Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án)

1. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án) Tam giác 퐹 vuông tại 퐹 suy ra 퐹 = . Tương tự, △ vuông tại nên = . Như vậy 퐹 = Lại có △ 퐹 và △ lần lượt vuông tại 퐹 và , có các đường trung tuyến lần lượt là 퐹 và . Do 1 đó 퐹 = = 2 Từ (1) và (2) suy ra là trung trực của 퐹. Suy ra 퐹 ⊥ Lại có // , kết hợp với (3) suy ra ⊥ 퐹 hay ⊥ 푃푄. Suy ra là điểm chính giữa cung 푃 푄, suy ra 푃 = 푄 hay cung 푄 bằng cung 푃. Mặt khác 푄푃 = 푃푄 = 푄 (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau). Nên △ 푄 ∽△ 푄. 푄 Suy ra 2. 푄 = ⇒ . = 푄 Vậy 푃2 = 푄2 = . . 퐹푃 푄 c) Tứ giác nội tiếp và . 퐹 푃푆 = 푆 Tứ giác 퐹 nội tiếp suy ra 퐹 = . Tam giác cân tại nên = . Suy ra 퐹 = 180∘ ― 퐹 ― = 180∘ ― ― = . Tứ giác 퐹 nội tiếp nên 퐹 + = 180∘. Suy ra 퐹 = 퐹 = 180∘. Vậy 퐹 là tứ giác nội tiếp. Hai tam giác 푆 퐹 và 푆 có: 푆 퐹 = 푆 ; chung 푆퐹 nên chúng đồng dạng. 푆 푆 Suy ra hay . 푆퐹 = 푆 푆 .푆 = 푆 .푆퐹 Từ tứ giác 퐹 nội tiếp, ta cũng suy ra 푆 ⋅ 푆퐹 = 푆 ⋅ 푆 , tứ giác 푄푃 nội tiếp ta cũng có 푆 .푆 = 푆푃.푆푄. 푆퐹 푆푄 Suy ra . 푆푃.푆푄 = 푆 .푆퐹⇒푆푃 = 푆 푆퐹 푆푄 푆퐹 푆푃 푆푄 푆 푃퐹 푄 Vậy hay . 푆푃 ―1 = 푆 ―1 푆푃 = 푆 ⇒푃푆 = 푆 Câu 4: (1,5 điểm) a) Cho hai số nguyên dương , thỏa mãn 3: , 3: . Chứng minh ( 4 + 4): . Vì 3: nên 3. : . hay 4: . Tương tự, vì 3: nên 3. : . hay 4: . Từ đấy suy ra ( 4 + 4)⋮ . b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; ) thỏa mãn 2 ― +( ―3)( 2 + 1) = 0. 3 2 3 1 Từ đề bài 2 2 ta rút ra 3 3 ― +( ―3)( + 1) = 0 = 2 1 = ― +2 + 2 1 (vì 2 ― +1 > 0 với mọi ). Khi nguyên, để là nguyên thì (3 +1):( 2 ― + 1) do đó: (3 +1)2 = (9 2 + 6 + 1) = 9( 2 ― + 1) +(15 ―8):( 2 ― + 1) hay (15 ―8):( 2 ― + 1). Suy ra 13 = [5(3 +1) ― (15 ―8)]:( 2 ― + 1). Như vậy: 2 ― +1 = 13⇒ 2 ― ―12 = 0⇒ = ―3 hoặc = 4. 57 Với thì (không nguyên); với thì (nguyên). = ―3 = 13 = 4 = ―1 2 ― +1 = 1⇒ 2 ― = 0⇒ = 0 hoặc = 1 DeThi.edu.vn
2. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án) Với = 0 thì = 3 (nguyên); với = 1 thì = 5 (nguyên). Thử lại thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn. Vậy có 3 cặp ( ; ) thỏa mãn yêu cầu bài toán là (0;3),(1;5) và (4; ― 1). Câu 5: (1,5 điểm) a) Cho các số thực , , thỏa mãn 0 ≤ , , ≤ 4. Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 + 16 ≥ 2 + 2 + 2. Ta có: 2 + 2 + 2 +16 ≥ 2 + 2 + 2 ⇔ 2 + 2 + 2 +16 ― 2 ― 2 ― 2 ≥ 0 ⇔ ( ― )( ― )( ― ) + 16 ≥ 0 1 Ta có bất đẳng thức: 2 ≥ ― 4( ― ) ,∀ , ∈ ℝ 2 Và ( ) ≤ 4 ,∀ , ∈ ℝ. 1 Trường hợp 1: Nếu ta có 2 ≥ ( ― )( ― ) ≥ ― 4( ― ) 1 1 nên 3 3 ( ― )( ― )( ― ) + 16 ≥ ― 4( ― ) +16 ≥ ― 44 +16 ≥ 0. Trường hợp 2: Nếu > ta xét Trường hợp 2.1: Nếu ≥ , ta có 1 1 nến 3 3 ( ― )( ― )( ― ) + 16 ≥ ― 4( ― ) +16 ≥ ― 44 +16 ≥ 0 Trường hợp 2.2: Nếu < , ta có: ( ― )( ― )( ― ) + 16 = ( ― )( ― )( ― ) + 16. 1 Kết hợp với: 2 ( ― )( ― ) ≤ 4( ― ) và < < 1 1 Ta được 2 3 ( ― )( ― )( ― ) + 16 ≥ 4( ― ) ( ― ) + 16 = ― 4( ― ) +16 ≥ 0. Vậy với mọi trường hợp thì ( ― )( ― )( ― ) + 16 ≥ 0 hay 2 + 2 + 2 + 16 ≥ 2 + 2 + 2 b) Ban đầu trên bảng viết 2023 số thực. Mỗi lần biến đổi số trên bảng là việc thực hiện như sau: Chọn ra hai số nào đó ở trên bảng, xóa hai số đó đi và viết thêm lên bảng số . Giả sử ban đầu trên bảng ghi , 4 2023 số 1 và ta thực hiện liên tiếp các biến đổi cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số, chứng minh rằng 1 số đó lớn hơn . 211 Trước hết ta thấy trên bảng luôn là các số dương. Thật vậy, ta sử dụng quy nạp. Ban đầu có 2023 số 1 đều là số dương. Giả sử sau lần biến đổi thứ 푖, trên bảng đều là số dương. Đến bước biến đổi thứ 푖 +1 : Ta chọn hai số trên bảng (theo giả thiết quy nạp thì ), ta xóa hai số đó đi và viết thêm số , , > 0 4 cũng là số dương. Vậy, mỗi số được viết trên bảng luôn là các số dương. Gọi 푖 là tổng các nghịch đảo của các số thực còn lại trên bảng sau bước biến đổi thứ 푖( 0 là tổng nghịch đảo của các số thực trên bảng khi chưa thực hiện bước biến đổi nào) thì: Ở bước thứ ta có tổng . Đến bước thứ ta xóa đi hai số a, b và viết lên bảng số thì ta có tổng 푖 푖 푖 +1 4 1 1 1 푖+1 và: 푖+1 = 푖 ― + + 4 DeThi.edu.vn
3. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án) ( )2 Suy ra 푖+1 ― 푖 = ― ( ) ≤ 0 ((Vì , đều lớn hơn 0)). Như vậy: T2022 ≤ T2021 ≤ ≤ T0. Ban đầu, ta có trên bảng 2023 số 1 nên 0 = 2023. Sau 2022 bước thì ta được trên bảng một số nào đó. 1 Khi đó . 2022 = ≤ 0 = 2023 Vì ban đầu các số trên bảng đều là 1, các bước xóa bỏ và thay thế đều chỉ sử dụng pháp toán cộng và chia, nên sau mỗi bước thay số trên bảng luôn còn lại tất cả các số đều dương. Như vậy > 0. 1 1 1 Từ đó ta có . ≥ 2023 > 2048 = 211 DeThi.edu.vn
4. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án) ĐỀ SỐ 3 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 - 2023 NAM ĐỊNH Môn thi: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm). 2 2 1. Cho f(x) = 2x - 2x - 7 có 2 nghiệm phân biệt là x1, x2. Đặt g(x) = x - 1. Tính giá trị của biểu thức T = g(x1).g(x2). 2. Cho các số thực a, b, c bất kì thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 2022. Chứng minh rằng (2a + 2b - c)2 + (2b + 2c - a)2 + (2c + 2a - b)2 = 18198. Câu 2 (2,0 điểm). Giải các phương trình và hệ phương trình: 1. 2 + ( + 1)3 = 3 +4 ( + 7)3 + 4(2 ― ) = 2( + 4) + 7 ― 4 2. 2 2 + 1 + 2 ― 14 = + 4. Câu 3 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O, R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A,B là các tiếp điểm). Gọi D là điểm trên cung lớn AB của đường tròn (O,R) sao cho AD // MB và C là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O, R). 1. Gọi H là giao điểm của các đường thẳng OM và AB. Chứng minh rằng MH.MO = MC.MD và tứ giác OHCD nội tiếp. 2. Gọi G là trọng tâm tam giác MAB. Chứng minh rằng ba điểm A,C,G thẳng hàng. 3. Giả sử OM = 3R. Kẻ đường kính BK của đường tròn (O,R). Gọi I là giao điểm của các đường thẳng 2 2 MK và AB. Tính giá trị biểu thức T = 8 + 5 . 퐾2 2 Câu 4 (1,5 điểm). 1. Chứng minh rằng P(n) = n4 - 14n3 + 71n2 - 154n + 120 chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n. 2. Cho p là số nguyên tố có dạng 4k + 3,(k∈N). Chứng minh rằng nếu a, b∈Z thỏa mãn a2 + b2 chia hết cho p thì a⋮p và b⋮p. Từ đó suy ra phương trình x2 + 4x + 9y2 = 58 không có nghiệm nguyên. Câu 5 (1,5 điểm). 1. Xét các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 푃 = 2 2 2 1 3 + 1 3 + 1 3. 2. Từ 2022 số nguyên dương đầu tiên là 1, 2, 3, ,2022, người ta chọn ra n số phân biệt sao cho cứ hai số bất kì được chọn ra đều có hiệu không là ước của tổng hai số đó. Chứng minh rằng n ≤ 674. ---------HẾT--------- DeThi.edu.vn
5. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án) ĐÁP ÁN Câu 1. (2,0 điểm) 2 2 1. Cho f(x) = 2x - 2x - 7 có 2 nghiệm phân biệt là x1, x2. Đặt g(x) = x - 1. Tính giá trị của biểu thức T = g(x1).g(x2). 2. Cho các số thực a, b, c bất kì thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 2022. Chứng minh rằng (2a + 2b - c)2 + (2b + 2c - a)2 + (2c + 2a - b)2 = 18198. Lời giải 2 1. Vì ( ) = 2 ―2 ―7 có 2 nghiệm phân biệt là 1, 2 nên ( ) = 2( ― 1)( ― 2) 2 2 Ta có = ( 1). ( 2) = 1 ― 1 2 ― 1 = ( 1 ― 1)( 2 ― 1)( 1 + 1)( 2 + 1) (1) ( ― 1) ( ―7).( ― 3) 21 ⇒ = (1 ― )(1 ― )( ―1 ― )( ―1 ― ) = ⋅ = = . 1 2 1 2 2 2 4 4 Cách khác: Học sinh có thể tìm hai nghiệm của ( ) là = 1 15, = 1 15 1 2 2 2 2 2 21 Từ đó tính = ( ) ⋅ ( ) = 1 15 ― 1 1 15 ― 1 = . 1 2 2 2 4 2. Đặt 푡 = + + . Khi đó ta có (2 + 2 ― )2 + (2 + 2 ― )2 + (2 + 2 ― )2 = (2푡 ― 3 )2 + (2푡 ― 3 )2 + (2푡 ― 3 )2 = 12푡2 ― 12푡( + + ) + 9( 2 + 2 + 2) = 12푡2 ― 12푡2 + 9( 2 + 2 + 2) = 9( 2 + 2 + 2) Do đó (2 +2 ― )2 +(2 +2 ― )2 +(2 +2 ― )2 = 9.2022 = 18198. Cách khác: Học sinh có thể khai triển bình phương từng biểu thức rồi rút gọn và cũng được kết quả cần chứng minh. Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình: 1. 2 + ( + 1)3 = 3 +4. ( + 7)3 + 4(2 ― ) = 2( + 4) + 7 ― 4 2. 2 2 + 1 + 2 ― 14 = + 4. Lời giải 1. Điều kiện xác định ≥ ―1. = ―1 Phương trình cho tương đương với ( +1)( ―4 + + 1) = 0⇔ + 1 = 4 ― 4 ― ≥ 0 ≤ 4 Ta có + 1 = 4 ― ⇔ + 1 = (4 ― )2⇔ 2 ― 9 + 15 = 0 ≤ 4 9 21 ⇔ 9± 21⇔ = = 2 2 Đối chiếu điều kiện có tập nghiệm của phương trình là ―1; 9 21 . 2 1 2. Điều kiện xác định ≥ ― 2, ≥ 7 DeThi.edu.vn
6. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án) Ta có (1) ⇔ + 7( + 7 ― 2 ― 8) +4(2 + 1 ― ) = 0 + 7 = 4 ⇔( + 7 ―4)( ―2 ―1) = 0⇔ = 2 + 1 Trường hợp 1: + 7 = 4⇔ = 9, thay vào (2) ta được 2 2 + 1 + 2 = + 4⇔2 2 + 1 = + 2 ⇔4(2 +1) = 2 +4 +4 (do ≥ ― 1 > ―2 2 2 = 0 ⇔ ―4 = 0⇔ = 4 (thoả mãn điều kiện). Trường hợp 2: = 2 +1, thay vào (2) ta được 2 2 + 1 + 4 ― 12 = + 4⇔2( 2 + 1 + ― 3) = ( 2 + 1)2 ― ( ― 3)2 Do 2 + 1 và ― 3 không đồng thời bằng 0 nên 2 + 1 + ― 3 > 0 Khi đó ( ∗ )⇔2 = 2 + 1 ― ― 3⇔ 2 + 1 = 2 + ― 3 ⇔2 + 1 = 4 + 4 ― 3 + ( ― 3) ⇔4 ― 3 = ⇔16( ― 3) = 2(do = 2 + 1 ≥ 7⇒ ≥ 3) 2 = 4 ⇔ ― 16 + 48 = 0⇔ = 12 Với = 4 thì = 9 Với = 12 thì = 25 Kết hợp các điều kiện ta có tập nghiệm của hệ phương trình là {(0;9),(4;9),(12;25)}. Câu 3. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O, R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A,B là các tiếp điểm). Gọi D là điểm trên cung lớn AB của đường tròn (O,R) sao cho AD//MB và C là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O, R). 1. Gọi H là giao điểm của các đường thẳng OM và AB. Chứng minh rằng MH.MO = MC.MD và tứ giác OHCD nội tiếp. 2. Gọi G là trọng tâm tam giác MAB. Chứng minh rằng ba điểm A,C,G thẳng hàng. 3. Giả sử OM = 3R. Kẻ đường kính BK của đường tròn (O,R). Gọi I là giao điểm của các đường thẳng 2 2 MK và AB. Tính giá trị biểu thức . = 8 퐾2 2 +5 Lời giải DeThi.edu.vn
7. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án) 1. Vì , là các tiếp tuyến tại , của đường tròn ( ,푅) Nên ta suy ra ⊥ ; ⊥ và = Xét tam giác vuông tại và có đường cao ta có 2 = ⋅ Mặt khác xét △ và △ có = và chung nên △ co △ ( ) ⇒ = ⇒ 2 = . Từ (1) và (2) suy ra . = . Vì . = . ⇒ = Xét hai tam giác và có và chung nên co △ △ = △ △ ( ) ⇒ = ⇒ + = + = + = 180∘ Do hai đỉnh , ở hai vị trí đối diện nên tứ giác nội tiếp. 2. Gọi là giao điểm của và Xét △ và △ có chung và = (góc giữa tiếp tuyến và một dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung) 2 (3) ⇒ △ ∽△ ( )⇒ = ⇒ = . Mặt khác, vì // nên = = Xét △ và △ có chung và = 2 (4) ⇒ △ ∽△ ( )⇒ = ⇒ = . Từ (3) và (4) suy ra 2 = 2⇒ = hay là trung điểm của Tam giác có là đường trung tuyến nên đi qua trọng tâm của △ hay ba điểm , , thẳng hàng. 3. Tam giác vuông tại và có đường cao nên 2 푅2 푅 2 = . ⇒ = = 3푅 = 3 푅 8푅 ⇒ = ― = 3푅 ― 3 = 3 2 và = 2 = 2 2 ― 2 = 2 푅2 ― 푅 = 4 2푅 3 3 Mà 퐾 là đường kính của đường tròn ( ,푅) nên △ 퐾 vuông tại và 퐾 = 2푅 2 2푅 ⇒ 퐾 = 퐾2 ― 2 = (2푅)2 ― 4 2 푅 = 3 3 Tính được = 2 2푅, = 8 2푅, = 8 3푅, 퐾 = 2 3푅 15 15 5 5 7003 Vậy . = 118 Câu 4. (1,5 điểm) 1. Chứng minh rằng P(n) = n4 - 14n3 + 71n2 - 154n + 120 chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n. 2. Cho p là số nguyên tố có dạng 4k + 3,(k∈N). Chứng minh rằng nếu a, b∈Z thoả mãn a2 + b2 chia hết cho p thì a⋮p và b⋮p. Từ đó suy ra phương trình x2 + 4x + 9y2 = 58 không có nghiệm nguyên. Lời giải DeThi.edu.vn
8. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án) 1. Ta có 푃(푛) = 푛4 ―14푛3 +71푛2 ―154푛 +120 = (푛 ―2)(푛 ―3)(푛 ―4)(푛 ―5) 푃(푛)⋮3,∀푛 ∈ ℕ Ta thấy với mọi số tự nhiên 푛, thì 푃(푛) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên 푃(푛)⋮8,∀푛 ∈ ℕ Mà (3,8) = 1 nên 푃(푛)⋮24,∀푛 ∈ ℕ. 2. Giả sử không chia hết cho thì từ giả thiết 2 + 2 chia hết cho ta suy ra cũng không chia hết cho ―1 ≡ 1(mod ) Do đó ( , ) = ( , ) = 1. Áp dụng định lý Fermat ta có ―1 ≡ 1(mod ) ⇒ ―1 + ―1 ≡ 2(mod )⇒ 4 +2 + 4 +2 ≡ 2(mod ) Mặt khác ta có 4 +2 + 4 +2 = ( 2)2 +1 + ( 2)2 +1 chia hết cho 2 + 2 Kết hợp 2 + 2 chia hết cho ta suy ra 4 +2 + 4 +2 chia hết cho ( ∗∗) Từ (*) và (**) suy ra 2⋮ ⇒ = 2 (mâu thuẫn với giả thiết là số nguyên tố có dạng 4 +3). Do đó điều giả sử là sai. Suy ra ⋮ . Kết hợp giả thiết suy ra ⋮ . Vậy ta có điều phải chứng minh. Giả sử phương trình 2 +4 +9 2 = 58 có nghiệm nguyên Khi đó phương trình đã cho tương đương với ( +2)2 +(3 )2 = 62 Suy ra ( +2)2 +(3 )2 chia hết cho 31 và 31 là số nguyên tố có dạng 4 +3 ( + 2)⋮31 ( + 2)2⋮312 Áp dụng chứng minh trên ta suy ra (3 )⋮31 ⇒ (3 )2⋮312 ⇒( + 2)2 + (3 )2⋮312⇒62⋮312 (vô lý). Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. Câu 5. (1,5 điểm) 1. Xét các số thực không âm , , thoả mãn + + ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 푃 = 2 2 2 1 3 + 1 3 + 1 3 2. Từ 2022 số nguyên dương đầu tiên là 1,2,3, ,2022, người ta chọn ra 푛 số phân biệt sao cho cứ hai số bất kì được chọn ra đều có hiệu không là ước của tổng hai số đó. Chứng minh rằng 푛 ≤ 674. Lời giải 2 2 1. Ta có 3 2 (1 ) (1 ) 2 1 + = (1 + )(1 ― + ) ≤ 2 = 2 2 2 2 2 2 ⇒ 3 ≥ 2 = 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 Chứng minh tương tự ta cũng có 1 3 ≥ 2 2 2; 1 3 ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )2 Suy ra 푃 ≥ 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 ≥ 2( )2 6 ( )2 12 Kết hợp giả thiết ta có 푃 ≥ 2( )2 1 ( )2 = 6 7 12 Với thì . = = = 2 푃 = 7 DeThi.edu.vn
9. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án) 12 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là . 푃 7 2. Với hai số , bất kì trong số 푛 số lấy ra thì rõ ràng | ― | ≠ 0 và | ― | ≠ 1. Nếu | ― | = 2 thì , cùng tính chẵn lẻ nên có ( + ):| ― | (mâu thuẫn giả thiết), do đó | ― | ≠ 2 . Vậy | ― | ≥ 3. Gọi 푛 số lấy ra sắp thứ tự là 1 < 2 < ⋯ < 푛. Khi đó có: 1 ≥ 1 2 ― 1 ≥ 3⇒ 2 ≥ 1 + 3 3 ― 2 ≥ 3⇒ 3 ≥ 2 + 3 ≥ 1 + 2.3 ... Cứ tiếp tục quá trình trên, ta có 푛 ≥ 1 +(푛 ―1).3. 2024 2 Vậy có . 2022 ≥ 푛 ≥ 1 +3(푛 ―1) ≥ 1 + 3푛 ―3⇒푛 ≤ 3 = 6743 Từ đó dẫn đến 푛 ≤ 674, ta có điều phải chứng minh. DeThi.edu.vn
10. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Nam Định (Có đáp án) ĐỀ SỐ 4 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2021 - 2022 NAM ĐỊNH Môn thi: Toán (Chuyên) Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho a, b, c ∈ R thỏa mãn a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Tính giá trị của biểu thức S = a2b2 + b2c2 + c2a2. b) Cho đa thức bậc hai P (x) thỏa mãn P(1) = 1, P (3) = 3, P(7) = 31. Tính giá trị của P (10). Câu 2 (2,0 điểm). 2 7 2 a) Giải phương trình 2 + +4 = . 1 1 (2 + 1) = ( + ― 2) + 1 b) Giải hệ phương trình 4 + 3 + 2 + 2 = 11 ― . Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác trong của cắt đường tròn (O) tại D (D ≠ A). Trên cung nhỏ AC của đường tròn (O) lấy điểm G khác C sao cho AG > GC; một đường tròn có tâm là K đi qua A, G và cắt đoạn thẳng AD tại điểm P nằm bên trong tam giác ABC. Đường thẳng GK cắt đường tròn (O) tại điểm M (M ≠ G). a) Chứng minh các tam giác KPG, ODG đồng dạng với nhau. b) Chứng minh GP, MD là hai đường thẳng vuông góc. c) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng OD và KP, đường thẳng qua A và song song với BC cắt đường tròn (K) tại điểm E (E ≠ A). Chứng minh rằng tứ giác DGFP là tứ giác nội tiếp và 퐹 = 900. Câu 4 (1,5 điểm). a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn x2y2 (y – x) = 5xy2 - 27. 1 2 12 2 2 2 b) Cho p , p , . , p là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 1 + 2 +⋯ + 12 chia hết cho 12. Câu 5 (1,5 điểm). a) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng . + + ≥ 2 b) Xét hai tập hợp A, B khác ∅ thỏa mãn A∩B = ∅ và A∪B = N*. Biết rằng A có vô hạn phần tử và tổng của mỗi phần tử thuộc A với mỗi phần tử thuộc B là phần tử thuộc B. Gọi x là phần tử bé nhất thuộc B thỏa mãn x ≠ 1. Hãy tìm x. ---------HẾT--------- DeThi.edu.vn