Tổng hợp câu hỏi hình học trong đề thi vào Lớp 10 của các tỉnh - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi hình học trong đề thi vào Lớp 10 của các tỉnh - Năm học 2018-2019

1. CÁC ĐỀ HÌNH THI VÀO 10 NĂM 2018 – 2019 Bài 1: An Giang Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. a) Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp đường tròn. b) Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G khác A. Chứng minh ON = NG. c) PN cắt cung nhỏ BG của đường tròn (O) tại F. Tính số đo OFP. Bài 2: Bà Rịa – Vũng Tàu Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ cát tuyến AMN không đi qua (O) (M nằm giữa A và N). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R). (B và C là hai tiếp điểm và C thuộc cung nhỏ MN). Đường thẳng BC cắt MN và AO lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh EB.EC = EM.EN và IA là phân giác của BIC c) Tia MF cắt (O;R) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng ∆AMF ∾ ∆AON và BC//DN. d) Giả sử OA = 2R. Tính diện tích tam giác ABC theo R. Bài 3: Bắc Giang Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm M, N (M ≠ B, N ≠ C). Gọi H là giao điểm của BN và CM; P là giao điểm của AH và BC. 1) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn. 2) Chứng minh BM.BA = BP.BC. 3) Trong trường hợp đặc biệt khi tam giác ABC đều bằng 2 . Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo . 4) Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AE và AF của đường tròn tâm O đường kính BC (E, F là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng. Bài 4: Bắc Cạn Cho đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O). Trên Ax lấy điểm C, từ điểm C vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E (D, E không cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB; D nằm giữa C và E). Từ điểm O kẻ OH vuông góc với DE tại H. 1) Chứng minh rằng tứ giác AHOC nội tiếp. 2) Chứng minh rằng AD.CE = AC.AE. 3) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng tứ giác AMBN là hình bình hành. Bài 5: Bạc Liêu 1
2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm tùy ý bất kì trên cung AC (M khác A và C là điểm chính giữa cung AB), BM cắt AC tại H. Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB. 1) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK 3) Kẻ CP vuông góc với BM (P thuộc BM) và trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh ME = 2CP. Bài 6: Bắc Ninh Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C, D nằm trên đường tròn đó sao cho C, D nằm khác phía đối với đường thẳng AB, đồng thời AD > AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC, AD lần lượt là M, N; giao điểm của MN với AC, AD lần lượt là H, I; giao điểm của MD và CN là K. a) Chứng minh ACN = DMN. Từ đó suy ra tứ giác MCKH nội tiếp. b) Chứng minh KH song song với AD. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ AC và sđ AD để AK song song với ND. Bài 7: Bến Tre Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E. a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác NFK cân. d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN. Bài 8: Bình Định Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC. a) Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn và xác định tâm O của đường tròn này. b) Chứng minh OH ⊥ PQ c) Chứng minh MP + MQ = AH Bài 9: Bình Dương Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính R=3cm. Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại D. 2
3. a) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn. b) Gọi M lả giao điểm của BC và OD. Biết OD = 5cm. Tính diện tích tam giác BCD c) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến (O) tại A, d cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh AB.AP = AQ.AC d) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC Bài 10: Bình Phước Cho đường tròn tâm (O), từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm O. (C nằm giữa M và D; O và B nằm về hai phía so với cát tuyến MCD). a) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp. b) Chứng minh: 2 = . c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh: AB là phân giác của CHD. Bài 11: Bình Thuận Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ở ngoài đường tròn (O) sao cho OM = 2R. Từ điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác AOBM nội tiếp b) Tính độ dài đoạn thẳng MA theo R và tính số đo AOM c) Từ M vẽ cát tuyến MCD đến đường tròn (O) (cát tuyến MCD không đi qua tâm và MC< MD). Chứng minh 2 = . d) AB cắt MO tại H. Chứng minh HDC = HOC Bài 12: Cà Mau Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho 2MC < AC và M không trùng với C. Vẽ đường tròn đường kính MC, kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng: a) ABCD là một tứ giác nội tiếp. b) CA là tia phân giác của góc SCB. Bài 13: Cần Thơ Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến PC của (O) (C là tiếp điểm) và các tuyến PAB (PA < PB) sao cho các điểm A, B, C nằm cùng phía so với đường thẳng PO. Gọi M là trung điểm của đoạn AB và CD là đường kính của (O). a) Chứng minh tứ giác PCMO nội tiếp. b) Gọi E là là giao điểm của đường thẳng PO với đường thẳng BD. Chứng minh AM.DE=AC.DO c) Chứng minh đường thẳng CE vuông góc với đường thẳng CA. Bài 14: Cao Bằng 3
4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A và C); BM cắt AC tại H. Từ H kẻ HK vuông góc với AB tại K. a) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp. b) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng mnh tam giác MEC là tam giác vuông cân. Bài 15: Đà Nẵng Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có AB < AC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M khác A thỏa mãn MA < MC. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB, MN. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn. b) AH.AK = HB. MK c) Khi điểm M di động trên cung nhỏ AC thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định. Bài 16: Đăk Lak Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và A= 45° . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên AC, AB; H là giao điểm của BD và CE. 1) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. 2) Chứng minh: BE = EH 3) Tính tỉ số . Bài 17: Đắc Nông Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại K. a) Chứng minh AQKN nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó. b) Chứng minh AQ.AC = AK.AM c) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AQKN. Bài 18: Điện Biên Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của đường tròn (O) lần lượt tại C và D a. Chứng minh: COD = 90° b. Gọi K là giao điểm của BM với Ax. Chứng minh: ∆KMO ∾ ∆AMD c. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM Bài 20: Đồng Tháp Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH ( ∈ ) lấy điểm D sao cho BD=BA, vẽ CE vuông góc với AD ( ∈ ). 4
5. a) Chứng minh tứ giác AHCE là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh DA.HE=DH.AC c) Chứng minh tam giác EHC cân. Bài 21: Gia Lai Cho điểm S cố định ở bên ngoài đường tròn (O). Vẽ tiếp tuyến SA của đường tròn (O)(với A là tiếp điểm) và cát tuyến SCB không qua tâm O, điểm O nằm trong góc ASB, điểm C nằm giữa S và B. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng CB. 1) Chứng minh rằng tứ giác SAOH nội tiếp một đường tròn. 2) Chứng minh rằng 푆 2 = 푆 .푆 3) Gọi MN là đường kính bất kỳ của đường tròn (O) sao cho ba điểm S, M, N không thẳng hàng. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác SMN lớn nhất. Bài 22: Hà Giang Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB; C là điểm chính giữa của cung AB. M thuộc cung AC (M ≠ A; M ≠ C). Qua M kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn, gọi H là giao điểm của BM và OC. Từ H kẻ một đường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt tiếp tuyến d ở E. a) Chứng minh OHME là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh EH = R. c) Kẻ MK vuông góc với OC tại K. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMK. Bài 23: Hà Nam Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = 3R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Lấy điểm M thuộc đường tròn (O)sao cho BM song song với AC. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và đường tròn (O), K là giao điểm của hai đường thẳng BN và AC. 1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh 퐾 2 = 퐾 .퐾 3) Tính độ dài đoạn thẳng AK theo R. 4) Tiếp tuyến M, N của (O) cắt nhau tại E. Chứng minh E, B, C thẳng hàng. Bài 24: Hà Nội Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO. 2) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo CSD. 5
6. 3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC. 4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài 25: Hà Tĩnh Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC, nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ đường kính AD của đường tròn (O), đường cao AH của tam giác ABC (H thuộc BC) và BE vuông góc với AD (E thuộc AD). a) Chứng minh rằng tứ giác AEHB nội tiếp. b) Chứng minh rằng AH. DC = AC. BH c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng IH = IE Bài 26: Hải Dương Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Goi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. 1) Chứng minh 2 = . 2) Chứng minh tứ giác BCNM nội tiếp và AC.BM + AB.CN = AH.BC 3) Đường thẳng đi qua A cắt tia HM tại E và cắt tia đối của tia NH tại F. Chứng minh BE // CF Bài 27: Hải Phòng 27.1 Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), AH là đường cao của tam giác ABC. Kẻ đường kính AD của đường tròn (O). Từ hai điểm B và C kẻ ⊥ tại E, 퐹 ⊥ tại F. a) Chứng minh tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh HE // CD c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng mnh IE = IF 27.2 Tính diện tích toàn phần của một hình nón có chiều cao h = 16 cm và bán kính đường tròn đáy là r = 12 cm? Bài 28: Hậu Giang Cho đường tròn tâm O, bán kính r=1, và (O) nội tiếp tam giác ABC. Giả sử diện tích của tam giác bằng 3. Tính chu vi của tam giác ABC. Bài 29: Hồ Chí Minh Cho tam giác nhọn ABC có BC = 8 cm. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh : AH vuông góc với BC. 6
7. b) Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác OEKD nội tiếp. c) Cho = 60°.Tính độ dài đoạn DE và tỉ số diện tích hai tam giác AED và ABC. Bài 30: Hòa Bình 30.1 Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4 cm, HE = 2 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD 30.2 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của (O) tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N 1) Chứng minh rằng ACD = ANM 2) Chứng minh rằng AC + AD + AM + AN > 8R Bài 31: Hưng Yên Cho đường tròn (O) đường kính AB và một dây CD vuông góc với AB tại H (H không trùng với các điểm A, B, O). Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh: a) Bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn. b) MH vuông góc với BC. Bài 32: Khánh Hòa Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB không đi qua O. Từ điểm M nằm trên tia đối của tia BA (M không trùng với B), kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (O;R) (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB. a) Chứng minh các điểm M, D, H, O cùng thuộc một đường tròn. b) Đoạn thẳng OM cắt đường tròn (O;R) tại điểm I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD. c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt các tia MC, MD lần lượt tại E và F . Xác định hình dạng của tứ giác MCOD để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất khi M di động trên tia đối của tia BA. Bài 33: Kiên Giang Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại D, E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F. a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O). Chứng minh ⊥ c) Chứng minh CE.CF+AD.AE= 2 Bài 34: Kon Tum Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AA’, BB’, CC’ của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AO cắt đường tròn tâm O tại D khác A. a) Chứng minh tứ AB’HC’ nội tiếp đường tròn. 7
8. b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HD và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC. c) Tính ′ + ′ + ′ Bài 35: Lai Châu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H (D thuộc BC, E thuộc AC). a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn. b) Tia AO cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành. c) Gọi F là giao điểm của tia CH với AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 퐹 + + 퐹 Bài 36: Lâm Đồng Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại D. Vẽ cát tuyến CB của đường tròn (O’) tiếp xúc ngoài với đường tròn (O) tại A (C, B thuộc đường tròn (O’), B nằm giữa A và C). Chứng minh điểm A cách đều hai đường thẳng BD và CD. Bài 37: Lạng Sơn Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < BC <AC, kẻ hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H (M thuộc BC, N thuộc CA) a) Chứng minh tứ giác CMHN nội tiếp. b) Chứng minh NA.NC = NH.NB c) Đường tròn tâm H bán kính HA cắt các tia AB,AC lần lượt tại E và F (E khác A, F khác A). Chứng minh BHFC nội tiếp. d) Các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (H; HA) cắt nhau tại K. Chứng minh AK đi qua trung điểm của BC. Bài 38: Lào Cai Cho O đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM (K khác B, M), H là giao điểm của AK và MN. a) Chứng minh rằng BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh . 퐾 = 2 c) Xác định vị trí của điểm K để KM + KN + KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Bài 39: Long An 31.1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 5 cm và BC = 13 cm. từ H kẻ HK vuông góc với AB ( ∈ ). Tính AC, BH và cos HBK. 31.2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại I và K (I khác A, K khác B). 8
9. a) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp. b) Chứng minh tam giác CKI cân. c) Kẻ đường kính BF của đường tròn (O). Gọi P là trung điểm AC. Chứng minh 3 điểm H, P, F thẳng hàng. Bài 40: Nam Định Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC ( ≠ ; ≠ ).Kẻ MH vuông góc với BC ( ∈ ), đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K. Hai đường thẳng AK và CM giao nhau tại E. a) Chứng minh 2 = . b) Từ C kẻ CN ⊥ AB(N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), gọi P là giao điểm của NK và CE. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác BNE và PNE cùng nằm trên đường thẳng BP. c) Cho BC = 2R. Gọi 1 2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MCH và MBH. Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác 1 2 lớn nhất. Bài 41: Nghệ An Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A di động trên (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB) cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, đoạn thẳng KA cắt (O) tại điểm M. Chứng minh rằng: a) BCEF là tứ giác nội tiếp. b) KM.KA = KE.KF c) Đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. Bài 42: Ninh Bình Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) , (M, N là các tiếp điểm, M và B nằm trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng MN và AK. Chứng minh rằng a) Tứ giác AMKO nội tiếp. b) KA là tia phân giác của MKN. c) 2 = 퐾. d) H là trực tâm tam giác ABC. Bài 43: Ninh Thuận Cho tam giác ABC vuông tại A, ABC = 30° nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. a) Tính độ dài các cạnh AB, AC theo R. 9
10. b) Tính diện tích S của hình giới hạn bởi cing AC và dây AC theo R. c) Gọi M là điểm di động trên cung BC không chứa điểm A. Xác định vị trí của M để tích MB.MC là lớn nhất Bài 44: Phú Thọ Cho đường tròn (O;R) và điểm M cố định nằm ngoài (O;R). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O;R) (A,B là các tiếp điểm). Đường thẳng (d) bất kỳ qua M và cắt (O;R) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa M và D). Gọi N là giao điểm của AB và CD. a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp. b) Chứng minh rằng tam giác ANC và tam giác DNB đồng dạng, tam giác AMC và tam giác DMA đồng dạng. c) Chứng minh rằng = 1 1 d) Xác định vị trí của đường thẳng (d) để đạt giá trị nhỏ nhất. + Bài 45: Phú Yên Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn A, C là điểm chuyển động trên đường thẳng d. BC cắt (O) tại D ( ≠ ). Gọi E là trung điểm của BD. a) Chứng minh OACE là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng . = 2푅2 c) Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE. Bài 46: Quảng Bình Cho tam giác ABC (CA > CB) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C. AH cắt đường tròn (O) tại C. AH cắt đường tròn (O) tại M. Đường vuông góc với AC kẻ từ M cắt AC tại K và cắt AB tại P. a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp. b) Chứng minh AC là đường phân giác của MAB. c) Tìm điều kiện của ∆ABC để 3 điểm M, K, O thẳng hàng. Bài 47: Quảng Nam Cho hình vuông ABCD, lấy điểm K thuộc cạnh AD (K khác A, D). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CK, đường thẳng này cắt các đường thẳng CK và CD theo thứ tự tại I và H. a) Chứng minh các tứ giác ABCI, AIDC nội tiếp đường tròn. b) Tính số đo HID. c) Chứng minh HI.HA = HD.HC 1 1 1 d) Đường thẳng BK cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh 2 = 퐾2 + 2 Bài 48: Quảng Ngãi Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. 10
11. a) Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp. b) Chứng minh BD.BC = BH.BE. c) Kẻ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh D là trung điểm của MH. d) Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R. Bài 49: Quảng Ninh Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường tròn (O) lấy điểm C bất kì (C không trùng với A và B). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BC ở điểm D. Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng DO. Tia AH cắt đường tròn (O) tại điểm F (không trùng với A). Chứng minh: a) 2 = . b) Tứ giác AHCD nội tiếp c) ⊥ 퐹 . d) = 2푅 퐹 Bài 50: Quảng Trị Cho đường tròn (O) đường kính AB = 6cm. Gọi H là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AH = 1 cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và AD cắt nhau tại M. Gọi N là hình chiếu của M trên đường thẳng AB. a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp. b) Tính độ dài CH và tan ABC. c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC tại E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH. Bài 51: Sóc Trăng Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O), AB > AC và các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Gọi I là trung điểm của AH, chứng minh AEHF nội tiếp đường tròn (I). b) Chứng minh DB.DC = DA.DH c) Gọi K là giao điểm khác A của hai đường tròn (O) và (I). Chứng minh OI // HK. Bài 52: Sơn La Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật. b) Chứng minh ∆ACD~∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp. d) Gọi 푆;푆1;푆2 theo thứ tự là diện tích của tam giác AEF, BCE, BDF. Chứng minh 푆1 + 푆2 = 푆 11
12. Bài 53: Tây Ninh 53.1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) và đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giac DBH và tam giác ECH. 53.2 Cho đường tròn tâm O bán kính 2R (kí hiệu (O;2R)) và đường tròn tâm ′ bán kính R (kí hiệu là ( ′;푅)) tiếp xúc ngoài điểm A. Lấy điểm B trên (O;2R) sao cho BAO= 30°, tia BA cắt đường tròn ( ′;푅) tại điểm C (khác điểm A). Tiếp tuyến của ( ′;푅) tại điểm C cắt đường thẳng BO tại điểm E. Tính theo R diện tích tam giác ABE. Bài 54: Thái Bình Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại , MN. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BD, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD. a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AD.AN = AB.AM c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng. d) Cho AB=6cm; AD=8cm. Tính độ dài đoạn MN. Bài 55: Thái Nguyên Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB <AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. b) Gọi M là giao điểm của EF và BC, đường thẳng MA cắt (O) tại điểm thứ hai là I khác A. Chứng minh tứ giác AEFI nội tiếp một đường tròn. Bài 56: Thanh Hóa Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Gọi 1 và 2 lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B, I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là điểm thay đổi trên đường tròn (O) sao cho E không trùng với A và B. Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với đường thẳng EI cắt 1, 2 lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh IB.NE = 3IE.NB 3) Khi điểm E thay đổi, chứng minh tích . AMBN có giá trị không đổi và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MNI theo R. Bài 57: Thừa Thiên Huế Cho tam giác ABC cân ttaij A. Gọi M là điểm bất kì nằm trên cạnh AC ( M không trùng A và C). Một đường thẳng đi qua điểm M cắt cạnh BC tại I và cắt cạnh AB tại N sao cho I là trung điểm cảu đoạn thẳng MN. Đường phân giác trong của góc BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại điểm D ( D không trùng A). Chứng minh rằng: 12
13. a) DN = DM và DI ⊥ MN. b) Tứ giác BNDI nội tiếp. c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua một điểm cố định ( Khác điểm A) khi M di chuyển trên canh AC. Bài 58: Tiền Giang Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), các đường cao AF, BD và CE cắt nhau tại H. 1) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn. 2) Chứng minh AE.AB=AD.AC 3) Chứng minh FH là phân giác của EFD. 4) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh DOC = FED. Bài 59: Trà Vinh Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D. 1) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp. 2) Chứng minh DB là phân giác của góc AND. 3) BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng. Bài 60: Tuyên Quang Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm cạnh AC. Vẽ đường tròn đường kính MC cắt cạnh BC tại N (N≠C). Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D (D≠M). Chứng minh. a) Tứ giác BADC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn đó. b) . = . c) 2 = . Bài 61: Vĩnh Long 61.1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của BC. Biết AB=3cm, AC=4cm. Tính độ dài đường cao AH và diện tích tam giác ABM. 61.2 Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp đường tròn. b) Biết = 30°. Tính số đo EMC. c) Chứng minh FDE=FME Bài 62: Vĩnh Phúc Cho đường tròn (O;R) (đường tròn tâm O, bán kính R) và điểm A cố định nằm trên đường tròn (O;R). BC là một đường kính thay đổi của đường tròn (O;R) và không đi qua A. Đường 13
14. tròn đường kính AO cắt các đoạn AB. AC tại các điểm thứ hai tương ứng là M, N. Tia OM cắt (O;R) tại điểm P. Gọi H là trực tâm của tam giác AOP. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMON là hình chữ nhật. .푃 b) Tứ giác PHOB nội tiếp được trong một đường tròn và không phụ thuộc vào vị trí các điểm B, C c) Xác định vị trí của các điểm B, C sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất. 14