›
›
›

Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 từ internet - Hồ Khắc Vũ

pdf 366 trang thaodu 6730
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 từ internet - Hồ Khắc Vũ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftuyen_tap_500_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8_tu_interne.pdf

Nội dung text: Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 từ internet - Hồ Khắc Vũ

  1. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 8 TỪ INTERNET Họ và tên: Lớp: Trường: Người tổng hợp, sưu tầm : Thầy giáo Hồ Khắc Vũ Giáo viên Toán cấp 2 -3 "Hòa Thuận – Tam Kỳ - Quảng Nam" QUẢNG NAM, THÁNG 03-2018 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 1
  2. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. LỜI NÓI ĐẦU Sơ lược bản thân, tôi là Hồ Khắc Vũ, giáo viên sư phạm Toán cấp 2-3 tốt nghiệp khoa Sư phạm Toán, trường đại học Quảng Nam Với mong muốn tìm tòi, sưu tầm và tập hợp tất cả các đề Toán lớp 8 của kỳ thi Học sinh giỏi các cấp để các anh chị em đồng nghiệp, các bậc phụ huynh và các em học sinh có tài liệu để tham khảo, ôn tập và luyện thi Với lý do đó, tôi đã sưu tầm được 500 đề thi HSG toán 8 trên mạng để cho vào file PDF này, file này mang giá trị vô giá, với mục đích tới tận tay người học mà không tốn một đồng phí nào. Lý do tôi chọn file PDF chứ không phải file word chỉ đơn giản là để khỏi lỗi font chữ và nếu anh chị em nào có thể chỉnh sửa font chữ được thì tôi sẵn sàng chia sẻ file word vô tư Tôi mong rằng, với tập tài liệu đồ sộ này, hy vọng sẽ giúp các anh chị em đồng nghiệp ôn tập được tốt hơn và cũng như các em học sinh lớp 8 sẽ luyện nhuần nhuyễn hơn trước khi bước vào kỳ thi Cuối lời, không có gì hơn tôi xin gửi lời chúc bằng 1 câu thơ tâm đắc mà thầy tôi đã để lại cho tôi "Thao trường đổ mồ hôi, chiến trường bớt đổ máu Cờ lau trận giả nhận thất bại, Bạch Đằng tranh đấu thắng dội vang" Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 2
  3. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 01 Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: 2 a) Rót gän biÓu thøc: xx 6 x32 4 x 18 x 9 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0(x , y , z 0) . TÝnh x y z x2 y 2 z 2 Bµi 3:(3®) Cho tam gi¸c ABC . LÊy c¸c ®iÓm D,E theo thø tù thuéc tia ®èi cña c¸c tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD .Qua O vÏ ®•êng th¼ng song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, ®•êng th¼mg nµy c¾t AC ë K. Chøng minh r»ng AB = CK. Bµi 4 (1®). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + 5 ĐỀ SỐ 02 C©u 1 . T×m mét sè cã 8 ch÷ sè: a1 a 2 . a 8 tho· m·n 2 ®iÒu kiÖn a vµ b sau: 2 3 a) a1 a 2 a 3 = a7 a8 b) a4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 7 a 8 C©u 2 . Chøng minh r»ng: ( xm + xn + 1 ) chia hÕt cho x2 + x + 1. khi vµ chØ khi ( mn – 2)  3. ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x7 + x2 + 1. C©u 3 . Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 1 1 1 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007). C©u 4 . Cho h×nh thang ABCD (®¸y lín CD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; c¸c ®•êng kÎ tõ A vµ B lÇn l•ît song song víi BC vµ AD c¾t c¸c ®•êng chÐo BD vµ AC t•¬ng øng ë F vµ E. Chøng minh: EF // AB b). AB2 = EF.CD. c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c OAB; OCD; OAD Vµ OBC Chøng minh: S1 . S2 = S3 . S4 . C©u 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 3
  4. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 03 C©u 1: a. Rót gän biÓu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) ( 2256 + 1) + 1 b. NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 x y z a b c C©u 2: a. Cho 0 (1) vµ 2 (2) a b c x y z x2 y 2 z 2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= a2 b 2 c 2 ab bc ca b. Biết a + b + c = 0 TÝnh : B = a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 C©u 3: T×m x , biÕt : x· 1 x 10 x 19 3 (1) 2006 1997 1988 C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD, M ®•¬ng chÐo AC. Gäi E,F theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña M trªn AD, CD. Chøng minh r»ng: a.BM  EF b. C¸c ®•êng th¼ng BM, EF, CE ®ång quy. C©u 5: Cho a,b, c, lµ c¸c sè d•¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 1 1 1 P= (a+ b+ c) ( ). a b c ĐỀ SỐ 04 Bµi 1 (3®): 1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 1 x 2 x 4 x 6 x 8 2) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 98 96 94 92 Bµi 2 (2®): 2xx2 3 3 T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn 21x Bµi 3 (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC ) 1) KÎ ®•êng cao BM; CN cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a) ABM ®ång d¹ng ACN b) gãc AMN b»ng gãc ABC Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 4
  5. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F lµ trung ®iÓm cña AK. Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC. Bµi 4 (1®): T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: x 2 2x 2007 A , ( x kh¸c 0) 2007x 2 ĐỀ SỐ 05 x 2 6 1 10 x 2 : x 2 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho biÓu thøc A = 3 x 4x 6 3x x 2 x 2 a, T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh . b, Rót gän biÓu thøc A . c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > O x 2 4x 1 x 2 5x 1 C©u 2 ( 1,5 ®iÓm ) .Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : 2 x 1 2x 1 C©u 3 ( 3,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. Qua A kÏ hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau lÇn lît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ S. 1, Chøng minh AQR vµ APS lµ c¸c tam gi¸c c©n. 2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt. 3, Chøng minh P lµ trùc t©m SQR. 4, MN lµ trung trùc cña AC. 5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng. C©u 4 ( 1 ®iÓm): 2x 2 3x 3 Cho biÓu thøc A = . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn 2x 1 C©u 5 ( 1 ®iÓm) a, Chøng minh r»ng x3 y3 z 3 x y 3 3xy. x y z 3 1 1 1 yz xz xy b, Cho 0. TÝnh A x y z x 2 y 2 z 2 ĐỀ SỐ 06 Bµi 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc : x 2 1 1 1 x 4 x 4 M = 4 2 2 2 x x 1 x 1 1 x a) Rót gän b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M . Bµi 2 : (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 5
  6. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 3 2 A = 4x 3x 2x 83 x 3 Bµi 3 : 2 ®iÓm Gi¶i ph•¬ng tr×nh : a) x2 - 2005x - 2006 = 0 b) x 2 + x 3 + 2x 8 = 9 Bµi 4 : (3®) Cho h×nh vu«ng ABCD . Gäi E lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh BC . Qua E kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AE . Ax c¾t CD t¹i F . Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K . §•êng th¼ng qua E song song víi AB c¾t AI ë G . Chøng minh : a) AE = AF vµ tø gi¸c EGKF lµ h×nh thoi . b) AEF ~ CAF vµ AF2 = FK.FC c) Khi E thay ®æi trªn BC chøng minh : EK = BE + DK vµ chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi . Bµi 5 : (1®) Chøng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hÕt cho 24 ĐỀ SỐ 07 C©u 1: ( 2 ®iÓm ) Cho biÓu thøc: 6x 1 6x 1 x 2 36 A= . ( Víi x 0 ; x 6 ) x 2 6x x 2 6x 12x 2 12 1) Rót gän biÓu thøc A 2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A víi x= 1 9 4 5 C©u 2: ( 1 ®iÓm ) a) Chøng minh ®¼ng thøc: x2+y2+1 x.y‎ + x + y (‎ víi mäi x ;y) b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau: A = x 2 x3 x 2 x 2 C©u 3: ( 4 ®iÓm ) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . TRªn ®•êng chÐo BD lÊy ®iÓm P , gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña C qua P . a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh gi? b) Gäi E, F lÇn l•ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn AD , AB . Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng. c)Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. PD 9 d) Gi¶ sö CP  DB vµ CP = 2,4 cm,; PB 16 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 6
  7. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. C©u 4 ( 2 ®iÓm ) Cho hai bÊt ph•¬ng tr×nh: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x 0) (x 2004)2 T×m x ®Ó biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã Bµi 3: (2 ,5 ®iÓm) a, T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n ph•¬ng tr×nh: : ( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330. B, Gi¶i bÊt ph•¬ng tr×nh: x 6 3 Bµi 4: ( 3 ,5 ®iÓm) Cho gãc xoy vµ ®iÓm I n»m trong gãc ®ã. KÎ IC vu«ng gãc víi ox ; ID vu«ng gãc víi oy . BiÕt IC = ID = a. §•êng th¼ng kÎ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b. A, Chøng minh r»ng tÝch AC . DB kh«ng ®æi khi ®•êng th¼ng qua I thay ®æi. CA OC 2 B, Chøng minh r»ng DB OB2 2 C, BiÕt S = 8a . TÝnh CA ; DB theo a. AOB 3 ĐỀ SỐ 09 x2 y 2 x 2 y 2 Bµi 1( 2 ®iÓm). Cho biÓu thøc : P x y 1 y x y 1 x x 1 1 y 1.Rót gän P. 2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3. Bµi 2(2 ®iÓm). Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 1 1 1 1 1 x2 5 x 6 x 2 7 x 12 x 2 9 x 20 x 2 11 x 30 8 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 7
  8. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc: 21x M x2 2 Bµi 4 (3 ®iÓm). Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. Gäi E; F lÇn l•ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC. M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF. 1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF. 2.Chøng minh MAD c©n. 3.TÝnh diÖn tÝch MDC theo a. Bµi 5(1 ®iÓm). Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n : a + b + c = 3 . 2 3 Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 . 4 ĐỀ SỐ 10 C©u 1. (1,5®) Rót gän biÓu thøc : A = 1 + 1 + 1 + .+ 1 2.5 5.8 8.11 (3nn 2)(3 5) C©u 2. (1,5®) T×m c¸c sè a, b, c sao cho : §a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4) C©u 3 . (2®) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc 7 cã gi¸ trÞ nguyªn. xx2 1 C©u 4. Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 0. x .b, Gi¶i ph•¬ng tr×nh: x+1 +: 2x-1 +2x =3 C©u3 : Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch S. Gäi K,L,M,N lÇn l•ît lµ c¸c ®iÓm thuéc c¸c c¹nh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x. .a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸c ®iÓm K,L,M,N sao cho tø gi¸c MNKL cã diÖn tÝch mhá nhÊt. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 8
  9. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. .b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c MNKL lµ h×nh ch÷ nhËt. C©u 4: T×m d• cña phÐp chia ®a thøc x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1 ĐỀ SỐ 12 Bµi 1: (3®) 5 4 3 2 Cho ph©n thøc : M = x 2x 2x 4x 3x 6 x 2 2x 8 a) T×m tËp x¸c ®Þnh cña M b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 0 c) Rót gän M Bµi 2: (2®) a) T×m 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cña hai trong ba sè Êy ta ®•îc 242. b) T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B. A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n Bµi 3: (2®) a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc 1 1 1 M = 1 x xy 1 y yz 1 z zx b) Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c 1 1 1 1 1 1 Chøng minh r»ng: a b c b c a c a b a b c Bµi 4: (3®) Cho tam gi¸c ABC, ba ®•êng ph©n gi¸c AN, BM, CP c¾t nhau t¹i O. Ba c¹nh AB, BC, CA tØ lÖ víi 4,7,5 a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm AP BN CM c) Chøng minh . . 1 PB NC MA ĐỀ SỐ 13 C©u 1: ( 2,5 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a/. x2 – x – 6 (1 ®iÓm) b/. x3 – x2 – 14x + 24 (1,5 ®iÓm) C©u 2: ( 1 ®iÓm) T×m GTNN cña : x2 + x + 1 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 9
  10. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. C©u 3: ( 1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n Z. C©u 4: ( 1,5 ®iÓm) Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi : x = 1 a ; y = 1 b 1 aa2 1 bb2 C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: x 1 + x 2 + x 3 = 14 C©u 6: ( 2,5 ®iÓm) Trªn c¹nh AB ë phÝa trong h×nh vu«ng ABCD dùng tam gi¸c AFB c©n , ®Ønh F cã gãc ®¸y lµ 150 . Chøng minh tam gi¸c CFD lµ tam gi¸c ®Òu. ĐỀ SỐ 14 C©u 1 (2 ®iÓm): Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x2+4-3x. C©u 2 (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö. (x+y+z)3 –x3-y3-z3. C©u 3 (2 ®iÓm ) : a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2 +x+1 b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= h(h+1) (h+2) (h+3) C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu .a2+b2+c2=ab+bc+ac th× a=b=c C©u 5 (2 ®iÓm ) : Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm P sao cho ̂ ̂ Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC. PK vu«ng gãc víi CA. Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB. Chøng minh : DK=DM. ĐỀ SỐ 15 C©u 1: (2®) T×m hai sè biÕt a. HiÖu c¸c b×nh ph•¬ng cña 2 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp b»ng 36 b. HiÖu c¸c b×nh ph•¬ng cña 2 sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp b»ng 40 C©u 2: (1,5®) Sè nµo lín h¬n: 2 2006 2005 20062 20055 hay 2006 2005 20062 20052 C©u 3: (1,5 ®) Gi¶i ph•¬ng tr×nh x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 6 0 1000 999 998 997 996 995 C©u 4: (1®) Gi¶i bÊt ph•¬ng tr×nh ax – b> bx+a Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 10
  11. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. C©u 5: (2,5®) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®•êng th¼ng AK song song víi BC. Qua B vÏ ®•êng th¼ng BI song song víi AD. BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E. Chøng minh r»ng: a. EF song song víi AB b. AB2 = CD.EF C©u 6: (1,5®) Cho h×nh thang ABCD (AD//BC) cã hai ®•êng chÐo, c¾t nhau ë O . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diÖn tÝch tam gi¸c BOC lµ 169 cm2 vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOD lµ 196 cm2. ĐỀ SỐ 16 C©u 1(2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn. 2x32 x 2 x 5 A 21x C©u 2(2®): Gi¶i ph•¬ng tr×nh x2 - 3|x| - 4 = 0 C©u 3(2®): Trªn 3 c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC lÊy t•¬ng øng c¸c ®iÓm P, Q, R. Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AP; BQ; CR ®ång qui lµ: PB QC RA . . 1 PC QA RB C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2 C©u 5(2®): Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 3x2 + y2 ĐỀ SỐ 17 Bµi 1. Cho biÓu thøc: x 1 x 1 x2 4x 1 x 2006 A = ( ). x 1 x 1 x2 1 x a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh. b) Rót gän biÓu thøc A. c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: 2 x 1 x x a) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 1 2004 2005 2006 b) T×m a, b ®Ó: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + 1 Bµi 3. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 11
  12. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M kÎ c¸c ®•êng th¼ng song song víi hai ®•êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®•êng th¼ng nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn l•ît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J. a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung ®iÓm cña EF. b) Trong tr•êng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao cho EJ = JI = IF. Bµi 4. Cho a 4; ab 12. Chøng minh r»ng C = a + b 7 ĐỀ SỐ 18 C©u 1: 1 m n a. T×m sè m, n ®Ó: x(x 1) x 1 x b. Rót gän biÓu thøc: 1 1 1 1 M = a 2 5a 6 a 2 7a 12 a 2 9a 20 a 2 11a 30 C©u 2: a. T×m sè nguyªn d•¬ng n ®Ó n5 +1 chia hÕt cho n3 +1. b. Gi¶i bµi to¸n nÕn n lµ sè nguyªn. C©u 3: Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®•êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. VÏ ®•êng trung trùc HE vµ HF cña AC vµ BC. Chøng minh r»ng BG = 2HE vµ AG = 2HF. C©u 4: Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n: a = 1969 1971 ; b = 2 1970 ĐỀ SỐ 19 Bµi 1 (2,5®) Cho biÓu thøc x 2 6 1 10 x 2 : x 2 A = 3 x 4x 6 3x x 2 x 2 a. t×m tËp x¸c ®Þnh A: Rót gän A? b. T×m gi¸ trÞ cña x khi A = 2 c.Víi gi¸ trÞ cña x th× A < 0 d. timg gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn bµi 2 (2,5®) 4 3 a. Cho P = x x x 1 x 4 x 3 2x 2 x 1 Rót gän P vµ chøng tá P kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x b. Gi¶i ph•¬ng tr×nh Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 12
  13. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 1 1 1 1 1 x 2 5x 6 x 2 7x 12 x 2 9x 20 x 2 11x 30 8 Bµi 3 (1®) 27 12x T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x 2 9 Bµi 4 (3®) Cho ABC vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn l•ît lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB vµ AC a. CMR: E, A, H th¼ng hµng b. CMR: BEFC lµ h×nh thang, cã thÓ t×m vÞ trÝ cña H ®Ó BEFC trë thµnh mét h×nh thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt ®•îc kh«ng. c. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó tam gi¸c EHF cã diÖn tÝch lín nhÊt? Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d•¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1 CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) 8 ĐỀ SỐ 20 C©u I :(3®) a) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: A = x3 +8x2 + 19x +12 . B = x3 +6x2 +11x +6 . b) Rót gän ph©n thøc : A x3 8x 2 19x 12 . B x3 6x 2 11x 6 C©u II : (3®) . 1 ) Cho ph•¬ng tr×nh Èn x. x a x 2 2. x 2 x a a) Gi¶i ph•¬ng tr×nh víi a = 4. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho ph•¬ng tr×nh nhËn x = -1 lµm nghiÖm. 2 ) Gi¶i bÊt ph•¬ng tr×nh sau : 2x2 + 10x +19 > 0. C©u III (3®): Trong h×nh thoi ABCD ng•êi ta lÊy c¸c ®iÓm P vµ Q theo thø tù trªn AB vµ CD sao cho AP = 1/ 3 AB vµ CQ = 1/ 3 CD. Gäi I lµ giao ®iÓm cña PQ vµ AD , K lµ giao ®iÓm cña DP vµ BI , O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. a) Chøng minh AD = AI , cho biÕt nhËn xÐt vÒ tam gi¸c BID vµ vÞ trÝ cña K trªn IB. b) Cho Bvµ D cè ®Þnh t×m quü tÝch cña A vµ I. C©u IV : (1®) .T×m nghiÖm nguyªn d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh sau : yx2 +yx +y =1. ĐỀ SỐ 21 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 13
  14. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. I. §Ò bµi: 1 1 1 Bµi 1:(2 ®iÓm) Cho A = b2 c 2 - a 2 c 2 a 2 - b 2 a 2 b 2 - c 2 Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0. Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 1) (x+1)4 + (x+3)4 = 16 x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 2) 4 1006 1004 1002 1000 Bµi 3:(2 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè: 1 1 1 1 a = , n Z kh«ng ph¶i lµ mét sè nguyªn. 1.2 2.3 3.4 n.(n+1) + Bµi 4:(3 ®iÓm) Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn l•ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA. a) Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao? b) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng? c) Víi ®iÒu kiÖn c©u b), h·y tÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸c ABCD vµ MNPQ. === ĐỀ SỐ 22 Bµi 1 (3 ®iÓm) a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120 b. Chøng tá ®a thøc A chia hÕt cho 24 Bµi 2 ( 3 ®iÓm) x2 x 1 x2 x 2 7 a. T×m nghiÖm nguyªn tö cña ph•¬ng tr×nh: x2 x 2 x2 x 3 6 x2 b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B = víi x # 0 1 x4 x2 5x 6 Bµi 3 ( 1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: P = x3 3x2 3x 2 Bµi 4 ( 3 ®iÓm ) Cho Tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A. §iÓm M trªn c¹nh BC. Tõ M kÎ ME vu«ng gãc víi AB, kÎ MF vu«ng gãc víi AC ( E AB ; F AC ) a. Chøng minh: FC .BA + CA . B E = AB2 vµ chu vi tø gi¸c MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M. b. T©m vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 14
  15. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. c. Chøng tá ®•êng th¼ng ®i qua M vu«ng gãc víi EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh ĐỀ SỐ 23 Câu 1: (4đ) a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1  x4 + x2 + 1 Câu 2: (2đ) 1 1 1 Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và + + = 3 x y z 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức P = x 2 y 2 z 2 Câu 3: (3đ) Tìm x biết a, 3x 2 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z P = y z z x x y Bài 5: (6đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB. 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC Bài 6: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó. ĐỀ SỐ 24 Câu 1: (4điểm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 15
  16. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. x 2x 3y a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= y 2 x 6 1 1 1 3 b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c 0. Chứng minh : a3 b3 c3 abc Câu 2: (3điểm) x 2 y2 z 2 x 2 y2 z 2 a. Tìm x,y,x biết : 2 3 4 5 b.Giải phương trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9 Câu 3: (3điểm) a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a Z b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi x Z+ Câu 4: (2điểm) Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức : Câu 5: (6 điểm) cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H AH ' BH CH a)tính tổng : AA' BB' CC' Gọi AI là phân giác của tam giác ABC IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB(M AC;N AB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM 2 c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện gì thì biểu thức : (AB BC CA) AA'2 B'B 2 C'C 2 đạt giá trị nhỏ nhất Câu 6(2điểm) Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì (1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ. Hết . Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 16
  17. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 25 Bài 1: (5 điểm) 2 1 1 1 x 1 Cho biểu thức:A 3 1 2 2 1 : 3 x1 x x 2x 1 x x a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A 0? Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 17
  18. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y 2 z 2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b 2 c 2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. ĐỀ SỐ 27 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4 4 x 2 x 3 x 4 x 5 24 b. Giải phương trình: x42 30x 31x 30 0 a b c a2 b 2 c 2 c. Cho 1. Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b 2 x 2 1 10 x Câu2. Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME AB, MF AD. a. Chứng minh: DE CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 18
  19. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Câu 4. 1 1 1 a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c b. Cho a, b d•¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 ĐỀ SỐ 28 3 2 C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P= a 4a a 4 a3 7a 2 14a 8 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph•¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . C©u 3 : (2 ®iÓm) 1 1 1 1 a) Gi¶i ph•¬ng tr×nh : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : a b c A = 3 b c a a c b a b c C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l•ît t¹i D vµ E . Chøng minh : BC 2 a) BD.CE= 4 b) DM,EM lÇn l•ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi. C©u 5 : (1 ®iÓm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 19
  20. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d•¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi . ÑEÀ SOÁ 29 Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc: x a x 10 1 phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x43 3 x ax b chia heát cho ña thöùc B( x ) x2 3 x 4 Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng 1 1 1 1 P 1 22 3 2 4 4 100 2 ĐỀ SỐ 30 Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 . 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 20
  21. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 22 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 22 2009 x x 2010 x 2010 49 Bài 4: (3 điểm) 2010x 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . x12 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF . a) Chứng minh rằng: BDF BAC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. ĐỀ SỐ 31 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 21
  22. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB BC CA)2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA'2 BB'2 CC'2 ĐỀ SỐ 32 Bài 1 (4 điểm) 1 x3 1 x2 x : Cho biểu thức A = 2 3 với x khác -1 và 1. 1 x 1 x x x a, Rút gọn biểu thức A. 2 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 . 3 c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2 2 2 Cho ab bc ca 4.a 2 b 2 c 2 abacbc . Chứng minh rằng a b c. Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 2a3 3a2 4a 5. Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tích); SCOD= 2009 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. ĐỀ SỐ 33 C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 22
  23. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 4 3 2 b, B = n 3n 2n 6n 2 Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n2 2 c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph•¬ng. (n 2) C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng : a b c a, 1 biÕt abc=1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b2 c 2 c b a c, b2 c 2 a 2 b a c C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh sau: x 214 x 132 x 54 a, 6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d•¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®•êng chÐo.Qua 0 kÎ ®•êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. 1 1 2 b. Chøng minh: AB CD EF c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®•êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF. ĐỀ SỐ 34 x3 3 x x 4 C©u 1(4.0 ®iÓm) : Cho biÓu thøc A = x 1 x23 x 1 x 1 a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A lu«n d•¬ng víi mäi x ≠ - 1 C©u 2(4.0 ®iÓm): Gi¶i ph•¬ng tr×nh: a) x2 3 x 2 x 1 0 2 2 2 1 22 1 1 1 2 b) 8 x 4 x 22 4 x x x 4 x x x x C©u 3(3.0 ®iÓm) : Cho xy ≠ 0 vµ x + y = 1. xy22 xy Chøng minh r»ng: = 0 y3 1 x 3 1 x 2 y 2 3 C©u 4(3.0 ®iÓm): Chøng minh r»ng: Víi mäi x Q th× gi¸ trÞ cña ®a thøc : M = x 2 x 4 x 6 x 8 16 lµ b×nh ph•¬ng cña mét sè h÷u tØ. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 23
  24. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. C©u 5 (6.0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®•êng cao AH (H BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §•êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 4. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m AB. 5. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD 6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: . BC AH HC ĐỀ SỐ 35 x2 6 1 10 x 2 x 2 Bài 1: Cho biểu thức: M = 3 : x 4x 6 3x x 2 x 2 a. Rút gọn M b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt. Bài 2: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b. Cho các số x,y,z thỏa mãn đồng thời: x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 3 + y 3 + z 3 = 1. Tính tổng: S = x 2009 + y 2010 + z 2011 Bµi 3: a. Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 1 + 1 + 1 = 1 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 b. Gi¶i ph•¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn: x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1). Bài 4: Cho tam gi¸c ABC nhän cã c¸c ®•êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H. HD HE HF a. TÝnh tæng: AD BE CF b. Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 c. Chøng minh: H c¸ch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF. d. Trªn c¸c ®o¹n HB,HC lÊy c¸c ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN. Chøng minh ®•êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. ĐỀ SỐ 36 Bài 1: (3,5đ) a, Với giá trị nào của n thì n 5 n 6 6 n với n . b, CMR với thì: nn5 30 . c, Tìm số tự nhiên n để phân số n 13 tối giản. n 2 Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, 4a2 b 2 a 2 b 2 c 2 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 24
  25. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. b, x5 + x + 1 c, x 1 x 2 x 3 x 4 1 Bài 3: (3đ) Giải phương trình: a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 1 1 1 1 b, x2 4 x 3 x 2 8 x 15 x 2 12 x 35 9 c, xx 2 44 3 1 Bài 4: (3,5đ) a/ Tìm đa thức dư trong phép chia 1 + x + x19 + x20 + x2010 cho 1 – x2 b/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra 1 số táo còn lại và lấy thêm ra 4 quả. Cuối cùng 3 trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả? Bài 5: (4,5đ) Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng: a, AB.AE + AD.AF = AC2 b, FCE ABC. Bài 6: (2,5đ) Dựng hình thoi biết  = 300 và tổng hai đường chéo bằng 5cm. (Chỉ cần phân tích, nêu cách dựng và dựng hình). -The end- ĐỀ SỐ 37 Bµi 1 (4 ®iÓm) 1 x3 1 x2 x : Cho biÓu thøc A = 2 3 víi x kh¸c -1 vµ 1. 1 x 1 x x x a, Rót gän biÓu thøc A. 2 b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x 1 . 3 c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 0. Bµi 2 (3 ®iÓm) 2 2 2 2 2 2 Cho a b b c c a 4. a b c ab ac bc . Chøng minh r»ng a b c . Bµi 3 (3 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh. Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®•îc ph©n sè nghÞch ®¶o cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 25
  26. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bµi 4 (2 ®iÓm) 4 3 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a 2a 3a 4a 5. Bµi 5 (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 600, ph©n gi¸c BD. Gäi M,N,I theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD. a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh. b, Cho AB = 4cm. TÝnh c¸c c¹nh cña tø gi¸c AMNI. Bµi 6 (5 ®iÓm) H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai ®•êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §•êng th¼ng qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t c¸c c¹nh bªn AD, BC theo thø tù ë M vµ N. a, Chøng minh r»ng OM = ON. 1 1 2 b, Chøng minh r»ng . AB CD MN 2 2 c, BiÕt SAOB= 2008 (®¬n vÞ diÖn tÝch); SCOD= 2009 (®¬n vÞ diÖn tÝch). TÝnh SABCD. ĐỀ SỐ 38 Bµi 1. ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 66 a) Víi mäi a Z, nÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× ab chia hÕt cho 9 b) Với mọi n N thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Bµi 2. ( 2,0 ®iÓm) 1 1 1 1 a) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: x2 9 x 20 x 2 11 x 30 x 2 13 x 42 18 b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 y2009 z2009 32010 Bµi 3. ( 1,5 ®iÓm) Chứng minh rằng: 1 1 1 Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: abc abc th× ta có bất đẳng thức a b c 3 abc Bµi 4. ( 1,5 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2 Bµi 5. ( 3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh: a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN. ĐỀ SỐ 39 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 1. xx2 76 2. x42 2008 x 2007 x 2008 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 26
  27. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: 1. x2 3 x 2 x 1 0 2 2 2 1 22 1 1 1 2 2. 8 x 4 x 22 4 x x x 4 x x x x 1 1 1 Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè dư¬ng ,ta cã: (a+b+c)( ) 9 a b c 3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho ®a thøc xx2 10 21. Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m AB. 2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD 3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: . BC AH HC ĐỀ SỐ 40 ®Ò bµi: Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc: 2x 3 2 x 8 3 21 2 x 8 x2 P = 2 2 :1 2 4x 12 x 5132 x x 20214 x x 43 x a) Rót gän P 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x 2 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. d) T×m x ®Ó P > 0. Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh: 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3 x 4 x 4 3 x 3 148 xxxx 169 186 199 b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét ngưêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã. Bµi 4 (7 ®iÓm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®ưêng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 27
  28. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. PD 9 d) Gi¶ sö CP  BD vµ CP = 2,4 cm, . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt PB 16 ABCD. Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng: 1 1 2 1 x22 1 y 1 xy ĐỀ SỐ 41 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng xy2 xy 0 y3 1 x 3 1 x 2 y 2 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 42 Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – 7 Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: 4x 2 16 A x 2 2 x Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 28
  29. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bµi 3: Cho ph©n thøc: 5x 5 2x 2 2x a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh. b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1. x 2 1 2 Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2 x x(x 2) b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy. Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM. a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? ĐỀ SỐ 43 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 29
  30. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Chứng minh rằng: 4. AA'2 BB'2 CC'2 §Ò SỐ 44 C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. 4 3 2 b, B = n 3n 2n 6n 2 Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n2 2 c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph•¬ng. (n 2) C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng : a b c a, 1 biÕt abc=1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b2 c 2 c b a c, b2 c 2 a 2 b a c C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh sau: x 214 x 132 x 54 a, 6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d•¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®•êng chÐo.Qua 0 kÎ ®•êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. 1 1 2 b. Chøng minh: AB CD EF c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®•êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF. ĐỀ THI SỐ 45 Bµi 1: (1.5®) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2 – xz – 9y2 + 3yz. b) 4x4 + 4x3 – x2 - x. Bµi 2: (2.5®) Cho biÓu thøc. 2 3 6x P = ( x 3x + ): ( 1 - ) x 3 3x 2 9x 27 x 2 9 x 3 x 3 3x 2 9x 27 a) Rót gän P. b) Víi x > 0 th× P kh«ng nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo? Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 30
  31. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 3: (1.5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh. a) x3 – 3x2 + 4 = 0 1 1 1 1 31 b) 1 . 1 1 1 1.3 2.4 3.5 x(x 2) 16 Bµi 4: (1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh. Cho 3 sè a, b, c lµ 3 sè dư¬ng nhá h¬n 2. Chøng minh r»ng 3 sè a(2 - b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ ®ång thêi lín h¬n 1. Bµi 5: (3.5®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AC, tõ C vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O. Chøng minh r»ng: a) OA.OB = OC.OH b)Góc OHA cã sè ®o kh«ng ®æi. c) Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi. ĐỀ THI SỐ 46 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x22 2 x x 3 x A ():() 2 x x2 4 2 x 2 x 2 x 3 d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? e) Tìm giá trị của x để A > 0? f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 31
  32. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. x y z a b c x2 y 2 z 2 d) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b 2 c 2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. d) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? e) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK f) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. ĐỀ THI SỐ 47 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Chứng minh rằng: 4. AA'2 BB'2 CC'2 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 32
  33. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 48 Baøi 1: ( 3 ñieåm ) Rút gọn biểu thức x y3 x y y x A xy y22 x xy x y Baøi 2: ( 3 ñieåm ) Giải phương trình 33x x x 0 x 2 5 x x 2 x 5 Baøi 3: ( 3 ñieåm ) Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị là số nguyên x32 3 x 11 x 8 A x 5 Baøi 4: ( 3 ñieåm ) Số học sinh tiên tiến của hai khối 7 và 8 là 270 học sinh. Biết rằng 3 số học 4 sinh tiên tiến của khối 7 bằng 60% số học sinh tiên tiến của khối 8. Tính số học sinh tiên tiến của mỗi khối? Baøi 5: ( 4 ñieåm ) Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED. a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao? b/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật? c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi? Baøi 6: ( 4 ñieåm ) Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), AC  BD, BD=15(m). a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh BD2 =DE.DH. Từ đó tính độ dài DE. b/ Tính diện tích hình thang ABCD. ĐỀ SỐ 49 x2 6 1 10 x 2 x 2 Bài 1: Cho biểu thức M = 3 : x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn M 1 b)Tính giá trị của M khi x = 2 Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0. Bài 3: a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5 b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 33
  34. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. B = 3(x 1) x3 x2 x 1 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD . Với AB = a ; AD = b. Từ đỉnh A , kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G. a) Chứng minh: AE2 =EF.EG b) Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi. x 2 yz y 2 xz Bài 5. Chứng minh rằng nếu Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1. x(1 yz) y(1 xz) Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) ĐỀ SỐ 50 C©u 1 : (6 ®iÓm) 1 1 1 1 a) Gi¶i ph•¬ng tr×nh : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : a b c A = 3 b c a a c b a b c C©u 2 : (5 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph•¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m sè nguyªn n dÓ n5 + 1 chia hÕt cho n3 + 1 Câu 3. (3 điểm ) 1 1 1 a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c b. Cho a, b d•¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 Bµi 4 : ( 6 điểm ) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn AC. Tõ C vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi tia BM c¾t tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O. Chøng minh r»ng : a ) OA.OB = OC.OH b ) Gãc OHA cã sè ®o kh«ng ®æi c ) Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi. ĐỀ SỐ 51 Câu 1 (2,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 – 3x2 + 2x b) x2 + 4x - y2+ 4 c) x6 – y6 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 34
  35. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. d) a(b2 + c2) + b( c2 + a2) + c( a2 + b2) - 2abc - a3 - b3 - c3 Câu 2 (1,0 điểm ): Tìm x biết rằng: a) (x – 3)(2x + 5) + 4x2 = 25 b) 3(x2 – 2x + 5) – 3x(x – 10)= 0 Câu 3 (2,0 điểm): a) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x32 ax bx 2 chia cho đa thức Bx()= x+1 còn dư 5 và chia cho C(x) = x + 2 còn dư 8 b) Tìm đa thức dư cuối cùng của phép chia đa thức: f(x) = 1+ x2011+ x2012+ x2013+ x2014 cho đa thức g(x) = 1- x2 Câu 4 (1,0 điểm): bc ca ab 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức: M biÕt 0 (a,b,c 0) a 2 b2 c2 a b c Câu 5 (3,0 điểm): Cho hình thoi ABCD. Vẽ hình bình hành ACEF, cạnh CE có độ dài bằng cạnh của hình thoi đã cho. Gọi K là điểm đối xứng với E qua C ( K không trùng với D) a) Chứng minh rằng FK, BD, AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường b) Chứng minh rằng mỗi một trong bốn điểm B, D, E, F là trực tâm của tam giác có ba đỉnh là ba điểm còn lại. Câu 6 (1,0 điểm): a) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2011 y 2011 z 2011 3 2012 b) Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = 8. Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx ĐỀ SỐ 52 C©u I: (2 ®iÓm). 1 1 x 1 a) Rót gän biÓu thøc: A: 22 x x x 1 x 2x 1 b) X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a, b ®Ó ®a thøc f(x) = x3 ax b chia hÕt cho ®a thøc x2 x 6 C©u II: (2 ®iÓm). Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh sau: 15x 12 4 a) 1 x2 3x 4 x 4 x 1 b) x x 2 x 1 x 1 24 C©u III: (2 ®iÓm). 1 1 1 a) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c kh«ng vµ ®«i mét kh¸c nhau tháa m·n: 0. x y z yz xz xy TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A . x2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 35
  36. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. x2 2x 2012 b) Cho biÓu thøc M = víi x > 0 x2 T×m x ®Ó M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. C©u IV: (3 ®iÓm ). H×nh thang ABCD(AB // CD) cã hai ®•êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §•êng th¼ng qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t c¸c c¹nh bªn AD, BC theo thø tù t¹i M vµ N. a. Chøng minh r»ng: OM=ON. 1 1 2 b. Chøng minh r»ng: . AB CD MN 2 2 c. BiÕt: SAOB= 2011 (®¬n vÞ diÖn tÝch); SCOD= 2012 . TÝnh SABCD ? C©u V: (1 ®iÓm). Cho a , b lµ c¸c sè d•¬ng tháa m·n: a3 b 3 a 5 b 5 . Chøng minh r»ng: a22 b 1 ab ĐỀ SỐ 53 Bài 1 (2,0 điểm). x 2x 3y a) Cho: 3y - x = 6. Tính giá trị biểu thức: A= y 2 x 6 x 2 y2 z 2 x 2 y2 z 2 b) Tìm x, y, z biết : 2 3 4 5 Bài 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x432 + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 b) Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn: 2a+b 2b+c 2c+d 2d+a + + 6. Chứng minh A = abcd là số chính phương. a b b+ c c d d + a Bài 3 (2,0 điểm) 45 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn + 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu xy22 6 8 thức: Q = 2x22 + + 3y + xy22 Bài 4 (3,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. 1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF. 2.Chøng minh MAD c©n. 3.TÝnh diÖn tÝch MDC theo a. Bài 5 (1,0 điểm). Cho c¸c sè dương a, b, c cã tÝch b»ng 1 Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 ĐỀ SỐ 54 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 36
  37. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bài 1 : (4 điểm) 3yx 1, Cho x,y thoả mãn y x y 0 và x22 xy 2y . Tính A . x y 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.99 1 2, Tính : B 2 2 2 2 1. 1 1 2. 2 1 3. 3 1 99. 99 1 Bài 2 : (4 điểm) 1, Tìm a,b sao cho f x ax32 bx 10x 4chia hết cho đa thức g x x2 x 2 2,Tìm số nguyên a sao cho a44 là số nguyên tố Bài 3 : (3 điểm) xx5 Giải phương trình : 2 x22 4 x 4 x 4 Bài 4 : (4 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc ABC bằng 60 độ . Hai đường chéo cắt nhau tai O , E thuộc tia BC sao cho BE bằng ba phần tư BC , AE cắt CD tại F . Trên hai đoạn AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH . 3 1, Chưng minh rằng : BG. DH BC 2 4 2, Tính số đo góc GOH Bài 5 : (3 điểm) Cho tan giác ABC ba điểm M,N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB sao cho BM CNAP BM 1 & . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng BC CA2 AB BC tâm Bài 6 : (2 điểm) Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện x2 + y 2 +z 2 =1 .Chứng minh rằng : xyz3 3 3 1 y 2 z z 2 x x 2 y 3 ĐỀ SỐ 55 Bµi 1: 1) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a3 b 3 c 3 3abc 2) Cho a32 3ab 5 vµ b32 3a b 10 . TÝnh S = ab22 Bµi 2: 1) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: x8 2x 4 x 2 2x 2 0 2) Cã tån t¹i hay kh«ng sè nguyªn d•¬ng n sao cho n6 26 n 21 2011 23 1 3 3 1 2011 3 1 Bµi 3: Rót gän biÓu thøc A = 23 1 3 3 1 2011 3 1 Bµi 4: Cho ABC vu«ng t¹i A, cã AB 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c + d + e = 4. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 37
  38. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. a b c d a b c a b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P abcde L•u ý: Häc sinh kh«ng ®•îc sö dông bÊt k× lo¹i m¸y tÝnh bá tói nµo ĐỀ SỐ 56 Bài 1 : (8 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : a1) A = x2 – x – y2 – y a2) B = x2 – 5x + 6 b) Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương. c) Cho a = 11 1 ; b = 100 05. ncs1 n 1cs0 Chứng minh rằng : C = ab + 1 là một số chính phương. Bài 2 : (8 điểm) a) Cho xy = a ; yz = b ; zx = c (trong đó a, b, c khác 0) Tính : D = x2 + y2 + z2 b) Cho abc = 2. a b 2c Tính giá trị của biểu thức sau :E ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0. a2 b 2 c 2 Rút gọn biểu thức : F bc ca ab Bài 3 : (4 điểm) a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Chứng minh : SABM = SACM. b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H. HA ' HB' HC' Chứng minh rằng : 1 AA ' BB' CC' ĐỀ SỐ 57 ®Ò bµi : Bµi 1( 2,5®iÓm ): a) chøng minh r»ng nÕu : ab ( a+b+c+d)( a-b-c+d)= ( a-b+c-d)( a+b-c-d) th× : cd b) chøng minh r»ng : a2+b2+c2 ab + bc +ac víi mäi a;b;c dÊu b»ng s·y ra khi nµo xx2 44 Bµi 2( 2®iÓm ): Cho biÓu thøc A = x32 2 x 4 x 8 a) Rót gän A b) T×m x Z ®Ó A lµ sè nguyªn Bµi 3( 2,5®iÓm ): a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ; nhá nhÊt cña biÓu thøc : C = 43x x2 1 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 38
  39. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. b) Gi¶i ph•¬ng tr×nh : 315 x + 313 x + 311 x + 309 x + 4 = 0 101 103 105 107 Bµi 4( 3®iÓm ): Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A lÇn l•ît dùng trªn AB ;AC bªn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD t¹i D ;tam gi¸c vu«ng c©n ACE t¹i E a) Chøng minh c¸c ®iÓm E;A;D th¼ng hµng b) Gäi trung ®iÓm cña c¹nh BC lµ I chøng minh tam gi¸c DIE vu«ng TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c BDEC biÕt AB = 3cm ; AC = 4cm ĐỀ SỐ 58 C©u 1 ( 2,0 ®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh : x(x+2)(x2+2x+5) = 6 C©u 2 : ( 4,0 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = x8 – 31x7 + 31x6 – 31x5 +31x4 – 31x3 + 31x2 – 31x + 27 víi x = 30 b) Cho a - b = 4 tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B = a3 - 12ab - b3 C©u 3 : ( 2,0 ®iÓm) 32 Rót gän ph©n thøc : 2a 7 a 12 a 45 3a32 19 a 33 a 9 C©u 4 : ( 3,5 ®iÓm) Mét ng•êi ®i mét n÷a qu·ng ®•êng tö A ®Õn B víi vËn tèc 15km/h , vµ ®i phÇn cßn l¹i víi vËn tèc 30km/h . TÝnh vËn tèc trung b×nh cña ng•êi ®ã trªn toµn bé qu·ng ®•êng AB . C©u 5 : ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng : ab22 a) S víi S lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c cã ®é dµi hai c¹nh b»ng a , b . 4 C©u 6 :( 6,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c IKP c©n t¹i A cã KP = 4 cm , M lµ trung ®iÓm cña KP lÊy D, E thø tù thuéc c¸c c¹nh IK , IP sao cho DMEˆˆ K . a) Chøng minh r»ng tÝch KD . PE kh«ng ®æi . b) Chøng minh r»ng DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc KDE . c) TÝnh chu vi IED nÕu IKP lµ tam gi¸c ®Òu . Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 39
  40. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 59 52 Bµi 1. Cho biÓu thøc: A = xx x32 x x a) Rót gän biÓu thøc A b) T×m x ®Ó A - A 0 c) T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 2: a) Cho a > b > 0 vµ 2( a2 + b2) = 5ab TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = 3ab 2ab b) Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng a2 + 2bc > b2 + c2 Bµi 3: Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh: 21 x x x a) 1 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = 3 Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC; §iÓm P n»m trong tam gi¸c sao cho ABP ACP , kÎ PH AB, PK AC . Gäi D lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. Chøng minh. a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bµi 5: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, mét ®•êng th¼ng d c¾t c¸c c¹nh AB, AD t¹i M vµ K, AB AD AC c¾t ®•êng chÐo AC t¹i G. Chøng minh r»ng: AM AK AG ĐỀ SỐ 60 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 3. xx2 76 4. x42 2008 x 2007 x 2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 4. x2 3 x 2 x 1 0 2 2 2 1 22 1 1 1 2 5. 8 x 4 x 22 4 x x x 4 x x x x Bµi 3: (2®iÓm) 1. C¨n bËc hai cña 64 cã thÓ viÕt d•íi d¹ng nh• sau: 64 6 4 Hái cã tån t¹i hay kh«ng c¸c sè cã hai ch÷ sè cã thÓ viÕt c¨n bËc hai cña chóng d•íi d¹ng nh• trªn vµ lµ mét sè nguyªn? H·y chØ ra toµn bé c¸c sè ®ã. 2. T×m sè d• trong phÐp chia cña biÓu thøc x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho ®a thøc xx2 10 21. Bµi 4: (4 ®iÓm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 40
  41. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®•êng cao AH (H BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §•êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 4. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m AB. 5. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD 6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: . BC AH HC ĐỀ SỐ 61 Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 1 A : 2 2 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? Bài 2 (4 điểm): a) Giải phương trình : x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 y2009 z2009 32010 Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECB 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36 cm . Tính SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi. d) Kẻ DH BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ PD. Bài 5 (2 điểm): x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 (với x và y cùng dấu) y x x22 y x y b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 22 35 (với x 0, y 0) y x y x Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 41
  42. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 62 Bµi 1: (4 ®iÓm) a b c 0 4 4 4 1, Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 2 2 2 , tÝnh A a b c . a b c 2009 2, Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n x y z 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B xy yz zx. Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc f x x2 px q víi p Z,q Z . Chøng minh r»ng tån t¹i sè nguyªn k ®Ó f k f 2008 .f 2009 . Bµi 3: (4 ®iÓm) 1, T×m c¸c sè nguyªn d•¬ng x, y tho¶ m·n 3xy x 15y 44 0 . 2009 2, Cho sè tù nhiªn a2 9 , b lµ tæng c¸c ch÷ sè cña a, c lµ tæng c¸c ch÷ sè cña b, d lµ tæng c¸c ch÷ sè cña c. TÝnh d. Bµi 4: (3 ®iÓm) 2x m x 1 Cho ph•¬ng tr×nh 3 , t×m m ®Ó ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm d•¬ng. x 2 x 2 Bµi 5: (3 ®iÓm) Cho h×nh thoi ABCD cã c¹nh b»ng ®•êng chÐo AC, trªn tia ®èi cña tia AD lÊy ®iÓm E, ®•êng th¼ng EB c¾t ®•êng th¼ng DC t¹i F, CE c¾t µ t¹i O. Chøng minh AEC ®ång d¹ng CAF , tÝnh EOF . Bµi 6: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c trong ®Ønh A c¾t BC t¹i D, trªn c¸c ®o¹n th¼ng DB, DC lÇn l•ît lÊy c¸c ®iÓm E vµ F sao cho EAD FAD . Chøng minh r»ng: BE BF AB2 . CE CF AC2 Bµi 7: (2 ®iÓm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 42
  43. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Trªn b¶ng cã c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 2008, ng•êi ta lµm nh• sau lÊy ra hai sè bÊt kú vµ thay b»ng hiÖu cña chóng, cø lµm nh• vËy ®Õn khi cßn mét sè trªn b¶ng th× dõng l¹i. Cã thÓ lµm ®Ó trªn b¶ng chØ cßn l¹i sè 1 ®•îc kh«ng? Gi¶i thÝch. ĐỀ SỐ 63 C©u 1(5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó : a. A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. 4 3 2 b. B= n 3n 2n 6n 2 cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn . n2 2 c. D=n5-n+2 lµ sè chÝnh ph•¬ng . (n 2) C©u 2: (5 ®iÓm) Chøng minh r»ng : a b c a) 1 biÕt abc=1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b) Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b2 c 2 c b a c) b2 c 2 a 2 b a c C©u 3: (5 ®iÓm) gi¶I c¸c ph•¬ng tr×nh sau: x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,y nguyªn d•¬ng. c©u 4: (5 ®iÓm).Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) ,O lµ giao ®iÓm hai ®•êng chÐo. Qua O kÎ ®•êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E ,c¸t BC t¹i F. a) chøng minh r»ng : diÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. 1 1 2 b) Chøng minh : AB CD EF c) Gäi K lµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE.Nªu c¸ch dùng d•êng th¼ng ®I qua K vµ chia ®«I diÖn tÝch tam gi¸c DEF. ĐỀ SỐ 64 Bµi 1: (1 ®) Cho biÕt a-b=7 tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bµi 2: (1 ®) Chøng minh r»ng biÓu rhø sau lu«n lu«n d•¬ng (hoÆc ©m) víi mét gi¸ trÞ cña chö ®· cho : -a2+a-3 Bµi 3: (1 ®) Chøng minh r»ng nÕu mét tø gi¸c cã t©m ®èi xøng th× tø gi¸c ®ã lµ h×nh b×nh hµnh. Bµi 4: (2 ®) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 43
  44. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: 2 4x 2 8x 5 Bµi 5: (2 ®) Chøng minh r»ng c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 2p+1 trong ®ã p lµ sè nguyªn tè , chØ cã mét sè lµ lËp ph•¬ng cña mét sè tù nhiªn kh¸c.T×m sè ®ã. Bµi 6: (2 ®) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín AD , ®•êng chÐo AC vu«ng gãc víi c¹nh bªn CD, BAC CAD .TÝnh AD nÕu chu vi cña h×nh thang b»ng 20 cm vµ gãc D b»ng 600. Bµi 7: (2 ®) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bµi 8: (3 ®) T×m sè d• trong phÐp chia cña biÓu thøc : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bµi 9: (3 ®) Cho biÓu thøc : 1 2x 2x C= : 1 x 1 x3 x x 2 1 x 2 1 a) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi x ®Ó biÓu thøc C ®•îc X¸c ®Þnh. b) Rót gän C. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc C ®•îc x¸c ®Þnh. Bµi 10 (3 ®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC>AB) , ®•êng cao AH. Trªn tia HC lÊy HD =HA, ®•êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. a) chøng minh AE=AB b) Gäi M trung ®iÓm cña BE . TÝnh gãc AHM. ĐỀ SÔ 65 Câu 1: (4 điểm). 2 2 xx 1 1 Cho biểu thức: Ax . 1 : 3x x 1 3 x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên Câu 2: (4 điểm). 3 2 2 a) Chứng minh rằng A = n( n 7) 36 n 7 với  nZ. b) Cho P = n4 + 4. T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n ®Ó P lµ sè nguyªn tè. Câu 3: (4 điểm). 1 1 1 1 a) Giải phương trình : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 44
  45. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. a b c A = 3 b c a a c b a b c Câu 4: (6 điểm). Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA2 = AC.BD b) Chứng minh tam giác AMB vuông c) Gọi N là giao điểm của BC và AD . Chứng minh MN//AC Câu 5: (2 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 . b c c a a b ĐỀ SỐ 66 Câu 1. (4,0 điểm) 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x42 2013 x 2012 x 2013. x22 2 x 2 x 1 2 2. Rút gọn biểu thức sau: A1 2 2 3 2 . 2x 8 8 4 x 2 x x x x Câu 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình sau: (2x2 x 2013) 2 4( x 2 5 x 2012) 2 4(2 x 2 x 2013)( x 2 5 x 2012) 3 2 3 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 2x 3x 2 y . Câu 3. (4,0 điểm) 1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư. 2. Chứng minh rằng: abcbca()( )()(2 cababc )()( 2 bacacb ) 2 Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. 1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF. 1 1 1 3. Chứng minh rằng: =+. AD2 AM 2 AN 2 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 45
  46. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Câu 5. (2,0 điểm) Cho abc,, là ba số dương thoả mãn abc 1. Chứng minh rằng : 1 1 1 3 . a3( b c ) b 3 ( c a ) c 3 ( a b ) 2 ĐỀ SỐ 67 Câu 1: (4 điểm). 2 2 xx 1 1 Cho biểu thức: Ax . 1 : 3x x 1 3 x x c) Rút gọn biểu thức A d) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên Câu 2: (4 điểm). 3 2 2 c) Chứng minh rằng A = n( n 7) 36 n 7 với  nZ. d) Cho P = n4 + 4. T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n ®Ó P lµ sè nguyªn tè. Câu 3: (4 điểm). 1 1 1 1 a) Giải phương trình : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c A = 3 b c a a c b a b c Câu 4: (6 điểm). Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA2 = AC.BD b) Chứng minh tam giác AMB vuông c) Gọi N là giao điểm của BC và AD . Chứng minh MN//AC Câu 5: (2 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 . b c c a a b ĐỀ SỐ 68 C©u 1:(3 ®iÓm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 46
  47. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. a) Cho biÓu thøc A 2ab2 2 2bc 2 2 2ac 2 2 a 4 b 4 c 4 . Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c th× A >0. 5 b) Chøng minh r»ng a a 30 ( aZ ) . C©u 2:(2 ®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh x2 2xy y 2 3x 2y1 4 2x x 2 3x 2 . C©u 3(1,5 ®iÓm) Cho a33 b 2 . Chøng minh r»ng a b 2 . C©u 4:(1,5 ®iÓm) Cho h×nh thang ABCD (AB // CD), hai ®•êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. Mét ®•êng th¼ng d qua O song song víi 2 ®¸y c¾t 2 c¹nh bªn AD, BC lÇn l•ît t¹i E vµ F. 1 1 2 Chøng minh r»ng . AB CD EF C©u 5 (2 ®iÓm) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. C¸c ®iÓm M, N theo thø tù thuéc c¸c c¹nh AB, BC sao cho AN=CM. Gäi K lµ giao ®iÓm cña AN vµ CM. Chøng minh r»ng KD lµ tia ph©n gi¸c cña AKC . ĐỀ SỐ 69 C©u 1 ( 2,0 ®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh : x(x+2)(x2+2x+5) = 6 C©u 2 : ( 4,0 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = x8 – 31x7 + 31x6 – 31x5 +31x4 – 31x3 + 31x2 – 31x + 27 víi x = 30 b) Cho a - b = 4 tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B = a3 – 12ab - b3 C©u 3 : ( 2,0 ®iÓm) 32 Rót gän ph©n thøc : 2a 7 a 12 a 45 3a32 19 a 33 a 9 C©u 4 : ( 3,5 ®iÓm) Mét ng•êi ®i mét n÷a qu·ng ®•êng tö A ®Õn B víi vËn tèc 15km/h , vµ ®i phÇn cßn l¹i víi vËn tèc 30km/h . TÝnh vËn tèc trung b×nh cña ng•êi ®ã trªn toµn bé qu·ng ®•êng AB . C©u 5 : ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng : Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 47
  48. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ab22 a) S víi S lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c cã ®é dµi hai c¹nh b»ng a , b . 4 C©u 6 :( 6,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c IKP c©n t¹i A cã KP = 4 cm , M lµ trung ®iÓm cña KP lÊy D, E thø tù thuéc c¸c c¹nh IK , IP sao cho DMEˆˆ K . a) Chøng minh r»ng tÝch KD . PE kh«ng ®æi . b) Chøng minh r»ng DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc KDE . c) TÝnh chu vi IED nÕu IKP lµ tam gi¸c ®Òu . ĐỀ SỐ 70 Câu 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) xx2 2014 2013 2) x( x 2)( x2 2 x 2) 1 Câu 2 (4 điểm) 1 2a 3 b 7 3 a 1) Tìm ab, biết 15 23 7a 20 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x22 2 y 2 xy 2 x 4 y 2013 Câu 3 (4 điểm) 2014 1) Cho a1, a 2 , a 2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 2013 . 3 3 3 Chứng minh rằng: B a1 a 2 a 2013 chia hết cho 3. 2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 23a22 a b b. Chứng minh rằng: ab và 3ab 3 1 là các số chính phương. Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại N. 1) Gọi O là trung điểm của AI. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng. 2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H, K, D. Chứng minh rằng MH + NK = AD. 3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 48
  49. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Câu 5 (2 điểm) Cho a b c d và x ( abcdy )( ), ( acbdz )( ), ( adbc )( ). Sắp xếp theo thứ tự giảm dần của x,, y z . ĐỀ SỐ 71 Bài 1: (3d) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 a b c 0 b) Cho a,b,c thoả mãn: 2 2 2 a b c 2009 Tính A = a4 + b4 + c4 Bài 2: (3đ) a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz 21x m x b) Cho Phương trình: 3 . Tìm m để phương trình có nghiệm dương. xx 22 1 1 1 c) Cho a,b,c có tổng bằng 1 (a,b,c > 0). Chứng minh rằng : 9 a b c Bài 3(2đ) Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn DB, DC lần lượt BE. BF AB2 lấy điểm E và F sao cho EAD FAD . Chứng minh rằng . CE. CF AC 2 Bài 4(2đ) Cho tam giác ABC, các điểm D và M di động trên AB sao cho AD = BM. Qua M vẽ các đường thẳng song song BC cắt AC lần lượt tại E và N. Chứng minh rằng : tổng DE + MN không đổi. ĐỀ SỐ 72 Câu 1. (3 điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a, x4 4 b, x 2 x 3 x 4 x 5 24 a b c a2 b 2 c 2 2. Cho 1. Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b Câu 2: (2 điểm) 1. Tìm a,b sao cho f x ax32 bx 10x 4chia hết cho đa thức g x x2 x 2 2. Tìm số nguyên a sao cho a44 là số nguyên tố Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 49
  50. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Câu 3.( 3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF AD. a. Chứng minh: DE = CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4.(1,5 điểm) Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 ĐỀ SỐ 73 Câu 1(6điểm) 1. Giải phương trình sau: a. (2x2 x 2013) 2 4( x 2 5 x 2012) 2 4(2 x 2 x 2013)( x 2 5 x 2012) b. x 1 x 3 4 2. Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 + y2 + z2 xy + xz + yz với mọi x , y ,z Câu 2 (5điểm) 1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư. 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x2 – xy = 6x – 5y – 8 Câu 3 (2điểm) Cho a , b >0 và a + b =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = (1 + 1 )2 + ( 1 + 1 )2 a b Câu 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) , đường cao AH (H BC) . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E . 1. Chứng minh rằng BEC đồng dạng ADC .Tính độ dài đoạn BE theo m = AB 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE . Chứng minh rằng BHM đồng dạng BEC . Tính số đo của góc AHM. GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G . Chứng minh : BC AH HC ĐỀ SỐ 74 C©u 1 ( 4®) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 50
  51. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. x 1 10 5 Cho biÓu thøc: P x 3 x2 x 6 2 x a/ Rót gän P b/ T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ t•¬ng øng cña P nguyªn c/ T×n x ®Ó P > 2 C©u 2 ( 4®) a/ Cho c¸c sè x , y, z tho¶ m·n §K x+y+z=1 vµ x3+y3+z3=1 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc .A = x2007+y2007+z2007 b/ T×m ®a thøc f(x), biÕt r»ng f(x) chia cho (x-3) d• 2, f(x) chia cho (x+4) d• 9 cßn f(x) chia cho x2+x-12 ®•îc th•¬ng lµ x2+3 vµ cßn d• C©u 3 (4®) a/ Chøng minh r»ng sè B sau lµ sè chÝnh ph•¬ng B=11 122 25( cã n ch÷ sè 1; n+1 ch÷ sè 2) b/ T×m sè nguyªn x ®Ó sè : x2+x+5 lµ sè chÝnh ph•¬ng C©u 4 ( 6®) Cho tam gi¸c ABC ®Òu, trùc t©m H, ®•êng cao AD. M lµ ®iÓm bÊt kú thuéc c¹nh BC ( M kh¸c B, C,D) . KÎ ME, MF lÇn l•ît vu«ng gãc víi AB, AC ( E thuéc AB, F thuéc AC) . Gäi I lµ trung ®iÓm cña AM. a/ CMR: tæng ME +MF kh«ng ®æi b/ Tø gi¸c DEIF lµ h×nh g× ? v× sao? c/Chøng minh c¸c ®•êng th¼ng MH, ID , EF ®ång quy C©u 5 ( 2®) Chøng ming r»ng kh«ng tån t¹i ®a thøc f(x) víi hÖ sè nguyªn tho¶ m·n f(1)=19 vµ f(19)= 85 ĐỀ SỐ 75 Câu 1: (4,0 điểm) x 1 1 2x 1 x Cho biểu thức: P 1 : . 3x 2 3x 6x 2 3x 2x a. Rút gọn biểu thức P. b. Tìm x Z để P có giá trị nguyên. c. Tìm x để P 1. Câu 2: (5,0 điểm) 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 b3 c3 3abc. 2. Giải phương trình: 6x4 11x3 3x2 11x 6x2 3 0. 4x 5 2x 2 x x 1 3x 3. Giải bất phương trình: 4. 3 2 3 Câu 3: (4,0 điểm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 51
  52. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 1. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn 5x22 2 xy y 4 x 40 0 . 2 2. Với mỗi số tự nhiên n, đặt an = 3n + 6n + 13. a. Chứng minh rằng nếu hai số ai, aj không chia hết cho 5 và có số dư khác nhau khi chia cho 5 thì ai + aj chia hết cho 5. b. Tìm tất cả các số tự nhiên n lẻ sao cho an là số chính phương. Câu 4: (6,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, BC, DE. a. Tứ giác MINK là hình gì? Vì sao? b. Chứng minh rằng IK vuông góc với tia phân giác At của góc A. 2. Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M trên cạnh AB vẽ hai đường thẳng song song với hai cạnh AC, BC, chúng lần lượt cắt BC, AC tại D và E. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để độ dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: (1,0 điểm) Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi, thỏa mãn điều kiện xy2z2 + x2z + y = 3z2. z 4 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . 1 z 4 x 4 y 4 ĐỀ SỐ 76 Bài 1. (4 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức A = x4 – 17x3 + 17x2 – 17x + 20 tại x = 16. b) Cho x + y = a và xy = b. Tính giá trị của biểu thức sau theo a và b : B = x2 + y2. Bài 2. (4 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 4 – x2 + 2x. b) Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba số ấy bằng 242. Bài 3. (4 điểm) a) Tìm x, biết: 4(x + 1)2 + (2x – 1)2 – 8(x – 1)(x + 1) = 11. x y y z b) Tìm x, y, z biết : ; và x + y + z = 195. 3 2 5 7 Bài 4. (4 điểm) Tứ giác ABCD có Bˆ Dˆ = 1800 và CB = CD. Chứng minh AC là tia phân giác của góc A. Bài 5. (4 điểm) Một tam giác có đường cao và đường trung tuyến chia góc ở đỉnh thành ba phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác đó. ĐỀ SỐ 77 Bµi 1 (3 ®iÓm)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 52
  53. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 1 4 1 4 1 4 1 1+ 3 5 29 4 4 4 4 A= 41 4 1 4 1 4 1 2 + 4 6 30 4 4 4 4 Bµi 2 (4 ®iÓm) a/Víi mäi sè a, b, c kh«ng ®ång thêi b»ng nhau, h·y chøng minh a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc 0 b/ Cho a + b + c = 2009. chøng minh r»ng a3 + b 3 + c 3 - 3abc = 2009 a2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc Bµi 3 (4 ®iÓm). Cho a 0, b 0 ; a vµ b th¶o m·n 2a + 3b 6 vµ 2a + b 4. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a2 – 2a – b Bµi 4 (3 ®iÓm). Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh Mét « t« ®i tõ A ®Õn B . Cïng mét lóc « t« thø hai ®i tõ B ®Õn A v¬Ý vËn tèc b»ng 2 3 vËn tèc cña « t« thø nhÊt . Sau 5 giê chóng gÆp nhau. Hái mçi « t« ®i c¶ qu·ng ®•êng AB th× mÊt bao l©u? Bµi 5 (6 ®iÓm). Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, c¸c ®iÓm M, N thø tù lµ trung ®iÓm cña BC vµ AC. C¸c ®•êng trung trùc cña BC vµ AC c¾t nhau t¹i O . Qua A kÎ ®•êng th¼ng song song víi OM, qua B kÎ ®•êng th¼ng song song víi ON, chóng c¾t nhau t¹i H a) Nèi MN, AHB ®ång d¹ng víi tam gi¸c nµo ? b) Gäi G lµ träng t©m ABC , chøng minh AHG ®ång d¹ng víi MOG ? c) Chøng minh ba ®iÓm M , O , G th¼ng hµng ? ĐỀ SỐ 78 a) Rót gän biÓu thøc A b) T×m x ®Ó A - A 0 c) T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 2: a) Cho a > b > 0 vµ 2( a2 + b2) = 5ab TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = 3ab 2ab b) Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng a2 + 2bc > b2 + c2 Bµi 3: Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh: 21 x x x a) 1 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = 3 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 53
  54. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC; §iÓm P n»m trong tam gi¸c sao cho ABP ACP , kÎ PH AB, PK AC . Gäi D lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. Chøng minh. a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bµi 5: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, mét ®•êng th¼ng d c¾t c¸c c¹nh AB, AD t¹i M vµ K, AB AD AC c¾t ®•êng chÐo AC t¹i G. Chøng minh r»ng: AM AK AG ĐỀ SỐ 79 Bài 1Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 5. xx2 76 6. x42 2008 x 2007 x 2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 6. x2 3 x 2 x 1 0 2 2 2 1 22 1 1 1 2 7. 8 x 4 x 22 4 x x x 4 x x x x Bµi 3: (2®iÓm) 3. C¨n bËc hai cña 64 cã thÓ viÕt d•íi d¹ng nh• sau: 64 6 4 Hái cã tån t¹i hay kh«ng c¸c sè cã hai ch÷ sè cã thÓ viÕt c¨n bËc hai cña chóng d•íi d¹ng nh• trªn vµ lµ mét sè nguyªn? H·y chØ ra toµn bé c¸c sè ®ã. 4. T×m sè d• trong phÐp chia cña biÓu thøc x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho ®a thøc xx2 10 21. Bµi 4: (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®•êng cao AH (H BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §•êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 7. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m AB. 8. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD 9. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: . BC AH HC ĐỀ SỐ 80 Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 54
  55. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 4xy 1 1 A : 2 2 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? Bài 2 (4 điểm): a) Giải phương trình : x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 y2009 z2009 32010 Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECB 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36 cm . Tính SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi. d) Kẻ DH BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ PD. Bài 5 (2 điểm): x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 (với x và y cùng dấu) y x x22 y x y b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 22 35 (với x 0, y 0) y x y x ĐỀ SỐ 81 Bµi 1: (4 ®iÓm) a b c 0 4 4 4 1, Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 2 2 2 , tÝnh A a b c . a b c 2009 2, Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n x y z 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B xy yz zx. Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc f x x2 px q víi p Z,q Z . Chøng minh r»ng tån t¹i sè nguyªn k ®Ó f k f 2008 .f 2009 . Bµi 3: (4 ®iÓm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 55
  56. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 1, T×m c¸c sè nguyªn d•¬ng x, y tho¶ m·n 3xy x 15y 44 0 . 2009 2, Cho sè tù nhiªn a2 9 , b lµ tæng c¸c ch÷ sè cña a, c lµ tæng c¸c ch÷ sè cña b, d lµ tæng c¸c ch÷ sè cña c. TÝnh d. Bµi 4: (3 ®iÓm) 2x m x 1 Cho ph•¬ng tr×nh 3 , t×m m ®Ó ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm d•¬ng. x 2 x 2 Bµi 5: (3 ®iÓm) Cho h×nh thoi ABCD cã c¹nh b»ng ®•êng chÐo AC, trªn tia ®èi cña tia AD lÊy ®iÓm E, ®•êng th¼ng EB c¾t ®•êng th¼ng DC t¹i F, CE c¾t µ t¹i O. Chøng minh AEC ®ång d¹ng CAF , tÝnh EOF . Bµi 6: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c trong ®Ønh A c¾t BC t¹i D, trªn c¸c ®o¹n th¼ng DB, DC lÇn l•ît lÊy c¸c ®iÓm E vµ F sao cho EAD FAD . Chøng minh r»ng: BE BF AB2 . CE CF AC2 Bµi 7: (2 ®iÓm) Trªn b¶ng cã c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 2008, ng•êi ta lµm nh• sau lÊy ra hai sè bÊt kú vµ thay b»ng hiÖu cña chóng, cø lµm nh• vËy ®Õn khi cßn mét sè trªn b¶ng th× dõng l¹i. Cã thÓ lµm ®Ó trªn b¶ng chØ cßn l¹i sè 1 ®•îc kh«ng? Gi¶i thÝch. ĐỀ SỐ 82 C©u 1(5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó : a. A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. 4 3 2 b. B= n 3n 2n 6n 2 cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn . n2 2 c. D=n5-n+2 lµ sè chÝnh ph•¬ng . (n 2) C©u 2: (5 ®iÓm) Chøng minh r»ng : a b c a) 1 biÕt abc=1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b) Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b2 c 2 c b a c) b2 c 2 a 2 b a c C©u 3: (5 ®iÓm) gi¶I c¸c ph•¬ng tr×nh sau: Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 56
  57. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,y nguyªn d•¬ng. c©u 4: (5 ®iÓm).Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) ,O lµ giao ®iÓm hai ®•êng chÐo. Qua O kÎ ®•êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E ,c¸t BC t¹i F. d) chøng minh r»ng : diÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. 1 1 2 e) Chøng minh : AB CD EF f) Gäi K lµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE.Nªu c¸ch dùng d•êng th¼ng ®I qua K vµ chia ®«I diÖn tÝch tam gi¸c DEF. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 57
  58. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 83 Bµi 1: (1 ®) Cho biÕt a-b=7 tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bµi 2: (1 ®) Chøng minh r»ng biÓu rhø sau lu«n lu«n d•¬ng (hoÆc ©m) víi mét gi¸ trÞ cña chö ®· cho : -a2+a-3 Bµi 3: (1 ®) Chøng minh r»ng nÕu mét tø gi¸c cã t©m ®èi xøng th× tø gi¸c ®ã lµ h×nh b×nh hµnh. Bµi 4: (2 ®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: 2 4x 2 8x 5 Bµi 5: (2 ®) Chøng minh r»ng c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 2p+1 trong ®ã p lµ sè nguyªn tè , chØ cã mét sè lµ lËp ph•¬ng cña mét sè tù nhiªn kh¸c.T×m sè ®ã. Bµi 6: (2 ®) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín AD , ®•êng chÐo AC vu«ng gãc víi c¹nh bªn CD, BAC CAD .TÝnh AD nÕu chu vi cña h×nh thang b»ng 20 cm vµ gãc D b»ng 600. Bµi 7: (2 ®) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: c) a3m+2a2m+am d) x8+x4+1 Bµi 8: (3 ®) T×m sè d• trong phÐp chia cña biÓu thøc : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bµi 9: (3 ®) Cho biÓu thøc : 1 2x 2x C= : 1 x 1 x3 x x 2 1 x 2 1 d) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi x ®Ó biÓu thøc C ®•îc X¸c ®Þnh. e) Rót gän C. f) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc C ®•îc x¸c ®Þnh. Bµi 10 (3 ®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC>AB) , ®•êng cao AH. Trªn tia HC lÊy HD =HA, ®•êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. c) chøng minh AE=AB d) Gäi M trung ®iÓm cña BE . TÝnh gãc AHM. ĐỀ SỐ 84 Bài 1: ( 4 điểm ) Số N có dạng px q y r z ( p,q,r là các số nguyên tố. x,y,z là các số nguyên dương ) và pq-r NNN =3; pr-q = 9. Biết các số ;; tương ứng có ít ước số hơn ước số của N là 20;12 và p q r 15. Tìm N ? Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 58
  59. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bài 2 : ( 3 điểm ) a, Cho các số a,b,c thoả mãn b 0, abcc ,2 2 acbcab . 2 a2 a c ac Chứng minh rằng b2 b c 2 bc b, Cho đa thức P x x4 x 3 x 2 ax b và Q x x2 x 2 . Tìm a và b để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). Bài 3 : ( 4 điểm ) a, Giải phương trình x 1 x 5 x 3 x 7 297 xx3 b, Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho xy 1 là số nguyên dương. Bài 4 :(4 điểm ) Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng : a b b c c d d a 0 b c c d d a a b Bài 5 ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A có AB=AC=a ; BC=c . Đường phân giác trong BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC . chứng minh 11 b rằng . ba ab 2 ĐỀ SỐ 85 Câu 1 (5 điểm ) Phân tích đa thức thành nhân tử a) - +8x-4 b)x -y Câu 2 (5 điểm ) a) Cho + + =1 và + + =0 Chứng minh + + =1 b) Giải phương trình - +31x-30=0 Câu 3 (5 điểm ) a) Cho đa thức A= + + -2 -2 -2 Chứng minh rằng nếu a,b,c lá số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thì A<0 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B= Câu 4 (5 điểm ) 1) Cho tam giác ABC có AB=c,AC=b,BC=a thoả mãn a<b<c.Một đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC. Hãy xác định vị trí của đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác ABC đến đường thẳng d là lớn nhất? 2) Cho tam giác ABC có AH là đường cao. Biết AH=6cm , AH chia góc BAC theo tỉ lệ Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 59
  60. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 1:2 và điểm H chia cạnh BC thành hai đoạn mà đoạn nhỏ bằng 3 cm. Tính diện tích của tam giác ABC Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 60
  61. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 86 22 Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức: 2 x 4 x 2 x x 3 x A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2 x x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A tại các giá trị của x thỏa mãn: |x - 7| = 5. m 3 5 3m mx 3 Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình ẩn x (m là tham số): x 1 x 2 x 2 x 2 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) vô nghiệm. Câu 3 (2,0 điểm). 2 a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 y 2 1 – 5 x 2 – 4 y 2 – 5 0 . b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 6. Tìm giá trị lớn nhất của ab bc ca biểu thức: P a 3 b 2 c b 3 c 2a c 3 a 2 b Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình vuông ABCD, E là điểm bất kì trên cạnh BC. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt đường thẳng CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng: a) Tứ giác EGFK là hình thoi. b) AE2=FK.FC CE c) Tính tỉ số khi tam giác CEK có diện tích lớn nhất. CB Câu 5 (1,0 điểm). Ba số nguyên dương được gọi là đồng dạng nếu hoặc chúng có ước chung từng đôi một khác 1, hoặc chúng nguyên tố cùng nhau từng đôi một. Chứng minh rằng với 6 số nguyên dương tùy ý luôn tồn tại ít nhất một bộ ba số đồng dạng. ĐỀ SỐ 87 Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc: 2x 3 2 x 8 3 21 2 x 8 x2 P = 2 2 :1 2 4x 12 x 5132 x x 20214 x x 43 x a) Rót gän P 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x 2 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 61
  62. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. d) T×m x ®Ó P > 0. Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3 x 4 x 4 3 x 3 148 xxxx 169 186 199 10 b) 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh: Mét ng•êi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ng•êi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ng•êi ®ã. Bµi 4 (7 ®iÓm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®•êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P. a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn l•ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. PD 9 d) Gi¶ sö CP  BD vµ CP = 2,4 cm, . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt PB 16 ABCD. Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng: 1 1 2 1 x22 1 y 1 xy ĐỀ SỐ 88 Bµi 1: (4 ®iÓm) a b c 0 4 4 4 1, Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 2 2 2 , tÝnh A a b c . a b c 2009 2, Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n x y z 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B xy yz zx. Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc f x x2 px q víi p Z,q Z . Chøng minh r»ng tån t¹i sè nguyªn k ®Ó f k f 2008 .f 2009 . Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 62
  63. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bµi 3: (4 ®iÓm) 1, T×m c¸c sè nguyªn d•¬ng x, y tho¶ m·n 3xy x 15y 44 0 . 2009 2, Cho sè tù nhiªn a2 9 , b lµ tæng c¸c ch÷ sè cña a, c lµ tæng c¸c ch÷ sè cña b, d lµ tæng c¸c ch÷ sè cña c. TÝnh d. Bµi 4: (3 ®iÓm) 2x m x 1 Cho ph•¬ng tr×nh 3 , t×m m ®Ó ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm d•¬ng. x 2 x 2 Bµi 5: (3 ®iÓm) Cho h×nh thoi ABCD cã c¹nh b»ng ®•êng chÐo AC, trªn tia ®èi cña tia AD lÊy ®iÓm E, ®•êng th¼ng EB c¾t ®•êng th¼ng DC t¹i F, CE c¾t µ t¹i O. Chøng minh AEC ®ång d¹ng CAF , tÝnh EOF . Bµi 6: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c trong ®Ønh A c¾t BC t¹i D, trªn c¸c ®o¹n th¼ng DB, DC lÇn l•ît lÊy c¸c ®iÓm E vµ F sao cho EAD FAD . Chøng minh r»ng: BE BF AB2 . . CE CF AC2 Bµi 7: (2 ®iÓm) Trªn b¶ng cã c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 2008, ng•êi ta lµm nh• sau lÊy ra hai sè bÊt kú vµ thay b»ng hiÖu cña chóng, cø lµm nh• vËy ®Õn khi cßn mét sè trªn b¶ng th× dõng l¹i. Cã thÓ lµm ®Ó trªn b¶ng chØ cßn l¹i sè 1 ®•îc kh«ng? Gi¶i thÝch. HÕt ThÝ sinh kh«ng ®•îc sö dông tµi liÖu. C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: ĐỀ SỐ 89 Câu 1. a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 + 4x - 4y - 5 b. Chứng minh  nN* thì nn3 2 là hợp số. c. Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Câu 2. x 1 x 2 x 3 x 2012 a. Giải phương trình: 2012 2012 2011 2010 1 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 63