20 đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

106 trang thaodu 12130

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "20 đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

20_de_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8.pdf

Nội dung text: 20 đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Tailieumontoan.com  Sưu tầm 20 ĐỀ HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Thanh Hóa, ngày 07 tháng 8 năm 2020
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 1) Câu 1: Cho bốn số dương abcd,,, . Chứng minh rằng: abcd 12 0. Chứng minh rằng +≥ và ≥ 2 x y xy+ xy ( xy+ ) 11 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng +≥16 ac bc xx2 ++23 Câu 6: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = . x2 + 2 Câu 7: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ . Câu 8: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’. Câu 9: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. HA''' HB HC a) Chứng minh: ++ =1; AA'BB ' CC ' AA'' BB CC ' b) Chứng minh: ++ ≥9 ; HA'HB ' HC ' Câu 10: Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E. HẾT Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 1
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 2) Câu 1: a) Chứng minh rằng: 2130+ 39 21 chia hết cho 45 b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: 5n++2++ 26.5 nn 821 59 . xxxxx5432−+−−+2 2 4 36 Câu 2: Cho biểu thức M = xx2 +−28 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. Câu 3: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 2xx32+++ 25 x A = 21x + Câu 4: Cho biểu thức M=−( xaxb)( −+−) ( xbxc)( −+−) ( xcxa)( −+) x2 111 Tính M theo abc,, biết rằng x=++ abc 222 22 Câu 5: Giải phương trình: (2xx2+− 2016) + 4( x 2 − 3 x − 1000) = 4( 2 xx 22 +− 2016)( x − 3 x − 1000) Câu 6: Tìm giá trị của biến x để: 1 xx2 ++1 a) P = đạt giá trị lớn nhất b) Q = đạt giá trị nhỏ nhất xx2 ++26 xx2 ++21 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME⊥⊥ AB, MF AD . a) Chứng minh DE = CF; DE⊥ CF b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH⊥ AC . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD, N là trung điểm của BH. a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành; b) Tính góc BMK. Câu 9: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy 1 hai điểm E và F.Chứng minh rằng SS≤ .Với vị trí nào của hai điểm E và F thì S đạt giá DEF2 ABC DEF trị lớn nhất? Câu 10: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB, đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC ở F. a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân; b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm. HẾT Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 2
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 3) 2 ( x −1) 12−+x22 4 x 1 xx + = −+ Câu 1: Cho biểu thức R 2 33: 31xx+−( ) x−11 x −+ xx a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức R được xác định; b) Tìm giá trị của x để giá trị của R bằng 0; c) Tìm giá trị của x để R =1. Câu 2: Chứng minh: a) A =++22210 11 12 chia hết cho 7. b) Bn=(6 + 1)( n +− 5) ( 3 n + 52)( n − 1) chia hết cho 2, với nZ∈ . c) Cn=++532 15 n 10 n chia hết cho 30, với nZ∈ . d) Nếu a=−=−=− x2 yzb;; y 22 xzc z xy thì D= ax ++ by cz chia hết cho (abc++) . e) Ex=−−++4324 x 2 x 12 x 9 là bình phương của một số nguyên, với xZ∈ . 2018 2018 f) F=( xx22 +−1) +( xx −+ 12) − chia hết cho ( x −1). g) Gx=++84nn x 1 chia hết cho xx2nn++1, với nN∈ . Câu 3: a) Tìm GTLN của Ax=−42( −− x 4) 92x b) Tìm GTNN của biểu thức B = + , với 02<<x 2 − xx Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. a) Chứng minh DE // BC. b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE. Câu 5: Cho tam giác vuông cân ABC, A = 900 .Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD⊥ CM , BD cắt CA ở E. Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC; b) BD BE+= CACE BC 2 c) ADE = 450 Câu 6: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F.Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng: a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi; b) ∆∆AKF CAF,. AF2 = FK FC ; c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi. Câu 7: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE BAC + BDC cắt nhau ở K. Chứng minh rằng: BKC = 2 HẾT Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 3
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 4 ) abc+− acb +− bca +− Câu 1: Cho ba số abc,, khác 0 thỏa mãn đẳng thức: = = . cba bca    Tính giá trị của biểu thức: P =+++111    abc    21k + Câu 2: Cho aaa1, 2 , 3 , , a 2018 là 2018 số thực thoả mãn ak = 2 , với k =1,2,3, ,2018 . (kk2 + ) Tính S2018= aaa 1 + 2 + 3 ++ a2017 + a 2018 −77 5ab−− 32 b a Câu 3: a) Biết ab≠≠, và 27ab−=. Tính giá trị của biểu thức P = − 32 3727ab+− 25ab−− ba b) Biết ba≠±3 và 6a22− 15 ab += 5 b 0 . Tính giá trị của biểu thức Q = + 33ab−+ ab Câu 4: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: x2+ y 2 + z 22 + t ≥ xy( ++ z t). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có: x4+≥ y 4 xy 33 + x y Câu 5: Rút gọn: a) M=90.10kk −+ 10++21 10 k , kN ∈; b) N =(2022 + 18 ++ 2 2) −( 19 22 + 17 ++ 1 2) . Câu 6: Tính giá trị của biểu thức Px=−+−+−+−15 2018 x14 2018 x13 2018 x12 2018 x2 2018 x 2018 , với x = 2017 . Câu 7: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Cmr: MA MB MA MB a) = ; b) = ND NC NC ND c) MA= MB, NC = ND Câu 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD). AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10. Câu 9: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE =BK. Câu 10: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB. Gọi O là giao điểm của AE 2 và DF ; OA = 4OE; OD= OF . Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành. 3 HẾT Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 4
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 5) Câu 1: Tìm xy, biết : a) x22−2 xy + + 4 y += 50 b) ( x+2 y)( x22 −+ 24 xy y ) = 0 và ( x−2 y)( x22 ++ 2 xy 4 y ) = 16 11 c) xy22+++ =4 xy22 Câu 2: Giải và biện luận nghiệm của phương trình mx2 +=1 x + m theo m . Câu 3: Giải các phương trình: a) ( xxx+2)( − 2)( 2 −= 10) 72 22 xxx+−222 − 4 +−= b) Giải phương trình: 3 25 202 0 xxx−+11 − 1 Câu 4: Giải phương trình: xxxxxx222222+−99 1 +− 99 2 +− 99 3 xxxxxx +− 99 4 +− 99 5 +− 99 6 a) ++=++ 99 98 97 96 95 94 21−−x xx b) −=1 − 2017 2018 2019 Câu 5: a) So sánh hai số A =3132 − và B =++++(313)( 2 13)( 4 13)( 8 13)( 16 + 1) 2019− 2018 201922− 2018 b) C = và D = 2019+ 2018 201922+ 2018 Câu 6: Cho xy, là hai số khác nhau, biết x22−= yy − x. Tính giá trị của biểu thức A=+ x222 xy +−− y 33 x y Câu 7: Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường IA KB thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Cmr: = . ID KC Câu 8: Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia. Chúng cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K. Cmr: AH AK a)Tổng + không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC. AB AC b)Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC. Câu 9: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là một điểm bất kỳ ở trong tam giác ABC. a 3 Chứng minh rằng: MA++ MB MC > 2 Câu 10: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Cmr: a) Tứ giác ANFM là hình vuông; b) Điểm F nằm trên tia phân giác của MCN và ACF = 900 ; c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF ) HẾT. Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 5
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 6 ) Câu 1: Cho abc++=0 . Chứng minh rằng: a332++ b a c + b 2 c − abc =0 Câu 2: Cho xyz2++= 2210 . Tính giá trị của biểu thức: 2 222 P=( xy ++ yz zx) +( x2 − yz) +( y 22 − xz) +( z − xy) . Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) xx5 ++1; b) xx54++1 c) xx8 ++1; d) xx87++1 111 1 Câu 4: Chứng minh rằng nếu ba số abc,, thỏa mãn điều kiện: abc++=2018 và ++= abc 2018 thì một trong ba số abc,, phải có một số bằng 2018. Câu 5: Giải các phương trình sau: bx22 a) x− ax2 − += a ( Phương trình ẩn x ) bx22−− xb 22 1 1 1 10 b) + ++ = ( xx++2000)( 2001) ( xx ++ 2001)( 2002) ( xx ++ 2009)( 2010) 11 22 (2009−x) +( 2009 − xx)( − 2010) +−( x 2010) 19 c) 22= (2009−−−−+−x) ( 2009 xx)( 2010) ( x 2010) 49 Câu 6: a) Cmr : ( xx−12341)( −)( xx −)( −) ≥− 11   b) Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện ab+=1. Cmr : 11+  +≥  9 ab   Câu 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 2DC. Cmr: BM vuông góc với AD. Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng : AE = AB ; b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính AHM . Câu 9:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Chứng minh: BD CE BC= AH 3 ; b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân. Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, trên cạnh BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho AMC= ANB = 900 . Chứng minh rằng: AM = AN. . HẾT. Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 6
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 7) Câu 1: Chứng minh rằng: a) Đa thức Mx=95 + x 94 + x 93 + + x2 ++ x 1 chia hết cho đa thức Nx=31 + x 30 + x 29 + + x2 ++ x 1 x32 xx b) Đa thức Px( ) =1985. ++ 1979 5. có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. 3 26 Câu 2: a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A=+++ x3 y 33 z kxyz chia hết cho đa thức xyz++ b) Tìm đa thức bậc ba Px( ) , biết rằng khi chia Px( ) cho ( x −1), cho ( x − 2) , cho ( x − 3) đều dư 6 và P(−=−1) 18 xx22++ x112 −x = ++ Câu 3: Cho biểu P 22: x−+21 x x x − 1 xx − a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P . −1 b) Tìm x để P = . 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x >1 Câu 4: . Rút gọn các phân thức: 2 2333 22 22 x3++− y 33 z3 xyz ( xy−) +−( yz) +−( zx) a) A = 222 ; b) B = 333 ( xy−) +−( yz) +−( zx) ( xy−) +−( yz) +−( zx) Câu 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (a− xy) 333 −−( a yx) +−( x ya) Câu 6: Chứng minh rằng: a222 b c cba a) + + ≥++ b222 c a bac b) xxxx872− + −+>10 Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD và ACF lần lượt vuông cân tại B và C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Cmr: a) AH =AK ; b) AH2 = BH. CK Câu 8: Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt các cạnh BC, AC theo thứ tự ở D và E . và cắt cạnh BA ở F. Vẽ hình bình hành BDEH. Đường thẳng qua F và song song với BC cắt AH ở I. Cmr: FI = DC Câu 9: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Cmr : NI vuông góc với BC. Câu 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Cmr: HM vuông góc với PQ. HẾT Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 7
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 8) 43 2 Câu 1: Chứng tỏ rằng đa thức: Ax=( 2 ++1) 9( x 2 ++ 1) 21( x 22 +−− 1) x 31 luôn không âm với mọi giá trị của biến x . xxxx40++++ 30 20 10 1 Câu 2: a) Rút gọn phân thức: A = xxx45+ 40 + 35 +⋅⋅⋅+ x5 +1 xxx24+ 20 + 16 ++ x 4 + 1 b) Rút gọn phân thức: B = xxx26+++++ 24 22 x 2 1 111 Câu 3: Cho các số abc,, khác 0, thoả mãn (abc++) + + =1. abc Tính giá trị của biểu thức (a23++ b 23)( aba 5 5)( 2019 + b 2019 ) Câu 4: Giải các phương trình sau: 1 1 1 2017 2016 2 1 1 1 1 2 2017 a) + +⋅⋅⋅+.x = + +⋅⋅⋅+ + ; b) + + +⋅⋅⋅+ = 2 3 2018 1 2 2016 2017 3 6 10 xx( +1) 2019 59−−−−−xxxxx 57 55 53 51 (1.2+ 2.3 + 3.4 +⋅⋅⋅+ 98.99) .x c) ++++=−5; d) = 2018 41 43 45 47 49 323400 1 1 1 11 e) +++ =. xx22++5 6 xx ++ 7 12 xx 2 ++ 9 20 x 2 + 11 x + 30 8 Câu 5: Cho xyz,, là các số dương thỏa mãn ( x+ y)( y + z)( z += x) 8 xyz . Chứng minh rằng: xyz= = Câu 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 24a2 b+ ab 22 −+− a c ac 2 424 b 2 c + bc 2 − abc . Câu 7: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. Cmr: MN là tia phân giác của góc KNE . Câu 8: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC tại M và cắt cạnh đáy AB tại K. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD tại I và cắt cạnh AB tại F. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC tại P. Cmr: a) MP// AB . b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng. c) DC2 = AB. MI Câu 9: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở K, G. CMR: a) AE2 = EK. EG ; 111 b) = + AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi. Câu 10: Cho tam giác ABC đều, các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho AD = BE. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Vẽ MH // CD, MK //BE (H ∈ AB; K ∈ AC). Cmr: Khi M chuyển động trên cạnh BC thì tổng MH + MK có giá trị không đổi. . HẾT. . Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 8
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 9) Câu 1: Phân tích thành nhân tử: 22 a) (abc+++−+−) ( abc) 4 b2 ; b) ab( 22−− c) bc( 2 −+ a 2) ca( 22 − b) 333 c) (ab22+) +−( ca 22) −+( bc 22) Câu 2: Thực hiện phép tính: 1++ 2.36 1 3 63 5 a) A = −−. 236 .3−− 2 33 .5 8( 93 − 125) 183 10 3 x33 y++ xy xy b) B = x332+ y + x y + xy 2 ++ x y abc abc222 Câu 3: Cho ++=1. Chứng minh rằng: ++=0 bc++ ca ab + bc++ ca ab + 111 111 Câu 4: Chứng minh rằng nếu ++=2 và a++= b c abc thì ++=2 abc abc222 Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sô mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích của hai trong ba số đó thì được 26. c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 120 3 Câu 6: Cmr: a) a222+ b + c + ≥++ abc 4 b) a44+ b +≥24 ab Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I a) Chứng minh: tam giác ADI cân. b) Chứng minh: AD BD= BI DC c) Từ D kẻ DK vuông góc BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Chứng minh điều ấy. Câu 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo cùng một tỉ số. Cmr: AE = DF; AE ⊥ DF. 2 Câu 9: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, AB= CD . Gọi E,F theo thứ tự là trung 3 điểm của AB,CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ giác EMFN theo S. Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC. Điểm N trên cạnh CD sao cho 1 CN =2 ND. Gọi giao điểm của AM, AN với BD là P, Q. Cmr: SS= APQ2 AMN HẾT Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 9
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 10) Câu 1: Tìm GTNN của: 16 xx2 −+2 2018 x3 + 2000 a) Ax=++>2007,x 3 ; b) Bx= ,0≠ ; c) Cx= ,0> x − 3 2018x2 x 5n − 11 Câu 2: a) Xác định nN∈ để A = là số tự nhiên; 4n − 13 b) Chứng minh rằng: Bn=+−−326 n 19 n 24 chia hết cho 6 11 1 c) Tính tổng Sn( ) = + ++ 2.5 5.8( 3nn−+ 1) .( 3 2) Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2 a) ( xx22+) −2( xx +−) 15; b) ( xx22+2) +++ 9 x 18 x 20; c) ( xx22++31)( xx ++− 3 26) ; d) ( xx2 +8 + 7)( x + 3)( x ++ 5) 15 Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên k để đa thức fk( ) =++ k322 k 15 chia hết cho gk( ) = k + 3 Câu 5: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 31xy+= a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=3 xy22 + ; b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N= xy Câu 6: Cho xyz,, thỏa điều kiện xyz++=0 và xy++= yz zx 0 . 2017 2019 Hãy tính giá trị của biểu thức: Sx=−( 11) + y2018 ++( z) Câu 7: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội. Câu 8: Cho góc xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng quay quanh M cắt tia Ox, Oy theo thứ tự ở A,B. Gọi SS12, theo thứ tự là diện tích của tam giác MOA, MOB. 11 Cmr: + không đổi. SS12 Câu 9: Cho tam giác ABC. Các điểm D,E,F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1:2. Các điểm I, K theo thứ tự chia trong các cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2. Chứng minh: IK //BC. Câu 10: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh IK// AB. b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F. Cmr: EI =IK = KF. HẾT Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 10
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 11) x2 y2 xy22 Câu 1: Cho P =−− ( xy+−)(1 y) ( xy ++)( 1 x) ( 11 +− x)( y) a) Tìm ĐKXĐ của P , rút gọn P b) Tìm xy, nguyên thỏa mãn phương trình P = 2 Câu 2: Xác định các số hữu tỉ a và b sao cho: a) x4 + 4 chia hết cho x2 ++ ax b ; 2 b) ax43++ bx 1 chia hết cho ( x −1) . Câu 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử: 2 a) ( xx2++48) + 3 xxx( 22 +++ 482) x; b) x22+2 xy + y −−− x y 12 Câu 4: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A =20n + 16 nn −− 3 1 chia hết cho 323 Câu 5: Chứng minh rằng: a) xx32+4 +> 13 x với x ≥ 0 ; b) ( xxx−1)( − 3)( − 4)( x − 6) +≥ 90; c) a222++≥44448 b c ab −+ ac bc Câu 6: Rút gọn biểu thức: ( xx+12341)( +)( xx +)( ++) a) M = xx2 ++55 1 1 2 4 8 16 b) N =+++++ 111111−+++++xxx2 x4 x 8 x 16 Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm K sao cho AH = HK. Vẽ KE⊥∈ BC( E AC) . a) Gọi M là trung điểm của BE. Tính BHM . GB AH b) Gọi G là giao điểm của AM vói BC. Chứng minh: = . BC HK+ HC Câu 8:Cho tam giác ABC, A = 900 , đường cao AH, đường trung tuyến BM cắt AH tại I. Giả sử BH = AC. Chứng minh: CI là tia phân giac của ACB . Câu 9: a) Cho tam giác ABC có A=1200 , AB = 3 cm , AC = 6 cm . Tính độ dài đường phân giác AD. 111 b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn = + . Tính BAC . AD AB AC Câu 10: Cho tam giác ABC có AB=6, cm AC = 8 cm , các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC. HẾT Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 11
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 12) Câu 1: Cho a + b + c = 0 và abc222++=1. Tính giá trị của biểu thức Mabc=++444 Câu 2: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 23xy+= 7. 83 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = + xy b) Tìm GTLN của A=−− x22 y + xy ++ x y a22 b ab Câu 3:Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau: + +≥43 + b22 a ba Câu 4: Giải các phương trình sau: 33 a) ( xx+3) −+( 1) = 56 44 b) ( xx−6) +−( 8) = 16 c) xxxx432+3 + 4 + 3 += 10 Câu 5: Cho đa thức Px( ) =−−++2 x432 7 x 2 x 13 x 6 a) Phân tích Px( ) thành nhân tử b) Chứng minh rằng Px( )6 với mọi xZ∈ . xx42−+21 Câu 6: Cho phân thức A = xx3 −−32 a) Rút gọn A. b) Tính x để A <1 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên tia BC lấy điểm M nằm ngoài đoạn BC và trên tia CD lấy điểm N nằm ngoài đoạn CD sao cho BM = DN. Đường vuông góc với MA tại M và đường vuông góc với NA tại N cắt nhau ở F. Chứng minh: a) AMFN là hình vuông; b) CF vuông góc với CA. Câu 8: Cho hình vuông ABCD có giao điểm các đường chéo là O. Kẻ đường thẳng d bất kỳ qua O. Chứng minh rằng: Tổng các bình phương các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng d là một số không đổi. 2 ( xy+ ) Câu 9: a) Chứng minh BĐT: xy22+≥ 2 b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác vẽ OD⊥ BC( D ∈ BC),, OE ⊥∈ CA( E CA) OF ⊥ AB( F ∈ AB) . Tìm vị trí của điểm O để tổng OD222++ OE OF đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 10: Cho hình thang vuông ABCD có AD= = 900 , AB=7 cmDC , = 13 cmBC , = 10 cm . Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AD ở N. Gọi M là trung điểm của BC. Tính MN. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 13) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 12
Website: tailieumontoan.com a2 Câu 1: a) Chứng minh: ++≥b22 c ab −+ ac2 bc 4 b) Chứng minh: a444+ b + c ≥ abc( a ++ b c) 11 1 1 c) Chứng minh: + ++ 2 0 thì P không nhận những giá trị nào? c)Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng AD vuông góc với BC tại D. Đường phân giác BE FD EA cắt AD tại F. Chứng minh: = FA EC Câu 8: Cho tam giác ABC. Kẻ phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở I và D ( lần lượt theo thứ tự A, I, C, D ). Từ I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N. a) Tính AB và MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm. b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F. Chứng minh: BI IC= AI IE và CE= CF Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vuông góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE = CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC. a) Chứng minh rằng CA = CK ; BA = BL. b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên BC. Chứng minh IHJ là tam giác vuông cân. Câu 10: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng BD = 2cm, DC = 4cm. Đường trung trực của AD cắt đường thẳng BC tại K. Tính độ dài KD. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 14) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 13
Website: tailieumontoan.com Câu 1: Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n +1 chữ số 1, c là một số gồm n chữ số 1 (nN∈ *) . Cmr: ab++68 c + là một số chính phương . MN32 x− 19 Câu 2: Cho += . Tính MN. ? x+12 x − xx2 −− 2 Câu 3: Cho ba số dương abc,, 111 a) Chứng minh rằng: (abc++) + + ≥9 ; abc abc3 b) Chứng minh rằng: ++≥ bc++ ca ab +2 abx+− bcx +− cax +− 4 x c) Giải phương trình: +++=1 c a b abc++ x+ 3 8 xx2 31 =+ −− Câu 4: Cho biểu thức: Q 1:2 32 2 xx++5 6 4 xx − 8 3 x − 12 x + 2 a) Rút gọn Q ; b) Tìm các giá trị của x để QQ=0, = 1; c) Tìm các giá trị của x để Q > 0 . Câu 5: Cho abc++<0, chứng minh: P=++− a333 b c30 abc ≤. Câu 6: Tìm số nguyên dương n để n +1 và 4n + 29 là số chính phương. Câu 7: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, AD là đường phân giác. Biết AC = 9cm, AB = 6cm, diện tích tam giác ABC là 24cm2. Tính diện tích tam giác ADM. Câu 8: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F. a)Chứng minh khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE + DF có giá trị không đổi. b)Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF Câu 9: Cho các tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự ở M, N. Cmr: a) Tam giác AIM đồng dạng với tam giác ABI. 2 AM AI b) = . BN BI Câu 10: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho DME = B . a) Cmr: BD.CE không đổi. b) Cmr: DM là tia phân giác của góc BDE c) Tính chu vi tam giác AED nếu ABC là tam giác đều. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 15) aa2 ++44 Câu 1: Cho phân thức: A = aaa32+2 −− 48 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 14
Website: tailieumontoan.com a) Rút gọn A ; b) Tìm aZ∈ để A có giá trị nguyên. 2211   4411   Câu 2: Cho xxa− : +=  . Tính Mx=−+ : x  theo a . xx22   xx44   Câu 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau : 2 ab++ cd a) + ≥+(acbd)( +) ; b) ab++≤ bc ca 0 khi abc++=0 . 22 Câu 4: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan? ab bc ca Câu 5: a) Cho abc,, là ba số dương khác 0 thỏa mãn: = = ( Với giả thiết các tỉ số ab+++ bc ca ab++ bc ca đều có nghĩa ). Tính: M = . abc222++ 2 2 2 2017 b) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết: 1−− 1  1 − =. 2.3 3.4 nn( +1) 6045 11  1  1   1 c) Tính: M =+++. 1  1  1   1 +  2 1.3  2.4  3.5   2017.2019  Câu 6: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M nằm giữa A và D. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của MB và MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK và AC. Cmr: EF //IK. Câu 7: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G, H thứ tự thuộc cạnh BC, CD sao cho GOH = 450 . Gọi M là trung điểm của AB. Cmr: a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB; b) MG //AH Câu 8: Cho tam giác ABC và hình bình hành AEDF có E∈∈∈ AB,, F AC D BC . Tính diện tích của 22 hình bình hành, biết rằng SEBD =3 cm , SFDC = 12 cm . Câu 9: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính SEIHD Câu 10: Cho hình thang ABCD ( AB// CD , AB< CD). Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của DA với CB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. OA++ OB IA IB a) Chứng minh: = . OC++ OD IC ID b) Chứng minh: Bốn điểm IOM;; ; N thẳng hàng. c) Giả sử 3AB= CD và diện tích hình thang ABCD bằng S. Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo S. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 16) Câu 1: Chứng minh rằng Mn=++++8464 n 7 n 6 n 54 n chia hết cho 16, với nZ∈ Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 15
Website: tailieumontoan.com ab22(ab − ) Câu 2: a) Cho ab+=1 và ab ≠ 0 . Chứng minh: += b3−−11 a 3 ab 22 + 3 2 2 x 5 b) Giải phương trình: x += x +14 Câu 3: Tìm các số nguyên dương n để nn1988++ 1987 1 là số nguyên tố. Câu 4: Cho abc,, là ba cạnh của một tam giác a)Chứng minh rằng: ab++≤++ 0 ( x + 2019) aa32 a Câu 6: Cho biểu thức E =++ với a là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ E có giá trị nguyên. 24 8 12 Câu 7: a) Cho abc,, là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc = 2019. Chứng minh rằng: 2019a bc + +=1 ab+2019 a + 2019 bc ++ b 2019 ca ++ c 1 b) Cho xy+=2 . Chứng minh rằng: xyxy2017+≤+ 2017 2018 2018 . Câu 8: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm E. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BE tại F, nó cắt DC tại G. Gọi H, I, J, M, K lần lượt là giao điểm của GF với BC, EF với HD, EA với HC, AB với HD, AE với DH. DG GF BC.EF 8.1.a) Chứng minh: =; CE = . Từ đó suy ra DG+≥ CE2 CD và EG≥ 3 CD AD EF GF S b) Tìm GTLN của ABCD SAEG 8.2.a) Chứng minh: ∆=∆BHA CEB và ∆=∆DAE CDH b) Chứng minh: AE⊥ DH c) Chứng minh: AI// DJ // GB d) Chứng minh: ∆AFB đồng dạng với ∆ABH ; ∆AFD đồng dạng với ∆ADH Từ đó có nhận xét gì về AF D và ADH . 8.3.a) Chứng minh: KD2 = KI. KH b) Chứng minh: EJ.EK . HJ= HK . HD . EC c) Chứng minh: HJ. HC . EK= EI .EF. HK BM 8.4. Chứng minh: Khi E thay đổi trên tia đối của tia CD thì là không đổi. CJ 8.5. Qua bài này, các em hãy khai thác thêm nhiều tính chất mới thú vị. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 17) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 16
Website: tailieumontoan.com x23 xy− Bài 1. Cho 36yx−=. Tính giá trị của biểu thức M = + yx−−26 111 12 Bài 2. a) Chứng minh: H = + + ++ < với n∈≥ Nn,2 234222n 2 3 111 1 1 b) Chứng minh: K = + + ++ < với n∈≥ Nn,3 345333n 3 12 3 5 7 21n + Bài 3. Cho biểu thức P=++++222 2,*nN ∈ (1.2) ( 2.3) ( 3.4) nn( +1) a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại n = 99 . Bài 4. Cho đa thức Ex=+++422017 x 2016 x 2017 . a) Phân tích đa thức E thành nhân tử; b) Tính giá trị của E với x là nghiệm của phương trình: xx2 −+=11. 2017 2016 Bài 5. So sánh A và B , biết: A =(20172016 + 20162016 ) ; B =(20172017 + 20162017 ) . 2 Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của Qx=(23 −) − 4237 x −+ và các giá trị của x tương ứng. Bài 7. Cho ∆ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác ACB (D∈ AB) ; qua D kẻ 1 đường vuông góc với CD , đường này cắt đường thẳng CB tại E . Chứng minh: BD= EC . 2 Bài 8. Cho tứ giác ABCD . Đường thẳng qua A song song với BC , cắt BD tại P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại Q . Chứng minh PQ // CD . Câu 9. Cho hình thang ABCD, đáy AD và BC, có A = 900 , E là giao điểm của hai đường chéo, F là hình chiếu của E lên AB. a) Chứng minh ∆ BFC ∆ AFD . b) Gọi K là giao điểm của AC và DF. Chứng minh KE.FC = CE.FK. Câu 10. Cho ba số x, y, z. a) Chứng minh x2++≥++ y 22 z xy yz zx ; xyz++ b) Khi = 673 . Chứng minh xy++≤ yz zx 2019 . 3 HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 18) Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: xx3 −−19 30 b) Chứng minh: 92n + và 12n+∈ 3( nN) là hai số nguyên tố cùng nhau. Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 17
Website: tailieumontoan.com c) Chứng minh: số có dạng nn6432−+22 n + n với nN∈ và n >1 không phải là số chính phương. Câu 2. a) Chứng minh rằng: A =−+(2nn 12)( 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . b) Tìm các số nguyên n để Bn=2 −+ n13 là số chính phương? Câu 3. Giải các phương trình sau: a) xx2 −+23 − x −= 70 b) x−+12 xx + 3 = + 4 Câu 4. Với abc,,> 0. Hãy chứng minh các BĐT: ab bc ab bc ca ab33+++ bc 33 ca 3 3 a) +≥2b ; b) + + ≥++abc; c) + + ≥++abc. ca cab 222ab bc ca xx42++1 Câu 5. a) Cho xx2 −4 += 10. Tính E = x2 x x2 b) Cho = a . Tính F = theo a xx2 −+1 xx42++1 Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=1 − xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2013+= y 20132 xy 1006 1006 . Câu 7. Cho tam giác ABC có AB<< AC BC và chu vi bằng 18cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết các độ dài đều là số nguyên dương và BC có độ dài là một số chẵn. Câu 8. Cho tam giác ABC có AC = 3AB và số đo của góc A bằng 600. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho ADB 300 . Trên đường thẳng vuông góc với AD tại D lấy điểm E sao cho DE = DC (E và A cùng phía với BC). Chứng minh rằng AE//BC. Câu 9.Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AC và các đường thẳng AD, BM và CE đồng qui tại K (K∈ AM ; D ∈∈ BC ;) E AB . Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20. Tính diện tích tam giác ABC. Câu 10. Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B, C). Trên AQ lấy điểm P (P khác A, Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB, AC tại M, N. AM AN PQ a) Chứng minh rằng: ++=1. AB AC AQ AM AN PQ 1 b) Xác định vị trí điểm Q để = . AB. AC . AQ 27 HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 19) Câu 1. a) Cho ab22+≤2 . Chứng minh rằng: ab+≤2. b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 4aaba( +)( + 1)( ab ++ 10) + b2 ≥ c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 18
Website: tailieumontoan.com Chứng minh: abc≥( b +− c a)( a +− c b)( a +− b c) Câu 2. a) Cho aa12, , , a 2m , m∈ N * thoả mãn aa12 1. CD abc3 Câu 9. a) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: ++≥ bc++ ca ab +2 b) Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong của góc A (D∈ BC) . Gọi ka là khoảng cách từ D đến AB ( hoặc AC). Tương tự, gọi BE là phân giác trong của góc B (E∈ AC) và kb là khoảng cách từ E đến BA ( hoặc BC), gọi CF là phân giác trong của góc C (F∈ AB) và kc là khoảng cách từ F đến CA ( hoặc CB). Gọi hhhabc,, tương ứng là 3 chiều cao kẻ từ các đỉnh A, B, C kkk của tam giác đã cho. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức abc++ . hhhabc Câu 10. Cho hình bình hành ABCD có A < 900 . Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 20) PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TUY AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2018-2019 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 19
Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN (Đề thi có 02 trang) Thời gian: 150 phút. (Không kể thời gian phát đề) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký thí sinh: . . xx2 1 10 − 2 = + + −+ Câu 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức Mx2 :2 x−−+42 xx 2x +2 1 a) Rút gọn biểu thức M . b) Tính giá trị của M , biết x = . 2 c)Tìm giá trị của x để M < 0 . d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. Câu 2.(4,0 điểm) a) Phân tích đa thức A=++− a333 b c3 abc thành nhân tử. Từ đó suy ra điều kiện của abc,, để a333++= b c3 abc . 111 yz zx xy b) Cho ++=0.Tính giá trị của biểu thức sau: B =++. xyz xyz2 22 c) Cho xyz,, là ba số thực khác 0, thỏa mãn xyz++≠0 và x3++= y 33 z3 xyz . xyz2019++ 2019 2019 Tính C = 2019 . ( xyz++) 33 3 d) Giải phương trình sau: xx 2018 2019 2 x 4037 0 . 34− x Câu 3.(4,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = 22x2 + b) Xác định các hệ số hữu tỉ a và b sao cho f( x) =++ x42 ax b chia hết cho gx( ) = x2 −+ x 1. Câu 4.(3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có A =1200 . Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB. a) Chứng minh: AB= 2 AD . b) Kẻ AH⊥∈ DC() H DC . Chứng minh: DI= 2 AH . c) Chứng minh: AC⊥ AD . Câu 5.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, kẻ các đường cao BD và CE. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh AC, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại điểm F. CE BE a) Chứng minh: AB2 = AE.AF . b) Chứng minh: = . CF BF Câu 6.(2,0 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (AD= = 900 ) và DC= 2 AB , H là hình chiếu của D trên AC và M là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh: BM⊥ MD . HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 1 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 20
Website: tailieumontoan.com Câu 1: Cho bốn số dương abcd,,, . Chứng minh abcd rằng:12 0 ta có: 0. Chứng minh rằng +≥ và ≥ 2 x y xy+ xy ( xy+ ) HD: Dùng biến đổi tương đương. 11 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng +≥16 ac bc 1 1 4 1 4 16 Theo câu a, ta có: + ≥ =⋅4 ≥⋅ 4 = =16 ac bc ac+ bc c( a + b) c ++ a b 1 abc,,>> 0 abc ,, 0  1  ab= = abc++=11 ab +=− c  4 Dấu “ =” ⇔⇔⇔ ac= bc a= b 1 c = cba=+=− c1 c  2 xx2 ++23 Câu 6: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + 2 HD: + Tìm GTLN: Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 21
Website: tailieumontoan.com 2 2 2 xx2 ++2322( xx+−−) ( 1) ( x −1) Ta có: A = = =−≤22 xx22++22 x 2 + 2 2 Dấu “ =” ⇔( xx −10) =⇔= 1 Suy ra GTLN(A) = 2 ⇔=x 1. + Tìm GTNN: 2 2 2 xx22++2 32 xx ++ 4 6(xx+++22) ( ) 1( x + 2) 1 Ta có: A = = = =+≥ xx22++2 2.(xx22++ 2) 2.( 2) 2 22 2 Dấu “ =” ⇔( xx +20) =⇔=− 2 1 Suy ra GTNN(A) = ⇔=−x 2 2 Câu 7: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ . +=+= A B HD: C/m: AA 'CC ' BB ' DD ' 2 OO ' O D C y B' O' C' x D' A' Câu 8: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’. A HD: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và GC. Kẻ MM' ⊥ d và NN' ⊥ d . M 1 1 G Chỉ ra: MM '=( AA ' + BB ')( 1) ; GG'=( MM ' + NN '2)( ) ; N 2 2 B C 1 d NN'=( GG ' + CC '3)( ) 2 N' C' Từ (1), (2) và (3) biến đổi suy ra đpcm. A' G' Câu 9:B' ChoM' tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. HA''' HB HC a) Chứng minh: ++ =1 AA'BB ' CC ' A HA''SS HB HC 'S Ta có: =HBC ;; = HAC = HAB B' AA ' SABC BB' SABC CC' SABC C' HA''' HB HC SSS S H Suy ra ++ =HBC + HAC +HAB =ABC =1 AA'BB ' CC ' SABC S ABC S ABC S ABC B A' C Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 22
Website: tailieumontoan.com 111 b)C/ m BĐT phụ : (abc++) + + ≥9 abc Dấu «= » ⇔==>abc0 * Chú ý: Dấu «= » ⇔∆ABC đều. Câu 10: A D E K B C KE HD: Để làm xuất hiện một tỉ số bằng ta vẽ qua D đường thẳng DG // AC. Theo hệ quả của đl KD KE KC EC Talet, ta có: = = KD KG DG Mà BD = EC (gt) KE BD Do đó, = (1) KD DG DB DG DB AB Mặt khác, =⇔=(2) BA AC DG AC KE AB Từ (1) và (2) suy ra = ( không đổi) (đpcm) KD AC HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 2 Câu 1: a) Chứng minh rằng: 2130+ 39 21 chia hết cho 45. HD: Đặt M =2130 + 39 21 Nhận xét 45 = 5.9 mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau (1) Vậy để c/m M 45 ta cần c/m M 5 và M 9 21 Thật vậy, M =2130 + 39 21 =( 21 30 − 1 30) +( 39 21 −−( 1) ) 5(2) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 23
Website: tailieumontoan.com 21 (Vì (2130−− 1 30 )( 21 1) 5 và (3921 −−( 1) )( 39 −−( 1)) 5) Mặt khác, 21 3⇒ 2130 9 và 39 3⇒ 3921 9 . Do đó, M 9 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. * Chú ý: (ann−− b)( ab) b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: 5n++2++ 26.5 nn 821 59 . Ta có: 5n++2+ 26.5 n += 821 n 51.5 n + 8.64 n = 59.5 n + 8.( 64 nn − 5) 59 ( Vì (64nn−− 5)( 64 5) ). Suy ra đpcm. xxxxx5432−+−−+2 2 4 36 Câu 2: Cho biểu thức M = xx2 +−28 a) Rút gọn M HD: ĐKXĐ: xx2 +2 −≠ 80 ⇔−( xx2)( +≠ 40) ⇔≠x 2 và x ≠−4 . Ta có: x5432−2 x + 2 x − 4 x −+= 3 x 6 xx 4( −+ 22) xx 2( −− 23) ( x − 2) =−( x2)( xx42 +− 23) 2 =−( xx2) 2 +− 14 ( ) =−++−( x2)( x3 311)( xx)( ) ( x2 ++−311)( xx)( ) Suy ra M= ,xx≠ 2; ≠− 4 . x + 4 b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. Đề M = 0 thì ( x3 +3)( xx + 1)( −= 10) và x ≠ 2 ; x ≠−4 Ta có : ( x3 +3)( xx + 1)( −= 10) x =1 ⇔  ( thỏa ĐKXĐ ) x = −1 x =1 Vậy, M =0 ⇔  x = −1 Câu 3: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 2xx32+++ 25 x A = 21x + −1 HD: ĐKXĐ: 2xx+≠ 10 ⇔ ≠ 2 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 24
Website: tailieumontoan.com 2xx32+++ 25 x xx2 (21++) ( 214 x ++) 4 Ta có: Ax= = =2 ++1 21xx++21 21 x + Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì 2xU+∈ 1( 4) =−−−{ 4; 2; 1;1; 2; 4} Lập bảng: 2x +1 -4 -2 -1 1 2 4 2x -5 -3 -2 0 1 3 5 3 1 3 x -1 0 2 2 2 2 Vậy, x ∈−{ 1; 0} . Câu 4: Ta có: M=( x2 −−+ ax bx ab) +( x 22 −−+ bx cx bc) +( x −−+ ax cx ca) =42x2 − x( a ++ b c) + ab + bc + ca(1) 111 Từ x=++⇒=++ a b c22 x abc( ) 222 Thay (2) vào (1) ta được M=++ ab bc ca 22 Câu 5: Giải phương trình: (2xx2+− 2016) + 4( x 2 − 3 x − 1000) = 4( 2 xx 22 +− 2016)( x − 3 x − 1000) 22 Ta có: (2xx2+− 2016) + 4( x 2 − 3 x − 1000) = 4( 2 xx 22 +− 2016)( x − 3 x − 1000) 22 ⇔(2xx2 +− 2016) − 4( 2 xx 22 +− 2016)( x − 3 x − 1000) + 4( x 2 − 3 x − 1000) = 0 2 22 22 2 ⇔(2xx +− 2016) − 2( 2 xx +− 2016)  2( x − 3 x − 1000) + 2( x − 3 x − 1000) = 0 2 22 ⇔(2xx +− 2016) − 2( x − 3 x − 1000) = 0 2 ⇔−(7x 16) = 0 16 ⇔=x . 7 Câu 6: Tìm giá trị của biến x để: 1 a) P = đạt giá trị lớn nhất. xx2 ++26 1 11 2 P = = ≤ x +1 +≥ 55 HD: Ta có: 22 ( Vì 1 > 0 và ( ) ) xx++26( x ++15) 5 2 Dấu « = » ⇔( xx +10) =⇔=− 1 1 Suy ra GTLN(P) = ⇔=−x 1 . 5 xx2 ++1 b) Q = đạt giá trị nhỏ nhất xx2 ++21 HD: ĐKXĐ: x ≠−1 2 xx2 ++1( xx+1) −( ++ 11) 11 Ta có: Q = = =−+1 22 2 xx++21 ( xx++11) x +1 ( ) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 25
Website: tailieumontoan.com 2 1 2 1 33 Đặt t = . Ta có: Q=−+1 tt = t − + ≥ x +1 2 44 1 1 11 Dấu « = » ⇔−tt =01 ⇔= ⇔ = ⇔ x = 2 2x + 12 3 Suy ra GTNN(Q) = ⇔=x 1 4 Câu 7: a) Chứng minh DE = CF; DE⊥ CF A E B HD: C/m được EB= EM = AF . Suy ra AE= DF H Khi đó, ∆=∆AED DFC( c g c) . Suy ra DE= CF . F I =00 −+  = − + = 0 Ta lại có: FJD180 ( F11 D) 180 ( AED D1 ) 90 1 M Suy ra DE⊥ CF tại J. J 1 D C b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. Tương tự, c/m được EC⊥ BF Ta có MA= MC ( BD là trục đối xứng của hình vuông ) và MA = EF ( AEMF là hcn ) Do đó, MC = EF . Suy ra ∆=∆MFC FDE( ) c c c . Suy ra FED = MCF Ta lại có : FED +=EF C 900 ( ∆EFJ vuông tại J ) Vì thế MCF +=EF C 900 Gọi H là giao điểm của CM và EF thì EHC = 900 Xét ∆EFC có ED, FB, CM là ba đường cao nên chúng đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? 2 xy+ C/m BĐT phụ: xy ≤ . Dấu “ =” ⇔=xy 2 22 AE+ AF  AB 1 Áp dụng BĐT trên, ta có: SAEMF =≤== AE.AF    SABCD ( không đổi ) 2  24  Dấu “ =” ⇔=⇔=AEAF ME MF ⇔ M là trung điểm của BD. 1 Suy ra GTLN ( S ) = S ⇔ M là trung điểm của BD. AEMF 4 ABCD Câu 8:. A B M N H D K C Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 26
Website: tailieumontoan.com a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành; HD: Ta c/m: MN// CK và MN= CK b) Tính góc BMK. + C/m N là trực tâm của tam giác BMC (?) + Suy ra NC⊥ MB mà MK// NC ( ?) KL: MK⊥ MB hay BMK = 900 1 Câu 9:Chứng minh rằng SS≤ . DEF2 ABC Với vị trí nào của hai điểm E và F thì SDEF đạt giá trị lớn nhất? A HD: ( Vẽ điểm phụ ) F Gọi I là điểm đối xứng của E qua D. C/m được: ∆=∆BED CID( c g c) . Suy ra SSBED= CID E Ta lại có: SSSDEF = DFI ≤ DICF B C Suy ra SSSSSDEF ≤ DFC += CID DFC + DBE (1) D Ta lại có : SSDEF≤ AFDE (2) I Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được : 2SSSSDEF ≤++ DFC BED AEDF = S ABC 1 Do đó, SS≤ (đpcm) DEF2 ABC Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi EF trùng với AC hoặc AB. 1 Khi đó, GTLN( S) = S DEF 2 ABC Câu 10: A B O E F 1 1 2 2 C a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân; OE OA Vì AE // BC (gt) nên theo đl Ta-let ta có: = (1) OB OC OB OF Vì BF // AD (gt) nên theo đl Ta-let ta có: = (2) OD OA OE OB OA OF OE OF Từ (1) và (2) suy ra ⋅=⋅ hay = OB OD OC OA OD OC Theo đl Ta – let đảo suy ra EF // DC. Do đó, DEFC là hình thang (3) Ta c/m được ∆=∆ABC ABD( c c c) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 27
Website: tailieumontoan.com     Suy ra CD11= mà BCD= ADC (?) nên CD22= (4) Từ (3) và (4) suy ra EFCD là hình thang cân. b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm. EF OE OE OA Vì AB // CD và EF // CD nên AB // EF. Theo đl Ta-let ta có: = mà = (cmt) AB OB OB OC EF OA Suy ra = (5) . AB OC AB OA Vì AB // CD nên theo đl Ta-let ta có = (6) CD OC EF AB Từ (5) và (6) suy ra = AB CD AB225 Suy ra EF = = = 2,5(cm) CD 10 HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 3 2 ( x −1) 12−+x22 4 x 1 xx + = −+ Câu 1: Cho biểu thức R 2 33: 31xx+−( ) x−11 x −+ xx a) ĐKXĐ: xx≠0; ≠− 1; x ≠ 1 . x2 +1 b) Rút gọn: R = , xx≠0; ≠− 1; x ≠ 1 . x +1 x2 +1 Để R =⇔=00⇔x ∈∅ x +1 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 28
Website: tailieumontoan.com R =1 c)Ta có: R =1 ⇔  R = −1 x2 +1 + Với R =1, ta có: =1, xx≠0; ≠− 1; x ≠ 1 x +1 2 x +1 2 x = 0 Giải pt =1 ⇒x +=1 x +⇔ 1 xx( − 10) = ⇔ ( không thỏa ĐKXĐ ) x +1 x =1 x2 +1 + Với R = −1, ta có: = −1, xx≠0; ≠− 1; x ≠ 1 x +1 2 2 x +1 2217 Giải pt = −1 ⇒x +=−−⇔1 x 1 xx + + 20 = ⇔ x + + =0 ( vô lý ) x +1 24 Vậy không có giá trị nào của x để R =1. Câu 2: Chứng minh: a) A =++22210 11 12 chia hết cho 7 Ta có: A =210 + 2 11 + 2 12 = 2 10 + 2.22.2 10 + 10 2 = 2.1 10 ( ++ 2 22) = 2.77 10  Vậy, A =++22210 11 12 chia hết cho 7 . b) Bn=(6 + 1)( n +− 5) ( 3 n + 52)( n − 1) chia hết cho 2, với nZ∈ . Ta có: Bn=(6 + 1)( n +− 5) ( 3 n + 5)( 2 n −== 1) 24 n + 10 = 2.( 12 n + 5) 2 Vậy, Bn=(6 + 1)( n +− 5) ( 3 n + 52)( n − 1) chia hết cho 2, với nZ∈ c) Cn=++532 15 n 10 n chia hết cho 30, với nZ∈ . Ta có: C=+5 n32 15 n +==+ 10 n 5 nn( 1)( n + 2) Vì 55 và nn( ++1)( n 26) mà (5, 6) = 1 nên 5nn( ++ 1)( n 2) 30 Vậy, Cn=++532 15 n 10 n chia hết cho 30, với nZ∈ . d) Nếu a=−=−=− x2 yzb;; y 22 xzc z xy thì D= ax ++ by cz chia hết cho (abc++) . Ta có: Da=x ++= bycz( x2 − yzx) +( y 22 − xzy) +( z − xyz) ==++− x3 y 33 z3 xyz ==++ ( x y z)( x2 ++−−− y 22 z xy yz zx) Vậy, D= ax ++ by cz chia hết cho (abc++) e) Ex=−−++4324 x 2 x 12 x 9 là bình phương của một số nguyên, với xZ∈ . Ta có: Ex=−−++4324 x 2 x 12 x 9 =−+( xxx4324 4) −( 6 x 2 − 12 x) + 9 2 222 22 2 =( xx −2) − 6( xx − 2) += 3( xx −− 23) =( x − 3)( x + 1) 432 2 Vậy, Ex= −4 x − 2 x + 12 x += 9( x − 3)( x + 1) là bình phương của một số nguyên, với xZ∈ . 2018 2018 f) F=( xx22 +−1) +( xx −+ 12) − chia hết cho ( x −1). Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 29
Website: tailieumontoan.com 2018 2018 Ta có : F=( x22 +− x1) +( x −+ x 1) −= 2( x − 1.) Qx( ) + r 2018 2018 Xét tại x =1 thì r =(122 +− 11) +( 1 −+ 11) − 2 = 0 2018 2018 Vậy, F=( xx22 +−1) +( xx −+ 12) − chia hết cho ( x −1). g) Gx=++84nn x 1 chia hết cho xx2nn++1, với nN∈ . 22 Ta có: Gx=++=+84nn x1 x 8 n 21 x 4 n +−= x 4 n( x 4 n +− 1) ( x 2 n) =( x 42 nn ++ x1)( x 42 nn −+ x 1) (1) 22 Mặt khác, xx42n+ n +=1 x 4 n + 2 x 2 n +− 1 x 2 n =( x 2 n + 1) −( x n) =( xx2 nn + +1)( xx2 nn − + 12)( ) Từ (1) và (2) suy ra Gxx=++=++−+−+84nnnnnnnn1( xx 2 11)( xx2 )( xx42 1) Vậy, Gx=++84nn x 1 chia hết cho xx2nn++1, với nN∈ . Câu 3: a) Tìm GTLN của Ax=−42( −− x 4) 2 Ta có: Ax=−42( −− x 4) = 2 x −− 4( x − 4) 2 Đặt tx=−≥40, khi đó: A=2 tt −2 = =−−( t 1) +≤ 1 1 x = 3 Dấu “=” ⇔−=tx10 ⇔ − 410 −= ⇔ x = 5 x = 3 Suy ra GTLN( A) =1 ⇔  x = 5 92x b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = + , với 02<<x . 2 − xx 9x 29 x 2−− x 92 xx Ta có: B = + = + +≥12 ⋅ +=12917 += 22−−xx x x 2 − x x 92xx− 1 Dấu “ =” ⇔ = ⇔=x 22− xx 1 Vậy, GTNN(B) = 7 ⇔=x . 2 ab+ Chú ý: BĐT AM-GM cho 2 số ab, không âm, ta có: ≥ ab . Dấu “=” ⇔=≥ab0 2 92x 9 xx 2− * Cách biến đổi B : Ta viết B= += mnp + +. 22−−xx x x Biến đổi và đồng nhất thức hai vế, suy ra mnp=1, = 1, = 1 . A Câu 4: D E B C a) Chứng minh DE // BC. M Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 30
Website: tailieumontoan.com DB MB EC MC Theo t/c tia phân giác của tam giác, ta có: = (1) và = (2) DA MA EA MA Mà MB= MC( gt)(3) DB EC Từ (1), (2) và (3) suy ra = . Theo đl Ta-let đảo suy ra DE// BC DA EA b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE. DI AI EI AI Vì DE// BC (cmt) nên DI// BM và IE// MC . Do đó, = (4) và = (5) BM AM MC AM Từ (3), (4) và (5) suy ra ID = IE (đpcm) Câu 5: E A D M B C a) EB.ED = EA.EC; H C/m: ∆EAB đồng dạng ∆EDC (g.g) EA EB Suy ra =⇒=EA EC EB ED (đpcm) ED EC b) BD BE+= CACE BC 2 Chỉ ra M là trực tâm của tam giác EBC nên EM⊥ BC tại H. BE BH C/m: ∆EHB đồng dạng ∆CDB (g.g) nên = ⇒ BE. BD= BH .1 BC ( ) BC BD EC HC Tương tự, C/m: ∆EHC đồng dạng ∆BAC (g.g) nên =⇒=CE. CA HC .2 BC ( ) BC AC Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được: BD BE+=+= CACE( BH HC) . BC BC 2 c) ADE = 450 EA ED Theo câu a, ta có: EA EC= EB ED ⇒= EB EC Từ đó c/m được ∆EAD đồng dạng ∆EBC (c.g.c) Suy ra EDA = ECB = ACB = 450 ( Vì tam giác ABC vuông cân tại A). Câu 6: B A G E I Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 31
Website: tailieumontoan.com a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi; C/m: ∆=∆−BAE DAF( cgv gnk ) Suy ra AE = AF . Xét tam giác AEF cân tại A có AI là đường trung tuyến nên cũng là đường cao. Do đó, GK ⊥ EF tại I (1) Ta lại c/m được ∆=∆IEG IKF( g c g ) . Do đó, GE= FK mà GE // FK (gt) Suy ra EKFG là hình bình hành (2) Từ (1) và (2) suy ra EKFG là hình thoi. b) ∆∆AKF CAF,. AF2 = FK FC Ta có: KAF = ACF = 450 và F chung. Do đó, ∆AKF đồng dạng ∆CAF (g.g) AF KF Suy ra =⇒=AF2 KF . CF . CF AF c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi. Vì EKFG là hình thoi nên KE==+=+ KF KD DF KD BE Chu vi của tam giác EKC là : KC++ EC EK = KC +++ CE BE KD = (KC+ KD) +( BE + EC) =+= CD BC2 BC ( không đổi ) KL : Câu 7: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE BAC + BDC cắt nhau ở K. Chứng minh rằng: BKC = 2 Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AB và CK, của CD và BK. K Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác, ta lần lượt có : A K +=+ B  AC = M (1) 1 11( ) D N  +=+=    M KC2 DB 21( N)(2) 1 1 2          E 1 Từ (1) và (2) suy ra 2K=++ ADB2 + C 11 −− B C 2 =+ AD 1 2 ( Vì theo gt B = BC,  = C ) B 1 21 2 C AD+  BAC + BDC Do đó, K = . Vậy, BKC = 2 2 HẾT . HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 4 abc+− acb +− bca +− Câu 1: Từ giả thiết, suy ra +=222 += + cba Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 32
Website: tailieumontoan.com abc++ abc ++ abc ++ ⇔== cab Xét hai trường hợp : abbcca+++(−−−cab)( )( ) + Nếu abc++=⇒01 P = ⋅ ⋅ = =− a b c abc + Nếu abc++≠⇒==≠⇒0 abc0 P = 2.2.2 = 8 KL : 2 21k + (kk+−1) 2 1 1 = = = − Câu 2: Ta có : ak 222 2 (kk2 + ) kk2 ( ++11) k ( k ) Do đó, S2018= aaa 1 + 2 + 3 ++ a2017 + a 2018 1 1  1 1   1 1 20192 − 1 = −  + −  +⋅⋅⋅+  − = 122 2  2 22 3   20182 2019 2 2019 2 −77 5ab−− 32 b a Câu 3: a) Biết ab≠≠, và 27ab−=. Tính giá trị của biểu thức P = − 32 3727ab+− 5ab−− 3 b 2 a (2ab−+) 32 a b −( 2 ab −) 73+a 2 b − 7 Ta có: P = − = − = − =−=11 0 3727a+ b − 37 a + 27 b − 3727 ab +− −77 Vậy, P = 0 khi ab≠≠, và 27ab−=. 32 25ab−− ba b) Biết ba≠±3 và 6a22− 15 ab += 5 b 0 . Tính giá trị của biểu thức Q = + 33ab−+ ab 2a− b 5 b − a (23ab−)( ab ++) ( 53 ba −)( ab −) 3a22−+ 6 b 15 ab Ta có: Q =+= = 3ab−+ 3 ab(3 ab −+) .3( ab) (3ab −+) .3( ab) 22 2 2 9a−− b( 6 a + 5 b − 15 ab) 9ab22− = = =1 (33ab−+)( ab) 9 a22 − b Vậy, Q =1 khi ba≠±3 và 6a22− 15 ab += 5 b 0 Câu 4: a) Ta có: x2+ y 2 + z 22 + t ≥ xy( ++ z t) ⇔44x2 + y 2 ++≥ 444 z 22 t xy + 44 xz + xt ⇔−( x24 xyy + 4 22) +−+( x 44 xzz 22) +−+( x 44 xtt 22) +≥ x 0 2 22 ⇔−( xy2) +−( xz 220) +−( xt) +≥ x2 ( đúng ) Dấu “=” ⇔===xyzt0 . b) Ta có: x4+≥ y 4 xy 33 + xy ⇔ xxy 3( −+) yyx3( −≥) 0 ⇔−( xyx)( 33 − y) ≥0 ⇔−( xyxyx)( −)( 22 ++ xyy) ≥0 2 2 132 ⇔−( xy)  x + y + y ≥0 (đúng) 24 Dấu “=” ⇔=xy. Câu 5: Rút gọn: a) M=90.10kk −+ 10++21 10 k , kN ∈; =−90.10k 100.10 kk += 10.10 0 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 33
Website: tailieumontoan.com b) N =(2022 + 18 ++ 2 2) −( 19 22 + 17 ++ 1 2) =(202 −+−++− 19 2) ( 18 2 17 2) ( 2 22 1 ) =(20 + 19)( 20 −++ 19) ( 18 17)( 18 −+++ 17) ( 2 1)( 2 − 1) =20 + 19 + 18 + 17 + ++= 2 1 210 Câu 6: Tính giá trị của biểu thức Px=−+−+−+−15 2018 x14 2018 x13 2018 x12 2018 x2 2018 x 2018 , với x = 2017 . Thay 2018=x + 1 vào P ta được: Pxxx=15 −+( 1) 14 ++( xx 1) 13 −+( xx 1) 12 +−+ ( xxxxx 1) 2 ++( 1) −+( 1) =xxxxx15 − 15 − 14 + 14 + 13 − + xxx2 + − −=−1 1 Vậy, P = −1 khi x = 2017 . Câu 7: K A M B O D C MA MB N a) = . ND NC MA KM MB KM Áp dụng đl Ta-let vào tam giác KND, KNC với AB // CD, ta có: =, = ND KN NC KN MA MB Suy ra = (1) ND NC MA MB b) = NC ND MA OM MB OM Áp dụng đl Ta-let vào tam giác ONC, OND với AB // CD, ta có: =, = NC ON ND ON MA MB Suy ra = (2) NC ND c) MA= MB, NC = ND MA22 MB Nhân từng vế (1) với (2) ta được: = ND NC NC ND Suy ra MA22= MB hay MA= MB . Từ đó suy ra NC= ND . A B Câu 8: E I F HD: Kẻ AK // BC, cắt EF tại I. Lần lượt tính được EI = 30, EF = 58. D K C A Câu 9: E G K D Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 34
Website: tailieumontoan.com Chứng minh rằng DE =BK. BK BA DE MG MG BA Kẻ MG // IE, ta có: = (1) và = = = (2) ( vì AG= GC ) KI AC AE AG GC AC BK DE Từ (1) và (2) suy ra = mà KI= AE suy ra DE= BK (đpcm) KI AE Câu 10: Kẻ EI // DA, lấy K là trung điểm của CF. Đặt OD = 2a, OF = 3a. Tính được OI = 0,5a, A B IF = 2,5a, EK = 2,5a. Từ đó c/m được EIKF là hình bình hành nên FK // IE // AD. Suy ra BC // AD. Ta lại c/m BC = AD ( = 4EI ) I F Suy ra ABCD là hình bình hành (đpcm) O K D C E HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 5 Câu 1: Tìm xy, biết : a) x22−2 xy + + 4 y += 50 22 ⇔−( xy1) ++( 20) = ⇔=x 1 và y = −2 b) ( x+2 y)( x22 −+ 24 xy y ) = 0 và ( x−2 y)( x22 ++ 2 xy 4 y ) = 16 Ta có: ( x+2 y)( x2 − 2 xy + 4 y 2) =⇔+ 0 x 33 8 y = 01( ) và ( x−2 y)( x2 + 2 xy + 4 y 2) =⇔− 16 x 33 8 y = 16( 2) Từ (1) và (2) suy ra 2xx3 = 16 ⇔= 2 . Thay x = 2 vào (1) suy ra y = −1. Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 35
Website: tailieumontoan.com Vậy, x = 2 và y = −1. 11 c) xy22+++ =4 ( ĐK: xy≠≠0, 0 ) xy22 2 2 11 ⇔−xy +− =0 xy 1 1 ⇔−x =0 và y −=0 x y ⇔=±x 1 và y = ±1 Vậy, xy=1, = 1 hoặc xy=1, = − 1 hoặc xy=−=1, 1 hoặc xy=−=−1, 1 . Câu 2: Giải và biện luận nghiệm của phương trình mx2 +=1 x + m theo m . Ta có: mx22+=1 xm + ⇔ mxxm − = −⇔1( m 2 − 1) xm = −⇔ 1( m + 11)( m −) xm = − 1(*) + Nếu m =1 thì pt (*) trở thành 00x=⇔∈ xR + Nếu m = −1 thì pt (*) trở thành 02xx= − ⇔ ∈∅ 1 + Nếu m ≠±1 thì pt (*) có một nghiệm duy nhất x = m +1 KL: + Nếu m =1 thì pt (*) có vô số nghiệm. + Nếu m = −1 thì pt (*) vô nghiệm. 1 + Nếu m ≠±1 thì pt (*) có một nghiệm duy nhất x = m +1 Câu 3: a) ( xxx+2)( − 2)( 2 −= 10) 72 ⇔−( xx224)( −= 10) 72 22   ⇔( xx −+7) 3 ( −−= 7) 3  72 xx2 −=79 =± 4 ⇔x22 −=79⇔ ⇔ ⇔=±x 4 ( )  2  x −=−79x ∈∅ Vậy, S ={ −4; 4} 22 xxx+−222 − 4 +−= b) Giải phương trình: 3 25 202 0 xxx−+11 − 1  x + 2 = 0  x −1 Điều kiện x ≠±1. Dễ thấy hệ  vô nghiệm nên x ≠±2. x − 2  = 0  x +1 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 36
Website: tailieumontoan.com 2 xx+−2 2 ( xx ++ 2)( 1) x − 2 Đặt y = : = . Chia 2 vế phương trình đã cho cho ta được: xx−+1 1 ( xx −− 2)( 1) x +1  y = 5 2  3yy− 20 +=⇔ 25 0 5 .  y =  3 x = 4 (xx++ 2)( 1) 2  *) Với y = 5, ta có: =⇔5 2xx − 9 +=⇔ 401 . (xx−− 2)( 1) x =  2 5 (xx++ 2)( 1) 5 x =6 + 34 *) Với y = ,ta có: = ⇔xx2 −12 +=⇔ 2 0  . 3 (xx−− 2)( 1) 3 x =6 − 34 Các nghiệm trên đều thỏa điều kiện. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: 1 xx===+=−4, , x 6 34, x 6 34 . 2 xxxxxx222222+−99 1 +− 99 2 +− 99 3 xxxxxx +− 99 4 +− 99 5 +− 99 6 Câu 4: a) ++=++ 99 98 97 96 95 94 xx22+−99 1 xx +− 99 2  xx 2 +−99 3  ⇔ −+111 −+ −  99  98  97  xx222+−99 4  xx +−99 5 xx +− 99 6  = −+111 −+ −  96  95  94  xx222+−99 100 xx +− 99 100 xx +− 99 100 xx 222 +− 99 100 xx +− 99 100 xx +− 99 100 ⇔++=++ 99 98 97 96 95 94 2 111111 ⇔( xx +99 − 100) ++−−+ =0 99 98 97 96 95 94 111111 ⇔+xx2 99 − 100 = 0 ( Vì ++−−+≠0 ) 99 98 97 96 95 94 x =1 ⇔−( xx1)( + 100) =⇔ 0  x = −100 21−−x xx 2 − x 1 − x x b) Ta có: −=1 − ⇔ +=1 ++− 11 2017 2018 2019 2017 2018 2019 2019−−−xxx 2019 2019 1 1 1 ⇔ = + ⇔(2019 −x) −− =0 2017 2018 2019 2017 2018 2019 111 ⇔2019 −=x 0 ( Vì −−≠0 ) 2017 2018 2019 ⇔=x 2019 Câu 5: a) Ta có: B =++++(313)( 2 13)( 4 13)( 8 13)( 16 + 1) ⇔B.31( −=−) ( 31313)( +)( 2 + 13)( 4 + 13)( 8 + 13)( 16 + 1) ⇔=−B.23( 2 13)( 2 + 13)( 4 + 13)( 8 + 13)( 16 + 1) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 37
Website: tailieumontoan.com ⇔=−B.23( 4 13)( 4 + 13)( 8 + 13)( 16 + 1) ⇔=−B.23( 8 13)( 8 + 13)( 16 + 1) ⇔=−B.2( 316 1)( 3 16 + 1) ⇔BA.2 = 332 −= 1 Vậy, AB= 2. xyxy−−22 xy 22 − b) C/m BĐT phụ: =2 >0 xy++( xy+ ) x22 y Xem x = 2019 và y = 2018 suy ra CD MH + MK + MI (1) A 2S 22SS2 Ta lại có : MH+ MK += MI MAB +MBC + MAC =⋅(SSS + + ) AB BC AC a MAB MBC MAC H I 2 233aa2 =⋅=⋅=SABC (2) M aa42 a 3 Từ (1) và (2) suy ra MA++ MB MC > (đpcm) 2 B K C Câu 10: a)Tứ giác ANFM là hình vuông A B Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 38
Website: tailieumontoan.com Xét ∆DAN và ∆BAM có AD = AB (gt), ADN= ABM = 900 , BM = DN (gt) Suy ra ∆DAN = ∆BAM (c.g.c) Khi đó, AM= AN và NAD = MAB . Ta có: NAM =+=+== NAD DAM MAB DAM DAB 900 . Tứ giác ANFM có MF // AN, AM // NF và NAM = 900 nên tứ giác ANFM là hình chữ nhật. Mặt khác, AN = AM Suy ra ANFM là hình vuông. b) Điểm F nằm trên tia phân giác của MCN và ACF = 900 Kẻ FH⊥ CN và FK⊥ BM . Suy ra tứ giác CHFK là hình chữ nhật, do đó FH⊥ FK Suy ra NFH = MFK ( cặp góc có các cạnh tương ứng vuông góc) Xét ∆HFN và ∆KFM có : NFH = MFK (cmt), NF = MF ( ?) NHF = MKF = 900 Do đó, ∆HFN = ∆KFM (ch-gn) Suy ra FH = FK Vậy, CF là tia phân giác của MCN , nghĩa là F thuộc tia phân giác của MCN Do tứ giác ABCD là hình vuông nên CA là phân giác của NCB . Suy ra ACF = 900 ( hai tia phân giác của hai góc kề bù ). c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF ) Hình vuông ANFM có hai đường chéo AF và MN cắt nhau tại O nên O là trung điểm của AF cũng là trung điểm của MN. MN Xét ∆CMN có C =900 , ON = OM ⇒= OC = OA 2 Do đó O nằm trên đường trung trực của AC, suy ra O thuộc BD là đường trung trực của AC, nghĩa là ba điểm O, B, D thẳng hàng. Ta có: BD⊥ AC ( t/c đường chéo của hình vuông ) CF⊥ AC (cmt ) Khi đó, OB // CF Vậy tứ giác BOFC là hình thang. HẾT. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 6 Câu 1: Ta có: a332+++− b a c b 2 c abc =++( a33 b) ( a 2 c +− b 2 c abc) =+(a b)( a222222 −+ ab b) + c( a −+ ab b) =( a −+ ab b)( a ++= b c) 0 ( Vì abc++=0 ) 2 222 Câu 2: Ta có: P=( xy ++ yz zx) +( x2 − yz) +( y 22 − xz) +( z − xy) . =xy2 2 +++ yz 22 xz 22222 xyz 2 + xyz 2 + xyz2 ++− x 4 yz 22 2 xyzy 2 ++−++− 4 xz 22 2 xyzz 2 4 xy 2 2 2 xyz 2 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 39
Website: tailieumontoan.com 22 =( x4 +2 xyy 224 +) +(2 yzxzz 22224 + 2 ) +=( xy 22 +) +2( xyzz 2224 +) +=( xyz 222 ++) =10 2 = 100 ( Vì xyz2++= 2210 ). Vậy, P =100 khi xyz2++= 2210 . Câu 3: a) Ta có: xx5++=1 xxxx5 − 2 + 2 ++= 11 xx23( −) +( xx 2 ++ 1) =xx2( −11)( xx 2 ++) +( xx2 ++ 1) =( xx2 ++ 1)( xx 32 − + 1) b) Ta có: xx54+ +=1 xxxx 5433 + + − +=1 xxx 32( + + 11) −( x −)( xx2 + + 1) =( xx23 ++11)( xx −+) c) Ta có: xx8++=1 xxxx8 − 2 + 2 ++= 11 xx26( −) +( xx 2 ++ 1) =xx23( +11)( x −)( xx2 ++ 1) +( xx2 ++ 1) =( xx2 ++11)( xxxx 6532 − + − +) d) Ta có: xx87+ +=11( xx 82 −) +( xx 7 −) +( xx 2 + +) =xx2( 32 +11)( x −)( xx ++ 1) + xx( 322 + 11)( x −)( xx ++ 1) +( xx ++ 1) =( xx2 ++11)( xxxx 643 − + −+) . 111 1 111 1 Câu 4: Từ abc++=2018 và ++= suy ra ++= abc 2018 a b c abc++ 11  1 1  ab++ ab ⇒++−   =⇒00 + = a b  c abc++  abcabc( ++) ⇒+(abcabcab) ( +++) =⇒⇒+0 ( abbcca)( +)( +=) 0 ab+=0  ⇒bc +=0 mà abc++=2018 ca+=0 Do đó, trong ba số abc,, phải có một số bằng 2018. Câu 5: Giải các phương trình sau: bx22 a) x− ax2 − += a ( Phương trình ẩn x ) ( ĐK: xb≠± ) bx22−− xb 22 xb22 ⇔−(1 ax2 ) = − −a xb22−− xb 22 ( xb22−−)(1 a) ⇔−(1 ax2 ) = xb22− ⇒−(11ax2 ) =− a ( Vì xb22−≠0 ) + Nếu a =1, phương trình có vô số nghiệm x∈ Rx, ≠± b. + Nếu a = −1, phương trình vô nghiệm , S = ∅ . 1 + Nếu a ≠±1, phương trình có nghiệm duy nhất , S = . 1+ a 1 1 1 10 b) + ++ = ( xx++2000)( 2001) ( xx ++ 2001)( 2002) ( xx ++ 2009)( 2010) 11 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 40
Website: tailieumontoan.com ĐKXĐ: x ∉−{ 2000; − 2001; ; − 2010} 1 1 1 10 Ta có: + ++ = ( xx++2000)( 2001) ( xx ++ 2001)( 2002) ( xx ++ 2009)( 2010) 11 1111 1110 ⇔ − + − ++ − = xxxx++++2000 2001 2001 2002 xx ++ 2009 2010 11 1 1 10 ⇔−= xx++2000 2010 11 10 10 ⇔= ( xx++2000)( 2010) 11 ⇒+( xx2000)( + 2010) = 11 ⇔⇔ x2 + 2011 xx + 1999 + 2011.1999 = 0 ⇔⇔ ( xx + 2011)( + 1999) = 0 x = −2011 ⇔  ( Thỏa ĐKXĐ ) x = −1999 Vậy, S =−−{ 2011; 1999} 22 (2009−x) +( 2009 − xx)( − 2010) +−( x 2010) 19 c) 22= ( ĐKXĐ: xx≠≠2009, 2010 ) (2009−−−−+−x) ( 2009 xx)( 2010) ( x 2010) 49 Đặt ax= − 2010 khi đó a ≠ 0 , ta có pt viết theo ẩn a là: 2 (a+11) −+( a) aa +2 19 aa2 ++1 19 2 =⇔= (a+11) ++( a) aa +2 49 3aa2 ++ 3 1 49 ⇒49aa22 + 49 += 49 57 aa + 57 + 19  3 a = 222 2 ⇔+−=⇔−−=⇔−+=⇔88300214023250aa( a) ( a)( a)  −5 a =  2 3 3 4023 + Với a = , ta có: xx−2010 =⇔= 2 22 −5 −5 4015 + Với a = , ta có: xx−2010 = ⇔= 2 22 4015 4023 Vậy, S = ; 22 Câu 6: a) Xét hiệu : Ax=( −12341)( x −)( x −)( x −) −−( ) = =( xx22 −+5 4)( xx −++ 5 61) Đặt xx2 −55 += y. Khi đó, Ay=( −1)( y + 11) += y2 ≥ 0. Vậy, ( xx−12341)( −)( xx −)( −) ≥− . Dấu « = » ⇔y =⇔0 xx2 − 5 += 50 ( giải tiếp tìm x ) 11 ab++  ab  b  a   a b  ab c) Ta có: 1+ 1 + = 1 +  1 +  = 2 +  2 +  =+ 5 2  +  ≥+ 5 2.2 . = 9 a b a  b  a  b   b a  ba Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 41
Website: tailieumontoan.com ( Vì các số dương a và b thỏa mãn điều kiện ab+=1) 11   1 Vây, 11+  +≥  9. Dấu « = » ⇔==ab ab   2 Câu 7: K BA BD Kẻ CK // AD ( hình vẽ). Ta có : = . AK DC A Ta lại có : BA= AC = 2 AM (gt) Suy ra AK= AM . Từ đó c/m được ∆=∆CAK BAM( c g c) nên ABM= ACK M Suy ra ABM+ BAD = ACK += K 900 . Vậy, AD⊥ BM . B D C Câu 8: a) Chứng minh rằng : AE = AB Kẻ EF ⊥ AH , suy ra tứ giác HDEF là hình chữ nhật A ⇒=EF HD mà AH= HD (gt) ⇒=EF AH . Xét ∆HBA và ∆FAE có HF = = 900 , EF = AH (cmt) F E FEA= HAB ( cùng phụ với FAE ) Do đó, ∆HBA = ∆FAE (g.c.g) AE= AB M Suy ra B H D C b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính AHM . BE Do tam giác ABE vuông cân tại A nên AM = . 2 BE Lại có tam giác BDE vuông tại D, có DM là đường trung tuyến nên MD = 2 Suy ra AM= MD . Xét ∆AHM và ∆DHM có HM cạnh chung, AM= MD (cmt), AH= HD (gt). Do đó, ∆AHM = ∆DHM (c.c.c) AHD 900 Suy ra MHA = MHD = = = 450 . 22 Câu 9: a) Chứng minh: BD CE BC= AH 3 : C/m được ∆HAB đồng dạng ∆HCA (g.g) AH HB Suy ra =⇒=AH2 HB. HC . HC AH A E C/m được ∆BHD đồng dạng ∆BHA (g.g) D BD HB Suy ra =⇒=BH2 BD. AB . BH AB B C C/m được ∆CEH đồng dạng ∆CHA (g.g) H CE CH Suy ra =⇒=CH2 CE. CA. CH CA Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, ta có: AH. BC= AB .2 AC( = SABC ) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 42
Website: tailieumontoan.com Từ các điều kiện trên, ta có: AH2 = HB. HC ⇒=AH4 BH 22. HC = BD AB CE AC =( BD . CE) .( AB . AC) = BD CE BC AH ⇒=AH3 BD CE BC (đpcm) b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân. BC Gọi M là trung điểm của BC suy ra AM = . 2    0 Tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( vì ADE= = = 90 ) nên SSADHE= 2 ADH mà SSABC= 2 ADHE (gt) SADH 1 Do đó, SSABC=41 ADH ⇒=( ) . SABC 4 Ta lại c/m được ∆DAH đồng dạng ∆ABC (g.g) 22 S AH  AM 1 ⇒=ADH   ≤  =(2) SABC  BC  BC 4 Từ (1) và (2) suy ra AH= AM ⇔ H ≡ M ⇔∆ ABC vuông cân tại A. Vậy, nếu SSABC= 2 ADHE thì tam giác ABC vuông cân tại A. Câu 10: Gọi BD và CI là hai đường cao của tam giác ABC A + C/m: ∆AIN đồng dạng ∆ANB( g. g ) , suy ra: AN2 = AI.1 AB( ) D 2 I + C/m: ∆ADM đồng dạng ∆AMC( g. g ) , suy ra: AM= AD.2 AC ( ) Mặt khác, ∆IAC đồng dạng ∆DAB (g.g) H AI AD N Suy ra = hay AI. AB= AD .3 AC ( ) M AC AB Từ (1), (2) và (3) suy ra AM22= AN ⇔= AM AN (đpcm) B C HẾT. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 7 Câu 1: a) Ta có: Mx=95 + x 94 + x 93 + + x2 ++ x 1 =xx64( 31 + x 30 ++ xx2 ++ 1) + xx32( 31 + x 30 ++ xx2 ++ 1) +( x31 + x 30 ++ xx2 ++ 1) =( x31 +++++ x 30 xx2 1)( x64 ++ x 32 1)  ( x31+ x 30 ++ xx2 ++ 1) Vậy, MN (đpcm) x32 xx b)Ta có: Px( ) =1985. ++ 1979 5. 3 26 ( x−1 ) xx( ++ 1) 3 xxx( + 1) =(661x32 + 989 xx ++) 6 Với xZ∈ thì (661x32+ 989 xxZ +∈) , còn ( x−1) xx( ++ 13) x2 ( x + 1) là số nguyên chia hết cho 6. Từ đó suy ra Px( ) có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. Câu 2: a) Gọi thương của phép chia A=+++ x3 y 33 z kxyz cho đa thức xyz++ là Q , ta có : Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 43
Website: tailieumontoan.com x3+++ y 33 z kxyz = ( x++ y zQ) . Đẳng thức trên đúng với mọi xyz,, nên với xyz=1, = 1, = − 2 ta có: 3 133+ 1 +−( 2) +kQ( − 2) =( 112 +− ) ⇒−62 −kk = 0 ⇒ =− 3 Vậy, A=+++ x3 y 33 z kxyz chia hết cho đa thức xyz++thì k = −3. b) Từ đề bài suy ra Px( ) − 6 chia hết cho ( x −1), cho ( x − 2) , cho ( x − 3) Do đó, Px( ) − 6 chia hết cho ( x −1) ( x − 2) ( x − 3) . Đặt Px( ) −=6.1 m( x −)( x − 2)( x − 3) với mQ∈ . ( vì Px( ) có bậc là ba ) Suy ra Px( ) =+−−6. m( x 1)( x 2)( x − 3) với mQ∈ . Theo giả thiết P(−=−1) 18, do đó −18 = 6 +−( 2)( − 3)( − 4)mm ⇒ = 1 Vậy, Px( ) =+−6( x 123)( x −)( x −) Câu 3: a) ĐKXĐ: x≠0; xx ≠ 1; ≠− 1 xx( +1) ( x +− 11)( x ) xx2 − 2 Ta có: P =2 : ++ ( x −1) xx( −1) xx( −− 11) xx( ) xx( +1) x22−+12 xx + − xx( +1) x +1 = 2 : = 2 : ( x −1) xx( −1) ( x −1) xx( −1) xx( +−11) xx( ) x2 =⋅=2 ( x −1) xx+−11 x2 Vậy, P = với x≠0; xx ≠ 1; ≠− 1 . x −1 −1 x2 −1 b) Để P = với x≠0; xx ≠ 1; ≠− 1 suy ra = với x≠0; xx ≠ 1; ≠− 1 2 x −12  1 x = ⇒2xx2 =−+⇔ 1 ⇔( 2 xx − 1)( + 1) = 0 ⇔  2 x = −1 1 Vì x≠0; xx ≠ 1; ≠− 1 nên chọn x = 2 −11 Vậy, Px= ⇔= 22 xx22−+11 ( xx−1)( ++ 11) 1 1 c) Ta có: P= = = =xx ++1 =( − 12) + + xx−−11 x − 1 x − 1 x − 1 1 1 Với x >1 nên x −>10 và > 0 . Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ( x −1) và ta có : x −1 x −1 1 Px≥2( − 1) +=+= 2224 x −1 1 Dấu « = » ⇔x −=1 với x >1 ⇔=x 2( thỏa ĐKXĐ) x −1 Vậy, GTNN( P) =⇔=42 x Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 44
Website: tailieumontoan.com 1 222 Câu 4: * Nhớ : a333+ b + c −3 abc = =( a ++ b c) ( a − b) +( b − c) +( c − a) 2  Do đó, nếu abc++=0 hoặc abc= = thì a333++= b c3 abc . 1 222 3 33 ( xyz++) ( xy −) +( yz −) +( zx −) x++− y z31 xyz 2  a) A= 222= 222=( xyz ++) ( xy−) +−( yz) +−( zx) ( xy−) +−( yz) +−( zx) 2 333 ( xy2− 2) +−( yz 22) +−( zx 22) b) B = 333 ( xy−) +−( yz) +−( zx) Ta có : ( xy2−+−+−= 2) ( yz 22) ( zx 22) 0 333 Do đó, ( xy2−+−+−=− 2) ( yz 22) ( zx 22) 31( xyyzzx 2 2)( 2222 −)( −)( ) Ta lại có: ( xy−+−+−=) ( yz) ( zx) 0 333 Do đó, ( xy−+−+−=−) ( yz) ( zx) 32( xyyzzx)( −)( −)( ) 3( xyyzzx2− 2)( 2222 −−)( ) Từ (1) và (2) suy ra B= =+++( xyyzzx)( )( ) 3( xyyzzx−)( −−)( ) Câu 5: Ta có: (a− xy) 333 −−( a yx) +−( x ya) 3 33 =−(axy) −( ax −+−) ( xyx) +−( xya) =−(axy) 333 −−( axx) −−( xyx) +−( xya) 3 =−(axy)( 33 −+− x) ( a 33 x)( xy −) =−( xaxyx)( −)( 22 ++ xyy) −−( xax)( 22 ++ax a)( xy −) =−( xaxyxxyyx)( −)( 2 ++−−− 22ax a 2) =−( x y)( x − a)( y22 −−+ax a xy) =−( xyxaxya)( −) ( −++) ( yaya)( −) =( xyxayaxya −)( −)( −)( ++) a222 b c cba Câu 6: a) + + ≥++ b222 c a bac Áp dụng BĐT x22+≥ y2 xy . Dấu “=” ⇔=xy. 22 a22 b a  b ab a Ta có: += +  ≥2 . = 2.( 1) b22 c b  c bc c bc22 b ca22 c Tương tự, +≥2.( 2) và +≥2.( 3) ca22 a ab22 b Lấy (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta được đpcm. Dấu “=” ⇔==≠abc0 . b) Đặt Ax=872 − x + x −+= x11( x −) x7 −( x − 1) + x2 =( x − 11)( x7 −) + x 2 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 45
Website: tailieumontoan.com + Nếu x ≥1 thì x7 ≥1, do đó ( xx−1)( 7 −≥ 10) , còn x2 > 0 nên A > 0 + Nếu x 10) , còn x2 ≥ 0 nên A > 0 Vậy, Ax=872 − x + x −+> x10 với mọi x . F Câu 7: A D H K B C a) Cmr: AH =AK AH AC AH AC AH AC Ta có: BD // CA ⇒= mà BD= AB nên =⇒= HB BD HB AB AH++ HB AC AB AH AC AC. AB ⇒ = ⇒=AH (1) AB AC++ AB AC AB AB. AC Cũng từ CE // AB và CE = AB, tương tự như trên, ta tính được AK = (2) AB+ AC Từ (1) và (2) suy ra AH= AK b) AH2 = BH. CK AH AC CK AC AH CK Ta có: = và = ⇒=⇒AH AK = BH CK ⇒ AH2 = BH . CK ( Vì AH= AK ) HB AB AK AB BH AK Câu 8: Gọi K là giao điểm của AC và FI, M là giao điểm của AB và EH. FI MH DC DE Ta có: = (1) ; = (2) ; FK ME FK FE BD FD BD−− ME FD FE MH DE =⇒ = ⇒=(3) F ME FE ME FE ME FE FI DC I Từ (1), (2) và (3) suy ra = nên FI= DC (đpcm) A FK FK H E CâuB 9: D C Qua N kẻ EF // BC, c/m được NE = NF (?)(1) Kẻ EG // HK, c/m được KG = KF (?) (2) C/m AH = AK, AE = AG ( Vì ∆=∆AHI AKI (ch-gn), ∆AHK cân có EG//HG nên ∆AEG cũng cân) do đó EH = GK (3) A Từ (2) và (3) suy ra EH = KF, ∆=∆IHE IKF (c.g.c) ⇒=IE IF (4) Từ (1) và (4) suy ra ∆IEF cân tại I, có IN là đường trung tuyến nên IN ⊥ EF G K Do đó, IN⊥ BC E N F H I LiênB hệ tài liệuD wordM zalo: 039.373.2038C Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 46
Website: tailieumontoan.com Câu 10: Qua C kẻ đường thẳng song song với PQ, cắt AB ở N, cắt AH ở K. Do HP = HQ nên KN = KC (?). Từ đó, KM là đường trung bình của ∆CBN Suy ra KM // NB và KM⊥ CH . Khi đó, M là trực tâm của ∆CHK nên HM⊥ NC Suy ra HM⊥ PQ A H Q P M B C K N HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 8 43 2 Câu 1: Chứng tỏ rằng đa thức: Ax=( 2 ++1) 9( x 2 ++ 1) 21( x 22 +−− 1) x 31 luôn không âm với mọi giá trị của biến x . Đặt xy2 +=1 , ta có: Ay=43 +9 y + 21 y 2 −− y 30 = =( y − 1)( y + 2)( y + 3)( y + 5) Khi đó, Axx=22( +3)( x 2 + 4)( x 2 +≥ 60) với mọi giá trị của x (Đpcm ) xxxx40++++ 30 20 10 11xxxx40++++ 30 20 10 Câu 2: a) A = = xxx45+ 40 + 35 +⋅⋅⋅+ x5 +1 xxxxx5( 40+++++++++ 30 20 10 11) ( xxxx40 30 20 10 ) xxxx40++++ 30 20 10 11 = = ( xxxx40++++ 30 20 1011)( x 5 +) x5 +1 xxx24+ 20 + 16 ++ x 4 + 1 xxx24+ 20 + 16 ++ x 4 + 1 b) B = = xxx26+++++ 24 22 x 2 1 xx242( ++1) xx 202( ++⋅⋅⋅+ 1) xx 42( ++ 11) ( x 2 +) xxx24+ 20 + 16 ++ x 4 + 1 1 = = ( x2+1)( xxx 24 + 20 + 16 ++ x 4 + 1) x2 +1 111 111 1 Câu 3: Từ (abc++) ++ =⇔++=1 abc abc abc++ Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 47
Website: tailieumontoan.com ab+=0  ⇔ ⋅⋅⋅⇔(abbcca +)( +)( +) =00 ⇔ bc + = ( Xem lại cách giải bài 4 đề 6 ) ca+=0 Đặt Pa=++( 23 b 23)( aba 5 5)( 2019 + b 2019 ) + Nếu ab+=0 thì aba=−⇔23 =− b 23 ⇔ ab 23 + 23 =0. Vậy, P = 0 . + Nếu bc+=0 thì b=−⇔ c b5 =−⇔ c 5 bc 55 + =0. Vậy, P = 0 . + Nếu ca+=0 thì cac=−⇔2019 =− a 2019 ⇔ c 2019 + a 2019 =0 . Vậy, P = 0 . Kết luận: Với điều kiện đã cho P = 0 . Câu 4: Giải các phương trình sau: 1 1 1 2017 2016 2 1 a) + +⋅⋅⋅+.x = + +⋅⋅⋅+ + 2 3 2018 1 2 2016 2017 1 1 1  2016 2 1 ⇔ + +⋅⋅⋅+ .x = + 1 +⋅⋅⋅+ +1 + + 11 + 2 3 2018  2 2016 2017 1 1 1 2018 2018 2018 2018 ⇔ + +⋅⋅⋅+.x = + +⋅⋅⋅+ + 2 3 2018 2 3 2017 2018 11 1 11 1 ⇔ + +⋅⋅⋅+.x = 2018 ⋅ + +⋅⋅⋅+ 2 3 2018 2 3 2018 ⇔=x 2018 1 1 1 2 2017 b) + + +⋅⋅⋅+ = 3 6 10 xx( +1) 2019 2 2 2 2 2017 ⇔ + + +⋅⋅⋅+ = 2.3 3.4 4.5 xx( +1) 2019 1 1 1 1 1 1 2017 ⇔2. −+−++− = 2 3 4 5 xx+1 2019 1 1 2017 1 1 2017 11 ⇔−2. = ⇔=− ⇔= ⇔=x 2018 2x + 1 2019 x +1 2 2.2019 x +1 2019 59−−−−−xxxxx 57 55 53 51 c) ++++=−5 41 43 45 47 49 59−−−−−xxxxx  57  55  53  51  ⇔ ++1  ++ 1  ++ 1  ++ 1  += 10  41  43  45  47  49  11111 ⇔−( x 100) + + + + =0 41 43 45 47 49 ⇔=x 100 (?) (1.2+ 2.3 + 3.4 +⋅⋅⋅+ 98.99) .x d) = 2018 323400 (n−+11) nn( ) * Nhớ công thức: 1.2++++−= 2.3 3.4 (nn 1) . ( HS suy nghĩ c/m) 3 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 48
Website: tailieumontoan.com 98.99.100 Ta có: 1.2++++ 2.3 3.4 98.99 = =323400 3 (1.2+ 2.3 + 3.4 +⋅⋅⋅+ 98.99) .x = 2018 323400 323400 ⇔.xx = 2018 ⇔= 2018 323400 e)ĐKXĐ: x ∉−−−−−{ 2;3;4;5;6} 1 1 1 11 +++ = xx22++5 6 xx ++ 7 12 xx 2 ++ 9 20 x 2 + 11 x + 30 8 11111 ⇔+++= ( xx++23)( ) ( xx ++ 34)( ) ( xx ++ 45)( ) ( xx ++ 568)( ) 1 11 4 1 2 x = 2 ⇔ − =⇔ =⇔+−=⇔xx8 20 0  ( thỏa ĐKXĐ ) x+2 x + 68( xx ++ 2)( 6) 8 x = −10 Câu 5: Cho xyz,, là các số dương thỏa mãn ( x+ y)( y + z)( z += x) 8 xyz . Chứng minh rằng: xyz= = 222 Ta có: ( x+ y)( y + z)( z += x) 8 xyz ⇔⇔ xxy( −) + yzx( −) + zxy( −) =0 22 2 Vì xyz,,> 0 nên ( yz−) =( zx −) =( xy −) =⇔⇔==>0 x yz0 KL: Câu 6: Ta có : 24a2 b+ ab 22 −+− a c ac 2 424 b 2 c + bc 2 − abc =24a2 b + ab 22 −− a c 2 abc ++ ac2 242 bc 2 − b 2 c − abc =2ababacabcabbcab( +− 2) ( ++ 2) 2 ( +− 22) ( + 2) =+(a22 b)( ab −+− ac c2 2 bc) =(a +22 ba) ( bc −−) c( 2 bc −) =+(a22 b)( bcca −−)( ) Câu 7: Gọi I là giao điểm của MN và AC, H là giao điểm của A B KN và DC. C/m MI = NI (?) rồi suy ra EC = CH (?) K Lí luận chỉ ra ∆NEH cân tại N ( ?) rồi suy ra NC là tia M ⊥ N phân giác của ENH mà MN NC , ENH và KNE kề bù I Suy ra NM là tia phân giác của KNE E D C H Câu 8: A B a) MP// AB . F K CP AF Ta có: FP// AC ⇒=; PB FB I M P Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng Dchính mình. C Trang: 49
Website: tailieumontoan.com CM DC AK// DC ⇒= AM AK Tứ giác ADCF là hình bình hành nên AF = DC Tứ giác BCDK là hình bình hành nên FB = AK CP CM Từ các điều kiện ở trên ta có: = ⇒ MP// AB ( 1) PB AM b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng. CP CM DC DC Ta có: = = = ( Vì AK = FB ) ; PB AM AK FB DC DI CP DI FB// DC ⇒ =⇒=⇒IP// DC hay IP// AB ( 2) FB IB PB IB Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơ-clit suy ra ba điểm M, I, P thẳng hàng. c) DC2 = AB. MI AK AM AK++ DC AM MC AB AC C/m ∆MDC đồng dạng ∆KMA ( ?)⇒= ⇒ = ⇒=(3) DC MC DC MC DC MC ACAF AC DC MI / /AF ⇒=⇒=(4) MC MI MC MI AB DC Từ (3) và (4) suy ra =⇒=DC2 AB. MI (đpcm) DC MI A B Câu 9: 2 a) AE= EK. EG E EK EB AE C/m ==⇒=AE2 EK. EG ( ?) K AE ED EG 111 AE AE b) Ta có: =+⇔+=1 D C G AE AK AG AK AG AE DE AE BE AE AE DE BE BD Ta có: =; = nên +=+==1 AK DB AG BD AK AG BD BD BD 111 Vậy, = + (đpcm) AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi. BK AB BK CK KC CG AD KC Ta có: =(?1) ⇒=( ) và =(?2) ⇒=( ) KC CG AB CG AD DG DG CG BK AD Từ (1) và (2) ta được =⇒=BK DG AB AD (không đổi) AB DG Vậy, Câu 10: MH MK BM MC A Ta có : +=+=1?( ) CD BE BC BC ∆=∆ACD CEB ⇒=CD BE C/m ( ?) E MH MK MH MK Khi đó, +=+=⇒+=1 MH MK CD ( không đổi) ( ?) CD BE CD CD D K H Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 50 B M C
Website: tailieumontoan.com HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 9 Câu 1: Phân tích thành nhân tử: 22 2 a) (abc+++−+−) ( abc) 4 b2 =(abc ++) +( abc −++22 babc)( −+− b) 2 =(abc ++) +( abca ++)( −3 bc +) =(abcabca ++)( +++−3 bc +) =2(abcabc ++)( −+) b) ab( 22−− c) bc( 2 −+ a 2) ca( 22 − b) =ab2 −−++− ac 2 bc 2 ab 2 ac 22 b c =ababcab( +−) 2 ( ++) cabab( +)( −) =+(a b)( ab −+− c2 ca cb) =++−(abbcac)( )( ) 333 33 3 c) (ab22++−−+=++−+−−) ( ca 22) ( bc 22) ( ab 22) ( ca 22) ( bc 22) C/m: Nếu xyz++=0 thì x3++= y 33 z3 xyz ( tự giải ) Ta có: (ab22+) +( ca 2 − 2) +−( bc 22 −) =0 333 33 3 Suy ra (ab22++−−+=++−+−−) ( ca 22) ( bc 22) ( ab 22) ( ca 22) ( bc 22) =3(abca222 +)( − 2)( −− bc 22) =+3(abbcacac2222)( +)( +−)( ) Câu 2: Thực hiện phép tính: 1+ 2.36 1 + 3 63 5 1 ++ 2.3 6 1 3 6 5 3 a) A = − −= − − 236 .3−− 2 33 .5 89125( 3−) 183 10 3 2336( −−− 5 3) 23 36( 5 3) 23 36( 5 3) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 51
Website: tailieumontoan.com 1+ 2.36 −− 1 3 63 − 5 3 63 − 5 1 = = = 2336( −− 5 3) 23 36( 5 3) 8 x33 y++ xy xy b) B = x332+ y + x y + xy 2 ++ x y 22 xy( x++ y 1) xy = = = ( xyx+)( 22 ++ y 1) xy+ xy Vậy, B=, xy ≠− xy+ abc Câu 3: Nhân cả hai vế của ++=1 với abc++≠0 , ta được: bc++ ca ab + a222++ ab( c) b ++ bc( a) c ++ ca( b) + + =++abc bc+++ ca ab abc222 ⇒ ++a ++ b +=++ c abc bc+++ ca ab abc222 ⇒++=0 bc++ ca ab + KL: 111 111 abc++ Câu 4: Bình phương hai vế ++=2, ta được +++2. = 4 abc a222 b c abc 111 111 Suy ra +++2.1 = 4 ( Vì a++= b c abc ) hay ++=2 abc222 abc222 KL: Câu 5: a) Số cần tìm có dạng ab , với ab,∈ N ;1 ≤≤ a 9;0 ≤≤ b 9 2 3 23 Theo đề bài ta có: abab=+⇔( ) (10 ab +=+) ( ab) (1) Hệ thức (1) chứng tỏ ab phải là một số lập phương và (ab+ ) phải là một số chính phương. Do 10≤≤⇒=ab 99 ab 27 hoặc ab = 64 +Nếu ab=27 ⇔+== a b 9 32 ( chính phương ) +Nếu ab=64 ⇔+= a b 10 ( không chính phương nên loại ) Vậy, số cần tìm là ab = 27 . b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là ( x−+1,) xx ,( 1) ( ĐK : x≥∈1, xN) Ta có : ( x−1) x + xx( ++ 1) ( x − 1)( x += 1) 26 ⇔ ⇔ 3xx2 −= 1 26 ⇔ = 3 ( Vì x≥∈1, xN ) Vậy, ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4. c) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là ( x−1,) xx ,( ++ 1,) ( x 2) ( ĐK : x≥∈2, xZ) Ta có : ( x−1) xx( + 1)( x += 2) 120 ⇔xx( +1) ( x − 1)( x += 2) 120 22 2 2 ⇔( xxxx +) ( +−=) 2 120 ⇔( xx +−) 2( xx ++=) 1 121 2 ⇔( xx22 +−1) = 11 Vì x≥∈2, xZ nên xx2 + −=1 11 ( xx−3)( + 40) =⇒= x 3 ( Vì x +>40 ) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 52
Website: tailieumontoan.com Vậy, bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4, 5 22232 111 2 2  Câu 6: Cmr: a) a+ b + c + ≥++⇔ abc a −+ a  + b −+ b  + c −+ c  ≥0 4 444    222 111    ⇔−+−+−≥abc   0 ( Đúng ) 222    1 Dấu “=” ⇔===abc 2 b) a4+ b 4 +≥24 ab ⇔( a4 − 2 a 22 b + b 4) +( 2 a 22 b − 4 ab + 2) ≥ 0 2 2 ⇔(a22 − b) +2( ab −≥ 10) Dấu “=” ⇔==ab1 hoặc ⇔==−ab 1 Câu 7: A a) Chứng minh: tam giác ADI cân . D Ta có: AID= BIH ( hai góc đối đỉnh ) I 0 BIH+= HBI 90 ( tam giác HBI vuông tại H ) B C 0 Suy ra AIB+= IBH 90 H K Mặt khác, ADI+= IBA 900 ( tam giác ABD vuông tại A ) ABI= HBI ( BD là phân giác ) Suy ra AID= ADI , do đó tam giác AID cân tại A. b) Chứng minh: AD BD= BI DC Xét ∆IAB và ∆DCB có ABI= CBD , IAB = DCB ( cùng phụ với ABC ) AB BI Do đó, ∆IAB đồng dạng ∆DCB ⇒=(1) BC BD AB AD Mặt khác, ∆ABC có BD là đường phân giác nên = (2) BC DC BI AD Từ (1) và (2) suy ra =⇒=AD BD BI DC BD DC c) Từ D kẻ DK vuông góc BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Chứng minh điều ấy. Vì BD là tia phân giác của ABC nên DA = DK (?) Mà IA = DA ( câu a) nên IA = DK. Tứ giác ADKI có IA = DK và IA // DK ( cùng vuông góc với BC ) Suy ra ADKI là hình bình hành Ta lại có: IA = DA ( câu a) Suy ra ADKI là hình thoi. Câu 8: + Cmr: AE = DF Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 53
Website: tailieumontoan.com HE BE AD Vẽ EH⊥ AB . Ta có : = = , mà AC= AB nên HE= AD . AC BC AB A AD BE CF D Từ giả thiết = = mà AC= AB nên AD= CF . AB BC CA F Suy ra được AD= EH = BH nên AH = AF . H Ta c/m được ∆=∆AHE FAD (c.g.c) ⇒=AE DF . + Cmr: AE ⊥ DF B E C (HS tự giải ) Câu 9: Đặt SxAEM = ( ĐK: x > 0 ) MF MD DF 3 3 Do = = = nên Sx= (1) MA ME AE 2 EMF 2 A E B 3 39 x SxSSxAMD =;.DMF = AMD = 2 24 M N 25 Từ đó, Sx= (2) AEFD 4 6 Từ (1) và (2) suy ra SS= . D F C EMF 25 AEFD 6 Tương tự, SS= . ENF 25 BCEF 66 Suy ra SSS= = EMFN 25ABCD 25 1 Câu 10: Cmr: SS= B APQ2 AMN A SSS AQ AP P Trước hết ta có: APQ=⋅=⋅ APQ APN (?) SAMN S APN S AMN AN AM Q M AQ AP Do đó, ta cần tính: , D AN AM N C AQ AB AQ33 AQ Ta có: ==⇒3?( ) =⇒= QN DN AQ+ QN44 AN AP AD AP22 AP Và ==⇒2 =⇒= PM BM AP+ PM33 AM SAPQ AQ AP 32 1 1 Do đó, = ⋅ =⋅=⇒SSAPQ= AMN . SAMN AN AM 43 2 2 HẾT Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 54
Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 10. Câu 1: Tìm GTNN của: 16 16 16 a) Ta có: Ax=++=−++≥2007( x 3) 2010 2.( x − 3) +=+= 2010 2.4 2010 2018 xx−−33 x − 3 16 ( Vì x > 3 nên x −>30, dùng BĐT Cô-si cho hai số dương ( x − 3) và ) x − 3 16 Dấu « = » ⇔−=x3 ,3 xx >⇔ = 7 x − 3 Suy ra GTNN( A) =2018 ⇔= x 7 . xx2 −+2 2018 b) Bx= ,0≠ 2018x2 2 22 1 111 1 11  1 1 1 = −⋅22 ⋅ + = −⋅⋅ +  − + 2018 2018 xx2  x x2018  2018 2018 2018 2 1 1 2017 2017 =−+≥ x 2018 201822 2018 11 Dấu “=” ⇔− =⇔=0x 2018 ( thỏa x ≠ 0 ) x 2018 2017 Suy ra GTNN( B) = ⇔=x 2018 20182 x3 + 2000 c) Cx= ,0> x 2000 1000 1000 1000 1000 =+=++xx22 ≥33 x2 ⋅⋅ =3.100 = 300 x x x xx Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 55
Website: tailieumontoan.com 1000 Dấu “=” ⇔xx2 = ⇔=10 ( thỏa x > 0 ) x Suy ra GTNN( C) =300 ⇔= x 10 . 5n − 11 Câu 2: a) Xác định nN∈ để A = là số tự nhiên 4n − 13 5n − 11 Để A = là số tự nhiên 4n − 13 ⇒−−⇒−−(5nn 11)( 4 13) 4( 5 nn 11) ( 4 13) ⇒5( 4nnn −+ 13) 21( 4 −⇒ 13) 21( 4 − 13) ⇒(4nU − 13) ∈( 21) =±±±±{ 1; 3; 7; 21} Lập bảng : 4n − 13 -21 -7 -3 -1 1 3 7 21 4n -8 6 10 12 14 16 20 34 n -2 3 5 3 7 4 5 17 2 2 2 2 Vì nN∈ nên chọn n∈{3; 4; 5} Thử lại: 5.3− 11 + Với n = 3, ta có: AN= =−∉4 ( Loại ) 4.3− 13 5.4− 11 + Với n = 4 , ta có: AN= =3 ∈ ( Nhận ) 4.4− 13 5.5− 11 + Với n = 5, ta có: AN= =2 ∈ ( Nhận ) 4.5− 13 KL : n∈{4;5} b) Chứng minh rằng: Bn=+−−326 n 19 n 24 chia hết cho 6 Ta có: Bn=+−−=−+−−326 n 19 n 24 n3 n 6 n 2 18 n 24 =nn( 22 −+16) ( nn −−=− 34) ( nnn 1) ( ++ 16) ( nn2 −− 34) Vì (n−+1) nn( 1) 6?( ) và 6(nn2 −− 3 46) nên B6 (đpcm) 11 1 c) Tính tổng Sn( ) = + ++ 2.5 5.8( 3nn−+ 1) .( 3 2) 11 1 13 3 3 Ta có: Sn( ) = + ++ = + ++ 2.5 5.8( 3nn−+ 1) .( 3 2) 3 2.5 5.8( 3nn−+ 1) .( 3 2) 11 1 1 1 1 1 11 1  n =−+−++−=−=   32558 3nn−+ 13 2 323 n + 2  232( n +) Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 a) ( xx22+) −2( xx +−) 15 Đặt x2 += xy, ta có: yy2 −2 −=− 15( y 5)( y + 3) 2 Vậy, ( xx2+) −2( xx 2 +) − 15 =( xx 22 +− 5)( xx ++ 3) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 56
Website: tailieumontoan.com 2 b) ( xx22+2) +++ 9 x 18 x 20 Đặt x2 +=2 xy, ta có: yy2 ++=+9 20( y 4)( y + 5) 2 Vậy, ( xx22+2) + 9 x + 18 x += 20( xx 2 ++ 2 4)( xx 2 ++ 2 5) c) ( xx22++31)( xx ++− 3 26) Đặt xx2 +31 += y, ta có: yy2 +−=6( y − 23)( y +) Vậy, ( xx22++31)( xx ++−=+− 326) ( xx 22 31)( xx ++ 34) d) ( xx2 +8 + 7)( x + 3)( x ++ 5) 15 Đặt xx2 +87 += y, ta có: yy2 ++=+8 15( y 3)( y + 5) Vậy, ( xx2++8 7)( x + 3)( x ++= 5) 15( xx22 ++ 8 10)( xx ++ 8 12) Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên k để đa thức fk( ) =++ k322 k 15 chia hết cho gk( ) = k + 3 ĐKXĐ: k ≠−3 Áp dụng định lí Bézout: Số dư của fx( ) chia cho gx( ) là f (−=−+3) 27 18 + 15 = 6 Để fx( ) chia hết cho gx( ) thì 63k + , suy ra k ∈{0;3} Câu 5: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 31xy+= a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=3 xy22 + Từ 3xy+=⇔=−+ 1 y 31 x , 2 Khi đó, Mxyx=322 + = 3 2 +−( 31 x +) = 3 xxx2 + 9 2 − 61 + 2 221 1  211 1 1 11 =12xx − 6 += 1 12 x − x +  =12 x − 2. x + +  =12x − +≥ 2 12  4 16 48  4 44 11 Dấu “=” ⇔=xy; = 44 1 11 Suy ra GTNN( M) =⇔= x; y = 4 44 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N= xy Từ 3xy+=⇔=−+ 1 y 31 x , 221 Khi đó, N= xy = x( −31 x +) =−+=− 3 x x 3 x − x 3 2 2 11 1 1  1 1 =−−3xx 2. +− =−−3 x  +≤  6 36 36 6  12 12 11 Dấu « = » ⇔−=⇔=xx0 66 11 Suy ra GTLN( N) = ⇔= x 12 6 2 Câu 6: Ta có: xyz++=⇔00( xyz ++) = Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 57
Website: tailieumontoan.com ⇔+++x2 y 22 z20( xy ++ yz zx) = ⇔++=xyz2 220 ( Vì xy++= yz zx 0 ) ⇔===xyz0 2017 2019 Suy ra S =−(01) + 02018 ++( 01) = 0 Vậy, S = 0 khi xyz++=0 và xy++= yz zx 0 . Câu 7: Gọi a và b lần lượt là số đấu thủ ở đội trường A và trường B, với ab,*∈ N . Theo đề bài, ta có: ab=2( a +⇔− b) ( a 2)( b −= 24) Nhận xét : Do ab,*∈ N ⇒a −∈2;2 Zb −∈ Z Lập bảng : a − 2 -4 -2 -1 1 2 4 b − 2 -1 -2 -4 4 2 1 a -2 0 1 3 4 6 b 1 0 -2 6 4 3 KL : ab=4; = 4 hoặc ab=3; = 6 hoặc ab=6; = 3 Câu 8: Vẽ MK// OA , ta có : OK AM SS B =⇒=MOK MOA K OB AB SMOB S AOB M S S SS+ 1 11 1 ⇒MOK =1 ⇒ 12 = ⇒+= ( không đổi ) O S2 S 1+ S 2 SS 12 SMOK S1 S 2 SMOK A ( Vì M cố định nên K cố định, do đó SMOK không đổi ) A Câu 9: Chứng minh: IK //BC. Gọi M là trung điểm của AF, N là giao điểm của DM và EF D M AD AM 1 N Ta có: = = nên DM // BC ( đl Ta-let đảo ) (1) DB MC 2 F MN // EC mà MF = FC nên EF = FN EK EK EF 2 1 1 EI 1 I K Ta có : = ⋅ =⋅= mà = B C ENEF EN 3 2 3 ED 3 E EK EI Do đó, = suy ra IK // DN ( đl Ta-let đảo ) (2) EN ED Từ (1) và (2) suy ra IK // BC (đpcm ). Câu 10: a) Chứng minh IK// AB. MI ID DM MC MK Ta có: = = = = ⇒ IK// AB ( đl Ta-let đảo ) A B IA IB AB AB KB E F b) Cmr: EI =IK = KF. I K D C Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 58
Website: tailieumontoan.com EI IK AI Ta có : = = mà DM = MC nên EI = IK. DM MC AM C/m tương tự, IK = KF. Vậy, EI =IK = KF ( đpcm) HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 11 x2 y2 xy22 Câu 1: Cho P =−− ( xy+−)(1 y) ( xy ++)( 1 x) ( 11 +− x)( y) a) Tìm ĐKXĐ của P , rút gọn P + ĐKXĐ : x+ y ≠0,1 − y ≠ 0,1 + x ≠ 0 ⇔ x ≠− yy , ≠ 1, x ≠− 1 x2(11+− x) y2( −−+ y) ( x yxy) 22 + Rút gọn : P = =+−x xy y ( xy+−+)(11 y)( x) Vậy, P=+− x xy y với x≠− yy, ≠ 1, x ≠− 1. b)Tìm xy, nguyên thỏa mãn phương trình P = 2 Ta có : P=⇔+2 x xy −=⇔ y 21 x( + y) −+( 1 y) = 1 ⇔+(1yx)( −= 11) 11+=y 11+=−y ⇔  hoặc  x −=11 x −=−11 x = 2 x = 0 ⇔  hoặc  ( thỏa ĐKXĐ ) y = 0 y = −2 x = 2 x = 0 Vậy, P =2 ⇔  hoặc  y = 0 y = −2 Câu 2: Xác định các số hữu tỉ a và b sao cho: a) x4 + 4 chia hết cho x2 ++ ax b ; Ta có: x4+=4 xx 42 + 4 +− 44 xxx 22 =( + 22 +)( xx 2 − 22 +) Do đó, để x4 + 4 chia hết cho x2 ++ ax b thì ab=±=2, 2 . 2 b) ax43++ bx 1 chia hết cho ( x −1) . 2 Ta có ax43++ bx 1 chia hết cho ( x −1) được thương có dạng (ax2 ++ cx 1) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 59
Website: tailieumontoan.com Ta viết: ax43+ bx +=1( x 2 − 21 x +)( ax2 + cx + 1) với mọi x Tính ( x2−+21 x)( ax2 ++= cx 1) ax4 + cx 32 +− x2 ax 3 − 2 cx 2 −+ 2 xax 2 ++ cx 1 =ax43 +( c −2 ax) +( 12 − c + ax) 2 +−+( 2 cx) + 1 Khi đó, ax43+ bx +1 = ax 4 +( c − 2 a) x 3 +( 12 − c + a) x2 +−+( 2 c) x + 1 với mọi x bc=−=23 a a  Đồng nhất thức hai vế, ta được 12−ca +=⇔ 0 b =− 4  −+20cc = = 2 Vậy, ab=3, = − 4 . Câu 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử: 2 a) ( xx2++48) + 3 xxx( 22 +++ 482) x; Đặt xx2 +48 += y ta được: 2 ( xx2++48) + 3 xxx( 2 +++ 482) xyxyx22 =+ 3 + 2 2 =+( y2222 xyx +++=+) ( xyx 2) ( yxy)( + x) =( xx2 ++58)( x + 2)( x + 4) 2 Vậy, ( xx2++48) + 3 xxx( 22 +++ 482) x=( xx2 ++58)( x + 2)( x + 4) b) x22+2 xy + y −−− x y 12 2 Ta có: x22+2 xyy + −−− xy12 =( xy +) −( xy −) −12 = =( xy ++ 3)( xy +− 4) Vậy, x22+2 xyy + −−− xy12 =( xy ++ 3)( xy +− 4). Câu 4: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A =20n + 16 nn −− 3 1 chia hết cho 323. Ta có: 323= 17.19 và (17,19) = 1. Ta cần c/m: A17 và A19 . Ta có : A =20n + 16 nn − 3 −= 1( 20 nn − 3) +( 16 n − 1) Mà (20nn−− 3)( 20 3) hay (20nn− 3) 17( 1) Và (16n −+ 1)( 16 1) ( vì n là số chẵn ) hay (16n − 1) 17( 2) Từ (1) và (2) suy ra A17 . Tương tự, A =20n + 16 nn − 3 −= 1( 20 n − 1) +( 16 nn − 3 ) Mà (20n −− 1)( 20 1) hay (20n − 1) 19( 3) Và (16nn−+ 3)( 16 3) ( vì n là số chẵn ) hay (16nn− 3) 19( 4) Từ (3) và (4) suy ra A19 . Vì A17 và A19 mà (17,19) = 1 suy ra A323 (đpcm) Câu 5: Chứng minh rằng: a) xx32+4 +> 13 x với x ≥ 0 2 ⇔xx( −2) + x2 +> 10 với x ≥ 0 ( Đúng ) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 60
Website: tailieumontoan.com b) Xét ( x−1)( x − 3)( x − 4)( x −+=−+ 6) 9( xx22 7 6)( xx −+ 7 12) + 9 Đặt xx2 −79 += a. Khi đó, ta có: (aa−3)( + 39) += a2 ≥ 0 Vậy, ( xxx−1)( − 3)( − 4)( x − 6) +≥ 90 (đpcm) c) a222++≥−+⇔−+++−≥44448 b c ab ac bc( a2 444480 ab b 2) c 2( ac bc) 22 ⇔−(ab2) + 2.( ab − 2) .( 2 c) +( 2 c) ≥ 0 2 ⇔−+(abc22) ≥ 0 ( Đúng ) Câu 6: Rút gọn biểu thức: ( xx+12341)( +)( xx +)( ++) ( xx22++5 4)( xx +++ 5 61) a) M = = xx22++55 xx++55 22 ( xx22++54) + 2( xx +++ 541) ( xx 2 ++ 55) = = =++xx2 55 xx22++55 xx++55 1 1 2 4 8 16 b) N =+++++ 111111−+++++xxx2 x4 x 8 x 16 2 2 4 8 16 =++++ 11111−++++xxxxx224816 4 4 8 16 =+++ 1111−+++xxxx4 4 8 16 8 8 16 =++ 111−++xxx8 8 16 16 16 = + 11−+xx16 16 32 = 1− x32 Câu 7: a) Tính BHM . A 1 Ta có: AM= BE = MK (?) 2 I E C/m được ∆=∆MAH MKH( c c c) M 1 ⇒== AHM KHM AHK =450 2 B H G K C ⇒BHM =1800 − MHK = 18000 −= 45 135 0 GB AH b) Chứng minh: = BC HK+ HC Kẻ EI // BC (I∈ AH ) , C/m được IHKE là hình chữ nhật. ⇒IE = HK = AH ⇒∆ AIE =∆ BHA( cgv − gn) ⇒ AB = AE Tam giác ABE vuông cân tại A có BM = ME nên AG là tia phân giác của BAC BG AB BG AB Do đó, =⇒= (1) GC AC BC AB+ AC HK AE HK AE Vì KE // AH nên =⇒= HC AC HK++ HC AE AC Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 61
Website: tailieumontoan.com AH AB Hay = (2) ( Vì AH = HK, AB = AE ) HK++ HC AB AC Từ (1) và (2) suy ra đpcm. A Câu 8: Chứng minh: CI là tia phân giác của ACB . M Kẻ MK⊥ BC tại K. I IB BH AC Vì IH // MK nên = = (1) ( Vì BH = AC ) IM HK HK C/m được ∆ABC đồng dạng ∆HAC (g.g ) BC AC B H K C Do đó, = AC HC BC AC BC AC ⇒ = ⇒=(2) 22CM HK CM HK IB CB Từ (1) và (2) suy ra = IM CM Hay CI là tia phân giac của ACB . Câu 9: a) Tính độ dài đường phân giác AD. Kẻ DE // AB, c/m ∆ADE đều A x E Đặt AD= DE = EA = x > 0 DE CE x6 − x x Ta có : = ⇒= AB CA 36 B D Giải ra x= 2 cm . Vậy, AD= 2. cm C 111 b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn = + . Tính BAC . AD AB AC Kẻ DE //AB. Đặt DE= EA = x > 0 . Ta có : DE CE x AC− x x =⇒= =−1 AB CA AB AC AC xx 1 11 ⇒+=⇒+=11( ) AB AC AB AC x 111 Theo đề bài, ta có : = + (2) AD AB AC Từ (1) và (2) suy ra AD= x . Khi đó, ∆ADE đều suy ra BAC =1200 . Câu 10: A Gọi G là giao điểm của BD và CE. Đặt GD = x, GE = y thì GB = 2x, GC = 2y. Áp dụng định lý Pytago cho các tam giác vuông BGE, CGD ta có : EG2+ BG 2 = EB 2 =⇒+=9 y 22 49 x E y G D 2 2 2 22 Và DG+ CG = DB =⇒+16 x 4 y = 16 x 22 B 2x Suy ra xy+=51( ) 2y Áp dụng định lý Pytago cho các tam giác vuông BGC, ta có : 22 BC2=+= BG 2 CG 2(2 x) +( 24 y) =+( x22 y )( 2) C Từ (1) và (2) suy ra BC 2 ==⇒=4.5 20BC 2 5 (cm) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 62
Website: tailieumontoan.com HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 12 2 Câu 1: Ta có : 12=(abc 222 ++) ⇔=12a444 + b + c +( ab 222222 + bc + ca ) ⇔++=−a444 b c12( ab 222222 + bc + ca ) (1) 2 Ta lại có : abc++=⇒00( abc ++) = −(abc222 ++) ⇒+++a222 b c20( ab ++ bc ca) =⇒++= ab bc ca 2 112 ⇒++=−⇒ab bc ca( ab ++ bc ca) = 24 1 ⇒a22 b + b 22 c + c 2 a 2 +2 abc( a ++ b c) = 4 1 ⇒++=ab22 bc 22 ca 2 2 4 11 Do đó, Mabc=++=−4441 2. = 42 83 8 3 Câu 2: a) Ta có : Q=+=+++−2 xy 37 xy x y 83 ≥2 .2xy + 2 .3 −= 7 2.4 + 2.3 −= 7 7 xy 23xy+= 7  8  = 2x  x x = 2 Dấu “=” ⇔⇔ 3 y =1  = 3y   y  xy,0> Suy ra GTNN(Q) = 7 ⇔=xy2, = 1. b) Ta có: A=−− x22 y + xy ++ x y Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 63
Website: tailieumontoan.com ⇒2A =−−( xxyyxx2 2 + 22) −( −+−21) ( yy2 −++ 2 12) =− −222 + − + − +≤ ( xy) ( x1) ( y 1) 22 ⇒≤A 1 Dấu “=” ⇔==xy1 Suy ra GTLN(A) = 1 ⇔==xy1 a22 b ab Câu 3:Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau: + +≥43 + b22 a ba 22 a22 b ab a  b  ab   ab  + +≥ + ⇔ + + − + +− + − ≥ Ta có: 2243 22   1  10  b a ba b  a  ba   ba  2 2 ab ab2  ab  ab ab ⇔ + −2 + + 1 −  +− 10  ≥⇔ +−1 − +− 10 ≥ ba ba  ba  ba ba ab  ab  abababab22+− 22 +−2 ⇔ +−1  +− 20  ≥⇔ .≥ 0 b a  b a  ab ab 2 132 2 a−+ b b.( ab −) 24 ⇔≥2 0 ( Đúng ) (ab) Dấu “ =” ⇔=≠ab0. a22 b ab Vậy, + +≥43 + với ab,0≠ . Dấu “ =” ⇔=≠ab0. b22 a ba Câu 4: Giải các phương trình sau: 33 a) ( xx+3) −+( 1) = 56 HD: Chú ý: x + 2 là giá trị trung bình cộng của x + 1 và x + 3, ta đặt x + 2 = y. 33 Khi đó phương trình trở thành ( yy+1) −−( 1) = 56 ⇔+++−+−+=yyy323 31 yyy 32 3 3156 ⇔6y2 += 2 56 ⇔=±y 3 + Với y = 3 thì x = 1 + Với y = −3 thì x = -5 Vậy S ={1; − 5} 44 b) ( xx−6) +−( 8) = 16 44 Đặt xy−=7 , phương trình đã cho trở thành: ( yy+1) +−( 1) = 16 Rút gọn ta được: 2y4+ 12 y 2 += 2 16 ⇔ yy42 + 6 −= 7 0 Đặt yz2 = ≥ 0 , ta có: zz2 +6 −= 70 Giải phương trình trên z =1 ( nhận ) và z = −7 ( loại ) Với z =1 thì yy2 =⇔=±11 Khi đó, x = 8 hoặc x = 6 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 64
Website: tailieumontoan.com Vậy S = {6;8} 44 ab+ * Chú ý: Khi giải pt bậc bốn dạng ( x+ a) ++( x b) = cc( ≠0), ta thường đặt yx= + 2 c) xxxx432+3 + 4 + 3 += 10 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của pt đã cho. Chia hai vế của pt cho x2 ≠ 0 , ta được : 2 31 2 11   xx+34 ++ + = 0⇔xx +  +3 +  += 40 xx2 xx2   1 1 Đặt xy+= thì xy22+=−2, ta được yy2 +3 += 20. x x2 Giải pt trên y = −1 hoặc y = −2 2 1 2 13 +Với y = −1, ta có : x +=−1 nên xx+ +=10 ⇔ x + + =0 ( vô nghiệm ) x 24 1 2 +Với y = −2 , ta có : x +=−2 nên ( xx+10) =⇔=− 1 x Vậy, S ={ −1} Câu 5: a) Ta có : Px( ) =−−++2 x432 7 x 2 x 13 x 6 =−−+−+−+2x4 6 xx 33 3 x 2 5 x 2 15 xx 2 6 =2x32( x −− 3) x( x −− 35) xx( −− 32) ( x − 3) =−( x32)( xx32 −−− 5 x 2) =( x −32)( x322 − 4 x + 3 x − 6 xx +− 2) 2 =−( x32)  x( x −+ 2) 3 xx( −+− 2) ( x 2) =−( x3)( x − 22)( xx2 ++ 3 1) =( x −3)( x − 22)( x2 + 2 xx ++ 1) =( x −3)( x − 22)  xx( ++ 1) ( x + 1) =−−+( xxx3)( 2)( 12)( x + 1) b)Chứng minh rằng Px( )6 với mọi xZ∈ . Ta có: Px=−−+( 3)( x 2)( x 12)( x + 1) =( xxx −3)( − 2)( + 12)( x −+ 23) =−−+−+−−+232113321( xxxx)( )( )( ) ( xxx)( )( ) Vì ( xx−−3,) ( 2) là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 Do đó, 3( xxx−−+ 3)( 2)( 16) (1) Và ( xxx−−−3,) ( 2,) ( 1) là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 mà UCLN (2,3) = 1 và 2.3 =6. Suy ra 2( xx−− 3)( 2)( xx +− 1)( 16) (2) Từ (1) và (2) suy ra Px( )6 với mọi xZ∈ . xx42−+21 Câu 6: Cho phân thức A = xx3 −−32 a) Rút gọn A. Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 65
Website: tailieumontoan.com 2 Ta có xx3 −3 −= 2 =( x + 1) ( x − 2) 2 ĐKXĐ: xxxxx3 −3 −≠⇔ 20( + 1) ( − 2) ≠⇔≠− 0 1 và x ≠ 2 22 Ta lại có: xx42−2 += 1 =( x − 1) ( x + 1) 22 2 ( xx−+11) ( ) ( x − 1) Suy ra A = 2 = ( xx+−12) ( ) x − 2 2 ( x −1) Vậy, A = với x ≠−1 và x ≠ 2 x − 2 b) Tính x để A 0 ) x − 2 24 A B ⇔<x 2 Kết hợp với ĐKXĐ, ta được Ax<⇔12 < và x ≠−1. Câu 7: a) AMFN là hình vuông; N H C Theo đl Pi-ta-go, trong tam giác vuông CMN ta có : D 2 22 MN= CM + CN M 2 CM2=( BM − BC) = BM22 +− BC2. BM BC 2 CN2=+( CD DN) =++ CD22 DN2. CD DN Mà BM= DN, AB = BC = CD = DA (gt) K F Do đó, MN222222222= CM + CN = BM ++ AB DN + AD = AM + AN Theo đl Pi-ta-go đảo, suy ra tam giác AMN vuông tại A. Tứ giác AMFN có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Ta c/m: ∆=∆ABM ADN (c.g.c) suy ra AM= AN . Khi đó, AMFN là hình vuông. b) CF vuông góc với CA. Kẻ FH⊥⊥ DN, FK CM kéo dài. C/m : ∆=∆HFN KFM ( ch-gn) ⇒=FH FK Do đó, F nằm trên tia phân giác của NCM A B Khi đó, CF và CA là hai tia phân giác của hai góc kề bù. d Vậy, CF⊥ CA ( đpcm ). N P Câu 8: Gọi chân các đường vuông góc kẻ từ các đỉnh A, B, C, D của hình vuông đến đường thẳng d qua O O lần lượt là M, N, P, Q. Vì do đối xứng ta có : Q M AM= CP,,, BN = DQ AO = OC BO = DO D C Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 66
Website: tailieumontoan.com AM2222+ BN ++ CP DQ =21( AM 22 + BN )( ) C/m : ∆=∆AOM OBN (?) , suy ra BN= OM . 2 22 2 22AB 212 Do đó, AM+= BN AM + OM == OA  =AB (2) 22 1 Từ (1) và (2) suy ra AM2+ BN 22 ++ CP DQ 2 =2. . AB 2 = AB 2 ( không đổi ) 2 2 ( xy+ ) Câu 9: a) Chứng minh BĐT: xy22+≥ 2 2 ( xy+ ) Ta có: xy22+≥ ⇔22( xy22 +) ≥+ x 2 xyy + 2 2 2 x22−20 xy + y ≥⇔( x − y) ≥ 0 ( đúng ) 2 ( xy+ ) Vậy, xy22+≥ . Dấu “=” ⇔=xy. 2 b) Tìm vị trí của điểm O để tổng OD222++ OE OF đạt giá trị nhỏ nhất. Kẻ AH⊥ BC tại H, OI⊥ AH tại I. A 22 2 2 22 Ta có: OE+=+=≥OF OE AE OA AI F E Mặt khác, OD= IH 2 I (IH+ IA) AH 2 Suy ra OD2+ OE 2 + OF 2 ≥+≥ IH 22 AI = ( không đổi ) O 22 AH Dấu “=” ⇔===OA AI IH ⇔ O là trung điểm của AH. 2 B H D C AH 2 Suy ra GTNN( OD222++ OE OF ) = ⇔ O là trung điểm của AH. 2 2 ( xy+ ) * Chú ý: BĐT xy22+≥ .Dấu “=” ⇔=xy A B 2 Câu 10: Kẻ MH⊥⊥ AD, BK CD . H C/m: MH là đường trung bình của tứ giác ABCD . M 11 Do đó, MH=( AB + CD) =(7 += 13) 10(cm) . 22 N Ta có: DK= AB =7 cmKC , = CDDK − =13 −= 7 6 cm , D K C BK= BC2 − CK 2 =10 22 −= 6 8(cm) . C/m: ∆MHN đồng dạng ∆BKC (g.g) MN MH MH. BC 10.10 Do đó, = ⇒=MN = =12,5(cm) BC BK BK 8 HẾT Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 67