›
›
›

17 Đề thi học kỳ II môn Tiếng Anh Lớp 11 (Có đáp án)

doc 49 trang thaodu 5420
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "17 Đề thi học kỳ II môn Tiếng Anh Lớp 11 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doc17_de_thi_hoc_ky_ii_mon_tieng_anh_lop_11_co_dap_an.doc

Nội dung text: 17 Đề thi học kỳ II môn Tiếng Anh Lớp 11 (Có đáp án)

  1. ễN TẬP TOÁN Đề 1 Bài 1. Tỡm cỏc giới hạn sau: x3 8 x 2x 1 a. lim b. lim x 2 x2 11x 18 x 1 x2 12x 11 Bài 2. Cho hàm số: y = x3 + 4x +1. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong của trường hợp sau: a. Song song với đường thẳng d: y = 7x + 3; 1 b. Vuụng gúc với đường thẳng : y = - x 5 . 16 Bài 3. Tỡm đạo hàm cỏc hàm số sau: 3 3 a.y x 2x 1 b.y (x 2 x)(5 3x 2 ) c. y (x 2) 2x 6 Bài 4. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA vuụng gúc với đỏy, SA = a 2 . 1) Chứng minh rằng cỏc mặt bờn hỡnh chúp là những tam giỏc vuụng. 2) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) . 3) Tớnh gúc giữa SC và mp (SAB) . 4) Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) 1 Bài 5.Cho y x3 2x2 6x 8 . Giải bất phương trỡnh y / 0 . 3 x2 3x 3 Bài 6. Cho y . Giải bất phương trỡnh y / 0 . x 1 Đề 2 Bài 1. Tỡm cỏc giới hạn sau: x2 x 1 3x 2x 11 x3 1 1 a. lim b. lim ( 2x3 5x 1) c. lim d. lim . x 2x 7 x x 5 5 x x 0 x2 x x3 1 khi x 1 Bài 2 . Cho hàm số f(x) = f (x) x 1 . Xỏc định m để hàm số liờn tục trờn R 2m 1 khi x 1 Bài 3. Chứng minh rằng phương trỡnh: (1 m2 )x5 3x 1 0 luụn cú nghiệm với mọi m. Bài 4. Tỡm đạo hàm của cỏc hàm số: 2 2x x2 a) y b) y 1 2 tan x . x2 1 Bài 5. Cho hàm số y x4 x2 3 (C). Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C): a) Tại điểm cú tung độ bằng 3 . b) Vuụng gúc với d: x 2y 3 0 . Bài 6. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA  (ABC) .Tam giỏc ABC vuụng tại B. a)Chứng minh cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng. b)Từ A kẻ AH  SB tại H, AK  SC tại K. Chứng minh rằng SC (AHK) và tam giỏc AHK là tam giỏc vuụng. 1
  2. Đề 3 Bài 1. Tớnh cỏc giới hạn sau: x 2 2 2x3 5x2 2x 3 4n 5n a.lim ( x3 x2 x 1) b.lim c.lim d. lim x x 2 2x 4 x 3 4x3 13x2 4x 3 2n 3.5n 1 3 3x 2 2 khi x >2 Bài 2. Cho hàm số: f (x) x 2 . Xỏc định a để hàm số liờn tục tại điểm x = 2. 1 ax khi x 2 4 Bài 3. Chứng minh rằng pt:x5 3x4 5x 2 0 cú ớt nhất ba nghiệm phõn biệt trong khoảng (–2; 5). Bài 4. Tỡm đạo hàm cỏc hàm số sau: 5x 3 a.y b.y (x 1) x2 x 1 c.y 1 2 tan x d. y sin(sin x) x2 x 1 Bài 5. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ABC vuụng tại A, gúc àB = 60 0 , AB = a; hai mặt bờn (SAB) và (SBC) vuụng gúc với đỏy; SB = a. Hạ BH  SA (H SA); BK  SC (K SC). 1) Chứng minh: SB  (ABC) 2) Chứng minh: mp(BHK)  SC. 3) Chứng minh: BHK vuụng . 4) Tớnh cosin của gúc tạo bởi SA và (BHK). x2 3x 2 Bài 6. Cho hàm số f (x) (1). Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp x 1 tuyến đú song song với đường thẳng d: y 5x 2 . Đề 4 Bài 1. Tớnh cỏc giới hạn sau: 3x 2 6 3x 1)lim ( 5x3 2x2 3) 2) lim 3) lim x x 1 x 1 x 2 x 7 3 (x 3)3 27 3n 4n 1 4) lim 5) lim n n x 0 x 2.4 2 x 1 khi x 1 Bài 2. Cho hàm số: f (x) x 1 . Xỏc định a để hàm số liờn tục tại điểm x = 1. 3ax khi x 1 Bài 3. Tỡm đạo hàm cỏc hàm số sau: 2x2 6x 5 x2 2x 3 1. y 2. y 3. y sin(cos x) 2x 4 2x 1 Bài 4. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a. 1) Chứng minh (SAC)  (SBD) ; (SCD)  (SAD) 2) Tớnh gúc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC). 3) Tớnh d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) Bài 5. Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x2 2 : 1) Tại điểm M ( –1; –2) 1 2) Vuụng gúc với đường thẳng d: y x 2 . 9 2
  3. Đề 5 Bài 1: Tỡm cỏc giới hạn sau: 2n3 2n 3 x 3 2 a) lim b) lim 1 4n3 x 1 x2 1 Bài 2: Xột tớnh liờn tục của hàm số sau trờn tập xỏc định của nú: x2 3x 2 khi x 2 f (x) x 2 3 khi x 2 Bài 3: Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau: a) y 2sin x cos x tan x b) y sin(3x 1) c)y cos(2x 1) d) y 1 2 tan 4x Bài 4: Cho hỡnh chúp S. ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a, ãBAD 600 và SA = SB = SD = a. a) Chứng minh (SAC) vuụng gúc với (ABCD). b) Chứng minh tam giỏc SAC vuụng. c) Tớnh khoảng cỏch từ S đến (ABCD). Bài 5: Cho hàm số f (x) 2x3 2x 3 (C). a) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y 22x 2011 1 b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuụng gúc đường thẳng : y x 2011 4 Đề 6 Cõu 1: Tỡm cỏc giới hạn sau: 3x2 4x 1 x2 9 x 2 x2 2 3x a) lim b) lim c) lim d) lim x 1 x 1 x 3 x 3 x 2 x 7 3 x 2x 1 x2 x 2 khi x 2 Cõu 2: Cho hàm số f (x) x 2 . m khi x 2 a) Xột tớnh liờn tục của hàm số khi m = 3 b) Với giỏ trị nào của m thỡ f(x) liờn tục tại x = 2 ? Cõu 3: Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau: 4 1 2x2 1 b) y (x2 1)(x3 2) c) y d) y x2 2x e) y 2 2 2 (x 1) x 3 Cõu 5: Cho hỡnh chúp đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a và cạnh bờn bằng 2a. Gọi O là tõm của đỏy ABCD. a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD), (SBD)  (ABCD). b) Tớnh khoảng cỏch từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC). c) Dựng đường vuụng gúc chung và tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau BD và SC 3
  4. Đề 7 Cõu 1.Tớnh cỏc giới hạn sau: x 3 a) lim x2 5 x b) lim x x 3 x2 9 2x 1 1 khi x 2 2 1 Cõu 2 . Cho hàm số f (x) 2x 3x 1 Xột tớnh liờn tục của hàm số tại x 1 2 A khi x 2 Cõu 3. Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau: a) y (x 1)(2x 3) b) y 2x 3 1 2x2 Cõu 4. : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O cạnh a, ãBAD 600 , đường cao SO = a. a) Gọi K là hỡnh chiếu của O lờn BC. Chứng minh rằng: BC (SOK) b) Tớnh gúc giữa SK và mp(ABCD). c) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và SB. Cõu 5. Cho hàm số: y 2x3 7x 1 (C). a) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cú hoành độ x = 2. b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) cú hệ số gúc k = –1. Đề 8 Bài 1.Tỡm cỏc giới hạn sau: 1 x5 7x3 11 x 1 2 4 x2 a) lim 3 b) lim c) lim x 3 x 5 x 5 x 2 2 x5 x4 2 2(x 5x 6) 4 x4 5 Bài 2.Cho hàm số : f (x) x3 2x 1 . Tớnh f (1) . 2 3 x2 x khi x 1 Bài 3.Cho hàm số f (x) . Hóy tỡm a để f (x) liờn tục tại x = 1 ax 1 khi x 1 x2 2x 3 Bài 4.Cho hàm số f (x) . Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) tại điểm cú x 1 hoành độ bằng 1. Bài 5. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA  (ABCD) và ABCD là hỡnh thang vuụng tại A, B . AB = BC = a, ãADC 450 ,SA a 2 . a) Chứng minh cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng. b) Tớnh gúc giữa SBvà (SAD). c)Tớnh gúc giữa (SBC) và (ABCD). c) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và SC. 4
  5. II. Phần tự chọn A. Theo chương trỡnh chuẩn Bài 4a: Tớnh cỏc giới hạn sau: 9x2 1 4x x 1) lim 2) lim x 3 2x x 2 x2 5x 6 Bài 5a: 1) Chứng minh phương trỡnh sau cú 3 nghiệm phõn biệt: 6x3 3x2 6x 2 0 . 2) Cho hỡnh chúp tam giỏc đều cú cạnh đỏy và cạnh bờn bằng a. Tớnh chiều cao hỡnh chúp. B. Theo chương trỡnh nõng cao Bài 4b: Tớnh giới hạn: lim x 1 x x Bài 5b: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O, cạnh a; cỏc cạnh bờn bằng nhau và bằng a 2 . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC. a) Chứng minh rằng SO ^ (ABCD) . Tớnh khoảng cỏch từ S đến mặt phẳng (ABCD) . b) Chứng minh rằng mặt phẳng (SIJ) vuụng gúc với mặt phẳng (SBC) . c) Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AD và SB. Đề 9 Bài 1: 1) Tớnh cỏc giới hạn sau: n4 2n 2 x3 8 3x 2 a) lim 2 b) lim c) lim . n 1 x 2 x 2 x 1 x 1 2) Cho y f (x) x3 3x2 2 . Chứng minh rằng phương trỡnh f(x) = 0 cú 3 nghiệm phõn biệt. x2 x 2 khi x 2 3) Cho f (x) x 2 . Tỡm a để hàm số liờn tục tại x = 2. 5a 3x khi x 2 Bài 2: Cho y x2 1 . Giải bất phương trỡnh:y .y 2x2 1 . Bài 3: Cho tứ diện OABC cú OA = OB = OC = a, Ã OB Ã OC 600 , Bã OC 900 . a) Chứng minh rằng ABC là tam giỏc vuụng. b) Chứng minh OA vuụng gúc BC. c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuụng gúc chung OA và BC. Bài 4: Cho y f (x) x3 3x2 2 . Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) biết tiếp tuyến song song với d: y = 9x + 2011. x2 1 Bài 5: Cho f (x) . Tớnh f (n) (x) , với n 2. x 5
  6. Đề 10 A. PHẦN BẮT BUỘC: Cõu 1: Tớnh cỏc giới hạn sau: x 3 (x 1)3 1 x2 5 3 a) lim b) lim c) lim x 3 x2 2x 3 x 0 x x 2 x 2 Cõu 2: a) Chứng minh rằng phương trỡnh sau cú ớt nhất 2 nghiệm: 2x3 10x 7 0 x 3 , x 1 b) Xột tớnh liờn tục của hàm số f (x) x 1 trờn tập xỏc định . 2 , x 1 Cõu 3: 3 a) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thi hàm số y x tại điểm cú hoành độ x0 1 . b) Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau: y x 1 x2 y (2 x2 )cos x 2x sin x Cõu 4: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA  (ABCD) và ABCD là hỡnh thang vuụng tại A, B . AB = BC = a, ãADC 450 ,SA a 2 . a) Chứng minh cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng. b) Tớnh gúc giữa SBvà (SAD). c)Tớnh gúc giữa (SBC) và (ABCD). c) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và SC. B. PHẦN TỰ CHỌN: 1. Theo chương trỡnh chuẩn 1 1 Cõu 5a: a) Tớnh lim x 2 x2 4 x 2 8 b) Cho hàm số f (x) . Chứng minh: f ( 2) f (2) x Cõu 6a: Cho y x3 3x2 2 . Giải bất phương trỡnh: y 3 .    Cõu 7a: Cho hỡnh hộp ABCD.EFGH cú AB a, AD b, AE c . Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Hóy  biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a,b,c . 2. Theo chương trỡnh nõng cao Cõu 5b: a) Tớnh gần đỳng giỏ trị của 4,04 b) Tớnh vi phõn của hàm số y x.cot2 x x2 3x 1 Cõu 6b: Tớnh lim x 3 x 3 Cõu 7b 3: Cho tứ diện đều cạnh a. Tớnh khoảng cỏch giữa hai cạnh đối của tứ diện . Đề 11 II. Phần bắt buộc Cõu 1: 1) Tớnh cỏc giới hạn sau: 6
  7. 1 2x x3 3x2 9x 2 a) lim b) lim c) lim x2 x 3 x x x2 2x 3 x 2 x3 x 6 x 2) Chứng minh phương trỡnh x3 3x 1 0 cú 3 nghiệm phõn biệt . Cõu 2: 1) Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau: 2 x2 2x a) y 3x x 1 b) y x sin x c) y x x 1 2) Tớnh đạo hàm cấp hai của hàm số y tan x 3) Tớnh vi phõn của ham số y = sinx.cosx Cõu 3: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA  (ABCD) và SA a 6 . 1) Chứng minh : BD  SC, (SBD)  (SAC) . 2) Tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBD). 3) Tớnh gúc giữa SC và (ABCD) II. Phần tự chọn 1. Theo chương trỡnh chuẩn 1 Cõu 4a: Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x tại giao điểm của nú với trục hoành . x 60 64 Cõu 5a: Cho hàm số f (x) 3x 3 5 . Giải phương trỡnh f (x) 0 . x x   Cõu 6a: Cho hỡnh lập phương ABCD.EFGH cú cạnh bằng a . Tớnh AB.EG . 2. Theo chương trỡnh nõng cao Cõu 4b: Tớnh vi phõn và đạo hàm cấp hai của hàm số y sin 2x.cos2x . x3 x2 Cõu 5b: Cho y 2x . Với giỏ trị nào của x thỡ y (x) 2 . 3 2 Cõu 6b: Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cú cạnh bằng a. Xỏc định đường vuụng gúc chung và tớnh khoảng cỏch của hai đường thẳng chộo nhau BD và B C. Đề 12 Bài 1: Tớnh cỏc giới hạn sau: 3n 1 4n x 1 2 a) lim b) lim 4n 1 3 x 3 x2 9 Bài 2: Chứng minh phương trỡnh x3 3x 1 0 cú 3 nghiệm thuộc 2;2 . x2 9 khi x 3 Bài 3: Chứng minh hàm số sau khụng cú đạo hàm tại x 3 f (x) x 3 1 khi x = 3 Bài 4: Tớnh đạo hàm cỏc hàm số sau: a) y (2x 1) 2x x2 b) y x2.cos x x 1 Bài 5: Cho hàm số y cú đồ thị (H). x 1 a) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (H) tại A(2; 3). 1 b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y x 5 . 8 Bài 6: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA = a, SA vuụng gúc với (ABCD). Gọi I, K là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn SB, SD. 7
  8. a) Chứng minh cỏc mặt bờn hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng. b) Chứng minh: (SAC) vuụng gúc (AIK). c) Tớnh gúc giữa SC và (SAB). d) Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBD). Đề 13 Bài 1: Tớnh cỏc giới hạn sau: 2x2 3x 5 x3 x 1 a) lim b) lim x 1 x2 1 x 1 x 1 Bài 2: Chứng minh rằng phương trỡnh x3 2mx2 x m 0 luụn cú nghiệm với mọi m. Bài 3: Tỡm a để hàm số liờn tục tại x = 1. x3 x2 2x 2 khi x 1 f (x) 3x a 3x a khi x = 1 Bài 4: Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số: 2 3 1 cos x x a) y 3x 1 b) y x x2 x4 x sin x Bài 5: Cho đường cong (C): y x3 3x2 2 . Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C): a) Tại điểm cú hoành độ bằng 2. 1 b) Biết tiếp tuyến vuụng gúc đường thẳng y x 1 . 3 a 3 Bài 6: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O cạnh a, OB , SO  (ABCD) , 3 SB a . a) Chứng minh: SAC vuụng và SC vuụng gúc với BD. b) Chứng minh: (SAD)  (SAB), (SCB)  (SCD). c) Tớnh khoảng cỏch giữa SA và BD. Đề 14 Bài 1: Tớnh cỏc giới hạn sau: a) lim x2 x 3 2x b) lim 4x2 x 1 2x x x Bài 2: Chứng minh rằng phương trỡnh 2x3 10x 7 0 cú ớt nhất hai nghiệm. Bài 3: Tỡm m để hàm số sau liờn tục tại x = –1 x2 1 khi x 1 f (x) x 1 mx 2 khi x 1 Bài 4: Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau: 3x 2 a) y b) y (x2 3x 1).sin x 2x 5 1 Bài 5: Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số y : x 8
  9. 1 a) Tại điểm cú tung độ bằng . 2 b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4x 3 . 3 Bài 6: Cho tứ diện S.ABC cú ABC đều cạnh a, SA  (ABC), SA a . Gọi I là trung điểm BC. 2 a) Chứng minh: (SBC) vuụng gúc (SAI). b) Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBC). c) Tớnh gúc giữa (SBC) và (ABC). Đề 15 Bài 1: Tớnh cỏc giới hạn sau: 2 x 3 x2 5x 3 a) lim b) lim x 2 3 x x x 2 Bài 2: Chứng minh rằng phương trỡnh x4 x3 3x2 x 1 0 cú nghiệm thuộc ( 1;1) . x2 3x 2 khi x 2 Bài 3: Xột tớnh liờn tục của hàm số sau trờn tập xỏc định của nú: f (x) x 2 3 khi x 2 Bài 4: Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau: sin x cos x a) y b) y (2x 3).cos(2x 3) sin x cos x 2x2 2x 1 Bài 5: Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y x 1 a) Tại giao điểm của đồ thị và trục tung. b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y x 2011 . Bài 6: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O cạnh a, ãBAD 600 , SO  (ABCD), a 13 SB SD . Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE. 4 a) Chứng minh: (SOF) vuụng gúc (SBC). b) Tớnh khoảng cỏch từ O và A đến (SBC). c) Gọi ( ) là mặt phẳng qua AD và vuụng gúc (SBC). Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp bị cắt bởi ( ). Tớnh gúc giữa ( ) và (ABCD). Đề 16 I. Phần chung Bài 1: 1) Tỡm cỏc giới hạn sau: 1 x5 7x3 11 x 1 2 4 x2 a) lim 3 b) lim c) lim x 3 x 5 x 5 x 2 2 x5 x4 2 2(x 5x 6) 4 x4 5 2) Cho hàm số : f (x) x3 2x 1 . Tớnh f (1) . 2 3 Bài 2: x2 x khi x 1 1) Cho hàm số f (x) . Hóy tỡm a để f (x) liờn tục tại x = 1 ax 1 khi x 1 9
  10. x2 2x 3 2) Cho hàm số f (x) . Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) tại điểm cú x 1 hoành độ bằng 1. Bài 3: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và SA = a . Gọi O là tõm của hỡnh vuụng và I là trung điểm của SC. a) Chứng minh rằng IO ^ (ABCD) và tớnh khoảng cỏch từ I đến mặt phẳng (ABCD) . b) Chứng minh cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng. c) Xỏc định và tớnh gúc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABCD) . d) Xỏc định và tớnh gúc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (SAB) . II. Phần tự chọn A. Theo chương trỡnh chuẩn Bài 4a: Tớnh cỏc giới hạn sau: 9x2 1 4x x 1) lim 2) lim x 3 2x x 2 x2 5x 6 Bài 5a: 1) Chứng minh phương trỡnh sau cú 3 nghiệm phõn biệt: 6x3 3x2 6x 2 0 . 2) Cho hỡnh chúp tam giỏc đều cú cạnh đỏy và cạnh bờn bằng a. Tớnh chiều cao hỡnh chúp. B. Theo chương trỡnh nõng cao Bài 4b: Tớnh giới hạn: lim x 1 x x Bài 5b: 1) Chứng minh phương trỡnh sau luụn luụn cú nghiệm: (m2 2m 2)x3 3x 3 0 2) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA vuụng gúc (ABCD) và SA = a 3 . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuụng gúc (SCD). Thiết diờn cắt bởi (P) và hỡnh chúp là hỡnh gỡ? Tớnh diện tớch thiết diện đú. Đề 17 I. Phần chung Bài 1: x2 x 2 3n 2 3.5n 1 1) Tớnh cỏc giới hạn sau: a) lim b) lim x 1 2x 2 4.5n 5.3n 1 cos x x 2) Tớnh đạo hàm của hàm số: y sin x x Bài 2: 1) Cho hàm số: y x3 x2 x 5 (C). Viết phương trỡnh tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 6x y 2011 0 . 5x2 6x 7 khi x 2 2) Tỡm a để hàm số: f (x) liờn tục tại x = 2. 2 ax 3a khi x 2 Bài 3: Cho hỡnh chúp S.ABC cú cỏc mặt bờn (SAB), (SAC) cựng vuụng gúc với (ABC), tam giỏc ABC vuụng cõn tại C. AC = a, SA = x. a) Xỏc định và tớnh gúc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). b) Chứng minh (SAC)  (SBC) . Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBC). c) Tinh khoảng cỏch từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). d) Xỏc định đường vuụng gúc chung của SB và AC 10
  11. II. Phần tự chọn A. Theo chương trỡnh Chuẩn Bài 4a: 1) Cho f (x) x2 sin(x 2) . Tỡm f (2) . 1 2) Viết thờm 3 số vào giữa hai số và 8 để được cấp số cộng cú 5 số hạng. Tớnh tổng cỏc số hạng của 2 cấp số cộng đú. Bài 5a: 1) CMR phương trỡnh sau cú ớt nhất 2 nghiệm: 2x3 10x 7 . 2) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều cú cạnh đỏy bằng a, cạnh bờn hợp với đỏy một gúc 30 0. Tớnh chiều cao hỡnh chúp. B. Theo chương trỡnh Nõng cao Bài 4b: 1) Cho f (x) sin 2x 2sin x 5 . Giải phương trỡnh f (x) 0 . 2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liờn tiếp của cấp số nhõn. Chứng minh rằng: (a2 b2 )(b2 c2 ) (ab bc)2 Bài 5b: 1) Chứng minh rằng với mọi m phương trỡnh sau luụn cú ớt nhất 2 nghiệm: (m2 1)x4 x3 1 . a 2) Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A B C , cú cạnh đỏy bằng a, cạnh bờn bằng . Tớnh gúc giữa 2 2 mặt phẳng (A BC) và (ABC) và khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (A BC). Đề 18 I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Cõu 1: (1,5 điểm) Tỡm giới hạn của cỏc hàm số sau: x2 5x 6 x 3 x2 2x 1 a) lim b) lim c) lim x 2 x 2 x 3 x 1 2 x x x2 25 khi x 5 Cõu 2: (1 điểm) Cho hàm số f (x) x 5 . Tỡm A để hàm số đó cho liờn tục tại x = 5. A khi x 5 Cõu 3: (1,5 điểm) Tỡm đạo hàm của cỏc hàm số sau: 3x2 2x 1 a) y b) y x.cos3x x2 1 Cõu 4: (3 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B và cú SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABC). a) Chứng minh: BC  (SAB). b) Giả sử SA = a 3 và AB = a, tớnh gúc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC). c) Gọi AM là đường cao của SAB, N là điểm thuộc cạnh SC. Chứng minh: (AMN)  (SBC). II. PHẦN RIấNG (3 điểm) Thớ sinh chỉ được chọn một trong hai phần. Phần A: (theo chương trỡnh chuẩn) Cõu 5a: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trỡnh x5 3x4 5x 2 0 cú ớt nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (–2; 5). 4 x2 Cõu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y x3 5x cú đồ thị (C). 3 2 a) Tỡm x sao cho y 0 . b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại điểm cú hoành độ x = 0. Phần B: (theo chương trỡnh nõng cao) 11
  12. Cõu 5b: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trỡnh 2x3 6x 1 0 cú ớt nhỏt hai nghiệm. Cõu 6b: (2 điểm) Cho hàm số y 4x3 6x2 1 cú đồ thị (C). a) Tỡm x sao cho y 24 . b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–1; –9). Đề19 A. Phần chung: (8 điểm) Cõu 1: (2 điểm) Tỡm cỏc giới hạn sau: 2x2 3x 1 1) lim 2) lim x2 2x 2 x2 2x 3 x 1 4 3x x2 x 4 x2 khi x 2 Cõu II: (1 điểm) Xột tớnh liờn tục của hàm số f (x) x 2 2 tại điểm x = 2. 2x 20 khi x 2 Cõu III: (2 điểm) Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau: 3 5x 2 1) f (x) 2) f (x) sin(tan(x4 1)) x2 x 1 Cõu IV: (3 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a, SA  (ABCD) , a 6 SA . 2 1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuụng gúc với mặt phẳng (SBC). 2) Tớnh khoảng cỏch từ A đến đường thẳng SC. 3) Tớnh gúc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD). B. Phần riờng: (2 điểm) Cõu Va: Dành cho học sinh học chương trỡnh Chuẩn Cho hàm số: y x3 3x2 2x 2 . 1) Giải bất phương trỡnh y 2 . 2) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đú song song với đường thẳng d: x y 50 0 . Cõu Vb: Dành cho học sinh học chương trỡnh Nõng cao 1) Tỡm 5 số hạng của một cấp số nhõn gồm 5 số hạng, biết u3 3 và u5 27 . 2) Tỡm a để phương trỡnh f (x) 0 , biết rằng f (x) a.cos x 2sin x 3x 1 . Đề 20 A. Phần chung: (7 điểm) Cõu I: (2 điểm) Tớnh cỏc giới hạn sau: n n 3 2.4 2 a) lim b) lim n 2n n 4n 3n 3x2 10x 3 3x 1 2 c) lim d) lim 2 x 3 x 5x 6 x 1 x 1 Cõu II: (2 điểm) x2 3x 18 khi x 3 a) Cho hàm số f x x 3 . Tỡm a để hàm số liờn tục tại x 3 . a x khi x 3 12
  13. b) Chứng minh rằng phương trỡnh x3 3x2 4x 7 0 cú ớt nhất một nghiệm trong khoảng (–4; 0). Cõu III: (3 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vuụng gúc với SA. a) CMR: SO  (ABCD), SA  (PBD). b) CMR: MN  AD. c) Tớnh gúc giữa SA và mp (ABCD). d) CMR: 3 vec tơ BD, SC, MN đồng phẳng. B. Phần riờng. (3 điểm) Cõu IVa: Dành cho học sinh học theo chương trỡnh chuẩn. a) Cho hàm số f (x) x3 3x 4 . Lập phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 2). b) Tỡm đạo hàm của hàm số y sin2 x . Cõu IVb: Dành cho học sinh học theo chương trỡnh nõng cao. a) Cho hàm số f (x) x3 3x 4 . Lập phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đú đi qua điểm M(1; 0). b) Tỡm đạo hàm của hàm số y sin(cos(5x3 4x 6)2011) ĐÁP ÁN ĐỀ 1 Bài 1. 2 x x2 ( x 2)(x 1) 1) lim = lim lim( x 2) 3 x 1 x 1 x 1 (x 1) x 1 3 12 2) lim 2x4 3x 12 = lim x2 2 x x x x4 7x 1 3) lim x 3 x 3 13
  14. Ta cú: lim (x 3) 0, lim (7x 1) 20 0; x 3 0 khi x 3 nờn I x 3 x 3 x 1 2 x 3 1 1 4) lim = lim lim x 3 9 x2 x 3 (3 x)(3 x)( x 1 2) x 3 (x 3)( x 1 2) 24 Bài 2. x2 5x 6 khi x 3 1) Xột tớnh liờn tục của hàm số sau trờn tập xỏc định của nú: f (x) x 3 2x 1 khi x 3 Hàm số liờn tục với mọi x 3. Tại x = 3, ta cú: + f (3) 7 (x 2)(x 3) + lim f (x) lim (2x 1) 7 + lim f (x) lim lim (x 2) 1 x 3 x 3 x 3 x 3 (x 3) x 3 Hàm số khụng liờn tục tại x = 3. Vậy hàm số liờn tục trờn cỏc khoảng ( ;3), (3; ) . 2) Chứng minh rằng phương trỡnh sau cú ớt nhất hai nghiệm : 2x3 5x2 x 1 0 . Xột hàm số: f (x) 2x3 5x2 x 1 Hàm số f liờn tục trờn R. Ta cú: f (0) 1 0 +  PT f(x) = 0 cú ớt nhất một nghiệm c (0;1) . f (1) 1  1 f (2) 1 0 +  PT f(x) = 0 cú ớt nhất một nghiệm c (2;3) . f (3) 13 0  2 Mà c1 c2 nờn PT f(x) = 0 cú ớt nhất 2 nghiệm. Bài 3. 2x2 1 3 12 1) a) y x x2 1 y' b) y y' 2 3 x2 1 (2x 5) (2x 5) x 1 2 2) y y (x 1) x 1 (x 1)2 a) Với x = –2 ta cú: y = –3 và y ( 2) 2 PTTT: y 3 2(x 2) y 2x 1 . x 2 1 1 b) d: y cú hệ số gúc k TT cú hệ số gúc k . 2 2 2 1 2 1 x0 1 Gọi (x ; y ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta cú y (x ) 0 0 0 2 2 2 x 3 (x0 1) 0 1 1 S + Với x 1 y 0 PTTT: y x . 0 0 2 2 1 7 + Với x 3 y 2 PTTT: y x . 0 0 2 2 Bài 4. A 1) SA  (ABCD) SA  AB, SA  AD D Cỏc tam giỏc SAB, SAD vuụng tại A. O BC  SA, BC  AB BC  SB SBC vuụng tại B. CD  SA, CD  AD CD  SD SCD vuụng tại D. C B 2) BD  AC, BD  SA BD  (SAC) (SBD)  (SAC). 14
  15. 3) BC  (SAB) ãSC,(SAB) ãBSC SAB vuụng tại A SB2 SA2 AB2 3a2 SB = a 3 BC 1 SBC vuụng tại B tanãBSC ãBSC 600 SB 3 4) Gọi O là tõm của hỡnh vuụng ABCD. Ta cú: (SBD)(ABCD) BD , SO  BD, AO  BD ã (SBD),(ABCD) ãSOA SA SAO vuụng tại A tanãSOA 2 AO x2 8 Bài 5a. I lim x 2 x2 11x 18 x2 11x 18 (x 2)(x 9) 0, khi x 2 (1) 2 2 Ta cú: lim (x 11x 18) 0 , x 11x 18 (x 2)(x 9) 0, khi x 2 (2) x 2 lim (x2 8) 12 0 (*) x 2 x2 8 Từ (1) và (*) I1 lim . x 2 x2 11x 18 x2 8 Từ (2) và (*) I2 lim x 2 x2 11x 18 1 Bài 6a. y x3 2x2 6x 18 y' x2 4x 6 3 BPT y' 0 x2 4x 6 0 2 10 x 2 10 x 2x 1 (x 2x 1) x 2x 11 (x 1) Bài 5b. lim lim = lim 0 x 1 x2 12x 11 x 1 (x2 12x 11) x 2x 1 x 1 (x 11) x 2x 1 x2 3x 3 x2 2x Bài 6b. y y' x 1 (x 1)2 2 2 x 2x x 2x 0 x 0 BPT y 0 0 . (x 1)2 x 1 x 2 ĐÁP ÁN ĐỀ 2 Bài 1: 1 1 1 1 x 1 3x x 1 3 x2 x 1 3x x 2 x x2 1) lim lim x lim 1 x 2x 7 x 7 x 7 x 2 x 2 x x 3 3 5 1 2) lim 2x 5x 1 lim x 2 x x x2 x3 2x 11 3) lim x 5 5 x 15
  16. lim 5 x 0 x 5 2x 11 Ta cú: lim 2x 11 1 0 lim x 5 x 5 5 x x 5 5 x 0 x3 1 1 x3 x2 4) lim lim lim 0 2 x 0 x x x 0 x x 1 x3 1 1 x 0 x 1 x3 1 1 Bài 2: x3 1 1) Khi x 1 ta cú f (x) x2 x 1 f(x) liờn tục  x 1 . x 1 Khi x = 1, ta cú: f (1) 2m 1  2  f(x) liờn tục tại x = 1 f (1) lim f (x) 2m 1 3 m 1 lim f (x) lim(x x 1) 3 x 1 x 1 x 1  Vậy: f(x) liờn tục trờn R khi m = 1. 2) Xột hàm số f (x) (1 m2 )x5 3x 1 f(x) liờn tục trờn R. Ta cú: f ( 1) m2 1 0,m; f (0) 1 0,m f (0). f (1) 0,m Phương trỡnh cú ớt nhất một nghiệm c (0;1) , m Bài 3: 2 2x x2 2x2 2x 2 1 tan2 x 1) a) y y' b) y 1 2 tan x y' x2 1 (x2 1)2 1 2 tan x 2) (C): y x4 x2 3 y 4x3 2x x 0 a) Với y 3 x4 x2 3 3 x 1 x 1 Với x 0 k y (0) 0 PTTT : y 3 Với x 1 k y ( 1) 2 PTTT : y 2(x 1) 3 y 2x 1 Với x 1 k y (1) 2 PTTT : y 2(x 1) 3 y 2x 1 1 b) d: x 2y 3 0 cú hệ số gúc k Tiếp tuyến cú hệ số gúc k 2 . d 2 3 Gọi (x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta cú: y (x0 ) 2 4x0 2x0 2 x0 1 (y0 3 ) PTTT: y 2(x 1) 3 y 2x 1 . Bài 4: 1) OA  OB, OA  OC OA  BC (1) A OBC cõn tại O, I là trung điểm của BC OI  BC (2) Từ (1) và (2) BC  (OAI) (ABC)  (OAI) 2) Từ cõu 1) BC  (OAI) ã ã K 3) BC  (OAI) AB,(AOI) BAI O C BC a 2 BI I 2 2 BC 3 a 2 3 a 6 B ABC đều AI 2 2 2 16
  17. AI 3 ABI vuụng tại I cosãBAI ãBAI 300 ãAB,(AOI) 300 AB 2 4) Gọi K là trung điểm của OC IK // OB ãAI,OB ãAI,IK ãAIK 5a2 AOK vuụng tại O AK2 OA2 OK2 4 6a2 a2 IK 1 A I 2 AIK vuụng tại K IK 2 cosãAIK 4 4 AI 6 1 2 n 1 1 Bài 5a: lim lim (1 2 3 (n 1)) n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 1 1 1 (n 1) 1 (n 1) (n 1)n 1 = lim lim lim n 2 2 2 2 2 n 1 2(n 1) 2 n2 Bài 6a: y sin 2x 2 cos x y 2 cos2x 2sin x x k2 2 sin x 1 PT y' 0 2 cos2x 2sin x 0 2sin2 x sin x 1 0 1 x k2 sin x 6 2 7 x k2 6 1 x 1 Bài 5b: y 2x x2 y' y" y3y" 1 0 2x x2 (2x x2 ) 2x x2 64 60 192 60 Bài 6b: f (x) 3x 16 f (x) 3 x3 x x4 x2 192 60 x4 20x2 64 0 x 2 PT f (x) 0 3 0 x4 x2 x 0 x 4 Đề 3 Bài 1: 3 2 3 1 1 1 1) lim ( x x x 1) lim x 1 x x x x2 x3 lim (x 1) 0 3x 2 x 1 3x 2 2) lim . Ta cú: lim (3x 1) 2 0 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 2 2 (x 2) x 7 3 x 7 3 3 3) lim lim lim x 2 x 7 3 x 2 (x 2) x 2 2 x 2 x 2 2 2 2x3 5x2 2x 3 2x2 x 1 11 4) lim lim x 3 4x3 13x2 4x 3 x 3 4x2 x 1 17 17
  18. n 4 1 4n 5n 5 1 5) lim lim n n n 2 3.5 2 3 3 5 3 3x 2 2 khi x >2 Bài 2: f (x) x 2 1 ax khi x 2 4 1 1 1 Ta cú: f (2) 2a lim f (x) lim ax 2a 4 x 2 x 2 4 4 3 3x 2 2 3(x 2) 1 lim f (x) lim lim x x x x 2 2 2 2 (x 2) 3 (3x 2)2 23 (3x 2) 4 4 1 1 Hàm số liờn tục tại x = 2 f (2) lim f (x) lim f (x) 2a a 0 x 2 x 2 4 4 Bài 3: Xột hàm số f (x) x5 3x4 5x 2 f liờn tục trờn R. Ta cú: f (0) 2, f (1) 1, f (2) 8, f (4) 16 f (0). f (1) 0 PT f(x) = 0 cú ớt nhất 1 nghiệm c1 (0;1) f (1). f (2) 0 PT f(x) = 0 cú ớt nhất 1 nghiệm c2 (1;2) f (2). f (4) 0 PT f(x) = 0 cú ớt nhất 1 nghiệm c3 (2;4) PT f(x) = 0 cú ớt nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5). Bài 4: 5x 3 5x2 6x 8 4x2 5x 3 1) y y 2) y (x 1) x2 x 1 y 2 2 2 x x 1 (x x 1) 2 x2 x 1 1 2 tan2 x 3) y 1 2 tan x y' 4) y sin(sin x) y' cos x.cos(sin x) 1 2 tan x Bài 5: S 1) SAB  ABC  K SBC  ABC  SB  ABC SAB  SBC SB H B C 2) CA  AB, CA  SB CA  (SAB) CA  BH 600 Mặt khỏc: BH  SA BH  (SAC) BH  SC Mà BK  SC SC  (BHK) 3) Từ cõu 2), BH  (SAC) BH  HK BHK vuụng tại H. A 4) Vỡ SC  (BHK) nờn KH là hỡnh chiếu của SA trờn (BHK) ãSA,(BHK) ãSA,KH ãSHK Trong ABC, cú: AC AB tanàB a 3; BC2 AB2 AC2 a2 3a2 4a2 18
  19. SB2 a 5 Trong SBC, cú: SC2 SB2 BC2 a2 4a2 5a2 SC a 5 ; SK SC 5 SB2 a 2 Trong SAB, cú: SH SA 2 3a2 a 30 Trong BHK, cú: HK2 SH 2 SK2 HK 10 10 HK 60 15 cos ãSA,(BHK) cosãBHK SH 10 5 x2 3x 2 x2 2x 5 Bài 6: f (x) f (x) x 1 (x 1)2 Tiếp tuyến song song với d: y 5x 2 nờn tiếp tuyến cú hệ số gúc k 5 . x2 2x 5 x 0 Gọi (x ; y ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta cú: f (x ) 5 0 0 5 0 0 0 0 2 x 2 (x0 1) 0 Với x0 0 y0 2 PTTT: y 5x 2 Với x0 2 y0 12 PTTT: y 5x 22 1 cos4x Bài 7: y cos2 2x = 2 2 1) y 2sin 4x y" 8cos4x y'" 32sin 4x 2) A y 16y 16y 8 8cos4x Đề 4 Bài 1: 3 3 2 3 1) lim ( 5x 2x 3) lim x 1 x x x2 x3 lim (x 1) 0 3x 2 x 1 3x 2 2) lim . Ta cú: lim (3x 1) 2 0 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 2 x (2 x) x 7 3 3) lim lim lim x 7 3 6 x 2 x 7 3 x 2 x 2 x 2 (x 3)3 27 x3 9x2 27x 4) 4) lim lim lim(x2 9x 27) 27 x 0 x x 0 x x 0 n n 3 1 1 3n 4n 1 4 4 1 5) lim lim n n n 2.4 2 1 2 2 2 x 1 khi x 1 Bài 2: f (x) x 1 3ax khi x 1 Ta cú: f (1) 3a lim f (x) lim 3ax 3a x 1 x 1 19
  20. x 1 1 1 lim f (x) lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 1 Hàm số liờn tục tại x = 1 f (1) lim f (x) lim f (x) 3a a x 1 x 1 2 6 Bài 3: Xột hàm số f (x) x3 1000x 0,1 f liờn tục trờn R. f (0) 0,1 0   f ( 1). f (0) 0 PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm c ( 1;0) f ( 1) 1001 0,1 0 Bài 4: 2x2 6x 5 4x2 16x 34 2x2 8x 17 1) y y' 2x 4 (2x 4)2 2(x 2)2 x2 2x 3 3x 7 2) y y' 2x 1 (2x 1)2 x2 2x 3 sin x cos x 1 2 3) y y tan x y' 1 tan x sin x cos x 4 2 4 cos x 4 4) y sin(cos x) y' sin x.cos(cos x) Bài 5: S 1) BD  AC, BD  SA BD  (SAC) (SBD)  (SAC) CD  AD, CD  SA CD  (SAD) (DCS)  (SAD) 2) Tỡm gúc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) H SA  (ABCD) ã SD,(ABCD) ãSDA SA 2a A B tanãSDA 2 AD a O Tỡm gúc giữa SB và mặt phẳng (SAD) D C AB  (ABCD) ãSB,(SAD) ãBSA AB a 1 tanãBSA SA 2a 2 Tỡm gúc giữa SB và mặt phẳng (SAC). BO (SAC) ãSB,(SAC) ãBSO . a 2 3a 2 OB 1 OB , SO tanãBSO 2 2 OS 3 3) Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SCD) Trong SAD, vẽ đường cao AH. Ta cú: AH  SD, AH  CD AH  (SCD) d(A,(SCD)) = AH. 1 1 1 1 1 2a 5 2a 5 AH d(A,(SCD)) AH 2 SA2 AD2 4a2 a2 5 5 Tớnh khoảng cỏch từ B đến (SAC) a 2 BO  (SAC) d(B,(SAC)) = BO = 2 Bài 6: (C) : y x3 3x2 2 y 3x2 6x 20
  21. 1) Tại điểm M(–1; –2) ta cú: y ( 1) 9 PTTT: y 9x 7 1 2) Tiếp tuyến vuụng gúc với d: y x 2 Tiếp tuyến cú hệ số gúc k 9 . 9 Gọi (x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. x 2 2 0 1 Ta cú: y (x0 ) 9 3x0 6x0 9 x0 2x0 3 0 x0 3 Với x0 1 y0 2 PTTT: y 9x 7 Với x0 3 y0 2 PTTT: y 9x 25 x2 2x 2 Bài 7: y y x 1 y 1 2 x2 2 2y.y 1 2 x 1 .1 1 x2 2x 1 (x 1)2 y 2 Đề 5 Bài 1: 2 3 2 2n3 2n 3 2 3 1 a) lim lim n n 3 1 2 1 4n 4 n3 x 3 2 x 3 2 x 3 2 1 1 b) lim lim lim x 1 x2 1 x 1 (x 1)(x 1) x 3 2 x 1 (x 1) x 3 2 8 x2 3x 2 khi x 2 Bài 2: f (x) x 2 3 khi x 2 (x 1)(x 2) Khi xta cú 2 f (x) x f (x1) liờn tục tại x 2 x 2 Tại x 2 ta cú: f ( 2) 3, lim f (x) lim (x 1) 1 f ( 2) lim f (x) x 2 x 2 x 2 f(x) khụng liờn tục tại x = –2. Vậy hàm số f(x) liờn tục trờn cỏc khoảng ( ; 2), ( 2; ) . Bài 3: a) y 2sin x cos x tan x y' 2 cos x sin x 1 tan2 x b) y sin(3x 1) y' 3cos(3x 1) c) y cos(2x 1) y 2sin(2x 1) 8 1 4 1 tan2 4x d) y 1 2 tan 4x y' . cos2 4x 2 1 2 tan 4x 1 2 tan 4x Bài 4: a) Vẽ SH  (ABCD). Vỡ SA = SB = SC = a nờn HA = HB = HD S H là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABD Mặt khỏc ABD cú AB = AD và ãBAD 600 nờn ABD đều. Do đú H là trọng tõm tam giỏc ABD nờn H AO H AC SH  (SAC) Như vậy, (SAC)  (ABCD) A SH  (ABCD) H D O B C 21
  22. a 3 b) Ta cú ABD đều cạnh a nờn cú AO AC a 3 2 Tam giỏc SAC cú SA = a, AC = a 3 2 1 a 3 a2 Trong ABC, ta cú: AH AO AC AH 2 3 3 3 3 a2 2a2 Tam giỏc SHA vuụng tại H cú SH 2 SA2 AH 2 a2 3 3 2 2a 3 4a2 4a2 2a2 HC AC HC2 SC2 HC2 SH 2 2a2 3 3 3 3 3 SA2 SC2 a2 2a2 3a2 AC2 tam giỏc SCA vuụng tại S. a 6 c) SH  (ABCD) d(S,(ABCD)) SH 3 Bài 5a: f ( x) 2x3 6x 1 f (x) 6x2 6 a) f ( 5) 144 b) Tại điểm Mo(0; 1) ta cú: f (0) 6 PTTT: y 6x 1 c) Hàm số f(x) liờn tục trờn R. f ( 1) 5, f (1) 3 f ( 1). f (1) 0 phương trỡnh f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1). sin3x cos3x Bài 5b: f (x) cos x 3 sin x f (x) cos3x sin x 3(cos x sin3x) 3 3 1 3 1 3 PT f (x) 0 cos3x 3 sin3x sin x 3 cos x cos3x sin3x sin x cos x 2 2 2 2 4x k2 x k 2 8 2 sin 3x sin x 6 3 7 7 2x k2 x k 6 12 Bài 6b: f (x) 2x3 2x 3 f (x) 6x2 2 a) Tiếp tuyến song song với d: y 22x 2011 Tiếp tuyến cú hệ số gúc k 22 . x 2 2 0 2 Gọi (x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta cú f (x0 ) 22 6x0 2 22 x0 4 x0 2 Với x0 2 y0 9 PTTT :y 22x 35 Với x0 2 y0 15 PTTT :y 22x 29 1 b) Tiếp tuyến vuụng gúc với : y x 2011 Tiếp tuyến cú hệ số gúc k 4 . 4 x 2 2 1 1 Gọi (x1; y1) là toạ độ của tiếp điểm. Ta cú f (x1) 4 6x1 2 4 x1 1 x1 1 Với x1 1 y1 3 PTTT : y 4x 7 Với x1 1 y1 3 PTTT : y 4x 1 Đề 6 Cõu 1: 22
  23. 3x2 4x 1 (x 1)(3x 1) a) lim lim lim (3x 1) 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 9 b) lim lim (x 3) 6 x 3 x 3 x 3 x 2 c) lim lim x 7 3 6 x 2 x 7 3 x 2 2 2 x 1 3x x 1 3 2 x 2 3x x2 x2 d) lim lim lim x 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 2 1 3 x2 lim 2 x 1 2 x x2 x 2 khi x 2 Cõu 2: f (x) x 2 m khi x 2 Ta cú tập xỏc định của hàm số là D = R a) Khi m = 3 ta cú (x 1)(x 2) ,khi x 2 x 1, khi x 2 f (x) x 2 f(x) liờn tục tại mọi x 2. 3 , khi x 2 3 ,khi x 2 Tại x = 2 ta cú:f(2) = 3; lim f (x) lim (x 1) 3 f(x) liờn tục tại x = 2. x 2 x 2 Vậy với m = 3 hàm số liờn tục trờn tập xỏc định của nú. x2 x 2 khi x 2 x 1 khi x 2 b) f (x) x 2 m khi x 2 m khi x 2 Tại x = 2 ta cú:f(2) = m , lim f (x) 3 x 2 Hàm số f(x) liờn tục tại x = 2 f (2) lim f (x) m 3 x 2 Cõu 3: Xột hàm số f (x) x5 3x4 5x 2 f liờn tục trờn R. Ta cú: f (0) 2, f (1) 1, f (2) 8, f (4) 16 f (0). f (1) 0 PT f(x) = 0 cú ớt nhất 1 nghiệm c1 (0;1) f (1). f (2) 0 PT f(x) = 0 cú ớt nhất 1 nghiệm c2 (1;2) f (2). f (4) 0 PT f(x) = 0 cú ớt nhất 1 nghiệm c3 (2;4) PT f(x) = 0 cú ớt nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5). Cõu 4: 3 4x x 1 56x 2x2 3 a) y' 5x4 3x2 4x b) y' c) y' d) y' 3 2 2 2 x2 1 x 2x x2 3 x 3 Cõu 5a: 23
  24. a) AC  BI, AC  SI AC  SB. S SB  AM, SB  AC SB  (AMC) b) SI  (ABC) ãSB,(ABC) ãSBI M AC = 2a BI = a = SI SBI vuụng cõn ãSBI 450 c) SB  (AMC) ã SC,(AMC) ãSCM A I C Tớnh được SB = SC = a 2 = BC SBC đều M là trung điểm của SB ãSCM 300 B Cõu 5b: S SO  (ABCD) a) Vỡ S.ABCD là chúp tứ giỏc đều nờn K AC  BD SO  BD BD  (SAC) (SAC)  (SBD) H AC  BD D C SO  (ABCD) (SBD)  (ABCD) O M SO  (SBD) A B b) Tớnh d(S,(ABCD)) SO  (ABCD) d(S,(ABCD)) SO a 2 7a2 a 14 Xột tam giỏc SOB cú OB ,SB 2a SO2 SA2 OB2 SO 2 2 2 Tớnh d(O,(SBC)) Lấy M là trung điểm BC OM  BC, SM  BC BC  (SOM) (SBC)  (SOM). Trong SOM, vẽ OH  SM OH  (SBC) d(O,(SBC)) OH Tớnh OH: a 14 SO 2 2 2 1 1 1 2 OM .OS 7a a 210 SOM cú 2 OH OH a 2 2 2 2 2 30 30 OM OH OM OS OM OS 2 c) Tớnh d(BD,SC) Trong SOC, vẽ OK  SC. Ta cú BD  (SAC) BD  OK OK là đường vuụng gúc chung của BD và SC d(BD,SC) OK . Tớnh OK: a 14 SO 2 2 2 1 1 1 2 OC .OS 7a a 7 SOC cú 2 OK OK a 2 OK2 OC2 OS2 OC2 OS2 16 4 OC 2 Đề 7 Cõu 1: 5 5 a) lim x2 5 x lim lim 0 x x x2 5 x x 5 x 1 1 x2 x 3 1 1 b) lim lim x 3 x2 9 x 3 x 3 6 24
  25. 2x 1 1 1 1 khi x khi x 2 2 Cõu 2: f (x) 2x 3x 1 = x 1 2 1 1 A khi x A khi x 2 2 1 1 1 Tại x ta cú: f A , lim 2 1 2 2 x x 1 2 1 1 1 f (x) liờn tục tại x f lim A 2 1 2 2 x x 1 2 Cõu 3: Xột hàm số f (x) x3 5x 3 f (x) liờn tục trờn R. f (0) 3, f (1) 3 f (0). f (1) 0 PT đó cho cú ớt nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1) . Cõu 4: a) y (x 1)(2x 3) 2x2 x 3 y 4x 1 x x 2sin cos x sin x b) y 1 cos2 y' 2 2 2 x x 4. 1 cos2 4. 1 cos2 2 2 Cõu 5: a) AB = AD = a, ãBAD 0 BđềuAD BD a S 60 BC  OK, BC  SO BC  (SOK). b) Tớnh gúc của SK và mp(ABCD) SO  (ABCD) ã SK,(ABCD) ãSKO H F a a 3 D BOC cú OB ,OC C 2 2 0 60 O 1 1 1 a 3 SO 4 3 K OK tanãSKO A B OK2 OB2 OC2 4 OK 3 c) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và SB AD // BC AD // (SBC) d(AD,SB) d(A,(SBC)) Vẽ OF  SK OF  (SBC) Vẽ AH // OF, H CF AH  (SBC) d(AD,SB) d(A,(SBC)) AH . CAH cú OF là đường trung bỡnh nờn AH = 2.OF a 3 1 1 1 a 57 2a 57 SOK cú OK = , OS = a OF AH 2OF 4 OF2 OS2 OK2 19 19 Cõu 6a: y 2x3 7x 1 y' 6x2 7 a) Với x0 2 y0 3, y (2) 17 PTTT : y 17x 31 x 2 0 1 b) Gọi (x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta cú: y (x0 ) 1 6x0 7 1 x0 1 Với x0 1 y0 6 PTTT : y x 7 Với x0 1 y0 4 PTTT : y x 5 Cõu 7a: 25
  26. a) Tỡm quỹ tớch điểm H khi M di động trờn AB S SA  (ABC) AH là hỡnh chiều của SH trờn (ABC). Mà CH  SH nờn CH  AH. AC cố định, ãAHC 900 H nằm trờn đường trũn đường kớnh AC nằm trong mp(ABC). Mặt khỏc: + Khi M A thỡ H  A A K C + Khi M B thỡ H  E (E là trung điểm của BC). Vậy quĩ tớch cỏc điểm H là cung ẳAHE của đường trũn đường kớnh H E AC nằm trong mp(ABC). M b) Tớnh SK và AH theo a và B AHC vuụng tại H nờn AH = AC.sinãACM asin SH 2 SA2 AH 2 a2 a2 sin2 SH a 1 sin2 SA2 a SAH vuụng tại A cú SA2 SK.SH SK SK SH 1 sin2 x2 x2 x3 Cõu 6b: (P): y f (x) 1 x và (C): y g(x) 1 x . 2 2 6 x2 x2 x3 x2 a) f (x) 1 x f (x) 1 x ; g(x) 1 x g (x) 1 x 2 2 6 2 f (x) g (x) x 0 f (0 đồ) thịg( 0hai) hàm1 số cú ớt nhất một tiếp tuyến chung tại điểm hay tiếp Mxỳc(0 ;nhau1) tại M(0;1) . b) Phương trỡnh tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm M(0;1) : y x 1 Cõu 7b: a) Vỡ SA = SC nờn SO  AC, SB = SD nờn SO  BD S SO  (ABCD). b) I, J, O thẳng hàng SO  (ABCD). a 5 SO  (ABCD) (SIJ)  (ABCD) 2 BC  IJ, BC  SI BC  (SIJ) (SBC)  (SIJ) H ã 0 A B (SBC),(SIJ) 90 c) Vẽ OH  SI OH  (SBC) d(O,(SBC)) OH J I O a 5 a 2 3a2 SOB cú SB , OB SO2 SB2 OB2 D a C 2 2 4 1 1 1 3a2 a 3 SOI cú OH 2 OH OH 2 SO2 OI 2 16 4 Đề 8 Bài 1: 1 1 7 11 x5 7x3 11 3 2 5 4 1) a) lim 3 lim x x x 3 x 3 1 2 9 x5 x4 2 4 4 x x5 x 1 2 x 5 1 1 b) lim lim lim x 5 x 5 x 5 (x 5) x 1 2 x 5 x 1 2 4 26
  27. 4 x2 (2 x)(2 x) (x 2) 2 c) lim lim lim x 2 2(x2 5x 6) x 2 2(x 2)(x 3) x 2 2(x 3) 5 x4 5 1 1 2) f (x) x3 2x 1 f (x) 2x3 5x2 f (1) 5 . 2 3 2 2x 2 2 Bài 2: x2 x khi x 1 1) f (x) ax 1 khi x 1 f (1) a 1 lim f (x) lim (x2 x) 2, lim f (x) a 1 f (1) x 1 x 1 x 1 f (x) liờn tục tại x = 1 lim f (x) lim f (x) f (1) a 1 2 a 1 x 1 x 1 x2 2x 3 x2 2x 5 2) f (x) f (x) x 1 (x 1)2 1 1 3 Với x 1 y 1, f (1) PTTT: y x 0 0 2 2 2 Bài 3: D 1) CMR: BC  (ADH) và DH = a. ABC đều, H là trung điểm BC nờn AH  BC, AD  BC BC  (ADH) BC  DH DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI  (ABC). AD = a, DH = a DAH cõn tại D, mặt khỏc I là trung điểm AH nờn DI  AH K BC  (ADH) BC  DI DI  (ABC) 3) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và BC. A B Trong ADH vẽ đường cao HK tức là HK  AD (1) I Mặt khỏc BC  (ADH) nờn BC  HK (2) H Từ (1) và (2) ta suy ra d(AD,BC) HK C Xột DIA vuụng tại I ta cú: 2 a 3 a2 a DI AD2 AI 2 a2 2 4 2 a 3 a . 1 1 AH.DI a 3 Xột DAH ta cú: S = AH.DI = AD.HK d(AD,BC) HK 2 2 2 2 AD a 4 Bài 4a: 1 1 x. 9 4x 9 4 9x2 1 4x 2 2 7 1) lim lim x lim x x 3 2x x 3 2x x 3 2 2 x lim x 2 0 x 2 x 2 x 2) lim . Vỡ lim (x 5x 6) 0 lim 2 2 x 2 x 5x 6 x 2 x 2 x 5x 6 2 x 5x 6 0, x 2 27
  28. Bài 5a: 1) Xột hàm số f (x) 6x3 3x2 6x 2 f (x) liờn tục trờn R. f ( PT1) 1, f (0 )cú ớt2 nhấtf (một 1). nghiệmf (0) 0 f (x) 0 c1 ( 1;0) f (0) 2, f (1) 1 f (0). f (1) 0 PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm c2 (0;1) f (1) 1, f (2) 26 f (1). f (2) 0 PT f (x) 0 cú một nghiệm c3 (1;2) Vỡ c1 c2 c3 và PT f (x) 0 là phương trỡnh bậc ba nờn phương trỡnh cú đỳng ba nghiệm thực. 2) 1 Bài 4b: lim x 1 x lim 0 x x x 1 x Bài 5b: 1) Xột hàm số f(x) = f (x) (m2 2m 2)x3 3x 3 f (x) liờn tục trờn R. 2 Cú g(m) = m2 2m 2 m 1 1 0,m R f (0) 3, f (1) m2 2m 2 0 f (0). f (1) 0 PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm c (0;1) 2) Trong tam giỏc SAD vẽ đường cao AH AH  SD S (1) SA  (ABCD) CD  SA CD AD CD  (SAD) CD  AH (2) Từ (1) và (2) AH  (SCD) (ABH)  (SCD) (P)  (ABH) I H Vỡ AB//CD AB // (SCD), (P)  AB nờn (P)  (SCD) = HI B HI // CD thiết diện là hỡnh thang AHIB. Hơn nữa AB  (SAD) AB  HA A Vậy thiết diện là hỡnh thang vuụng AHIB. O SD SA2 AD2 3a2 a2 2a SA2 3a2 3a D C SAD cú SA2 SH.SD SH SH SD 2a 2 3a HI SH 3 3 3a 2 HI CD (3) CD SD 2a 4 4 4 1 1 1 1 1 4 a 3 AH (4) AH 2 SA2 AD2 3a2 a2 3a2 2 (AB HI)AH 1 3a a 3 7a2 3 Từ (3) và (4) ta cú: SAHIB a . . 2 2 4 2 16 Đề 9 Bài 1: 2 2 1 n4 2n 2 3 4 1) a) lim lim n n 1 n2 1 1 1 n2 x3 8 (x 2)(x2 2x 4) b) lim lim lim(x2 2x 4) 4 x 2 x 2 x 2 (x 2) x 2 28
  29. lim (x 1) 0 3x 2 x 1 3x 2 c) lim . Ta cú x 1 x 1 0 lim x 1 x 1 lim (3x 2) 1 0 x 1 x 1 x 1 2) Xột hàm số y f (x) x3 3x2 2 f(x) liờn tục trờn R. f(–1) = –2, f(0) =2 f(–1).f(0) < 0 phương trỡnh f(x) = 0 cú nghiệm c1 1;0 f(1) = 0 phương trỡnh f(x) = 0 cú nghiệm x = 1 c1 f(2) = –2, f(3) = 2 f 2 . f 3 0 nờn phương trỡnh cú một nghiệm c2 2;3 Mà cả ba nghiệm c1,c2,1 phõn biệt nờn phương trỡnh đó cho cú ba nghiệm thực phõn biệt x2 x 2 khi x 2 3) f (x) x 2 Tỡm A để hàm số liờn tục tại x=2. 5a 3x khi x 2 x2 x 2 lim f (x) lim lim(x 1) 3 , f(2) = 5a – 6 x 2 x 2 x 2 x 2 9 Để hàm số liờn tục tại x = 2 thỡ 5a 6 3 a 5 x Bài 2: Xộty x2 1 y' x2 1 2 2 1 BPT y .y 2x 1 2x x 1 0 x ;  1; 2 Bài 3: a) CMR: ABC vuụng. O OA = OB = OC = a, ãAOB ãAOC 600 nờn AOB và AOC đều cạnh a (1) I Cú ãBOC 900 BOC vuụng tại O và BC a 2 (2) 2 ABC cú AB2 AC2 a2 a2 2a2 a 2 BC2 A C tam giỏc ABC vuụng tại A b) CM: OA vuụng gúc BC. J J là trung điểm BC, ABC vuụng cõn tại A nờn AJ  BC . B OBC vuụng cõn tại O nờn OJ  BC BC  OAJ OA  BC c) Từ cõu b) ta cú IJ  BC ABC OBC (c.c.c) AJ OJ (3) Từ (3) ta cú tam giỏc JOA cõn tại J, IA = IO (gt) nờn IJ  OA (4) Từ (3) và (4) ta cú IJ là đoạn vuụng gúc chung của OA và BC. Bài 4: y f (x) x3 3x2 2 y 3x2 6x Tiếp tuyến // với d: y 9x 2011 Tiếp tuyến cú hệ số gúc k = 9 2 2 x0 1 Gọi (x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm 3x0 6x0 9 x0 2x0 3 0 x0 3 Với x0 1 y0 2 PTTT : y 9x 7 Với x0 3 y0 2 PTTT : y 9x 25 29
  30. x2 1 1 1 Bài 5: f (x) = x f (x) 1 x x x2 1.2 6 n! f (x) , f (x) ( 1)4 . Dự đoỏn f (n) ( 1)n 1 (*) x3 x4 xn 1 Thật vậy, (*) đỳng với n = 2. k! Giả sử (*) đỳng với n = k (k 2), tức là cú f (k)(x) ( 1)(k 1) xk 1 k (k 1) (k) k 2 k!(k 1)x k 2 (k 1)! Vỡ thế f (x) f (x) ( 1) ( 1) (*) đỳng với n = k + 1 x(2k 2) xk 2 n! Vậy f (n) ( 1)n 1 . xn 1 Đề 10 Cõu 1: x 3 1 1 (x 1)3 1 a) lim lim b) lim lim x2 3x 3 3 2 x 3 x 2x 3 x 3 x 1 4 x 0 x x 0 x2 5 3 x 2 x 2 x 2 4 2 c) lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x2 5 3 x 2 x2 5 3 6 3 Cõu 2: a) Xột hàm số: f(x) = 2x3 10x 7 f(x) liờn tục trờn R. f(–1) = 1, f(0) = –7 f 1 .f 0 0 nờn phương trỡnh cú ớt nhất một nghiệm thuộc c1 1;0 f(0) = –7, f(3) = 17 f(0).f(3) < 0 phương trỡnh cú nghiệm c2 0;3 c1 c2 nờn phương trỡnh đó cho cú ớt nhất hai nghiệm thực. x 3 , x 1 b) f (x) x 1 2 , x 1 Tập xỏc định D = R \ {1} x 3 Với x  1;1 hàm số f (x) xỏc định nờn liờn tục. x 1 Xột tại x = 1  D nờn hàm số khụng liờn tục tại x = 1 Xột tại x = –1 x 3 lim f x lim 1 f 1 2 nờn hàm số khụng liờn tục tại x = –1 x 2 x 2 x 1 Cõu 3: a) y x3 y 3x2 Với x0 1 y0 1, y ( 1) 3 PTTT: y 3x 2 b) Tớnh đạo hàm x2 1 2x2 y x 1 x2 y' 1 x2 y' 1 x2 1 x2 y (2 x2 )cos x 2x sin x y' 2x cos x (x2 2)sin x 2sin x 2x cos x y' x2 sin x Cõu 4: 30
  31. a) CM cỏc mặt bờn là cỏc tam giỏc vuụng. SA  AB SA  ABCD SA  AD SAB và SAD vuụng tại A. BC  AB, BC  SA BC (SAB) BC  SB SBC vuụng tại B 2 2 2 2 2 2 SB SA AB 2a a 3a SC2 SB2 BC2 3a2 a2 4a2 hạ CE  AD CDE vuụng cõn tại E nờn EC = ED = AB = a CD a 2 AD AE ED BC ED 2a SD2 SA2 AD2 6a2 SC2 CD2 4a2 2a2 6a2 SD2 nờn tam giỏc SDC vuụng tại C. b) Tớnh gúc giữa (SBC) và (ABCD) SA (SBC)(ABCD) BC, SB  BC, AB  BC ã(SBC),(ABCD) ãSBA tanãSBA 2. AB c) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và SC Ta cú SC  (SBC),BC P AD d(AD,SC) d(A,(SBC)) 1 1 1 AB2.SA2 2a4 6a2 a 6 Hạ AH  SB AH 2 AH . AH 2 AB2 SA2 AB2 SA2 3a2 9 3 a 6 Vậy d AD,SC 3 Cõu 5a: 1 1 x 1 a) Tớnh I lim lim x 2 x2 4 x 2 x 2 x2 4 lim ( x 1) 3 0 x 2 2 Ta cú lim (x 4) 0 I x 2 2 x 2 x 4 0 8 8 b) f (x) f (x) , f ( 2) 2, f (2) 2 f ( 2) f (2) x x2 Cõu 6a: y x3 3x2 2 y 3x2 6x BPT: y' 3 3x2 6x 3 0 x 1 2;1 2 Cõu 7a:  1   1     AI (AB AG) AB AB AD AE 2 2 1 1 1 2a b c a b c 2 2 2 31
  32. Cõu 5b: a) Tớnh gần đỳng giỏ trị 4,04 1 Đặt f(x) = x , ta cú f ' x , theo cụng thức tớnh gần đỳng ta cú với: 2 x x0 4, x 0,04 f (4,04) f (4 0,04) f (4).0,04 1 Tức là ta cú 4,04 4 0,04 4 .0,04 2 0,01 2,01 4,04 2,01 2 4 2 cot x b) Tớnh vi phõn của y x.cot2 x y' cot2 x x y' cot2 x 2x cot x(1 cot2 x) sin2 x dy (cot2 x 2x cot x 2x cot3 x)dx lim (x2 3x 1) 1 0 x2 3x 1 x 3 x2 3x 1 Cõu 6b: Tớnh lim . Ta cú lim x 3 0 lim x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 0 Cõu 7b: Tứ diện ABCD đều, nờn ta chỉ tớnh khoảng cỏch giữa hai cạnh đối diện AB và CD. a 3 a NA NB , AM ãAMN 900 2 2 3a2 a2 2a2 MN 2 AN 2 AM2 4 4 4 a 2 d AB,CD . 2 Đề 11 Cõu 1: 1 2 1 2x 2 x 1) a) lim lim x 0 x 2 x 2 3 x 2x 3 1 x x2 x3 3x2 9x 2 (x 2)(x2 5x 1) x2 5x 1 15 b) lim lim lim x 2 x3 x 6 x 2 (x 2)(x2 2x 3) x 2 x2 2x 3 11 3 x 3 x c) lim x2 x 3 x lim lim x x x2 x 3 x x 1 3 x 1 x x x2 32
  33. 3 1 1 lim x x 1 3 2 1 1 x x2 2) Xột hàm số f (x) x3 3x 1 f(x) liờn tục trờn R. f(–2) = –1, f(0) = 1 phuơng trỡnh f(x) = 0 cú ớt nhất một nghiệm c1 2;0 f(0) = 1, f(1) = –1 phương trỡnh f(x) = 0 cú ớt nhất một nghiệm c2 0;1 f(1) = –1, f(2) = 3 phương trỡnh f(x) = 0 cú ớt nhất một nghiệm c3 1;2 Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc ba, mà c1,c2,c3 phõn biệt nờn phương trỡnh đó cho cú đỳng ba nghiệm thực. Cõu 2: 2 2 2 1 1) a) y 3x x 1 y' 3 x 1 3x x x2 x 2 x 2 2 1 3 9 1 2 3 x 3 x x 3 x x x2 x x 2 2 x x x2 b) y x sin x y' 1 cos x x2 2x x2 2x 2 c) y y' 2 x 1 x 1 2) y tan x y' 1 tan2 x y" 2 tan x 1 tan2 x 1 3) y = sinx . cosx y sin 2x dy cos2xdx 2 Cõu 3: a) Chứng minh : BD  SC,(SBD)  (SAC) . ABCD là hỡnh vuụng nờn BD  AC, BD SA (SA  (ABCD)) BD  (SAC) BD SC (SBD) chứa BD  (SAC) nờn (SBD)  (SAC) b) Tớnh d(A,(SBD)) Trong SAO hạ AH  SO, AH  BD (BD (SAC)) nờn AH  (SBD) a 2 AO , SA = a 6 gt và SAO vuụng tại A S 2 1 1 1 1 2 13 nờn AH 2 SA2 AO2 6a2 a2 6a2 6a2 a 78 AH 2 AH 13 13 c) Tớnh gúc giữa SC và (ABCD) H B Dế thấy do SA (ABCD) nờn hỡnh chiếu của SC A trờn (ABCD) là AC gúc giữa SC và (ABCD) là ãSCA . Vậy ta cú: O ã SA a 6 ã 0 C tan SCA 3 SCA 60 D AC a 2 33
  34. 1 1 Cõu 4a: y x y 1 x x2 Cỏc giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là A 1;0 ,B 1;0 Tại A(–1; 0) tiếp tuyến cú hệ số gúc k1 2 nờn PTTT: y = 2x +2 Tại B(1; 0) tiếp tuyến cũng cú hệ số gúc k2 2 nờn PTTT: y = 2x – 2 60 64 60 128 Cõu 5a: f (x) 3x 5 f (x) 3 x x3 x2 x4 x2 8 4 3 60 128 4 2 x PT f (x) 0 3 0 3x 60x 128 0 2 16 3 x2 x4 x 3 x 8 Cõu 6a:       F G Đặt AB e , AD e , AE e   1   2  3       AB.EG e . EF EH e e e e .e e .e a2 E 1 1 1 2 1 1 1 2 H Cỏch khỏc:         AB.EG EF.EG EF . EG .cos EF,EG a.a 2.cos450 a2 B C A D Cõu 4b: y = sin2x.cos2x 1 y = sin 4x y' 2 cos4x y" 8sin 4x 2 x3 x2 Cõu 5b: y 2x y' x2 x 2 3 2 x 0 y 2 x2 x 2 2 x(x 1) 0 x 1 Cõu 6b: Gọi M là trung điểm của B C, G là trọng tõm của AB C. D’ C’ Vỡ D .AB C là hỡnh chúp đều, cú cỏc cạnh bờn cú độ dài a 2 , nờn BD’ là đường cao của chúp này BD  (AB C) BD  GM. A’ B’ Mặt khỏc AB C đều nờn GM  B C GM là đoạn vuụng gúc chung của BD’ và B’C. M 1 3 1 3 a 6 Tớnh độ dài GM = AC a 2. G 3 2 3 2 6 D C Đề 12 O Bài 1: Tớnh giới hạn: A B 34
  35. n 1 3 9. 4 3n 1 4n 9.3n 1 4.4n 1 4 a) lim lim lim 4 n 1 n 1 3 4 3 4 3 1 4n 1 x 1 2 1 1 b) lim lim x 3 x2 9 x 3 (x 3) x 1 2 24 Bài 2: Chứng minh phương trỡnh x3 3x 1 0 cú 3 nghiệm thuộc 2;2 . Xem đề 11. Bài 3: Chứng minh hàm số sau khụng cú đạo hàm tại x 3 x2 9 khi x 3 f (x) x 3 1 khi x = 3 Khi x 3 f (x) x 3 f (x) f (3) x 4 x 4 x 4 lim lim mà lim ; lim nờn hàm số khụng cú đạo hàm x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 tại x = –3. Chỳ ý: Cú thể chứng minh hàm số f(x) khụng liờn tục tại x = –3 f(x) khụng cú đạo hàm tại x = –3. Bài 4: Tớnh đạo hàm cỏc hàm số sau: 1 x 4x2 6x 1 a) y (2x 1) 2x x2 y'=2 2x x2 (2x 1). y' 2x x2 2x x2 b) y x2.cos x y' 2x.cos x x2 sin x x 1 2 Bài 5: y y x 1 (x 1)2 a) Tại A(2; 3) k y (2) 2 PTTT : y 2x 1 1 1 b) Vỡ tiếp tuyến song song với đường thằng y x 5 nờn hệ số gúc của tiếp tuyến là k 8 8 2 1 2 x0 3 Gọi (x ; y ) là toạ độ của tiếp điểm y (x ) k (x 1) 16 0 0 0 2 8 0 x 5 (x0 1) 0 1 1 1 Với x 3 y PTTT : y x 3 0 0 2 8 2 3 1 3 Với x 5 y PTTT : y x 5 0 0 2 8 2 S I Bài 6: a) Chứng minh cỏc mặt bờn hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng. K H SA (ABCD) nờn SA BC, AB  BC (gt) B 35 A O D C
  36. BC  (SAB) BC  SB SBC vuụng tại B. SA  (ABCD) SA  CD, CD  AD (gt) CD  (SAD) CD  SD SCD vuụng tại D SA  (ABCD) nờn SA  AB, SA  AD cỏc tam giỏc SAB và SAD đều vuụng tại A. b) Chứng minh: (SAC) vuụng gúc (AIK). SA  (ABCD) SA  BD, BD  AC BD  (SAC) SAB và SAD vuụng cõn tại A, AK  SA và AI  SB nờn I và K là cỏc trung điểm của AB và AD IK//BD mà BD  (SAC) nờn IK  (SAC) (AIK)  (SAC) c) Tớnh gúc giữa SC và (SAB). CB  AB (từ gt),CB  SA (SA  (ABCD)) nờn CB  (SAB) hỡnh chiếu của SC trờn (SAB) là SB SC,(SAB) SC,SB ãCSB BC Tam giỏc SAB vuụng cõn cú AB = SA = a SB a 2 tanãCSB 2 SB d) Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBD). Hạ AH  SO , AH  BD do BD  (SAC) AH  (SBD) 1 1 1 1 2 3 a AH AH 2 SA2 AO2 a2 a2 a2 3 a 3 d A, SBD 3 Đề 13 Bài 1: 2x2 3x 5 2x 5 7 a) lim =lim x 1 x2 1 x 1 x 1 2 x3 x 1 b) lim x 1 x 1 lim (x 1) 0 x 1 x3 x 1 Ta cú x 1 0 lim x 1 x 1 lim (x3 x 1) 3 0 x 1 Bài 2: Xột hàm số f (x) x3 2mx2 x m f(x) liờn tục trờn R. f (m) m3, f (0) m f (0). f (m) m4 Nếu m = 0 thỡ phuơng trỡnh cú nghiệm x = 0 Nếu m 0 thỡ f (0). f (m) 0,m 0 phương trỡnh luụn cú ớt nhỏt một nghiệm thuộc (0; m) hoặc (m; 0). Vậy phương trỡnh x3 2mx2 x m 0 luụn cú nghiệm. x3 x2 2x 2 khi x 1 Bài 3: f (x) 3x a 3x a khi x = 1 Đề 14 Bài 1: 1 3 1 3 a) lim x2 x 3 2x = lim x . 1 2x lim x. 1 2x 2 2 x x x x x x x x 36
  37. 1 3 = lim ( x) 1 2 2 x x x 1 1 x 1 1 b) lim 4x2 x 1 2x lim lim x x x 2 x 1 1 4 4x x 1 2x 4 2 x x2 Bài 2: Xột hàm số f (x) 2x3 10x 7 f(x) liờn tục trờn R. f ( 1) 1, f (0) 7 f ( 1). f (0) 0 PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm c1 ( 1;0) . f (0) 7, f (3) 17 f (0). f (3) 0 PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm c2 (0;3) . c1 c2 nờn phương trỡnh đó cho cú ớt nhất hai nghiệm thực. x2 1 khi x 1 Bài 3: f (x) x 1 mx 2 khi x 1 x2 1 Ta cú: f ( 1) m 2 lim f (x) lim lim (x 1) 2 x 1 x 1 x 1 x 1 lim f (x) lim (mx 2) m 2 x 1 x 1 Hàm số f (x) liờn tục tại x = –1 m 2 2 m 4 Bài 4: 2 3 2x 5 3x 2 3(2x 5) 2 6x 13 a) y y'= 2x 5 2x 5 2x 5 (2x 5) 2x 5 (2x 5) 2x 5 b) y (x2 3x 1).sin x y' (2x 3)sin x (x2 3x 1)cos x 1 1 Bài 5: y y (x 0) x x2 1 1 1 1 1 a) Với y0 ta cú x0 2 ; y (2) PTTT: y x 1 2 x0 2 4 4 b) Vỡ tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4x 3 nờn tiếp tuyến cú hệ số gúc k = –4 1 x 1 0 Gọi (x ; y ) là toạ độ của tiếp y (x ) 4 4 2 0 0 0 2 1 x0 x 0 2 1 Với x y 2 PTTT : y 4x 4 0 2 0 1 Với x y 2 PTTT : y 4x 4 0 2 0 Bài 6: S a) Chứng minh: (SBC) vuụng gúc (SAI). SA  (ABC) SA  BC, AI BC BC  (SAI) (SBC)  (SAI) b) Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBC). H Vẽ AH  SI (1) . BC  (SAI) BC  AH (2) Từ (1) và (2) AH  (SBC) nờn d( A,(SBC)) = AH 37 A B I C
  38. 1 1 1 4 4 16 3a AH AH 2 AI 2 SA2 9a2 3a2 9a2 4 c) Tớnh gúc giữa (SBC) và (ABC). (SBC)(ABC) BC, AI  BC , SI  BC ã (SBC),(ABC) ảSIA 3 a SA tanảSIA 2 3 ảSIA 600 IA a 3 2 Đề 15 Bài 1: 3 2 2 x 3 3 a) lim = lim x x x 2 2 2 3 x 3 x 5 3 1 x2 5x 3 b) lim lim x x 1 x x 2 x 2 1 x Bài 2: Xột hàm số f (x) x4 x3 3x2 x 1 f (x) liờn tục trờn R. f ( 1) 3, f (1) 1 f ( 1). f (1) 0 nờn PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm thuộc (–1; 1). x2 3x 2 khi x 2 Bài 3: f (x) x 2 3 khi x 2 Tập xỏc định: D = R. (x 1)(x 2) Tại x 2 f (x) x 1 f (x) liờn tục tại x –2. x 2 Tại x = –2 ta cú f ( 2) 3khụng, lim liờnf (x )tục tạilim x (=x –2. 1) 1 f ( 2) f (x) x 2 x 2 Bài 4: sin x cos x a) y sin x cos x (cos x sin x)(sin x cos x) (sin x cos x)(cos x sin x) 2 y = (sin x cos x)2 (sin x cos x)2 b) y (2x 3).cos(2x 3) y' 2cos(2x 3) (2x 3)sin(2x 3) 2x2 2x 1 2x2 4x 1 Bài 5: y y x 1 (x 1)2 a) Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 1); y (0) 1 PTTT: y x 1 . b) Vỡ tiếp tuyến song song với đường thẳng y x 2011 nờn tiếp tuyến cú hệ số gúc là k = 1. 38
  39. 2x2 4x 1 x 2 Gọi (x ; y ) là toạ độ của tiếp điểm y (x ) 1 0 0 1 x2 2x 0 0 0 0 0 2 0 0 x0 0 x0 1 Với x0 0 y0 1 PTTT: y x 1 . Với x0 2 y0 5 PTTT: y x 3 Bài 6: S a) Chứng minh: (SOF) vuụng gúc (SBC). CBD đều, E là trung điểm BC nờn DE  BC BED cú OF là đường trung bỡnh nờn OF//DE, C' DE  BC OF  BC (1) SO  (ABCD) SO  BC (2) Từ (1) và (2) BC  (SOF) B' Mà BC  (SBC) nờn (SOF) (SBC). b) Tớnh khoảng cỏch từ O và A đến (SBC). D Vẽ OH  SF; (SOF)  (SBC), H C K (SOF)(SBC) SF, OH  SF OH  (SBC) d(O,(SBC)) OH O E 1 3 a 3 3a OF = . a , SO2 SB2 OB2 SO F 2 2 4 4 1 1 1 3a A B OH OH 2 SO2 OF2 8 Trong mặt phẳng (ACH), vẽ AK// OH với K CH AK  (SBC) d(A,(SBC)) AK 3a 3a AK 2OH AK d(A,(SBC)) 4 4 c) AD  ( ), ( )  (SBC) ( )  (AKD) Xỏc định thiết diện Dễ thấy K ( ),K (SBC) K ( )  (SBC). Mặt khỏc AD // BC, AD  (SBC) nờn ( )(SBC) K , P BC Gọi B' B C  //S BCB,C ' B C S//C AD Vậy thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD bị cắt bời ( ) là hỡnh thang AB’C’D SO  (ABCD), OF là hỡnh chiếu của SF trờn (ABCD) nờn SF  BC SF  AD (*) SF  OH, OH P AK SF  AK ( ) Từ (*) và ( ) ta cú SF  ( ) SF  ( ), SO  (ABCD) ã ( ),(ABCD) ã(SF,SO) ãOSF a 3 OF 1 tanãOSF 4 ã ( ),(ABCD) 300 SO 3a 3 4 Đề 16 Bài 1: 39
  40. 1 1 7 11 x5 7x3 11 3 2 5 4 1) a) lim 3 lim x x x 3 x 3 1 2 9 x5 x4 2 4 4 x x5 x 1 2 x 5 1 1 b) lim lim lim x 5 x 5 x 5 (x 5) x 1 2 x 5 x 1 2 4 4 x2 (2 x)(2 x) (x 2) 2 c) lim lim lim x 2 2(x2 5x 6) x 2 2(x 2)(x 3) x 2 2(x 3) 5 x4 5 1 1 2) f (x) x3 2x 1 f (x) 2x3 5x2 f (1) 5 . 2 3 2 2x 2 2 Bài 2: x2 x khi x 1 1) f (x) ax 1 khi x 1 f (1) a 1 lim f (x) lim (x2 x) 2, lim f (x) a 1 f (1) x 1 x 1 x 1 f (x) liờn tục tại x = 1 lim f (x) lim f (x) f (1) a 1 2 a 1 x 1 x 1 x2 2x 3 x2 2x 5 2) f (x) f (x) x 1 (x 1)2 1 1 3 Với x 1 y 1, f (1) PTTT: y x 0 0 2 2 2 Bài 3: D 1) CMR: BC  (ADH) và DH = a. ABC đều, H là trung điểm BC nờn AH  BC, AD  BC BC  (ADH) BC  DH DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI  (ABC). AD = a, DH = a DAH cõn tại D, mặt khỏc I là trung điểm AH nờn DI  AH K BC  (ADH) BC  DI DI  (ABC) 3) Tớnh khoảng cỏch giữa AD và BC. A B Trong ADH vẽ đường cao HK tức là HK  AD (1) I Mặt khỏc BC  (ADH) nờn BC  HK (2) H Từ (1) và (2) ta suy ra d(AD,BC) HK C Xột DIA vuụng tại I ta cú: 2 a 3 a2 a DI AD2 AI 2 a2 2 4 2 a 3 a . 1 1 AH.DI a 3 Xột DAH ta cú: S = AH.DI = AD.HK d(AD,BC) HK 2 2 2 2 AD a 4 Bài 4a: 40
  41. 1 1 x. 9 4x 9 4 9x2 1 4x 2 2 7 1) lim lim x lim x x 3 2x x 3 2x x 3 2 2 x lim x 2 0 x 2 x 2 x 2) lim . Vỡ lim (x 5x 6) 0 lim 2 2 x 2 x 5x 6 x 2 x 2 x 5x 6 2 x 5x 6 0, x 2 Bài 5a: 1) Xột hàm số f (x) 6x3 3x2 6x 2 f (x) liờn tục trờn R. f ( PT1) 1, f (0 )cú ớt2 nhấtf (một 1). nghiệmf (0) 0 f (x) 0 c1 ( 1;0) f (0) 2, f (1) 1 f (0). f (1) 0 PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm c2 (0;1) f (1) 1, f (2) 26 f (1). f (2) 0 PT f (x) 0 cú một nghiệm c3 (1;2) Vỡ c1 c2 c3 và PT f (x) 0 là phương trỡnh bậc ba nờn phương trỡnh cú đỳng ba nghiệm thực. 2) 1 Bài 4b: lim x 1 x lim 0 x x x 1 x Bài 5b: 1) Xột hàm số f(x) = f (x) (m2 2m 2)x3 3x 3 f (x) liờn tục trờn R. 2 Cú g(m) = m2 2m 2 m 1 1 0,m R f (0) 3, f (1) m2 2m 2 0 f (0). f (1) 0 PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm c (0;1) 2) Trong tam giỏc SAD vẽ đường cao AH AH  SD S (1) SA  (ABCD) CD  SA CD AD CD  (SAD) CD  AH (2) Từ (1) và (2) AH  (SCD) (ABH)  (SCD) (P)  (ABH) I H Vỡ AB//CD AB // (SCD), (P)  AB nờn (P)  (SCD) = HI B HI // CD thiết diện là hỡnh thang AHIB. Hơn nữa AB  (SAD) AB  HA A Vậy thiết diện là hỡnh thang vuụng AHIB. O SD SA2 AD2 3a2 a2 2a SA2 3a2 3a D C SAD cú SA2 SH.SD SH SH SD 2a 2 3a HI SH 3 3 3a 2 HI CD (3) CD SD 2a 4 4 4 1 1 1 1 1 4 a 3 AH (4) AH 2 SA2 AD2 3a2 a2 3a2 2 (AB HI)AH 1 3a a 3 7a2 3 Từ (3) và (4) ta cú: SAHIB a . . 2 2 4 2 16 41
  42. Đề 17 Bài 1: x2 x 2 (x 1)(x 2) x 2 3 1) a) lim lim lim x 1 2x 2 x 1 2(x 1) x 1 2 2 n 3 9. 15 3n 2 3.5n 1 9.3n 15.5n 5 15 b) lim lim lim n n 1 n n n 4.5 5.3 4.5 15.3 3 4 4 15. 5 cos x x 2) y sin x x (1 sin x)(sin x x) (cos x 1)(cos x x) (sin x cos x) x(sin x cos x) 1 y' (sin x x)2 (sin x x)2 Bài 2: 1) y x3 x2 x 5 y 3x2 2x 1 (d): 6x y 2011 0 y 6x 2011 Vỡ tiếp tuyến song song với (d) nờn tiếp tuyến cú hệ số gúc là k = 6. x0 1 2 2 Gọi (x ; y ) là toạ độ của tiếp điểm 3x 2x 1 6 3x 2x 5 0 5 0 0 0 0 0 0 x 0 3 Với x0 1 y0 2 PTTT : y 6x 8 5 230 5 230 10 Với x0 y0 PTTT : y 6 x y 6x 3 27 3 27 9 5x2 6x 7 khi x 2 2) f (x) 2 ax 3a khi x 2 lim f (x) 15 f (2) lim f (x) lim (ax2 3a) 7a x 2 x 2 x 2 15 f (x) liờn tục tại x = 2 7a 15 a 7 Bài 3: a) Xỏc định và tớnh gúc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). (SAB)  (ABC) và SAC)  (ABC) nờn SA (ABC) AB là hỡnh chiếu của SB trờn (ABC) SA x ã SB,(ABC) ã SB, AB ãSBA tanãSBA AB a 2 BC  AC, BC  SA nờn BC  (SAC) SC là hỡnh chiếu của SB trờn (SAC) BC a ã SB,(SAC) ã SB,SC ãBSC tanãBSC SC a2 x2 b) Chứng minh (SAC)  (SBC) . Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBC). Theo chứng minh trờn ta cú BC  (SAC) (SBC)  (SAC) Hạ AH  SC AH  BC (do BC  (SAC). Vậy AH  (SBC) d(A,(SBC)) AH . 1 1 1 1 1 ax AH 2 2 2 2 2 AH SA AC x a x2 a2 c) Tớnh khoảng cỏch từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). 42
  43. AH Gọi K là trung điểm của BH OK // AH OK  (SBC) và OK = 2 ax d(O,(SBC) OK . 2 x2 a2 S S P H K A O B A B Q C C d) Xỏc định đường vuụng gúc chung của SB và AC Dựng mặt phẳng ( ) đi qua AC và vuụng gúc với SB tại P CP SB và AP  SB. Trong tam giỏc PAC hạ PQ  AC PQ  SB vỡ SB  ( PAC). Như vậy PQ là đường vuụng gúc chung của SB và AC. Bài 4a: 1) f ( x) x2 sin(x 2) f (x) 2x sin(x 2 ) x2 cos(x 2) f (2) 4sin 0 4 cos0 4 2) Giả sử cụng sai của cấp số cộng cần tỡm là d thỡ ta cú cấp số cộng là: 1 1 1 1 1 15 15 , d, 2d, 3d, 4d 8 4d d 2 2 2 2 2 2 8 1 19 34 49 Vậy cấp số cộng đú là , , , ,8 2 8 8 8 Bài 5a: 1) Xột hàm số f (x) 2x3 10x 7 f (x) liờn tục trờn R. f ( 1) 1, f (0) 7 f ( 1). f (0) 0 nờn PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm c1(–1; 0) f (3) 10, f (4) 17 f (3). f (4) 0 nờn PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm c2 3;4 mà c1 c2 nờn phương trỡnh đó cho cú ớt nhất 2 nghiệm thực 2) S Hỡnh chúp S.ABCD là chúp tứ giỏc đều nờn chõn đường cao SO của hỡnh chúp là O = AC  BD a 2 Đỏy là hỡnh vuụng cạnh bằng a nờn AC = a 2 OC 2 a 2 ã 0 D SOC vuụng tại O, cú OC ,SCO 30 C 2 a 2 3 a 6 SO OC.tanãSCO . O 2 3 6 A B Bài 4b: 1) f (x) sin 2x 2sin x 5 f (x) 2 cos2x 2 cos x 43
  44. cos x 1 x k2 PT f (x) 0 2 cos2 x cos x 1 0 1 2 cos x x k2 2 3 2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liờn tiếp của cấp số nhõn. Gọi q là cụng bội của cấp số nhõn ta cú b aq, c aq2 (a2 b2 )(b2 c2 ) (a2 a2q2 )(a2q2 a2q4 ) a4q2(1 q2 )2 (1) (ab bc)2 (a.aq aq.aq2 )2 a4q2(1 q2 )2 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra (a2 b2 )(b2 c2 ) (ab bc)2 . Bài 5b: 1) Xột hàm số f (x) (m2 1)x4 x3 1 f (x) liờn tục trờn R với mọi m. 2 f ( 1) m 1, f (0) 1 f ( 1). f (0) 0 nờn PT f (x) 0 cú it nhất một nghiệm c1 ( 1;0) 2 f (0) 1, f (2) 16m 7 f (0). f (2) 0 nờn PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm c2 (0;2) mà c1 c2 phương trỡnh đó cho cú ớt nhất hai nghiệm thực. 2) A C Tớnh gúc giữa 2 mặt phẳng (A BC) và (ABC) và khoảng cỏch từ A K đến (A BC) B AA'B AA'C c.g.c A'B A'C . H Gọi K là trung điểm BC AK  BC và A’K  BC BC  (AA’K ) (A’BC) (AA’K), (A'BC)(AA'K) A'K, AH  A'K AH  (A'BC) d(A,(A BC)) AH 1 1 1 4 1 5 a AH A' C' AH 2 A' A2 AB2 a2 a2 a2 5 a 5 B' d(A,(A'BC)) AH . 5 ã ã AK  BC và A’K  BC (A BC),(ABC) A KA a ã AA 1 ã Trong A KA ta cú tan A KA 2 A KA 300 AK a 3 3 2 Đề 18 Cõu Nội dung Điểm (x 2)(x 3) 1.a lim 0.25 (0.5đ) x 2 x 2 = –1 0.25 (x 3) x 1 2 1.b lim 0.25 (0.5đ) x 3 x 3 = 4 0.25 2 1 x 1 1.c x x2 0.25 (0.5đ) lim x x = –1 0.25 44
  45. f(5) = A 0.25 x2 25 lim f (x) lim lim(x 5) 10 l 0.25 2 x 5 x 5 x 5 x 5 (1đ) Hàm số liờn tục tại x = 5 lim f (x) f (5) 0.25 x 5 A = 10 0.25 (3x2 2x 1) (x2 1) (3x2 2x 1)(x2 1) y 0.25 (x2 1)2 3.a (6x 2)(x2 1) (3x2 2x 1)2x y 0.25 (0.75đ) (x2 1)2 2x2 4x 2 y 0.25 (x2 1)2 y x .cos3x x(cos3x) 0.25 1 3.b y cos3x x sin3x(3x) 0.25 (0.75đ) 2 x 1 y cos3x 3 x sin3x 0.25 2 x BC  AB ( ABC vuụng tại B) 0.25 4.a BC  SA (SA  (ABC)) 0.25 (1đ) BC  (SAB) 0.50 AB là hỡnh chiếu của SB trờn (ABC) 0.25 ãSB,(ABC) ãSB, AB ãSBA 0.25 4.b SA a 3 (1đ) tanãSBA 3 ãSBA 600 0.25 AB a Kết luận: ãSB,(ABC) 600 0.25 AM  SB (AM là đường cao tam giỏc SAB) 0.25 4.c AM  BC (BC  (SAB)) 0.25 (1đ) AM  (SBC) 0.25 (AMN)  (SBC) 0.25 Đặt f (x) x5 3x4 5x 2 f(x) liờn tục trờn đoạn [–2; 5] 0.25 5a f(–2) = –92, f(1) = 1, f(2) = –8, f(5) = 1273 0.25 (1đ) f(–2).f(1) =–92 < 0, f(1).f(2) = –8 < 0, f(2).f(5) = –10184 < 0 0.25 Kết luận 0.25 y 4x2 x 5 0.25 2 0.25 6a.a y 0 4x x 5 0 (1đ) Lập bảng xột dấu 0.25 5 x ;  1; 0.25 4 Đặt f (x) 2x3 6x 1 f(x) liờn tục trờn đoạn [–2; 1] 0.25 5b f(–2) = –3, f(–1) = 5, f(1) = –3 0.25 (1đ) f(–2).f(–1) = –15 < 0, f(–1).f(1) = –15 < 0 0.25 Kết luận 0.25 45
  46. 3 2 2 PTTT d: y y0 f (x0 ).(x x0 ) y 4x0 60 1 12x0 12x0 (x x0 ) 0.25 3 2 2 A(–1; –9) d 9 4x0 60 1 12x0 12x0 ( 1 x0 ) 0.25 6b.b 5 x (1đ) 8x3 6x2 12x 10 0 0 0.25 0 0 0 4 x0 1 15 21 Kết luận:, d : y x d : y 24x 15 0.25 1 4 4 2 Đề 19 Cõu 1: 2x2 3x 1 (x 1)(2x 1) 2x 1 1 1) lim lim lim x 1 4 3x x2 x 1 (x 1)(4 x) x 1 4 x 3 4x 1 2) lim x2 2x 2 x2 2x 3 lim x x 2 2 2 3 x 1 1 2 2 x x x x 1 4 lim x 2 x 2 2 2 3 1 1 2 2 x x x x 4 x2 khi x 2 Cõu II: f (x) x 2 2 2x 20 khi x 2 f(2) = –16 (2 x)(2 x) x 2 2 lim f (x) 16, lim f (x) lim lim (x 2) x 2 2 16 x 2 x 2 x 2 2 x x 2 Vậy hàm số liờn tục tại x = 2 Cõu III: 3 5x 5x2 6x 2 1) f (x) f (x) x2 x 1 (x2 x 1)2 2 2) f (x) sin(tan(x4 1)) 1 4x3 sin 2 tan(x4 1) f (x) 8x3.sin tan(x4 1) . cos tan(x4 1) cos2(x4 1) cos2(x4 1) Cõu IV: S 1) CMR: (SAB)  (SBC). SA  (ABCD) SA  BC, BC  AB BC  (SAB), BC  (SBC) (SAB) (SBC) 2) Tớnh khoảng cỏch từ A đến đường thẳng SC. H Trong tam giỏc SAC cú AH  SC 1 1 1 2 2 8 B d A,SC AH A AH 2 SA2 OA2 3a2 a2 3a2 O a 6 AH D C 4 46
  47. 3) Tớnh gúc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD). Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn AO  BD, SO  BD (SBD)(ABCD) BD ((SBD),(ABCD)) Sã OA a 6 SA Tam giỏc SOA vuụng tại A tan Sã OA 2 3 (SBD),(ABCD) 600 OA a 2 2 Cõu Va: y x3 3x2 2x 2 y 3x2 6x 2 1) BPT y' 2 3x2 6x 0 x ( ;0][2; ) 2) Vỡ tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x y 50 0 nờn tiếp tuyến cú hệ số gúc k = –1. 2 2 Gọi (x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta cú: 3x0 6x0 2 1 x0 2x0 1 0 x0 1 Khi đú y0 2 phương trỡnh tiếp tuyến là y (x 1) 2 y x 3 . Cõu Vb: 1) u3 3 và u5 27 . 2 3 4 Gọi cụng bội của cấp số nhõn là q cấp số nhõn đú gồm 5 số hạng là u1,u1q,u1q ,u1q ,u1q 2 u1q 3 2 q 3 Theo giả thiết ta cú hệ u1 q 9 4 q 3 u1q 27 1 1 Với q = 3 ta suy ra u cấp số nhõn là: ; 1; 3; 9; 27 1 3 3 1 1 Với q = –3 ta suy ra u cấp số nhõn đú là: ; 1; 3; 9; 27 1 3 3 2) f (x) a.cos x 2sin x 3x 1 f (x) 2 cos x a.sin x 3 . PT f (x) 0 2 cos x a.sin x 3 (*) Phương trỡnh (*) cú nghiệm 22 ( a)2 32 a2 5 a ; 5  5; . ĐỀ 20 Cõu I: n 3 2 3n 2.4n 4 a) lim lim 2 n n n 4 3 3 1 4 2n 2 b) lim n2 2n n lim lim 1 2 2 n 2n n 1 1 n 3x2 10x 3 (x 3)(3x 1) 3x 1 c) lim lim lim 8 2 x 3 x 5x 6 x 3 (x 2)(x 3) x 3 x 2 3x 1 2 3(x 1) 3 3 d) lim lim lim x 1 x 1 x 1 (x 1) 3x 1 2 x 1 3x 1 2 4 Cõu II: 47
  48. x2 3x 18 khi x 3 a) f x x 3 . a x khi x 3 x2 3x 18 (x 3)(x 6) f(3) = a+3 lim f (x) lim lim lim(x 6) 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 f(x) liờn tục tại x = 3 a + 3 = 9 a = 6 b) Xột hàm số f (x) x3 3x2 4x 7 f (x) liờn tục trờn R. f(–3) = 5, f(0) = –7 f ( 3). f (0) 0 PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm thuộc ( –3 ; 0 ). ( 3;0)  ( 4;0) PT f (x) 0 cú ớt nhất một nghiệm thuộc (–4; 0). Cõu III: a) CMR: SO  (ABCD), SA  (PBD). S SO  AC, SO  BD SO  (ABCD). BD  AC, BD  SO BD  (SAC) BD  SA (1) OP  SA, OP  (PBD) (2) E Từ (1) và (2) ta suy ra SA  (PBD). D N F b) CMR: MN  AD. P C Đỏy ABCD là hỡnh vuụng nờn OB = OC, mà OB và OC lần lượt là hỡnh chiếu của NB và NC trờn (ABCD) NB = NC NBC cõn tại N, lại cú M là trung điểm BC (gt) O M MN  BC MN  AD (vỡ AD // BC) c) Tớnh gúc giữa SA và mp (ABCD). A B SO  (ABCD) nờn AO là hỡnh chiếu của SA trờn (ABCD) Vậy gúc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là ãSAO . a 2 AO 2 cosãSAO 2 SA  2a 4 d) CMR: 3 vec tơ BD, SC, MN đồng phẳng. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SD và DC, dễ thấy EN, FM, FE lần lượt là cỏc đường trung bỡnh của cỏc tam giỏc SDO, CBD, DSC nờn đồng thời cú EN // BD, FM// BD, FE // SC và cũng từ đú ta cú M, M, E, F đồng phẳng.    MN  (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) BD,SC, MN đồng phẳng. Cõu IVa: a) f (x) x3 3x 4 f (x) 3x2 3 f (1) 0 PTTT: y 2 . b) y sin2 x y 2sin x.cos x sin 2x Cõu IVb: a) f (x) x3 3x 4 f (x) 3x2 3 3 2 Gọi (x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm y0 x0 3x0 4 , f (x0 ) 3x0 3 3 2 PTTT d là: y y0 f (x0 )(x x0 ) y (x0 3x0 4) (3x0 3)(x x0 ) x0 1 3 2 3 2 d đi qua M(1; 0) nờn ( x 3x 4) (3x 3)(1 x ) 2x 3x 1 0 1 0 0 0 0 0 0 x 0 2 Với x0 1 y0 0, f (x0 ) 6 PTTT y 6(x 1) 1 45 15 15 15 Với x y , f (x ) PTTT: y x 0 2 0 8 0 4 4 4 48
  49. b) y sin(cos(5x3 4x 6)2011) y 2011(5x3 4x 6)2010(15x2 4)sin(5x3 4x 6)2011.cos cos(5x3 4x 6)2011 49