=105 (2) ab 100(1) Từ (1) và (2) ta có hpt: (ba 2)( 5) 105(2) Từ (2) ta có : ab-5b+2a-10=105 100-5b+2a-10=105 -5b+2a=15(*)
Bài toán 5: (Thái Bình, 2015 – 2016) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 168 m2. Nếu giảm chiều dài đi 1 m và tăng chiều rộng thêm 1 m thì mảnh vườn trở thành hình vuông. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn. 100 Từ (1) ta có: a thay vào (*) ta được : b 100 2.515 b b 5152000bb2 bb2 3400 =>a = 20. Vậy chiều dài là 20 m, chiều rộng là 5 m. (8)(5)0bb bL 8()  bTM 5() Giải: Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (m). ĐK x> 1. 168 Thì chiều rộng của mảnh vườn là (m) x Nếu giảm chiều dài đi 1 m và tăng chiều rộng thêm 1 m thì mảnh vườn có: -chiều dài là x-1(m) 168 -chiều rộng là 1 (m) x Vì mảnh vườn trở thành hình vuông lên ra có phương trình =x-1 168 x x22 x x 2 x 168 0 (xx 14)( 12) 0 x 14( TM )  xL 12( ) Vậy mảnh vườn có chiều dài là 14m,chiều rộng là 168:14=12 m Bài toán 6: (Vĩnh Phúc, 2015 – 2016) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 360 m2. Nếu tăng chiều dài thêm 1 m và tăng chiều rộng thêm 1 m thì diện tích của mảnh vườn sẽ là 400 m2. Xác định chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu.
Giải: Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là x (m); chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là y (m). (điều kiện: x > y > 0) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu là 360 m2. Khi tăng chiều dài thêm 1 m, tăng chiều rộng thêm 1 m thì diện tích của mảnh vườn mới là 400 m2. Tức là: Chiều dài: x +1 (m) ; chiều rộng: y + 1 (m) Khi đó diện tích của hình chữ nhật mới là: (x + 1)(y + 1) = 400  xy + x + y +1 = 400  x + y = 39 (2). Từ (1) và (2) ta có hệ: xy 39 xy 360 Theo Vi-et x, y là nghiệm của phương trình: X2 – 39X + 360 = 0. Giải phương trình ta được hai nghiệm: X1 = 15; X2 = 24 Vậy chiều dài hình chữ nhật ban đầu là 24 cm, chiều rộng là 15 cm. Bài toán 7: (Phổ thông năng khiếu, 2015 – 2016) Cho một tam giác vuông. Nếu ta tăng độ dài mỗi cạnh góc vuông thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 33 cm2; nếu giảm độ dài một cạnh góc vuông đi 2 cm và tăng độ dài cạnh góc còn lại thêm 1 cm thì diện tích giảm 2 cm2. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác vuông. Giải: Gọi độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông là x, y (cm) (giả sử bài toán giảm 2cm ở cạnh x) (x > 2, y > 0) 1 Diện tích tam giác vuông ban đầu là xy (cm2) 2 1 Khi tăng mỗi cạnh góc vuông thêm 3cm thì diện tích tam giác vuông là (3)(3)()xycm 2 2 Theo bài ra ta có phương trình: 11 (x 3)( y 3) xy 33(1) 22 Khi giảm cạnh x đi 2cm, tăng cạnh y thêm 1cm thì diện tích tam giác vuông 1 là (xy 2)( 1)(cm2 ) 2 Theo bài ra ta có phương trình:
11 xyxy (2)(1)2(2) 22 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 11 (3)(3)33xyxy 22 xyx 1912 11227 xyy xyxy (2)(1)2 22 (thỏa mãn điều kiện) Độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông là 12cm và 7cm ⇒ Độ dài cạnh huyền là 12719322 (cm). Bài toán 8: (Đề đề xuất THCS Khánh Hòa, 2013 – 2014) Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho. Giải: Gọi chiều dài của hình chữ nhật đã cho là x (m), với x > 4. x Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là: (m) 2 x x 2 => diện tích hình chữ nhật đã cho là: x. (m2) 2 2 Nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: x x 2 va 2 (m) 2 khi đó, diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa nên ta có phương trình: x 1 x 2 (x 2)( 2)  2 2 2 x 2 x 2 2x x 4 x 2 12x 16 0 2 4 => x1 6 2 5 (thoả mãn x>4); x2 6 2 5 (loại vì không thoả mãn x>4) Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là 6 2 5 (m). .
Bài toán 9: (Đồng Nai, 2012 – 2013) Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi bằng 198 m , diện tích bằng 2430 m2 . Tính chiều dài và chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật đã cho. Giải: Gọi x ( m ) là chiều dài thửa đất hình chữ nhật ( 49,5 4. x Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là: (m) 2 x x 2 => diện tích hình chữ nhật đã cho là: x. (m2) 2 2 Nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: x x 2 va 2 (m) 2 khi đó, diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa nên ta có phương trình:
x 1 x 2 (x 2)( 2)  2 2 2 x 2 x 2 2x x 4 x 2 12x 16 0 2 4 => x1 6 2 5 (thoả mãn x>4); x2 6 2 5 (loại vì không thoả mãn x>4) Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là 6 2 5 (m). Bài toán 11: (Hải Dương, 2012 – 2013) Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó. Giải : Gọi x (cm) là độ dài cạnh góc vuông ngắn. ĐK: x>0 Suy ra độ dài cạnh góc vuông thứ hai x+7 (cm) Cạnh huyền của tam giác vuông là xx22 (7) (cm) Chu vi tam giác vuông là 30 cm nên ta có phương trình: x22 ( x 7) x x 7 30 2x2 14 x 49 23 2 x 23 x 2 2 2xx 106 480 0 23 x 2 x 48   x 5 x 5 Vậy độ dài của các cạnh của tam giác vuông lần lượt là 5 (cm) và 12 (cm).
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài toán 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 200 m. Tính diện tích mảnh đất biết chiều dài gấp năm lần chiều rộng. Đáp số: Chiều dài: 75 cm. Chiều rộng: 25 cm. Bài toán 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45 m2. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Đáp số: Chiều dài: 12 m. Chiều rộng: 5 m. Bài toán 3:Cho tam giác vuông, biết rằng tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm thì diện tích tăng lên 17 cm2. Nếu giảm lần lượt các cạnh góc vuông một cạnh 3 cm, một cạnh 1 cm thì diện tích giảm đi 11 cm2. Tìm các cạnh của tam giác vuông đó. Đáp số: 5 ;1 0 ;5 2 (cm). Bài toán 4: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng ấy biết rằng khi chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi không đổi. Đáp số: 3750 m2 . Bài toán 5: Nhà ông Nam có một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 100 m. Ông định bán mảnh vườn đó với giá thị trường là 20 triệu đồng cho một mét vuông. Hãy xác định giá của mảnh vườn biết hai lần chiều dài mảnh vườn bằng ba lần chiều rộng, Đáp số: 12 tỷ đồng. Bài toán 6: Gia đình bà Hoa dự định trồng một số cây cao su trên mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 260 m. Cứ hai mét vuông bà Hoa sẽ trồng được 4 cây cao su. Tính số tiền mua cây mà bà Hoa cần phải trả biết giá mỗi cây là 25 nghìn đồng và chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng là 30 m. Đáp số: 200 triệu đồng. Bài toán 7: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất. Đáp số: Chiều dài 20 m. Chiều rộng 12 m. Bài toán 8: Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5 dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích 1500 dm3 . Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.
Đáp số: Chiều dài 40 dm . Chiều rộng 20 dm. Bài toán 9: Cạnh bé nhất của tam giác vuông có độ dài là 6 cm. cạnh huyền có độ dài lớn cạnh góc vuông còn lại 2 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó. Đáp số: 10 cm. Bài toán 10: Một hình chữ nhật có chu vi 300 cm. Nếu tăng chiều dài thêm 5 cm và giảm chiều rộng 5 cm thì diện tích tăng 275 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Đáp số: Chiều dài 100 cm. Chiều rộng 50 cm. Bài toán 11: Một tam giác có chiều cao bằng 1/4 cạnh đáy tương ứng. Nếu tăng chiều cao 2 m và giảm cạnh đáy 2 m thì diện tích tam giác tăng thêm 2,5 m2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu. Đáp số: Chiều cao 1,5 m. Cạnh đáy 6 m. Bài toán 12: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 4 m và tăng chiều dài thêm 2 m thì diện tích miếng đất tăng thêm 92 m2. Tính chu vi miếng đất. Đáp số: Chu vi 48 m. 1 Bài toán 13: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 450 m. Nếu giảm chiều dài đi lần 5 1 chiều dài cũ, tăng chiều rộng lên lần chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không đổi. 4 Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Đáp số: Chiều dài 125 m. Chiều rộng 100 m. Bài toán 14: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 m, diện tích 3500 m2. Tính độ dài hàng rào xung quanh vườn biết rằng người ta chừa ra 1 m để làm cổng ra vào. Đáp số: 239 m Bài toán 15: Một sân trường hình chữ nhật có diện tích 720 m2 . Nếu tăng chiều dài 6 m, giảm chiều rộng 4 m thì diện tích không đổi. Tính các kích thước của sân trường. Đáp số: Chiều dài 30 m. Chiều rộng 24 m. Bài toán 16: Một tấm sắt hình chữ nhật có chu vi 96 cm. Người ta cắt ra ở mỗi góc một hình vuông cạnh 4 cm rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 768 cm3. Tính kích thước của tấm sắt.
Đáp số: Chiều dài 32 cm. Chiều rộng 16cm. Bài toán 17: (Vĩnh Phúc, 2004-2005) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 5 m, diện tích bằng 300 m2, Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn đó. Đáp số: Chiều dài 20 m. Chiều rộng 15m. 3 Bài toán 18: (Vĩnh Phúc, 1999-2000) Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu tăng 4 chiều cao thêm 3 dm, giảm cạnh đáy đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2 .Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. Đáp số: Chiều cao 15 dm. Cạnh đáy 20 dm. 7 Bài toán 19: (TPHCM, 2005-2006) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng lần 4 chiều rộng và có diện tích bằng 1792 m2. Tính chu vi của khu vườn ấy. Đáp số: 175 m. Bài toán 20: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lân thì chu vi thửa ruộng vẫn không đổi.
LOẠI 2: BÀI TOÁN NĂNG SUẤT A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. Các bước giải: Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình: Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn. Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống nhất đơn vị). Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số. II. Các công thức liên quan: 1 1 N ; t ; CV N t . ; t N Trong đó : N : là năng suất làm việc t : là thời gian hoàn thành công việc. 1: là công việc cần thực hiện. CV : số công việc thực hiện trong thời gian t B. CÁC VÍ DỤ MẪU 12 Ví dụ 1. (Hà Nội, 2012 – 2013) Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì 5 xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? HƯỚNG DẪN GIẢI 12 Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK x 5 Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x 2 (giờ) 1 1 Mỗi giờ người thứ nhất làm được (cv), người thứ hai làm được (cv) x x 2
12 5 Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được 5 12 (cv) x 4 1 1 5 xx 25 2 Do đó ta có phương trình: 514240xx  6 xx 2 12 xx( 2) 12 x  5 Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ, người thứ hai làm xong công việc trong 4 2 6 giờ. Ví dụ 2. Một tổ sản xuất theo kế hoạch, mỗi ngày phải sản xuất 50 sản phẩm. Nhưng khi thực hiện tổ đã sản xuất được 57 sản phẩm một ngày. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch 1ngày và còn vượt mức 13sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ sản xuất bao nhiêu sản phẩm. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ sản xuất theo kế hoạch xN * x Số ngày mà tổ sản xuất theo kế hoạch là: (ngày) 50 Số sản phẩm thực tế tổ sản xuất được là: x 13 (sản phẩm) x 13 Số ngày mà tổ sản xuất theo thực tế là . 57 xx 13 Ta có phương trình: 1 5057 5750132850500xxx (nhận) Vậy theo kế hoạch tổ sản xuất 500 sản phẩm. Ví dụ 3. Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượt mức 15% , tổ II sản xuất vượt mức 20% . Do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x là số chi tiết máy của tổ sản xuất trong tháng đầu 0 x 800, x N Số chi tiết máy của tổ sản xuất trong tháng đầu là: 800 x (chi tiết).
15 Số chi tiết máy tổ I vượt mức ở tháng thứ hai là: x (chi tiết) 100 20 Số chi tiết máy tổ II vượt mức ở tháng thứ hai là: 800 x (chi tiết) 100 Số chi tiết máy cả hai tổ vượt mức trong tháng thứ hai là: 945 800 145 (chi tiết) 1520 Ta có phương trình: xx 800145 100100 15201600014500300xxx (nhận) Vậy trong tháng đầu tổ sản xuất được 300 chi tiết máy; Tổ sản xuất được 800 300 500 chi tiết máy. Ví dụ 4. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1giờ 20 phút đầy bể. Nếu mở vòi 2 thứ nhất chảy trong 10phút và vòi thứ hai chảy trong 12phút thì được bể. Hỏi 15 nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể? HƯỚNG DẪN GIẢI Đổi 120'80'h Gọi x (phút) là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể x 80 Gọi y (phút) là thời gian vòi chảy một mình đầy bể y 80 1 Trong 1phút vòi chảy được: (bể) x 1 Trong phút vòi chảy được: (bể) y 1 Trong phút cả hai vòi chảy được: (bể) 80 1 1 1 Ta có phương trình: 1 xy80 10 Trong 10phút vòi chảy được: (bể) x 12 Trong 12phút vòi chảy được: (bể) y 10 12 2 Ta có phương trình: 2 xy15
1 1 1 xy80 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 10 12 2 xy15 1 11 u uvu x 80120 x 120 Đặt ẩn phụ , ta được 1 21240 y v 1012uvv y 15240 Vậy vòi I chảy một mình thì sau 120 phút đầy bể. Vòi II chảy một mình thì sau 240 phút đầy bể. Ví dụ 5. Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày hoàn thành công việc được giảm đi 7 ngày. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi số công nhân của đội là x (người) xN * Sau khi tăng 5 người thì đội có x 5 (người). 420 Số ngày hoàn thành công việc với x người là (ngày) x 420 Số ngày hoàn thành công việc sau khi tăng 5 người là: (ngày) x 5 420420 Ta có phương trình: 7 xx 5 42054207573521000 xxx xxx 2 x 15 (nhận) hoặc x 20(loại). Vậy số công nhân của đội là 15người. Ví dụ 6. Một đội xe cần chở 12tấn hàng. Khi làm việc, do 2 xe cần điều đi nơi khác. Nên mỗi xe phải chở thêm 16tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe? HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi số xe của đội lúc đầu là x (xe) x N, x 12 120 Theo dự định mỗi xe phải chở (tấn hàng) x
Số xe trên thực tế là: x 2 (xe). 120 Thực tế mỗi xe phải chở: (tấn hàng) x 2 12 0 12 0 Ta có phương trình: 16 xx 2 12012021622150xxxxxx 2 x 5 (nhận) hoặc x 3(loại). Vậy lúc đầu đội có 5 xe. Ví dụ 7. Một xí nghiệp đóng giầy dự định kế hoạch hoàn thành trong 26 ngày. Do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày sản xuất vượt mức 6000 đôi giầy, do đó hoàn thành kế hoạch trong vòng 24 ngày và vượt kế hoạch 104000đôi. Hỏi số giầy đóng theo kế hoạch là bao nhiêu? HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x (đôi) là số giầy theo kế hoạch sản xuất trong một ngày x x N0, Số giầy thực tế sản xuất trong một ngày là: x 6000(đôi) Tổng số giầy xí nghiệp sản xuất theo kế hoạch là: 26x (đôi) Tổng số giầy xí nghiệp sản xuất thực tế là: 246000 x (đôi) Ta có phương trình: 2460002610400020000 xxx (đôi). Vậy số đôi giầy theo kế hoạch sản xuất là: 26.200052000 đôi. Ví dụ 8. Hai người thợ Thành và Long cùng làm chung một công việc theo dự định 6 ngày thì xong. Làm chung được 4 ngày thì Thành bị bệnh phải nghỉ, Long phải làm một mình trong 5 ngày nữa thì mới xong. Hỏi nếu làm một mình cả công việc thì mỗi người mất bao nhiêu ngày? HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x (ngày) là thời gian Thành hoàn thành công việc một mình x 6 Gọi y (ngày) là thời gian Long hoàn thành công việc một mình y 6 1 Trong 1ngày Thành làm được (công việc). x 1 Trong ngày Long làm được (công việc) y 1 Trong ngày cả hai người làm được (công việc) 6
1 1 1 Ta có phương trình: 1 xy6 4 Trong 4 ngày Thành làm được (công việc) x 9 Trong 9 ngày Long làm được (công việc) y 49 Ta có phương trình: 12 xy 1 1 1 xy6 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 49 1 xy 1 1 u 1 u x uv 10 x 10 Đặt ẩn phụ ta được: 6 (nhận) 1 115 y v 491uv v y 15 Vậy Thành làm một mình trong 10ngày. Long làm một mình trong 15ngày. Ví dụ 9. Dân số Hà Nội sau hai năm tăng từ 2000000 lên 2048288 người. Hỏi hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm? HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi số phần trăm dân số tăng mỗi năm của Hà Nội là xx %(0) Số dân năm đầu của Hà Nội tăng lên là 2000000.%20000xx (người) Sau năm đầu dân số của Hà Nội là: 2000000200002000100 xx (người) Năm thứ hai dân số Hà Nội tăng là: 20000 x 100 . x % 200 x x 100 Ta có phương trình: 20000100 xx x 2001002048288 6 1006 200x2 40000 x 48288 0 x (nhận) hoặc x (loại). 5 5 Vậy mỗi năm dân số Hà Nội tăng trung bình là 1,2%
Ví dụ 10. Hợp tác xã Long Khánh có hai kho gạo, kho thứ nhất chứa nhiều hơn kho thứ hai 100 tấn, nếu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì số thóc ở kho thứ 12 nhất bằng số gạo ở kho thứ hai. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu? 13 HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x (tấn) là số gạo ở kho thứ nhất x 100 . Số gạo ở kho thứ hai là x 100 (tấn) Số gạo kho thứ nhất sau khi chuyển 60 tấn là: x 60 (tấn) Số gạo kho thứ hai sau khi nhận tấn là: x 40(tấn) 12 Ta có phương trình: xx 60 40 13 1378012480300xxx Vậy lúc đầu kho thứ nhất có 300 tấn gạo, kho thứ hai có 200 tấn gạo. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài toán 1. (Lâm Đồng, 2011 – 2012). Hai đội công nhân cùng đào một con mương . Nếu họ cùng làm thì trong 8 giờ xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội A hoàn thành công việc nhanh hơn đội B 12 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ mới xong việc. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x ( giờ) là số giờ đội làm riêng để xong công việc ( x 0 ) Nên x 12 là số giờ đội làm riêng để xong công việc. 1 1 Mỗi giờ đội A làm ( công việc). mỗi giờ đội B làm ( công việc). x x 12 1 Mỗi giờ cả hai đội làm ( công việc). 8 111 2 x 12 Ta có phương trình : xx496 0  xx 12 8 x 8 Vậy số giờ đội A làm riêng để xong công việc là 12 giờ. Số giờ đội B làm riêng để xong công việc là 24 giờ. Bài toán 2. (Chuyên Hà Giang, 2015 – 2016). Hai người thợ làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 1 giờ thì họ làm được công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình 4 trong mấy giờ thì xong?
HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi số giờ để mỗi người làm một mình hết công việc đó lần lượt là xh và y h x y , , 0 . 1 1 Mỗi giờ, người thứ nhất và người thứ hai làm được: và (công việc). x y 1 1 1 1 1 Hai người làm hết công việc đó trong 16giờ nên: 16 1 (1) x y x y 16 1 Người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được công việc 4 1 1 1 nên3 . 6 . (2) xy4 111 11 xy16 x 24 x 24 Từ (1) và (2) có hệ: (thỏa mãn) 11148 11 y 3.6. xy4 y 48 Vậy thời gian để mỗi người làm một mình xong công việc là 24 giờ và 48 giờ. Bài toán 3. (Phổ Thông Năng Khiếu, 2015 – 2016). Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày 1/ 3 đến ngày 30 / 4 sẽ giải mỗi ngày 3 bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch được một thời gian, vào khoảng cuối tháng 3 (tháng 3 có 31 ngày) thì An bị bệnh, phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục, trong tuần đầu An chỉ giải được 16 bài; sau đó, An cố gắng giải 4 bài mỗi ngày và đến 30 / 4 thì An cũng hoàn thành kế hoạch đã định. Hỏi An phải nghỉ giải toán bao nhiêu ngày? HƯỚNG DẪN GIẢI Từ đến có 61 ngày. Số bài toán theo kế hoạch mà An phải giải là: 61.3 183 (bài). Gọi số ngày An giải toán theo đúng kế hoạch là x (ngày). Trong thời gian này, An giải 3x (bài) Số ngày An nghỉ giải toán là y (ngày). x,,130 yNxy ,(* bé nhất). Khi đó số ngày An giải mỗi ngày 4 bài là: 61 7 x y 54 x y (ngày) Trong thời gian này, An giải được: 4 54 xy (bài)
Vậy tổng số bài An đã giải là: 316454xxy (bài) Theo bài ra ta có phương trình: 3x 16 4(54 x y ) 183 xy 4 49 49 x y 4 49493019 x Vì 130 xy 444 y là số nguyên, bé nhất y 5 Vậy An phải nghỉ ít nhất 5 ngày. Bài toán 4. (Chuyên Trần Hưng Đạo, 2015 – 2016). Một bác nông dân đem trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: 1 Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và số trứng còn lại 8 Ngày thứ hai bán được 16 trứng và số trứng còn lại Ngày thứ ba bán được 24 trứng và số trứng còn lại Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng. nhưng thật thú vị, số trứng bán được trong mỗi ngày đều bằng nhua. Hỏi tổng số trứng bán được là bao nhiêu và bán hết trong bao nhiêu ngày? HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x là số trứng bán được ( xN * ) thì: x 8 Số trứng bán được trong ngày thứ nhất là : 8 8 x 8 x (168) Số trứng bán được trong ngày thứ hai là : 16 8 8 x 8 x (16 8 ) x 8 Theo đề toán ta có phương trình: 8 16 8 88
x 8 64812824392xxx . 8 Vậy tổng số trứng bán được là 392 trứng x 8 Số trứng bán được trong mỗi ngày là 8 5 6 8 392 Số ngày là 7 ngày. 56 Bài toán 5. (Quảng Ninh, 2015– 2016). Theo kế hoạch, một người công nhân phải hoàn thành 84 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm được nhiều hơn 2 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một giờ theo kế hoạch. Vì vậy, người đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân phải làm bao nhiêu sản phẩm ? HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x là số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo kế hoạch. xNx *,84 Số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo thực tế: x 2 84 Thời gian mà công nhân hoàn thành theo kế hoạch: ()h x 84 Thời gian mà công nhân hoàn thành theo thực tế: ()h x 2 Người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn định 1h nên ta có phương trình: 84 84 1 xx 2 842 xx 8422 x xxx 126 0 2 x 12 (nhận) hoặc x 14(loại) Vậy theo kế hoạch mỗi giờ người công nhân phải làm 12 sản phẩm. Bài toán 6. (Bình Định, 2014– 2015). Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau giờ, nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 7 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian để mỗi đội hoàn thành công việc là bao nhiêu?
HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x (giờ) là thời gian đội I làm xong công việc x 12 Thời gian đội thứ II làm xong công việc là: x 7 (giờ) Trong một giờ đội làm được 1 (công việc) x Trong một giờ đội làm được 1 (công việc) x 7 Trong một giờ cả hai đội làm được 1 (công việc) 12 1 1 1 Theo bài ra ta có phương trình: xx 7 12 12 x 7 12 x x x 7 x2 31 x 84 0 x 28 (nhận) hoặc x 3 (loại). Vậy thời gian đội làm xong công việc là 28 giờ, thời gian đội làm xong công việc là: 28 7 21(giờ). Bài toán 7. (Đồng Nai, 2013 – 2014). Một xưởng có kế hoạch in xong 6000 quyển sách giống nhau trong một thời gian quy định, biết số quyển sách in được trong một ngày là bằng nhau. Để hoàn thành sớm kế hoạch , mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn 300 quyển sách so với số quyển sách phải in trong kế hoạch, nên xưởng in xong 6000 quyển sách nói trên sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Tính số quyển sách xưởng in được trong 1 ngày theo kế hoạch. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x (quyển sác) là số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch, xN * Số ngày in theo kế hoạch: 6000 (ngày) x Số quyển sách xưởng in được thực tế trong mỗi ngày: x 300 (quyển sách) Số ngày in thực tế: 6000 ( ngày) x 300 6000 6000 Theo đề bài ta có phương trình: 1 xx 300
xxx2 300180000001200 (nhận) hoặc x 15000 (loại). Vậy số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch là: 1200 (quyển sách). Bài toán 8. (Hà Nội, 2014 – 2015). Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x (sp) là sản phẩm xưởng sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch x 0 Số ngày theo kế hoạch là: 1100 (ngày) x Số ngày thực tế là 1100 (ngày) x 5 11001100 Ta có phương trình: 2 xx 5 1100511002521055000 xxx xxx 2 x 50 (nhận) hoặc x 55(loại). Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất là 55 sản phẩm. Bài toán 9. (Hải Phòng, 2015 – 2016). Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần (mỗi tuần trồng được diện tích bằng nhau). Thực tế, mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức 5 ha so với dự định nên cuối cùng đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn dự định một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng? HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi diện tích rừng mà mỗi tuần lâm trường dự định trồng là x ha (Điều kiện: x 0 ) 75 Theo dự định, thời gian trồng hết 75 ha rừng là: (tuần) x Vì mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức 5 ha so với dự định nên thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được: x 5 (ha)
80 Do đó thời gian thực tế lâm trường trồng hết 80 ha rừng là: (tuần) x 5 Vì thực tế, lâm trường trồng xong sớm so với dự định là 1tuần nên ta có phương trình: 75 80 1 xx 5 755805 xxxx xx2 10 375 0 x 15 (nhận) hoặc x 25(loại) Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng 15ha rừng. Bài toán 10. (Kiên Giang, 2015 – 2016). Một tổ công nhân phải may xong 420 bộ đồng phục trong khoảng thời gian nhất định. Nếu thêm 3 công nhân vào tổ thì mỗi người sẽ may ít hơn lúc ban đầu là 7 bộ đồng phục. Tính số công nhân có trong tổ lúc đầu. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi số công nhân của tổ lúc đầu là x (công nhân) xN * Số công nhân của tổ lúc sau là: x 3 (công nhân). 420 Số bộ đồng phục mỗi người phải may lúc đầu là: (bộ). x 420 Số bộ đồng phục mỗi người phải may lúc sau là (bộ). x 3 420420 Ta có phương trình: 7 . xx 3 xxx2 3180012 (nhận) hoặc x 15(loại). Vậy số công nhân của tổ lúc đầu là 12 người. Bài toán 11. (Quãng Ngãi, 2013 – 2014). Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm? HƯỚNG DẪN GIẢI
Gọi số sản phẩm tổ đã thực hiện trong mỗi ngày là x (sản phẩm). ĐK: x x Z10 , Số sản phẩm tổ dự định làm trong mỗi ngày là: x 10 (sản phẩm). 240 Thời gian tổ hoàn thành công việc trong thực tế là: (ngày) x 240 Thời gian tổ hoàn thành công việc theo dự định là: (ngày) x 10 Vì tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày, ta có phương trình: 2 4 0 2 4 0 2 xx 10 120120 2 1101200040xxx (nhận) hoặc x 30(loại). xx 10 Vậy số sản phẩm tổ đã thực hiện trong mỗi ngày là 40 sản phẩm. Bài toán 12. (Quãng Ngãi, 2015 – 2016). Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường. Nếu mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu? HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi đội thứ nhất làm một mình xong công việc trong x (giờ) Đội thứ hai làm một mình xong công việc y (giờ) xy,4 Ta có phương trình: yx 61 1 1 giờ đội thứ nhất làm được (công việc) x 1 giờ đội thứ hai làm được (công việc) y 11 giờ cả hai đội làm được (công việc) xy
1 1 1 Ta có (2) xy4 yx 6 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1 xy4 yxyxyx 666 22 44442462240xyxyxxxxxx x 6 x 4 (nhận) hoặc (loại). y 12 y 2 Vậy đội thứ nhất làm trong 6 giờ, đội thứ hai làm trong 12giờ. Bài toán 13. (Quảng Ninh, 2013 – 2014). Hai người thợ cùng làm một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được một phần tư công việc. Hỏi mỗi người thợ làm một mình thì trong bao nhiêu giờ mới xong công việc đó. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi thời gian người thợ thứ nhất làm một mình xong việc là x (giờ) x 16 Thời gian người thợ thứ hai làm một mình xong việc là: y (giờ) y 16 1 Trong 1 giờ người thợ thứ nhất làm được: (công việc). x 3 Trong 3 giờ người thợ thứ nhất làm được (công việc) x 1 Trong 1 giờ người thợ thứ hai làm được (công việc). y 6 Trong 6 giờ người thợ thứ hai làm được (công việc). y 1 1 1 Hai người cùng làm trong 16 giờ thì xong việc, Ta có phương trình: 1 xy16
Người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì được một phần tư công việc, ta có 3 6 1 phương trình: 2 xy4 3 6 1 xy4 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 1 1 1 xy16 1 11 u 36u v u x 4 24 x 24 Đặt ẩn phụ , ta được: (nhận) 1 11y 48 v u v v y 16 48 Vậy thời gian người thợ thứ nhất làm một mình xong việc là 24 (giờ). Thời gian người thợ thứ hai làm một mình xong việc là 48 (giờ). Bài toán 14. (Tây Ninh, 2014 – 2015). Lớp 9A dự định trồng 420 cây xanh. Đến ngày thực hiện có 7 bạn không tham gia do được triệu tập học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 3 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi số học sinh lớp là x (học sinh), xNx ,7 420 Theo kế hoạch, mỗi em phải trồng (cây) x Trên thực tế số học sinh còn lại là: x 7 (học sinh). 420 Trên thực tế, mỗi em phải trồng (cây) x 7 Do lượng cây mỗi em trồng trên thực tế hơn 3 cây so với kế hoạch nên ta có phương trình : 420 420 3 xx 7 420x 420 x 7 3 x x 7 x2 7 x 980 0 x 35 (nhận) hoặc x 28 (loại). Vậy lớp có 35 học sinh.
Bài toán 15. (Tây Ninh, 2015 – 2016). Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 30 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì được bổ sung thêm 2 xe nên mỗi xe chở t hơn 0,5 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc xe? HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi số xe trong đoàn xe lúc đầu là x (chiếc), xN * . Số xe trong đoàn xe khi bổ sung thêm là: x 2 (chiếc) . 30 Lúc đầu, lượng hàng mỗi xe phải chở là (tấn) x 30 Lúc thêm 2 xe, lượng hàng mỗi xe phải chở là (tấn) x 2 1 Do bổ sung thêm 2 xe thì mỗi xe chở ít hơn 0 ,5 tấn hàng nên ta có phương trình: 2 30 30 1 xx 22 6026022120010 xxx xxxx 2 (nhận) hoặc x 12(loại). Vậy lúc đầu đoàn xe có 10chiếc. Bài toán 16. (Hải Dương, 2016 – 2017). Một đội xe cần chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc, đội được bổ sung thêm 3 chiếc nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn hàng so với dự định. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe, biết khối lượng hàng chở trên mỗi xe như nhau. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x (chiếc) là số xe ban đầu của đội (ĐK: xN * ) Số xe lúc sau: x 3 (chiếc) 36 Số tấn hàng được chở trên mỗi xe lúc đầu: (tấn) x 36 Số tấn hàng được chở trên mỗi xe lúc sau: (tấn) x 3 36 36 Theo đề bài ta có phương trình: 1. xx 3 36 x 3 36 x x x 3 x2 3 x 108 0 x 9 (nhận) hoặc (loại)
Vậy lúc đầu đội có 9 chiếc xe. Bài toán 17. (Bà Rịa – Vũng Tàu, 2014 – 2015). Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đội tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mối tàu chở thêm hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x (chiếc) là số tàu dự định của đội x N x *, 1 4 Số tàu tham gia vận chuyển là: x 1 (chiếc) 280 Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định: (tấn) x 280 Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo thực tế : (tấn) x 1 280280 Theo đề bài ta có pt: 2 xx 1 2801286214140010 xxx xxxx 2 (nhận) hoặc x 14(loại). Vậy đội tàu lúc đầu là có 10 chiếc Bài toán 18. (Cần Thơ, 2015 – 2016). Nhân ngày quốc tế thiếu nhi, 13 HS ( nam và nữ) tham gia gói 80 phần quà cho các em thiếu nhi. Biết tổng số quà mà HS nam gói được bằng tổng số quà mà HS nữ gói được. Số quà mỗi bạn nam gói nhiều hơn số quà mà mỗi bạn nữ gói là 3 phần. Tính số HS nam và nữ. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x (HS) là số HS nam, 013, xxN Số HS nữ là: 13 x ( HS) 40 Số phần quà mà mỗi HS Nam gói được: (phần) x 40 Số phần quà mà mỗi HS nữ gói được: (phần) 13 x
40 40 Theo bài toán ta có phương trình: 3 xx13 104 40 1340313311952005xxxxxxx 2 (nhận) hoặc x (loại). 3 Vậy số HS nam là 5 , số HS nữ là 8 . Bài toán 19. (Huế, 2015 – 2016). Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc do có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,8 tấn hàng so với dự định ban đầu. Biết khối lượng hàng mỗi xe chuyên chở như nhau, hỏi đoàn xe ban đầu có bao nhiêu chiếc? HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi số chiếc xe ban đầu của đoàn xe vận tải là x (chiếc) x x N5, Số chiếc xe thực tế của đòan xe vận tải là: x 5 (chiếc) 120 Khối lượng hàng mỗi xe phải chở ban đầu là tấn x 120 Khối lượng hàng mỗi xe phải chở thực tế là tấn x 5 120 4 120 Theo giả thiết ta có phương trình: xx 55 600x 4 x x 5 600 x 5 4 x2 20 x 3000 0 x 30(nhận) hoặc x 25(loại). Vậy số chiếc xe ban đầu của đoàn xe vận tải là 30 chiếc. Bài toán 20. (Đồng Nai, 2015 – 2016). Hai công nhân cùng làm chung một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ 20 phút và người thứ hai làm trong 10 giờ thì xong công việc. Tính thời gian mỗi công nhân khi làm riêng xong công việc. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi x (h) là thời gian người thứ nhất làm 1 mình xong công việc ( x 6 ). 1 Trong 1 h người thứ nhất làm được (cv) x Gọi y (h) là thời gian người thứ hai làm mình xong công việc ( y 6 ).
1 Trong 1h người thứ hai làm được (cv) y 10 1 Trong 3 giờ 20 phút người thứ nhất làm được . (cv) 3 x 1 Trong 10h người thứ hai làm được 10. (cv) y 111 xy6 Ta có hệ phương trình 1011   101 3 xy 1 11 u uvu x 610 x 10 Đặt ẩn phụ , ta được: (nhận) 1 10115 y v uvv 101 y 315 Vậy người thứ nhất làm một mình trong 10giờ thì xong công việc. Người thứ hai làm một mình trong 15giờ thì xong công việc.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài toán 1. Một xí nghiệp sản xuất được 120 sản phẩm loại I và sản phẩm loại II trong thời gian 7 giờ. Mỗi giờ sản xuất được số sản phẩm loại ít hơn số sản phẩm loại là 10 sản phẩm. Hỏi mỗi giờ xí nghiệp sản xuất được bao nhiêu sản phẩm mỗi loại. Đáp số: 30,40 sản phẩm Bài toán 2. Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc, biết rằng các xe chở khối lượng hàng bằng nhau. Đáp số: 12 chiếc Bài toán 3. Một đội xe nhận vận chuyển 96 tấn hàng. Nhưng khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa, nên mỗi xe chở ít hơn lúc đầu 1,6 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc. Đáp số: 12 (chiếc). Bài toán 4. Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Đáp số: 400,500 chi tiết máy Bài toán 5. Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn thời gian người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc. Đáp số : 6 giờ và 12giờ. Bài toán 6. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứ không có nước thì sau 1giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15phút rồi khóa lại và mở vòi 1 thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ được bề. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau 5 bao lâu sẽ đầy bể? Đáp số: 3 giờ 45 phút và 2 giờ 30 phút Bài toán 7. Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 3000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu học thực hiện đúng mức đề ra, những ngày còn lại học đã làm vượt mức mỗi ngày 10sản phẩm, nên đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Đáp số: 100 sản phẩm
Bài toán 8. Một tổ sản xuất dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã quy định, nhưng công ty lại giao thêm 8 sản phẩm. Vì vậy, tổ sản xuất phải làm mỗi giờ thêm 1 sản phẩm, nhưng thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm 12phút so với dự định.Tính năng suất dự định của tổ sản xuất, biết mỗi giờ tổ sản xuất không làm quá 20 sản phẩm. Đáp số: 15sản phẩm. Bài toán 9. Một đội dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha, vì vậy đội không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch. Đáp số: 360 ha. Bài toán 10. Hải và Sơn cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu hải làm 3 trong 5 giờ và Sơn làm trong 6 giờ thì cả hai làm được khối lượng công việc. 4 Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong? 44 44 Đáp số: giờ và giờ 3 3 Bài toán 11. Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa nước trong một thời gian 1 quy định thì mỗi giờ phải bơm được 10m3 . Sau khi bơm được dung dịch bể 3 chứa, người công nhân vận hành cho máy bơm công suất hơn hơn mỗi giờ bơm được 15m3 . Do đó bể được bơm đầy trước 48 phút so với thời gian quy định. Tính dung tích của bể chứa. Đáp số: 36m3 Bài toán 12. Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10giờ . Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc. Đáp số: 15giờ và 10giờ Bài toán 13. Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc hoàn thành sau 1giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nữa công việc thì thời gian hoàn thành là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian? Đáp số: 4 giờ và 2 giờ Bài toán 14. Ba ô tô chở 100 tấn hàng tổng cộng hết 40 chuyến. Số chuyến thứ nhất chỡ gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai. Mỗi chuyến, xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chở 2 ,5tấn, xe thứ ba chở 3 tấn. Hỏi mỗi xe chở bao nhiêu chuyến? Đáp số: 15chuyến, 10chuyến, chuyến.
Bài toán 15. Người ta dự kiến trồng 300 cây trong một thời gian đã quy định. Do điều kiện thuận lợi nên mỗi ngày trồng được nhiều hơn 5 cây so với dự kiến, vì vậy đã trồng xong 300 cây trước 3 ngày. Hỏi dự kiến ban đầu mỗi ngày trồng bao nhiêu cây? Đáp số: 20 cây. Bài toán 16. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21% .Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao cho mỗi tổ theo kế hoạch là bao nhiêu? Đáp số: 200 và 400 sản phẩm Bài toán 17. Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ I làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ II là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể? Đáp số: 3 giờ 50 phút và 5 giờ 50 phút Bài toán 18. Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tích lịch sử. Người ta dự tính: nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ là hai chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15chỗ ngồi. Tính số xe lớn phải dùng nếu được huy động. Đáp số: 6 chiếc 1 Bài toán 19. Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày được cánh đồng 6 trong 15giờ. Nếu máy thứ nhất cày 12giờ, máy thứ hai cày trong 20 giờ thì cả hai máy cày được 20% cánh đồng. Hỏi nếu mỗi máy làm việc riêng thì sẽ cày xong cánh đồng trong bao lâu? Đáp số: 360 giờ và 120 giờ Bài toán 20. Hai đội thủy lợi cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm thì công việc hoàn thành trong 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu? Đáp số: 15giờ và 10giờ
LOẠI 3: BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI CHUYỂN ĐỘNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. Các bước giải: Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình : – Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn. – Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống nhất đơn vị). – Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán tìm kết quả thích hợp, trả lời, nên rõ đơn vị của đáp số. II. Các công thức liên quan: Quãng đường = Vận tốc . Thời gian vxuôi = vthực + vnước vngược = vthực – vnước vxuôi – vngược = 2vnước B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: (Thừa Thiên Huế, 2014 – 2015) Một ôtô đi trên quãng đường dài 400 km . Khi đi được 180 km , ôtô tăng vận tốc thêm 10/kmh đi trên quãng đường còn lại.Tính vận tốc ban đầu của ôtô. Biết thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ. (Giả thiết ô tô có vẫn tốc không đổi trên mỗi đoạn đường) Giải: Theo bài ra ta có: AC 180 km, CB 400 - 180 220 km. Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x ( km/h ) ( x 0 ). Vận tốc của ô tô trên quãng đường CB là x 10 180 Thời gian ô tô đi từ A đến C là: (h) x 220 Thời gian ô tô đi từ C đến B là: (h) x 10
Theo giả thiết ta có phương trình: 18 0 22 0 8 xx 10 180(10)2208(10)xxxx 1801800220880xxxx 2 832018000xx2 xx2 402250 Giải phương trình này ta được x1 45 (thỏa mãn), x2 - 5 (loại) Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 45 km/h Ví dụ 2: (Nghệ An, 2014 – 2015) Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 180km , khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 10 /k m h . Tính vận tốc của mỗi xe Giải: Gọi vận tốc của ô tô là x(km/h) x (km/ h) vân tốc của xe máy là y km/h ( Đk: xyx 0, 10 ) Ta có phương trình : xy 10 (1) Sau 2 giờ ô tô đi được quãng đường là 2 xkm Sau 2 giờ xe máy đi được quãng đường là: 2 ykm thì chúng gặp nhau, ta có phương trình: 2 xy 2 180 hay xy 90 (2) Từ (1), (2) ta có hệ phương trình : x-y=10x=50 (TM) x+y=90y=40 Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h và vận tốc của xe máy là: 40 km/h Ví dụ 3: (Hải Phòng, 2014 – 2015) Một ca nô chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 7 giờ 30 phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết quãng đường sông AB dài 54 km và vận tốc dòng nước là 3 km/h Giải: 15 Đổi 7 giờ 30 phút = (h) 2 Gọi vận tốc thực của ca nô là xx km/h , 3
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là: x 3 km /h Vận tốc của ca nô khi nược dòng sông từ B về A là: x 3 km /h 54 Thời gian của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là: h x 3 54 Thời gian của ca nô khi ngược dòng sông từ B về A là: h x 3 Do ca nô chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 7 giờ 30 54 54 15 phút nên ta có phương trình: + = x 3 x 3 2 Ta có: 545415 xx 332 xx 3315 54() x2 92 25x 2 x 936 72545xx2 572450xx2 x 15  3 x  5 Ta thấy chỉ có x 15 thỏa mãn điều kiện x 3 . Vậy vận tốc thực của ca nô là 15 km/h Ví dụ 4: Một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h . Sau 2 giờ 30 phút thì một ôtô taxi cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe ôtô tải.Tính độ dài quãng đường AB. Gọi độ dài quãmg đường AB là xx km ; 0 x Thời gian xe tải đi từ A đến B là h 40 x Thời gian xe Taxi đi từ A đến B là : h 60 5 Do xe tải xuất phát trước 2h30 phút = nên ta có pt 2
xx5 4 0 6 0 2 Giải phương trình tìm được x 300 Vậy độ dài quãng đường AB là 300 km Ví dụ 5: Xe máy thứ nhất đi trên quãng đường từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ 20 phút. Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai 3 km . Tính vận tốc của mỗi xe máy và quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình? Giải: Gọi vận tốc x thứ nhất là x k m /h , đk: x 3; Vận tốc của xe tứ hai là x - 3 km /h . 10 10 Trong 3 giờ 20 phút (= giờ) xe máy thứ nhất đi được x( k m ) 3 3 11 11 Trong 3 giờ 40 phú (= giờ) xe máy thứ nhất đi được (x - 3 ) ( k m ) 3 3 Đó là quãng đường tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phương trình 1011 xxx (3)33 (thoả mãn điều kiện bài toán). 33 Vậy vận tốc của xe máy thứ nhất là 33 km/h . Vận tốc của xe máy thứ hai là 30 km/h . Quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình là 110 km . Ví dụ 6: (Tiền Giang, 2015 – 2016) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km . Một canô đi xuôi dòng từ A đến B, rối đi ngược dòng trở về A ngay. Thời gian kể từ lúc đi cho đến lúc về là 5 giờ 20 phút. Tính vận tốc của dòng nước, biết vận tốc thực của canô là 12 km/h Giải: Gọi x km/h là vận tốc dòng nước (ĐK: 0 12x ) Vận tốc của cano lúc đi là: 12 km/hx Vận tốc của cano lúc về là: 12 x km/h 16 Tổng thời gian cả đi lẫn về là: 5h20’ h 3 Theo đề bài, ta có phương trình:
303016 12123 xx 3.30(12)3.30(12)16(12)(12) xxxx 3(12)(12)3(12)(12)3(12)(12) xxxxxx 90(12)90(12x)16(144x)x 2 161440x2 x2 9 x 3 x - 3 (loại) hoặc x 3 (nhận) Vậy vận tốc của dòng nước là 3 km/h Ví dụ 7: (Hà Nội, 2013 – 2014) Quãng đường từ A đến B dài 90 km . Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h . Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B Giải: Đặt x km/h là vận tốc đi từ A đến B, vậy vận tốc đi từ B đến A là x 9 km/h Do giả thiết ta có: 90901 5 xx 92 10101 xx 92 xxx(9)20(29) xx2 311800 x 36 (Do x>0) Vậy vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là 36 km/h Ví dụ 8: Đoạn đường AB dài 180 km . Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B xe máy gặp ô tô tại C cách A 80 km . Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km . Tính vận tốc của ô tô và xe máy? Giải Gọi vận tốc của ô tô là x km/h , đk: x 0 . Gọi vận tốc của xe máylà y km/h , đk: y 0 . 80 Thời gian xe máy đi để gặp ô tô là (giờ) y 100 Quãng đường ô tô đi là 100 km nên thời gian ô tô đi là (giờ) y
1 0 0 8 0 ta có phương trình (1) xy 60 Quãng đường xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là (giờ) y 120 Quãng đường ô tô đi là 120 km nên thời gian ô tô đi là (giờ) y 9 Vì ô tô đi trước xe máy 54 phút = nên ta có phương trình 10 120609 (2) . xy10 100 80 100 80 0 x y x y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 120 60 9 40 20 3 x y10 x y 10 10080 6012 0 xy x 10 x 50 (TM ) 160801240 10080 y 0 xy10 xy Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h. Vận tốc của xe máy là 40 km/h. Ví dụ 9: (Hưng Yên, 2015 – 2016) Một tàu hoả đi từ A đến B với quãng đường 40 km . Khi đi đến B, tàu dừng lại 20 phút rồi đi tiếp 30 km nữa để đến C với vận tốc lớn hơn vận tốc khi đi từ A đến B là 5 km/h . Tính vận tốc của tàu hoả khi đi trên quãng đường AB, biết thời gian kể từ khi tàu hoả xuất phát từ A đến khi tới C hết tất cả 2 giờ Giải: Gọi vận tốc tàu hoả khi đi trên quãng đường AB là xx km/h;0 40 Thời gian tàu hoả đi hết quãng đường AB là (giờ) x 30 Thời gian tàu hoả đi hết quãng đường BC là (giờ) x+5 40301 Theo bài ta có phương trình 2 xx 53 Biến đổi pt ta được x2 -37x-120=0 x=40(TM)  x=-3(L)
Vận tốc của tàu hoả khi đi trên quãng đường AB là 40 km/h . Ví dụ 10: Trên quãng đường AB, một xe máy đi từ A đến B cùng lúc đó một ô tô đi từ B đến A, sau 4 giờ 2 xe gặp nhau và tiếp tục đi thì xe ô tô đến A sớm hơn xe máy đến B là 6 giờ. Tính thời gian mỗi xe đi hết quãng đường AB. Gọi x (giờ) là thời gian ô tô đi hết AB x 4 Thời gian xe máy đi hết AB là x 6 (giờ) 1 Trong 1 giờ ô tô đi được quãng đường x 1 Trong 1 giờ xe máy đi được quãng đường x 6 1 Trong 1 giờ 2 xe đi được quãng đường 4 1 1 1 xx 64 Giải phương trình được x 6 Vậy thời gian ô tô đi hết AB là 6 giờ, xe máy đi hết AB là x 6 12 giờ C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài tập 1: (Nghệ An, 2012 – 2013) Quãng đường AB dài 156 km . Một người đi xe máy tử A, một người đi xe đạp từ B. Hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ gặp nhau. Biết rằng vận tốc của người đi xe máy nhanh hơn vận tốc của người đi xe đạp là 28 km/h . Tính vận tốc của mỗi xe? Giải: Gọi vân tốc của xe đạp là x km/h , điều kiện x 0 Thì vận tốc của xe máy là x 28 km/h Trong 3 giờ: + Xe đạp đi được quãng đường 3x km , + Xe máy đi được quãng đường 3 x28 km , theo bài ra ta có phương trình: 3xx 3 28 156 Giải tìm x 12 (TMĐK)
Trả lời: Vận tốc của xe đạp là 12 km/h và vận tốc của xe máy là 12 28 40 km/h Bài tập 2: (Trà Vinh, 2015 – 2016) Một ca nô chạy xuôi dòng với quãng đường 42km , rồi sau đó ngược dòng trở lại 20 km hết tổng cộng 5h . Biến vận tốc của dòng nước chảy là 2 km/h . Tính vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng Giải: Gọi vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng là xx km/h 0 Vì vận tốc nước là 2 km/h nên vận tốc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là x 2 và x - 2 km /h Suy ra xx 2 02 42 Thời gian để ca nô đi hết 42 km xuôi dòng là ( h) x 2 20 Thời gian để ca nô đi hết 20 km ngược dòng là ( h) x 2 Tổng thời gian là 5h do đó 4220 5 xx 22 42(2)20(2)xx 5 (2)(2)xx 6244x 5 x2 4 562240xx2 x 12(TM)  x 0,4(L) Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h Bài tập 3: (Ninh Bình, 2014 – 2015) Một xe máy đi từ A đến B. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng đi từ A đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h . Biết rằng ô tô và xe máy đến B cùng một lúc. Tính vận tốc của mỗi xe, với giả thiết quãng đường AB dài 200km Giải: Gọi vận tốc của xe máy và ô tô lần lượt là x và yx km/hy , 0 Vận tốc ô tô lớn hơn xe máy 10km/h 10yx 1 AB 200 Thời gian xe máy đi từ A đến B là (h) xx
AB 200 Thời gian ô tô đi từ A đến B là ( h ) yy Vì ô tô xuất phát sau xe máy 1h mà 2 xe đến nơi cùng lúc, do đó thời gian đi của ô tô ít hơn xe máy là 1h. 200200 1(2) xy Từ (1) suy ra yx 10 Thay vào (2) ta được: 200200 1(2) xx 10 200(10)200xx 1 ⇔ x = 40 (thỏa mãn) hoặc x = –50 (loại) ⇒ y = x + 10 = xx(10) 200200020010xxxx 2 xx2 1020000 50. Vậy vận tốc của xe máy và ô tô lần lượt là 40km/h và 50km/h . Bài tập 4: (Tiền Giang, 2014 – 2015) Trên quãng đường AB, một xe máy đi từ A đến B cùng lúc đó một xe ôtô đi từ B đến A, sau 4 giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi thì xe ôtô đến A sớm hơn xe máy đến B là 6 giờ. Tính thời gian mỗi xe đi hết quãng đường AB Giải: Gọi x h là thời gian xe máy đi hết quãng đường AB x 4 y h là thời gian ôtô đi hết quãng đường AB y 4 1 Trong 1 giờ xe máy đi được: (quãng đường) x 1 Trong 1 giờ xe ô tô đi được: (quãng đường) y 1 1 1 Trong 1giờ hai xe đi được: (1) xy4 Mà thời gian xe ô tô về đến A sớm hơn xe máy về đến B là 6 giờ nên: xy 6 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1 1 1 1 xx2 14 24 0 xy4 xx 64 (DK : x 6) y 26 xy 6 yx 6
Giải hệ phương trình trên được: x 12 (thỏa mãn); hoặc x 2 (loại) Với x 12 , tìm được y 6 . Do đó, nghiệm của hệ là 12 ;6 Vậy thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là 12 giờ, ôtô đi hết quãng đường AB là 6 giờ Bài tập 5: (Cần Thơ, 2012–2013) Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ô tô Giải: Goị x k m /h là vận tốc dư ̣ đinh:̣ x 0 120 Thờ i gian dư ̣ đinḥ : ( h) x Sau 1 h ô tô đi đươc̣ x km nên quang̃ đườ ng còn laị 120 kmx Vt lúc sau: x 6 km /h 1120120 x Pt 1 x 48 (TMĐK) 66xx Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 48km/h Bài tập 6: (Hà Nội, 2015 – 2016) Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km , sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/h . Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ Giải: Gọi t1 là thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng nước. Gọi t2 là thời gian tàu tuần tra chạy xuôi dòng nước. Gọi V là vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên. Ta có: 6048 VV 2;2 tt12 604860 48 224(1) tttt1212 tt12 1(2) 60 48 60 48 44 (1);(2) t1 t 2 t 1 t 2 t1 t 2 11 t 1 t 2
6048 2 4416480tt22 1 tt22 tL2 6()  tTM2 2()V22(km/ h) Bài tập 7: (Hải Dương, 2015 – 2016) Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 60km . Hai người đi xe đạp cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B với vận tốc bằng nhau. Sau khi đi được 1 giờ thì xe của người thứ nhất bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, còn người thứ hai tiếp tục đi với vận tốc ban đầu. Sau khi xe sửa xong, người thứ nhất đi với vận tốc nhanh hơn trước 4km/h nên đã đến B cùng lúc với người thứ hai. Tính vận tốc hai người đi lúc đầu Giải: Gọi vận tốc ban đầu của hai người là x km/h . Theo đề bài ta có pt: 60160 xx xx34 Giải và chọn được x 20 Vậy vận tốc hai người đi lúc đầu là 20 km/h Bài tập 8: (Hải Dương, 2012–2013) Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ một xe máy đi từ A để tới B Lúc 6 giờ 30 phút cùng ngày, một ô tô cũng đi từ A để tới B với vận t 6 ốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h (Hai xe chạy trên cùng một con đường đã cho). Hai xe nói trên đều đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe Giải: 1 Xe máy đi trước ô tô thời gian là : 6 giờ 30 phút – 6 giờ = 30 phút = h . 2 Gọi vận tốc của xe máy là xx km/h 0 Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc của ô tô là x 15 km/h 90 Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là : ( h) x 90 Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là : (h) x 15 1 Do xe máy đi trước ô tô giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình : 2
90190 xx215 90.2.(15)(15)90.2xxxx 180270015180xxxx 2 xx2 1527000 Ta có : 154.(2700)1102502 11025105 15105 x 60 ( không thỏa mãn điều kiện ) 1 2 15105 x 45 ( thỏa mãn điều kiện ) 2 2 Vậy vận tốc của xe máy là 45 km /h , vận tốc của ô tô là 45 15 60 km/h Bài tập 9: (Tuyên Quang, 2011 – 2012) Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B đến A hết tất cả 4 giờ. Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/h Giải: Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là xx km/h 4 Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x 4 km/h , khi ngược dòng là x 4 km/h . Thời 30 gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là giờ, đi ngược dòng x 4 30 từ B đến A là giờ. x 4 30 30 Theo bài ra ta có phương trình: 4 xx 44 30(x 4) 30( x 4) 4( x 4)( x 4) x2 15 x 16 0 x 1 hoặc x 16 . Nghiệm x –1 0 nên bị loại Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 16km/h . Bài tập 10: (THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành và THPT Kon Tum, 24–25/06/2014) Một bè gỗ được thả trôi trên sông từ cầu Đăk Bla. Sau khi thả bè gỗ trôi được 3 giờ 20 phút, một người chèo thuyền độc mộc cũng xuất phát từ cầu Đăk Bla đuổi theo và đi được 10km thì gặp bè gỗ. Tính vận tốc của bè gỗ biết rằng vận tốc của người chèo thuyền độc mộc lớn hơn vận tốc của bè gỗ là 4km/h Giải:
10 3giờ 20 phút = giờ 3 Gọi x là vận tốc của bè gỗ x 0 km/h vận tốc của người chèo thuyền độc mộc : x 4 10 Thời gian người chèo thuyền độc mộc đi được khi gặp bè gỗ: x 4 10 Thời gian bè gỗ trôi được 10 km: x Theo đề bài ta có PT: 101010 xx 43 31234xxxx 2 xx2 4120 xTM 2()  xL 6() Vậy vận tốc của bè gỗ là 2 km/h Bài tập 11: (Yên Bái, 16–17) Hàng ngày, bạn An đi học từ nhà đến trường trên quãng đường dài 8km bằng xe máy điện với vận tốc không đổi. Hôm nay, vẫn trên đoạn đường đó, 2km đầu bạn An đi với vận tốc như mọi khi, sauu đó vì xe non hơi nên bạn đã dừng lại 1 phút để bơm. Để đến trường đúng giờ như mọi ngày, bạn An phải tăng vận tốc lên thêm 4km/h . Tính vận tốc xe máy điện của bạn An khi tăng tốc. Với vận tốc đó bạn An có vi phạm luật giao thông hay không? Tại sao? Biết rằng đoạn đường bạn An đi là trong khu vực đông dân cư Giải: Gọi vận tốc xe máy điện của An bình thường là xx km/h 0 Vận tốc xe máy điện của An khi tăng tốc là x 4 km/h 8 Thời gian An đi từ nhà đến trường bình thường là (h) x 1 216 Đổi 1 phút = h. Thời gian An đi từ nhà đến trường ngày hôm nay là (h) 60 xx604 8 2 16661241 Ta có: x xxx6044 xx x 60( 4) 60 x( x 4) 1440 x2 4 x 1440 0 x 40 (loại) hoặc x 36 (tm) Vậy vận tốc xe máy điện của An khi tăng tốc là 36 4 40 km/h
Vận tốc này không vi phạm luật giao thông vì trong khu vực đông dân cư, vận tốc tối đa của xe máy điện là 40 km/h Bài tập 12: (Quãng Ngãi, 2014–2015) Để chuẩn bị cho một chuyến đi đánh bắt cá ở Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý Sơn cần chuyển một số lương thực, thực phẩm lên tàu. Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất là 3 giờ. Nếu cả hai 20 cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu là giờ. Hỏi nếu 7 làm riêng một mình thì mỗi người chuyển hết số lương thực, thực phẩm đó lên tàu trong thời gian bao lâu? Giải: Gọi x (giờ) là thời gian người thứ I một mình làm xong cả công việc. 20 và y (giờ) là thời gian người thứ II một mình làm xong cả công việc. (Với xy, ) 7 117 117 xy20 (1) Ta có hệ phương trình: xy20 yx 3 yx 6(2) 22 117 Từ (1) và (2) ta có phương trình: xx 620 30 Giải phương trình được xx 4, 127 Chọn x 4. Vậy thời gian một mình làm xong cả công việc của người thứ I là 4 giờ, của người thứ II là 10 giờ. Bài tập 13: (Tuyên Quang, 2014 – 2015, Đắc Lak, 2012–2013) Hai ô tô đi từ A đến B dài 200km . Biết vận tốc xe thứ nhất nhanh hơn vận tốc xe thứ hai là 10km/h nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe Giải: Gọi vận tốc hai xe lần lượt là x km/h và yx km/h y , 0 Xe thứ nhất nhanh hơn xe thứ hai là 10km/h nên xyxy 10 10 200200 Thời gian xe thứ nhất và xe thứ hai đi hết quãng đường AB lần lượt là (h);(h) xy 200 200 Vì xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 1h nên 1(*) yx
Thay xy 10 vào (*) ta được: 200200 1 yy 10 200(y10)200 y 1 yyyx(10)(10) 200(10)200yy 1 yy(10) 2000 1 y(y10) yy2 1020000 (50)(40)0yy y 50 (loại) hoặc y 40 (thỏa mãn) x 50 Vậy vận tốc mỗi xe lần lượt là 50km/h và 40km/h Bài tập 14: Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km . Cùng một lúc, một xe máy khởi hành từ Quy Nhơn đi Bồng Sơn và một xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn đi Quy Nhơn. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1giờ 30 phút nữa mới đến Bồng Sơn. Biết vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường đi và vận tốc của xe máy kém vận tốc xe ô tô là 20 km/h . Tính vận tốc mỗi xe. Giải: Đổi 1h301,5h' Đặt địa điểm : – Quy Nhơn là A – Hai xe gặp nhau là C – Bồng Sơn là B Gọi vận tốc của xe máy là x km/h . ĐK : x 0 . Suy ra : Vận tốc của ô tô là x 20 km/h . Quãng đường BC là : 1,5x km Quãng đường AC là : 100 1,5x km 100 1,5x Thời gian xe máy đi từ A đến C là : h x
1,5x Thời gian ô tô máy đi từ B đến C là : h x 20 1001,51,5 xx Vì hai xe khởi hành cùng lúc, nên ta có phương trình : xx 20 Giải pt : 1001,51,5 xx xx 20 Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h . Vận tốc của ô tô là 40 20 60 km/h . 3 Cách 2 : Ta có: 2h3 0' h 2 Gọi x km/h là vận tốc của xe máy x 0 . Vận tốc xe ô tô là: x 20 km/h 100 Thời gian xe máy đi từ BS đến QN là : ( h) . x 100 Thời gian ô tô đi từ QN đến BS là (h) x 20 100 Vậy thời gian hai xe đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: (h) . xx (20) 1003100 Ta lập được pt: 2202xx Vận tốc xe máy là: 40 km/h . Vận tốc ô tô là: 40 20 60 km/h. Bài tập 15: Quãng đường AB dài 90 km , có hai ô tô khởi hành cùng một lúc. Ô tô thứ nhất đi từ A đến B, ô tô thứ hai đi từ B đến A. Sau 1giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi. Xe ô tô thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Giải: Gọi x là vận tốc ô tô thứ nhất 0 90x Vận tốc ô tô thứ hai là 90 x 90 Thời gian ô tô thứ nhất đi từ A đến B x 90 Thời gian ô tô thứ nhất đi từ B đến A 90 x 90 90 27 Theo đề bài ta có phương trình: = + x 90 x 60
Giải phương trình nhận nghiệm x 40 Vận tốc xe thứ nhất là 40 km/h ; xe thứ hai là 50 km/h Bài tập 16: (Hải Dương, 2015 – 2016) Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 60 km . Hai người đi xe đạp cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B với vận tốc bằng nhau. Sau khi đi được 1 giờ thì xe của người thứ nhất bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, còn người thứ hai tiếp tục đi với vận tốc ban đầu. Sau khi sửa xe xong, người thứ nhất đi với vận tốc nhanh hơn trước 4 km/h nên đã đến B cùng lúc với người thứ hai. Tính vận tốc hai người đi lúc đầu Giải: Gọi vận tốc hai người đi lúc đầu là xx k m /h 0 60 Thời gian đi từ A đến B của người thứ hai là (h) x Quãng đường người thứ nhất đi được trong 1 giờ đầu là x km Quãng đường còn lại là 60 kmx 60 x Thời gian người thứ nhất đi quãng đường còn lại là (h) x 4 1 20’ (h) 3 Theo bài ra ta có: 60 1 60 x =1+ + x 3 x 4 60.344.43. xx xxx . 60 – xx2 16– 720 – 0 x 20  x 36 Do x 0 nên x 20 . Vậy vận tốc hai người đi lúc đầu là 20 km/h Bài tập 17: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km . Cùng lúc đó, một ô tô đi từ B đến A với vận tốc lớn hơn vận tốc xe đạp 18 km/h . Sau khi hai xe gặp nhau, xe đạp phải mất 4h nữa mới đến B. Tính vận tốc mới xe? Giải: Gọi x là vận tốc xe đạp. Điều kiện x 0
Vận tốc xe máy là x 18 Gọi C là điểm 2 xe gặp nhau Thời gian xe đạp đi CB là 4h . Suy ra quãng đường CB là 4x Nên quãng đường AC là 108 4 x 108 4 x Thời gian xe đạp đi quãng đường AC là x 4x Thời gian o tô đi quãng đường BC là x 18 Ta có thời gian xe đạp đi quãng đường AC bằng Thời gian o tô đi quãng đường BC nên ta có phương trình 108 4 x 4x = x x 18 Giải tìm được x 18 Vậy vận tốc xe đạp là 18 km/h , xe ô tô là 26 km/h Bài tập 18: (Khánh Hòa, 2011 – 2012) Quãng đường từ A đến B dài 50km .Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi.Khi đi được 2 giờ,người ấy dừng lại 30 phút để nghỉ.Muốn đến B đúng thời gian đã định,người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên quãng đường còn lại.Tính vận tốc ban đầu của người đi xe đạp Giải: Gọi x km/h là vận tốc dự định; x 0 50 Thời gian dự định : ( h) x Quãng đường đi được sau 2h : 2 kmx Quãng đường còn lại : 50 2 kmx Vận tốc đi trên quãng đường còn lại : x 2 km/h 50 2x Thời gian đi quãng đường còn lại : (h) x 2 150250 x 2 Theo đề bài ta có PT: 22xx Giải ra ta được : x 10 (thỏa ĐK bài toán) Vậy Vận tốc dự định : 10 km/h
Bài tập 19: (Quãng Ngãi, 2012–2013) Hai xe ô tô cùng đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh, xe thứ hai đến sớm hơn xe thứ nhất là 1 giờ. Lúc trở về xe thứ nhất tăng vận tốc thêm 5 km mỗi giờ, xe thứ hai vẫn giữ nguyên vận tốc nhưng dừng lại nghỉ ở một điểm trên đường hết 40 phút, sau đó về đến cảng Dung Quất cùng lúc với xe thứ nhất. Tìm vận tốc ban đầu của mỗi xe, biết chiều dài quãng đường từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là 120 km và khi đi hay về hai xe đều xuất phát cùng một lúc Giải: Gọi vận tốc ban đầu của xe thứ nhất là x k m /h , xe thứ hai là y k m /h . ĐK: xy 0 ; 0 . 120 Thời gian xe thứ nhất đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là h . x 120 Thời gian xe thứ hai đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là h . y 1 2 0 1 2 0 Vì xe thứ hai đến sớm hơn xe thứ nhất là 1 giờ nên ta có phương trình: 11 xy Vận tốc lúc về của xe thứ nhất là xkmh 5 / . 120 Thời gian xe thứ nhất về từ khu du lịch Sa Huỳnh đến cảng Dung Quất h . x 5 120 Thời gian xe thứ hai về từ khu du lịch Sa Huỳnh đến cảng Dung Quất h . y 2 Vì xe thứ hai dừng lại nghỉ hết 40phh , sau đó về đến cảng Dung Quất cùng lúc với 3 1201202 xe thứ nhất nên ta có phương trình: 2 . xy 53 120 120 1 xy Từ (1) và (2) ta có hpt: 120 120 2 xy 53 Giải hpt: 120 120 1 xy 120 120 1 360 x 5 360 x x x 5 120 120 2 xx 53 xy 53 xx2 5 1800 0
254.18007225085 . 5 8 5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 40 (thỏa mãn ĐK) 1 2 585 x 45 (không thỏa mãn ĐK) 2 2 120 120 120 Thay x 40 vào pt (1) ta được: 1 2 y 60(thỏa mãn ĐK). 40 yy Vậy vận tốc ban đầu của xe thứ nhất là 40 km/h , xe thứ hai là 60 km/h Bài tập 20: (Bình Định, 2015 – 2016) Trên một vùng biển được xem như bằng phẳng và không có chướng ngại vật. Vào lúc 6 giờ có một tàu cá đi thẳng qua tọa độ X theo hướng Từ Nam đến Bắc với vận tốc không đổi. Đến 7 giờ một tàu du lịch cũng đi thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu cá 12 km/h . Đến 8 giờ khoảng cách giữa hai tàu là 60 km . Tính vận tốc của mỗi tàu Giải: – Gọi vận tốc của tàu cá là: xx km/h, 0 – Vận tốc của tàu du lịch là: x 12 (km/h) – Đến 8 giờ thì hai tàu cách nhau khoảng AB = 60 km . Lúc đó, thời gian tàu cá đã đi là: 8 6 2 (giờ) – Thời gian tàu du lịch đã đi là: 8 7 1 (giờ) – Giả sử tàu cá đến điểm A, tàu du lịch đến điểm B – Tàu cá đã đi đoạn XA = 2x km – Tàu du lịch đã đi đoạn XB = x + 12 km – Vì XA  XB (do hai phương Bắc – Nam và Đông –Tây vuông góc nhau) – Nên theo định lý Pytago, ta có: XA222 +XB =AB (2xx )2 ( 12) 2 60 2 5xx2 24 3456 0
x 28 ,8 (loại) x 24(nhận) 1 2 Vậy vận tốc của tàu cá và tàu du lịch lần lượt là: 24 km/h và 36 km/h D. BÀI TẬP VỀ NHÀ: 1) Một người dự định đi ô tô từ A đến B cách nhau 30km với vận tốc đã định. Sau khi đi 2 được quãng đường do sự cố người đó phải dừng lại mất 15 phút để sửa chữa, do đó người 3 ấy phải tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường còn lại, tuy nhiên người ấy vẫn đến B chậm hơn dự định 10 phút. Tính vận tốc dự định ban đầu của xe ô tô. Đáp số: 30 km/h 2) Hai địa điểm A và B cách nhau 30 km . Cùng lúc, một người đi xe máy khởi hành từ A, một người đi xe đạp khởi hành từ B. Nếu đi ngược chiều thì sau 40 phút họ gặp nhau. Nếu đi cùng chiều theo hướng từ A đến B thì sau 2 giờ họ gặp nhau tại điểm C (B ở giữa A và C). Tính vận tốc mỗi xe Đáp số: Vận tốc xe máy 30km/h ; xe đạp 15km / h 3) Một ca nô xuôi một khúc sông dài 50km , rồi ngược khúc sông ấy 32km thì hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của dòng nước, biết vận tốc của ca nô là 18km / h Đáp số: 2 km/h 4) Hai bến sông A và B cách nhau 40 km . Cùng một lúc với ca nô đi xuôi từ A có một chiếc bè trôi từ A với vận tốc 3 km / h . Sau khi đến B ca nô trở về A ngay và gặp bè khi đã trôi được 8km . Tính vận tốc riêng của ca nô. Đáp số: Vận tốc thực của ca nô là: 27km/h 5) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km , cùng lúc đó cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc là 4km / h . Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8km . Tính vận tốc thực của cano? Đáp số: 20 km/h 6) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km . Một cano đi xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng về A ngay. Thời gian để từ lúc đi đến về là 5 giờ 20 phút. Tính vận tốc của dòng nước, biết vận tốc thực của cano là 12km/h Đáp số: 3 km / h 7) Hai tỉnh A và B cách nhau 60 km . Có một xe đạp đi từ A đến B. Khi xe đạp bắt đầu khởi hành thì có một xe gắn máy cách A 40 km đi đến A rồi trở về B ngay. Tìm vận tốc của mỗi xe, biết xe gắn máy về B trước xe đạp 40 phút và vận tốc xe gắn máy hơn vận tốc xe đạp là 15 km / h Đáp số: 15 km / h 8) Một người đi xe đạp từ A đến B đường dài 78km . Sau đó 1 giờ, người thứ hai đi xe ô tô từ B đến A. Hai người gặp nhau tại C cách B là 36km . Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe đạp là 4km / h
Đáp số: Vận tốc xe đạp là 14km / h , ô tô là 18 km / h 9) Một ôtô đi quãng đường dài 150km với thời gian đã định. Sau khi đi được nửa quãng đường ôtô dừng lại 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn xe phải tăng vận tốc thêm 5km / h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định của ôtô. Đáp số: vận tốc dự định là: 45km / h 10) Hai thành phố A và B cách nhau 120km . Lúc 7 giờ sáng, một ô tô khởi hành từ A đi đến 2 B. Sau khi đi được quãng đường thì xe dừng lại nghỉ 20 phút rồi lại tiếp tục đi, nhưng do 3 đường xấu nên vận tốc chậm hơn trước 8km / h và đến B lúc 10 giờ. Hỏi ôtô dừng lại nghỉ lúc mấy giờ? Đáp số: vận tốc lúc đầu là 48km / h ; thời gian ô tô đã đi là 1h40’ 11) Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với vận tốc định trước. Khi từ B về A, người đó đi bằng đường khác dài hơn đường trước 29 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km / h . Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút. 22 Đáp số: vận tốc người đi xe máy là: 9km / h ; hoặc k m / h 3 12) Một ôtô khởi hành từ A để đến B cách nhau 240 km . Sau 1 240 km giờ, một ôtô thứ hai cũng khổi hành từ A đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc ôtô thứ nhất là 10km/h , nên đã đuổi kịp ôtô thứ nhất ở chính giữa quãng đường AB. Tính vận tốc của mỗi xe Đáp số: 30 km/h và 40 km/h 13) Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 900 km . Sau đó 1 giờ, một ô tô khác đi từ B đến A với vận tốc lớn hơn xe thứ nhất là 5km / h . Hai xe gặp nhau tại chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc mỗi xe Đáp số: 45 km / h và 50 km / h 14) Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi Đáp số: vận tốc ôto là 36 km / h và xe máy là 24 km / h 15) Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tải đi với vận tốc 30 km / h , xe 3 con đi với vận tốc 45 km / h . Sau khi đi được quãng đường AB, xe con tăng vận tốc thêm 4 5 km / h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút. Đáp số: Quãng đường AB dài 200 km . 16) Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km / h . Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 km / h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi
kịp người đi xe máy tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 km / h nên hai ngưòi gặp nhau tại C cách B 10 km . Tính quãng đường AB Đáp số: Quãng đường AB dài 60 km . 17) Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là 40 km / h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km / h trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. Đáp số: 280 km / h 18) Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km . Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng (thực) của ca nô. Đáp số: 24 km / h 19) Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 km trong một thời gian nhất định. Đi được nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km / h trên nửa quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định của ôtô Đáp số: 48 km/h 20) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe ô tô Đáp số: 60km/h và 50 km/h
LOẠI 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI CÔNG VIỆC – NƯỚC CHẢY A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. Các bước giải: Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình: - Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn. - Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống nhất đơn vị). - Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số. II. Các công thức liên quan: Quãng đường = Vận tốc .Thời gian vxuôi = vthực + vnước vngược = vthực – vnước vxuôi – vngược = 2vnước B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: (Thừa Thiên Huế, 2015 – 2016) Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc do có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,8 tấn hàng so với dự định ban đầu. Biết khối lượng hang mỗi xe chuyên chở như nhau, hỏi đoàn xe ban đầu có bao nhiêu chiếc? Giải: Gọi số chiếc xe ban đầu của đoàn xe vận tải là x (chiếc) ( x 5 , x ∈ N). Số chiếc xe thực tế của đòan xe vận tải là x – 5 (chiếc). 120 Khối lượng hàng mỗi xe phải chở ban đầu là tấn. x 120 Khối lượng hàng mỗi xe phải chở thực tế là tấn. x 5 120 4 120 2 x 30 Theo giả thiết ta có phương trình: 4xx 20 3000 0  . xx 55 x 25 Kết hợp với điều kiện, ta được số chiếc xe ban đầu của đoàn xe vận tải là 30 chiếc.
Ví dụ 2: (Bà RịaVũng Tàu, 2014 – 2015) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đội tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mối tàu chở thêm hơn dự định 2 tấn hang. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau. Giải: Gọi x (chiếc) là số tàu dự định của đội ( ,xx 0 * 14 ). Số tàu tham gia vận chuyển là x 1 (chiếc). 280 Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định: (tấn). x 280 Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo thực tế : (tấn). x 1 28 0 28 0 Theo đề bài ta có pt: 2. xx 1 2801862 xxxx 21 . xx2 41400. x 10  . xl 14( ) Vậy đội tàu lúc đầu là có 10 chiếc. 12 Ví dụ 3: (Hà Nội, 2012 – 2013) Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì 5 xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? Giải: Gọi x(giờ) là thời gian người thứ nhất làm xong công việc (x >0). Thời gian mà người thứ hai làm riêng xong công việc là x 2 (giờ). Trong một giờ: 1 +) Người thứ nhất làm được (công việc). x 1 +) Người thứ hai làm được (công việc). x 2
15 +) Cả hai người làm được (công việc). 12 12 5 115 Ta có phương trình x 4. xx 212 Vậy thời gian người thứ nhất làm xong công việc là 4 giờ, thời gian người thứ hai làm xong công việc là 6(giờ). Ví dụ 4: (Bình Định,2014 – 2015) Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ, nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 7 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian để mỗi đội hoàn thành công việc là bao nhiêu? Giải: Gọi x (giờ) là thời gian đội I làm xong công việc x 12 . Thời gian đội thứ II làm xong công việc là: x 7 (giờ). Trong một giờ: 1 +) Đội I làm được (công việc). x 1 +) Đội II làm được (công việc). x 7 1 +) Cả hai đội làm được (công việc). 12 Theo bài ra ta có phương trình: 127 xx 1271284 x xxx xxxxx1273184 021. 22 Vậy thời gian đội I làm xong công việc là 28 giờ, thời gian đội II làm xong công việc là: 28 – 7 = 21(giờ). Ví dụ 5: Một tổ công nhân phải may xong 420 bộ đồng phục trong khoảng thời gian nhất định. Nếu thêm 3 công nhân vào tổ thì mỗi người sẽ may ít hơn lúc ban đầu là 7 bộ đồng phục. Tính số công nhân có trong tổ lúc đầu. Giải: Gọi số công nhân của tổ lúc đầu là x (công nhân) thì số công nhân của tổ lúc sau là x 3 (công nhân). 420 Suy ra số bộ đồng phục mỗi người phải may lúc đầu là (bộ) . x
420 Suy ra số bộ đồng phục mỗi người phải may lúc sau là (bộ). x 3 420 Theo đề bài ta có = +7 . x xx2 31800. Vậy số công nhân của tổ lúc đầu là 12 người. Ví dụ 6: (Quảng Ngãi, 2014 – 2015) Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 4 giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau 6 giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau 24 giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước. Giải: Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x (giờ), x 0 . Trong một giờ: 1 -Vòi thứ nhất chảy được ( bể). x 1 - Vòi thứ nhất chảy được ( bể). x 4 1 - Vòi thứ ba chảy được ( bể). 6 1111 Ta có phương trình x8. xx 4624 Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau 8 giờ bể đầy nước. Ví dụ 7: (Hưng Yên, 2016 – 2017) Một công ty vận tải dự định điều một số xe tải để vận chuyển 24 tấn hàng. Thực tế khi đến nơi thì công ty bổ sung thên 2 xe nữa nên mỗi xe chở ít đi 2 tấn so với dự định. Hỏi số xe dự định được điều động là bao nhiêu? Biết số lượng hàng chở ở mỗi xe như nhau và mỗi xe chở một lượt. Giải: 24 Gọi số xe ban đầu là x (xe) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là (tấn). x 24 Số xe thực tế là x 2 (xe) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là (tấn). x 2 Theo bài ra ta có phương trình:
2424 2 xx 2 1212 1 xx 2 12(2)12(2)xxxx x22402 x '11.(24)252 Từ đó ta tìm được x1 = 4 ( thỏa mãn điều kiện) và x2 = - 6 (loại). Vậy số xe ban đầu là 4 xe. Ví dụ 8: (Hà Nội, 2014 – 2015) Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Giải: Gọi x là sản phẩm xưởng sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch x 0 . 1100 =>Số ngày theo kế hoạch là: . x 1100 Số ngày thực tế là Theo giả thiết của bài toán ta có : x 5 11005110025 xxxx . 21055000.xx2 xhay 50 xl 55 . Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất là 50 sản phẩm. Ví dụ 9: (Hải Phòng, 2015 – 2016) Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần (mỗi tuần trồng được diện tích bằng nhau). Thực tế mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức 5 ha so với dự định nên cuối cùng đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn dự định một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng? Giải: Gọi diện tích rừng mà mỗi tuần lâm trường dự định trồng là x (ha). (Điều kiện: x 0 ). 75 Theo dự định, thời gian trồng hết 75 ha rừng là: (tuần). x Vì mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức 5 ha so với dự định nên thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được x 5 (ha).
80 Do đó thời gian thực tế lâm trường trồng hết 80 ha rừng là (tuần). x 5 Vì thực tế, lâm trường trồng xong sớm so với dự định là 1 tuần nên ta có phương trình: 75 80 1. xx 5 Giải ra ta được: x = 15 (thỏa mãn điều kiện); x = -20 (loại). Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng 15 ha rừng. Ví dụ 10: (Chuyên Trần Hưng Đạo, 2015 – 2016) Một bác nông dân đem trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và 1/8 số trứng còn lại Ngày thứ hai bán được 16 trứng và 1/8 số trứng còn lại Ngày thứ ba bán được 24 trứng và 1/8 số trứng còn lại Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng. nhưng thật thú vị, số trứng bán được trong mỗi ngày đều bằng nhua. Hỏi tổng số trứng bán được là bao nhiêu và bán hết trong bao nhiêu ngày? Giải: Gọi x là số trứng bán được ( xN * ) thì: x 8 Số trứng bán được trong ngày thứ nhất là : 8. 8 x 8 x 168 8 Số trứng bán được trong ngày thứ hai là : 16. 8 Theo đề toán ta có phương trình: x 8 x 16 8 x 8 8 8 =16 . 8 8 x 392. Giải phương trình ta được Vậy tổng số trứng bán được là 392 trứng Số trứng bán được trong mỗi ngày là =56. Số ngày là 392:56=7 ngày. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài toán 1: Hai máy xúc đất được giao xúc hết một khối lượng đất để đắp đập. Nếu cả hai 1 máy cùng làm việc thì xúc hết khối lượng đất đó trong 4 ngày. Nếu máy thứ nhất xúc xong 2 số đất rồi máy thứ hai xúc hết số đất còn lại thì thời gian xúc của cả hai máy cộng lại là 9 ngày.Hỏi nếu làm riêng thì mỗi máy xúc hết khối lượng đất đó trong mấy ngày? Giải: Gọi x (ngày) là thời gian mà máy thứ nhất xúc hết nửa lượng đất. Khi đó, 9 x (ngày) là thời gian máy thứ hai xúc xong khối lượng đất còn lại. Suy ra 2 ;18xx 2 (ngày) lần lượt là số ngày mà máy thứ nhất và máy thứ hai xúc xong khối lượng đất đó. Trong một ngày: 1 - Máy thứ nhất xúc được (lượng đất). 2x 1 - Máy thứ hai xúc được (lượng đất). 9 x 1 -Cả hai máy xúc được (lượng đất). 4 111 x 6 Ta có phương trình  . 21824xx x 3 Vậy, số ngày máy thứ nhất và máy thứ hai xúc hết số đất theo thứ tự là 6 ngày , 12 ngày hoặc 12 ngày, 6 ngày. Bài toán 2: (Bình Dương, 2016 – 2017) Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Giải: Gọi trọng tải của mỗi xe nhỏ là x (tấn) x 0 . Trọng tải của mỗi xe lớn là x 1 (tấn). 20 20 Số xe (lớn) dự định phải dùng là (xe); số xe (nhỏ) thực tế phải dùng là (xe). x 1 x Vì số xe nhỏ thực tế phải dùng nhiều hơn dự định 1 xe nên:
20 20 1. xx 1 20 1 xx(1) xx(1)20 (5)(4)0xx xTM 4()  . xL 5() Vậy trọng tải của mỗi xe nhỏ là 4 tấn. Bài toán 3: (Quảng Ngãi, 2015 – 2016) Hai đội thủy lợi gồm 25 người đào đắp một con mương. Đội I đào được 45 m3 đất, đội II đào được 40m3 đất. biết mỗi công nhân đội II đào được nhiều hơn mỗi công nhân đội I là 1m3 . Tính số đất mỗi công nhân đội I đào được. Giải: Gọi số đất mỗi công nhân đội I đào được là xm 3 , x 0 . Khi đó, số đất mỗi công nhân đội II đào được là xm 1. 3 Suy ra: 45 - Số công nhân đội I là (công nhân). x 40 - Số công nhân đội I là (công nhân). x 1 x 3 4540 Ta có phương trình 25  3 . xx 1 x  5 Vậy số đất mỗi công nhân đội I đào được là 3 m3 . . Bài toán 4: (Chuyên Thái Bình, 2015 – 2016) Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 sẽ giải mỗi ngày 3 bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch được một thời gian vào khoảng cuối tháng 3 (tháng 3 có 31 ngày) thì An bị bệnh phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục trong tuần đầu An chỉ giải được 16 bài; sau đó An cố gắng giải 4 bài mỗi ngày và đến 30/4 thì An cũng hoàn thành kế hoạch đã định. Hỏi An phải nghỉ giải toán bao nhiêu ngày? Giải: Từ 1/3 đến 30/4 có 61 ngày.
Số bài toán theo kế hoạch mà An phải giải là 61.3 = 183 (bài) Gọi: số ngày An giải toán theo đúng kế hoạch là x (ngày). Trong thời gian này, An giải 3x (bài) số ngày An nghỉ giải toán là y (ngày). (x, y ∈ ℕ*, 1 ≤ x ≤ 30, y bé nhất) Khi đó số ngày An giải mỗi ngày 4 bài là 61– 7––xyxy 54 –– (ngày). Trong thời gian này, An giải được (bài). Vậy tổng số bài An đã giải là 316454––xxy (bài). Theo bài ra ta có phương trình: 3164(54)183xxy xy449 49 x y 4 49493019 x Vì 130 xy 444 y là số nguyên, bé nhất yx529. Vậy An phải nghỉ ít nhất 5 ngày. Bài toán 5: (Hưng Yên, 2016 – 2017) Một xưởng có kế hoạch in xong 6000 quyển sách giống nhau trong một thời gian quy định biết số quyển sách in được trong một ngày là bằng nhau. Để hoàn thành sớm kế hoạch mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn 300 quyển sách so với số quyển sách phải in trong kế hoạch nên xưởng in xong 6000 quyển sách nói trên sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Tính số quyển sách xưởng in được trong 1 ngày theo kế hoạch. Giải: Gọi x là số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch ( x nguyên dương) 6000 Số ngày in theo kế hoạch: (ngày). x Số quyển sách xưởng in được thực tế trong mỗi ngày : x 300 ( quyển sách). 6000 Số ngày in thực tế: ( ngày). x 300 Theo đề bài ta có phương trình: - =1, xx2 300 1800000 0 x12 1200 n ; x 1500 l
Vậy số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch là:1200 (quyển sách). 12 Bài toán 6: Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người 5 làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? Giải: 12 Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK x . 5 Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x 2 (giờ). 1 1 Mỗi giờ người thứ nhất làm được (cv), người thứ hai làm được (cv). x x 2 12 Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm 5 12 5 được1: = (cv). 5 12 115 xx 25 Do đó ta có phương trình: 5x2 – 14x – 24 = 0. xx212 xx(2)12 7 13 6 7 13 20 ’ = 49 + 120 = 169, , 13 => x (loại) và x 4 (TMĐK). 55 55 Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ, người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ. Bài toán 7: Hai người đồng thời đào chung một cái giếng có thể đào xong sau 2 ngày. Hỏi sau bao nhiêu ngày mỗi người đào riêng rẽ có thể xong cái giếng đó biết để đào xong cái giếng đó một mình người thứ hai phải tốn 3 ngày nhiều hơn người thứ nhất đào một mình. Giải: Gọi thời gian đào một mình xong cái giếng đó của người thứ nhất là x ( x 0 , ngày). thì người thứ hai đào một mình xong cái giếng đó hết x 3 (ngày). 1 1 Một ngày người thứ nhất đào được giếng, người thứ hai đào được , cả hai người đào x x 3 1 được giếng. Theo bài ra ta có pt: 2 1 11 x x 32 xx2 – – 6 0 x12 3; x 2.
Vậy để đào một mình người thứ nhất cần 3 ngày, người thứ hai cần 6 ngày. Bài toán 8:Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả 1 hai làm được công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm trong bao lâu thì xong 4 công việc. Giải: Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x ( x 16 , giờ), một giờ 1 1 người đó làm được công việc. trong một giờ cả hai người làm được công việc, người x 16 11 1 thứ hai làm được công việc. Người thứ nhất làm trong 3 giờ được 3. công việc, 16 x x 11 người thứ hai trong 6 giờ làm được 6. công việc. 16 x 1111 Theo bài ra ta có phương trình: 3.6. ; x = 24 (giờ). Người thứ nhất làm xx 164 một mình xong công việc hết 24 giờ, người thứ hai hết 48 giờ. 12 Bài toán 9: Nếu hai người cùng làm chung một công việc thì trong giờ xong công việc. 5 Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc. Giải: 12 Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x ( x , giờ), người thứ 5 1 hai làm hết x + 2 (giờ). Trong một giờ người đó làm được công việc, người thứ hai làm x 1 5 được công việc, cả hai người trong một giờ làm được công việc. Theo bài ra ta có x 2 12 1 1 5 6 phương trình: , => x1 =4(TM), x2 = (L ). xx 2 12 5 Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất làm hết 4 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ. Bài toán 10: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1h30 phút bể sẽ đầy. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 20 phút rồi khóa lại và mở tiếp vòi thứ hai trong 15 phút thì sẽ đầy một phần năm bể. Hỏi nếu chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể. Giải:
3 Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x ( x , giờ); trong một giờ vòi I chảy 2 1 21 11 được bể, vòi hai chảy được phần bể. Sau 20 phút vòi I chảy được . , vòi II chảy x 3 x 3 x 1 2 1 trong 15 phút đầy bể. Theo bài ra ta có phương trình: 43 x 111211 . 3435xx 5 Giải ra ta được x = (h) 2 5 15 Kết luận: ;. 24 Bài toán 11: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu từng vòi chảy riêng thì vòi I chảy trong 3 giờ bằng lượng nước vòi II chảy trong 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu? Giải: 1 Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể một mình là x , một giờ chảy được phần bể, vòi II chảy x 21 được phần bể. 5 x Theo bài ra ta có phương trình: 321 2 xx 5 25 Giải phương trình được x = . 4 Bài toán 12: Nếu mở cả hai vòi chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể? Giải: Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x (giờ, x 0 ), thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể là x 2 (giờ)