Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án)

1. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TUYÊN QUANG NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn thi: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) 15 x 11 3 x 2 2 x 3 a) Rút gọn biểu thức P với x 0, x 1. x 2 x 3 1 x x 3 a 3 a 6 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q với a 4. a 2 Câu 2. (3,0 điểm) 1. Cho phương trình x4 – 4x2 + m + 2 = 0 (1), với m là tham số. a) Giải phương trình (1) khi m = - 7. b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2 , x3, x4 thỏa mãn 1 1 1 1 2 2 2 2 2x1x2 x3x4. x1 x2 x3 x4 2 2 2x y 3xy 3x 9 0 2. Giải hệ phương trình . 2 x y 3 2x y Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác tù ABC có ·ABC 900 nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C của (O) cắt đường thẳng AB tại S. Lấy điểm P thuộc miền trong tam giác OAC sao cho SC = SP. Đường thẳng SP cắt (O) tại hai điểm E, F (E ở giữa S và F). Các đường thẳng AP, BP cắt lại (O) lần lượt tại K, L. Chứng minh rằng: a) Tam giác ACS đồng dạng với tam giác CBS; b) ·APS P· BS; c) Tứ giác EKLF là hình thang cân. Câu 4 (1,0 điểm) a) Chứng minh rằng A = 22023 + 3m2 + 6n - 23 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên m, n. b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (m,n) để B = 33m2 + 6n – 22 + 4 là một số nguyên tố. Câu 5 (1,0 điểm). Ban đầu, trên bảng có n số nguyên dương đầu tiên được viết liên tiếp từ trái qua phải: 1, 2, 3, , n - 1, n. Ta thực hiện trò chơi đổi số như sau: Mỗi lượt chơi, lấy ba số đứng liền nhau a, b, c và đổi chỗ a với c thành c, b, a. Hỏi sau hữu hạn lượt chơi như trên ta có thể thu được dãy số ngược lại n, n -1, , 2, 1hay không, nếu: a) n = 5; b) n = 2024. ---------HẾT--------- DeThi.edu.vn
2. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm) 15 x 11 3 x 2 2 x 3 a) Rút gọn biểu thức P với x 0, x 1. x 2 x 3 1 x x 3 Hướng dẫn chấm Điểm 15 x 11 2 3 x 2 x 3 Ta có P 0,25 x 1 x 3 x 1 x 3 15 x 11 2 3 x x 3 2 x 3 x 1 0,25 x 1 x 3 5x 7 x 2 0,25 x 1 x 3 x 1 5 x 2 5 x 2 . 0,25 x 1 x 3 x 3 a 3 a 6 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q với a 4. a 2 Hướng dẫn chấm Điểm a 3 a 6 4 Ta có Q a 1 0,25 a 2 a 2 4 a 2 1. 0,25 a 2 Với a 4 thì a 2 0. Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM (Côsi) ta được 4 0,25 Q 2 a 2 . 1 5. a 2 Q 5 chẳng hạn khi a = 16. Vậy min Q = 5. 0,25 Câu 2 (3,0 điểm) 1. Cho phương trình x4 4x2 m 2 0 (1), với m là tham số. a) Giải phương trình (1) khi m 7. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2 , x3, x4 thỏa 1 1 1 1 mãn 2 2 2 2 2x1x2 x3x4. x1 x2 x3 x4 Hướng dẫn chấm Điểm a) Với m 7, ta có phương trình x4 4x2 5 0. 0,25 DeThi.edu.vn
3. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Đặt t x2 t 0 , ta được t 2 4t 5 0 (*). 0,25 Giải phương trình (*) ta được t 1 (loại) và t 5 (thỏa mãn). 0,25 Với t 5 ta được x2 5 x 5. Vậy phương trình hai nghiệm x 5. 0,25 b) Đặt t x2 (t 0) , ta được phương trình t 2 4t m 2 0 (**). Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai 0,25 nghiệm phân biệt t1 0, t2 0. 0 4 m 2 0 Điều này tương đương với t1 t2 0 2 0 2 m 2 (a). 0,25 t t 0 m 2 0 1 2 1 1 1 1 2 2 2 Theo bài ra 2 2 2 2 2x1x2 x3x4 2t1t2 t1 t2 t1t2 (b). 0,25 x1 x2 x3 x4 t1 t2 Theo Viet thì (b) 4 (m 2)2 m 4 (loại) và m 0 (thỏa mãn). 0,25 Vậy m 0 là giá trị duy nhất cần tìm. 2 2 2x y 3xy 3x 9 0 2. Giải hệ phương trình . 2 x y 3 2x y Hướng dẫn chấm Điểm Điều kiện xác định: x2 y 3 0 (*). Ta có 0,25 2x2 y2 3xy 3x 9 0 x y 3 2x y 3 0 x y 3 0 . 0,25 2x y 3 0 Với y x 3 0 y x 3, thay vào phương trình x2 y 3 2x y ta được x 3 x 3 0 9 24 0,25 x2 x x 3 x y . 2 2 9 x x x 3 x 5 5 5 Với 2x y 3 0 2x y 3, thay vào phương trình x2 y 3 2x y ta 0,25 được x2 2x 3 3, vô nghiệm. 9 x 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất . 0,25 24 y 5 Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác tù ABC có ·ABC 900 nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C của (O) cắt đường thẳng AB tại S. Lấy điểm P thuộc miền trong tam giác OAC sao cho DeThi.edu.vn
4. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SC = SP. Đường thẳng SP cắt (O) tại hai điểm E, F (E ở giữa S và F). Các đường thẳng AP, BP cắt lại (O) lần lượt tại K, L. Chứng minh rằng: a) Tam giác ACS đồng dạng với tam giác CBS; b) ·APS P· BS; c) Tứ giác EKLF là hình thang cân. Hướng dẫn chấm Điểm 1 a) Ta có C· AS sđC¼EB (a). 2 F n L 0,25 K O C P M E m A B S 1 Mặt khác B· CS sđC¼EB (b). 0,25 2 Từ (a) và (b) suy ra B· CS C· AS (1). 0,25 Từ (1) và ·ASC B· SC suy ra hai tam giác ACS và CBS đồng dạng. 0,25 CS AS b) Từ a) suy ra SC 2 SB.SA (c). 0,25 BS CS SP SA Vì SC SP nên (c) SP2 SB.SA (d). 0,25 SB SP Từ (d) và P· SA B· SP suy ra PSA : BSP. 0,25 Do đó ·APS P· BS. 0,25 1 1 c) Ta có B· PS sđB¼mE sđL¼nF và P· AS sđB¼mE sđE¼CK (e). 0,25 2 2 Vì PSA : BSP nên B· PS P· AS. Kết hợp với (e) suy ra sđL¼nF sđE¼CK (f). 0,25 Từ (f) suy ra 1 1 1 1 L· FE F· LK sđL¼KE sđF¼AK sđL¼nF sđL¼tK sđF¼AK 1800 LK // EF. 0,25 2 2 2 2 Do đó EKLF là hình thang. Hơn nữa sđL¼nF sđE¼CK FL KE EKLF là 0,25 hình thang cân. Câu 4 (1,0 điểm) a) Chứng minh rằng A 22023 3m2 6n 23 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên m, n. DeThi.edu.vn
5. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hướng dẫn chấm Điểm Ta có 2  1 (mod3) 22023  1 (mod3). 0,25 Suy ra A 22023 3m2 6n 23  1 23  0 (mod3). 0,25 2 b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên m, n để B 33m 6n 22 4 là một số nguyên tố. Hướng dẫn chấm Điểm Nếu X 3m2 6n 22 0 thì B ¢ , do đó X 3m2 6n 22 0. Ta có X 3 m2 2n 8 2 X  2 (mod3) X 3k 2 (k ¥ ). 0,25 Do đó B 33k 2 4 9.27k 4  9.1 4  0 (mod13) B 13. Từ B 13 suy ra m2 8 m2 0 m 0 k 0 3m2 6n 22 2 m2 2n 8 0 . 2 0,25 m 2 m 4 m 2 Vậy cặp số cần tìm là 0,4 , 2,2 . Câu 5 (1,0 điểm). Ban đầu, trên bảng có n số nguyên dương đầu tiên được viết liên tiếp từ trái qua phải: 1, 2, 3,..., n 1, n. Ta thực hiện trò chơi đổi số như sau: Mỗi lượt chơi, lấy ba số đứng liền nhau a, b, c và đổi chỗ a với c thành c, b, a. Hỏi sau hữu hạn lượt chơi như trên ta có thể thu được dãy số ngược lại n, n 1,..., 2,1 hay không, nếu: a) n 5; b) n 2024. Hướng dẫn chấm Điểm a) Với n 5 ta thực hiện các bước biến đổi như sau: 1 2 3 4 5 1 4 3 2 5 0,5 3 4 1 2 5 3 4 5 2 1 5 4 3 2 1 b) Với n 2024 : Ta thấy rằng với cách đổi như trên thì các số lẻ luôn ở vị trí lẻ còn 0,25 số chẵn luôn ở vị trí chẵn. Ban đầu số 2024 ở vị trí chẵn, do đó nó không thể chuyển về vị trí đầu tiên trong 0,25 dãy số 2024, 2023, , 2, 1 được. DeThi.edu.vn
6. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TUYÊN QUANG NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. a) Rút gọn biểu thức b) Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng Câu 2. a) Cho phương trình . Giải phương trình khi . Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Giải hệ phương trình Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AP. Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H (E ∈ AC, F ∈ AB). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH và EF. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BE tại T. Chứng minh rằng a) . b) Hai đường thẳng IK và AT vuông góc. c) Các đường thẳng BC, HP, IK đồng quy. Câu 4. a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn b) Cho là các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng không thể là một số chính phương. Câu 5. Đầu tiên, thầy giáo viết lên bảng 23 số tự nhiên liên tiếp thành một hàng ngang. Thầy cho mỗi học sinh thực hiện trò chơi đổi số như sau: Mỗi lần đổi số, người chơi xóa hai số bất kỳ và thay bằng số mới là . Sau 22 lần đổi số như trên, bạn Phong thu được một số nguyên tố . a) Xác định . b) Em hãy chỉ ra một quy trình biến đổi 23 số trên để được số . ---------HẾT--------- DeThi.edu.vn
7. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức Ta thấy: . vì Vậy . b) Chứng minh bất đẳng thức Sử dụng bất đẳng thức phụ , ta có: Tương tự cho hai biểu thức còn lại. Cộng vế theo vế: Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình - Điều kiện: . Khi đó: (*) - Khi hoặc (đều thỏa mãn ). - Để có 2 nghiệm phân biệt: Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt không âm. b) Giải hệ phương trình: Từ phương trình (1): TH1: . Thế vào (2): (Loại vì ). TH2: . Thế vào (2): (thì ) hoặc (thì ). Câu 3. (1,5 điểm) a) Chứng minh DeThi.edu.vn
8. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tứ giác có nên nội tiếp đường tròn đường kính . ⇒ Góc ngoài bằng góc trong đối diện . b) IK vuông góc AT IK là đường trung bình của △AHE và △AHF (hoạ̌c liên quan đến đường đối trung). Thực tế, IK thuộc đường thẳng vuông góc với AP. Mà AP là đường kính, AT là tiếp tuyến nên AT⊥AP. ⇒IK‖AP (hoặc một quan hệ góc tương đương) dẫn đến IK⊥AT. Câu 4. (1,5 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên Vì nên và là ước của 2. Ta có bảng: Nghiệm loại . b) không là số chính phương Sử dụng định lý Fermat nhỏ: . Một số chính phương chia 7 chỉ có thể dư . Vì dư 3 nên không thể là số chính phương. Câu 5. (3,0 điểm) a) Xác định Tổng . Khi thay bằng , tính chẵn lẻ của tổng không đổi vì là số chẵn. 276 là số chẵn, nên số cuối cùng phải là số chẵn. Số nguyên tố chẵn duy nhất là . b) Quy trình Để được số 2: 1. Nhóm các cặp số liên tiếp để triệt tiêu: . (Có 11 số 1). 2. Kết hợp 10 số 1 thành các số 0 : (được 5 số 0). DeThi.edu.vn
9. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3. Còn dư lại số 23, một số 1 và các số 0 . 4. . Tiếp tục dùng các số còn lại để đưa về 2. (Ví dụ: gồm các cặp tạo ra hiệu bằng 2...). DeThi.edu.vn
10. Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tuyên Quang (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TUYÊN QUANG NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng là một số nguyên. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Câu 2. (3,0 điểm) 1. Cho phương trình x4 – (2m – 1)x2 + 2(m – 1) = 0 (1) (m là tham số). a) Giải phương trình (1) khi m = 3. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. 2. Giải hệ phương trình . Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (BA < BC). Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC; D, E lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC và AC; M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và AB; T là giao điểm của BI và DE. Chứng minh rằng: a) . b) Bốn điểm A, E, T, I cùng thuộc một đường tròn. c) Ba điểm M, T, N thẳng hàng. Câu 4. (1,0 điểm) Cho số nguyên dương n > 2. Chứng minh rằng: a) chia hết cho 6. b) chia hết cho 7. Câu 5. (1,0 điểm) Trong hình vuông ABCD cạnh 3 cm, lấy 10 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại điểm M nằm trong hoặc trên các cạnh của hình vuông ABCD sao cho khoảng cách từ M đến mỗi điểm đều lớn hơn 0,5 cm. ---------HẾT--------- DeThi.edu.vn