›
›
›

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề tuyển sinh vào Lớp 10 - Năm học 2019-2020 - Trịnh Bình

pdf 80 trang thaodu 2610
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề tuyển sinh vào Lớp 10 - Năm học 2019-2020 - Trịnh Bình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftuyen_tap_cac_bai_toan_hinh_hoc_trong_de_tuyen_sinh_vao_lop.pdf

Nội dung text: Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề tuyển sinh vào Lớp 10 - Năm học 2019-2020 - Trịnh Bình

  1. Tailieumontoan.com  Sưu Tầm TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2019-2020 Thanh Hĩa, tháng 9 năm 2019
  2. 1 Website:tailieumontoan.com TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2019-2020 LỜI NĨI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên tốn THCS và học sinh về các chuyên đề tốn THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cơ và các em tuyển tập các bài tốn hình học trong đề tuyển sinh vào 10 mơn tốn năm học 2019-2020. Chúng tơi đã kham khảo qua nhiều đề thi để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng tốn mới về cấu tạo số thường được ra trong các kì thi gần đây. Các vị phụ huynh và các thầy cơ dạy tốn cĩ thể dùng cĩ thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề sẽ cĩ thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nĩi riêng và học tốn nĩi chung. Mặc dù đã cĩ sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi những hạn chế, sai sĩt. Mong được sự gĩp ý của các thầy, cơ giáo và các em học! Chúc các thầy, cơ giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này! Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  3. 2 Website:tailieumontoan.com Câu 1: [TS10 Bắc Ninh, 2019-2020]~[9H1B4] Cho tam giác ABC vuơng tại A . Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC HB 1 . Biết AH12 cm , . Tính độ dài đoạn BC là HC 3 Lời giải HB 1 Theo đề bài ta cĩ: HC 3 HB . Áp HC 3 dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuơng tại A cĩ đường cao AH ta cĩ AH2 BH. HC 12 BH .3 BH BH2 42 BH HC 3. HB 3.2 6 BC HB HC 2 6 8 cm Câu 2: [TS10 Bến Tre, 2019-2020]~[9H1B2] Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Biết AB 3 cm , AC 4 cm . Tính đọ dài đường cao AH, tính cos ACB và chu vi tam giác ABH. Lời giải Ta cĩ: AB, AC 12 BC 5 AH BC 5 AC 4 AB2 9 cos ACB ; cos ACB ; BH BC 5 BC 5 36 Chu vi tam giác ABH là: . 5 Câu 3: *TS10 Bình Phước, 2019-2020]~[9H1B1] Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ đường cao AH và đường trung tuyến AM . Biết AH 3 cm ; HB 4 cm . Hãy tính AB,, AC AM và diện tích tam giác ABC . Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  4. 3 Website:tailieumontoan.com A C H M B Xét AHB vuơng tại H , theo định lí Pitago, ta cĩ: AB2 AH 2 HB 2 AB2 3 2 4 2 9 16 25 AB 25 5 ( cm ) Xét ABC vuơng tại A , cĩ đường cao AH . 1 1 1 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuơng, ta cĩ: AH2 AB 2 AC 2 1 1 1 1 1 1 1 AC2 AH 2 AB 23 2 5 2 9 25 1 16 225 225 15 AC 2 AC () cm AC 2 225 16 16 4 Xét ABC vuơng tại A , theo định lí Pitago, ta cĩ: BC2 AB 2 AC 2 2 22 15 225 625 BC 5 25 4 16 16 625 25 BC () cm 16 4 ABC vuơng tại A , AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC 1 1 25 25 AM BC  () cm 2 2 4 8 1 1 15 75 Diện tích tam giác ABC : S  AB  AC 5  ( cm2 ) ABC 2 2 4 8 Câu 4: *TS10 Lâm Đồng, 2019-2020]~[9H1B1] Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ AH là đường cao H BC . Biết BH 3cm, BC 9cm. Tính độ dài AB . Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  5. 4 Website:tailieumontoan.com Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC A vuơng tại A , đường cao AH ta cĩ: AB2 BH.BC AB2 3.9 AB 27 3 3 cm B H C Câu 5: [TS10 Long An, 2019-2020]~[9H1B1] Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH ( H BC ). Biết BH 3,6cm và HC 6,4 cm. Tính độ dài BC,,, AH AB AC . Lời giải p dụn Pit o vào t m i c vu n ABH C AB2 AH 2 BH 2 AH2 AB 2 BH 2 5 2 3 2 16 AH 4 ( cm ) 25 BH.BC AB22 BH.13 5 BH (cm) . 13 p dụn hệ thức lượn vào t m i c vu n ABC AH 2 16 AH2 BH.CH CH cm BH 3 H 16 25 Do đĩ BC BH CH 3 cm 33 3cm p dụn Pit o vào t m i c vu n ABC 16 25 400 AC2 CH.BC  B 3 3 9 A 5cm 20 AC cm ) 3 CH 16 20 4 sinCAH : CA 3 3 5 Câu 6: [TS10 Tây Ninh, 2019-2020]~[9H1B1] Cho tam giác ABC vuơng cân tại A cĩ đường trung tuyến BM ( M thuộc cạnh AC ). Biết AB 2 a . Tính theo a độ dài AC , AM và BM . Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  6. 5 Website:tailieumontoan.com AC Ta cĩ: AC AB2 a ; AM a ; BM2 AB 2 AM 2 ; BM 5 a 2 Câu 7: [TS10 Thái Nguyên, 2019-2020]~[9H1Y1] Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Biết AB = 10cm, AH = 6cm, Tính độ dài các cạnh AC, BC của tam giác ABC. Lời giải 1 1 1 AH2 AB 2 AC 2 1 1 1 62 10 2AC 2 1 1 1 36 100 AC 2 64 1 36.100 AC 2 15 AC() cm 2 Ta cĩ: AH.BC = AB.AC 15 6.BC = 10. 2 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  7. 6 Website:tailieumontoan.com 25 BC = ()cm 2 Câu 8: *TS10 Vĩnh Lon , 2019-2020]~[9H1G1] Cho tam giác ABC cĩ A AB 4 cm , AC 4 3 cm , BC 8 cm . a) Chứng minh tam giác ABC vuơng. b) Tính số đo BC, và độ dài đường cao AH của tam giác ABC. Lời giải B H C a) Ta cĩ: AB2 4 2 16; AC 2 (4 3) 2 48; BC 2 8 2 64 AB2 AC 2 16 48 64 BC 2 ABC vuơng tại A (định lý Pit o đảo). b) Áp dụng tỉ số lượng giác của gĩc nhọn trong ABC ta cĩ: AB 41 cosBB 60 BC 82 CBA 180 180  60  90  30  Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuơng tại A và cĩ đường cao AH ta cĩ: AB. AC 4.4 3 AH. BC AB . AC AH 2 3 cm BC 8 Vậy B 60 , C 30 , AH 2 3 cm . Câu 9. [TS10 Ninh Bình, 2019-2020] Trên một khúc sơng với 2 bờ song song với nhau, cĩ một chiếc đị dự định chèo qua sơng từ vị trí A ở bở bên này sang vị trí B ở bờ bên ki , đường thẳng AB vuơng gĩc với các bờ sơng. Do bị dịn nước đẩy xiên nên chiếc đị đã cập bờ bên kia tại vị tri C cách B mội khoảng bằng 30 m. Biết khúc sơng rộng 150 m, hỏi dịn nước đã đẩy chiếc đị lệch đi một gĩc cĩ số đo bằng bao nhiêu? (kết quả làm trịn đến giây). Lời giải 1. B 30m C Ta cĩ hình vẽ : Ta cĩ AB BC ABC vuơng tại B 150m AB 150 Do đĩ tanACB 5 ACB 780 41'24" BC 30 Vậy dịn nước đã đẩy chiếc đị đi lệch một gĩc cĩ số đo bằng A Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  8. 7 Website:tailieumontoan.com Câu 1: [TS10 An Giang, 2019-2020]~[9H3Y7] Cho tam gia c ABC vu n tại A cĩ AB 4 cm , AC 3 cm . Lâ y điêm D thuộc cạnh AB AB AD . Đườn trịn O đường kính BD cắt CB tại E , k o dài CD cắt đườn trịn O tại F . a) Chứng minh rằn ACED là tứ i c nội tiếp. b) Biết BF 3 cm . Tính BC và diện tích t m i c BFC . c) K o dài AF cắt đường trịn O tại điểm G . Chứng minh rằn BA là tia phân i c của ĩc CBG . Lời giải C C E E B A D O B A D O F (Hình vẽ cho câu a; 0,5đ) G a) Chứng minh rằn ACED là tứ i c nội tiếp. CAD 900 ( iả thiết CED 900 ( ĩc nội tiếp chắn nử đườn trịn) Bốn điểm CDAE,,, cùn nằm trên đườn trịn đườn kính CD Vậy tứ i c ACED là tứ i c nội tiếp. b) Biết BF 3 cm . Tính BC và diện tích t m i c BFC . ABC vu n tại A: BC 2 AB 2 AC 2 4 2 3 2 25 BC 5 BFC vu n tại F : CF2 BC 2 BF 2 5 2 3 2 16 CF 4 11 S . BF . CF .3.4 6 ( cm2 ) BFC 22 c) Tứ i c ACBF nội tiếp đườn trịn ( do CAB CFB 900 ) Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  9. 8 Website:tailieumontoan.com nên ABC AFC (cùn chắn cun AC ) Mà ABG AFC (cùn bù với DFG ) ABC ABG Vậy BA là tia phân giác của CBG Câu 2: [TS10 Bà Rị Vũn Tàu, 2019-2020]~[9H3B7] Cho nử đườn trịn tâm O đườn kính AB và E là điểm tùy ý trên nử đườn trịn đĩ (E khác A, B). Lêy1 điểm H thuộc đoạn EB (H khác E, B). Tia AH cắt nử đường trịn tại điểm thứ hai là F. Kéo dài tia AE và tia BF cắt nhau tại I. Đường thẳng IH cắt nử đường trịn tại P và cắt AB tại K. a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường trịn. b) chứng minh AIH ABE PK BK c) Chứng minh: cos ABP PA PB d) Gọi S là i o điểm của tia BF và tiếp tuyến tại A của nử đường trịn (O). Khi tứ giác AHIS nội tiếp được đường trịn , chứng minh EF vuơng gĩc với EK. Lời giải I P F E H A K O B a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường trịn. Ta cĩ: AEB 900 (gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) HEI 900 (kề bù với AEB ) T. tự, ta cĩ: HFI 900 Suy ra: HEI + HFI 900 +900 1800 tứ giác IEHF nội tiếp được đường trịn (tổn h i ĩc đối nhau bằng 1800 ) b) chứng minh AIH ABE Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  10. 9 Website:tailieumontoan.com Ta cĩ: AIH AFE (cùng chắn cung EH) Mà: ABE AFE (cùng chắn cung AE) Suy ra: AIH ABE PK BK c) Chứng minh: cos ABP PA PB ta cĩ: AF BI, BE AI nên suy ra H là trực tâm của IAB IH  AB PK  AB Tam giác ABP vuơng tại P cĩ PK là đường cao nên ta cĩ: BP.PA = AB.PK và BP2 AB. BK Suy ra: BP.PA + BP2 AB. BK + AB.PK BP.( PA BP ) AB .( PK BK ) BP PK BK PK BK cos ABP AB PA BP PA BP d) Gọi S là i o điểm của tia BF và tiếp tuyến tại A của nử đường trịn (O). Khi tứ giác AHIS nội tiếp được đường trịn , chứng minh EF vuơng gĩc với EK. S I F E H A B K O Ta cĩ: SA // IH (cùng vuơng gĩc với AB) Tứ giác AHIS là hình thang. Mà tứ giác AHIS nội tiếp được đường trịn (gt) Suy ra: AHIS là hình thang cân. ASF vuơng cân tại F AFB vuơng cân tại F Ta lại cĩ: FEB FAB BEK 450 FEK 2. FEB 900 EF  EK Câu 3: [TS10 Bắc Giang, 2019-2020]~[9H3K7] Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  11. 10 Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn O đường kính AC BA BC . Trên đoạn thẳng OC lấy điểm I bất kỳ IC . Đường thẳng BI cắt đường trịn O tại điểm thứ hai là D. Kẻ CH vuơng gĩc với BD H BD , DK vuơng gĩc với AC K AC . a) Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp. b) Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4cm và ABD 60o . Tính diện tích tam giác ACD. c) Đường thẳn đi qu K song song với BC cắt đường thẳng BD tại E. Chứng minh rằng khi I th y đổi trên đoạn thẳng OC IC thì điểm E luơn thuộc một đường trịn cố định. Lời giải B E A K C O I H D a) + Chỉ r được DHC 900 ; + Chỉ r được AKC 900 Nên H và K cùng thuộc đườn trịn đường kính CD + Vậy tứ giác DHKC nội tiếp được trong một đường trịn. b) Chỉ r được ACD 600 ; ADC 900 Tính được CD 2 cm ; AD 2 3 cm và diện tích tam giác ACD bằng 2 3cm2 . c) Vì EK// BC nên DEK DBC. Vì ABCDnội tiếp nên DBC DAC. Suyra DEK DAK . Từ đĩ tứ giác AEKDnội tiếp và thu được AED AKD 90oo AEB 90 . Kết luận khi I th y đổi trên đoạn OC thì điểm E luơn thuộc đườn trịn đường kính AB. cố định. Câu 4: [TS10 Bạc Lưu, 2019-2020]~[9H3K7] Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  12. 11 Website:tailieumontoan.com Trên nử đườn trịn đường kính AB, lấy h i điểm I, Q sao cho I thuộc cung AQ. Gọi C là i o điểm h i ti AI và BQ; H là i o điểm hai dây AQ và BI. a) Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp. b) Chứng minh: CI AI HI BI . c) Biết AB 2 R . Tính giá trị biểu thức: M AI AC BQ BC theo R. Lời giải C Q I H A O B a) Ta cĩ: AIB AQB 900 (gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) CIH CQH 900 Xét tứ giác CIHQ cĩ CIH CQH 900 90 0 180 0 tứ giác CIHQ nội tiếp b) Xét AHI và BCI cĩ: AIH BIC 900   AHI∽ BCI g. g IAH IBC  AI HI CI AI HI BI BI CI c) Ta cĩ: M AI AC BQ BC AC AC IC BQ BQ QC AC22 AC IC BQ BQ QC AQ2 QC 2 AC IC BQ 2 BQ QC AQ22 BQ QC QC BQ AC. IC AB2 QC BC AC IC Tứ giác AIBQ nội tiếp O CIQ CBA (cùng phụ với AIQ ) Xét CIQ và CBA cĩ: ACB chung   CIQ∽ CBA g. g CIQ CBA  IC QC QC BC AC IC BC AC QC. BC AC . IC 0 2 Suy ra: M AB22 24 R R Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  13. 12 Website:tailieumontoan.com Câu 5: [TS10 Bắc Ninh, 2019-2020]~[9H3B7] Cho đường trịn O , h i điểm AB, nằm trên O sao cho AOB 90º . Điểm C nằm trên cung lớn AB sao cho AC BC và tam giác ABC cĩ b ĩc đều nhọn. Các đường cao AI, BK của tam giác ABC cắt nhau tại điểmH . BK cắt O tại điểmN (khác điểmB ); AI cắt O tại điểmM (kh c điểmA ); NA cắt MB tại điểmD . Chứng minh rằng: a) Tứ giác CIHK nội tiếp một đường trịn. b) MN là đường kính củ đường trịn O . c) OC song song với DH . Lời giải a)Ta cĩ C HK KC HKC HIC 90º 90º 180º . HI IC N Do đĩ,CIHK là tứ giác nội tiếp. O K CIHK M b) Do tứ giác nội tiếp nên I 11 H 45º ICK BHIsđ BM sđ AN . A B 22 sđBM sđ AN 90  . Suy ra, sđMN sđ AB() sđ BM sđ AN hay MN 90 90 180º là đường kính của O . D c) Do MN là đường kính của O nên MA DN, NB DM . Do đĩ, H là trực tâm tam giác DMN hay DH MN . Do IK, cùng nhìn AB dưới gĩc 90º nên tứ giác ABIK nội tiếp. Suy ra, CAI CBKsđ CM sđ CN C là điểm chính giữa của cung MN CO MN . Vì AC BC nên ABC khơng cân tại C do đĩ COH,, khơng thẳng hàng. Từ đĩ suy r CO // DH . Câu 6: [TS10 Bến Tre, 2019-2020]~[9H3K7][9D5G1] Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  14. 13 Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC vuơng cân ở A, đường cao AH H BC . Trên AC lấy điểm MMAMC , và vẽ đườn trịn đường kính MC. Kẻ BM cắt AH tại E và cắt đường trịn tại D. Đường thẳng AD cắt đường trịn tại S. Chứng minh rằng: a) Tứ giác CDEF là một tứ giác nội tiếp. b) BCA ACS. Lời giải a) Vì AH BC nên EDC 900 Vì BD CD nên EHC 900 EDC EHC 1800 và EDC, EHC đối nhau Vậy tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp. b) Ta cĩ: ADB MCS ; ADB ACB Nên BCA ACS Câu 7: *TS10 Bình Dươn , 2019-2020]~[9H3B7] Cho đường trịn OR; . Từ một điểm M ở n ồi đường trịn OR; sao cho OM 2 R , vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với O ( AB, là hai tiếp điểm). Lấy một điểm N tuỳ ý trên cung nhỏ AB. Gọi IHK,, lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của N trên AB,,. AM BM 1) Tính diện tích tứ giác MAOB theo R. 2) Chứng minh: NIH NBA. 3) Gọi E là i o điểm của AN và IH, F là i o điểm của BN và IK . Chứng minh tứ giác IENF nội tiếp được tron đường trịn. 4) Giả sử ONM,, thẳng hàng. Chứng minh: NA2 NB 22 R 2 Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  15. 14 Website:tailieumontoan.com 1. Tính diện tích tứ giác MAOB theo R . Xét tam giác OAM và tam giác OBM ta cĩ: OA OB R ; OM chung; MA MB (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau); OAM OBM (c.c.c) SS OAM OBM SSSSMAOB OAM OBM 2 OBM Áp dụn định lí Pytago trong tam giác vuơng OAM ta cĩ: 2 AM2 OM 2 OA 2 23 R R 2 R 2 AM R 3 . 1 S 2 S 2. . OA . AM R . R 3 R2 3 (đvdt). MAOB OAM 2 2) Chứng minh NIH NBA Xét tứ giác AINH cĩ: AIN AHN 900 90 0 180 0 Tứ giác AINH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác cĩ tổn h i ĩc đối bằng 1800 ). NIH NAH (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung HN ). Mà NAH NBA (gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn cung AN của O ) NIH NBA NAH (đpcm). 3. Gọi E là giao điểm của AN và IH , F là giao điểm của BN và IK . Chứng minh tứ giác IENF nội tiếp được trong đường trịn. Xét tứ giác NIBK ta cĩ NIB NKB 90 90  180  Mà h i ĩc này là h i ĩc đối diện NIBK là tứ giác nội tiếp. KBN NIK X t đường trịn O ta cĩ: KBN NAB Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  16. 15 Website:tailieumontoan.com NIK NAB() KBN Xét ANB ta cĩ: ANB NAB NBA 180 Lại cĩ: NIH NAB NIE; NIK NAB NIF ; ANB ENF ENF EIN NIF ENF EIF 180 Mà ENF, EIF là h i ĩc đối diện Tứ giác NEIF là tứ giác nội tiếp. 4) Giả sử ONM,, thẳng hàng. Chứng minh: NA2 NB 22 R 2 1 Theo đề bài ta cĩ: ONM,, thẳng hàng ON R OM N là trun điểm của OM. 2 Ta cĩ: ON AB{} I I là trun điểm của AB . Lại cĩ: OA OB R ON là đường trung trực của AB NA NB OA R 1 Xét MAO ta cĩ: cosAOM AOM 60 AON OM22 R OA ON R Xét AON cĩ: AON là t m i c đều.  AON 60 NA ON OA R NB NA2 NB 2 R 2 R 2 2 R 2 (đpcm) Câu 8: *TS10 Bình Phước, 2019-2020]~[9H3B7] Cho đường trịn tâm O đường kính AB 2 R . Gọi C là trun điểm của OA , qua C kẻ đường thẳng vuơng gĩc với OA cắt đường trịn ()O tại h i điểm phân biệt M và N . Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M ). Gọi H là i o điểm của AK và MN . a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường trịn. b) Chứng minh AK. AH R2 . c) Trên tia KN lấy điểm I sao cho KI KM . Chứng minh NI BK . Lời giải a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường trịn. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  17. 16 Website:tailieumontoan.com M K H A B C O N Vì AB HC tại C nên BCH 900 ; Ta cĩ: AKB 900 (Gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) BKH 900 Xét tứ giác BCHK cĩ: BCH BKH 900 90 0 180 0 Mà BCH; BKH là h i ĩc đối nhau. Suy ra: Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AK. AH R2 . M K H A B C O N Xét ACH và AKB cĩ: ACH AKB 900 ; BAK là gĩc chung; Do đĩ: ACH AKB(.) g g AH AC R AH. AK AB . AC 2 R  R2 AB AK 2 Vậy AK. AH R2 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  18. 17 Website:tailieumontoan.com c) Trên tia KN lấy điểm I sao cho KI KM . Chứng minh NI BK . E M K H B A C O I N Trên ti đối của tia KB lấy điểm E sao cho KE KM KI Xét OAM cĩ MC là đườn c o đồng thời là đường trung tuyến (vì C là trun điểm của OA ) OAM cân tại M AM OM . Mà OA OM R OA OM AM OAM là t m i c đều OAM 600 Ta cĩ: AMB 900 (Gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) AMB vuơng tại M ABM 300 Xét BMC vuơng tại C cĩ: BMC MBC 900 BMC 900 MBC 90 0 30 0 60 0 BMN 600 (1) Vì tứ giác ABKM là tứ giác nội tiếp nên EKM MAB 600 Mặt khác: KM KE (cách dựng) EKM cân tại K Và EKM 600 EKM là t m i c đều. KME 600 (2) Từ (1) và (2) suy ra: BMN KME 600 BMN BMK KME BMK NMK BME CM 1 Xét BCM vuơng tại C cĩ: sinCBM sin300 BM 2 CM BM 2 Mà OA MN tại C C là trun điểm của MN (đường kính vuơng gĩc với dây cun thì đi qu trun điểm của dây cung). Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  19. 18 Website:tailieumontoan.com MN2 CM MN BM (vì 2CM ) Xét MNK và MBE cĩ: MNK MBE (Hai gĩc nội tiếp cùng chắn MK ) MN BM() cmt NMK BME() cmt Do đĩ: MNK MBE( ) g c g NK BE (Hai cạnh tươn ứng) IN IK BK KE Mà IK KE (vẽ hình) Suy ra: IN BK Câu 9: *TS10 Bình Định, 2019-2020]~[9H3B7][9H3K3][9H0K7] Cho đường trịn tâm O , bán kính R và một đường thẳng d khơng cắt đường trịn ()O . Dựn đường thẳng OH vuơng gĩc với đường thẳng d tại điểm H . Trên đường thẳng d lấy điểm K (kh c điểm H ), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA và KB với đường trịn ()O , ( A và B là các tiếp điểm) sao cho A và H nằm về hai phía củ đường thẳng OK . a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp được tron đường trịn. b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH tại điểm I . Chứng minh rằng IA IB IH  IO và I là điểm cố định khi điểm K chạy trên đường thẳng d cố định. c) Khi OK 2 R , OH R 3 . Tính diện tích tam giác KAI theo R . Lời giải a) Ta cĩ KAO 90 ( KA AO ) , KHO 90 ( OH KH ) Xét tứ giác KAOH cĩ KAO KBO 180 nên là tứ giác nội tiếp. b) Ta cĩ KBO KAO 180 nên KAOB là tứ giác nội tiếp và đỉnh HBA,, cùng nhìn cạnh OK dưới một gĩc vu n nên năm điểm KABOH,,,, cùng thuộc đường trịn đường kính OK Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  20. 19 Website:tailieumontoan.com Xét tam giác IAH và tam giác IOB cĩ HIA BIO (đối đỉnh) và AHI ABO (hai gĩc nội IA IO tiếp cùng chắn cung AO ). Do đĩ IAH∽ IOB ( g . g ) IA  IB IH  IO . IH IB Xét tứ giác AOBH cĩ OHB là gĩc nội tiếp chắn cung OB, OBA là gĩc nội tiếp chắn cung OA; Mà OA OB R nên OHB OBA. Xét OIB và OBH cĩ BOH gĩc chung và OHB OBA (cmt). OI OB OB22 R Do đĩ OIB∽ OBH ( g . g ) OI . OB OH OH OH Ta lại cĩ đường thẳng d cố định nên OH kh n đổi (OH d ). Vậy điểm I cố định khi K chạy trên đường thẳng d cố định. c) Gọi M là i o điểm của OK và AB Theo tính chất tiếp tuyến ta cĩ KA=KB; Lại cĩ OA OB R nên OK là đường trung trực của AB, suy ra AB OK tại M và MA MB . RRR22 Theo câu b) ta cĩ OI . OH R 33 Xét OAK vuơng tại A , cĩ OA22 R R OA2 OM  OK OM OK22 R RR3 Suy ra KM OK OM 2 R 22 RRRR3 32 3 AM2 OM  KM  AM 2 2 4 2 Xét OMI vuơng tại M , cĩ 2 2 22 RRR 3 MI OI OM 3 26 RRR3 3 2 3 Suy ra AI AM MI 2 6 3 1 1 3RRR 2 32 3 Diện tích AKI là S AI  KM   2 2 2 3 2 Câu 10: [TS10 Cần Thơ, 2019-2020]~[9H3B7][9H3K7][9H3G7] Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường trịn tâm O. C c đường cao BD và CE cắt nhau tại H D thuộc AC, E thuộc AB . Gọi MN, lần lượt là trun điểm của các cạnh AB và AC. a) Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp. b) Chứng minh AE AM AD AN c) Gọi K là i o điểm của ED và MN, F là i o điểm của AO và MN, I là i o điểm của ED và AH. Chứng minh F là trực tâm của tam giác KAI. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  21. 20 Website:tailieumontoan.com Lời giải a) Ta cĩ: BEC 90  , BDC 90  ED, thuộc đườn trịn đường kính BC. Tứ giác BCDE nội tiếp đườn trịn đường kính BC. Do MN, lần lượt là trun điểm AB và AC OM  AB, ON  AC OMA 90  , ONA 90  Tứ giác AMON cĩ: OMA ONA 90  90  180  mà OMA và ONA là h i ĩc đối nhau AMON là tứ giác nội tiếp. b) Cách 1: MN, là lần lượt là trun điểm của AB, AC MN là đường trung bình của ABC MN// BC ANM ACB (so le trong) 1 Mặt khác, ta cĩ: ACB BED DCB BED 180  (tứ giác BCDE nội tiếp) AED BED 180  (kề bù) ACB AED 2 Từ 1 và 2 ANM AED. Xét AMN và ADE cĩ: A: gĩc chung ANM AED. AMN ” ADE AM AN AE AM AD AN AD AE Cách 2: Xét ABD và ACE cĩ: A: gĩc chung ADB AEC 90  Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  22. 21 Website:tailieumontoan.com AB AD2 AM AD AM AD ABD ” ACE AE AM AD AN AC AE2 AN AE AN AE c) H là i o điểm của BD và CD H là trực tâm của ABC AH BC mà MN // BC nên AH MN KN  AI 3 Gọi J là i o điểm của AF và DE Tron đường trịn ngoại tiếp tứ giác AMON EAJ EAO MNO (gĩc nội tiếp cùng chắn cung OM ) Xét AJE cĩ: AEJ EAJ AED EAJ ANM MNO ONA 90  AJE 90  AJ  JE AJ  KI 4 KN cắt AJ tại F 5 Từ 3 , 4 , 5 F là trực tâm của KAI. Câu 11: *TS10 Đà Nẵng, 2019-2020]~[9H3B7] Cho đườn trịn (O) tâm O, đườn kính AB và C là điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( với C khác B). Kẻ dây DE củ đường trịn (O) vuơng gĩc với AC tại trun điểm H của AC. Gọi K là i o điểm thứ hai của BD với đườn trịn đường kính BC. a) Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh CE song song với AD và b điểm E, C, K thẳng hàng. c) Đường thẳng qua K vuơng gĩc với DE cắt đường trịn (O) tại h i điểm M và N ( với M 2 2 2 thuộc cung nhỏ AD ). Chứng minh rằng EM DN AB Lời giải a) Ta cĩ DHC 900 gt BKC 900 ( gĩc nội tiếp chắn nử đườn trịn đường kính BC) DKC 900 ( Kè bù với BKC ) Xét tứ giác DHKC ta cĩ: DKC DHC 1800 Mà DKC và DHC đối nhau Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  23. 22 Website:tailieumontoan.com Suy ra DHKC là tứ giác nội tiếp. b) Ta cĩ OA DE H là trun điểm của DE ( quan hệ vuơng gĩc giữ đường kính và dây cung). Tứ i c ADCE cĩ H là trun điểm của AC và DE và AC DE Nên ADCE là hình thoi AD // CE. Ta cĩ ADB 900 ( gĩc nội tiếp chắn nử đườn trịn đường kính AB) CE BD Mà CK BD (cmt) h i đường thẳng CE và CK trùng nhau E, C, K thẳng hàng. c) Vẽ đường kính MI củ đường trịn O Ta cĩ MNI 900 ( gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn đường kính MI) NI MN Mà DE MN NI // DE ( cùng vuơng gĩc với MN) DN = EI (hai dây song song chắn hai cung bằng nhau) Ta lại cĩ MEI 900 ( gĩc nội tiếp chắn nử đườn trịn đường kính MI) MEI vuơng tại E EM2 EI 2 MI 2 ( Định lý py-ta-go) Mà DN = EI MI = AB =2R 2 2 2 EM DN AB Câu 12: *TS10 ĐăK LăK, 2019-2020]~[9H3Y7] Cho đườn trịn (O) cĩ h i đường kính AB và CD vuơng gĩc với nh u. Điểm M thuộc cung nhỏ BD sao cho BOM 300 . Gọi N là i o điểm của CM và OB. Tiếp tuyến tại M của đường trịn (O) cắt OB, OD kéo dài lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua N và vuơng gĩc với AB cắt EF tại P. 1) Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp. 2) Chứn minh t m i c EMN là t m i c đều. 3) Chứng minh NC OP . 4) Gọi H là trực tâm của tam giác AEF. Hỏi b điểm A, H, P cĩ thẳng hàng khơng? Vì sao ? Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  24. 23 Website:tailieumontoan.com C N B E A O M D P F 1) Ta cĩ: ONP 900 ( PN OB). OMP 900 (EF là tiếp tuyến tại M củ đường trịn (O)). Tứ i c ONMP cĩ N, M cùn nhìn OP dưới một gĩc vuơng nên là tứ giác nội tiếp. 1 9000 30 2) Ta cĩ: CME CMO 600 (gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung). 22 Tam giác OME vuơng tại M, cĩ MOE 300 OEM 90 0 30 0 60 0 . Tam giác EMN cĩ NME NEM 600 nên là t m i c đều. 3) Tứ giác ONMP nội tiếp nên NME NOP , mà NME MNE (t m i c EMN đều). NOP MNE OP / /CM . Tứ giác OCNP cĩ OP / /CN ; NP / /CO nên là hình bình hành OP CN 4) T m i c ENM đều, NM / /OPnên suy r t m i c EOP đều. Giả sử b điểm A, H, P thẳng hàng AP  EF APO 900 OPE 90 0 60 0 30 0 . AP EF AP / /OM PAO MOE 300 (đồng vị). Suy ra tam giác AOP cân OP OA (mâu thuẫn vì P nằm trên tiếp tuyến tại M của đường trịn (O) nên P khơng thuộc đường trịn (O)). Vậy b điểm A, H, P khơng thẳng hàng. Câu 13: [TS10 ĐăK N n , 2019-2020]~[9H3B7] Cho một điểm M nằm bên n ồi đường trịn O;6 cm . Kẻ hai tiếp tuyến MN, MP ( NP, là hai tiếp điểm) củ đường trịn O . Vẽ cát tuyến MAB củ đường trịn O s o cho đoạn thẳng AB 6 cm với AB, thuộc đường trịn O , A nằm giữa M và B . a) Chứng minh tứ giác OPMN nội tiếp đường trịn. b) Gọi H là trun điểm đoạn thẳng AB . So sánh gĩc MON và gĩc MHN . Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  25. 24 Website:tailieumontoan.com c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB của hình trịn tâm O . Lời giải a) Tứ giác PMNO cĩ P = 900 và N = 900 (Tính chất tiếp tuyến) P + N = 1800 Tứ giác PMNO nội tiếp được tron đườn trịn đường kính MO. b) Vì: H là trun điểm của AB, nên: OH  AB OHM ONM 900 . OHM và ONM cùn nhìn đoạn OM một gĩc 900 Tứ giác MNHO nội tiếp trong một đường trịn . MHN = MON ( vì cùng chắn cung MN). c) Gọi diện tích cần tính là SVP SVP = SSqAOB AOB 2 + Ta cĩ: OA = OB = AB = 6cm => AOB đều => S AOB = 9 3 15,59 cm . Rn22.6 .60 + S = 6 18,84(cm2 ) . qAOB 360 360 2 =>SVP = SSq = 6 - 9 3 = 3(2 - 3 3 ) 18,84 - 15,59 3,25 (cm ). Câu 14: [TS10 Điện Biên, 2019-2020]~[9H3K4][9H3G3] Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) và cĩ h i đường chéo AC, BD vuơng gĩc với nhau tại I (I khác O). Kẻ đường kính CE. 1. Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân. 2. Chứng minh: AB2 CD 2 BC 2 AD 2 2 2 R . 3. Từ A, B kẻ c c đường thẳng vuơng gĩc với CD lần lượt cắt BD, AC tại F và K. Tứ giác ABKF là hình gì? Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  26. 25 Website:tailieumontoan.com Lời giải B C O E K I A D N M F 1.Cĩ: EAC EBC EDC 900 (Gĩc nội tiếp chắn nữ đường trịn) EA  AC EA BD()  AC EADB là hình thang (1) BEC BCE 900 Mà: 0 (cmt) IDC ICD 90 1 Do: IDC BDC ADC BC (Gĩc nội tiếp chắn BC) 2 ICD ACD BCE EB AD EB AD 2 => (2) Từ (1) và (2) => AEBD là hình thang cân. (đpcm) 2. Ta cĩ: 2 2 2 2 2 2 2 2 AB CD BC AD ()() ED CD BC EB (Vì AB = ED, AD = EB (Cmt)) 2. Cĩ: (Vì: AB = ED, AD = EB (cmt)) AB2 CD 2 BC 2 AD 2 ()() ED 2 CD 2 BC 2 EB 2 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  27. 26 Website:tailieumontoan.com EC2 EC 2 2 EC 2 2.(2 R ) 2 2 2 R (đpcm) 3. Giả sử : AFCD M ; BK  CD N Suy ra: MCA IF A (Gĩc nội tiếp chắn CAM ) AFB cân tại A nên AB = AF (3) IAB IAF (AI là đường cao trong tam giác cân CAM ) Mà: BK // AF (cùng vuơng gĩc với DC) IKBIAF ( SLT ) IKB IAB ( IAF) Suy ra tam giác ABK cân tại B => BA = BK (4) Từ (3) và (4) => AB = BK = AF. => AF//=BK => ABKF là HBH Mặt khác: => ABKF là hình thoi. Câu 15: *TS10 Đ n N i, 2019-2020]~[9H3G4] Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn O cĩ h i đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H . Biết ba gĩc CAB,, ABC BCA đều là gĩc nhọn. 1) Chứng minh bốn điểm BCDE,,, cùng thuộc một đường trịn. 2) Chứng minh DE vuơng gĩc với OA 3) Cho MN, lần lượt là trun điểm củ h i đoạn BC, AH . Cho KL, lần lượt là giao điểm củ h i đường thẳng OM và CE, MN và BD. Chứng minh KL song song với AC . Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  28. 27 Website:tailieumontoan.com BD AC BDC 90 1) Ta cĩ: CE AB CEB 90 Tứ giác BEDC cĩ BDC BEC 90 nên nĩ là tứ giác nội tiếp ( tứ i cĩ h i đỉnh kề nhua cùng nhìn một cạnh dưới các gĩc bằng nhau) Suy ra bốn điểm B , D , C , E cùng thuộc một đường trịn. 2) Kẻ tiếp tuyến Ax với đường trịn O tại A . Khi đĩ Ax AO ( tính chất tiếp tuyến). Ta cĩ: CAx CBA ( gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn cung AC ) 1 Do tứ giác BEDC nội tiếp (cmt) CBA EDA ( gĩc ngồi tại một đỉnh bằn ĩc đối diên đỉnh đĩ) 2 Từ 1 và 2 suy ra CAx EDA CBA . Mà hai gĩc này ở vị trí so le trong nên DE// Ax . Mà Ax AO (cmt) nên DE AO (đpcm). Câu 16: *TS10 Đồng Tháp, 2018-2019]~[9H3B7][9H3G4][9H3G6] Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn ( AB< AC) và đường cao AH ( K BC). Vẽ đường trịn (O) đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường trịn (O)( với M, N là các tiếp điểm, M và B nằm trên nữa mặt phẳng cĩ bờ là đường thẳng AO ). Gọi H là i o điểm củ h i đường thẳng AN và AK. a) Chứng minh tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh KA là tia phân giác gĩc AKN 2 c) Chứng minh AN AK. AH A Lời giải a) Chứng minh tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp N H X t đường trịn (O) cĩ AM là tiếp tuyến nên M 0 AM OM hay AMO 90 B C 0 Lại cĩ AK BC suy ra AKO 90 K O 0 Xét tứ giác AMKO cĩ AMO AKO 90 nên hai đỉnh M, K kề nhau cùng nhìn cạnh AO dưới các gĩc vu n , do đĩ tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp(đpcm) b) Chứng minh KA là tia phân giác AKN 0 x t đường trịn (O) cĩ AN là tiếp tuyến nên AN ON hay ANO 90 0 0 0 Xét tứ giác KONA cĩ AKO ANO 90 90 180 mà hai gĩc ở vị trí đối nhau nên tứ giác KONA là tứ giác nội tiếp. Suy ta NKA NOA (1) Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  29. 28 Website:tailieumontoan.com Lại cĩ tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên MKA MOA (2) X t đường trịn (O) cĩ AM, AN là 2 tiếp tuyến nên OA là tia phân giác của MON (TÍNH CHẤT) Do đĩ MOA NOA(3) Từ (1), (2), (3) suy ra MKA NKA h y KA là ti phân i c ĩc MKN (đpcm) 2 c) Chứng minh AN AK. AH x t đường trịn (O) cĩ AMN là gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung MN nên 1 AMN sd cung MN 4 2 1 1 lại cĩ MKA MOA MON ( theo câu b) nên MKA sd cung MN 5 2 2 Từ (4), (5) suy ra AMH MKA . Xét AMH và AKM cĩ; MAH chung AMH MKA (cmt) AM AH Nên AMH AKM g. g suy ra AM2 AK. AH AK AM Lại cĩ AM = AN ( tinh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên AN2=AK.AH (đpcm) Câu 17: [TS10 Hà Nam, 2019-2020]~[9H2B1][9H3B10][9H3G7] 1) Cho nử đườn trịn OR; đườn kính AB . Trên cùn nử mặt phẳn bờ AB chứ nử đườn trịn OR; vẽ c c tiếp tuyến Ax, By với nử đườn trịn đĩ. Gọi M là một điểm bất kì trên nử đườn trịn OR; (với M khác A , M khác B ), tiếp tuyến củ nử đườn trịn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D . ) Chứn minh tứ i c ACMO nội tiếp. b) Chứn minh t m i c COD vu n tại O . c) Chứn minh AC. BD R2 . b) Kẻ MN AB, N AB ; BC cắt MN tại I . Chứn minh I là trun điểm củ MN . Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  30. 29 Website:tailieumontoan.com ) Chứn minh tứ i c ACMO nội tiếp. OA AC OAC 90 Theo tính chất tiếp tuyến t cĩ OM CM OMC 90 X t tứ i c ACMO cĩ tổn h i ĩc ở vị trí đối nh u OAC OMC 90 90 180 Suy r tứ i c ACMO nội tiếp. b) Chứn minh t m i c COD vu n tại O . Tươn tự ý ) t cũn chứn minh được tứ i c BDMO nội tiếp. Ta cĩ AMB 90 ( ĩc nội tiếp chắn nử đườn trịn) suy ra tam giác ABM vu n tại B . Suy ra OAM OBM 90 Lại cĩ OAM MCO (cùn chắn cun MO củ đườn trịn n oại tiếp tứ i c ACMO ) ODM OBM (cùn chắn cun MO củ đườn trịn n oại tiếp tứ i c BDMO ) DCO ODC MCO ODM OAM OBM 90 COD vu n tại O . c) Chứn minh AC. BD R2 . AC MC Theo tính chất h i tiếp tuyến cắt nh u t cĩ BD MD Tam giác COD vu n tại O cĩ đườn c o OM p dụn hệ thức lượn t m i c vu n t cĩ MC MD OM 2 AC BD R 2 Đpcm. d) Kẻ MN AB, N AB ; BC cắt MN tại I . Chứn minh I là trun điểm củ MN . Kẻ BM cắt Ax tại E. Theo tính chất h i tiếp tuyến cắt nh u t cĩ CO là đườn phân i c tron củ t m i c cân ACM. Suy r OC vừ phân i c vừ là đườn c o củ t m i c ACM. Suy ra OC AM , mà EB AM OC // EB . Lại cĩ O là trun điểm củ AB suy r OC là đườn trun bình t m i c ABE. Suy r C là trun điểm củ AE. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  31. 30 Website:tailieumontoan.com Ta cĩ AE // MN (vì cùn vu n ĩc với AB). BA AE p dụn hệ quả định lý T L t vào t m i c ABE t cĩ BN NM BA AC p dụn hệ quả định lý T L t vào t m i c ABC t cĩ BN NI AEEE AC BA A AC A NM 2 I là trun điểm củ MN . NM NI BN NM NI AC NI Câu 18: [TS10 Hà Nội, 2019-2020]~[9H3B7][9H3K7][9H3G7] Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn ( AB AC ) nội tiếp đường trịn O . H i đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H . 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường trịn. 2) Chứn minh đường thẳng OA vuơng gĩc với đường thẳng EF . 3) Gọi K là trun điểm củ đoạn thẳng BC . Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I , đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P . Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP . Lời giải A E M x P F H O B D K I C S 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường trịn. Xét tứ giác BCEF ta cĩ : BEC 90 ( BE là đường cao) Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  32. 31 Website:tailieumontoan.com BFC 90 (CF là đường cao) BCEF là tứ giác nội tiếp (đỉnh E , F cùng nhìn cạnh BC dưới một gĩc vuơng). 2) Chứn minh đường thẳng OA vuơng gĩc với đường thẳng EF. Vẽ tiếp tuyến Ax như hình vẽ BAF ACB (tính chất giữ đường tiếp tuyến và dây cung). Do tứ giác BCEF nội tiếp AFE ACB. Ta suy ra BAF AFE EF// Ax (do hai gĩc so le trong) Lại cĩ Ax OA OA  EF (đpcm). 3) Chứng minh APE ABI AEB ABI AEB EFC ABI EFC 180  Ta cĩ : ( Vì∽ ) Mặt khác APE PAI 90  (vì AI PE ) AIB PAI 90  ( Vì AH BC ) APE AIB Vậy APE ABI ( g-g). * Chứng minh KH// PI ∽ Gọi M là i o điểm của AO và EF , dun đường kính AS Ta cĩ BE// CS cùng vuơng gĩc AC BS// CF cùng vuơng gĩc AB BHCS là hình bình hành nên HKS,, thẳng hàng Ta cĩ AE AC AH AD và AE AC AM AS AH AM AH AD AM AS AHM ASD AHM ASD AS AD HMSD Nội tiếp đường trịn Kết hợp PMID nội tiếp đường trịn PIM PDM HSM HS// PI . Câu 19: [TS10 Hà Tĩnh, 2019-2020]~[9H3G7] Cho đườn trịn tâm O và điểm M nằm n ồi đườn trịn đĩ. Qu M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường trịn (A, B là tiếp điểm). Đường thẳng (d) th y đổi đi qu M, kh n đi qua O và luơn cắt đường trịn tại h i điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D). a) Chứng minh AMBO là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh MC.MD MA2 . c) Chứn minh đường trịn ngoại tiếp tam giác OCD lu n đi qu điểm cố định khác O. Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  33. 32 Website:tailieumontoan.com A D C M H O B a) Theo tính chất tiếp tuyến cĩ MAO 900 MBO 900 suy ra tứ giác AMBO nội tiếp đườn trịn (đpcm). b) Xét MCA và MAD cĩ gĩc M chung, 1 cĩ MAC MDA (cùng bằng sđ AC ) 2 Suy ra MCA và MAD đồng dạng. MC MA Suy ra (đpcm) MC.MD MA2 MA MD c) Gọi H là i o điểm OM và AB suy ra H cố định. Xét trong tam giác MAO vuơng tại A cĩ đường cao AH suy ra cĩ MH.MO MA2 Kết hợp với MC.MD MA 2 nên cĩ MH.MO MC.MD. MC MH Từ đĩ cĩ và gĩc M chung MCH và MOD đồng dạng CHM MDO nên MO MD tứ giác OHCD nội tiếp đường trịn. Từ đĩ cĩ đường trịn ngoại tiếp tam giác OCD lu n đi qu điểm H cố định. Câu 20: [TS10 Hải Dươn , 2019-2020]~[9H3B7][9H3K4][9H3G7] Từ điểm A nằm n ồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường trịn (B, C là tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AO chứ điểm B vẽ cát tuyến AMN với đườn trịn (O) (AM < AN, MN kh n đi qu O). Gọi I là trun điểm của MN. 1) Chứng minh: Tứ giác AIOC là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi H là i o điểm của AO và BC. Chứng minh: AH.AO = AM.AN và tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp. 3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN, cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằn M là trun điểm của EF. Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  34. 33 Website:tailieumontoan.com B 1 N 1 I D M 1 2 1 A O H C 1) Vì IM = IN (GT) OI MN (liên hệ đường kính và dây) AIO 90o Lại cĩ ACO 90o (AC là tiếp tuyến của (O)) Tứ giác AIOC cĩ: AIO ACO 90o 90 o 180 o AIOC là tứ giác nội tiếp. 2) (O) cĩ: B1 là gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung MB N1 là gĩc nội tiếp chắn cung MB BN1 1 ABM và ANB cĩ: A11 chung ; B N1 ABM ANB (g-g) AB AM AB2 AM.AN (1) AN AB Ta cĩ: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) OB = OC (= R) AO là đường trung trực của BC BH AO ABO vuơng tại B (vì AB là tiếp tuyến củ (O)), cĩ BH là đường cao AB2 = AH.AO (hệ thức lượng trong tam giác vuơng) (2) Từ (1) và (2) AH.AO = AM.AN AH AM AH.AO = AM.AN AN AO AH AM AHM và ANO cĩ: A2 chung ; AN AO Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  35. 34 Website:tailieumontoan.com AHM ANO (c-g-c) H1 ANO Tứ giác MNOH cĩ H1 ANO MNOH là tứ giác nội tiếp. 3) Cách 1: B 1 N 1 I D E M F 1 2 1 2 3 4 A O H C Gọi D là i o điểm của AN và BC MNOH là tứ giác nội tiếp OMN H4 OMN cân tại O (vì OM = ON = R) OMN ONM H4 ONM Mà H1 ONM (theo phần 2) HH14 o Mặt khác: H1 H 2 H 3 H 4 90 HH23 HD là đường phân giác trong của HMN Lại cĩ HA  HD HA là đường phân giác ngồi của HMN Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta cĩ: DM HM AM HM DM AM và (3) DN HN AN HN DN AN Áp dụng hệ quả củ định lí Ta-lét, ta cĩ: ME AM ABN cĩ ME // BN (4) BN AN MF DM DBN cĩ MF // BN (5) BN DN ME MF Từ (3), (4), (5) ME MF BN BN Vậy M là trun điểm của EF. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  36. 35 Website:tailieumontoan.com Cách 2: B 1 N K 1 I D E M F 1 2 1 A O H C o AHD và AIO cĩ: A2 chung ; AHD AIO 90 AHD AIO (g-g) AH AD AH.AO AI.AD AI AO Lại cĩ AH.AO = AM.AN AM AI AM.AN AI.AD AD AN Vì ME // BN nên tứ giác MEBN là hình thang Gọi K là trun điểm của EB IK là đường trung bình của hình thang MEBN KI // BN AK AI (hệ quả củ định lí Ta-lét) AB AN AK AM AM AI do AB AD AD AN KM // BD (định lí Ta-lét đảo) EBF cĩ KE = KB và KM // BF ME = MF (đpcm). Câu 21: [TS10 Hải Phịng, 2019-2020]~[9H3K7][9H3K7][9H3G7] 1Từ điểm A nằm n ồi đường trịn O vẽ hai tiếp tuyến AD, AE ( DE, là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ABC củ đường trịn O s o cho điểm B nằm giữ h i điểm A và C; tia AC nằm giữa hai tia AD và AO. Từ điểm O kẻ OI AC tại I. a) Chứn minh năm điểm ADIOE,,,, cùng nằm trên một đường trịn. b) Chứng minh IA là tia phân giác của DIE và AB AC AD2 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  37. 36 Website:tailieumontoan.com c) Gọi K và F lần lượt là i o điểm của ED với AC và OI. Qu điểm D vẽ đường thẳng song song với IE cắt OF và AC lần lượt tại H và P. Chứng minh D là trun điểm của HP. Lời giải E O K C I P B A D H F 4.1 a (0,75 điểm) Chứn minh năm điểm A,D,I,O,E cùng thuộc một đường trịn; + Chứn minh 4 điểm A,D,O,E thuộc một đường trịn (1) + Chứn minh 4 điểm A,D,O,I thuộc một đường trịn (2) Từ (1) và (2) suy r năm điểm A,D,I,O,E cùng thuộc một đường 2 4.1 b (1,0 điểm) Chứng minh IA là tia phân giác của DIE và AB.; AC AD Chứn minh được tứ giác AEID nội tiếp EIA DIA (3) Chứn minh được tứ AE AD AE AD (4) Từ (3) và (4) suy ra IA là tia phân giác của DIE Chứng minh ABD ADC AD AB Suy ra AD2 AB.AC (đpcm) AC AD 4.1 c (0,75 điểm) Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  38. 37 Website:tailieumontoan.com E O K C I P B A D H F HD FD DP DK Do : IE / / HP ta chứn minh được ; 5 IE FE IE KE Chứng minh IK,IF là phân giác trong và ngồi củ t m i c IDE nên t suy r được DK IP FD ID ; 6 KE IE FE IE Câu 22: [TS10 Hậu Giang, 2019-2020]~[9H3B7][9H3K3][9H3G7] Cho đường trịn tâm (O) với đ y AB cố định khơng phải đường kính. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; AC . Gọi I là i o điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K. a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp. b) Chứng minh MK.MN MI.MC c) chứng minh tam giác AKI cân tại K. Lời giải a) Ta cĩ: ABN NMC (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung hai cung bằng nhau) Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  39. 38 Website:tailieumontoan.com HBI HMI Tứ giác BMHI nội tiếp ( tứ i c cĩ h i đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các gĩc bằng nhau). b) Ta cĩ MNB ACM (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung hai cung bằng nhau) MNI MCK Xét tam giác MIN và tam giác MKC ta cĩ: NMC : chung MNI MCK cmt MI MK MIN MKC g g MK.MN MI.MC MN MC c) Ta cĩ MNI MCK (cmt) nên tứ giác NCIK nội tiếp HKI NCI NCM ( gĩc ngồi và gĩc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp) sdMN Lại cĩ NMC (gĩc nội tiếp bằng nửa số đo cun bị chắn) 2 sdAN sdBM sdAN sdAM sdMN AHN ( ĩc cĩ đỉnh bên tron đường trịn) 2 2 2 NCM AHK HKI AHK mà chúng ở vị trí so le trong AH / /KI Chứn minh tươn tự ta cĩ AKH KHI mà chúng ở vị trí so le trong AK / /HI AH / /KI Xét tứ giác AHIK ta cĩ AHKI là hình bình hành (1) AK / /HI Tứ giác BMHI là tứ giác nội tiếp MHB MIB(hai gĩc nt cùng chắn cung MB) Tứ giác NCIK là tứ giác nội tiếp NKC KIC(hai gĩc nt cùng chắn cung NC) Mà MIB NIC dd MHB NKI AHK AKH AHK cân tại H AH AK 2 Từ (1) và (2) tứ giác AHIK là hình thoi KA KI AKI cân tại K (đpcm) Câu 23: [TS10 T.p Hồ Chí Minh, 2019-2020]~[9H3B7][9H3B4][9H3K7][9H3G7] Cho tam giác ABC cĩ AB AC nội tiếp đường trịn ()O . H i đường trịn BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt BC và ()O lần lượt tại F và K (KA). Gọi L là hình chiếu của D lên AB. a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp và BD2 BL BA. b) Gọi J là i o điểm của KD và (O ), (JK ). Chứng minh rằng BJK BDE. c) Gọi I là i o điểm của BJ và ED. Chứng minh tứ giác ALIJ nội tiếp và I là trun điểm ED. Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  40. 39 Website:tailieumontoan.com J A L D I E O H B F C K a) Ta cĩ BEC BDC 90 nên c c điểm ED, cùng nằm trên đườn trịn đường kính BC. Do đĩ tứ giác BEDC nội tiếp. Xét tam giác ABD vuơng ở D cĩ DL là đường cao nên theo hệ thức lượng, ta cĩ BD2 BL BA. b) Ta thấy H là trực tâm tam giác ABC nên AF cũn là đường cao của tam giác và AF BC. Xét đường trịn ()O cĩ BJK BAK , cùng chắn cung BK . Tứ giác ADHE cĩ ADH AEH 90 90 180 nên nội tiếp. Suy ra HAE HDE nên BAK BDE . Tứ các kết quả trên, ta suy ra BJK BDE . c) Xét hai tam giác BID và BDJ cĩ BDI BJD (theo câu b) và DBI chung. BI BD Suy ra BID BDJ ( g . g ) hay BD2 BI BJ. BD BJ BL BJ Theo câu a, ta cĩ BD2 BL BA nên BL BA BI BJ nên . BI BA BL BJ Lại xét hai tam giác BIL và BAJ cĩ gĩc B chung và . Do đĩ BI BA BIL BAJ LAI LID 180 , Suy ra tứ giác ALIJ nội tiếp. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  41. 40 Website:tailieumontoan.com Từ đĩ, t suy r ILE IJA. Mà JJA BJA BCA (cùng chắn cung BA) mà theo câu a, vì BEDC nội tiếp nên LEI AED BCA do đĩ LEI ELI . Từ đĩ t cĩ t m i c LEI cân và IE IL. Do đĩ ILD 90  ILE 90  LED LDI nên tam giác LID cũn cân và ID IL. Từ c c điều trên, t cĩ được ID IE nên điểm I chính là trun điểm của DE. Câu 24: [TS10 Hịa Bình, 2019-2020]~[9H3Y7][9H3K3][9H3G8] Cho đườn trịn (O) đườn kính AB. Điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường trịn (O) tại M và N. Gọi S là i o điểm củ h i đường thẳng BM và AN, Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt c c đường thẳng AB và AM lần lượt tại K và H. a) Chứng minh rằng tứ giác SKAM nội tiếp. b) Chứng minh rằng SA.SN = SB.SM c) Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến củ đường trịn (O). d) Chứng minh rằn 3 điểm H, N, B thẳng hàng. Lời giải 1) Xét tứ giác SKAM cĩ SKA 900 , SMA AMB 90 0 SKA SMA 180 0 Vậy tứ giác SKAM nội tiếp đườn trịn đường kính SA 1 2) Xét SAB và SMN cĩ gĩc S chung, cĩ gĩc SBA SMN sd AM 2 SA SM Vậy SAB ~ SMN (g-g) SA.SN = SB.SM SB SN 1 3) Ta cĩ MBA MNA sd AM;() MNA NSK slt 2 1 Lại cĩ KMA KSA sd KA. Suy ra KMA MBA OMB 2 Mà OMB OMA 9000 KMA OMA 90 Chứng tỏ KM là tiếp tuyến của (O) 4) Chỉ ra SAK KAH suy ra tam giác SAH cân tại A do đĩ H đối xứng với s qua BK Mặt kh c N đối xứng với M qua BK Mà S, M, B thẳng hàng Suy ra H, N, B thẳng hàng Câu 25: [TS10 Hưn Yên, 2019-2020]~[9H3G9] Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường trịn (O). Vẽ c c đường cao BD, CE của tam giác ABC ( D AC, E AB ). a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường trịn. b) Gọi i o điểm của AO với BD và ED lần lượt là K, M. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  42. 41 Website:tailieumontoan.com 1 1 1 Chứng minh: . MD2 KD 2 AD 2 Lời giải A x D M K E O C B a) Vì BD, CE là h i đường cao của tam giác ABC nên BEC BDC 900 Xét tứ giác BCDE cĩ BEC BDC 900 (cmt) nên h i đỉnh E, D kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới các gĩc 900, suy ra tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp. (dhnb). b) Kẻ tiếp tuyến Ax với đường trịn (O) Suy ra: OA Ax + Vì tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên BCD AED (1) (cùng bù với BED ) + X t đường trịn (O) cĩ BAx BCA(2) (Gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn cung AB) Từ (1) và (2) suy ra: BAx AED mà hai gĩc ở vị trí so le trong nên Ax// ED Mà Ax AO() cmt ED  AO  M  Xét tam giác ADK vuơng tại D cĩ DM là đường cao. 1 1 1 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuơng ta cĩ: (đpcm) DM2 DK 2 DA 2 Câu 26: [TS10 Khánh Hịa, 2019-2020]~[9H3B7][9H3K7][9H3G9] Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH . Vẽ đường trịn A bán kính AH . Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với A cắt đường thẳng AC tại D (điểm I là tiếp điểm, I và H khơng trùng nhau). a) Chứng minh AHBI là tứ giác nội tiếp. b) Cho AB 4 cm , AC 3 cm . Tính AI . c) Gọi HK là đường kính của A . Chứng minh rằng BC BI DK . Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  43. 42 Website:tailieumontoan.com D K I A B H C a) Chứng minh tứ giác AHBI là tứ giác nội tiếp. Do BI là tiếp tuyến của A BI  AI AIB 900 Xét tứ giác AHBI cĩ: 0 AIB 90 0 AHB 90 AH BC AIB AHB 900 90 0 180 0 Tứ giác AHBI là tứ giác nội tiếp đườn trịn đường kính AB (tứ giác cĩ tổng hai gĩc đối bằng 1800 ) b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng tính AH, suy ra AI. Áp dụng hệ thức lượn tron t m i c vu n ABC, đường cao AH ta cĩ: 1 1 1 1 1 1 1 25 AH2 AB 2 AC 24 2 3 2 16 9 144 144 144 12 AH2 AH 25 25 5 12 Vậy AI AH R . 5 c) Gọi HK là đường kính của A . Chứng minh rằng BC BI DK . BI BH 1 +) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cĩ: BAI BAH BAI BAH 9000 BAI 90 BAH IAD HAC . Mà HAC KAD IAD KAD. +) Xét ADI và ADK cĩ: AD chung IAD KAD cmt AI AK R Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  44. 43 Website:tailieumontoan.com Suy ra ADI AKI c g c AKD AID 900 (h i ĩc tươn ứng) AKD vuơng tại K. +) Xét tam giác vuơng AKD và tam giác vuơng AHC cĩ: AK AH R ; KAD HAC (đối đỉnh); AKD AHC (cạnh gĩc vuơng – gĩc nhọn kề) DK HC 2 (hai cạnh tươn ứng). Từ 1 và 2 suy ra BC BH HC BI DK dpcm . Câu 27: [TS10 Kon Tum, 2019-2020]~[9H3G7] Cho đường trịn O đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa A, C. Kẻ tiếp tuyến CK với đường trịn O (K là tiếp điểm ), tiếp tuyến tại A củ đường trịn O cắt đường thẳng CK tại H. Gọi I là i o điểm OH và AK, J là i o điểm của BH với đường trịn O (J khơng trùng với B). a) Chứng minh AJ.HB = AH.AB. b) Chứn minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên một đường trịn. AH HP c) Đường thẳng vuơng gĩc với AB tại O cắt CH tại P. Tính . HP CP Lời giải H P J K I A O B C a) Chứng minh : Chứng minh AJ.HB = AH.AB. AHB vuơng tại A (giả thiết AH là tiếp tuyến củ đường trịn) AJB 900 (gĩc nội tiếp chắn nữ đường trịn (O)) suy ra AJ là đường cao của tam giác AHB Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuơng AHB ta cĩ AJ.HB = AH.AB. b) Chứng minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên một đường trịn. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  45. 44 Website:tailieumontoan.com Vì OH là đường trung trực củ đoạn thẳng AK (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên OH vuơng gĩc với AK HIA 900 Ta lại cĩ HJA 900 => tứ giác AIJH nội tiếp đường trịn JAH JIH (gĩc nội tiếp cùng chắn cung JH) Mặt khác JAH ABH (do cùng phụ với gĩc AHB ) JIH ABH Mà JIH JIO 18000 ABH JIO 180 Vậy 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên một đường trịn. AH HP Đường thẳng vuơng gĩc với AB tại O cắt CH tại P. Tính . HP CP Ta cĩ OP // AH (vì cùng vuơng gĩc với AB) AHO HOP (so le trong) Mà AHO OHK (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OHK HOP Suy ra tam giác HOP cân tại H => HP = OP ( ) AH CH c) Áp dụn định lý Ta let trong tam giác AHC ta cĩ : OP CP AH OP CH CP OP CP AH HP AH HP 11 (do ( )) OP CP HP CP Câu 28: [TS10 Lai Châu, 2019-2020]~[9H3G9] Cho đường trịn (O; R), dây BC cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC (AB < AC) sao cho tam giác ABC nhọn. C c đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là i o điểm của EF với BC. 1) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. 2) Chứng minh: KB KC KE KF 3) Gọi M là i o điểm của AK với (O) ()MA . Chứng minh MH AK . Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  46. 45 Website:tailieumontoan.com 1) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. 0 BE AC BEC 90 Do 0 CF AB CFB 90 0 Tứ giác BCEF cĩ BEC CFB 90 nên là tứ giác nội tiếp (h i đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các gĩc bằng nhau). 2) Chứng minh: KB KC KE KF Tứ giác BCEF nội tiếp (câu a) nên KFB ECB (gĩc ngồi tại một đỉnh bằng gĩc trong tại đỉnh đối diện) Xét tam giác KFB và KCE cĩ: K chung KFB KCE (g - g) KFB KCE (cmt) KF KB (các cặp cạnh tươn ứng tỉ lệ) KF KE KB KC (đpcm) KC KE 3) Gọi M là giao điểm của AK với (O) ()MA . Chứng minh MH AK . 0 Kéo dài AH cắt BC tại D thì AD BC ADB 90 Xét tam giác AFH và ADB cĩ: A chung AF AH AFH ADB(g - g) (các cặp cạnh tươn ứng tỉ lệ) 0 AFH ADB = 90 AD AB AF. AB AD . AH (1) 0 Dễ thấy tứ giác AMBC nội tiếp (O) nên AMB ACB 180 (tính chất) (2) 0 Tứ giác ABCF nội tiếp (cmt) nên BFE BCE 180 Mà BFE AFK (đối đỉnh) 0 AFK ACB = 180 (3) Từ (2) và (3) suy ra AMB AFK (cùng bù với ACB ) Xét tam giác AMB và AFK cĩ: A chung AM AB AMB AFK (g - g) (các cặp cạnh tươn ứng tỉ lệ) AMB AFK (cmt) AF AK AM. AK AB . AF (4) AM AD Từ (1) và (4) suy ra AM AK AD AH AH AK Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  47. 46 Website:tailieumontoan.com Xét tam giác AMH và ADK cĩ: A chung AM AH AMH ADK (c - g - c) AMH ADK (h i ĩc tươn ứng) = (cmt) AD AK 00 Mà ADK 90 AMH 90 hay HM  AK (đpcm) Câu 29. [TS10 Lâm Đồng, 2019-2020] Cho ABC nhọn nội tiếp đường trịn O . C c đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H D BC;E AC;F AB , tia FE cắt đường trịn tại M . Chứng minh AM2 AH.AD Lời giải A M E H F C O D B Xét AFH và ADB : BAD chung và AFH ADB 900 AF AH Suy ra AFH ADB g.g AH.AD AB.AF 1 AD AB Xét tứ giác BFEC cĩ: BFC  900 CF AB BEC  900 BE AC Cĩ F và E cùn nhìn đoạn BC cố định dưới một gĩc vuơng Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp đườn trịn đường kính BC AFM ACB (gĩc trong bằng gĩc ngồi tại đỉnh đối) Trong O cĩ: AMB ACB (hai gĩc nội tiếp cùng chắn AB ) Suy ra AFM AMB Xét AMF và ABM : MAB chung và AFM AMB AM AF Suy ra AMF ABM g.g AM2 AB.AF 2 AB AM Từ 1 và 2 suy ra AM2 AH.AD Câu 30. [TS10 Lạn Sơn, 2019-2020] Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  48. 47 Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn (AB<AC) và nội tiếp đường trịn (0). Vẽ đường cao AH ()H BC , Từ H kẻ HM vuơng gĩc với AB ()M AB và kẻ HN vuơng gĩc với AC ()N AC . Vẽ đường kính AE củ đường trịn (O) cắt MN tị I, Tia MN cắt đường trịn (O) tại K a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp b) Chứng minh AM.AB=AN.AC c) Chứng minh tứ giác CEIN nội tiếp và tam giác AHK cân Lời giải A K O N I M B H C E a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp HM AB(gt) AMH 900 Ta cĩ HN AC(gt) ANH 900 Xét tứ giác AMHN cĩ AMH ANH 900 90 0 180 0 Mà AMH và ANH là 2 ĩc đối  Tứ giác AMHN nội tiếp b) Chứng minh AM.AB=AN.AC Do Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt)  AMN AHN (2 gĩc nội tiếp cùng chắn cung AN) Mà AHN HAN 900 ( ANH vuơng tại N) ACB HAN 900 ( ANH vuơng tại N)  AMN ACB Xét ABC và ANM cĩ BAC là gĩc chung AMN ACB (cmt) Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  49. 48 Website:tailieumontoan.com ABC đồng dạng ANM (g.g) AB AC AB AM AC AN AN AM d) Chứng minh tứ giác CEIN nội tiếp và tam giác AHK cân Xét (0) ta cĩ EAC EBC (2 gĩc nội tiếp chắn cung EC) (1) Ta cĩ ABE 900 (gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn (0))  ABH CBE 900 Mà ABH HAM 900 ( ABH vuơng tại H) ECB HAM (2) Từ (1) và (2) HAM EAC (3) Do Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt) AHM ANM (2 gĩc nội tiếp chắn cung AM) (4) Mà MHA HAM 900 ( AHM vuơng tại M) (5) Từ (3);(4);(5) CAE ANM 900  ANI vuơn tại I  AIN 9000 NIE 90 Xét (0) ACE 900 (Gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) Xét tứ giác CEIN cĩ NIE NCE NIE ACE 900 90 0 180 0 Mà NIE và NCE là 2 ĩc đối  Tứ giác CEIN nội tiếp Xét AHC vuơn tại H Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao  AH2=AN.AC (6) Nối A với K AKE 900 AKE vuơng tại K Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao  AK2=AI.AE (7) Xét AIN và ACE cĩ AIN ACE 900 CAE chung  AIN đồng dạng ACE AI AN AI AE AC AN AC AE (8) Từ (6)(7)(8) => AH2 =AK2 => AH=AK => HAK cân tại A Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  50. 49 Website:tailieumontoan.com Câu 31. [TS10 Lào Cai, 2019-2020] Cho đườn trịn (O), điểm M nằm n ồi đường trịn (O). kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B và C là các tiếp điểm) với đường trịn. Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho AB < AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt đường trịn (O) tại D và E (MD < ME),cắt BC tại F, cắt AC tại I. a) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp. b) Chứng minh FD.FE FB.FC;FI FE FD.FE c) Đường thẳng OI cắt đường trịn (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt đường trịn (O) tại K (K khác Q). Chứn minh 3 điểm P, K, M thẳng hàng. Lời giải 0 a) Do Mb,Mc là hai tiếp tuyến củ đường trịn (O) nên OBM OCM 90 0 Xét tứ giác MBOC cĩ: OBM OCM 180 suy ra tứ giác MBOC là tứ giác nội tiếp. b) Xét tam giác FBD và tam giác FEC cĩ: BFD EFC dd FDB FCE ( hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung BE) FB FD FBD FEC g g FD.FE FB.FC 1 FE FC Ta cĩ AB// ME suy ra BAC DIC Mà BAC MBC(gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC) DIC MBC MBF CIF Xét tam giác FBM và tam giác FIC cĩ: BFM IFC (đđ) MBF CIF cmt Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  51. 50 Website:tailieumontoan.com FB FM FBM FIC g g FI.FM FB.FC 2 FI FC Từ (1) và (2) FI.FM FD.FE 3 c) Xét tam giác FDK và tam giác FQE cĩ: KFD EFQ (đđ) FKD FEQ ( hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung DQ) FKD FEQ g g FK FD FD.FE FK.FQ 4 FE FQ FM FK Từ (3) và (4) FI.FM FK.FQ FQ FI Xét tam giác FMQ và tam giác FKI cĩ: FM FK cmt FQ FI MFQ KFI FMQ FKI c g c FMQ FKI Suy ra tứ giác KIQM là tứ giác nội tiếp MQK MIQ(hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung MQ) Ta cĩ MBF CIF MBC MIF suy ra tứ giác MBIC là tứ giác nội tiếp Mà MOBC là tứ giác nội tiếp nên M, B, O, I, C cùng thuộc 1 đường trịn. 0 Ta cĩ OBM 90 suy r OM là đường kính củ đườn trịn đi qu 5 điểm M, B, O, I, C. 0 Suy ra OIM 90 (gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) 0 IM  OI MIQ 90 0 MKQ MIQ 90 0 Lại cĩ QKP 90 (gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) 0 Từ đĩ t cĩ: MKP MKQ QKP 180 Vậy 3 điểm P, K, M thẳng hàng. Câu 32. [TS10 Long An, 2019-2020] Cho đường trịn O,R , đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax với đường trịn O,R và lấy trên tiếp tuyến đĩ điểm P sao cho AP R , từ P kẻ tiếp tuyến thứ hai tiếp xúc với đường trịn O,R tại M . a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp được đường trịn. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  52. 51 Website:tailieumontoan.com b) Chứng minh BM song song OP . c) Biết đường thẳng vuơng gĩc với AB tại O cắt BM tại N , AN cắt OB tại K , PM cắt ON tại I ,PN cắt OM tại J . Chứn minh b điểm K,I ,J thẳng hàng. Lời giải P N J I M K A B O )X t tứ i c APMO cĩ PAO PMO 900 90 0 180 0 APMO nội tiếp đườn trịn đường kính PO . b) Chứng minh BM // OP BM AM (gĩc nội tiếp chắn nử đườn trịn) (1) PA,PM là hai tiếp tuyến xuất phát từ P  PO AM (2) Từ (1),(2) BM // OP c) Tam giác ANB cĩ NO là đườn c o đồng thời là đường trung tuyến nên ANB cân tại N suy ra NO cũn là phân i c hay ANO ONB Lại cĩ ANO PAN (so le trong, PA // NO ) ONB NOP (so le trong, PO // BM ) Suy ra ANO ONB PNOA nội tiếp đườn trịn đường kính PO PNO 900 PAON là hình chữ nhật. K là trun điểm PO và AN Ta cĩ JOP cĩ ON,PM là c c đường cao cắt nhau tại I I là trực tâm JOP JI OP 3 Mặt khác PNMO là hình thang nội tiếp đườn trịn đường kính PO PNMO là hình thang cân Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  53. 52 Website:tailieumontoan.com NPO MOP hay JPO JOP Do đĩ JPOcân tại J cĩ JK là trung tuyến JK cũn là đường cao JK OP 4 Từ 34 , K,I ,J thẳng hàng. Câu 33. [TS10 N m Định, 2019-2020] Qu điểm A năm n ồi đườn trịn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC củ đườn trịn (B, C là c c tiếp điểm. Gọi E là trun điểm củ đoạn AC, F là i o điểm thứ h i củ EB với (O) 1) Chứn minh tứ i c ABOC là tứ i c nội tiếp và ∆CEF  ∆BEC 2) Gọi K là i o điểm thứ h i củ AF với đườn trịn (O). Chứn minh BF.CK = BK.CF 3) Chứn minh AE là tiếp tuyến củ đườn trịn n oại tiếp ∆ABF Lời giải B K F A O H E x C 1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp và ∆CEF đồn dạn ∆BEC Cĩ AB, AC là các tiếp tuyến củ đường trịn (O) , B và C là ác tiếp điểm 00 AB OB, AC  OC ABO 90 , ACO 90 0 0 0 Tứ giác ABOC cĩ ABO ACO 90 90 180 nên tứ giác ABOC nội tiếp đường trịn + Đường trịn (O) cĩ: EBC là gĩc nội tiếp chắn cung CF ECF là gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây cung CF EBC ECF (gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CF) Xét ∆CEF và ∆BEC cĩ BEC là gĩc chung EBC ECF (chứng minh trên)  ∆CEF đồng dạng ∆BEC (g . g) 2) Chứng minh BF.CK = BK.CF Xét ∆ABF và ∆AKB cĩ BAK là gĩc chung ABF AKB (gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BF) Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  54. 53 Website:tailieumontoan.com BF AF  ∆ABF  ∆AKB ( . ) (1) BK AB Chứn minh tươn tự ta cĩ: CF AF ∆ACF  ∆AKC ( . )  (2) CK AC Mà AB = AC (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau của (O)) (3) BF CF Từ (1), (2) và (3)  BF.CK BK.CF BK CK 3) Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp ∆ABF Cĩ ∆ECF đồng dạng ∆EBC (Chứng minh câu a) EC EF 2 EC EB.EF EB EC 2 EA EF Mà EC = EA (gt) EA EB.EF EB EA Xét ∆BEA và ∆AEF cĩ: EA EF EB EA AEB là gĩc chung  ∆BEA đồng dạng ∆AEF (c. .c) EAF EBA ( h i ĩc tươn ứng) hay EAF ABF Trên nửa mặt phẳng bờ AB cĩ chư điểm E, kẻ tia Ax là tiếp tuyến củ đường trịn ngoại tiếp ABF EAF xAF (Cùng bằng ABF)  tia AE trùng với tia Ax  AE là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp ∆ABF Câu 34. [TS10 Nghệ An, 2019-2020] Cho đườn trịn (O) cĩ h i đường kính AB và MN vuơng gĩc với nh u. Trên ti đối của tia MA lấy điểm C kh c điểm M. Kẻ MH vuơng gĩc với BC (H thuộc BC). a) Chứng minh BOMH là tứ giác nội tiếp. b) MB cắt OH tại E. Chứng minh ME.MH = BE.HC. c) Gọi giao điểm củ đường trịn (O) với đường trịn ngoại tiếp ∆MHC là K. Chứng minh 3 điểm C, K, E thẳng hàng. Lời giải a) Ta cĩ: MOB 900 (do AB MN) và MHB 900 (do MH  BC) C Suy ra: MOB MHB 900 90 0 180 0 Tứ giác BOMH nội tiếp. M H b) ∆OMB vu n cân tại O nên OBM OMB (1) K Tứ giác BOMH nội tiếp nên OBM OHM (cùng chắn cung E OM) A B O Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC N
  55. 54 Website:tailieumontoan.com và OMB OHB (cùng chắn cung OB) (2) Từ (1) và (2) suy ra: OHM OHB ME MH HO là tia phân giác của MHB (3) BE HB Áp dụng hệ thức lượn tron ∆BMC vu n tại M cĩ MH là đường cao ta cĩ: HM HC HM2 HC. HB (4) HB HM ME HC Từ (3) và (4) suy ra: 5 ME . HM BE . HC (đpcm) BE HM c) Vì MHC 900 (do MH  BC) nên đường trịn ngoại tiếp ∆MHC cĩ đường kính là MC 0 MKC 90 (gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) MN là đường kính củ đường trịn (O) nên MKN 900 (gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) 0 MKC MKN 180 3 điểm C, K, N thẳng hàng (*) HC MC ∆MHC ∆BMC ( . ) . Mà MB = BN (do ∆MBN cân tại B) MH BM HC∽ MC ME HC , kết hợp với (theo (5) ) HM BN BE HM MC ME Suy ra: . Mà EBN EMC 900 ∆MCE ∆BNE (c. .c) BN BE 0 ∽ MEC BEN , mà MEC BEC 180 (do 3 điểm M, E, B thẳng hàng) 0 BEC BEN 180 3 điểm C, E, N thẳng hàng ( ) Từ (*) và ( ) suy r 4 điểm C, K, E, N thẳng hàng 3 điểm C, K, E thẳn hàn (đpcm) Câu 35. [TS10 Ninh Bình, 2019-2020] Cho đựờng trịn tâm O một điểm M nằm n ồi đường trịn. Từ M kẻ đường thẳn đi qua tâm O , cắt đường trịn tại hai điểm AB, (A nằm giữa M và B ). Kẻ đường thẳng thứ h i đi qu M , cắt đường trịn tại h i điểm phân biệt CD, (C nằm giữa M và D , C khác A ). Đường thẳng vuơng gĩc với MA tại M cắt đường thẳng BC tại N , đường thẳng NA cắt đường trịn tại điểm thứ hai là E . a. Chứng minh tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp. N b. Chứng minh DE vuơng gĩc với MB . D C Lời giải B M A O Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC E
  56. 55 Website:tailieumontoan.com 2. a. Chứng minh tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp. Ta cĩ MN AB NMA 900 ACB là gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn nên ACB 900 ACB NMA 900 Tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp (tứ giác cĩ gĩc ngồi tại một đỉnh bằng gĩc trong tại đỉnh đối diện) b. Chứng minh DE vuơng gĩc với MB . Ta cĩ tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp (chứng minh trên) CNA CMA (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung AC ) Hay BNE BMD (1) X t đường trịn O ta cĩ : BNE là ĩc cĩ đỉnh nằm n ồi đường trịn chắn cung AC và BE 1 BNE ssđđ BE AC (2) 2 DMB là ĩc cĩ đỉnh nằm n ồi đường trịn chắn cung AC và BD 1 DMB ssđđ BD AC (3) 2 Từ (1), (2) và (3) suy ra ssđđBE BD BD BE (hai cung bằn nh u căn h i dây bằng nhau) B nằm trên đường trung trực của DE (4) Lại cĩ ADB AEB 900 (các gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn O ) Xét ADB và AEB ta cĩ : ADB AEB 900 (chứng minh trên) AB chung BD BE (chứng minh trên) Do đĩ ADB AEB (ch-cgv) AD AE (hai cạnh tươn ứng) A nằm trên đường trung trực của DE (5) Từ (4) và (5) suy ra AB là đường trung trực của DE AB DE hay MB DE (đpcm) Câu 36. [TS10 Bắc Ninh, 2019-2020] Cho đường trịn O , h i điểm AB, nằm trên O sao cho AOB 90º . Điểm C nằm trên cung lớn AB sao cho AC BC và tam giác ABC cĩ b ĩc đều nhọn. C c đường cao Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  57. 56 Website:tailieumontoan.com AI, BK của tam giác ABC cắt nhau tại điểmH . BK cắt O tại điểmN (kh c điểmB ); AI cắt O tại điểmM (kh c điểmA ); NA cắt MB tại điểmD . Chứng minh rằng: a) Tứ giác CIHK nội tiếp một đường trịn. b) MN là đường kính củ đường trịn O . c) OC song song với DH . Lời giải a)Ta cĩ C HK KC HKC HIC 90º 90º 180º . HI IC N Do đĩ,CIHK là tứ giác nội tiếp. O K b) Do tứ giác CIHK nội tiếp nên M I 11 H 45º ICK BHIsđ BM sđ AN . 22 A B sđBM sđ AN 90  . MN AB BM AN Suy ra, sđ sđ() sđ sđ hay 90 90 180º MN là đường kính của O . D c) Do MN là đường kính của O nên MA DN, NB DM . Do đĩ, H là trực tâm tam giác DMN hay DH MN . Do IK, cùng nhìn AB dưới gĩc 90º nên tứ giác ABIK nội tiếp. Suy ra, CAI CBKsđ CM sđ CN C là điểm chính giữa của cung MN CO MN . Vì AC BC nên ABC khơng cân tại C do đĩ COH,, khơng thẳng hàng. Từ đĩ suy r CO // DH . Câu 36. [TS10 Ninh Thuận, 2019-2020] Cho ABC vuơng tại C nội tiếp tron đườn trịn tâm O, đường kính AB = 2R, ABC 600 . Gọi H là chân đường cao hạ từ C xuống AB, K là trun điểm đoạn thẳng AC. Tiếp tuyến tại B củ đường trịn tâm O cắt AC kéo dài tại điểm D. a) Chứng minh tứ giác CHOK nội tiếp trong một đường trịn b) Chứng minh rằng AC.AD= 4R2. c) Tính theo R diện tích của phần tam giác ABD nằm ngồi hình trịn tâm O. Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  58. 57 Website:tailieumontoan.com D C K 0 A 60 B O H a) Chứng minh tứ giác CHOK nội tiếp trong một đường trịn Vì K là trun điểm của dây cung AC nên OK  AC CKO 900 Xét tứ giác CHOK cĩ : CKO 900 (cmt) CHO 900 (vì CH  AB) Vì CKO CHO 900 90 0 180 0 nên tứ giác CHOK nội tiếp b) Chứng minh rằng AC.AD= 4R2. Xét ACB và ABD cĩ : ACB ABD 900 BAD là gĩc chung AC AB Vậy ACB ∽ ABD (g-g) AC.AD = AB2 = (2R)2 = 4R2 (đpcm) AB AD c) Tính theo R diện tích của phần tam giác ABD nằm ngồi hình trịn tâm O. Gọi S là diện tích của phần tam giác ABD nằm ngồi hình trịn tâm O Khi đĩ : SSSS ABD ABC vp Ta cĩ : OB = OC = bk, ABC 600 OBC là t m i c đều OB = OC = BC = R và BOC 600 R 3R Lại cĩ CH  AB H là trun điểm OB BH = AH = 2 2 RR2 3 Trong CHB vuơng tại H cĩ : CH2 BH 2 BC 2 CH BC2 HB 2 R 2 42 R 3 2.R AH CH AB.CH 2 R 3 Vì CH // BD (cùng vuơng gĩc với AB) nên BD 2 AB BD AH 3R 3 2 Khi đĩ : Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  59. 58 Website:tailieumontoan.com 1 1 2RR 3 22 3 S AB. BD .2 R . ABD 2 2 3 3 1 1RR 32 3 S CH. AB . .2 R ABC 2 2 2 2 .RRRRR2 .60 1 2 1 3 2 2 3 S S S OB CH R vp qBOC BOC 360 2 6 2 2 6 4 Vậy diện tích phần tam giác ABD nằm ngồi hình trịn tâm O là : 2 2RRRR2 3 2 3 2 2 3 R 10 3 SSSS ABD ABC vp = (đvdt) 3 2 6 4 12 Câu 37. [TS10 Phú Thọ, 2019-2020] Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ đường caoAD D BC . Gọi I là trun điểm của AC; kẻ AH vuơng gĩc với BI tại H. a) Chứng minh tứ giácABDH nội tiếp. Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giácABDH. b) Chứng minh tam giác BDH đồng dạng với tam giác BIC. 1 c) Chứng minh AB HD AH BD AD BH 2 Lời giải A Ta cĩ ADB 90  ; AHB 90  . a) Suy ra HD, cùn nhìn đoạn AB dưới một gĩc vuơng. Vậy tứ giácABDH nội tiếp đường trịn I H đường kính AB. Đường trịn ngoại tiếp tứ giácABDH cĩ tâm là trun điểm của AB . B D C b) Xét BDH và BIC cĩ: +) HBD CBI; +) DHB DAB (do tứ giác ABDH nội tiếp); DAB ICB (cùng phụ DAC ). Suy ra DHB ICB. Suy ra BDH BIC (g.g). HD IC AC c) Theo phần b) ta cĩ . BH BC2 BC Mặt khác áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng ABC ta cĩ AC AD AD BC AB AC hay . BC AB HD AD 1 Do đĩ hay AB. HD AD . BH 1 . BH2 AB 2 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  60. 59 Website:tailieumontoan.com AH AI Ta cĩ AHB IAB (g.g) nên . BH AB AD AC2 AI Mặt khác ADB CAB (g.g) nên . BD AB AB 2AH AD 1 Suy ra hay AH. BD AD . BH 2 . BH BD 2 1 Từ 1 và 2 ta cĩ AB HD AH BD AD BH 2 Câu 38. [TS10 Quảng Nam, 2019-2020] Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng 6.cm Điểm N nằm trên cạnh CD sao cho DN 2 cm, P là điểm nằm trên ti đối của tia BC sao choBP DN . a) Chứng minh ABP ADN và tứ giác ANCP nội tiếp đường trịn. b) Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tứ giác ANCP . c) Trên cạnh BC , lấy điểm M sao choMAN 45  . Chứng minh MP MN và tính diện tích tam giác AMN. Lời giải a) Xét ABP và ADN , cĩ: AB AD(); gt ABP ADN (90); 0 BP DN (2) cm ABP ADN ( c . g . c ) P ABP ADN APB AND ANCP Tứ giác nội tiếp đường trịn. A 4 B 3 b) Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ANCP 2 1 O Tứ giác ANCP nội tiếp, cĩ NCP 900 M NP là đường kính củ đường trịn ()O và NAP 900 NP AN22 AP 2 AN (1) D N C ADN vuơng tai D , nên: AN AD2 DN 2 6 2 2 2 2 10 (2) Từ (1) và (2) suy ra: NP 2.2 10 4 5 (cm) B n kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác ANCP là 2 5 (cm ) Độ dài đường trịn ngoại tiếp tứ giác ANCP là: CR 2 2 .2 5 4 5 (cm) 00 c) Ta cĩ AAAAA1 2 3 90 1 3 45 0 0 Mà AA14 nên AA43 45 MAP 45 Xét MAN và MAP , cĩ: AM: cạnh chung; MAN MAP( 450 ) ; AN AP Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  61. 60 Website:tailieumontoan.com Do đĩ MAN MAP (c.g,c) MN MP Ta cĩ AN AP;; MN MP ON OP AM NP tại O. PO. PN 2 5.4 5 POM# PCN( g . g ) PM . PC PO . PN PM 5( cm ) PC 8 BM3( cm ) AM AB2 BM 2 6 2 3 2 45 3 5( cm ) 11 S . AM . NO .3 5.2 5 15( cm2 ) ANM 22 Câu 39. [TS10 Quảng Ngãi, 2019-2020] Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC), đường cao AH, nội tiếp đường trịn (O). Gọi D và E thứ tự là hình chiếu vuơng gĩc của H lên AB và AC. a) Chứng minh các tứ giác AEHD và BDEC nội tiếp được đường trịn. b) Vẽ đường kính AF củ đường trịn (O). Chứng minh BC AB.BD AC.CE và AF vuơng gĩc với DE. c) Gọi O’ là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BDE. Chứng minh O’ là trun điểm của HF. d) Tính b n kính đường trị (O’) biết BC 8 cm, DE 6 cm, AF 10 cm. Lời giải A E O I N D M B H K C O' O'' F Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  62. 61 Website:tailieumontoan.com 0 0 0 a) Tứ giác AEHD cĩ ADH AEH 90 90 180 Tứ giác AEHD nội tiếp được đườn trịn đường kính AH. Tứ giác AEHD (cmt) ADE AHE 1 (cùng chắn AE ). Dễ thấy ACH AHE 2 (cùng phụ HAE ). Từ (1) và (2) suy ra ADE ACH nên tứ giác BDEC nội tiếp được đường trịn. b) Áp dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vuơng AHB và AHC ta cĩ: BH2 AB.BD BH AB.BD Do đĩ BC BH HC AB.BD AC.CE HB2 AC.CE HB AC.CE Nối FB, FC. Gọi I là i o điểm của AF và DE. Ta cĩ ADE ACH (cmt) và AFB ACH (cùng chắn AB ) suy ra ADE AFB nên tứ giác BDIF nội tiếp được đường trịn 0 0 0 0 0 DIF DBF 180 DIF 180 DBF 180 90 90 . Vậy AF DE c) Gọi M,N,O’’ lần lượt là trun điểm của BD,EC,HF. - Ta chứn minh được MO’’ và NO’’ lần lượt là đường trung bình của các hình thang BDHF và CEHF MO''/ / DH 3 và NO''/ / EH 4 - Vì tứ giác BDEC nội tiếp màO' là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BDE suy ra O' cũn là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác BDEC O' thuộc đường trung trực củ BD . Suy r MO’ là trun trực củ BD do đĩ MO' BD lại cĩ DH BD MO'/ / DH 5 . Tươn tự ta cĩ NO'/ / EH 6 - Từ (3) và (5) suy r MO’’ và MO’ là h i ti trùn nh u - Từ (4) và (6) suy r NO’’ và NO’ là hai tia trùng nhau Do đĩ O’ trùn O”. Mà O’’ là trun điểm củ HF nên O’ cũn là trun điểm của HF. BC BC 84 d) - Trong ABC ta cĩ AF SinA SinA AF 10 5 DE 6 - Trong ADE ta cĩ AH AH 75 , cm SinA 4 5 - Vì O’ và O lần lượt là trun điểm củ HF và AF nên OO’ là đường trung bình của tam giác AH75 , AHF OO'= 3 , 75 cm 22 - Gọi K là i o điểm củ OO’ và BC dễ thấy OO' BC tại trun điểm K của BC. Áp dụng định lí Pyt o vào t m i c vu n OKC t tính được 2 2 2 2 OK OC KC 5 4 3 cm Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  63. 62 Website:tailieumontoan.com - Ta cĩ KO' OO' OK 3 , 75 3 0 , 75 cm - Áp dụn định lí Pyt o vào t m i c vu n O’KC t tính được 2 2 2 2 265 O' C O' K KC 0 , 75 4 cm 4 265 Vậy b n kính đường trị (O’) là cm 4 Câu 40. [TS10 Quảng Ninh, 2019-2020] Cho đườn trịn (O; R), h i đườn kính AB và CD vu n o c với nh u. Gọi E là điểm thuộc cun nhỏ BC ( E kh n trùn với B và C), tiếp tuyến củ đườn trịn (O; R) tại E cắt đườn thẳn AB tại I. Gọi F là i o điểm củ DE và AB, K là điểm thuộc đườn thẳn IE s o cho KF vu n ĩc với AB. a. Chứn minh tứ i c OKEF nội tiếp. b. Chứn minhOKF ODF c. Chứn minh DE.2 DF R2 d. Gọi M là i o điểm củ OK với CF, tính t n MDC khi EIB 45o Lời giải C K E N M O F B I D a) ̂ hay tứ giác ̂ OKEF nội tiếp ̂ ̂ b) Vì tứ giác OKEF nội tiếp nên Sưu ̂ tầ m và ̂tổ ng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  64. 63 Website:tailieumontoan.com ( ) Vậy ̂ ̂ c) Xét ̂ ̂ và ta cĩ Suy ra ̂ ̂ ̂ d) Kẻ MN vuơng gĩc CD tại N Ta cĩ ̂ ̂ ̂ ̂ M ặ t khác ta cĩ Ta cĩ - 1) R ̂ Do đĩ √ ( √ ( √ ) Suy ra √ ̂ Câu 41. [ TS10 Tây Ninh, 2019-2020] 1) Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O . Gọi I là trun điểm AB . Đường thẳng qua I vuơng gĩc AO và cắt AC tại J . Chứng minh: BCJ , , và I cùng thuộc một đường trịn. 2) Cho đường trịn (C ) cĩ tâm I và cĩ bán kính Ra 2 . X t điểm M th y đổi sao cho IM a . Hai dây AC, BD đi qu M và vuơng gĩc với nhau. ( ABCD , , , thuộc (C ) ). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD . Lời giải 1) Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  65. 64 Website:tailieumontoan.com Gọi M là trun điểm AC ; H là i o điểm của IJ và AO Ta cĩ AOC 2 ABC ( gĩc ở tâm và gĩc chắn cung) 1 Tam giác OAC cân tại O nên AOM AOC ABC AOM 1 2 Mặt khác AJI 90 OAM AOM 2 Từ 1 và 2 suy ra IBC AJI . Vậy bốn điểm BCJ,, và I cùng thuộc một đường trịn. 2) HK S Đặt , lần lượt là trun điểm của AC và BD , ABCD là diện tích tứ giác ABCD . 11 S AC. BD AC22 BD . ABCD 24 AC2 BD 2 44 AH 2 BK 2 R 2 IH 2 R 2 IK 2 . 2 2 2 Do IH2 IK 2 IM 2 nên AC BD28 a . Sa2 AC BD ABCD 7 khi . 2 Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD là 7a . Câu 42. [TS10 Thái Binh, 2019-2020] Cho đường trịn tâm O đường kính AB . Kẻ dây cung CD vuơng gĩc với AB tại H ( H nằm giữa A và O , H khác A và O ). Lấy điểm G thuộc CH ( G khác C và H ), tia AG cắt đường trịn tại E khác A . a).Chứng minh tứ giác BEGH là tứ giác nội tiếp. b).Gọi K là i o điểm củ h i đường thẳng BE và CD . Chứng minh: KC KD KE KB . Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  66. 65 Website:tailieumontoan.com c).Đoạn thẳng AK cắt đường trịn O tại F khác A . Chứng minh G là tâm đường trịn nội tiếp tam giác HEF . d).Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A và B lên đường thẳng EF . Chứng minh HE HF MN . Lời giải K N E C F T M G O B A H Q D a).Chứng minh tứ giác BEGH là tứ giác nội tiếp. Cĩ BHG BEG 90  BHG BEG 180  . Tứ giác BEGH nội tiếp đườn trịn đường kính BG . b).Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD . Chứng minh: KC KD KE KB . KE KC Cĩ KEC KDB , EKC DKB (gĩc chung) KEC KDB KD KB KC KD KE KB c).Đoạn thẳng AK cắt đường trịn O tại F khác A . Chứng minh G là tâm đường trịn nội tiếp tam giác HEF . KAB cĩ b đường cao AE , BF , KH đồng qui tại G . Suy ra G là trực tâm của KAB . 1 Cĩ GHE GBE sđGE (tron đường trịn BEGH ) 2 1 Cĩ GBE GAF sđEF (tron đường trịn O ) 2 1 Cĩ GAF GHF sđEG (tứ giác AFGH nội tiếp đườn trịn đường kính AG ) 2 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  67. 66 Website:tailieumontoan.com Suy ra GHE GHF HG là tia phân giác của EHF . Tươn tự EG là tia phân giác của FEG . EHF cĩ hai tia phân giác HG và EG cắt nhau tại G . Suy ra G là tâm đường trịn nội tiếp EHF . d).Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A và B lên đường thẳng EF . Chứng minh HE HF MN . Gọi Q là i o điểm của tia EH và đường trịn O . Cĩ EOB 2 EFB sđEB , 2EFB EFO (do FG là tia phân giác của EFH ) EOB EFH Tứ giác EFHO nội tiếp đường trịn. 11 1 FOH FEH sđEQ FOQ FOH FOQ . 22 2 OH là tia phân giác của FOQ OFH, OQH cĩ OH chung, OF OQ , FOH QOH OFH OQH HF HQ Do đĩ HE HF HE HQ EQ . Cĩ AMN MNT NTA 90  . Suy ra AMNT là hình chữ nhật, nên AT MN . Suy ra AQ FA ET AE // QT , mà AETQ nội tiếp đường trịn O . AETQ là hình thang cân EQ AT MN Vậy HE HF MN . Câu 43. [TS10 Thái Nguyên, 2019-2020] 1. Cho đườn trịn (O). Đường thẳng d tiếp xúc với đường trịn ( O) tại A. Trên d lấy một điểm B( B khác A), vẽ đường trịn (B, BA) cắt đường trịn ( O) tại điểm C ( C khác A). Chứng minh BClà tiếp tuyến của (O). 2. Cho tam giác ABC( AB< AC) cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn (O). Lấy c c điểm P, Q lần lượt thuộc các cung nhỏ AC, AB sao cho BP vuơng gĩc với AC, CQ vuơng gĩc với AB. Gọi I, J lần lượt là i o điểm của PQ với AB và AC. Chứng minh IJ.AC = AI.CB. 3. Từ điểm A nằm n ồi đường trịn ( O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường trịn ( B, C là tiếp điểm ). Gọi H là i o điểm của OA và BC. a. Chứng minh OB2 = OH. OA b. EF là một dây cung củ (O) đi qu H s o cho A, E, F kh n thẳng hàng. Chứng minh bốn điểm A, E, O, F nằm trên cùng một đường trịn. Lời giải 1. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  68. 67 Website:tailieumontoan.com Theo bài ra ta cĩ AB là tiếp tuyến củ đường trịn (O) AB  OA (1) X t h i t m i c ∆OAB và ∆OCB cĩ: OA = OC BA = BC → ∆OAB = ∆OCB ( c.c.c) (2) OB chung Từ (1), (2) suy ra = (=900) hay =900 nên BC OC Vậy BClà tiếp tuyến của (O) ̂ ̂ ̂ 2. Tứ giác HECB nội tiếp đườn trịn ( vì 2 đỉnh liên tiếp nhìn 1 cạnh cố định dưới gĩc vuơng) = ( Nội tiếp chắn cung HE) AP AQ ̂ = ̂AB ̂ = (AP BQ ) = AB (vì AP AQ ) ̂ = X t t m i c ∆AIJ và ∆ ACB ̂ ̂ Cĩ chung = (cmt) ̂ V̂ ậy ∆AIJ ̂ và ∆ ACB ( . ) = IJ.AC = AI.CB 3. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  69. 68 Website:tailieumontoan.com a. Xét tam giác ∆OBA và ∆OHB cĩ: chung = = 900 ̂ 2 → ̂ ∆OBA ̂ ∆OHB → = → OB = OH. OA b. theo cmt: OB2 = OH. OA → OE2 = OH. OA → = lại cĩ: →∆OEH ∆OAE → ( 1) ̂ ̂ Vì ∆OEF cân nên: (2) ̂ ̂ Từ (1), (2) suy ra: ( h i đỉnh liên tiếp bằng nhau cùng nhìn dưới cạnh cố định OE) → ̂ ̂ Tứ giác OEAF nội tiếp đường trịn ̂ ̂ Vậy bốn điểm A, E, O, F nằm trên cùng một đường trịn Câu 44. [TS10 Thanh Hĩa, 2019-2020] Từ một điểm A nằm n ồi đường trịn tâm O bán kính R, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường trịn ( B, C là các tiếp điểm). Trê cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C. Gọi I,K,P lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc củ M trên c c đường thẳng AB, AC, BC 1) Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp; 2) Chứng minh MPK MBC 3) X c định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI MK MP đạt giá trị nhỏ nhât Lời giải B I M P A O K C o 1. Cĩ: AIM AKM 90 nên tứ giác AIMK nội tiếp. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  70. 69 Website:tailieumontoan.com 2. TT câu t cm đc tứ giác KCPM nội tiếp. Suy ra: MCK MPK ( hai gĩc nt cùng chắn cung MK) (1) Mà MCK PBM ( gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và gĩc nt cùng chắn cung MC của (O)) (2) Từ (1) và (2) suy ra MPK MBP hay MPK MBC IM MP 3. Ch c IMP PMK nên: ứn minh đượ ∽ MP MK 23 MI MK MP MI MK MP MP Để MI MK MP lớn nhất khi chỉ khi MP lớn nhất, nên M là điểm chính giữa cung nhỏ BC Câu 45. [TS10 Thừa Thiên Huế, 2019-2020] Cho đườn trịn tâm O đườn kính AB. Trên đường trịn O lấy điểm C khơng trùng B sao cho AC BC . Các tiếp tuyến củ đường trịn O tại A và tại C cắt nhau tại D. Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc củ C trên AB, E là i o điểm củ h i đường thẳng OD và AC. a) Chứng minh OECH là tứ giác nội tiếp. b) Gọi F là giao điểm củ h i đường thẳng CD và AB. Chứng minh 2BCF CFB 90  . c) Gọi M là i o điểm củ h i đường thẳng BD và CH. Chứn minh h i đường thẳng EM và AB song song với nhau. Lời giải a) DC DA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA OC (bán kính) Do đĩ OD là đường trung trực củ đoạn thẳng AC OD AC Tứ giác OECH cĩ CEO CHO 90  90  180  Tứ giác OECH là tứ giác nội tiếp. b) Xét O cĩ: BCF BAC (gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC) (1) HCB BAC (Cùng phụ CBA ) (2) Từ (1) và (2) suy ra BCF HCB CB là tia phân giác của HCF (*) HCF 2. BCF CHF vuơng tại H nên HCF CFB 90  hay 2.BCF CFB 90  Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  71. 70 Website:tailieumontoan.com c) Gọi K là i o điểm của DB và AC. Xét O ta cĩ: ABC ACD (gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AC ) (3) Ta cĩ ACH vuơng tại H cĩ ACH 90  CAH D ABC vuơng tại C cĩ CBA 90  CAB ACH ABC (Cùng phụ CAH ) (4) C Từ (3) và (4) suy ra ACH ACD E K M CA là tia phân giác trong của tam giác BCD ( ) A O H B Theo tính chất tia phân giác trong BCD ta cĩ: F KM BM CM KD BD CD KM BM CM (DoDC DA ) KD BD AD Mặt khác ta cĩ: CH// AD (cùng vuơng gĩc AB ) HM BM (Định lý Ta lét) AD BD HM BM CM AD BD AD HM CM AD AD HM CM Mà CE AE (Do OD là đường trung trực của AB) nên ME là đường trung bình của CAH ME// AH hay ME// AB Câu 45. [TS10 Trà Vinh, 2019-2020] Cho đườn trịn tâm O . Từ điểm M nằm n ồi đườn trịn tâm O vẽ c c tiếp tuyến MA , MB với O (A ,B là h i tiếp điểm). Vẽ c t tuyến MCD kh n đi qu tâm O , C nằm iữ M và D . 1. Chứn minh tứ i c MAOB nội tiếp đườn trịn 2 2. Chứn minh MA MC. MD Lời giải A M 1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường trịn. Vì MA , MB là h i tiếp tuyến củ O nên C D MA AO , MB OB() gt MAO MBO 90  X t tứ i c MAOB cĩ: O MAO MBO 90  90  180  B Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  72. 71 Website:tailieumontoan.com Mà h i ĩc ở vị trí đối nh u nên tứ i c MAOB là tứ i c nội tiếp. 2. Chứng minh MA2 MC. MD Xét O cĩ: MAC ADC (gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung ; gĩc nội tiếp cùng chắn cungAC ) MA MC Lại cĩ: MAC∽ MDA (g.g) nên MA2 MD. MC MD MA Câu 46. [TS10 Vĩnh Lon , 2019-2020] Cho đường trịn (O) đường kính AB và điểm M bất kì thuộc đường trịn sao cho MA MB MA . Kẻ tiếp tuyến tại A củ đường trịn, tiếp tuyến này cắt tia BM ở N. Tiếp tuyến củ đường trịn tại M cắt CN ở D. a) Chứng minh bốn điểm A, D, M, O cùng thuộc một đường trịn. b) Chứng minh OD song song BM. c) Qua O kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AB và cắt đường thẳng BM tại I. Gọi i o điểm của AI và BD là G. Chứng minh b điểm N, G, O thẳng hàng. Lời giải a) Ta cĩ: OM MD (tính chất tiếp tuyến) OMD 90 OA AD (tính chất tiếp tuyến) OAD 90 Xét tứ giác OMD4 cĩ:OMD  OAD 90 90  180  Mà hai gĩc này ở vị trí đối diện Nên tứ giác OMDA nội tiếp Hay bốn điểm ADMO,,, cùng thuộc một đường trịn. Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  73. 72 Website:tailieumontoan.com b) Xét (O) ta cĩ: OD là tia phân giác trong gĩcMOA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 1 MOD  AOD  AOM (1) 2 1 Mà MBA  MOA (gĩc nội tiếp và gĩc ở tâm củng chắn cung MA) (2) 2 1 Từ (1) và (2) suy ra AOD  ABM  MOA 2 Mà hai gĩc này ở vị trí đồng vị nên OD// BM (đpcm). c) Vì OI AB,// AN  AB OI AN Mà O là trun điểm của AB OI là đường trung bình của tam giác ABN I là trun điểm của BN AI là trung tuyến của tam giác ABN. Lại cĩ OD// BM (cmt), mà O là trun điểm của AB OD là đường trung bình của tam giác ABN D là trun điểm của AN BD là trung tuyến của tam giác ABN. Mà NO là trung tuyến của tam giác ABC. Mặt khác ta lại cĩ: AI BD{} G Do đĩ AI, BD, NO đồng qui tại G là trọng tâm của tam giác ABN. Suy ra NGO,, thẳng hàng. Câu 47. [TS10 Vĩnh Phúc, 2019-2020] Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O). Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC củ đường trịn (O) (M khơng trùng với B, C). Gọi H, K, D theo thứ tự là chân c c đường vuơng gĩc kẻ từ M đến các đường thẳng AB, AC, BC. a) Chứng minh tứ giác AHMK nội tiếp đường trịn. b) Chứng minh MH .MC = MK .MB. c) Tìm vị trí củ điểm M để DH + DK lớn nhất. Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  74. 73 Website:tailieumontoan.com a) Vì MH AB MAH 90o o Vì MK AC MAK 90 o Suy ra MAK MAH 180 Tứ giá AHMK cĩ tổng hai gĩc bằng 1800 nên là tứ giác nội tiếp. b) Tron đường trịn (O) cĩ MAC MAK MBC (nội tiếp chắn cung nhỏ MC) MAK MAH MK Tron đường trịn (AHMK) cĩ (nội tiếp chắn cung nhỏ ) Suy ra: MHK MBC 1 Tươn tự, tron đường trịn (O) cĩ MAB MAH MCB (nội tiếp chắn cung nhỏ MB) Tron đường trịn (AHMK) cĩ MKH MAH (nội tiếp chắn cung nhỏ MH) Suy ra: MKH MCB 2 Từ (1) và (2) suy r 2 t m i c MHK và MBC đồng dạng (gĩc-gĩc) MH MK MH. MC MK . MB (dpcm) Do đĩ: MB MC MCE MKE c) Gọi HK cắt BC tại E. theo câu b) ta cĩ: 2 Xét tứ i c MCKE cĩ 2 đỉnh kề nhau C và K cùn nhìn ME dưới một ĩc kh n đổi nên là tứ giác nội tiếp. MEC MKCo E D Do đĩ: 90 DH DK HK Hay H, K, D thẳng hàng suy ra: . Trường hợp 1: Nếu H khơng trùng với B HK MH sinMBH HK BC .sin MBH BC 1 Theo câu b) ta cĩ: BC MB Trường hợp 2: H trùng với B. Khi đĩ AM là đường kính củ đường trịn (O): Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  75. 74 Website:tailieumontoan.com K C HK BC 2 MBC o Từ (1) và (2) suy r DH + DK đạt giá trị lớn nhất bằn BC (kh n đổi) khi 90 h y AM là đường kính củ đường trịn (O) (hoặc M đối xứng với A qua O) Câu 48. [TS10 Sơn L , 2019-2020] Cho đườn trịn (O) đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường trịn sao cho CA > CB. Gọi I là trun điểm của OA, vẽ đường thẳng d vuơng gĩc với AB tại I, d cắt tia BC tại M và cắt đoạn AC tại P, AM cắt đường trịn (O) tại điểm thứ hai K. a) Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường trịn. b) Chứn minh b điểm B, P, K thẳng hàng. c) Các tiếp tuyến tại B và C củ đường trịn (O) cắt nhau tại Q, biết BC = R. Tính độ dài BK và diện tích tứ giác QAIM theo R. Lời giải M C P Q K P A I O B 4.1 a (0,75 điểm) 0 0 Xét (O) cĩ ACB 90 (Gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) nên PCB 90 0 Ta cĩ: d AB tại I;Pd nên PI AB tại I =>PIB 90 0 0 Xét tứ giác BCPI cĩ: PCB 90 và PIB 90 (cmt) Do đĩ tứ giác BCPI nội tiếp được đường trịn. 4.1 b (1,0 điểm) Xét MAB cĩ MI AB tại I(gt);AC BM tại C (ACB 900 ) Mà MI AC P  nên P là trực tâm của MAB (1) 0 Lại cĩ: AKB 90 (Gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  76. 75 Website:tailieumontoan.com  BK AK tại K hay BK AM tại K  BK là đường cao của MAB (2) Từ (1) và (2) suy r BK đi qu P h y 3 điểm B, P, K thẳng hàng. 4.1 c (1,0 điểm) OA R Cĩ OA = R mà I là trun điểm của AO nên AI IO 22 R 3R BI = OB + IO = R 22 Xét BOC cĩ OB = OC = BC = R nên BOC là t m i c đều. Do đĩ OBC 600 hay ABC 600 Xét ABC cĩ : ACB 900 (Gĩc nội tiếp chắn nử đường trịn) Nên ABC CAB 900 mà ABC 600 nên CAB 900 60 0 30 0 hay PAI 300 R R 3R 3 Xét AIP: AIP 900 (d AB; P d ) nên: PI AI.tan PAI .tan300 . 2 2 3 6 Xét ABK và PBI cĩ ABK chung; AKB PIB 900 Do đĩ ABK PBI (g.g) BK BI BK AK (các cạnh tươn ứng tỉ lệ) hay AK PI BI PI BK AK BK AK BK22 AK 3R33R 3 9 1 266 2 4 12 BK2 AK 2 BK 2 AK 2 AB 24R 2 12R 2 Do đĩ: 9 1 9 1 7 7 7 4 12 4 12 3 3 189R Suy ra: BK = (đơn vị độ dài) 7 MI BK Cĩ AIM AKB (g.g) (các cạnh tươn ứng tỉ lệ) AI AK R 3R . BK BI MI BI AI. BI 3R 6 3 3 R Mà (cmt) nên MI 22 . AK PI AI PI PI 3.R 42 3 6 Từ Q kẻ QH  IM tại H. Dễ dàng chứn minh được tứ giác QHIB là hình vuơng. Suy ra QH = BI Ta cĩ : AI MI QH MI MI S S S .( AI QH ) AMQI AMI QMI 2 2 2 MI AB3 3 R 3 3 R2 .(AI BI ) MI . . R (đvdt) 2 2 2 2 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  77. 76 Website:tailieumontoan.com Câu 1: [TS10 Bến Tre, 2019-2020]~[9H4B2] Một bồn chứ xăn đặt trên xe gồm hai nửa hình cầu cĩ đường kính là 2,2m và một hình trụ cĩ chiều dài 3,5m (hình 2). Tính thể tích của bồn chứ xăn (kết quả làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy). Lời giải Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB một vịn thì được hình trụ cĩ chiều cao h AB2, a b n kính đ y R BC a nên cĩ thể tích 2 2 3 V1 R h a 22 a a (đvtt). Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC một vịn thì được hình trụ cĩ chiều cao h BC a, b n kính đ y R CD2 a nên cĩ thể tích 2 2 3 V2 R h (2 a )  a 4 a (đvtt). 3 V1 21 a Vậy 3 . Va2 42 Câu 2: *TS10 Đăk Lăk, 2019-2020]~[9H4B1] Một cốc nước dạng hình trụ cĩ chiều cao là 12cm, b n kính đ y là 2cm, lượn nước trong cốc cao 8 cm. N ười ta thả vào cốc nước 6 viên bi hình cầu cĩ cùng bán kính 1cm và ngập hồn tồn tron nước làm nước trong cốc dâng lên. Hỏi sau khi thả 6 viên bi vào thì mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu xentimét? (Giả sử độ dày của cốc là kh n đ n kể) Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  78. 77 Website:tailieumontoan.com Thể tích nước dâng lên chính là tổng thể tích của 6 viên bi thả vào và bằng: 4 6. .133 8 (cm ) . 3 Dễ thấy phần nước dâng lên dạng hình trụ cĩ đ y bằng với đ y của cốc nước và cĩ thể tích bằng 8 (cm3 ) . 8 Chiều cao của phần nước dâng lên là 2(cm) . .22 Vậy mực nước dâng cao cách miệng cốc là: 12 8 2 2 (cm). Câu 3: *TS10 Đồng Tháp, 2019-2020]~[9H4K2] N ười ta muốn tạo một c i khu n đúc dạng hình trụ, cĩ chiều cao bằng 16 cm, bán kính đ y bằng 8cm, mặt đ y trên lõm xuống dạng hình nĩn và khoảng cách từ đỉnh hình nĩn đến mặt đ y dưới hình trụ bằn 10cm ( như hình vẽ bên). Tính diện tích tồn bộ mặt khuơn (lấy 3,14 ). Lời giải 8cm Hình trụ cĩ bán kính r=8cm và chiều cao h=16cm nên diện tích xung quanh hình trụ là 16cm 22 10cm S1 2 rh 2 .8.16 256 cm Diện tích 1 mặt đ y của hình trụ là 2 2 2 S2 r .8 64 cm Phần hình nĩn bị lõm xuống cĩ chiều cao h1 16 10 6 cm và b n kính đ y r=8cm 2 2 2 2 Đường sinh của hình nĩn là l r h 8 6 10 cm 2 Diện tích xung quanh của hình nĩn là: S3 rl .8.10 80 cm Diện tích tồn bộ mặt khuơn là: 2 S S1 S 2 S 3 256 64 80 400 1256 cm Vậy diện tích tồn bộ mặt khuơn là 1256(cm2) Câu 4: [TS10 Hà Nam, 2019-2020]~[9H4K2] Tính thể tích củ một hình nĩn cĩ b n kính đ y r4 cm, độ dài đườn sinh l5 cm. Lời giải Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  79. 78 Website:tailieumontoan.com Ta cĩ AH r 4cm;AO l 5cm OH AO22 AH 9 3cm 1 Thể tích hình nĩn là V .OH. .r23 16 cm . 3 Câu 5: [TS10 Hà Nội, 2019-2020]~[9H4K2] Một bồn nước inox cĩ dạng một hình trụ với chiều cao 1,m 75 và diện tích đ y là 0,m 32 2 . Hỏi bồn nước này đựn đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước). Lời giải 1) Số mét khối nước đựn được của bồn chính là thể tích của bồn chứ . Như vậy số mét khối đựn được của bồn sẽ là : V 0 , 32 . 1 , 75 0 , 56 m3 . Câu 6: [TS10 TP. Hồ Chí Minh, 2019-2020]~[9H4K2] Cuối năm học, các bạn lớp 9A chia làm hai nhĩm, mỗi nhĩm chọn một khu vườn sinh thái ở Bắc bán cầu để tham quan. Khi mở hệ thốn định vị GPS, họ phát hiện một sự trùng hợp khá thú vị là hai vị trí mà hai nhĩm chọn đều nằm trên cùng một kinh tuyến và lần lượt ở c c vĩ tuyến 47o và 72o . a. Tính khoảng cách (làm trịn đến hàng trăm) giữa hai vị trí đĩ, biết rằng kinh tuyến là một cung trịn nối liền hai cực củ tr i đất và cĩ độ dài khoảng 20 000km. b. Tính (làm trịn đến hàng trăm) độ dài bán kính và đườn xích đạo củ tr i đất. Từ kết quả của bán kính (đã làm trịn), hãy tính thể tích củ tr i đất, biết rằn tr i đất cĩ dạng hình cầu và thể tích của hình cầu được tính theo cơng 4 thức VR .3,14. 3 với R là bán kính hình cầu. 3 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
  80. 79 Website:tailieumontoan.com Lời giải ) AOB BOX AOX 720 47 0 25 0 . 25 25000 Độ dài AB là: 20000. 2800(km ) 180 9 b) Gọi R là bán kính củ Tr i Đất. 20000 Ta cĩ: R 20000 R 6400( km ) Độ dài đườn xích đạo là: 2 R 40000( km ) 44 Thể tích củ Tr i Đất là: 3,14 R3 3,14 6400 3 1,082.10 12 ( km ) 33 Câu 7: [TS10 Thừa Thi Huế, 2019-2020]~[9H4K2] Một chiếc cốc thủy tinh cĩ dạng hình trụ chứ đầy nước, cĩ chiều cao bằng 6cm , b n kính đ y bằng 1cm . N ười ta thả từ từ lần lượt vào cốc nước một viên bi hình cầu và một vật cĩ dạng hình nĩn đều bằng thủy tinh (vừ khít như hình vẽ) thì thấy nước trong chiếc cốc tràn ra ngồi. Tính thể tích củ lượn nước cịn lại trong chiếc cốc (biết rằn đường kính củ viên bi, đường kính của đ y hình nĩn và đường kính củ đ y cốc nước xem như bằng nhau; bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh). Lời giải. Chiều cao hình trụ là: ht 6 cm 23 Thể tích hình trụ là: Vt = .1 .6 6 cm Bán kính hình cầu và hình trụ là: r = 1 cm 43 4 3 4 3 Thể tích hình cầu là: Vc r .1 cm 3 3 3 Chiều cao hình nĩn là: h ht 2 r 6 2.1 4 cm 12 1 2 4 3 Thể tích hình nĩn là: Vnn r. h .1 .4 cm 3 3 3 Thể tích lượn nước cịn trong chiếc cốc là: 4 4 10 3 V Vt V n V c 6 cm 3 3 3 Sưu tầm và tổng hợp Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC