›
›
›

100 Bài tập Hình học luyện thi vào Lớp 10 - FB: Giáo viên THCS Vĩnh Phúc

doc 91 trang thaodu 3751
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "100 Bài tập Hình học luyện thi vào Lớp 10 - FB: Giáo viên THCS Vĩnh Phúc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doc100_bai_tap_hinh_hoc_luyen_thi_vao_10_fb_giao_vien_thcs_vinh.doc

Nội dung text: 100 Bài tập Hình học luyện thi vào Lớp 10 - FB: Giáo viên THCS Vĩnh Phúc

  1. 100 BÀI TẬP HÌNH HỌC LUYỆN THI VÀO 10 Baøi 1: Cho ABC coù caùc ñöôøng cao BD vaø CE.Ñöôøng thaúng DE caét ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc taïi hai ñieåm M vaø N. 1. Chöùng minh:BEDC noäi tieáp. 2. Chöùng minh: goùc DEA=ACB. 3. Chöùng minh: DE // vôùi tieáp tuyeán tai A cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc. 4. Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.Chöùng minh: OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN. 5. Chöùng toû: AM2=AE.AB. Giôïi yù: 1.C/m BEDC noäi tieáp: C/m goùc BEC=BDE=1v. Hia y ñieåm D vaø E cuøng laøm vôùi hai A ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc x vuoâng. N 2.C/m goùc DEA=ACB. E D Do BECD nt DMB+DCB=2v. M O Maø DEB+AED=2v B C AED=ACB Hình 1 3.Goïi tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) laø ñöôøng thaúng xy (Hình 1) Ta phaûi c/m xy//DE. 1 Do xy laø tieáp tuyeán,AB laø daây cung neân sñ goùc xAB= sñ cung AB. 2 1 Maø sñ ACB= sñ AB. goùc xAB=ACB maø goùc ACB=AED(cmt) 2 xAB=AED hay xy//DE. 4.C/m OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN. Do xy//DE hay xy//MN maø OAxy OAMN.OA laø ñöôøng trung tröïc cuûa MN.(Ñöôøng kính vuoâng goùc vôùi moät daây) AMN caân ôû A AO laø phaân giaùc cuûa goùc MAN. 5.C/m :AM2=AE.AB. Do AMN caân ôû A AM=AN cung AM=cung AN. goùc MBA=AMN(Goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau);goùc MAB chung MA AE MAE ∽ BAM MA2=AE.AB. AB MA Baøi 2: Cho(O) ñöôøng kính AC.treân ñoaïn OC laáy ñieåm B vaø veõ ñöôøng troøn taâm O’, ñöôøng kính BC.Goïi M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB.Töø M veõ daây cung DE vuoâng goùc vôùi AB;DC caét ñöôøng troøn taâm O’ taïi I. 1.Töù giaùc ADBE laø hình gì? 2.C/m DMBI noäi tieáp. 3.C/m B;I;C thaúng haøng vaø MI=MD. 4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’) 1
  2. Gôïi yù: 1.Do MA=MB vaø ABDE D taïi M neân ta coù DM=ME. I ADBE laø hình bình haønh. Maø BD=BE(AB laø ñöôøng A M O B O’ C trung tröïc cuûa DE) vaäy ADBE ;laø hình thoi. 2.C/m DMBI noäi tieáp. BC laø ñöôøng kính,I (O’) neân E Goùc BID=1v.Maø goùc DMB=1v(gt) Hình 2 BID+DMB=2v ñpcm. 3.C/m B;I;E thaúng haøng. Do AEBD laø hình thoi BE//AD maø ADDC (goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn) BEDC; CMDE(gt).Do goùc BIC=1v BIDC.Qua 1 ñieåm B coù hai ñöôøng thaúng BI vaø BE cuøng vuoâng goùc vôùi DC B;I;E thaúng haøng. C/m MI=MD: Do M laø trung ñieåm DE; EID vuoâng ôû I MI laø ñöôøng trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng DEI MI=MD. 4. C/m MC.DB=MI.DC. haõy chöùng minh MCI∽ DCB (goùc C chung;BDI=IMB cuøng chaén cung MI do DMBI noäi tieáp) 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’) -Ta coù O’IC Caân goùc O’IC=O’CI. MBID noäi tieáp MIB=MDB (cuøng chaén cung MB) BDE caân ôû B goùc MDB=MEB .Do MECI noäi tieáp goùc MEB=MCI (cuøng chaén cung MI) Töø ñoù suy ra goùc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v Vaäy MI O’I taïi I naèm treân ñöôøng troøn (O’) MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’). Baøi 3: Cho ABC coù goùc A=1v.Treân AC laáy ñieåm M sao cho AM<MC.Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính CM;ñöôøng thaúng BM caét (O) taïi D;AD keùo daøi caét (O) taïi S. 1. C/m BADC noäi tieáp. 2. BC caét (O) ôû E.Cmr:MR laø phaân giaùc cuûa goùc AED. 3. C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS. Gôïi yù: 2
  3. 1.C/m ABCD noäi tieáp: C/m A vaø D cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng D S 2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED. A M Haõy c/m AMEB noäi tieáp. O Goùc ABM=AEM( cuøng B E C chaén cung AM) Goùc ABM=ACD( Cuøng chaén cung MD) Hình 3 Goùc ACD=DME( Cuøng chaén cung MD) AEM=MED. 4.C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS. -Goùc ACB=ADB (Cuøng chaén cung AB) -Goùc ADB=DMS+DSM (goùc ngoaøi tam giaùc MDS) -Maø goùc DSM=DCM(Cuøng chaén cung MD) DMS=DCS(Cuøng chaén cung DS) Goùc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA. Vaäy goùc ADB=SCA ñpcm. Baøi 4: Cho ABC coù goùc A=1v.Treân caïnh AC laáy ñieåm M sao cho AM>MC.Döïng ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính MC;ñöôøng troøn naøy caét BC taïi E.Ñöôøng thaúng BM caét (O) taïi D vaø ñöôøng thaúng AD caét (O) taïi S. 1. C/m ADCB noäi tieáp. 2. C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED. 3. C/m: Goùc ASM=ACD. 4. Chöùng toû ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED. 5. C/m ba ñöôøng thaúng BA;EM;CD ñoàng quy. Gôïi yù: 1.C/m ADCB noäi tieáp: Haõy chöùng minh: A Goùc MDC=BDC=1v Töø ñoù suy ra A vad D cuøng laøm vôùi hai ñaàu S D ñoaïn thaúng BC moät goùc M vuoâng 2.C/m ME laø phaân giaùc B E C cuûa goùc AED. Do ABCD noäi tieáp Hình 4 neân 3
  4. ABD=ACD (Cuøng chaén cung AD) Do MECD noäi tieáp neân MCD=MED (Cuøng chaén cung MD) Do MC laø ñöôøng kính;E (O) Goùc MEC=1v MEB=1v ABEM noäi tieáp Goùc MEA=ABD. Goùc MEA=MED ñpcm 3.C/m goùc ASM=ACD. Ta coù A SM=SMD+SDM(Goùc ngoaøi tam giaùc SMD) Maø goùc SMD=SCD(Cuøng chaén cung SD) vaø Goùc SDM=SCM(Cuøng chaén cung SM) SMD+SDM=SCD+SCM=MCD. Vaäy Goùc A SM=ACD. 4.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED (Chöùng minh nhö caâu 2 baøi 2) 5.Chöùng minh AB;ME;CD ñoàng quy. Goïi giao ñieåm AB;CD laø K.Ta chöùng minh 3 ñieåm K;M;E thaúng haøng. Do CAAB(gt);BDDC(cmt) vaø AC caét BD ôû M M laø tröïc taâm cuûa tam giaùc KBC KM laø ñöôøng cao thöù 3 neân KMBC.Maø MEBC(cmt) neân K;M;E thaúng haøng ñpcm. Baøi 5: Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn vaø AB<AC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Keû ñöôøng cao AD vaø ñöôøng kính AA’.Goïi E:F theo thöù töï laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø B vaø C xuoáng ñöôøng kính AA’. 1. C/m AEDB noäi tieáp. 2. C/m DB.A’A=AD.A’C 3. C/m:DEAC. 4. Goïi M laø trung ñieåm BC.Chöùng minh MD=ME=MF. Gôïi yù: A N E O I Hình 5 B D M C F A’ 1/C/m AEDB noäi tieáp.(Söû duïng hai ñieåm D;E cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn AB ) 2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chöùng minh ñöôïc hai tam giaùc vuoâng DBA vaø A’CA ñoàng daïng. 3/ C/m DEAC. Do ABDE noäi tieáp neân goùc EDC=BAE(Cuøng buø vôùi goùc BDE).Maø goùc BAE=BCA’(cuøng chaén cung BA’) suy ra goùc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Maø goùc ACA’=1v neân DEAC. 4/C/m MD=ME=MF. Goïi N laø trung ñieåm AB.Neân N laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc ABDE. Do M;N laø trung ñieåm BC vaø AB MN//AC(Tính chaát ñöôøng trung bình) 4
  5. Do DEAC MNDE (Ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm moät daây ) MN laø ñöôøng trung tröïc cuûa DE ME=MD. Goïi I laø trung ñieåm AC. MI//AB(tính chaát ñöôøng trung bình) A’BC=A’AC (Cuøng chaén cung A’C). Do ADFC noäi tieáp Goùc FAC=FDC(Cuøng chaén cung FC) Goùc A’BC=FDC hay DF//BA’ Maø ABA’=1v MIDF.Ñöôøng kính MIdaây cung DF MI laø ñöôøng trung tröïc cuûa DF MD=MF. Vaäy MD=ME=MF. Baøi 6: Cho ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Goïi M laø moät ñieåm baát kyø treân cung nhoû AC.Goïi E vaø F laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc keû töø M ñeán BC vaø AC.P laø trung ñieåm AB;Q laø trung ñieåm FE. 1/C/m MFEC noäi tieáp. 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M AMP∽ FMQ. 4/C/m goùc PQM=90o. Giaûi: A M 1/C/m MFEC noäi tieáp: (Söû duïng hai ñieåm E;F cung F laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng CM ) P 2/C/m BM.EF=BA.EM C/m: EFM∽ ABM: B E C Ta coù goùc ABM=ACM (Vì Hình 6 cuøng chaén cung AM) Do MFEC noäi tieáp neân goùc ACM=FEM(Cuøng chaén cung FM). Goùc ABM=FEM.(1) Ta laïi coù goùc AMB=ACB(Cuøng chaén cung AB).Do MFEC noäi tieáp neân goùc FME=FCM(Cuøng chaén cung FE). Goùc AMB=FME.(2) Töø (1)vaø(2) suy ra : EFM∽ ABM ñpcm. 3/C/m AMP∽ FMQ. AB AM Ta coù EFM∽ ABM (theo c/m treân) maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) FE MF 2AP AM AP AM vaø goùc PAM=MFQ (suy ra töø EFM∽ ABM) 2FQ MF FQ FM Vaäy: AMP∽ FMQ. 4/C/m goùc:PQM=90o. Do goùc AMP=FMQ PMQ=AMF PQM∽ AFM goùc MQP=AFM Maø goùc AFM=1v MQP=1v(ñpcm). Baøi 7: 5
  6. Cho (O) ñöôøng kính BC,ñieåm A naèm treân cung BC.Treân tia AC laáy ñieåm D sao cho AB=AD.Döïng hình vuoâng ABED;AE caét (O) taïi ñieåm thöù hai F;Tieáp tuyeán taïi B caét ñöôøng thaúng DE taïi G. 1. C/m BGDC noäi tieáp.Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn naøy. 2. C/m BFC vuoâng caân vaø F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BCD. 3. C/m GEFB noäi tieáp. 4. Chöùng toû:C;F;G thaúng haøng vaø G cuõng naèm treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BCD.Coù nhaän xeùt gì veà I vaø F 1/C/m BGEC noäi tieáp: -Söû duïng toång hai goùc ñoái -I laø trung ñieåm GC. A 2/ C/m BFC vuoâng caân: Goùc BCF=FBA(Cuøng chaén cung BF) maø goùc FBA=45o B O C (tính chaát hình vuoâng) Goùc BCF=45o. Goùc BFC=1v(goùc noäi tieáp F I chaén nöûa ñöôøng troøn) ñpcm. D C/m F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BDC.ta C/m F caùch ñeàu caùc ñænh B;C;D Hình 7 G E Do BFC vuoâng caân neân BC=FC. Xeùt hai tam giaùc FEB vaø FED coù:E F chung; Goùc BE F=FED =45o;BE=ED(hai caïnh cuûa hình vuoâng ABED). BFE= E FD BF=FD BF=FC=FD. ñpcm. 3/C/m GE FB noäi tieáp: 1 Do BFC vuoâng caân ôû F Cung BF=FC=90o. sñgoùc GBF= Sñ cung 2 1 BF= .90o=45o.(Goùc giöõa tieáp tuyeán BG vaø daây BF) 2 Maø goùc FED=45o(tính chaát hình vuoâng) Goùc FED=GBF=45o.ta laïi coù goùc FED+FEG=2v Goùc GBF+FEG=2v GEFB noäi tieáp. 4/ C/m C;F;G thaúng haøng:Do GEFB noäi tieáp Goùc BFG=BEG maø BEG=1v BFG=1v.Do BFG vuoâng caân ôû F Goùc BFC=1v. Goùc BFG+CFB=2v G;F;C thaúng haøng. C/m G cuõng naèm treân :Do GBC=GDC=1v taâm ñöôøng troøn ngt töù giaùc BGDC laø F G naèn treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BCD. Deã daøng c/m ñöôïc I F. Baøi 8: 6
  7. Cho ABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp trong (O).Tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa ñöôøng troøn caét nhau taïi D.Töø D keû ñöôøng thaúng song song vôùi AB,ñöôøng naøy caét ñöôøng troøn ôû E vaø F,caét AC ôû I(E naèm treân cung nhoû BC). 1. C/m BDCO noäi tieáp. 2. C/m: DC2=DE.DF. 3. C/m:DOIC noäi tieáp. 4. Chöùng toû I laø trung ñieåm FE. A 1/C/m:BDCO noäi tieáp(Duøng toång hai F goùc ñoái) 2/C/m:DC2=DE.DF. O I Xeùt hai tam giaùc:DEC vaø DCF coù goùc B C D chung. 1 SñgoùcECD= sñ cung EC(Goùc giöõa E 2 tieáp tuyeán vaø moät daây) 1 Sñ goùc E FC= sñ cung EC(Goùc noäi 2 tieáp) goùc ECD=DFC. D DCE ∽ DFC ñpcm. Hình 8 3/C/m DOIC noäi tieáp: 1 Ta coù: sñgoùc BAC= sñcung BC(Goùc noäi tieáp) (1) 2 Sñ goùc BOC=sñcung BC(Goùc ôû taâm);OB=OC;DB=DC(tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau);OD chung BOD= COD Goùc BOD=COD 1 2sñ goùcDOC=sñ cung BC sñgoùc DOC= sñcungBC (2) 2 Töø (1)vaø (2) Goùc DOC=BAC. Do DF//AB goùc BAC=DIC(Ñoàng vò) Goùc DOC=DIC Hai ñieåm O vaø I cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng Dc nhöõng goùc baèng nhau ñpcm 4/Chöùng toû I laø trung ñieåm EF: Do DOIC noäi tieáp goùc OID=OCD(cuøng chaén cung OD) Maø Goùc OCD=1v(tính chaát tieáp tuyeán) Goùc OID=1v hay OIID OIFE.Baùn kính OI vuoâng goùc vôùi daây cung EF I laø trung ñieåmEF. 7
  8. Baøi 9: Cho (O),daây cung AB.Töø ñieåm M baát kyø treân cung AB(M A vaø M B),keû daây cung MN vuoâng goùc vôùi AB taïi H.Goïi MQ laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc MAN. 1. C/m 4 ñieåm A;M;H;Q cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 2. C/m:NQ.NA=NH.NM 3. C/m Mn laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ. 4. Haï ñoaïn thaúng MP vuoâng goùc vôùi BN;xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung AB ñeå MQ.AN+MP.BN coù giaùc trò lôùn nhaát. Giaûi:Coù 2 hình veõ,caùch c/m töông töï.Sau ñaây chæ C/m treân hình 9-a. Hình 9a Hình 9b M P A I H B Q O N 1/ C/m:A,Q,H,M cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.(Tuyø vaøo hình veõ ñeå söû duïng moät trong caùc phöông phaùp sau:-Cuøng laøm vôùi hai ñaøu moät goùc vuoâng. -Toång hai goùc ñoái. 2/C/m: NQ.NA=NH.NM. Xeùt hai vuoâng NQM vaø NAH ñoàng daïng. 3/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ. Coù hai caùch: Caùch 1:Goïi giao ñieåm MQ vaø AB laø I.C/m tam giaùc MIB caân ôû M Caùch 2: Goùc QMN=NAH(Cuøng phuï vôùi goùc ANH) Goùc NAH=NMB(Cuøng chaén cung NB) ñpcm 4/ xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung AB ñeå MQ.AN+MP.BN coù giaùc trò lôùn nhaát. Ta coù 2S MAN=MQ.AN 2S MBN=MP.BN. 2S MAN + 2S MBN = MQ.AN+MP.BN AB MN Ta laïi coù: 2S MAN + 2S MBN =2(S MAN + S MBN)=2SAMBN=2. =AB.MN 2 Vaäy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN Maø AB khoâng ñoåi neân tích AB.MN lôùn nhaát MN lôùn nhaát MN laø ñöôøng kính M laø ñieåm chính giöõa cung AB. Baøi 10: 8
  9. Cho (O;R) vaø (I;r) tieáp xuùc ngoaøi taïi A (R> r) .Döïng tieáp tuyeán chung ngoaøi BC (B naèm treân ñöôøng troøn taâm O vaø C naèm treân ñö ôøng troøn taâm (I).Tieáp tuyeán BC caét tieáp tuyeán taïi A cuûa hai ñöôøng troøn ôû E. 1/ Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng ôû A. 2/ O E caét AB ôû N ; IE caét AC taïi F .Chöùng minh N;E;F;A cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn . 3/ Chöùng toû : BC2= 4 Rr 4/ Tính dieän tích töù giaùc BCIO theo R;r Giaûi: 1/C/m ABC vuoâng: Do BE vaø AE laø hai tieáp tuyeán caét nhau neânAE=BE; Töông töï AE=EC AE=EB=EC= B E 1 BC. ABC vuoâng ôû C 2 N F A. 2/C/m A;E;N;F cuøng O A I naèm treân -Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau thì EO laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân Hình 10 AEB EO laø ñöôøng trung tröïc cuûa AB hay OEAB hay goùc ENA=1v Töông töï goùc EFA=2v toång hai goùc ñoái 4 ñieåm 3/C/m BC2=4Rr. Ta coù töù giaùc FANE coù 3 goùc vuoâng(Cmt) FANE laø hình vuoâng OEI vuoâng ôû E vaø EAOI(Tính chaát tieáp tuyeán).Aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng coù: AH2=OA.AI(Bình phöông ñöôøng cao baèng tích hai hình chieáu) BC BC 2 Maø AH= vaø OA=R;AI=r Rr BC2=Rr 2 4 OB IC 4/SBCIO=? Ta coù BCIO laø hình thang vuoâng SBCIO= BC 2 (r R) rR S= 2 Baøi 11: 9
  10. Treân hai caïnh goùc vuoâng xOy laáy hai ñieåm A vaø B sao cho OA=OB. Moät ñöôøng thaúng qua A caét OB taïi M(M naèm treân ñoaïn OB).Töø B haï ñöôøng vuoâng goùc vôùi AM taïi H,caét AO keùo daøi taïi I. 1. C/m OMHI noäi tieáp. 2. Tính goùc OMI. 3. Töø O veõ ñöôøng vuoâng goùc vôùi BI taïi K.C/m OK=KH 4. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm K khi M thay ñoåi treân OB. Giaûi: 1/C/m OMHI noäi tieáp: Söû duïng toång hai goùc ñoái. 2/Tính goùc OMI A Do OBAI;AHAB(gt) vaø OBAH=M Neân M laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABI IM laø ñöôøng cao thöù 3 IMAB goùc OIM=ABO(Goùc coù caïnh töông öùng vuoâng goùc) Maø vuoâng OAB coù OA=OB OAB vuoâng caân ôû O goùc O M B OBA=45o goùc OMI=45o 3/C/m OK=KH H Ta coù OHK=HOB+HBO (Goùc ngoaøi OHB) K Do AOHB noäi tieáp(Vì goùc I AOB=AHB=1v) Goùc Hình 11 HOB=HAB (Cuøng chaén cung HB) vaø OBH=OAH(Cuøng chaén Cuøng chaén cung OH) OHK=HAB+HAO=OAB=45o. OKH vuoâng caân ôû K OH=KH 4/Taäp hôïp caùc ñieåm K Do OKKB OKB=1v;OB khoâng ñoåi khi M di ñoäng K naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính OB. Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K laø ñieåm chính giöõa cung AB.Vaäy quyõ tích ñieåm K laø 1 ñöôøng troøn ñöôøng kính OB. 4 Baøi 12: Cho (O) ñöôøng kính AB vaø daây CD vuoâng goùc vôùi AB taïi F.Treân cung BC laáy ñieåm M.Noái A vôùi M caét CD taïi E. 1. C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD. 2. C/m EFBM noäi tieáp. 3. Chöùng toû:AC2=AE.AM 4. Goïi giao ñieåm CB vôùi AM laø N;MD vôùi AB laø I.C/m NI//CD 5. Chöùng minh N laø taâm ñöôøng treøon noäi tieáp CIM 10
  11. Giaûi: 1/C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD Do ABCD AB laø phaân giaùc cuûa C tam giaùc caân COD. COA=AOD. N M Caùc goùc ôû taâm AOC vaø AOD baèng nhau neân caùc cung bò chaén baèng nhau A F O B cung AC=AD caùc goùc noäi tieáp I chaén caùc cung naøy baèng nhau.Vaäy D CMA=AMD. 2/C/m EFBM noäi tieáp. Ta coù AMB=1v(Goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn) EFB=1v(Do ABEF) AMB+EFB=2v ñpcm. 3/C/m AC2=AE.AM C/m hai ACE∽ AMC (A chung;goùc ACD=AMD cuøng chaén cung AD vaø AMD=CMA cmt ACE=AMC) 4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD CBA=AMD(Goùc noäi tieáp chaén caùc cung baèng nhau) hay NMI=NBI M vaø B cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng NI nhöõng goùc baèng nhau MNIB noäi tieáp NMB+NIM=2v. maø NMB=1v(cmt) NIB=1v hay NIAB.Maø CDAB(gt) NI//CD. 5/Chöùng toû N laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ICM. Ta phaûi C/m N laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa CIM. Theo c/m ta coù MN laø phaân giaùc cuûa CMI Do MNIB noäi tieáp(cmt) NIM=NBM(cuøng chaén cung MN) Goùc MBC=MAC(cuøng chaén cung CM) Ta laïi coù CAN=1v(goùc noäi tieápACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v) ACNI noäi tieáp CAN=CIN(cuøng chaén cung CN) CIN=NIM IN laø phaân giaùc CIM Vaäy N laø taâm ñöôøng troøn Baøi 13: Cho (O) vaø ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn.Veõ caùc tieáp tuyeán AB;AC vaø caùt tuyeán ADE.Goïi H laø trung ñieåm DE. 1. C/m A;B;H;O;C cuøng naèm treân 1 ñöôøng troøn. 2. C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC. 3. Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø DE.C/m AB2=AI.AH. 4. BH caét (O) ôû K.C/m AE//CK. Hình 13 11
  12. B E H I D O A K C 1/C/m:A;B;O;C;H cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn: H laø trung ñieåm EB OHED(ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm cuûa daây ) AHO=1v. Maø OBA=OCA=1v (Tính chaát tieáp tuyeán) A;B;O;H;C cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính OA. 2/C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC. Do AB;AC laø 2 tieáp tuyeán caét nhau BAO=OAC vaø AB=AC cung AB=AC(hai daây baêøng nhau cuûa ñöôøng troøn ñkOA) maø BHA=BOA(Cuøng chaén cung AB) vaø COA=CHA(cuøng chaén cung AC) maø cung AB=AC COA=BOH CHA=AHB ñpcm. 3/Xeùt hai tam giaùc ABH vaø AIB (coù A chung vaø CBA=BHA hai goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau) ABH∽ AIB ñpcm. 4/C/m AE//CK. 1 Do goùc BHA=BCA(cuøng chaén cung AB) vaø sñ BKC= Sñ cungBC(goùc noäi tieáp) 2 1 Sñ BCA= sñ cung BC(goùc giöõa tt vaø 1 daây) 2 BHA=BKC CK//AB Baøi 14: Cho (O) ñöôøng kính AB=2R;xy laø tieáp tuyeán vôùi (O) taïi B. CD laø 1 ñöôøng kính baát kyø.Goïi giao ñieåm cuûa AC;AD vôùi xy theo thöù töï laø M;N. 1. Cmr:MCDN noäi tieáp. 2. Chöùng toû:AC.AM=AD.AN 3. Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc MCDN vaø H laø trung ñieåm MN.Cmr:AOIH laø hình bình haønh. 4. Khi ñöôøng kính CD quay xung quanh ñieåm O thì I di ñoäng treân ñöôøng naøo? M C 1/ C/m MCDN noäi tieáp: AOC caân ôû O OCA=CAO; goùc CAO=ANB(cuøng phuï vôùi goùc 12 AMB) goùc ACD=ANM. Maø goùc ACD+DCM=2v DCM+DNM=2v DCMB noäi tieáp. 2/C/m: AC.AM=AD.AN Haõy c/m ACD∽ ANM. 3/C/m AOIH laø hình bình haønh. Xaùc ñònh I:I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc MCDN I laø giao ñieåm döôøng trung tröïc cuûa CD vaø
  13. A O B K D H I N Hình 14 MN IHMN laø IOCD.Do ABMN;IHMN AO//IH. Vaäy caùch döïng I:Töø O döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi CD.Töø trung ñieåm H cuûa MN döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi MN.Hai ñöôøng naøy caùch nhau ôû I. Do H laø trung ñieåm MN Ahlaø trung tuyeán cuûa vuoâng AMN ANM=NAH.Maø ANM=BAM=ACD(cmt) DAH=ACD. Goïi K laø giao ñieåm AH vaø DO do ADC+ACD=1v DAK+ADK=1v hay AKD vuoâng ôû K AHCD maø OICD OI//AH vaäy AHIO laø hình bình haønh. 4/Quyõ tích ñieåm I: Do AOIH laø hình bình haønh IH=AO=R khoâng ñoåi CD quay xung quanh O thì I naèm treân ñöôøng thaúng // vôùi xy vaø caùch xy moät khoaûng baèng R Baøi 15: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Goïi D laø 1 ñieåm treân cung nhoû BC.Keû DE;DF;DG laàn löôït vuoâng goùc vôùi caùc caïnh AB;BC;AC.Goïi H laø hình chieáu cuûa D leân tieáp tuyeán Ax cuûa (O). 1. C/m AHED noäi tieáp 2. Goïi giao ñieåm cuûa AH vôùi HB vaø vôùi (O) laø P vaø Q;ED caét (O) taïi M.C/m HA.DP=PA.DE 3. C/m:QM=AB 4. C/m DE.DG=DF.DH 5. C/m:E;F;G thaúng haøng.(ñöôøng thaúng Sim sôn) A 1/C/m AHED noäi tieáp(Söû duïng hai H ñieåm H;E cuøng laøm haønh vôùi hai Q ñaàu ñoaïn thaúng AD ) 2/C/m HA.DP=PA.DE 13 Xeùt hai tam giaùc vuoâng ñoàng daïng: HAP vaø EPD (Coù HPA=EPD ññ) 3/C/m QM=AB: Do HPA∽ EDP HAB=HDM 1 Maø sñHAB= sñ cung AB; 2 1 SñHDM= sñ cung QM cung 2 AM=QM AB=QM
  14. P O G B F C E M D Hình 15 4/C/m: DE.DG=DF.DH . Xeùt hai tam giaùc DEH vaø DFG coù: Do EHAD noäi tieáp HAE=HDE(cuøng chaén cung HE)(1) Vaø EHD=EAD(cuøng chaén cung ED)(2) Vì F=G=90o DFGC noäi tieáp FDG=FCG(cuøng chaén cung FG)(3) FGD=FCD(cuøng chaén cung FD)(4) Nhöng FCG=BCA=HAB(5).Töø (1)(3)(5) EDH=FDG(6). Töø (2);(4) vaø BCD=BAD(cuøng chaén cungBD) EHD=FGD(7) ED DH Töø (6)vaø (7) EDH∽ FDG ñpcm. DF DG 5/C/m: E;F;G thaúng haøng: Ta coù BFE=BDE(cmt)vaø GFC=CDG(cmt) Do ABCD noäi tieáp BAC+BMC=2v;do GDEA noäi tieáp EDG+EAG=2v. EDG=BDC maø EDG=EDB+BDG vaø BCD=BDG+CDG EDB=CDG GFC=BEF E;F;G thaúng haøng. Baøi 16: Cho tam giaùc ABC coù A=1v;AB<AC.Goïi I laø trung ñieåm BC;qua I keû IKBC(K naèm treân BC).Treân tia ñoái cuûa tia AC laáy ñieåm M sao cho MA=AK. 1. Chöùng minh:ABIK noäi tieáp ñöôïc trong ñöôøng troøn taâm O. 2. C/m goùc BMC=2ACB 3. Chöùng toû BC2=2AC.KC 4. AI keùo daøi caét ñöôøng thaúng BM taïi N.Chöùng minh AC=BN 5. C/m: NMIC noäi tieáp. 1/C/m ABIK noäi tieáp (töï C/m) N 2/C/m BMC=2ACB do ABMK vaø MA=AK(gt) BMK 14 caân ôû B BMA=AKB Maø AKB=KBC+KCB (Goùc ngoaøi tam giac KBC). Do I laø trung ñieåm BC vaø KIBC(gt) KBC caân ôû K
  15. M A K B I C Hình 16 KBC=KCB Vaäy BMC=2ACB 3/C/m BC2=2AC.KC Xeùt 2 vuoâng ACB vaø ICK coù C chung ACB∽ ICK AC CB BC AC BC IC= ñpcm IC CK 2 BC CK 2 4/C/m AC=BN Do AIB=IAC+ICA(goùc ngoaøi IAC) vaø IAC Caân ôû I IAC=ICA AIB=2IAC(1). Ta laïi coù BKM=BMK vaø BKM=AIB(cuøng chaén cung AB-töù giaùc AKIB noäi tieáp) AIB=BMK(2) maø BMK=MNA+MAN(goùc ngoaøi tam giaùc MNA) Do MNA caân ôû M(gt) MAN=MNA BMK=2MNA(3) Töø (1);(2);(3) IAC=MNA vaø MAN=IAC(ñ ñ) 5/C/m NMIC noäi tieáp: do MNA=ACI hay MNI=MCI hai ñieåm N;C cuøng laøm thaønh vôùi hai ñaàu ) Baøi 17: Cho (O) ñöôøng kính AB coá ñònh,ñieåm C di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn.Tia phaân giaùc cuûa ACB caét (O) tai M.Goïi H;K laø hình chieáu cuûa M leân AC vaø AB. 1. C/m:MOBK noäi tieáp. 2. Töù giaùc CKMH laø hình vuoâng. 3. C/m H;O;K thaúng haøng. 4. Goïi giao ñieåm HKvaø CM laø I.Khi C di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn thì I chaïy treân ñöôøng naøo? C 1/C/m:BOMK noäi tieáp: H Ta coù BCA=1v(goùc noäi tieáp A O B chaén nöûa ñöôøng troøn) I CM laø tia phaân giaùc cuûa goùc o BCA ACM=MCB=45 . 15 cungAM=MB=90o. daây AM=MB coù O laø trung ñieåm AB OMAB hay goùcBOM=BKM=1v BOMK noäi tieáp.
  16. P Q K M Hình 17 2/C/m CHMK laø hình vuoâng: Do vuoâng HCM coù 1 goùc baèng 45o neân CHM vuoâng caân ôû H HC=HM, töông töï CK=MK Do C=H=K=1v CHMK laø hình chöõ nhaät coù hai caïnh keà baèng nhau CHMK laø hình vuoâng. 3/C/m H,O,K thaúng haøng: Goïi I laø giao ñieåm HK vaø MC;do MHCK laø hình vuoâng HKMC taïi trung ñieåm I cuûa MC.Do I laø trung ñieåm MC OIMC(ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm moät daây ) Vaäy HIMC;OIMC vaø KIMC H;O;I thaúng haøng. 4/Do goùc OIM=1v;OM coá ñònh I naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính OM. -Giôùi haïn:Khi CB thì IQ;Khi CA thì IP.Vaäy khi C di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn (O) thì I chaïy treân cung troøn PHQ cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính OM. Baøi 18: Cho hình chöõ nhaät ABCD coù chieàu daøi AB=2a,chieàu roäng BC=a.Keû tia phaân giaùc cuûa goùc ACD,töø A haï AH vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc noùi treân. 1/Chöùng minhAHDC nt trong ñöôøng troøn taâm O maø ta phaûi ñònh roõ taâm vaø baùn kính theo a. 2/HB caét AD taïi I vaø caét AC taïi M;HC caét DB taïi N.Chöùng toû HB=HC. Vaø AB.AC=BH.BI 3/Chöùng toû MN song song vôùi tieáp tuyeán taïi H cuûa (O) 4/Töø D keû ñöôøng thaúng song song vôùi BH;ñöôøng naøy caét HC ôû K vaø caét (O) ôû J.Chöùng minh HOKD nt. x A B M H I O J N K D C Xeùt hai HCA ABI coù A=H=1v vaø ABH= ACH(cuøng chaén cung AH) HC AC HCA∽ ABI maø HB=HC ñpcm AB BI 3/Goïi tieáp tuyeán taïi H cuûa (O) laø Hx. DoAH=HD;AO=HO=DO AHO= HOD AOH=HOD maø AOD caân ôû O OHAD vaø OHHx(tính chaát tieáp tuyeán) neân AD//Hx(1) 16
  17. Do cung AH=HD ABH=ACH=HBD HBD=ACH hay MBN=MCN hay 2 ñieåm B;C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn MN nhöõng goùc baèng nhau MNCB noäi tieáp NMC=NBC(cuøng chaén cung NC) maø DBC=DAC (cuøng chaén cung DC) NMC=DAC MN//DA(2).Töø (1)vaø (2) MN//Hx. 4/C/m HOKD noäi tieáp: AD Do DJ//BH HBD=BDJ (so le) cung BJ=HD=AH= maø cung AD=BC cung BJ=JC H;O;J 2 thaúng haøng töùc HJ laø ñöôøng kính HDJ= 1v .Goùc HJD=ACH(cuøng chaén 2 cung baèng nhau) OJK=OCK CJ cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn OK nhöõng goùc baèng nhau OKCJ noäi tieáp KOC=KJC (cuøng chaén cung KC);KJC=DAC(cuøng chaén cung DC) KOC=DAC OK//AD maø ADHJ OKHO HDKC noäi tieáp. Baøi 19: Cho nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB,baùn kính OCAB.Goïi M laø 1 ñieåm treân cung BC.Keû ñöôøng cao CH cuûa tam giaùc ACM. 1. Chöùng minh AOHC noäi tieáp. 2. Chöùng toû CHM vuoâng caân vaø OH laø phaân giaùc cuûa goùc COM. 3. Goïi giao ñieåm cuûa OH vôùi BC laø I.MI caét (O) taïi D.Cmr:CDBM laø hình thang caân. 4. BM caét OH taïi N.Chöùng minh BNI vaø AMC ñoàng daïng,töø ñoù suy ra: BN.MC=IN.MA. C N 1/C/m AOHC noäi tieáp: D (hoïc sinh töï chöùng minh) I M 2/ C/m CHM vuoâng caân: H Do OCAB traïi trung B A O ñieåm O Cung Hình 19 AC=CB=90o. 1 Sñ CMA= sñcung AC=45o. CHM vuoâng caân ôû M.Ta laïi coù: 2 C/m OH laø phaân giaùc cuûa goùc COM:Do CHM vuoâng caân ôû H CH=HM; CO=OB(baùn kính);OH chung CHO= HOM COH=HOM ñpcm. 3/C/m:CDBM laø thang caân: Do OCM caân ôû O coù OH laø phaân giaùc OH laø ñöôøng trung tröïc cuûa CM maø I OH ICM caân ôû I ICM=IMC maø ICM=MDB(cuøng chaén cung BM) IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB caân ôû I IDB=IBD vaø MBC=MDC(cuøng chaén cungCM) neân CDB=MBD CDBM laø thang caân. 4/ C/m BNI vaø AMC ñoàng daïng: Do OH laø ñöôøng trung tröïc cuûa CM vaø N OH CN=NM. Do AMB=1v HMB=1v hay NMAM maø CHAM CH//NM,coù goùc CMH=45o NHM=45o MNH vuoâng caân ôû M vaäy CHMN laø hình vuoâng INB=CMA=45o. Do CMBD laø thang caân CD=BM cungCD=BM maø cung AC=CB cungAD=CM 17
  18. vaø CAM=CBM(cuøng chaén cung CM) INB= CMA ñpcm Baøi 20: Cho ñeàu ABC noäi tieáp trong (O;R).Treân cnaïh AB vaø AC laáy hai ñieåm M;N sao cho BM=AN. 1. Chöùng toû OMN caân. 2. C/m :OMAN noäi tieáp. 3. BO keùo daøi caét AC taïi D vaø caét (O) ôû E.C/m BC2+DC2=3R2. 4. Ñöôøng thaúng CE vaø AB caét nhau ôû F.Tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) caét FC taïi I;AO keùo daøi caét BC taïi J.C/m BI ñi qua trung ñieåm cuûa AJ. F 1/C/m OMN caân: Do ABC laø tam giaùc ñeàu noäi tieáp trong (O) AO vaø BO laø phaân giaùc cuûa ABC OAN=OBM=30o; OA=OB=R vaø BM=AN(gt) OMB= ONA OM=ON OMN caân ôû O. 2/C/m OMAN noäi tieáp: A I do OBM= ONA(cmt) BMO=ANO maø BMO+AMO=2v ANO+AMO=2v. E AMON noäi tieáp. M 3/C/m BC2+DC2=3R2. D K Do BO laø phaân giaùc cuûa ñeàu BOAC hay N BOD vuoâng ôû D.Aùp duïng heä thöùc Pitago ta B O J C coù: 2 2 2 2 2 BC =DB +CD =(BO+OD) +CD = =BO2+2.OB.OD+OD2+CD2.(1) Hình 20 Maø OB=R. AOC caân ôû O coù OAC=30o. R AOC=120o AOE=60o AOE laø tam giaùc ñeàu coù ADOE OD=ED= 2 Aùp duïng Pitago ta coù:OD2=OC2-CD2=R2-CD2.(2) R Töø (1)vaø (2) BC2=R2+2.R. +CD2-CD2=3R2. 2 4/Goïi K laø giao ñieåm cuûa BI vôùi AJ. Ta coù BCE=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)coù B=60o BFC=30o. 1 BC= BF maø AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) vaø AJBC AI//BC coù A laø trung ñieåm BF I laø 2 trung ñieåm CF. Hay FI=IC. AK BK Do AK//FI.Aùp duïng heä quaû Taleùt trong BFI coù: AK KJ EI BI KJ BK FI CI Do KJ//CI.Aùp duïng heä quaû Taleùt trong BIC coù: CJ BI Maø FI=CI AK=KJ (ñpcm) Baøi 21: Cho ABC (A=1v)noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm (O).Goïi M laø trung ñieåm caïnh AC.Ñöôøng troøn taâm I ñöôøng kính MC caét caïnh BC ôû N vaø caét (O) taïi D. 18
  19. 1. C/m ABNM noäi tieáp vaø CN.AB=AC.MN. 2. Chöùng toû B,M,D thaúng haøng vaø OM laø tieáp tuyeán cuûa (I). 3. Tia IO caét ñöôøng thaúng AB taïi E.C/m BMOE laø hình bình haønh. 4. C/m NM laø phaân giaùc cuûa goùc AND. 1/ C/m ABNM noäi tieáp: A (duøng toång hai goùc ñoái) M D C/m CN.AB=AC.MN I Chöùng minh hai tam giaùc vuoâng ABC vaø NMC ñoàng daïng. B O N C 2/ C/m B;M;D thaúng haøng. Ta coù MDC=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa E ñöôøng troøn taâm I) hay MD  DC. BDC=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa Hình 21 ñöôøng troøn taâm O) Hay BDDC. Qua ñieåm D coù hai ñöôøng thaúng BD vaø DM cuøng vuoâng goùc vôùi DC B;M;D thaúng haøng. C/m OM laø tieáp tuyeán cuûa (I):Ta coù MO laø ñöôøng trung bình cuûa ABC (vì M;O laø trung ñieåm cuûa AC;BC-gt) MO//AB maø ABAC(gt) MOAC hay MOIC;M (I) MO laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taâm I. 3/C/m BMOE laø hình bình haønh: MO//AB hay MO//EB.Maø I laø trung ñieåm MC;O laø trung ñieåm BC OI laø ñöôøng trung bình cuûa MBC OI//BM hay OE//BM BMOE laø hình bình haønh. 4/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc AND: Do ABNM noäi tieáp MBA=MNA(cuøng chaén cung AM) MBA=ACD(cuøng chaén cung AD) Do MNCD noäi tieáp ACD=MND(cuøng chaén cung MD) ANM=MND ñpcm. Baøi 22: Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng a.Goïi I laø ñieåm baát kyø treân ñöôøng cheùo AC.Qua I keû caùc ñöôøng thaúng song song vôùi AB;BC,caùc ñöôøng naøy caét AB;BC;CD;DA laàn löôït ôû P;Q;N;M. 1. C/m INCQ laø hình vuoâng. 2. Chöùng toû NQ//DB. 3. BI keùo daøi caét MN taïi E;MP caét AC taïi F.C/m MFIN noäi tieáp ñöôïc trong ñöôøng troøn.Xaùc ñònh taâm. 4. Chöùng toû MPQN noäi tieáp.Tính dieän tích cuûa noù theo a. 5. C/m MFIE noäi tieáp. 19
  20. 1/C/m INCQ laø hình vuoâng: A M D MI//AP//BN(gt) MI=AP=BN NC=IQ=PD NIC vuoâng ôû N coù F ICN=45o(Tính chaát ñöôøng cheùo hình E vuoâng) NIC vuoâng caân ôû N P I N INCQ laø hình vuoâng. 2/C/m:NQ//DB: B Q C Do ABCD laø hình vuoâng DBAC Hình 22 Do IQCN laø hình vuoâng NQIC Hay NQAC NQ//DB. 3/C/m MFIN noäi tieáp: Do MPAI(tính chaát hình vuoâng) MFI=1v;MIN=1v(gt) hai ñieåm F;I cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn MN MFIN noäi tieáp. Taâm cuûa ñöôøng troøn naøy laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo hình chöõ nhaät MFIN. 4/C/m MPQN noäi tieáp: Do NQ//PM MNQP laø hình thang coù PN=MQ MNQP laø thang caân.Deã daøng C/m thang caân noäi tieáp. 1 1 1 1 TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= SAMIP+ SMDNI+ SNIQC+ SPIQB 2 2 2 2 1 1 2 = SABCD= a . 2 2 5/C/m MFIE noäi tieáp: Ta coù caùc tam giaùc vuoâng BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v. PIB=IMN maø PBI=EIN(ñ ñ) IMN=EIN Ta laïi coù IMN+ENI=1v EIN+ENI=1v IEN=1v maø MFI=1v IEM+MFI=2v FMEI noäi tieáp Baøi 23: Cho hình vuoâng ABCD,N laø trung ñieåm DC;BN caét AC taïi F,Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính BN.(O) caét AC taïi E.BE keùo daøi caét AD ôû M;MN caét (O) taïi I. 1. C/m MDNE noäi tieáp. 2. Chöùng toû BEN vuoâng caân. 3. C/m MF ñi qua tröïc taâm H cuûa BMN. 4. C/m BI=BC vaø IE F vuoâng. 5. C/m FIE laø tam giaùc vuoâng. 1/C/m MDNE noäi tieáp. Ta coù NEB=1v(goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn) Q B MEN=1v;MDN=1v(t/c hình A vuoâng) MEN+MDN=2v ñpcm E M 2/C/m BEN vuoâng caân: NEB vuoâng(cmt) H Do CBNE noäi tieáp I ENB=BCE(cuøng chaén cung BE) maø BCE=45o(t/c 20 hv) ENB=45o ñpcm. 3/C/m MF ñi qua tröïc taâm H cuûa BMN.
  21. D N C Hình 23 Ta coù BIN=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn) BIMN. Maø ENBM(cmt) BI vaø EN laø hai ñöôøng cao cuûa BMN Giao ñieåm cuûa EN vaø BI laø tröïc taâm H.Ta phaûi C/m M;H;F thaúng haøng. Do H laø tröïc taâm BMN MHBN(1) MAF=45o(t/c hv);MBF=45o(cmt) MAF=MBF=45o MABF noäi tieáp. MAB+MFB=2v maø MAB=1v(gt) MFB=1v hay MFBM(2) Töø (1)vaø (2) M;H;F thaúng haøng. 4/C/m BI=BC: Xeùt 2 vuoâng BCN vaø BIN coù caïnh huyeàn BN chung;NBC=NEC (cuøng chaén cung NC).Do MEN=MFN=1v MEFN noäi tieáp NEC=FMN(cuøng chaén cung FN);FMN=IBN(cuøng phuï vôùi goùc INB) IBN=NBC BCN= BIN. BC=BI *C/m IEF vuoâng:Ta coù EIB=ECB(cuøng chaén cung EB) vaø ECB=45o EIB=45o Do HIN+HFN=2v IHFN noäi tieáp HIF=HNF (cuøng chaén cung HF);maø HNF=45o(do EBN vuoâng caân) HIF=45o . Töøvaø  EIF=1v ñpcm 5/ * C/mBM laø ñöôøng trung tröïc cuûa QH:Do AI=BC=AB(gt vaø cmt) ABI caân ôû B.Hai vuoâng ABM vaø BIM coù caïnh huyeàn BM chung;AB=BI ABM= BIM ABM=MBI; ABI caân ôû B coù BM laø phaân giaùc BM laø ñöôøng trung tröïc cuûa QH. *C/mMQBN laø thang caân: Töù giaùc AMEQ coù A+QEN=2v(do ENBM theo cmt) AMEQ noäi tieáp MAE=MQE(cuøng chaén cung ME) maø MAE=45o vaø ENB=45o(cmt) MQN=BNQ=45o MQ//BN.ta laïi coù MBI=ENI(cuøng chaén cungEN) vaø MBI=ABM vaøIBN=NBC(cmt) QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o) MNB=MNE+ENB=MBI+45o MNB=QBN MQBN laø thang caân. Baøi 24: Cho ABC coù 3 goùc nhoïn(AB<AC).Veõ ñöôøng cao AH.Töø H keû HK;HM laàn löôït vuoâng goùc vôùi AB;AC.Goïi J laø giao ñieåm cuûa AH vaø MK. 1. C/m AMHK noäi tieáp. 2. C/m JA.JH=JK.JM 3. Töø C keû tia Cxvôùi AC vaø Cx caét AH keùo daøi ôû D.Veõ HI;HN laàn löôït vuoâng goùc vôùi DB vaø DC. Cmr : HKM=HCN 4. C/m M;N;I;K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. A 1/C/m AMHK noäi tieáp: Duøng toång hai goùc ñoái) 2/C/m: JA.JH=JK.JM J M Xeùt hai tam giaùc:JAM K vaø JHK coù: AJM=KJH (ññ).Do AKHM nt B H C HAM=HKM( cuøng chaén cung HM) JAM∽ JKH 21 ñpcm 3/C/m HKM=HCN vì AKHM noäi tieáp HKM=HAM(cuøng chaén cung HM)
  22. I N D Hình 24 Maø HAM=MHC (cuøng phuï vôùi goùc ACH). Do HMC=MCN=CNH=1v(gt) MCNH laø hình chöõ nhaät MH//CN hay MHC=HCN HKM=HCN. 4/C/m: M;N;I;K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. Do BKHI noäi tieáp BKI=BHI(cuøng chaén cung BI);BHI=IDH(cuøng phuï vôùi goùc IBH) Do IHND noäi tieáp IDH=INH(cuøng chaén cung IH) BKI=HNI Do AKHM noäi tieáp AKM=AHM(cuøng chaén cung AM);AHM=MCH(cuøng phuï vôùi HAM) Do HMCN noäi tieáp MCH=MNH(cuøng chaén cung MH) AKM=MNH maø BKI+AKM+MKI=2v HNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v M;N;I;K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. Baøi 25: Cho ABC (A=1v),ñöôøng cao AH.Ñöôøng troøn taâm H,baùn kính HA caét ñöôøng thaúng AB taïi D vaø caét AC taïi E;Trung tuyeán AM cuûa ABC caét DE taïi I. 1. Chöùng minh D;H;E thaúng haøng. 2. C/m BDCE noäi tieáp.Xaùc ñònh taâm O cuûa ñöôøng troøn naøy. 3. C?m AMDE. 4. C/m AHOM laø hình bình haønh. 1/C/m D;H;E thaúng haøng: A Do DAE=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn taâm E H) DE laø ñöôøng kính I D;E;H thaúng haøng. 2/C/m BDCE noäi tieáp: 22 HAD caân ôû H(vì HD=HA=baùn kính cuûa ñt taâm H) HAD=HAD maø HAD=HCA(Cuøng phuï vôùi HAB)
  23. B H M C D O Hình 25 BDE=BCE Hai ñieåm D;C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BE Xaùc ñònh taâm O:O laø giao ñieåm hai ñöôøng trung tröïc cuûa BE vaø BC. 3/C/m:AMDE: BC Do M laø trung ñieåm BC AM=MC=MB= MAC=MCA;maø 2 ABE=ACB(cmt) MAC=ADE. Ta laïi coù:ADE+AED=1v(vì A=1v) CAM+AED=1v AIE=1v vaäy AMED. 4/C/m AHOM laø hình bình haønh: Do O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BECD OM laø ñöôøng trung tröïc cuûa BC OMBC OM//AH. Do H laø trung ñieåm DE(DE laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn taâm H) OHDE maø AMDE AM//OH AHOM laø hình bình haønh. Baøi 26: Cho ABC coù 2 goùc nhoïn,ñöôøng cao AH.Goïi K laø ñieåm doái xöùng cuûa H qua AB;I laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua AC.E;F laø giao ñieåm cuûa KI vôùi AB vaø AC. 1. Chöùng minh AICH noäi tieáp. 2. C/m AI=AK 3. C/m caùc ñieåm: A;E;H;C;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 4. C/m CE;BF laø caùc ñöôøng cao cuûa ABC. 5. Chöùng toû giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa HFE chính laø tröïc taâm cuûa ABC. I 1/C/m AICH noäi tieáp: A Do I ñx vôùi H qua F E AC AC laø trung tröïc cuûa HI AI=AH vaø M HC=IC;AC chung 23 AHC= AIC(ccc) AHC=AIC maø AHC=1v(gt) AIC=1v AIC+AHC=2v AICH noäi tieáp.
  24. K B H C Hình 26 2/C/m AI=AK: Theo chöùng minh treân ta coù:AI=AH.Do K ñx vôùi H qua AB neân AB laø ñöôøng trung tröïc cuûa KH AH=AK AI=AK(=AH) 3/C/m A;E;H;C;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn: DoE ABvaø ABlaø trung tröïc cuûa KH EK=EH;EA chung;AH=AK AKE= AHE AKE=EHA maø AKI caân ôû A(theo c/m treân AK=AI) AKI=AIK. EHA=AIE hai ñieåm I vaø K cung laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn AE A;E;H;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn kyù hieäu laø (C) Theo cmt thì A;I;CV;H cuøng naèm treân ñöôøng troøn(C’) (C) vaø (C’) truøng nhau vì coù chung 3 ñieåm A;H;I khoâng thaúng haøng) 4/C/m:CE;BF laø ñöôøng cao cuûa ABC. Do AEHCI cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn coù AIC=1v AC laø ñöôøng kính. AEC=1v ( goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)Hay CE laø ñöôøng cao cuûa ABC.Chöùng minh töông töï ta coù BF laø ñöôøng cao 5/Goïi M laø giao ñieåmAH vaø EC.Ta C/m M laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa HFE. EBHM nt MHE=MBE(cuøng chaén cungEM) EHM=MHF BEFC nt FBE=ECF (Cuøng chaén cung EF) HA laø pg HMFC nt FCM=FMH(cuøng chaén cung MF) C/m töông töï coù EC laø phaân giaùc cuûa FHE ñpcm. Baøi 27: Cho ABC(AB=AC) noäi tieáp trong (O).Goïi M laø moät ñieåm baát kyø treân cung nhoû AC.Treân tia BM laáy MK=MC vaø treân tia BA laáy AD=AC. 1. C/m: BAC=2BKC 2. C/m BCKD noäi tieáp.,xaùc ñònh taâm cuûa ñöôøng troøn naøy. 3. Goïi giao ñieåm cuûa DC vôùi (O) laø I.C/m B;O;I thaúng haøng. 4. C/m DI=BI. D 1/Chöùng toû:BAC=BMC (cuøng chaén cung BC) BMC=MKC+MCK(goùc ngoaøi MKC) Maø A MK=MC(gt) MKC caân ôû M MKC=MCK 24 BMC=2BKC. BAC=2BKC. 2/C/mBCKD noäi tieáp: Ta coù BAC=ADC+ACD(goùc ngoaøi ADC) maø
  25. I K M B C Hình 27 AD=AC(gt) ADC caân ôû A ADC=ACD BAC=2BDC Nhöng ta laïi coù:BAC=2BKC(cmt) BDC=BKC BCKD noäi tieáp. 1 Xaùc ñònh taâm:Do AB=AC=AD A laø trung ñieåm BD trung tuyeán CA= BD BCD vuoâng ôû 2 C .Do BCKD noäi tieáp DKB=DCB(cuøng chaén cungBD).Maø BCD=1v BKD=1v BKD vuoâng ôû K 1 coù trung tuyeán KA KA= BD AD=AB=AC=AK A laø taâm ñöôøng troøn 2 3/C/m B;O;I thaúng haøng:Do goùc BCI=1v,maø B;C;I (O) BI laø ñöôøng kính B;O;I thaúng haøng. 4/C/mBI=DI: Caùch 1: Ta coù BAI=1v(goùc noäi tieáp chaén nöû ñöôøng troøn)hay AIDB,coù A laø trung ñieåm AI laø ñöôøng trung tröïc cuûa BD IBD caân ôû I ID=BI Caùch 2: ACI=ABI(cuøng chaén cung AI) ADC caân ôû D ACI=ADI BDC=ACD IDB=IBD BID caân ôû I ñpcm. Baøi 28: Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp trong(O).Goïi I laø ñieåm chính giöõa cung AB(Cung AB khoâng chöùa ñieåm C;D).IC vaø ID caét AB ôû M;N. 1. C/m D;M;N;C cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 2. C/m NA.NB=NI.NC 3. DI keùo daøi caét ñöôøng thaúng BC ôû F;ñöôøng thaúng IC caét ñöôøng thaúng AD ôû E.C/m:EF//AB. 4. C/m :IA2=IM.ID. E F 1/C/m D;M;N;C cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. I B 1 Sñ IMB= sñcung(IB+AD) 2 1 25 Sñ NCD= Sñ cungDI 2 Maø cung IB=IA IMB=NCD IMB=NCD. Ta laïi coù IMN+DMN=2v NCD+DMN=2v MNCD noäitieáp. 2/Xeùt 2 NBC vaø NAI coù:
  26. A M N  O D C Hình 28 IAB=ICB(cuøng chaén cung BI) INA=BNC(ñ ñ) NAI∽ NCB ñpcm. 3/C/m EF//AB: Do IDA=ICB(cuøng chaén hai cung hai cung baèng nhau IA=IB) hay EDF=ECF hai ñieåm D vaø C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn EF EDCF noäi tieáp EFD=ECD(cuøng chaén cung ED),maø ECD=IMN(cmt) EFD=FMN EF//AB. 4/C/m: IA2=IM.ID. 2 AIM∽ DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai goùc nt chaén hai cung baèng nhau) ñpcm. Baøi 29: Cho hình vuoâng ABCD,treân caïnh BC laáy ñieåm E.Döïng tia Ax vuoâng goùc vôùi AE, Ax caét caïnh CD keùo daøi taïi F.Keû trung tuyeán AI cuûa AEF,AI keùo daøi caét CD taïi K.qua E döïng ñöôøng thaúng song song vôùi AB,caét AI taïi G. 1. C/m AECF noäi tieáp. 2. C/m: AF2=KF.CF 3. C/m:EGFK laø hình thoi. 4. Cmr:khi E di ñoäng treân BC thì EK=BE+DK vaø chu vi CKE coù giaù trò khoâng ñoåi. 5. Goïi giao ñieåm cuûa EF vôùi AD laø J.C/m:GJJK. Giaûi: 1/C/m AECF noäi tieáp: F FAE=DCE=1v(gt) AECF noäi tieáp 2/C/m: AF2=KF.CF. Do AECF noäi tieáp DCA=FEA(cung chaén cung 26 AF).Maø DCA=45o (Tính chaát hình vuoâng) FEA=45o FAE vuoâng caân ôû A coù FI=IE AIFE FAK=45o. FKA=ACF=45o.Vaø KFA chung FKA∽ FCA FA FK ñpcm. FC FA
  27. A J D G I K B C E Hình 29 3/C/m: EGFK laø hình thoi. -Do AK laø ñöôøng trung tröïc cuûa FE GFE caân ôû G GFE=GEF.Maø GE//CF (cuøng vuoâng goùc vôùi AD) GEF=EFK(so le) GFI=IFK FI laø ñöôøng trung tröïc cuûa GK GI=IK,maø I F=IE GFKE laø hình thoi. 4/C/m EK=BE+DK: vuoâng ADF vaø ABE coù AD=AB;AF=AE.( AE F vuoâng caân) ADF= ABE BE=DF naø FD+DK=FK VAØ FK=KE(t/v hình thoi) KE=BE+DK C/m chu vi tam giaùc CKE khoâng ñoåi:Goïi chu vi laø C= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+(BE+EC)=2BC khoâng ñoåi. 5/C/m IJJK: Do JIK=JDK=1v IJDK noäi tieáp JIK=IDK(cuøng chaén cung IK) IDK=45o(T/c hình vuoâng) JIK=45o JIK vuoâng vaân ôû I JI=IK,maø IK=GI 1 JI=IK=GI= GK GJK vuoâng ôû J hay GJJK. 2 Baøi 30: Cho ABC.Goïi H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc.Döïng hình bình haønh BHCD. Goïi I laø giao ñieåm cuûa HD vaø BC. 1. C/m:ABDC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O;neâu caùh döïng taâm O. 2. So saùnh BAH vaø OAC. 3. CH caét OD taïi E.C/m AB.AE=AH.AC 4.Goïi giao ñieåm cuûa AI vaø OH laø G.C/m G laø troïng taâm cuûa ABC. A 1/c/m:ABDC noäi tieáp: Goïi caùc ñöôøng cao cuûa ABC laø AN;BM;CN. M Q Do H G AQH+HMA=2v AQHM 27 noäi tieáp BAC+QHM=2v  maø QHM=BHC(ñ ñ) O BHC=CDB(2 goùc ñoái cuûa hình bình haønh) BAC+CDB=2V ABDC noäi tieáp. Caùch xaùc ñònh taâm O:do CD//BH(t/c hình bình haønh)
  28. B N I C D Hình 30 Vaø BHAC CDAC hay ACD=1v,maø A;D;Cè naèm treân ñöôøng troøn AD laø ñöôøng kính.Vaäy O laø trung ñieåm AD. 2/So saùnh BAH vaø OAC: BAN=QCB(cuøng phuï vôùi ABC) maø CH//BD( do BHCD laø hình bình haønh) QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cuøng chaén cung CD) BAH=OAC. 3/c/m: AB.AE=AH.AC: Xeùt hai tam giaùc ABH vaø ACE coù EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cuøng phuï vôùi BAC) ABH∽ ACE ñpcm 4/C/m G laø troïng taâm cuûa ABC.ta phaûi cm G laø giao ñieåm ba ñöôøng trung tuyeán hay 1 GJ= AI. 3 Do IB=IC OIBC maø AHBC OI//AH.Theo ñònh lyù Ta Leùt trong AGH OI GI OI 1 .Do I laø trung ñieåm HD O laø trung ñieåm AD (T/c ñöôøng trung bình) AH AG AH 2 OI GI 1 1 1 GI= AG. Hay GI= AI G laø troïng taâm cuûa ABC. AH AG 2 2 3 Baøi 31: Cho (O0 vaø cung AB=90o.C laø moät ñieåm tuyø yù treân cung lôùn AB.Caùc ñöôøng cao AI;BK;CJ cuûa ABC caét nhau ôû H.BK caét (O) ôû N;AH caét (O) taïi M.BM vaø AN gaëp nhau ôû D. 1. C/m:B;K;C;J cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 2. c/m: BI.KC=HI.KB 3. C/m:MN laø ñöôøng kính cuûa (O) 4. C/m ACBD laø hình bình haønh. 5. C/m:OC//DH. Baøi naøy coù hai hình veõ tuyø vaøo vò trí cuûa C.Caùch c/m N töông töï 1/C/m B;K;C;J cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. D A -Söû duïng toång hai goùc ñoáùi.  -Söû duïng hai goùc cuøng laøm O vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng moät 28 goùc vuoâng. 2/C/m: BI.KC=HI.KB. Xeùt hai tam giaùc vuoâng BIH vaø BKC coù IBH=KBC(ñ ñ) ñpcm 3/ C/m MN laø ñöôøng kính cuûa (O). Do cung AB=90o. ACB=ANB=45o KBC; AKN laø nhöõng
  29. M K B C I J H Hình 31 Tam giaùc vuoâng caân KBC=45o IBH=KBC=45o IBH cuõng laø tam giaùc vuoâng caân.Ta laïi coù: AMD=MAB+ABM(goùc ngoaøi tam giaùc MAB).Maø 1 sñMAB= sñMB 2 1 SñABM= sñAM vaø cung MA+AM=AB=90o. AMD=45o vaø AMD=BMH(ñ ñ) 2 BMI=45o BIM vuoâng caân MBI=45o MBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1v MN laø ñöôøng kính cuûa (O). 5/C/m OH//DH. Do MN laø ñöôøng kính MAN=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn) maø CAN =45o. MAC=45o hay cung MC=90o MNC=45o.Goùc ôû taâm MOC chaén cung MC=90o MOC=90o OCMN. Do DBNH;HADN;AH vaø DB caét nhau ôû M M laø tröïc taâm cuûa DNH MNDH OC//DH. Baøi 32: Cho hình vuoâng ABCD.Goïi N laø moät ñieåm baát kyø treân CD sao cho CN<ND;Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøn kính BN.(O) caét AC taïi F;BF caét AD taïi M;BN caét AC taïi E. 1. C/m BFN vuoâng caân. 2. C/m:MEBA noäi tieáp 3. Goïi giao ñieåm cuûa ME vaø NF laø Q.MN caét (O) ôû P.C/m B;Q;P thaúng haøng. 4. Chöùng toû ME//PC vaø BP=BC. 5. C/m FPE laø tam giaùc vuoâng 1/c/m: BFN vuoâng caân: A B ANB=FCB(cuøng chaén cung FB).Maø FCB=45o F (tính chaát hình vuoâng) M ANB=45o Q P  Maø NFB=1v(goùc nt chaén E O nöûa ñöôøng troøn) D N C BFN vuoâng caân ôû F 2/C/m MEBA Noäi tieáp: Do FBN vuoâng caân ôû F 29
  30. Hình 32 FME=45o vaø MAC=45o(tính chaát hình vuoâng) FME=MAC=45o. MABE noäi tieáp. 3/C/m B;Q;P thaúng haøng: Do MABE nt MAB+NEB=2v;maø MAB=1v(t/c hình vuoâng) MEB=1v hay MEBN.Theo cmt NFBM Q laø tröïc taâm cuûa BMN BQMN(1) Ta laïi coù BPN=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn) hay BPMN(2). Töø (1)vaø(2) B;Q;P thaúng haøng. 4/C/m MF//PC. Do MFN=MEN=1v MFEN noäi tieáp FNM=FEM(cuøng chaén cung MF) Maø FNP=FNM=FCD(cuøng chaén cung PF cuûa (O) FEM=FCP ME//CP C/m:BP=BC:Do ME//CP vaø MEBN CPBN.Ñöôøng kính MN vuoâng goùc vôùi daây CP BN laø ñöôøng trung tröïc cuûa CP hay BCP caân ôû B BC=BP. 5/C/m FPE vuoâng: Do FPNB noäi tieáp FPB=FNB=45o(cmt) Deã daøng cm ñöôïc QENP noäi tieáp QPE=QNE=45o ñpcm. Baøi 33: Treân ñöôøng troøn taâm O laàn löôït laáy boán ñieåm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB vaø CD caét nhau ôû E.BC caét tieáp tuyeán taïi A cuûa ñöôøng troøn(O) ôû Q;DB caét AC taïi K. 1. Cm: CB laø phaân giaùc cuûa goùc ACE. 2. c/m:AQEC noäi tieáp. 3. C/m:KA.KC=KB.KD 4. C/m:QE//AD. Q 1/C/m CB laø phaân giaùc cuûa goùc ACE: E Do ABCD noäi tieáp BCD+BAD=2v B Maø BCE+BCD=2V BCE=BAD. Do AB=AC(gt) BAD caân ôû A K C B BAD=BDA.ta laïi coù BDA=BCA (Cuøng chaén cung AB) BCE=BCA ñpcm. 30 2/C/m AQEC noäi tieáp: 1 Ta coù sñ QAB= SñAB(goùc giöõa tieáp 2 tuyeán vaø moät daây) 1 Sñ ADB=Sñ AB 2
  31. O D Hình 33 QAB=ADB=BCE(cmt) QAE=QCD hai ñieåm A vaø C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn QE ñpcm 3/C/m: KA.KC=KB.KD. C/m KAB∽ KDC. 4/C/m:QE//AD: Do AQEC nt QEA=QCA(cuøng chaén cung QA) maø QCA=BAD(cmt) QEA=EAD QE//AD. Baøi 34: Cho (O) vaø tieáp tuyeán Ax.Treân Ax laáy hai ñieåm B vaø C sao cho AB=BC.Keû caùt tuyeán BEF vôùi ñöôøng troøn.CE vaø CF caét (O) laàn löôït ôû M vaø N.Döïng hình bình haønh AECD. 1. C/m:D naèm treân ñöôøng thaúng BF. 2. C/m ADCF noäi tieáp. 3. C/m: CF.CN=CE.CM 4. C/m:MN//AC. 31
  32. 5. Goïi giao ñieåm cuûa AF vôùi MN laø I.Cmr:DF ñi qua trung ñieåm cuûa NI. C 1/C/m:D naèm treân ñöôøng thaúng D BF. B Do ADCE laø hình bình haønh DE vaø AC laø hai ñöôøng E N cheùo.Do B laø trung ñieåm cuûa AC B cuõng laø trung ñieåm DE J hay DBE thaúng haøng.Maø B;E;F A O thaúng haøng D naèm treân BF. I 2/C/m ADCF noäi tieáp: F Do ADCf laø hình bình haønh DCA=CAE(so le) 1 M Sñ CAE= Cung AE(goùc giöõa tt 2 1 Hình 34 vaø moät daây) maø EFA=sñ AE 2 CAE=EFA DFA=DCA hai ñieåm F vaø C cuøng laøm vôùi 2 ñaàu ñoaïn AD ñpcm 3/C/m: CF.CN=CE.CM. ta c/m CEF∽ CNM. 4/C/m:MN//AC. Do ADCF nt DAC=DFC(cuøng chaén cung CD).Maø ADCE laø hình bình haønh DAC=ACE(so le),ta laïi coù CFD=NME(cuøng chaén cung EN) ACM=CMN AC//MN. 5/C/m:DF ñi qua trung ñieåm NI:Goïi giao ñieåm cuûa NI vôùi FE laø J Do NI//AC(vì MN//AB) JE NJ NJ//CB,theo heä quaû taleùt FB BC JF JI Töông töï IJ//AB FB AB MaØ AB=AC(gt) JI=NJ 32
  33. Baøi 35: Cho (O;R) vaø ñöôøng kính AB;CD vuoâng goùc vôùi nhau.Goïi M laø moät ñieåm treân cung nhoû CB. 1. C/m:ACBD laø hình vuoâng. 2. AM caét CD ;CB laàn löôït ôû P vaø I.Goïi J laø giao ñieåm cuûa DM vaø AB.C/m IB.IC=IA.IM 3. Chöùng toû IJ//PD vaø IJ laø phaân giaùc cuûa goùc CJM. 4. Tính dieän tích AID theo R. 1/C/m:ACBD laø hình vuoâng: C Vì O laø trung ñieåm cuûa AB;CD neân M ACBD laø hình bình haønh. Maø AC=BD(ñöôøng kính) vaø ACDB P I (gt) hình bình haønh ACBD laø hình A O vuoâng. B 2/C/m: IB.IC=IA.IM J Xeùt 2 IAC vaø IBM coù CIA=MIB(ñ ñ) IAC=IBM(cuøng chaén cung CM) IAC∽ IBM ñpcm. D 3/C/m IJ//PD. Hình 35 Do ACBD laø hình vuoâng CBO=45o. Vaø cung AC=CB=BD=DA. AMD=DMB=45o IMJ=IBJ=45o M vaø B cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn IJ MBIJ noäi tieáp. IJB+IMB=2v maø IMB=1v IJB =1v hay IJAB.Maø PDAB(gt) IJ//PD  C/m IJ laø phaân giaùc cuûa goùc CMJ: -Vi IJAB hay AJI=1v vaø ACI=1v(t/c hình vuoâng) ACIJ noäi tieáp IJC=IAC(cuøng chaén cung CI) maø IAC=IBM(cuøng chaén cungCM) -Vì MBJI noäi tieáp MBI=MJI(cuøng chaén cung IM) IJC= IJM ñpcm. 4/Tính dieän tích AID theo R: Do CB//AD(tính chaát hình vuoâng) coù I CB khoaûng caùch töø ñeán AD chính baèng CA.Ta laïi 1 coù IAD vaø CAD chung ñaùy vaø ñöôøng cao baèng nhau. SIAD=SCAD.Maø SACD= ABCD. 2 S 1 1 SIAD= ABCD.SABCD= AB.CD (dieän tích coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng 2 S 2 1 2 2 goùc) SABCD= 2R.2R=2R SIAD=R . 2 33
  34. Baøi 37: Cho ABC(A=1v).Keû AHBC.Goïi O vaø O’ laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp caùc tam giaùc AHB vaø AHC.Ñöôøng thaúng O O’ caét caïnh AB;AC taï M;N. 1. C/m: OHO’ laø tam giaùc vuoâng. 2. C/m:HB.HO’=HA.HO 3. C/m: HOO’∽ HBA. 4. C/m:Caùc töù giaùc BMHO;HO’NC noäi tieáp. 5. C/m AMN vuoâng caân. 1/C/m: OHO’ vuoâng: A Do AHB=1v vaø O laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp AHB O laø giao ñieåm ba ñöôøng phaân giaùc cuûa tam M O O’ N giaùc AHO=OHB=45o. o B H C Töông töï AHO’=O’HC=45 . O’HO=45o+45o=90o. Hình 36 hay O’HO vuoâng ôû H. 2/C/m: HB.HO’=HA.HO Do ABC vuoâng ôû A vaø AHBC ABH=CAH(cuøng phuï vôùi goùc C) maø OB;O’A laàn löôït laø Phaân giaùc cuûa hai goùc treân OBH=O’AH vaø OHB=O’HA=45o. HB OH HBO∽ HAO’ (1) ñpcm. HA O' H 3/c/m HOO’∽ HBA. HB HO HO' HO Töø (1) (Tính chaát tæ leä thöùc).Caùc caëp caïnh HO vaø HO’ cuûa HOO’tæ HA HO' HA HB leä vôùi caùc caëp caïnh cuûa HBA vaø goùc xen giöõa BHA=O’HO=1v HOO’∽ HBA. 4/C/m:BMOH nt:Do HOO’∽ HBA O’OH=ABH maø O’OH+MOH=2v MBH+MOH=2v ñpcm. C/m NCHO’ noäi tieáp: HOO’∽ HBA(cmt) vaø hai tam giaùc vuoângHBA vaø HAC coù goùc nhoïn ABH=HAC(cuøng phuï vôùi goùc ABC) neân HBA∽ HAC HOO’ ∽ HAC OO’H=ACH.Maø OO’H=NO’H=2v NCH+NO’H=2v ñpcm. 5/C/m AMN vuoâng caân:Do OMBH nt OMB+OHB=2v maø AMO+OMB=2v AMO=OHB maø OHB=45o AMO=45o.Do AMN vuoâng ôû A coù AMO=45o. AMN vuoâng caân ôû A. 34
  35. Baøi 37: Cho nöûa ñöôøng troøn O,ñöôøng kính AB=2R,goïi I laø trung ñieåm AO.Qua I döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB,ñöôøng naøy caét nöûa ñöôøng troøn ôû K.Treân IK laáy ñieåm C,AC caét (O) taïi M;MB caét ñöôøng thaúng IK taïi D.Goïi giao ñieåm cuûa IK vôùi tieáp tuyeán taïi M laø N. 1. C/m:AIMD noäi tieáp. 2. C?m CM.CA=CI.CD. 3. C/m ND=NC. 4. Cb caét AD taïi E.C/m E naèm treân ñöôøng troøn (O) vaø C laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp EIM. 5. Giaû söû C laø trung ñieåm IK.Tính CD theo R. D 1/C/m AIMD noäi tieáp: Söû duïng hai ñieåm I;M cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn AD 2/c/m: CM.CA=CI.CD. N C/m hai CMD vaø CAI ñoàng daïng. M 3/C/m CD=NC: K 1 sñNAM= sñ cung AM 2 E C (goùc giöõa tt vaø moät daây) 1 sñMAB= sñ cung AM A 2 I O B NAM=MAB Hình 37 Maø MBA=ACI(cuøng phuï vôùi goùc CAI);CAI=KCM(ñ ñ) NCM+NMC NMC caân ôû N NC=NM. Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v vaø NCM=NMC NDM=NMD NMD caân ôû N ND=NM NC=ND(ñpcm) 4/C/m C laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp EMI.Ta phaûi c/m C laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa EMI (xem caâu 3 baøi 35) 5/Tính CD theo R: Do KI laø trung tröïc cuûa AO AKO caân ôû K KA=KO maø KO=AO(baùn kính) AKO laø R 3 KI R 3 ñeàu KI= CI=KC= = .Aùp duïng PiTaGo trong tam giaùc vuoâng ACI coù:CA= 2 2 4 3R 2 R 2 R 7 CI 2 AI 2 CIA∽ BMA( hai tam giaùc vuoâng coù goùc CAI chung) 16 4 4 CA IA AB AI R R 7 MA= = 2R. : BA MA AC 2 4 4R 7 9R 7 3R 3 = MC=AM-AC= aùp duïng heä thöùc caâu 2 CD= . 7 28 4 Baøi 38: 35
  36. Cho ABC.Goïi P laø moät ñieåm naèm trong tam giaùc sao cho goùc PBA=PAC.Goïi H vaø K laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc haï töø P xuoáng AB;AC. 1. C/m AHPK noäi tieáp. 2. C/m HB.KP=HP.KC. 3. Goïi D;E;F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa PB;PC;BC.Cmr:HD=EF; DF=EK 4. C/m:ñöôøng trung tröïc cuûa HK ñi qua F. A 1/C/m AHPK noäi tieáp(söû duïng toång hai goùc ñoái) 2/C/m: HB.KP=HP.KC H K C/m hai vuoâng HPB vaø KPC P ñoàng daïng. D E 3/C/m HD=FE: Do FE//DO vaø DF//EP (FE vaø B F C FD laø ñöôøng trung bình cuûa Hình 38 PBC) DPEF laø hình bình haønh. DP=FE.Do D laø trung ñieåm cuûa BP DH laø trung tuyeán cuûa vuoâng HBP HD=DP DH=FE C/m töông töï coù:DF=EK. 4/C/m ñöôøng trung tröïc cuûa HK ñi qua F. Ta phaûi C/m EF laø ñöôøng trung tröïc cuûa HK.Hay caàn c/m FK=FH. Do HD=DP+DB HDP=2ABP(goùc ngoaøi tam giaùc caân ABP) Töông töï KEP=2ACP HDP=KEP(1) Maø ABP=ACD(gt) Do PEFD laø hình bình haønh(cmt) PDF=PEF(2) Töø (1) vaø (2) HDF=KEF maø HD=FE;KE=DF DHF∽ EFK(cgc) FK=FH ñpcm. Baøi 39: Cho hình bình haønh ABCD(A>90o).Töø C keû CE;Cf;CG laàn löôït vuoâng goùc vôùi AD;DB;AB. 1. C/m DEFC noäi tieáp. 2. C/m:CF2=EF.GF. 3. Goïi O laø giao ñieåm AC vaø DB.Keû OICD.Cmr: OI ñi qua trung ñieåm cuûa AG. 4. Chöùng toû EOFG noäi tieáp. 36
  37. A G B E F O D J I C Hình 39 1/C/mDEFC noäi tieáp: (Söû duïng hai ñieåm E;F cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng CD). 2/C/m: CF2=EF.GF: Xeùt 2 ECF vaø CGF coù: -Do DE FC nt FCE=FDE(cuøng chaén cung FE);FDE=FBC(so le).Do GBCF nt (töï c/m) FBC=FGC(cuøng chaén cung FC) FGC=FCE. -Do GBCF nt GBF=GCF(cuøng chaén cuøngG) maø GBF=FDC(so le).DoDEFC noäi tieáp FDC=FCE(cuøng chaén cuøngC) FCG=FEC ECF∽ CGF ñpcm. 3/C/m Oi ñi qua trung ñieåm AG.Goïi giao ñieåm cuûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AC laø J Do AG//CJ vaø CGAG AGCJ laø hình chöõ nhaät AG=CJ Vì OICJ neân I laø trung ñieåm CJ(ñöôøng kính  vôùi 1 daây ) ñpcm. 4/C/m EOFG noäi tieáp:Do CEA=AGC=1v AGCE nt trong (O) AOG=2GCE (goùc nt baèng nöûa goùc ôû taâm cuøng chaén 1 cung;Vaø EAG+GCE=2v(2goùc ñoái cuûa töù giaùc nt).Maø ADG+ADC=2v(2goùc ñoái cuûa hbh) EOG=2.ADC(1) Do DEFC nt EFD=ECD(cuøng chaén cungDE);ECD=90o-EDC(2 goùc nhoïn cuûa vuoâng EDC)();Do GBCF nt GFB=GBC(cuøng chaén cung GB);BCG=90o-GBC().Töø ()vaø() EFD+GFB=90o-EDC+90o-GBC=180o-2ADC maø EFG=180o- (EFD+GFB)=180o-180o+2ADC=2ADC(2) Töø (1) vaø (2) EOG=EFG EOFG nt. Baøi 40: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau ôû A vaø B.Caùc ñöôøng thaúng AO caét (O) laàn löôït ôû C vaø D;ñöôøng thaúng AO’ caét (O) vaø (O’) laàn löôït ôû E vaø F. 1. C/m:C;B;F thaúng haøng. 2. C/m CDEF noäi tieáp. 3. Chöùng toû DA.FE=DC.EA 4. C/m A laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp BDE. 5. Tìm ñieàu kieän ñeå DE laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (O);(O’) 37
  38. D E A O I O’ C B F Hình 40 1/C/m:C;B;F thaúng haøng: Ta coù:ABF=1v;ABC=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn). ABC+ABF=2v C;B;F thaúng haøng. 2/C/mCDEF noäi tieáp:Ta coù AEF=ADC=1v E;D cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn CF ñpcm 3/C/m: DA.FE=DC.EA. Hai vuoâng DAC vaø EAF coù DAC=EAF(ñ ñ) DAC ∽ ø EAF ñpcm. 4/C/m A laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BDE.Ta phaûi c/m A laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa DBE. (Xem caùch c/m baøi 35 caâu 3) 5/Ñeå DE laø tieáp tuyeán chung cuûa 2 ñöôøng troøn caàn ñieàu kieän laø: Neáu DE laø tieáp tuyeán chung thì ODDE vaø O’EDE.Vì OA=OD AOD caân ôû O ODA=OAD.Töông töï O’AE caân ôû O’ O’AE=O’EA.Maø O’AE=OAD(ñ ñ) ODO’=OEO’ D vaø E cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúngOO’ nhöõng goùc baèng nhau ODEO’ nt ODE+EO’O=2v.Vì DE laø tt cuûa (O) vaø (O’) ODE=O’ED=1v EO’O=1v ODEO’ laø hình chöõ nhaät DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A. Vaäy ñeå DE laø tt chung cuûa hai ñöôøng troøn thì hai ñöôøng troøn coù baùn kính baèng nhau.(hai ñöôøng troøn baèng nhau) Baøi 41: Cho (O;R).Moät caùt tuyeán xy caét (O) ôû E vaø F.Treân xy laáy ñieåm A naèm ngoaøi ñoaïn EF,veõ 2 tieáp tuyeán AB vaø AC vôùi (O).Goïi H laø trung ñieåm EF. 1. Chöùng toû 5 ñieåm:A;B;C;O;H cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 2. Ñöôøng thaúng BC caét OA ôû I vaø caét ñöôøng thaúng OH ôû K.C/m: OI.OA=OH.OK=R2. 3. Khi A di ñoäng treân xy thì I di ñoäng treân ñöôøng naøo? 4. C/m KE vaø KF laø hai tieáp tyueán cuûa (O) 38
  39. 1/ C/m:A;B;C;H;O B cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn: Ta coù O ABO=ACO(tính I F y chaát tieáp H tuyeán).Vì H l;aø E trung ñieåm daây A FE neân OHFE C (ñöôøng kính ñi Hình 41 qua trung ñieåm 1 daây) hay kính AO. K OHA=1v 5 ñieåm A;B;O;C;H cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính AO. 2/C/m: OI.OA=OH.OK=R2 Do ABO vuoâng ôû B coù BI laø ñöôøng cao.Aùp dung heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng ta coù:OB2=OI.OA ;maø OB=R. OI.OA=R2.(1) OA OH Xeùt hai vuoâng OHA vaø OIK coù IOH chung. AHO∽ KIO OK OI OI.OA=OH.OK (2). Töø (1) vaø (2) ñpcm. 4/C/m KE vaø KF laø hai tt cuûa ñuôøng toøn (O). OH OE -Xeùt hai EKO vaø EHO.Do OH.OK=R2=OE2 vaø EOH chung OE OK EOK∽ HOE(cgc) OEK=OHE maø OHE=1v OEK=1v hay OEEK taïi ñieåm E naèm treân (O) EK laø tt cuûa (O) -c/m Baøi 42: Cho ABC (AB<AC) coù hai ñöôøng phaân giaùc CM,BN caét nhau ôû D.Qua A keû AE vaø AF laàn löôït vuoâng goùc vôùi BN vaø CM.Caùc ñöôøng thaúng AE vaø AF caét BC ôû I;K. 1. C/m AFDE noäi tieáp. 2. C/m: AB.NC=BN.AB 3. C/m FE//BC 39
  40. 4. Chöùng toû ADIC noäi tieáp. Chuù yù baøi toaùn vaãn ñuùng khi AB>AC A N F E M D K B I C Hình 42 1/C/m AFDE noäi tieáp.(Hs töï c/m) 2/c/m: AB.NC=BN.AB BD AB Do D laø giao ñieåm caùc ñöôøng phaân giaùc BN vaø CM cuûa ABN (1) DN AN BD BC Do CD laø phaân giaùc cuûa CBN (2) DN CN BC AB Töø (1) vaø (2) ñpcm CN AN 3/c/M fe//bc: Do BE laø phaân giaùc cuûa ABI vaø BEAI BE laø ñöôøng trung tröïc cuûa AI.Töông töï CF laø phaân giaùc cuûa ACK vaø CFAK CF laø ñöôøng trung tröïc cuûa AK E laø F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AI vaø AK FE laø ñöôøng trung bình cuûa AKI FE//KI hay EF//BC. 4/C/m ADIC nt: Do AEDF nt DAE=DFE(cuøng chaén cung DE) DAI=DCI ADIC noäi tieáp Do FE//BC EFD=DCI(so le) Baøi 43: Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cuøng ñôn vò ño ñoä daøi).Döïng ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB vaø (O’) ñöôøng kính AC.Hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau taïi ñieåm thöù hai D. 1. Chöùng toû D naèm treân BC. 2. Goïi M laø ñieåm chính giöõa cung nhoû DC.AM caét DC ôû E vaø caét (O) ôû N. C/m DE.AC=AE.MC 3. C/m AN=NE vaø O;N;O’ thaúng haøng. 4. Goïi I laø trung ñieåm MN.C/m goùc OIO’=90o. 5. Tính dieän tích tam giaùc AMC. 40
  41. 1/Chöùng toû:D naèm treân ñöôøng thaúng A BC:Do ADB=1v;ADC=1v O N O’ (goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn) ADB+ADC=2v I D;B;C thaúng B D E C haøng. Hình 43 M -Tính DB: Theo PiTaGo trong vuoâng ABC coù: BC=AC 2 AB 2 152 202 25 .Aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng ABC coù: AD.BC=AB.AC AD=20.15:25=12 2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xeùt hai tam giaùc ADE vaø AMC.Coù ADE=1v(cmt) vaø AMC=1v (goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn).Do cung MC=DB(gt) DAE=MAC(2 goùc nt chaén 2 cung baèng nhau) DAE∽ MAC DA DE AE (1) Ñpcm. MA MC AC 3/C/m:AN=NE: 1 Do BAAO’( ABC Vuoâng ôû A) BA laø tt cuûa (O’) sñBAE= sñ AM 2 1 SñAED=sñ (MC+AD) maø cung MC=DM cung MC+AD=AM 2 AED =BAC BAE caân ôû B maø BMAE NA=NE. C/m O;N;O’ thaúng haøng:ON laø ñöôøng TB cuûa ABE ON//BE vaø OO’//BE O;N;O’ thaúng haøng. 4/Do OO’//BC vaø cung MC=MD O’MBC O’MOO’ NO’M vuoâng ôû O’ coù O’I laø trung tuyeán INO’ caân ôû I IO’M=INO’ maø INO’=ONA(ñ ñ); OAN caân ôû O ONA=OAN OAI=IO’O OAO’I nt OAO’+OIO’=2v maø OAO’=1v OIO’=1v. 1 AB 2 5/ Tính dieän tích AMC.Ta coù SAMC= AM.MC .Ta coù BD= DC=16 9 2 BC Ta laïi coù DA2=CD.BD=16.9 AD=12;BE=AB=15 DE=15-9=6 AE= AD 2 DE 2 6 5 Töø(1) tính AM;MC roài tính S. Baøi 44: Treân (O;R),ta laàn löôït ñaët theo moät chieàu,keå töø ñieåm A moät cung AB=60o, roài cung BC=90o vaø cung CD=120o. 1. C/m ABCD laø hình thang caân. 2. Chöùng toû ACDB. 3. Tính caùc caïnh vaø caùc ñöôøng cheùo cuûa ABCD. 4. Goïi M;N laø trung ñieåm caùc caïnh DC vaø AB.Treân DA keùo daøi veà phía A laáy ñieåm P;PN caét DB taïi Q.C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc PMQ. 41
  42. P 1/C/m:ABCD laø hình thang caân:Do cung BC=90o BAC=45o (goùc nt baèng nöûa cung A J N K B bò chaén).do cung AB=60o;BC=90o;CD=120o Q AD=90o ACD=45o I BAC=ACD=45o. AB//CD. Vì cung DAB=150o.Cung ABC =150o. O BCD=CDA. ABCD laø thang caân. 2/C/mACDB: Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø D 1 BD.sñAID= sñ M 2 C E cung(AD+BC)=180o=90o. ACDB. 3/Do cung AB=60o AOB=60o AOB laø tam giaùc ñeàu AB=R. Hình 44 Do cung BC=90o BOC=90o BOC vuoâng caân ôû O BC=AD=R2 Do cung CD=120o DOC=120o.Keû DK R 3 OKCD DOK=60o sin 60o= DK= . CD=2DK=R 3 OD 2 2 R 2 R 6 -Tính AC:Do AIB vuoâng caân ôû I 2IC2=AB2 IA=AB = Töông töï IC= ; AC = DB=IA+IC = 2 2 2 R 2 R 6 (1 3)R 2 2 2 2 4/PN caét CD taïi E;MQ caét AB taïi I;PM caét AB taïi J. JN PN Do JN//ME AN JN ME PE AN PN DE ME Vì NB=NA Do AN//DE JN NI DE PE ME ME NI NQ Do NI//ME NI NB ME QE NB NQ ME DE NB//ME DE QE NI=NJ.Maø MNAB(tc thang caân) JMI caân ôûp M MN laø phaân giaùc Baøi45: Cho ñeàu ABC coù caïnh baèng a.Goïi D laø giao ñieåm hai ñöôøng phaân giaùc goùc A vaø goùc B cuûa tam giaácBC.Töø D döïng tia Dx vuoâng goùc vôùi DB.Treân Dx laáy ñieåm E sao cho ED=DB(D vaø E naèm hai phía cuûa ñöôøng thaúng AB).Töø E keû EFBC. Goïi O laø trung ñieåm EB. 1. C/m AEBC vaø EDFB noäi tieáp,xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp caùc töù giaùc treân theo a. 2. Keùo daøi FE veà phía F,caét (D) taïi M.EC caét (O) ôû N.C/m EBMC laø thang caân.Tính dieän tích. 42
  43. 3. c/m EC laø phaân giaùc cuûa goùc DAC. 4. C/m FD laø ñöôøng trung tröïc cuûa MB. 5. Chöùng toû A;D;N thaúng haøng. 6. Tính dieän tích phaàn maët traêng ñöôïc taïo bôûi cung nhoû EB cuûa hai ñöôøng troøn. E A N O  D B F C M 1/Do ABC laø tam giaùc ñeàu coù D laø giao ñieåm 2 ñöôøng phaân giaùc goùc A vaø B BD=DA=DC maø DB=DE A;B;E;C caùch ñeàu D AEBC nt trong (D). Tính DB.Aùp duïng coâng thöùc tính baùn kính cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñeàu ta coù: DB= AB AB a 3 180o 2sin 60o 3 2Sin n Do goùc EDB=EFB=1v EDFB noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính EB.Theo Pi Ta Go a 3 trong tam giaùc vuoâng EDB coù:EB2=2ED2=2.( )2. 3 a 6 a 6 EB= OE= 3 6 2/C/m EBMC laø thang caân: Goùc EDB=90o laø goùc ôû taâm (D) chaén cung EB Cung EB=90o goùc ECN=45o. EFC vuoâng caân ôû F FEC=45o MBC=45o(=MEC=45o) EFC=CBM=45o BM//EC.Ta coù FBM vuoâng caân ôû F BC=EM EBMC laø thang caân. 1 Do EBMC laø thang caân coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc SEBMC= BC.EM 2 1 2 (BC=EM=a) SEBMC= a . 2 3/C/m EC laø phaân giaùc cuûa goùc DCA: Ta coù ACB=60o;ECB=45o ACE=15o. 43
  44. Do BD;DC laø phaân giaùc cuûa ñeàu ABC DCB=ACD=30o vaø ECA=15o ECD=15o ECA=ECD EC laø phaân giaùc cuûa goùc ECA. 4/C/m FD laø ñöôøng trung tröïc cuûa MB: Do BED=BEF+FED=45o vaø FEC=FED+DEC=45o BEF=DEC vaø DEC=DCE=15o.Maø BE F=BDF(cuøng chaén cung BF) vaø NED=NBD(cuøng chaén cung ND) NBD=BDF BN//DF maø BNEC(goùc nt chaén nöûa ñuôøng troøn (O) DF EC.Do DC//BM(vì BMCE laø hình thang caân) DFBM nhömg BFM vuoâng caân ôû F FD laø ñöôøng trung tröïc cuûa MB. 5/C/m:A;N;D thaúng haøng: Ta coù BND=BED=45o (cuøng chaén cung DB) vaø ENB=90o(cmt);ENA laø goùc ngoaøi ANC ENA=NAC+CAN=45o ENA+ENB+BND=180o A;N;D thaúng haøng. 6/Goïi dieän tích maët traêng caàn tính laø:S. Ta coù: S =Snöûa (O)-S vieân phaân EDB 2 2 2 a 6 2 a a S(O)= .OE = .() = S 1 (O)= 6 6 2 12 2 BD 2 .90o a 6 a 2 S = = quaït EBD o 360 4 6 12 2 1 2 a S EBD= DB = 2 6 a 2 a 2 a 2 ( 2) Svieân phaân=S quaït EBD - S EDB= - = 12 6 12 a 2 a 2 ( 2) a 2  S = - = . 12 12 6 Baøi 46: Cho nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính BC.Goïi a laø moät ñieåm baát kyø treân nöûa ñöôøng troøn;BA keùo daøi caét tieáp tuyeán Cy ôû F.Goïi D laø ñieåm chính giöõa cung AC;DB keùo daøi caét tieáp tuyeán Cy taïi E. 1. C/m BD laø phaân giaùc cuûa goùc ABC vaø OD//AB. 2. C/m ADEF noäi tieáp. 3. Goïi I laø giao ñieåm BD vaø AC.Chöùng toû CI=CE vaø IA.IC=ID.IB. 4. C/m goùc AFD=AED F 1/* C/mBD laø phaân giaùc cuûa goùc ABC:Do A cung F AD=DC(gt) ABD= D E ADBC(hai goùc nt chaén I hai cung baèng nhau) BD laø phaân giaùc cuûa goùc ABC. *Do cung AD=DC 44 goùc AOD=DOC(2 cung baèng nhau thì hai goùc ôû taâm baèng nhau).
  45. B O C Hình 47 Hay OD laø phaân giaùc cuûa caân AOC ODAC. OD//BA Vì BAC laø goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn BAAC 2/C/m ADEF noäi tieáp: Do ADB=ACB(cuøng chaén cung AB) Do ACB=BFC(cuøng phuï vôùi goùc ABC) Maø ADB+ADE=2v AFE+ADE=2v ADEF noäi tieáp. 3/C/m: *CI=CE: Ta coù:sñ DCA=1 sñ cung AD(goùc nt chaén cung AD) Sñ ECD=1 sñ cung DC (goùc giöõa tt vaø 1 2 2 daây) Maø cung AD=DC DCA=ECD hay CD laø phaân giaùc cuûa ICE.Nhöng CDDB (goùc nt chaén nöûa ñt) CD vöøa laø ñöôøng cao,vöøa laø phaân giaùc cuûa ICE ICE caân ôû C IC=CE. *C/m IAD∽ IBC(coù DAC=DBC cuøng chaén cung DC) 4/Töï c/m: Baøi47: Cho nöûa ñtroøn (O);ñöôøng kính AD.Treân nöûa ñöôøng troøn laáy hai ñieåm B vaø C sao cho cung AB<AC.AC caét BD ôû E.Keû EFAD taïi F. 1. C/m:ABEF nt. 2. Chöùng toû DE.DB=DF.DA. 3. C/m:I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp CJD. 4. Goïi I laø giao ñieåm BD vôùi CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC 1/Söû duïng toång hai goùc ñoái. C 2/c/m: DE.DB=DF.DA Xeùt hai tam giaùc vuoâng BDA vaø B FDE coù goùc D chung. E BDA∽ FDE ñpcm. I M 3/C/m IE laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp FBC: A F O D Xem caâu 3 baøi 35. 4/ C/m: BI2=BF.BC-IF.IC Hình 47 Goïi M laø trung ñieåm ED. *C/m:BCMF noäi tieáp: Vì FM laø trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng 1 FED FM=EM=MD= ED Caùc tam giaùc FEM;MFD caân ôû M MFD=MDF vaø EM 2 F=MFD+MDF=2MDF(goùc ngoaøi MFD) 45
  46. Vì CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCF 2ACF=BCF.Theo cmt thì MDF=ACF BMF=BCF BCMF noäi tieáp. *Ta coù BFM∽ BIC vì FBM=CBI(BD laø phaân giaùc cuûa FBC-cmt) vaø BMF=BCI(cmt) BF BM BF.BC=BM.BI BI BC * IFM∽ IBC vì BIC=FIM(ññ).Do BCMF noäi tieáp CFM=CBM(cuøng chaén cung CM) IB IC IC.IF=IM.IB  FI IM Laáy tröø veá theo veá BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2. Baøi 48: Cho (O) ñöôøng kính AB;P laø moät ñieåm di ñoäng treân cung AB sao cho PA<PB. Döïng hình vuoâng APQR vaøo phía trong ñöôøng troøn.Tia PR caét (O) taïi C. 1. C/m ACB vuoâng caân. 2. Veõ phaân giaùc AI cuûa goùc PAB(I naèm treân(O);AI caét PC taïi J.C/m 4 ñieåm J;A;Q;B cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 3. Chöùng toû: CI.QJ=CJ.QP. 1/ C/m ABC vuoâng caân: I Ta coù ACB=1v(goùc nt chaén nöûa P ñt) Vaø APB=1v ;Do APQR laø hvuoâng coù PC laø ñöôøng cheùo J Q PC laø pg cuûa goùc APB cung AC=CB daây AC=CB B A ABC vuoâng caân. R  2/C/m JANQ noäi tieáp: ÂO Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ chung;AP=PQ PAJ= QPJ C goùc PAJ=PQJ maø JAB=PAJ vaø PQJ+JQB=2v Hình 48 JAB+JQB=2v JQBA nt. 3/C/m: CI.QJ=CJ.QP. Ta caàn chöùng minh CIJ∽ QPJ vì AIC=APC(cuøng chaén cung AC) vaø APC=JPQ=45o JIC=QPJ Hôn nöõa PCI=IAP( cuøng chaén cung PI);IAP=PQJ(cmt) PQJ=ICJ Baøi 49: 46
  47. Cho nöûa (O) ñöôøng kính AB=2R.Treân nöûa ñöôøng troøn laáy ñieåm M sao cho cung AM<MB.Tieáp tuyeán vôùi nöûa ñöôøng troøn taïi M caét tt Ax vaø By laàn löôït ôû D vaø C. 1. Chöùng toû ADMO noäi tieáp. 2. Chöùng toû AD.BC=R2. 3. Ñöôøng thaúng DC caét ñöôøng thaúng AB taïi N;MO caét Ax ôû F;MB caét Ax ôû E. Chöùng minh:AMFN laø hình thang caân. 4. Xaùc ñònh vò trí cuûa M treân nöûa ñöôøng troøn ñeå DE=EF 5. F Hình 49 C E M D N A O B 1/C/m ADMO nt:Söû duïng toång hai goùc ñoái. 2/C/m: AD.BC=R2. C/m:DOC vuoâng ôû O: Theo tính chaát hai tt caét nhau ta coù ADO=MDO MOD=DOA.Töông töï MOC=COB.Maø : MOD+DOA+MOC+COB=2v AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v. Aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng DOC coù OM laø ñöôøng cao ta coù:DM.MC=OM2.Maø DM=AD;MC=CB(t/c hai tt caét nhau) vaø OM=R ñpcm. 3/Do AD=MD(t/c hai tt caét nhau)vaø ADO=ODM OD laø ñöôøng trung tröïc cuûa AM hay DOAM. Vì FAON;NMFO(t/c tt) vaø FA caét MN taïi D D laø tröïc taâm cuûa FNO DOFN.Vaäy AM//FN. Vì OAM caân ôû O OAM=OMA.Do AM//FN FNO=MAO vaø AMO=NFO FNO=NFO vaäy FNAM laø thang caân. 4/Do DE=FE neân EM laø trung tuyeán cuûa vuoâng FDM ED=EM. Vì DMA=DAM vaø DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1v EDM=DEM hay EDM caân ôû D hay DM=DE.Töø vaø  EDM laø ñeàu ODM=60o AOM=60o.Vaäy M naèm ôû vò trí sao cho cung AM=1/3 nöûa ñöôøng troøn. 47
  48. Baøi 50: Cho hình vuoâng ABCD,E laø moät ñieåm thuoäc caïnh BC.Qua B keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi DE ,ñöôøng naøy caét caùc ñöôøng thaúng DE vaø DC theo thöù töï ôû H vaø K. 1. Chöùng minh:BHCD nt. 2. Tính goùc CHK. 3. C/m KC.KD=KH.KB. 4. Khi E di ñoäng treân BC thì H di ñoäng treân ñöôøng naøo? A D 1/ C/m BHCD nt(Söû duïng H vaø C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng DB ) 2/Tính goùc CHK: Do BDCE nt DBC=DHK(cuøng chaén cung DC) maø DBC=45o (tính chaát hình B E C vuoâng) DHC=45o maø DHK=1v(gt) CHK=45o. H 3/C/m KC.KD=KH.KB. K Chöùng minh hai tam giaùc vuoâng Hình 50 KCB vaø KHD ñoàng daïng. 4/Do BHD=1v khoâng ñoåi E di chuyeån treân BC thì H di ñoäng treân ñöôøng troøn ñöôøng kính DB. 48
  49. Baøi 51:Cho (O), töø moät ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn (O), veõ hai tt AB vaø AC vôùi ñöôøng troøn. Keû daây CD//AB. Noái AD caét ñöôøng troøn (O) taïi E. 1. C/m ABOC noäi tieáp. 2. Chöùng toû AB2=AE.AD. 3. C/m goùc A·OC A·CB vaø BDC caân. 4. CE keùo daøi caét AB ôû I. C/m IA=IB. B I A O E D C Hình 51 1/C/m: ABOC nt:(HS töï c/m) 2/C/m: AB2=AE.AD. Chöùng minh ADB ∽ ABE , vì coù Eµ chung. 1 Sñ A·BE = sñ cung B»E (goùc giöõa tt vaø 1 daây) 2 1 Sñ B·DE = sñ B»E (goùc nt chaén B»E ) 2 3/C/m A·OC A·CB * Do ABOC nt A·OC A·BC (cuøng chaén cung AC); vì AC = AB (t/c 2 tt caét nhau) ABC caân ôû A A·BC A·CB A·OC A·CB 1 1 * sñ A·CB = sñ B¼EC (goùc giöõa tt vaø 1 daây); sñ B·DC = sñ B¼EC (goùc nt) 2 2 B·DC =A·CB maø A·BC =B·DC (do CD//AB) B·DC B·CD BDC caân ôû B. 4/ Ta coù $I chung; I·BE E·CB (goùc giöõa tt vaø 1 daây; goùc nt chaén cung BE) IBE∽ ICB IE IB IB2=IE.IC IB IC 1 Xeùt 2 IAE vaø ICA coù $I chung; sñ I·AE = sñ (D»B B»E ) maø BDC caân ôû B D»Bsñ B»C 2 1 I·AE =sñ (B»C-B»E) = sñ C»E= sñ E·CA 2 IA IE IAE∽ ICA IA 2=IE.IC Töø vaø IA2=IB2 IA=IB IC IA 49
  50. Baøi 52: Cho ABC (AB=AC); BC=6; Ñöôøng cao AH=4(cuøng ñôn vò ñoä daøi), noäi tieáp trong (O) ñöôøng kính AA’. 1. Tính baùn kính cuûa (O). 2. Keû ñöôøng kính CC’. Töù giaùc ACA’C’ laø hình gì? 3. Keû AKCC’. C/m AKHC laø hình thang caân. 4. Quay ABC moät voøng quanh truïc AH. Tính dieän tích xung quanh cuûa hình ñöôïc taïo ra. A 1/Tính OA:ta coù BC=6; C' ñöôøng cao AH=4 K AB=5; ABA’ vuoâng ôû B BH2=AH.A’H O BH 2 9 A’H= = AH 4 25 AA’=AH+HA’= 4 H 25 B AO= C 8 A' 2/ACA’C’ laø hình gì? Do O laø trung ñieåm AA’ vaø CC’ ACA’C’ laø Hình 52 Hình bình haønh. Vì AA’=CC’(ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn) AC’A’C laø hình chöõ nhaät. 3/ C/m: AKHC laø thang caân:  ta coù AKC=AHC=1v AKHC noäi tieáp. HKC=HAC(cuøng chaén cung HC) maø OAC caân ôû O OAC=OCA HKC=HCA HK//AC AKHC laø hình thang.  Ta laïi coù:KAH=KCH (cuøng chaén cung KH) KAO+OAC=KCH+OCA Hình thang AKHC coù hai goùc ôû ñaùy baèng nhau.Vaäy AKHC laø thang caân. 4/ Khi Quay ABC quanh truïc AH thì hình ñöôïc sinh ra laø hình noùn. Trong ñoù BH laø baùn kính ñaùy; AB laø ñöôøng sinh; AH laø ñöôøng cao hình noùn. 1 1 Sxq= p.d= .2 .BH.AB=15 2 2 1 1 V= B.h= BH 2.AH=12 3 3 Baøi 53:Cho(O) vaø hai ñöôøng kính AB; CD vuoâng goùc vôùi nhau. Goïi I laø trung ñieåm OA. Qua I veõ daây MQOA (M cung AC ; Q AD). Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi MQ taïi M caét (O) taïi P. 1. C/m: a/ PMIO laø thang vuoâng. b/ P; Q; O thaúng haøng. 2. Goïi S laø Giao ñieåm cuûa AP vôùi CQ. Tính Goùc CSP. 50
  51. 3. Goïi H laø giao ñieåm cuûa AP vôùi MQ. Cmr: a/ MH.MQ= MP2. b/ MP laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp QHP. C 1/ a/ C/m MPOI laø thang M P vuoâng. Vì OIMI; COIO(gt) S CO//MI maø MPCO H MPMI MP//OI MPOI laø thang vuoâng. A B b/ C/m: P; Q; O thaúng haøng: I O Do MPOI laø thang vuoâng J IMP=1v hay QMP=1v QP laø ñöôøng kính cuûa (O) Q; O; P thaúng haøng. Q 2/ Tính goùc CSP: D Ta coù 1 sñ CSP= sñ(AQ+CP) (goùc 2 coù ñænh naèm trong ñöôøng Hình 53 troøn) maø cung CP = CM 1 1 1 vaø CM=QD CP=QD sñ CSP= sñ(AQ+CP)= sñ CSP= sñ(AQ+QD) = sñAD=45o. Vaäy 2 2 2 CSP=45o. 3/ a/ Xeùt hai tam giaùc vuoâng: MPQ vaø MHP coù : Vì AOM caân ôû O; I laø trung ñieåm AO; MIAO MAO laø tam giaùc caân ôû M AMO laø tam giaùc ñeàu cung AM=60 o vaø MC = CP =30o cung MP = 60o. cung AM=MP goùc MPH= MQP (goùc nt chaén hai cung baèng nhau.) MHP∽ MQP ñpcm. b/ C/m MP laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp QHP. Goïi J laø taâm ñtroøn ngoaïi tieáp QHP.Do cung AQ=MP=60o HQP caân ôû H vaø QHP=120o J naèm treân ñöôøng thaúng HO HPJ laø tam giaùc ñeàu maø HPM=30o MPH+HPJ=MPJ=90o hay JPMP taïi P naèm treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp HPQ ñpcm. Baøi 54: Cho (O;R) vaø moät caùt tuyeán d khoâng ñi qua taâm O.Töø moät ñieåm M treân d vaø ôû ngoaøi (O) ta keû hai tieáp tuyeán MA vaø MB vôùi ñöôømg troøn; BO keùo daøi caét (O) taïi ñieåm thöù hai laø C.Goïi H laø chaân ñöôøng vuoâng goùc haï töø O xuoáng d.Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BC taïi O caét AM taïi D. 1. C/m A; O; H; M; B cuøng naèm treân 1 ñöôøng troøn. 2. C/m AC//MO vaø MD=OD. 3. Ñöôøng thaúng OM caét (O) taïi E vaø F. Chöùng toû MA2=ME.MF 4. Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M treân d ñeå MAB laø tam giaùc ñeàu.Tính dieän tích phaàn taïo bôûi hai tt vôùi ñöôøng troøn trong tröôøng hôïp naøy. 51
  52. B 1/Chöùngminh d OBM=OAM=OHM=1v E O F 2/ C/m AC//OM: Do MA vaø MB laø hai tt caét nhau BOM=OMB vaø D MA=MB MO laø ñöôøng C A H trung tröïc cuûa AB MOAB. Maø BAC=1v (goùc nt chaén nöûa ñtroøn CAAB. Vaäy AC//MO. Hình 54 554 C/mMD=OD. Do OD//MB (cuøng CB) DOM=OMB(so le) maø OMB=OMD(cmt) DOM=DMO DOM caân ôû D ñpcm. 3/C/m: MA2=ME.MF: Xeùt hai tam giaùc AEM vaø MAF coù goùc M chung. 1 Sñ EAM= sd cungAE(goùc giöõa tt vaø 1 daây) 2 1 Sñ AFM= sñcungAE(goùc nt chaén cungAE) EAM=A FM MAE∽ MFA ñpcm. 2 4/Vì AMB laø tam giaùc ñeàu goùc OMA=30o OM=2OA=2OB=2R Goïi dieän tích caàn tính laø S.Ta coù S=S OAMB-Squaït AOB 2 2 1 1 2 Ta coù AB=AM=OM OA =R 3S AMBO= BA.OM= .2R. R3 = R 3 Squaït= 2 2 R 2 .120 R 2 R 2 3 3 R 2 = S= R 2 3 - = 360 3 3 3 Baøi 55: Cho nöûa (O) ñöôøng kính AB, veõ caùc tieáp tuyeán Ax vaø By cuøng phía vôùi nöûa ñöôøng troøn. Goïi M laø ñieåm chính giöõa cung AB vaø N laø moät ñieåm baát kyø treân ñoaïn AO. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi MN taïi M laàn löôït caét Ax vaø By ôû D vaø C. 1. C/m AMN=BMC. 2. C/m ANM= BMC. 3. DN caét AM taïi E vaø CN caét MB ôû F.C/m FEAx. 4. Chöùng toû M cuõng laø trung ñieåm DC. 52
  53. x D y M E C Hình 55 F 554 A B N O 1/C/m AMN=BMA. Ta coù AMB=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn) vaø do NMDC NMC=1v vaäy: AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v AMN=BMA. 2/C/m ANM= BCM: Do cung AM=MB=90o. daây AM=MB vaø MAN=MBA=45o.( AMB vuoâng caân ôû M) MAN=MBC=45o. Theo c/mt thì CMB=AMN ANM= BCM(gcg) 3/C/m EFAx. Do ADMN nt AMN=AND(cuøng chaén cung AN) Do MNBC nt BMC=CNB(cuøng chaén cung CB) AND=CNB Maø AMN=BMC (chöùng minh caâu 1) Ta laïi coù AND+DNA=1v CNB+DNA=1v ENC=1v maø EMF=1v EMFN noäi tieáp EMN= EFN(cuøng chaén cung NE) EFN=FNB EF//AB maø ABAx EFAx. 4/C/m M cuõng laø trung ñieåm DC: Ta coù NCM=MBN=45o.(cuøng chaén cung MN). NMC vuoâng caân ôû M MN=NC. Vaø NDC vuoâng caân ôû N NDM=45o. MND vuoâng caân ôû M MD=MN MC= DM ñpcm. Baøi 56: 53
  54. Töø moät ñieåm M naèm ngoaøi (O) keû hai tieáp tuyeán MA vaø MB vôùi ñöôøng troøn. Treân cung nhoû AB laáy ñieåm C vaø keû CDAB; CEMA; CFMB. Goïi I vaø K laø giao ñieåm cuûa AC vôùi DE vaø cuûa BC vôùi DF. 1. C/m AECD nt. 2. C/m:CD2=CE.CF 3. Cmr: Tia ñoái cuûa tia CD laø phaân giaùc cuûa goùc FCE. 4. C/m IK//AB. A F K x C M D O I E B Hình 56 554 1/C/m: AECD nt: (duøng phöông phaùp toång hai goùc ñoái) 2/C/m: CD2=CE.CF. Xeùt hai tam giaùc CDF vaø CDE coù: -Do AECD nt CED=CAD(cuøng chaén cung CD) -Do BFCD nt CDF=CBF(cuøng chaén cung CF) 1 Maø sñ CAD= sñ cung BC(goùc nt chaén cung BC) 2 1 Vaø sñ CBF= sñ cung BC(goùc giöõa tt vaø 1 daây) FDC=DEC 2 Do AECD nt vaø BFCD nt DCE+DAE=DCF+DBF=2v.Maø MBD=DAM(t/c hai tt caét nhau) DCF=DCE.Töø vaø  CDF∽ CED ñpcm. 3/Goïi tia ñoái cuûa tia CD laø Cx,Ta coù goùc xCF=180o-FCD vaø xCE=180o-ECD.Maø theo cmt coù: FCD= ECD xCF= xCE. ñpcm. 4/C/m: IK//AB. Ta coù CBF=FDC=DAC(cmt) Do ADCE nt CDE=CAE(cuøng chaén cung CE) 54
  55. ABC+CAE(goùc nt vaø goùc giöõa tt cuøng chaén 1 cung) CBA=CDI.trong CBA coù BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2v DKCI noäi tieáp KDC=KIC (cuøng chaén cung CK) KIC=BAC KI//AB. Baøi 57: Cho (O; R) ñöôøng kính AB, Keû tieáp tuyeán Ax vaø treân Ax laáy ñieåm P sao cho P>R. Töø P keû tieáp tuyeán PM vôùi ñöôøng troøn. 1. C/m BM/ / OP. 2. Ñöôøng vuoâng goùc vôùi AB taïi O caét tia BM taïi N. C/m OBPN laø hình bình haønh. 3. AN caét OP taïi K; PM caét ON taïi I; PN vaø OM keùo daøi caét nhau ôû J. C/m I; J; K thaúng haøng. N P J Q I K M A B O Hình 57 554 1/ C/m:BM//OP: Ta coù MBAM (goùc nt chaén nöûa ñtroøn) vaø OPAM (t/c hai tt caét nhau) MB//OP. 2/ C/m: OBNP laø hình bình haønh: Xeùt hai APO vaø OBN coù A=O=1v; OA=OB(baùn kính) vaø do NB//AP POA=NBO (ñoàng vò) APO= ONB PO=BN. Maø OP//NB (Cmt) OBNP laø hình bình haønh. 3/ C/m:I; J; K thaúng haøng: Ta coù: PMOJ vaø PN//OB(do OBNP laø hbhaønh) maø ONAB ONOJ I laø tröïc taâm cuûa OPJ IJOP. -Vì PNOA laø hình chöõ nhaät P; N; O; A; M cuøng naèm treân ñöôøng troøn taâm K, maø MN//OP MNOP laø thang caân NPO= MOP, ta laïi coù NOM = MPN (cuøng chaén cung NM) I·PO=·IOP IPO caân ôû I. Vaø KP=KO IKPO. Vaäy K; I; J thaúng haøng. 55
  56. Baøi 58:Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O, ñöôøng kính AB; ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB taïi O caét nöûa ñöôøng troøn taïi C. Keû tieáp tuyeán Bt vôùi ñöôøng troøn. AC caét tieáp tuyeán Bt taïi I. 1. C/m ABI vuoâng caân 2. Laáy D laø 1 ñieåm treân cung BC, goïi J laø giao ñieåm cuûa AD vôùi Bt. C/m AC.AI=AD.AJ. 3. C/m JDCI noäi tieáp. 4. Tieáp tuyeán taïi D cuûa nöûa ñöôøng troøn caét Bt taïi K. Haï DHAB. Cmr: AK ñi qua trung ñieåm cuûa DH. Hình 58 I 554 1/C/m ABI vuoâng caân(Coù nhieàu caùch-sau ñaây chæ C/m 1 caùch): C -Ta coù ACB=1v(goùc nt chaén D J nöûa ñtroøn) ABC vuoâng ôû C.Vì OCAB taïi trung ñieåm K N O AOC=COB=1v cung AC=CB=90o. o A B CAB=45 . (goùc nt baèng O H nöûa soá ño cung bò chaén) ABC vuoâng caân ôû C. Maø BtAB coù goùc CAB=45 o ABI vuoâng caân ôû B. 2/C/m: AC.AI=AD.AJ. 1 Xeùt hai ACD vaø AIJ coù goùc A chung sñ goùc CDA= sñ cung AC =45o. 2 Maø ABI vuoâng caân ôû B AIB=45 o. CDA=AIB ADC∽ AIJ ñpcm 3/ Do CDA=CIJ (cmt) vaø CDA+CDJ=2v CDJ+CIJ=2v CDJI noäi tieáp. 4/Goïi giao ñieåm cuûa AK vaø DH laø N Ta phaûi C/m:NH=ND -Ta coù:ADB=1v vaø DK=KB(t/c hai tt caét nhau) KDB=KBD.Maø KBD+DJK= 1v vaø KDB+KDJ=1v KJD=JDK KDJ caân ôû K KJ=KD KB=KJ. -Do DH vaø JBAB(gt) DH//JB. Aùp duïng heä quaû Ta leùt trong caùc tam giaùc AKJ vaø AKB ta coù: DN AN NH AN DN NH ; maø JK=KB DN=NH. JK AK KB AK JK KB 56
  57. Baøi 59: Cho (O) vaø hai ñöôøng kính AB; CD vuoâng goùc vôùi nhau. Treân OC laáy ñieåm N; ñöôøng thaúng AN caét ñöôøng troøn ôû M. 1. Chöùng minh: NMBO noäi tieáp. 2. CD vaø ñöôøng thaúng MB caét nhau ôû E. Chöùng minh CM vaø MD laø phaân giaùc cuûa goùc trong vaø goùc ngoaøi goùc AMB 3. C/m heä thöùc: AM.DN=AC.DM 4. Neáu ON=NM. Chöùng minh MOB laø tam giaùc ñeàu. E 1/C/m NMBO noäi tieáp:Söû C duïng toång hai goùc ñoái) M 2/C/m CM vaø MD laø phaân giaùc cuûa goùc trong vaø goùc N ngoaøi goùc AMB: -Do ABCD taïi trung ñieåm A B O cuûa AB vaø CD. Cung O AD=DB=CB=AC=90 o. sñ 1 AMD= sñcungAD=45o. 2 D Hình 59 554 1 sñ DMB= sñcung DB=45o. AMD=DMB=45o.Töôngtöï 2 CAM=45o EMC=CMA=45o.Vaäy CM vaø MD laø phaân giaùc cuûa goùc trong vaø goùc ngoaøi goùc AMB. 3/C/m: AM.DN=AC.DM. Xeùt hai tam giaùc ACM vaø NMD coù CMA=NMD=45 o.(cmt) Vaø CAM=NDM(cuøng chaén cung CM) AMC∽ DMN ñpcm. 4/Khi ON=NM ta c/m MOB laø tam giaùc ñeàu. 57
  58. Do MN=ON NMO vcaân ôû N NMO=NOM.Ta laïi coù: NMO+OMB=1v vaø NOM+MOB=1v OMB=MOB.Maø OMB=OBM OMB=MOB=OBM MOB laø tam giaùc ñeàu. Baøi 60: Cho (O) ñöôøng kính AB, vaø d laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taïi C. Goïi D; E theo thöù töï laø hình chieáu cuûa A vaø B leân ñöôøng thaúng d. 1. C/m: CD=CE. 2. Cmr: AD+BE=AB. 3. Veõ ñöôøng cao CH cuûa ABC.Chöùng minh AH=AD vaø BH=BE. 4. Chöùng toû:CH2=AD.BE. 5. Chöùng minh:DH//CB. 1/C/m: CD=CE: Hình 60 554 Do    d D AD d;OC d;BE d AD//OC//BE.Maø C OH=OB OC laø ñöôøng trung bình E cuûa hình thang ABED CD=CE. A B O H 2/C/m AD+BE=AB. Theo tính chaát ñöôøng trung bình BE AD cuûa hình thang ta coù:OC= BE+AD=2.OC=AB. 2 3/C/m BH=BE.Ta coù: 1 sñ BCE= sdcung CB(goùc giöõa tt vaø moät daây) 2 1 sñ CAB= sñ cung CB(goùc nt) ECB=CAB; ACB cuoâng ôû C HCB=HCA 2 HCB=BCE HCB= ECB(hai tam giaùc vuoâng coù 1 caïnh huyeàn vaø 1 goùc nhoïn baèng nhau) HB=BE. -C/m töông töï coù AH=AD. 4/C/m: CH2=AD.BE. ACB coù C=1v vaø CH laø ñöôøng cao CH2=AH.HB. Maø AH=AD;BH=BE 58
  59. CH2=AD.BE. 5/C/m DH//CB. Do ADCH noäi tieáp CDH=CAH (cuøng chaén cung CH) maø CAH=ECB (cmt) CDH=ECB DH//CB. Baøi 61: Cho ABC coù: A=1v.D laø moät ñieåm naèm treân caïnh AB.Ñöôøng troøn ñöôøng kính BD caét BC taïi E.caùc ñöôøng thaúng CD;AE laàn löôït caét ñöôøng troøn taïi caùc ñieåm thöù hai F vaø G. 1. C/m CAFB noäi tieáp. 2. C/m AB.ED=AC.EB 3. Chöùng toû AC//FG. 4. Chöùng minh raèng AC;DE;BF ñoàng quy. Hình 61 554 1/C/m CAFB noäi tieáp(Söû duïng Hai ñieåm A; Fcuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BC) 2/C/m ABC vaø EBD ñoàng daïng. 3/C/m AC//FG: Do ADEC noäi tieáp ACD=AED(cuøng chaén cung AD). Maø DFG=DEG(cuøng chaén cung GD) ACF=CFG AC//FG. 4/C/m AC; ED; FB ñoàng quy: AC vaø FB keùo daøi caét nhau taïi K.Ta phaûi c/m K; D; E thaúng haøng. BACK vaø CFKB; ABCF=D D laø tröïc taâm cuûa KBC KDCB. Maø DECB(goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn) Qua ñieåm D coù hai ñöôøng thaúng cuøng vuoâng goùc vôùi BC Ba ñieåm K;D;E thaúng haøng. ñpcm. Baøi 62: Cho (O;R) vaø moät ñöôøng thaúng d coá ñònh khoâng caét (O).M laø ñieåm di ñoäng treân d.Töø M keû tieáp tuyeán MP vaø MQ vôùi ñöôøng troøn Haï OHd taïi H vaø daây cung PQ caét OH taïi I;caét OM taïi K. 1. C/m: MHIK noäi tieáp. 2. 2/C/m OJ.OH=OK.OM=R2. 3. CMr khi M di ñoäng treân d thì vò trí cuûa I luoân coá ñònh. 59
  60. P d O K I M H Q Hình 62 554 1/C/m MHIK noäi tieáp. (Söû duïng toång hai goùc ñoái) 2/C/m: OJ.OH=OK.OM=R2. -Xeùt hai tam giaùc OIM vaø OHK coù O chung. Do HIKM noäi tieáp IHK=IMK(cuøng chaén cung IK) OHK∽ OMI OH OK OH.OI=OK.OM  OM OI OPM vuoâng ôû P coù ñöôøng cao PK.aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng coù:OP2=OK.OM.Töø vaø  ñpcm. R 2 4/Theo cm caâu2 ta coù OI= maø R laø baùn kính neân khoâng ñoåi.d coá ñònh neân OH khoâng ñoåi OH OI khoâng ñoåi.Maø O coá ñònh I coá ñònh. Baøi 63: Cho vuoâng ABC(A=1v) vaø AB<AC.Keû ñöôøng cao AH.Treân tia ñoái cuûa tia HB laáy HD=HB roài töø C veõ ñöôøng thaúng CEAD taïi E. 1. C/m AHEC noäi tieáp. 2. Chöùng toû CB laø phaân giaùc cuûa goùc ACE vaø AHE caân. 3. C/m HE2=HD.HC. 4. Goïi I laø trung ñieåm AC.HI caét AE taïi J.Chöùng minh: DC.HJ=2IJ.BH. 5. EC keùo daøi caét AH ôû K.Cmr AB//DK vaø töù giaùc ABKD laø hình thoi. 1/C/m AHEC nt (söû duïng Hình 63 554 hai ñieåm E vaø H ) 2/C/m CB laø phaân giaùc cuûa A ACE Do AHDB vaø BH=HD I ABD laø tam giaùc caân ôû J A BAH=HAD maø C B H D BAH=HCA (cuøng phuï vôùi goùc B). Do AHEC nt E HAD=HCE (cuøng chaén K cung HE) ACB=BCE 60 ñpcm
  61. -C/m HAE caân: Do HAD=ACH(cmt) vaø AEH=ACH(cuøng chaén cung AH) HAE=AEH AHE caân ôû H. 3/C/m: HE2=HD.HC.Xeùt 2 HED vaø HEC coù H chung.Do AHEC nt DEH=ACH( cuøng chaén cung AH) maø ACH=HCE(cmt) DEH=HCE HED∽ HCE ñpcm. 4/C/m DC.HJ=2IJ.BH: Do HI laø trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng AHC HI=IC IHC caân ôû I IHC=ICH.Maø ICH=HCE(cmt) IHC=HCE HI//EC.Maø I laø trung ñieåm cuûa AC JI laø ñöôøng trung bình cuûa 1 AEC JI= EC. 2 Xeùt hai HJD vaø EDC coù: -Do HJ//Ecvaø ECAE HJJD HJD=DEC=1v vaø JH HD HDJ=EDC(ññ) JDH~ EDC EC DC JH.DC=EC.HD maø HD=HB vaø EC=2JI ñpcm 5/Do AEKC vaø CHAK AE vaø CH caét nhau taïi D D laø tröïc taâm cuûa ACK KDAC maø ABAC(gt) KD//AB -Do CHAK vaø CH laø phaân giaùc cuûa CAK(cmt) ACK caân ôû C vaø AH=KH;Ta laïi coù BH=HD(gt),maø H laø giao ñieåm 2 ñöôøng cheùo cuûa töù giaùc ABKD ABKD laø hình bình haønh.Nhöng DBAK ABKD laø hình thoi. Baøi 64: Cho tam giaùc ABC vuoâng caân ôû A.Trong goùc B,keû tia Bx caét AC taïi D,keû CE Bx taïi E.Hai ñöôøng thaúng AB vaø CE caét nhau ôû F. 1. C/m FDBC,tính goùc BFD 2. C/m ADEF noäi tieáp. 3. Chöùng toû EA laø phaân giaùc cuûa goùc DEF 4. Neáu Bx quay xung quanh ñieåm B thì E di ñoäng treân ñöôøng naøo? Hình 64 554 61
  62. 1/ C/m: FDBC: Do BEC=1v;BAC=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn).Hay BEFC; vaø CAFB.Ta laïi coù BE caét CA taïi D D laø tröïc taâm cuûa FBC FDBC. Tính goùc BFD:Vì FDBC vaø BEFC neân BFD=ECB(Goùc coù caïnh töông öùng vuoâng goùc).Maø ECB=ACB(cuøng chaén cung AB) maø ACB=45o BFD=45o 2/C/m:ADEF noäi tieáp:Söû duïng toång hai goùc ñoái. 3/C/m EA laø phaân giaùc cuûa goùc DEF. Ta coù AEB=ACB(cuøng chaén cung AB).Maø ACB=45o( ABC vuoâng caân ôû A) AEB=45o.Maø DEF=90o FEA=AED=45o EA laø phaân giaùc 4/Neâùu Bx quay xung quanh B : -Ta coù BEC=1v;BC coá ñònh. -Khi Bx quay xung quanh B Thì E di ñoäng treân ñöôøng troøn ñöôøng kính BC. -Giôùi haïn:Khi Bx BC Thì EC;Khi BxAB thì EA. Vaäy E chaïy treân cung phaàn tö AC cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính BC. Baøi 65: Cho nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB. Treân nöûa ñöôøng troøn laáy ñieåm M, Treân AB laáy ñieåm C sao cho AC<CB. Goïi Ax; By laø hai tieáp tuyeán cuûa nöûa ñöôøng troøn. Ñöôøng thaúng ñi qua M vaø vuoâng goùc vôùi MC caét Ax ôû P; ñöôøng thaúng qua C vaø vuoâng goùc vôùi CP caét By taïi Q. Goïi D laø giao ñieåm cuûa CP vôùi AM; E laø giao ñieåm cuûa CQ vôùi BM. 1/cm: ACMP noäi tieáp. 2/Chöùng toû AB//DE 3/C/m: M; P; Q thaúng haøng. Hình 65 554 Q M P D E A C O B 1/Chöùng minh:ACMP noäi tieáp(duøng toång hai goùc ñoái) 2/C/m AB//DE: Do ACMP noäi tieáp PAM=CPM(cuøng chaén cung PM) Chöùng minh töông töï,töù giaùc MDEC noäi tieáp MCD=DEM(cuøng chaén cung MD).Ta laïi coù: 1 Sñ PAM= sñ cung AM(goùc giöõa tt vaø 1 daây) 2 1 Sñ ABM= sñ cung AM(goùc noäi tieáp) 2 ABM=MED DE//AB 3/C/m M;P;Q thaúng haøng: 62
  63. Do MPC+MCP=1v(toång hai goùc nhoïn cuûa tam giaùc vuoâng PMC) vaø PCM+MCQ=1v MPC=MCQ. Ta laïi coù PCQ vuoâng ôû C MPC+PQC=1v MCQ+CQP=1v hay CMQ=1v PMC+CMQ=2v P;M;Q thaúng haøng. Baøi 66: Cho nöûa ñöôøng troøn (O), ñöôøng kính AB vaø moät ñieåm M baát kyø treân nöûa ñöôøng troøn. Treân nöûa maët phaúng bôø AB chöùa nöûa ñöôûng troøn, ngöôøi ta keû tieáp tuyeán Ax.Tia BM caét tia Ax taïi I. Phaân giaùc goùc IAM caét nöûa ñöôøng troøn taïi E; caét tia BM taïi F; Tia BE caét Ax taïi H; caét AM taïi K. 1. C/m: IA2=IM.IB . 2. C/m: BAF caân. 3. C/m AKFH laø hình thoi. 4. Xaùc ñònh vò trí cuûa M ñeå AKFI noäi tieáp ñöôïc. Hình 66 I 554 F M H E K A B 1/C/m: IA2=IM.IB: (chöùng minh hai tam giaùc IAB vaø IAM ñoàng daïng) 2/C/m BAF caân: 1 Ta coù sñ EAB= sñ cung BE(goùc nt chaén cung BE) 2 1 Sñ AFB = sñ (AB -EM)(goùc coù ñænh ôû ngoaøi ñtroøn) 2 Do AF laø phaân giaùc cuûa goùc IAM neân IAM=FAM cung AE=EM 1 1 sñ AFB= sñ(AB-AE)= sñ cung BE FAB=AFB ñpcm. 2 2 3/C/m: AKFH laø hình thoi: Do cung AE=EM(cmt) MBE=EBA BE laø phaân giaùc cuûa caân ABF BHFA vaø AE=FA E laø trung ñieåm HK laø ñöôøng trung tröïc cuûa FA AK=KF vaø AH=HF. Do AM BF vaø BHFA K laø tröïc taâm cuûa FAB FKAB maø AHAB AH//FK Hình bình haønh AKFH laø hình thoi. 5/ Do FK//AI AKFI laø hình thang.Ñeå hình thang AKFI noäi tieáp thì AKFI phaûi laø thang caân goùc I=IAM AMI laø tam giaùc vuoâng caân AMB vuoâng caân ôû M M laø ñieåm chính giöõa cung AB. 63
  64. Baøi 67: Cho (O; R) coù hai ñöôøng kính AB vaø CD vuoâng goùc vôùi nhau. Treân ñoaïn thaúng AB laáy ñieåm M(Khaùc A; O; B). Ñöôøng thaúng CM caét (O) taïi N. Ñöôøng vuoâng goùc vôùi AB taïi M caét tieáp tuyeán taïi N cuûa ñöôøng troøn taïi P. Chöùng minh: 1. COMNP noäi tieáp. 2. CMPO laø hình bình haønh. 3. CM.CN khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa M. 4. Khi M di ñoäng treân AB thì P chaïy treân ñoaïn thaúng coá ñònh. 1/c/m:OMNP noäi C tieáp:(Söû duïng hai ñieåm K M;N cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn OP moät goùc vuoâng. A O M B 2/C/m:CMPO laø hình N bình haønh: Ta coù: CDAB;MPAB CO D P y //MP. Hình 67 554 Do OPNM noäi tieáp OPM=ONM(cuøng chaén cung OM). OCN caân ôû O ONM=OCM OCM=OPM. Goïi giao ñieåm cuûa MP vôùi (O) laø K.Ta coù PMN=KMC(ñ ñ) OCM=CMK CMK=OPM CM//OP.Töø  vaø  CMPO laø hình bình haønh. 3/Xeùt hai tam giaùc OCM vaø NCD coù:CND=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn) NCD laø tam giaùc vuoâng. Hai tam giaùc vuoâng COM vaø CND coù goùc C chung. OCM~ NCD CM.CN=OC.CD Töø  ta coù CD=2R;OC=R.Vaäy trôû thaønh:CM.CN=2R2 khoâng ñoåi.vaäy tích CM.CN khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa vò trí cuûa M. 4/Do COPM laø hình bình haønh MP//=OC=R Khi M di ñoäng treân AB thì P di ñoäng treân ñöôøng thaúng xy thoaû maõn xy//AB vaø caùch AB moät khoaûng baèng R khoâng ñoåi. Baøi 68: Cho ABC coù A=1v vaø AB>AC, ñöôøng cao AH. Treân nöûa maët phaúng bôø BC chöùa ñieåm A veõ hai nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính BH vaø nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính HC. Hai nöûa ñöôøng troøn naøy caét AB vaø AC taïi E vaø F. Giao ñieåm cuûa FE vaø AH laø O. Chöùng minh: 64
  65. 1. AFHE laø hình chöõ nhaät. 2. BEFC noäi tieáp 3. AE. AB=AF. AC 4. FE laø tieáp tuyeán chung cuûa hai nöûa ñöôøng troøn. 5. Chöùng toû:BH. HC=4. OE.OF. Hình 68 554 A E O F B I H K C 1/ C/m: AFHE laø hình chöõ nhaät. BEH=HCF(goùc nt chaén nöûa ñtroøn); EAF=1v(gt) ñpcm. 2/ C/m: BEFC noäi tieáp: Do AFHE laø hình chöõ nhaät. OAE caân ôû O AEO=OAE. Maø OAE=FCH(cuøng phuï vôùi goùc B) AEF=ACB maø AEF+BEF=2v BEF+BCE=2v ñpcm 3/ C/m: AE.AB=AF.AC: Xeùt hai tam giaùc vuoâng AEF vaø ACB coù AEF=ACB(cmt) AEF~ ACB ñpcm 4/ Goïi I vaø K laø taâm ñöôøng troøn ñöôøng kính BH vaø CH.Ta phaûi c/m FEIE vaø FEKF. -Ta coù O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo AC vaø DB cuûa hcnhaät AFHE EO=HO; IH=IK cuøng baùn kính); AO chung IHO= IEO IHO=IEO maø IHO=1v (gt) IEO=1v IEOE taïi dieåm E naèm treân ñöôøng troøn. ñpcm. Chöùng minh töông töï ta coù FE laø tt cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính HC. 5/ Chöùng toû:BH.HC=4.OE.OF. Do ABC vuoâng ôû A coù AH laø ñöôøng cao. Aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng ABC coù:AH2=BH.HC. Maø AH=EF vaø AH=2.OE=2.OF(t/c ñöôøng cheùo hình chöõ nhaät) BH.HC = AH2=(2.OE)2=4.OE.OF 65
  66. Baøi 69: Cho ABC coù A=1v AHBC.Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC;d laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taïi ñieåm A.Caùc tieáp tuyeán taïi B vaø C caét d theo thöù töï ôû D vaø E. 1. Tính goùc DOE. 2. Chöùng toû DE=BD+CE. 3. Chöùng minh:DB.CE=R2.(R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn taâm O) 4. C/m:BC laø tieáp tuyeán cuûa ñtroøn ñöôøng kính DE. E I A Hình 69 D 2 554 1 2 3 4 B 1 C H O 1/Tính goùc DOE: ta coù D1=D2 (t/c tieáp tuyeán caét nhau);OD chung Hai tam giaùc vuoâng DOB baèng DOA O1=O2.Töông töï O3=O4. O1+O4=O2+O3. o Ta laïi coù O1+O2+O3+O4=2v O1+O4=O2+O3=1v hay DOC=90 . 2/Do DA=DB;AE=CE(tính chaát hai tt caét nhau) vaø DE=DA+AE DE=DB+CE. 3/Do DE vuoâng ôû O(cmt) vaø OADE(t/c tieáp tuyeán).Aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng DOE coù :OA2=AD.AE.Maø AD=DB;AE=CE;OA=R(gt) R2=AD.AE. 4/Vì DB vaø EC laø tieáp tuyeán cuûa (O) DBBC vaø DEBC BD//EC.Hay BDEC laø hình thang. Goïi I laø trung ñieåm DE I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DOE.Maø O laø trung ñieåm BC OI laø ñöôøng trung bình cuûa hình thang BDEC OI//BD. Ta laïi coù BDBC OIBC taïi O naèm treân ñöôøng troøn taâm I BC laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DOE. Baøi 70: Cho ABC(A=1v); ñöôøng cao AH.Veõ ñöôøng troøn taâm A baùn kính AH.Goïi HD laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn (A;AH).Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taïi D caét CA taïi E. 1. Chöùng minh BEC caân. 2. Goïi I laø hình chieáu cuûa A treân BE.C/m:AI=AH. 3. C/m:BE laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn 4. C/m:BE=BH+DE. 5. Goïi ñöôøng troøn ñöôøng kính AH coù Taâm laø K.Vaø AH=2R.Tính dieän tích cuûa hình ñöôïc taïo bôûi ñöôøng troøn taâm A vaø taâm K. 66
  67. D E I Hình 70 554 A K C H B 1/C/m: BEC caân:.Xeùt hai tam giaùc vuoâng ACH vaø AED coù:AH=AD(baùn kính);CAH=DAE(ñ ñ).Do DE laø tieáp tuyeán cuûa (A) HDDE vaø DHCB gt) DE//CH DEC=ECH ACH= AED CA=AE A laø trung ñieåm CE coù BACE BA laø ñöôøng trung tröïc cuûa CE BCE caân ôû B. 2/C/m:AI=AH. Xeùt hai tam giaùc vuoâng AHB vaø AIB(vuoâng ôû H vaø I) coù AB chung vaø BA laø ñöôøng trung tröïc cuûa caân BCE(cmt) ABI=ABH AHB= AIB AI=AH. 3/C/m:BE laø tieáp tuyeán cuûa (A;AH).Do AH=AI I naèm treân ñöôøng troøn (A;AH) maø BIAI taïi I BI laø tieáp tuyeán cuûa (A;AH) 4/C/m:BE=BH+ED. Theo cmt coù DE=CH vaø BH=BI;IE=DE(t/c hai tt caét nhau).Maø BE=BI+IE ñpcm. 5/Goïi S laø dieän tích caàn tìm.Ta coù: 2 2 S=S(A)-S(K)= AH - AK = R2- Baøi 71: Treân caïnh CD cuûa hình vuoâng ABCD,laáy moät ñieåm M baát kyø.Ñöôøng troøn ñöôøng kính AM caét AB taïi ñieåm thöù hai Q vaø caét ñöôøng troøn ñöôøng kính CD taïi ñieåm thöù hai N.Tia DN caét caïnh BC taïi P. 1. C/m:Q;N;C thaúng haøng. 2. CP.CB=CN.CQ. 3. C/m AC vaø MP caét nhau taïi 1 ñieåm naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính AM. 67
  68. Hình 71 1/C/m:Q;N;C thaúng 554 A Q B haøng: Goïi Taâm cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AM laø O vaø ñöôøng troøn ñöôøng kính DC laø I. O P -Do AQMD noäi tieáp N neân ADM+AMQ=2v H Maø ADM=1v AQM=1v vaø D I M C DAQ=1v AQMD laø hình chöõ nhaät. DQ laø ñöôøng kính cuûa (O) QND=1v(goùc nt -Do DNC=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn taâm I) QND+DNC=2vchaén nöûa ñöôøngñpcm. troøn 2/C/m: CP.CB=CN.CQ.C/m hai tam giaùc vuoâng CPN vaø CBQ ñoàng daïng (coù goùc C chung) 3/Goïi H laø giao ñieåm cuûa AC vôùi MP.Ta phaûi chöùng minh H naèm treân ñöôøng troøn taâm O,ñöôøng kính AM. -Do QBCM laø hcnhaät MQC= BQC. Xeùt hai tam giaùc vuoâng BQC vaø CDP coù:QCB=PDC(cuøng baèng goùc MQC); DC=BC(caïnh hình vuoâng) BQC= CDP CDP= MQC PC=MC.Maø C=1v PMC vuoâng caân ôû C MPC=45o vaø DBC=45o(tính chaát hình vuoâng) MP//DB.Do ACDB MPAC taïi H AHM=1v H naèm treân ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AM. Baøi 72: Cho ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.D vaø E theo thöù töï laø ñieåm chính giöõa caùc cung AB;AC.Goïi giao ñieåm DE vôùi AB;AC theo thöù töï laø H vaø K. 1. C/m: AHK caân. 2. Goïi I laø giao ñieåm cuûa BE vôùi CD.C/m:AIDE 3. C/m CEKI noäi tieáp. 4. C/m:IK//AB. 5. ABC phaûi coù theâm ñieàu kieän gì ñeå AI//EC. 1/C/m: AKH caân: A 1 sñ AHK= sñ(DB+AE) 2 E 1 sñ AKD= sñ(AD+EC) D H K 2 I O (Goùc coù ñænh naèm trong ñöôøng troøn) B C Maø Cung AD+DB; AE=EC(gt) AHK=AKD ñpcm. Hình 72 68 554
  69. 2/c/m:AIDE Do cung AE=EC ABE=EBC(goùc nt chaén caùc cung baèng nhau) BE laø phaân giaùc cuûa goùc ABC.Töông töï CD laø phaân giaùc cuûa goùc ACB.Maø BE caét CD ôû I I laø giao ñieåm cuûa 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa AHK AI laø phaân giaùc töù 3 maø AHK caân ôû A AIDE. 3/C/m CEKI noäi tieáp: Ta coù DEB=ACD(goùc nt chaén caùc cung AD=DB) hay KEI=KCI ñpcm. 4/C/m IK//AB Do KICE noäi tieáp IKC=IEC(cuøng chaén cung IC).Maø IEC=BEC=BAC(cuøng chaén cung BC) BAC=IKC IK//AB. 5/ ABC phaûi coù theâm ñieàu kieän gì ñeå AI//EC: Neáu AI//EC thì ECDE (vì AIDE) DEC=1v DC laø ñöôøng kính cuûa (O) maø DC laø phaân giaùc cuûa ACB(cmt) ABC caân ôû C. Baøi 73: Cho ABC(AB=AC) noäi tieáp trong (O),keû daây cung AA’ vaø töø C keû ñöôøng vuoâng goùc CD vôùi AA’,ñöôøng naøy caét BA’ taïi E. 1. C/m goùc DA’C=DA’E 2. C/m A’DC= A’DE 3. Chöùng toû AC=AE.Khi AA’ quay xung quanh A thì E chaïy treân ñöôøng naøo? 4. C/m BAC=2.CEB 1/C/m DA’C=DA’E Ta coù DA’E=AA’B (ññ A Hình 73 1 554 Vaø sñAA’B=sñ AB 2 CA’D=A’AC+A’CA (goùc ngoaøi AA’C) E 1 Maø sñ A’AC= sñA’C O A’ 2 1 D SñA’CA= sñAC 2 B C 1 1 sñCA’D= sñ(A’C+AC)= sñ AC.Do daây AB=AC Cung AB=AC 2 2 DA’C=DA’E. 2/C/m A’DC= A’DE. Ta coù CA’D=EA’D(cmt);A’D chung; A’DC=A’DE=1v ñpcm. 3/Khi AA’ quay xunh quanh A thì E chaïy treân ñöôøng naøo? Do A’DC= A’DE DC=DE AD laø ñöôøng trung tröïc cuûa CE AE=AC=AB Khi AA’ quay xung quanh A thì E chaïy treân ñöôøng troøn taâm A;baùn kính AC. 4/C/m BAC=2.CEB Do A’CE caân ôû A’ A’CE=A’EC.Maø BA’C=A’EC+A’CE=2.A’EC(goùc ngoaøi A’EC). 69
  70. Ta laïi coù BAC=BA’C(cuøng chaén cung BC) BAC=2.BEC. Baøi 74: Cho ABC noäi tieáp trong nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB.O laø trung ñieåm AB;M laø ñieåm chính giöõa cung AC.H laø giao ñieåm OM vôùi AC> 1. C/m:OM//BC. 2. Töø C keû tia song song vaø cung chieàu vôùi tia BM,tia naøy caét ñöôøng thaúng OM taïi D.Cmr:MBCD laø hình bình haønh. 3. Tia AM caét CD taïi K.Ñöôøng thaúng KH caét AB ôû P.Cmr:KPAB. 4. C/m:AP.AB=AC.AH. 5. Goïi I laø giao ñieåm cuûa KB vôùi (O).Q laø giao ñieåm cuûa KP vôùi AI. C/m A;Q;I thaúng haøng. Hình 74 554 D K C I M Q H A P O B 1/C/m:OM//BC. Cung AM=MC(gt) COM=MOA(goùc ôû taâm baèng sñ cung bò chaén).Maø AOC caân ôû O OM laø ñöôøng trung tröïc cuûa AOC OMAC.MaøBCAC(goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn) ñpcm. 2/C/m BMCD laø hình bình haønh:Vì OM//BC hay MD//BC(cmt) vaø CD//MB (gt) ñpcm. 3/C/ KPAB.Do MHAC(cmt) vaø AMMB(goùc nt chaén nöûa ñtroøn); MB//CD(gt) AKCD hay MKC=1v MKCH noäi tieáp MKH=MCH(cuøng chaén cung MH).Maø MCA=MAC(hai goùc nt chaén hai cung MC=AM) HAK=HKA MKA caân ôû H M laø trung ñieåm AK.Do AMB vuoâng ôû M KAP+MBA=1v.maø MBA=MCA(cuøng chaén cung AM) MBA=MKH hay KAP+AKP=1v KPAB. 4/Haõy xeùt hai tam giaùc vuoâng APH vaø ABC ñoàng daïng(Goùc A chung) 5/Söû duïng Q laø tröïc taâm cuæa AKB. Baøi 75: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính EF.Töø O veõ tia Ot EF, noù caét nöûa ñöôøng troøn (O) taïi I. Treân tia Ot laáy ñieåm A sao cho IA=IO.Töø A keû hai tieáp tuyeán AP vaø AQ vôùi nöûa ñöôøng troøn;chuùng caét ñöôøng thaúng EF taïi B vaø C (P;Q laø caùc tieáp ñieåm). 1.Cmr ABC laø tam giaùc ñeàu vaø töù giaùc BPQC noäi tieáp. 70
  71. 2.Töø S laø ñieåm tuyø yù treân cung PQ.veõ tieáp tuyeán vôùi nöûa ñöôøng troøn;tieáp tuyeán naøy caét AP taïi H,caét AC taïi K.Tính sñ ñoä cuûa goùc HOK 3.Goïi M; N laàn löôït laø giao ñieåm cuûa PQ vôùi OH; OK. Cm OMKQ noäi tieáp. 4.Chöùng minh raèng ba ñöôøng thaúng HN; KM; OS ñoàng quy taïi ñieåm D, vaø D cuõng naèm treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp HOK. A K H S I D P M N Q B E O F C Hình 75 554 1/Cm ABC laø tam giaùc ñeàu:Vì AB vaø AC laø hai tt caét nhau Caùc APO; AQO laø caùc tam giaùc vuoâng ôû P vaø Q.Vì IA=IO(gt) PI laø trung tuyeán cuûa tam gíac vuoâng AOP PI=IO.Maø IO=PO(baùn kính) PO=IO=PI PIO laø tam giaùc ñeàu POI=60o. OAB=30o.Töông töï OAC=30o BAC=60o.Maø ABC caân ôû A(Vì ñöôøng caoAO cuõng laø phaân giaùc) coù 1 goùc baèng 60o ABC laø tam giaùc ñeàu. 2/Ta coù Goùc HOP=SOH;Goùc SOK=KOC (tính chaát hai tt caét nhau) Goùc HOK=SOH+SOK=HOP+KOQ.Ta laïi coù: POQ=POH+SOH+SOK+KOQ=180o-60o=120o HOK=60o. 3/ Baøi 76: Cho hình thang ABCD noäi tieáp trong (O),caùc ñöôøng cheùo AC vaø BD caét nhau ôû E.Caùc caïnh beân AD;BC keùo daøi caét nhau ôû F. 1. C/m:ABCD laø thang caân. 2. Chöùng toû FD.FA=FB.FC. 3. C/m:Goùc AED=AOD. 4. C/m AOCF noäi tieáp. 71
  72. F Hình 76 1/ C/m ABCD laø hình thang 554 caân: Do ABCD laø hình thang A B AB//CD BAC=ACD (so le).Maø BAC=BDC(cuøng E chaén cung BC) BDC=ACD Ta laïi coù ADB=ACB(cuøng D C chaén cung AB) ADC=BCD O Vaäy ABCD laø hình thang caân. 2/c/m FD.FA=FB.FC C/m Hai tam giaùc FDB vaø FCA ñoàng daïng vì Goùc F chung vaø FDB=FCA(cmt) 3/C/m AED=AOD: C/m F;O;E thaúng haøng: Vì DOC caân ôû O O naèm treân ñöôøng trung tröïc cuûa Dc.Do ACD=BDC(cmt) EDC caân ôû E E naèm tren ñöôøng trung tröïc cuûa DC.Vì ABCD laø thang caân FDC caân ôû F F naèm treân ñöôøng trung tröïc cuûa DC F;E;O thaúng haøng. C/m AED=AOD. 1 1 Ta coù:Sñ AED= sñ(AD+BC)= .2sñAD=sñAD vì cung AD=BC(cmt) 2 2 Maø sñAOD=sñAD(goùc ôû taâm chaén cung AD) AOD=AED. 4/Cm: AOCF noäi tieáp: 1 + Sñ AFC= sñ(DmC-AB) 2 Sñ AOC=SñAB+sñ BC 1 1 Sñ (AFC+AOC) = sñ DmC- sñAB+sñAB+sñBC. 2 2 Maø sñ DmC=360o-AD-AB-BC.Töøvaø  sñ AFC+sñ AOC=180o. ñpcm Baøi 77: Cho (O) vaø ñöôøng thaúng xy khoâng caét ñöôøng troøn.Keû OAxy roài töø A döïng ñöôøng thaúng ABC caét (O) taïi B vaø C.Tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa (O) caét xy taïi D vaø E.Ñöôøng thaúng BD caét OA;CE laàn löôït ôû F vaø M;OE caét AC ôû N. 1. C/m OBAD noäi tieáp. 2. Cmr: AB.EN=AF.EC 3. So saùnh goùc AOD vaø COM. 4. Chöùng toû A laø trung ñieåm DE. 72
  73. x M E C N O B A F Hình 77 554 D 1/C/m OBAD nt: -Do DB laø tt OBD=1v;OAxy(gt) OAD=1v ñpcm. 2/Xeùt hai tam giaùc:ABF vaø ECN coù: -ABF=NBM(ñ ñ);Vì BM vaø CM laø hai tt caét nhau NBM=ECB FBA=ECN. -Do OCE+OAE=2v OCEA noäi tieáp CEO=CAO(cuøng chaén cung OC) ABF~ ECN ñpcm. 3/So saùnh;AOD vôùi COM:Ta coù: -DÑoABO nt DOA=DBA(cuøng chaén cung ).DBA=CBM(ñ ñ) CBM=MCB(t/c hai tt caét nhau).Do BMCO nt BCM=BOM DOA=COM. 4/Chöùng toû A laø trung ñieåm DE: Do OCE=OAE=1v OAEC nt ACE=AOE(cuøng chaén cung AE) DOA=AOE OA laø phaân giaùc cuûa goùc DOE.Maø OADE OA laø ñöôøng trung tröïc cuûa DE ñpcm Baøi 78: Cho (O;R) vaø A laø moät ñieåm ôû ngoaøi ñöôøng troøn.Keû tieáp tuyeán AB vaø AC vôùi ñöôøng troøn. OB keùo daøi caét AC ôû D vaø caét ñöôøng troøn ôû E. 1/ Chöùng toû EC // vôùi OA. 2/ Chöùng minh raèng: 2AB.R=AO.CB. 3/ Goïi M laø moät ñieåm di ñoäng treân cung nhoû BC, qua M döïng moät tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn, tieáp tuyeán naøy caét AB vaøAC laàn löôït ôû I,J .Chöùng toû chu vi tam giaùc AI J khoâng ñoåi khi M di ñoäng treân cung nhoû BC. 4/ Xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung nhoû BC ñeå 4 ñieåm J,I,B,C cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 73
  74. D E Hình 78 554 C O J A M I B 1/C/m EC//OA:Ta coù BCE=1v(goùc nt chaén nöûa ñt) hay CEBC.Maø OA laø phaân giaùc cuûa caân ABC OABC OA//EC. 2/xeùt hai tam giaùc vuoâng AOB vaø ECB coù: -Do OCA+OBA=2v ABOC nt OBC=OAC(cuøng chaén cung OC). maø OAC=OAB (tính chaát hai tt caét nhau) EBC=BAO BAO~ CBE .Ta laïi coù BE=2R ñpcm. 3/Chöùng minh chu vi AIJ khoâng ñoåi khi M di ñoäng treân cung nhoû BC. Goïi P laø chu vi AIJ .Ta coù P=JI+IA+JA=MJ+MI+IA+JA. Theo tính chaát hai tt caét nhau ta coù:MI=BI;MJ=JC;AB=AC P=(IA+IB)+(JC+JA)=AB+AC=2AB khoâng ñoåi. 4/Giaû söû BCJI noäi tieáp BCJ+BIJ=2v.MaäI+JBI=2v JIA=ACB.Theo chöùng minh treân coù ACB=CBA CBA=JIA hay IJ//BC.Ta laïi coù BCOA JIOA Maø OMJI OM OA M laø ñieåm chính giöõa cung BC. Baøi 79: Cho(O),töø ñieåm P naèm ngoaøi ñöôøng troøn,keû hai tieáp tuyeán PA vaø PB vôùi ñöôøng troøn.Treân ñoaïn thaúng AB laáy ñieåm M,qua M döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi OM,ñöôøng naøy caét PA,PB laàn löôït ôû C vaø D. 1/Chöùng minh A,C,M,O cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 2/Chöùng minh:COD=AOB. 3/Chöùng minh:Tam giaùc COD caân. 4/Veõ ñöôøng kính BK cuûa ñöôøng troøn,haï AH BK.Goïi I laø giao ñieåm cuûa AH vôùi PK.Chöùng minh AI=IH. C K A I Q H M O P 74
  75. Hình 79 D 554 B 1/C/m ACMO nt: Ta coù OAC=1v(tc tieáp tuyeán).Vaø OMC=1v(vì OMCD-gt) 2/C/m COD=AOB.Ta coù: Do OMAC nt OCM=OAM(cuøng chaén cung OM). Chöùng minh töông töï ta coù OMDB nt ODM=MBO(cuøng chaén cung OM) Hai tam giaùc OCD vaø OAB coù hai caëp goùc töông öùng baèng nhau Caëp goùc coøn laïi baèng nhau COD=AOB. 3/C/m COD caân: Theo chöùng minh caâu 2 ta laïi coù goùc OAB=OBA(vì OAB caân ôû O) OCD=ODC OCD caân ôû O. 4/Keùo daøi KA caét PB ôû Q. Vì AHBK; QBBK AH//QB. Hay HI//PB vaø AI//PQ. Aùp duïng heä quaû ñònh lyù Taleùt trong caùc tam giaùc KBP vaø KQP coù:    Baøi 80: Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O. Ba ñöôøng cao AK; BE; CD caét nhau ôû H. 1/Chöùng minh töù giaùc BDEC noäi tieáp. 2/Chöùng minh :AD.AB=AE.AC. 3/Chöùng toû AK laø phaân giaùc cuûa goùc DKE. 4/Goïi I; J laø trung ñieåm BC vaø DE. Chöùng minh: OA//JI. A x J E D O Hình 80 H 554 B K I C 1/C/m:BDEC noäi tieáp: Ta coù: BDC=BEC=1v(do CD;BE laø ñöôøng cao) Hai ñieåm D vaø E cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn BC ñpcm 2/c/m AD.AB=AE.AC. 75