›
›
›

Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môm Toán Lớp 7 - Hoàng Xuân Thìn

doc 80 trang thaodu 6660
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môm Toán Lớp 7 - Hoàng Xuân Thìn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctuyen_tap_cac_de_thi_hoc_sinh_gioi_mom_toan_lop_7_hoang_xuan.doc

Nội dung text: Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môm Toán Lớp 7 - Hoàng Xuân Thìn

  1. phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o huyÖn b¸ th­íc Tr­êng THCS ThÞ trÊn cµnh nµng TuyÓn tËp c¸c ®Ò thi häc sinh giái líp 7 Gi¸o viªn: Hoµng Xu©n Th×n 1
  2. §Ò sè 1: ®Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: 1 a) .16n 2n ; b) 27 < 3n < 243 8 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi 3. a) T×m x biÕt: 2x 3 x 2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =x 2006 2007 x Khi x thay ®æi Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC §Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 2
  3. 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 x 1 x 11 b. x 7 x 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. a c a2 c2 a b) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE = 50o ; M· EB =25o . Tính H·EM và B·ME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC Hết §¸p ¸n ®Ò 1to¸n 7 Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) 1 a) .16n 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 8 b) 27 33 n = 4 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) = ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 = ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) 3
  4. a) T×m x biÕt: 2x 3 x 2 Ta cã: x + 2 0 => x - 2. 3 + NÕu x - th× =>2x 2x3 +x 3 =2 x + 2 => x = - 1 (Tho¶ m·n) 2 3 5 + NÕu - 2 x 2x - 32x x- 3 2= x + 2 => x = - (Tho¶ m·n) 2 3 + NÕu - 2 > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =x 2006 2007 x Khi x thay ®æi + NÕu x -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 2006 x 2007 Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi) Gäi x, y lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc 2 kim ®èi nhau trªn mét ®­êng th¼ng, ta cã: 1 x – y = (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè 4 trªn ®«ng hå) 3 vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) x 12 x y x y 1 1 Do ®ã: :11 y 1 12 1 11 3 33 12 4  x = (vòng) x (giê) 33 11 VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó 2 kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn 4 mét ®­êng th¼ng lµ giê 11 4
  5. Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi) §­êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F E ABM = DCM v×: F AM = DM (gt), MB = MC (gt), ·AMB = DMC (®®) => BAM = CDM I =>FB // ID => ID AC A Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung) B C H M => IC = AC = AF (3) vµ E FA = 1v (4) D MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB =>AE = BC §Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 5
  6. Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 x 1 x 11 b. x 7 x 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. a c a2 c2 a d) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE = 50o ; M· EB =25o . Tính H·EM và B·ME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC Hết §¸p ¸n ®Ò 2 to¸n 7 Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 6
  7. 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 212.35. 3 1 59.73. 1 23 212.34.2 510.73. 6 212.35.4 59.73.9 1 10 7 6 3 2 b) (2 điểm) 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n M 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) 1 4 2 1 4 16 2 x 3,2 x 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 x 3 5 5 1 1 x 2 x 2 3 3 x 1 2 3 x 2 1 7 3 3 x 2 1 5 3 3 b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 1 10 x 7 1 x 7 0 7
  8. x 7 x 1 1 x 7 10 0 x 1 x 7 0 1 (x 7)10 0 x 7 0 x 7 10 (x 7) 1 x 8 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . b) (1,5 điểm) a c Từ suy ra c2 a.b c b a2 c2 a2 a.b khi đó b2 c2 b2 a.b a(a b) a = b(a b) b Bài 4: (4 điểm) 8
  9. A a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) I ·AMC = E·MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) B M C Nên : AMC = EMB (c.g.c )H 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB M· AC = M· EB K (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) E Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) M· AI = M· EK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra ·AMI = E·MK Mà ·AMI + I·ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) E·MK + I·ME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ = 90o ) có H· BE = 50o H· BE = 90o - H· BE = 90o - 50o =40o H·EM = H· EB - M· EB = 40o - 25o = 15o B·ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM A Nên B·ME = H·EM + M· HE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 200 Bài 5: (4 điểm) M a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra D· AB D· AC D Do đó D· AB 200 : 2 100 b) ABC cân tại A, mà µA 200 (gt) nên ·ABC (1800 200 ) : 2 800 · 0 ABC đều nên DBC 60 C Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra B ·ABD 800 600 200 . 9
  10. Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B·AM ·ABD 200 ; ·ABM D· AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC §Ò sè 3: ®Ò thi häc sinh giái M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 9 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 10 11 C©u 3. Cho 2 ®a thøc P x = x2 + 2mx + m2 vµ Q x = x2 + (2m+1)x + m 2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1) C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a / ; xy=84 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = x 1 +5 x2 15 B = x2 3 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. a. Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE b. Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM. Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA 10
  11. c. Chøng minh: MA  BC §¸p ¸n ®Ò 3 to¸n 7 C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 0 a 4 =>a = 0; 1; 2; 3 ; 4 * a = 0 => a = 0 * a = 1 => a = 1 hoÆc a = - 1 * a = 2 => a = 2 hoÆc a = - 2 * a = 3 => a = 3 hoÆc a = - 3 * a = 4 => a = 4 hoÆc a = - 4 9 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 10 11 Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x Ta cã: 9 7 9 63 63 63 => => -77 9x = -72 10 x 11 70 9x 77 => x = 8 7 VËy ph©n sè cÇn t×m lµ 8 C©u 3. Cho 2 ®a thøc P x = x2 + 2mx + m2 vµ Q x = x2 + (2m+1)x + m 2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1 Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2 = m2 – 2m §Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4 C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y x2 y2 xy 84 a / ; xy=84 => 4 3 7 9 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 11
  12. => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cïng dÊu nªn: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 2y 2y => x 5x 12 => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vµo trªn ta ®­îc: 1 3y 2y y 12 2 =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y 1 => y = 15 1 VËy x = 2, y = tho¶ m·n ®Ò bµi 15 C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = x 1 +5 Ta cã : x 1 0. DÊu = x¶y ra x= -1. A 5. DÊu = x¶y ra x= -1. VËy: Min A = 5 x= -1. x2 15 x2 3 12 12 B = = = 1 + x2 3 x2 3 x2 3 Ta cã: x2 0. DÊu = x¶y ra x = 0 x2 + 3 3 ( 2 vÕ d­¬ng ) 12 12 12 12 4 1+ 1+ 4 x2 3 3 x2 3 x2 3 12
  13. B 5 DÊu = x¶y ra x = 0 VËy : Max B = 5 x = 0. C©u 6: a/ M XÐt ADC vµ BAF ta cã: DA = BA(gt) P AE = AC (gt) E 0 N 1 DAC = BAE ( cïng b»ng 90 + BAC ) D 1 => DAC = BAE(c.g.c ) A => DC = BE 1 K I XÐt AIE vµ TIC 2 T I1 = I2 ( ®®) E1 = C1( do DAC = BAE) B => EAI = CTI H C => CTI = 900 => DC  BE b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (®pcm) (1) 0 V× D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180 ( trong cïng phÝa ) mµ BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( 2 ) Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3). Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm) c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H. Tõ E h¹ EP  MH XÐt AHC vµ EPA cã: CAH = AEP ( do cïng phô víi gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( do ABC = EMA c©u b) 13
  14. => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA  BC (®pcm) §Ò sè 4: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1 ( 2 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 2 1 1 1 a- 6. 3. 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b- 2 3 2 5 . 5 12 C©u 2 ( 2 ®iÓm) a 2 a 3 a- T×m sè nguyªn a ®Ó lµ sè nguyªn a 1 b- T×m sè nguyªn x,y sao cho x - 2xy + y = 0 C©u 3 ( 2 ®iÓm) a c a- Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c (b+d) th× víi b,d kh¸c 0 b d b- CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng S = 1+2+3+ ®Ó ®­îc mét sè cã ba ch÷ sè gièng nhau . C©u 4 ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 450 , gãc C b»ng 1200. Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD = 2CB . TÝnh gãc ADE C©u 5 ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2 - 2y2 =1 14
  15. §¸p ¸n ®Ò 4 C©u H­íng dÉn chÊm §iÓm 1.a Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ -2 cho ®iÓm tèi ®a 1§iÓm 1.b Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ 14,4 cho ®iÓm tèi ®a 1§iÓm 2.a a 2 a 3 a(a 1) 3 3 0,25 Ta cã : = a a 1 a 1 a 1 a 2 a 3 3 v× a lµ sè nguyªn nªn lµ sè nguyªn khi lµ sè a 1 a 1 nguyªn hay a+1 lµ ­íc cña 3 do ®ã ta cã b¶ng sau : 0,25 a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 0,25 a 2 a 3 VËy víi a  4, 2,0,2 th× lµ sè nguyªn a 1 0,25 2.b Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 V× x,y lµ c¸c sè nguyªn nªn (1-2y)vµ (2x-1) lµ c¸c sè nguyªn do ®ã ta cã c¸c tr­êng hîp sau : 1 2y 1 x 0 2x 1 1 y 0 0,25 1 2y 1 x 1 HoÆc 0,25 2x 1 1 y 1 VËy cã 2 cÆp sè x, y nh­ trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi 0,25 3.a V× a+c=2b nªn tõ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d) 0,5 a c Hay ad=bc Suy ra ( §PCM) b d 0,5 3.b Gi¶ sö sè cã 3 ch÷ sè lµ aaa =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0) Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã : n(n 1) 111a 3.37.a Hay n(n+1) =2.3.37.a 2 0,25 VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ n+1<74 ( NÕu n = 74 kh«ng tho¶ m·n ) Do ®ã n=37 hoÆc n+1 = 37 0,25 n(n 1) NÕu n=37 th× n+1 = 38 lóc ®ã 703 kh«ng tho¶ m·n 2 n(n 1) NÕu n+1=37 th× n = 36 lóc ®ã 666 tho¶ m·n 2 VËy sè sè h¹ng cña tæng lµ 36 0,5 4 15
  16. A H B C D KÎ DH Vu«ng gãc víi AC v× ACD =600 do ®ã CDH = 300 0,5 CD Nªn CH = CH = BC 2 Tam gi¸c BCH c©n t¹i C CBH = 300 ABH = 150 0,5 Mµ BAH = 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H Do ®ã tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H VËy ADB = 1,0 450+300=750 1,0 5 Tõ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2 0,25 NÕu x chia hÕt cho 3 v× x nguyªn tè nªn x=3 lóc ®ã y= 2 0,25 nguyªn tè tho¶ m·n NÕu x kh«ng chia hÕt cho 3 th× x2-1 chia hÕt cho 3 do ®ã 2y2 chia hÕt cho 3 Mµ(2;3)=1 nªn y chia hÕt cho 3 khi ®ã x2=19 kh«ng tho¶ m·n 0,25 VËy cÆp sè (x,y) duy nhÊt t×m ®­îc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi lµ (2;3) 0,25 §Ò sè 5: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (3đ): 1 1 1 2 2 2 1, Tính: P = 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 16
  17. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 3 2 2 3, Cho: A = x 3x 0,25xy 4 x2 y 1 Tính giá trị của A biết x ; y là số nguyên âm lớn nhất. 2 Bài 2 (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 Bài 3 (1đ): Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ? Bài 4 (2đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, B·MC 1200 Bài 5 (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm. 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó. 2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB §Ò sè 6: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 4 16 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25 3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ? 17
  18. Bài 2 (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x 3 x 2 x Bài 3 (4đ): Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức 1, P = 2 có giá trị lớn nhất 6 m 2, Q = 8 n có giá trị nguyên nhỏ nhất n 3 Bài 4 (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E. 1, Chứng minh BD = CE. 2, Tính AD và BD theo b, c Bài 5 (3đ): Cho ∆ABC cân tại A, B·AC 1000 . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho D· BC 100 , D· CB 200 . Tính góc ADB ? §Ò sè 7: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (3đ): Tính: 3 1 1 1 1, 6. 3. 1 1 3 3 3 2, (63 + 3. 62 + 33) : 13 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bài 2 (3đ): a b c 1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005. b c a Tính b, c. a b c d 2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức: a b c d 18
  19. a c b d Bài 3 (4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài 4 (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: 2x ; x 0 y = x ; x 0 Bài 5 (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh: ID = IE §Ò sè 8: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : 1 2 3 2 4 2 A = + 0,(4) 3 5 7 9 2 2 4 6 3 5 7 Bài 2 (3đ): Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: 2 a = (a 2007b) c (b 2007c) 2 Bài 3 (4đ): Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu 4 (6đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. 1, Chứng minh: BE = DC. 19
  20. 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC. Bài 5 (2đ): p m n Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = . m 1 p Chứng minh rằng : p2 = n + 2. §Ò sè 9: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) 4 a, Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 .1,25) 31,64 5 (11,81 8,19).0,02 B 9 :11,25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A 101998 4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®­êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®i tíi lóc gÆp nhau ? C©u 3: a) Cho f (x) ax2 bx c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. Chøng tá r»ng: f ( 2). f (3) 0 . BiÕt r»ng 13a b 2c 0 2 b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 6 x C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900. F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB. a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB  EC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 90 69 18 19 A 195 29 20
  21. §Ò sè 10: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 1890 a) TÝnh A 11 12 : 115 5 5 5 2005 2,5 1,25 0,625 0,5 3 11 12 1 1 1 1 1 1 b) Cho B 3 32 33 34 32004 32005 1 Chøng minh r»ng B . 2 C©u 2: (2 ®iÓm) a c 5a 3b 5c 3d a) Chøng minh r»ng nÕu th× b d 5a 3b 5c 3d (gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa). x 1 x 2 x 3 x 4 b) T×m x biÕt: 2004 2003 2002 2001 C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f (x) ax2 bx c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. b) §é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; 4. Ba ®­êng cao t­¬ng øng víi ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi ba sè nµo ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC0. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn l­ît ë M, N. Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN. c) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC. C©u 5: (1 ®iÓm) 7n 8 T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 2n 3 21
  22. §Ò sè 11: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh: 3 3 11 11 A = 0,75 0,6 : 2,75 2,2 7 13 7 13 10 1,21 22 0,25 5 225 B = : 7 3 49 9 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: x 3 x 1 3x C©u 2: (2 ®iÓm) a b c a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: M kh«ng lµ sè nguyªn. a b b c c a b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: ab bc ca 0 . C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m hai sè d­¬ng kh¸c nhau x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn l­ît tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12. b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; 2 vµ 1. Thêi gian m¸y bay bay tõ A ®Õn B Ýt h¬n thêi gian « t« ch¹y tõ A ®Õn B lµ 16 giê. Hái tµu ho¶ ch¹y tõ A ®Õn B mÊt bao l©u ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. C©u 5: (1 ®iÓm) 1 1 1 1 9 Chøng minh r»ng: 5 15 25 1985 20 §Ò sè 12: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mäi sè n nguyªn d­¬ng ®Òu cã: A= 5n (5n 1) 6n (3n 2)  91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P sao cho P2 14 lµ sè nguyªn tè. Bµi 2: ( 2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn n sao cho n2 3  n 1 bz cy cx az ay bx b) BiÕt a b c 22
  23. a b c Chøng minh r»ng: x y z Bµi 3: (2 ®iÓm) An vµ B¸ch cã mét sè b­u ¶nh, sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi ch­a ®Õn 100. Sè b­u ¶nh hoa cña An b»ng sè b­u ¶nh thó rõng cña B¸ch. + B¸ch nãi víi An. NÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh thó rõng cña t«i th× sè b­u ¶nh cña b¹n gÊp 7 lÇn sè b­u ¶nh cña t«i. + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh hoa cña t«i th× sè b­u ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè b­u ¶nh cña b¹n. TÝnh sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC cã gãc A b»ng 1200 . C¸c ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF . a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB. b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED. Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 2 52 p 1997 52 p q2 §Ò sè 13: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) 1 5 5 1 3 13 2 10 . 230 46 TÝnh: 4 27 6 25 4 3 10 1 2 1 : 12 14 10 3 3 7 Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A 3638 4133 chia hÕt cho 77. b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó B x 1 x 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. c) Chøng minh r»ng: P(x) ax3 bx2 cx d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn. Bµi 3: (2 ®iÓm) a c a) Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: b d 2 ab a2 b2 a b a2 b2 vµ cd c2 d 2 c d c2 d 2 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d­¬ng n sao cho: 2n 1 chia hÕt cho 7. Bµi 4: (2 ®iÓm) 23
  24. Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 3a 2b  17 10a b  17 (a, b Z ) §Ò sè 14: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn d­¬ng a lín nhÊt sao cho 2004! chia hÕt cho 7a. 1 1 1 1 b) TÝnh P 2 3 4 2005 2004 2003 2002 1 1 2 3 2004 Bµi 2: (2 ®iÓm) x y z t Cho y z t z t x t x y x y z chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn. x y y z z t t x P z t t x x y y z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11 km ®Ó ®i ®Õn C. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc vµ A, B, C th¼ng hµng. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH  BC (H BC). VÏ AE  AB vµ AE = AB (E vµ C kh¸c phÝa ®èi víi AC). KÎ EM vµ FN cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AH (M, N AH). EF c¾t AH ë O. Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF. Bµi 5: (1 ®iÓm) So s¸nh: 5255 vµ 2579 24
  25. §Ò sè 15: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 1 1 1 512 512 512 512 TÝnh : A 6 39 51 ; B 512 1 1 1 2 3 10 2 2 2 2 8 52 68 C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6 x y z b) T×m x, y, z biÕt: x y z (x, y, z 0 ) z y 1 x z 1 x y 2 C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d­¬ng ta cã: S 3n 2 2n 2 3n 2n chia hÕt cho 10. b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 7(x 2004)2 23 y2 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN = AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng minh: a) AC // BP. b) AK  MN. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn. Chøng minh r»ng: a2n b2n c2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0. §Ò sè 16: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh: 3 1 16 1 8 . 5 3 . 5 7 A 9 4 19 4 : 14 1 24 2 2 . 34 17 34 25
  26. 1 1 1 1 1 1 1 B 3 8 54 108 180 270 378 C©u 2: ( 2, 5 ®iÓm) 1) T×m sè nguyªn m ®Ó: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1. b) 3m 1 3 2) Chøng minh r»ng: 3n 2 2n 4 3n 2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d­¬ng. C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt: x y y z ; vµ x2 y2 16 2 3 4 5 b) Cho f (x) ax2 bx c . BiÕt f(0), f(1), f(2) ®Òu lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn. C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®­êng cao AH. ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ®Òu nhËn A lµm ®Ønh gãc vu«ng. KÎ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH). a) Chøng minh: EM + HC = NH. b) Chøng minh: EN // FM. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 2n 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh 2n 1 lµ hîp sè. §Ò sè 17: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh: 1 1 1 1 (1 2 3 99 100) (63.1,2 21.3,6) 2 3 7 9 A 1 2 3 4 99 100 1 2 3 2 4 . ( ) 14 7 35 15 B 1 3 2 2 5 . 10 25 5 7 C©u 2: (2 ®iÓm) 1 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A 3x2 2x 1 víi x 2 b) T×m x nguyªn ®Ó x 1 chia hÕt cho x 3 C©u 3: ( 2 ®iÓm) 26
  27. 3x 3y 3z a) T×m x, y, z biÕt vµ 2x2 2y2 z 2 1 8 64 216 b) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 15 phót. TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh C bê lµ ®­êng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh B bê lµ ®­êng th¼ng AC dùng ®o¹n AF vu«ng gãc víi AC vµ AF = AC. Chøng minh r»ng: a) FB = EC b) EF = 2 AM c) AM  EF. C©u 5: (1 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Chøng tá r»ng: 1 2 3 4 99 200 101 102 199 200 §Ò sè 18: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 2 2 1 1 0,4 0,25 a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M 9 11 3 5 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6 1 1 1 1 1 1 b) TÝnh tæng: P 1 10 15 3 28 6 21 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m x biÕt: 2x 3 2 4 x 5 2) Trªn qu·ng ®­êng KÐp - B¾c giang dµi 16,9 km, ng­êi thø nhÊt ®i tõ KÐp ®Õn B¾c Giang, ng­êi thø hai ®i tõ B¾c Giang ®Õn KÐp. VËn tèc ng­êi thø nhÊt so víi ng­êi thø hai b»ng 3: 4. §Õn lóc gÆp nhau vËn tèc ng­êi thø nhÊt ®i so víi ng­êi thø hai ®i lµ 2: 5. Hái khi gÆp nhau th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f (x) ax2 bx c (a, b, c nguyªn). CMR nÕu f(x) chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ cña x th× a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3. a c 7a2 5ac 7b2 5bd b) CMR: nÕu th× (Gi¶ sö c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa). b d 7a2 5ac 7b2 5bd C©u 4: (3 ®iÓm) 27
  28. Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F. Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF AB AC c) AE 2 C©u 5: (1 ®iÓm) §éi v¨n nghÖ khèi 7 gåm 10 b¹n trong ®ã cã 4 b¹n nam, 6 b¹n n÷. §Ó chµo mõng ngµy 30/4 cÇn 1 tiÕt môc v¨n nghÖ cã 2 b¹n nam, 2 b¹n n÷ tham gia. Hái cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu c¸ch lùa chän ®Ó cã 4 b¹n nh­ trªn tham gia. §Ò sè 19: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 11 3 1 2 1 . 4 15 6 . 31 7 3 19 14 31 A . 1 . 5 1 1 93 50 4 12 5 6 6 3 1 1 1 1 1 b) Chøng tá r»ng: B 1 22 32 32 20042 2004 C©u 2: (2 ®iÓm) 3 x 2 Cho ph©n sè: C (x Z) 4 x 5 a) T×m x Z ®Ó C ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. b) T×m x Z ®Ó C lµ sè tù nhiªn. C©u 3: (2 ®iÓm) a c ab (a b)2 Cho . Chøng minh r»ng: b d cd (c d)2 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC vµ AB lÇn l­ît t¹i E vµ D. a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE. b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c MAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. 28
  29. c) Tõ A vµ D vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE, c¸c ®­êng th¼ng nµy c¾t BC lÇn l­ît ë K vµ H. Chøng minh r»ng KH = KC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p sao cho: 3p2 1 ; 24 p2 1 lµ c¸c sè nguyªn tè. §Ò sè 20: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3 0,75 0,6 A 7 13 ; 11 11 2,75 2,2 7 3 B ( 251.3 281) 3.251 (1 281) b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000. C©u 2: ( 2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c Z). bz cy cx az ay bx b) BiÕt a b c a b c Chøng minh r»ng: x y z C©u 3: ( 2 ®iÓm) B©y giê lµ 4 giê 10 phót. Hái sau Ýt nhÊt bao l©u th× hai kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. C©u 4: (2 ®iÓm) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A. Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña ABD, ®­êng cao IM cña BID c¾t ®­êng vu«ng gãc víi AC kÎ tõ C t¹i N. TÝnh gãc IBN ? C©u 5: (2 ®iÓm) Sè 2100 viÕt trong hÖ thËp ph©n t¹o thµnh mét sè. Hái sè ®ã cã bao nhiªu ch÷ sè ? 29
  30. §Ò sè 21: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3 3 5 0,375 0,3 2,5 1,25 P 2005 : 11 12 . 3 5 5 1,5 1 0,75 0,625 0,5 11 12 b) Chøng minh r»ng: 3 5 7 19 1 12.22 22.32 32.42 92.102 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mçi sè nguyªn d­¬ng n th×: 3n 3 3n 1 2n 3 2n 2 chia hÕt cho 6. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: D 2004 x 2003 x C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 10 phót. TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C cã bê AB, vÏ tia Ax vu«ng gãc víi AB, trªn tia ®ã lÊy ®iÓm D sao cho AD = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B cã bê AC vÏ tia Ay vu«ng gãc víi AC. Trªn tia ®ã lÊy ®iÓm E sao cho AE = AC. Chøng minh r»ng: a) DE = 2 AM b) AM  DE. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho n sè x1, x2, , xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ 1 hoÆc -1. Chøng minh r»ng nÕu x1. x2 + x2. x3 + + xn x1 = 0 th× n chia hÕt cho 4. §Ò sè 22: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 30
  31. 2 4 3 81,624 : 4 4,505 125 3 4 A 2 2  11 2 13 : 0,88 3,53 (2,75)  : 25 25  b) Chøng minh r»ng tæng: 1 1 1 1 1 1 1 S 0,2 22 24 26 24n 2 24n 22002 22004 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n. 2005 x 4 x 10 x 101 x 990 x 1000 b) Cho p > 3. Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho 6. Bµi 3: (2 ®iÓm) a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm trong mét sè ngµy. Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m ®i 1/3. §iÒu ®ã ®óng hay sai ? v× sao ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a TÝnh M c d d a a b b c Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh c¸c gãc cña DIE nÕu gãc A = 600. b) Gäi giao ®iÓm cña BD vµ CE víi ®­êng cao AH cña ABC lÇn l­ît lµ M vµ N. Chøng minh BM > MN + NC. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho z, y, z lµ c¸c sè d­¬ng. x y z 3 Chøng minh r»ng: 2x y z 2y z x 2z x y 4 §Ò sè 23: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: x2 6x 2 x2 4 b) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: A(x) = (3 4x x2 )2004. (3 4x x2 )2005 31
  32. Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba ®­êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi b»ng 4; 12; x biÕt r»ng x lµ mét sè tù nhiªn. T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm) x y z t Cho . y z t z t x t x y x y z CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn: x y y z z t t x P z t t x x y y z Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B = . Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho gãc 1 EBA= . Trªn tia ®èi cña tia EB lÊy ®iÓm D sao cho ED = BC. 3 Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n. Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d­¬ng tho¶ m·n : a3 3a2 5 5b vµ a 3 5c §Ò sè 24: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh A 3 32 33 34 32003 32004 b) T×m x biÕt x 1 x 3 4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: x y z NÕu a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Th× x 2y z 2x y z 4x 4y z Bµi 3: (2 ®iÓm) 32
  33. Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11km ®Ó ®i ®Õn C (ba ®Þa ®iÓm A, B, C ë cïng trªn mét ®­êng th¼ng). VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®­êng cao AH. VÏ c¸c ®iÓm D, E sao cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE. Gäi I, K lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC. TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho x = 2005. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x2005 2006x2004 2006x2003 2006x2002 2006x2 2006x 1 §Ò sè 25: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) a b c C©u 1 . ( 2®) Cho: . b c d 3 a b c a Chøng minh: . b c d d C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: a c b A = . b c a b c a C©u 3. (2®). T×m x Z ®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. x 3 1 2x a). A = . b). A = . x 2 x 3 C©u 4. (2®). T×m x: a) x 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E BC, BH,CK  AE, (H,K AE). Chøng minh MHK vu«ng c©n. 33
  34. §Ò sè 26: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2®) x x 2 Rót gän A= x2 8x 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®­îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®­îc ®Òu nh­ nhau. C©u 3: (1,5®) 102006 53 Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®­êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC.Chøng minh r»ng . a, K lµ trung ®iÓm cña AC. AC b, BH = 2 c, VKMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d­íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: a, t©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. §Ò sè 27: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: (3 điểm): Tính 34
  35. 1 1 2 2 3 18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4 6 2 5 3 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: c b a2 c2 a b2 a2 b a a) b) b2 c2 b a2 c2 a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15 3 6 1 a) x 4 2 b) x x 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: e) Tia AD là phân giác của góc BAC f) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ¥ biết: 25 y2 8(x 2009)2 §Ò sè 28: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 1 1 1 1 Bµi 1. TÝnh 1.6 6.11 11.16 96.101 1 1 1 Bµi 2. T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cña x vµ y, sao cho: x y 5 Bµi 3. T×m hai sè d­¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, 140 vµ 7 Bµi 4. T×m x, y tho¶ m·n: x 1 x 2 y 3 x 4 = 3 35
  36. Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 . Ph©n gi¸c trong gãc ACB c¾t AB t¹i M. Trªn MC lÊy ®iÓm N sao cho gãc MBN = 400. Chøng minh: BN = MC. §Ò sè 29: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 9 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 10 11 C©u 3: Trong 3 sè x, y, z cã 1 sè d­¬ng , mét sè ©m vµ mét sè 0. Hái mçi sè ®ã thuéc lo¹i nµo biÕt: x y3 y2z C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a, ; xy=84 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b, 12 5x 4x C©u 5: TÝnh tæng: 3n 1 1 S 1 2 5 14 (n Z ) 2 * C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngãi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. d. Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE e. Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM. Chøng minh: AB = ME vµ VABC VVEMA f. Chøng minh: MA  BC §Ò sè 30: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: So s¸nh c¸c sè: a. A 1 2 22 250 B =251 b. 2300 vµ 3200 C©u 2: T×m ba sè a, b, c biÕt a tØ lÖ thuËn víi 7 vµ 11; b vµ c tØ lÖ nghÞch víi 3 vµ 8 vµ 5a - 3b + 2c = 164 C©u 3: TÝnh nhanh: 36
  37. 1 1 1 761 4 5 3   4 417 762 139 762 417.762 139 C©u 4. Cho tam gi¸c ACE ®Òu sao cho B vµ E ë hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau cã bê AC. a. Chøng minh tam gi¸c AED c©n. b. TÝnh sè ®o gãc ACD? TuyÓn tËp c¸c ®Ò thi häc sinh giái líp 7 37
  38. Mét sè kinh nghiÖm nhá vÒ t×m chö sè tËn cïng vµ øng dông vµo c¸c bµi to¸n chøng minh chia hÕt cña c¸c líp 6,7 I. phÇn më ®Çu : T×m chö sè tËn cïng cña mét luû thõa ®©y lµ nh÷ng bµi to¸n t­¬ng ®èi phøc t¹p cña häc sinh c¸c líp 6,7 nh­ng l¹i lµ nh÷ng bµi to¸n hÕt søc lÝ thó , nã t¹o cho häc sinh lßng say mª kh¸m ph¸ tõ ®ã c¸c em ngµy cµng yeu m«n to¸n h¬n . cã nh÷ng bµi cã sè mñ rÊt lín t­ëng nh­ lµ m×nh kh«ng thÓ gi·i ®­îc . Nh­ng nhê ph¸t hiÖn vµ n¾m b¾t ®­îc qui luËt , vËn dungj qui luËt ®ã c¸c em tù gi·i ®­îc vµ tù nhiªn thÊy m×nh lµm ®­îc mét viÖc v« cïng lín lao . tõ ®ã gieo vµo trÝ tuÖ c¸c em kh¶ n¨ng kh¸m ph¸ , kh¶ n¨ng tù nghiªn cøu Tuy lµ khã nh­ng chóng ta h­íng dÈn c¸c em mét c¸ch tõ tõ cã hÖ thèng ,l« rÝch vµ chÆt chÎ th× c¸c em vÈn tiÕp fhu tèt . ®©y lµ mét kinh nghiÖm nhá mµ t«i muèn tr×nh bµy vµ trao ®æi cïng c¸c b¹n II. Néi dung cô thÓ : 1. LÝ thuyÕt vÒ t×m chö sè tËn cïng : phÇn nµy rÊt quan träng , cÇn lÝ gi¶i cho häc sinh mét c¸ch kØ l­ëng ,®Çy ®ñ X 0 n =A0 mét sè cã tËn cïng lµ 0 khi luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ 0 X1 n = B1 mét sè cã tËn cïng lµ 1 khi luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ 1 X 5 n = C5 mét sè cã tËn cïng lµ 5 khi luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ 5 X 6 n = D6 mét sè cã tËn cïng lµ 6 khi luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ 6 X 5 *a = F0 víi a ch¼n : mét sè cã tËn cïng lµ 5 khi nh©n víi mmét sè ch¾n sÎ cã chö sè tËn cïng lµ 0 x5 *a = N5 víi a lÎ : mét sè cã tËn cïng lµ 5 khi nh©n víi mét sè lÎ sÎ cã tËn cïng lµ 5 Qua c¸c c«ng thøc trªn ta cã quy t¾c sau : Mét sè t­n nhiªn cã chö sè tËn cïng lµ : (0,1,5,6) khi n©ng lªn luû thõa víi sè mñ tù nhiªn th× cã chö sè tù nhiªn kh«ng thay ®æi KÕt luËn trªn lµ ch×a kho¸ ®Ó gi¶ c¸c bµi to¸n vÒ t×m chö sè tËn cïng cña mét luû thõa 2. C¸c bµi to¸n c¬ b¶n . Bµi to¸n 1 : T×m chö sè tËn cïng cña c¸c luû thõa sau a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100 Ta nhËn thÊy c¸c luû thõa 5100 , 6100 thuéc vÒ d¹ng c¬ b¶n ®¶ tr×nh bµy ë trªn nay cßn l¹i c¸c luû thõa mµ c¬ sè lµ 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9 Muèn gi·i c¸c bµi to¸n nµy th× ta phai ®­a chóng vÒ mét trong 4 d¹ng c¬ b¶n trªn . thùc chÊt chØ cã ®­a vÒ hai d¹ng c¬ b¶n ®ã lµ : X1 n = M1 , X 6 n = N6 gi¶i bµi to¸n 1 38
  39. a) 2100 = 24*25 = ( 2 4)25 = (16)25 = A6 b) 3100 = 34*25 = ( 3 4)25 = (81)25 = B1 c) 4100 = 44*50 =( 4 2)50 = (16)50 = C6 d) 7100 = 74*25 =( 7 4)25 = 240125 = D1 e) 8100 = 84*25 = ( 8 4)25 = 409625 = E6 f) 9100 = 92*50 = ( 9 2)50 = 8150 = F1 Bµi to¸n 2 : t×m chö sè tËn cïng cña c¸c sè sau : a) 2101 ; b) 3101 ; c) 41o1 , d) 7101 ; e) 8101 ; f) 9101 Gi¶i bµi to¸n 2 _ nhËn xÐt ®Çu tiªn . sè mñ ( 101 kh«ng chia hÕt cho 2 vµ 4 ) _ Ta viÕt 101 = 4.25 +1 101 = 2 .50 +1 _ ¸p dông c«ng thøc am+n = am.an ta cã : a) 2101 = 24.25+1 = 2100 . 2 = Y 6 .2 = M 2 b) 3101 = 3100+1 = 3100 . 3 = B1 .3 = Y3 c) 41o1 = 4100 +1 = 4100 . 4 = C6 . 4 = k4 d) 7101 = 7100+1 = 7100 . 7 = D1 .7 = F7 e) 8101 = 8100+1 = 8100 . 8 = E6 .8 = N8 f) 9101 = 9100 +1 = 9100 . 9 = F1 . 9 = M 9 3. Mét sè bµi to¸n phøc t¹p h¬n Bµi to¸n 3: T×m chö sè tËn cïng cña c¸c luû thõa sau : a) 12921997 ; b) 33331997 ; c) 12341997 ; d) 12371997 ; e) 12381997 ; f) 25691997 Bµi gi¶i NhËn xÐt quan träng : Thùc chÊt chö sè tËn cïng cña luû thõa bËc n cña métsè tù nhiªn chØ phô thuéc vµo chö sè tËn cïng cña sè tù nhiªn ®ã mµ th«i (c¬ sè) . Nh­ vËy bµi to¸ 3 thùc chÊt lµ bµi to¸n 2 a) 12921997 = 12924. 499 +1= (12924)499 .1292 = A6.1292 M 2 b) 33331997 = 33334. 499 +1 =(33334)499 +1 . 3333 = (B1) 499 .3333 = D3 c) 12341997 = 12344 .499 +1 = (12344)499 . 1234 = (C6 )499 . 1234 =G4 d) 12371997 = 12374 .499 +1 = (12374) 499. 1237 = (D1). 499 .1237 = X 7 4. vËn dông vµo c¸c bµi to¸n chøng minh chia hÕt ¸p dông dÊu hiÖu chia hÕt Ta dÓ dµng nhËn thÊy : NÕu hai sè cã chö sè tËn cïng gièng nhau th× khi thùc hiÖn phÐp trõ sÎ cã chö sè tËn cïng lµ 0 ta sÎ cã c¸c bµi to¸n chøng minh chia hÕt cho { 2,5,10 } . 39
  40. NÕu mét sè cã tËn cïng lµ 1 vµ mét sè cã tËn cïng lµ 3 ch¼ng h¹n ta sÎ cã bµi to¸n chøng minh tæng hai sè ®ã chia hÕt cho 2 (v× chö sè tËn cïng cña tæng lµ 4) C¸c bµi to¸n cô thÓ : H¶y chøng minh a) 12921997 + 33331997  5 Theo bµi to¸n trªn ta cã 12921997 = M 2 33331997 = D3 nh­ vËy tæng cña hai sè nµy sÎ cã tËn cïng lµ 5 12921997 + 33331997  5 b) Chøng minh 16281997 + 12921997  10 Ap dông qui t¾c t×m chö sè tËn cïng ta cã 16281997 sÎ cã tËn cïng lµ M 8 12921997 SÎ Cã tËn cïng lµ N2 Nh­ vËy 16281997 + 12921997  10 (v× chö sè tËn cïng cña tæng nµy sÎ lµ 0) Ta cñng cã thÓ vËn dung hiÖu cña hai sè hoÆc tÝch cña hai sè ®Ó ra c¸c bµi to¸n chøng minh t­¬ng tù III. KÕt luËn : Trªn ®©y t«i ®· tr×nh bµy phÇn c¬ b¶n cña vÊn ®Ò t×m chö sè tËn cïng cña mét luû thõa vµ nh÷ng øng dông cña nã trong bµi to¸n chøng minh chia hÕt trong tËp hîp sè tù nhiªn Trong nh÷ng n¨m häc qua t«i ®· trùc tiÕp h­íng dÈn cho mét sè häc sinh c¸c em tá ra rÊt thÝch thó vµ xem ®ã nh­ lµ nh÷ng kh¸m ph¸ míi cña chÝnh c¸c em víi c¸ch ®Æt vÊn ®Ò nh­ trªn c¸c em ®· tù ra ®Ò ®­îc vµ cã nhiÒu bµi rÊt hay C¸ch ®Æt vÊn ®Ò cung nh­ tr×nh bµy néi ch¾c sÎ kh«ng tr¸nh khái phÇn sai sãt mong c¸c ®ång nghiÖp gãp ý ch©n thµnh 40
  41. ®Ò thi ¤-lim -pic huyÖn M«n To¸n Líp 7 N¨m häc 2006-2007 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: 1 a) .16n 2n ; b) 27 < 3n < 243 8 41
  42. Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi 3. a) T×m x biÕt: 2x 3 x 2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =x 2006 2007 x Khi x thay ®æi Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC §¸p ¸n to¸n 7 Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) 1 a) .16n 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 8 b) 27 33 n = 4 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) = ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 = ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: 2x 3 x 2 Ta cã: x + 2 0 => x - 2. 42
  43. 3 + NÕu x - th× =>2x 2x3 +x 3 =2 x + 2 => x = - 1 (Tho¶ m·n) 2 3 5 + NÕu - 2 x 2x - 32x x- 3 2= x + 2 => x = - (Tho¶ m·n) 2 3 + NÕu - 2 > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =x 2006 2007 x Khi x thay ®æi + NÕu x -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 2006 x 2007 Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi) Gäi x, y lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc 2 kim ®èi nhau trªn mét ®­êng th¼ng, ta cã: 1 x – y = (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè 4 trªn ®«ng hå) 3 vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) x 12 x y x y 1 1 Do ®ã: :11 y 1 12 1 11 3 33 12 4 => x = (vòng) x (giê) 33 11 VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó 2 kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn mét 4 ®­êng th¼ng lµ giê 11 Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi) 43
  44. §­êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F E ABM = DCM v×: F AM = DM (gt), MB = MC (gt), ·AMB = DMC (®®) => BAM = CDM I =>FB // ID => ID AC A Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung) B H M => IC = AC = AF (3) vµ E FA = 1v (4) D MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB =>AE = BC BÀI TẬP VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ 1. Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2 : 3 : 5. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền nếu tổng số tiền lãi là 350 000 000 đ và tiền lãi được chia theo tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp. 2. Hai nền nhà hình chữ nhật có chiều dài bằng nhau. Nền nhà thứ nhất có chiều rộng là 4 mét, nền nhà thứ hai có chiều rộng là 3,5 mét. Để lát hết nền nhà thứ nhấtngười ta dùng 600 viên gạch hoa hình vuông. Hỏi phải dùng bao nhiêu viên gạch cùng loại để lát hết nền nhà thứ hai? 3. Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi của trường phân bố ở các khối 6,7,8,9theo tỉ lệ 1,5 : 1,1 : 1,3 : 1,2. Hỏi số học sinh giỏi của mỗi khối lớp, biết rằng khối 8 nhiều hơn khối 9 là 3 học sinh giỏi. 4. Ba đội máy san đất làm 3 khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba hoàn thành công việc lần lượt trong 4 ngày, 6 ngày, 8 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy, biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai là 2 máy và năng suất các máy như nhau. 5. Với thời gian để một người thợ lành nghề làm được 11 sản phẩm thì người thợ học nghề chỉ làm được 7 sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải dùng bao nhiêu thời 44
  45. gian để hoàn thành một khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong 56 giờ? 6. Một vật chuyển động trên các cạnh của một hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài của cạnh hình vuông biết rằng tổng số thời gian vật chuyển động trên 4 cạnh là 59s. BÀI TẬP HÌNH HỌC 1. Cho 2 góc xOz và yOz kề bù. Ot và Ot’ lần lượt là phân giác của hai góc xOy và yOz từ điểm M bất kỳ trên Ot hạ MH  Ox ( H Ox ). Trên tia Oz lấy điểm N sao cho ON = MH. Đường vuông góc kẻ từ N cắt tia Ot’ tại K. Tính số đo góc KM^O ? 2. Cho tam giác ABC có B^ = 300 , C^ = 200.Đường trung trực cùa AC cắt BC tại E cắt BA tại F.Chứng minh rằng : FA = FE. 3. Cho tam giác ABC tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và AC ở E. Chứng minh rằng : DE = BD + EC. 4. Cho tam giác ABD có B =2D . Kẻ AH vuông góc với BD (H BD ) trên tia đối của tia BA lấy BE = BH, đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứng minh rằng : FH = FA = FD. 5. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) trên tia đối của tia CA lấy điểm D bất kỳ . a) Chứng minh rằng : ABD = 2CBD + CDB . b) Giả sử A = 300, ABD = 900, hãy tính góc CBD. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ 1. Tìm x, y, biết : a) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 0 b)x 2005 + y 1 = 0 2. Trong một cuộc chạy đua tiếp sức 4 100m ( Mỗi đội tham gia gồm 4 vận động viên, mỗi VĐV chạy xong 100m sẽ truyền gậy tiếp sức cho VĐV tiếp theo. Tổng số thời gian chạy của 4 VĐV là thành tích của cả đội, thời gian chạy của đội nào càng ít thì thành tích càng cao ). Giả sử đội tuyển gồm : chó, mèo, gà, vịt có vận tốc tỉ lệ với 10, 8, 4, 1. Hỏi thời gian chạy của đội tuyển là ? giây. Biết rằng vịt chạy hết 80 giây? x 1 3 3. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : 8 y 8 §Ò sè 31: ®Ò thi häc sinh giái 45
  46. (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (3đ): 1 1 1 2 2 2 1, Tính: P = 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 3 2 2 3, Cho: A = x 3x 0,25xy 4 x2 y 1 Tính giá trị của A biết x ; y là số nguyên âm lớn nhất. 2 Bài 2 (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 Bài 3 (1đ): Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ? Bài 4 (2đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, B·MC 1200 Bài 5 (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm. 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó. 2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB 46
  47. §Ò sè 32 ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 4 16 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25 3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ? Bài 2 (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x 3 x 2 x Bài 3 (4đ): Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức 1, P = 2 có giá trị lớn nhất 6 m 2, Q = 8 n có giá trị nguyên nhỏ nhất n 3 Bài 4 (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E. 1, Chứng minh BD = CE. 2, Tính AD và BD theo b, c Bài 5 (3đ): Cho ∆ABC cân tại A, B·AC 1000 . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho D· BC 100 , D· CB 200 . Tính góc ADB ? 47
  48. §Ò sè 33: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (3đ): Tính: 3 1 1 1 1, 6. 3. 1 1 3 3 3 2, (63 + 3. 62 + 33) : 13 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bài 2 (3đ): a b c 1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005. b c a Tính b, c. a b c d 2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức: a b c d a c b d Bài 3 (4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài 4 (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: 2x ; x 0 y = x ; x 0 Bài 5 (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh: ID = IE 48
  49. §Ò sè 34: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : 1 2 3 2 4 2 A = + 0,(4) 3 5 7 9 2 2 4 6 3 5 7 Bài 2 (3đ): Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: 2 a = (a 2007b) c (b 2007c) 2 Bài 3 (4đ): Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu 4 (6đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. 1, Chứng minh: BE = DC. 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC. Bài 5 (2đ): p m n Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = . m 1 p Chứng minh rằng : p2 = n + 2. 49
  50. §Ò sè 35: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) 4 a, Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 .1,25) 31,64 5 (11,81 8,19).0,02 B 9 :11,25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A 101998 4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®­êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®i tíi lóc gÆp nhau ? C©u 3: a) Cho f (x) ax2 bx c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. Chøng tá r»ng: f ( 2). f (3) 0 . BiÕt r»ng 13a b 2c 0 2 b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 6 x C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900. F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB. a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB  EC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 90 69 18 19 A 195 29 50
  51. §Ò sè 36: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm) 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 1890 a) TÝnh A 11 12 : 115 5 5 5 2005 2,5 1,25 0,625 0,5 3 11 12 1 1 1 1 1 1 b) Cho B 3 32 33 34 32004 32005 1 Chøng minh r»ng B . 2 C©u 2: (2 ®iÓm) a c 5a 3b 5c 3d a) Chøng minh r»ng nÕu th× b d 5a 3b 5c 3d (gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa). x 1 x 2 x 3 x 4 b) T×m x biÕt: 2004 2003 2002 2001 C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f (x) ax2 bx c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. b) §é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; 4. Ba ®­êng cao t­¬ng øng víi ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi ba sè nµo ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC0. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn l­ît ë M, N. Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN. c) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC. C©u 5: (1 ®iÓm) 7n 8 T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 2n 3 51
  52. §Ò sè 37: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh: 3 3 11 11 A = 0,75 0,6 : 2,75 2,2 7 13 7 13 10 1,21 22 0,25 5 225 B = : 7 3 49 9 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: x 3 x 1 3x C©u 2: (2 ®iÓm) a b c a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: M kh«ng lµ sè nguyªn. a b b c c a b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: ab bc ca 0 . C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m hai sè d­¬ng kh¸c nhau x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn l­ît tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12. b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; 2 vµ 1. Thêi gian m¸y bay bay tõ A ®Õn B Ýt h¬n thêi gian « t« ch¹y tõ A ®Õn B lµ 16 giê. Hái tµu ho¶ ch¹y tõ A ®Õn B mÊt bao l©u ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. C©u 5: (1 ®iÓm) 1 1 1 1 9 Chøng minh r»ng: 5 15 25 1985 20 52
  53. §Ò sè 38: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mäi sè n nguyªn d­¬ng ®Òu cã: A= 5n (5n 1) 6n (3n 2)  91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P sao cho P2 14 lµ sè nguyªn tè. Bµi 2: ( 2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn n sao cho n2 3  n 1 bz cy cx az ay bx b) BiÕt a b c a b c Chøng minh r»ng: x y z Bµi 3: (2 ®iÓm) An vµ B¸ch cã mét sè b­u ¶nh, sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi ch­a ®Õn 100. Sè b­u ¶nh hoa cña An b»ng sè b­u ¶nh thó rõng cña B¸ch. + B¸ch nãi víi An. NÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh thó rõng cña t«i th× sè b­u ¶nh cña b¹n gÊp 7 lÇn sè b­u ¶nh cña t«i. + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh hoa cña t«i th× sè b­u ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè b­u ¶nh cña b¹n. TÝnh sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC cã gãc A b»ng 1200 . C¸c ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF . a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB. b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED. Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 2 52 p 1997 52 p q2 53
  54. §Ò sè 39: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1: (2 ®iÓm) 1 5 5 1 3 13 2 10 . 230 46 TÝnh: 4 27 6 25 4 3 10 1 2 1 : 12 14 10 3 3 7 Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A 3638 4133 chia hÕt cho 77. b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó B x 1 x 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. c) Chøng minh r»ng: P(x) ax3 bx2 cx d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn. Bµi 3: (2 ®iÓm) a c a) Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: b d 2 ab a2 b2 a b a2 b2 vµ cd c2 d 2 c d c2 d 2 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d­¬ng n sao cho: 2n 1 chia hÕt cho 7. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 3a 2b  17 10a b  17 (a, b Z ) 54
  55. §Ò sè 40: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn d­¬ng a lín nhÊt sao cho 2004! chia hÕt cho 7a. 1 1 1 1 b) TÝnh P 2 3 4 2005 2004 2003 2002 1 1 2 3 2004 Bµi 2: (2 ®iÓm) x y z t Cho y z t z t x t x y x y z chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn. x y y z z t t x P z t t x x y y z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11 km ®Ó ®i ®Õn C. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc vµ A, B, C th¼ng hµng. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH  BC (H BC). VÏ AE  AB vµ AE = AB (E vµ C kh¸c phÝa ®èi víi AC). KÎ EM vµ FN cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AH (M, N AH). EF c¾t AH ë O. Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF. Bµi 5: (1 ®iÓm) So s¸nh: 5255 vµ 2579 55
  56. §Ò sè 41: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 1 1 1 512 512 512 512 TÝnh : A 6 39 51 ; B 512 1 1 1 2 3 10 2 2 2 2 8 52 68 C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6 x y z b) T×m x, y, z biÕt: x y z (x, y, z 0 ) z y 1 x z 1 x y 2 C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d­¬ng ta cã: S 3n 2 2n 2 3n 2n chia hÕt cho 10. b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 7(x 2004)2 23 y2 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN = AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng minh: a) AC // BP. b) AK  MN. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn. Chøng minh r»ng: a2n b2n c2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0. 56
  57. §Ò sè 42: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh: 3 1 16 1 8 . 5 3 . 5 7 A 9 4 19 4 : 14 1 24 2 2 . 34 17 34 1 1 1 1 1 1 1 B 3 8 54 108 180 270 378 C©u 2: ( 2, 5 ®iÓm) 1) T×m sè nguyªn m ®Ó: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1. b) 3m 1 3 2) Chøng minh r»ng: 3n 2 2n 4 3n 2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d­¬ng. C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt: x y y z ; vµ x2 y2 16 2 3 4 5 b) Cho f (x) ax2 bx c . BiÕt f(0), f(1), f(2) ®Òu lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn. C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®­êng cao AH. ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ®Òu nhËn A lµm ®Ønh gãc vu«ng. KÎ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH). a) Chøng minh: EM + HC = NH. b) Chøng minh: EN // FM. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 2n 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh 2n 1 lµ hîp sè. 57
  58. §Ò sè 43: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh: 1 1 1 1 (1 2 3 99 100) (63.1,2 21.3,6) 2 3 7 9 A 1 2 3 4 99 100 1 2 3 2 4 . ( ) 14 7 35 15 B 1 3 2 2 5 . 10 25 5 7 C©u 2: (2 ®iÓm) 1 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A 3x2 2x 1 víi x 2 b) T×m x nguyªn ®Ó x 1 chia hÕt cho x 3 C©u 3: ( 2 ®iÓm) 3x 3y 3z a) T×m x, y, z biÕt vµ 2x2 2y2 z 2 1 8 64 216 b) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 15 phót. TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh C bê lµ ®­êng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh B bê lµ ®­êng th¼ng AC dùng ®o¹n AF vu«ng gãc víi AC vµ AF = AC. Chøng minh r»ng: a) FB = EC b) EF = 2 AM c) AM  EF. C©u 5: (1 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Chøng tá r»ng: 1 2 3 4 99 200 101 102 199 200 58
  59. §Ò sè 44: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 2 2 1 1 0,4 0,25 a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M 9 11 3 5 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6 1 1 1 1 1 1 b) TÝnh tæng: P 1 10 15 3 28 6 21 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m x biÕt: 2x 3 2 4 x 5 2) Trªn qu·ng ®­êng KÐp - B¾c giang dµi 16,9 km, ng­êi thø nhÊt ®i tõ KÐp ®Õn B¾c Giang, ng­êi thø hai ®i tõ B¾c Giang ®Õn KÐp. VËn tèc ng­êi thø nhÊt so víi ng­êi thø hai b»ng 3: 4. §Õn lóc gÆp nhau vËn tèc ng­êi thø nhÊt ®i so víi ng­êi thø hai ®i lµ 2: 5. Hái khi gÆp nhau th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f (x) ax2 bx c (a, b, c nguyªn). CMR nÕu f(x) chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ cña x th× a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3. a c 7a2 5ac 7b2 5bd b) CMR: nÕu th× (Gi¶ sö c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa). b d 7a2 5ac 7b2 5bd C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F. Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF AB AC c) AE 2 C©u 5: (1 ®iÓm) §éi v¨n nghÖ khèi 7 gåm 10 b¹n trong ®ã cã 4 b¹n nam, 6 b¹n n÷. §Ó chµo mõng ngµy 30/4 cÇn 1 tiÕt môc v¨n nghÖ cã 2 b¹n nam, 2 b¹n n÷ tham gia. Hái cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu c¸ch lùa chän ®Ó cã 4 b¹n nh­ trªn tham gia. 59
  60. §Ò sè 45: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 11 3 1 2 1 . 4 15 6 . 31 7 3 19 14 31 A . 1 . 5 1 1 93 50 4 12 5 6 6 3 1 1 1 1 1 b) Chøng tá r»ng: B 1 22 32 32 20042 2004 C©u 2: (2 ®iÓm) 3 x 2 Cho ph©n sè: C (x Z) 4 x 5 a) T×m x Z ®Ó C ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. b) T×m x Z ®Ó C lµ sè tù nhiªn. C©u 3: (2 ®iÓm) a c ab (a b)2 Cho . Chøng minh r»ng: b d cd (c d)2 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC vµ AB lÇn l­ît t¹i E vµ D. a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE. b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c MAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. c) Tõ A vµ D vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE, c¸c ®­êng th¼ng nµy c¾t BC lÇn l­ît ë K vµ H. Chøng minh r»ng KH = KC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p sao cho: 3p2 1 ; 24 p2 1 lµ c¸c sè nguyªn tè. 60
  61. §Ò sè 46: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3 0,75 0,6 A 7 13 ; 11 11 2,75 2,2 7 3 B ( 251.3 281) 3.251 (1 281) b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000. C©u 2: ( 2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c Z). bz cy cx az ay bx b) BiÕt a b c a b c Chøng minh r»ng: x y z C©u 3: ( 2 ®iÓm) B©y giê lµ 4 giê 10 phót. Hái sau Ýt nhÊt bao l©u th× hai kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. C©u 4: (2 ®iÓm) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A. Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña ABD, ®­êng cao IM cña BID c¾t ®­êng vu«ng gãc víi AC kÎ tõ C t¹i N. TÝnh gãc IBN ? C©u 5: (2 ®iÓm) Sè 2100 viÕt trong hÖ thËp ph©n t¹o thµnh mét sè. Hái sè ®ã cã bao nhiªu ch÷ sè ? 61
  62. §Ò sè 47: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3 3 5 0,375 0,3 2,5 1,25 P 2005 : 11 12 . 3 5 5 1,5 1 0,75 0,625 0,5 11 12 b) Chøng minh r»ng: 3 5 7 19 1 12.22 22.32 32.42 92.102 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mçi sè nguyªn d­¬ng n th×: 3n 3 3n 1 2n 3 2n 2 chia hÕt cho 6. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: D 2004 x 2003 x C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 10 phót. TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C cã bê AB, vÏ tia Ax vu«ng gãc víi AB, trªn tia ®ã lÊy ®iÓm D sao cho AD = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B cã bê AC vÏ tia Ay vu«ng gãc víi AC. Trªn tia ®ã lÊy ®iÓm E sao cho AE = AC. Chøng minh r»ng: a) DE = 2 AM b) AM  DE. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho n sè x1, x2, , xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ 1 hoÆc -1. Chøng minh r»ng nÕu x1. x2 + x2. x3 + + xn x1 = 0 th× n chia hÕt cho 4. 62
  63. §Ò sè 48: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2 4 3 81,624 : 4 4,505 125 3 4 A 2 2  11 2 13 : 0,88 3,53 (2,75)  : 25 25  b) Chøng minh r»ng tæng: 1 1 1 1 1 1 1 S 0,2 22 24 26 24n 2 24n 22002 22004 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n. 2005 x 4 x 10 x 101 x 990 x 1000 b) Cho p > 3. Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho 6. Bµi 3: (2 ®iÓm) a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm trong mét sè ngµy. Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m ®i 1/3. §iÒu ®ã ®óng hay sai ? v× sao ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a TÝnh M c d d a a b b c Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh c¸c gãc cña DIE nÕu gãc A = 600. b) Gäi giao ®iÓm cña BD vµ CE víi ®­êng cao AH cña ABC lÇn l­ît lµ M vµ N. Chøng minh BM > MN + NC. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho z, y, z lµ c¸c sè d­¬ng. x y z 3 Chøng minh r»ng: 2x y z 2y z x 2z x y 4 63
  64. §Ò sè 49: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: x2 6x 2 x2 4 b) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: A(x) = (3 4x x2 )2004. (3 4x x2 )2005 Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba ®­êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi b»ng 4; 12; x biÕt r»ng x lµ mét sè tù nhiªn. T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm) x y z t Cho . y z t z t x t x y x y z CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn: x y y z z t t x P z t t x x y y z Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B = . Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho gãc 1 EBA= . Trªn tia ®èi cña tia EB lÊy ®iÓm D sao cho ED = BC. 3 Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n. Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d­¬ng tho¶ m·n : a3 3a2 5 5b vµ a 3 5c 64
  65. §Ò sè 40: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh A 3 32 33 34 32003 32004 b) T×m x biÕt x 1 x 3 4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: x y z NÕu a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Th× x 2y z 2x y z 4x 4y z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11km ®Ó ®i ®Õn C (ba ®Þa ®iÓm A, B, C ë cïng trªn mét ®­êng th¼ng). VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®­êng cao AH. VÏ c¸c ®iÓm D, E sao cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE. Gäi I, K lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC. TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho x = 2005. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x2005 2006x2004 2006x2003 2006x2002 2006x2 2006x 1 65
  66. §Ò sè 50: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) a b c C©u 1 . ( 2®) Cho: . b c d 3 a b c a Chøng minh: . b c d d C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: a c b A = . b c a b c a C©u 3. (2®). T×m x Z ®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. x 3 1 2x a). A = . b). A = . x 2 x 3 C©u 4. (2®). T×m x: a) x 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E BC, BH,CK  AE, (H,K AE). Chøng minh MHK vu«ng c©n. §Ò thi häc sinh giái to¸n líp 7 C©u 1: (2®) x x 2 Rót gän A= x2 8x 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®­îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®­îc ®Òu nh­ nhau. C©u 3: (1,5®) 102006 53 Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®­êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC.Chøng minh r»ng . a, K lµ trung ®iÓm cña AC. 66
  67. AC b, BH = 2 c, VKMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d­íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: a, t©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. §Ò sè 51: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: (3 điểm): Tính 1 1 2 2 3 18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4 6 2 5 3 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: c b a2 c2 a b2 a2 b a a) b) b2 c2 b a2 c2 a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15 3 6 1 a) x 4 2 b) x x 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: g) Tia AD là phân giác của góc BAC h) AM = BC 67
  68. Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ¥ biết: 25 y2 8(x 2009)2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: 3 điểm 1 1 2 2 3 18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4 = 6 2 5 3 4 109 6 15 17 38 8 19 = ( : . ) : 19 . 0.5đ 6 100 2 5 100 3 4 109 3 2 17 19 38 = . . : 19 1đ 6 50 15 5 50 3 109 2 323 19 = : 0.5 6 250 250 3 109 13 3 = . = 0.5đ 6 10 19 506 3 253 = . 0.5đ 30 19 95 Bài 2: a c a) Từ suy ra c2 a.b 0.5đ c b a2 c2 a2 a.b khi đó 0.5đ b2 c2 b2 a.b a(a b) a = 0.5đ b(a b) b a2 c2 a b2 c2 b b) Theo câu a) ta có: 0.5đ b2 c2 b a2 c2 a b2 c2 b b2 c2 b từ 1 1 1đ a2 c2 a a2 c2 a b2 c2 a2 c2 b a hay 0.5đ a2 c2 a b2 a2 b a vậy 0.5đ a2 c2 a Bài 3: 1 a) x 4 2 5 68
  69. 1 x 2 4 0.5đ 5 1 1 1 x 2 x 2 hoặc x 2 1đ 5 5 5 1 1 9 Với x 2 x 2 hay x 0.25đ 5 5 5 1 1 11 Với x 2 x 2 hay x 0.25đ 5 5 5 b) 15 3 6 1 x x 12 7 5 2 6 5 3 1 x x 0.5đ 5 4 7 2 6 5 13 ( )x 0.5đ 5 4 14 49 13 x 0.5đ 20 14 130 x 0.5đ 343 Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5.x 4.y 3.z và x x y z 59 1đ x y z x x y z 59 hay: 60 0.5đ 1 1 1 1 1 1 1 59 5 4 3 5 5 4 3 60 Do đó: 1 1 1 x 60. 12 ; x 60. 15 ; x 60. 20 0.5đ 5 4 3 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5: A -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ · · 200 suy ra DAB DAC M Do đó D· AB 200 : 2 100 b) ABC cân tại A, mà µA 200 (gt) nên ·ABC (1800 200 ) : 2 800 D ABC đều nên D· BC 600 C B 69
  70. Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD 800 600 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B·AM ·ABD 200 ; ·ABM D· AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 y2 8(x 2009)2 Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ 25 Vì y2 0 nên (x-2009)2 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ 8 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ¥ ) 0.5đ Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ §Ò sè 52: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 1 1 1 1 Bµi 1. TÝnh 1.6 6.11 11.16 96.101 1 1 1 Bµi 2. T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cña x vµ y, sao cho: x y 5 Bµi 3. T×m hai sè d­¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, 140 vµ 7 Bµi 4. T×m x, y tho¶ m·n: x 1 x 2 y 3 x 4 = 3 Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 . Ph©n gi¸c trong gãc ACB c¾t AB t¹i M. Trªn MC lÊy ®iÓm N sao cho gãc MBN = 400. Chøng minh: BN = MC. §Ò sè 52: ®Ò thi häc sinh giái 70
  71. (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 x 1 x 11 b. x 7 x 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 e) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. a c a2 c2 a f) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE = 50o ; M· EB =25o . Tính H·EM và B·ME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: i) Tia AD là phân giác của góc BAC j) AM = BC Hết 71
  72. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Bài 1:(4 điểm): Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 0,5 điểm 6 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 0,5 điểm 212.35. 3 1 59.73. 1 23 212.34.2 510.73. 6 0,5 điểm 212.35.4 59.73.9 1 10 7 0,5 điểm 6 3 2 b) (2 điểm) 3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) 0,5 điểm =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 1 điểm = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n M 10 với mọi n là số nguyên dương. 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 1 4 2 1 4 16 2 0,5 điểm x 3,2 x 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 x 0,5 điểm 3 5 5 x 1 2 1 x 2 3 0,5 điểm 3 x 1 2 3 x 2 1 7 3 3 0,5 điểm x 2 1 5 3 3 72
  73. b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 0,5 điểm x 1 10 x 7 1 x 7 0 0,5 điểm x 7 x 1 1 x 7 10 0 x 1 x 7 0 0,5 điểm 1 (x 7)10 0 x 7 0 x 7 10 (x 7) 1 x 8 0,5 điểm Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 0,5 điểm Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 0,5 điểm k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. 0,5 điểm + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . 0,5 điểm b) (1,5 điểm) a c Từ suy ra c2 a.b c b 0,5 điểm a2 c2 a2 a.b khi đó b2 c2 b2 a.b 0,5 điểm a(a b) a = b(a b) b 0,5 điểm 73
  74. Bài 4: (4 điểm) Đáp án Thang điểm Vẽ hình 0,5 điểm A I B M C H K E a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) ·AMC = E·MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB M· AC = M· EB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) M· AI = M· EK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra ·AMI = E·MK Mà ·AMI + I·ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) E·MK + I·ME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ = 90o ) có H· BE = 50o H· BE = 90o - H· BE = 90o - 50o =40o 0,5 điểm 74
  75. H·EM = H· EB - M· EB = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm B·ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM Nên B·ME = H·EM + M· HE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 200 M D B C -Vẽ hình a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1 điểm suy ra D· AB D· AC 0,5 điểm Do đó D· AB 200 : 2 100 0,5 điểm b) ABC cân tại A, mà µA 200 (gt) nên ·ABC (1800 200 ) : 2 800 ABC đều nên D· BC 600 0,5 điểm Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD 800 600 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·ABM 100 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B·AM ·ABD 200 ; ·ABM D· AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa. 75
  76. §Ò sè 53: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1 ( 2 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 2 1 1 1 a. 6. 3. 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b. 2 3 2 5 . 5 12 C©u 2 ( 2 ®iÓm) a 2 a 3 a. T×m sè nguyªn a ®Ó lµ sè nguyªn a 1 b. T×m sè nguyªn x, y sao cho x- 2xy + y = 0 C©u 3 ( 2 ®iÓm) a c a. Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c(b + d) th× víi b, d kh¸c 0 b d b. CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng S = 1 + 2 + 3 + ®Ó ®­îc mét sè cã ba ch÷ sè gièng nhau . C©u 4 ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 450 , gãc C b»ng 1200. Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD = 2CB . TÝnh gãc ADE C©u 5 ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2- 2y2 = 1 76
  77. §¸p ¸n chÊm To¸n 7 C© H­íng dÉn chÊm §iÓm u 1.a Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ -2 cho ®iÓm tèi ®a 1§iÓm 1.b Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ 14,4 cho ®iÓm tèi ®a 1§iÓm 2.a a 2 a 3 a(a 1) 3 3 0,25 Ta cã : = a a 1 a 1 a 1 a 2 a 3 3 v× a lµ sè nguyªn nªn lµ sè nguyªn khi lµ sè nguyªn a 1 a 1 hay a+1 lµ ­íc cña 3 do ®ã ta cã b¶ng sau : 0,25 a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 0,25 a 2 a 3 VËy víi a  4, 2,0,2 th× lµ sè nguyªn a 1 0,25 2.b Tõ : x- 2xy + y = 0 Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1 0,25 V× x,y lµ c¸c sè nguyªn nªn (1 - 2y)vµ (2x - 1) lµ c¸c sè nguyªn do ®ã ta cã c¸c tr­êng hîp sau : 1 2y 1 x 0 2x 1 1 y 0 0,25 1 2y 1 x 1 HoÆc 0,25 2x 1 1 y 1 VËy cã 2 cÆp sè x, y nh­ trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi 0,25 3.a V× a + c = 2b nªn tõ 2bd = c(b + d) Ta cã: (a + c)d =c(b + d) 0,5 a c Hay ad = bc Suy ra ( §PCM) b d 0,5 3.b Gi¶ sö sè cã 3 ch÷ sè lµ aaa =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0) Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã : n(n 1) 111a 3.37.a Hay n(n + 1) =2.3.37.a 2 0,25 VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ n + 1 < 74 ( NÕu n = 74 kh«ng tho¶ m·n ) Do ®ã n=37 hoÆc n + 1 = 37 0,25 n(n 1) NÕu n =37 th× n + 1 = 38 lóc ®ã 703 kh«ng tho¶ m·n 2 n(n 1) NÕu n + 1=37 th× n = 36 lóc ®ã 666 tho¶ m·n 2 VËy sè sè h¹ng cña tæng lµ 36 0,5 4 77
  78. A H B C D KÎ DH Vu«ng gãc víi AC v× ACD =600 do ®ã CDH = 300 0,5 CD Nªn CH = CH = BC 2 Tam gi¸c BCH c©n t¹i C CBH = 300 ABH = 150 0,5 Mµ BAH = 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H Do ®ã tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H VËy ADB = 450 + 300 =750 1,0 1,0 5 Tõ : x2- 2y2 =1suy ra x2- 1 = 2y2 0,25 NÕu x chia hÕt cho 3 v× x nguyªn tè nªn x = 3 lóc ®ã y = 2 nguyªn tè 0,25 tho¶ m·n NÕu x kh«ng chia hÕt cho 3 th× x2-1 chia hÕt cho 3 do ®ã 2y2 chia hÕt cho 3 Mµ(2;3) =1 nªn y chia hÕt cho 3 khi ®ã x2 =19 kh«ng tho¶ m·n 0,25 VËy cÆp sè (x,y) duy nhÊt t×m ®­îc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi lµ (2;3) 0,25 §Ò sè 54: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1 (4®) - Rót gän biÓu thøc a- A = a - 2 + 3 - 2a - 5 + a b- 1 2 3 (n 1) n (n 1) 3 2 1 víi n N Bµi 2 (4 ®) . 78
  79. Chøng minh r»ng : nÕu a,b,c lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau : a + 3 c 17 = 8 vµ a + 2 b = 9 th× N = a + b - c - lµ sè kh«ng d­¬ng . T×m a,b,c ®Ó N = 0 2 Bµi 3 (4 ®) . x2 3 Cho biÓu thøc A = 2 x BiÓu thøc A cã gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nh¸t ? T×m gi¸ trÞ ®ã C©u 4 (4 ®) Cho tam gi¸c c©n ABC cã ACB = 100 0 . Ph©n gi¸c trong cña CAB c¾t CB t¹i D . Chøng minh r»ng AD + DC = AB Bµi 5 ( 4 ®) Cho tam gi¸c ABC cã AB = AC . Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AC t¹i C lÊy ®iÓm D sao cho hai ®iÓm B , D n»m kh¸c phÝa ®èi víi ®­êng th¼ng AC . Gäi K lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng qua B vu«ng gãc víi AB vµ ®­êng th¼ng qua trung ®iÓm M cña CD vµ vu«ng gãc víi AD . Chøng minh KB = KD §Ò sè 55: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: Thực hiện phép tính (2 điểm) 1 1 5 1 5 5 1 2 69 1 1 1 a/ : : b/ 2 3 4 5 9 11 22 9 15 3 167 Bài 2: So sánh (2 điểm) 2 a/ 7 5 với 48 2 b/ 1 50 với 6 Bài 3: Tìm x, y, z biết (4,5 điểm) a/ 3(x-2) – 4(2x+1) – 5(2x+3) = 50 1 1 21 b/ 3 : 4 2x 1 2 3 22 79
  80. 3x 2y 5y 3z 2z 5x c/ và 10x - 3y - 2z = -4 37 15 2 Bài 4: (6 điểm) Cho hàm số y m 2009 x 2 x . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; -1) a/ Tìm m b/ Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được c/ Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số trên. B(-2; -2) C(5; 1) D(2; 10) d/ Tính diện tích tam giác OBC Bài 5: (5,5 điểm) Cho ∆ABC, góc B = 600, AB = 7cm, BC = 14cm. Trên BC lấy điểm D sao cho góc BAD = 600. Gọi H là trung điểm của BD a/ Tính độ dài HD b/ Chứng minh rằng ∆DAC cân c/ ∆ABC là tam giác gì? d/ Chứng minh rằng AB2 + CH2 = AC2 + BH2 ====== (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) 80