›
›
›

Tuyển tập đề học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Vũ Ngọc Thành (Có đáp án)

pdf 233 trang Đình Phong 23/10/2023 6709
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập đề học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Vũ Ngọc Thành (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftuyen_tap_de_hoc_sinh_gioi_cap_tinh_mon_toan_lop_9_nam_hoc_2.pdf

Nội dung text: Tuyển tập đề học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Vũ Ngọc Thành (Có đáp án)

  1. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Chuyên đề 1 Căn bậc hai và bt liên quan • Tài li ệu này được tham kh ảo t ừ đề học sinh gi ỏi c ấp t ỉnh l ớp 9 t ừ 40 tỉnh thành trong c ả nước năm h ọc 2022-2023. C ụ th ể gồm: Bà R ịa V ũng Tàu, Bình D ươ ng, Bình Ph ước, Bình Định, B ắc Giang, B ắc K ạn, B ắc Ninh, B ến Tre, Gia Lai, Hà Giang, Hà Nam, Hà N ội, Hà T ĩnh, Hịa Bình, Hải D ươ ng, H ải Phịng, H ậu Giang, Khánh Hịa, Kon Tum, Lai Châu, L ạng s ơn, Nam Định, Ngh ệ An b ảng A, Ngh ệ An b ảng B, Ninh B ình, Ninh Thu ận, Phú Th ọ, Qu ảng Bình, Qu ảng Ninh, Qu ảng Tr ị, Sĩc Tr ăng, S ơn La, Thanh Hĩa, Ti ền Giang, TP H ồ Chí Minh, Tuyên quang, V ĩnh Long, V ĩnh Phúc, Yên Bái, Đắk L ắk, Đồng Tháp. Câu 1.1.1. (hsg 9 Bà R ịịịaaa VVVũng T àu 2022 2023 ) 1 22x − 12 1. Rút gọn biểu thức A = − : − với 0≤x ≠ 1 x+1 xxxx +−− 1 x − 1 x −1 2. So sánh hai s ố M =−3 22 +3 10 + 63 và N =39 + 80 + 3 9 − 80 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 22x − 12 1.1.1. Rút gọn biểu thức A = − : − với 0≤x ≠ 1 x+1 xxxx +−− 1 x − 1 x −1 1 22x − 12 A = − : − x+1 xxxx +−− 1 x − 1 x −1 12()x − 1 1 2 = − : − x+1()xx−−11() x − 1 () xx −+ 11() x−−12 x + 2 x +− 12 = : ()xx+−11() () xx −+ 11() x−2 x + 1 x − 1 = : 2 x−1 x + 1 ()x+1() x − 1 ()() 2 ( x−1) ( x − 1)( x + 1 ) = 2 . ()x+1() x − 1 x −1 x −1 = (với 0≤x ≠ 1 ) x +1 2. So sánh hai số M =−3 22 +3 10 + 63 và N =39 + 80 + 3 9 − 80 M =−3 22 +3 10 + 63 2 3 =()21 −+3 () 1 + 3 =211 −++ 3 =2 −++ 11 3 =2 + 3
  2. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 N =39 + 80 + 3 9 − 80 3 N 3 =( 39 + 80 +− 3 9 80 ) N3 =+9 80 +− 9 80 + 3 N ⇔N3 −3 N −= 18 0 ⇔−( N3)( N2 −+= 360 N ) ⇔N = 3 N2 ==+=+9 54 524 0 và tìm x sao cho B = . x+3 x + 2 2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 8+ 2 15 8 − 2 15 a)a)a) A =++−−−=415415235 + − 2.625 − 2 2 5+ 3 + 5 − 3 = −−=2.() 51 2 . 2 bb))b) Với x > 0 , khi đĩ ta cĩ: 2 x−+52 x + 6 x + 9 x−5 + 2() x + 3 x−5 + 2 x + 3 x−5 + 2() x + 3 B = = == xx++32 xx ++ 32 xx ++ 32 xx ++ 32 2 x+2 x + 1()x +1 x + 1 = = = . x+3 x + 2()x+1() x + 2 x + 2 2022x + 1 2022 B=⇔ =⇔2023 xxx += 2023 2022 +⇔= 4044 2021 2023x + 2 2023 ⇔=x20212 ⇔= x 4084441 (nhận). x +1 2022 Vậy, với x > 0 thì B = và B = tại x = 4084441 . x + 2 2023  x x 2 x − 2 Câu 3. (hsg 9 Hịa Bình 2022 2023 ) Cho bi ểu th ức: P = + : + (v ới x > x−1 x−1 x xxx + 0 và x ≠ 1) 1. Rút gọn biểu thức P, từ đĩ tìm giá trị của x sao cho P = 4 . 2 2.2.2. Tính giá tr ị của bi ểu th ức P khi x = . 2− 3 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1)1)1)
  3. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x x 2 x − 2 xx(++ 1) x 2( x ++− 1) x 2 P = + : + = : x−1 x−1 x xxx + (x− 1)( x + 1) xx ( + 1) x+2 x 2 xx + = : (x− 1)( x + 1) xx ( + 1) x+2 x xx ( + 1) x = . = (x− 1)( x + 1) 2 xx + x −1 x 2 P = 4 = 4 x− 4 x + 40 = ( x−2) = 0 x = 4 x −1 x = 4 (thỏa mãn điều kiện). Vậy x = 4 thì P = 4 2 2(2+ 3) 2 2)2)2) Khi x = = = 4+ 2 3 = ( 3+ 1 ) . 2− 3 (2− 3)(2 + 3) 2 6+ 4 3 Thay x = ( 3+ 1 ) vào biểu thức P và rút gọn ta được: P = 3 Câu 4. (hsg 9 H ảảải Phịng 2022 2023 ) aa))a) Rút gọn biểu thức aaba−−22 +− ab 22 4 aab 422 − A = − : (với a> b > 0). 22 22 2 a+ ab − a − ab − b 13− 6 + 6 + 6 ++ 6 5 bb))b) Chứng minh rằng b > 0 ta cĩ A =  -  :  22 22  2 a ab- a - ab -  b +  2 2 22 22 (aab− −) −+( aab − ) b2 = . (a− aba22 −)( + ab 22 − ) 4 a4− a 2 b 2 −4aab2 − 2 b 2 a −1 khia > 0 =2 . =−= b4 a a2− b 2 a 1 khia < 0 3− 6 + 6 + 6 ++ 6 b)b)b) Đặt A = 3− 6 + 6 ++ 6 và a =6 + 6 ++ 6 (Với 2023 dấu căn). suy ra a2 −=6 6 + 6 ++ 6 (Với 2022 dấu căn)
  4. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 3− a 1 Và A = = ()1 3−()a2 − 6 3+ a Ta cĩ a <6 + 6 ++ 6 + 3 (Với 2023 dấu căn) 1 1 a <3 < () 2 6 3 + a 1 1 5 Ta cĩ 2, 4< 6 < a < = () 3 3+a 3 + 2,4 27 1 5 Từ (2) và (3) suy ra <A < . 6 27 Câu 5. (hsg 9 Kon Tum 2022 2023 ) Rút g ọn bi ểu th ức a+3 a a − 1 2 1 ≥ 0 ≠ 1 A= − +− a , v ới a và a . a+3 a − 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a3a+ a1 − A= − 2 +− 1a a3+ a1 − aa3 a1a1 ()+ () +() − = −2 +− 1 a a3+ a1 − =( a2 −)( a2 +−=−−=−) aa4a 4 . Câu 6. (hsg 9 Lai Châu 2022 2023 ) Cho bi ểu th ức: 1x− 32 x + 2 P = − − , x≥1, x ≠ 2, x ≠ 3 xxx−−1 −− 122 − xxx 2 − aa))a) Rút g ọn bi ểu th ức P . bb))b) Tính giá tr ị của bi ểu th ức P tại x =3 − 2 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1x− 32 x + 2 aa))a) Ta cĩ: P = − − xxx−−1 −− 122 − xxx 2 − x+ x −1()x−3( x − 1 + 2 ) 2x + 2 = − − x−+ x1 x −− 1 2 2 − x x()2 − x x+ x −1()x−3( x − 1 + 2 ) 2x + 2 = − − x−+ x1 x −− 1 2 2 − x x()2 − x
  5. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2x− x − 2 2 − x =+−−−−()x x1 x 1 2. = x()2 − x x 2 2− 2 + 1 bb))b) Với x=−322 =() 21 −=− 21 P = = 21 + 2− 1 Câu 7. (hsg 9 L ạạạng sơn 2022 2023 ) Cho bi ểu th ức: xxx−−1 x + 3 x − 10 P = − : − , với x>0, x ≠ 9 . x−−33 xx x +−− 123 xx aa))a) Rút g ọn P . bb))b) Tính giá tr ị của P khi x =7 + 4 3 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Với x>0, x ≠ 9 , ta cĩ: xxx−−1 x + 3 x − 10 P = − : − x−−33 xx x +−− 123 xx xxx−−1 x + 3 x − 10 = − : − x−3 x + 1 xx()−3 () xx + 1() − 3 xxxx.−−−( 1) ( x + 3)( x −−− 3) () x 10 = : xx()−3() xx + 1() − 3 2 xxx−++1 xx −−+ 9 10 x + 1 ( x+1)( x − 3) ( x + 1 ) =: = . = xx()−3() x +− 13() x xx() − 3 1 x 2 ( x +1) Vậy với x>0, x ≠ 9 thì P = . x bb))b) x =7 + 4 3 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2 x =+743 =+ 4433 +=() 2 + 3 =+=+ 2 32 3 . 2 2 2 ( x ++++1) ( 2 31) ( 3 3.2) ( − 3) ( 12632 +−)( 3) 62( +− 32)( 3 ) P === = = = 6 . x 2+ 3 ()2+ 32() − 3 4− 3 1 Vậy P = 6 khi x =7 + 4 3 . Câu 8. (hsg 9 Ninh Thu ậậận 2022 2023 ) 11))1) Tính tổng: A =++1 2 22 + 2 3 ++ 2 2022 + 2 2023 . 1 22))2) Ch ứng minh r ằng s ố: x =3 7 + 5 2 − là nghi ệm c ủa phương tr ình: x3 +3 x − 14 = 0 . 3 7+ 5 2
  6. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1)1)1) Tính tổng: A =++1 2 22 + 2 3 ++ 2 2022 + 2 2023 . A =++1 2 22 + 2 3 ++ 2 2022 + 2 2023 2A =+++++ 222 2 3 2 4 2 2023 + 2 2024 A=−=+++++2 A A ( 2222 22 3 4 2023 + 2 2024) −+++++( 1222 2 2 3 2022 + 2 2023 ) =22024 − 1 . Vậy A ==22024 − 1 . 1 22))2) Chứng minh rằng số: x =3 7 + 5 2 − là nghiệm của phương trình: x3 +3 x − 14 = 0 3 7+ 5 2 Ta cĩ: 13 1 1 21− x =+−3 752 =+−3 () 12 =+− 12 =+− 12 3 3 1+ 2 2− 1 7+ 5 2 3 ()1+ 2 =+1 2 − 212 += Với x = 2 thì x3+3 x −= 14 2 3 + 3.2 −=+−= 14 8 6 14 0 . 1 Vậy: x =3 7 + 5 2 − là nghiệm của phương trình: x3 +3 x − 14 = 0 . 3 7+ 5 2 Câu 9. (hsg 9 Qu ảảảng Ninh 2022 2023 ) Rút g ọn bi ểu th ức a + 2 5 1 : P = − + , v ới a ≥0, a ≠ 4 a+3 aa +− 6 2 − a LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a−4 5 a + 3 a) P = − − ()aa+−32() () aa +− 32() () aa +− 32() a− a −12()a+3() a − 4 a − 4 = = = ()a+3() a − 2() a + 3() a − 2 a − 2 212+ 24 (2 +−− 3)2 5 842 Câu 10. (hsg 9 Đ ắắắkkk LLLắắắk 2022 2023 ) Rút g ọn bi ểu th ức − − . 54+ 108 216 6 − 3 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 21224+ 232( + 2 ) 2 ( 2+ 3) − 5 2 6 1 8− 42 4 Ta cĩ: = = ; = = ; = 54+ 108 332()+ 2 3 216 6 6 3 6− 3 2 3 Do đĩ, 2 2 12+ 24( 2+ 3) − 5 8 − 4 2 − − =− 1 54+ 108 216 6 − 3 2
  7. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 11. (((hsg9 Bình D ương 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức xxx2 −+− x1 xx − 1 x + 1 A = + + với x>0, x ≠ 1 xxx− xx − x 1.1.1. Chứng minh rằng : A > 4 6 2.2.2. Với gi á tr ị nào c ủa x th ì bi ểu th ức B = nh ận gi á tr ị nguyên. A LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1.1.1. Với x>0, x ≠ 1 , ta cĩ: xxx2 −+− x1 xx − 1 x + 1 A = + + xxx− xx − x xxx( −+−1) x 1( x − 1)( xx ++ 1 ) x +1 = + + −−+xx()1() x 1 xx() − 1 x ( x−1)( xx + 1) ( xx ++ 1 ) x +1 = + + −x() x −1() x + 1 x x −+( x1)( xx −+ 1) ( xx ++ 1 ) x +1 = + + x() x +1 x x −+−xx1 xx ++ 1 x + 1 = + + x x x x+2 x + 1 1 = =++x 2 x x 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số khơng âm x, ta được A≥2 + 2 ⇔ A ≥ 4. x 1 Dấu “=” xảy ra khi x= ⇔ x = 1 (khơng thỏa mãn điều kiện) x Vậy A > 4 với x>0, x ≠ 1 (đpcm) 6 6x 6 x 2.2.2. Ta cĩ: B = = = A 2 x+2 x + 1 ()x +1 663 3 Do x>0, x ≠ 1 nên B > 0 , mà A> 4 < = B < A 4 2 2 3 x+2 x + 1 Ta cĩ 0 <B < và B∈ℤ nên B =1 suy ra A= 6 = 6410 x− x + = (1) 2 x Đặt t= x , ta được phương trình ẩn t: t2 −4 t + 1 = 0 (2)
  8. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Giải phương trình (2) ta được t1 =2 + 3 (nhận) ; t1 =2 − 3 (nhận) Với t1 =2 + 3 , ta cĩ x=2 + 3 x = 743 + (nhận) Với t2 =2 − 3 , ta cĩ x=2 − 3 x = 743 − (nhận) Thử lại ta thấy x ∈{7 + 4 3;7 − 4 3 } thỏa mãn điều kiện bài tốn. 6 Vậy x ∈7 + 4 3;7 − 4 3 thì biểu thức B = nhận giá trị nguyên. { } A Câu 12. (((hsg9 Bình Ph ưưướớớc 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức xx−+−3 29 x 39 x − P =+− : 1 − 2−x 3 + xxx +− 6 x − 9 a)a)a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P . b)b)b) Tính giá tr ị của bi ểu th ức P khi x =3 − 3 − 13 − 48 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x ≥ 0 a)a)a) P xác định ⇔ x ≠ 4 x ≠ 9 x−3 x + 2 x − 9 xx − 3 P = + + : 2−x x + 3 xx +− 6 x − 9 x−3 x + 2 x − 3 x P = + + : 2−xx + 323 x − x + x+ 2 x x + 2 = : = x+3 x + 3 x bbb)b))) Ta cĩ x =−−3 3 13 − 48 =−− 3 3() 231 − =3 −( 31 −=) 1 1+ 2 P = = 3 1 Câu 13. (((hsg9 BBBắắắc Giang 2022 2023 )))Rút g ọn bi ểu th ức    xxx2− + 1   1 x  1 P . x x 2  = −  +++  với x>0; x ≠ . 2x− 1 4x − 1   x 2   4 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 Với x > 0 và x ≠ , ta cĩ: 4
  9. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x2 x + 1 ( ) 2x− x + 1 x 1 P = −. x x +++ 2 2 x ()2x− 12() x + 1() 2 x − 12() x + 1 2xx+ 2 xx − + 1 x (2x + 1 ) = − . .2()x ++ 1 2 x ()2x+ 12() x − 12() x + 12() x − 1 2x− 1 x 1 =.() 2x + 1 + 2 x ()2x+ 12() x − 1 x 1 x x + 2 = + = . 2 x 2 x KL Câu 14. (((hsg9 BBBắắắccc KKK ạạạn 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 3xx++ 14 x + 33 x + 2 x P = + − : (x>0, x ≠ 9 ). xx−−23 x + 1 x − 3 xx + Rút g ọn bi ểu th ức P và tính giá tr ị của bi ểu th ức P khi x =+13 62 + 9 + 42. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Với x>0, x ≠ 9 . Ta cĩ 3xx++++ 14( xx 3)( −− 332) ( xx +)( + 1 ) x P = : ()xx+1() − 3 xx() + 1 x−4 x + 3 1 ( x−1)( x − 3 ) P =: = .11()x +=− x xx+−13x +1 xx +− 13 ()() ()() Vậy với x>0, x ≠ 9 thì P= x − 1. Ta cĩ 2 x =+1362 +() 221 +=+ 136322 + 2 2 =+136() 21 +=+ 1962 =() 321. + 2 2 Với x =(3 2 + 1 ) ta cĩ: P= x −=1() 321 + −= 1321132. +−= Câu 15. (((hsg9 BBBắắắc Ninh 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 1 1 2x+− x 12 xxx +− x 1 P = − : − với x ≥ 0 và x≠1, x ≠ ⋅ 1−xx 1− x 1 + xx 4 7 Rút g ọn bi ểu th ức P và tìm giá tr ị của x để P = ⋅ 3
  10. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 Với x ≥ 0 và x≠1, x ≠ ta cĩ 4 x−1 + x (211x−+)( xxx) ( 211 −+)( x ) P = : + xx()1− () 11 −+ x() x() 1 +−+ xxx() 1 2x − 1 (21x−) x( 21 x − ) P = : + xx()1− () 1 − xxx() −+ 1 2x − 1 (2x− 1)( xx − ++ 1 xx − ) P = : xx()1−() 1 −−+ xxx() 1 x− x + 1 P = ⋅ x x = 3 x = 9 7x− x + 1 7 P=⇔ =⇔−3 x 10 x +=⇔ 3 0 1 ⇔ 1 ( thỏa mãn ). 3x 3 x = x = 3 9 1  Vậy x∈ 9;  ⋅ 9  Câu 16. (((hsg9 Gia Lai 2022 2023 ))) 111 1 a)a)a) Chứng minh rằng: ++ =+1 (với k > 0 ). 2 2+ 2 + 1kk ( 1) kk ( 1) Từ đĩ hãy tính giá trị biểu thức: 111111 11 1 1 S =++++++++ + + . 1222222 2 3 1 3 4 1 2 2022 2 2023 2 2023 b)b)b) Tìm t ất c ả các c ặp s ố (x ; y ) nguyên th ỏa mãn: x2 − xy ++ x y +=5 0 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 1 1 a)a)a) Ta cĩ + + 12k 2 ( k + 1) 2 kk2(+ 1) 2 + ( k + 1) 22 + k = k2( k + 1) 2 k4322+2 kkk + + + 2 k ++ 1 k 2 = k2( k + 1) 2 k4+22 k 3 + kk 22 +++ 21 k = k2( k + 1) 2 (k2+ k + 1) 2 k2 + k + 1 k( k + 1) + 1 1 = = = =1 + (đpcm). k2( k + 1) 2 k( k + 1) kk(+ 1) kk ( + 1)
  11. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 * Ta cĩ: 111 1 11 ++ =+1 =+− 1 12kk 2 (+ 1) 2 kk ( + 1) kk + 1 Khi đĩ: 111111 11 1 1 S =++++++++ + + 1222222 2 3 1 3 4 1 2 2022 2 2023 2 2023 1111 1 1 1 =+−++−+++1 1 1 − + 2 3 3 4 2022 2023 2023 1 =2021 + = 2021,5 . 2 b)b)b) Ta cĩ : xxyxy2 − +++=⇔5 0 yx ( −= 1) xx2 ++ 5 (*) Với x =1 khơng thỏa mãn đẳng thức (*) . x2 + x + 5 7 Khi đĩ (*)⇔=y ⇔=++ y x 2 x−1 x − 1 Vì x, y nguyên nên suy ra: (x − 1) là ước nguyên của 7. Suy ra: (x − 1) ∈±{ 1; ± 7 } * x−11 = x= 2 y = 11 . * x−11 = − x= 0 y = − 5 . * x−17 = x= 8 y = 11 . * x−17 = − x= − 6 y = − 5 . Vậy cĩ 4 cặp số nguyên thỏa đề: (2;11), (0;− 5), (8;11), ( − 6; − 5) . Câu 17. (((hsg9 Hà Giang 2022 2023 ))) 1 2 31 a)a)a) Rút gọn biểu thức P = + − . . Với x > 0 rút gọn và tìm giá trị lớn x+1 xx −+ 1 xx + 1 x nhất của biểu thức P. 2023 b)b)b) Cho x =3945 + + 3 945 − . Tính giá tr ị của bi ểu th ức Q=( x3 −3 x − 17 ) LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 2 31 x− x ++12( x +− 13) 1 a)a)a) Ta cĩ: P = + − . = . x+1 xx −+ 1 xx + 1 x ()x+1() x − x + 1 x x+ x 1 1 1 =. = . Vậy P = ()x+1() x − x + 1 x x− x + 1 x− x + 1 1 1 4 1 1 = = ≤ x− =0 ⇔ x = +) Vì P 2 . Dấu "=" xảy ra khi x− x + 1 1 3 3 2 4 x − + 2 4
  12. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 4 1 Vậy: Max P = khi x = 3 4 3 3 3 3 b)b)b) Từ x=945 + + 945 − x 3 =++ 1839459453 − 945 ++− 945 ( )( ) 2023 2023 x3=183 + xxx 3 − 3 = 18 . Khi đĩ: Q=−−( x3 3 x 17) =−() 1817 = 1 Câu 18. (((hsg9 Hà Nam 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức a+1 aa − 1 aaa2 −+− a 1 P = + + với a>0, a ≠ 1. aaa− aaa − a)a)a) Rút gọn biểu thức P. 8 b)b)b) Tìm đi ều ki ện c ủa a để bi ểu th ức Q = nh ận giá tr ị nguyên. P LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Rút gọn biểu thức P. 3 a +1 ( a) −1() 1 − a( −−+ 1 aa ) P = + + aa() a −1 a()1− a a+1 aa + + 1 −−+ 1 aa = + + a a a a+2 a + 1 = a 8 b)b)b) Tìm điểu kiện của a để biểu thức Q = nhận giá trị nguyên. P 1 1 Cĩ P=++≥ a22 a . += 24 (Theo BĐT Cơsi) a a 1 P=⇔4 a = ⇔= a 1 (loại do a ≠ 1) a Vậy P>∀>4 a 0, a ≠ 1. 8 0< < 20 <Q < 2 P 2 Do đĩ để Q∈⇔=⇔=⇔ℤ QP1 8( aa) − 610 += a=−322 a =− 17122 ⇔ ⇔ (thỏa mãn điều kiện) a=+322 a =+ 17122 Vậy a =17 ± 12 2 là các giá trị cần tìm Câu 19. (((hsg9 HHHảảải Dương 2022 2023 )))
  13. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 23 xx4+5 3 − 20 x 2 − 27 x + 30 = 1)1)1) Cho x . Tính giá tr ị của bi ểu th ức P = 2 31+ 12 3 x+4 x − 21 2)2)2) Cho a, b , c > 0 thỏa mãn a+++ b c2 abc = 1 . Chứng minh rằng ab(1−−+ )(1 c ) bc (1 −−+ )(1 a ) ca (1 −−− )(1 b ) abc = 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 23 23 23 233( 3− 2 ) 1)1)1) Ta cĩ x = = == =−3 3 2 2 3 3+ 2 23 31+ 12 3 ()3 3+ 2 x+233 = xx2+ 4427 + = xx 2 + 4230 − = xx4+5 3 − 20 x 2 − 27 x + 30 P = x2 +4 x − 21 xxx22( +−+423) xxx( 2 +−−+−+ 423) ( xx 2 4237) ( x2+−423 x)( xx 2 +−+ 17) P = P = ()x2 +4 x − 23 + 2 ()x2 +4 x − 23 + 2 2 0⋅( x +− x 1) + 7 7 P = = 0+ 2 2 2)2)2) Do a, b , c > 0 và a+++ b c2 abc = 1 a+2 abc +=−−+=− bc 1 b c bc( 11 b)( − c ) 2 a()()1−−=+ b 1 c a2 2 a abc +=+ abc() a abc =+ a abc Tương tự: b()()1− c 1 − a =+ b abc ; c()()1− a 1 − b =+ c abc Do đĩ: ab(1− )(1 −+ c ) bc (1 −−+ )(1 a ) ca (1 − )(1 −− b ) abc =+++a b c2 abc = 1 2a+ 1 a 1 + a 3 Câu 20. (((hsg9 HHHậậậu Giang 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức A= − − a . 3 a −1 a+ a +1 1 + a a)a)a) Tìm điều kiện của a để biểu thức A cĩ nghĩa và rút gọn biểu thức A . 3 b)b)b) Tìm các giá tr ị của a để A = . 4 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Tìm điều kiện của a để biểu thức A cĩ nghĩa và rút gọn biểu thức A . a ≥ 0 a ≥ 0 Điều kiện xác định: ⇔ . a3 −1 ≠ 0 a ≠ 1
  14. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2a+ 1 a 1 + a 3 Ta cĩ: A= − − a 3 a −1 a+ a +1 1 + a 2a+ 1 a (1+a)( 1 − a + a ) A = − − a a+ a +1 1 + a ()a−1() a + a + 1 2a+ 1 − a() a − 1 A= 1 −+− aaa () ()a−1() a + a + 1 2a+ 1 − a + a A= 1 − 2 a + a () ()a−1() a + a + 1 a+ a + 1 2 A= a −=−1 a 1 () ()a−1() a + a + 1 3 b)b)b) Tìm các giá trị của a để A = . 4 3 7 49 a−1 = a = a = 3 4 4 16 Ta cĩ: a −=⇔1 ⇔ ⇔ 4 3 1 1 a−=−1 a = a = 4 4 16 49 1 So với điều kiện a≥0, a ≠ 1 , ta thấy a = , a = thỏa điều kiện. 16 4 ( 3− 1.10) 3 + 6 3 Câu 21. (((hsg9 Khánh Hịa 2022 2023 )))Rút g ọn bi ểu th ức A = 6+ 25 − 5 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ( 3− 1.10) 3 + 6 3 Rút gọn biểu thức A = 6+ 25 − 5 3 ( 31.1063−+) 3 ( 3− 1.) 3 ( 3 + 1 ) ( 31.31 −+) ( ) A = = = = 2 2 6+ 25 − 5 ( 5+ 1) − 5 ()5+ 1 − 5 Câu 22. (((hsg9 Ninh B ìììnnhhnh 2022 2023 )))Với a ≥ 0 và a ≠ 1, rút g ọn bi ểu th ức a+ a + 1 1 a P = + + . aa+−2 a − 1 aa + 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a+ a + 1 1 a Với a ≥ 0 và a ≠ 1, rút gọn biểu thức P = + + aa+−2 a − 1 aa + 2 aa++11 aaa ++ 111 P = ++ = ++ aaa+−−21a() a + 2 aaaa +−−+ 212
  15. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 a+ a + 1 1 1 = + + ()a−1() a + 2 a−1 a + 2 aa++1 a + 2 a − 1 aa ++ 32 = + + = ()aa−+12() () aa −+ 12() () aa −+ 12() () aa −+ 12() ( a+1)( a + 2 ) a +1 = = . ()a−1() a + 2 a −1 Câu 23. (((hsg9 QQuuQu ảảảng Bình 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 25x 1 x − 1 A = − + : 2 . 21x+4x − 1 21 x − ()2x + 1 a)a)a) Rút gọn biểu thức A. b)b)b) Tính giá tr ị bi ểu th ức A khi x =320 + 14 2 + 3 20 − 14 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 a)a)a) Điều kiện: x≥0; x ≠ ; x ≠ 1 . 4 4x−− 25 xx + 2 + 1(2 x + 1) 2 x−1 2 x + 1 2x + 1 A = . = . = (2x+ 1)(2 x − 1) x − 1 2x− 1 x − 1 2x − 1 2x + 1 1 Vậy A = với điều kiện x≥0; x ≠ ; x ≠ 1 . 2x − 1 4 b)b)b) Áp dụng hằng đẳng thức ()()ab+3 =++ a3 b 3 3 abab + , ta cĩ : x3 =+20 14 2 +−+ 20 14 2 33 ( 20 + 14 2)( 20 − 14 2) . x ⇔=+x3 40 33 20 + 14 2 20 − 14 2 . x ( )( ) ⇔x3 −6 x − 40 = 0 ⇔−( x4)( x2 ++ 4 x 10) = 0 ⇔=x4 ( dox 2 ++> 4 x 10 0) 2x + 12415 + Thay x = 4 vào A ta được A = = = 2x − 1 241 − 3 5 Vậy A = khi x =320 + 14 2 + 3 20 − 14 2 . 3 Câu 24. (((hsg9 QQuuQu ảảảng Tr ịịị 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 1 2 1 2 Ax= 2 + ++−2 x 3:() xx2 −+ 1 với x ≠ 0. x2 x a)a)a) Rút g ọn bi ểu th ức A.
  16. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 b)b)b) Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa A. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 11 2 2 1 2 1 1 2 a)a)a) Ta cĩ x2 + +23 x +−=+ x2 + 2 x 2 ++=++ 1 x 2 1 xx2 x2 x 2 x 2 2 1 x + + 1 4 2 2 2 2 2 xx++1()()xx++1 xx −+ 1 xx ++ 1 A ==x = = x2 − x + 1 xxx22()−+1 xxx 22() −+ 1 x 2 11 11 2 33 bbb)b))) Viết lại A= ++=1 + +≥ , ∀ x . x2 x x 2 4 4 Dấu bằng xảy ra ⇔x = − 2( tmdk ) 3 Vậy MinA = khi x = − 2 . 4 Câu 25. (((hsg9 Sĩc Trăng 2022 2023 )))Cho hai bi ểu th ức 211x+ x − 2 x +16 A = − : 1 − và B = xx−1 x − 1 xx ++ 1 x a)a)a) Rút g ọn bi ểu th ức A. b)b)b) Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức T= A × B . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Rút gọn biểu thức A. ĐKXĐ: x≥0; x ≠ 1 . 211x+ x − 2 A = − : 1 − xx−1 x − 1 xx ++ 1 21x+−+( xx + 1) ( xx + +−− 12) () x A = : ()x−1() x + x + 1 x+ x + 1 21x+−− xx − 1 xx + +−+ 12 x A = : ()x−++1() xx 1() xx ++ 1 x− x x + 3 A = : ()x−1() xx ++ 1() xx ++ 1 xx( −1) ( xx + + 1 ) A = . ()x−1() x + x + 1 x + 3 x A = x + 3 b)b)b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= A × B . Với x>0; x ≠ 1 ta cĩ:
  17. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x x +16 T= A × B = . x+ 3 x x+16925 x − + ( x−3)( x + 3) + 25 25 25 T == = =−+=++−x3 x 3 6 xx++33 x + 3 x + 3 x + 3 25 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta cĩ: T≥2() x + 3. −=−= 61064 . x + 3 25 2 Vậy MinT = 4 khi x+=3 ⇔( x + 325) =⇔ xxx +=⇔ 35 =⇔= 24 (thỏa mãn). x + 3 Câu 26. (((hsg9 Sơn La 2022 2023 ))) x+1 122 +− xxxx 2 − a)a)a) Rút gọn biểu thức: A = + + với x>0, x ≠ 1. xxxx++ x2 − x1 − xx 2023 b)b)b) Cho biểu thức: P=( x3 + 12 x − 31 ) . Tính giá tr ị của bi ểu th ức P tại x=316 − 8 5 + 3 16 + 8 5 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Với x>0, x ≠ 1 , ta cĩ: x+1 122 +− xxxx 2 − A = + + xxxx++ x2 − x1 − xx x+1 122 +− xx xx − 2 A = + + xxx()++1 xx() −++ 1() xx 11() x −++() xx 1 ()x+1() x −++− 1122() xxxxx +() − 2 = xx()−1() x + x + 1 x−++1122 x − xxxx + − 2 = − + + xx()1() x x 1 xxx+ − 2 x = xx()−1() x + x + 1 x() x−1() x + 2 = xx()−1() x + x + 1 x+2 = x+ x + 1 x + 2 Vậy A = , với x>0, x ≠ 1 x+ x + 1 3 3 x=−++316851685 3 =3()15 − + 3 () 15 + =−++= 15152 b)b)b) Ta cĩ: Thay x = 2 vào biểu thức P , ta được: 2023 P =+−23 12.2 31 = 1 2023 = 1 ( )
  18. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Vậy với x=316 − 8 5 + 3 16 + 8 5 thì biểu thức P cĩ giá trị bằng 1. Câu 27. (((hsg9 Thanh Hĩa 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 2x 1 9 x + 14 P = ⋅+ 1 + với x ≥ 0 . x+3 x + 2 xx ++ 32 Rút g ọn bi ều th ức P và tìm các giá tr ị của x để bi ểu th ức P cĩ giá tr ị là s ố tự nhiên. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2x 1 9 x + 14 Cho biểu thức P = ⋅+ 1 + với x ≥ 0 . x+3 x + 2 xx ++ 32 Rút gọn biều thức P và tìm các giá trị của x để biểu thức P cĩ giá trị là số tự nhiên. Điều kiện x ≥ 0 . Ta cĩ: 2x 1 9 x+ 142x( x + 1 ) 9 x + 14 P =⋅++ 1 = + x+3 x + 2 xx ++ 32 ()x+1() x + 2() x + 2() x + 1 2x+ 11 x + 14( x+2)( 2 x + 7 ) 2 x + 7 = = = ()x+2() x + 1() x + 2() x + 1 x +1 2x + 7 Vậy P = với x ≥ 0 x +1 2( x + 1) + 5 5 5 Ta cĩ P = =2 + , vì x ≥ 0 nên 0< ≤ 5 suy ra 2<P ≤ 7 x+1 x + 1 x +1 5 555  Do P ∈ N nên P ∈{}3;4;5;6;7 ⇔ ∈{} 1;2;3;4;5 ⇔+∈x 1 5; ; ; ;1  . x +1 2 3 4  321  941  ⇔∈x 4;;;;0  ⇔∈ x 16;;; ;0  . 234  4916  9 4 1  Kết hợp với điều kiện ta thấy x ∈ 16; ; ; ;0  là giá trị cần tìm. 4 9 16  9 4 1  Vậy để P cĩ giá trị là số tự nhiên thì x ∈ 16; ; ; ;0  4 9 16  Câu 28. (((hsg9 TiTiTi ềềền Giang 2022 2023 ))) Cho bi ểu th ức: A =−+(31313)( )( 2 + 13)( 4 + 13)( 8 + 13)( 16 + 13)( 32 + 1 ) và B =+6262322 + + −+ 526 . a)a)a) Rút g ọn A và B . b)b)b) Ch ứng t ỏ A+ B chia h ết cho 9 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Ta cĩ: A =−+(31313)( )( 2 + 13)( 4 + 13)( 8 + 13)( 16 + 13)( 32 + 1 )
  19. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 A =−(3131313132)( 2 +)( 4 +)( 8 +)( 16 + 13)( 32 + 1 ) A =−(31313134)( 4 +)( 8 +)( 16 + 13)( 32 +==− 1) ( 3 32 13)( 32 +=− 1) 3 64 1 B =+6262322 + + −+ 526 2 2 2 B =()3 +++() 2 12 2. 3. 2 + 2. 3.1 + 2. 2.1 −+() 3 2 2 2 B =()321 ++−() 32 + =++−+=++−−= 32132 321321 b)b)b) Ta cĩ: A+= B 364 −+= 1 1 3 64 = 3 2 .3 62 = 9.3 62 ⋮ 9 Vậy A+ B chia hết cho 9 . Câu 29. (((hsg9 Tuyên quang 2022 2023 ))) Rút g ọn bi ểu th ức 2x+ 1 x x − 4 P= − . x − , với x≥0, x ≠ 4. xx+−+1 xx 1 x − 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Với x≥0, x ≠ 4. 2x+ 1 x x − 4 P= − . x − xx+−+1 xx 1 x − 2 21x+x() x +1 xxxx −−+ 24 = − . x − 2 ()xxx+−+1() 1() xxx +−+ 1() 1 2 xx−+1 xxx −+ 341 ( x−2) .( x + 1 ) =. = . =−x 2 ()x+1() x − x + 1 x−2 x + 1 x − 2 Vậy P= x − 2 Với x≥0, x ≠ 4. Câu 30. (((hsg9 VVVĩnh Long 2022 2023 ))) 2023 3 3 3 a)a)a) Cho A=( x +12 x − 31 ) .Tính giá trị của biểu thức A khi x =16 − 85 + 16 + 85 x+2 xx + 3 + 2 x b)b)b) Cho biểu thức : B = −− : 2 − . xx−+−562 xx − 3 x + 1 1 5 Rút gọn biểu thức B và tìm các giá trị của x để ≤ − B 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Tính giá trị của biểu thức A 3 3 Ta cĩ: x =16 − 85 + 16 + 85 x3 =+32 33 (16 − 8 5)(16 + 8 5).(3 16 −++ 8 5 3 16 8 5 ) 3 ⇔x =32 − 12 x
  20. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 3 ⇔x +12 x − 31 = 1 2023 A=−+( x312 x 31) = 1 2023 = 1 1 5 b)b)b) Rút gọn biểu thức B và tìm các giá trị của x để ≤ − B 2 ĐK: x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9 x+2 xx + 3 + 2 x B = −− : 2 − xx−+−562 xx − 3 x + 1 x+3 x − 3 x + 2 x − 2 x + 2 ()() ()() x + 2 = + − : x +1 ()xx−−32() () xx −− 32() () xx −− 32() 1x+ 1 x + 1 =. = x−2 x + 2 x − 4 15x − 4 5 ≤−⇔ ≤−⇔28x −≤− 5 x − 5 B 2x +1 2 1 1 1 ⇔25303xx + −≤⇔−≤ x ≤⇔≤ 0 x ≤⇔≤≤ 0 x 2 2 4 Câu 31. (((hsg9 VVVĩnh Phúc 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức x2 y 2 xy 22 P = − − . ()()xy+−1 yxy()() ++ 111 x()() +− x y a)a)a) Rút g ọn bi ểu th ức P . b)b)b) Tìm các s ố nguyên x, y th ỏa mãn P = 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a)
  21. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x2 y 2 xy 22 P = − − ()()xy+−1 yxy()() ++ 111 x()() +− x y x2()()()1+− xy 2 1 −− yxyxy 22 + = ()()()xy+1 + x 1 − y x3+−+− x 2 y 2 y 3 xyxy 22 () + = ()()()xy+1 + x 1 − y ()()()xyxy+ −++ xyx()2 −+− xyy 2 xyxy 22 () + = ()()()xy+1 + x 1 − y ()xyxyx+() −+−++2 xyy 222 xy = ()()()xy+1 + x 1 − y ()()xy+1 − yx()2 + xyxy 2 +− = ()()()xy+1 + x 1 − y ()()()()xy+1 − y 1 + xxxyy +− = ()x+ y ()()1+x1 − y =x + xy − y b)b)b) P= 2 xxyy+ − = 2 ( x− 111)( + y ) = Vì x, y nguyên nên xy−1; + 1 ∈ ℤ xy− 1; + 1 ∈ Ư(2) ={ ± 1; ± 2 } . x−1 = 1 x = 2 + ⇔ y+1 = 1 y = 0 x−=−1 1 x = 0 + ⇔ y+=−1 1 y =− 2 Vậy ( x; y )∈{( 2;0) ;( 0; − 2 )} 2- 3 6-33 Câu 32. (((hsg9 Yên Bái 2022 2023 ))) Rút g ọn bi ểu th ức S = + . 2 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Ta cĩ: 2 2 2-3 6-33()2-3() 6-33 2-36-332-3 6-33 S=+= + =+=+ 2 2 22-3 26-3331− 3-3 31 − 331− () () () 3- 3 = = 1 3() 3− 1 Câu 33. (((hsg9 ĐĐĐồồồng Tháp 2022 2023 ))) 6− 2 5.6( + 2 5 ) 1.1.1. Tính giá tr ị của bi ểu th ức P = 1+ 5
  22. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 xx−1 xx + 1 x + 4 2.2.2. Cho bi ểu th ức H = − + với x≥0; x ≠ 1 xxxx− + x a)a)a) Rút g ọn bi ểu th ức H . b)b)b) Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức H . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 2 6− 2 5.6() − 2 5 ()5− 1.() 5 + 1 1.1.1. P = = =−+=()51() 51 4 15+ 51 + 2.2.2. a)a)a) Rút gọn biểu thức H . Với x≥0; x ≠ 1 xx−1 xx + 1 x + 4 H = − += xxxx− + x ()xxx−++1() 1() xxx +−+ 1() 1 x+4 xx ++ 1 xx −+ 1424 x + xx ++ = − +=−+= xx()−1 xx() + 1 x x xx x b)b)b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H . x+2 x + 4 4 Với x≥0; x ≠ 1 ta cĩ H= =++ x 2 x x 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương x và ta được: x 4 4 x+≥2 x ⋅ = 4 x x 4 H= x + +≥+=2 4 2 6 x 4 Vậy H=⇔6 x = ⇔= x 4 min x Câu 34. (((hsg9 BBBắắắc Giang 2022 2023 )))Cho hai s ố th ực x, y th ỏa mãn (x+ x2 +1)( yy + 2 += 1) 2 . Tính Qxy=2 ++1 yx 2 + 1 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Từ giả thiết ta được ( xx+2 +1)( yy + 2 += 1) 2 ⇔+xyxy2 ++1 yx 2 ++ 1 x 22 + 1. y += 1 2 (1) x2+−>1 xxxxx 2 −= −≥∀ 0, x và tương tự y2+−>1 yyyyy 2 −= −≥∀ 0, y . 1 xxyy+2 +1 + 2 +=⇔ 12 xxyy 2 +− 1 2 +−= 1 ( )( ) ( )( ) 2
  23. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG HỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 1 ⇔yx2 ++1 xy 2 +− 1 x 22 + 11 y +−=− xy (2) 2 3 Cộng theo vế của (1) và (2) , ta được: xy2++1 yx 2 += 1 . 4 KL Câu 35. (((hsg9 Hà T ĩnh 2022 2023 )))Cho bi ểu th ức 1 2 5x12x− − C= + − : . 1− x x1 + 1x− x1 − Tìm t ất c ả các giá tr ị nguyên c ủa x để giá tr ị của bi ểu th ức C là s ố nguyên. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 ĐKXĐ: x≥ 0;x ≠ 1;x ≠ 4 2 Ta cĩ C = . Để C∈ Z thì 1− 2 x ∈ U( 2) =−−{ 2; 1;1;2} ⇔∈ x{ 1;0 } 1− 2 x Đối chiếu ĐKXĐ ta cĩ x= 0 . Câu 36. (((hsg9 ĐĐĐồồồng Tháp 2022 2023 )))Ch ứng minh r ằng v ới m ọi s ố tự nhiên n ∈ ℕ thì 111 1 + + ++ =+−n 1 1 213243++ +n ++ 1 n LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ∈ ℕ thì 111 1 + + ++ =+−n 1 1 213243++ +n ++ 1 n Ta cĩ: 111 1 + + ++ = 213243++ +n ++ 1 n =()2 −+ 1() 3 − 2 +() 4 − 3 ++ ()n +− 1 n =n +1 − 1
  24. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Chuyên đề 2 Hàm số • Tài li ệu này được tham kh ảo t ừ đề học sinh gi ỏi c ấp t ỉnh l ớp 9 t ừ 40 tỉnh thành trong c ả nước năm h ọc 2022-2023. C ụ th ể gồm: Bà R ịa V ũng Tàu, Bình D ươ ng, Bình Ph ước, Bình Định, B ắc Giang, B ắc K ạn, B ắc Ninh, B ến Tre, Gia Lai, Hà Giang, Hà Nam, Hà N ội, Hà T ĩnh, Hịa Bình, Hải D ươ ng, H ải Phịng, H ậu Giang, Khánh Hịa, Kon Tum, Lai Châu, L ạng s ơn, Nam Định, Ngh ệ An b ảng A, Ngh ệ An b ảng B, Ninh B ình, Ninh Thu ận, Phú Th ọ, Qu ảng Bình, Qu ảng Ninh, Qu ảng Tr ị, Sĩc Tr ăng, S ơn La, Thanh Hĩa, Ti ền Giang, TP H ồ Chí Minh, Tuyên quang, V ĩnh Long, V ĩnh Phúc, Yên Bái, Đắk L ắk, Đồng Tháp. Câu 1.1.1. (hsg9 B ắắắccc KKKạạạn 2022 2023) Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ tr ục t ọa đ ộ Oxy , cho đư ờng th ẳng dy:=() m2 + 1 xm − . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hồnh, trục tung l ần lư ợt t ại hai đi ểm A, B sao cho tam giác OAB cĩ di ện tích b ằng 0,4 cm 2 (O là g ốc t ọa đ ộ, đơn v ị đo trên các tr ục là cm ). LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii m + Tìm được điểm A ,0 , B() 0, − m m2 +1 m + Tính được OA=, OB =−= m m m2 +1 1 1 m m2 + Tính được S= OAOB. = . m = OAB 2 2 ()m2+1 2() m 2 + 1 m2 2 + S=0,4 ⇔ = 0,4 =⇔=⇔=± m2 4 m 2 OAB 2()m2 + 1 5 Vậy m = ± 2 thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Câu 2. (hsg9 B ắắắc Ninh 2022 2023) Gọi A và B là giao đi ểm c ủa đư ờng th ẳng d: y= − x + 2 với parabol ()P: y= x 2 . Tính di ện tích tam giác OAB ( O là g ốc t ọa đ ộ). LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x =1 Phương trình hồnh độ giao điểm −+=⇔+−=⇔x2 x2 xx 2 2 0 ⋅ x = − 2 Suy ra A()()1;1 , B − 2;4 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A, B lên trục Ox .
  25. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ( AH+ BK) HK 15 1 1 1 Cĩ S= ==; S OHAH . === ; S OKBK .4. AHKB 2 2OAH 2 22 OBK Vậy SOAB= S AHBK − S OAH − S OBK = 3. Câu 3. (hsg9 V ĩnh Phúc 2022 2023) Trong m ặt ph ẳng t ọa đ ộ Oxy , cho ba đư ờng th ẳng 2 2 2 (dy1) :=−+ 2 xm 1,( d 2 ) : yxmm =−− và (d3 ) : y= 3 xm − −+ m 2 . Bi ết (d1 ) cắt (d2), ( d 3 ) lần 2 2 lư ợt t ại A( x1; y 1 ) và B( x2; y 2 ) . Tìm m để ()()xx12− +− yy 12 = 320 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 2 Hồnh độ giao điểm của (d1 ) : y= 2 xm − + 1 và (d2 ) : y= xm − − m là nghiệm của phương trình: 2xm−2 +=− 1 xmm 2 − ⇔=−− x m 1 . 2 2 Thay vào phương trình (d1 ) ta được: y=21()() −−− mm +=− 1 m + 1 2 Khi đĩ A(− m −−1;() m + 1 ) 2 Tương tự ta tìm được B( m−1; −() m − 1 ) 2 2 Theo bài ra ta cĩ: ()()xx12− +− yy 12 = 320 2 2 2 2 ()()()−−−++mm1 1 m −−+ 1 m 1 = 320 ⇔4m2 + 16 m 2 = 320 ⇔m2 = 16 ⇔m = ± 4 Vậy m = ± 4 . Câu 4. (hsg9 Bình Ph ưưướớớc 2022 2023) Cho đư ờng th ẳng ():d mx+ ( m − 1) y − 2 m += 10 (v ới m là d m tham s ố). Tìm đi ểm c ố định mà đư ờng th ẳng ( ) luơn đi qua v ới m ọi giá tr ị của . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Gọi A( xA; y A ) là điểm cố định mà đường thẳng (d ) luơn đi qua với mọi giá trị của m, ta cĩ phương trình: mxmymA+−(1)210 A −+=⇔( xy AA +− 2) my =− A 1 cĩ nghiệm ∀m x+−= y2 0 x = 1 ⇔ A A ⇔ A yA−1 = 0 y A = 1 Vậy đường thẳng (d ) luơn đi qua điểm A(1;1 ) với mọi giá trị của m . Câu 5. (hsg9 Hà T ĩnh 2022 2023) Gọi M là hình chi ếu vuơng gĩc c ủa g ốc t ọa đ ộ O trên đư ờng th ẳng y=( m2x +) +− m5 với m là tham s ố. Khi OM đạt giá tr ị lớn nh ất thì giá tr ị của m b ằng bao nhiêu? LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Xét m= − 2 y= − 7 khi đĩ OM= 7
  26. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Xét m≠ − 2 . Gọi A,B là giao điểm của đường thẳng y=( m2x +) +− m5 với trục Ox,Oy . Tọa độ của 5− m A ;0,B0;m ()− 5 m+ 2 5− m Suy ra OA= ;OB = m5 − m+ 2 1 1 1 OA2⋅ OB 2 m 2 −+−+ 10 m 25 (7 m 15) 2 Ta cĩ = + OM2 = = = +≤50 50 OM222 OA OB OA 222+ OB m ++ 4 m 5 ( m ++ 2) 2 1 15 Vậy OM cĩ giá trị lớn nhất bằng 50 khi đĩ m = − 7 Câu 6. (hsg9 Gia Lai 2022 2023) Cho hàm s ố y=( mm2 −+ 2)2 x + m − 8 cĩ đ ồ th ị là đư ờng th ẳng d . Tìm t ất c ả các giá tr ị của tham s ố m để đư ờng th ẳng d cắt tr ục hồnh và tr ục tung l ần lư ợt t ại A và B sao cho di ện tích tam giác OAB bằng 2 ( v ới O là g ốc t ọa đ ộ ). LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii m2 − m +2 ≠ 0 ∀m ∈ ℝ Vì O, A , B tạo thành tam giác nên ⇔ . 2m − 8 ≠ 0 m ≠ 4 −2m + 8 Đường thẳng d cắt trục hồnh và trục tung lần lượt tại A và B nên A ;0 và B(0;2 m − 8) m2 − m + 2 . 1 1− 2m + 8 2( m − 4) 2 Ta cĩ: S= OAOB = . .28 m −= . ∆OAB 2 2m2 − m + 2 m2 − m + 2 Do giả thiết S∆OAB = 2 nên m2−816 m + = mm 2 −+ 2 (4)m−22 = mm −+⇔ 2 mm 2 − 816 += mm 2 −+⇔ 2 mm2−816 + =− mm 2 + − 2 ⇔m = 2 (TMĐK). Câu 7. (hsg9 Hà Giang 2022 2023) Cho Parabol (P) : y= x 2 và đư ờng th ẳng dy:= 2 x − m . Tìm 3 3 m để đư ờng th ẳng d cắt (P ) tại hai đi ểm phân bi ệt cĩ hồnh đ ộ x1, x 2 th ỏa mãn x1+ x 2 = 5 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Phương trình hồnh độ giao điểm x2=2 xm −⇔ x 2 − 2 xm += 0 (*) +) Điều kiện để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt là phương trình (*) cĩ ∆>'01 ⇔−m > 0 ⇔ m < 1 +) Với điều kiện trên thì theo Vi-Et ta cĩ: xx1+ 2 =2, xx 12 . = m 3 1 +) Theo đề bài xx3+=⇔+ 3 5()() xx − 3 xxxx + =⇔−=⇔= 5865 m m (thỏa mãn) 12 12 1212 2 1 Vậy m = là giá trị cần tìm. 2
  27. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 8. (hsg9 Sơn La 2022 2023) Trong m ặt ph ẳng t ọa đ ộ Oxy cho đư ờng th ẳng (d ) cĩ phương trình y=2 x − a 2 và parabol (P) cĩ phương trình: y= ax2 ( a > 0) . a)a)a) Tìm a để đường thẳng (d ) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B . Chứng minh rằng khi đĩ A và B nằm bên phải trục tung. 4 1 b)b)b) Gọi xA, x B là hồnh đ ộ của A và B . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức: T = + xA+ x B xx AB. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Ta cĩ hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d ) và parabol (P) là nghiệm của phương trình hồnh độ: ax2=2 xa −⇔ 22 ax − 2 xa += 2 0*( ) ∆' = 1 − a3 (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) cĩ hai nghiệm phân biệt ⇔∆>'01 ⇔−a3 > 0 ⇔ a 0 , ta cĩ: 0 0 x > 0 Với 0 0 xA⋅ x B = a > 0 Do đĩ hai điểm A và B cĩ hồnh độ dương nên A và B nằm bên phải trục.tung 2 x+ x = b)b)b) Theo câu a, ta cĩ: A B a xA⋅ x B = a 4 1 1 Khi đĩ: T= + =2 a + . Vì 0<a < 1 nên áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương, ta được: 2 a a a 1 1 T=+≥2 a 22. a = 22 a a 0<a < 1 1 2 Dấu “=” xảy ra khi 1 ⇔a = = () TM 2a = 2 2 a 1 Vậy: minT= 22 ⇔ a = . 2 2x+ 2 y + xy = 3 Câu 9. (hsg9 Sĩc Trăng 2022 2023) Gi ải h ệ phương tr ình: x2+ y 2 = 6
  28. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2x+ 2 y + xy = 3 ()* x2+ y 2 = 6 2S+ P = 3 4S+ 2 P = 6 2S+ P = 3( 1 ) Đặt S= x + y; P = xy ta cĩ : 2 2 2 S−2 P = 6 S−2 P = 6 S−4 S − 12 = 0() 2 2 S = − 2 Giải (2) ta cĩ S−4 S − 12 = 0 ⇔ S = 6 Với S = − 2 thay vào (1) ta được P = 7 . Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: X2 +270 X +=⇔() X + 1602 += (vơ lý) Nên hệ phương trình (*) vơ nghiệm. Với S = 6 thay vào (1) ta được P = − 9 . Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: X = −3 2 + 3 X2 −6 X − 9 = 0 ⇔ (thỏa) X =3 2 + 3 x = −3 2 + 3 x =3 2 + 3 Vậy hệ phương trình (*) cĩ nghiệm: hoặc . y =3 2 + 3 y = −3 2 + 3 Câu 10. (hsg9 Ti ềềền Giang 2022 2023) Trong m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy cho Parabol (P ) : y= x 2 và đường thẳng ():d y= 2 x + 8 a)a)a) Bằng phép tính, hãy tìm to ạ độ giao đi ểm A, B của (P ) và (d ) . b)b)b) Tìm to ạ độ tất c ả các đi ểm n ằm trên (P ) sao cho đi ểm đĩ cách đ ều hai đi ểm A, B . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii a)a)a) Phương trình hồnh độ giao điểm của (d ) và (P ) : 2 2 x = 4 xx=28 +⇔ xx − 280 −=⇔−()() xx 4 +=⇔ 20 x = − 2 Với x = 4 thì y =42 = 16 , Với x = − 2thì y =( − 2)2 = 4 Vậy (P ) và (d ) cắt nhau tại điềm A(4;16) và B(− 2;4). b)b)b) Phương trình đường thẳng (AB ) cĩ dạng tổng quát: y= ax + ba( ≠ 0) 4a+ b = 16 a = 2 Vì A(4;16) và B(− 2;4) thuộc đường thẳng (AB ) nên ta cĩ hệ phương trình: ⇔ −+=2a b 4 b = 8 Phương trình đường thẳng (AB ) cĩ dạng y=2 x + 8 Phương trình đường trung trực (d ') của đoạn thẳng AB cĩ dạng: y= ax' + b '( a ≠ 0) −1 Vì (d ') ⊥ AB nên a'.2=− 1 ⇔ a ' = 2 4+ ( − 2) xI = = 1 2 Toạ độ trung điểm I( x ; y ) của đoạn thẳng AB : I I 16+ 4 y = = 10 I 2 −1 − 1 21 Vì I(1;10)('):∈ dyxb = +⇔= ' 10 .1 +⇔= bb ' ' 2 2 2
  29. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 −1 21 Phương trình đường trung trực (d ') của đoạn thẳng AB : y= x + 2 2 Ta cĩ tất cả các điểm nằm trên (P ) sao cho điểm đĩ cách đều hai điểm A, B là giao điểm của đường trung trực của đoạn AB và (P ) nên phương trình hồnh độ giao điểm của (d ') và (P ) : x = 3 2−1 21 2 xx= +⇔2 xx +−=⇔ 210()() 27 xx + −=⇔ 30 7 2 2 x = − 2 7 −7 2 49 Với x = 3thì y =32 = 9 , Với x = − thì y = = 2 2 4 −7 49 Vậy toạ độ tất cả các điểm nằm trên (P ) sao cho điểm đĩ cách đều hai điểm A, B là: (3;9); ; . 2 4 1 Câu 11. (hsg9 Hà Nam 2022 2023) Cho parabol ()P: y= x 2 và hai đi ểm A(−2;2) , B ( 4;8 ) nằm 2 trên (P). Gọi M là đi ểm thay đ ổi trên (P) và cĩ hồnh đ ộ là m(−2 < m < 4) . Tìm m để tam giác ABM cĩ di ện tích l ớn nh ất. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii m2 Cĩ M m ; 2 Gọi A′(−2;0,) Mm ′( ;0,) B ′ ( 4;0 ) ( AA′+ BB ′) AB ′ S = = 30 ABB′ A ′ 2 ()AA′+ MM ′′′ A M (4+m2 )( 2 + m ) S = = AMM′ A ′ 2 4 ()MM′+ BB ′ M ′′B (16+m2 )( 4 − m ) S = = MBB′ M ′ 2 4 6m2 − 12 m + 72 27 3( m − 1) 2 S=−− S S S =−30 =− ABM ABA′′ B AMM ′′A MBB ′′ M 4 2 2 27 S≤ ∀ m ABM 2 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
  30. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 12. (hsg9 H ậậậu Giang 2022 2023) Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho hàm s ố y=2 mx + m + 2 (v ới m là tham số thực) cĩ đồ thị là đường thẳng d và hàm số y= − x 2 cĩ đồ thị là parabol (P) . Tìm tất cá các giá tr ị của th am s ố m để đường th ẳng d cắt parabol (P) tại hai đ iểm phân bi ệt cĩ hồnh đ ộ x1, x 2 th ỏa m ãn x1 '0 ⇔m2 − m −> 20 ⇔ . m > 2 −b Sxx= + = =− 2 m 1 2 a Theo định ví Vi-et ta cĩ: . c Pxx= ==+ m 2 1 2 a Để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt thỏa x1 3 m 3 thoải điều kiện. m > 2 Câu 13. (hsg 9 Kon Tum 2022 2023 ) Cho hàm s ố fx( ) =( m −1) x + 3 m + 2 cĩ đ ồ th ị là đư ờng th ẳng ∆ . Đư ờng th ẳng ∆ cắt tr ục hồnh t ại đi ểm M , c ắt tr ục tung t ại đi ểm N (các đi ểm M, N khơng trùng v ới g ốc t ọa đ ộ O ). Tìm giá tr ị của m để tam giác OMN cân. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii m ≠ 1 Theo đề bài, ∆ khơng song song với các trục tọa độ và khơng đi qua gốc tọa độ nên 2 m ≠ − . 3 3m+ 2 M ;0 ∈ Ox; N() 0;3m + 2 ∈ Oy . 1− m Để tam giác OMN là tam giác cân thì OM = ON
  31. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 3m+ 2 =3m + 2 1− m 1 ⇔+3m 2 −= 1 0 1− m 3m+ 2 =3m + 2 1− m 1 ⇔+3m 2 −= 1 0 1− m 3m+ 2 = 0 2 m= − (KTM) m= 0(TM) ⇔ 1 ⇔3 ⇔ m= 2(TM) −1 = 0 1− m = 1 1− m Vậy m = 0 hoặc m = 2 là giá trị cần tìm. Câu 14. (hsg 9 Hịa Bình 2022 2023 ) Cho hàm s ố y= −2 x + 4 . C ĩ đ ồ th ị là đư ờng th ẳng (d) . G ọi A và B lần lư ợt là giao đi ểm c ủa (d) với các tr ục t ọa đ ộ Ox, Oy và C(;2 m− m + 4) là đi ểm thu ộc đo ạn th ẳng AB . Tìm giá tr ị của tham s ố m để di ện tích tam giác OBC bằng hai l ần di ện tích tam giác OAC . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii - Giao điểm của (d) với trục Ox là A(2;0) và (d) với trục Oy là B(0;4). Vì C thuộc đoạn AB nên 0 ≤ m ≤ 2 1 - Diện tích tam giác OBC là: S ∆OBC = .4.m= 2 m 2 1 - Diện tích tam giác OAC là: S ∆OAC = .2.(2−m + 4) =− 2 m + 4 2 Vì diện tích tam giác OBC bằng hai lần diện tích tam giác OAC nên ta cĩ: 4 2m = 2.(-2m + 4) Û m = ( thỏa mãn ĐK). 3 4 Vậy m = thì diện tích tam giác OBC bằng hai lần diện tích tam giác OAC 3 Câu 15. (hsg 9 Đ ắắắkkk LLLắắắk 2022 2023 ) 1.1.1. Cho parabol (P ) : y= x 2 và đường thẳng ():dy= (2 m + 1) xm −2 − m . Tìm m để (d ) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B nằm ở hai phía trục tung. 2. Cho hàm số y= − 4 x 2 cĩ đồ thị là parabol (P ) và một điểm Q(0;− 9) . Hăy tìm hai điểm M, N trên (P ) và cĩ tọa độ là những số nguyên sao cho tứ giác OMQN là một tứ giác lồi cĩ diện tích bằng 27 cm 2 (đơn vi trên các tr ục t ọa đ ộ là cm). 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1.1.1. Phương trình hồnh độ giao điểm của (P ) và (d ) : x2−(2 m + 1) xmm + 2 += 0( 1 ) Để (d ) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B nằm ở hai phía trục tung thì phương trình phải cĩ hai nghiệm trái dấu ⇔m( m + 1) < 0 ⇔−1 <m < 0.
  32. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2.2.2. (P ) cĩ đỉnh là gĩc toạ độ O và cĩ bề lơm quay xuống dưới , vì tứ giác OMQN là một tứ giác lồi nên hai điểm M vả N phải nằm hai phía của trục tung. Giải sử điểm M nằm bên trái trục tung vả điểm N nằm bên phải trục tung. Khi đĩ diện tích OMQN bằng tổng diện tích hai tam giác MQO và NQO , suy ra 1 1 27 ⋅⋅−9()x +⋅ 9 x = ⇔ xx − = 31() 2M 2 N 2 NM Từ đĩ suy ra được: − ⇔' 0mm − (2 −>⇔ 3) 0( m − 1) +>∀∈ 2 0, m ℝ +) Theo Vi_et ta cĩ: x12+= x2; mxx 12 =− 2 m 3 2 2 +) Theo bài ra ta cĩ: yy12+<⇔+9( xx 12) − 2 xx 12 <⇔ 942239 m −( m −<) 1 3 1 3 ⇔4m2 − 4 m −<⇔−≤≤ 30 m . Vậy − ≤m ≤ 2 2 2 2 Câu 17. (hsg 9 Bà R ịịịaaa VVVũng T àu 2022 2023 ) Trên m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy, cho đi ểm A thu ộc 2 parabol (P) y= − x cĩ tung đ ộ yA = − 4 . Tìm to ạ độ các đi ểm B thu ộc (P) sao cho tam giác OAB vuơng t ại B. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii
  33. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Điểm A thuộc (P) nên cĩ toạ độ A(– 2; – 4) hoặc A(2; –4) B∈ () P Bbbb (;−2 ); ≠± 2, b ≠ 0 Khi A(– 2; – 4), do tam giác OAB vuơng tại B ta cĩ: OAOBAB2= 2 + 2 ⇔−+=⇔− b 3 3 b 20 ( b 1)( bb2 +−= 2)0 b=1( N ) ⇔ B(1;− 1) b= − 2( L ) Khi A( 2; – 4), do tam giác OAB vuơng tại B ta cĩ: OAOBAB2= 2 + 2 ⇔−−=⇔+ b 3 3 b 20 ( b 1)( bb2 −−= 2)0 b= − 1( N ) ⇔ B(− 1; − 1) b= 2( L ) Vậy cĩ hai điểm B(1; –1) và B(–1; –1).
  34. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Chuyên đề 3 Phương trình • Tài li ệu này được tham kh ảo t ừ đề học sinh gi ỏi c ấp t ỉnh l ớp 9 t ừ 40 tỉnh thành trong c ả nước năm h ọc 2022-2023. C ụ th ể gồm: Bà R ịa V ũng Tàu, Bình D ươ ng, Bình Ph ước, Bình Định, B ắc Giang, B ắc K ạn, B ắc Ninh, B ến Tre, Gia Lai, Hà Giang, Hà Nam, Hà N ội, Hà T ĩnh, Hịa Bình, Hải D ươ ng, H ải Phịng, H ậu Giang, Khánh Hịa, Kon Tum, Lai Châu, L ạng s ơn, Nam Định, Ngh ệ An b ảng A, Ngh ệ An b ảng B, Ninh B ình, Ninh Thu ận, Phú Th ọ, Qu ảng Bình, Qu ảng Ninh, Qu ảng Tr ị, Sĩc Tr ăng, S ơn La, Thanh Hĩa, Ti ền Giang, TP H ồ Chí Minh, Tuyên quang, V ĩnh Long, V ĩnh Phúc, Yên Bái, Đắk L ắk, Đồng Tháp. x2 48 x 4 Câu 1.1.1. (hsg 9 Bà R ịịịaaa VVVũng T àu 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình + =10 − 3x2 3 x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x2 48 x 4 + =10 − (ĐK: x ≠ 0 ) 3x2 3 x x4 +144 x 4 ⇔ −10 −= 0 3x2 3 x x4 +144 10 x 40 ⇔ −+= 0 3x2 3 x x4−10 x 3 + 120 x + 144 ⇔ = 0 3x2 x4−10 x 3 + 120 x + 144 = 0 120 144 ⇔−x2 10 x + + = 0 x x2 144 12 ⇔+ x2 −10 x −= 0 x2 x 12 2 12 ⇔− x −10 x − += 24 0 x x 12 Đặt t= x − . x Phương trình trở thành t2 −10 t + 24 = 0 . Giải phương trình này ta được t1=4; t 2 = 6 . 12 Với t = 4 ta được x − = 4 giải phương trình này ta được x= −2; x = 6 . x 1 2 12 Với t = 6 ta được x − = 6 giải phương trình này ta được x=+3 21; x =− 3 21( tm ) . x 3 4 Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm là xxx123=−2; = 6; =+ 3 21; x 4 =− 3 21( tm ) . Câu 2. (hsg 9 H ảảải Phịng 2022 2023 ) Cho phương tr ình x2−()4 m + 1 xm + 4 2 −= 10 (v ới m là tham s ố ). Tìm m để phương tr ình cĩ hai nghi ệm x1, x 2 tho ả mãn đi ều ki ện x1 <0 và x1< x 2 .
  35. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giả sử x1, x 2 là các nghiệm của phương trình đã cho. x1 0 4m2 − 1 0 2 1 m − 4 1 1 − − 4 1 1 ⇔− ⇔−0 () 2m − 3 − 4.1.( m − 2 m ) > 0 ⇔4mm − 1294 +− mm + 8 >⇔− 0 4 m >−⇔< 9 m . 4 9 Vậy với m < thì phương trình đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt x; x . 4 1 2 9 bb))b) Với m < thì phương trình đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt x; x . 4 1 2 x1+ x 2 =2 m − 3 Khi đĩ theo hệ thức Vi-et, ta cĩ: 2 . xx1. 2 = m − 2 m Theo bài ra ta cĩ: 2m2 − 8 m = 2 2 P 2 2 (ĐK: x1+ x 2 +1 ≠ 0 ). x1+ x 2 + 1
  36. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 28mm2− 28 mm 2 − P = = x2+ x 2 + 1 2 1 2 ()x1+ x 2 −2 xx 12 + 1 2m2 − 8 m = ()232m−−2 () m2 − 2 m + 1 2m2 − 8 m = 4m2− 12 m +− 92 mm 2 + 4 + 1 2m2 − 8 m = 2m2 − 8 m + 10 10 =1 − 2m2 − 8 m + 10 10 10 =−1 ≥−=− 1 4 2()m − 22 + 2 2 Vậy MinP = − 4 khi m−2 = 0 ⇔ m = 2 (thỏa mãn điều kiện). Câu 4. (hsg 9 Đ ắắắkkk LLLắắắk 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình x4+2 xx 3 + 2 + 440 x += . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Nhận thấy x = 0 khơng thỏa mãn phương trình đã cho. Chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được 2 4 4 phương trình x+21 x +++2 = 01() x x 2 Đặt t= x +,| t | ≥ 2 2 , phương trình (1) trở thành t2 +2 t − 3 = 02( ) x Phương trình (2) cĩ 2 nghiệm là 1 và -3 Phương trình đã cho tương đương với 2 x = − 1 x+ =−⇔3 x2 + 320 x += ⇔ x x = − 2 Câu 5. (hsg 9 Bình ĐĐĐịịịnh 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình 331( xx2− +=−) xx 4 + 2 + 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 331( xx2− +=−) xx 4 + 2 + 1 (1) Bình phương 2 vế của (1) , ta được 3x432− 18 x + 33 x − 183 x +=++ xx 42 1
  37. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ⇔−x49 x 3 + 16 x 2 −+= 9 x 1 0 ⇔−−xx438 x 3 + 8 x 2 + 8 x 2 −−+= 8 xx 10 ⇔−()x1() x3 − 8 x 2 +−= 810 x 2 ⇔−()x1() x2 −+= 710 x x = 1 7− 3 5 ⇔x = 2 7+ 3 5 x = 2 Thử lại, ta thấy x = 1 thỏa mãn phương trình, vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x = 1. Câu 6. (hsg 9 Hà N ộộội 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình sau: xx2+26 ++ x 2 = 22 x +−+ x 3 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giải phương trình sau: xx2+26 ++ x 2 = 22 x +−+ x 3 . ĐKXĐ: x ≥ − 1. Khi đĩ: xx2+26 ++ x 2 = 22 x +−+ x 3 ⇔xx2 + 263 +−++−= xx 2 2222 x +− x2 +23 x − 22 x − ⇔ ++−=()()x 2 x 1 x2 +2 x + 6 + 3 2x + 2 + 2 (x − 1)(x + 3) 2(x − 1) ⇔ ++−=()()x 2x 1 x2 +2x + 6 + 3 2x + 2 + 2 x =1 ⇔ x + 3 2 +x +2 = (*) x2 +2 x + 6 + 3 2x + 2 + 2 Ta thấy ở phương trình (∗), do điều kiện x ≥ − 1 nên VT>1 ≥ VP . Do đĩ phương trình cĩ nghiệm duy nhất x =1. Câu 7. (hsg 9 Qu ảảảng Ninh 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình: 35x++ x −= 1431 x + LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ĐKXĐ: x ≥ 1 2 Phương trình đã cho tương đương: ( 312x+−) + x −= 10 2 Ta cĩ: ( 3x− 2) ≥ 0; x −≥ 10 với x ≥ 1 Theo yêu cầu bài tốn thì dấu “ =” phải xảy ra, tức là: 2 ( 3x + 12 −) = 0 ⇔x = 1 x −1 = 0 Kiểm tra ĐKXĐ và kết luận phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 1
  38. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x−2 2 x + 2 2 x 2 − 4 Câu 8. (hsg 9 B ếếến Tre 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình: 9 + − 10 = 0 . x+1 x − 1 x 2 − 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ĐK: x ≠ ±1 x−2 2 x + 2 2 x 2 − 4 9 + − 10 = 0 x+1 x − 1 x 2 − 1 x−22 xx −+ 22 x + 2 2 ⇔ 9 − 10 + = 0 x+1 xx +− 11 x − 1 x − 2 x + 2 Đặt = a ; = b . Ta cĩ phương trình: x +1 x −1 9–10a2 abb+ 2 = 0 ⇔ ()()9–9a2 ab – ab – b 2 = 0 ⇔ 9a()() a –– b b a –b = 0 ⇔ ()()a– b 9a –b = 0 a −b = 0 ⇔ 9a −b = 0 +) Nếu a− b = 0 thì: x−2 x + 2 − = 0 x+1 x − 1 (x− 2)( x −−+ 1) ( x 2)( x += 1) 0 ⇔x2 −32 x +− x 2 − 320 x −= ⇔ −6x = 0 ⇔x = 0 (thỏa mãn). +) Nếu 9a− b = 0 thì: x−2 x + 2 9.− = 0 x+1 x − 1 9(x− 2)( x −−+ 1) ( x 2)( x += 1) 0 ⇔9x2 − 27 x +−−−= 18 xx 2 3 20 ⇔8x2 − 30 x −= 25 0 15+ 5 17 15− 5 17 ⇔ x = (thỏa mãn) ; x = (thỏa mãn) 1 8 1 8 15± 5 17 Vậy phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm là: x = ; x = 0 . 1,2 8 3 Câu 9. (hsg 9 Kon Tum 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình (21x+)( x ++=+ 41) x 3 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii
  39. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 (21x+)( x ++=+ 41) x 3 (1) . Điều kiện xác định x ≥ − 4 . Khi đĩ, phương trình (1) tương đương (21xx+)( ++= 41) ( x ++ 41)( x +− 41 ) ⇔21x+= x + 41 − ⇔2(x+ 4) − x +−= 460 ⇔(2x++ 43)( x +−= 420) ⇔ x +4 = 2 ⇔ x = 0 . Vậy phương trình (1) cĩ tập hợp nghiệm là S = {0}. Câu 10. (hsg 9 Lai Châu 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình: xx2 −33 +− x −− 27 − x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giải phương trình: xx2 −33 +− x −− 27 − x . ĐK 2≤x ≤ 7 . Khi đĩ xx2 −33 +− x −− 27 − x x−3 x − 3 x() x −−3 + = 0 1+−x 2 27 +− x 1 1 ⇔−−()x3 x + = 0 . (Vì 1+−x 227 +− x 1 1 1 x> 20 0 ) 1+−x 2 1 +− x 227 +− x x−3 = 0 x = 3 . Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 3. Câu 11. (hsg 9 Ninh Thu ận 2022 2023 ) Gi ải ph ương tr ình: 2xx2−+= 525( xx 2 −− 20)() x + 1 . LLLờiLời giải Giải phương trình: 2xx2−+= 525( xx 2 −− 20)() x + 1 (((1(111)))). x ≥ 5 ĐKXĐ: ()xx2 −−20()()()() x +≥⇔− 10 xxx 5 + 4 +≥⇔ 10 . −4 ≤x ≤− 1 ()()()()12525⇔xx2 −+= xxx − 5 + 1 + 4 ⇔2( xx2 −−++= 45345) () x( xxx2 −− 45)() + 4 ((22))(2) Đặt: a= x2 −4 x − 5 ; b= x + 4 ; ab ≥ 0 , ta cĩ: (2) ⇔ 2a + 3 b = 5 ab (để phương trình cĩ nghiệm thì 2a+ 3 b ≥ 0 ) 4a2+ 12 ab + 9 b 2 = 25 ab
  40. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ⇔4a2 − 13 ab + 9 b 2 = 0 ⇔4a2 − 4 ab − 9 ab + 9 b 2 = 0 ⇔−(ab)(4 a − 9 b ) = 0 a= b ⇔ . 4a= 9 b 5± 61 Với abxx= 2−45 −=+⇔ x 4 xx 2 − 590 −=⇔= x (thỏa mãn). 2 Với 49abxx= 4( 2 −−= 459) ( x +⇔ 4) 4 xx2 − 25560 −=⇔( 47 xx +)( −= 80) −7 x = ⇔ (thỏa mãn). 4 x = 8 −7  Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là S = ;8  . 4  Câu 12. (hsg 9 Hịa Bình 2022 2023 ) Gi ải phương tr ình xxx3 +=+( 3) x + 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ĐKXĐ: x ≥ -2 (1) Û xxx3 +=+( 2) x ++ 2 x + 2 Đặt x + 2 = a ( a ≥ 0) ta cĩ phương trình: x3+ xa = 3 + a Û (x− a )( x2 +++= ax a 2 1) 0 a 2 3 a 2 Vì x2+++= ax a 2 1 x + + +> 1 0 với mọi x Þ x = a 2 4 Với x = a ta cĩ x + 2 = x (*) Þ x2 – x – 2 = 0 Þ x = -1 hoặc x = 2 Thử lại ta được x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho. Câu 13. (((hsg9 Hà Nam 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình x2−3 x 3 − 3 x 2 +−= 420 x . LLLờLờờờii gigigiảgi ảảảiiii Điều kiện x3−3 x 2 + 4 x −≥ 20 Cĩ xxx3−342 2 +−=−( x 1)( xx 2 −+ 22 ) 2 nên xxx3−3 2 + 420 −≥⇔≥ x 1 vì xxx2 −22 +=( − 110) +>∀ x ()()121⇔x −+−+−( xx2 223) () xxx − 1( 2 −+= 220) x−1 x − 1 ⇔2. − 3. += 10 xx2−+22 xx 2 −+ 22
  41. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 t = 1 x −1 2 Đặt t=, t ≥ 0 ta được phương trình 2t− 3 t + 10 = ⇔ 1 x2 −2 x + 2 t = 2 x−1 x − 1 t =⇔1 =⇔ 1 = 1 ⇔x2 −3 x += 3 0 (vơ nghiệm) xx2−+22 xx 2 −+ 22 1x− 11 x − 11 t =⇔ =⇔ = 2xx2−+ 222 xx 2 −+ 224 ⇔x2 −660 x +=⇔=± x 33 (thỏa mãn điều kiện) Vậy pt cĩ 2 nghiệm x =3 ± 3 Câu 14. (((hsg9 Ninh B ìììnnhhnh 2022 2023 )))Cho ph ương tr ình (m+1) x3 +( 31 m −) xxm 2 −− 410 += (v ới m là tham s ố). Tìm m để phương tr ình đã cho cĩ 3 nghi ệm phân bi ệt. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Cho phương trình (m+1) x3 +( 31 m −) xxm 2 −− 410 += (với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm phân biệt. (m+1) x3 +( 31 m −) xxm 2 −− 410 += (1) ⇔+(mxx1) 2( −+ 14) mx( 2 −−−= 1) ( x 10) 2 ⇔−( x1) ( m + 1) x + 4 mx( +−= 110) x−1 = 0 x = 1 ⇔ 2 ⇔ 2 ()()()mxmx+1 + 4 +−= 110 mxmxm + 1 + 4 +−= 410(2) Phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) cĩ hai nghiệm phân biệt khác 1 m +1 ≠ 0 2 ⇔∆= ′ ()()()2m −+ m 1410 m −> 2 ()m+1 .1 + 4 m .1 + 4 m −≠ 1 0 m ≠ − 1 1 m 0 ⇔ 3 \ 9m ≠ 0 m≠ −1, m ≠ 0 Câu 15. (((hsg9 TP H ồồồ Chí Minh 2022 2023 )))Cho phương tr ình x3+ mx 2 −+− x m m 2 = 0 (*) v ới tham số m. a)a)a) Chứng minh rằng phương trình (*) luơn cĩ một nghiệm x=1 − m với mọi giá trị của tham số m . b)b)b) Tìm t ất c ả các giá tr ị của tham s ố m để phương tr ình (*) cĩ ba nghi ệm phân bi ệt x1, x 2 , x 3 sao 2 2 2 cho x1+ x 2 + x 3 = 3 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii
  42. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 a)a)a) Chứng minh rằng phương trình (*) luơn cĩ một nghiệm x=1 − m với mọi giá trị của tham số m. (((1(111,0,0 điđiểểểểm)mm))m) 3 2 2 Thay x=1 − m vào phương trình (*) ()()()1−mm + 11 − m −−+−= mmm 0 ⇔−+133mmmm23 ++( 12 − mm + 2) −++− 1 mmm 2 = 0 ⇔−133mmmmmm +23 ++− 2 23 +−++− 1 mmm 2 = 0 ⇔0 = 0 (luơn đúng) Vậy phương trình (*) luơn cĩ một nghiệm x=1 − m với mọi giá trị của tham số m. b)b)b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) cĩ ba nghiệm phân biệt x1, x 2 , x 3 sao cho 2 2 2 x1+ x 2 + x 3 = 3 . (((3(333,0,0 điđiểểểểm)mm))m) Phương trình (*) luơn cĩ nghiệm x1 =1 − m (câu a) 3 2 2 Ta thực hiện phép chia đa thức ( x+ mx −+− x m m ) cho đa thức ( x−1 + m ) 1 m − 1 m− m 2 1− m 1 1−m + m = 1 1−m − 1 =− m −m(1 − m) +− mm 2 = 0 Phương trình (*) trở thành: ( x−+1 mx)( 2 +− xm ) = 0 x−1 + m = 0 x=1 − m ⇔ ⇔ 2 x2 + x − m = 0 x+ x − m = 0() 2 1 Phương trình (2) cĩ hai nghiệm phân biệt x, x khi: ∆ > 0 ⇔1 + 4m > 0 ⇔m > − 2 3 ()2 4 2 Phương trình (2) cĩ nghiệm là x=1 − m khi: ()()1−m +− 1 m −= m 0 ⇔−12mm +2 +−− 1 mm = 0 ⇔m2 −4 m += 2 0 ⇔m =2 ± 2 Điều kiện để phương trình (*) cĩ ba nghiệm phân biệt là phương trình (2) cĩ hai nghiệm phân biệt x2, x 3 khác nghiệm x1 =1 − m 1 Suy ra: m > − và m ≠2 ± 2 4 Khi đĩ x1 =1 − m ; x2+ x 3 = − 1 ; x2 x 3 = − m 2 2 2 2 2 2 2 Từ điều kiện: x1+ x 2 + x 3 = 3 ⇔++x1() xx 23 −2 xx 23 = 3 ⇔−()()()1m +− 12 −− m = 3 2 2 ⇔−12m + m ++ 12 m = 3 ⇔m = 1 ⇔m = ± 1 So với điều kiện phương trình (*) cĩ ba nghiệm phân biệt x1, x 2 , x 3 ta chỉ nhận m = 1 2 2 2 Kết luận: Để phương trình (*) cĩ ba nghiệm phân biệt x1, x 2 , x 3 sao cho x1+ x 2 + x 3 = 3 thì m = 1 Câu 16. (((hsg9 BBBắắắc Giang 2022 2023 )))Tìm t ất c ả các giá tr ị của tham s ố m để phương tr ình x2 x m x x x2 x −2 + += 2 0 cĩ hai nghi ệm phân bi ệt 1; 2 th ỏa mãn 1= 2 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii
  43. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Ta cĩ ∆′ =−1 − m . Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆>′ 01 ⇔−−m > 0 ⇔ m > ab−≥1; bc −≥ 1; ac −≥ 2 2 2 2 ()()()ab− +− bc +− ca ≥ 6∆ '()()()1 +∆ ' 2 +∆ '0 3 ≥ Suy ra trong 3 số ∆',()()()1 ∆ ', 2 ∆ ' 3 cĩ ít nhất một số khơng âm, khi đĩ phương trình tương ứng sẽ cĩ nghiệm (đpcm). Câu 18. (((hsg9 VVVĩnh Long 2022 2023 )))Cho phương tr ình: x2 −2 mx + 2 m −= 1 0. ( m là tham s ố). 2x1 x 2 + 3 Tìm m để phương tr ình cĩ hai nghi ệm x1, x 2 th ỏa T = 2 2 đạt giá tr ị nh ỏ nh ất. xx12+ +2(1 + xx 12 ) LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Ta cĩ ∆=' (m − 1)2 ≥ 0, ∀ m nên phương trình cĩ hai nghiệm với mọi m. x+ x = 2 m Theo định lí Viet, ta cĩ 1 2 , x1 x 2 =2 m − 1 23xx+ 2341 xx + m + suy ra T =12 = 12 = xx2+++ 2 2(1 xx )2 4 m 2 + 2 12 12 ()x1+ x 2 + 2 1411412m+ mm +++2 12(1) m + 2 (1) m + 2 − 1 T += += = = ≥ 0 T ≥ 24m2+ 22 2(2 m 2 + 1) 2(2 mm 22 ++ 1)2 1 2 1 Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất là khi m = − 1 2
  44. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 3 Câu 19. (((hsg9 TiTiTi ềềền Giang 2022 2023 )))Cho phương tr ình mx2 −(2 m − 1) x + m −= 1 0 , v ới m là 4 tham số thực. 1.1.1. Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1; x 2 . 2.2.2. Tìm h ệ th ức liên h ệ gi ữa x1; x 2 khơng ph ụ thu ộc vào tham s ố m . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1.1.1. Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1; x 2 . 3 3 Ta cĩ: mx2 −(2 m − 1) x + m −= 1 0 cĩ amb=; =−() 21; m − c = m − 1 4 4 2 3 2 2 2 ∆=− ()214m − − mm −= 144134 mm −+− mmm +=+> 10 (luơn đúng ∀m ∈ ℝ ) 4 a ≠ 0 Để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt: ⇔m ≠ 0 ∆ > 0 2.2.2. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x 2 khơng phụ thuộc vào tham số m : 2m − 1 x1+ x 2 = S = m Với m ≠ 0 phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1; x 2 , theo Viet: 3 m −1 x. x= P = 4 1 2 m 3 m −1 2m − 1 1 4 S= ⇔ m = (1); P=4 ⇔ m = (2) m2 − S m3− 4 P 1 4 Từ (1) và (2) ta được: = ⇔−=4S 4 P 5 . 2−S 3 − 4 P Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x 2 khơng phụ thuộc vào tham số m là : 4(x1+ x 2 ) − 4 xx 12 . = 5 . Câu 20. (((hsg9 HHHậậậu Giang 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 3xx2−+3 32 x 2 −= x 3 + 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Pt ⇔3x2 −+ 23 3 x 2 −=+ 2 xx 3 Đặt 3 3x2 − 2 = t , phương trình cĩ dạng: t33+=+⇔− tx x( xtx)( 22 +++= xtt 1) 0 x= t (1) ⇔ 2 2 x+ xt + t +=1 0() 2 Xét (2) cĩ: ∆=tt2 −4( 2 + 1) =− 3 t 2 −<∀ 40, t do đĩ pt (2) vơ nghiệm
  45. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x =1 + 3 ()132⇔3 x2 −=⇔− xxx 3 320 2 +=⇔ x =− 13 . x = 1 KL: nghiệm của pt là S ={1 − 3;1 + 3;1 } . 4x + 9 Câu 21. (((hsg9 Bình D ương 2022 2023 ))) Gi ải phương tr ình: 7x2 + 7 x = với x > 0 28 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 49x + 1 1 ĐĐĐặĐặặặtt =+t t ≥− 28 2 2 4x + 9 1 ⇔ =++t2 t 28 4 749x + 1 ⇔7tt2 ++= 7 ⇔ 7 ttx2 +=+ 7 (1) 4 4 2 4x + 9 1 Theo đđềềềề bbbàbàààii 7x2 + 7 x = suy ra 7x2 + 7 x = t + (2) 28 2 Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: 7( xtxt−)( ++) 7( xttx −=−⇔−) ( xt)( 7 xt ++= 7 8) 0 (3) 1 Vì x>0, t ≥ − nên 7x+ 7 t + 8 > 0 (4) 2 1 1 Từ (3) và (4) suy ra xt−=0 ⇔ xt = suy ra 77xxx2+ =+ ⇔ 76 xx 2 + −= 0 2 2 −6 − 50 x = ⇔ 14 −6 + 50 x = 14 −6 − 50 Ta thấy x = khơng thỏa mãn điều kiện. 14 −6 + 50 x = thỏa mãn điều kiện. 14 −6 + 50 Thử lại ta thấy x = thỏa mãn phương trình đã cho. 14 −6 + 50  Vậy phương trình đã cho cĩ tập nghiệm: S =  . 14  Câu 22. (((hsg9 HHHảảải Dương 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình xxx3+ 2 −+=1 3 x + 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii
  46. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 1 Điều kiện: x ≥ − 3 xxx32+−+=131 x +⇔+−++− xxxx 32 2(1)310 x += ()()x+12 − 3 x + 1 ⇔+−+x3 x 2 2 x = 0 x+1 + 3 x + 1 x2 − x ⇔−++()x2 x() x 2 = 0 x+1 + 3 x + 1 2 1 ⇔−++()x x x 2 = 0 (*) x+1 + 3 x + 1 1 1 Với x ≥ − thì x +2 + > 0 3 (x+ 1) + 3 x + 1 3 x = 0 nên (*) ⇔x − x =0 ⇔ (t/m) x =1 Vậy phương trình cĩ tập nghiệm S = {0;1 } Câu 23. (((hsg9 NNgghhNgh ệệệ An b ảảảng A 2022 2023 )))Gi ải phưong tr ình (13x+ 1) 2 x −= 1 (7 x − 1) 8 x +− 1 4 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 Điều kiện x ≥ 2 a=8 x + 1 14x−= 2 (8 x ++ 1) 3(2 xab −=+ 1)2 3 2 Đặt (a> 0, b ≥ 0) 2 2 b=2 x − 1 26x+= 2 (2 x −+ 1) 3(8 xba +=+ 1) 3 Khi đĩ phương trình trên trở thành (ab2 +−+32 )a( bab2 38() 2 ) =⇔− ab 3 =⇔8 a −= b 2 Với ab− = 2 81 xx+− 212 −=⇔ 81 xx += 212 −+⇔+= 81(212) x x −+ 2 3x − 1 ≥ 1 ⇔3x −= 122 x −⇔ 1 (3x− 1)2 = 4(2 x − 1) Câu 24. (((hsg9 NNgghhNgh ệệệ An b ảảảng B 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 3x+= 1 8x ++ 1 2x − 1. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 Điều kiện x ≥ . Phương trình đã cho tương đương với: 6x+= 2 2 8x ++ 1 2x − 1. 2 ( )  a= 8x + 1 2 2 Đặt  ()a> 0, b ≥ 0 ⇒6x += 2( 8x1 +−) ( 2x1 −=−) a b  b= 2x− 1 Phương trình trên trở thành: a2− b 2 = 2a( + b ) ⇔+(a ba)( −−=⇔−−= b 2) 0 a b 2 0,doa +> b 0 2 Với ab2−=⇒ 8x1 +− 2x12 −=⇔ 8x1 += 2x12 −+⇔+= 8x1( 2x12 −+ )
  47. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 3x 1 0  − ≥ ⇔3x −= 1 2 2x −⇔ 1   2 (3x− 1 ) =4(2x − 1 )  1   x= 1 x ≥  5 ⇔ 3 ⇔  5 . Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm x= 1, x = .   2 x = 9 9x− 14x + 5 = 0  9 Câu 25. (((hsg9 QQuuQu ảảảng Bình 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình: xx2 −−=4 2 x − 11( − x ) . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Điều kiện: x ≥1 (*). Ta cĩ: xx2 −−=4 2 x − 11( − x ) ⇔+x2 2 xx −+−− 1 x 12( xx + −−= 1)30 2 ⇔+( xx −12) −( xx + −−= 130) ⇔+()xx −+11() xx + −−= 130 1≤x ≤ 3 ⇔+xx −=⇔13 x −=−⇔ 13 x x−=1 9 − 6 x + x 2 1≤x ≤ 3 1≤x ≤ 3 1≤x ≤ 3 ⇔ ⇔ ⇔⇔= x = 2 x 2 x2 −7 x + 10 = 0 ()()x−2 x − 5 = 0 x = 5 Vậy phương trình cĩ nghiệm x = 2. Câu 26. (((hsg9 VVVĩnh Long 2022 2023 )))Gi ải ph ương tr ình x2 −3 x ++ 2 x −= 10 LLLờiLời giải a)a)a) Giải phương trình x2 −3 x ++ 2 x −= 10 2 Trường hợp 1: x ≥ 1: ta cĩ phương trình x−3 x ++ 2 x −= 10 ⇔x2 −210 x +=⇔= x 1 (nhận) 2 Trường hợp 2: x < 1 ta cĩ phương trình x−3 x +−+= 2 x 10 2 x =1 ⇔x −4 x += 3 0 ⇔ (loại) x = 3 Vậy tập nghiệm của phương trình: S = {1} Câu 27. (((hsg9 Bình Ph ưưướớớc 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình: 31x+− x ++−= 31 x 0 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii −1 Điều kiện: x ≥ 3 Ta cĩ: 31x+− x ++−= 31 x 0
  48. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2x − 2 2 ⇔ +−=⇔−101x() x −= 10 313xx+++ 313 xx +++ x= 1 ( N ) ⇔ 31x++ x + 32 = Giải phương trình: 31x++ x + 32 = 4x++ 4 2 (3 x + 1)( x += 3) 4 ⇔(3x + 1)( x +=− 3) 2 x (Đk: x ≤ 0 ) x=5 + 27() L x2 −10 x − 3 = 0 ⇔ x=5 − 27( N ) Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm là x1=1; x 2 = 5 − 2 7 . Câu 28. (((hsg9 BBBắc Kạn 2022 2023 )))Gi ải ph ương tr ình x++−=+31 x 2( x + 31.)( − x ) LLLờiLời giải Điều kiện: −3 ≤x ≤ 1 t 2 − 4 Đặt tx= ++−31,0 xt()()() ≥ x+ 31 − x = 2 t2 −4 t + 2 t = 2 Ta cĩ phương trình t=+2 0 ⇔−() t 21 − =⇔ 0 2 2 t = 0 x = − 3 Với t=⇔2()() x + 31 − x =⇔ 0 (thỏa mãn). x = 1 Với t=⇔0( x + 31)( − x) =−⇔ 2 PTVN . Vậy tập nghiệm của phương trình là T ={ − 3;1} . Câu 29. (((hsg9 Nam Đ ịịịnnhhnh 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình ()xxx+13( ++−= 134) x 3 − 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giải phương trình ()xxx+13( ++−= 134) x 3 − 2 x +1 ≥ 0 Điều kiện xác định: ⇔x ≥ 0 x3 ≥ 0 Khi đĩ phương trình đã cho tương đương với 3333xxx2 +−−++()() x 1 x += 14 xx − 2 ⇔34x2 − xxxx +++()() 11 x +−+=() x 10 ⇔xxx()34 − +++ 1()() x 1() x +−= 110
  49. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ( x+1) x ⇔x()341 x −++ x = 0 x +1 + 1 x +1 ⇔x 341 x −++ x = 0 x +1 + 1 x = 0 ⇔ x +1 341x− x ++ = 0 x +1 + 1 Ta thấy: x+1 x +++ 2 x 1 341xx− ++ =− 34 xx + x++11 x ++ 11 2 2 x+ 2 + x + 14 =−+3 x − 3 x +1 + 1 3 2 2 642x+ − x + 1 =3 x − + 3 6()x + 1 + 1 2 2 2 ( x+−11) + 5 x + 2 =−+3 x > 0 3 6()x + 1 + 1 Với x = 0 thoả mãn điều kiện Vậy tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 . Câu 30. (((hsg9 Phú Th ọọọ 2022 2023 ))) Gi ải phương tr ình: ()x+15 xx2 +−= 2 35 xx 2 +− 4 5. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 3 ĐKXĐ: x ≤ − 1 hoặc x ≥ ()* 5 Ta cĩ: ()x+15 xx22 +−= 235 xx +−⇔+ 45() x 15 xx 22 +−= 235 xx +−+− 2322 x ()1 2 t = 2 Đặt t=5 xx +− 2 3, () t ≥ 0 , khi đĩ phương trình (1) trở thành: t2 −( x +1) t + 2 x −= 20 ⇔ t= x − 1 x = 1 2 + Với t= 2 5 x+ 232 x − = ⇔ 7 () t/m*() x = − 5 x ≥1 x≥ x ≥ −1 + 5 2 1 1 x = +) Với tx= − 1 5 xx+ 23 − = x − 1 ⇔ ⇔ ⇔ (VN) 2 2 2 4440xx+−= xx +−= 10 −1 − 5 x = 2 7 Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm x=1, x = − . 1 2 5 Câu 31. (((hsg9 Thanh Hĩa 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 4xxx3+ 13 2 − 14 =− 3 15 x + 9 .
  50. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giải phương trình: 4xxx3+ 13 2 − 14 =− 3 15 x + 9 3 ĐKXĐ: x ≥ − . 5 Pt đã cho 4xxx3+ 13 2 − 14 −+ 3 15 x += 9 0 3 2 2 ⇔+4xxxx 13 −−++ 12() 23 1590 x +=⇔( 4 xxx − 3)()() +− 4 23 x +− 1590 x += (2x+ 3)2 −( 15 x + 9 ) ⇔−+−()434x2 x() x = 0 ()2x+ 3 + 15 x + 9 4x2 + 12 x +− 9 15 x − 9 ⇔−+−()434x2 x() x = 0 ()2x+ 3 + 15 x + 9 4x2 − 3 x = 0 (1) 1 ⇔−()434x2 x x +− =⇔ 0 1 2x+ 3 + 15 x + 9 x +4 − = 0() 2 2x+ 3 + 15 x + 9 x = 0 −Pt() 1 ⇔ 3 (đều thoả mãn ĐKXĐ) x = 4 1 Xét Pt (2): x +4 − = 0 2x+ 3 + 15 x + 9 3 17 9 1 5 Vì x≥ − x +4 ≥ và 2x++ 3 15 x +≥ 9 ≤ 5 5 52x+ 3 + 15 x + 9 9 1 128 Suy ra x +−4 ≥> 0 nên pt (2) vơ nghiệm. 2x+ 3 + 15 x + 9 45 3  Vậy phương trình đã cho cĩ tập nghiệm là S = 0;  . 4  Câu 32. (((hsg9 Tuyên quang 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 2( x2+ 2) = 5 x 3 +1. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii * Điều kiện x ≥ -1 PT⇔5 ( x + 1)( x2 −+= x 1) 2( x 2 + 2) * Đặt x+=1 axx ;2 −+= 1 b ( a, b ≥ 0 ) =>a2 + b 2 = x 2 + 2. thay vào ta cĩ PT 5ab= 2( ab2 +⇔− 2 ) (2 abba )(2 −= )0 * TH1: b= 2 a 5+ 37 x1 = ( TM ) 2 2 2 2 21x+= xx −+=> 144 x += xx −+⇔ 1 xx − 530 −=⇔ 5− 37 x= ( TM ) 2 2
  51. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 *TH2: a= 2 b 2x2−+= x 1 x +=> 1444 x 2 − x +=+⇔ x 14530 x 2 − x += PTVN 5+ 37 5 − 37 *Vậy phương trình ban đầu cĩ hai nghiệm : x =;x = 12 2 2 1 1 925x2 − Câu 33. (((hsg9 Yên Bái 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 8 + + 1 = . 3x− 53 x + 5 x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii −5 3 1 1 925x2 − 6 x 925 x 2 − + Ta cĩ: 8 + += 1 ⇔ 8.1 += () * 3535xx− + xx 9252 − x 9x2− 25 9 x 2 − 25 1 x + Đặt t= >⇔=0 t 2 ⇔= x xtx29 2 − 25 + Khi đĩ, phương trình 6 ()*8.1⇔ +=⇔−−=⇔−ttt32 480 ttt 322 43480 + −=⇔−() ttt 4() 2 −+ 3120 =⇔= t 4 t 2 2 x= − 1,( thm . ) 29x − 25 2 + Với t=⇔=44 ⇔ 916250 x − x −=⇔ 25 x x= ,( loai ) 19 + Vậy: Phương trình đã cho cĩ tập nghiệm là S ={ − 1} . Câu 34. (((hsg9 BBBắắắc Giang 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 42(xxx−) +−=2 19( xx 2 −+ 3222) x − . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2x − 2 ≥ 0 Điều kiện xác định: ⇔x ≥ 1. Với điều kiện trên: x+ x 2 −1 ≥ 0 Phương trình tương đương với ()x−24 xx +−−−2 191220() x x −= x = 2( 1 ) ⇔ 2 4xx+ −= 19122() x − x − () 2 Phương trình (2) ⇔2()()()x −+ 12 xx − 11 +++=−() x 191() xx − 1 2 ⇔2()x −++=− 1 x 191() xx − 1
  52. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ⇔2( x −++= 1 x 191) () xx − − 13() ⇔3xx − 13 () −−+ 1222 ( xx −−+= 1 10) 3x − 5 ⇔−−+31352x() x = 0 2x− 1 + x + 1 1 ⇔−()3531x x −+ = 0 . 2x− 1 + x + 1 1 5 Do x≥ 131 x − + > 0 nên phương trình tương đương với 3x− 5 = 0 ⇔ x = (thỏa 2x− 1 + x + 1 3 mãn). 5  Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là S = 2;  . 3  Câu 35. (((hsg9 BBBắắắc Ninh 2022 2023 ))) Gi ải phương tr ình 34x++ 143 xx −= 23 xx2 ++ 4 5. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 34x++ 143 xx −= 23 xx2 ++ 4 5.( 1 ) 2 Điều kiện x ≥ ⋅ 3 ()1⇔ 34125x +−++() x xx 43232 −−+=()() x 0.2 2 A=34 x ++ 1( 2 x +> 5) 0 Vì x ≥ nên ⋅ 3 B=43 x −+ 2() 3 x +> 2 0 2 2 94()()x+ 1 − 2 x + 5 x 16()() 3 x− 2 − 3 x + 2 ()2 ⇔ + = 0 A B 2 −4x2 + 16 x − 16 x(−9 x + 36 x − 36 ) ⇔ + = 0 A B 2 4 9 x ⇔−−()x 2 + = 0 A B 2 4 9 x Vì A>0, B > 0, x ≥ nên + > 0. 3 A B Do đĩ phương trình trên cĩ nghiệm duy nhất x = 2. Câu 36. (((hsg9 Ninh B ìììnnhhnh 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 2xx2+−= 32212() x − xx 2 +− 3. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii GiGiGiảGi ảảảii phương trtrìnhììnnhhình 2xx2+−= 32212() x − xx 2 +− 3. x ≥1 2 Điều kiện xác định 2x+ x − 3 ≥ 0 ⇔ 3 x ≤ − 2
  53. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2xx2+−= 32212() x − xx 2 +− 3 ⇔−()()()21xx +=− 2212 x xx2 +− 3 ⇔()212x −( xx2 +−−−= 3 x 20) 2x − 1 = 0 ⇔ 2x2 + x − 3 − x − 20 = 1 x = 1 ⇔ 2 ; x = loại vì khơng thỏa mãn điều kiện. 2 2x2 + x − 3 = x + 2 2x2 + x − 3 = x + 2 x ≥ − 2 ⇔ 2 2 2x+ x − 3 =() x + 2 x ≥ − 2 ⇔ x2 −3 x − 7 = 0 3+ 37 x= ( TM ) ⇔ 2 3− 37 x= ( TM ) 2 3+ 37 3 − 37 Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm x=, x = . 2 2 Câu 37. (((hsg9 TiTiTi ềềền Giang 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 1++x 1 −=+ x 11 − x 2 . LLLờiLời giải 1+≥x 0 x ≥− 1 Điều kiện: 10−≥x ⇔ x ≤ 1 ⇔−≤≤ 11 x 1−x2 ≥ 0 −1 ≤x ≤ 1 a=1 + x Đặt (a; b ≥ 0 ) b=1 − x Phương trình trở thành : a=1( n ) ab+=+1 abaabb ⇔− +−=⇔ 1 0 ( a − 1)(1 − b ) =⇔ 0 b=1( n ) Với a = 1thì 1+x =⇔+ 11 x =⇔ 1 x = 0 tương tự b =1thì 1−x =⇔− 11 x =⇔ 1 x = 0 Thử lại x = 0 thoả mãn phương trình. Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình. Câu 38. (((hsg9 VVVĩnh Phúc 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình (2xx2 −+ 2155)( 38 x −−+= x 15) ( x − 5 ) .
  54. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 8 ĐKXĐ: x ≥ 3 (2xx2 −+ 2155)( 38 x −−+= x 15) ( x − 5 ) ⇔−()()xx521138 −( xx −−+−−= 15) () x 50 ⇔−()()x5211() x −() 38 x −−+−= x 150 x −5 = 0() 1 ⇔ ()211x−() 38 x −−+−= x 1502() +) (1) ⇔x = 5() Tm +) (2) ⇔−( 2x 1153)( x −− 85 x +−= 1) 250 2 ⇔−()2115383x xx −−−−() 45 xx ++++− 1()() 7 211 x −= 250 −−−938()()xx()() xx −− 38 ⇔−()2x 11 + +−−=4()()x 3 x 80 538345x−+() x − xx +++ 1() 7 −9() 2x − 11 2x − 11 ⇔−−()()x3 x 8 + +=4 0 538345x−+() x − xx +++ 1() 7 ⇔−()()x3 x −= 8 0 x= 3 ( Tm ) ⇔ x= 8 ( Tm ) 8 −9( 2x − 11 ) 2x − 11 Vì với x ≥ thì + +4 ≠ 0 3 538345x−+() x − xx +++ 1() 7 Vậy, x∈{3;5;8 }. 6x− 4 Câu 39. (((hsg9 Khánh Hịa 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 2x+− 4 22 −= x x2 + 4 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 6x− 4 Giải phương trình 2x+− 4 22 −= x x2 + 4 Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2 6x− 4 Ta cĩ: 2x+− 4 22 −= x x2 + 4 2( 3x− 2 ) 23x(− 2 ) ⇔ = 2x+ 4 + 22 − x x2 + 4
  55. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2 x = ⇔ 3 2x422x++ −= x2 + 4 (*) Ta cĩ: (*)⇔422x2x ( + )( −−−+= ) x2 2x8 0 ⇔422x2x( + )( −+− ) ( 2xx4 )( += ) 0 ⇔−2x422x( ( ++− ) ( 2xx4 ).( += ) ) 0 2− x = 0 ⇔ 422x(++ ) ( 2xx4 − ).( += ) 0 ( ) + Với 2− x = 0 ⇔x = 2 (thỏa ĐK) + Với −2 ≤ x ≤ 2 thì VT của ( ) luơn dương nên ( ) vơ nghiệm. 2  Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 2;  . 3  Câu 40. (((hsg9 ĐĐĐồồồng Tháp 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình x2 −2 x = 22 x − 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Giải phương trình x2 −2 x = 22 x − 1 1 x ≥ Điều kiện: 2 x≥ 2 x≥ 2 x2 − 2x = 2 2x − 1 2 x− () 2x1 −+ 22x11 −+= 0 2 x2 −( 2x11 −+) = 0 (x− 2x11x −−)( + 2x11 −+=) 0 2x− 1 = x − 1 2x− 1 =− x − 1 Với 2x1− =− x1 − x2 + 20 = (vơ nghiệm) Với 2x− 1 = x − 1 x2 − 4x + 2 = 0 x=+ 2 2(nhận);x =− 2 2(loại) Vậy nghiệm của phương trình là x= 2 + 2 Câu 41. (((hsg9 Hà T ĩnh 2022 2023 )))Gi ải phương tr ình 3x2 ++ 33 3x = 2x + 7 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ĐKXĐ: x≥ 0 . Ta cĩ 3x2 + 33 −()() x5 += x2 +− 3x .
  56. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x2−10x +8x 2 − 5 x + 4 ⇔ = 3x2 + 33 + x + 5 x +2 + 3 x 2 1 ⇔ ()()x −−1x 4 = = 0 3x2 + 33 + x + 5 x+2 + 3 x x =1 Xét ()()x−1 x − 4 =⇔ 0 x = 4 2 1 Xét − = 0 3x2 + 33 + x + 5 x+2 + 3 x Với x =1 là nghiệm. Với x ≠ 1 ta cĩ 3( x − 11 ) =⇔1 3x2 ++ 336 x =− 3 x 33 kết hợp với 3x2 ++ 33 3 x = 2x + 7 được 3x2 + 33 + 6 x x− 3x − 40 = 0 Vậy tập nghiệm phương trình S = {1;4;64 } .
  57. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Chuyên đề 4 Hệ phương trình • Tài li ệu này được tham kh ảo t ừ đề học sinh gi ỏi c ấp t ỉnh l ớp 9 t ừ 40 tỉnh thành trong c ả nước năm h ọc 2022-2023. C ụ th ể gồm: Bà R ịa V ũng Tàu, Bình D ươ ng, Bình Ph ước, Bình Định, B ắc Giang, B ắc K ạn, B ắc Ninh, B ến Tre, Gia Lai, Hà Giang, Hà Nam, Hà N ội, Hà T ĩnh, Hịa Bình, Hải D ươ ng, H ải Phịng, H ậu Giang, Khánh Hịa, Kon Tum, Lai Châu, L ạng s ơn, Nam Định, Ngh ệ An b ảng A, Ngh ệ An b ảng B, Ninh B ình, Ninh Thu ận, Phú Th ọ, Qu ảng Bình, Qu ảng Ninh, Qu ảng Tr ị, Sĩc Tr ăng, S ơn La, Thanh Hĩa, Ti ền Giang, TP H ồ Chí Minh, Tuyên quang, V ĩnh Long, V ĩnh Phúc, Yên Bái, Đắk L ắk, Đồng Tháp. 3x+() m − 1 y = 12 Câu 1.1.1. (((hsg9 QQuuQu ảảảng Bình 2022 2023 )))Cho h ệ phương tr ình: (v ới m là tham ()m−1 x + 12 y = 24 số). Tìm t ất c ả các giá tr ị của m để hệ phương tr ình trên cĩ nghi ệm duy nh ất ()x; y th ỏa đi ều ki ện x+ y > 1. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 3x+()() m − 1 y = 12 1 3x+() m − 1 y = 12 Ta cĩ: ⇔ 24−()m − 1 x ()m−1 x + 12 y = 24 y = ()2 12 Thay (2) vào (1) ta được: 2 36−−()m 1 x = 16824 − m ⇔−()()()m7 m + 5 x = 24 m − 168 3 Hệ cĩ nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) cĩ nghiệm duy nhất m ≠ − 5 ⇔ m ≠ 7 . 24168m − 24()m − 7 24 Khi đĩ: x = = = ()()mm−+75()() mm −+ 75 m + 5 Thay vào (2) ta được 24 24()m− 1 2() m − 1 12 ()m−1 . +=⇔=− 12 yy 24 12 24 ⇔=− y 2 ⇔= y m+5 m + 5 mm ++ 55 24 12 36−m − 5 m − 31 Do đĩ: x+ y > 1 ⇔ + >⇔1 > 0 ⇔ <⇔−<<+0m 31 0 m 5 ⇔−5 <m < 31 m+5 m + 5 m + 5 m + 5 Kết hợp với điều kiện ta cĩ −5 <m < 31 và m ≠ 7 . Vậy −5 <m < 31 và m ≠ 7 thỏa mãn yêu cầu của bài tốn. x2+ y 2 = x + 3 Câu 2. (((hsg9 QQuuQu ảảảng Tr ịịị 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình . 3xy+ y2 = y − 3 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Cộng theo vế 2 PT của hệ: x2+2 y 2 + 3 xyxy =+⇔+()()() xyx + 2 y =+ xy
  58. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x= − y ⇔()()xyx + +2 y −=⇔ 1 0 x=1 − 2 y −3 3 y= x = Với x= − y , ta được 2yy2 +−=⇔ 30 23 yy + −=⇔ 10 ()() 2 2 y=1 x = − 1 −3 11 y= x = Với x=1 − 2 y , ta được 5yy2 − 230 −=⇔ 53 yy + −=⇔ 10 ()() 5 5 y=1 x = − 1 33− 113 − Vậy hệ phương trình cĩ 3 nghiệm ( x; y ) là ; ,()− 1;1, ; 22 55 x3 −3 x = 4 − y Câu 3. (((hsg9 Bình D ương 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình: y3 −3 y = 6 − 2 z 3 z−3 z = 8 − 3 x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 3 3 ()()()x+1 x − 2 =− y − 2 xxy−=−34 xx −−=− 322 y 2 yyzyy3−=−362 ⇔ 3 −−=−⇔ 3242 zyy ()()() + 1 −=− 222 z − zz3−=−383 x zz 3 −−=− 3263 x 2 ()()()z+1 z −=− 2 3 x − 2 Nhân theo vế 3 phương trình trên ta cĩ: 2 2 2 ( xyzzyx+1) ( + 1) ( + 1) ( − 2226222)( −)( −=−−) ( yzx)( −)( − ) 2 2 2 ⇔−zyx2 − 2 − 2 x + 1 y + 1 z ++= 160 ()()()()()() 2 2 2 ⇔−()()()()()()x2220 y −−= z dox + 1 y + 1 z ++> 160 với mọi x, y, z. x −2 = 0 x = 2 ⇔ y −2 = 0 y = 2 z −2 = 0 z = 2 Thử lại ta thấy ( x; y ; z ) = ( 2;2;2 ) thỏa mãn hệ phương trình. Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm: ( x; y ; z ) = ( 2;2;2 ) 2x2+ 3 xy − 2 y 2 − 5( 2 x −= y ) 0 (1) Câu 4. (((hsg9 BBBắắắc Ninh 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình ⋅ x2−2 xy − 3 y 2 += 150 (2) LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii y= 2 x Phương trình (1)⇔()() 2xyx − + 2 y −=⇔ 5 0 x=5 − 2 y x =1 +) Với y= 2 x thay vào (2) ta được −15x2 +=⇔ 15 0 ⋅ x = − 1 Với x=1 y = 2 , với x= − 1 y = − 2 .
  59. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 y = 2 +) Với x=5 − 2 y thay vào (2) ta được 5y2 − 30 y +=⇔ 40 0 ⋅ y = 4 Với y= 2 x = 1 , với y= 4 x = − 3 . Vậy nghiệm ( x; y ) của hệ là (1;2) ,(− 3;4) ,( − 1; − 2) . 1 3 + = 2 x−2 y + 1 Câu 5. (((hsg9(hsg9 Hà Giang 20222022 202320232023))))Giải hệ phương trình 2x+ 13 y + 9 + = 12 x−2 y + 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 3 1 3 + = 2 + = 2 x−2 y + 1 x−2 y + 1 ĐK: x≠2, y ≠ − 1 . Khi đĩ ⇔ 2x+ 13 y + 9 2()x−+ 253() y ++ 16 + = 12 + = 12 x−2 y + 1 x−2 y + 1 1 3 1 + = 2 = 1 x−2 y + 1 x − 2 x−2 = 1 x = 3 ⇔ ⇔ ⇔⇔ (Thỏa mãn) 561 1 y+ 132 = y = + = 7 = x−2 y + 1 y +1 3 Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất: ( x, y ) = ( 3;2 ) x2− y 2 +4 x − 6 y −= 50 Câu 6. (((hsg9 Hà Nam 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình 2 23x++ 2 yxx + 2 += 26. LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 3 x ≥ − Điều kiện 2 y ≥ 0 2 2 x+2 = y + 3 ()()()1⇔x + 2 = y + 3 ⇔ +)2x +=−−⇔ y 3( x + 5) + y = 0 vơ nghiệm x+2 =− y − 3 3 vì ()x+5 +>∀≥− y 0 x , y ≥ 0. 2 +)2x +=+⇔ y 3 yx =− 1 thay vào (2) ta được 23x++ 2() x −+ 12 xx2 += 26 ⇔( 233x +−+) ( 2222 x −−+) xx2 +−= 210
  60. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2x+− 39 2 x −− 22 ⇔ + +−+=()()x32 x 7 0 2x++ 33 2 x −+ 22 2 2 ⇔−()x3 + ++= 270 x +)x = 3 y = 2 2x++ 33 2 x −+ 22 2 2 ⇔=xdo3, + ++>∀≥ 2 xx 7 0 1 2x++ 33 2 x −+ 22 Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất (x; y ) = ( 3;2 ) xy+2 x − y = 3 Câu 7. (((hsg9 HHHảảải Dương 2022 2023 ))) Gi ải h ệ phương tr ình 1 2 + = 2 2 1 x−+22 x y ++ 47 y LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ( x−1)( y + 2) = 1 Hệ phương trình ⇔ 1 2 + = 2 2 1 ()x−+11() y + 23 + uv =1 Đặt u=− x1, v = y + 2 . Hệ đã cho trở thành 1 2 + = 1 u2+1 v 2 + 3 uv=1 uv = 1 ⇔ ⇔ uvuv22+++=++3 22 32 uv 22 5 uvu 222 += 2 uv=1 u = v = 1 ⇔ ⇔ u=±1 u ==− v 1 x=2 x = 0 Từ đĩ suy ra nghiệm của hệ phương trình là ; y=−1 y =− 3 x=2 x = 0 Vậy nghiệm của hệ phương trình là ; y=−1 y =− 3 x4+2 xyxy 3 + 22 = 7 x Câu 8. (((hsg9 NNgghhNgh ệệệ An b ảảảng A 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình x( y− x + 1) = 3 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 ( x2 + xy) =7 x + 9 (1) Hệ phương trình đã cho tương đương với xy= x2 − x + 3 (2) 2 Thay (2) vào (1) ta cĩ (2x3 −+ x 379) = x + ⇔4x4 − 4 x 3 + 13 x 2 − 13 x = 0 3 2 x = 0 ⇔4xx ( −+ 1) 13 xx ( −=⇔− 1) 0 xx ( 1)() 4 x +=⇔ 13 0 x =1 Thay vào (2) ta thấy Khi x= 0 0 y = 3 (khơng thỏa mãn)
  61. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Khi x= 1 y = 3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x ; y )= (1;3) . xy2 2 + 2xy+ 1 = 7x + 9 Câu 9. (((hsg9 NNgghhNgh ệệệ An b ảảảng B 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình   xy( − x) = 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii  2 (xy1+ ) = 7x+ 9 ( 1 ) Hệ phương trình đã cho tương đương với   2 xyx= + 2 () 2 2 Thay (2) vào (1) ta cĩ: (x2+ 3) = 7x9 +⇔ x 4 + 6x 2 − 7x = 0 ⇔xx( 3 + 6x −= 7) 0 x= 0 ⇔xx1x() −()2 ++=⇔ x 7 0  x= 1 Thay vào (2) ta thấy: Khi x= 0 ⇒0y = 3 (khơng thỏa mãn). Khi x= 1 ⇒ y = 3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x;y)=( 1;3.) 6x2 − 3 xy +=− x 1 y Câu 10. (((hsg9 Sơn La 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình: . x2+ y 2 = 1 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 6x2 − 3 xy +=− x 1 y a)a)a) Giải hệ phương trình: . x2+ y 2 = 1 Ta cĩ: 63x2− xyx +=−⇔ 1 y 632 x 2 − xy − xyx ++−= 310. ⇔3(2x x-y) -(2x-y)+(3x-1)=0 ⇔ (2 x-y+1) (3x-1)=0. 3x − 1 = 0 ⇔ . 2x− y + 1 = 0 1 8 2 2 * Với: 310x−= ⇔ x = . Thay x vào phương trình x2+ y 2 = 1, ta cĩ: y2 = y = ± . 3 9 3 * Với: 2xy−+=⇔ 10 yx = 21 + Thế y vào phương trình x2+ y 2 = 1, ta cĩ: x = 0 2 5x+ 4 x =⇔ 0 xx (5 +=⇔ 4)0 4 x = − 5 +)x = 0 y = 1. 4 3 +)x = − y = − . 5 5 122 122 43 Vậy hệ phương trình cĩ 4 nghiệm: ; ; ;− ;(0;1); − ; − . 3333 55
  62. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x−+1 y −= 1 2 Câu 11. (((hsg9 VVVĩnh Long 2022 2023 )))Gi ải hệ ph ương tr ình: 1 1 + = 1 x y LLLờiLời giải x−+1 y −= 1 2 (1) Giải hệ phương trình: 1 1 + = 1 (2) x y ĐK: x≥1; y ≥ 1 (2) ⇔x + y = xy (3) Hai vế của (1) đều dương ta bình phương hai vế ta cĩ: xy+−+22114()() xy − −=⇔+−+ xy 22 xyxy −++=() 14 x+ y = 4 Thay (3) vào ta cĩ: x+ y = 4 kết hợp với (3) cĩ hệ: xy = 4 Áp dụng hệ thức Vi Ét ta cĩ x; y là hai nghiệm của pt: X2 −4 X + 4 = 0 x=2; y = 2 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình S = (2;2 ) { } 2 2 2xy x+ y + = 1 Câu 12. (((hsg9 Bình Ph ưưướớớc 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình: x+ y . xy+ = x2 − y LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Điều kiện: x+ y > 0. Biến đổi phương trình (1): 2xy2 2 xy xy2++ 2 =⇔+1() xy − 2 xy + −= 10 xy+ xy + 2P Đặt x+ y = S, xy = P (với S2 ≥ 4 P ), ta cĩ phương trình: S2 + −2 P −= 1 0 ⇔S3 +2 P − 2 SP −= S 0 S S =1 ⇔SS(2 −− 1) 2 PS ( −= 1) 0 ⇔−(S 1)( S2 +− S 2 P ) =⇔ 0 S2 + S −2 P = 0 2 y = 0 +Với x+ y = 1 thay vào (2) ta được: 11=−()y −⇔ y y2 − 30 y =⇔ ( x; y )∈{( 1;0) ;( − 2;3 )} y = 3 2 + Với SSP2 +−20 =⇔+() xy ++− xyxy 20 = ⇔x2 + y 2 ++= xy 0 (Loại, vì x+ y > 0 ). Vậy hệ phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm (x; y ) là (1;0) ;(− 2;3 )
  63. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 1 1 7 x+ + y − = x y 2 Câu 13. (((hsg9(hsg9 BBBắcBắc Kạn 20222022 202320232023))))Giải hệ phương trình . 1 1 25 x2+ + y 2 + = x2 y 2 4 LLLờiLời giải Điều kiện: x, y ≠ 0 1 1 7 x+ + y − = x y 2 . 2 2 Hệ pt tương đương với 1 1 25 x+ +− y = x y 4 7 u+ v = 1 1 2 Đặt ux=+≥2, vy =− ta cĩ hệ phương trình . x y 25 u2+ v 2 = 4 7 7 v= − u u+ v = 7 2 2 v= − u 3 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔==u2, v 2 2 25 2 7 25 2 2 u+ v = u+ − u = 2u− 7 u + 60 = 4 2 4 1 x + = 2 x =1 x x2 −+=210 x x = 1 ⇔ ⇔ ⇔∨ 1 . 1 3 2y2 − 3 y − 20 = y = 2 y = − y − = 2 y 2 1 Vậy hệ phương trình cĩ các nghiệm là ()1,2 , 1,− . 2 x( y+1) + y = 3 Câu 14. (((hsg9 Nam Đ ịịịnnhhnh 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình 2 2 52−()xy ++− 2 xy = 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x( y+1) + y = 3 Giải hệ phương trình 2 2 52−()xy ++− 2 xy = 2 5 5− 2()x + y ≥ 0 x+ y ≤ Điều kiện: ⇔ 2 2 2 2−x y ≥ 0 2 2 x y ≤ 2 1 Kết hợp với phương trình trong hệ ta được điều kiện ≤xy ≤ 2 2
  64. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Từ phương trình xy( ++=⇔13) y xyxy ++=⇔+=− 3 xy 3 xy thế vào phương trình 52−()xy ++− 2 xy2 2 = 2 ta được 523−() −xy +− 2 xy2 2 = 2 ⇔−+562xy +− 2 x2 y 2 = 2 ⇔212xy −+− x2 y 2 = 2 ⇔212xy −+− x2 y 2 = 2 ⇔−422xy −− 122 − x2 y 2 = 0 ⇔2122112xy −− xy −++− x22 y − 22 − x 22 y ++ 1 x 22 y − 210 xy += 2 2 ⇔()211xy −−+( 2 − x2 y 2 −+−= 1) () xy 102 2 ( 2xy − 11 −) ≥ 0 1 2 Với ≤xy ≤ 2 thì ( 2−x2 y 2 − 1) ≥ 0 2 ()xy −12 ≥ 0 2 2 Do đĩ phương trình ( 211xy−−+) ( 2 − x2 y 2 −+ 1) () xy −= 102 2 2xy − 11 − = 0 ( ) 2xy − 1 = 1 2 ⇔ ( 2 −x22 y −=⇔ 102) − x 22 y =⇔= 1 xy 1 2 xy =1 ()xy −1 = 0 Với xy = 1 kết hợp với x+ y =3 − xy ta được x+ y = 2 x=2 − y x=2 − y ⇔ ⇔ 2 ⇔==x y 1 xy = 1 ()2−y y = 1 ()y −1 = 0 Với x= y = 1 thoả mãn điều kiện. Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất là ( x; y ) = ( 1;1 ) 3 xxy()+++= xy2 y( 2 y + 1 ) Câu 15. (((hsg9 Phú Th ọọọ 2022 2023 ))) Gi ải h ệ phương tr ình: . 2x+ 3.3 y += 5 yx2 +− 6 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 3 Điều kiện: x≥−; y ≥ 0; xy +≥ 0. 2 Xét phương trình thứ nhất: xxy()+++= xy2 y( 2 y 3 + 1 ) ⇔++xxy2 xy +=2 y 2 + 2 y
  65. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 ⇔−+−+xyxyy2 2 2 ( xy +−2 y ) = 0 ⇔−()()()xyxyyxy ++ −+() xy +−2 y = 0 ⇔−()()xyxy ++2() xy +− 20 y = () * +) Xét xy++2 y =⇔== 0 xy 0 khơng thỏa mãn hệ phương trình. x+ y − 2 y +) Xét x+ y +2 y > 0 , ta cĩ: ()()()*⇔−++xyx 2 y = 0 x+ y + 2 y x= y 1 ⇔−++()xy x2 y = 0 ⇔ 1 x+ y + 2 y x+2 y + = 0 x+ y + 2 y 1 Do x+ y ≥0; y > 0 nên x+2 y + > 0. x+ y + 2 y Với x= y , thay vào phương trình thứ hai của hệ được: 23.x+3 x += 5 xx2 +− 6 3 Nhận xét 2x+ 3.3 x + 5 ≥ 0, ∀x ≥ − nên xx2 + −60 ≥ ( xx− 2)( + 30) ≥ x ≥ 2. 2 Do đĩ: 23.x+3 x += 5 xx2 +− 6 ⇔2xx + 3.3 +− 53. 3 x ++ 53. 3 x +−=+− 56 xx2 12 ⇔+3xx52333( +−+) ( 3 x +−=+− 52) xx2 12 3 239x+− x +− 58 2 ⇔+x 5. + 3.2 =+−x x 12 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2. 3 x ++ 54 3 2( x − 3 ) x −3 ⇔+x 5. + 3.2 =−+()()x 3 x 4 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 23 x + 5 3 ⇔−x 3 + −+=x 4 0 () 2 () 2x + 3 + 3 3 3 ()x+5 + 2 x ++ 54 23 x + 5 3 ⇔x −3 = 0 hoặc +2 −+=()x 4 0 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 +) TH1: x−30 = ⇔ x = 3 y = 3 23 x + 5 3 +) TH2: +2 −+=()x 4 0 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 Vì x≥ 223 xxxx+= ++−≥ 52 + 523 3 xx+ ≥ 3 + 523 xx+ > 3 + 5 23 x + 5 ++>3 + < 3 3 233x x 5 2 . Lại cĩ: 2 < <1, ∀≥x 2. 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54 4 23 x + 5 3 Suy ra: +2 <<+∀≥3x 4, x 2. Do đĩ TH2 vơ nghiệm. 2x + 3 + 3 ()3x+5 + 2 3 x ++ 54
  66. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Vậy hpt đã cho cĩ nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 3;3) . x3+3 xy 2 + 49 = 0 Câu 16. (((hsg9 Thanh Hĩa 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình . x2−8 xy + y 2 = 8 y − 17 x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x3+3 xy 2 + 49 = 0 Giải hệ phương trình . x2−8 xy + y 2 = 8 y − 17 x Nhân hai vế của phương trình (2) với 3, rồi cộng với phương trình (1) vế theo vế ta được pt: x322++3 x 3 xy − 24 xy ++= 3 y 2 49 24 y − 51 x ⇔++++xxx33 2 313 yx 2 ( +− 124) yx( ++ 148) ( x += 10) 2 2 2 2 ⇔+( xxyy1) ( ++− 1) 3 24 +=⇔+ 48 0( xx 1) ( ++− 1) 3( y 4) = 0 x +1 = 0 ⇔ (x+ 1)2 + 3( y − 4) 2 = 0 x=−1 x =− 1 TH1: 3 2 ⇔ x+3 xy =− 49 y = 4; y =− 4 (x+ 1)2 + 3( y − 4) 2 = 0 x = − 1 TH2: ⇔ x3+3 xy 2 = − 49 y = 4 Vậy hệ đã cho cĩ hai nghiệm ( x, y )∈−{( 1;4) ,( −− 1; 4 )} x2+2 y 2 = x + 4 (1) Câu 17. (((hsg9 Tuyên quang 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình 3xy= y − 4 (2) LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Cộng vế với vế hai phương trình ta được x22+23 y + xyxy =+⇔+ x 2 2 xyy +++−−= 22 xyy xy 0 2 ⇔+()()()()()xy + yxy +−+=⇔+ xy0 xyxy +−= 210 x = − 1 2 2 TH1: xy+ =0 ⇔ x =− y Thay vào (2) ta được −3x =−−⇔ x 43 xx −−=⇔ 40 4 Suy ra hai x = 3 4− 4 nghiệm:: ()−1;1 ; ; 3 3 TH2: xy+210 −=⇔ x =− 12 y thay vào (2) được. y =1 2 3(1− 2yyy ). =−⇔ 4 6 y − 2 y −=⇔ 4 0 −2 y = 3 −2 7 VVVớVớớớii y=1 x = − 1 ;;; VớVVV ớớớii y= x = 3 3 4− 4 7− 2 Tĩm lại hệ cĩ 3 nghiệm: ()−1;1 ; ; ; ; 3 3 3 3
  67. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 2 2 2xy x+ y + = 1 Câu 18. (((hsg9 Ninh B ìììnnhhnh 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình x+ y 2x+ 3 y − xyx += 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 2 2xy x+ y + = 1 GiGiGiảGi ảảảiiii hệhhh ệệệ phương trtrìnhììnnhhình x+ y . 2x+ 3 y − xyx += 2 Điều kiện xác định x+ y > 0 2xy2 2 xy xy2++ 2 =⇔+−1() xy 2 xy + = 1 xy+ xy + 2 1 x+ y − 1 ⇔+−−()x y121 xy − = 0 ⇔+−()()xy1 xy ++− 12. xy = 0 x+ y x+ y x+ y −1 = 0 x+ y −1 = 0 ⇔2xy ⇔ ⇔=−y1 x x++− y 1 = 0 x2+ y 2 ++ x y = 0 ( VN ) x+ y x =1 Thay y=1 − x vào phương trình cịn lại ta cĩ x2 + x −2 = 0 ⇔ x = − 2 Với x=1 y = 0 thỏa mãn điều kiện Với x= − 2 y = 3 thỏa mãn điều kiện Vậy hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm ( xy;) =( 1;0,) ( xy ;) =( − 2;3.) Câu 19. (((hsg9 VVVĩnh Phúc 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình x3+7 y =+() xy2 + xy 2 ++ 7 x 4 ()x, y ∈ℝ 3xy2+ 2 + 848 y += x LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 x3+7 y =+()() xy + xy 2 ++ 741 x 2 2 3xy+ + 8482 y += x () Cộng từng vế của (1) và (2) ta được: x3+2 x 2 + 15 y = 15 xxy + 2 + 2 xy ⇔−(xyx)( −3)( x += 5) 0 x= y ⇔ x = 3 x = − 5 +) Thay x= y vào (2) ta được: 3xxx2++ 2 848 += x ⇔ 4 x 2 += 40 (PT vơ nghiệm) y = − 1 +) Thay x = 3 vào (2) ta được: 27+++=yy2 8440 ⇔ yy 2 ++=⇔+ 870()() yy 1 +=⇔ 70 y = − 7 +) Thay x = 5 vào (2) ta được:
  68. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 75+++=⇔++=⇔+yy2 8440 yy 2 8390() y 42 += 230 (PT vơ nghiệm) Vậy, ( x; y )∈{( 3; − 1) ;( 3; − 7 )} . ()12−y x +−+= 3 y 80 Câu 20. (((hsg9 HHHậậậu Giang 2022 2023 )))Gi ải hệ phương tr ình . yy()− x +3 +−= x 1 0 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Điều kiện: x ≥ − 3 . Đặt a= x +3( a ≥ 0 ) khi đĩ: x= a 2 − 3. Hệ phương trình đã cho trở thành: a− y + 8 ()12.−y a −+= y 80 a−− y2 ay += 8 0 = ay ()1 ⇔ ⇔ 2 2 2 2 yy()− a + a −−=3 1 0 a+ y − ay −=4 0 2 ()()a− y + ay −=4 0 2 2 a− y + 8 Thay (1) vào (2) , ta được: ()a−+ y −=4 0 2 ⇔2()()ay −2 +−= ay 0 ay− =0 ay = ⇔1 ⇔ 1 ay−=− ay =− 2 2 y = 2 a = 2 Với a= y , phương trình ()1⇔y2 = 4 ⇔ . y = − 2 a= − 2() l a= y = 2 y = 2 Vậy với ⇔ . x +3 = 2 x =1 1 Với a= y − , phương trình: 2 1 1− 61 1 + 61 y− − y + 8 y= a = − () l 2 1 2 4 4 ()1⇔ =− y y ⇔−−=⇔ 4 y 2 y 15 0 . 2 2 1+ 61 611 − y= a = () n 4 4 1 61 a= y − y = 2 2 Vậy với ⇔ . 61− 1 25− 61 x +3 = x = 2 2 65 y = y = 2 2 So với điều kiện x > − 3, hpt cĩ nghiệm và . x =1 25− 61 x = 2 . 2 2 2xy x+ y + = 1 Câu 21. (((hsg9 Hà T ĩnh 2022 2023 )))Gi ải h ệ phương tr ình x+ y 2 2xy++ 1() x −−= x 12
  69. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii ĐKXĐ: x+≠ y 0;2x ++> y 1 0;x2 −−> x 1 0 * ( ) 2xy Từ phương trình x2+ y 2 + = 1 . x+ y x2( xy++) yxy 2 ( ++) 2 xy− x − y = 0 ⇔ x2( xy+−+) x 22 yxyyx( +−+) 22+ 2 xyyxy +−− 2 = 0 ⇔ xxy2( +−+1) yxy 2 ( +− 1) ++( xyxy)( +− 1 ) = 0 ⇔ ( x+−y1)( x2 + y 2 + x + y ) = 0 Xét x+ y −1 = 0 , thay vào phương trình 2xy++ 1 x2 −−= x 12 được x+2 x2 −−= x 1 2 ( ) ( ) 2 Với điều kiện x2 − x −1 ≥ 0 , ta cĩ ()x+2( x2 −− x 1) = 4 . 2 ⇔ ()x+2( x4−2x 3 − x 2 + 2140 x +) − = ⇔ ( x+2)( x4−2x 3 − x 2 + 214 x +) − = 0 ⇔ x5− 5 x 3 + 5 x − 2 = 0 ⇔ ( x−2)( x4+ 2x 3 −−+= x 2 2 x 1 ) 0 2 ⇔ ()x−2( x2 + x − 1) = 0 Với x−20 = ⇔ x = 2 y = − 1 (TMĐK). −−15 35 + −+ 15 Với xx2 +−=10 ⇔ x = y= ; x = xx2 − − 10 10) theo ĐKXĐ thay vào ĐKXĐ * ( ) −1 − 53 + 5  Hệ phương trình cĩ tập nghiệm ()()x;y∈ 2;1, − ;  . 2 2  Câu 22. (hsg 9 Bà R ịa Vũng T àu 2022 2023 ) Gi ải hệ phương tr ình sau x−1 y + = 2 y x −1 (x> 1, y > 0). x+ y = 2 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x−1 y + = 2 () 1 y x −1 (x> 1, y > 0). x+ y = 2 () 2
  70. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x −1 Đặt t=, t > 0 y 1 ()1 t + = 2 t ⇔t2 −210 t +=⇔= t 1 x −1 =1 x− y = 1 () 3 y 1+ 2 x = 2 Từ (2) và (3) ta cĩ −1 + 2 y = 2 1+ 2 − 1 + 2 Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất là ; 2 2 x3+ y 3 =3 x + 3 y Câu 23. (hsg 9 Hịa Bình 2022 2023 ) Gi ải h ệ phương tr ình x2+2 y 2 = 6 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii x= − y (1) Þ (x+ y )( x2 −+−= xy y 2 3) 0 Þ x2− xy + y 2 = 3 Với x = -y thay vào (2) ta cĩ: 3y 2 = 6 Û y = ± 2 x2− xy + y 2 = 3 Với x2− xy + y 2 = 3ta cĩ hệ x2+2 y 2 = 6 Þ x2 −2 xy = 0 Þ x = 0 hoặc x = 2y Với x = 0 thay vào (2) ta cĩ: y 2 = 3 Û y = ± 3 Với x = 2y thay vào (2) ta cĩ: y 2 = 1 Û y = ± 1 Vậy ()x, y ∈−−{ ( 2; 2),( 2; 2),(0; 3),(0; − 3),(2;1),( −− 2; 1) } 1 2x 1+ = 3 x+ y Câu 24. (hsg 9 HHảảảảii Phịng 20222022 20232023 ) Giải hệ phương trình . 1 2y 1− = 1 x+ y LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 1 2x 1+ = 3 x+ y Giải hệ phương trình ()I 1 2y 1− = 1 x+ y ĐKXĐ: x≥0, y ≥ 0, xy +≠ 0.
  71. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Với x = 0 , y = 0 khơng thoả mãn hệ phương trình (I ) x>0, y > 0 Do đĩ: 1 1 3 3 1 21x + = 31 + = 2= + (1) xy+ xy + 2 x 2 xy 2 ⇔ 1 1 2 3 1 1 1− = = − (2) 2y 1− = 1 x+ y x+ y 2 y x+ y 2x 2 y 3 1 Do x+ y >0 nên từ (2) suy ra − ≠ 0 . 2x 2 y Nhân vế với vế của (1) và (2) ta cĩ: 4 9 1 = − x2+890 xyy − 2 =⇔−()() xyxy + 90 = xy+ 4 x 4 y x= y ⇔ x= − 9 y Vì x>0, y > 0 nên x= − 9 y (khơng thoả mãn). 3 1 2 Với x= y ta cĩ 2= + ⇔= 2 ⇔=x 11. y = 2x 2 x x Ta thấy ( x; y ) = ( 1;1 ) thoả mãn hệ phương trình (I) . Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 1;1) . x2+3 y 2 − 4 xy +−= 44 x y 0 Câu 25. (hsg 9 L ạạạng sơn 2022 2023 ) Gi ải h ệ phương tr ình: . x++2 3 y −= 24 LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 2 x+34440 y − xy +−= x y ( 1 ) Xét hệ phương trình: . x++2324 y −= () 2 2 ĐKXĐ: x≥ −2; y ≥ . 3 Từ (1), ta cĩ: x2+34440 y 2 − xyxy +−=⇔+ x2 44448 y 2 +− xyxyy +−−+−=2 440 y ⇔−+()()()()xy222 −− y 20 2 =⇔−++− xyyxyy 22 222 −+−+= 20 x= y ⇔−()()x yx −3 y +=⇔ 4 0 . x=3 y − 4 Với x= y thay vào (2), ta cĩ: y++2 3 y −= 24 ⇔++−+yy2322()() yy + 23216 −=⇔()() yy + 23282 −=− yy() ≤ 4 y= 2 ( TM ) 3yyy2 −+−=− 2 6 46432 yyyy + 42 ⇔− 2 36 +=⇔ 680 . y= 34 () KTM y= 2 x = 2 .
  72. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Với x=3 y − 4 thay vào (2), ta cĩ: 3423242324324y−++ y −=⇔ y −=⇔ yyx −=⇔= 2 = 3.24 −⇔ x = 2 (thỏa mãn). Vậy hệ phương trình cĩ tập nghiệm là S = {(2;2 )} . 2 2 x+ xy +=2 y + y Câu 26. (hsg 9 Qu ảng Ninh 2022 -2023 ) Gi ải h ệ phương tr ình Câu 26. (hsg 9 Qu ảảng Ninh 2022 2023 ) 2 ()x+2() xy −+ 1 =− 3 y LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 2 x+ xy +=2 y + y (1) 2 ()x+2() xy −+ 1 =− 3 y (2) aa))a) (1) ⇔x2 +=2 y 2 +− y xy , thay vào (2) được ( y2 +− yxyxy)( −+=−1) 3 y (*) Xét y = 0 , thay (1) thấy khơng thỏa mãn. 2 x− y = 2 Xét y≠0, ()()()()* ⇔+− yxxy 1 −+=−⇔− 13 xy =⇔ 4 x− y = − 2 x = 0 Nếu x− y = 2. Thay vào (2) được 3x2 + 3 x = 0 ⇔ x = − 1 Suy ra y = − 2; y = -3 x = − 1 Nếu x− y = − 2.Thay vào (2) được −x2 +3 x + 4 = 0 ⇔ x = 4 Suy ra y =1; y = 6 Vậy hệ phương trình cĩ 4 nghiệm : (0; -2); (-1; -3); (-1; 1); (4; 6). 2 x+ xy + y −4 y += 1 0 Câu 27. (hsg 9 Lai Châu 2022 2023 ) Gi ải h ệ phương tr ình: 2 2 2 2 ()x++1 y() x ++ y 280 xy −= LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii 2 x+ xy + y −4 y += 1 0 x+=−1 yxy( + − 4 ) ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 ()x++1 y() x ++ y 280 xy −= ()x++1 y() x ++ y 280 xy −= x+=−1 yxy( + − 4 ) x+=−1 yxy( + − 4 ) ⇔ ⇔ 2+−+2 222 ++ −= yxy2 +−42 ++ xy 2 −= 8 0 yxy()4 yxy() 280 xy ()() x+=−1 yxy( + − 4 ) x+=−1 yxy() + − 4 ⇔ ⇔ yxy2 +2 −8 xy ++++ 16 xy 2 −= 80 2 2 ()()() y() x+ y −2 = 0 x+=−1 yxy( + − 4 ) x = − 1 TH1: ⇔ y2 = 0 y = 0
  73. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 x+=−1 yxy( +− 4) x +=−− 122( x )( − ) x+1 = 4 − 2 x TH2: ⇔ ⇔ ⇔==x y 1 xy+=2 xy += 2 x+ y = 2 Vậy nghiệm của hệ là: ( x, y ) ∈{( − 1;0) ,( 1;1 )}
  74. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 Chuyên đề 5 Bất đẳng thức • Tài li ệu này được tham kh ảo t ừ đề học sinh gi ỏi c ấp t ỉnh l ớp 9 t ừ 40 tỉnh thành trong c ả nước năm h ọc 2022-2023. C ụ th ể gồm: Bà R ịa V ũng Tàu, Bình D ươ ng, Bình Ph ước, Bình Định, B ắc Giang, B ắc K ạn, B ắc Ninh, B ến Tre, Gia Lai, Hà Giang, Hà Nam, Hà N ội, Hà T ĩnh, Hịa Bình, Hải D ươ ng, H ải Phịng, H ậu Giang, Khánh Hịa, Kon Tum, Lai Châu, L ạng s ơn, Nam Định, Ngh ệ An b ảng A, Ngh ệ An b ảng B, Ninh B ình, Ninh Thu ận, Phú Th ọ, Qu ảng Bình, Qu ảng Ninh, Qu ảng Tr ị, Sĩc Tr ăng, S ơn La, Thanh Hĩa, Ti ền Giang, TP H ồ Chí Minh, Tuyên quang, V ĩnh Long, V ĩnh Phúc, Yên Bái, Đắk L ắk, Đồng Tháp. Câu 1.1.1. (((hsg9 Tuyên quang 2022 2023 )))Cho ba s ố th ực dương x, y, z th ỏa mãn 3xy+ xz = 2. 4yz 5 xz 7 xy Ch ứng minh r ằng + + ≥ 8. x y z LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Cách 1: Áp ddụụụụngng hai llầầầầnnnn bấbbb ấấấtt đđđẳđẳẳẳngng ththứứứứcccc Co-CCooCo sisi ta cĩ. 4yz 5 xz 7 xy VT = + + = x y z yz xz yz xy xz xy yz xz yz xy xz xy =+++++≥ 3 4 2 . + 3.2 . + 4.2 . xy xz yz xy xz yz =++=2682zyx()() xz ++ 6 xy + ≥2.2xz + 6.2 xy = 4() xz + 3 xy == 4.28 3xy+ yz = 2 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi ⇔x = y = z = . x= y = z > 0 2 Cách 2: Ta thấy 2 2 2 yz xy yz zx xy zx 2 2 VT =3 − +− + 4 − + 23 ()xy −+−+≥() zx 88 Dấu xz xy zy 3xy+ yz = 2 1 đẳng thức xảy ra khi ⇔x = y = z = . x= y = z > 0 2 Bình luluậậậậnnnn : Đây là bài giải ba nhất: sơ cấp nhất, đơn giản nhất, đẹp nhất. Nhưng người đọc rất khĩ chịu. Sau đây là các chia sẻ của tơi xung quanh bài tập này. I. Về tên gọi của BĐT AM− GM 1.1.1. BĐT giữa các giá trị trung bình : AM− GM (Arithmetic Means – Geometric Means) gọi tên là BĐT Cơ si là sự nhầm lẫn kéo dài của những người làm tốn ở Nga và Việt nam. Vì Cơ si chỉ đưa ra cách chứng minh BĐT AM− GM hay nhất bằng phương pháp quy nạp Cơ si. 2.2.2. BĐT Bunhia Copsxki theo cách gọi tên chung của thế giới cĩ tên là BĐT Cauchi – Schwarz. 3.3.3. Ở Việt nam từ tháng 12/2012 báo tốn tuổi thơ 2 yêu cầu các tác giả và cộng tác viên gọi đúng theo thơng lệ quốc tế.
  75. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 II. Ba ph ươ ng pháp t ư duy trong tốn h ọc. 1. Phân tích và t ổng h ợp. 2. Lùi v ề quen thu ộc 3. Bi ến đổi v ấn đề III. Khi xây dựng bất đẳng thức người ta thường sử dụng nhiều phương pháp biến đổi khác nhau. Các phương pháp biến đổi thường mang tính chất mơ tả. MMơơMơ tttảtảảả : là mẫu, là khuơn(quy mơ, vi mơ, vĩ mơ), là phỏng theo, là mưu kế, là mưu mơ. (Theo Hán -Việt từ điển) 1 Mơ tả một vế của bất đẳng thức; 2.2.2. Mơ tả điều kiện của bài tốn để sử dụng; 3.3.3. Mơ tả theo các bất đẳng thức trung gian. IV. Khi sử dụng BĐT AM− GM , người ta thường sử dụng 8 kĩ thuật sau 1.1.1. Ghép đối xứng ; 2.2.2. Tách biến số 3.3.3. Cộng thêm biến số 4.4.4. Nhân thêm biến số 5.5.5. Chia cho biến số 6.6.6. Dồn biến số 7.7.7. Đổi biến số 8.8.8. Sử dụng AM-GM ngược dấu. Ba câu th ần chú Câu 1 . Khi s ử d ụng các bất đẳ ng th ức trung gian làm cơng c ụ, d ấu đẳng th ức ph ải x ảy ra. Câu 2 .Trong các bất đẳ ng th ức cĩ điều ki ện, d ấu đẳng th ức xảy ra khi và ch ỉ khi d ấu đẳng th ức của điều ki ện x ảy ra. Câu 3 .Trong các bất đẳ ng th ức mà vai trị các bi ến nh ư nhau thì d ấu đẳng th ức xảy ra khi các bi ến b ằng nhau TTRRTRỞTR Ở LẠI BBÀIÀÀIIÀI TẬPTTT ẬP : 4yz 5 zx 7 xy Cho x, y , z > 0 thoả mãn: 3xy+ xz = 2 . Chứng minh rằng, + + ≥ 8 . x y z BBưưBướcBư ớớccớc 1.111 Nhận xét : xy yz zx yz xy zx 1.1.1. Tích các phân thức bị nâng bậc : . = y2 , . = z 2 , . = x2 . z x y x z y 2.2.2. VT cĩ 16 phân thức BBưưBướcBư ớc 2. Thiết lập cơng cụ AM− GM từ hằng đẳng thức 2 2 ab+=−( a b) +2 ab ≥ 2 abab ,,0 ∀> (1) Vì ()ab− ≥0, ∀ ab , 2 2 2 BBưưBướcBư ớc 3. Phân tích : 3xy+ xz = 2 ⇐ 8262= xy + xz ≤ 23 ()() xy +++≤++ zx 3 yz 4 x (2)
  76. VŨ NG ỌC THÀNH TỔNG H ỢP TUY ỂN T ẬP ĐỀ HỌC SINH GI ỎI C ẤP T ỈNH – NĂM 2022-2023 BBưưBướcBư ớớccớc 4.444 Ghép biến số , từ nhận xét và VP của (2), ta ghép thành ba nhĩm xy yz yz zx xy zx VT =3 ++++ 4 + zx xy zy BBưưBướcBư ớc 5 . Áp dụng BĐT (1) hai lần, ta được VT≥23 ()() xy +++≥ zx 26( xy + 2 zx ) == 2.48 (đpcm) 3xy+ yz = 2 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi ⇔x = y = z = . x= y = z 2 Bình luluậậậận:n:n:n: Một số bài tập giới thiệu cùng các bạn Cho x, y , z > 0 thoả mãn 5yz 7 zx 8 xy 1.1.1. 3xy+ 2 xz = 2 . Tìm GTNN của M = + + . x y z 3zx 4 xy 5 yz 2.2.2. xy+2 yz = 3 . Chứng minh rằng, + + ≥ 12 . y z x 3yz 6 zx 7 xy 3.3.3. 4xy+ xz = 6 . Tìm GTNN của N = + + . x y z 8zx 11 yz 13 xy 4.4.4. 5xy+ 3 yz = 7 . Chứng minh rằng, + + ≥ 12 . y x z 35zx 5 yz 25 xy 5.5.5. xy+3 xz = 1 . Tìm GTNN của + + 4y x 4 z Cách 3: Đặt y= axz2; = bxa 2 , >> 0, b 0. 2 b2 a 2 Từ giả thiết ta cĩ 3ax+ bx = 2 = 3 a + b . Ta cần chứng minh x 4 a2 b 2 + 57 + ≥ 8 x a2 b ba228 ba 22 ⇔4ab2 2 ++≥⇔ 57 4 ab2 2 ++≥ 5743() abab +=+ 124 abx2 ab2 Theo BĐT AM-GM ta cĩ: b2 a 2 a 2 b2 b 2 a 2 3 ab2 2 +++ ≥ 3.412 aa = và a2 b 2 + + + ≥ 4 b a2 b 2 b 2 a2 a 2 b 2 Cộng hai vế của hai BĐT trên ta đc điều phải CM. 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab= = 1 xyz= = = . 2 Câu 2. (hsg 9 B ếếến Tre 2022 2023 ) Cho a, b , c là các s ố th ực khơng âm. Ch ứng minh r ằng aa3622++ bbb 36 22 ++ ccc 36 22 +≥++ a() abc 2 . LLLờLờờờiiii ggiigiảgi ảảảiiii Cách 1. Với a, b , c ≥ 0