›
›
›

140 câu trắc nghiệm Toán 11 - Chương 3: Vec tơ quan hệ vuông góc trong không gian (Có đáp án)

docx 59 trang xuanha23 07/01/2023 2660
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "140 câu trắc nghiệm Toán 11 - Chương 3: Vec tơ quan hệ vuông góc trong không gian (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docx140_cau_trac_nghiem_toan_11_chuong_3_vec_to_quan_he_vuong_go.docx

Nội dung text: 140 câu trắc nghiệm Toán 11 - Chương 3: Vec tơ quan hệ vuông góc trong không gian (Có đáp án)

  1. 140 CÂU TRẮC NGHIỆM VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? A. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. B. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn. C. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c ). D. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c . Câu 2. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng P khi a và b song song (hoặc a trùng với b ). C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng Q thì mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q . D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng P thì a và b song song. Câu 3. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? A. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn. B. Góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng Q bằng góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng R khi mặt phẳng R song song với mặt phẳng Q (hoặc R trùng với Q ). C. Góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng Q bằng góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng R thì mặt phẳng R song song với mặt phẳng Q . D. Cả ba mệnh đề trên đều đúng. Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a . Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD là . Khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau: 2 A. tan . B. tan 1 C. tan 2 . D. tan 3 . 2 Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Xét mặt phẳng A BD , trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa mặt phẳng A BD và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau. B. Góc giữa mặt phẳng A BD và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau.
  2. C. Góc giữa mặt phẳng A BD và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng 1 mà tan . 2 D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. Câu 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và có một mặt bên vuông góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc nhau. B. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc nhau. C. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc nhau. D. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc nhau.   Câu 7. Cho hình lập phương ABCD.EFGH , hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB, DH ? A. 450 . B. 900 . C. 1200 . D. 600 . Câu 8. Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a / /b . B. Nếu a / /b , c  a thì c  b . C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a / /b . D. Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng và c / / thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c . Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC, ·ASB B· SC C· SA . Hãy xác định góc giữa SB và AC . A. 600 . B. 1200 . C. 450 . D. 900 . Câu 10. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC, ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là A. 1200 . B. 600 . C. 900 . D. 300 . Câu 11. Cho hình hộp ABCD.A B CD . Giả sử tam giác AB C, A DC là các tam giác nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A D là góc nào sau đây? B. ·AB C . B. D· A C . C. B· B C . D. D· AC . Câu 12. Trong các mện đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai. B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Câu 13. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của BC , CA và BD . Khi đó góc giữa AB và CD là: A. J· IK . B. ·ABC . C. I·JK . D. J· KI .
  3. Câu 14. Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho SA a và vuông góc với ABC . Tính góc giữa SD và BC A. 60 . B. 90 . C. 45 . D. arctan 2 . Câu 15. Cho tứ diện ABCD .Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của BC , AD và AC . Cho AB 2a , CD 2a 2 và MN a 5 . Tính góc ·AB,CD A. 135 . B. 60 . C. 90 . D. 45 . Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA a , ABC đều cạnh a . Tính góc giữa SB và ABC A. arctan 2 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA a , ABC đều cạnh a . Tính tan S·C, SAB ? 3 5 1 A. . B. . C. . D. 2 . 5 3 2 Câu 18. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và DBC . Tính cos ? 1 3 1 A. 3 . B. . C. . D. . 3 3 2 Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a ; SA  ABCD và SA a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ABCD và SBC ? 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 6 Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng a ; SA  ABCD và SA a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SDC ? 2 A. . B. . C. . D. . 3 6 4 3 Câu 21. Cho ba tia Ox , Oy , Oz trong không gian sao cho x· Oy 120 , z·Oy 90 , x· Oz 60 Trên ba tia ấy lần lượt lấy các điểm A , B , C sao cho OA OB OC a . Gọi ,  lần lượt là góc giữa mặt phẳng ABC với mặt phẳng OBC và mặt phẳng OAC . Tính tan  tan  ? 1 3 A. . B. 2 . C. . D. 1. 2 2 Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ; SA  ABCD và SA a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 . Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ; SA  ABCD và SA a 3 . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SC . Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và BD 1 A. 90 . B. 60 . C. arctan . D. 45 . 3
  4. 4 Câu 24. Cho tứ diện ABCD có CD AB . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của BC , AC , DB . 3 5 Biết IK AB .Tính góc giữa hai đường thẳng CD và IJ 6 A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 . Câu 25. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , BC . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và C D A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Câu 26. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AD A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Câu 27. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , BC , C D . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Câu 28. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , BC , C D . Tính góc giữa hai đường thẳng DN và A P A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA  ABCD và SA a 6 . Tính cosin góc tạo bởi SC và mặt phẳng SAB . 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 8 7 Câu 30. Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ABCD cà SA a 6 . Tính sin của góc tạo bởi AC và mặt phẳng SBC . 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 7 7 Câu 31. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC cân đỉnh A, ·ABC , BC ' tạo đáy góc  . Gọi I là trung điểm của AA’ , biết B· IC 900 . Tính tan2 tan2  1 A. . B. 2 . C. 3 . D.1 . 2 Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B . Cho B· SC 450 , gọi ·ASB . Tìm sin để góc giữa hai mặt phẳng ASC và BSC bằng 600 3 2 1 15 2 sin sin A. sin . B. sin . C. 9 . D. 5 . 5 2 Câu 33. Cho mặt phẳng P và hai điểm A, B không nằm trong P . Đặt d1 d A; P và d2 d B; P . Trong các kết luận sau thì kết luận nào đúng? d A. 1 1 khi và chỉ khi AB// P . d2 d B. 1 1 khi và chỉ khi đoạn thẳng AB cắt P . d2
  5. d C. 1 1 khi đoạn thẳng AB cắt P . d2 IA d D. Nếu đường thẳng AB cắt P tại điểm I thì 1 . IB d2 Câu 34. Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc. Giả sử AB 1, AC 2 , AD 3. Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD bằng: 7 5 6 7 A. . B. . C. . D. . 5 7 7 11 Câu 35. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AD b , AA c . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC là: bc ab bc 1 A. . B. . C. . D. a2 b2 . b2 c2 a2 b2 a2 b2 2 Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD . a 7 a 7 a 21 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 21 7 3 Câu 37. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? a A. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BD bằng . 3 B. Độ dài AC a 3 . C. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng CDD C bằng a 2 . 3a D. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCC B bằng . 2 Câu 38. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi A là hình chiếu của A trên mặt phẳng BCD . Độ dài cạnh AA là: a 6 a 6 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 3 Câu 39. Cho tứ diện ABCD có AC a , BD 3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC  BD . Tính MN . a 6 2a 3 3a 2 a 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Câu 40. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a . Tính tích AB.EG ? A. a2 3 . B. a2 . C. a2 2 . D. 2a2 . Câu 41. Cho tứ diện ABCD có AB 6, CD 3. Góc giữa AB và CD bằng 60o . Điểm M nằm trên đoạn BC sao cho BM 2MC . Mặt phẳng P qua M song song với AB và CD cắt AC , AD và BD lần lượt tại N , P , Q . Tính diện tích MNPQ ? A. 2 2 . B. 2 3 . C. 3 . D. 3 2 . Câu 42. Cho tứ diện ABCD có AB  CD , AB CD 6 ; M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC xBC 0 x 1 . Mặt phẳng P song song với AB và CD lần lượt cắt BC , AC , AD , BD tại M , N , P , Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ là: A. 9 . B. 6 . C. 10. D. 12. Câu 43. Cho tứ diện ABCD có DA  ABC , AC AD 4 , AB 3 , CD 5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD .
  6. 12 12 6 34 A. . B. . C. . D. . 5 34 34 3 Câu 44. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA 3a , AB BC 2a , ·ABC 120o . Tính khoảng cách từ A đến SBC . a 3 3a A. a . B. 2a . C. . D. . 2 2 Câu 45. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA  ABC và SA a . Tính khoảng cách từ A đến SBC theo a . a 3 3a a 3 3a A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB AD a , CD 2a , cạnh SD vuông góc với ABCD , SD a . Tính d A; SBC . a 3 a 6 a 6 A. . B. a 3 . C. . D. . 3 6 3 Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD 2a , SA  ABCD , SA a . Tính khoảng cách từ trung điểm I của SC đến SBD . a 3 a a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Câu 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA  ABCD , SA a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD . A. a . B. a 2 . C. a 3 . D. 2a . Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA  ABCD , SA a . Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách từ M đến SAB nhận giá trị nào sau đây? a 2 A. . B. a . C. a 2 . D. 2a . 2 Câu 50. Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC đôi một vuông góc và SA AB BC 1. Tính độ dài SC . 3 A. 2 . B. 3 . C. 2 . D. . 2 Câu 51. Cho tứ diện ABCD có DA DB DC và B· CD 60o , ·ADC 90o , ·ADB 120o . Trong các mặt của tứ diện đó: A. Tam giác ABD có diện tích lớn nhất. B. Tam giác ACD có diện tích lớn nhất. C. Tam giác BCD có diện tích lớn nhất. D. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Câu 52. Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện vuông góc. Cắt tứ diện đó bằng một mặt phẳng song song với một cặp cạnh đối diện còn lại của tứ diện. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Thiết diện là hình thang. B. Thiết diện là hình bình hành. C. Thiết diện là hình chữ nhật. D. Thiết diện là hình vuông. Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD , SA a 3 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . a a 3 3a a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3
  7. Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều với đáy lớn AD 2a SA  ABCD và SA a 3 . Tính khoảng cách từ A đến SBC . a 3 a 3 a 3 A. a . B. . C. . D. . 2 5 7 Câu 55. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi a , b , c tương ứng là độ dài của các cạnh OA , OB , OC . Gọi h là khoảng cách từ O đến ABC thì h có giá trị là: 1 1 1 1 1 1 A. h . B. h . a b c a2 b2 c2 a2b2 b2c2 c2a2 abc C. h 2 2 2 . D. h . a b c a2b2 b2c2 c2a2 Câu 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , đường chéo AC a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và ABCD bằng 60o . Gọi I là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ I đến SBC . 3a 13 a 3 a 13 3a 13 A. . B. . C. . D. . 26 4 26 16 Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB AD 2a , CD a ; góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60o . Gọi I là trung điểm của AD , hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với ABCD . Tính theo a khoảng cách từ A đến SBC . a 15 3a 15 2a 15 2a 15 A. . B. . C. . D. . 5 10 10 5 Câu 58. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k    thích hợp đẻ điền vào đẳng thức vectơ : MN k AC BD 1 1 A. k .B. k .C. k 3. D. k 2 . 2 3 Câu 59. Cho ba vectơ a,b,c . Điều kiện nào sau đây khẳng định a,b,c đồng phẳng? A.Tồn tại ba số thực m,n, p thoả mãn m n p 0 và ma nb pc 0 . B.Tồn tại ba số thực m,n, p thoả mãn m n p 0 và ma nb pc 0 . C.Tồn tại ba số thực m,n, p thoả mãn ma nb pc 0 . D.Giá của a,b,c đồng quy.    Câu 60. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C ' có AA' a, AB b, AC c. Hãy phân tích ( biểu thị) vectơ  B'C qua các vectơ a,b,c .   A. B'C a b c. B. B'C a b c.   C. B'C a b c. D. B'C a b c. Câu 61. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?  1  A.Nếu AB BC thì B là trung điểm của đoạn AC .  2   B.Từ AB 3AC ta suy ra CB AC .    C.Vì AB 3AC 5AD nên bốn điểm A, B,C, D cùng thuộc một mặt phẳng.     D.Từ AB 3AC ta suy ra BA 3CA . Câu 62. Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: A.Ba vectơ a,b,c đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương
  8. B.Ba vectơ a,b,c đồng phẳng nếu có một trong ba vectơ đó bằng vectơ 0 C.Vectơ x a b c luôn luôn đồng phẳng với hai vectơ a và b .    D.Cho hình hộp ABCD.A'B'C 'D' ba vectơ AB' ,C ' A' , DA' đồng phẳng. Câu 63. Trong các kết luận sau đây, kết luận nào đúng?.  Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a . Ta có AB.EG bằng:. a 2 A. a2. B. a 2. C. a 3. D. . 2 Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD . G ọi O là giao điểm của AC và BD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?.    A.Nếu SA SB 2SC 2SD 6SO th ì ABCD l à h ình thang.      B.Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SB SC SD 4SO .      C.Nếu ABCD là h ình thang thì SA SB 2SC 2SD 6SO .      D.Nếu SA SB SC SD 4SO thì ABCD là hình bình hành. Câu 65. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?.       A.Từ hệ thức AB 2AC 8AD ta suy ra ba vectơ AB, AC, AD đồng phẳng.   B.Vì NM NP 0 nên N là đoạn trung điểm của đoạn MP .  1   C.Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có OI OA OB     2 D.Vì AB BC CD DA 0 nên bốn điểm A, B,C, D cùng thuộc một mặt phẳng.   Câu 66. Cho hình hộp ABCD.A'B'C 'D' có tâm O . Đặt AB a; BC b . M là điểm xác định bởi  1 OM a b . Khẳng định nào sau đây đúng?. 2 A. M là trung điểm của BB'. . B. M là tâm hình bình hành BCC 'B' . C. M là tâm hình bình hành ABB' A' . D. M là trung điểm của CC ' .   Câu 67. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữ cặp vectơ AB và DH ?. A. 45. B.90. C.120. D. 60. Câu 68. Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC 'D' có cạnh chung AB và nằm trong hai   mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O' . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và OO' ?. A. 60. B. 45. C.120. D.90. Câu 69. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và ·ASB B· SC C· SA . Hãy xác định góc giữa cặp   vectơ SB và AC ?. A. 60. B.120. C. 45. D.90. Câu 70. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?. A.120. B. 60. C.90. D.30. Câu 71. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạch đều bằng A.Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC.Số đo của góc IJ,CD bằng: A.90. B. 45. C.30. D. 60. Câu 72. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Giả sử tam giác AB C và A DC đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A D là góc nào sau đây? A. ·AB C. B. D· A C . C. B· B D. D. B· DB . Câu 73. Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?. A.Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai. B.Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
  9. C.Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau. D.Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Câu 74. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và ·ASB B· SC C· SA . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ   SC và AB ? A.120. B. 45. C. 60. D.90. Câu 75. Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN, SC bằng: A. 45. B.30. C.90. D. 60. Câu 76. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Chọn khẳng định sai? A.Góc giữa AC và B1D 1 bằng 90. B.Góc giữa B1D 1 và AA1 bằng 60. C.Góc giữa AD và B1C bằng 45. D.Góc giữa BD vàAC bằng 90. 1 1   Câu 77. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a . Gọi M là trung điểm AD . Giá trị B1M.BD1 là: 1 3 3 A.a2. B.a2. C.a2. D. a2. 2 4 2 Câu 78. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?. A.Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c . B.Cho ba đường thẳng a,b,c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c . C.Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c . D.Cho hai đường thẳng a vàb song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng a,b .   Câu 79. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ? A.90. B.60. C.45. D.120. Câu 80. Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm củaC D , là góc giữaA C vàBM . Chọn khẳng định đúng? 3 1 3 A.cos = . B.cos = . C.cos = . D. 60. 4 3 6  Câu 81. Cho a 3, b 5 góc giữa a,b bằng 120. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A B.a .C.b . D 19 a b 7 a 2b 139 a 2b 9   Câu 82. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AF và EG ? A.90. B.60. C.45. D.120. Câu 83. Trong không gian cho ba điểm A, B,C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?   A 2AB.AC AB2 AC 2 BC 2   B 2AB.AC AB2 AC 2 2BC 2   C AB.AC AB2 AC 2 2BC 2   D AB.AC AB2 AC 2 BC 2   Câu 84. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG a2 2 A aB.2 .C.3.D a2 a2 2 2
  10. Câu 85. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB CD 6 . M là điểm thuộc BC sao cho MC x.BC 0 x 1 . Mp P song song với AB vàCD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M , N, P,Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu? A.9.B.11.C.10.D.8. Câu 86. Cho tứ diện ABCD có AB CD . Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC , BC , BD , DA . Góc giữa IE và JF là: A. .3 0 B. . 45 C. . 60 D. . 90 Câu 87. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Mộtđường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. D.Mộtđường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. Câu 88. Cho hai vec tơ a, b thỏa mãn a 4 ;b 3; a b 4 . Gọi là góc giữa hai véc tơ a và b . Chọn khẳng định đúng: 3 1 A. .c os B. . C. 3 .0  D. . cos 60 8 3       Câu 89. Cho tứ diện ABCD . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: AB.CD AC.DB AD.BC k A. .k 1 B. . k 2 C. . k D.0 . k 4 Câu 90. Trong không gian cho tam giác ABC . Tìm điểm M sao cho giá trị của biểu thức P MA2 MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. M là trọng tâm tam giác ABC . B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . C. M là trực tâm tam giác ABC . D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC . Câu 91. Cho hai vec tơ a, b thỏa mãn a 26 ;b 28; a b 48 . Độ dài của vec tơ a b là: A. .2 5 B. . 616 C. . 9 D. . 618  Câu 92. Cho hai vec tơ a, b thỏa mãn a 4 ;b 3; a.b 10 . Xét hai véc tơ y a b ; x a 2b . Gọi  là góc giữa hai véc tơ x và y . Chọn khẳng định đúng: 2 1 3 2 A. .c os B. . C. . cosD. . cos cos 15 15 15 15 Câu 93. Trong không gian cho tam giác ABC có diện tích S . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: 1  2  2   2 S AB .AC 2k AB.AC 2 1 1 A. .k B. . k 0 C. . k D. . k 1 4 2 Câu 94. Trong không gian cho đường thẳng d và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với d A. Vô số . B. .2 C. . 3 D. . 1
  11. Câu 95. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA SB SC b a b 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Xét mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SC tại điểm I nằm giữa S và C . Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P là: a2 3b2 a2 a2 3b2 a2 A. .S B. . S 4b 2b a2 3b2 a2 a2 3b2 a2 C. .S D. . S 2b 4b Câu 96. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB , BC , BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng: A. Góc giữa CD và ABD là góc CBD . B. Góc giữa AC và CBD là góc ACB . C. Góc giữa AD và ABC là góc ADB . D. Góc giữa AC và ABD là góc CBA . Câu 97. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và tam giác ABC vuông tại B . Vẽ SH  ABC , H ABC . Khẳng định nào sau đây đúng: A. H trùng với trung điểm của AC . B. H là trọng tâm tam giác ABC . C. H là trực tâm tam giác ABC .D. trùng với trungH điểm của . BC Câu 98. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và mặt phẳng ABC . A. .3 0 B. . 45 C. . 60 D. . 75 Câu 99. Mệnh đề nào sau đây làsai? A.Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho ) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. D.Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. Câu 100. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC , BSC 120 , CSA 60 . Vẽ SH  ABC , H ABC . Khẳng định nào sau đây đúng: A. H trùng với trung điểm của AB . B. H là trọng tâm tam giác ABC . C. H trùng với trung điểm của BC .D. trùng với trungH điểm của . AC Câu 101. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SA  ABCD . Khẳng định nào sau đây sai: A. .S A  BD B. . SC.C .  BD D. . SO  BD AD  SC Câu 102. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC và SO  ABC . Gọi I là điểm tùy ý trên OH ( không trùng với O và H ). Xét mặt phẳng P đi qua I và vuông góc với OH . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P là: A. Hình thang cân.B.Hình thang vuông. C.Hình bình hành.D.Tam giác vuông. Câu 103. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SA  ABCD . Gọi I là trung điểm của SC .Khẳng định nào sau đây sai:
  12. A. .I O  ABCD B. . SC  BD C. .S A SB SC D. là mặt phẳng SAC trung trực của. BD Câu 104. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuôngcạnh a ,SA  ABCD và SA a 6 . Gọi là góc giữa SC và ABCD . Chọn khẳng định đúng: 1 A. . 45 B. . C.30 . D. . cos 60 3 Câu 105. Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu H của S lên mặt phẳng ABC là: A.Trọng tâm tam giác ABC . B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . C. Trực tâm tam giác ABC . D.Tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC . Câu 106. Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Mệnh đề nào sau đây là sai? A.Nếu a  b và b  c thì a / /b . B. Nếu a  và b / / thì a  b . C. Nếu a / /b và b  c thì a  c . D.Nếu a  b , b  c và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng chứa a và c . Câu 107. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và AB  BC . Số các mặt của hình chóp S.ABC là tam giác vuông là A. .1 B. . 2 C. . 3 D. . 4 Câu 108. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA  ABCD . Gọi AE; AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và SAD . Khẳng định nào sau đây đúng: A. .S C  AFB B. . SC  AEC C. .S C  AED D. . SC  AFE Câu 109. Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy là hình thoi, BAD 60 và A A A B A D . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Hình chiếu của A lên mặt phẳng ABCD là: A.Trung điểm của. AO B. Trọng tâm tam giác A .BD C. Điểm O .D.Trọng tâm tam giác . BCD a 3 Câu 110. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và SA  ABC , SA . Xét mặt phẳng 2 P đi qua A và vuông góc với BC . Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P là: 3a2 3a2 3a2 2a2 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 3 a 6 Câu 111. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuôngcạnh a ,SA  ABCD và SA . Gọi là góc 3 giữa SC và ABCD . Chọn khẳng định đúng: A. . 45 B. . C.30 . D. . 75 60 Câu 112. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi là góc giữa AC và A BCD . Chọn khẳng định đúng:
  13. 2 A. . 45 B. . C.30 . D. . tan 2 tan 3 Câu 113. Cho tứ diện SABC thỏa mãn SA = SB = SC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S len mặt phẳng (ABC) . Đói với tam giác ABC ta có điểm H là A. Trực tâm. B. Tâm đường tròn nội tiếp. C. Trọng tâm. D. Tâm đường tròn ngoại tiếp. a 3 Câu 114. Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và(SBC) là hai tam giác đều cạnh a , SA = . M 2 là điểm trên AB sao cho AM = b (0 a 2 . B. b b 2 .
  14. Câu 122. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi thoi tâm O . Biết SA = SC , SB = SD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB ^ (SAC) . B. CD ^ AC . C. SO ^ (ABCD) . D. CD ^ (SBD) . Câu 123. Cho tứ diện đều cạnh a = 12 , AP là đường cao của tam giác ACD . Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AP cắt mặt phẳng (ACD) theo đoạn giao tuyến có độ dài bằng: A. 9. B. 6. C. 8. D. 7. Câu 124. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi a là góc giữa AC1 và mặt phẳng (ABCD) . Chọ khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 2 A. a = 45° . B. tan a = . D. tan a = . D. a = 30° . 2 3 Câu 125. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA ^ (ABC), SA = a . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC . Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC có diện tích bằng? Câu 126. Tam giác ABC có BC = 2a , đường cao AD = a 2 . Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A , lấy điểm S sao cho SA= a 2 . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SB, SC . Diện tích tam giác AEF bằng? 3 3 1 2 3 A. .a2 .B C D a2 a a2 4 6 2 2 Câu 127. Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ . Đường thẳng AC¢ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. (A¢BD) .B C. .(D.A¢.DC¢) (A¢CD¢) (A¢B¢CD) Câu 128. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB là a, khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau ? . 1 A. tan 2 . B. .tC.an 3 .D tan tan 1 2 Câu 129. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của VABC và VSBC . Số đo góc tạo bởi SC và BHK là: A. 450 .B C. . 1200 D. . 900 650 Câu 130. Cho hình vuông ABCD tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với ABCD lấy điểm S . Biết góc giữa SA và mặt phẳng ABCD có số đo bằng 450 . Tính độ dài SO. a 3 a 2 A. SO a 3 .B C. SO .D.a. 2 SO SO 2 2 Câu 131. Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, SA  ABCD . Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông. A. VSBC . B. .VC.SC D . VD.SA .B VSBD Câu 132. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều tâm O , cạnh a, hình chiếu của C' trên mặt phẳng ABC trùng với tâm của đáy. Cạnh bên CC hợp với mặt phẳng ABC góc 600. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ C đến IC . 2a 13 3a 13 a 3 a 13 A. .B C. .D 13 13 13 13
  15. Câu 133. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Tính khoảng cách từ C đến AC . a 6 a 3 a 6 a 3 A. .B. .C. .D 2 2 3 3 a 3 Câu 134. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi O là tâm của đáy và SO .Tính 3 khoảng cách từ O tới SA. a 6 a 13 a 3 a 13 A B C. .D 6 3 6 6 Câu 135. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA a . Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SAC bằng 300 , với M là trung điểm CD. Hãy tính khoảng cách từ D đến SBM . 2a 4a 5a a A. .B. .C. . D. . 3 3 3 3 Câu 136. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB 2a, AC 2a 3. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AB . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 300 . Tính khoảng cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng SAC . a 3 a 5 a 5 3a A. .B C. .D. . 5 3 5 5 Câu 137. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác cân, AB AC a, B¼AC 1200. Mặt phẳng AB C tạo với đáy góc 600. Tính khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng AB C theo a. a 3 a 5 a 7 a 35 A B C. .D 4 14 4 21 Câu 138. Cho lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và B· AD 60 0. Gọi O,O lần lượt là tâm của hai đáy, gọi S là trung điểm của OO . Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng SAB biết OO 2a. a 3 a 3 a 3a A. .B. .C. .D 11 19 19 19 Câu 139. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 có các mặt bên là các hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A1C1, B1C1 . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và A1F. a 17 a 17 a a 17 A. .B. .C. .D 4 2 17 3 D. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Đáp án C. +) Đáp án A sai vì góc giữa hai đường thẳng có thể bằng hoặc bù với góc giữa hai véc tơ chỉ phương. +) Đáp án B sai vì có thể là góc 900 .
  16. Câu 2. Đáp án B. +) Đáp án A sai vì khi đường thẳng đó vg với mặt phẳng. +) Đáp án C, D: Vẽ hình thấy có vô số đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn. Câu 3. Đáp án B. +) Đáp án A sai vì vì có thể là vg. +) Đáp án C sai vì chẳng hạn Q và R cắt nhau, P là mặt phẳng phân giác. Câu 4. Đáp án B. CD  AD 0 Ta có: CD  SAD S· DA . Mà VSDA vuông cân tại A nên S· DA 45 . CD  SA Câu 5. Đáp án A. Đáp án B, C vì giả sử ta xác định góc giữa A' BD và ABCD là góc ·A' IA với I là trung điểm của 2 2 a 2 a 6 2 2 2 a 2a 6a 2 2 2 2 a 2 AI A' I AA' 2 2 4a 1 BD và cos ·AIA' 4 4 2.AI.A' I a 2 a 6 2a2 12 2a212 3 2. . 2 2 4 1 1 cos tan 3 2 Câu 6. Đáp án B.
  17. Giả sử hình chóp đó là S.ABCD . Ta có SAB  ABCD ; SAB  SAD ; SAD  ABCD Câu 7. Đáp án B.     AB; DH DC; DH 900 . Câu 8. Đáp án B. Câu 9. Đáp án D. Từ giả thiết suy ra các mặt của hình chóp đều là các tam giác đều. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm a của SA, SC, BC . Giả sử cạnh hình chóp đều là a thì MN NP ;MP  SA vì VSAP cân tại P . 2 2 2 2 2 a a 2a 2 2 2 2 2 2 a 3 a 3a a a 2 MN NP MP PM ;cos M· NP 4 4 4 a a 2 2 4 4 2 2.MN.NP 2. . 2 2 cos M· NP 0 ·SB, AC 900 . Cách 2: Lấy I là trung điểm của AC ta có: AC  SIB AC  SB .          Cách 3: SB.AC SB SC SA SB.SC SB.SA 0 .
  18. Câu 10. Đáp án C. Gọi I là trung điểm của AB AB  (IDC) AB  CD . Ngoài ra ta cũng có thể sử dụng tích vô hướng để giải quyết bài toán này. Câu 11. Đáp án B. Ta có: AC / / A'C ' ·AC,A'D ·A'C ', A' D D· A'C ' (góc nhọn). Câu 12. Đáp án A. Câu 13. Đáp án A. Câu 14. Đáp án C. Ta có: AD / /BC ·SD, BC ·SD, AD ·ADS 450 . Câu 15. Đáp án D.
  19. 1 IN / /CD; IN CD a 2 2 Theo tính chất đường trung bình trong tam giác: 1 IM / / AB; IM AB a 2 ·AB,CD ·IM , IN . Áp dụng định lý cosin ta có: IM 2 IN 2 MN 2 2 2 cos 450 . 2.IM.IN 2 2 Câu 16. Đáp án C. Ta có SA  ABC AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ABC ·ASB ·SD, AD 450 . Câu 17. Đáp án A. Hình câu 16. CI  AB Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: CI  SAB CI  SA SI là hình chiếu của SC trên mặt phẳng SAB  C· SI ·SC, SAB
  20. a 3 CI CI 3 tan  2 . SI 2 2 2 5 SA AI 2 a a 2 Câu 18. Đáp án B. Gọi M là trung điểm CB và G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có a 3 a 3 a 3 BC  AGM ·AMG . Có DM GM ; AM 2 6 2 a 3 GM 1 cos 6 . AM a 3 3 2 Câu 19. Đáp án A. Ta có giao tuyến BC  SBA S· BA (góc nhọn). Mà SBA vuông cân tại A nên 450 Câu 20. Đáp án D. (Hình vẽ của câu 19) Hai tam giác vuông SBC và SDC nên có chung chân đường cao M kẻ từ B và D  ·MB, MD . Ta đi tính góc B· MD . Trong tam giác vuông SBC ta có:
  21. 2 2 1 1 1 1 1 3 2 2a 2 2a 2 2 2 2 2 2 BM . Tương tự DM . BM SB BC a 2 a 2a 3 3 Áp dụng định lý cosin cho BMD ta có: 2 4a 2 2 2 2 2a · MB MD BD 4 1 · 0 0 0 0 cos BMD 2 BMD 120  180 120 60 2.MB.MD 2 2 2. a 3 Hay . 3 Câu 21. Đáp án A. OAB đều AC a . Tam giác OBC vuông BC a 2 . Áp dụng định lý cosin cho OAB AB a 3 ABC có AB2 AC 2 BC 2 ABC vuông tại C . Gọi H là trung điểm của AB H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC OH  ABC O· IH; O· JH (với I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC ). 2 a 2 OH OH OH 2 1 tan .tan  . . HI HJ HI.HJ a a 2 2 . 2 2 Câu 22. Đáp án A.
  22. SA Vì BC / / AD, S· AD 900 ·SD, BC S· DA tan S· DA 3 SD, BC 600 . SD Câu 23. Đáp án A. (Hình vẽ như câu 22) Ta có IJ / / AC, ·IJ, BD ·AOB 900 . Câu 24. Đáp án A. AB a Đặt AB a . Ta có: IJ . 2 2 CD 2 2a 5 5a IK AB ; JK AB . 2 3 3 6 6 a2 4a2 25aa Ta có: IJ2 IK 2 JK 2 . 4 9 16 Vậy IJK vuông tại I . Ta có IK / /CD ·AB,CD J· IK 900 . Câu 25. Đáp án B. Ta có: AB / /C ' D ' ·MN,C ' D ' ·MN, AB B· MN 450 . Câu 26. Đáp án C. (Hình vẽ câu 25) Có B ' D '/ /BD ·BD, AD ' ·B ' D ', AD ' ·AD ' B ' 600 vì AB ' D ' đều cạnh a 2 . Câu 27. Đáp án B. (Hình vẽ câu 25) MN / / AC ·MN, AP ·AC, AP C· AP (góc nhọn). Ta có: AC a 2 . a 5 3a Trong tam giác vuông CC ' P có CP . Trong tam giác vuông APA' có AP . 2 2 1 Áp dụng định lý cosin cho CAP ta có: cosC· AP ·MN, AP 450 . 2 Câu 28. Đáp án A. (Hình vẽ câu 25)
  23. Gọi N ' là trung điểm của B 'C '. Ta có ND / /N ' D ' ·ND, A' P ·N ' D ', A' P . Có VN 'C ' D ' VPD ' A' C· ' D ' N ' D· ' A' P ' Mà C· ' D ' N ' ·A' D ' N ' 900 D· ' A' P ·A' D ' N ' 900 D· IA' 900 hay ·DN, A' P 900 . Câu 29. Đáp án C. Ta có: CB  SAB SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB ·SC, SAB ·SC, SB C· SB . Do CSB vuông tại B nên: BC BC a 1 sin C· SB . SC SA2 AC 2 a 8 8 Câu 30. Đáp án D. (Hình vẽ giống câu 29) Kẻ AH  SB BC  AH AH  SBC AH là hình chiếu của AC lên mặt phẳng SBC ·AC, SBC ·AC, HC ·ACH . SA.AB a 6.a a 6 Tam giác SAB vuông AH SB a 7 7 AH 3 Vì AHC vuông tại H sin ·ACH . AC 7 Câu 31. Đáp án D. BB ' Ta có: tan  . VAHB vuông tại H B 'C ' ( H là trung điểm của BC ) AH 2AH tan BH BC 4 AI 2 AH 2 tan2 tan2  (*) BC 2 Mà VAIH vuông tại A nên AI 2 AH 2 IH 2 . VBIC vuông tại BC I IH BC 2 4IH 2 . Thay vào (*) 2 Ta có: tan2 tan2  1. Câu 32. Đáp án A.
  24. Dựng BJ  SC(1), BI  AC SA  BI BI  SAC BI  SC 2 Từ 1 và 2 SC  BIJ IJ  SC Góc giữa hai mặt phẳng ASC và (BSC) là B· JI . Do VBIJ vuông tại I nên B· JI 600 3 1 4 1 BI BJ . 3 2 BI 2 3 BJ 2 SBC có B· SC 450 SBC vuông cân tại B . Trong tam giác SJB vuông tại J có 1 2 J· SB 450 SB 2BJ BJ 2 BC 2 1 1 4 2 Từ 3 và 4 2 2 1 . 2 BC sin 3 BC 15 Giải phương trình ta được sin . 5 Câu 33. Cho mặt phẳng P và hai điểm A, B không nằm trong P . Đặt d1 d A; P và d2 d B; P . Trong các kết luận sau thì kết luận nào đúng? d A. 1 1 khi và chỉ khi AB// P . d2 d B. 1 1 khi và chỉ khi đoạn thẳng AB cắt P . d2 d C. 1 1 khi đoạn thẳng AB cắt P . d2 IA d D. Nếu đường thẳng AB cắt P tại điểm I thì 1 . IB d2 Hướng dẫn giải Chọn D. Câu 34. Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc. Giả sử AB 1, AC 2 , AD 3. Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD bằng: 7 5 6 7 A. . B. . C. . D. . 5 7 7 11 Hướng dẫn giải Chọn C.
  25. 1 1 1 1 49 6 Vì d . d 2 12 22 32 36 7 Câu 35. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AD b , AA c . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC là: bc ab bc 1 A. . B. . C. . D. a2 b2 . b2 c2 a2 b2 a2 b2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. ab d BB ; AC d BB ; ACC ' A' d B; ACC ' A' BH . a2 b2 Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD . a 7 a 7 a 21 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 21 7 3 Hướng dẫn giải Chọn C.
  26. Gọi I là trung điểm của AB , ta có SI  AB và SAB  ABCD SI  ABCD . Gọi E là trung điểm của CD , trong mặt phẳng SIE dựng IH  SE H SE thì IH  SCD d I; SCD IH . a 3 Ta có SI , IE a . 2 SI.IE a 21 d A; SCD d I; SCD IH . SI 2 IE 2 7 Câu 37. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? a A. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BD bằng . 3 B. Độ dài AC a 3 . C. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng CDD C bằng a 2 . 3a D. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCC B bằng . 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Câu 38. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi A là hình chiếu của A trên mặt phẳng BCD . Độ dài cạnh AA là: a 6 a 6 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A. a 3 3a2 a 6 Ta có BA ; AA AB2 BA'2 a2 . 3 9 3 Câu 39. Cho tứ diện ABCD có AC a , BD 3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC  BD . Tính MN .
  27. a 6 2a 3 3a 2 a 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Lấy P là trung điểm của AB . Khi đó: PM //BD , PN //AC . 3a a Vì AC  BD PM  PN và PM ; PN . 2 2 9a 2 a2 a 10 MN PM 2 PN 2 . 4 4 2 Câu 40. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a . Tính tích AB.EG ? A. a2 3 . B. a2 . C. a2 2 . D. 2a2 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có AB a , EG a 2 AB.EG a2 2 . Câu 41. Cho tứ diện ABCD có AB 6, CD 3. Góc giữa AB và CD bằng 60o . Điểm M nằm trên đoạn BC sao cho BM 2MC . Mặt phẳng P qua M song song với AB và CD cắt AC , AD và BD lần lượt tại N , P , Q . Tính diện tích MNPQ ? A. 2 2 . B. 2 3 . C. 3 . D. 3 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Giao tuyến của P với ABC là MN //AB . Tương tự NP//MQ//CD . Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành và N·M ; NP 60o
  28. MN MC 1 1 NP AN BM 2 2 2 Có MN AB 2 ; NP CD .3 2 . AB CB 3 3 CD AC BC 3 3 3 3 S MN.NP.sin M· NP 2.2. 2 3 . MNPQ 2 Câu 42. Cho tứ diện ABCD có AB  CD , AB CD 6 ; M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC xBC 0 x 1 . Mặt phẳng P song song với AB và CD lần lượt cắt BC , AC , AD , BD tại M , N , P , Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ là: A. 9 . B. 6 . C. 10. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn A. MN CM Ta có x MN xAB 6x . AB CB NP AN BM BC CM CM 1 1 x NP 6 1 x . CD AC BC BC BC 2 1 2 1 SMNPQ 36x 1 x 9 36 x x 9 36 x 9 max SMNPQ 9 . 4 2 Câu 43. Cho tứ diện ABCD có DA  ABC , AC AD 4 , AB 3 , CD 5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD . 12 12 6 34 A. . B. . C. . D. . 5 34 34 3 Hướng dẫn giải Chọn B. D 4 H 4 A C 3 I 5 B Vì AB2 AC 2 BC 2 nên ABC vuông tại A . Cách 1: Sử dụng tính chất tam giác vuông AB.AC 3.4 12 Dựng AI  BC AI.BC AB.AC AI BC 5 5 Dựng AH  DI AH  BCD AH d A; BCD
  29. 1 1 1 1 1 1 25 34 AH 2 AD2 AI 2 16 144 16 144 144 25 144 12 AH . 34 34 Cách 2: Vì tứ diện ABCD vuông tại A nên áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta có: 1 1 1 1 1 1 1 12 AH . AH 2 AB2 AC 2 AD2 9 16 16 34 Nhận xét: Trong 2 cách trên thì cách 2 nhanh hơn nhiều khi sử dụng tính chất tứ diện vuông. Câu 44: Đáp án D. S 3a K A C 2a 2a B H Kẻ AH  BC và AK  SH . Ta có: BC  AH và BC  SA BC  SAH AK  SBC AK d A; SBC Trong tam giác vuông BAH ta có: AH AB.sin 60 a 3 . Trong tam giác vuông SAH ta có: AS.AH 3a.a 3 3 3 AK a d A; SBC a. SH 9a2 3a2 2 2 Nhận xét: Trong bài này ta sử dụng tính chất tam giác vuông SAH để tính khoảng cách d A; SBC . Vậy có thể sử dụng tính chất của tứ diện vuông dduocjw không ? Câu trả lời là được. Vì nếu lấy điểm H trên tia CB sao cho C· AH 90,C· AB ·ACB 30 nên ·ABH 60 , mặt khác ·ABH 60 ABH đều AH 2a , AC 2 AB2 BC 2 2AB.BC.cos120 4a2 4a2 4a2 4a2 . Sau đó sử dụng tính chất tứ diện vuông cho tứ diện SAHC ta có: 1 1 1 1 3a 2 2 2 . Tính được d A; SBC . d 2 A; SBC AH AS AC 2 Câu 45: Đáp án A.
  30. S a A C a M a B Gọi M là trung điểm BC. Do ABC đều nên AM  BC BC  SAM Dựng AH  SM AH  SBC AH d A; SBC . Trong tam giác vuông SAM ta có: Nhận xét: Ta cũng có thể sử dụng tính chất tứ diện vuông bằng cách sử dụng them D thuộc tia BC sao choC· AD 90 . Câu 46: Đáp án C. S a H 2 a D C a A a B I Kẻ dài AD cắt BC tại I . Ta có: AB là đường trung bình của IDC DI 2a. 1 d A; SBC d A; SIC d D; SIC 2 Áp dụng tính chất tứ diện vuông cho tứ diện SIC ta có: 1 1 1 1 6 2a a a 6 d D; SIC d A; SBC . d 2 D; SIC a2 4a2 4a2 4a2 6 6 6 Nhận xét: Ta cũng có thể sử dụng tính chất tam giác vuông bằng cách dựng DH  SBC và DH là khoảng cách cần tìm. Câu 47: Đáp án B.
  31. S I G K A B O H D C Kẻ AH  BD và AK  SH . Ta có BD  SH và BD  SA nên BD  SAH DB  AK Ta có: AK SH và BD  AK nên AK  SBD AD.AB 2a ABD vuông AH BD 5 2a a. SA.AH 2a SAH vuông AK 5 SH 4a2 3 a2 5 Gọi O AC  BD , SO cắt AI tại G G là trọng tâm SAC d I; SBD GI 1 1 a d I; SBD AK . d A; SBD GA 2 2 3 Câu 48: Đáp án A. d SB;CD d CD; SAB d C; SAB a. S a A a B a D M C Câu 49: Đáp án B. ( Hình vẽ câu 16 ) d M ; SAB d C; SAB a. Câu 50: Đáp án B.
  32. S 1 D A C 1 1 B SA  AB 2 2 Ta có SA  ABCD SA  AC AC 2 SC SA AC 3. SA  BC Câu 51: Đáp án D. D 60 a a a 2 A C a 3 a B Gỉa sử DA DB DC a BC a, AC a 2, AB a 3 1 1 3 a2 3 S DA.DBsin120 a2. ABD 2 2 2 4 1 a2 3 S DB.DC sin 60 BCD 2 4 1 1 S DA.DC a2 ACD 2 2 ABC có AC 2 BC 2 AB2 ( cùng bằng 3a2 ) ABC vuông tại C 1 1 a2 2 S AC.BC a 2.a . ABC 2 2 2 a 2 So sánh 4 kết quả trên ta thấy là lớn nhất nên chọn D. 2 Câu 52: Đáp án C. Câu 53: Đáp án B.
  33. S a 3 H A a D a B C AH  SB Dựng AH  SB . Ta có: AH  SBC d A; SBC AH AH  BC vì BC  SAB SA.AB SA.AB a 3 Áp dụng tính chất cho tam giác vuông SAB ta có: AH . SB SA2 AB2 2 Câu 54: Đáp án C. S P A D H B C Trong mặt phẳng ABCD , dựng AH  BC t ại H BC  SAH Trong mặt phẳng SAH . dựng AP  SH AP  SBC tại P d A; SBC AP a 3 1 1 1 a 3 Mà AH AB2 BH 2 . 2 AP2 AS 2 AH 2 5 Câu 55: Đ áp án D. 1 1 1 1 b2c2 c2a2 a2b2 abc Ta c ó: 2 2 2 2 2 2 2 h . h a b c a b c a2b2 b2c2 c2a2 Câu 56: Đáp án A.
  34. S A H a D I O a B F E C Ta có: SI  AB, SAB  ABCD SI  ABCD Gọi E là trung điểm của BC , F là trung điểm của Ta có AE  BC, IF / / AE IF  BC BC  IF, BC  SI BC  SBC Trong mặt phẳng SIF , dựng IH  SF v à H SF Ta có IH  SF, IH  BC IH  SBC Do đó d I; SBC IH . Góc giữa SC và ABCD là S· CI nên a 3 3a S· CI 60,CI SI CI.tan S· CI 2 2 a 3 AE a 3 AE IF 2 2 4 1 1 1 4 16 52 3a Từ đó IH IH 2 IS 2 IF 2 9a2 3a2 9a2 52 3a 3a 13 d I; SBC IH 52 26 Câu 57: Đáp án D. S H A B I K D C E SBI  ABCD Ta có SI  ABCD SCI  ABCD Trong mặt phẳng ABCD , dựng IK  BC, K BC Trong mặt phẳng SIK , dựng IH  SK, H SK Từ IH  SBC d I; SBC IB
  35. a2 3a2 S S S S 3a2 a2 IBC ABCD DIC ABI 2 2 2S 3a 5 BC 2a2 a2 a 5 IK IBC BC 5 Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là S· KI . Nên 3a 15 S· KI 60 SI IK.tan S· KI 5 1 1 1 5 5 20 3a 15 Ta có: d I; SBC IH . IH 2 IS 2 IK 2 27a2 9a2 27a2 10 Trong mặt phẳng ABCD , gọi E là giao điểm của AD và BC thì E AI  SBC . d A; SBC EA 4 4 2a 15 d A; SBC d I; SBC . d I; SBC EI 3 3 5 Nhận xét: Sử dụng tỉ số khoảng cách ta có thể tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thong qua điểm khác, quan trọng là biết xuất phát từ điểm nào trước, Từ dấu hiệu SI  ABCD , ta chọn tính khoảng cách từ điểm I đến SBC sau đó dựa vào tỉ số khoảng cách suy ra khoảng cách cần tìm. Câu 58. Đáp án A.  1   MN (MC MD) (quy tắc trung điểm) 2 1     (MA AC MB BD) 2  mà MA MB 0 (vì M là trung điểm)AB  1   MN (AC BD) 2 Câu 59. Đáp án B. Theo giả thuyết m n p 0 nên tồn tại ít nhất một số khác 0. n p Giả sử m 0 . Từ ma nb pc 0 a b c m m a, b, c đồng phẳng (theo định lí về sự đồng phẳng của ba vectơ). Câu 60. Đáp án D. C' A' B' C A B
  36.    B C  B B  B C ( quy tắc hình bình hành) AA BC a AC AB a b c Câu 61. Đáp án C.  1  A. Sai vì AB BC A là trung điểm của BC. 2 B C A     B. Sai vì AB 3AC CB 4AC C B A C. Đúng theo định lí sự đồng phẳng của 3 vectơ. D. Sai vì AB 3AC BA 3CA (nhân 2 vế cho -1) Câu 62. Đáp án C. B' C' D' A' B C A D A. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng B. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng C. Sai    DA AA AD a c  D. Đúng vì AB a b   C A CA b c       AB DA C A AB , DA , C A đồng phẳng. Câu 63. Đáp án A. F G E H B C A D        AB.EG (EF EH ).(AE EF FB)           EF.AE EF 2 EF.FB EH.AE EH.EF EH.FB   a2 EH.AE a2 0 a2 Câu 64. Đáp án C
  37. S A D B C          A. Đúng vì SA SB 2SC 2SD 6SO  OA  OB  2OC  2OD 0 Vì O, A,C và O, B, D thẳng hàng nên đặt: OA kOC, OB mOD   (k 2)OC (m 2)OD 0 .   OA OB mà OC, OD không cùng phương nên k 2 và m 2 2 AB / /CD . OC OD B. Đúng. HS tự biến đổi bằng cách thêm điểm O vào vế trái. C. Sai vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy làAD, BC thì sẽ sai. D. Đúng. Tương tự đáp án A với k 1 và m 1 O là trung điểm hai đường chéo. Câu 65. Đáp án D A. Đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng của ba vectơ B. Đúng.         C. Đúng vì O A OB OI IA OI IB mà IA IB 0 (I là trung điểm của AB) OA OB 2OI D. Đúng. Tương tự đáp án A với k 1 và m 1 O là trung điểm hai đường chéo. D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng. Câu 66: Đáp án A.    1   M là trung điểm BB 2.OM OB OB B D BD (qt trung điểm). 2 Câu 67: Đáp án B. AB  AE   AB  DH ·AB, DH 90 . AE / /DH  Câu 68: Đáp án D. Ta có: OO //DD mà DD  AB nên OO  AB O·O ,AB 90 . Câu 69: Đáp án D. Ta có: SAB SBC SCA c g c AB BC CA . Do đó tam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Vì hình chóp S.ABC có SA SB SC nên hình chiếu của S trùng với
  38. AC  BG G hay SG  ABC . Ta có AC  SBG AC  SB . Vậy góc giữa cặp vectơ AC  SG   SB và AC bằng 90 . Câu 70: Đáp án C. CI  AB Gọi I là trung điểm của AB . Vì ABC và ABD là các tam giác đều nên . Suy ra DI  AB AB  CID AB  CD ·AB,CD 90 . Câu 71: Đáp án D. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Ta có OJ / /CD . Nên góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và 1 a 1 a 1 a OJ . Xét tam giác IOJ có: IJ SB ,OJ CD , IO SA . Nên tam giácOIJ đều. 2 2 2 2 2 2 Vậy góc giữa IJ và CD bằng có giữa IJ và OJ bằng góc I·JO 60 . Câu 72: Đáp án B. Ta có: AC / / A C nên góc giữa hai đường thẳng AC và A D là góc giữa hai đường thẳng A C và A D bằng góc nhọn D· A C (vì tam giác A DC đều có 3 góc nhọn). Câu 73: Đáp án A. Theo lý thuyết. Câu 74: Đáp án D.
  39.          Ta có: SC.AB SC. SB SA SC.SB SC.SA SC.SB.cos B· SC SC.SA.cos ·ASC 0 .   Vì SA SB SC và B· SC ·ASC . Do đó: SC, AB 90 . Câu 75: Đáp án C. Ta có: AC a 2 AC2 2a2 SA2 SC2 SAC vuông tại S . Khi đó:   1     NM.SC SA.SC 0 NM , SC 90 M· N, SC 90 . 2 Câu 76: Đáp án B.              Ta có: AA1.B1D1 BB1.BD BB1. BA BC BB1.BA BB1.BC 0 (vì BB1, BA 90 và     AA , B D 90 ·AA , B D 90 BB1, BC 90 ). Do đó: 1 1 1 1 1 1 . Câu 77: Đáp án A.
  40. Ta có: 2 2            2   a a B M.DD B B BA AM . BA AD DD B B.DD BA AM.AD a2 a2 1 1 1 1 1 1 2 2 . Câu 78: Đáp án C. Câu 79: Đáp án C.     Ta có: EG / / AC (Do ACGE là hình chữ nhật) AB, EG AB, AC B· AC 45 . Câu 80: Đáp án C. Gọi O là trọng tâm của BCD AO  BCD . Trên đường thẳng d quaC và song song với BM lấy điểm N sao cho BMCN là hình chữ nhật, từ đó suy ra: ·AC, BM ·AC,CN ·ACN . 3 Có: CN BM a và 2 2 a 2 2 2 2 2 2 2 BN CM ; AO AB BO AB BM a 2 3 3 7 5 AC 2 CN 2 AN 2 3 ON 2 BN 2 BO2 a2 ; AN AO2 ON 2 a cos 12 2 2.AC.CN 6 Câu 81: Đáp án D. 2 2 2 Ta có: a b a b 2a.b.cos a,b 19 a b 19 . Câu 82: Đáp án B.
  41. Đặt cạnh của hình lập phương là a . Gọi I là trung điểm của EG. Qua A kẻ đường thẳng d / /FI .   Qua I kẻ đường thẳng d / /FA . Suy ra d cắt d tại J . Từ đó suy ra EG, AF E· IJ . Mặt khác: IJ=AF=2EI=2FI=2AJ=a 2 3 EI 2 IJ2 EJ2 1 EJ 2 AE 2 AJ2 a2 ;cos 60 2 2.EI.IJ 2 Cách 2: Ta có: AC / /EG AF; EG AF; AC . Mà tam giác AFC đều (vì AF AC FC a 2 ). Suy ra F· AC 60 . Câu 83: Đáp án A.   BC 2 AB2 AC 2 2.AB.AC.cos AB, AC AB2 AC 2 2.AB.AC Câu 84: Đáp án B.     Ta có: AB.EG AB.AC, mặt khác            2   AC AB AD AB.EG AB.AC AB AB AD AB AB.AD a2 Câu 85: Đáp án A.
  42. MQ / /NP / / AB Xét tứ giác MNPQ có MNPQ là hình bình hành. Mặt khác, MN / /PQ / /CD AB  CD MQ  MN . Do đó, MNPQ là hình chữ nhật. MQ CM Vì MQ / / AB nên x MQ x.AB 6x . Theo giả thiết AB CB MQ x.BC BM (1 x)BC . MN BM Vì MN / /CD nên 1 x MN 1 x .CD 6 1 x . Diện tích hình chữ nhật CD BC MNPQ là: 2 x 1 x SMNPQ MN.PQ 6 1 x .6x 36.x. 1 x 36 9 2 1 Ta có S 9 khi x 1 x x . Vậy diện tích tứ giácMNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là MNPQ 2 trung điểm của BC . Câu 86: Đáp án D. 1 IJ AB 2 Tứ giác IJEF là hình bình hành. Mặt khác mà AB CD nên IJ JE . Do đó IJEF là 1 JE CD 2 hình thoi. Suy ra I·E, JF 90 . Câu 87: Đáp án D. Theo nhận xét phần 2 đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.
  43. Câu 88: Đáp án A. 2 2 2 9 a.b 3 Ta có: a b a b 2a.b a.b . Do đó: cos . 2 a . b 8 Câu 89: Đáp án C.              Ta có: AB.CD AC.DB AD.BC AC CB .CD AC.DB AD.CB           AC CD DB CB CD AD AC.CB CB.CA 0 . Câu 90: Đáp án A.    Gội G là trọng tâm tam giác ABC G là cố định và GA GB GC 0 .   2   2   2     P MG GA MG GB MG GC 3MG 2 2MG . GA GB GC GA 2 GB 2 GC 2 3MG 2 GA 2 GB 2 GC 2 GA 2 GB 2 GC 2 . Dấu bằng xảy ra M G . Vậy 2 2 2 Pmin GA GB GC với M G là trọng tâm tam giác ABC . Câu 91: Đáp án B. 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b 2a.b a a b a b 2 a b a b 2 262 282 482 616 a b 616 . Câu 92: Đáp án D.   2 2 Ta có: x .y a 2b a b a 2b 3a.b 4 ;   2 2 2 2 x x a 2b a 4 b 4a.b 2 3 .   2 2 2 2 y y a b a b 2a.b 5   x .y 4 2 cos   x . y 2 3. 5 15 Câu 93: Đáp án C. 1 1 1 1  2  2   2 S AB .AC .sin A AB 2 .AC 2 sin2 A AB 2 .AC 2 1 cos2 A AB .AC AB .AC 2 2 2 2 Câu 94: Đáp án A. Câu 95: Đáp án A.
  44. Kẻ AI  SC AIB  SC . Thiết diện là tam giác AIB . Ta có 2 2 2 2 · 2 a b c a 2 2 AI AC .sin ACS a. 1 cos ACS a. 1 4b a . 2ab 2b Gọi J là trung điểm của AB . Dễ thấy tam giác AIB cân tại I , suy ra IJ  AB và a 1 a2 3b 2 a2 I J AI 2 AJ 2 3b 2 a2 . Do đó: S AB .IJ . 2b 2 4b Câu 96: Đáp án B. Câu 97: Đáp án A. +Ta có tam giác ABC vuộng tại B nên trung điểm H của AC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi d là trung trực của tam giác ABC d  ABC tại H. + Mặt khác: SA SB SC nên điểm S d SH  ABC . Câu 98: Đáp án C. Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC nên SH  ABC . vậy AH là hình chiếu của SH lên mp ABC SA; ABC SA;AH S·AH . Ta có: SH  ABC SH  AH .Mà ABC SBC SH AH . Vậy tam giác SAH vuông cân tại H S·AH 45 . Câu 99: Đáp án B. Câu B sai vì: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau, chéo nhau. Câu 100: Đáp án D.
  45. Gọi SA SB SC a . Ta có: VSAC đều AC SA a . VSAB vuông cân tại S AB a 2;BC SB 2 SC 2 2SB .SC .cosBSC a 3 AC 2 AB 2 BC 2 VABC . vuông tại A . Gọi I là trung điểm của BC thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC . Gọi d là trục của tam giác ABC thì d đi qua I và d  ABC . Mặt khác: SA SB SC nên S d . Vậy SI  ABC nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC . Câu 101: Đáp án D. Ta có SA  ABCD SA  BD . Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD  AC , mà SA  BD nên BD  SAC hay BD  SC ,BD SO . AD không vuông góc với SC . Câu 102: Đáp án A. Mặt phẳng P vuông góc với OH nên P song song với SO . Suy ra P  SAH theo giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SO cắt SH tại K .
  46. Từ giả thiết suy ra P / /BC , do đó P sẽ cắt (ABC), SBC lần lượt là các đường thẳng qua I và K song song với BC cắt AB,AC,SB,SC lần lượt tại M, N, Q, P . Do đó thiết diện là tứ giác MNPQ . Ta có MN và PQ cùng song song với BC suy ra I là trung điểm của MN và K là trung điểm của PQ , lại có tam giác ABC đều và tam giác SBC cân tại S suy ra IK vuông góc với MN và PQ nên MNPQ là hình thang cân. Câu 103: Đáp án D. Ta có BD  AC ,BD  SA B D  SAC B D  SC , và O là trung điểm của BD SAC là mặt phẳng trung trực cyả đoạn BD . Ta có OI song song SA suy ra IO  ABCD . Vậy SA SB SC là khẳng đính sai. Câu 104: Đáp án D. Vì SA  ABCD AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABC D . Suy ra góc giữa SC và mp ABC D bằng góc giữa SC &AC S·CA . Xét tam giác SAC vuông tại A có: SA a 6 tan 3 60 . AC a 2 Câu 105: Đáp án A. Gọi M ,N ,P lần lượt là hình chiếu của S lên các cạnh của AB ,AC ,BC . Theo định lý ba đường vuông góc ta có M ,N ,P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB ,AC ,BC . S·MH S·NH S·PH VSMH VSNH VSPH HM HN NP H là tâm đường tròn nội tiếp của VABC . Câu 106: Đáp án A. a  b Nếu thì a và c có thể trùng nhau nên đáp án A sai. b  c Câu 107: Đáp án D. Có AB  BC VABC là tam giác vuông tại B.
  47. SA  AB Ta có SA  ABC VSAB ,VSAC là các tam giác vuông tại A . SA  AC AB  BC Mặt khác BC  SB VSBC là tam giác vuông tại B. SA  BC Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông nên đáp án D đúng. Câu 108: Đáp án D. AB  BC AE  SB Ta có: BC  SAB BC  AE . Vậy: AE  SC (1) SA  BC AE  BC Tương tự: AF SC (2) . Từ (1); (2) SC  AEF . Vậy đáp án D đúng. Câu 109: Đáp án B. Vì A’A A’B A’D Hình chiếu của A’ trên ABCD trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABD (1). Mà tứ giác ABCD là hình thoi và B· AD 600 nên ABD là tam giác đều (2). Từ (1) và (2) suy ra H là trọng tâm của ABD . Câu 110. Đáp án C. Gọi M là trung điểm của BC thì BC  AM (1). Hiển nhiên AM a 3 . Mà SA  (ABC) BC  SA (2) Từ (1) và (2) suy ra: BC  (SAM ) (P)  (SAM ) Khi đó, thiết diện của hình chop S.ABC được cắt bởi P chính là SAM. SAM.vuông tại A nên: 1 1 a 3 3a2 S SA.AM  a 3 SAM 2 2 2 4 Câu 111. Đáp án A
  48. Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên AC a 2 . SA  (ABCD) AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABCD . S· CA là góc giữa SC lên ABCD . Tam giác SAC vuông tại A nên: SA a 6 1 1 tan S· CA  S· CA 300 AC 3 a 2 3 Câu 112. Đáp án D. A'C  AC ' I Gọi C 'D CD' H C 'D  CD' Mà C 'D  (A'BCD') C 'D  A'D' IH là hình chiếu vuông góc của AC' lên A’BCD’ C· 'IH là góc giữa AC' lên A’BCD’ C 'H 1 Mà tanC· 'IH 2 2 IH 2 Câu 113. Đáp án D.
  49. SH  AH SH  (ABC) SH  BH SH  CH Xét ba tam giác vuông SHA, SHB, SHC có: SA SB SC SHA SHB SHC SH chung HA HB HC mà H (ABC) H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. Câu 114. Đáp án C. Gọi N là trung điểm của BC. SB SC BC  SN BC  (SAN) AB AC BC  AN M (P) Theo bài ra: BC  (P) (P) / /(SAN) Kẻ MI / / AN , MK / /SA Thiết diện của P và tứ diện SABC là KMI. ABC và SBC là hai tam giác đều cạnh a. a 3 a 3 AN SN SA SAN là tam giác đều cạnh KMI là tam giác đều cạnh 2 2 2 3 a b 3 3 a b  S KMI  2 a 16 a Câu 115. Đáp án B. Câu A: sai vì b có thể vuông góc với a . Câu B đúng bởi: a / /(P) a' (P) sao cho a'/ /a , b  (P) b  a' . Khi đó: a  b . Câu C và câu D sai vì: b có thể nằm trong (P).
  50. Vậy: chọn đáp án B. Câu 116. Đáp án C a AM BM , SB a 2 Có SM  (ABC) nên AM là hình chiếu của SA lên ABC S·A,(ABC) (S·A, AM ) S·AM a 3 Áp dụng định lý Pytago: SM SB2 AM 2 2 Xét tam giác SAM có: SM tan S·AM 3 S·AM 600 AM Câu 117. Đáp án A. Câu 118. Đáp án A. Vì qua một đường thẳng dựng được vô số mặt phẳng. Câu 119. Đáp án D. Thiết diện là hình thang vuông đi qua trung điểm các cạnh AB,CD,CS,SB, nên diện tích thiết diện là: 1 1 BC BC  SA 2 2 (8 4).6 S 36 2 2 Câu 120. Đáp án C. Theo bài ra, hình chóp SABC là hình chóp tam giác đều. Gọi H là trung điểm của BC , ta có: SG  (ABC) , G AH . a 3 a2 Mặt khác, ta có: AH , SH b2 2 4 a2 2 2 2 · AG 3 3b a SG SA.sin SAG b 1 b 1 2 SA b 3 Câu 121. Đáp án C. · 0 Để C1 nằm giữa S và C thì ASC 90 2b2 a2 cosA· SC 0 0 b 2 a 2b2 Câu 122. Đáp án C. Do hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâmO , SA SC, SB SD nên SO  (ABCD) Câu 123. Đáp án C.
  51. CD  AP Ta có: CD  (APB) BG  CD CD  BP AD  CM Tương tự: AD  (BCM ) BG  AD AD  BM Suy ra: BG  (ACD) BG  AP Kẻ KL đi qua trọng tâm G của ACD và song song với CD AP  KL 2 (P) chính là mặt phẳng BKL (ACD)  (BKL) KL CD 8 3 Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều: Gọi G là trọng tâm Δ ACD thì G là tâm ACD và BG  (ACD) . Trong mp ACD , kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt AC , AD lần lượt tại K, L . Ta có: (BKL)  (ACD) , AP  KL AP  (BKL) 2 Vậy: (P)  (BKL) (ACD)  (BKL) KL CD 8 3 Câu 124. Đáp án B. · · Ta có: AC1,(ABCD) CAC1 . CC a 1 tan 1 AC a 2 2 Câu 125. Đáp án A. Kẻ AE  BC, SA  BC BC  (SAE) (P) a2 3 Thiết diện của mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABC là tam giác SAE có diện tích là 4 Câu 126. Đáp án C.
  52. Gọi H EF  SD Do AD  BC, SA  BC BC  (SAD) 1 BC  AH EF  AH S EF.AH V AEF 2 1 Mà EF BC a . 2 1 Do H là trung điểm SD AH a S a2 V AEF 2 Câu 127. Đáp án A. Ta có: A' D  AD ' (t / c hv) A' D  C ' D ' (C ' D '  (A' D ' DA)) A' D  (AC ' D ') A' D '  AC ' (1) A' B  AB ' (t / c hv) A' B  B 'C ' (B 'C '  (A' D ' DA)) A' B  (AB 'C ') A' B  AC ' (2) Từ (1),(2) AC '  (A' BD) Câu 128. Đáp án C.
  53. Ta có: S (SAB) S là hình chiếu của S trên SAB (1) BC  AB (t / c hv) BC  (SAB) BC  SA (SA  (ABCD)) B là hình chiếu của C trên SAB (2) Từ (1),(2) S¼C,(SAB) S¼C, SB B¼SC a Xét tam giác SAB vuông tại A ta có: SB SA2 AB2 a 2 Xét tam giác SBC vuông tại B ta có: BC a 1 tan SB a 2 2 Câu 129. Đáp án C. BH  AC (gt) Ta có: BH  SA (SA  (ABCD)) BH  (SAC) BH  SC Mà BK  SC SC  (BHK) S¼C,(BHK) 90 Câu 130. Đáp án B. ABCD là hình vuông cạnh 2a AC 2a 2 AO a 2 Ta có: SO  (ABCD) OA là hình chiếu của SA Vậy góc giữa SA và ABCD chính là S¼AO 45 SO Xét tam giác SAO ta có tan S· AO SO a 2 AO
  54. Câu 131. Đáp án B AB  AD (t/ c hv) Ta có: AB  SA (SA  (ABCD)) AB  (SAD) AB  SD Giả sử SB  SD SD  (SAB) (vô lý) Hay SBD không thể là tam giác vuông. Câu 132. Đáp án B Cách 1: Dựng CK  IC' tại K , do đó d(C; IC') CK . OC'.CI Xét ICC' , ta có: OC'.CI CK.IC' CK IC' Mà: a 3 OC ' OC.tan 60 . 3 a 3 a 3 CI , IC '2 OI 2 C 'O2 2 a2 13a2 a2 12 12 3a 13 d(C; IC ') CK 13 1 Cách 2: Dựng OH  IC' , ta có OI CI 3 d(C; IC') 3d(O; IC') 3OH Sau đó dùng công thức: 1 1 1 OH 2 OI 2 OC '2 hay OH.IC' OI.OC' . Suy ra OH. Câu 133. Đáp án C.
  55. Vì CC' A vuông tại C nên ta dựng CH  AC' thì CH là khoảng cách từ C đến AC' . 1 1 1 1 1 3 CH 2 CA2 CC'2 2a2 a2 2a2 2a2 a 2 a 6 CH 2 CH 3 3 3 Câu 134. Đáp án A. Do SABC là hình chóp đều nên SO  (ABC) SAO vuông tại O , dựng OH  SA Câu 135. Đáp án D. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 OH OA OS a 3 a 3 3 3 3 3 6 a a 6 OH a2 a2 a2 6 6
  56. Cách 1: Gọi I là hình chiếu của A trên BM H là hình chiếu của A trên SI AH  SI AH  (SBM ) AH  BM AH d(A;(SBM )) Gọi N là trung điểm của AB DN song song BM d(D;(SBM )) d(N;(SBM )) 1 d(A;(SBM )) 2 Mặt khác ta có hình chiếu vuông góc của DS lên (SAC) là SO DSˆO 30 . Đặt DO x SO x 3(O AC  BD) . a Từ SO AO2 SA2 x BD a 2 ABCD là hình vuông cạnh a 2 a2 S S 2S ABM ABCD BCM 2 1 2a 1 1 1 2a a Mà S AI.BM AI AH d(D;(SBM )) . ABM 2 5 AH 2 AI 2 SA2 3 3 1 1 1 1 Cách 2: AH 2 AB2 AS 2 AK 2 2 1 9 2a AH a2 4a2 4a2 3 a d(D;(SBM )) 2AH . 3 Câu 136. Đáp án C
  57. Trong mặt phẳng (ABC) dựng HK  BC tại K BC  (SKH ) . Từ giả thiết ta có SHˆK 30, BC AB2 AC 2 4a AC HK 3 Ta có sin ABC BC HB 2 a 3 HK . 2 a Trong SHK ta có SH HK.tan SKH 2 Do M là trung điểm cạnh BC nên MH song song AC MH song song (SAC) d(M ;(SAC)) d(H;(SAC)) . Trong mặt phẳng (SAB) kẻ DH  SA tại D ta có: AC  (SAB) AC  DH DH  (SAC) 1 1 1 a 5 HD DH 2 HA2 HS 2 5 a 5 Vậy d(M ;(SAC)) d(H;(SAC)) HD 5 Câu 137. Câu 80: Đáp án A. Theo giả thiết mặt phẳng (AB'C') tạo với (A' B'C') góc 60 nên AKˆA' 60 . 1 a Ta có A' K A'C' 2 2
  58. a 3 AA' A' K.tan 60 2 d(B;(AB'C')) d(A';(AB'C')) Dựng A' H  AK A' H  (AB'C') d(A';(AB'C')) A' H. a 3 Tính A' H d(BC;(AB'C')). 4 Câu 138. Đáp án B. AB AD Theo giả thiết ˆ BAD đều cạnh a BAD 60 OA  OB và OO' (ABCD) Tứ diện OSAB vuông tại O có a a 3 OB ;OA ;OS a 2 2 1 1 1 1 d 2 (O;(SAB)) OA2 OB2 OS 2 1 1 1 4 4 1 2 2 2 2 2 2 a 3 a a 3a a a 2 2 19 a 3 d(O;(SAB)) . 3a2 19 Câu 139. Đáp án C. Gọi K là trung điểm C1F .
  59. Do A1B1C1 đều nên A1F  B1C1 EK  B1C1 và EK song song A1F A1 F song song (DEK) Dựng FH  DK d(DE; A1F) d(A1F;(DEK)) FH (vì FH  (DEK) ) Trong tam giác vuông DFK ta có: 1 1 1 1 1 1 16 17 2 2 2 2 2 2 2 2 FH FD FK a a a a a 4 a FH . 17