Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án)

1. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 Vì ≥ ―4 nên 1 ― 8 4 4 > 0. Do đó, từ phương trình trên, ta có = 0 (tương ứng = 2 ). Thử lại, ta thấy thỏa mãn. Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( , ) = (2,0). Bài 3. (3,0 điểm) Lời giải. a) Ta có ∠ = ∠ = 90∘ ―∠ = ∠ nên tứ giác nội tiếp. . b) Ta có và nên . Từ đó suy ra = = 2 = ⋅ = ⋅ = . = . 2. Mà nên . Từ đây, ta suy ra là một điểm cố định. . = 퐹. 퐹 = . 퐹 c) Gọi 푅 là bán kính của đường tròn ( ). Ta có 푃. 푄 = . = 퐹. = 퐹.2푅 và 푃. 푄 = . = 2 = 4푅2. Như vậy 푃. 푄 = 2푅. 퐹, (2푅 ― 푃)(2푅 + 푄) = 4푅2. Từ đây, ta suy ra 2푅 ( 푄 ― 푃) = 푃. 푄 = 2푅. 퐹. Do đó 푃 = 푄 ― 퐹 = 푄퐹. Bây giờ, qua điểm , kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng 푃푄, cắt đường thẳng 푃푄 tại điểm . Khi đó, ta có 푃 = 푄. Suy ra cũng là trung điểm của đoạn thẳng 퐹, tức là điểm cố định. Ta có ( 푃 + 푄)2 = ( 푄 ― 푃)2 +4 푃. 푄 không đổi nên 푃푄 không đổi. Suy ra 푃, 푄 không đổi. Như vậy, 푃 và 푄 là các điểm cố định. Đến đây, sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có + = 푄 + ≥ 푄 (không đổi). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi điểm trung với điểm . Mà ⊥ nên điều này có nghĩa là ⊥ , hay ⊥ . Vậy, giá trị nhỏ nhất của tổng + là 푄, đạt được khi ⊥ . Bài 4. (1,0 điểm) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 1 1 1 1 1 1 = 1 ≤ = . 3 2 ( 3 2 ) 1 ( )2 ( )2 DeThi.edu.vn
2. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta được 3 푃 ≤ ( )2 . Bây giờ, ta có chú ý rằng 1 2 2 2 2 ( + + ) ―3( + + ) = 2 ( ― ) + ( ― ) + ( ― ) ≥ 0 và + + ≥ 33 = 3. Sử dụng hai bất đẳng thức trên, kết hợp với bất đẳng thức (1), ta được 1 ( )2 ( ) 3 1 1 3 1 1 3 3 푃 ≤ = + + 2 ≤ + + = 1. ( )2 3 ( ) 3 3 32 Mặt khác, với = = = 1 thì dấu đẳng thức xảy ra. Vậy max 푃 = 1. Bài 5. (2,0 điểm) a) Đặt 2 + 3 = 2 với nguyên dương. Hiển nhiên không chia hết cho 3 nên chia 3 dư 1 hoặc 2 , suy ra 2 chia 3 dư 1 . Khi đó, từ phương trình, ta suy ra 2 chia 3 dư 1. Bây giờ, nếu lẻ, = 2 +1 với tự nhiên, thì ta có 2 = 4 ⋅ 2 ≡ 2(mod3), mâu thuẫn. Như vậy là số chẵn, tức = 2 với nguyên dương. Từ đây, ta có thể viết lại phương trình dưới dạng 3 = ( ― 2 )( + 2 ) Chú ý rằng ― 2 và + 2 không cùng chia hết cho 3 (vì hiệu dương của hai số này bằng 2 +1 không chia hết cho 3). Ngoài ra, từ phương trình, ta suy ra ― 2 và + 2 đều là lũy thừa của 3. Như vậy, với các nhận xét vừa nêu, cùng với chú ý ― 2 < + 2 , ta có ― 2 = 1 và + 2 = 3 . Suy ra 3 ―1 = 2 +1 Từ đây, ta có 3 chia 4 dư 1. Nếu lẻ, = 2퓁 +1 với 퓁 tự nhiên, thì 3 = 9퓁 ⋅ 3 ≡ 3(mod4) , mâu thuẫn. Do dó là số chẵn, tức = 2퓁 với 퓁 nguyên dương. Lúc này, phương trình (1) có thể được viết lại thành 2 +1 = (3퓁 ― 1)(3퓁 + 1) Suy ra 3퓁 ―1 và 3퓁 +1 đều là lũy thừa của 2 . Mà hai số này cùng chẵn, không cùng chia hết cho 4 (vì hiệu dương của chúng bằng 2 không chia hết cho 4) và 3퓁 ―1 < 3퓁 +1 nên 3퓁 ―1 = 2, hay 퓁 = 1. Từ đây, ta tìm được = 4 và = 2. Thử lại, ta thấy thỏa mãn. Vậy, có duy nhất một cặp số nguyên dương ( , ) thỏa mãn yêu cầu đề bài là ( , ) = (4,2). b) Giả sử có 푛 +1 đại biểu đến từ cùng một quốc gia, khi đó 푛 +1 đại biểu ngồi ngay kế bên phải các đại biểu này phải đổi một khác quốc gia với nhau, mâu thuẫn vì chỉ có 푛 quốc gia cử đại biểu tham dự hội nghị. Như vậy, mỗi quốc gia cử không quá 푛 đại biểu. Suy ra số đại biểu không quá 푛2. Bây giờ, ta sẽ chứng minh có thể xếp chỗ ngồi cho 푛2 đại biểu, trong đó mỗi quốc gia có 푛 đại biểu, thỏa mãn yêu cầu bài toán. Để đơn giản, ta ký hiệu 1,2, ,푛 là mã quốc gia của các đại biểu. Khi đó, cách xếp sau thỏa mãn yêu cầu (cách xếp dưới đây theo ngược chiều kim đồng hồ): 1,1,2,1,3,1, ,1,푛 ―1,1,푛;2,2,3,2,4, ,2,푛 ―1,2,푛;3, Vậy, trong hội nghị có nhiều nhất 푛2 đại biểu. DeThi.edu.vn
3. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn thi: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (2,0 điểm) x 2 x 1 x 1 a) Cho biểu thức A : (với x 0 ). x x 1 x x 1 x 1 2 x Rút gọn biểu thức A và chứng minh A 2. b) Cho phương trình: x2 2(a 1)x a2 2a 1 0 ( x là ẩn, a là tham số). Chứng minh nếu a là số chính phương thì phương trình đã cho có hai nghiệm cũng là những số chính phương. Bài 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 3x2 4x 6 3x2 4x 5 27x3 3x. y x 1 x 1 b) Giải hệ phương trình: 2 y 4 y x 3x 3 2 x 1 x. Bài 3. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ đường kính AT của đường tròn O và lấy điểm P trên đoạn thẳng OT P T . Gọi E và F tương ứng là hình chiếu vuông góc của P trên các đường thẳng AC và AB. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. a) Chứng minh O· AB H· AC và hai đường thẳng BC, EF song song với nhau. b) Cho AH và EF cắt nhau tại U ; điểm Q di động trên đoạn thẳng UE Q U, Q E . Đường thẳng vuông góc với AQ tại điểm Q cắt các đường thẳng PE, PF tương ứng tại M, N. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Chứng minh bốn điểm A, M, N, P cùng thuộc một đường tròn và O· AH K· AQ. c) Kẻ KD vuông góc với BC D BC . Chứng minh đường thẳng đi qua điểm D và song song với AQ luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4. (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thoả mãn a + b + c = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2a 1 2b 1 2c 1 P  a2 2 b2 2 c2 2 DeThi.edu.vn
4. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 5. (2,0 điểm) a) Tìm các số nguyên tố a, b và số nguyên dương m thoả mãn a2 b2 18ab 4.5m. b) Cho 8 điểm phân biệt trên một đường tròn. Đánh số các điểm đó một cách ngẫu nhiên bởi các số 1, 2, , 8 (hai điểm khác nhau được đánh số bởi hai số khác nhau). Mỗi dây cung nối hai điểm bất kỳ được gán với giá trị tuyệt đối của hiệu các số ở hai đầu mút. Chứng minh rằng luôn tìm được bốn dây cung, đôi một không có điểm chung, sao cho tổng của các số gán với bốn dây cung đó bằng 16. ---------HẾT--------- DeThi.edu.vn
5. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài Nội dung Điểm TT Ý x 2 x 1 x 1 A : x x 1 x x 1 x 1 2 x 0,25 x 2 x x 1 x x 1 x 1 : x 1 x x 1 2 x a) 2 x 1 x 1 2 x : 0,25 x 1 x x 1 2 x x x 1 1 2 x 2 2 2 x 2x 2 x 2 x 1 0. Vậy A 2. 0,5 x x 1 Có ' (a 1)2 (a2 2a 1) 4a 0 0,25 2 Khi đó x1 (a 1) ' (a 1) 2 a ( a 1) 0,5 2 b) x2 (a 1) ' (a 1) 2 a ( a 1) . Do a là số chính phương nên a là số nguyên nên x ; x là số chính 1 2 0,25 phương Đặt 3x 2 4x 5 a 0 , 3x b 0,25 Khi đó phương trình trở thành: a3 a b3 b a) (a b)(a2 ab b2 1) 0 a b (vì a2 ab b2 1 0 ) 0,25 2 x 0 2 34 3x 4x 5 3x 2 x . 0,5 6x 4x 5 0 6 ĐKXĐ: x 0; y 0 . PT thứ nhất y x 1 x (1). 0,25 2 2 2 PT thứ hai y 2 x 1 x . 0,25 +TH1: y 2 x 1 x y x x 1. Kết kợp với (1): b) x 1 0,25 x 1 x 1 2 x 3; y 19 8 3 (tmđkxđ). x 3x 0 +TH2: y 2 x 1 x ( Vô lý vì y 2 0; x 1 x 0 ). 0,25 Vậy x 3; y 19 8 3 . DeThi.edu.vn
6. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A L J K M I O Q F U E N B H D C P T Ta có B· AH O· AC do cùng phụ với ·ABC , suy ra P· AF H· AC . 0,25 Có AEPF là tứ giác nội tiếp, suy ra ·AEF ·APF 0,25 a) Có ·APF 900 P· AF và ·ACB 900 H· AC 0,25 Suy ra ·AEF ·ACB EF / /BC 0,25 AQEM là tứ giác nội tiếp ·AMN ·AEF ·APN A,M , N, P cùng 0,25 nằm trên một đường tròn. 3 ·AMN ·ACB ·ANM ·ABC 0,25 b) Ta có , tương tự O· AH O· AB H· AB 900 ·ACB 900 ·ABC 0,25 900 ·AMN 900 ·ANM K· AN Q· AN K· AQ 0,25 Gọi L là chân đường vuông góc hạ từ điểm A xuống đường thẳng KD . 0,25 Từ O· AH K· AQ K· AO K· AQ O· AQ O· AH O· AQ Q· AH . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AP và J là giao điểm của đường thẳng qua D song song với AQ và đường thẳng qua I vuông góc với BC. 0,25 Q· AH J· DL Suy ra I·LK J· DL . c) Mặt khác ta có IJ//LD nên suy ra tứ giác ILDJ (hoặc IJLD) là hình thang 0,25 cân. Suy ra, I và J đối xứng với nhau qua trung trực của DL, hay qua trung trực của AH. 0,25 Do ALDH là hình chữ nhật (dễ thấy). Từ đây, vì I là điểm cố định và trung trực của AH là đường thẳng cố định nên J là điểm cố định. 2 (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 a b 2 (c 1)2 Ta có: P 3 . 0,25 a2 2 b2 2 c2 2 (a2 b2 ) 4 c2 2 4 Trong ba số a, b, c luôn có hai số cùng không âm hoặc cùng không 0,25 dương; do đó không mất tính tổng quát, ta giả sử ab ≥ 0. Khi đó DeThi.edu.vn
7. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 a b 2 (c 1)2 (c 2)2 (c 1)2 P 3 . (a b)2 4 c2 2 c2 4 c2 2 2 2 (c 2) (c 1) 3 2 Ta có sự tương đương c2 c 2 0 . 0,25 c2 4 c2 2 2 3 Vậy P ; dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi a b c 0 , 2 0,25 3 a b 1,c 2 . Do đó P . min 2 Ta có (a b)2 4.5m 20ab5 (a b)5 (a b)2 25. 0,25 a,b 2 a2 b2 18ab 4.5m 80 m 2 0,25 2 m a5 a) 20ab (a b) 4.5 25 20ab25 ab5 b5 0,5 a5 a b 5;m 3. b5 Gọi X là tập 4 điểm được gán các số 1, 2, 3, 4 và Y là tập 4 điểm còn lại. Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại 4 dây cung không có điểm chung, mỗi dây cung nối một điểm của X và một điểm của Y. Một cách nối như vậy 0,25 thoả mãn yêu cầu bài toán vì tổng các số tương ứng với 4 dây cung này bằng 5 6 7 8 4 3 2 1 16 . Dễ thấy rằng có một điểm của X nằm kề một điểm của Y . Kẻ dây cung 5 nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn 0,25 lại 6 điểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con X1 , Y1 tương ứng, mỗi tập gồm 3 điểm được đánh dấu. Bây giờ, lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của X kề nhau b) 1 với một điểm Y1 trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn 0,25 lại 4 điểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con X 2 , Y2 tương ứng, mỗi tập gồm 2 điểm được đánh dấu. Lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của X 2 kề nhau với một điểm Y2 trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này cũng như dây cung nối 2 điểm còn lại. Bây giờ, khôi phục lại 0,25 các dây cung ban đầu. Dễ thấy, 4 dây cung được kẻ đôi một không có điểm chung. DeThi.edu.vn
8. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2 điểm) 1) Cho biểu thức 1 x 1 4 x 5 (với x 0, x 1). A . x 4 x x 1 x 1 x 1 Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả các giá trị của x để A 2 . 2) Cho hai phương trình (ẩn x; tham số a,b) x2 + ax + b = 0 (1) x2 + bx + 2a = 0 (2) Tìm tất cả các cặp số thực (a;b) để mỗi phương trình trên đều có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x2 x1 x0 , trong đó x0 là nghiệm chung của hai phương trình và x1, x2 lần lượt là hai nghiệm còn lại của phương trình 1 , phương trình 2 . Bài 2. (2 điểm) 1) Giải phương trình 3x 2 2 x 2 x . x 2 y 2 xy x 4 2) Giải hệ phương trình . 2 y 2xy y 4 Bài 3. (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc B· AC của tam giác ABC. Đường thẳng AI cắt BC tại D, cắt đường tròn (O) tại E E A . a) Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. b) Kẻ IH vuông góc với BC tại H. Đường thẳng EH cắt đường tròn (O) tại F F E . Chứng minh AF  FI . c) Đường thẳng FD cắt đường tròn O tại M M F , đường thẳng IM cắt đường tròn O tại N N M . Đường thẳng qua O song song với FI cắt AI tại J, đường thẳng qua J song song với AH cắt IH tại P . Chứng minh ba điểm N, E, P thẳng hàng. Bài 4. (1 điểm) Cho các số thực dương x, y, z . Chứng minh rằng x xy y yz z zx 3xyz . 2x y 2y z 2z x Bài 5. (2 điểm) 1) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn y4 2y2 3 x2 3x . DeThi.edu.vn
9. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2) Cho tập hợp X 1;2;3;...;101. Tìm số tự nhiên n n 3 nhỏ nhất sao cho với mọi tập con A tùy ý gồm n phần tử của X đều tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt a, b, c A thỏa mãn a b c . ---------HẾT--------- DeThi.edu.vn
10. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Hải Phòng (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài Nội dung Điểm 1) (1,0 điểm) 1 1 x x 1 A . 0,25 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x . 0,25 x 1 x x 1 x 1 1 x x 3 x 2 A 2 2 0 0,25 1 x 1 x 2 4 x 1 x 1 (TMĐK). 0,25 3 9 1 2) (1,0 điểm) (2,0 2 x0 ax0 b 0 2a b điểm) Có a b x0 2a b x0 2 a b x0 bx0 2a 0 0,5 (vì nếu a b 0 2a b 0 a b 0 l ) 2 a 0 x2 x0 x1 a , thay vào 2 : a ab 2a 0 a a b 2 0 . a b 2 0 0,25 + TH1: a 0 x0 1, thay vào 1 : b 1 (tm bài toán) 2 a a 2;b 4 l x 2 + TH2: a b 2 0 0 2 thay vào 1 : a 8a 12 0 . a 6;b 8 tmbt b a 2 0,25 Vậy có hai cặp số 0; 1 , 6;8 thỏa mãn đề bài. 1) (1,0 điểm) 2 x 1 ĐKXĐ: x 0 . PT 2 x 2 x 1 0 0,5 3x 2 2 x 3x 2 2 x 1 1 1 2 1,x 0 nên phương trình 1 0 vô nghiệm. 0,25 (2,0 3x 2 2 x 2 3x 2 2 x điểm) Với x 2 0 x 2 (TMĐKXĐ) 0,25 b) (1,0 điểm) x2 y2 xy x 4 x2 2y2 3xy x y 0 x 2y 1 x y 0 2 2 2 0,5 y 2xy y 4 y 2xy y 4 0 y 2xy y 4 0 2 y 1; x 3 x 2y 1 0 x 1 2y . Thay vào (2): 3y2 y 4 0 4 5 0,25 y ; x 3 3 1 17 x y 0 x y . Thay vào (2): y2 y 4 0 y x 0,25 2 DeThi.edu.vn