›
›
›

Tổng hợp các dạng toán thi vào Lớp 10

doc 38 trang thaodu 9303
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp các dạng toán thi vào Lớp 10", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctong_hop_cac_dang_toan_thi_vao_lop_10.doc

Nội dung text: Tổng hợp các dạng toán thi vào Lớp 10

  1. «n thi vµo líp 10 m«n to¸n D¹ng I: rót gän biÓu thøc Cã chøa c¨n thøc bËc hai I/ BiÓu thøc sè häc Ph­¬ng ph¸p: Dïng c¸c ph­¬ng ph¸p biÕn ®æi c¨n thøc(®­a ra ; ®­a vµo; ;khö; trôc; céng,trõ c¨n thøc ®ång d¹ng; rót gän ph©n sè ) ®Ó rót gän biÓu thøc. Bµi tËp: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1) 2 5 125 80 605 ; 10 2 10 8 2) ; 5 2 1 5 3) 15 216 33 12 6 ; 12) 4 10 2 5 4 10 2 5 ; 2 8 12 5 27 4) ; 13) 5 2 6 49 20 6 5 2 6 ; 18 48 30 162 1 1 2 3 2 3 14) ; 5) ; 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 16 1 4 6 4 2 6 4 2 6) 2 3 6 ; 15) ; 3 27 75 2 6 4 2 2 6 4 2 4 3 2 7) 2 27 6 75 ; 5 2 8 5 3 5 16) ; 2 5 4 3 5. 3 5 8) 17) 14 8 3 24 12 3 ; 10 2 4 1 6 18) ; 9) 8 3 2 25 12 4 192 ; 3 1 3 2 3 3 3 3 10) 2 3 5 2 ; 19) 2 1 2 1 3 3 11) 3 5 3 5 ; 20) . 1 3 1 1 3 1 II/ BiÓu thøc ®¹i sè: Ph­¬ng ph¸p: - Ph©n tÝch ®a thøc tö vµ mÉu thµnh nh©n tö; - T×m §KX§ (NÕu bµi to¸n ch­a cho §KX§) - Rót gän tõng ph©n thøc(nÕu ®­îc) - Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt nh­: + Quy ®ång(®èi víi phÐp céng trõ) ; nh©n ,chia. + Bá ngoÆc: b»ng c¸ch nh©n ®¬n ; ®a thøc hoÆc dïng h»ng ®¼ng thøc + Thu gän: céng, trõ c¸c h¹ng tö ®ång d¹ng. + Ph©n tÝch thµnh nh©n tö – rót gän Chó ý: - Trong mçi bµi to¸n rót gän th­êng cã c¸c c©u thuéc c¸c lo¹i to¸n: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc; gi¶i ph­¬ng tr×nh; bÊt ph­¬ng tr×nh; t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn; t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ,lín nhÊt Do vËy ta ph¶i ¸p dông c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i t­¬ng øng, thÝch hîp cho tõng lo¹i bµi. 1
  2. «n thi vµo líp 10 m«n to¸n 1 1 a 1 vÝ dô: Cho biÓu thøc: P : a a a 1 a 2 a 1 a/ Rót gän P. b/ T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn. Gi¶i: a/ Rót gän P: 1 1 a 1 - Ph©n tÝch: P : 2 a( a 1) a 1 ( a 1) a 0; - §KX§: a 1 0 a 1 1 a ( a 1) 2 - Quy ®ång: P . a( a 1) a 1 a 1 - Rót gän: P . a b/ T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn: 1 - Chia tö cho mÉu ta ®­îc: P 1 . a 1 1(ktm) - Lý luËn: P nguyªn nguyªn a lµ ­íc cña 1 lµ 1 . a a 1 a 1 VËy víi a = 1 th× biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi tËp: x 1 x x x x Bµi 1: Cho biÓu thøc A = 2 2 x x 1 x 1 a) Rót gän biÓu thøc A; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6. x 2 1 10 x Bµi 2: Cho biÓu thøc B = : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rót gän biÓu thøc B; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0. 1 3 1 Bµi 3: Cho biÓu thøc C = x 1 x x 1 x x 1 a) Rót gän biÓu thøc C; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1. x 2 x2 4 x 2 x2 4 Bµi 4: Rót gän biÓu thøc : D = x 2 x2 4 x 2 x2 4 2
  3. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2x 3 x 2 x3 x 2x 2 Bµi5: Cho c¸c biÓu thøc: P = vµ Q = x 2 x 2 a) Rót gän biÓu thøc P vµ Q; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q. 2x 2 x x 1 x x 1 Bµi 6: Cho biÓu thøc: P = x x x x x a) Rót gän biÓu thøc P b) So s¸nh P víi 5. 8 c) Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc chØ nhËn ®óng mét gi¸ trÞ nguyªn. P 3x 9x 3 1 1 1 Bµi 7: Cho biÓu thøc: P = : x x 2 x 1 x 2 x 1 a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P; 1 b) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó lµ sè tù nhiªn; P c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 23 . x 2 x 3 x 2 x Bµi 8: Cho biÓu thøc : P = : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 a) Rót gän biÓu thøc P; 1 5 T×m x ®Ó P 2 Bµi 9: Cho biÓu thøc : 1 a a 1 a a P = a . a 1 a 1 a a) Rót gän P b) T×m a ®Ó P< 7 4 3 Bµi 10: Cho biÓu thøc: 2 x x 3x 3 2 x 2 P = : 1 x 3 x 3 x 9 x 3 a) Rót gän P 1 b) T×m x ®Ó P < 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P 1
  4. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 11: Cho biÓu thøc : x 3 x 9 x x 3 x 2 P = 1 : x 9 x x 6 2 x x 3 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P 0 x m x m 4x 4m2 a) Rót gän P b) TÝnh x theo m ®Ó P = 0. c) X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x t×m ®­îc ë c©u b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x >1 Bµi 14: Cho biÓu thøc : a2 a 2a a P = 1 a a 1 a a) Rót gän P b) T×m a ®Ó P = 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P ? Bµi 15: Cho biÓu thøc a 1 ab a a 1 ab a P = 1 : 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 1 a) Rót gän P 3 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a =2 3 vµ b = 1 3 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu a b 4 Bµi 16: Cho biÓu thøc : a a 1 a a 1 1 a 1 a 1 P = a a a a a a a 1 a 1 a) Rót gän P 2
  5. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P = 7 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P > 6 Bµi 17: Cho biÓu thøc: 2 a 1 a 1 a 1 P = 2 2 a a 1 a 1 a) Rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P 0  x 1 Bµi 20: Cho biÓu thøc : 2 x x 1 x 2 P = : 1 x x 1 x 1 x x 1 a) Rót gän P b) TÝnh P khi x =5 2 3 Bµi 21: Cho biÓu thøc: 3x 1 2 1 P =1: 2 : 2 x 4 x 4 2 x 4 2 x a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 20 Bµi 22: Cho biÓu thøc : 2 x y x3 y3 x y xy P = : x y y x x y 3
  6. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a) Rót gän P b) Chøng minh P 0 Bµi 23: Cho biÓu thøc : 1 3 ab 1 3 ab a b P = . : a b a a b b a b a a b b a ab b a) Rót gän P b) TÝnh P khi a =16 vµ b = 4 Bµi 24: Cho biÓu thøc: 2a a 1 2a a a a a a P =1 . 1 a 1 a a 2 a 1 a) Rót gän P 6 b) Cho P = t×m gi¸ trÞ cña a 1 6 2 c) Chøng minh r»ng P > 3 Bµi 25: Cho biÓu thøc: x 5 x 25 x x 3 x 5 P = 1 : x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 a) Rót gän P b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P 6 Bµi 28: Cho biÓu thøc: 1 1 2 1 1 x3 y x x y y3 P = . : 3 3 x y x y x y x y xy a) Rót gän P 4
  7. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 b) Cho x.y=16. X¸c ®Þnh x,y ®Ó P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 29: Cho biÓu thøc : x3 2x 1 x P = . xy 2y x x 2 xy 2 y 1 x a) Rót gän P b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d­¬ng x ®Ó y=625 vµ P<0,2 Bµi 30: Cho biÓu thøc: x 2 x 1 x 1 P =1: . x x 1 x x 1 x 1 a) Rót gän P b) So s¸nh P víi 3 D¹ng ii: ®å thÞ y ax b(a 0) & y a ' x 2 (a ' 0) vµ t­¬ng quan gi÷a chóng I/.ĐiÓm thuộc đường – đường đi qua điểm. Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA). Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4) Giải: Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22 a = 1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không? Giải: Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d) II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x). Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điÓm của hai đường trên. III.Quan hệ giữa hai đường thẳng. Xét hai đường thẳng : (d1) : y = a1x + b1. vµ (d2) : y = a2x + b2. a) (d1) cắt (d2) a1 a2. b) d1) // (d2) c) d1) (d2) d) (d1) (d2) a1 a2 = -1 IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui. Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y). 5
  8. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số . V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’ 0). 1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: a’x2 = ax + b (#) a’x2- ax – b = 0 Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax 2 để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (#) là số giao điểm của (d) và (P). 2.Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t;tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau: Tõ ph­¬ng tr×nh (#) ta cã: a ' x 2 ax b 0 ( a) 2 4a ' .b a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (#) có hai nghiệm phân biệt 0 b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (#) có nghiệm kép 0 c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (#) vô nghiệm 0 VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b : 1.BiÕt quan hệ về hệ số góc(//hay vu«ng gãc) và đi qua điểm A(x0;y0) Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc ®Ó tìm hệ số a. Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b. 2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2). Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình tìm a,b. ’ 2 3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = a x +) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình : y0 = ax0 + b +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a’x2 nên: Pt: a’x2 = ax + b có nghiệm kép y0 ax0 b +) Gi¶i hÖ để tìm a,b. 0 VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m). +) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x 0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m. +) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0. VIII.T×m kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú A; B Gäi x1; x2 lÇn l­ît lµ hoµnh ®é cña A vµ B; y1,y2 lÇn l­ît lµ tung ®é cña A vµ B 6
  9. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Khi ®ã kho¶ng c¸ch AB ®­îc tÝnh bëi ®Þnh lý Pi Ta Go trong tam gi¸c vu«ng ABC: 2 2 2 2 AB AC BC (x2 x1 ) (y2 y1 ) IX. Một số ứng dụng của đồ thị hàm số: 1.Ứng dụng vào phương trình. 2.Ứng dụng vào bài toán cực trị. bµi tËp vÒ hµm sè. Bµi 1. cho parabol (p): y = 2x2. 1. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®­êng th¼ng y = ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2). 2. t×m ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2). 3. T×m giao ®iÓm cña (p) víi ®­êng th¼ng y = 2m +1. 1 Bµi 2: Cho (P) y x2 vµ ®­êng th¼ng (d): y = ax + b . 2 1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P). 2. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm. Bµi 3: Cho (P) y x2 vµ ®­êng th¼ng (d) y = 2x + m 1. VÏ (P) 2. T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d) 3. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm. x2 Bµi 4: Cho (P) y vµ (d): y = x + m 4 1. VÏ (P) 2. X¸c ®Þnh m ®Ó (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B 3. X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d') song song víi ®­êng th¼ng (d) vµ c¾t (P) t¹i ®iÎm cã tung ®é b»ng -4 4. X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d'') vu«ng gãc víi (d') vµ ®i qua giao ®iÓm cña (d') vµ (P) Bµi 5: Cho hµm sè (P): y x2 vµ hµm sè(d): y = x + m 1. T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B 2. X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P) 3. T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 3 2 7
  10. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 6: Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®­êng th¼ng ( d1 ) y = -2(x+1) 1. §iÓm A cã thuéc (d1 ) kh«ng ? V× sao ? 2. T×m a ®Ó hµm sè (P): y a.x2 ®i qua A 3. X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d2 ) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (d1 ) 4. Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ (d2 ) ; C lµ giao ®iÓm cña (d1 ) víi trôc tung . T×m to¹ ®é cña B vµ C . TÝnh chu vi tam gi¸c ABC? 1 Bµi 7: Cho (P) y x2 vµ ®­êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh ®é lÇn l­ît lµ 4 -2 vµ 4 1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn 2.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) 3.T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) t­¬ng øng hoµnh ®é x  2;4 sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt. (Gîi ý: cung AB cña (P) t­¬ng øng hoµnh ®é x  2;4 cã nghÜa lµ A(-2;yA ) vµ B(4;yB ) tÝnh yA;; yB ;SMAB cã diÖn tÝch lín nhÊt M lµ tiÕp ®iÓm cña ®­êng th¼ng (d1)víi (P)vµ(d1)//(d). x2 Bµi 8: Cho (P): y vµ ®iÓm M (1;-2) 4 1. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) ®i qua M vµ cã hÖ sè gãc lµ m HD: Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng:y ax b mµ a = m. thay x = 1; y = -2 tÝnh b = - m-2. vËy PT: y mx m 2. 2. Chøng minh: (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B khi m thay ®æi 2 2 3. Gäi xA; xB lÇn l­ît lµ hoµnh ®é cña A vµ B .X¸c ®Þnh m ®Ó xA xB xA xB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ ®ã? Bµi 9: Cho hµm sè (P): y x2 1. VÏ (P) 2. Gäi A,B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn l­ît lµ -1 vµ 2. ViÕt ph. tr×nh ®­êng th¼ng AB 3. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P) 1 Bµi 10: Trong hÖ to¹ ®é xOy cho Parabol (P) y x2 vµ ®­êng th¼ng (d): y mx 2m 1 4 1. VÏ (P) 2. T×m m sao cho (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau.T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm 3. Chøng tá r»ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh 1 Bµi 11: Cho (P): y x2 vµ ®iÓm I(0;-2). Gäi (d) lµ ®­êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m. 4 1. Chøng minh r»ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B víi m R 2.T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®o¹n AB ng¾n nhÊt 8
  11. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 x2 3 Bµi 12: Cho (P): y vµ ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I(;1 ) cã hÖ sè gãc lµ m 4 2 1. VÏ (P) vµ viÕt ph­¬ng tr×nh (d) 2. T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P) 3. T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt x2 x Bµi 13: Cho (P): y vµ ®­êng th¼ng (d): y 2 4 2 1. VÏ (P) vµ (d) 2. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) 3. T×m to¹ ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®­êng tiÕp tuyÕn cña (P) song song víi (d) Bµi 14: Cho (P): y x2 1.Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn l­ît lµ -1 vµ 2 . ViÕt ph. tr×nh ®­êng th¼ng AB 2.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi 14: Cho (P): y 2x2 1.VÏ (P) 2.Trªn (P) lÊy ®iÓm A cã hoµnh ®é x = 1 vµ ®iÓm B cã hoµnh ®é x = 2 . X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó ®­êng th¼ng (d): y = mx + n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB (d ) : x y m Bµi 15: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh 1 c¾t nhau t¹i (d 2 ) : mx y 1 mét ®iÓm trªn (P) y 2x2 . D¹ng III: Ph­¬ng tr×nh vµ HÖ ph­¬ng tr×nh  A/ Ph­¬ng tr×nh b©c nhÊt mét Èn – gi¶I vµ biÖn luËn: + Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn cã d¹ng ax b 0(a 0) + Gi¶i vµ biÖn luËn: - NÕu a 0;b 0 th× ph­¬ng tr×nh v« sè nghiÖm. - NÕu a 0;b 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. b - NÕu a 0 th× ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x a vÝ dô: Gi¶i vµ bÞªn luËn ph­¬ng tr×nh sau: 4m 2 (x 1) x 4m 1 Gi¶i: 4m 2 (x 1) x 4m 1 4m 2 x 4m 2 x 4m 1 (4m 2 1)x 4m 2 4m 1 (2m 1)(2m 1).x (2m 1) 2 9
  12. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 1 2m 1 BiÖn luËn: + NÕu m th× ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm: x 2 2m 1 1 + NÕu m th× ph­¬ng tr×nh cã d¹ng:0.x 0 nªn ph­¬ng tr×nh v« sè nghiÖm. 2 1 1 + NÕu m th× ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: 0.x 2.( ) 0 nªn ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2 2 Bµi tËp: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph­¬ng tr×nh sau: m(x 1) m x Bµi 1. 2 2 3 x a 2 x a x 2a Bµi 2. 0 a 1 HD: Quy ®ång- thu gän- ®­a vÒ d¹ng ax + b = 0 a 1 a 1 1 a 2 a b x a c x b c x 4x Bµi 3. 1 (a;b;c; 0;a b c 0) . c b a a b c a b x a c x b c x 4x HD: 1 1 1 3 1 c b a a b c a b x a c x b c x 4x 1 1 1 4 c b a a b c 1 1 1 4(a b c x) a b c 4(a b c x) (a b c x) (a b c x). 0 c b a a b c abc a b c a b c 4 (a b c) 2 4abc (a b c x) 0 (a b c x) 0 abc a b c abc(a b c) NÕu   0 (a b c x) 0 x a b c NÕu   0 th× ph­¬ng tr×nh v« sè nghiÖm. b. hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt cã hai Èn sè: ax b 0 + D¹ng tæng qu¸t: ' ' a x b 0 + C¸ch gi¶i: - Ph­¬ng ph¸p thÕ. - Ph­¬ng ph¸p céng ®¹i sè. + Sè nghiÖm sè: - NÕua a ' Th× hÖ ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm . - NÕua a ' ;b b' ;c c ' Th× hÖ ph­¬ng tr×nh cã v« nghiÖm . - NÕua a ' ;b b' ;c c ' Th× hÖ ph­¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. + TËp nghiÖm cña mçi ph­¬ng tr×nh biÓu diÔn trªnmÆt ph¼ng to¹®é lµ ®å thÞ hµm sè d¹ng: y ax b VÝ dô: Gi¶i c¸c HPT sau: 10
  13. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2x y 3 Bµi1: 3x y 7 Gi¶i: 2x y 3 y 2x 3 y 2x 3 x 2 x 2 + Dïng PP thÕ: 3x y 7 3x 2x 3 7 5x 10 y 2.2 3 y 1 x 2 Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: y 1 2x y 3 5x 10 x 2 x 2 + Dïng PP céng: 3x y 7 3x y 7 3.2 y 7 y 1 x 2 Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: y 1 2x 3y 2 Bµi2: §Ó gi¶i lo¹i HPT nµy ta th­êng sö dông PP céng cho thuËn lîi. 5x 2y 6 2x 3y 2 10x 15y 10 11y 22 y 2 x 2 5x 2y 6 10x 4y 12 5x 2y 6 5x 2.( 2 6) y 2 x 2 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ y 2 2 3 1 x 1 y Bµi 3: 2 5 1 x 1 y *§èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thÓ sö dông hai c¸ch gi¶i sau ®©y: + C¸ch 1: Sö dông PP céng. §K: x 1, y 0 . 2 3 2 1 2 y 1 y 1 1 3 x 1 y y x 1 x 2 5 2 2 2 2 5 2 5 1 4 1 1 x 1 1 x 1 y 1 y 1 x 1 y x 1 y 3 x Vaäy HPT cã nghiÖm lµ 2 y 1 + C¸ch 2: Sö dông PP ®Æt Èn phô. §K: x 1, y 0 . 11
  14. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 1 1 2a 3b 1 2a 5b 1 2a 5.1 1 a 2 §Æt a ; b . HPT ®· cho trë thµnh: x 1 y 2a 5b 1 2b 2 b 1 b 1 1 2 3 x 1 x 2 (TM§K) 1 1 y 1 y 3 x Vaäy HPT cã nghiÖm lµ 2 y 1 L­u ý: - NhiÒu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy. - Cã thÓ thö l¹i nghiÖm cña HPT võa gi¶i. Bµi tËp vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh: Bµi 1: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp theá) x y 3 7x 3y 5 1.1: a) b) 3x 4y 2 4x y 2 x 2 2y 5 1.2. a) x 2 y 2 Bµi 2: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp coäng ñaïi soá) 3x 2y 10 3x y 3 4x 3y 6 2.1. a) b) c) 2 1 2x y 7 2x y 4 x y 3 3 3 x 2 3y 1 5x 3 y 2 2 2.2. a) b) 2x y 2 2 x 6 y 2 2 Bµi 3: x 3y 1 Giaûi heä phöông trình 2 trong moãi tröôøng hôïp sau (m 1)x 6y 2m a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1 2x by 4 Bµi 4 a) Xaùc ñònh heä soá avaøb, bieát raèng heä phöông trình coù nghieäm laø (1; -2) bx ay 5 b) Cuõng hoûi nhö vaäy neáu heä phöông trình coù nghieäm 2 1; 2 2x y 2 Bµi 5: Giaûi heä phöông trình sau: x 3y 1 12
  15. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2m n 2 m 1 n 1 a) Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa heä phöông trình m 3n 1 m 1 n 1 2x ay b Bµi 6: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh ax by 1 a) Gi¶i hÖ khi a =3 ; b =-2 b) T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y) = ( 2; 3) Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau: (pp ®Æt Èn phô) 1 2 2 x y x y 3 x 4 y 8 3 x 2 4 y 2 3 7.1) 7.2) 7.3) (®k x;y 2 ) 5 4 3 2 x y 2 2 x 2 y 2 1 x y x y 3x 3y 3 2 3 (x 1) 2(y 2) 5 (x 5)(y 2) (x 2)(y 1) 7.4) ; 7.5) ; 7.6) . 2x 3y 6 2 3(x 1) (y 2) 1 (x 4)(y 7) (x 3)(y 4) (x 1)(y 2) (x 1)(y 3) 4 3(x y) 5(x y) 12 7.7) ; 7.8) ; (x 3)(y 1) (x 3)(y 5) 1 5(x y) 2(x y) 11 1 1 4 1 2 1 5 5 2 x y 5 x y x y 2x 3y 3x y 8 7.9) ; 7.10) ; 7.11) ; 1 1 1 5 4 3 5 3 3 x y 5 x y x y 2x 3y 3x y 8 c.Ph­¬ng tr×nh bËc hai - hÖ thøc vi - Ðt 2 1.C¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) b 4ac * NÕu > 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: -b - -b + x1 = ; x2 = 2a 2a -b * NÕu = 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = 2a * NÕu < 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm Chó ý: Trong tr­êng hîp hÖ sè b lµ sè ch½n th× gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn b»ng c«ng thøc nghiÖm thu gän: 1 2 b’= b vµ ' = b' ac 2 13
  16. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 * NÕu ' > 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt -b' - ' -b' + ' x1 = ; x2 = a a -b' * NÕu ' = 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = a * NÕu ' < 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2 2.§Þnh lý Vi Ðt: Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) thì b S = x1 + x2 = - a c p = x1x2 = a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p th× hai sè ®ã là nghiÖm (nếu cã ) cña ph­¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 0 3. To¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt I. TÝnh nhÈm nghiÖm. XÐt ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) c NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = a c NÕu a – b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - a NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ 0 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n ( hoÆc x1 = n , x2 = m) II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1; x2 Ví dụ : Cho x1 3; xlập2 một2 phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên S x1 x2 5 Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: P x1x2 6 x2 Sx P 0 x2 5x 6 0 Bài tập áp dụng: 1. x1 = 8 vµ x2 = -3 2. x1 = 3a vµ x2 = a 3. x1 = 36 vµ x2 = -104 4. x1 = 1 2 vµ x2 = 1 2 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: 14
  17. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2 V í dụ: Cho phương trình : x 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình 1 1 trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 x2 và y2 x1 x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 1 1 1 x1 x2 3 9 S y1 y2 x2 x1 (x1 x2 ) (x1 x2 ) 3 x1 x2 x1 x2 x1x2 2 2 1 1 1 1 9 P y1 y2 (x2 )(x1 ) x1x2 1 1 2 1 1 x1 x2 x1x2 2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0 9 9 hay y2 y 0 2y2 9y 9 0 2 2 Bài tập áp dụng: 2 1/ Cho phương trình 3x 5x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình, Hãy 1 1 lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1 và y2 x2 x2 x1 5 1 (Đáp số: y2 y 0 hay 6y2 5y 3 0 ) 6 2 2 2/ Cho phương trình : x 5x 1 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả 4 4 mãn y1 x1 và y2 x2 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho). (Đáp số : y2 727y 1 0 ) 2 2 3/ Cho phương trình bậc hai: x 2x m 0 có các nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1; y2 sao cho : a) y1 x1 3 và y2 x2 3 b) y1 2x1 1 và y2 2x2 1 (Đáp số a) y2 4y 3 m2 0 b) y2 2y (4m2 3) 0 ) III. TÌM HAI SỐ BIẾT TæNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x2 Sx P 0 (§iều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4 Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x2 3x 4 0 giải phương trình trên ta được x1 1 và x2 4 Vậy nếu a = 1 thì b = 4 nếu a = 4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P = 2 15
  18. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2. S = 3 và P = 6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b. 2 2 2 81 a b T ừ a b 9 a b 81 a2 2ab b2 81 ab 20 2 2 x1 4 Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x 9x 20 0 x2 5 Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 nếu a = 5 thì b = 4 2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36 2 x1 4 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x 5x 36 0 x2 9 Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9 nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4 Cách 2: Từ a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 2 4ab 169 2 2 a b 13 a b 13 a b 13 2 x1 4 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x 13x 36 0 x2 9 Vậy a = 4 thì b = 9 2 x1 4 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x 13x 36 0 x2 9 Vậy a = 9 thì b = 4 3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b: 2 2 2 2 2 2 a b 11 T ừ: a + b = 61 a b a b 2ab 61 2.30 121 11 a b 11 2 x1 5 *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: x 11x 30 0 x2 6 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5 2 x1 5 *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x 11x 30 0 x2 6 16
  19. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5. IV. T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai cã mét nghiÖm x = x1 cho tr­íc .T×m nghiÖm thø 2 C¸ch gi¶i: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tr­íc cã hai c¸ch lµm: +) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm: 0 (hoÆc / 0 ) (*) - Thay x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè - §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®­îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) ®Ó kÕt luËn / +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn 0 (hoÆc 0 ) mµ ta thay lu«n x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®­îc cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh , mµ ph­¬ng tr×nh bËc hai nµy cã < 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tr­íc. §Ó t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm: +) C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo ph­¬ng tr×nh råi gi¶i ph­¬ng tr×nh (nh­ c¸ch 2 tr×nh bÇy ë trªn) +) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tæng 2 nghiÖm sÏ t×m ®­îc nghiÖm thø 2 +) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiÖm,tõ ®ã t×m ®­îc nghiÖm thø2 V. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm xvà1 tíchx2 nghiệm để áp dụngx1x2 hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức 1.Ph­¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 x2 ) và x1x2 2 2 2 2 2 D¹ng 1. x1 x2 (x1 2x1x2 x2 ) 2x1x2 (x1 x2 ) 2x1x2 D¹ng 2. x3 x3 x x x2 x x x2 x x x x 2 3x x 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D¹ng 3. x1 x2 (x1 ) (x2 ) x1 x2 2x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2x1 x2 1 1 x x D¹ng 4. 1 2 x1 x2 x1x2 2 2 2 D¹ng 5. x1 x2 ? Ta biết x1 x2 x1 x2 4x1x2 x1 x2 x1 x2 4x1x2 2 2 2 D¹ng 6. x1 x2 x1 x2 x1 x2 = (x1 x2 ) 4x1 x2 .(x1 x2 ) D¹ng 7. x3 x3 = x x x2 x x x2 x x x x 2 x x = . 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 4 4 2 2 2 2 D¹ng 8. x1 x2 = x1 x2 x1 x2 = 6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 D¹ng 9. x1 x2 = (x1 ) (x2 ) x1 x2 x1 x1 x2 x2 = 6 6 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 D¹ng 10. x1 x2 (x1 ) (x2 ) (x1 x2 )(x1 ) x1 .x2 (x2 )  17
  20. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 5 5 3 3 2 2 2 2 D¹ng 11. x1 x2 = (x1 x2 )(x1 x2 ) x1 .x2 (x1 x2 ) 2 2 D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a = p – aS + a 1 1 x1 x2 2a S 2a D¹ng13 2 x1 a x2 a (x1 a)(x2 a) p aS a 2. Bµi tËp ¸p dông: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x2 8x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính 2 2 1 1 8 1. x1 x2 (34) 2. x1 x2 15 x1 x2 34 2 3. 4. x1 x2 (46) x2 x1 15 b) Cho phương trình : 8x2 72x 64 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 9 2 2 1. 2. x1 x2 (65) x1 x2 8 c) Cho phương trình : x2 14x 29 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 14 2 2 1. 2. x1 x2 (138) x1 x2 29 d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 1 x 1 x 1. (3) 2. 1 2 (1) x1 x2 x1 x2 2 2 x1 x2 5 3. x1 x2 (1) 4. x2 1 x1 1 6 1 1 5. x1 1 x2 1 2 e) Cho phương trình x 4 3x 8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính 2 2 6x1 10x1x2 6x2 Q 3 3 5x1x2 5x1 x2 6x2 10x x 6x2 6(x x )2 2x x 6.(4 3)2 2.8 17 HD: Q 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 2 2 5x1x2 5x1 x2 5x x x x 2x x 5.8 (4 3) 2.8 80 1 2 1 2 1 2 VI. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này,c¸c em làm lần lượt theo các bước sau: 18
  21. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) b c 2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT: x x ; x .x 1 2 a 1 2 a 3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. 2 Ví dụ 1: Cho phương trình : m 1 x 2mx m 4 0(1) có 2 nghiệm x1; x2 . Lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m. (Bµi nµy ®· cho PT cã hai nghiÖmx1 ;x2 nªn ta kh«ng biÖn luËn b­íc 1) Gi¶i: B­íc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m 2 x x x x 2 (1) 1 2 m 1 1 2 m 1 m 4 3 x .x x .x 1 (2) 1 2 m 1 1 2 m 1 B­íc2: Rút m từ (1) ta có : 2 2 x1 x2 2 m 1 (3) m 1 x1 x2 2 Rút m từ (2) ta có : 3 3 1 x1x2 m 1 (4) m 1 1 x1x2 B­íc 3: Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: 2 3 2 1 x1x2 3 x1 x2 2 3 x1 x2 2x1x2 8 0 x1 x2 2 1 x1x2 2 Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình : m 1 x 2mx m 4 0 . Chứng minh rằng biểu thức A 3 x1 x2 2x1x2 8 không phụ thuộc giá trị của m. Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m x x 1 2 m 1 §K:(m 1 0 m 1 ) ;Thay vào A ta c ó: m 4 x .x 1 2 m 1 19
  22. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2m m 4 6m 2m 8 8(m 1) 0 A 3 x x 2x x 8 3. 2. 8 0 1 2 1 2 m 1 m 1 m 1 m 1 Vậy A = 0 với mọi m 1 . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng: 2 11 . Cho phương trình : x m 2 x 2m 1 0 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho x1; x2 độc lập đối với m. Hướng dẫn: B1: Dễ thấy m 2 2 4 2m 1 m2 4m 8 m 2 2 4 0 . Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có m x1 x2 2(1) x1 x2 m 2 x1x2 1 x1.x2 2m 1 m (2) 2 B3: Từ (1) và (2) ta có: x x 1 x x 2 1 2 2 x x x x 5 0 1 2 2 1 2 1 2 2 2 Cho phương trình : x 4m 1 x 2 m 4 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1)2 4.2(m 4) 16m2 33 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 x2 (4m 1) 4m (x1 x2 ) 1(1) x1.x2 2(m 4) 4m 2x1x2 16(2) Từ (1) và (2) ta có: (x1 x2 ) 1 2x1x2 16 2x1x2 (x1 x2 ) 17 0 VII.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với các bài toán dạng này c¸c em làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2 6 m 1 x 9 m 3 0 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 20
  23. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à : m 0 m 0 m 0 m 0 2 ' 9 m2 2m 1 9m2 27 0 ' 9 m 1 0 m 1 ' 3 m 21 9(m 3)m 0 6(m 1) x x 1 2 m Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: và từ giả thiết: x1 x2 x1x2 . Suy ra: 9(m 3) x x 1 2 m 6(m 1) 9(m 3) 6(m 1) 9(m 3) 6m 6 9m 27 3m 21 m 7 m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 2m 1 x m2 2 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1x2 5 x1 x2 7 0 Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là : ' (2m 1)2 4(m2 2) 0 4m2 4m 1 4m2 8 0 7 4m 7 0 m 4 x x 2m 1 1 2 3x x 5 x x 7 0 Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 2 và từ giả thiết 1 2 1 2 . Suy ra x1x2 m 2 3(m2 2) 5(2m 1) 7 0 3m2 6 10m 5 7 0 m 2(TM ) 3m2 10m 8 0 4 m (KTM ) 3 Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1x2 5 x1 x2 7 0 Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : mx2 2 m 4 x m 7 0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 2x2 0 2. Cho phương trình : x2 m 1 x 5m 6 0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4x1 3x2 1 21
  24. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 3. Cho phương trình : 3x2 3m 2 x 3m 1 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 6 Hướng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ: + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m. + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2. 16 BT1: - ĐKX Đ: m 0 & m 15 (m 4) x x 1 2 m -Theo VI-ÉT: (1) m 7 x x 1 2 m x1 x2 3x2 2 - Từ x1 2x2 0 Suy ra: 2(x1 x2 ) 9x1x2 (2) 2(x1 x2 ) 3x1 2 - Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: m 127m 128 0 m1 1;m2 128 BT2: - ĐKXĐ: m2 22m 25 0 11 96 m 11 96 x1 x2 1 m - Theo VI-ÉT: (1) x1x2 5m 6 x1 1 3(x1 x2 ) x1x2 1 3(x1 x2 ).4(x1 x2 ) 1 - Từ : 4x1 3x2 1 . Suy ra: x2 4(x1 x2 ) 1 (2) 2 x1x2 7(x1 x2 ) 12(x1 x2 ) 1 m 0 - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m 1) 0 (thoả mãn ĐKXĐ) m 1 BT3: - Vì (3m 2)2 4.3(3m 1) 9m2 24m 16 (3m 4)2 0 với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. 3m 2 x x 1 2 3 - -Theo VI-ÉT: (1) (3m 1) x x 1 2 3 8x1 5(x1 x2 ) 6 64x1x2 5(x1 x2 ) 6.3(x1 x2 ) 6 - Từ giả thiết: 3x1 5x2 6 . Suy ra: 8x2 3(x1 x2 ) 6 (2) 2 64x1x2 15(x1 x2 ) 12(x1 x2 ) 36 22
  25. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 m 0 - Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m 96) 0 32 (thoả mãn ) m 15 VIII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax2 bx c 0 (a 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm . Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 S x1 x2 P x1x2 Điều kiện chung trái dấu m P 0 0 0 ; P > 0 cùng dương, + + S > 0 P > 0 0 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm S 0 0 0 ; P > 0 ; S < 0. Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: 2x2 3m 1 x m2 m 6 0 có 2 nghiệm trái dấu. Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì (3m 1)2 4.2.(m2 m 6) 0 0 (m 7)2 0m m2 m 6 2 m 3 P 0 P 0 P (m 3)(m 2) 0 2 Vậy với 2 m 3 thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu. Bài tập tham khảo: 1. mx2 2 m 2 x 3 m 2 0 có 2 nghiệm cùng dấu. 2. 3mx2 2 2m 1 x m 0 có 2 nghiệm âm. 3. m 1 x2 2x m 0 có ít nhất một nghiệm không âm. IX. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được: A m C (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*) k B Thì ta thấy : C m (v ì A 0 ) min C m A 0 C k (v ìB 0 ) max C k B 0 23
  26. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 2m 1 x m 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để : 2 2 A x1 x2 6x1x2 có giá trị nhỏ nhất. x1 x2 (2m 1) Bài giải: Theo VI-ÉT: x1x2 m A x2 x2 6x x x x 2 8x x Theo đ ề b ài : 1 2 1 2 1 2 1 2 2m 1 2 8m 4m2 12m 1 (2m 3)2 8 8 3 Suy ra: min A 8 2m 3 0 hay m 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 mx m 1 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 2x1x2 3 B 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 x1 x2 m Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : x1x2 m 1 2x1x2 3 2x1x2 3 2(m 1) 3 2m 1 B 2 2 2 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 (x1 x2 ) 2 m 2 m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau: m2 2 m2 2m 1 m 1 2 B 1 m2 2 m2 2 2 2 m 1 Vì m 1 0 0 B 1 m2 2 Vậy max B=1 m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 1 1 1 m2 2m 1 m2 m2 4m 4 m2 2 2 m 2 1 B 2 2 2 2 m2 2 m2 2 2 m2 2 2 24
  27. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2 2 m 2 1 Vì m 2 0 0 B 2 m2 2 2 1 Vậy min B m 2 2 Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 2m 1 B Bm2 2m 2B 1 0 (Với m là ẩn, B là tham số) ( ) m2 2 Ta có: 1 B(2B 1) 1 2B2 B Để phương trình ( ) luôn có nghiệm với mọi m thì 0 hay 2B2 B 1 0 2B2 B 1 0 2B 1 B 1 0 1 B 2B 1 0 2 B 1 0 B 1 1 B 1 2B 1 0 1 2 B B 1 0 2 B 1 Vậy: max B=1 m = 1 1 min B m 2 2 Bài tập áp dụng 2 2 1. Cho phương trình : x 4m 1 x 2 m 4 0 .Tìm m để biểu thức A x1 x2 có giá trị nhỏ nhất. 2 2. Cho phương trình x 2(m 1)x 3 m 0 . Tìm m sao cho nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện 2 2 x1 x2 10 . 3. Cho phương trình : x2 2(m 4)x m2 8 0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn a) A x1 x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất 2 2 b) B x1 x2 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất 2 2 2 2 4. Cho phương trình : x (m 1)x m m 2 0 . Với giá trị nào của m, biểu thức C x1 x2 dạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 2 5. Cho phương trình x (m 1) m 0 . Xác định m để biểu thức E x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bµi tËp Bµi tËp 1: BiÕn ®æi c¸c ph­¬ng tr×nh sau thµnh ph­¬ng tr×nh bËc hai råi gi¶i a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) – 15 b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1 c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2 25
  28. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) – 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5 g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) – 1 h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7 i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1 Bµi tËp 2: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 2; b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 3 Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 3; b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 4; c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 4: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -2; b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -3 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 5: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -1vµ m = 3 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 4 c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = x2 Bµi tËp 6: Cho ph­¬ng tr×nh : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -2 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 2x2 Bµi tËp 7: Cho ph­¬ng tr×nh : 2x2 - 6x + (m +7) = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -3 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 4 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = - 2x2 Bµi tËp 8: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 4 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 3x2 Bµi tËp 9: BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 10: BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm 26
  29. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 x = -1 . T×m nghiÖm cßn l¹i x = -1. T×m nghiÖm cßn l¹i. Bµi tËp 11: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - mx + 2m - 3 = 0 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu c)T×m hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m Bµi tËp 12: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2 b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m c) Khi ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 t×m gi¸ trÞ cña m vµ t×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 13:Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2. T×m nghiÖm cßn l¹i 2 2 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 th¶o m·n: x1 + x2 = 8 2 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x1 + x2 Bµi tËp 14: Cho ph­¬ng tr×nh: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hiÖu hai nghiÖm b»ng 2 b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1vµ x2 kh«ng phô thuéc m Bµi tËp 15: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0 a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña a b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo a 2 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x1 + x2 Bµi tËp 16: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 2 2 a) T×m m ®Ó A = x1 + x2 - x1 - x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b) T×m m ®Ó B = x1 + x2 - 3x1x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 2 2 c) T×m m ®Ó C = x1 + x2 - x1x2 Bµi tËp 17: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph­¬ng tr×nh 2 2 2 mx - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1 x2 1 Bµi tËp 18: 2 2 Cho ph­¬ng tr×nh x - 2(m - 2)x + (m + 2m - 3) = 0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt 1 1 x x tho¶ m·n 1 2 x1 x2 5 Bµi tËp 19: Cho ph­¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè). a) X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c nghiÖm x1; x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n x1 + 4x2 = 3 b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi tËp 20: a) Víi gi¸ trÞ nµo m th× hai ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiÖm chung. T×m nghiÖm chung ®ã? x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) 27
  30. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2) vµ ng­îc l¹i. d. Mét sè ph­¬ng tr×nh th­êng gÆp: A 0 1. pH­¬ng tr×nh tÝch: D¹ng: A.B 0 B 0 VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2x 3 x 2 13x 6 0 . Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm.( nghiÖm thuéc ­íc cña 6)ta ®­îc: x1 2 1 (x 2)(2x 2 5x 3) 0 x 2 2 x3 3 Bµi tËp: Bµi 1: x 4 2x 3 x 2 8x 12 0 Bµi 2: 2x 3 3x 2 11x 6 0 2.pH­¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu: 1 x 2 VÝ du: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh sau: 1 x (*) 1 mx 1 §KX§: 1 mx 0 x (m 0) m Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (*) 1 x 2 (1 x)(1 mx) x 2 mx 2 x mx 0 (1 m)x 2 (1 m)x 0 x(1 m)x 1 m 0 x 0 (1 m)x 1 m 0 (1 m)x m 1 x 0 NÕu m 1 ; th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm : m 1 x 1 1 m NÕu m = 1 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 0. Bµi tËp: 2 x 2 10 Bµi 1: x 3 3x x 2 x(x 2 9) 5 4 Bµi 2: 3 x 1 3 6x 3x 2 3. pH­¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyªt ®èi VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 3x 2 3x 1 3 Ta cã thÓ gi¶i nh­ sau: LËp b¶ng xÐt vÕ tr¸i: x 1 2 3 3 28
  31. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 3x 2 3x 2 3x 2 3x 2 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 VÕ tr¸i céng l¹i 6x 3 0x 1 6x 3 1 VËy: + Víi x th× ph­¬ng tr×nh (1) 6x 3 3 6x 0 x 0 ( tho¶ m·n) 3 1 2 + Víi x th× ph­¬ng tr×nh (1) 0x 1 3 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. 3 3 2 + Víi x th× ph­¬ngtr×nh (1) 6x 3 3 6x 6 x 1 tho¶ m·n. 3 Bµi tËp: Bµi 1: x 2 2x 1 5 Bµi 2: x 3 2x 4 4. pH­¬ng tr×nh v« tØ: VÝ dô: a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x 4 x 1 1 2x x 4 0 x 4 1 PP: + §KX§: 1 x 0 x 1 4 x 2 1 1 2x 0 x 2 + B×nh ph­¬ng hai vÕ ®Ó lµm mÊt c¨n. b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x 2x 1 x 2x 1 2 1 PP: + §KX§: 2x 1 0 x 2 + T¹o ra b×nh ph­¬ng cña mét tæng noÆc mét hiÖu cña biÓu thøc d­íi c¨n ®Ó ®­a ra ngoµi c¨n. Do thiÕu 2 lÇn tÝch nªn ta nh©n c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh víi 2 . + XÐt xem biÓu thøc d­íi c¨n d­¬ng hay kh«ng ®Ó ®Æt trong dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi råi gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Bµi tËp: Bµi 1: x 2 4x 4 x 2 2x 1 3 Bµi 2: x 2 x 3 2 x 2 x 3 2 3 D¹ng IV Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh. I, LÝ thuyÕt cÇn nhí: * B­íc 1: + LËp PT hoÆc hÖ ph­¬ng tr×nh; (nªn lËp b¶ng ®Ó timph­¬ng tr×nh) - Chän Èn, t×m ®¬n vÞ vµ §K cho Èn. - BiÓu diÔn mèi quan hÖ cßn l¹i qua Èn vµ c¸c ®¹i l­îng ®· biÕt. - LËp HPT. 29
  32. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 * B­íc 2: Gi¶i PT hoÆc HPT. * B­íc 3: §èi chiÕu víi §K ®Ó tr¶ lêi. II, Bµi tËp vµ h­íng dÉn: 1) To¸n chuyÓn ®éng: Bµi 1. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc tõ hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 160 km, ®i ng­îc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 2 giê. T×m vËn tèc cña mçi « t« biÕt r»ng nÕu « t« ®i tõ A t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h sÏ b»ng hai lÇn vËn tèc «t« ®i tõ B. Bµi 2: Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B víi vËn tèc 9km/h . Khi ®i tõ B vÒ A ng­êi Êy ®i ®­êng kh¸c dµi h¬n 6 km, víi vËn tèc 12km/h. nªn thêi gian Ýt h¬n thêi gian khi ®I lµ 20 phót. TÝnh qu·ng ®­êng AB? Bµi 3. Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch nhau 85 km , ®i ng­îc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 1 giê 40 phót.TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« biÕt r»ng vËn tèc cña ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc cña ca n« ng­îc dßng lµ 9 km/h (cã c¶ vËn tèc dßng n­íc) vµ vËn tèc dßng n­íc lµ 3 km/h. 2) To¸n thªm bít mét l­îng Bµi 5. Hai líp 9A vµ 9B cã tæng céng 70 HS. nÕu chuyÓn 5 HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè HS ë hai líp b»ng nhau. TÝnh sè HS mçi líp. Bµi 6: Hai thïng ®ùng dÇu: Thïng thø nhÊt cã 120 lÝt,thïng thø hai cã 90 lÝt. Sau khi kÊy ra ë thïng thø nh¸t mét l­îng dÇu gÊp ba l­îng dÇu lÊy ra ë thïng thø hai, th× l­îng dÇu cßn l¹i trong thïng thø hai gÊp ®«i l­îng dÇu cßn l¹i trong thïng thø nhÊt. Hái ®· lÊy ra bao nhiªu lÝt dÇu ë mçi thïng? 3) To¸n phÇn tr¨m: Bµi 7. Hai tr­êng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tuyÓn. TÝnh riªng tØ lÖ ®ç th× tr­êng A ®¹t 80%, tr­êng B ®¹t 90%. Hái mçi tr­êng cã bao nhiªu HS líp 9 dù thi vµo líp 10. 4) To¸n lµm chung lµm riªng: Bµi 8. Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã n­íc sau 2 giê 55 phót th× ®Çy bÓ. NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt cÇn Ýt thêi gian h¬n vßi thø hai lµ 2 giê. TÝnh thêi gian ®Ó mçi vßi ch¶y riªng th× ®Çy bÓ. Bµi 9. Hai tæ cïng lµm chung mét c«ng viÖc hoµn thµnh sau 15 giê. nÕu tæ mét lµm trong 5 giê, tæ hai lµm trong 3 giê th× ®­îc 30% c«ng viÖc. Hái nÕu lµm riªng th× mçi tæ hoµn thµnh trong bao l©u. 5) To¸n nång ®é dung dÞch: m KiÕn thøc: BiÕt r»ng m lÝt chÊt tan trong M lÝt dung dÞchth× nång ®é phµn tr¨m lµ .100% M Bµi 10: Khi thªm 200g AxÝt vµo dung dÞch AxÝt th× dung dÞch míi cã nång ®é A xÝt lµ 50%. L¹i thªm 300gam n­íc vµo dung dÞch míi ,ta ®­îc dung dÞch A xÝt cã nång ®é lµ40%.TÝnh nång ®é A xÝt trong dung dÞch ®Çu tiªn. HD: Khèi l­îng n­íc trong dung dÞch ®Çu tiªn lµ x gam, khèi l­îng A xÝt trong dung dÞch ®Çu tiªn lµ y gam Sau khi thªm, 200 gam A xÝt vµo dung dÞch A xÝt ta cãl­îng A xÝt lµ: ( y + 200) gam vµ nång ®é lµ y 200 1 50% Do ®ã tacã: x y 200 (1) y 200 x 2 Sau khi thªm 300 gam n­íc vµo dung dÞch th× khèi l­îng n­íc lµ: (x + 300) gam vµ nång ®é lµ y 200 2 40%(=2/5) nªn ta cã: 2x 3y 0 (2) y 200 x 300 5 400 Gi¶i hÖ (1) vµ (2) ta ®­îc x = 600; y = 400 VËy n«ng ®é A xÝt lµ: 40% 600 400 6)To¸n nhiÖt l­îng: KiÕn thøc: BiÕt r¨ng: + m Kg n­íc gi¶m t0C th× to¶ ra mét nhiÖt l­îng Q = m.t (Kcal). + m Kg n­íc t¨ng t0C th× thu vµo mét nhiÖt l­îng Q = m.t (Kcal). 30
  33. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 11: Ph¶i dïng bao nhiªu lÝt n­íc s«i 1000C vµ bao nhiªu lÝt n­íc l¹nh 200C ®Ó cã hçn hîp 100lÝt n­íc ë nhiÖt ®é 400C. HD: Gäi khèi l­îng n­íc s«i lµ x Kg th× khèi l­îng n­íc l¹nh lµ: 100 – x (kg) NhiÖt l­¬ng n­íc s«i to¶ ra khi h¹ xuèng ®Õn 400C lµ: x(100 – 40) = 60x (Kcal) NhiÖt l­îng n­íc l¹nh t¨ng tõ 200C -®Õn 400C lµ: (100 – x).20. (Kcal) V× nhiÖt l­îng thu vµo b»ng nhiÖt l­îng to¶ ra nªn ta cã : 60x = (100 – x).20 Gi¶i ra ta cã: x = 25.VËy kh«Ý l­îng n­íc s«i lµ 25Kg; n­íc l¹nh lµ 75 Kg t­¬ng ®­¬ng víi 25lÝt vµ 75 lÝt. 7)C¸c d¹ng to¸n kh¸c: Bµi 12. Mét thöa ruéng cã chu vi 200m . nÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 5m, gi¶m chiÒu réng ®i 5m th× diÖn tÝch gi¶m ®i 75 m2 . TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng ®ã. Bµi 13. Mét phßng häp cã 360 ghÕ ®­îc xÕp thµnh tõng hµng vµ mçi hµng cã sè ghÕ ngåi b»ng nhau. Nh­ng do sè ng­êi ®Õn häp lµ 400 nªn ph¶i kª thªm 1 hµng vµ mçi hµng ph¶i kª thªm 1 ghÕ míi ®ñ chç. TÝnh xem lóc ®Çu phßng häp cã bao nhiªu hµng ghÕ vµ mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ. &&&& 31
  34. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 D¹ng V Bµi tËp H×nh tæng hîp Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®­êng trßn (O) lÇn l­ît t¹i M,N,P. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: C/M: BE.AC. 4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 5. X¸c ®Þnh t©m ®­êng trßn néi tiÕp 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. tam gi¸c DEF. Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®­êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 1 3. Chøng minh ED = BC. 2 4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Bµi 3 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l­ît ë C vµ D. C¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. 2. Chøng minh COD = 900. AB2 3. Chøng minh AC. BD = . 4 4. Chøng minh OC // BM 5. Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD. 6. Chøng minh MN  AB. 7. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Bµi 5 Cho ®­êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®­êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn . 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 32
  35. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. VÏ ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. Bµi 7 Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. 2. Chøng minh BM // OP. 3. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. Bµi 8 Cho nöa ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®­êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. Bµi 9 Cho nöa ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®­êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn l­ît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 10 Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB vµ S lµ giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P lµ ch©n ®­¬ng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB. 1. Chøng minh bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®­êng trßn 2. Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n. 3. Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn . Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. BD BM 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. CB CF Bµi 12 Cho ®­êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®­êng trßn ë P. Chøng minh : 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2.Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh nµo. 33
  36. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®­êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn . Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®­êng trßn cã ®­êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K. §­êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®­êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K). 1. Chøng minh EC = MN. 2. Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K). 3. TÝnh MN. 4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®­êng trßn (O) cã ®­êng kÝnh MC. ®­êng th¼ng BM c¾t ®­êng trßn (O) t¹i D. ®­êng th¼ng AD c¾t ®­êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®­êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®­êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. Bµi 18 Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoµi ®­êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®­êng trßn (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. 1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh c¸c ®­êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. Gäi K lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp . Bµi 19. Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. 5. Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 20. Cho ®­êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i C. Gäi AC vµ BC lµ hai ®­êng kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’). DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp . 34
  37. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2. Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn 3. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 4. B, E, F th¼ng hµng 5. DF, EG, AB ®ång quy. 6. MF = 1/2 DE. 7. MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 21. Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña OA . VÏ ®­êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chøng minh r»ng c¸c ®­êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc nhau t¹i A. 2. Chøng minh IP // OQ. 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. 4. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó tam gi¸c AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt. Bµi 22. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®­êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®­êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K. 1. Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 4. Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC 2. TÝnh gãc CHK. th× H di chuyÓn trªn ®­êng 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB nµo? Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE. 1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. 2. §­êng th¼ng HD c¾t ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. 3. Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 4. Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Bµi 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã B = 450 . VÏ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AC cã t©m O, ®­êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E. 1. Chøng minh AE = EB. 2. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®­êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE. Bµi 25. Cho ®­êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R). KÎ c¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) t¹i B vµ C chóng c¾t nhau t¹i A. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M råi kÎ c¸c ®­êng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng c¸c c¹nh t­¬ng øng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lµ P; giao ®iÓm cña CM, IH lµ Q. 1. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n. 2. C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp . 3. Chøng minh MI2 = MH.MK. 4. Chøng minh PQ  MI. Bµi 26. Cho ®­êng trßn (O), ®­êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD  AB ë H. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh : KC AC 1. 2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña CMD. 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp KB AB 4. Chøng minh ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M. Bµi 27 Cho ®­êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®­êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®­êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chøng minh : Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. 35
  38. C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC. 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh. 2. E, F n»m trªn ®­êng trßn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n. 4. Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cña ®­êng trßn (O; R) (BC 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c ®­êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H. 1. Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC. 2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’. 3. Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’. 4. Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña A ®Ó tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®­êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA. 1. Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH. 2. Gi¶ sö B > C. Chøng minh OAH = B - C. 3. Cho BAC = 600 vµ OAH = 200. TÝnh: B vµ C cña tam gi¸c ABC. HÕt 36