Tổng hợp 50 câu ứng dụng tích phân giải các bài toán thực tế - Ôn thi học kỳ II và luyện thi Đại học

Nội dung text: Tổng hợp 50 câu ứng dụng tích phân giải các bài toán thực tế - Ôn thi học kỳ II và luyện thi Đại học

1. TỔNG HỢP 50 CÂU ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI HỌC KỲ II VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t 160 10 t m / s . Hỏi rằng trong 3s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét ? A. 16 m B. 130 m C. 170 m D. 45 m. 3 Câu 2: Một vật chuyển động với gia tốc a(t) (m / s2 ) .Vận tốc ban đầu của vật là t 1 6m/s. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu ? A. 10m / s B. 15, 2 m / s C. 13, 2 m / s D. 12m / s Câu 3: Một xe mô tô phân khối lớn đang chạy với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) t223 t(m/s) . Hỏi quãng đường của xe đi được trong quãng thời gian 10s đầu tiên sau khi tăng tốc ? 3200 4300 A. m/s B. 1500 m/s C. 1200 m/s D. m/s. 3 3 Câu 4: Một xe ô tô chuyển động với vận tốc tại giây thứ t là v t 4 t3 2 t 3 m / s . Hỏi xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu kể từ lúc bắt đầu t 0 cho đến lúc ts 5 . A. 365m B. 665m C. 625m D. 565m. Câu 5: Vận tốc chuyển động của máy bay là v t 35 t2 m / s . Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là : A. 36m B. 252m C. 1134m D. 966m. t2 4 Câu 6: Một vật chuyển động với vận tốc v t 12 , m / s . Quãng đường đi được t 3 của vật đó trong 4s đầu tiên bằng bao nhiêu ? A. 18,82m B. 11,81m C. 4,06m D. 7,28m. 15 Câu 7: Một vận động viên điền kinh xuất phát chạy với gia tốc a t t3 t 2 m / s 2 24 16 . Hỏi vào thời điểm 5s sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu ? Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 1
2. A. 5,6m/s B. 6,51m/s C. 7,26m/s D. 6,8m/s Một học sinh tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Dùng dữ liệu này để trả lời câu 8 và 9. Câu 8: Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến độ cao là bao nhiêu ? A. 0,45m/s B. 0,4m/s C. 0,6m/s D. 0,8m/s Câu 9: Độ cao lớn nhất mà tên lửa có thể đạt được là ? 9000 8598 1000 10000 A. m B. m C. m D. m. 49 49 49 49 Câu 10: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trong thành phố thì các xe khi dừng lại phải cách nhau một khoảng tối thiểu là 1m. Một xe máy di chuyển trên đường thì gặp đèn đỏ từ xa, người điều khiển xe máy đạp phanh và xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) 10 5 t (m/s). Hỏi để giữ khoảng cách an toàn, người điều khiển xe máy phải bắt đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một khoảng bao xa, biết rằng ngay lúc đạp phanh thì xe phía trước đang đứng yên ? A. 9 m B. 10 m C. 11 m D. 12 m. Câu 11: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t với số lượng là F(t), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh 1000 nhân sẽ được cứu chữa. Biết tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là Ft 21t và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày ( lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không ? A. 5433,99 và không cứu được B. 1499,45 và cứu được C. 283,01 và cứu được D. 3716,99 và cứu được Câu 12: Gọi ht (tính bằng cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t 1 giây. Biết rằng h t 3 t 8 và lúc đầu bồn không chứa nước. Tìm mức nước ở bồn sau 5 khi bơm được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 2
3. A. 3,11cm B. 2,43cm C. 2,03 cm D. 2,66cm Câu 13: Một quán café muốn lảm cái bảng hiệu là một phần của Elip có kích thước, hình dạng giống như hình vẽ và có chất lượng bằng gổ. Diện tích gổ bề mặt bảng hiệu là (làm tròn đến hàng phần chục) A. 1,3 B. 1,4 C. 1,5 D. 1,6. Câu 14: Anh An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết đường cong phía trên là một parabol. Giá 1m2 cửa rào sắt có giá là 700000 đồng. Vậy anh An phải trả bao nhiêu tiền để làm cài cửa rào sắt như vậy. (làm tròn đến hàng nghìn) A. 6417000 đồng. B. 6320000 đồng C. 6520000 đồng. D. 6620000 đồng. Câu 15: Trong một mẻ cấy, số lượng ban đầu của vi khuẩn là 500, số lượng này tăng lên theo vận tốc v(t) 450 e1,t 1257 vi khuẩn trong 1 giờ. Sẽ có bao nhiêu vi khuẩn trong buồng cấy sau 3 giờ? A. 11807. B. 21600. C. 15809. D. 31250. Câu 16: Chất điểm chuyển động theo một đường thẳng sau t giây đạt được vận tốc v t2 .e t m / s . Tính quãng đường nó đi được trong t giây đầu tiên ? A. S t 22 e 32t (t t) . B. S t 2 e t (t2 2 t 2 ) . C. S t 2 e t (t2 3 t 2 ) . D. S t 1 e t ( 5 t2 2 t 2 ). Câu 17: Công ty vừa đưa vào một dây chuyền sản xuất để chế tạo máy tính mới. Sau vài 10 tuần, sản lượng đạt được qt 4000 1 máy/tuần. Tìm số máy sản xuất được (10 t)2 từ tuần thứ ba đến hết tuần thứ tư. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 3
4. A. 45000. B. 5235. C. 6333. D. 5315. Câu 18: Người ta dự đoán rằng dân số thay đổi với tốc độ e0.t 001 (tỷ người/năm) với t là số năm tính từ năm 2003. Biết rằng năm 2009 dân số thế giới là 4,5 (tỷ người). Dân số thế giới vào năm 2013 vào khoảng A. 9,03 tỷ người. B. 8,65 tỷ người. C. 8.53 tỷ người. D. 9.54 tỷ người. Câu 19: Tốc độ thay đổi số dân của một thị trấn kể từ năm 1970 được mô tả bằng công 120 thức ft 2 , với t là thời gian tính bằng năm (thời điểm t = 0 ứng với năm 1970). t 5 Biết rằng số dân của thị trấn vào năm 1970 là 2000 người. Hỏi số dân của thị trấn đó vào năm 2008 ước tính là bao nhiêu ? A. 32,1 nghìn người. B. 23,21 nghìn người. C. 15,32 nghìn người. D. 20,41 nghìn người. Câu 20: Hưởng ứng phong trào “Ngày vì người nghèo” do Đài truyền hình Việt Nam tổ chức, tối ngày 10/04/2010 chương trình “Góp sức vì người nghèo” đă được tổ chức tại 3 điểm cầu truyền hình tại 3 thành phố lớn của cả nước là: TP Hà Nội, TP Đà Nẵng, TP Hồ Chí Minh và được truyền hình trực tiếp trên song VTV3 – Đài truyền hình Việt Nam.Trong chương trình này, các cá nhân tổ chức trong và ngoài nước sẽ có dịp được chung tay góp sức giúp đỡ cho người nghèo qua hình thức nhắn tin hoặc quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình. Theo ước tính, sau t (giờ) số tiền quyên góp 01,t thay đổi với tốc độ 300t e (triệu đồng/giờ). Số tiền có được sau 5 giờ đầu tiên quyên góp là : A. 321 triệu đồng. B. 3209 triệu đồng. C. 2706,12 triệu đồng. D. 9801 triệu đồng. Câu 21: Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đến lúc kết thúc thở ra, thường kéo dài trong 5s. Vận tốc cực đại của khí là V l / s ,vì thế nó được 2 t mô hình hoá bởi v(t) V sin . Tính thể tích khí hít vào phổi sau thời gian 2s. 5 A. 2,5V lít. B. 1,44V lít. C. 2V lít. D. 3,6V lít. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 4
5. Câu 22: Giả sử rằng sau t năm, vốn đầu tư của một doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận với tốc độ P t 126 t2 (triệu đồng/năm). Hỏi sau 10 năm đầu tiên thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận là bao nhiêu (đơn vị triệu đồng)? 4780 3257 A. . B. 1235. C. . D. 5020. 3 3 Câu 23: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t 150 10 t m / s . Hỏi rằng trong 4s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét ? A. 15 m . B. 520 m . C. 80 m . D. 125 m . 2 Câu 24: Một vật chuyển động với gia tốc a(t) (m / s2 ) .Vận tốc ban đầu của vật là t 2 7m/s. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 5 bằng bao nhiêu ? A. 3, 89 m / s . B. 9, 51 m / s . C. 7, 38 m / s . D. 10, 89 m / s . Câu 25: Một học sinh tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 30m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Độ cao lớn nhất mà tên lửa có thể đạt được là ? (biết rằng gia tốc rơi tự do là g 98 , m / s2 ) 5250 52500 2250 22500 A. m. B. m. C. m. D. m. 49 49 49 49 Câu 26: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t với số lượng là F(t), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 5000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là 1000 Ft và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 10 ngày bệnh nhân t 1 phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày ( lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không ? A. 5433,99 và không cứu được. B. 5044,52 và không cứu được. C. 4320,01 và cứu được D. 2397,89 và cứu được. Câu 27: Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 12m / s thì người lái xe bất ngờ tăng tốc cho xe chạy nhanh dần đều , sau 15s thì xe đạt vận tốc 15m / s .Tính quãng đường xe đi được sau 30s kể từ khi tăng tốc Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 5
6. A. 270 m. B. 450 m. C. 360 m. D. 540 m. Câu 28: Một lực có độ lớn 40 N (newton) cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 10 cm lên 15 cm. Biết rằng theo định luật Hooke trong Vật lý, khi một chiếc lò xo bị kéo căng thêm x (đơn vị độ dài) so với độ dài tự nhiên của lò xo thì lò xo trì lại (chống lại) với một lực cho bởi công thức f x kx N , trong đó k là hệ số đàn hồi (hoặc độ cứng) của lò xo. Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo có độ dài từ 15 cm đến 20 cm ? (kí hiệu J Jun là đơn vị của công) A. 3,J 00 . B. 1,J 56 . C. 2,J 56 . D. 3,J 18 . Câu 29: Công ty vừa đưa vào một dây chuyền sản xuất để chế tạo máy tính mới. Sau 10 vài tuần, sản lượng đạt được qt 2000 1 máy/tuần. Tìm số máy sản xuất 2 10 t được từ tuần thứ ba đến hết tuần thứ tư. A. 147 máy. B. 1523 máy. C. 1470 máy. D. 3166 máy. Câu 30: Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đến lúc kết thúc thở ra, thường kéo dài trong 5s. Vận tốc cực đại của khí là V l / s ,vì thế nó 3 t được mô hình hoá bởi v(t) V sin . Tính thể tích khí hít vào phổi sau thời gian 2s. 5 A. 0,02V (lít). B. 1,06V lít. C. 0,95V (lít). D. 3,12V (lít). Câu 31: Một chiếc xe thể thao hiệu Lamborghini Aventador chạy trên một đường đua thẳng có độ dài 4km. Xe tăng tốc từ 0km/h đến 100km/h trong 3 giây đầu tiên đi hết 260m và sau đó xe chuyển động nhanh dần đều với gia tốc 20m / s . Tính thời gian để xe hoàn thành đường đua biết vận tốc của chuyển động nhanh dần đều có công thức v at vo với a,vo là gia tốc và vận tốc đầu. A. 18 s. B. 21 s. C. 11 s. D. 14 s. Câu 32: Một vật đang chuyển động thẳng nhanh dần đều có vận tốc là 18km / h . Trong giây thứ 5 mật đi được quãng đường là 59,m, tính quãng đường vật đi được sau 10s kể từ lúc bắt đầu chuyển động Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 6
7. 132 121 A. m . B. 103,m 6 . C. 60m . D. m . 5 3 Câu 33: Anh Phong muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết đường cong phía trên là một parabol. Giá 1m2 cửa rào sắt có giá là 700.000 đồng. Vậy anh An phải trả bao nhiêu tiền để làm cài cửa rào sắt như vậy. (làm tròn đến hàng chục nghìn) ? A. 5.420.000 đồng. B. 5.520.000 đồng. C. 5.500.000 đồng. D. 5.320.000 đồng. Câu 34: Một mạch kín gồm một nguồn điện có suất điện động biến thiên theo thời gian e 10 cos 100 t V và điện trở trong không đáng kể, nối với mạch ngoài có một điện trở R 50 . Tính điện lượng chuyển qua điện trở trong thời gian từ t 0 đến 1 ts ? 600 A. 3,.C 18 10 5 . B. 15,.C 9  . C. 3, 18 nC . D. 1, 59 nC . Câu 35: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc (theo m / s2 ) là 20 a 2 với t tính bằng giây. Tìm hàm vận tốc v theo t , biết rằng t 0 thì 21t v 40 m / s . 10 10 A. v t 30 m / s . B. v t 20 m / s . 21t 21t 20 30 C. v t 30 m / s . D. v t 20 m / s . 21t 21t Câu 36: Trong mạch điện của thiết bị điện tử, cường độ dòng điện (đơn vị mA) là một hàm số theo thời gian t là i t 0 , 3 0 , 2 t mA . Tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong giây 0,05s là bao nhiêu, biết rằng tại thời điểm ban đầu thì lượng điện tích chạy qua dây dẫn bằng 0 ? A. 0, 015 mC . B. 0,C 015  . C. 0,C 03  . D. 0, 03 mC . Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 7
8. Câu 37: Hiệu điện thế đi qua tụ điện có điện dung C 85 , nF đặt trong mạch thu sóng FM gần bằng 0. Nếu có cường độ dòng điện i 0 , 042 t mA nạp vào tụ. Tìm hiệu điện qt thế sau 2s , biết rằng hiệu điện thế tại thời điểm t được tính theo công thức Ut C với qt là điện lượng qua tiết diện dây dẫn trong thời gian t . A. 4, 941 nV . B. 3, 294 nV . C. 13, 18 nV . D. 9, 882 nV . Câu 38: Một lực 12 N nén lò xo từ chiều dài tự nhiên là 18 cm xuống còn 16 cm. Hỏi công sinh ra là bao nhiêu nếu ta tiếp túc nén lò xo từ 16 cm xuống 14 cm ? A. 3,6 N. B. 1,8 N. C. 0,9 N. D. 1,2 N. Câu 39: Một người đi xe môtô với độ tăng vận tốc tại một thời điểm t (tính theo giây, 11 t 0 ) được cho bởi hàm số f t t22 t km / s . Nếu bắt đầu tăng tốc tính từ 300 1350 lúc khởi động máy (vận tốc bằng 0km/h), hỏi mất bao lâu thì người đó đạt đến tốc độ 120 km/h? A. 3 giây. B. 3,05 giây. C. 47,5 giây. D. 189,63 giây. Câu 40: Hai người chạy đua xuất phát cùng lúc với vận tốc 0 m/s trên một đoạn đường 400m. Biết độ tăng vận tốc của 2 người lần lượt cho bởi hai hàm số 31 8 f t t m / s2 và g t m / s2 (t là thời gian, tính theo giây). Hỏi thời 100 10 25 gian về đích của hai người chênh lệch bao nhiêu giây? A. 8 giây. B. 10 giây. C. 40 giây. D. 1090 giây. Câu 41: Một xe máy đang chạy với vận tốc 8 m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, xe máy chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 48 t m/s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe máy còn di chuyển được bao nhiêu mét ? A. 8 m. B. 10 m. C. 7 m. D. 6 m. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 8
9. Câu 42: Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt v(m) đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong 50 Parabol có hình bên. Biết rằng sau 10 s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50 m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc t(s) cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao O 10 nhiêu mét ? 1000 1100 1400 A. m . B. m . C. m . D. 300m. 3 3 3 Câu 43: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số 1000 B t 2 , t 0 , trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày 1 0,t 25 thứ t. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 600 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 4000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi. A. 23 ngày. B. 22 ngày. C. 24 ngày. D. 25 ngày. Câu 44: Người ta thay nước mới cho 1 bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là h1 300 cm . Giả sử h(t) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm 1 t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là h t 3 t 3 và 500 3 lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau khoảng bao lâu thì nước bơm được độ sâu 4 của hồ bơi? A. 2 giờ 7 phút. B. 1 giờ 7 phút. C. 4 giờ 7 phút. D. 3 giờ 7 phút. Câu 45: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện A đã xả lũ trong 30 phút với tốc độ lưu lượng nước tại thời điểm t giây là v t 10 t 500 m3 / s . Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì có hồ chứa nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu ? A. 17,1 triệu khối nước. B. 16,1 triệu khối nước. C. 18,1 triệu khối nước. D. 19,1 triệu khối nước. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 9
10. Câu 46: Sau t giờ làm việc một người thợ có thể sản xuất với tốc độ là q t 100 e 05,t đơn vị sản phẩm trong 1 giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 7 giờ sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị sản phẩm giữa 8 giờ sáng và 11 giờ trưa ? A. 401 đơn vị sản phẩm. B. 403 đơn vị sản phẩm. C. 601 đơn vị sản phẩm. D. 501 đơn vị sản phẩm. Câu 47: Một khối cầu có bán kính 5 dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kinh và cách tâm 3 dm để làm một chiếc lu đựng (như hình vẽ). Thể tích của cái lu là : A. 132 dm3 . B. 41 dm3 . 100 C. dm3 . D. 43 dm3 . 3 Câu 48: Một cái nêm được tạo thành bằng cách cắt ra từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính bằng 4 cm bởi hai mặt phẳng gồm mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của hình trụ, mặt phẳng thứ hai cắt mặt phẳng thứ nhất dọc theo một đường kính của hình trụ và góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 300 . Tính thể tích cái nêm đó ? 64 3 128 3 128 3 64 3 A. cm3 . B. cm3 . C. cm3 . D. cm3 . 9 9 9 9 Câu 49: Một cái nêm được tạo thành bằng cách cắt ra từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính bằng 1 m bởi hai mặt phẳng gồm mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của hình trụ, mặt phẳng thứ hai cắt mặt phẳng thứ nhất dọc theo một đường kính của hình trụ và góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 450 . Tính thể tích cái nêm đó. 1 2 1 A. m3 . B. m3 . C. m3 . 3 3 4 1 D. m3 . 2 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 10
11. Câu 50: Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 30 cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây). Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (hình 2). Tính thể tích của V. 225 A. V 2250 cm3 . B. V cm3 . 4 C. V 1250 cm3 . D. V 1350 cm3 . ĐÁP ÁN Câu 1: Đáp án D Phân tích: Vật chuyển động chậm dần với vận tốc tại giây thứ t là v t 160 10 t m / s . Ta biết rằng quãng đường vật đi được st chính là nguyên hàm của vận tốc vt . Khi vật dừng hẳn là thời điểm t sao cho v t 0 160 10 t 0 t 16 s . Suy ra sau khi bắt đầu chuyển động chậm dần thì vật đi thêm được trong thời gian 16s thì dừng lại. Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3s trước khi dừng hẳn chính là tích phân của hàm v t 160 10 t m / s từ t 13s đến khi t 16s . Hướng dẫn giải: Vật chuyển động chậm dần cho đến khi dừng hẳn thì Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 11
12. v t 0 160 10 t 0 t 16 s . Quãng đường vật đi được từ giây thứ 13 đến giây thứ 16 là 16 16 S v t dt 160 10 t dt 45 m. 13 13 Vậy chọn đáp án D. Bình luận: Trong câu hỏi này, các em cần nhớ rằng: Đạo hàm của quãng đường đi được s(t) chính là vận tốc v(t) của vật tại thời điểm t, và ngược lại, nguyên hàm của vận tốc v(t) chính là quãng đường s(t). Quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian nào bằng tích phân của hàm vận tốc v(t) khi biến t chạy trong khoảng thời gian đó. Câu 2: Đáp án A Phân tích: 3 Đề bài cho biểu thức gia tốc của vật chuyển động là a()(/) t m s2 . t 1 Ta biết rằng vận tốc chuyển động v(t) của vật chính là nguyên hàm của gia tốc at(). Từ đó ta lập công thức tính v t a() t dt , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu v0 6/ m s. Suy ra công thức tính vận tốc vt của vật tại thời điểm t và tính được v(10). Hướng dẫn giải: Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức 3 v t a( t ) dt dt 3ln t 1 C . t 1 Vì vận tốc ban đầu (lúc t 0 ) của vật là v0 6/ m s nên v 03ln01 C 6 C 6 v t 3ln16 t . Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là v 10 3ln10 1 6 13,2 m / s . Chọn đáp án C. Bình luận : Trong câu này các em cần nhớ: Đạo hàm của vận tốc v(t) tại thời điểm t chính là gia tốc của vật chuyển động tại thời điểm đó. Câu 3: Đáp án A Phân tích và hướng dẫn giải: Xe mô tô tăng tốc với gia tốc a( t ) t22 3 t ( m / s ) . Vận tốc vt chính là nguyên hàm của hàm số at(). Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 12
13. tt32 vt atdt( ) t2 3 tdt 3 C . 32 Vận tốc ban đầu (tại thời điểm t0 0) của xe là v0 10 m / s nên 003 2tt 3 2 v 0 10 3 C 10 C 10 v t 3 10 . 3 2 3 2 Mặt khác, đạo hàm của quãng đường s(t) chính là vận tốc v(t) của xe chuyển động tại thời điểm t. Suy ra, quãng đường đi được của xe sau 10s đầu tiên bằng tích phân của hàm vt khi biến t từ 0s đến 10s. 10 10 tt32 4300 S v t dt 3 10 dt (m). 00 3 2 3 Chọn đáp án D. 3 Bình luận (nếu có): v t a( t ) dt dt 3ln t 1 C t 1 Câu 4: Đáp án B Hướng dẫn giải: Nguyên hàm của vận tốc vt chính là quãng đường đi được st . Suy ra quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ ts 0 đến t 5s là: 55 5 S vtdt 4 t3 2 t 3 dttt 4 2 3 t 665 m. 0 00 Câu 5: Đáp án D Hướng dẫn giải: Quãng đường đi được của máy bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng tích phân của hàm vận tốc vt khi t 4s đến t 10s . 10 10 10 Svtdt 3 t23 5 dtt 5 t 966 m. 4 44 Câu 6: Đáp án B Hướng dẫn giải: Quãng đường đi được của vật trong 4 giây đầu tiên là 44 t2 4 S v t dt 1,2 dt 11,81 m. 00 t 3 Câu 7: Đáp án B Phân tích và hướng dẫn giải Vận tốc vt chính là nguyên hàm của gia tốc at nên ta có: Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 13
14. 13 5 2 1 4 5 3 vt atdt t tdt t tC . 24 16 96 48 Tại thời điểm ban đầu t 0s thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc 15 đó là v 0 v 0 0 043 0 C 0 C 0 . 0 96 48 15 Vậy công thức vận tốc là v t t43 t . 96 48 Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là v 5 6,51 m / s. Câu 8: Đáp án B Phân tích và hướng dẫn giải: Xem như tại thời điểm t0 0 thì học sinh phóng tên lửa với vận tốc ban đầu 20m/s. Ta có s 00 và v 0 20 . Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là s t 9,8 m / s2 . Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là v t 9,8 dt 9,8 t C 1 Do v 0 20 nên v 0 20 9,8.0 C11 20 C 20 v t 9,8 t 20 . Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là v 2 9,8.2 20 0,4 (m/s). Câu 9: Đáp án C Phân tích và hướng dẫn giải Độ cao của tên lửa là nguyên hàm của vận tốc, suy ra st vtdt 9,8 t 20 dt 4,9 t2 20 tC 2 22 Vì s 00 nên s 0 4,9.0 20.0 C22 0 C 0 s t 4,9 t 20 t . 2 100 1000 Đồ thị của hàm số s t 4,9 t 20 t là đường cong Parabol có đỉnh I ; nên 49 49 1000 100 tên lửa đạt độ cao lớn nhất là (m) tại thời điểm ts . 49 49 Câu 10: Đáp án C Phân tích và hướng dẫn giải Kể từ lúc đạp phanh (t = 0) đến lúc xe dừng lại thì xe đi được một quãng đường là s. Vì khoảng cách an toàn giữa 2 xe khi dừng lại tối thiểu là 1m nên người điều khiển xe máy phải bắt đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một khoảng s + 1 (m). Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 14
15. Tại thời điểm t 0 thì xe bắt đầu phanh, và xe dừng lại khi vận tốc bằng 0, khi đó v( t ) 0 10 5 t 0 t 2. Trong khoảng thời gian từ t 0 s đến t 2 s thì xe chạy thêm được quãng đường 2 s 10 5 t dt 10(m). 0 Vậy xe nên bắt đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một khoảng 11m để giữ khoảng cách an toàn. Câu 11: Chọn đáp án D Phân tích và hướng dẫn giải 1000 Tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là Ft . Suy ra số lượng vi 21t khuẩn vào ngày thứ t được tính theo công thức 1000 1000 FtFtdt dt ln 2 tC 1 500ln 2 tC 1 . 2t 1 2 Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn nên FCC 0 2000 500ln 2.0 1 2000 2000 F t 500ln 2 t 1 2000 . Số vi khuẩn sau 15 ngày là F 15 500ln 2.15 1 2000 3716,99 con và bệnh nhân cứu được. Câu 12: Chọn đáp án D Phân tích và hướng dẫn giải 1 Ta có ht là nguyên hàm của h t 3 t 8 , nên ta có 5 4 1 1 t 8 3 3 4 hthtdt 3 tdt 8 . C t 8 3 C . 5 54 20 3 34 12 Lúc đầu bồn không chứa nước nên h 0 0 0 8 3 C 0 C . 20 5 34 12 h t t 8 3 . 20 5 34 12 Vậy lượng nước bơm được sau thời gian 6 giây là h 6 6 8 3 2,66cm. 20 5 Câu 13: Chọn đáp án B.  Phân tích bài toán: Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 15
16. . Để tính diện tích của phần gỗ ta cần dùng ý nghĩa hình học của tích phân. . Đầu tiên ta cần lập phương trình đường Elip biểu thị bảng gỗ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho bảng gỗ này đối xứng qua 2 trục Ox và Oy. y . . C . M N . x A O B . Q P . D . Theo số liệu đề cho ta có được các độ dài CD = 1m, MN = 1,5m, NP = 0,75m. x2 y2 33 . Đường Elip 1 có trục nhỏ CD = 1m và đi qua điểm N ; , ta có ab22 48 21b 1 b 22 7 1 7 33 2 2 2 2 x4 y 1 y 1 x 48 2 9 9 2 9 a 221 ab 7 . Diện tích gỗ cần có được tính theo công thức 0,751 7 0,75 7 2 1 x22 dx 1 x dx 1,4 m2. 0,752 9 0,75 9 Câu 14: Chọn đáp án A. y Phân tích và hướng dẫn giải Ta mô hình hóa cánh cửa rào bằng hình thang cong I(0;0,5) A(-2,5;0) B(2,5;0) x ADCB vuông tại C và D, cung AB như hình vẽ. O Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho 2 điểm A, B nằm trên D -1,5 C trục Ox như hình vẽ. Vậy diện tích cánh cửa sẽ bằng diện tích hình chữ nhật ABCD cộng thêm diện tích miền cong AIB. Để tính diện tích miền cong AIB ta cần dùng tích phân. Đầu tiên ta tìm cách viết phương trình Parabol y ax2 bx c biểu thị cho đường 1 55 cong AIB. Parabol có đỉnh I 0; , và cắt trục hoành tại 2 điểm AB ;0 , ;0 2 22 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 16
17. 1 a.02 b .0 c 1 2 c 2 b 21 00 b y x2 . 2a 25 2 2 2 55 a a. b . c 0 25 22 Diện tích miền cong AIB được tính bằng công thức 2,5 22 1 5 x dx . 2,5 25 2 3 5 55 Suy ra diện tích cánh cửa là 1,5.5 m2 . 36 Giá 1m2 cửa rào sắt giá 700.000. Vậy giá tiền cửa rào sắt là 6416666 Câu 15: Chọn đáp án A Phân tích và hướng dẫn giải Gọi S(t) là số lượng vi khuẩn trong buồng cấy sau t giờ. Ta có S(t) là nguyên hàm của hàm vận tốc vt() 1 Stvtdt ( ) 450 edt1,1257tt 450. . e 1,1257 C . 1,1257 Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 500 con nên 1 S 0 500 450. . e1,1257.0 C 500 C 100,25 1,1257 1 S t 450. . e1,1257t 100,25. 1,1257 Số vi khuẩn trong buồng cấy sau 3 giờ 1 Se 3 450. .1,1257.3 100,25 11807 1,1257 Câu 16: Chọn đáp án B Phân tích và hướng dẫn giải Gọi S(t) là quãng đường chất điểm đi được sau t giây đầu tiên. Ta có S(t) là nguyên hàm của vận tốc v t t2./ e t m s Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 17
18. S t v t dt t2. e t dt Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần ta tính được St vtdt tedt22. tt 2 et ( 2 t 2) . Câu 17: Chọn đáp án C Phân tích và hướng dẫn giải Số lượng máy tính từ đầu tuần thứ 3 đến hết tuần thứ 4 là: 4 10 40000 4000 1 dt 4000 t 44 6333 2 22 2 10 tt 10 Câu 18: Chọn đáp án D Phân tích và hướng dẫn giải Gọi Pt là dân số thế giới sau t năm tính từ 2003. Khi ấy theo đề ra ta có P t e0.001t . Suy ra 1 Pt PtdtPt'' edt0.001tt e 0.001 C . 0,001 Dân số năm 2009 (ứng với t = ) là 4,5 tỷ người nên P 6 4,5 P 6 4,5 4,5 1000 e0.001.6 C C 4,5 1000 e 0.001.6 . 1 Do đó P t e0.001.t 4,5 1000 e 0.001.6 . 0,001 1 Suy ra P 11 e0.001.11 4,5 1000 e 0.001.6 9,54 . 0,001 Vậy dân số thế giới năm 2013 là 9,54 (tỷ người). Câu 19: Chọn đáp án B Phân tích và hướng dẫn giải 120 Tốc độ thay đổi số dân của thị trấn vào năm thứ t là ft . Suy ra nguyên t 5 2 hàm của ft là hàm số ft mô tả số dân của thị trấn vào năm thứ t. Ta có 120 120 f t f t dt dt C 2 . t 5 t 5 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 18
19. Số dân của thị trấn vào năm 1970 (ứng với t = 0) là 120 f 0 2 C 2 C 26 05 120 ft 26 . t 5 Vậy số dân của thị trấn vào năm 2008 (ứng với t = 38) là 120 f 28 26 23,21 ngàn người. 38 5 Câu 20: Chọn đáp án C Phân tích và hướng dẫn giải Gọi M(t) là số tiền có được sau t (giờ) thực hiện việc quyên góp. Khi ấy theo đề ta có M t 300 t . e 0.1t . Suy ra M t M t dt300 t . e 0.1t dt . du 300 dt ut 300 Đặt 0,1t 1 0,1t . dv e dt ve 0,1 3000 Suy ra Mt 3000 te . 0,1t 3000. edt 0.1 t 3000 te . 0,1 t . eC 0,1 t . 0.1 Lúc ban đầu (t = 0) thì số tiền quyên góp là 3000 MC 0 0 0 C 30000 . 0,1 Do đó M t 3000 t . e 0,1tt 30000. e 0,1 30000. Sau 5 giờ số tiền quyên góp được là 0,1.5 0,1.5 M 5 30005. e 30000. e 30000 2706,12 triệu đồng. Câu 21: Chọn đáp án B Phân tích và hướng dẫn giải 2 t Vận tốc của khí hít vào được mô hình bởi công thức v( t ) V sin . Suy ra lượng khí 5 hít vào sau 2 giây là : 222 tV 5 2 .2 N 2 v ( x ) dx V sin dt 1 cos 1,44 V lít khí. 005 2 5 Câu 22: Chọn đáp án A. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 19
20. Phân tích và hướng dẫn giải Gọi Pt là lợi nhuận phát sinh của vốn sau t năm đầu tư. Ta có Pt là nguyên hàm của hàm tốc độ Pt . Lợi nhuận phát sinh sau 10 năm đầu tiên là 10 10 4780 P t dt 126 t2 dt (triệu đồng). 00 3 Câu 23: Chọn đáp án C. Phân tích: Vật chuyển động chậm dần với vận tốc tại giây thứ t là v t 150 10 t m / s . Ta biết rằng quãng đường vật đi được st chính là nguyên hàm của vận tốc vt . Khi vật dừng hẳn là thời điểm t sao cho v t 0 150 10 t 0 t 15 s . Suy ra sau khi bắt đầu chuyển động chậm dần thì vật đi thêm được trong thời gian 16s thì dừng lại. Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 4s trước khi dừng hẳn chính là tích phân của hàm v t 150 10 t m / s từ t 11s đến khi t 15s . Hướng dẫn giải: Vật chuyển động chậm dần cho đến khi dừng hẳn thì v t 0 150 10 t 0 t 15 s . Quãng đường vật đi được từ giây thứ 13 đến giây thứ 16 là 15 15 S v t dt 150 10 t dt 80 m . 11 11 Câu 24: Chọn đáp án B. Phân tích: 2 Đề bài cho biểu thức gia tốc của vật chuyển động là a()(/) t m s2 . t 2 Ta biết rằng vận tốc chuyển động v(t) của vật chính là nguyên hàm của gia tốc at(). Từ đó ta lập công thức tính v t a() t dt , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu v0 7/ m s. Suy ra công thức tính vận tốc vt của vật tại thời điểm t và tính được v(5). Hướng dẫn giải: Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 20
21. Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức 2 v t a( t ) dt dt 2ln t 2 C . t 2 Vì vận tốc ban đầu (lúc t 0 ) của vật là v0 6/ m s nên v 0 2ln02 C 7 C 72ln2 v t 2ln t 272ln2 . Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 5 là v 5 2ln5 2 7 2ln2 9,51 m / s. Câu 25: Chọn đáp án C. Phân tích và hướng dẫn giải Độ cao của tên lửa là nguyên hàm của vận tốc, suy ra st vtdt 9,8 t 30 dt 4,9 t2 30 tC 2 22 Vì s 00 nên s 0 4,9.0 30.0 C22 0 C 0 s t 4,9 t 30 t . 2 150 2250 Đồ thị của hàm số s t 4,9 t 30 t là đường cong Parabol có đỉnh I ; 49 49 2250 150 nên tên lửa đạt độ cao lớn nhất là (m) tại thời điểm ts . 49 49 Câu 26: Chọn đáp án B. Phân tích và hướng dẫn giải 1000 Tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là Ft . Suy ra số lượng vi t 1 khuẩn vào ngày thứ t được tính theo công thức 1000 FtFtdt dt 1000ln t 1 C 1000ln t 1 C . t 1 Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn nên FCC 0 2000 1000ln 2.0 1 2000 2000 F t 1000ln t 1 2000 . Số vi khuẩn sau 10 ngày là F 10 1000ln 2.10 1 2000 5044,52 con và bệnh nhân không cứu được. Câu 27: Chọn đáp án B. Phân tích và hướng dẫn giải Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 21
22. Ta có sau 15s thì xe đạt vận tốc 15m / s ( áp dụng v v0 at ) 1 15 12a. 15 a 0 . 2 m / s2 5 Vận tốc mà xe đạt sau 30s là v12 0 , 2 t 30 Vậy quãng đường xe đi được sau khi tăng tốc 30s là S12 0 . 2 t dt 450 m . 0 Câu 28: Chọn đáp án A. Hướng dẫn giải Khi kéo lò xo từ 10 cm đến 15 cm nó bị kéo căng thêm 5 cm = 0,05 m. f 0 , 05 40 0 , 05 k 40 k 800 . Do đó f x 800 x 01, Công được sinh ra khi kéo căng lò xo từ 15 cm đến 20 cm là W f x dx 0, 05 0,, 1 0 1 01, x2 W f x dx 800 x dx 800 3 J 2 0,, 05 0 05 0, 05 Câu 29: Chọn đáp án B. Hướng dẫn giải 4 10 Số lượng máy tính từ đầu tuần thứ 3 đến hết tuần thứ 4 là: 2000 1 dt 1523 2 3 10 t Câu 30: Chọn đáp án B. Hướng dẫn giải 3 t Vận tốc của khí hít vào được mô hình bởi công thức v( t ) V sin . Suy ra lượng khí 5 hít vào sau 2 giây là : 223 tV 5 3 .2 N 2 v ( x ) dx V sin dt 1 cos 1,06 V lít khí. 005 3 5 Câu 31: Chọn đáp án B. Hướng dẫn giải Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 22
23. 250 250 Ta có: 100km / h m / s , vận tốc nhanh dần đều là: vt 20 9 9 Gọi to là thời gian xe hoàn thành 4000 260 3740m còn lại. t o 250 250 t 250 Ta có S 20 t dt 10 t22 to 10 t t oo 0 9 9 0 9 to 18 2 250 10to t o 3740 187 t o 18 s 9 tl () o 9 Thời gian xe hoàn thành 4km đường đua là 3 18 21s . Câu 32: Chọn đáp án C. Hướng dẫn giải 18 Ta có 18km / h 5 m / s .Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3,6 at2 t: S v t vậy trong giây thứ 5 quãng đường nó đi được là 0 2 aa.522 .4 S5.5 5.4 5,9 a 0,2 m / s2 22 Vậy quãng đường mà vật đi được sau 10s kể từ lúc bắt đầu chuyển động 10 S5 0,2 t dt 60 m 0 Câu 33: Chọn đáp án C. Hướng dẫn giải Từ hình vẽ ta chia cửa rào sắt thành 2 phần như sau: Khi đó SSSS.,S, 1 2 1 5 1 5 1 7 5 Để tính S1 ta vận dụng kiến thức diện tích hình phẳng của tích phân. Gắn hệ trục Oxy trong đó O trùng với trung điểm AB , OB Ox,OC Oy , Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 23
24. Theo đề bài ta có đường cong có dạng hình Parabol. Giả sử P : y ax2 bx c 5 A;P 0 25 5 a b c 0 2 2 42 a 25 5 25 5 22 1 Khi đó: B;P 0 abc 0 b 0 P:y x 2 4 2 25 2 1 1 1 c c C,P 0 2 2 2 25, 2 1 10 55 55 S 2 xdxmSm2 2 2 600 000 5 500 000 Diện tích 2 đồng 0 25 2 6 6 6 Câu 34: Chọn đáp án A. Hướng dẫn giải u Ta có it 0,02cos 100 (A). Ta có i t q' t R t 2 1 Do đó q i t dt . Xét điện lượng từ t 0 đến ts 600 t1 1 600 Ta có: q 0,02 cos 100 t dt 3,18.10 5 C . 0 Câu 35: Chọn đáp án B. Hướng dẫn giải 20 10 Ta có v a t dt dt C 2 21t 21t 10 Khi t 0 v 0 30 C 40 C 30 1 2.0 10 Do đó biểu thức vận tốc theo thời gian là v t 20 m / s . 21t Câu 36: Chọn đáp án A. Hướng dẫn giải Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 24
25. Ta biết rằng cường độ dòng diện là lượng điện tích đi qua tiết diện vật dẫn trong một đơn vị thời gian. Nếu gọi hàm it biểu thị cho cường độ dòng điện thì lượng điện tích qt là nguyên hàm của it . Ta có biểu thức điện tích qt itdt 0,3 0,2 tdt 0,3 t 0,1 tC2 Ta có khi qC 0 0 0 . Do đó tổng điện tích đi qua một điểm trong 0,05 s là: 2 q 0,05 0,3. 0,05 0,1. 0,05 0,015 mC . Câu 37: Chọn đáp án D. Hướng dẫn giải Lưu ý 1nF 10 96 F , 1 s 10 s . Ta biết rằng điện tích qt là nguyên hàm của cường độ dòng điện it 1 0,042.10 33 4,94.10 Ta có U i t dt tdt t2 K C 9 C 8,5.10 2 Theo giả thiết ta có UK 0 0 0 32 Do đó UC t 2,47.10 t 2 3 6 9 Khi UC 2 s 2,47.10 2.10 9,882.10 9,882 nV . Câu 38: Chọn đáp án A. Phân tích và hướng dẫn giải Đầu tiên ta sẽ xác định hằng số lò xo (theo đơn vị m) Ta có F kx 12 k 18 16 .10 2 k 600 N / m 0,04 0,04 Do đó ta có Fx 600 . Nên công sinh ra được xác định A f x dx600 xdx 0,02 0,02 0,04 A 300 x2 3,6 N . 0,02 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 25
26. Câu 39: Chọn đáp án A. Phân tích và hướng dẫn giải Gọi x là thời gian cần thiết để người đó đạt đến tốc độ 120km/h. Ta nhận xét độ tăng vận tốc trong thời gian này cũng chính là tích phân của hàm f(t) với t = 0 đến t = x. Như vậy ta xét phương trình sau : x x 112 12011 3 2 11 3 1 2 1 ttdt tt xx x3s 300 1350 3600 900 2700 30 900 2700 30 0 0 Câu 40: Chọn đáp án A. Phân tích và hướng dẫn giải Ta nhận xét nguyên hàm của f(t) và g(t) chính là hàm vận tốc của hai người. 3 1 32 1 Hàm vận tốc của người thứ nhất: f t dt t dt t t C1(m/s). 100 10 200 10 Do vận tốc đầu của cả hai người đều là 0m/s nên C01 , vậy hàm vận tốc của người thứ nhất 31 là: f t t2 t m / s . 1 200 10 88 Tương tự, hàm vận tốc của người thứ hai : g t dt t m / s . 1 25 25 Nguyên hàm của f11 t , g t là hàm quãng đường của 2 người. Hàm quãng đường của người thứ nhất: 32 1 1 3 1 2 ft21 ftdt t tdt t t m 200 10 200 20 Từ đây ta suy ra thời gian để người thứ nhất hoàn tất 400m là 40s. 842 Hàm quãng đường của người thứ hai: gt22 gtdt tdt t m . 25 25 Thời gian để người thứ hai hoàn tất 400m là 50s. Như vậy thời gian chênh lệch của 2 người là 10s. => đáp án B. Câu 41: Chọn đáp án A. Phân tích và hướng dẫn giải Lúc bắt đầu đạp phanh, tức là tại thời điểm t0 , xe máy có vận tốc v0 8/ m s . Suy ra v t0 4 t 0 8 8 t 0 0. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 26
27. Khi xe máy dừng lại tại thời điểm t1 thì vận tốc v1 0/ m s . Suy ra v t1 4 t 1 8 0 t 1 2. Ta có mối liên hệ giữa 2 đại lượng biến thiên quãng đường đi được St và vận tốc vt là: Nguyên hàm của vận tốc vt chính là quãng đường đi được St . Suy ra quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là tích phân của hàm vt khi thời gian t từ 0s đến 2s. 2 22 t2 v t dt 4 t 8 dt 4 8 t 8 m. 2 00 0 Câu 42: Chọn đáp án A. Phân tích và hướng dẫn giải Hàm vận tốc v t at2 bt c có dạng là đường Parabol có đỉnh I 10; 50 , đồng thời đi qua gốc tọa độ O(0;0), suy ra a.02 b .0 c 0 c 0 c 0 b 1 10 20a ba 0 2a 2 2 2 ab.10 .10 0 50 b 10 a.10 b .10 c 50 1 v t t2 10 t . 2 Theo đồ thị thì xe bắt đầu tăng tốc lúc t 0 và đạt vận tốc cao nhất lúc t 10 s nên quãng đường đi được của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất 10 10 10 12 1 3 2 1000 vtdt t 10 tdt tt 5 m. 2 6 3 00 0 Câu 43: Chọn đáp án A. Hướng dẫn giải Số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t được mô hình bởi hàm số B(t) là nguyên hàm của B’(t). 1000 2 1000 B t dt 1000 1 0, 25 t dt C . 2 1 0, 25t 0, 25 1 0, 25t Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 600 con trên mỗi ml nước nên Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 27
28. 1000 BCC 0 600 600 4600 . 0, 25 1 0, 25.0 Suy ra hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t là 1000 Bt 4600 . 0, 25 1 0, 25t Số lượng vi khuẩn dưới 4000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an toàn; và người bơi không an toàn khi 1000 Bt 4000 4600 4000 0, 25 1 0, 25t 1000 20 68 600 1 0, 25tt 22,67 . 0, 25 1 0, 25t 33 Vậy sau ngày thứ 23 thì số lượng vi khuẩn sẽ là 4000 con và hồ bơi bắt đầu cần thay nước Câu 44: Chọn đáp án A. Hướng dẫn giải Ta biết rằng chiều cao h(t) của mực nước bơm được chính là nguyên hàm của tốc độ tăng h’(t) của chiều cao mực nước. 134 ht htdt 3 tdt 33 t 3 C . 500 2000 Lúc ban đầu (tại t 0 ) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là 7 334 3 h t 0 0 3 3 C 0 C . 2000 2000 Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm t giây là 7 334 3 h t t 3 3 . 2000 2000 3 Theo giả thiết, lượng nước bơm được bằng độ sâu của hồ bơi nên ta có 4 7 3 34 33 3 h t h t 3 3 .300 t 7619s . 41 2000 2000 4 Vậy sau khoảng thời gian 2 giờ 7 phút thì bơm được độ sâu của hồ bơi. Câu 45: Chọn đáp án A. Hướng dẫn giải Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 28
29. Lượng nước lũ đã xả trong khoảng thời gian 30 phút (1800 giây) sẽ bằng 1800 1800 1800 Lvtdt 10 t 500 dtt 52 500 t 17,1.10 6 m 3 . 0 00 Vậy trong khoảng thời gian 30 phút, nhà máy đã xả một lượng nước là 17,1 triệu khối, tức là hồ chứa nước đã thoát đi 17,1 triệu khối nước. Câu 46: Chọn đáp án A. Hướng dẫn giải Gọi St là số đơn vị sản phẩm mà công nhân sản xuất được sau t giờ tính từ lúc 7 giờ sáng. Ta có S t q t 100 e 0,5t Số đơn vị sản phẩm người đó sản xuất được từ 8 giờ sáng t 1 đến 11 giờ trưa t 5 là 55 q t dt 100 e 0,5t dt 401 đơn vị sản phẩm. 11 Câu 47: Chọn đáp án A. Hướng dẫn giải Xét đường cong cạnh bên của cái lu là đường AC và chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Khi đó ta có BC: y 25 x2 0 Khi đó thể tích của cái lu chính là 3 2 V 2 25 x23 dx 132 dm lu 0 Câu 48: Chọn đáp án C. Hướng dẫn giải Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt vuông góc với hình trụ Ta có OB 4 , AOB 300 . Nếu gọi Sx là diện tích thiết diện của cái nêm cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 29
30. Cụ thể Sx là diện tích của các tam giác vuông tại đỉnh thuộc cung Bx . 1 16 x2 Do đó S x 16 x2 16 x 2 tan 30 0 2 23 44 1 128 3 Khi đó thể tích của cái nêm bằng V 2 S x dx 16 x23 dx cm 9 003 Câu 49: Chọn đáp án B. Hướng dẫn giải Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt vuông góc với hình trụ Ta có OB 1 , AOB 450 . Nếu gọi Sx là diện tích thiết diện của cái nêm cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x. Cụ thể Sx là diện tích của các tam giác vuông tại đỉnh thuộc cung Bx . 11 x2 Do đó S x 1 x2 1 x 2 tan 45 0 22 11 2 Khi đó thể tích của cái nêm bằng V 21 S x dx x23 dx m . 3 00 Câu 50: Chọn đáp án A. Hướng dẫn giải Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt vuông góc với hình trụ Ta có OB 15 , AOB 450 . Nếu gọi Sx là diện tích thiết diện của cái nêm cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x. Cụ thể Sx là diện tích của các tam giác vuông tại đỉnh thuộc cung Bx . 1 1522 x Do đó S x 152 x 2 15 2 x 2 tan 45 0 22 15 15 Khi đó thể tích của cái nêm bằng V 2 S x dx 152 x 2 dx 2250 cm 3 00 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 30