›
›
›

20 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

pdf 42 trang Đình Phong 17/10/2023 5474
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "20 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdf20_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8_co_dap_an.pdf

Nội dung text: 20 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

  1. ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2423+−−xxxxx 22 A =−−() : () 2422−−+−xxxxx223 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. xyz abc xyz222 b) Cho ++= 1 và ++= 0 . Chứng minh rằng : ++= 1. abc xyz abc222 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 1
  2. b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ : 20− x 2 xx− 400 1,0 202+ xx 2 x 3 xx− 30 23 20xx− 2423(2)4(2)(2)+−−++−−−xxxxxxxxxx222222 A =−−==() : (). 1,0 2422(2)(2)(3)−−+−−+−xxxxxxxx223 x 48(2)xxxx2 +− . = 0,5 (2)(2)3−+−xxx 4(2)(2)4xxxxx+− 2 == 0,25 (2)(2)(3)3−+−−xxxx 4x2 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A = . 0,25 x − 3 b 1,0 4x2 Với xxxA 0,3,2 :00 0,25 x − 3 − x 30 0,25 xTMDKXD3() 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 x −=74 x −= 74 0,5 x −=74 − x=11( TMDKXD ) 0,25 x= 3( KTMDKXD ) 121 Với x = 11 thì A = 0,25 2 Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : (x− 1)2 0;( y − 3) 2 0;( z + 1) 2 0 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 2
  3. b 2,5 abc ayz+bxz+cxy Từ : ++= = 00 0,5 xyzxyz ayz + bxz + cxy = 0 0,25 xyzxyz Ta có : ++= ++=1()1 2 0,5 abcabc x2 y 2 z 2 xy xz yz + + +2( + + ) = 1 0,5 a2 b 2 c 2 ab ac bc xyzcxybxzayz222 ++ +++= 21 0,5 abcabc222 xyz222 ++= 1()dfcm 0,25 abc222 Bài 4 6,0 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : =BEODFO −− gcg() 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: ABCADCHBCKDC= = 0,5 Chứng minh : −CBHCDK gg () 1,0 CH CK = CH CD = CK CB 0,5 CB CD b, 1,75 Chứng minh : AFD AKC ( g − g ) 0,25 AF AK = = AD.A AKF . AC 0,25 ADAC Chứng minh : CFD AHC() g − g 0,25 CF AH = 0,25 CD AC 3
  4. CFAH Mà : CD = AB = = ABAHCFAC 0,5 ABAC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 0,25 (đfcm). ĐỀ SỐ 2 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x 4 4+ ( x ++++−2 x ) 3( x 4 x ) 5( 24 )( ) b. Giải phương trình: x 4230x−+−= 31x 30 0 abc abc222 c. Cho ++= 1. Chứng minh rằng: ++= 0 bccaab+++ bccaab+++ 2 x2110x − Câu2. Cho biểu thức: A:x2=++−+ 2 x42xx2x2−−++ a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB, MF AD. a. Chứng minh: DECF= b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4. 1 1 1 a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: + + 9 a b c b. Cho a, b d•¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Câu Đáp án Điểm a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) Câu 1 ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 (6 điểm) = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) (2 điểm) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) 4
  5. b. x 4230x−+−= 31x 30 0 (x 2x−+−+= 1x 5x )6( 0 )( ) (*) 1 3 Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0 x 2 4  (*) (x - 5)(x + 6) = 0 x50x5−==  x60x6+==− (2 điểm) abc c. Nhân cả 2 vế của: ++= 1 bccaab+++ với a + b + c; rút gọn đpcm (2 điểm) x2110x − 2 Biểu thức: A:x2=++−+ 2 x42xx2x2−−++ −1 a. Rút gọn được kq: A = x2− (1.5 điểm) 1 1 −1 Câu 2 b. x = =x hoặc x = (6 điểm) 2 2 2 4 4 =A hoặc A = 3 5 (1.5 điểm) c. A0x2 (1.5 điểm) −1 d. AZZ x1;3  (1.5 điểm) x2− E HV + GT + KL A B (1 điểm) F M D C Câu 3 a. Chứng minh: AEFMDF== (6 điểm) =AEDDFC đpcm (2 điểm) b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 điểm) c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME + MF = a không đổi =SAEMF ME.MF lớn nhất ME= MF (AEMF là hình vuông) M là trung điểm của BD. (1 điểm) 5
  6. 1 b c = +1 + a a a 1 a c a. Từ: a + b + c = 1 = +1 + b b b 1 a b = +1 + c c c (1 điểm) 111abacbc Câu 4: ++=++++++ 3 (2 điểm) abcbacacb +++=32229 1 Dấu bằng xảy ra a = b = c = 3 b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab = 1  (a – 1).(b – 1) = 0  a = 1 hoÆc b = 1 (1 điểm) Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 §Ò thi SỐ 3 a 3 − 4a 2 − a + 4 C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P= a 3 − 7a 2 +14a − 8 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph•¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . C©u 3 : (2 ®iÓm) 1 1 1 1 a) Gi¶i ph•¬ng tr×nh : + + = x 2 + 9x + 20 x 2 +11x + 30 x 2 +13x + 42 18 b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : a b c A = + + 3 b + c − a a + c − b a + b − c C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l•ît t¹i D vµ E . Chøng minh : 6
  7. BC 2 a) BD.CE= 4 b) DM,EM lÇn l•ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi. C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d•¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi . ®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái C©u 1 : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nªu §KX§ : a 1;a 2;a 4 0,25 a +1 Rót gän P= 0,25 a − 2 a − 2 + 3 3 b) (0,5®) P= = 1+ ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ •íc cña 3, a − 2 a − 2 mµ ¦(3)= −1;1;−3;3 0,25 Tõ ®ã t×m ®•îc a −1;3;5 0,25 C©u 2 : (2®) a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 . 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2 + 2ab + b2 ) − 3ab= =(a+b) (a + b) 2 − 3ab 0,5 V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ; Do vËy (a+b) chia hÕt cho 9 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 Ta thÊy (x2+5x)2 0 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 0,25 Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 Tõ ®ã ta t×m ®•îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25 C©u 3 : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 §KX§ : x −4;x −5;x −6;x −7 0,25 7
  8. Phương trình trở thành : 1 1 1 1 + + = (x + 4)(x + 5) (x + 5)(x + 6) (x + 6)(x + 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18 1 1 1 − = 0,25 x + 4 x + 7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Tõ ®ã t×m ®•îc x=-13; x=2; 0,25 b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y + z x + z x + y Tõ ®ã suy ra a= ;b = ;c = ; 0,5 2 2 2 y + z x + z x + y 1 y x x z y z Thay vµo ta ®•îc A= + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Tõ ®ã suy ra A (2 + 2 + 2) hay A 3 0,25 2 C©u 4 : (3 ®) a) (1®) ˆ 0 ˆ Trong tam gi¸c BDM ta cã : D1 = 120 − M 1 ˆ 0 ˆ 0 ˆ V× M 2 =60 nªn ta cã : M 3 =120 − M1 y A ˆ ˆ Suy ra D1 = M 3 x Chøng minh B M D ∾ C E M (1) E 0,5 D 2 BD CM 1 Suy ra = , tõ ®ã BD.CE=BM.CM BM CE 2 3 B 1 C M BC BC 2 V× BM=CM= , nªn ta cã BD.CE= 0,5 2 4 BD MD b) (1®) Tõ (1) suy ra = mµ BM=CM nªn ta cã CM EM BD MD = BM EM Chøng minh ∾ MED 0,5 ˆ ˆ Tõ ®ã suy ra D1 = D2 , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE Chøng minh t•¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5 c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 8
  9. TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 0,5 C©u 5 : (1®) Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d•¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®•îc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Tõ ®ã ta t×m ®•îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ÑEÀ THI SOÁ 4 Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû Aaaaa=+++++( 135715)( )( )( ) Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc: (xax−−+)( 101) phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = xxaxb43−++3 chia heát cho ña thöùc Bxxx()34=−+2 Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng 1 1 1 1 P = + + + + 1 22 3 2 4 4 100 2 Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm Caâu Ñaùp aùn Bieåu ñieåm 9
  10. 1 Aaaaa=+++++( 135715)( )( )( ) 2 ñ =+++++(aaaa228781515)( ) 0,5 ñ 0,5 ñ 2 =++++(aaaa228228120) ( ) 0,5 ñ 2 0,5 ñ =++−(aa2 8111 ) =++++(aaaa22812810)( ) =++++(aaaa26810)( )( 2 ) 2 Giaû söû: (xaxxmxnm−−+=−− )( 101;(,) nZ) ( )( ) 0,25 ñ 2 ñ −+++=−++xaxaxmnxmn22( 10101) ( ) 0,25 ñ 0,25 ñ mna+=+ 10 m.101 na=+ Khöû a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + 1 0,25 ñ −−+=mnmn10101001 0,25 ñ −−+=mnn(10)1010)1 0,25 ñ mm−=−=−101101 0,25 ñ vì m,n nguyeân ta coù: nn−=−=−101101v 0,25 ñ suy ra a = 12 hoaëc a =8 3 Ta coù: 1 ñ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 0,5 ñ aa−==303 0,5 ñ Ñeå AxBx()() thì bb+==−404 4 3 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 0,25 ñ AHC Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc maø 0,25 ñ vaø laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc 0,25 ñ Hay DHE = 900 maët khaùc ADH = AEH = 900 0,5 ñ Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1) AHB 900 0,5 ñ AHD = = = 450 22 AHC 900 0,25 ñ Do AHE = = = 450 22 0,25 ñ 0,25 ñ =AHD AHE 10
  11. Hay HA laø phaân giaùc DHE (2) Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 5 1111 P =++++ 2 ñ 2341002242 1111 0,5 ñ =++++ 2.23.34.4100.100 1111 0,5 ñ ++++ 1.22.33.499.100 11111 0,5 ñ =−+−++−1 22399100 199 0,5 ñ =−= 11 100100 ĐỀ THI SỐ 5 Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x241x220x195x166−−−− +++= 10 . 17192123 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 22 (2009− x) +( 2009 − x)( x − 2010) +( x − 2010) 19 = . (2009− x)22 −( 2009 − x)( x − 2010) +( x − 2010) 49 Bài 4: (3 điểm) 2010x+ 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = . x12 + Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. 11
  12. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: AFEBFD,BDFCDE,CEDAEF=== . a) Chứng minh rằng: B D F B= A C . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. Một lời giải: Bài 1: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = xyzxyz++−−+ 3 333 ( ) = yzxyz+ ++++++−+2 xyzxx2 yzyyzz 2 −+ 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 = (y+ z)( 3x + 3xy + 3yz + 3zx) = 3(yzxxyzxy++++) ( ) ( ) = 3(xyyzzx+++)( )( ). b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = (x42− x) +( 2010x + 2010x + 2010) = x( x1xx12010−+++++)( 22 xx1) ( ) = (xx1xx201022++−+ )( ) . Bài 2: x241x220x195x166−−−− +++= 10 17192123 x241x220x−−−− 195x 166 − +−+−12340 +−= 17192123 x258x258x258x258−−−− +++= 0 17192123 1111 −+++=(x2580 ) 17192123 =x258 Bài 3: 22 (2009− x) +( 2009 − x)( x − 2010) +( x − 2010) 19 = . (2009− x)22 −( 2009 − x)( x − 2010) +( x − 2010) 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010. Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: 2 (a+ 1) −( a + 1) a + a 2 19 a2 ++ a 1 19 = = (a+ 1)2 +( a + 1) a + a 2 49 3a2 ++ 3a 1 49 49a22 + 49a + 49 = 57a + 57a + 19 8a2 + 8a − 30 = 0 12
  13. 3 a = 2 2 2 +−= −+=(2a1402a32a50) ( )( ) (thoả ĐK) 5 a =− 2 4023 4015 Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) 2 2 Vậy x = và x = là giá trị cần tìm. Bài 4: 2010x2680+ A = x12 + −−++++335x335335x2010x3015335(x3)222 = = −+ 335335 − x1x122++ Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. Bài 5: o a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E A= F= 9= 0 ) C Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của B A C. b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. F Bài 6: a) Đặt AFEBFD,== == BDFCDE, ==  CEDAEF . 0 A Ta có BAC180+  +  = (*) E B Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. OFDOEDODF90++= o (1) Ta có OFDOEDODF270+  ++  ++ = o (2) (1) & (2) + +  =180o ( ) (*) & ( ) BACBDF= = . b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: B =, C = s s AEF s DBF DEC ABC 13
  14. BDBA55BF5BF5BF === BDBDBD BFBC8888 CDCA77CE7CE7CE == = = =CDCDCD CECB8888 AEAB57AE5AF7(7CE)5(5BF)7CE5BF24=−=−−= == AFAC7 CD − BD = 3 (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5 ĐỀ SỐ 6 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x −17 x − 21 x +1 b) + + = 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và + + = 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A = + + x 2 + 2yz y2 + 2xz z 2 + 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng + + AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB + BC + CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA'2 + BB'2 + CC'2 ĐÁP ÁN • Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) 14
  15. • Bài 2(1,5 điểm): 1 1 1 xy + yz + xz + + = 0 = 0 xy + yz + xz = 0 yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A = + + ( 0,25điểm ) (x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm): Gọi a bc d là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 (0,25điểm) Ta có: a bc d = k 2 2 với k, m N, 31 k m 1 0 0 (a +1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m (0,25điểm) 2 abcd+1353= m (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 hoặc m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 hoặc k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng = 3136 (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) A 1 .HA'.BC SHBC 2 HA' C’ = = B’ x a) ; H SABC 1 AA' N .AA'.BC M 2 I A’ C (0,25điểm) B SHAB HC' S HB' Tương tự: = ; HAC = D SABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC + + = + + =1 (0,25điểm) AA' BB' CC' SABC SABC SABC 15
  16. b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . = . . = . =1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) BI.AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA)2 4 (0,25điểm) AA'2 + BB'2 + CC'2 Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều Kết luận đúng (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó ĐỀ SỐ 7 Bài 1 (4 điểm) 1− x3 1− x2 − x : Cho biểu thức A = 2 3 với x khác -1 và 1. 1− x 1− x − x + x a, Rút gọn biểu thức A. 2 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x = −1 . 3 c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 222 Cho (a− bb) +− cc( a4.) a+−( b) c =++−−− ab( 2 ac 2 bc 2 ) . Chứng minh rằng a = b = c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 −2a3 +3a2 −4a +5. 16
  17. Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng + = . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tích); SCOD= 2009 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Đáp án Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì : 0,5đ 1− x3 − x + x 2 (1− x)(1+ x) A= : 1− x (1+ x)(1− x + x 2 ) − x(1+ x) (1− x)(1+ x + x 2 − x) (1− x)(1+ x) 0,5đ = : 1− x (1+ x)(1− 2x + x 2 ) 1 = (1+ x 2 ) : 0,5đ (1− x) = (1+ x 2 )(1− x) 0,5đ b, (1 điểm) 2 5 5 2 5 0,25đ Tại x = −1 = − thì A = 1+ (− ) − 1− (− ) 3 3 3 3 25 5 = (1+ )(1+ ) 0,25đ 9 3 34 8 272 2 = . = = 10 0,5đ 9 3 27 27 c, (1điểm) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1+ x 2 )(1− x) 0 (1) 0,25đ Vì 1+ x2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1− x 0 x 1 0,5đ KL 0,25đ Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ a2 +b2 − 2ab +b2 + c2 − 2bc + c2 + a2 + 2ac = 4a2 + 4b2 + 4c2 − 4ab − 4ac − 4bc Biến đổi để có (a 2 + b2 − 2ac) + (b2 + c 2 − 2bc) + (a 2 + c 2 − 2ac) = 0 0,5đ Biến đổi để có (a − b)2 + (b − c)2 + (a − c)2 = 0 (*) 0,5đ Vì (a − b)2 0 ; (b − c) 2 0 ; (a − c) 2 0; với mọi a, b, c 0,5đ nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b)2 = 0 ;(b − c) 2 = 0 và (a − c)2 = 0 ; 0,5đ 17
  18. Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ Bài 3 (3 điểm) 0,5đ Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là x (x là số nguyên khác -11) x +11 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x − 7 0,5đ x +15 (x khác -15) Theo bài ra ta có phương trình = x +15 0,5đ x − 7 Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) 1đ 5 Từ đó tìm được phân số − 0,5đ 6 Bài 4 (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A= a 2 (a 2 + 2) − 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3 = (a 2 + 2)(a 2 − 2a +1) + 3 = (a 2 + 2)(a −1)2 + 3 0,5đ Vì a2 + 2 0 a và (a −1) 2 0a nên (a 2 + 2)(a −1)2 0a do đó 0,5đ (a 2 + 2)(a −1)2 + 3 3a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a −1 = 0 a =1 0,25đ KL 0,25đ Bài 5 (3 điểm) B M N A D I C a,(1 điểm) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ b,(2điểm) 4 3 8 3 0,5đ Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 AM = BD = 2 18
  19. 4 3 0,5đ Tính được NI = AM = cm 3 8 3 1 0,5đ DC = BC = cm , MN = DC = 3 2 0,5đ Tính được AI = A B Bài 6 (5 điểm) O M N D C a, (1,5 điểm) OM OD ON OC Lập luận để có = , = 0,5đ AB BD AB AC OD OC Lập luận để có = 0,5đ DB AC OM ON = OM = ON 0,5đ AB AB b, (1,5 điểm) OM DM OM AM Xét A B D để có = (1), xét A D C để có = (2) 0,5đ AB AD DC AD 1 1 AM + DM AD Từ (1) và (2) OM.( + ) = = = 1 AB CD AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON. ( + ) = 1 0,5đ AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON). ( + ) = 2 + = 0,5đ AB CD AB CD MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5đ = , = = S AOB.S DOC = S BOC.S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD = S BOC 0,5đ 2 S AOB.S DOC = (S AOD) 0,5đ 2 2 2 Thay số để có 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009 2 2 2 2 Do đó SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 (đơn vị 0,5đ DT) ĐỀ SỐ 8 Bài 1: b2+− c 2 a 2 a22−−() b c Cho x = ; y = 2bc ()b+− c22 a Tính giá trị P = x + y + xy 19
  20. Bài 2: Giải phương trình: a, 1 = 1 + 1 + 1 (x là ẩn số) a b+− x a b x (b )( c 1−+ a ) 2 ( )(c a 1−+ b ) 2 ( )(a b1−+ c) 2 b, + + = 0 xa+ 2 xb+ 2 xc+ 2 (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Bài 3: Xác định các số a, b biết: ( 3 1)x + a b = + ( 1)x + 3 ( 1)x + 3 ( 1)x + 2 Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Bài 5: Cho ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C ĐỀ SỐ 9 Bài 1: (2 điểm) 2111x1 − Cho biểu thức:A11:=+++ 3 223 (x1+ ) xx2x1 xx ++ a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2 Bài 3 (1,5 điểm): Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (3,5 điểm): Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo góc DBK. b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5 (1 điểm): Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6. 20
  21. ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (3 điểm) 13x1 2 Cho biểu thức A:=++ 22 3x3x273xx3−−+ a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: 1 6y 2 a) = + 3y 2 −10y + 3 9y 2 −1 1− 3y x3x + 6x1− − 1.− 32 b) x3−=−24 22 Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy? Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11 1 (2n chữ số 1), b = 44 4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương. ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2điểm) 3x2 y− 1 a) Cho x2xy2y2x6y13022−+−++= .Tính N = 4xy b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương: A= a3 + b 3 + c 3 − 3abc Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì: a− b b − c c − a c a b A9= + + + + = c a b a− b b − c c − a Bài 3: (2 điểm) 21
  22. Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ. Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 3624 x+ 1 + y = ĐỀ SỐ 12 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011 xyz222++ x 2 y 2 z 2 Biết x,y,z thoả mãn: = + + abc222++ a 2 b2 c 2 Bài 3: 1 1 4 a, Cho a,b > 0, CMR: + a b ab+ b, Cho a,b,c,d > 0 CMR: ad− + db− + bc− + ca− 0 db+ bc+ ca+ ad+ Bài 4: x22++ xy y a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > 0 x22−+ xy y x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > 0 (x + 1995)2 Bài 5: a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2 Bài 6: Cho ABC M là một điểm miền trong của . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B là hình bình hành. b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ 22
  23. ĐỀ SỐ 13 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a(b + c)2 (b − c) + b(c + a)2 (c − a) + c(a + b)2 (a − b) 1 1 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và + + = 0 a b c 1 1 1 Rút gọn biểu thức: N = + + a 2 + 2bc b2 + 2ca c 2 + 2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x 2 + y 2 − xy − x + y +1 b) Giải phương trình: (y − 4,5)4 + (y − 5,5)4 −1 = 0 Bài 3: (2điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 2 + 5y 2 = 345 §Ề SỐ 14 Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) x x - 3x + 4 -2 với x 0 Bài 2 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: a b 2c A = + + ab+ a + 2 bc+ b+1 ac+ 2c + 2 Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0 ab Tính: P = 4a 2 −b2 Bài 4 : (3điểm) 23
  24. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC để cho AEMF là hình vuông. Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. §Ò SỐ 15 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 2x 3 − 7x 2 −12 x + 45 b) Rút gọn: 3x 3 −19 x 2 + 33x − 9 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A = n3 (n2 − 7)2 − 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trình: 2 x + a − x − 2a = 3a (a là hằng số). Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N. a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) So sánh hai tam giác ABC và INC. c) Chứng minh: góc MIN = 900. d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số: 22499 9100  09 là số chính phương. ( n 2). n-2 sè 9 n sè 0 Đề SỐ 16: Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) 24
  25. Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức : x2 6 1 10 − x2 P = + + : x − 2 + 3 x − 4x 6 − 3x x + 2 x + 2 a) Rút gọn p . b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 3 4 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên . Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3ñieåm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . ®Ò SỐ 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 1. xx2 ++76 2. x42+2008 x + 2007 x + 2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: 1. x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 25
  26. 222 1111 22 2 2. 8444 xxxxx+++−++=+ 22( ) xxxx 1 1 1 Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d¬ng ,ta cã: (a+b+c)( + + ) 9 a b c 3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc (xxxx+++++24682008)( )( )( ) cho ®a thøc xx2 ++1 0 2 1 . Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m A= B . 2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM G B H D 3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: = . B C A H H C + Bµi C©u Néi dung §iÓm 1 1. 2,0 1.1 (0,75 ®iÓm) 26
  27. xxxxxxxx22++=+++=+++7666161 ( ) ( ) 0.5 = +( +xx16)( ) 0,5 1.2 (1,25 ®iÓm) x4+2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 0,25 4 2 2 22 2 2 =+++x x1 2007( x ++=+−+ x 1) ( x 1) x 2007( x ++ x 1) 0,25 22222 =++−++++=++−+(xxxxxxxxxx112007112008)( ) ( ) ( )( ) 0,25 2. 2,0 2.1 xxx2 −++−=3210 (1) 2 + NÕu x 1: (1) −= =( xx101) (tháa m·n ®iÒu kiÖn ). 0,5 + NÕu x 1: (1) −+= −−−= −−=xxxxxxx22430310130 ( ) ( )( ) =xx = 1; 3 (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1, nªn bÞ lo¹i) 0,5 VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ x =1. 2.2 222 1111 22 2 8444 xxxxx+++−++=+ 22( ) (2) xxxx §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x 0 22 1111 22 2 (2) ++++−+=+844 xxxxx 22 ( ) 0,25 xxxx 2 112 22 +−+=+ +=884416 xxxx 2 ( ) ( ) 0,5 xx ==xhayx −08 vµ . 0,25 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x =−8 3 2.0 3.1 Ta cã: 1 1 1 a a b b c c A= (a + b + c)( + + ) = 1+ + + +1+ + + +1 a b c b c a c a b 0,5 a b a c c b =3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) b a c a b c x y Mµ: + 2 (B§T C«-Si) y x 0,5 Do ®ã A 3+ 2 + 2 + 2 = 9. VËy A 9 3.2 Ta cã: P( x )=( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2008 =x22 +10 x + 16 x + 10 x + 24 + 2008 ( )( ) 0,5 §Æt txxtt=++ 2 − 1021 − (3;7) , biÓu thøc P(x) ®îc viÕt l¹i: 2 P( xtttt )53= −+ 20082 += 1993 − + ( )( ) Do ®ã khi chia tt2 −+2 1993 cho t ta cã sè d lµ 1993 0,5 4 4,0 27
  28. 4.1 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung. CD CA = (Hai tam gi¸c CE CB vu«ng CDE vµ CAB ®ång 1,0 d¹ng) Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). Suy ra: BECADC==1350 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt). 0 Nªn AEB = 45 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: 0,5 BEABm==22 4.2 BMBEAD11 Ta cã: == (do B E C A D C ) 0,5 BCBCAC22 mµ A D A= H 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) BMADAHBHBH112 0,5 nªn ==== (do A B H C B A ) BCACACBE22 AB 2 Do ®ã B H M B E C (c.g.c), suy ra: BHMBECAHM== = 1354500 0,5 4.3 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC. GBAB ABEDAHHD Suy ra: = , mµ = ==( ABCDECEDAH) ( // ) 0,5 GCAC ACDCHCHC GBHDGBHDGBHD Do ®ã: = = = 0,5 GCHCGBGCHDHCBCAHHC+++ Phßng GD & §T huyÖn Thêng TÝn Trêng THCS V¨n Tù Gv: Bïi ThÞ Thu HiÒn ®Ò SỐ 18 ®Ò bµi: Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc: 2328321xxxx−−+− 28 2 P = 222 +−+ :1 41251322021443xxxxxxx−+−−−+− a) Rót gän P 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 2 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. d) T×m x ®Ó P > 0. Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh: 15x 1 1 a) 2 −1 = 12 + x+3 x − 4 x + 4 3 x − 3 148−−−−xxxx 169 186 199 + + + =10 b) 25 23 21 19 28
  29. c) x −2 + 3 = 5 Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã. Bµi 4 (7 ®iÓm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P. a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. PD 9 d) Gi¶ sö CP ⊥ BD vµ CP = 2,4 cm, = . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. PB 16 Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng: 112 + 111+++xyxy22 иp ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch: 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5® 1537 − xxxxx ;;;;4 §iÒu kiÖn: 2224 0,5® 23x − a) Rót gän P = 2® 25x − 1 1 −1 b) x = =x hoÆc x = 2 2 2 1 1 +) x = P = 2 2 2 +) P = 1® 3 2 c) P = = 1+ x − 5 Ta cã: 1 Z 29
  30. 2 VËy P Z khi Z x −5 x – 5 ¦(2) Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – 5 = -2 x = 3 (TM§K) x – 5 = -1 x = 4 (KTM§K) x – 5 = 1 x = 6 (TM§K) x – 5 = 2 x = 7 (TM§K) KL: x {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 1® 23x − 2 d) P = = 1+ 0,25® 25x − x − 5 Ta cã: 1 > 0 2 §Ó P > 0 th× x − 5 > 0 x – 5 > 0 x > 5 0,5® Víi x > 5 th× P > 0. 0,25 Bµi 2: 15x 1 1 a) 2 −1 = 12 + x+3 x − 4 x + 4 3 x − 3 1511x −=+ 112 §K: xx −4; 1 ( xxxx+−+−41431)( ) ( ) 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4) 3x.(x + 4) = 0 3x = 0 hoÆc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TM§K) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K) S = { 0} 1® 148169186199−−−−xxxx +++= 10 b) 25232119 148169186199 −−−−xxxx −1234 +− +−0 +− = 25232119 1111 (123 – x) +++ = 0 25232119 Do > 0 Nªn 123 – x = 0 => x = 123 S = {123} 1® c) x −2 + 3 = 5 30
  31. Ta cã: xx− 20  => x −+23 > 0 nªn xx−+=−+2323 PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng: x − +2 = 3 5 x − 2 = 5 – 3 = 2 +) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} 1® Bµi 3(2 ®) Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) 0,25® VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ: xx3 = ( /k ) m h 1 1 (3h20’ = 3 (h)) 0,25® 3 10 3 3 VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ: 3x + 5/(kmh ) 0,25® 10 Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 3x +=5.3 x 0,5® 10 x =150 0,5® VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 0,25® 3.150 VËn tèc dù ®Þnh lµ: = 45/(kmh ) 10 Bµi 4(7®) VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng 0,5® D C P M O I F E A B a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. 31
  32.  PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.  AM//PO tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. 1® b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ) Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA. Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1) 1® MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1® MF AD c) MAF DBA( g − g) nªn = kh«ng ®æi. (1®) FA AB PD 9 PDPB d) NÕu = th× == ==kPDkPBk 9,16 PB 16 916 CP PB NÕu CP⊥ BD th× CBD DCP( g − g) = 1® PD CP do ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 0,5® do ®ã BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) 0,5® Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - ) = 2010.( ) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + ) = 2010.( ) chia hÕt cho 2010 (2) 1® Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm. 1 1 2 + b) 1+x22 1 + y 1 + xy (1) 32
  33. 1111 −+− 220 1111++++xxyyxy xyxyxy( −−) ( ) + 0 1111++++xxyyxy22 ( )( ) ( )( ) ( yxxy−−)2 ( 1) 02( ) (111+++xyxy22)( )( ) V× xy 1; 1 => xy 1 => xy − 10 => B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) 1® ĐỀ SỐ 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng xy2(xy− ) −+= 0 yxxy3322−−+113 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 b) + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. H•íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) A 10x7x2 −− 57 b) (0,75đ) Xét ==+ + 5x 4 (0,25đ) B2x 32x−− 3 7 Với x Z thì A B khi Z 7 ( 2x – 3) (0,25đ) 23x − Mà Ư(7) = −−1;1; 7;7 x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A B (0,25đ) 33
  34. xy44 c) (1,5đ) Biến đổi − = x x y− y − + y 133 x−− 1 (y 133 )−− (x 1 ) xy(xy)44−−− = ( ) ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) xy(yy1)(xx1)22++++ xyxyxy(xy)−++−− 22 = ( )( )( ) (0,25đ) xy(xyy222222 xyyxxyyxx1)++++++++ 22 = (x− y) (x + y − 1) (0,25đ) 2 2 2 2 xy x y+ xy(x + y) + x + y + xy + 2 22 = (x− y) (x − x + y − y) = (x− y) x(x − 1) + y(y − 1) (0,25đ) 2 2 2 22 xy x y+ (x + y) + 2 xy(x y+ 3) = (x− y) x( − y) + y( − x) = (x−− y) ( 2xy) (0,25đ) xy(x22 y+ 3) xy(x22 y+ 3) = −−2 (x y) Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) x y22 3 + Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ) (y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 (0,25đ) * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) * x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ) x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1 x1x2x3x4x5x6+ + + + + + x++++++ 1x 2x 3x 4x 5x 6 b) (1,75đ) + + = + + (1) (1)+ (1) ++ (1) ++ (1) =+ (1) ++ ++ 2008 2007 2006 2005 2004 2003 200820072006200520042003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x++++++ 2009x 2009x 2009x 2009x 2009x 2009 + + = + + ++−−−= 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 200820072006200520042003 (0,25đ) 1 1 1 1 1 1 11 1111 (x + 2009)( + + − − − ) = 0(0,5đ) Vì ; ; 2008 2007 2006 2005 2004 2003 20082005 2007 2004 20062003 1 1 1 1 1 1 Do đó : + + − − − 0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x = -2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 E I 2 Bài 3: (2 điểm) 1 1 a) (1đ) B C 2 F Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân tại D ˆˆ O Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) EF12= Mà ˆˆˆ = 900 FEFˆ++ ˆ ˆ = 900 EEF121++ 2 2 1 A D EDF= 900. Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 Mà EDF vuông cân DI = EF 2 B 34 D
  35. 1 Tương tự BI = EF DI = BI 2 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) a2 a2 a2 = 2(x – )2 + (0,25đ) 4 2 2 a Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0,25đ) 2 BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 2 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD – AB.AD) (0,25đ) AB AB2 AB2 AB AB2 = – (AD2 – 2 .AD + ) + = – (AD – )2 + (0,25đ) 2 4 8 4 2 2 AB 3 2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB không đổi (0,25đ) 2 8 2 Do đó min SBDEC = AB khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ) ĐỀ SỐ 20 Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – 7 Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: 4x 2 −16 A = x 2 + 2 x Bµi 3: Cho ph©n thøc: 5x + 5 2x 2 + 2x a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh. b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1. x + 2 1 2 Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : − = x − 2 x x(x − 2) 35
  36. b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy. Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM. a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n §¸p ¸n BiÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm) Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm) A = x(4x 2 −16 x[(2x)2 − 42 x(2x − 4)(2x + 4) x.2(x − 2).2(x + 2) = = = = 4(x − 2) = 4x − 8 x 2 + 2x x 2 + 2x x(x + 2) x(x + 2) Bµi 3: (2 ®iÓm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0 2x 0 vµ x + 1 0 x 0 vµ x -1 (1 ®iÓm) b) Rót gän: 5x + 5 5(x +1) 5 = = (0,5 ®iÓm) 2x 2 + 2x 2x(x +1) 2x 5 5 = 1 5 = 2x x = (0,25 ®iÓm) 2x 2 5 5 V× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn x = (0,25 ®iÓm) 2 2 Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x 0; x 2 x(x + 2) - (x - 2) 2 - Gi¶i: = x2 + 2x – x +2 = 2; x(x − 2) x(x − 2) 1 ® x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = −1 36
  37. b) x2 – 9 - 4 1® VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4 Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy §iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1 0,5 ® VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy) - Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) 0,5 ® - Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13 0,5 ® 57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 0,5 ® x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ 10 ngµy. 1 ® Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (s¶n phÈm) Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc) 1 ® b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC 1 ® ta cã : BC = AB2 + AC2 = 152 + 202 = 6 2 5 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn = = hay = = 1 ® HB HA BA HB HA 15 20.05 AH = = 12 (cm) 25 15.15 BH = = 9 (cm) 25 1 ® HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm) BC 25 c) HM = BM – BH = − BH = − 9 = 3,5(cm) 2 2 1 2 SAHM = AH . HM = . 12. 3,5 = 21 (cm ) 2 1® - VÏ ®óng h×nh: A 1 ® B H M C ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 37
  38. x −17 x − 21 x +1 b) + + = 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và + + = 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A = + + x 2 + 2yz y2 + 2xz z 2 + 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a) HA' HB' HC' Tính tổng + + AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB + BC + CA)2 c) Chứng minh rằng: 4. AA'2 + BB'2 + CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz = 0 xy + yz + xz = 0 yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A = + + ( 0,25điểm ) (x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) 38
  39. • Bài 3(1,5 điểm): Gọi a bc d là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 (0,25điểm) Ta có: a bc d = k 2 2 với k, m N, 31 k m 1 0 0 (a +1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m (0,25điểm) 2 a b c d+1 3 5 3= m (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 hoặc m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 hoặc k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng = 3136 (0,25điểm) • Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 A .HA'.BC S HA' HBC = 2 = a) S 1 AA' ; C ’ (0,25điểm) ABC B’ x .AA'.BC H N 2 M SHAB HC' S HB' I = HAC = A’ C Tương tự: ; B (0,25điểm) SABC CC' SABC BB' D HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC + + = + + =1 (0,25điểm) AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . = . . = . =1 IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) (0,5điểm ) BI.AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 39
  40. Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA)2 4 (0,25điểm) AA'2 + BB'2 + CC'2 (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) §Ò SỐ 22 C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. n 4 + 3n3 + 2n 2 + 6n − 2 b, B = Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n 2 + 2 c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph•¬ng. (n 2) C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng : a b c a, + + = 1 biÕt abc=1 ab + a +1 bc + b +1 ac + c +1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c, + + + + b 2 c 2 a 2 b a c C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh sau: x − 214 x −132 x − 54 a, + + = 6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d•¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®•êng chÐo.Qua 0 kÎ ®•êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. 1 1 2 b. Chøng minh: + = AB CD EF c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®•êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF. C©u Néi dung bµi gi¶i §iÓm a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) 0,5 §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 n=2 khi ®ã A=5 0,5 40
  41. 2 b, (2®iÓm) B=n2+3n- n 2 + 2 0,5 B cã gi¸ trÞ nguyªn 2 n2+2 n2+2 lµ •íc tù nhiªn cña 2 0,5 C©u 1 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n 0,5 (5®iÓm) HoÆc n2+2=2 n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn. 0,5 c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1)(n2 − 4)+ 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n- 0,5 0,5 1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) 0,5 Vµ 5 n(n-1)(n+1 5 VËy D chia 5 d• 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh 0,5 ph•¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph•¬ng a b c a, (1®iÓm) + + = ab + a +1 bc + b +1 ac + c +1 ac abc c + + 0,5 abc + ac + c abc2 + abc + ac ac + c +1 ac abc c abc + ac +1 = + + = = 1 0,5 1+ ac + c c +1+ ac ac + c +1 abc + ac +1 b, (2®iÓm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= - 0.5 2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× 0.5 C©u 2 a+b+c=0 0.5 (5®iÓm) a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× 0.5 a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 0,5 c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 2xy DÊu b»ng khi 0,5 x=y 0,5 a 2 b 2 a b a a 2 c 2 a c c + 2. . = 2. ; + 2. . = 2. ; b 2 c 2 b c c b 2 a 2 b a b c 2 b 2 c b b 0,5 + 2. . = 2. a 2 c 2 a c a Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: a 2 b2 c2 a c b 2( + + ) 2( + + ) b2 c2 a 2 c b a a 2 b2 c2 a c b + + + + b2 c2 a 2 c b a 41
  42. x − 214 x −132 x − 54 a, (2®iÓm) + + = 6 86 84 82 x − 214 x −132 x − 54 ( −1) + ( − 2) + ( − 3) = 0 1,0 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 + + = 0 0,5 86 84 82 1 1 1 (x-300) + + = 0 x-300=0 x=300 VËy S = 300 0,5 86 84 82 b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 0,5 C©u 3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 0,5 (5®iÓm) k=± 8,5 Víi k=8,5 tacã ph•¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; 0,5 1 −1 x= ; x = 2 4 0,5 Víi k=- 8,5 Ta cã ph•¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm. 1 −1 VËy S = ,  2 4  0,5 c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn 0,5 d•¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 vµ x-y-1=1 x=3 ; y=1 Ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm d•¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1) a,(1®iÓm) V× AB//CD S DAB=S CBAA B 0,5 (cïng ®¸y vµ cïng ®•êng cao) 0,5 S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O E F Hay SAOD = SBOC I M N 0,5 C D 1,0 0,5 EO AO b, (2®iÓm) V× EO//DC = MÆt kh¸c AB//DC 1,0 C©u 4 DC AC AB AO AB AO AB AO EO AB (5®iÓm) = = = = DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC 1,0 EF AB AB + DC 2 1 1 2 = = + = 2DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N DF) +KÎ ®•êng th¼ng KN lµ ®•êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN. 42