Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 từ internet - Hồ Khắc Vũ

457 trang thaodu 2840

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 từ internet - Hồ Khắc Vũ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_500_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_tu_interne.pdf

Nội dung text: Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 từ internet - Hồ Khắc Vũ

"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 9 TỪ INTERNET Họ và tên: Lớp: Trường: Người tổng hợp, sưu tầm : Thầy giáo Hồ Khắc Vũ Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 1
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Giáo viên Toán cấp 2 -3 "Hòa Thuận – Tam Kỳ - Quảng Nam" QU ẢNG NAM, THÁNG 03 -2018 LỜI NÓI ĐẦU Sơ lược bản thân, tôi là Hồ Khắc Vũ, Sinh năm 1994, giáo viên sư phạm Toán cấp 2-3 tốt nghiệp đại học Quảng Nam Với mong muốn tìm tòi, sưu tầm và tập hợp tất cả các đề Toán lớp 9 của kỳ thi Học sinh giỏi các cấp để các anh chị em đồng nghiệp, các bậc phụ huynh và các em học sinh có tài liệu để tham khảo, ôn tập và luyện thi Với lý do đó, tôi đã sưu tầm được 500 đề thi HSG toán 9 trên mạng để cho vào file PDF này, file này mang giá trị vô giá, với mục đích tới tận tay người học mà không tốn một đồng phí nào. Lý do tôi chọn file PDF chứ không phải file word chỉ đơn giản là để khỏi lỗi font chữ và nếu anh chị em nào có thể chỉnh sửa font chữ được thì tôi sẵn sàng chia sẻ file word vô tư Tôi mong rằng, với tập tài liệu đồ sộ này, hy vọng sẽ giúp các anh chị em đồng nghiệp ôn tập được tốt hơn và cũng như các em học sinh lớp 9 sẽ luyện nhuần nhuyễn hơn trước khi bước vào kỳ thi Cuối lời, không có gì hơn tôi xin gửi lời chúc bằng 1 câu thơ tâm đắc mà thầy tôi đã để lại cho tôi "Thao trường đổ mồ hôi, chiến trường bớt đổ máu Cờ lau trận giả nhận thất bại, Bạch Đằng tranh đấu thắng dội vang" Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 2
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề 01 Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho A 2012 2011; B= 2013 2012 . So sánh A và B? b) Tính giá trị biểu thức: C 3315 3 26 15 3 26 . 3 2x2 3 y 2 4 z 2 c) Cho 2x3 3 y 3 4 z 3 . Chứng minh rằng: 1 33234 3 1 1 5 Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : 22 . x22 2 x 2 x 2 x 3 4 8 2x y 22 10 4 x22 y 3 2 x y 0 Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : 2 . 22xy 2xy Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C). Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N. AM AN PQ a) Chứng minh rằng : 1 AB AC AQ AM AN PQ 1 b) Xác định vị trí điểm Q để AB AC AQ 27 Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) . Chứng minh : BD = BE. Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện : x2013 y 20132 x 1006 y 1006 Đề 02 Bài 1: 2m 16 m 6 m 2 3 1) Cho biểu thức P 2 m 2 m 3 m 1 m 3 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. 2) Cho biểu thức P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 3
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Bài 2: 1 1 4 a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có x y x y 2 b) Cho phương trình 2x 3 mx 2 0 (m là tham số) có hai nghiệm xx12; . 2 22 2 11 xx12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x12 x xx12 Bài 3: Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh 1 1 1 1 1 1 1 rằng 2 2 2 x yz y zx z xy2 xy yz zx Bài 4: 1) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó. a) Chứng minh MB + MC = MA b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta 2 3(SS 2 ) luôn có đẳng thức MH MI MK 3R 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN BAC. Chứng minh MA là tia phân giác của góc NMF Đề 03 UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 –THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC = = = = = = = = = = = = a 2 a 3a 2 a a 4 Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức: P a a 1 a a 2 1. Rút gọn biểu thức P . 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . Câu 2. (4,0 điểm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 4
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng d có phương trình y = kx+1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN 2 10 . x y x z 12 2. Giải hệ phương trình: y x y z 15 (Với x, y, z là các số thực dương). z x z y 20 Câu 3. (3,0 điểm) 1. Giải phương trình nghiệm nguyên: x4 2y 4 x2 y 2 4x2 7y 2 5 0 . 2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn a b c 1; a2 b2 c2 1; a3 b3 c3 1 Chứng minh rằng: a2013 b2013 c2013 1. Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm). 1. Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông. 2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d. Câu 5. (3,0 điểm) 1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn a 2 b2 a,b 7 a,b (với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)). 2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC. Hết Đề 04 SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27/03/2013 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 5
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ( Đề thi gồm có 01 trang ) Câu 1 (2,0 điểm): a) Rút gọn biểu thức: A= x 50 x+50 x+x2 50 với x 50 b) Cho x + 3 = 2. Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 Câu 2 (2,0 điểm): 4x 3x a) Giải phương trình + = 6 x22 5x + 6 x 7x + 6 x + y + 4 xy =16 b) Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh sau: x + y =10 Câu 3 (2,0 điểm): a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a22 + 3ab 11b chia hết cho 5 thì ab44 chia hết cho 5. b) Cho phương trình ax2 +bx+1 0 với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết 53 x= là nghiệm của phương trình. 5+ 3 Câu 4 (3,0 điểm): Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME. Câu 5 (1,0 điểm): 1 * Cho A=n với n . (2n +1) 2n 1 Chứng minh rằng: A1 +A 2 +A 3 + +A n <1 . HẾT Đề số 05 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 6
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH KON TUM NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 16/3/2017 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: 2xx 3 2 2 6 a) Cho x ≥ 0 và x ≠ 9. Rút gọn P 2x 2 x 3 2 6 2 x 2 x 3 2 6 b) Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng y = x + 2m – 2 cắt đường thẳng y = 2x + m – 13 tại một điểm trên trục hoành. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng y = 2x + m – 13 ứng với m vừa tìm được (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet) Bài 2: a) Cho x ≥ 2; y ≥ 0 thỏa mãn y2 x 2 x 2 2 y . Chứng minh rằng x3 27 b) Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm và CA = 5cm. Gọi H, D, P lần lượt là chân đường cao, phân giác, trung tuyến kẻ từ B xuống cạnh AC. Tính diện tích của các tam giác CBD, BDP, HBD Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Lấy điểm D trên cung BC (không chứa điểm A) của đường tròn đó. Gọi H, K, I lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ D xuống các đường thẳng BC, AB, CA a) Chứng minh rằng K, H, I thẳng hàng BC AC AB b) Chứng minh rằng DH DI DK Bài 4: 2x32 y 3 x 5 y a) Giải hệ phương trình 3 1 6xy 7 y Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 7
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn xy2 2 xy 243 y x 0 Hết Đề số 06 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 19/3/2017 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 4 3 2 2 10 Bài 1: a) Tính giá trị của A (1 2)(3 2) 1 b) Cho B n4 n 3 n 2 n. Chứng minh rằng B chia hết cho 6 với mọi số nguyên n x x x52 x Bài 2: Cho biểu thức P xx 11x 1 a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P b) Tìm x để P = 7 Bài 3: 1 1 1 a) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (abc ) 9 abc x y z b) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTLN của P x 1 y 1 z 1 Bài 4: 35 6 x y x y a) Giải hệ phương trình 34 3 x y x y b) Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì mới được nửa quảng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quảng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn dự định 1 giờ. Tính quảng đường AB Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ C và B của tam giác ABC. D là điểm đối xứng của A qua O, M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC a) Chứng minh rằng M là trung điểm HD Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 8
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Gọi L là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng H, L đối xứng nhau qua AB Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho EC là phân giác của góc BEF. Trên tia AB lấy K sao cho BK = DF a) Chứng minh rằng CK = CF b) Chứng minh rằng EF = EK và EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định c) Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề số 07 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 15/3/2017 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: (4,0 điểm) a. Tìm các hệ số b, c của đa thức P() x x2 bx c biết P(x) có giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x=2. 2 2 3 x xy xy y 0 b. Giải hệ phương trình: 2 2y 2( x 1) 3 x ( y 1) y 0 Câu 2: (4,0 điểm) a. Giải phương trình x 2 3 1 x2 1 x b. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 2a b c thức P . 1 abc2 1 2 1 2 Câu 3: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có BAC 135 , BC=5 cm và đường cao AH=1 cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC. Câu 4: (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm trên cung DC không chứa A. Dựng hình bình hành ADCE. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, ACE; P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên đường thẳng BC, AB và I là giao điểm của EK với AC. a) Chứng minh rằng 3 điểm P, I, Q thẳng hàng. b) Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm HK. Câu 5: (4,0 điểm). Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 9
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 1 1 1 1 1 a. Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau m,n,p,q thoả mãn 1 m n p q mnpq b. Trên một hàng có ghi 2 số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo lên bẳng theo nguyên tắc. Nếu có 2 số x, y phân biệt trên bảng thì ghi thêm số z xy x y . Chứng minh rằng các số được ghi trên bảng (trừ số 1 ra) có dạng 3k+2 (với k là số tự nhiên). Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề số 08 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 16/12/2016 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 31 x4 2 x 3 4 x 2 12 x 11 Câu 1.(3,0 điểm) Cho 2x 6 3 2 . Tính P 21 2xx2 6 2 Câu 2.(3,0 điểm) Cho hai hàm số: y ( m23 2) x m 3 m 1 và y=x-2m+1 có đồ thị lần lượt là dd12,.Gọi A x00, y là giao điểm của a) Tìm tọa độ điểm A 2 xx00 33 b) Tìm m nguyên để biểu thức T 2 nhận giá trị nguyên yy00 33 Câu 3.(4,0 điểm) 1) Giải phương trình: 2x2 11 x 21 33 4 x 4 2x2 y 2 x 2 y xy x 1 0 : 2) Giải hệ phương trình sau 2 2 2 2 x y x y 6 x x 1 0 Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác MNP cân tại P . Gọi H là trung điểm của MN, K là hình chiếu vuông góc của H trên PM. Dựng đường thẳng qua P vuông góc với NK và cắt HK tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của HK. Câu 5.(4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tai A. Trên tia đối tia AC lấy điểm M sao cho 0<AM<AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM, K là hình chiếu vuông góc của M trên BC, MK cắt AB tại H. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của CH và BM a) Chứng minh rằng tứ giác AFKE là hình vuông Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 10
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Chứng minh rằng AK,EF,OH đồng quy Câu 6.(2,0 điểm) Tìm số nghiệm nguyên dương (x;y) của phương trình xy2 2100.110 2n với n là số nguyên dương cho trước. Chứng minh rằng số nghiệm này không thể là số chính phương Câu 7.(2,0 điểm)Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a4 b 4 b 4 c 4 c 4 a 4 thức P aba()()()3 b 3 bcb 3 c 3 aca 3 b 3 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Đề số 09 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 26/02/2017 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: a) Chứng minh rằng với mọi n nguyên thì nn5 1999 2017 không phải là số chính phương b) Giải phương trình nghiệm nguyên x22 5 y 2 xy 4 y 12 c) Cuối học kỳ, một học sinh có 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10. Biết tổng điểm các bài kiểm tra là 100. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9, điểm 10 Bài 2: a) Giải phương trình 33xx 5 2 1 xy33 8 b) Giải hệ phương trình x y 22 xy Bài 3: 55 10 2 25 9x2 a) Cho x ; x ≠ 0 và 5 3x 5 3 x a . Tính P 33 x b) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 12. Tìm GTNN 2x y z 15 x 2 y z 15 x y 2 z 15 của M x y z Bài 4: Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 11
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 1) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12 cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và G là trọng tâm tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn thẳng IG. 2) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt lấy trên cạnh BC, CD và DA sao cho tam giác MNP đều. a) Chứng minh rằng CN22 AP2. DP BM b) Xác định vị trí của M, N, P để tam giác MNP có diện tích bé nhất . Bài 5: a) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính R, biết AB = c, AC = b, BC = a và thỏa mãn hệ thức R() b c a bc . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ? b) Trên mặt phẳng cho 6 điểm bất kỳ sao cho khoảng cách giữa 2 điểm tùy ý luôn lớn hơn 1. Chứng minh rằng không thể phủ cả 6 điểm này bằng một hình tròn có bán kính bằng 1. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Đề số 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 26/03/2015 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1 11 1 5 1 5 a) Tính giá trị biểu thức A với xy ; (xy 1)22 ( 1) 22 1 b) Cho x; y; z thỏa mãn x+y+z=0 và xyz ≠0. Chứng minh 0  x2 y 2 z 2 Bài 2 a) Giải phương trình: x 1 7 x 3 x 3 3 2 2 x y 4 x 3 y 8 x 4 y 16 0 b) Giải hệ phương trình . xy 1 3 1 Bài 3 a) Tìm các số tự nhiên n sao cho 3n32 2 n 17 n 6 chia hết cho n2 4 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 12
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Tìm các số nguyên x;y thỏa mãn x22 5 y 4 xy 6 x 12 y 8 0 Bài 4 Cho 2 đường tròn (O; r) và (O'; r') với rr ' cắt nhau tại A; B.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O') tại E.Tiếp tuyến tại A của (O') cắt (O) tại C. N là trung điểm của CE. M là giao của AB với CE. Trường hợp B nằm giữa A và M a) Chứng minh AB2 BE. BC và BC.ME=BE.MC b) Chứng minh CAN EAM Bài 5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) và (O';r').Chứng minh RR 2 Bài 6 Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0; x+1>0;y+1>0 và z+4>0. Tìm GTLN xy 1 z của A (x 1)( y 1) z 4 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 13
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề số 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 26/03/2011 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: 1) Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một vào thỏa mãn điều kiện: a2 b b 2 c c 2 a . Chứng minh rằng: (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1 2) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: ab+bc+ca=1 (b c ) a2 1 Chứng minh rằng: 1 bc22 1. 1 Câu 2: y22 3 x x 8 y 5 1) Giải hệ phương trình x( x 3) y ( y 8) 13 2) Giải phương trình: x 1 3 x 3 x2 4 x 2 Câu 3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên không âm (x;y;z) thỏa mãn đẳng thức: 2012x 2013 y 2014 z Câu 4: Cho đường tròn (O), AB là đường kính của (O). Điểm Q thuộc đoạn thẳng OB (Q khác O; Q khác B). Đường thẳng đi qua Q, vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D khác nhau (điểm D nằm trong nửa mặt phẳng bờ PS chứa B). Gọi G là giao điểm của các đường thẳng CD và AP. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng CD và PS. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AQ. 1) Chứng minh rằng tam giác PDE đồng dạng với tam giác PSD 2) Chứng minh rằng EP=EQ=EG 3) Chứng minh đường thẳng KG vuông góc với đường thẳng CD Câu 5: Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 14
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: abc2 2 2 3 1 1 1 Chứng minh rằng: 1 1 8abc3 1 8 3 1 8 3 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Đề số 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 26/03/2012 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1 a) Rút gọn biểu thức 5 3 29 12 5 32 b) Tìm các số nguyên a,b sao cho 7 20 3 a b33 a b Bài 2 a) Giải phương trình x2 x 12 1 x 36 (xy 1)( 1) 10 (x y )( xy 1) 3 b) Giải hệ phương trình Bài 3 mmm222 p2 p 2 n 2 n 2 Cho ba số m, n, pthỏa mãn: mn22 2 và 4 n2 n 2 p 2 n22 m p Tính Q m2 m 3 p 4 Bài 4 Cho tam giác ABC có B nhọn, trên cung nhỏ AC của (ABC) lấy D khác A. K và H là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC,AB. I là giao điểm KH và AC. a) Chứng minh: DI vuông góc với AC và HK < AC Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 15
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) E là trung điểm AB . (HDE) cắt IK tại F . CM IF=FK Bài 5 Cho hai số thực x,y khác 0 sao cho (x y 1) xy x22 y . 11 Tìm max của A xy33 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 16
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề số 13 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 6/03/2014 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 a) Giải phương trình 2 2xx 1 2 1 . 32x32 xy y b) Giải hệ phương trình 32 y x y 2. x Câu 2 a) Cho abc,, thỏa mãn a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1. Tính P a2012 b 2013 c 2014 . x2 y 24 x 2 y 2 b) Cho x,y>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . y2 x 2() x 2 y 2 2 Câu 3 x2 y 2 z 2 Giả sử phương trình 3 có 3 nghiệm không đồng thời bằng nhau yz zx xy a b c 2 2 2 (;;);(;;);a b c p q r ; ; . Chứng minh (;;)ap bq cr cũng là nghiệm của phương trình đó. pqr Câu 4 Tam giác ABC có AB=AC=a; ABC ACB (000 ;90 ) . Gọi M là trung điểm của BC. Góc xMy quay quanh điểm M sao cho Mx, My cắt AB, AC tại D, E. a) Tính tích BD.CE theo a; \alpha. b) Gọi dR(;)M DE . Chứng minh rằng AB, AC là các tiếp tuyến của (M;R). c) Tìm vị trí của D; E sao cho SADE lớn nhất. Câu 5 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 17
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Lấy 2014 điểm phân biệt trên đường tròn bán kính R=1 sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ khác 3.Chứng minh có thể chọn ra 672 điểm sao cho bất cứ bộ ba điểm nào cũng là 3 đỉnh của một tam giác có một góc lớn hơn 1200 . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề số 14 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 05/04/2016 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2 điểm). Cho x 1 33 2 4 . Tính giá trị biểu thức: A x32 3 x 3 x 2016 . Câu 2 (5 điểm). a) Cho đường thẳng (d) có phương trình y mx 1 m ( m 0) . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. b) Tìm các số có 2 chữ số ab() a b sao cho số n ab ba là một số chính phương. Câu 3 (2 điểm). 18x Giải phương trình: x2 3 x .3 3 x 2 12 x x Câu 4 (3 điểm). 22 2x y 3 xy 4 x 3 y 2 0 Giải hệ phương trình: 2 x y 3 y x 1 2 Câu 5 (6 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC (M không trùng với B, C). Đường thẳng qua A và vuông góc với CM tại H cắt tia BM tại K. a) Chứng minh H là trung điểm của AK. b) Chứng minh điểm K luôn nằm trên một đường tròn cố định khi M thay đổi. Tính bán kính đường tròn đó khi R 33. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 18
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ c) Gọi D là giao điểm của AM với BC. Tìm vị trí điểm M sao cho tích hai bán kính đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác MBD, MCD đạt giá trị lớn nhất. Câu 6 (2 điểm). Cho các số dương a,, b c thỏa mãn abc 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a3 b 3 c 3 P 3 abc 3a ab ca 2 bc 3 b bc ab 2 ca 3 c ca bc 2 ab Hết Đề số 15 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 —————— NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu 1 (3,0 điểm). x3 1. Cho fx . Hãy tính giá trị của biểu thức sau: 1 3xx 3 2 1 2 2010 2011 A f f f f 2012 2012 2012 2012 x 2 x x 1 1 2 x 2 x 2. Cho biểu thức P x x 1 x x x x x2 x Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên. Câu 2 (1,5 điểm). 32 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương xy; thỏa mãn x y x y 6 . Câu 3 (1,5 điểm). Cho a, b , c , d là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc bcd cda dab a b c d 2012 Chứng minh rằng: a2 1 b 2 1 c 2 1 d 2 1 2012 . Câu 4 (3,0 điểm). Cho ba đường tròn OO12 , và O (kí hiệu X chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử OO12 , tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và OO12 , lần lượt tiếp xúc trong với O tại MM12, . Tiếp tuyến của Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 19
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ đường tròn O1 tại điểm I cắt đường tròn O lần lượt tại các điểm AA, ' . Đường thẳng AM1 cắt lại đường tròn O1 tại điểm N1 , đường thẳng AM 2 cắt lại đường tròn O2 tại điểm N2 . 1. Chứng minh rằng tứ giác MNNM1 1 2 2 nội tiếp và đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng NN12. 2. Kẻ đường kính PQ của đường tròn O sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên cung AM1 không chứa điểm M 2 ). Chứng minh rằng nếu PM12, QM không song song thì các đường thẳng AI, PM1 và QM 2 đồng quy. Câu 5 (1,0 điểm) Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu. —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề số 16 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 —————— NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu 1: 1 1 1 1 1 1 a) Tính Tổng: S 1 1 1 12 2 2 2 2 3 2 2012 2 2013 2 b, Cho các số nguyên x,y thỏa mãn: 4x+5y =7. Tìm GTNN của P 53 x y Câu 2: Tìm các số hữu tỉ x,y thỏa mãn 2 3 3 3xy 3 3 Câu 3: 1 Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn abc .Chứng minh rằng: 6 a2 b 3 c 1 1 1 3 a 2 b 3 c 2b 3 c a a 2 b 3 c Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 20
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Câu 4: Cho tam giác ABC ( AC> AB )có các đường cao AA', BB', CC' và trực tâm H. Gọi (O) là đường tròn tâm O, đường kính BC. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới (O).Gọi M' là giao điểm thứ hai của A'N và (O). K là giao của OH và B'C'. CMR: a, M đối xứng M' qua BC b, Ba điểm M,H,N thẳng hàng KB HB c, ()2 KC HC Câu 5: Cho bảng vuông 3*3 (3 hàng và 3 cột ). Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9 vào các ô trong bảng (mỗi số điền 1 ô) sao cho tổng bốn số trên bảng con có kích thước 2*2 đều bằng nhau và bằng số T nào đó. Tìm GTLN có thể của T —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 21
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" NgườiSỞ GD&ĐTsưu tầm, VĨNH tổng PHÚC hợp: Hồ Khắc Vũ KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 —————— NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Đề số 17 Câu 1: Giải hệ phương trình x22 y 34 x a) 3 3 2 . x 12 x y 6 x 9 xy4 34 b) 4 yx 34 Câu 2: Giải phương trình x22 4 x 3 4 x x Câu 3: Tìm tất cả các số nguyên dương (x;y) thỏa mãn phương trình (x22 1)( y 1) 2( x y )(1 xy ) 4 xy 9 Câu 4: a) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x+y+z=1 x4 Tìm Min F  (x22 y )( x y ) a2 b 2 c 2 1 1 1 b) Cho a,b,c>0. CMR b2 c c 2 a a 2 b a b c Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kì trên AD ( M không trùng với A). Gọi N,P theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB,AC, H là hình chiếu của N trên đường thẳng PD a) CMR AH BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. CMR H, I, N thẳng hàng Câu 6: Có điền được hay không 100 số gồm 10 số -2, 10 số -1, 30 số 0, 40 số 1 và 10 số 2 vào bảng 10*10 (mỗi ô điền một số và gọi số ở hàng i tính từ dưới lên trên và cột j tính từ trái sang phải là aij ) sao cho thỏa mãn 2 điều kiện a) Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột đều bằng m b) Tổng các số aij trong bảng thỏa mãn (i-j) chia hết cho 2 bằng 5m —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 22
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 23
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 —————— NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Đề số 18 3x 16 x 7 x 1 x 7 x Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức A :2 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A 6 mx 22 y Câu 2: (1,5 điểm): Cho hệ phương trình (m là tham số) 25x my a) Giải hệ phương trình trên khi m = 10 b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức 2015mm2 14 8056 xy 2014 m2 4 Câu 3 (3 điểm): a) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c P 9a3 3 b 2 c 9 b 3 3 c 2 a 9 c 3 3 a 2 b b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn x(1 x x2 ) 4 y ( y 1) Câu 4: (3 điểm): cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC = 4AB. Tia Cx vuông góc với AC tại C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx ( D không trùng với C). Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K, E. a) Tính giá trị DC.CE theo a b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một dây cung cố định. 1 1 1 1 1 Câu 5 (1 điểm): Cho dãy số gồm 2015 số: ; ; ; ; ; 1 2 3 2014 2015 Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kì trong dãy và viết thêm vào dãy một số giá trị bằng u + v + uv vào vị trí u hoặc v. Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó. —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 24
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 25
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề số 19 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— xx 4 1 2 5 Câu 1: Cho biểu thức A :1 x 4 xx 22 a) Rút gọn biểu thức A b)Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu 2: a) Giải phương trình: (x 1)( x 2)( x 6)( x 3) 45 x2 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x x2 x 1 4y 1 Câu 3: Cho các số nguyên x,y thỏa mãn 3x+2y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 H x y | xy | | x y | 2 Câu 4: 3 Cho hai điểm A,B phân biệt, lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn AB sao cho 0 AC AB ; tia Cx 4 CE CA vuông góc với AB tại C. Trên tia Cx lấy hai điểm D,E phân biệt sao cho 3.Đường tròn CB CD ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm thứ hai H. (H không trùng với C) a) Chứng minh ADC EBC và 3 điểm A,H,E thẳng hàng b) Xác định vị trí của C để HC AD c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định Câu 5: Cho 3 số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=2. Chứng minh rằng: x 2 y z (2 x )(2 y )(2 z ) Câu 6: Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào thuộc cùng một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có đúng một điểm nằm bên trong đường tròn —Hết— Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 26
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐIỆN KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 BIÊN NĂM HỌC 2015-2016 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Đề số 20 x x 3 x 3 x 3 Câu 1. ( 0 điểm) Cho biểu thức: Qx 2 3 2. x xx 13 a) Rút gọn Q. b) Tính giá trị của Q khi x 14 6 5 c) Tìm GTNN của Q. Câu 2. (3 0 điểm) a) Cho phương trình: x2 20 x m (1), (m là tham số). Xác định m để PT (1) có hai nghiệm xx12, thỏa mãn: 3xx12 2 1 b) Giải PT: 33(2 x )22 (7 x ) 3 (2 x )(7 x ) 3 Câu 3. (3.0 điểm) 1. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) luôn chia hết 24. 3 2. Giải PT nghiệm nguyên: x22 y x y x – y Câu 4. ( 0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O;R). H là một điểm di động trên đoạn thẳng OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M, gọi I là hình chiếu của M trên OB. 1. Chứng minh: HIM 2 AMH 2. Các tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O;R) lần lượt tại D và E, OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh: OD.GF = OG.DE. 3. Tìm GTLN của chu vi tam giác MAB theo R. Câu 5. (2 0 điểm) xy22 1 1 121 1. Cho các số dương x, y thỏa mãn x + y = 3. Chứng minh rằng: . yx22144 2. Trong một bảng ghi 2014 dấu cộng và 2015 dấu trừ. Mỗi lần ta xoá đi 2 dấu và thay bởi dấu cộng Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 27
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ nếu 2 dấu bị xoá cùng loại, thay bởi dấu trừ nếu 2 dấu bị xoá khác loại. Hỏi sau 4028 lần thực hiện như vậy trong bảng còn lại dấu gì? —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 28
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÀ RỊA KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2015-2016 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Đề số 21 Câu 1: (3,0 điểm) a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n, ta có 621n 19 n 2 n chia hết cho 17. b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2x2 2 xy 5 x y 19 0 x x 3323 x x Câu 2: (3,0 điểm) Cho A với xx 0; 9 . x 2 x 3 x 1 3 x a) Rút gọn A. b) Tìm GTNN của A. Câu 3: (3,0 điểm) a) Giải phương trình 2x 3 6 2 x x 22 x 2 y xy x y b) Giải hệ phương trình x2 y y x 1 2 x y 1 Câu 4: (3,0 điểm) a) Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn x+y+z=6 và x2 y 2 z 2 12 . Tính giá trị biểu thức Q x 3 2016 y 3 2016 z 3 2016 b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn 42c b a b22 c . Tìm GTNN của biểu 3 4 5 thức: S b c a a c b a b c Câu 5: (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn, lấy điểm M khác A. Vẽ tiếp tuyến thứ hai MC của (O) (C là tiếp điểm). MB cắt (O) tại D khác B. Gọi H là giao điểm của OM và AC. a) Chứng minh ABH CAD 1 1 2 b) Gọi N là giao điểm của AC và BD. Chứng minh MD MB MN Câu 6: (4,0 điểm) Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Đường tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm B, C và có tâm O không nằm trên đường thẳng d. Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN của (O) tại M và N. AO cắt MN tại H; đường thẳng AO cắt (O) tại P và Q (P nằm giữa A và O). Gọi D là trung điểm HQ. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc MD cắt đường thẳng MP tại E. a) Chứng minh P là trung điểm ME. b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định khi đường tròn (O) thay đổi. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 29
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 —————— NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Đề số 22 Câu 1: x2 x2 x x 2( x 1) Cho biểu thức P với xx 0, 1 x x 11 x x a) Rút gọn P b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất Câu 2: 22 a) Tìm m để phương trình 2x 2 mx m 2 0có 2 nghiệm xx12, thỏa mãn: 2x1 x 2 x 1 x 2 4 6 3 2 3 2 x 22 x y x y xy y b) Giải hệ: . 2 x 2 4 x y 6 x 11 Câu 3: Cho ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I), AI cắt (O) tại M , J là điểm đối xứng với I qua M, N là điểm chính giữa cung ABM, NI, NJ lần lượt cắt (O) tại E,F a) Chứng minh MB=MI và BIJ, CIJ vuông b) Chứng minh I,J,F,E cùng thuộc 1 đường tròn Câu 4: 11 Cho a, b 0, a b 2. Tìm giá trị lớn nhất của : M a b22 b a Câu 5: Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 30
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Tìm m,n nguyên dương thỏa mãn: n2 n 1 ( m 2 m 3)( m 2 m 5) —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 31
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NGÃI NĂM HỌC 2015-2016 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Đề số 23 Bài 1: (4,0 điểm) a) Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức x22 2 y 3 xy 2 x 4 y 3 0 2b2 2 c 2 2 a 2 c) Tìm các số a,b,c biết a ;; b c 1 b2 1 c 2 1 a 2 Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình 3 xx 2 1 3 11 1 22 b) Giải hệ phương trình: xy 22 x 1 y 1 xy 2 Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện x y z xy yz zx 6. Chứng minh rằng x2 y 2 z 2 3 b) Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng nếu b là số trung bình cộng của a và c 1 1 2 thì a b b c c a Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD. Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N. a) Tính CM. CE BD2 theo R. OM ON b) Chứng minh rằng tích . là một hằng số AM DN OM ON c) Tìm vị trí của điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó. AM DN Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp (cùng đơn vị đo). Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó, biết 3.ABˆ 2.ˆ 180 . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 32
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC 60 , BC 2 3 cm . Bên trong tam giác này cho 2017 điểm bất SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 ĐỊNH NĂM HỌC 2015-2016 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— kì. Chứng minh rằng trong 2017 điểm ấy luôn tìm được 169 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn1cm . —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Đề số 24 Câu 1 : (5 điểm) 1 1 1 1 1 1 a) Tính tổng : A 1 1 1 22 3 2 3 2 4 2 2015 2 2016 2 b) Tìm các giá trị nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức : (y 2) x23 1 y Câu 2 : (3 điểm) Cho phương trình x2 ax b 10 với a,b là tham số . Tìm giá trị của a,b để phương trình có hai xx12 3 nghiệm phân biệt xx12; thỏa mãn: 33 xx12 9 Câu 3 : (3 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất 4a 9 b 16 c của: A b c a c a b b a c Câu 4 : (9 điểm) 1 . Cho đường tròn (O) có đường kính BC=2R và điểm A thay đổi trên đường tròn (O) (A không trùng với B,C). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn tại điểm K ( KA ) . Hạ AH vuông góc với BC a) Đặt AH=x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất AH 3 b) Tính Bˆ của ABC biết rằng HK 5 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 33
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 2. Một đường thẳng d thay đổi cắt hai cạnh Ox,Oy của một góc nhọn xOy lần lượt tại hai điểm M,N 12 nhưng luôn thỏa mãn hệ thức 1. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố OM ON định. —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 34
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề số 25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014-2015 NAM ĐỀ THI MÔN: TOÁN —————— Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC ———————————— x( x 15) 4 x 4 3( x 4) Bài 1: Cho biểu thức M x 3 x 4 x 1 4 x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức M 9 b) Tìm x để M 2 10 3 10 3 c) Tính giá trị của M biết x sin210 0 sin 2 80 0 3 7 5 2 10 1 Bài 2: a) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị y=x^{2} (P) taị hai điểm phân 2014 2014 biệt A x1;;; y 1 B x 2 y 2 sao cho x2 x 1 y 2 y 1 2 3x 3 2 x2 7 x 1 b) Giải phương trình 3 x x 1 Bài 3: a) Cho đa thức P(x) có các hệ số là các số nguyên và P(17) = 10; P(24) = 17. Biết a, b là hai số nguyên phân biệt thỏa mãn P(a) = a + 3 và P(b) = b + 3. Tính ab 3 3 2 x x y 3 y 4 y 2 b) Giải hệ phương trình x 6 4 x 2 y 12 6 y 3 1 Bài 4: Cho AB là đường kính của đường tròn (O; R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, MB cắt CH tại K. a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R). b) Chứng minh K là trung điểm của CH. c) Cho BI cắt CO tại D, AD cắt BC tại E. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. r 2 1 Chứng minh AE22 BI 20 Bài 5: a) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 3. x y z Chứng minh rằng 1 x 3 xyzy 3 yzxz 3 zxy c) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;1), chứng minh trong ba cạnh của tam giác ABC có ít nhất một cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 3 —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 35
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 —————— NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Đề số 26 Bài 1: 1 1 1 a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1 và abc . Chứng minh rằng có ít abc nhất 1 trong ba số a, b, c bằng 1 b) Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng A 23nn 1 2 3 1 1 là hợp số Bài 2: a) Giải phương trình x3 2 x 3 x2 6 x 4 x32 2 xy 12 y 0 b) Giải hệ phương trình 22 xy 8 12 1 1 1 Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 3. Tìm GTLN abc 1 1 1 của P a2 abb 2 bbcc 2 2 c 2 caa 2 Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H a) Chứng minh rằng cos2 BAC cos 2 CBA cos 2 ACB 1 b) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn (O). Gọi M, I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và HP. Chứng minh rằng MI AP Bài 5: pp2 2 a) Tìm các số nguyên tố p sao cho là lập phương của một số tự nhiên 2 b) Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không lớn 1 hơn 9 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 36
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 —————— NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Đề số 27 Bài 1 (5 diểm) : 1. Cho các số nguyên a,b,c,d thỏa mãn: a3 b 3 2( c 3 8 d 3 ). Chứng minh rằng : (a+b+c+d) chia hết cho 3 2. Tìm tất cả các số nguyên tố x sao cho 2x x2 là số nguyên tố Bài 2 (5 điểm): 1. Giải phương trình 2x22 11 x 19 2 x 5 x 7 3( x 2) 1 1 1 2. Tìm tất cả các bộ số (x;y;z) thỏa mãn x y z 3và 3 và x2 y 2 z 2 17 x y z Bài 3 (3 điểm): 3 3 1. Cho 3 số x,y,z, thỏa mãn : 0 x ; y ; z và xy yz xz . Tìm GTNN của 2 4 4x 4 y 4 z P 3 4x2 3 4 y 2 3 4 z 2 a2016 2. cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh : a2015 b c a Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC cạnh bằng a.Lấy điểm Q bất kì trên cạnh BC (Q # B,C).Trên tia đối tia BA lấy điểm P sao cho CQ APa2 Gọi M là giao điểm của AQ và CP. 1. CM 4 điểm A,B,M,C thuộc 1 đường tròn 2. Gọi I,J,K lần lượt là hình chiếu của M lên AB,BC,CA. a. Xác định vị trí của Q để đọ dài IK lớn nhất b. Chứng minh MI2 MJ 2 MK 2 không đổi khi Q thay đổi trên cạnh BC Bài 5: (1 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông kích thước 1.1. Điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 37
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 38
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2014-2015 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Đề số 28 x6 6 x 5 12 x 4 8 x 3 2015 Bài 1: a) Tính giá trị biểu thứcQ với xx2 2 1 0 x6 8 x 3 12 x 2 6 x 2015 aa 12 b) Cho biểu thức . Tìm các giá trị của a nguyên sao cho A 1: a 1 a 11 a a a a A nguyên Bài 2: 3x xy 12 a) Giải hệ phương trình: 22 x y x 7 y 20 b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình: x4 4 x 2 y 3 y 2 6 y 16 0 Bài 3: Cho phương trình: x2 2( m 1) x 3 m 0 (1) (x là ẩn số, m là tham số) a) giải phương trình (1) với m =1 b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m xx12, 22 c) Gọi là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m sao cho: M x1 x 2 4 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Bài 4: Cho ΔABC vuông tại A, vẽ ra phía ngoài các tam giác ABC vuông cân tại B và tam giác ACF vuông cân tại C. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AB, CD; của AC và BF. Chứng minh: a) 3 điểm D,A,F thẳng hàng b) AM=AN và AM2 BM. CN SSS. 2 c) ABD ACF ABC (1), Đẳng thức (1) có đúng không khi tam giác ABC là tam giác nhọn? Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm bất kì trên nửa đường tròn (M khác A, B) Hạ MH vuông góc với AB tại H. Gọi P,Q,I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAH, MBH, AMB. a) Chứng minh rằng I là trực tâm của tam giác MPQ Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 39
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Tìm quỹ tích điểm I khi M di động trên nửa đường tròn. 2 2 2 P 2 2 2 2 2 2 Bài 6: Cho x,y,z là các số thực dương và xyz=1. Tìm max của: 2x y 3 2 y z 3 2 z x 3 Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Đề số 29 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NAI NĂM HỌC 2014-2015 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu 1: 1) Giải phương trình : (x22 4 x 3)( x 6 x 8) 3 2) Chứng minh : x4 5 x 3 11 x 2 12 x 6 0 với mọi x Câu 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3xy22 5 255 Câu 3: 1) Cho hai số thực. a, b ; a 0,3 a b Chứng minh : 3a b a 3 a b 3 a 2 a ( a b ) b 6x xy 2 0 2) Giải hệ phương trình : 2 (x 2)(3 x y ) y 6 Câu 4: Trong mặt phẳng, cho 10 đường tròn thỏa : i) với 2 đường tròn bất kì luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt ii) không có 3 đường tròn nào cùng đi qua một điểm Hỏi 10 đường tròn đã chia mặt phẳng thành bao nhiêu phần . Câu 5: Cho ABC nhọn. Hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H .Gọi M,N tương ứng là trung điểm của AB và DE . CM cắt đường tròn ngoại tiếp CDE tại P khác C . CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại Q khác C. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 40
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 1) Chứng minh : MD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp CDE CD PD 2) Chứng minh CE PE 3) Xác định đường trung trực của QP. —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 41
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 SƠN NĂM HỌC 2014-2015 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Đề số 30 xx 2 1 1 Bài 1: Cho biểu thức A với xx 0; 1 x x 1 x x 1 1 x a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng A không nhận giá trị nguyên với xx 0; 1 Bài 2: Giải phương trình x2 6 x 10 2 2 x 5 Bài 3: Cho phương trình x2 2( a 1) x 2 a 0(1) (với a là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a. b) Tìm a để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 2 3. Bài 4: Cho góc xOy 600 .Đường tròn có tâm K tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN tại E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN tại F. a) Chứng minh rằng hai tam giác MPE và KPQ đồng dạng với nhau. b) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp. c) Gọi D là trung điểm của PQ. Chứng minh tam giác DEF đều. Bài 5: 68 Cho x, y > 0 thỏa mãn xy 6. Tìm GTNN của biểu thức Pxy 32 xy —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 42
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Đề số 31 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 ĐỒNG NĂM HỌC 2016-2017 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Bài 1: a) Rút gọn biểu thức P 6 2 2 12 18 128 b) Cho xy 3322 3 322; 3 17122 3 17122. Tính giá trị biểu thức P x33 y 3( x y ) 2017 . Bài 2: a) Chứng minh rằng với mọi x Î Z thì x4 6 x 3 11 x 2 6 x chia hết cho 24 b) Cho n N , n 1. Chứng minh rằng n6 22 n 5 n 4 n 2 không phải là số chính phương Bài 3: a) Giải phương trình x2 5 x 8 3 2 x 3 5 x 2 7 x 6 1 1 9 xy xy2 b) Giải hệ phương trình . 15 xy xy 2 Bài 4: a) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đoạn AB lấy điểm M (M nằm giữa A và B), trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = BM. Vẽ MN cắt BC tại I. Chứng minh rằng M và N đối xứng với nhau qua I b) Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H (H thuộc BC, E thuộc AD AC). Chứng minh rằng tanABC. tanC DH c) Cho đường tròn (O) đường kính AC, trên đoạn OC lấy điểm B (B khác O và C). Gọi M là trung điểm của AB. Dựng dây DE vuông góc với AB tại M, EB cắt DC tại F. Gọi S là giao điểm của DA DB DE BD và MF, CS lần lượt cắt DA và DE tại L và K. Chứng minh rằng DL DS DK d) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi O là trung điểm của BC, dựng đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D và E. M là điểm chuyển động trên cung nhỏ DE, tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng BC2 4. BP . CQ . Từ đó xác định vị trí M để diện tích tam giác APQ đạt GTLN a a 3 2( a 3) a 3 Bài 5: a) Tìm GTNN của M a 2 a 3 a 1 3 a Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 43
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Chứng minh rằng 1 1 1 3 abc2 2 2 GFHGH Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 44
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề số 32 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 —————— NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Bài 1: (4 điểm) x x x 1 2 x 1 2 Cho biểu thức P xx2 xx 1 a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm x để P đạt min Bài 2: (4 điểm) 1 1 1 a) Cho hai số thực a,b khác 0 và thỏa mãn . Chứng minh phương ab2 trình (x22 ax b )( x bx a ) 0với ẩn x luôn có nghiệm b) Biết (x22 2015 x )( y 2015 y ) 2015. Tính xy Bài 3: (4 điểm) a) Tìm các số chính phương có 4 chữ số biết rằng khi tăng mỗi chữ số thêm 1 đơn vị thì ta vẫn thu được một số chính phương b) Tìm số nguyên a để phương trình x2 (3 2 a ) x 40 a 0 có nghiệm nguyên và tìm các nghiệm nguyên của pt đó ứng với các giá trị a tìm được Bài 4: (4 điểm) Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O,R). Hai đường cao AI và BE của tam giác cắt nhau tại H a) Chứng minh EI OC b) Biết CH=R. Tính ACB Bài 5: (2 điểm) Cho ABC có đường cao AH. Gọi M,N là trung điểm AB, AC. Hạ BE, CF vuông góc HN, HM. Chứng minh AH, BE, CF đồng quy Bài 6: (2 điểm) Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa a+b+c=3. Chứng minh a3 b 3 c 3 ab ac bc 6 —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 45
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Họ và tên thí sinh: . . . . .; Số báo danh . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 46
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 —————— NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 24/03/2015 (Đề thi gồm 01 trang) ———————————— Đề số 33 Câu 1 (4 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình: xy22 21 2) Xét dãy các số nguyên sau:1;2;4; 1;7; 4; Trong đó kể từ số hạng thứ tư trở đi, mỗi số hạng sẽ được tính theo ba số hạng liền trước nó như sau: tổng của số hạng thứ nhất và thứ hai trừ đi số hạng thứ ba. Hãy tính số hạng thứ 2015 của dãy trên. Câu 2 (3,0 điểm) Cho các số dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: a2 6 a 9 b 2 6 b 9 c 2 6 c 9 24 a2 2 a 3 b 2 2 b 3 c 2 2 c 3 Câu 3 (4,0 điểm) 23x22 y y 1) Giải hệ phương trình sau: 22 3x y x 2) Phép toán “ * ” được định nghĩa như sau: a*b=ab+3a-b a) Kiểm tra tính chất giao hoán và kết hợp của phép toán “ *”. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực dương m để phương trình sau có hai nghiệm: (x*x)*m=-m- 2015 Câu 4 (5,0 điểm) 1) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R và BAC .Tính độ dài BC và AH theo R và . 2) Cho tam giác nhọn ABC có AB<AC và nội tiếp trong đường tròn tâm O . Kẻ đường cao AD và đường kính AA'. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống đường kính AA' và M là trung điểm của BC.Chứng minh: MD=ME Câu 5 (4,0 điểm) 1) Mỗi ô của bàn cờ hình chữ nhật có ô được sơn màu đỏ hoặc màu xanh. Chứng minh rằng với mỗi cách sơn màu bàn cờ bất kì, trong bàn cờ luôn tồn tại một hình chữ nhật mà các ô ở góc của nó là các ô cùng màu. 2) Hai phụ nữ An, Chi và hai người đàn ông Bình, Danh là các vận động viên. Một người là vận động viên bơi lội, người thứ hai là vận động viên trượt băng, người thứ ba là vận động viên thể dục dụng cụ và người thứ tư là vận động viên cầu lông. Có một ngày nọ họ ngồi xung quanh một cái bàn vuông (mỗi người ngồi một cạnh). Biết rằng: (i) Chi và Danh ngồi cạnh nhau. (ii) Vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình. (iii) Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An. (iv) Một phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 47
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Hãy cho biết mỗi người là vận động viên chơi môn gì ? Hết Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. Đề số 34 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 —————— NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 4/03/2016 (Đề thi gồm 01 trang) ———————————— Câu 1: (2,0 điểm) x x 2 x 28 x 4 x 8 a) Rút gọn P (xx 0; 16) x 3 x 4 x 1 4 x b) Không sử dụng máy tính, chứng minh Q 20142 2014 2 .2015 2 2015 2 là số nguyên Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x 2 3 2 x 5 x 2 2 x 5 2 2 b) Cho phương trình: x2 ax b 0 có hai nghiệm nguyên dương biết a,b là hai số thỏa mãn 5ab 22. Tìm hai nghiệm đó Câu 3: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) cố định có đường kính AB cố định và CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt AC và AD lần lượt tại E,F. a) Chứng minh: CACE. DA . DF 4 R2 b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp trong một đường tròn. c) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh điểm I nằm trên một đường thẳng cố định. Câu 4: (1,5 điểm) a Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 2015 . Chứng minh:  1 a 2015 a bc Câu 5: (1,0 điểm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 48
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho hình chữ nhật ABCD cố độ dài các cạnh là các số nguyên và bình phương độ dài đường chéo chia hết cho diện tích của nó. Chứng minh ABCD là hình vuông. HẾT Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 49
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề số 35 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THUẬN NĂM HỌC 2014-2015 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 4/03/201 (Đề thi gồm 01 trang) ———————————— Bài 1: 2x 9 x 3 2 x 1 Cho biểu thức A x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn A 1 b) Tìm x để A 20 A Bài 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x 1 x 2 x 4 x 5 16 14 3 5 x y x y b) . 72 1 x y x y Bài 3: a) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 x x22 y b) Cho x x22 2015 y y 2015 2015. Tính giá trị của A = x + y Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; R) có đường cao AH. Đường tròn (I) đường kính AH cắt AB và AC theo thứ tự tại M và N a) Chứng minh rằng M, I, N thẳng hàng và MN vuông góc với OA b) Chứng minh rằng tứ giác BMNC nội tiếp đường tròn tâm K c) Cho ABC 600 . Tính theo R diện tích tứ giác BMNC Bài 5: Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 50
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Gọi C là một điểm di động trên nửa đường tròn đường kính AB, kẻ CH vuông góc với AB tại H. Xác định vị trí của điểm C để AH + CH lớn nhất HẾT Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 51
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề số 36 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 PHƯỚC NĂM HỌC 2014-2015 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 4/03/2015 (Đề thi gồm 01 trang) ———————————— Bài 1: aa 12 1. Cho biểu thức P 1: a 1 a 11 a a a a a. Tìm điều kiện của a để P có nghĩa. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của a để P > 1 c. Tìm giá trị của P biết a 2015 2 2014 x2 1 2. Tìm GTLN và GTNN của Q xx2 1 Bài 2: 1. Cho phương trình x22 2 mx 2 m 1 0 (m là tham số) a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt 3 2 3 2 b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x 1 x 2 x 2 2 8xy xy22 16 xy 2. Giải hệ phương trình . 5 x22 12 x y 3 x x 5 2 Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính EF. Vẽ tia Ot vuông góc với EF. Tia Ot cắt nửa đường tròn tại I. Lấy điểm A trên tia Ot sao cho IA = IO. Vẽ hai tiếp tuyến AP, AQ (P, Q là các tiếp điểm) với nửa đường tròn chúng cắt EF lần lượt tại B và C a. Chứng minh rằng tam giác ABC đều b. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại S thuộc cung PQ (S không trùng với P, Q, I) cắt AP, AC lần lượt tại H, K. PQ cắt OH, OK lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng M, O, Q, K cùng thuộc 1 đường tròn c. Chứng minh rằng HK = 2.MN Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của các góc A, B, C cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại D, E, F. a. Chứng minh rằng: 2.AD > AB + AC b. Chứng minh rằng: AD + BE + CF lớn hơn chu vi tam giác ABC Bài 5: a. Giải phương trình nghiệm nguyên x22 2 y 3 xy x y 3 0 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 52
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b. Chứng minh rằng 23n32 n n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n HẾT Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 53
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề số 37 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 DƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 4/03/201 (Đề thi gồm 01 trang) ———————————— Câu 1 a) Tình giá trị biểu thức A 2 x32 3 x 4 x 2 với 5 5 5 5 x 2 2 3 5 1 22 b) Cho x,y thỏa mãn : x 2014 2015 x 2014 x y 2014 2015 y 2014 y Chứng minh x=y Câu 2 a) Giải phương trình x33 ( x 1) x 1 2 2 ( x x 1 2) 3x2 xy 4 x 2 y 2 b) Giải hệ phương trình x( x 1) y ( y 1) 4 Câu 3 a) Tìm số nguyên tố p sao cho 2 p2 1;2 p 2 3;3 p 2 4 đều là số nguyên tố b) Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn: 3x2 18 y 2 2 z 2 3 y 2 z 2 18 x 27 Câu 4 Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn . AB , AC cắt đường tròn tại điểm thứ 2 tương ứng là E và D . Trên cung BC không chứa D lấy F (F khác B,C). AF cắt BC tại M , cắt (O;R) tại N(N khác F) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P (P khác A) a) Giả sử BAC 60o , tính DE theo R b) Chứng minh AN.AF=AP.AM c) Gọi I,H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD,BC . Các đường thẳng BC BD CD IH và CD cắt nhau ở K . Tìm vị trí của F trên cung BC để min . FH FI FK Câu 5 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 54
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho các số dương x,y,z thay đổi thỏa mãn xy+yz+zx=xyz . Tìm Max: 111 M 4x 3 y z 4 y 3 z x 4 z 3 x y Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 55
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề số 38 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 ĐỊNH NĂM HỌC 2016-2017 —————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu 1: 2 3 5 13 48 a) Rút gọn : Q 62 111 a b c b) Cho 0. Chứng minh 0 a2 bc b 2 ca c 2 ab ()()()a2 bc 2 b 2 ca 2 c 2 ab 2 Câu 2: a) Giải phương trình (x 1)22 ( x 2) x 1 0 x2 xy 5 x 3 y 6 0 b) Giải hệ pt : 22 . x xy y 3 Câu 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Đường thẳng d là tiếp tuyến tại A của (O). M,N lần lượt trên d sao cho A nằm giữa M và N. Nối BM, BN cắt (O) lần lượt tại D, E. a) Chứng minh tứ giác DMNE nội tiếp đường tròn. IA AM. AN b) Chứng minh ( với I là giao DE và AB). IB AB2 c) Chứng minh ĐỂ luôn đi qua một điểm cố định khi M,N thay đổi thỏa mãn AM.AN không đổi và A luôn nằm giữa M và N. Câu 4: a) Có tồn tại số tự nhiên chia hết cho 2017 và có tổng các chữ số là 2017 không? x2 y y b) Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn : 8x y2 x Câu 5 : a) Cho a,b thuộc R thỏa mãn : 4a22 3 ab 4 b 6 . Chứng minh rằng 2a 4 b 3 ab 11 1 1 1 1 b) Trên bảng có 2017 số: ; ; ; .Thực hiện trò chơi : xóa hai số u,v bất kì và thay bởi 1 2 3 2017 số u+v+uv . Sau hữu hạn lần biến đổi , trên bảng còn một số duy nhất. Chứng minh số đó không phụ thuộc vào đại lượng u,v. Số đó là số nào? HẾT Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 56
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. Đề số 39 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017 LONG ĐỀ THI MÔN: TOÁN —————— Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC ———————————— Bài 1: Chứng minh rằng 5 8 81 8 5 2 a) Cho x và y khác không thỏa mãn 52y x xy x22 y và 5y x xy yx22 x b) Tính M = x – y Bài 2: a) Giải phương trình x 2 x 3 8 x 3322 2(x y ) 3 x y xy b) Giải hệ phương trình . 3 xy 3 6 Bài 3: 2 a) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình 2xx 2 1 0. Không giải phương trình, hãy tính 66 xx12 giá trị của biểu thức A 66 xx21 3x2 b) Cho x, y, z thỏa mãn y22 z yz 1. Tìm GTNN và GTLN của B = x + y + z 2 Bài 4: 53 a) Cho số tự nhiên n. Chứng minh rằng 25n 5 n 4 n 1 25 chia hết cho 13. b) Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn x33 8 xy 16 y 0 . Chứng minh rằng 1 xy là một số hữu tỉ. Bài 5: 1) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và At là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A. Từ một điểm P trên tia At vẽ tiếp tuyến PM tới nửa đường tròn (M là tiếp điểm, M khác A). Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng BM tại N. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 57
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề số 40 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017 QUANG ĐỀ THI MÔN: TOÁN —————— Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC ———————————— a) Chứng minh năm điểm A, P, O, M, N cùng nằm trên một đường tròn. b) Khi AP = x (x > 0), hãy tính diện tích tứ giác POMN theo R và x. 2) Cho hình vuông ABCD, M và N là hai điểm thuộc cạnh BC và CD sao cho MAN 450 Các đoạn thẳng AM, AN lần lượt cắt BD tại P, Q. Gọi R là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh rằng AR vuông góc với MN HẾT Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. x 3 x 2 x 2 1 Bài 1: Cho biểu thức P :1 x 2 3 x x 5 x 6 x 1 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0 1 c) Với giá trị nào của x thì biểu thức đạt GTNN P Bài 2: x 1 a) Giải phương trình 3xx 1 3 1 4x x2 y 22 2 y 2 b) Giải hệ phương trình 22 (x y )(1 xy ) 4 y Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) (M khác A, khác B). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và M cắt nhau ở E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB). Vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE) a) Chứng minh rằng PQ, OE, MA đồng quy b) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh rằng KM = KP c) Đặt AP = x, tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Bài 4: a) Giải phương trình nghiệm nguyên x22 2 y 2 xy y 2 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 58
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ abc 9 b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 2 2 2 . abc 27 Tính giá trị của P ( a 2)2015 ( b 3) 2016 ( c 4) 2017 Bài 5: b c 765 c a a b Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 9. Chứng minh rằng 6 2 a 3 b 4 c HẾT Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. Đề số 41 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. HỒ KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017 CHÍ MINH ĐỀ THI MÔN: TOÁN —————— Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC ———————————— a2 b 2 c 2 ab bc ca Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn a – b = 7; b – c = 3. Tính P a22 c 22 ab bc Bài 2: a) Giải phương trình (2x 1) x 3 x2 3 x( y 1) y ( x 1) 6 b) Giải hệ phương trình (xy 1)( 1) 1 xy2 Bài 3: a) Cho x, y > 0 thỏa mãn 1. Tìm GTLN của P xy2 11 xy b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn x y x 25 y x Bài 4: a) Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH. Đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với HK Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 59
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường phân giác trong của tam giác ABC (H, D thuộc BC). Tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại F và tia FD cắt (O) tại K. Chứng minh rằng AK là đường kính của đường tròn (O) Bài 5: Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi. Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi ? HẾT Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 60
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Đề số 42 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017 NINH ĐỀ THI MÔN: TOÁN —————— Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC ———————————— Bài 1: a) Rút gọn biểu thức B 13 30 2 9 4 2 b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0; a2 b 2 c 2;; b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 . Tính giá a2 b 2 c 2 trị biểu thức P a2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 Bài 2: a) Trong hệ trục tọa độ Oxy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm M(x; y) sao cho y2 5 y x 6 x 0 a b c b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 0 . Chứng minh rằng phương 6 5 4 trình ax2 bx c 0 luôn có nghiệm. Bài 3: a) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 8 8 8 8 8 8 abc2 2 2 ()4()4()4a b2 abc b c 2 abc c a 2 abc a 333 b c b) Tìm các số nguyên tố a, b, c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình a2 b 2 16 c 2 9 k 2 1 Bài 4: Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm O’ đường kính AO. Điểm M thay đổi trên nửa đường tròn (O’) (M khác A và O), tia OM cắt đường tròn (O) tại C. Gọi D là giao điểm thứ hai của CA với đường tròn (O’). a) Chứng minh rằng tam giác ADM cân. b) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OD tại E. Chứng minh EA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’). c) Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng. d) Tính độ dài đoạn OM theo a biết ME song song với AB Bài 5: a) Cho hình vuông MNPQ và điểm A nằm trong tam giác MNP sao cho AM2 AP 22 AN 2 . Tính góc PAN Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 61
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Cho các đa thức Px( ) x3 ax 2 bxcQx ; ( ) x 2 2016 x 2017 thỏa mãn P(x) = 0 có ba nghiệm thực phân biệt và P Q( x ) 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng P(2017) 10086 HẾT Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Đề số 43 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014-2015 GIANG ĐỀ THI MÔN: TOÁN —————— Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 21/03/2015 (Đề thi gồm 01 trang) ———————————— Câu 1: xy 2 yy5 Cho P với x 0; y 0; x 9 y x 3 y x 2 y x xy 6 y x 2007 2 2015 1) Tính biết P y 2011 2) Tìm max P. Câu 2: 21x 1) Giải phương trình: 2x 1 (2 x 1) x2 4 2 0 x 3 x2 2 xy 2 x y 0 2) Giải hệ phương trình: 4 2 2 x 4( x y 1) x y 2 xy 0 Câu 3: 1) Cho phương trình: ax22 ( b a 1) x m 1 (1). 22 a) Với a=1; b=2 thì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm: xx12; . Tìm min xx12 b) Nếu 2a22 b 2 ab 6 a 2 b 5 0 thì pt (1) có hai nghiệm đối nhau, 2)Tìm 2 chữ số tận cùng của S 122 2 22 3 22 2015 22 Câu 4: 1) Cho hình vuông ABCD và M thuộc phân giác ngoài ABC nhưng M không thuộc DA, DC. Đường trung trưc của MD cắt BC, AB lần lượt tại E,F. Chứng minh rằng: DEMF là hình vuông. 2) Trên cạnh AB, BC, CA của ABC đều lấy M,N,P sao cho: AM=BN=CP a) Chứng minh O của đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP . b) Tìm M,N,P để có min P MNP Câu 5: Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 62
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: ab 1; 2 và a+b+c=6. Chứng minh rằng: (a 1)( b 1)( c 1) 4 abc HẾT Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. Đề số 44 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014-2015 NGÃI ĐỀ THI MÔN: TOÁN —————— Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 23/03/2015 (Đề thi gồm 01 trang) ———————————— Bài 1: (4,0 điểm ) a) Với a,b là các số nguyên .Chứng minh rằng: Nếu 4a22 3 ab 11 b chia hết cho 5 thì ab44 chia hết cho 5 b) Tìm các số nguyên tố p để p2 2 p cũng là số nguyên tố c) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số tự nhiên và số đo diện tích bằng số đo chu vi Bài 2: (4,0 điểm) 3x a) Giải phương trình: 3x 1 1 3x 10 xy x y 3 b) Giải hệ phương trình: 1 1 2 22 x 2 x y 2 y 3 Bài 3 : (4 điểm ) a) Cho ba phương trình (ẩn x): x2 2 ax bc 0(1); x2 2 bx ca 0(2), x2 2 cx ab 0(3) Chứng minh rằng trong ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm b) Tìm GTNN của biểu thức A x 2 xy 3 y 2 x 1 Bài 4 : (4 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Trên cũng nhỏ BC lấy điểm M ( M khác B, C ). Gọi H, I, K lần lượt là điểm đối xứng của m qua AB, BC, AC. a) Chứng minh ba điểm H,I, K thẳng hàng Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 63
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Tìm vị trí của điểm M để HK lớn nhất Bài 5: (4 điểm) 1) Cho đường tròn tâm (O;R) và điểm A cố định sao cho OA=2R .Một đường thẳng d quay quanh điểm A ( không đi qua tâm O) và cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm phân biệt M, N (M nằm giữa 2 điểm A,N) a) Tính diện tích tam giác AON theo R khi M là trung điểm AN b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MON luôn đi qua 1 điểm cố định (khác điểm O) 2) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM.Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC, biết rằng MAB 15 và MAC 30 Đề số 45 Câu 1: 1 1 4 a) Giải hệ phương trình: x y x y xy 43 y b) Cho các số thực không âm x,y thỏa mãn x+y=2. Chứng minh rằng: 26 x22 y xy Câu 2: 1 1 1 Với n nguyên dương (n 2) , đặt Pn 1 1 1 12 123 123 n 1 Tìm tất cả các số nguyên dương n (n 2) sao cho là số nguyên Pn Câu 3: Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 y 2 z 2 a) Chứng minh A=xy chia hết cho 12 b) Chứng minh B x33 y xy chia hết cho 7 Câu 4: Cho đường tròn (O). Lấy các điểm A, B, C thuộc (O) sao cho tam giác ABC nhọn và AB > BC > AC. Đường tròn tâm C, bán kính CB cắt đường thẳng AB và (O) lần lượt tại D và E (D, E khác B) a) Chứng minh đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng AC. b) Giả sử đường thẳng DE cắt (O) tại F (khác E); các đường thẳng CO,AB cắt nhau tại G và các đường thẳng BE, CF cắt nhau tại K. Chứng minh CKG CBG Câu 5: Bên trong hình chữ nhật kích thước 5 12 cho n điểm bất kỳ. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 64
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ a) Với n=11,chứng minh trong số các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó không lớn hơn 13 b) Kết luận trên còn đúng không khi n=10?Tại sao HẾT Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 65
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ĐỀ SỐ 46 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ Lớp 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (3,0 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2 y 2 xy x y 2 . b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có a b c 3 a b c 3 b c a 3 a b c 3 Chia hết cho 96 Câu 2 (4,0 điểm) 2 1 1 1 1 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có 1 1 n n 2 n n 2 b) Tính tổng 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 S 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 2014 2016 Câu 3 (4,0 điểm) a) Giải phương trình 2x2 x 2x x2 b) Giải hệ phương trình x 2 1 y y 2 1 x 2 xy 1 2 2 4x y 2x y 6 0 Câu 4 (7,0 điểm) Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ,( BC<2R),A là điểm di động trên cung lớn BC,( A không trùng B,C). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC;EF cắt BC tại P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R . a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp b) Gọi M là trung điểm cạnh BC .Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM là hai tam giác đồng dạng. c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định Câu 5 (2,0 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x 2 y 2 z 2 3 x y z Chứng minh rằng xy yz xz 3 yz 3 xz 3 xy Hết Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 66
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THÁI BÌNH Lớp 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) ĐỀ SỐ 47 Câu 1: (3 điểm ) 21x Tìm các số nguyên x, y thoả mãn y x 2 Câu 2:(3 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng (d): y ax b( a 0) . Tìm a, b biết (d) đi qua điểm M(1;1) và cắt tia Ox,Oy theo thứ tự ở A và B sao cho tam giác OAB cân Câu 3 ( 3 điểm ) 42 2 Cho đa thức P( x ) x 5 x 2 x 3có các nghiệm là x1,,, x 2 x 3 x 4 . đặt Q( x ) x 3. Tính T Q x1 Q x 2 Q x 3 Q x 4 Câu 4: ( 3 điểm ) y 2 20xy 4xx2 1 2 Giải hệ phương trình: x 4( )2 2 4xy 2 1 2 3 y Câu 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC, xác định vị trí của M trên cạnh AB để đường thẳng qua M song song với BC, cắt AC tại N để diện tích tam giác ABC bằng 4 lần diện tích tam giác BMN Câu 6: (3 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp (O; đường kính AB). trên cạnh AC lấy E (E khác A và C). đường thẳng BE cắt đường tròn (O) ở D (D khác B), gọi F là giao điểm của AD và BC, M là trung điểm của EF , chứng minh rằng a) EF vuông góc AB b) DM và CM là các tiếp tuyến HẾT Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 67
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. ĐỀ SỐ 48 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THÁI BÌNH Lớp 9 THCS NĂM HỌC 2013-2014 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu I. (3,0 điểm) Chứng minh rằng x 3 2 3 6 3 2 3 6 là một nghiệm của phương trình: x5 4 x 4 3 x 3 14 x 8 0 Câu II. (4 0 điểm) 1 3m2 7 1) Cho 2 đường thẳng d: y ( m22 1) x m 2. d : y x (m là tham số). 12mm22 11 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì dd12; luôn cắt nhau tại một điểm M nằm trên một đường tròn cố định. 2) Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thoả mãn: PPP 2012 2013 2014 2013. Chứng minh rằng đa thức P(x)-2014 không có nghiệm nguyên. Câu III. (3 0 điểm) x3 3 x ( y 1) 1 13 y 1(1) Giải hệ phương trình: 2 2 2 3x y y 14 3 x 15 y (2) Câu IV. (2,0 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn: xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P x2 2 y 2 3 y 2 2 z 2 1 z 2 2 x 2 3 Câu V. (3 0 điểm) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong góc B là BD cắt trung tuyến AM tại I, đường AB AM thẳng CI cắt AB tại N. Chứng minh rằng: 12 AN AI Câu VI. (3,0 điểm) Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tia Px tiếp xúc với (O) tại A và tia Py tiếp xúc với (O) tại B. Trên tia Px lấy điểm C nằm ngoài đoạn PA, trên tia Py lấy điểm D nằm ngoài đoạn PB. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 68
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẮC GIANG Lớp 9 THCS NĂM HỌC 2013-2014 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang MC AC Trên đoạn CD lấy điểm M sao cho , đường thẳng qua C song song với Py cắt đường thẳng MD BD BM tại N. Chứng minh rằng: AB.CN=AO.AN và ACO ANB Câu VII. (2,0 điểm) Cho 1008 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 2014. Chứng minh rằng trong các số đó luôn tồn tại 2 số có tổng bằng 2015. HẾT Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: ĐỀ SỐ 49 4a 8 a 2 2 a 2 2 3 a 2 a 2 Câu 1.(5,0 điểm) Cho biểu thức P : a 2 a 2 2 2 a 2 a 2 2 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị của P khi a 4417 12 2 17 12 2 Câu 2.(4,0 điểm) 1) Giải phương trình: 5x22 4 x 7 4 x x x 2 4 3 x 1 0 x2 3 xy 3( x y ) 0 2) Giải hệ phương trình: 4 2 2 x 9 y ( x y ) 5 x 0 Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho phương trình x2 50 x m (1)( với m là tham số). Tìm m để phương trình (1) có hai 22 nghiệm phân biệt xx12, đồng thời T ( x12 5 x ) 46 m nhỏ nhất. 2) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn 2x22 xy 7 x 2 y y 7 0 Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O), BE,CF là các đường cao.Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và Ccáit nhau tại I, đường thẳng BC cắt OI tại M. AB BI 1) Chứng minh . AE ME 2) Chứng minh tam giác ABI và tam giác AEM đồng dạng. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 69
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 3) Gọi N là giao điểm của AM và EF, P là giao điểm của AI và BC. Chứng minh rằng NP vuông góc với BC. Câu 5.(1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 b 2 a 2 c 2 a b c 2 c a b b2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 HẾT Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. ĐỀ SỐ 50 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NAM Lớp 9 THCS NĂM HỌC 2013-2014 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu 1: (4 điểm) a. Rút gọn biểu thức A x 4 x 4 x 4 x 4 với x 4 a b c d e f b. Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0 thỏa mãn 1và 0.Tính giá trị biểu d e f a b c a2 b 2 c 2 thức B . d2 e 2 f 2 Câu 2: (4 điểm) a. Tìm các số tự nhiên n sao cho nn2 14 256 là một sô chính phương b. Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5. Chứng minh rằng a84nn 3 a 4 5  n Câu 3: (6 điểm) a. Giải phương trình xx2 2014 2014 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 70
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HẢI PHÒNG Lớp 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 Môn Toán - Bảng A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang x y z 2 b. Giải hệ phương trình 2 24xy z c. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc2 2 2 1. Chứng minh: abc 2(1 a b c ab ac bc ) 0 Câu 4: (3 điểm) a. Cho hình bình hành ABCD, các điểm M,N lần lượt thuộc AB,BC sao cho AN=CM. Gọi K là giao của AN và CM. Chứng minh KD là phân giác của AKC . b. Cho ABC vuông tại A (AB<AC). Biết BC 4 4 3 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tính BCˆ, ˆ của . Câu 5: (3 điểm) Cho nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh BC lấy điểm D tùy ý (D khác B, C). Đường tròn O1 qua D và tiếp xúc với AB tại B; đường tròn O2 qua D và tiếp xúc với AC tại C; hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai E. a. Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua 1 điểm cố định. b. Giả sử cân tại A. Chứng minh rằng tích AD.AC không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC. HẾT Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. ĐỀ SỐ 51 Bài 1: (2.0 điểm) 33 a. Cho AB 7 5 2; 20 14 2 . Tính A + B b. Cho a, b, c là các số khác 0 thoả mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a4 b 4 c 4 3 4 222 4 222 4 222 a ( b c ) b ( c a ) c ( a b ) 4 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 71
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Bài 2: (2.0 điểm) xy 2 2 4 a. Giải hệ phương trình xy 7 7 6 . xy44 11 b. Cho x, y là hai số nguyên khác -1 sao cho yx 11 là số nguyên. Chứng minh rằng x2012 1chia hết cho y+1 Bài 3: (1.0 điểm) 6 6 6 6 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 32x 16 y 4 z t Bài 4: (2.0 điểm) oo Cho tứ giác lồi ABCD biết AB = BD, BAC 30 , ADC 150 . Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc BCD Bài 5: (2.0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, gọi K, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của các cạnh BC, AC và AB. Gọi R là trung điểm của đoạn thằng PK. Chứng minh rằng PQC KQR Bài 6: (1.0 điểm) a4 b 4 c 4 3 3 3 1 Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng b( c 2 a ) c ( a 2 b ) a ( b 2 c ) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? H T Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. ĐỀ SỐ 52 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 72
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HẢI PHÒNG Lớp 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 Môn Toán - Bảng B ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1: (2.0 điểm) a. Cho AB 337 5 2; 20 14 2 . Tính A+B. b. Cho a,b,c là các số khác ) thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh: a2 b 2 c 2 3 a2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 2 Bài 2:(2.0 điểm) xy 2 2 4 a. Giải hệ phương trình: xy 7 7 6 . b. Cho x, y, z là những s ố nguyên thỏa mãn điều kiện x4 y 4 z 4 chia hết cho 4. CMR: cả x,y,x đều chia hết cho 4. Bài 3:(1.0 điểm). Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x4 4 x 3 7 x 2 6 x 4 y 2 Bài 4:(2.0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A và C với đường tròn cắt tiếp tuyến vẽ từ điểm B của đường tròn lần lượt tại P và Q. Trong tam giác ABCvẽ đường cao BH (H nằm giữa A và C). Chứng minh: HB là tia phân giác của PHQ. Bài 5:(2.0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đường phân giác của các góc BAC & ACB cắt nhau tại I và cắt đường tròn tâm O lần lựot tại E và D. Chứng minh: DE vuông góc với BI. Bài 6:(1.0 điểm). Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 73
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 1 b( c 2 a ) c ( a 2 b ) a ( b 2 c ) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? HẾT ĐỀ SỐ 53 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGHỆ AN Lớp 9 THCS NĂM HỌC 2013-2014 Môn Toán - Bảng A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu 1 a. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 2013k 1 chia hết cho 105 b. Tìm mọi số nguyên x sao cho x2 28 là số chính phương Câu 2 a. Giải phương trình: 4x22 5 x 1 2 x x 1 9 x 3 2 2x y 3 2 x y b. Giải hệ phương trình: 22 x 22 xy y Câu 3: x2 y 2 z 2 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx 1.Tìm min của P x y y z z x Câu 4 Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm M là điểm ngoài đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến MA; MB (A, B là tiếp điểm) và cát tuyến đi qua M cắt đường tròn tại C, D (C nằm giữa M và D) cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Gọi E là giao điểm của AB với OM. a. Chứng minh DEC 2 DBC Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 74
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b. Từ O kẻ tia Ot vuông góc với CD cắt tia BA ở K. Chứng minh KC và KD là tiếp tuyến của đường tròn O Câu 5 Cho đường gấp khúc khép kín có độ dài bằng 1.Chứng minh rằng luôn tồn tại một hình tròn có bán 1 kính R chứa toàn bộ đường gấp khúc đó 4 HẾT Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. ĐỀ SỐ 54 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HẢI PHÒNG Lớp 9 THCS NĂM HỌC 2013-2014 Môn Toán - Bảng A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1: (2,0 điểm). 33 11 a) Cho a 22. Chứng minh rằng a là một nghiệm của phương 33 1 1 1 1 22 trình 2013xx2 2014 1 0 b) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy yz zx 2014 . Tính giá trị của biểu thức : (y2 2014)( z 2 2014) ( z 2 2014)( x 2 2014) ( x 2 2014)( y 2 2014) P x y z x2 2014 y 2 2014 z 2 2014 Bài 2: (2,0 điểm). 1 a) Giải phương trình: x2 2 x x 3 x 1 x x3 3 x y 3 b) Giải hệ phương trình: y 3 y z . 3 z 34 z x Bài 3: (1,0 điểm). Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 75