Tài liệu luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Nội dung text: Tài liệu luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

1. BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 A I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 2 A khi A 0 Hằng đẳng thức A A A khi A < 0 II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai Phương pháp giải: Sử dụng hằng đẳng thức 2 A khi A 0 A A A khi A < 0 1A. Thực hiện phép tính: 49 2 a) 144. . 0,01 b) 0,25 15 2,25 : 169 64 1B. Hãy tính: 2 2 2 2 2 a) 0,04 1,2 121 . 81 b) 75: 3 ( 4) 3 ( 5) 3 2A. Rút gọn biểu thức: 2 2 2 a) 4 15 15 b) 2 3 1 3 2B. Thực hiện các phép tính sau: 2 2 2 a) 2 2 3 2 2 b) 10 3 10 4 3A. Chứng minh: 2 a) 11 6 2 3 2 b) 11 6 2 11 6 2 6 3B. Chứng minh: 2 a) 8 2 7 7 1 b) 8 2 7 8 2 7 2 4A. Rút gọn biểu thức: a) 49 12 5 49 12 5 b) 29 12 5 29 12 5 4B. Thực hiện phép tính:
2. a) 7 4 3 7 4 3 b) 41 12 5 41 12 5 Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Phương pháp giải: Sử dụng hằng đẳng thức 2 A khi A 0 A A A khi A < 0 5A. Rút gọn các biểu thức sau: a) 5 25a2 25a víi a 0 b) 16a4 6a2 5B. Thực hiện phép tính: a) 49a2 3a víi a 0 b) 3 9a6 6a3 víi a 0 6A. Rút gọn biểu thức: x 6 x 9 x 3 a) A 4 x víi 0 x 9 x 9 9x2 12x 4 2 b) B víi x - 3x 2 3 6B. Thực hiện các phép tính sau: x 10 x 25 x 5 a) M 5 x víi 0 x 25 x 25 4x2 4x 1 1 b) N víi x 2x 1 2 Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa Phương pháp giải: Chú ý rằng biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khiA 0 7A. Với các giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa ? 2 3x 2 a) b) 3x 1 x2 2x 4 7B. Tìm x để các căn thức sau có nghĩa:
3. 2x 3 3 a) b) 2x2 1 1 5x Chú ý rằng,với a là số dương , ta luôn có: 2 2 x a x a x a x2 a2 a x a 8A. Các căn thức sau có nghĩa khi nà? 2x 4 a) x2 8x 9 b) 5 x 8B. Xác định giá trị của x để các căn thức sau có nghĩa? x 6 a) b) 4 9x2 x 2 Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai Phương pháp giải: Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây. B 0 A B 2 A B A2 B A B B 0(hay A 0) A B A B A2 B2 A B A B 9A. Giải các phương trình: a) x2 2x 4 2x 2 b) x 2 x 1 2 9B. Giải các phương trình: a) 2x2 2x 1 2x 1 b) x 4 x 4 2 10A. Giải các phương trình: a) x2 3x 2 x 1 b) x2 4x 4 4x2 12x 9 10B. Giải các phương trình:
4. a) x2 5x 6 x 2 b) 4x2 4x 1 x2 6x 9 III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 11. Tính: a) 49. 144 256 : 64 b) 72 : 22.36.32 225 12. Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 a) A 2 5 2 2 5 b) B 7 2 2 3 2 2 2 13. Chứng minh: 6 2 5 5 1 . Từ đó rút gọn biểu thức: M 6 2 5 6 2 5 14. Thực hiện các phép tính sau: a) M 9 4 5 9 4 5 b) N 8 2 7 8 2 7 15. Thực hiện các phép tính sau: a) P 11 6 2 11 6 2 b) Q 17 12 2 17 12 2 16. Rút gọn các biểu thức sau: a) A 64a2 2a b) B 3 9a6 6a3 17*. Rút gọn các biểu thức sau: a) A a2 6a 9 a2 6a 9 víi -3 a 3 b) B a 2 a 1 a 2 a 1 víi 1 a 2 18. Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa? a) 5x 10 b) x2 3x 2 x 3 c) d) x2 4x 4 5 x 19. Giải các phương trình sau: a) x2 6x 9 4 x b) 2x 2 2 2x 3 2x 13 8 2x 3 5 20*. Giải các phương trình sau:
5. a) x2 9 x2 6x 9 0 b) x2 2x 1 x2 4x 4 3 21*. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) P 4x2 4x 1 4x2 12x 9 b) Q 49x2 42x 9 49x2 42x 9 22*. Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau: x y z 8 2 x 1 4 y 2 6 z 3 2 BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A A 2 49 2 7 2 1A. a) Ta có 144. . 0,01 12 . . 0,1 1,05 64 8 b) Ta có ( 0,15 ( 15)2 2,25) : 169 0,52 152 1,52 : 132 1 1B. Tương tự 1A a) 90 b) 3 2A. a) Ta có (4 15)2 15 4 15 15 4; (4 > 15) 2 b) Tương tự (2 3)2 1 3 2 3 1 3 1 Chú ý: 2- 3 >0 vì 2=4 >3 ; 1-3 3 = (3 ±2)2.
6. Từ đó rút gọn được kết quả bằng 23 . b) Chú ý: 41 -125 = (6 -5 )2 và 41 +125 = (6 + 5 )2 Từ đó rút gọn được kết quả bằng -25 . 5A. a) Ta có 525a2 - 25a = 5 |5a| - 25a = -50a (vì a - 3 6B. Tương tự 6A. a) Tính được M = 4x +5 với 0 x 25 1 1 khi x 2
7. 2 2 1 7A. a) Ta có có nghĩa 0 3x 1 0 x 3x 1 3x 1 3 3x 2 3x 2 b) Ta có có nghĩa 0 x2 2x 4 x2 2x 4 2 Mặt khác x2 2x 4 x 1 3 0 với mọi x 3x 2 2 Do đó 0 3x 2 0 x x2 2x 4 3 7B. Tương tự 7A 3 1 a) a) x b) x > 2 5 2 8A. a) Cách 1. Ta có x 8x 9 (x 1)(x 9) Từ đó x2 8x 9 có nghĩa (x + l)(x — 9) 0. Tìm được x 9 hoặc x 1. 2 Cách 2. Ta có x2 8x 9 = x 4 25 2 Từ đó cóx nghĩa 8x 9 (x - 4) 2 52. Tìm được x 9 hoặc x - 1. 2x 4 2x 4 b) Ta có có nghĩa 0. 5 x 5 x Tìm được 2 x < 5. 8B. Tương tự 8A. 2 2 a) x 9 hoặc x < 2. b) x 7 3 3 2x 2 0 x2 2x 4 2x 2 9A. a) Ta có 2 2 x 2x 4 2x 2 Giải ra ta được x = 2. b) Cách 1. Ta có
8. x 2 x 1 2 x 2 x 1 22 4 x 0 2 x 1 2 4(x 1) 4 x Từ đó tìm được x=2 Cách 2. Ta có x 2 x 1 2 x 1 1 2 Từ đó tìm được x=2 9B. Tương tự 9A a) x = 1 b) x = 4 x 1 0 x2 3x 2 x 1 10A. a) Ta có 2 x 3x 2 x 1 Giải ra ta được x=1 hoặc x=3 b) Ta có x2 4x 4 4x2 12x 9 x 2 2x 3 5 Giải ra ta được x=1 hoặc x= 3 10B. Tương tự 10 A. 4 a) x = 2 hoặc x = 4 b) x = - 2 hoặc x = 3 11. Tương tự 1A. a) 86. b)-13. 12. Tương tự 2 A. a) A= 2 2 2 . b) B = 3 7 . 2 13. HS tự chứng minh6 2 5 5 1 . 2 Tương tự chứng minh dược 6 2 5 5 1 Từ dó tinh dược M = 2. 14. Tương tự 4A.
9. a) M = 4. b) N = -2. 15. Tương tự 4A. a) P = 22 . b) Q = 6. 16. Tương tự 5 A. a) A = 10a nếu a 0 và A = -6a nếu a<0. b) B = -15a2 nếu a <0 và B=3a3 nếu a 0 17*. Tương tự 6A. a) Ta có A a 3 a 3 a 3 (3 a) 6 b) Chú ý: a ± 2a 1 ( a 1 1)2 Tìm được B=2 18. a) x -2. b) x 2 hoặc x l C)-3X <5. d) x=2. 19. a) Cách 1. Biên đổi x2 6x 9 4 x x 3 4 x 7 Từ đó tìm được x= 2 B 0 7 A B Cách 2. Ap dụng 2 ta tìm được x = . A B 2 b) Phương trình 2x 3 1 2x 3 4 5 . 3 Từ đó tìm đươc x = 2
10. 2 x 9 0 20* a) Phương trình Từ đó tìm được x = 3 2 x 3 0 b) Phương trinh x 1 x 2 3 . Từ đó tìm được x = 0 hoặc x = 3. 21*. Chú ý: Sử dụng bâ't đẳng thức |a b a b ( Dấu "="xảy ra . ab 0 a) Ta có P = |2x -1| +|13 - 2x| |(2x -1)+(3 - 2x)| = 2. Dấu "=" xảy ra (2x —1)(3 — 2x) 0. 1 3 Từ đó tìm được P 2 x min 2 2 3 3 b) Tương tự, tìm được Q 6 x min 7 7 22*. Cách 1. Biến đổi đẳng thức về dạng: 2 2 2 x 1 1 y 2 2 z 3 3 0 Từ đó tìm được x = 2; y = 6 và z= 12. Cách 2. Ta có: x = (x - 1) +1 2 x 1 Tương tự: y + 2 = (y - 2) + 4 4 y 2 z + 6 = (z-3) + 9 6 z 3 Từ đó tìm được x = 2; y = 6 và z = 12.