›
›
›

Tài liệu ôn tập Toán 9 - Đại số 9 - Nguyễn Văn Tiến

pdf 35 trang thaodu 3960
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu ôn tập Toán 9 - Đại số 9 - Nguyễn Văn Tiến", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftai_lieu_on_tap_toan_9_dai_so_9_nguyen_van_tien.pdf

Nội dung text: Tài liệu ôn tập Toán 9 - Đại số 9 - Nguyễn Văn Tiến

  1. TÀI LIỆU LUYỆN THI CẤP TỐC TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP TÀI LIỆU ÔN TẬP TOÁN 9 ĐẠI SỐ 9 Tài liệu này được SƯU TẦM và BIÊN SOẠN dựa theo chương trình mới của SGK, bám sát cấu trúc đề thi và chỉ dành cho HS lớp 9 ôn thi vào lớp 10 công lập. BIÊN SOẠN: NGUYỄN VĂN TIẾN
  2. NỘI DUNG LUYỆN THI PHẦN ĐẠI SỐ: Chủ đề 1: Tập xác định Chủ đề 2: Rút gọn biểu thức Chủ đề 3: Phương trình Chủ đề 4: Ứng dụng của hệ thức VI-ET Chủ đề 5: Hệ phương trình Chủ đề 6: Hàm số - Đồ thị - Sự tương giao Chủ đề 7: Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình Chủ đề 8: Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất Chủ đề 9: Bài toán ứng dụng thực tiễn - Bài toán lãi suất CHỦ ĐỀ 1: TẬP XÁC ĐỊNH "Tập xác định là mẫu - căn" CÁCH TÌM TẬP XÁC ĐỊNH fx Dạng 1: A= có TXĐ: D = {x| g(x) 0} gx Dạng 2: A = f x có TXĐ: D = {x| f(x) ≥ 0} Chú ý: Nếu A =n f x thì Khi n là số lẻ,với mọi x đều thỏa mãn. Khi n là số chẵn thì f(x) ≥ 0. fx Dạng 3: A= có TXĐ: D = {x| g(x) > 0}, (với f(x) có D = R). gx n n-1 Dạng 4: A = f(x) có TXĐ: D = R (với đa thức f(x) = anx + an-1x + + a1x + a0) Bài tập Bài tập 1: Tìm tập xác định của biểu thức sau: y = 3x2 + 2x + 1 Giải Điều kiện xác định D = R. 1 - x Bài tập 2: Tìm tập xác định của biểu thức: y = x + 2 Giải Điều kiện xác định: D= x|x+2 0=  x|x -2 Bài tập 3: Tìm tập xác định của biểu thức: y x 3 Giải Điều kiện xác định: x 3 0 x 3 1 Bài tập 4: Tìm điều kiện xác định của biểu thức: y x2 Giải Điều kiện xác định: x - 2 ≥ 0 x ≥ 2. aa Bài tập 5: Tìm tập xác định của biểu thức: T = a + ab bb Giải b 0 a 0 a > 0, b > 0
  3. CHỦ ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC PHƯƠNG PHÁP Dạng khai triển của một số biểu thức: Với a, b ≥ 0: a - b = a + b a - b a a. a 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a a a3 , a-b= 3 a-b 3 33 a+ab+b22 3 a+b= 3 a+ 3 b 33 a-ab+b22 3 33 aabb a b abaabb 3 a a 1 a 13 a 1 a a 1 Bài tập Bài tập 1: Rút gọn biểu thức sau: A 7 4 3 7 4 3 Giải Ta có: A 7 4 3 7 4 3 22 A 222 2.2. 3 3 2 2.2. 3 3 22 A 2 3 2 3 A 2 3 2 3 A 2 3 2 3 A 2 3 4 8 15 Bài tập 2: Rút gọn biểu thức: A 1 5 1 5 5 Giải 4 8 15 A 1 5 1 5 5 4 5 1 8 5 1 3. 5. 5 A 5 1 5 1 5 1 5 1 5 4 5 1 8 5 1 A 22 3 5 5 122 5 1 4 5 1 8 5 1 A 3 5 44 A 5 1 2 5 1 3 5
  4. A 5 1 2 5 2 3 5 A 6 5 1 Bài tập 3: Rút gọn biểu thức sau: A=4+ 15 10- 6 4- 15 Giải 2 A = 10 - 6 4 + 15 4 - 15 = 10 - 6 4 + 15 Vì 10- 6= 2 5- 3>0 nên ta có: 2 A = 2 5 - 3 4 + 15 = 2 8 - 2 15 4 + 15 = 4 = 2 Bài tập 4: Rút gọn biểu thức sau: A= 2+ 3.2+ 2+ 3.2+ 2+ 2+ 3.2- 2+ 2+ 3 Giải Ta có: 2+ 2+ 2+ 3.2- 2+ 2+ 3= 4-2+ 2+ 3 = 2- 2+ 3 2+ 2+ 3.2- 2+ 3= 4-2+ 3= 2- 3 A= 2+ 3. 2- 3=1 1 x x Bài tập 5: Rút gọn biểu thức sau: A = + : x x +1 x + x Giải Điều kiện: x > 0. x +1+ x x x +1+ x A = : = x x +1 x x +1 x 4 - 2 3 Bài tập 6: Rút gọn biểu thức sau: A= 6 - 2 Giải 2 4 - 2 3 3 -1 3 -1 2 A = = = 6 - 2 2 3 -1 2 3 -1 2 2x-9 x+3 2x+1 Bài tập 7: Rút gọn biểu thức sau: A = - - x-5x+6 x-2 3- x Giải Điều kiện xác định: x 0, x 4; x 9. Ta có: Mẫu thức chung là: x-5 x+6= x-2 x-3 2 x-9-x-9+2 x-1 x-2 x - x - 2 A = = x-2 x-3 x-2 x-3 x +1 x - 2 x +1 = = x - 3 x - 2 x - 3
  5. x 2 x 1 x 1 Bài tập 8: Rút gọn biểu thức sau: P 1: với 0 x 1 x x 1 x x 1 x 1 Giải x 2 x 1 x 1 P 1: ( x 1)(x x 1) x x 1 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 1 P 1: ( x 1)(x x 1) x x 1 x 1 x 2 ( x 1)( x 1) x x 1 P 1: ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x 2 (x 1) (x x 1) P 1: ( x 1)(x x 1) x x P 1: ( x 1)(x x 1) x.( x 1) P 1: ( x 1)(x x 1) x P 1: x x 1 x x 1 Suy ra: P x CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP 1. Phương trình bậc nhất 1 ẩn Cách giải Bước 1: Quy đồng (nếu các hạng tử là phân số, phân thức). Bước 2: Chuyển hạng tử chứa x sang vế trái, chuyển hạng tử là số (hằng số) qua vế phải Bước 3: Thu gọn hai vế và đưa về dạng ax = b. b Bước 4: Lấy nghiệm x = - . a 1.1. Dạng tổng quát: ax + b = 0, (a ≠ 0) Cách giải - Nếu a ≠ 0: b ax + b = 0 ax = -b x = - a Phương trình có nghiệm duy nhất . - Nếu a = 0: Phương trình trở thành 0.x + b = 0. Nếu b ≠ 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm. Nếu b = 0 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm.
  6. Bài tập Bài tập 1: Giải phương trình: 5x - 10 = 0 Giải 10 5x - 10 = 0 5x = 10 x x = 2. 5 Vậy phương trình có một nghiệm x = 2. Bài tập 2: Giải phương trình: 9 + 3x = 0 Giải 9 9 + 3x = 0 3x = -9 x x = -3. 3 Vậy phương trình có một nghiệm x = -3. Bài tập 3: Giải phương trình: 7 - 21x = 0 Giải 7 1 7 - 21x = 0 -21x = -7 x x 21 3 Vậy phương trình có một nghiệm . 1.2. Dạng phương trình bậc nhất: f(x) = g(x) (g(x) khác đa thức 0). Cách giải: Bước 1: Nếu trong phương trình có các biểu thức chứa dấu ngoặc thì ta phải thực hiện quy tắc bỏ dấu ngoặc. Bước 2: Thu gọn các đơn thức đồng dạng. Bước 3: Giải phương trình dạng: ax + b = 0. Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình sau: - 5x + 3 = 2x - 4 Giải - 5x + 3 = 2x - 4 -5x - 2x = -4 - 3 - 7x = -7 x = 1. Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 1. Bài tập 2: Giải phương trình: 8x - 3 = 5x + 12 Giải 8x - 3 = 5x + 12 8x - 5x = 12 + 3 3x = 15 x = 5. Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 5. x -3 5- 2x x 5 Bài tập 3: Giải phương trình: - = + 4 6 2 12 Giải x -3 5-2x x 5 - = + 4 6 2 12 MSC = 12. 3 x 3 2 5 2x 6x 5 3x 3 252x 6x 5 3x 910 4x 6x 5 x 24. 12 12 12 12 Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 24. x - 305 x - 307 x - 309 x - 401 Bài tập 4: Giải phương trình: + + + = 4 1700 1698 1696 1694 Giải (Ta sử dụng phương pháp nhân tử hóa) Phương trình trên tương đương: x 305 x 307 x 309 x 401 1 1 1 1 0 1700 1698 1696 1694
  7. x 2005 x 2005 x 2005 x 2005 0 1700 1698 1696 1694 x 2005. 1 1 1 1 Vì 0 1700 1698 1696 1694 Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 2005. 2. Phương trình tích: Dạng phương trình: A(x).B(x).C(x) = 0, trong đó A(x), B(x), C(x) là các biểu thức. Cách giải: A x = 0 A x .B x = 0 B x = 0 A x = 0 A x .B x .C x = 0 B x = 0 C x = 0 A x = 0 B x = 0 A x .B x .C x = 0 C x = 0 Nghiệm của phương trình là hợp tất cả các nghiệm của các phương trình: A(x), B(x), C(x), Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình: (2x - 3)(3x + 4) = 0 (1) Giải 3 x 2xx 3 0 2 3 2 (2x - 3)(3x + 4) 3xx 4 0 3 4 4 x 3 34 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  ; - . 23 Bài tập 2: Giải phương trình: (3x - 2)(4x + 5) = 0 Giải 2 5 (3x - 2)(4x + 5) = 0 3x - 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 x= hoặc x = - 3 4 25 Vậy tập nghiệm của phương trình là S  ; - 34 Bài tập 3: Giải phương trình: (2x - 3)(x + 5) - (x + 5)(x - 6) = 0 Giải (2x - 3)(x + 5) - (x + 5)(x - 6) = 0 x 5 0 x 5 (x + 5)[(2x - 3) - (x - 6)] = 0 (x + 5)(x + 3) = 0 x 3 0 x 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-5; 3}. Bài tập 4: Giải phương trình: 2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0 Giải 5 2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0 (x - 3)(2x + 5) = 0 x - 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0 x = 3 hoặc x = - 2
  8. 5 Vậy phương trình tập nghiệm S =  3; - 2 Bài tập 5: Giải phương trình sau: (5x + 3)(2x - 1) = (4x + 2)(2x - 1) Giải (5x + 3)(2x - 1) = (4x + 2)(2x - 1) (5x + 3)(2x - 1) - (4x + 2)(2x - 1) = 0 (2x - 1)[(5x + 3) - (4x + 2)] = 0 (2x - 1)[5x + 3 - 4x - 2] = 0 (2x - 1)(x + 1) = 0 1 2x -1 = 0 x 2 x +1 = 0 x1 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ; -1 2 3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Cách giải: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu: Tìm mẫu thức chung. Bước 3: Giải phương trình. Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của bài toán để kết luận nghiệm của phương trình. Bài tập áp dụng 1 3 5 Bài tập 1: Giải phương trình sau: -= 2x -3 x(2x -3) x Giải 3 2x 3 0 x Điều kiện xác định (ĐKXĐ): 2 x0 x0 Mẫu thức chung (MTC) = x(2x - 3) x35 2x 3 x2x 3 x(2x 3) x2x 3 4 x - 3 = 5(2x - 3) x - 3 = 10x - 15 9x = 12 x (thỏa mãn điều kiện) 3 4 Vậy tập nghiệm của phương trình là S=  3 x 2 1 2 Bài tập 2: Giải phương trình sau: x 2 x x(x 2) Giải x 2 0 x 2 ĐKXĐ: x 0 x 0 MTC = x(x - 2) x x 2 x 2 2 xx2 xx2 x(x2) x(x + 2) + x - 2 = 2 x2 + 2x + x - 2 = 2
  9. x2 + x - 4 = 0 x1 (thỏa mãn điều kiện) x4 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 4}. 2 1 2x 5 Bài tập 3: Giải phương trình sau: (1) x 3 x 3 x2 9 Giải x 3 0 x 3 ĐKXĐ: x 3 0 x 3 MTC = (x - 3)(x + 3) 2 x 3 x 3 2x 5 (1) x3x3 x3x3 x3x3 2(x - 3) + x + 3 = 2x - 5 2x - 6 + x + 3 = 2x - 5 x = -2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 2} 4. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là |a|, được định nghĩa như sau: a nÕu a 0 a a nÕu a < 0 Ví dụ: |5| = 5, |0| = 0, |-3,5| = 3,5. Cách giải: Dạng 1: |A| = |B| A2 = B2, |A| = |B| A = B Dạng 2: A0 B0 A= B |A| = B hoặc 22 A = B A = B A<0 -A= B B0 A = B A= ±B Dạng 3: Áp dụng đối với phương trình có nhiều biểu thức bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối. i) Lập bảng xét dấu. ii) Giải phương trình trong từng khoảng xác định của x. Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình: |3x| = x + 4. Giải | 3x | = 3x khi 3x ≥ 0 hay x ≥ 0; | 3x | = − 3x khi 3x < 0 hay x < 0. - Xét x ≥ 0: Phương trình đã cho trở thành: 3x = x + 4 2x = 4 x = 2 (thỏa mãn điều kiện) - Xét x < 0: Phương trình đã cho trở thành: -3x = x + 4 -4x = 4 x = -1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-1; 2}. Bài tập 2: Giải phương trình: |x - 3| = 9 - 2x. Giải |x - 3| = x - 3 khi x - 3 ≥ 0 hay x ≥ 3; |x - 3| = -(x - 3) khi x - 3 < 0 hay x < 3. Xét x ≥ 3: Phương trình đã cho trở thành: x - 3 = 9 - 2x 3x = 9 + 3 3x = 12 x = 4 (thỏa) Với x < 3: Phương trình đã cho trở thành: -(x - 3) = 9 - 2x -x + 3= 9 - 2x x = 6 (không thỏa)
  10. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {4}. Bài tập 3: Giải phương trình sau: x+1+x+2+x+3=3 . Giải Ta có bảng xét dấu: x -3 -2 - 1 x+1 -  - - 0 + x+2 - - 0 + + x+3 - 0 + + + Xét x 3: Phương trình trở thành: -(x + 1) - (x + 2) - (x + 3) = 3 -3x - 6 = 3 x = -3(thỏa) Xét -3 x2 : Phương trình trở thành: -(x+1)–(x+2)+(x+3) = 3 -x = 3 x = -3(không thỏa) Xét -2 x1 : Phương trình trở thành: -(x + 1) + x + 2x + 3 = 3 x 4 3 x1 (thỏa) Xét x > -1: Phương trình trở thành: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 3 3x 3 (không thỏa) Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {-1; -3} 5. Phương trình bậc hai một ẩn Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 trong đó a, b, c là các hệ số, x là ẩn số. Cách giải: Bước 1: Tính biệt thức:  = b2 - 4ac. (hoặc tính ' = b'2 - ac, với b = 2b') Bước 2: Lấy nghiệm của phương trình bậc hai theo : Nếu 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: -b ± Δ -b' ± Δ' x= , x= 1,2 1,2 2a a Lưu ý: Điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) có nghiệm, nếu xảy ra một trong các trường hợp sau: i) a.c 0 4 2. 10 2 10 2 4 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 2 và x2 = . 2.3 2.3 3 2 4x 0 x 0 b) 4x - 8x = 0 4x(x - 2) =0 x 2 0 x 2 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 0; x = 2. Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a) 2x2 - 18 = 0 b) 3x2 + 7x + 4 = 0
  11. Giải 2 2 x 3 0 x 3 a) 2x - 18 = 0 2(x - 9) = 0 2(x + 3)(x - 3) = 0 x 3 0 x 3 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 3; x = -3. b) Tổng các hệ số: 3 - 7 + 4 = 0 4 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = . 3 Bài tập 3: Giải phương trình sau: a) 3x2 + 6 = 0 b) 3x2 + 5x + 3 - 3 = 0 Giải 6 a) 3x2 + 6 = 0 3x2 = - 6 x22 x 2 0 (vô lý) 3 Vậy phương trình vô nghiệm. b) 4x2 - 2 x + - 1 = 0 (4x2 - 1) + (2 x + ) = 0 (2x + 1)(2x - 1) + (2x + 1) = 0 (2x + 1)[(2x - 1) + ] = 0 (2x + 1)(2x - 1 + ) = 0 1 x 2x 1 0 2x 1 2 2x130 2x13 13 x 2 1 1 3 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x ; x . 22 6. Phương trình trùng phương Dạng phương trình: ax4 + bx2 + c = 0, (a 0) (1) Cách giải: Bước 1: Đặt: t = x2, (t 0) Bước 2: Khi đó phương trình được viết lại là: at2 + bt + c = 0 (2) Bước 3: Xét nghiệm của phương trình Nếu phương trình (2) vô nghiệm thì phương trình (1) cũng vô nghiệm. Nếu phương trình (2) có nghiệm kép dương thì phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau. Nếu phương trình (2) có nghiệm kép âm thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu phương trình (2) có hai nghiệm đều âm thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm âm và một nghiệm dương thì phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau. Nếu phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt đều dương thì phương trình (1) có hai cặp nghiệm đối nhau từng đôi một. Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình: x4 - 5x2 - 36 = 0 Giải Đặt: x2 = t 0. Khi đó phương trình trở thành: t2 - 5t - 36 = 0 t = 9 và t = -4 (loại) Xét với t = 9 x = 3 và x = -3. Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 3 và x = -3. Bài tập 2: Giải phương trình: x4 - 20x2 + 64 = 0 Giải
  12. Đặt: x2 = t 0. Khi đó phương trình trở thành: t2 - 20t + 64 = 0 t = 4 và t = 16. Với t = 4 suy ra x = 2 và x = -2 Với t = 16 suy ra x = 4 và x = -4 Suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm CHỦ ĐỀ 4: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT PHƯƠNG PHÁP 1. Định lý Vi-ét: - Định lý (thuận): 2 Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 và x2 thì b S = x + x = - 12 a c P = x x = 12 a (S, P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm) - Định lý (đảo): 2 Nếu hai số x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = S và x1x2 = P, (S ≥ 4P) thì x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: X2 - SX + P = 0. 2. Một số dạng phân tích của tổng và tích hai nghiệm: (1) x2 + x 2 = (x + x ) 2 - 2x x = S 2 - 2P (2) x3 + x 3 = (x + x ) 3 -3x x (x + x ) = S 3 -3PS 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (3) x4 + x 4 = (x 2 + x 2 ) 2 - 2x 2 x 2 = S 2 - 2P - 2P 2 4x-x= S-4P,x2 x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 4 2 2 5 x-x1 2 =S.S-4P, x 1 x 2 6 x-x=S-2P1 2 S.S-4P, x 1 x 2 2 2 22 1 1 x + x - 2x x S - 2P 7 x-x =x+x -4xx=S-4P 2 8 + =1 2 1 2 = 1 2 1 2 1 2 x2 x 22 P 2 12 xx12 22 2 2 x x x + x x + x - 2x x S - 2P 1 1x + x S 9 1 + 2 = 1 2 =1 2 1 2 = 10 + =12 = x2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 P x1 x 2 x 1 x 2 P 3. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: (1) Tìm tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm: - Hệ thức đối xứng. - Hệ thức không đối xứng. (2) Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số. (3) Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phương trình không phụ vào tham số. (4) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình. Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 +mx +m+3 = 0 (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 22 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x12 x 3. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5. d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại. e) Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m. Giải a) Ta có: = m2 - 4(m + 3) = m2 - 4m - 12
  13. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 2 m 0 m - 4m - 12 > 0 m - 6 m + 2 > 0 . m > 6 b) Ta có x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Theo định lý Vi-et, ta có: x12 x m x12 x m 3 x2 x 2 (x x ) 2 2x x (m) 22 2(m 3) m 2m 6 1 2 1 2 1 2 Thay vào ta được: 2 2 m = -3 m - 2m - 6 = 9 m - 2m - 15= 0 m = 5 c) Phương trình có nghiệm x12 ;x 0 x12 x m (1) Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: x12 x m 3 (2) Hệ thức: 2x1 + 3x2 = 5 (3) Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình : xx1 2 m 3x3x 1 2 3m x 1 3m5 x 1 3m5 2x1 3x 2 5 2x 1 3x 2 5 x 2 m x 1 x 2 2m 5 x1 3m 5 Thay vào (2) ta có phương trình: x2 2m 5 (3m 5)(2m 5) m 3 6m22 15m 10m 25 m 3 6m 26m 28 0 3m2 13m 14 0 2 (m) 13 4.3.14 1 0 13 1 13 1 7 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: m 2; m 122.3 2.3 3 Kiểm tra: Với m 2 0 (thỏa mãn). 7 25 Với m0 (thỏa mãn). 39 7 Vậy với m 2; m phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2x1 + 3x2 = 5. 3 d) Phương trình (1) có nghiệm x31 (3)2 m.(3)m3 0 2m12 0 m 6 Khi đó: xx1 2 mx 2 mx 1 x 2 6(3)x 2 3 Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm: x1 = x2 = - 3. x1 x 2 m m x 1 x 2 e) Theo định lí Vi-et, ta có: x1 x 2 x 1 x 2 3 x1 x 2 m 3 m x 1 x 2 3 Bài tập 2: Cho x1 = 3; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên. Giải S = x12 + x = 5 Theo hệ thức Vi-ét ta có: . P = x12 x = 6 22 Vậy x1; x2 là hai nghiệm của phương trình có dạng: x -Sx+P=0 x -5x+6=0
  14. Dạng 2: Tìm hai số khi biết và tích của chúng. Bước 1: Gọi hai số cần tìm là x và y. Tính: S = x + y = a; P = x.y = b Bước 2: Khi đó x và y là hai nghiệm của phương trình: X2 - SX + P = 0 Bước 3: Giải phương trình trên, tìm x; y. Bài tập 1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4. Giải Đặt: S = a + b = 3 và P = ab = 4 Khi đó: a và b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x - 4 = 0 Giải phương trình trên ta được: x1 = 1 và x2 = -4 Vậy hai số a và b cần tìm là a = 1 và b = 4; a = -4 và b = 1. Bài tập 2: Tìm 2 số a và b biết 1) a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2) a b = 5 và ab = 36 Giải 1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: a+b=9 a+b2 =81 a22 +2ab+b =81 81- a22 + b ab = = 20 2 Khi đó: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: x2 - 9x + 20 = 0 Phương trình trên có hai nghiệm là x = 4; x = 5. Vậy hai số a và b cần tìm là a = 4 và b = 5; a = 5 và b = 4. 2 2 2 2 2 2 a + b = -13 2) a-b = a+b -4ab a+b = a-b +4ab=169 a + b = 13 a + b = 13 Với a + b = -13 và ab = 36. 2 x1 = -4 Khi đó a, b là nghiệm của phương trình: x +13x +36 = 0 x2 = -9 Vậy a = - 4; b = -9. Với a + b = 13 và ab = 36. 2 x1 = 4 Khi đó a, b là nghiệm của phương trình: x -13x +36 = 0 x2 = 9 Vậy a = 9; b = 4 CHỦ ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH a1 x + b 1 y = c 1 1 Dạng hệ phương trình: a2 x + b 2 y = c 2 2 Cách giải: Cách 1: Dùng phương pháp thế: Cách 2: Giải bằng phương pháp cộng đại số Bước 1: Nhân các vế của phương trình với một số sao cho hệ số của 1 ẩn ở hai phương trình là đối nhau. Bước 2: Cộng hai phương trình với nhau, quy hệ phương trình về phương trình bậc nhất một ẩn, rồi giải tìm ra một ẩn. Bước 3: Thay vào một trong hai phương trình để tìm nghiệm còn lại. Bài tập
  15. x 2y 1 1 Bài tập 1: Giải hệ phương trình: 2x 3y 3 2 Giải Bằng phương pháp rút thế. Từ phương trình (1), suy ra: x = 1 - 2y Thay vào phương trình (2), ta được: 2(1 - 2y) + 3y = 3 2 - 4y + 3y = 3 y = -1 Với y = 1 x = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x, y) = (3, -1). 3x + 2y = 2 Bài tập 2: Giải hệ phương trình: 2x + 3y = 3 Giải Từ hệ phương trình: 1 2 Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2), ta được: x - y = -1 x = y - 1 Thay vào phương trình (2) ta có: y =1 x = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (0, 1) 2x y 22003 Bài tập 3: Giải hệ phương trình: 2001 x y 2 Giải Hệ phương trình Lấy phương trình (1) + (2) x = 22001 Thay vào (1) ta được: y = 22002 hệ có nghiệm duy nhất (x, y) = (22001, 22002) CHỦ ĐỀ 6: HÀM SỐ - ĐỒ THỊ - SỰ TƯƠNG GIAO Một số điều kiện tương giao giữa hai đường thẳng: Cho hai hàm số (đường thẳng) (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2 (a1, a2 là hệ số góc; b1, b2 là tung độ góc) (d1) và (d2) Điều kiện Số giao điểm y = a11 x + b Cắt nhau: d1 x d2 a1 a2 Giải hệ y = a22 x + b Vuông góc: d1  d2 a1.a2 = -1 Giải hệ Song song: d1 // d2 a1 = a2 và b1 b2 Không có Trùng nhau: d1  d2 a1 = a2 và b1 = b2 Vô số Cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất: y = ax + b. Bước 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến, (xác định hướng đồ thị lên hay xuống) Bước 2: Xác định ít nhất hai điểm thuộc đồ thị là 2 điểm A(a, 0) và B(0,b). Bước 3: Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó là đồ thị của hàm số cần tìm.
  16. Dạng đồ thị của hàm số bậc nhất (y = ax + b) là đường thẳng: y y O x O x y= ax + b y= ax + b (a 0)  Chú ý: y = b là đường thẳng song song với trục Ox, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. x = a là đường thẳng song song với trục Oy, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a. Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của (C):y = f(x) và (d):y = m. Nếu biết đồ thị (C): y = f(x) ta có thể suy ra đồ thị (C1): y = f(|x|) như sau: - Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung. - Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung. Bài tập y Bài tập 1: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x - 1. y = 2x - 1 Giải Ta có: Hệ số a = 2 > 0. Hàm số đồng biến. Bảng giá trị: x 0 1 1 y -1 1 Suy ra: O 1 x Đường thẳng y = 2x - 1 sẽ đi qua hai điểm (0; -1) và (1; 1). -1 Vẽ đồ thị: Bài tập 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 3|x| - 2 Giải y Với x ≥ 0, ta có: y = 3x - 2. y = 3|x| - 2 Hệ số a = 3 > 0. Hàm số đồng biến. Bảng giá trị: x 0 1 y -2 1 1 Đường thẳng y = 3x - 2 sẽ đi qua hai điểm (0; -2) và (1; 1). Suy ra: -1 O 1 x Đồ thị hàm số: y = 3|x| - 2 là hình đối xứng với đồ thị hàm số y = 3x - 2 qua trục Oy. -2 2. Hàm số bậc hai y = ax2 (a 0) Tập xác định: D = R. Tính đồng biến, nghịch biến: a > 0: Hàm số đồng biến a < 0: Hàm số đồng biến Cách vẽ đồ thị hàm số: y = ax2. Bước 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến. Bước 2: Lập bảng giá trị (chọn 5 giá trị của x). x - x2 x1 0 x1 x2 2 y = ax y1 y2 0 y1 y2 Bước 3: Biểu diễn các điểm lên trục tọa độ và vẽ đối xứng qua trục Oy.
  17. Các dạng đồ thị y = ax2: y y O x O x (a > 0) (a < 0) Bài tập 2 Bài tập 1: Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x . y Giải 8 Hàm số đồng biến trên R. Bảng giá trị: x -2 -1 0 1 2 y = 2x2 8 2 0 2 8 Đồ thị: 2 x 2 Bài toán 2: Tìm tọa độ điểm M (P): y = 1 2 -2 -1O 1 2 x sao cho M có tung độ bằng - 8. Giải Gọi M x0 ; -8 (P). Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số. 2 x 0 2 Thay vào hàm số, ta được: = -8 x = 16 x0 = 4. 2 0 Vậy có hai điểm M1(-4; -8) và M2(4; -8) thỏa mãn yêu cầu bài toán. x 2 Bài tập 3: Tìm tọa độ điểm M (P): y = sao cho điểm M có hoành độ bằng tung độ. 2 Giải Gọi M x00 ; x (P): y = . Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số. 2 x0 x0 0 Thay vào hàm số, ta được: = x0 - 2x0 = 0 x0(x0 - 2) = 0 2 x20 Vậy có hai điểm M1(0; 0) và M2(2; 2) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập 4: Tìm tọa độ điểm M (P): y = - sao cho điểm M có tung độ bằng 2 lần hoành độ. Giải Gọi M x00 ;2x (P). Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số. Thay vào hàm số, ta được: x00 - =2x0 + 4x0 = 0 x0(x0 + 4) = 0 x40 Vậy có hai điểm M1(0; 0) và M2(-4; -8) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập 5: Cho điểm M(-1; -3) và hàm số: y = -3x2 (P). Điểm M có thuộc (P) hay không? Giải Giả sử M (P). Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Thay vào hàm số, ta được: -3 = -3(-1)2 -3 = -3 (đúng)
  18. Vậy điểm M thuộc đồ thị (P). 3. Điểm và đường thẳng y = ax + b. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm Bước 1: Thay tọa độ hai điểm vào phương trình đường thẳng y = ax + b, ta có hai phương trình. Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tìm a và b. Bước 3: Với a, b tìm được ta viết phương trình đường thẳng. Bài tập: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; -1). Giải Gọi đường thẳng cần tìm có phương trình: y = ax + b. Vì hai điểm A và B thuộc đường thẳng nên tọa độ hai điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng. Thay tọa độ hai điểm A và B vào phương trình, ta có: 2=a+b 2=a+b b=5 -1=2a+b a=-3 a=-3 Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = -3x + 5. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua một điểm A cho trước và song song với một đường thẳng y = mx + n. Bước 1: Tìm hệ số a = m. Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng để tìm b. Bước 3: Với a, b tìm được, ta có phương trình đường thẳng y = ax + b. 1 Chú ý: Đường thẳng y = ax + b vuông góc với y = mx + n thì a = - m Bài tập 1: Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3. Viết phương trình đường thẳng (D)//(d) và đi qua điểm A(-3; 2). Giải Gọi phương trình đường thẳng (D): y = ax + b. Vì (D)//(d) nên a = 2. Ta có (D): y = 2x + b. Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng (D), ta có: 2 = 2.(-3) + b b = 8. Vậy phương trình đường thẳng (D): y = 2x + 8. Bài tập 2: Cho đường thẳng (d): y = 5x - 1. Viết phương trình đường thẳng (D)(d) và đi qua điểm A(3; 5). Giải Gọi phương trình đường thẳng (D): y = ax + b. 1 Vì (D)(d) nên a . 5 1 Ta có (D): y x b . 5 1 22 Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng (D), ta có: 5 .3 b b 55 1 22 Vậy phương trình đường thẳng (D): yx . 55 Dạng 3: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng. Ta chỉ cần giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn với hai phương trình của hệ là hai đường thẳng. Bài tập: Cho hai đường thẳng (d): 3x + 2y = 15 và (d'): 5x - 4y = - 8. Tìm tọa độ giao điểm M của (d) và (d').
  19. Giải Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: x2 3x 2y 15 9 5x 4y 8 y 2 9 Vậy (d) và (d') cắt nhau tại điểm M 2; . 2 Dạng 4: Tìm điểm A hoặc B thuộc đường thẳng y = ax + b, biết trước hoành độ hoặc tung độ. Bước 1: Thay giá trị hoành độ hoặc tung độ vào phương trình đường thẳng y = ax + b để tìm tung độ hoặc hoành độ tương ứng. Bước 2: Với các giá trị tung độ, hoành độ tìm được ta có điểm cần tìm. 3 Bài tập: Cho đường thẳng (d): y = - x +3. Tìm điểm A trên (d) có hoành độ bằng 4 và điểm B 4 trên (d) có tung độ bằng 6. Giải 3 Vì A (d) nên thay x = 4 vào (d) ta được: y = - .4 +3 = 0 4 Suy ra: A(4; 0). Vì B (d) nên thay y = 6 vào (d) ta được: 3 6 = - x = 3 x = - 4. 4 Suy ra: B(-4; 6) Dạng 5: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Bước 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Bước 2: Chứng minh điểm C (AB). Bài tập: Cho ba điểm A(2; -1), B(1; 1), C(-3; 9). Chứng minh A, B, C thẳng hàng. Giải Gọi phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b. Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình ta có hệ phương trình: 1 2a b a 2 1 a b b 3 Suy ra: (AB): y = -2x + 3. Giả sử điểm C(-3; 9) thuộc đường thẳng (AB), ta được: 9 = -2.(-3) + 3 9 = 9 (đúng) Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng. 4. Sự tương giao của đường thẳng: y = bx + c (D) và đồ thị hàm số y = ax2 (P). Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng (D) và đồ thị hàm số (P). Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: ax2 = bx + c hay ax2 - bx + c = 0. Bước 2: Giải phương trình trên, ta có hoành độ. Bước 3: Từ giá trị hoành độ, suy ra giá trị tung độ. 1 Bài tập 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (P): y x 2 và đường thẳng (d): y = x + 1. 4 Giải Gọi M(x; y) là giao điểm của (d) và (P). Khi đó hoành độ của M là nghiệm của phương trình:
  20. 1 x 2 x 1 x2 + 4x + 4 = 0 (x + 2)2 = 0 x = -2 y = -1. 4 Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là M(-2; -1). Bài tập 2: Cho hàm số y = mx2 (P), (m 0) và đường thẳng (d): y = 2mx - m - 4. Tìm giá trị m để đường thẳng (d) cắt (P) tại một điểm. Giải Trường hợp 1: Vì đồ thị hàm số y = mx2, (m ≠ 0) có trục đối xứng là đường thẳng x = 0 nên đường thẳng y=2mx-m-4 trùng với đường thẳng x = 0 x0 Ta có hệ phương trình: y 2mx m 4 Giải hệ trên, ta được: m = -4 Trường hợp 2: Đường thẳng: y = 2mx - m- 4 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2. Khi đó ta có phương trình: mx2 - 2mx + m + 4 = 0 có nghiệm kép ' = m2 - (m + 4)m = 0 m = 0 (không thoả mãn điều kiện m ≠ 0 của bài toán) Vậy giá trị cần tìm là m = - 4. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (d') song song với một đường thẳng (d): y = bx + c cho trước và cắt đồ thị (P): y = ax2 tại một điểm. Trường hợp 1: (d') cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng m. Bước 1: Gọi đường thẳng (d'): y = bx + d, vì (d')//(d) Bước 2: Gọi M(m; yM) = (d') X (P). 2 Khi đó, ta có: yM = a.m . Thay vào phương trình đường thẳng (d'): yM = b.m + d. Suy ra: d = yM - b.m. Trường hợp 2: (d') cắt (P) tại điểm có tung độ bằng n. Bước 1: Gọi đường thẳng (d'): y = bx + d, vì (d)//(d') Bước 2: Gọi N(xN; n) = (d') X (P). 2 Khi đó, ta có: n = a. xN . Thay vào phương trình đường thẳng (d'): n = b.xN + d. n - d Suy ra: x= . N b 1 Bài tập 1: Cho hàm số: y x 2 (P) và đường thẳng: y = x (d). Viết phương trình đường thẳng 2 (d'). Biết (d') song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -2. Giải Gọi đường thẳng (d'): y = x + b. vì (d')//(d) nên hệ số của hai đường thẳng bằng nhau. Gọi M(-2; y) là giao điểm của (d') và (P). 1 Khi đó, ta có: y = . - 2 2 2. 2 Suy ra: M(-2; 2). Vì M (d) nên ta có: 2 = -2 + b b = 4. Vậy phương trình đường thẳng (d'): y = x + 4. 1 Bài tập 2: Cho hàm số y x 2 (P) và y = x + 1 (d). Viết phương trình đường thẳng (d'). Biết (d') 4 song song với (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ bằng -4. Giải Gọi đường thẳng (d'): y = x + b. vì (d')//(d) nên hệ số của hai đường thẳng bằng nhau. Gọi N(x; - 4) là giao điểm của (d') và (P). 1 2 2 Khi đó, ta có: - 4 = .x x 1 x 1. Suy ra: N1(-1; -4) và N2(1; -4). 4 Xét N1(-1; -4) (d) nên ta có: -4 = -1 + b b = -3.
  21. Vậy phương trình đường thẳng (d'): y = x - 3. Xét N2(1; -4) (d) nên ta có: -4 = 1 + b b = -5. Vậy phương trình đường thẳng (d'): y = x - 5. Dạng 3: Chứng minh đường thẳng (d): y = bx + d tiếp xúc với đồ thị (P): y = ax2. Cách chứng minh: Để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (P) khi và chỉ khi phương trình: ax2 = bx + d có nghiệm kép. Giải = 0. 1 Bài tập 1: Cho hàm số y x 2 (P) và y = mx - 2m - 1 (d). 4 Tìm giá trị của m sao cho (P) tiếp xúc với (d). Giải Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (P) khi: 1 x 2 mx 2m 1 hay x2 + 4mx - 8m - 4 = 0 4 có nghiệm kép. Ta có: = (4m)2 + 4(8m + 4) = 16m2 + 32m + 16. Vì phương trình có nghiệm kép nên = 0 16m2 + 32m + 16 = 0 m2 + 2m + 1 = 0 (m + 1)2 = 0 m = -1. Vậy m = -1 thì (d) tiếp xúc với (P). Bài tập 2: Cho hàm số y 3mx 2 (P) và y = 3x + 1 (d). Tìm giá trị của m sao cho (P) tiếp xúc với (d). Giải Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (P) khi: 3mx2 = 3x + 1 hay 3mx2 - 3x - 1 = 0 có nghiệm kép. Ta có: = 9 - 4.3m.(-1) = 9 + 12m Vì phương trình có nghiệm kép nên 9 + 12m = 0 3 m = . 4 3 Vậy m = thì (d) tiếp xúc với (P). 4 Bài tập 3: Xác định hàm số y = mx2 và đường thẳng y = nx + p. Biết đồ thị hai hàm số này tiếp xúc nhau tại điểm M(-1, 1). Giải Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm M, nên ta có hệ phương trình 1 = m (1) 1 = p - n Vì M là nghiệm của phương trình: mx2 - nx - p = 0 Phương trình này có nghiệm n x= 2m hay -1 = n = -2m (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
  22. mm 11 p n 12 n n 21 m p Suy ra hàm số cần tìm là y = x2 và y = -2x - 1 Dạng 5: Diện tích tam giác tạo bởi hai giao điểm của đường thẳng (D), đồ thị (P) và gốc O. Bước 1: Gọi giao điểm của (D) và (P) lần lượt là A(xA; yA) và B(xB, yB). Bước 2: Kẻ AC, BD vuông góc với Ox. Bước 3: Tính diện tích hình thang ABDC. Bước 4: S AOB = SACDB - S ACO - S BOD Bài tâp: Cho hàm số y = x2 (P) và y = -2x + 3 (d). a) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (d) và (P). b) Tính diện tích tam giác AOB. y Giải a) Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: A 9 x2 = -2x + 3 x2 + 2x - 3 = 0. x = -3; x = 1. Với x = -3 y = 9. Suy ra: A(-3; 9). 4 Với x = 1 y = 1. Suy ra: B(1; 1). b) Đồ thị Kẻ ACOx và BDOx. B Ta có: C 1 -3 O D 2 x SABDC = AC BD .CD 2 11 yABAB y . x x 9 1 3 1 20 . 22 1 1 1 S ACO = OC.AC x y . 3 9 6 . 2 2 A A 2 1 1 1 S BDO = OD.BD x y . 1 1 1 . 2 2 B B 2 Vậy: S ABO = SABDC - S ACO - S BDO = 20 - 6 - 1 = 13. CHỦ ĐỀ 7: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Cách tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0). - Giá trị lớn nhất của f(x): Bước 1: Phân tích: f(x) = m - (cx + d)2, với M là hai số thực. d Bước 2: GTLN của f(x) = m, đạt được khi cx + d = 0 x . c - Giá trị nhỏ nhất của f(x): Bước 1: Phân tích: f(x) = M + (ex + f)2, với M là hai số thực. f Bước 2: GTNN của f(x) = M, đạt được khi ex + f = 0 x e Bài tập Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2x2 + 6x + 10. Giải Ta có: y = 2x2 + 8x + 15
  23. y = 2(x2 + 4x + 4) + 7 y = 2(x + 2)2 + 7 ≥ 7. Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 7, đạt được khi x + 2 = 0 x = -2. Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 5 + 4x - 4x2. Giải Ta có: y = 5 + 4x - 4x2 y = 6 -(1 - 4x + 4x2) y = 6 - (1 - 2x)2 ≤ 6 1 Vậy giá trị lớn nhất của y = 6, đạt được khi 1 - 2x = 0 x . 2 1 Bài tập 3: Tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị lớn nhất. x2 - 2 2x +5 Giải Ta có: 2 x2 2 2 x 5 x 2 3 3 1 1 1 2 2 xx 2 2 5 x 23 3 1 Khi x = 2 thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất là . 3 10 Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . xx2 49 Giải Ta có: -x2 + 4x - 9 = -5 - (x - 2)2 - 5. 10 10 Do đó: 2 . xx2 4 9 5 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 2 = 0 x = 2. Vậy GTNN của biểu thức là -2. CHỦ ĐỀ 7 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP: Gồm 3 bước: Bước 1: Lập phương trình. Chọn ẩn và tìm điều kiện cho ẩn (chọn ẩn là các đại lượng bài toán yêu cầu) Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn. Lập phương trình. Bước 2: Giải phương trình. Bước 3: Nhận định kết quả. Đối chiếu với điều kiện bài toán. Nếu kết quả có chứa tham số thì phải biện luận. CÁC DẠNG TOÁN: Dạng 1: Dạng toán chuyển động. Dạng 2: Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học. Dạng 3: Dạng toán công việc làm chung, làm riêng. Dạng 4: Dạng toán chảy chung, chảy riêng của vòi nước. Dạng 5: Dạng toán tìm số. Dạng 6: Dạng toán sử dụng các kiến thức vật lý, hoá học. Dạng 7: Bài toán dân số, phần trăm.
  24. BÀI TẬP DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Phương pháp Bài toán chuyển động thường gặp: Chuyển động cùng chiều, ngược chiều, chuyển động trên dòng sông, Cách giải: Gọi s, t, v: Lần lượt là quãng đường, thời gian, vận tốc. Quãng đường: s = v.t. s Vận tốc: v= . t s Thời gian: t= . v Các dạng cơ bản: (1) Chuyển động cùng chiều: Hai xe chuyển động cùng chiều trên cùng một quãng đường, đến khi gặp nhau: Quãng đường xe 1 đi = Quãng đường xe 2 đi. Nếu hai xe cùng xuất phát, mà ô tô 1 đến trước ô tô 2 là t giờ: Thời gian xe 2 đi - Thời gian xe 1 đi = t (2) Chuyển động ngược chiều: Hai xe chuyển động ngược chiều trên cùng một quãng đường đến chỗ gặp nhau: Quãng đường xe 1 đi + Quãng đường xe 2 đi = s (3) Chuyển động trên dòng nước: vxuôi dòng = vriêng + vnước vngược dòng = vriêng - vnước (4) Chuyển động trên cùng một đường tròn: Hai vật xuất phát từ một điểm sau thời gian t thì gặp nhau: Chuyển động cùng chiều: Độ dài s của đường tròn: s = t(v1 - v2), (với v1, v2 là vận tốc của hai vật, v1 > v2) Chuyển động ngược chiều: Độ dài s của đường tròn: s = t(v1 + v2), (với v1, v2 là vận tốc của hai vật) Bài tập Bài tập 1: Từ hai điểm A và B cách nhau 24 km. Hai ôtô xuất phát từ A và B cùng một lúc và sau đó gặp nhau. Sau 16 phút khởi hành thì ôtô thứ nhất gặp ôtô chạy ngược chiều. Nhưng sau 4 phút, ôtô thứ hai chạy từ B gặp ô tô thứ nhất. Xác định vận tốc của xe xuất phát từ A. Hướng dẫn Gọi khoảng cách đi từ A đến chỗ gặp nhau là: x(m) ( 0 0) Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta có phương trình: 54 = (1) x + y x - y
  25. 9 Vì chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút = giờ nên ta có phương 2 40 40 9 trình: += (2) x + y x - y 2 54 = x + y x - y Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình : 40 40 9 += x + y x - y 2 BÀI TẬP DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KIẾN THỨC HÌNH HỌC Phương pháp Gọi C: Chu vi, S: Diện tích. Hình chữ nhật: Tính chu vi hình chữ nhật: C = (a + b).2, (với a, b là chiều dài, chiều rộng) Tính diện tích hình chữ nhật: S = a.b Hình vuông: Tính chu vi hình vuông: C = 4a (a: Độ dài cạnh hình vuông) Tính diện tích hình chữ nhật: S = a2. Tam giác: a + b + c Nửa chu vi: S= 2 Chu vi tam giác: C = a + b + c, (với a, b, c: Lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác) 1 Diện tích tam giác: S = a.h , (a: Chiều cao, ha: Cạnh đáy tương ứng với cạnh a) 2 a Độ dài cạnh huyền: c2 = a2 + b2, (c: Cạnh huyền; a, b: Lần lượt là các cạnh góc vuông) n(n - 3) Số đường chéo của một đa giác , (n: Số đỉnh). 2 Bài tập Bài tập 1: Mỗi cạnh của hình vuông được tăng thêm 2cm. Trong lúc đo diện tích của nó tăng thêm 16cm2. Chiều dài của mỗi cạnh hình vuông trước khi chưa tăng là bao nhiêu? Hướng dẫn Gọi x là chiều dài cạnh hình vuông khi chưa tăng, x(cm), (Điều kiện: x > 0). Theo bài ra ta có: (x + 2)2 = x2 + 16 Bài tập 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360m2. Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 6m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chu vi của mảnh đất lúc đầu. Hướng dẫn Gọi chiều rộng là a(m), (a > 0) Chiều dài là b(m), (b > 0) Mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360m2, ta có phương trình: ab = 360 (1) Khi tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 6m thì diện tích mảnh đất không đổi, ta có phương trình: (a + 2)(b - 6) = ab (2) ab 360 Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: a 2 b 6 ab BÀI TẬP DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT LÀM VIỆC Phương pháp Năng suất làm việc là phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian. Công thức: A = N.T Trong đó: A: Khối lượng công việc. N: Năng suất làm việc. T: Thời gian làm việc.
  26. Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm. Biết năng suất làm việc, thời gian hoàn thành, lượng công việc để áp dụng hợp lý. Năng suất lao động tăng thêm = (100% + mức năng suất %).quy định công việc. Bài tập Bài tập 1: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm công việc khác, tổ thứ hai làm một mình phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc. Hướng dẫn Gọi thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành công việc là x, (giờ), (Điều kiện: x > 12). 1 Trong 1 giờ tổ hai làm được khối lượng công việc: (KLCV). x 4 1 Sau 4 giờ hai tổ đẵ là chung được khối lượng công việc là: = (KLCV). 12 3 2 Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là: 1 - = (KLCV). 3 Vì tổ hai hoàn thàmh khối lượng công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phương trình: : x = 10. Giải phương trình trên, ta được x= 15. Vậy thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành khối lượng công việc là: 15 giờ. Bài tập 2: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong công việc. Mỗi ngày, phần việc của đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao lâu? Hương dẫn Gọi x (ngày) là thời gian để đội A làm riêng hoàn thành công việc, Gọi y (ngày) là thời gian để đổi B làm riêng hoàn thành công việc, (x, y > 24). Mỗi ngày đội A là được công việc. 1 Mỗi ngày đội B là được công việc. y Vì mỗi ngày, phần việc của đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình: 1 3 1 . (1) x 2 y Hai đội cùng làm chung thì trong 24 ngày làm xong công việc, nên ta có phương trình: 1 1 1 (2) x y 24 1 3 1 . x 2 y Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 1 1 1 x y 24 BÀI TẬP DẠNG TOÁN VÒI NƯỚC CHẢY CHUNG, CHẢY RIÊNG Phương pháp Cách giải: Bước 1: Tìm lượng nước chảy chung của hai vòi. Lượng nước chảy riêng của mỗi vòi vào bể hoàn thành. Lập phương trình lượng nước. Bước 2: Thời gian hai vòi chảy đầy bể. Thời gian chảy riêng hoàn thành của mỗi vòi. Lập phương trình thời gian chảy đầy bể. Bước 3: Giải hệ phương trình. Bài tập
  27. Bài tập 1: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ bể đầy. Nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải chảy trong bao lâu mới đầy bể? Biết rằng nếu chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể sớm hơn vòi thứ hai 6 giờ. Hướng dẫn Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (giờ), (Điều kiện: x > 0). Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là x + 6. Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được 1 bể. x Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được 1 bể. x6 Theo bài ra ta có phương trình: + = 1 4 Bài tập 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất 2 chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một 15 mình thì bao lâu mới đầy bể. Hướng dẫn Gọi thời gian để Vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x, ( phút), x > 80. Gọi thời gian để Vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y, ( phút), y > 80. 1 1 Công suất tính theo phút của Vòi thứ nhất là: (bể), vòi thứ hai là (bể). x y Vì hai vòi cùng chảy sau 1 giờ 20 phút = 80 Phút, thì đầy bể do đó ta có phương trình: 1 + = (1) 80 Sau 10 phút Vòi 1 chảy được: 10. (bể). Sau 12 phút Vòi 2 chảy được: 12. (bể) Vì nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy bể do đó 10 12 ta có phương trình: + = (2) x y 1 1 1 += x y 80 Theo bài ra ta có hệ phương trình: 10 12 2 += x y 15 BÀI TẬP DẠNG TOÁN TÌM SỐ Phương pháp Cách viết số trong hệ thập phân của số tự nhiên: Số có hai chữ số: ab= 10a+b Số có ba chữ số: abc= 100a+10b+c Số có ba chữ số: abcd =1000a+100b+10c+d Quan hệ chia hết và chia có dư: Số a chia b được c và có số dư là r, được viết: a = b.c + r. Nếu a chia hết cho b thì số dư r = 0. Nếu a không chia hết cho b thì số dư r ≠ 0. Bài tập Bài tập 1: Một số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó 1 thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng phân số đã cho. Tìm phân số đó? 2 Hướng dẫn
  28. Gọi tử số của phân số đó là x, (Điều kiện: x3 ) Mẫu số của phân số đó là x + 3. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị thì Tử số là x + 1 Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4 1 x 1 1 Được phân số mới bằng ta có phương trình: 2 x 4 2 Bài tập 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng tổng của hai chữ số bằng 12. Chữ số hàng đơn vị bằng 3 lần chữ số hàng chục. Só đó là. Hướng dẫn Điều kiện: 0 0,2) Khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x – 0,2 (g/cm3). 8 Thể tích của chất lỏng thứ nhất là (cm3 ) x 6 Thể tích của chất lỏng thứ hai là (cm3 ) x, 02 86 Thể tích của hỗn hợp là (cm3 ) x x 02 , 8 6 14 Theo bài ra ta có phương trình: x x 0 , 2 0 , 7 Bài tập 2: Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích) và một dung dịch khác chứa 55% axit nitơric. Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100lít dung dịch 50% axit nitơric? Hướng dẫn Gọi x, y theo thứ tự là số lít dung dịch loại 1 và 2 (x, y > 0) 30 55 Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch loại 1 là x và loại 2 là y 100 100 x + y = 100 Ta có hệ phương trình: 30 55 x + y = 50 100 100
  29. BÀI TẬP DẠNG TOÁN DÂN SỐ, PHẦN TRĂM Phương pháp Cách giải: Gọi a là số dân được biết trước. Khi đó: Nếu tăng dân số thêm b% thì ta có số dân sau khi tăng là: a + ab%. Nếu giảm dân số b% thì ta có số dân sau khi giảm là: a - ab%. Gọi x là số tiền được gửi cố định, với lãi suất gửi số tiền x là y%/ tháng và không thay đổi lãi suất. Khi đó: Số tiền tính được trong một tháng là: x + x.y% Số tiền tính được trong hai tháng là: x + (x +x.y%).y% Tương tự như vậy, ta tính được số tiền gửi trong một năm. Bài tập Bài tập 1: Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là a% (a là một số cho trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau. 1) Hãy viết biểu thức biểu thị : Số tiền lãi sau tháng thứ nhất; Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất; Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai. 2) Nếu lãi suất là 1,2% (tức là a = 1,2) và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 48,288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm? Hướng dẫn 1) Số tiền lãi sau một tháng gửi với lãi suất a% với tiền gửi x nghìn đồng là ax. Số tiền có được (cả gốc lẫn lãi) sau tháng thứ nhất : x + ax = x (1 + a) nghìn đồng. Số tiền lại sau hai tháng là : L = ax + ax(1 + a) = x(a2 + 2a) 144 24 2) Thay a = 1,2% là L = 48,288 ta được: x + = 48,288 1000000 1000 Bài tập 2: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi năm ngoái mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc? Hướng dẫn Gọi x (tấn) là số tấn thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị 1, (x > 0) Gọi y (tấn) là số tấn thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị 2, (y > 0) Năm ngoái cả hai đội thu hoạch được 720 (tấn) ta có phương trình: x + y = 720 (1) Năm nay đội 1 thu hoạch được 115% (tấn) thóc, đội 2 thu hoạch được 112% (tấn) thóc, tổng 2 đội thu hoạch được 819(tấn) ta có phương trình: 115% x + 112% y = 819 (2) x y 720 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 115 112 x y 819 100 100
  30. CHỦ ĐỀ 8: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT PHƯƠNG PHÁP Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai. Cho biểu thức: f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0). Ta có: f(x) = m - (cx + d)2 hoặc f(x) = M + (ex + f)2, với m, M là hai số thực. Giá trị lớn nhất của f(x): d GTLN f(x) = m, đạt được khi cx + d = 0 x . c Giá trị nhỏ nhất của f(x): f GTNN f(x) = M, đạt được khi ex + f = 0 x e Bài tập Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2x2 + 6x + 10. Giải Ta có: y = 2x2 + 8x + 15 y = 2(x2 + 4x + 4) + 7 y = 2(x + 2)2 + 7 ≥ 7. Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 7, đạt được khi x + 2 = 0 x = -2. Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 5 + 4x - 4x2. Giải Ta có: y = 5 + 4x - 4x2 y = 6 -(1 - 4x + 4x2) y = 6 - (1 - 2x)2 ≤ 6 1 Vậy giá trị lớn nhất của y = 6, đạt được khi 1 - 2x = 0 x . 2 Px Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng 0 hoặc Qx Px 0, với P(x) và Q(x) là các đa thức có bậc lớn hơn 0. Qx x2 15x 16 Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . 3x Giải 2 x4 23 Ta có P = = , với mọi x > 0 3x 3 2 x4 23 23 Vì x > 0 nên . 3x 3 3 23 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = , đạt được khi x = 4. 3 3x2 6x 10 Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = . x2 2x 3 Giải Tập xác định: D = R.
  31. 3x2 6x 10 1 Ta có: P = = 3 + . 2 x 2x 3 x 1 2 2 11 1 Vì nên ta có: P = 3 + 3 + = 3,5. x 1 2 2 2 2 Vậy giá trị lớn nhất của P = 3,5, đạt được khi (x + 1)2 = 0 x = -1 Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy): xy Với hai số thực không âm x, y ta có: xy 2 Với bốn số thực không âm x, y, z, t ta có: x y z 3 xyz 3 x y z t 4 xyz 4 8x2 2 Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = , với x > 0. x Giải 2 Ta có: P = = 8x + . x Ta thấy 8x và là hai đại lượng lấy giá trị dương. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và ta có: 2 8x + 2 8x. 2 16 8. x Dấu bằng xảy ra khi: 8x = x = . Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8, đạt được khi x = . 1 Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x + , với x > 0. 8x Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương: 2x và , ta có: 1 1 1 P = 2x + 2 2x. 2 1 hay P ≥ 1. 8x 8x 4 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1, đạt được khi 2x = x = . 4 Dạng 4: Tìm GTLN,GTNN bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki (Bouniakovski ) hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (C - S). Bất đẳng thức Buanhiakovski: 2 2 2 2 2 Cho hai bộ số thực (a1, a2) và (b1, b2). Khi đó ta có: a1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 aa Dấu bằng xảy ra khi 12= bb12
  32. Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + y2 + z2. Biết: x + y + z = 1995. Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho bộ ba số: (1, 1, 1) và (x, y, z) ta có: (x.1 + y.1 + z.1)2 ≤ (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2) ( x + y + z )2 ≤ 3(x2 + y2 + z2) 19952 ≤ 3(x2 + y2 + z2), vì x + y + x = 1995. 19952 Từ đó, ta có: P = x2 + y2 + z2 . 3 22 x y z Vậy giá trị nhỏ nhất của P = aa12 , đạt được khi x y z 665 . x y z 1995 Bài tập 2: Cho biểu thức: P 2x 4y 5z . Trong đó x, y, z là các đại lượng thoả mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 169. Tìm giá trị lớn nhất của P. Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho bộ ba số:(2, 4, 5 ) và (x, y, z), ta có: 22 2x4y 5z 242 2 5 xyz 2 2 2 2 Hay P2 22 4 2 5 x 2 y 2 z 2 , vì x2 + y2 + z2 = 169 nên P2 25.169. x y z Vậy giá trị lớn nhất của P = 65, đạt được khi 24 5 . 2 2 2 x y z 169 CHỦ ĐỀ 9 BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN - BÀI TOÁN LÃI SUẤT 1. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG Dạng 1: Gửi vào a đồng, lãi r/tháng (lãi tháng trước cộng lãi tháng sau - lãi kép). Tính số tiền có được sau n tháng (cuối tháng thứ n). Cuối tháng 1, số tiền là: a + ar = a(1 + r) Cuối tháng 2, số tiền là: a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2 Cuối tháng n, số tiền là: A = a(1 + r)n Bài tập 1: Một người gửi 1 triệu (lãi kép), lãi suất là 0,65%/tháng. Tính số tiền có được sau 2 năm? Áp dụng CT, số tiền là: 1000000(1 + 0,0065)24 = 1168236,313 Làm tròn thành: 1168236 (không phải bài nào cũng làm tròn như vậy, cần lưu ý). Bài tập 2: Bác Bảy bán một mảnh đất ở quê mang lên thành phố sống. Bác dự định gửi 1.000.000.000 đồng vào ngân hàng A theo chính sách lãi kép ( nghĩa là tiền lãi sinh ra sau 1 năm gửi không rút lãi thì số tiền đó được cộng tiếp vào vốn để sinh lời cho năm tiếp theo), lãi suất ngân hàng hiện tại là 7%/năm. a) Hỏi sau 1 năm, bác Bảy thu được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi? b) Giả sử bác Bảy vẫn để nguyên tiền ban đầu trong ngân hàng và lãi suất theo năm không đổi. hỏi sau 3 năm, bác Bảy thu được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi? Hướng dẫn 1 7 a) A = 1000000000 1 = 1.070.000000 (đồng) 100
  33. 3 7 b) A = 1000000000 1 = 1.225.043.000 (đồng) 100 Dạng 2: Mỗi tháng gửi a đồng (lãi kép - tháng nào cũng gửi thêm vào đầu mỗi tháng), lãi r/tháng. Tính số tiền thu được sau n tháng. Cuối tháng 1, số tiền là: a(1 + r) Cuối tháng 2, số tiền là: [a(1 + r) + a](1 + r) = a(1 + r)2 + a(1 + r) (đầu tháng 2 gửi thêm a đồng, số tiền cuối tháng 2 được tính bằng số tiền đầu tháng 2 + lãi) Cuối tháng 3, số tiền là: [a(1 + r)2 + a(1 + r)](1 + r) = a(1 + r)3 + a(1 + r)2 + a(1 + r) Cuối tháng n, số tiền là: a(1 + r)n + a(1 + r)n−1 + + a(1 + r) = a(1 + r)[a(1 + r)n−1 + a(1 + r)n−2 + + a] a Suy ra: A= (1 + r)[(1 + r)n −1] r Bài tập: Muốn có 1 triệu sau 15 tháng thì mỗi tháng phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu, biết lãi suất 0,6%/tháng. Với a là số tiền gửi hàng tháng. Áp dụng CT trên ta có: 1000000.0,006 a 63530,14591 1 0,006 1 0,006 15 1 Đến đây nhiều bạn nghĩ đáp số là 63530 đồng, tuy nhiên nếu gửi số tiền đó mỗi tháng thì sau 15 tháng chỉ thu được GẦN 1 triệu, vậy nên đáp số phải là 63531 đồng (thà dư chứ không để thiếu). Dạng 3: Vay A đồng, lãi r/tháng. Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu để sau n tháng thì hết nợ (trả tiền vào cuối tháng). Gọi a là số tiền trả hàng tháng! Cuối tháng 1, nợ: A(1 + r) Đã trả a đồng nên còn nợ: A(1 + r) − a Cuối tháng 2 còn nợ: [A(1 + r) − a](1 + r) − a = A(1 + r)2 − a(1 + r) − a Cuối tháng 3 còn nợ: [A(1 + r)2 − a(1 + r) − a](1 + r) − a = A(1 + r)3 − a(1 + r)2 − a(1 + r) − a 1+r n -1 Cuối tháng n còn nợ: A(1 + r)n − a(1 + r)n−1 − a(1 + r)n−2 − −a = A(1 + r)n − a. r A.r. 1+r n Để hết nợ sau n tháng thì số tiền a phải trả hàng tháng là: a= 1+r n -1  Chú ý: Nếu vay trả góp - rút dần hàng tháng là M, tiền lãi r/tháng thì tổng tiền sau n tháng là: M n T =. 1+r -1 r Bài tập: Một người vay 50 triệu, trả góp theo tháng trong vòng 48 tháng, lãi là 1,15%/tháng. a. Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu? b. Nếu lãi là 0,75%/tháng thì mỗi tháng phải trả bao nhiêu, lợi hơn bao nhiêu so với lãi 1,15%/tháng. 50000000.0,0115. 1 0,115 48 a. Số tiền phải trả hàng tháng: 1361312,807 1 0,0115 48 1 Tức là mỗi tháng phải trả 1361313 đồng
  34. 50000000.0,0075. 1 0,0075 48 b. Số tiền phải trả hàng tháng: 1244252,119 1 0,0075 48 1 Tức là mỗi tháng phải trả 1244253 đồng Lợi hơn 117060 đồng 2. BÀI TOÁN TÍNH TIỀN ĐIỆN - NƯỚC - TAXI Điện năng tính bằng kWh, nước tính bằng m3, taxi tính bằng km thì tất cả phương pháp đều như nhau. Phương pháp Dạng 1: Tính lượng điện tiêu thụ cho các thiết bị điện trong gia đình: - Biết công suất P và thời gian tiêu thụ điện năng: A = P.t Nếu trong 1 ngày sử dụng t giờ thì trong m ngày điện năng tiêu thụ là: A = P.t.m A: lượng điện tiêu thụ trong thời gian t (đơn vị kWh) P: công suất (đơn vị kW) t: thời gian sử dụng (đơn vị giờ) - Biết hiệu điện thế U(V) sử dụng, cường độ dòng điện I(A) và hệ số công suất cos . Tính P = U.I.cos (W). (đổi W = 0,001kW) Tính A = P.t  Chú ý: Đây là số chỉ của công tơ điện. Bài tập 1: Tủ lạnh có công suất là 120W, trong một ngày lượng điện tiêu thụ là bao nhiêu? Hướng dẫn Đổi 120W = 0,12 kW. Lượng điện tiêu thụ trong 1 ngày (24 giờ) là: A = P.t = 0,12.24 = 2.88 kWh Bài tập 2: Máy bơm nước sử dụng điện 220V-20A và trên máy bơm có ghi cos = 0,7. Trong 30 phút, lượng điện năng tiêu thụ là bao nhiêu? Hướng dẫn P = U.I.cos = 220.20.0,7 = 3080VA = 3,08kW. Lượng điện năng tiêu thụ của máy bơm trong 30 phút = 0,5 giờ là: A = P.t = 3,08.0.5 = 1,54kWh. Dạng 2: Tính giá tiền T (đồng) để sử dụng m kWh điện trong thời gian n ngày. - Giá tiền đúng định mức cho m kWh điện là A (đồng) là: T = m.A (đồng/kWh) - Giá định mức cho m kWh điện là T1(đồng), p kWh tiếp theo là T2 (đồng), q kWh tiếp theo là T3 (đồng) thì giá tiền tiêu thụ điện trong n ngày là: T = (m.T1 + p.T2 + q.T3).n (đồng/kWh) - Nếu đề bài cho số chỉ mới và số chỉ cũ của công tơ điện, tiền điện được tính là: Điện năng tiêu thụ = Chỉ số mới - chỉ số cũ. Tiền điện = điện năng tiêu thụ đơn giá - Số tiền thay đổi trong 1 tháng theo định mức tiêu thụ so với giá mới và giá cũ: Số tiền tăng = |giá mới - giá cũ| điện năng tiêu thụ Bài tập 1: Theo quyết định Bộ Công Thương ban hành, giá bán lẻ điện sinh hoạt từ 16/3 sẽ dao động trong khoảng từ 1484 đến 2587 đồng mỗi kWh tùy bậc thang. Dưới đây là bảng so sánh biểu giá điện trước và sau khi điều chỉnh:
  35. Mức sử dụng trong tháng (kWh) Giá mới Giá hiện tại 0 - 50 1484 1388 51 - 100 1533 1433 101 - 200 1786 1660 201 - 300 2242 2082 301 - 400 2503 2324 401 trở lên 2587 2399 Đơn vị: Đồng/kWh a) Nếu hộ A trung bình mỗi tháng tiêu thụ 120kWh thì theo giá mới số tiền phải trả tăng lên bao nhiêu trong một tháng? b) Hộ B trong tháng 2 đã trả tiền sử dụng điện là 194170 đồng. Hỏi lượng điện mà hộ B tiêu thụ trong tháng 2 là bao nhiêu? c) Giả sử hộ C trong nửa tháng đầu được tính theo giá cũ, trong nửa tháng sau được tính theo giá mới với mức sử dụng thực tế (bao gồm cả nửa tháng đầu) và lượng điện tiêu thụ ở mỗi nửa tháng là bằng nhau. Số tiền cuối tháng hộ C phải trả là 116350 đồng. Hỏi lượng điện mà hộ C tiêu thụ trong tháng là bao nhiêu? Biết rằng lượng điện tiêu thụ không vượt quá 100kWh. Hướng dẫn a) Điện năng tiêu thụ trong 1 tháng là 120kWh nằm trong mức sử dụng 101-200kWh. Số tiền tăng lên = |1786 - 1660|.120 = 15120 đồng. b) Điện năng tiêu thụ trong n tháng = (tiền tiêu thụ trong n tháng)/đơn giá. Mức tiêu thụ điện năng trong 1 tháng từ 51 - 100 thì đơn giá là 1533. 100. 1533 = 153300 194170 Số tiền 194170 nằm trong mức tiêu thụ điện năng từ 101 - 200. 194170 Số điện năng tiêu thụ = 108.718 kWh. 1786 c) Ta thấy mức sử dụng điện sẽ nằm trong khoảng 51 - 100kWh. Gọi điện năng tiêu thụ trong 1 tháng là A. A Vì điện năng tiêu thụ mỗi nữa tháng bằng nhau nên: Tiền điện = giá cũ + giá mới 2 2.116350 A = 78, 46 kWh. 1533 1433 Bài tập 2: Một máy lạnh (điều hòa), trong 1 tháng đã tiêu thụ 185kWh. Với đơn giá được tính như sau: 100KW đầu giá 1200đ, 50 KW tiếp theo giá 1500đ, từ KW thứ 151 tính 2000đ. Hãy tính tiền điện tiêu thụ trong 1 tháng? Hướng dẫn Điện tiêu thụ là 175KW. Tiền điện tiêu thụ =100.1200 + 50.1500 + 35.2000 = 265000 đồng. HẾT