Trắc nghiệm Toán Lớp 10 (Sách Kết nối tri thức) - Bài 9: Tích của vectơ với một số (Có lời giải)
28 trang
03/03/2023
2382
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Trắc nghiệm Toán Lớp 10 (Sách Kết nối tri thức) - Bài 9: Tích của vectơ với một số (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- trac_nghiem_toan_lop_10_sach_ket_noi_tri_thuc_bai_9_tich_cua.docx
Nội dung text: Trắc nghiệm Toán Lớp 10 (Sách Kết nối tri thức) - Bài 9: Tích của vectơ với một số (Có lời giải)
- BÀI 9: TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ DẠNG 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ ka Câu 1: Khẳng định nào sai? A. 1.a a B. ka và a cùng hướng khi k 0 C. ka và a cùng hướng khi k 0 D. Hai vectơ a và b 0 cùng phương khi có một số k để a kb Câu 2: Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN 3MP . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây: A. Hình 3B. Hình 4C. Hình 1D. Hình 2 Câu 3: Cho ba điểm phân biệt A, B,C . Nếu AB 3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng? A. BC 4AC B. BC 2AC C. BC 2AC D. BC 4AC Câu 4: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC .Khẳng định nào sau đây đúng uur uur uur uur uur uuur uuur uur A. BI = IC B. 3BI = 2IC C. BI = 2IC D. 2BI = IC Câu 5: Cho tam giác ABC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? 1 A. AB 2AM B. AC 2CN C. BC 2NM D. CN AC 2 Câu 6: Cho a 0 và điểm O . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM 3a và ON 4a . Khi đó: A. MN 7a B. MN 5a C. MN 7a D. MN 5a Câu 7: Tìm giá trị của m sao cho a mb , biết rằng a,b ngược hướng và a 5, b 15 1 1 A. m 3 B. m C. m D. m 3 3 3 Câu 8: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a . Độ dài của AB AC bằng: a 3 A. 2a B. a 3 C. 2a 3 D. 2 Câu 9: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của AB . Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA MB 2MC 0 . A. M là trung điểm của BC B. M là trung điểm của IC C. M là trung điểm của IA D. M là điểm trên cạnh IC sao cho IM 2MC Câu 10: Cho hình bình hành ABCD , điểm M thõa mãn 4AM AB AD AC . Khi đó điểm M là: A. Trung điểm của AC B. Điểm C C. Trung điểm của AB D. Trung điểm của AD
- · 0 Câu 11: Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 2a . Góc BAD 60 . Tính độ dài vectơ AB AD . A. AB AD 2a 3 B. AB AD a 3 C. AB AD 3a D. AB AD 3a 3 Câu 12: Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn: OA OB 2OC OA OB . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đềuB. Tam giác ABC cân tại C C. Tam giác ABC vuông tại C D. Tam giác ABC cân tại B 21 5 Câu 13: Cho tam giác OAB vuông cân tạ O với OA OB a . Độ dài của véc tơ u OA OB là: 4 2 a 140 a 321 a 520 a 541 A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 14: Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,CD, DE . Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và NQ . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 1 A. IJ AE B. IJ AE C. IJ AE D. IJ AE 2 3 4 5 1 Câu 15: Cho đoạn thẳng AB . Gọi M là một điểm trên AB sao cho AM AB . Khẳng định nào sau 4 đây sai? 1 1 3 A. MA MB .B. AM AB .C. BM BA .D. MB 3MA. 3 4 4 1 Câu 16: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm trên đoạn AB sao cho MA AB . Trong các khẳng 5 định sau, khẳng định nào sai ? 1 1 4 A. AM AB B. MA MB C. MB 4MA D. MB AB 5 4 5 Câu 17: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm AM . Đường thẳng BN cắt AC tại P . Khi đó AC xCP thì giá trị của x là: 4 2 3 5 A. B. C. D. 3 3 2 3 DẠNG 2: HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Câu 1: Cho ba điểm A, B,C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là: A. AB AC B. k 0 : AB k.AC C. AC AB BC D. MA MB 3MC, điểm M Câu 2: Cho ABC . Đặt a BC,b AC . Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương? A. 2a b,a 2b B. a 2b,2a b C. 5a b, 10a 2b D. a b,a b Câu 3: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương? 1 1 A. 3a b và a 6b B. a b và 2a b 2 2 1 1 1 C. a b và a b D. a b và a 2b 2 2 2 Câu 4: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?
- 1 3 3 A. u 2a 3b và v a 3b B. u a 3b và v 2a b 2 5 5 2 3 1 1 C. u a 3b và v 2a 9b D. u 2a b và v a b 3 2 3 4 Câu 5: Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 3a 2b và (x 1)a 4b cùng phương. Khi đó giá trị của x là: A. 7 B. 7 C. 5 D. 6 Câu 6: Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 2a 3b và a x 1 b cùng phương. Khi đó giá trị của x là: 1 3 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 7: Cho tam giác ABC . Hai điểm M , N được xác định bởi các hệ thức BC MA 0 , AB NA 3AC 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. MN AC B. MN / / AC C. M nằm trên đường thẳng AC D. Hai đường thẳng MN và AC trùng nhau DẠNG 3: BIỂU THỊ MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG Câu 1: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB 3MC . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng? 1 3 A. AM AB AC B. AM 2AB AC 2 2 1 C. AM AB AC D. AM (AB AC) 2 Câu 2: Cho tam giác ABC biết AB 8, AC 9, BC 11. Gọi M là trung điểm BC và N là điểm trên đoạn AC sao cho AN x (0 x 9) . Hệ thức nào sau đây đúng? 1 x 1 x 1 1 A. MN AC AB B. MN CA BA 2 9 2 9 2 2 x 1 1 x 1 1 C. MN AC AB D. MN AC AB 9 2 2 9 2 2 Câu 3: Cho tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 2 1 1 1 A. AH AC AB B. AH AC AB 3 3 3 3 2 1 2 1 C. AH AC AB D. AH AB AC 3 3 3 3 Câu 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA và AB . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 1 1 1 1 3 3 2 2 A. AG AE AF B. AG AE AF C. AG AE AF D. AG AE AF 2 2 3 3 2 2 3 3 2 Câu 5: Cho tam giác ABC . Gọi D là điểm sao cho BD BC và I là trung điểm của cạnh AD , 3 2 M là điểm thỏa mãn AM AC. Vectơ BI được phân tích theo hai vectơ BA và BC . Hãy 5 chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- 1 1 1 1 A. BI BA BC .B. BI BA BC . 2 3 2 2 1 3 1 1 C. BI BA BC .D. BI BA BC . 2 4 4 6 Câu 6: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm thuộc AC sao cho CN 2NA . K là trung điểm của MN . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 1 1 A. AK AB AC. B. AK AB AC. 4 6 2 3 1 1 1 2 C. AK AB AC. D. AK AB AC. 4 3 2 3 Câu 7: Cho tứ giác ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Gọi G theo thứ tự là trọng tâm của tam giác OAB và OCD . Khi đó GG bằng: 1 2 1 A. AC BD .B. AC BD . C. 3 AC BD . D. AC BD . 2 3 3 Câu 8: Cho tam giác ABC với phân giác trong AD . Biết AB 5 , BC 6 , CA 7 . Khi đó AD bằng: 5 7 7 5 7 5 5 7 A. AB AC .B. AB AC .C. AB AC .D. AB AC . 12 12 12 12 12 12 12 12 Câu 9: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 2NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó: 1 1 1 1 A. AK AB AC B. AK AB AC 6 4 4 6 1 1 1 1 C. AK AB AC D. AK AB AC 4 6 6 4 1 Câu 10: Cho tam giác ABC , N là điểm xác định bởi CN BC , G là trọng tâm tam giác ABC . Hệ 2 thức tính AC theo AG, AN là: 2 1 4 1 A. AC AG AN B. AC AG AN 3 2 3 2 3 1 3 1 C. AC AG AN D. AC AG AN 4 2 4 2 Câu 11: Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB 4 , BC 5 và CA 6 . Khi đó DE bằng: 5 3 3 5 9 3 3 9 A. CA CB .B. CA CB .C. CA CB .D. CA CB . 9 5 5 9 5 5 5 5 DẠNG 4: ĐẲNG THỨC VECTƠ CHỨA TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ Câu 1: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng: A. 2MA MB 3MC AC 2BC B. 2MA MB 3MC 2AC BC C. 2MA MB 3MC 2CA CB D. 2MA MB 3MC 2CB CA Câu 2: Cho tam giác ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm của tam giác. Hệ thức đúng là: 3 1 A. OH OG B. OH 3OG C. OG GH D. 2GO 3OH 2 2
- Câu 3: Ba trung tuyến AM , BN, CP của tam giác ABC đồng quy tại G . Hỏi vectơ AM BN CP bằng vectơ nào? 3 1 A. GA GB CG B. 3 MG NG GP C. AB BC AC D. 0 2 2 Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD , I và K lần lượt là trung điểm của BC, CD . Hệ thức nào sau đây đúng? A. AI AK 2 AC B. AI AK AB AD 3 C. AI AK IK D. AI AK AC 2 Câu 5: Cho tam giác đều ABC tâm O . Điểm M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F . Hệ thức giữa các vectơ MD, ME, MF, MO là: 1 2 A. MD ME MF MO B. MD ME MF MO 2 3 3 3 C. MD ME MF MO D. MD ME MF MO 4 2 Câu 6: Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N là trung điểm AB và DC . Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng AD và BC sao cho PA 2PD , QB 2QC . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 A. MN AD BC .B. MN MP MQ . 2 1 1 C. MN AD BC .D. MN MD MC NB NA . 2 4 Câu 7: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Với điểm M bất kỳ, ta luôn có: 1 A. MA MB MI B. MA MB 2MI C. MA MB 3MI D. MA MB MI 2 Câu 8: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Với mọi điểm M , ta luôn có: A. MA MB MC MG B. MA MB MC 2MG C. MA MB MC 3MG D. MA MB MC 4MG Câu 9: Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC . Đẳng thức nào đúng? 1 A. GA 2GI B. IG IA C. GB GC 2GI D. GB GC GA 3 Câu 10: Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào đúng? A. AC BD 2BC B. AC BC AB C. AC BD 2CD D. AC AD CD Câu 11: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? 2 A. AB AC AG B. BA BC 3BG C. CA CB CG D. AB AC BC 0 3 Câu 12: Cho hình vuông ABCD có tâm là O . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? 1 1 A. AB AD 2AO B. AD DO CA C. OA OB CB D. AC DB 4AB 2 2 Câu 13: Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó AC BD bằng: A. MN B. 2MN C. 3MN D. 2MN
- Câu 14: Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng? A. MA MB MC MD MO B. MA MB MC MD 2MO C. MA MB MC MD 3MO D. MA MB MC MD 4MO Câu 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm của tam giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. OH 4OG B. OH 3OG C. OH 2OG D. 3OH OG Câu 16: Cho tứ giác ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , I là điểm trên GC sao cho IC 3IG . Với mọi điểm M ta luôn có MA MB MC MD bằng: A. 2MI B. 3MI C. 4MI D. 5MI Câu 17: Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác ABC . Hạ a a ID, IE, IF tương ứng vuông góc với BC,CA, AB . Giả sử ID IE IF IO (với là phân b b số tối giản). Khi đó a b bằng: A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 Câu 18: Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thoả mãn: MA MB MC 1 A. 0B. 1C. 2D. vô số Câu 19: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vectơ v MA MB 2MC . Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho CD v . A. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD B. D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD C. D là trọng tâm của tam giác ABC D. D là trực tâm của tam giác ABC Câu 20: Cho tam giác ABC và đường thẳng d . Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức OA OB 2OC 0. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ v MA MB 2MC có độ dài nhỏ nhất. A. Điểm M là hình chiếu vuông góc của O trên d B. Điểm M là hình chiếu vuông góc của A trên d C. Điểm M là hình chiếu vuông góc của B trên d D. Điểm M là giao điểm của AB và d Câu 21: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N thuộc cạnh AC sao cho NC 2NA . Hãy xác định điểm K thỏa mãn: 3AB 2AC 12AK 0 và điểm D thỏa mãn: 3AB 4AC 12KD 0 . A. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của BC B. K là trung điểm của BC và D là trung điểm của MN C. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AB D. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AC Câu 22: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa 4AM AB AC AD . Khi đó điểm M là: A. trung điểm ACB. điểm CC. trung điểm ABD. trung điểm AD Câu 23: Cho hình chữ nhật ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB MC MD là: A. Đường tròn đường kính AB .B. Đường tròn đường kính BC . C. Đường trung trực của cạnh AD .D. Đường trung trực của cạnh AB . Câu 24: Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MC MB MD là: A. Một đường thẳng.B. Một đường tròn. C. Toàn bộ mặt phẳng ABCD . D. Tập rỗng.
- Câu 25: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa 2 MA MB MC 3 MB MC . Tập hợp M là: A. Một đường trònB. Một đường thẳng C. Một đoạn thẳng D. Nửa đường thẳng Câu 26: Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa MA MB MC 3 A. 1B. 2C. 3D. Vô số Câu 27: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa 3MA 2MB MC MB MA . Tập hợp M là: A. Một đoạn thẳngB. Một đường tròn C. Nửa đường tròn D. Một đường thẳng Câu 28: Cho năm điểm A, B,C, D, E . Khẳng định nào đúng? A. AC CD EC 2 AE DB CB B. AC CD EC 3 AE DB CB AE DB CB C. AC CD EC D. AC CD EC AE DB CB 4 Câu 29: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho 1 BH HC . Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM x BC . Tìm x sao cho độ dài của 3 vectơ M A G C đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 6 5 A. . B. . C. . D. . 5 6 5 4 Câu 30: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? a a 3 A. . B. . C. a. D. 2a. 2 2 LỜI GIẢI CHI TIẾT DẠNG 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ ka Câu 1: Khẳng định nào sai? A. 1.a a B. ka và a cùng hướng khi k 0 C. ka và a cùng hướng khi k 0 D. Hai vectơ a và b 0 cùng phương khi có một số k để a kb Lời giải Chọn C (Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ) Câu 2: Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN 3MP . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây: A. Hình 3B. Hình 4C. Hình 1D. Hình 2 Lời giải Chọn A
- MN 3MP MN ngược hướng với MP và MN 3 MP . Câu 3: Cho ba điểm phân biệt A, B,C . Nếu AB 3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng? A. BC 4AC B. BC 2AC C. BC 2AC D. BC 4AC Lời giải Chọn D Câu 4: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC .Khẳng định nào sau đây đúng uur uur uur uur uur uuur uuur uur A. BI = IC B. 3BI = 2IC C. BI = 2IC D. 2BI = IC Lời giải Chọn A uur uur uur uur Vì I là trung điểm của BC nên BI = CI và BI cùng hướng với IC do đó hai vectơ BI , IC uur uur bằng nhau hay BI = IC . Câu 5: Cho tam giác ABC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? 1 A. AB 2AM B. AC 2CN C. BC 2NM D. CN AC 2 Lời giải Chọn B Câu 6: Cho a 0 và điểm O . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM 3a và ON 4a . Khi đó: A. MN 7a B. MN 5a C. MN 7a D. MN 5a Lời giải Chọn C Ta có: MN ON OM 4a 3a 7a . Câu 7: Tìm giá trị của m sao cho a mb , biết rằng a,b ngược hướng và a 5, b 15 1 1 A. m 3 B. m C. m D. m 3 3 3 Lời giải Chọn B
- a 5 1 Do a,b ngược hướng nên m . b 15 3 Câu 8: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a . Độ dài của AB AC bằng: a 3 A. 2a B. a 3 C. 2a 3 D. 2 Lời giải Chọn C 2a 3 Gọi H là trung điểm của BC . Khi đó: AB AC 2.AH 2.AH 2. 2a 3 . 2 Câu 9: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của AB . Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA MB 2MC 0 . A. M là trung điểm của BC B. M là trung điểm của IC C. M là trung điểm của IA D. M là điểm trên cạnh IC sao cho IM 2MC Lời giải Chọn B MA MB 2MC 0 2MI 2MC 0 MI MC 0 M là trung điểm của IC . Câu 10: Cho hình bình hành ABCD , điểm M thõa mãn 4AM AB AD AC . Khi đó điểm M là: A. Trung điểm của AC B. Điểm C C. Trung điểm của AB D. Trung điểm của AD Lời giải Chọn A 1 Theo quy tắc hình bình hành, ta có: 4AM AB AD AC 4AM 2.AC AM .AC 2 M là trung điểm của AC . Câu 11: Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 2a . Góc B· AD 600 . Tính độ dài vectơ AB AD . A. AB AD 2a 3 B. AB AD a 3
- C. AB AD 3a D. AB AD 3a 3 Lời giải Chọn A Tam giác ABD cân tại A và có góc B· AD 600 nên ABD đều AB AD AC 2AO 2.AO 2. AB2 BO2 2. 4a2 a2 2a 3 Câu 12: Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn: OA OB 2OC OA OB . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đềuB. Tam giác ABC cân tại C C. Tam giác ABC vuông tại C D. Tam giác ABC cân tại B Lời giải Chọn C Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: OA OB 2OC OA OB OA OC OB OC BA CA CB AB 1 2.CI AB 2CI AB CI AB Tam giác ABC vuông tại C . 2 21 5 Câu 13: Cho tam giác OAB vuông cân tạ O với OA OB a . Độ dài của véc tơ u OA OB là: 4 2 a 140 a 321 a 520 a 541 A. B. C. D. 4 4 4 4 Lời giải Chọn D
- 21 5 Dựng điểm M , N sao cho: OM OA,ON OB . Khi đó: 4 2 2 2 2 2 21a 5a a 541 u OM ON NM MN OM ON . 4 2 4 Câu 14: Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,CD, DE . Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và NQ . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 1 A. IJ AE B. IJ AE C. IJ AE D. IJ AE 2 3 4 5 Lời giải Chọn C Ta có: 2IJ IQ IN IM MQ IP PN MQ PN MQ MA AE EQ 1 1 2MQ AE BD MQ AE BD , PN BD MQ MB BD DQ 2 2 1 1 1 1 Suy ra: 2IJ AE BD BD AE IJ AE . 2 2 2 4 1 Câu 15: Cho đoạn thẳng AB . Gọi M là một điểm trên AB sao cho AM AB . Khẳng định nào sau 4 đây sai? 1 1 3 A. MA MB .B. AM AB .C. BM BA .D. MB 3MA. 3 4 4 1 Câu 16: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm trên đoạn AB sao cho MA AB . Trong các khẳng 5 định sau, khẳng định nào sai ? 1 1 4 A. AM AB B. MA MB C. MB 4MA D. MB AB 5 4 5 Lời giải Chọn D 4 Ta thấy MB và AB cùng hướng nên MB AB là sai. 5
- Câu 17: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm AM . Đường thẳng BN cắt AC tại P . Khi đó AC xCP thì giá trị của x là: 4 2 3 5 A. B. C. D. 3 3 2 3 Lời giải Chọn C Kẻ MK / /BP (K AC) . Do M là trung điểm của BC nên suy ra K là trung điểm của CP Vì MK / /BP MK / /NP mà N là trung điểm của AM nên suy ra P là trung điểm của AK 3 3 Do đó: AP PK KC . Vậy AC CP x . 2 2 DẠNG 2: HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Câu 1: Cho ba điểm A, B,C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là: A. AB AC B. k 0 : AB k.AC C. AC AB BC D. MA MB 3MC, điểm M Lời giải Chọn B Câu 2: Cho ABC . Đặt a BC,b AC . Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương? A. 2a b,a 2b B. a 2b,2a b C. 5a b, 10a 2b D. a b,a b Lời giải Chọn C Ta có: 10a 2b 2.(5a b) 5a b và 10a 2b cùng phương. Câu 3: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương? 1 1 A. 3a b và a 6b B. a b và 2a b 2 2 1 1 1 C. a b và a b D. a b và a 2b 2 2 2 Lời giải Chọn C Câu 4: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương? 1 3 3 A. u 2a 3b và v a 3b B. u a 3b và v 2a b 2 5 5 2 3 1 1 C. u a 3b và v 2a 9b D. u 2a b và v a b 3 2 3 4
- Lời giải Chọn D Câu 5: Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 3a 2b và (x 1)a 4b cùng phương. Khi đó giá trị của x là: A. 7 B. 7 C. 5 D. 6 Lời giải Chọn A x 1 4 Điều kiện để hai vec tơ 3a 2b và (x 1)a 4b cùng phương là: x 7 . 3 2 Câu 6: Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 2a 3b và a x 1 b cùng phương. Khi đó giá trị của x là: 1 3 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải Chọn C Câu 7: Cho tam giác ABC . Hai điểm M , N được xác định bởi các hệ thức BC MA 0 , AB NA 3AC 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. MN AC B. MN / / AC C. M nằm trên đường thẳng AC D. Hai đường thẳng MN và AC trùng nhau Lời giải Chọn B Ta có: BC MA 0 AM BC M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM nên M AC (1) Cộng vế theo vế hai đẳng thức BC MA 0 , AB NA 3AC 0 , ta được: BC MA AB NA 3AC 0 (MA AN) (AB BC) 3AC 0 MN AC 3AC MN 2AC MN cùng phương với AC (2) Từ (1) và (2) suy ra MN / / AC . DẠNG 3: BIỂU THỊ MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG Câu 1: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB 3MC . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?
- 1 3 A. AM AB AC B. AM 2AB AC 2 2 1 C. AM AB AC D. AM (AB AC) 2 Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm của BC . Khi đó C là trung điểm của MI . Ta có: 1 1 3 AM AI 2AC AM AI 2AC (AB AC) 2AC AB AC . 2 2 2 Câu 2: Cho tam giác ABC biết AB 8, AC 9, BC 11. Gọi M là trung điểm BC và N là điểm trên đoạn AC sao cho AN x (0 x 9) . Hệ thức nào sau đây đúng? 1 x 1 x 1 1 A. MN AC AB B. MN CA BA 2 9 2 9 2 2 x 1 1 x 1 1 C. MN AC AB D. MN AC AB 9 2 2 9 2 2 Lời giải Chọn D x 1 x 1 1 Ta có: MN AN AM AC (AB AC) AC AB . 9 2 9 2 2 Câu 3: Cho tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 2 1 1 1 A. AH AC AB B. AH AC AB 3 3 3 3 2 1 2 1 C. AH AC AB D. AH AB AC 3 3 3 3 Lời giải Chọn A
- Gọi M,I lần lượt là trung điểm của BC và AC . Ta thấy AHCG là hình bình hành nên 2 2 1 AH AG AC AH AM AC AH . AB AC AC 3 3 2 1 2 1 AH AC AB AC AH AC AB . 3 3 3 Câu 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA và AB . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 1 1 1 1 3 3 2 2 A. AG AE AF B. AG AE AF C. AG AE AF D. AG AE AF 2 2 3 3 2 2 3 3 Lời giải Chọn D 2 2 1 1 2 2 Ta có: AG AD . AB AC 2AF 2AE AE AF . 3 3 2 3 3 3 2 Câu 5: Cho tam giác ABC . Gọi D là điểm sao cho BD BC và I là trung điểm của cạnh AD , M 3 2 là điểm thỏa mãn AM AC. Vectơ BI được phân tích theo hai vectơ BA và BC . Hãy chọn 5 khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 1 1 1 1 A. BI BA BC .B. BI BA BC . 2 3 2 2 1 3 1 1 C. BI BA BC .D. BI BA BC . 2 4 4 6 Lời giải Chọn A
- Ta có: I là trung điểm của cạnh AD nên 1 1 2 1 1 BI BA BD BA BC BA BC 2 2 3 2 3 Câu 6: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm thuộc AC sao cho CN 2NA . K là trung điểm của MN . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 1 1 A. AK AB AC. B. AK AB AC. 4 6 2 3 1 1 1 2 C. AK AB AC. D. AK AB AC. 4 3 2 3 Lời giải Chọn A A N M K B C 1 1 Ta có M là trung điểm AB nên AM AB ; CN 2NA AN AC . 2 3 1 1 1 Do đó AK AM AN AB AC. 2 4 6 Câu 7: Cho tứ giác ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Gọi G theo thứ tự là trọng tâm của tam giác OAB và OCD . Khi đó GG bằng: 1 2 1 A. AC BD .B. AC BD . C. 3 AC BD .D. AC BD . 2 3 3 Lời giải Chọn D B G C A O G' D 1 Vì G là trọng tâm của tam giác OCD nên GG GO GC GD . (1) 3
- Vì G là trọng tâm của tam giác OAB nên: GO GA GB 0 GO GA GB (2) 1 1 Từ (1) và (2) suy ra: GG GA GB GC GD AC BD . 3 3 Câu 8: Cho tam giác ABC với phân giác trong AD . Biết AB 5 , BC 6 , CA 7 . Khi đó AD bằng: 5 7 7 5 7 5 5 7 A. AB AC .B. AB AC .C. AB AC .D. AB AC . 12 12 12 12 12 12 12 12 Lời giải Chọn C A 7 5 B D C Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC nên: BD AB 5 5 BD DC DC AC 7 7 5 AD AB AC AD 7 7 5 AD AB AC . 12 12 Câu 9: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 2NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó: 1 1 1 1 A. AK AB AC B. AK AB AC 6 4 4 6 1 1 1 1 C. AK AB AC D. AK AB AC 4 6 6 4 Lời giải Chọn C 1 Câu 10: Cho tam giác ABC , N là điểm xác định bởi CN BC , G là trọng tâm tam giác ABC . Hệ 2 thức tính AC theo AG, AN là: 2 1 4 1 A. AC AG AN B. AC AG AN 3 2 3 2 3 1 3 1 C. AC AG AN D. AC AG AN 4 2 4 2 Lời giải Chọn C Câu 11: Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB 4 , BC 5 và CA 6 . Khi đó DE bằng: 5 3 3 5 9 3 3 9 A. CA CB .B. CA CB .C. CA CB .D. CA CB . 9 5 5 9 5 5 5 5 Lời giải Chọn A
- A E B D C CD AC 6 CD 6 AD là phân giác trong của tam giác ABC nên DB AB 4 CD DB 6 4 CD 6 3 CD CB . CB 10 5 CE 5 5 Tương tự: CE CA. CA 9 9 5 3 Vậy DE CE CD CA CB . 9 5 DẠNG 4: ĐẲNG THỨC VECTƠ CHỨA TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ Câu 1: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng: A. 2MA MB 3MC AC 2BC B. 2MA MB 3MC 2AC BC C. 2MA MB 3MC 2CA CB D. 2MA MB 3MC 2CB CA Lời giải Chọn C Câu 2: Cho tam giác ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm của tam giác. Hệ thức đúng là: 3 1 A. OH OG B. OH 3OG C. OG GH D. 2GO 3OH 2 2 Lời giải Chọn B Câu 3: Ba trung tuyến AM , BN, CP của tam giác ABC đồng quy tại G . Hỏi vectơ AM BN CP bằng vectơ nào? 3 1 A. GA GB CG B. 3 MG NG GP C. AB BC AC D. 0 2 2 Lời giải Chọn D
- A P N G B M C 3 3 3 3 Ta có: AM BN CP AG BG CG AG BG CG 0 . 2 2 2 2 Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD , I và K lần lượt là trung điểm của BC, CD . Hệ thức nào sau đây đúng? A. AI AK 2 AC B. AI AK AB AD 3 C. AI AK IK D. AI AK AC 2 Lời giải Chọn D Câu 5: Cho tam giác đều ABC tâm O . Điểm M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F . Hệ thức giữa các vectơ MD, ME, MF, MO là: 1 2 A. MD ME MF MO B. MD ME MF MO 2 3 3 3 C. MD ME MF MO D. MD ME MF MO 4 2 Câu 6: Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N là trung điểm AB và DC . Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng AD và BC sao cho PA 2PD , QB 2QC . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 A. MN AD BC .B. MN MP MQ . 2 1 1 C. MN AD BC .D. MN MD MC NB NA . 2 4 Câu 7: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Với điểm M bất kỳ, ta luôn có: 1 A. MA MB MI B. MA MB 2MI C. MA MB 3MI D. MA MB MI 2 Lời giải Chọn B Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Với điểm M bất kỳ, ta luôn có MA MB 2MI Câu 8: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Với mọi điểm M , ta luôn có: A. MA MB MC MG B. MA MB MC 2MG C. MA MB MC 3MG D. MA MB MC 4MG Lời giải Chọn C
- Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác: Với mọi điểm M , ta luôn có MA MB MC 3MG . Câu 9: Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC . Đẳng thức nào đúng? 1 A. GA 2GI B. IG IA C. GB GC 2GI D. GB GC GA 3 Lời giải Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, ta có: GB GC 2GI . Câu 10: Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào đúng? A. AC BD 2BC B. AC BC AB C. AC BD 2CD D. AC AD CD Lời giải Chọn A Ta có: AC BD AB BC BC CD 2BC (AB CD) 2BC . Câu 11: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? 2 A. AB AC AG B. BA BC 3BG C. CA CB CG D. AB AC BC 0 3 Lời giải Chọn B 3 Gọi M là trung điểm của AC . Khi đó: BA BC 2BM 2. BG 3BG . 2 Câu 12: Cho hình vuông ABCD có tâm là O . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? 1 1 A. AB AD 2AO B. AD DO CA C. OA OB CB D. AC DB 4AB 2 2 Lời giải Chọn D
- AC DB AB BC DC CB AB DC 2AB . Câu 13: Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó AC BD bằng: A. MN B. 2MN C. 3MN D. 2MN Lời giải Chọn B MN MA AC CN Ta có: 2MN AC BD . MN MB BD DN Câu 14: Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng? A. MA MB MC MD MO B. MA MB MC MD 2MO C. MA MB MC MD 3MO D. MA MB MC MD 4MO Lời giải Chọn D Ta có: MA MB MC MD (MA MC) (MB MD) 2MO 2MO 4MO Câu 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm của tam giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. OH 4OG B. OH 3OG C. OH 2OG D. 3OH OG Lời giải Chọn B
- Gọi D là điểm đối xứng với A qua O . Ta có: HA HD 2HO (1) Vì HBDC là hình bình hành nên HD HB HC (2) Từ (1),(2) suy ra: HA HB HC 2HO (HO OA) (HO OB) (HO OC) 2HO 3HO (OA OB OC) 2HO OA OB OC HO 3OG OH . Câu 16: Cho tứ giác ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , I là điểm trên GC sao cho IC 3IG . Với mọi điểm M ta luôn có MA MB MC MD bằng: A. 2MI B. 3MI C. 4MI D. 5MI Lời giải Chọn C Ta có: 3IG IC . Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên IA IB ID 3IG IA IB ID IC IA IB IC ID 0 Khi đó: MA MB MC MD MI IA MI IB MI IC MI ID 4MI (IA IB IC ID) 4MI 0 4MI Câu 17: Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác ABC . Hạ a a ID, IE, IF tương ứng vuông góc với BC,CA, AB . Giả sử ID IE IF IO (với là phân b b số tối giản). Khi đó a b bằng: A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 Lời giải Chọn A
- Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / /BC, NR / /CA. Vì ABC là tam giác đều nên các tam giác IMN, IPQ, IRS cũng là tam giác đều. Suy ra D, E, F lần lượt là trung điểm của MN, PQ, RS . 1 1 1 Khi đó: ID IE IF IM IN IP IQ IR IS 2 2 2 1 1 IQ IR IM IS IN IP IA IB IC 2 2 1 3 .3IO IO a 3,b 2 . Do đó: a b 5 . 2 2 Câu 18: Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thoả mãn: MA MB MC 1 A. 0B. 1C. 2D. vô số Lời giải Chọn D Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC 1 Ta có MA MB MC 3MG 3MG 1 MG 3 1 Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB MC 1 là đường tròn tâm G bán kính R . 3 Câu 19: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vectơ v MA MB 2MC . Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho CD v . A. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD B. D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD C. D là trọng tâm của tam giác ABC D. D là trực tâm của tam giác ABC
- Lời giải Chọn B Ta có: v MA MB 2MC MA MC MB MC CA CB 2CI (Với I là trung điểm của AB ) Vậy vectơ v không phụ thuộc vào vị trú điểm M . Khi đó: CD v 2CI I là trung điểm của CD Vậy D D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD . Câu 20: Cho tam giác ABC và đường thẳng d . Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức OA OB 2OC 0. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ v MA MB 2MC có độ dài nhỏ nhất. A. Điểm M là hình chiếu vuông góc của O trên d B. Điểm M là hình chiếu vuông góc của A trên d C. Điểm M là hình chiếu vuông góc của B trên d D. Điểm M là giao điểm của AB và d Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm của AB . Khi đó: OA OB 2OC 0 2OI 2OC 0 OI OC 0 O là trung điểm của IC Ta có: v MA MB 2MC OA OM OB OM 2(OC OM ) OA OB 2OC 4OM 4OM Do đó v 4OM . Độ dài vectơ v nhỏ nhất khi và chỉ khi 4OM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuong góc của O trên d . Câu 21: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N thuộc cạnh AC sao cho NC 2NA . Hãy xác định điểm K thỏa mãn: 3AB 2AC 12AK 0 và điểm D thỏa mãn: 3AB 4AC 12KD 0 . A. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của BC B. K là trung điểm của BC và D là trung điểm của MN C. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AB D. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AC Lời giải Chọn A
- Ta có: AB 2AM 1 3AB 2AC 12AK 0 3.2AM 2.3AN 12AK 0 AK AM AN AC 3AN 2 Suy ra K là trung điểm của MN Ta có: 3AB 4AC 12KD 0 3AB 4AC 12 AD AK 0 3AB 4AC 12AK 12AD 1 12AD 3AB 4AC 3AB 2AC 12AD 6AB 6AC AD AB AC 2 Suy ra D là trung điểm của BC . Câu 22: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa 4AM AB AC AD . Khi đó điểm M là: A. trung điểm ACB. điểm C C. trung điểm ABD. trung điểm AD Lời giải Chọn A Câu 23: Cho hình chữ nhật ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB MC MD là: A. Đường tròn đường kính AB .B. Đường tròn đường kính BC . C. Đường trung trực của cạnh AD .D. Đường trung trực của cạnh AB . Lời giải Chọn C A E B M D F C Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và DC . MA MB MC MD 2ME 2MF ME MF Do đó M thuộc đường trung trực của đoạn EF hay M thuộc đường trung trực của cạnh AD . Câu 24: Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MC MB MD là: A. Một đường thẳng.B. Một đường tròn. C. Toàn bộ mặt phẳng ABCD . D. Tập rỗng. Lời giải Chọn C
- A B O D C Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta có: MA MC MB MD 2MO 2MO MO MO (đúng với mọi M ) Vậy tập hợp các điểm M là toàn bộ mặt phẳng ABCD . Câu 25: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa 2 MA MB MC 3 MB MC . Tập hợp M là: A. Một đường trònB. Một đường thẳng C. Một đoạn thẳngD. Nửa đường thẳng Lời giải Chọn B Câu 26: Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa MA MB MC 3 A. 1B. 2C. 3D. Vô số Lời giải Chọn D Câu 27: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa 3MA 2MB MC MB MA . Tập hợp M là: A. Một đoạn thẳngB. Một đường tròn C. Nửa đường trònD. Một đường thẳng Lời giải Chọn B Câu 28: Cho năm điểm A, B,C, D, E . Khẳng định nào đúng? A. AC CD EC 2 AE DB CB B. AC CD EC 3 AE DB CB AE DB CB C. AC CD EC 4 D. AC CD EC AE DB CB Lời giải Chọn D AC CD EC AE DB CB AC AE CD CB EC DB 0 EC BD EC DB 0 BD DB 0 (đúng) ĐPCM.
- 1 Câu 29: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH HC . 3 Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM x BC . Tìm x sao cho độ dài của vectơ M A G C đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 6 5 A. . B. . C. . D. . 5 6 5 4 Lời giải Chọn B A E P G B H M Q F C Dựng hình bình hành AGCE . Ta có MA GC MA AE ME . Kẻ EF BC F BC . Khi đó MA GC ME ME EF . Do đó MA GC nhỏ nhất khi M F . Gọi P là trung điểm AC , Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC Q BC . 3 Khi đó P là trung điểm GE nên BP BE . 4 BQ BP 3 4 Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên hay BF BQ . BF BE 4 3 1 Mặt khác, BH HC . 3 1 PQ là đường trung bình AHC nên Q là trung điểm HC hay HQ HC . 2 1 1 5 5 3 5 Suy ra BQ BH HQ HC HC HC . BC BC. 3 2 6 6 4 8 4 5 Do đó BF BQ BC . 3 6 Câu 30: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? a a 3 A. . B. . C. a. D. 2a. 2 2 Lời giải Chọn A
- M A B H O N Gọi N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành MANB . Khi đó MA MB MN . Ta có MA MB MA MB MN BA hay MN AB . Suy ra MANB là hình chữ nhật nên ·AMB 90o . Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB . AB a MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max MH MO . 2 2
