300 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

365 trang thaodu 32477

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "300 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

300_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_6_co_dap_an.pdf

Nội dung text: 300 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ MÔN TOÁN LỚP 6 NĂM HỌC 2018-2019 Bài 1. (3 điểm) Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1;2;3với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần Bài 2. (4 điểm) Tìm xx a)5x 125 b)32x 81 c)52x 3 2.5 2 5 2 .3 Bài 3. (4 điểm) Cho M 2 22 2 3 2 4 2 2017 2 2018 a) Tính M b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3 Bài 4.(3 điểm) Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số tận cùng là chữ số 4. Biết rằng khi chuyển chữ số 4 đó lên đầu còn các chữ số khác giữ nguyên thì ta được số mới gấp 4 lần số cũ Bài 5. (6 điểm) a) Cho 40 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng ? b) Cho 40 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng. c) Cho n điểm n . Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta được 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tìm n ? 1
ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 6 GIA LAI 2018-2019 Bài 1. Trường hợp không dùng lũy thừa, số lớn nhất có thể viết được là 321 *Trường hợp dùng lũy thừa: (Ta bỏ qua lũy thừa có cơ số và số mũ là 1) - Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 132 ;31 2 ;12 3 ;21 3 So sánh 2132v à31 ta có 2132 31 (vì 2132 9261; 31 961) - Xét các lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: 213 ;2 31 ;3 12 ;3 21 So sánh 321 với 231 ta có 10 321 3.3 20 3. 3 2 3.9 10 10 231 2.2 30 2. 2 3 2.8 10 3 Từ đó suy ra 3221 31 . So sánh 321 với 213 ta có : 321 3 9 3 3 27 3 21 3 Vậy số lớn nhất là : 321 Bài 2. a)5x 125 c)52x 3 2.5 2 5 2 .3 55x 3 52x 3 5 2 .3 2.5 2 2x 3 3 x 3 55 b)32x 81 2x 3 3 3324x x 3 2xx 4 2 Bài 3. a) Ta có 2M 22 2 3 2 4 2 2018 2 2019 Lấy 2MM 22019 2 . Vậy M 222019 b) M 2 22 2 3 2 4 2 5 2 6 2 2017 2 2018 M 2 1 2 23 . 1 2 2 5 .(1 2) 2 2017 . 1 2 M 3. 2 23 2 5 2 2017 Vậy M 3 Bài 4. Gọi số cần tìm là abcde4 , ta có: abcde4.4 4 abcde Đặt abcde x abcde44 x 2
Ta có: xx4.4 400000 10xx 4 .4 400000 40xx 16 400000 39x 399984 x 10256 Vậy số cần tìm là 10256. Bài 5. a) Kẻ từ 1 điểm bất kỳ với các điểm còn lại được : 39 đường thẳng Làm như vậy với 40 điểm ta được 39.40 1560 (đường thẳng) Nhưng mỗi đường thẳng được tính hai lần Do vậy số đường thẳng thực sự là : 1560: 2 780 (đường thẳng) b) Nếu 40 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được 780 đường thẳng. *Với 10 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được: 10.9: 2 45(đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm là : 780 44 736(đường thẳng) c) Ta có: nn. 1 : 2 105 nn( 1) 210 nn( 1) 15.14 Vậy n = 15 3
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2017-2018 MÔN TOÁN LỚP 6 ĐỀ CHÍNH THỨC Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1. (5,0 điểm) Tính hợp lý aA) 20182 2017.2018 bB) 1 . 12 . 1 3 . 1 4 1 99 . 1 100 1 2 3 88 88 cC) 6 7 8 93 1 1 1 1 12 14 16 186 Bài 2. (5,0 điểm) a. Tìm xy, biết 2yx 1 4 10 b. Cho xy, thỏa mãn 3x 5 y x 4 y 7 . Chứng tỏ rằng 3x 5 y x 4 y 49 52n c. Tìm số tự nhiên n trong khoảng 290 đến 360 để phân số n rút 27n gọn được Bài 3. (4,0 điểm) a. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n 1;2 n 1;5 n 1đều là số chính phương? b. Cho A 2017 20172 2017 3 2017 18 Chứng tỏ rằng A 2018 . Tìm chữ số tận cùng của A Bài 4. (4,0 điểm) a. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC 5. cm Tính độ dài đoạn thẳng AC 0 b. Cho xOy 160 . Vẽ tia phân giác Ox1 của xOy . Tính số đo góc xOx1 Giả sử Ox2 là tia phân giác của xOx1 , Ox3 là tia phân giác của xOx2 , Ox42 là tia phân giác của xOx41 . Tính số đo góc xOx42 Bài 5. (2,0 điểm) a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có nn3 6 b. Viết số 43211234 dưới dạng tổng của một số số nguyên dương. Gọi T là tổng các lập phương của tất cả các số đó. Tìm số dư của T trong phép chia cho 6 hết 4
ĐÁP ÁN HSG 6 TRỰC NINH_2017-2018 Bài 1. aA) 2018. 2018 2017 2018.1 2018 b) B 1 .1. 1 .1 1 .1 (Có 50 thừa số 1) nên B= 1 1 2 3 88 1 1 1 1 6 7 8 93 cC) 1 1 1 1 12 14 16 186 5 5 5 5 1 1 1 1 5. 6 7 8 93 C 6 7 8 93 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 12 14 16 186 2 6 7 8 93 C 10 Bài 2. a) 2 xy x 8 y 14 x(2 y 1) 8 y 4 14 4 x 2 y 1 4(2 y 1) 10 2yx 1 4 10 Vì xy, nên 2yx 1 , 4 , suy ra 2yx 1, 4 là ước nguyên của 10 và 21y lẻ Lập bảng 21y 1 - 1 5 -5 x 4 10 -10 2 -2 x 14 -6 6 2 y 0 -1 2 -3 x 14 x 6 x 6 x 2 Vậy ;;; y 0 y 1 y 2 y 3 b) Phải chứng minh 3x 5 y 7 x 4 y 7 Đặt A 3 x 5 y , B x 4 y . Xét tổng A 4 B 7 x 21 7 Nếu AB7 4 7, mà 4,7 1B 7 5
Nếu BBA7 4 7 7.Chứng tỏ 3x 5 y 7 x 4 y 7 3xy 5 7 Vì 3x 5 y x 4 y 7 xy 47 Nếu 3x 5 y 7 x 4 y 7 3 x 5 y x 4 y 49 Nếu x 4 y 7 3 x 5 y 7 3 x 5 y x 4 y 49 c) Gọi d là ước nguyên tố chung của 52n và 27n 52nd 2. 5nd 2 Ta có: 10n 35 10 n 4 d 27nd 5.(2nd 7) Vì d nguyên tố nên d 31 5n 2 31 5 n 2 62 31 5 n 60 31 5( n 12) 31 Khi đó 2n 7 31 2 n 7 31 31 2 n 24 31 2( n 12) 31 Mà 5,31 1; 2;31 1 suy ra n 12 31 n 31 k 12 k Do 290 n 360 290 31 k 12 360 9 k 11, mà k là số tự nhiên nên k 9;10;11  Từ đó tìm được n 291;322;353  Bài 3. a) Do n 1là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Nếu n 13thì n chia cho 3 dư 2 21n chia cho 3 dư 2, vô lý. Do đó n 1chia cho 3 sẽ dư 1 n 3 Do 21n là số chính phương lẻ nên 21n chia cho 8 dư 1, suy ra 28n , từ đó n 4 Do đó n 1 là số chính phương lẻ nên n 1chia cho 8 dư 1, suy ra n 8 Ta thấy nn3, 8 mà 3,8 1 nên n 24 mà n là số nguyên dương Với n 24 thì n 1 25 5;22 n 1 49 7;5 2 n 1 121 11 2 Vậy n 24 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài b) Ta có A 2017 20172 2017 3 2017 2018 (tổng A có 2018 số hạng, 2018 2) 6
A 2017 20172 2017 3 2017 4 2017 2017 2017 2018 A 2017.(1 2017) 20173 .(1 2017) 2017 2017 .(1 2017) A 2018. 2017 20173 2017 2017 2018 A 2017 20172 2017 3 2017 4 2017 5 2017 6 2017 2015 2017 2016 2017 2017 2017 2018 A 6 20173 . 0 2017 2015 . 0 6 Bài 4. a) Trường hợp điểm C thuộc tia đối của tia BA A B C Điểm C thuộc tia đối của tia BA nên hai tia BA và BC đối nhau, suy ra điểm B nằm giữa hai điểm A và C Ta có: AB BC AC thay số tính được AC 7 cm Trường hợp điểm C thuộc tia BA C A B Trên tia BA, BA BC 25 cm cm nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C Ta có: AB AC BC Thay số tính được AC 3 cm x1 y x2 x3 O x b) xOy 1600 Tia Ox là tia phân giác của xOy nên xOx 800 1 1 22 7
xOx 1600 Tia Ox là tia phân giác của xOx nên xOx 1 2 1 2 222 Tương tự như trên, tia Ox42 là tia phân giác của xOx41 nên xOx 1600 xOx 41 42 2242 Bài 5 3 2 2 a) Ta có nnnn 1 nnnn 1 nnn 1 n 1 nn 1 n 1 Với mọi số nguyên dương n thì n 11 n n là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 2 và 3 mà 2,3 1 nên n n 1 n 1 6 43211234 a a a a b) Ta có 1 2 3 n 3 3 3 3 T a1 a 2 a 3 an 1234 3 3 3 3 Xét hiệu T 4321 a1 a 2 a 3 ann a 1 a 2 a 3 a 1234 3 3 3 3 T 4321 a1 a 1 a 2 a 2 a 3 a 3 ann a 3 3 3 3 1234 Theo câu a ta có a1 a 16, a 2 a 2 6, a 3 a 3 6, ann a 6, nên T 4321 6 Suy ra T và 43211234 cùng dư khi chia cho 6 Mặt khác 4321 chi 6 dư 1 nên 43211234 chia cho 6 cũng dư 1. Vậy T chia 6 dư 1 8
PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NGA THẮNG NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi: TOÁN – Lớp 6 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: -3-2018 (Đề thi gồm 1 trang) Câu 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý: a) 2013 .2014 1007.26 1313 10 130 1515 b) 1414 160 140 1616 Câu 2. (6,0 điểm) a) Tìm x,, y z biết x y 2011 ; y z 2012; z x 2013 b) Tìm hai số tự nhiên a và b biết BCNN(,)180; a b UCLN (,)12 a b 41n c) Tìm n để phân số A có giá trị nguyên. 23n Câu 3. (4,0 điểm Một hiệu sách có năm hộp bít bi và bút chì. Mỗi hộp chỉ đựng một loại bút. Hộp 1: 78 chiếc; Hộp 2: 80 chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 chiếc. Sau khi bán một hộp bút chì thì số bút bi gấp bốn lần số bút chì còn lại. Hãy cho biết lúc đầu hộp nào đựng bút bi, hộp nào đựng bút chì ? Câu 4. (4,0 điểm) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; OA 7 cm ; OD 3 cm ; BC 8 cmvà AC 3 BD a) Tính độ dài AC b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD Câu 5 (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho sau khi viết tiếp số đó sau số 2014 ta được số chia hết cho 101 hết 9
ĐÁP ÁN Câu 1 a) 2013 .2014 1007.26 2013 .2014 2014.13 2014. 2013 13 2014. 2000 4028000 1313 10 130 1515 b) 1414 160 140 1616 13 1 13 15 14 16 14 16 13 13 15 1 1 14 14 16 16 Câu 2. a) Từ đề bài ta có: x y y z z x 2011 2012 2013 2xx 2012 1006 Vì x y 2011 y x 2011 1006 2011 1005 Vì x z 2013 z 2013 x 2013 1006 1007 Vậy x 1006 ; y 1005 ; z 1007 b) Ta có ab 180.12 2160 Giả sử ab .Vì UCLN( a , b ) 12nên a 12 m , b 12 n với mn,1 và mn Suy ra 12m .12 n 2160 mn 15. Ta có bảng sau: m n a b 1 15 12 180 3 5 36 60 4n 12 2n 3 7 7 c) A 2 2n 3 2 n 3 2 n 3 2 n 3 A có giá trị nguyên 2nU 3 7  1; 7  Ta có bảng sau 23n 1 -1 7 -7 n -1 -2 2 -5 Câu 3. Tổng số bút bi và bút chì lúc đầu là: 78 80 82 114 128 482 (chiếc) 10
Vì số bút bi còn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại nên tổng số bút bi và số bút chì còn lại là số chia hết cho 5, mà 482 chia cho 5 dư 2 nên hộp bút chì bán đi có số lượng chia cho 5 dư 2. Trong các số 78; 80; 82; 114; 128 chỉ có 82 chia cho 5 dư 2. Vậy hộp bút chì bán đi là hộp 3: 82 chiếc Số bút bi và bút chì còn lại là : 482 82 400 (chiếc) Số bút chìn còn lại : 400:5 80 (chiếc) Vậy , các hộp đựng bút chì là: hộp 2, hộp 3 Các hộp đựng bút bi là: hộp 1, hộp 4, hộp 5 Câu 4. O D B A C a) Đặt BD x( cm ) AC 3 x ( cm ) Vì D nằm giữa O và A (Do OD < OA) nên : OD DA OA DA 4 DB BA 4 hay x BA 4 (1) Vì A nằm giữa B và C nên : BA AC BC hay 3x BA 8(2) Từ (1) và (2) ta có 3x BA x BA 8 4 2 x 4 x 2 AC 3.2 6( cm ) b) Theo (1) ta có: x BA 4mà x 22 BA Mà BD x 2 BD BA ( 2) B là trung điểm của đoạn thẳng AD Câu 5. Giả sử n có k chữ số k 1 Ta có : 2014 19.101 95, do đó: 2014n 2014.10k n 19.101.10 k 95.10 k n Suy ra 2014n 101khi và chỉ khi 95.10k n 101 Với k 1thì 95.10k n 950 n 101.9 (41 n ) 101khi và chỉ khi 41 n 101 nhưng n có một chữ số nên 41 n 41 9 101, nên không có số n thỏa mãn đầu bài. Với k 2thì 95.10k n 9500 n 101.94 6 n 101 suy ra 6 n 101, và số n nhỏ nhất được xác định bởi 6 nn 101 95 Vậy n = 95 thỏa mãn đề bài 11
UBND HUYỆN KINH MÔN ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN – LỚP 6 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (2,0 điểm) 1 1 1 1 1) Rút gọn biểu thức A 1 . 1 . 1 1 3 8 15 2499 1 1 1 4 4 4 14 2) Tính nhanh B 3 9 27: 7 49 343 2 2 2 1 1 1 21 3 9 27 7 49 343 Câu 2. (2,0 điểm) 1 1 1 1 23 1) Tìm x, biết x 1.2 2.3 3.4 8.9 45 201899 1 201898 1 2) So sánh: E và F 2018100 1 201899 1 Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên xy, biết 5xy 11 26 2) Tìm số nguyên tố ab ab 0 biết ab ba là số chính phương Câu 4: (3,0 điểm) 1) Trên tia Ox lấy 2 điểm A, B sao cho OA 6 cm , OB 10 cm .Gọi E, F lần lượt là trung điểm của OA, AB. Tính độ dài đoạn thẳng EF. 2) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, OZ sao cho xOy 5000 ; xOz 100 . Vẽ tia Oy’ là tia đối của tia Oy. Tính số đo y' Oz 3) Cho 2018 điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ được một đường thẳng. Tính số đường thẳng kẻ được. Câu 5 (1,0 điểm) abc Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số. Tìm giá trị lớn nhất của A 1918 abc hết 12
ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 KINH MÔN 2017-2018 Câu 1. 1 1 1 1 1)A 1 . 1 . 1 1 3 8 15 2499 4 9 16 2500 2.2 3.3 4.4 50.50 A . . . . 3 8 15 2499 1.3 2.4 3.5 49.51 2.3.4 50 2.3.4 50 50 2 100 1.2.3 49 3.4.5 51 1 51 51 100 Vậy A 51 1 1 1 4 4 4 14 2)B 3 9 27 : 7 49 343 2 2 2 1 1 1 21 3 9 27 7 49 343 1 1 1 1 1 1 1. 1 4. 1 3 9 27 7 49 343 B : 1 1 1 1 1 1 2. 1 1. 1 3 9 27 7 49 343 11 B :4 28 1 Vậy B 8 Câu 2. 1 1 1 1 23 1) x 1.2 2.3 3.4 8.9 45 1 1 1 1 1 1 1 1 23 x 1 2 2 3 3 4 8 9 45 1 1 23 x 1 9 45 8 23 23 8 23 xx : 9 45 45 9 40 23 Vậy x 40 201899 1 2018 100 2018 2017 2)Ta có: EEE 2018 2018. 1 2018100 1 2018 100 1 2018100 1 201898 1 2018 99 2018 2017 FFF 2018. 2018. 1 201899 1 2018 99 1 201899 1 13
2017 2017 2017 2017 Vì 11 2018100 1 2018 99 1 2018 100 1 2018 99 1 Hay 2018EFEF 2018 Vậy E > F Bài 3 1. +Với y 2 , ta có 112 121 26 y 2 không thỏa mãn Do y là số tự nhiên nên y 0;1  +) Với y = 1, ta có: 5xx 11 26 5 15 vì x là số tự nhiên không có giá trị nào của x thỏa mãn 5x 15 y 1 không thỏa mãn +)Với y 0 ta có 5xx 1 26 5 25 52 nên x=2 (thỏa mãn) Vậy xy 2; 0 2. Ta có: ab ba 9 a b Do a, b là các chữ số, ab là số nguyên tố, nên 3 b 9. a b là số chính phương khi ab 1;4  +) Với ab 1mà ab là số nguyên tố ta được số ab 43 +)Với ab 4 mà ab là số nguyên tố ta được số ab 73 Vậy ab 43;73  Bài 4. Câu 1 O E A F B Vì hai điểm A, B cùng nằm trên tia Ox mà OA < OB 6cm 10 cm nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B OA AB OB Thay số 6 AB 10 AB 4 cm. Vậy AB 4 cm OA Vì E là trung điểm OA nên EA , thay số EA 6: 2 3 cm 2 AB F là trung điểm của AB nên AF 2 Thay số: AF 4: 2 2 cm Do A nằm giữa O và B. Mà E là trung điểm của OA, F là trung điểm của AB nên điểm A nằm giữa hai điểm E và F 14
EF EA AF 3 2 5( cm ) Vậy EF 5. cm Câu 2 z y O x y' Vì hai tia Oz, Oy cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , mà xOy xOz nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox vfa Oz xOy yOz xOz . Thay số 500 yOz 100 0 yOz 50 0 Do tia Oy ' là tia đối của tia Oy y', Oz yOz là hai góc kề bù y' Oz yOz 1800 . Thay số : y' Oz 500 180 0 y ' Oz 130 0 Vậy y' Oz 1300 Câu 3. Giả sử trong 2018 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng Từ 1 điểm ta nối với 2017 điểm còn lại ta được 2017 đường thẳng. Làm như vậy với 2018 điểm ta được 2018.2017 4070306đường thẳng Vì mỗi đường thẳng được tính hai lần, do đó số đường thẳng kẻ được là : 2035153 đường thẳng. Số đường thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là 3; Số đường thẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng là 1; Khi thay 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thành 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là : 3 1 2 Do trong 2018 điểm phân biệt trên có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng thực tế kẻ được là : 2035153 2 2035151 15
Vậy ta kẻ được tất cả là 2 035 151 đường thẳng. Câu 5 abc100 a 10 b c A 1918 1918 a b c a b c +)Nếu bc 0 thì A 100 1918 2018 +)Nếu b hoặc c khác 0 thì 100abc 100 100 A 1918 100 1918 2018 abc Nên A 2018 Giá trị lớn nhất của A là 2018khi a  1;2; ;9  ; b c 0 16
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG BÁ THƯỚC Năm học 2018-2019 Môn : Toán lớp 6 Câu 1. (3 điểm) Tính 2 55 2 1 2 .7 2 a)4.5 3. 24 9 b )7 6. c ) 5 2 5 2 2 .5 2 .3 Câu 2. (3 điểm). Tìm x biết: 1 1 5 5 a)15:52224 x b )7154 x c ) x : 9 2 3 7 7 Câu 3. (5 điểm) 1) Cho A 1 2 3 4 99 100 a) Tính A b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) Acó bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ? 2) Thay ab, bằng các chữ số thích hợp sao cho 24ab 68 45 3) Cho a là một số nguyên có dạng a 3 b 7 b .Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau: a 11; a 2002; a 2003; a 11570; a 22789; a 29563; a 299537 Câu 4. (3 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 dư 3 b) Cho A 1 2012 20122 2012 3 2012 4 2012 71 2012 72 và B 201273 1.So sánh A và B Câu 5. (6 điểm) Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA 2, cm trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM 1 cm , OB 4 cm . a) Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB b) Từ O kẻ hai tia Ot, Oz sao cho tOy 13000 , zOy 30 .Tính số đo tOz 17
ĐÁP ÁN Câu 1. 1725 . 7 1 8 4 a)55 b ) c ) 2 25 . 25 3 22 11 Câu 2. x 12 7 a) x 25 b ) c ) x x 26 2 Câu 3. 1) a) A 50 b) A2 cho 5, Akhông chia hết cho 3 c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên. 2) Ta có: 45 9.5mà 5,9 1 b 0 Do 24ab 68 45suy ra 24ab 68 5 b 5 Th1: b 0ta có số 24a 680 Để 24a 680 9thì 2 4 a 6 8 0 9 a 20 9 a 7 Th2: b 5ta có số 24a 685 Để 24a 685 9thì 2 4 a 6 8 5 9hay aa 25 9 2 ab 7, 0 Vậy ab 2, 5 3) Số nguyên có dạng a 37 b b hay a là số chia 3 dư 1 Vậy a có thể nhận những giá trị là a 2002; a 22789; a 29563 Câu 4. a) Gọi số cần tìm là a Ta có a chia cho 9 dư 5 a 9 k 5 k 2 a 9 k1 1 2 a 1 9 Ta có a chia cho 7 dư 4 a 7 m 4 m 2 a 7 m1 1 2 a 1 7 18
Ta có a chia cho 5 dư 3 a 5 t 3 t 2 a 5 t1 1 2 a 1 5 2a 1 9,7,5, mà 9;7;5 1và a là số tự nhiên nhỏ nhất 2a 1 BCNN (9,7,5) 315. Vậy a 158 b) Ta có: 2012A 2012 20122 2012 3 2012 4 2012 72 2012 73 201273 1 Lấy 2012AA 201273 1, Vậy AB 201273 1 2011 Câu 5. t z M y x A O B z' a) Trên tia Oy ta có: OM 14 cm OB cm M là điểm nằm giữa O và B Do M nằm giữa O và B ta có: OM MB OB MB OB OM 4 1 3 cm Do A thuộc tia Ox, M thuộc tia Oy nên O nằm giữa hai điểm A và M suy ra: OM OA MA 2 1 3( cm ) Mặt khác do A, B nằm trên hai tia đối nhau , M lại nằm giữa O và B nên suy ra M nằm giữa A và B, Vậy M là trung điểm của AB. b) TH1: Tia Ot, Oztrên cùng một nửa mặt phẳng 19
Do yOt 13000 , yOz 30 tia Oz nằm giữa hai tia Ot,. Oy Ta có: tOz tOy yOz 1300 30 0 100 0 TH2: Tia Ot và tia Oz không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là xy Suy ra tia Oy nằm giữa 2 tia Ot, Oz Ta có: tOz tOy yOz 1300 30 0 160 0 20
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 Năm học 2019-2020 Bài 1. (2 điểm) 2 11 a) Tìm x biết: x 0 34 b) Tìm xy, biết 2xy 624 5 Bài 2. (2 điểm) 22 51 a) So sánh : và 45 103 20092009 1 20092010 2 b) So sánh : A và B 20092010 1 20092011 2 Bài 3. (2 điểm) Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25;28;35thì được các số dư lần lượt là 5;8;15 Bài 4. (2 điểm) Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn, nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể, dùng máy hai và máy ba thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể còn nếu dùng máy một và máy ba thì sẽ đầy bể sau 2 giờ 24 phút. Hỏi mỗi máy bơm được dùng một mình thì bể sẽ đầy sau bao lâu ? Bài 5. (2 điểm) Cho góc tù xOy.Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và vẽ tia Onsao cho góc yOnbằng 900 a) Chứng minh xOn yOm b) Gọi Ot là tia phân giác của xOy . Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của mOn 21
ĐÁP ÁN Bài 1. 1 1 5 2 xx 11 3 2 6 a) Từ giả thiết ta có: x 34 1 1 1 xx 3 2 6 b) Nếu x 0thì 5y 204 624 625 5 y 4 Nếu x 0thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi xy, : vô lý Vậy xy 0, 4 Bài 2. 22 22 1 51 51 22 51 22 51 a) 45 44 2 102 101 45 101 45 101 20092010 2 bB)1 20092011 2 20092010 2 2009 2010 2 2011 2009 2010 2009 B 20092011 2 2009 2011 2 2011 2009 2011 2009 2009 2009 2009 1 20092009 1 A 2009 20092010 1 20092010 1 Vậy AB Bài 3. Gọi số tự nhiên phải tìm là x Từ giả thiết suy ra x 20 25và x 20 28và x 20 35 x 20 BC 25;28;35 Tìm được BCNN 25;28;35 700 x 20 700. k k Vì x *và x có ba chữ số suy ra x 999 x 20 1019 k 1 xx 20 700 680 Bài 4. 4 Máy 1 và máy 2 bơm 1 giờ 20 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy một và hai 3 3 bơm được bể 4 22
3 Máy 2 và máy 3 bơm 1 giờ 30 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba 2 2 bơm được bể 3 12 Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy 1 và 5 5 máy 3 bơm là bể. 12 3 2 5 11 Một giờ cả ba máy bơm được: :2 (bể) 4 3 12 12 Một giờ: 11 3 1 Máy 3 bơm được bể Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể 12 4 6 11 2 1 Máy 1 bơm được bể Máy 1 bơm 1 mình 4 giờ đầy bể 12 3 4 11 5 1 Máy 2 bơm được bể Máy 2 bơm một mình 2 giờ đầy bể 12 12 2 Bài 5. m t y n x O a) Lập luận được: xOm mOy xOy hay 900 mOy xOy yOn nOx xOy hay 900 nOx xOy xOn yOm b) Lập luận được: xOt tOy xOt xOn nOt tOy yOm mOt nOt mOt Ot là tia phân giác của mOn 23
UBND HUYỆN BA VÌ KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD&ĐT BA VÌ Năm học 2017-2018 Môn Toán lớp 6 Ngày thi : 25/4/2018 Câu 1. (6 điểm) Tính: a)1152 374 1152 374 65 7 5 1 3 5 b) 12 6 4 7 12 11.322 .3 7 9 15 c) 2 2.314 3 8 15 899 d) . . 22 3 2 4 2 30 2 Câu 2. (3 điểm) 2 2 2 221 4 a) Tìm x biết: x 11.13 13.15 19.21 231 3 1 3x 4 3 1 b) Tìm các số nguyên x biết: 3 35 210 7 5 3 Câu 3. (3 điểm) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3, cho 5, cho 7 được số dư thứ tự là 2;4;6. Câu 4. (6 điểm) a) Cho xOy 1000 và xOz 600 .Tính số đo xOm,biết Om là tia phân giác của yOz b) Cho tam giác ABC và một đường thẳng d không đi qua bất kỳ đỉnh nào của tam giác và cắt cạnh BC của tam giác. Hãy chứng tỏ rằng đường thẳng d cắt một và chỉ một trong hai cạnh AB và AC của tam giác ABC Câu 5. (2 điểm) 1 1 1 1 1 Cho A 31 32 33 59 60 4 Chứng tỏ rằng: A 5 25
ĐÁP ÁN Bài 1. a)1152 374 1152 374 65 11.322 .3 7 9 15 11.3 29 3 30 c) 2 2 28 1152 374 1152 374 65 2.314 2 .3 1152 1152 374 374 65 329 . 11 3 329 .2 3 6 65 22 .3 28 2 2 .3 28 7 5 1 3 5 3 8 15 899 b) d) . . 12 6 4 7 12 22 3 2 4 2 30 2 7 5 5 1 3 1.3 2.4 3.5 29.31 . . 12 12 6 4 7 2.2 3.3 4.4 30.30 1 5 1 3 1.2.3 29 3.4.5 31 . 6 6 4 7 2.3.4 30 2.3.4 30 1 3 5 3 23 1 31 31 1 . 4 7 4 7 28 30 2 60 Bài 2. 2 2 2 221 4 1 3 44 88 ax) b) 11.13 13.15 19.21 231 3 3 35 105 210 4 3 1 158 316 1 1 1 1 1 1 221 4 x 11 13 13 15 19 21 231 3 7 5 3 105 210 88x 316 1 1 221 4 x 210 210 210 11 21 231 3 10 221 4 88 x 316, mà x x 231 231 3 x 89;90; ;315  41 1 xx 33 Bài 3. a chia cho 3 dư 2 a 3 k 2 a 1 B 3 a chia cho 5 dư 4 a 5 p 4 a 1 B 5 a chia cho 7 dư 6 a 7 q 6 a 1 B 7 26
a 1 BC 3;5;7 ,mà a nhỏ nhất nên a 1là BCNN 3,5,7 105 a 1 105 a 104 Bài 4. *Học sinh vẽ hình đúng 2 trường hợp cho 0,5 điểm a) Trường hợp 1: Tia Oy,tia Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox y m z O x +) xOz xOy 6000 100 Tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy xOz zOy xOy 600 zOy 100 0 yOz 40 0 yOz 400 +)Tia Om là tia phân giác của yOz yOm mOz 200 22 +) yOm yOx 2000 100 Tia Om nằm giữa hai tia Oy, Ox yOm mOx xOy 200 mOx 100 0 mOx 80 0 -Trường hợp 2: Tia Oz, Oynằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Ox 27
y m x O z +Ta có : xOy xOz 16000 180 nên tia Ox nằm giữa hai tia Oy, Oz yOz zOx xOy 1000 60 0 160 0 1600 Tia Om là tia phân giác yOz nên yOm 800 2 yOm yOx 8000 100 nên tia Om nằm giữa hai tia Oy, Ox yOm mOx yOx 800 mOx 100 0 mOx 20 0 28
b) Đường thẳng d cắt cạnh BC và B, C d nên B và C nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d TH1: Nếu Athuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B thì d cắt cạnh AC mà không cắt cạnh AB A d C B Th2: Nếu Athuộc nửa mặt phẳng chứa C thì d cắt cạnh AB mà không cắt cạnh AC A d C B Bài 5. 1 1 1 1 1 1 1 1 A 31 32 40 41 42 50 51 60 1 1 1 1 1 1 10 10 10 30 30 40 40 50 50 30 40 50 1 1 1 47 48 4 3 4 5 60 60 5 29
PHÒNG GD&ĐT LÝ NHÂN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN 6 Năm học 2018-2019 (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề) Bài 1. (4,0 điểm) 7 7 1 a) Tính: M 2012 9 4 5 3 1 9 2012 2 2010 2011 2012 1 1 1 1 b) So sánh Avà B biết: A và B 2011 2012 2010 3 4 5 17 Bài 2. (4,0 điểm) 1 5 3 7 a) Tìm x biết 2 2,75 x 7 0,65 :0,07 8 4 2 200 xy 7 b) Tìm các số tự nhiên xy, sao cho xy,1 và xy22 25 Bài 3. (4,0 điểm) 14 9 4 a) Tìm chữ số tận cùng của số P 1414 9 9 2 3 b) Tìm ba số nguyên dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng Bài 4.(2,0 điểm) Cho các số nguyên dương a,,, b c d thỏa mãn ab cd.Chứng minh rằng A an b n c n d n là một hợp số với mọi số tự nhiên n Bài 5.(6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB,điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi MN, thứ tự là trung điểm của OA,. OB a) Chứng tỏ rằng OA OB b) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O. c) Lấy điểm P nằm ngoài đường thẳng AB.Cho H là điểm nằm trong tam giác ONP. Chứng tỏ rằng tia OH cắt đoạn thẳng NP tại một điểm E nằm giữa N và P 30
ĐÁP ÁN Bài 1. 7 7 1 .2012.9.2 2012 9 4 7.9.2 7.2012.2 1006.9 aN) 5 3 1 5.2012.2 3.9.2 2012.9 .2012.9.2 9 2012 2 7.2021 503.9 9620 5.2012 3.9 1006.9 979 b) Câu b 1 1 2 A 1 1 1 2011 2012 2010 1 1 1 1 A 3 2010 2011 2010 2012 A 3 1 1 1 1 1 1 B 3 4 5 9 10 17 1 1 1 BB .2 .5 .8 3 2 5 8 Từ đó suy ra AB Bài 2.a) câu a. 5 437 7 x 7: 8 200 100 5 437 100 x 7. 8 200 7 5 437 x 7 8 14 5 535 x 8 14 535 5 x : 14 8 1 x 61 . 7 b) Vai trò của xy, bình đẳng.Giả sử xy , ta có: 31
xy 7 22 22 7 x y 25 x y xy 25 7x22 25 x 25 y 7 y x 7 x 25 y 25 7 y Suy ra 7x 25và 25 7y cùng dấu vì xy, là các số tự nhiên a) Nếu 7x 25 0thì 25 7y 0 x 4, y 4(trái với điều giả sử) b) Nếu 7x 25 0thì 25 7y 0, Vậy xy 4, 4 Thử các số tự nhiên y từ 0,1,2,3ta được x 4 Cặp số xy, 4,3 ; vai trò của xy, như nhau nên xy, 3,4 Bài 3. 14 9 4 a) P 1414 9 9 2 3 14 Chữ số tận cùng của 1414 là 6 9 Chữ số tận cùng của 99 là 9 4 Chữ số tận cùng của 23 là 2 Chữ số tận cùng của P là chữ số tận cùng của tổng 6 9 2 là 7 b) Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là abc,, abc Ta có: abc 2 abc Giả sử abc thì a b c 3 c, do đó: 36c ab 2 Có các trường hợp sau: *)ab 6 c 3,5(loại) *)ab 5 a 1, b 5, c 4( ktm ) a 1, b 4, c 5( tm ) *)ab 4 a 2, b 2, c 4( tm ) *)ab 2( ktm ) *)ab 3 a 1, b 3, c 8( tm ) *)ab 1 ( ktm ) Vậy bộ ba số cần tìm 1,4,5hoặc 2,2,4boặc1,3,8 Bài 4. Giả sử t a,. c Đặt a a11 t; c c t với ac11,1 ab cd abt1 cdt 1 ab 1 cd 1 Mà a1, c 1 1 b c 1 ,đặt b c1 k , do đó: d a1 k Ta có: 32
n n n n n n n n A a1 t c 1 k c 1 t a 1 k n n n n A a11 c k t Vì a1,,, c 1 t 1 k nguyên dương nên Alà hợp số. Bài 5. P E H O M A N B a) Hai tia AO và AB là hai tia đối nhau Suy ra điểm Anằm giữa điểm O và điểm B Vậy OA OB b) Vì MN, lần lượt là trung điểm của OA, OB Suy ra OM OM MN ON MN ON OM 1 1 1 1 MN OB OA OB OA AB 2 2 2 2 AB có độ dài không đổi nên MN không đổi c) Điểm H nằm trong tam giác ONP suy ra H nằm trong góc O Suy ra tia OH nằm giữa hai tia ON và OP PN, là các điểm không trùng O và thuộc các tia ON, OP Suy ra tia OH cắt đoạn NP tại điểm E nằm giữa N và P. 33
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN HƯƠNG SƠN NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Câu 1. (4,5 điểm) 1) Tính giá tri của các biểu thức sau: 2 a)2. 6 24 : 4 2014 1 1 7 1 b) 1 2 3 : 1 3 4 3 4 12 2 52 2) Tìm x,biết: x x x 63 Câu 2. (4,5 điểm) 1) Tìm x ,biết: x  x x x 11  2) Tìm các chữ số xy, sao cho 2014xy 42 a 11 3) Tìm các số nguyên ab, biết rằng: 7 2b 1 Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để nn 31 là số nguyên tố 2) Cho n 7 a 5 8 a 4.Biết ab 6và n chia hết cho 9. Tìm ab, a 3) Tìm phân số tối giản lớn nhất ab,* sao cho khi chia mỗi phân số b 46 a ; cho ta được kết quả là số tự nhiên. 75 165 b Câu 4. (5,0 điểm) 1) Trên tia Ox lấy hai điểm M, N sao cho OM 3 cm , ON 7 cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MN. b) Lấy điểm P trên tia Ox, sao cho MP 2. cm Tính độ dài đoạn thẳng OP. c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P. Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN 2) Cho 2014 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó Câu 5. (2,0 điểm) 1 2 3 4 2014 1) Cho tổng gồm 2014 số hạng, S .Chứng minh 4 42 4 3 4 4 4 2014 1 S 2 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng n S n 2014, trong đó Sn là tổng các chữ số của n 34
ĐÁP ÁN Câu 1. 2 1)a )2. 6 24 : 4 2014 2. 36 24 : 4 2014 2020 1 1 7 1 1 1 7 1 b) 1 2 3 : 1 3 4 : 1 3 4 12 2 3 4 12 2 5 2 5 2 2)x x x x x x 6 3 6 3 5 2 1 x 6 3 6 Câu 2. 1)x  x x x 1  1 x x x x 1   1 x x2 x 1  1 x x 2 x 1 1 2 x 2 x 1 2)2014xy 201400 xy 42.4795 10 xy 42 10 xy 42 Do 0 xy 100 xy  32;74 . Vậy xy; 3;2 ; 7;4 aa1 1 2 7 1 3) 2ab 7 1 14 7 2bb 1 14 1 Do a, b 2 a 7 U (14)  1; 2; 7; 14  Vì 27a lẻ nên 2aa 7  7; 1;1;7   0;3;4;7  Từ đó tính được ab,  0; 3 ; 3; 15 ; 4;13 ; 7;1  Câu 3. 1) Để nn 31 là số nguyên tố thì một trong hai thừa số nn 3; 1phải bằng 1 Mà n 3 n 1 1 n 1 1 n 0. Khi đó n 33là số nguyên tố. Vậy n 0thì nn 31 là số nguyên tố. 2) Ta có: n 7 a 5 8 b 4 9 7 a 5 8 b 4 9 24 a b 9 a b  3;12 (vì ab 19) Mà a b 6 a b 3 a b 12 Kết hợp với a b 6 a 9, b 3 14ab 14 3) Ta có: : 14ab , 75 75ba 75 16ab 16 16 a Tương tự : : 165ba 165 b 175 35
a Để là số lớn nhất thì a UCLN(14,16) 2; b BCNN (75;165) 825 b a 2 Vậy b 825 Câu 4. P O M P N x 1) a) Do M, N cùng thuộc tia Ox mà OM ON nên M nằm giữa hai điểm O và N OM MN ON 3 MN 7 MN 4 cm b) Th1: Nếu P nằm giữa M và N thì M nằm giữa O và P OP OM MP 3 2 5 cm Th2: Nếu P nằm giữa O và M OM OP PM OP OM PM 3 2 1 cm c) M nằm giữa O và P OP 57 cm ON cmnên P nằm giữa O và N Suy ra : OP PN ON 5 PN 7 PN 2 cm Do đó MP PN,mà P nằm giữa M và N nên P là trung điểm của MN. 2) Với n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm với nhau nn 1 cho ta đoạn thẳng 2 nn 1 Chọn một đoạn thẳng trong đoạn thẳng này và từng n 2 điểm còn lại, 2 nn 1 ta được n 2 tam giác. Có đoạn thẳng nên có 2 n n 1 n n 1 n 2 .2 n tam giác. Tuy nhiên mỗi tam giác được tính 3 22 lần (ABC,ACB,BAC) n n 1 n 2 n n 1 n 2 Do đó số tam giác được tạo thành là: :3 26 2014.2013.2012 Áp dụng với n 2014ta được số tam giác tạo thành: 1359502364 2 36
Câu 5. 2 3 4 2014 1) Ta có: 4S 1 . 4 42 4 3 4 2013 1 1 1 1 2014 3SSS 4 1 4 42 4 3 4 2013 4 2014 1 1 1 1 1 1 1 1 3S 1 . Dat M 1 . 4 42 4 3 4 2013 4 4 2 4 3 4 2013 1 1 1 1 4M 4 1 4 42 4 3 4 2012 14 Ta có: 3MMMM 4 4 4 432013 4 4 4 1 Do đó 3SS 3 9 8 2 2) Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì n 999 và Sn 27 Suy ra n S n 999 27 1026 2014( ktm ) Mặt khác n n S( n ) 2014nên n là số có ít hơn 5 chữ số. Vậy n là số có 4 chữ số, suy ra Sn 9.4 36.Do vậy n 2014 36 1978 n 19 ab Vì 1978 n 2014 n 20 cd *Nếu n 19 ab .Ta có: 19ab 1 9 a b 2014 1910 11a 2 b 2014 11 a 2 b 104 a 2 và 11a 104 2 b 104 2.9 86 8 10 a , a 2 a 8 b 8 n 1988( tm ) *Nếu n 20 cd 20 cd 2 0 c d 2014 2002 11c 2 d 2014 11 c 2 d 12 c 2 c 0 d 6, n 2006( tm ) Và 11c 12 c 1 2 d 1( ktm ) Vậy n 1988;2006  37
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN BẠCH THÔNG NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN – LỚP 6 Câu 1. (4,0 điểm) a) Thực hiện phép tính A 540: 23,7 19,7 42. 132 75 36 7317 210 .13 2 10 .65 B 28 .104 b) Chứng minh rằng tổng của 5 số tự nhiên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số tự nhiên lẻ liên tiếp chia cho 10 dư 5 Câu 2. (4,0 điểm) a) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2015hay không ? Vì sao ? b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p 11cũng là số nguyên tố. Câu 3. (4,0 điểm) a) Tìm x biết: x 1 x 3 x 5 x 99 0 b) Tìm n biết: 3nn 8 1 Câu 4. (4,0 điểm) 1 1 1 1 a) Tìm tích 1 1 1 1 2 3 4 100 2013.2014 1 2014.2015 1 b) So sánh Avà B biết: A và B 2013.2014 2014.2015 Câu 5. (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB;điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi MN, thứ tự là trung điểm của OA, OB a) Chứng tỏ OA OB b) Trong ba điểm OMN,,điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia OB). 38
ĐÁP ÁN Câu 1. aA) 540: 4 42.171 7317 A 135 7182 7317 0 210 .13 2 10 .65210 .13. 1 5 2 10 .13.6 B 3 28 .104 2 8 .8.13 2 8 .2 3 .13 b) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là:2;2n n 2;2 n 4;2 n 6;2 n 8 Tính tổng ta được: 10n 20 10 Gọi 5 số lẻ liên tiếp là: 2n 1;2 n 3;2 n 5;2 n 7;2 n 9 Tính tổng được: 10nn 25 10 2 5chia cho 10 dư 5 Câu 2. a) Tổng của hai số nguyên tố bằng 2015 là số lẻ, nên một trong hai số nguyên tố phải là 2 Khi đó số kia là 2013, số này là hợp số Vậy không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng 2015 b) Nếu p lẻ p 11là số chẵn lớn hơn 11 nên không là số nguyên tố Suy ra p chẵn p 2 Câu 3. a) Ta có: x 1 x 3 x 5 x 99 0 xx 1 99 .50 0 2 x 50 .50 0 xx 50 0 50 b) Ta có: 3n 8 3 n 3 5 3 n 1 5 Suy ra : 3nn 8 1 khi nU 1 (5)  1; 5  Tìm được: n  6; 2;0;4  Câu 4. a) Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 100 1 2 3 99 1.2.3.4 99 1 . . 2 3 4 100 2.3.4 100 100 39
b) Ta có: 2013.2014 1 1 A 1 2013.2014 2013.2014 2014.2015 1 1 B 1 2014.2015 2014.2015 11 Vì nên AB 2013.2014 2014.2015 Câu 5. O M A N B a) Hai tia OA, OB đối nhau nên điểm Anằm giữa hai điểm O và B, suy ra OA OB OA OB b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB nên OM ; ON 22 Vì OA OB OM ON Hai điểm M và N thuộc tia OB mà OM ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N c) Ta có: OM MN ON MN ON OM OB OA AB Hay MN 22 Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi. 40
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI PHÚC THỌ MÔN TOÁN 6 NĂM HỌC 2018-2019 Bài 1. Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể) 5 5 10 2 6 10 aM):: 7 11 3 7 11 3 1 1 1 1 1 bP) 1 2 22 2 99 2 100 2 100 Bài 2. Tìm y biết: 1 2 1 ay) 3 2 .2 5 2 3 3 1 2 2 b) y . : y : 255 3 9 7 Bài 3. Xe máy thứ nhất đi từ A đến B mất 4 giờ, xe thứ hai đi từ B đến A mất 3 giờ. Nếu hai x khởi hành cùng một lúc từ A và B thì sao 1,5 giờ hai xe sẽ còn cách nhau 15km (hai xe chưa gặp nhau). Tính quãng đường AB Bài 4. Trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox,vẽ hai tia Oy, Oz sao cho xOy 10000 , xOz 20 a) Trong 3 tia Ox,, Oy Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ? b) Vẽ Om là tia phân giác của yOz.Tính góc xOm? Bài 5. a) Cho A 1 3 32 3 3 3 2011 3 2012 .Chứng minh rằng 41A là lũy thừa của 3 b) Chứng minh rằng: 11 1222 2là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nn 41
ĐÁP ÁN Bài 1. 5 5 10 2 6 10 aM):: 7 11 3 7 11 3 5 5 3 2 6 3 7 11 10 7 11 10 3 5 5 2 6 3 . . 1 1 0 10 7 11 7 11 10 1 1 1 1 1 b) P 2 P P 2 99 100 100 2 99 99 2 2 2 2 2 2 Bài 2. 3 ay) 4 1 2 2 b) y . : y : 255 3 9 7 1 9 7 yy. . . 255 3 2 2 37 yy. . 255 22 37 y. 255 22 yy.5 255 255:5 51 Vay y 51 Bài 3. 1 Mỗi giờ xe thứ nhất đi được: 1: 4 (quãng đường AB) 4 1 Mỗi giờ xe thứ hai đi được: 1:3 (quãng đường AB) 3 1 1 7 Sau 1,5giờ cả hai xe đi được .1,5 (quãng đường AB) 4 3 8 71 Phân số chỉ 15kmlà: 1 (quãng đường AB) 88 42
1 Quãng đường AB là: 15: 120(km ) 8 Bài 4. y m z 20 x O a) Oz là tia nằm giữa hai tia Ox, Oy (vì trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ta thấy xOz xOy 2000 80 b) Tính được : zOy 800 ,tính được zOm 400 Tính được: xOm 400 20 0 60 0 Bài 5. aA) 1 3 32 3 3 3 2011 3 2012 4AAA 1 3 1 3 32 3 3 3 4 3 2011 3 2012 3 2013 1 3 32 3 3 3 2011 3 2012 1 32013 b)111 1.222 2 111 1.0000.00 222 2 111 1. 1000.00 2 n n n n n n n 111 11.10 2 111 11.3.33 4 33 3.333 34 nnn n n n 43
Vậy số trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp 44
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 Năm học 2019-2020 Bài 1. (2 điểm) 2 11 a) Tìm x biết: x 0 34 b) Tìm xy, biết 2xy 624 5 Bài 2. (2 điểm) 22 51 a) So sánh : và 45 103 20092009 1 20092010 2 b) So sánh : A và B 20092010 1 20092011 2 Bài 3. (2 điểm) Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25;28;35thì được các số dư lần lượt là 5;8;15 Bài 4. (2 điểm) Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn, nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể, dùng máy hai và máy ba thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể còn nếu dùng máy một và máy ba thì sẽ đầy bể sau 2 giờ 24 phút. Hỏi mỗi máy bơm được dùng một mình thì bể sẽ đầy sau bao lâu ? Bài 5. (2 điểm) Cho góc tù xOy.Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và vẽ tia Onsao cho góc yOnbằng 900 a) Chứng minh xOn yOm b) Gọi Ot là tia phân giác của xOy . Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của mOn 45
ĐÁP ÁN Bài 1. 1 1 5 2 xx 11 3 2 6 a) Từ giả thiết ta có: x 34 1 1 1 xx 3 2 6 b) Nếu x 0thì 5y 204 624 625 5 y 4 Nếu x 0thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi xy, : vô lý Vậy xy 0, 4 Bài 2. 22 22 1 51 51 22 51 22 51 a) 45 44 2 102 101 45 101 45 101 20092010 2 bB)1 20092011 2 20092010 2 2009 2010 2 2011 2009 2010 2009 B 20092011 2 2009 2011 2 2011 2009 2011 2009 2009 2009 2009 1 20092009 1 A 2009 20092010 1 20092010 1 Vậy AB Bài 3. Gọi số tự nhiên phải tìm là x Từ giả thiết suy ra x 20 25và x 20 28và x 20 35 x 20 BC 25;28;35 Tìm được BCNN 25;28;35 700 x 20 700. k k Vì x *và x có ba chữ số suy ra x 999 x 20 1019 k 1 xx 20 700 680 Bài 4. 4 Máy 1 và máy 2 bơm 1 giờ 20 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy một và hai 3 3 bơm được bể 4 46
3 Máy 2 và máy 3 bơm 1 giờ 30 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba 2 2 bơm được bể 3 12 Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy 1 và 5 5 máy 3 bơm là bể. 12 3 2 5 11 Một giờ cả ba máy bơm được: :2 (bể) 4 3 12 12 Một giờ: 11 3 1 Máy 3 bơm được bể Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể 12 4 6 11 2 1 Máy 1 bơm được bể Máy 1 bơm 1 mình 4 giờ đầy bể 12 3 4 11 5 1 Máy 2 bơm được bể Máy 2 bơm một mình 2 giờ đầy bể 12 12 2 Bài 5. m t y n x O a) Lập luận được: xOm mOy xOy hay 900 mOy xOy yOn nOx xOy hay 900 nOx xOy xOn yOm b) Lập luận được: xOt tOy xOt xOn nOt tOy yOm mOt nOt mOt Ot là tia phân giác của mOn 47
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 Môn: Toán 6 Câu 1. (2,0 điểm) Cho A 2 22 2 3 2 4 2 20 . Tìm chữ số tận cùng của A Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng: n n 1 2 n 1 3 n 1 4 n 1 chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n Câu 4. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7 pq và pq 11cũng là các số nguyên tố. Câu 5. (1,5 điểm) a) Tìm UCLN(7 n 3,8 n 1) n * .Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau. b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, UCLN của chúng bằng 28 và các số đó khoảng từ 300 đến 400 Câu 6. (1,0 điểm) Tìm các số nguyên xy, sao cho : xy 26 x y Câu 7. (2,0 điểm) Cho xAy , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB 5. cm Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD 3, cm C là một điểm trên tia Ay a) Tính BD b) Biết BCD 8500 , BCA 50 .Tính ACD c) Biết AK 1. cm K BD Tính BK. 49
ĐÁP ÁN Câu 1. A.2 2 22 2 3 2 4 2 20 .2 2 2 2 3 2 21 2AAA 221 2 2 21 2 5 Ta có: 221 2 4.5 1 2 4 .2 16 5 .2 165 có tận cùng là 6 nên 165 .2có tận cùng là 2 nên A 2221 có tận cùng là 0 Câu 3. Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau: Th1: n 5thì tích chia hết cho 5 Th2: n chia cho 5 dư 1 thì nk 51 4nk 1 20 5chia hết cho 5 tích chia hết cho 5 Th3: n chia cho 5 dư 2 thì nk 52 2nk 1 10 5chia hết cho 5 tích chia hết cho 5 Th4: n chia cho 5 dư 3 thì nk 53 3nk 1 15 10chia hết cho 5 tích chia hết cho 5 Th5: n chia cho 5 dư 4 thì nk 54 nk 1 5 5 chia hết cho 5 tích chia hết cho 5 Vậy n n 1 2 n 1 3 n 1 4 n 1 chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n Câu 4. Nếu pq 11là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ (vì pq 11 2) pq là số chẵn ít nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2 +giả sử p 2.Khi đó 7p q 14 q ; pq 11 2 q 11 Thử q 2( ktm ), q 3( tm ), q 3có 1 số là hợp số pq 2, 3 +Giả sử q 2, cmtt p 3 50
pq 2, 3 Vậy pq 3, 2 Câu 5. a) Gọi UCLN(7 n 3,8 n 1) d với n * Ta có: 7n 3 d ,8 n 1 d 8. 7n 3 7. 8 n 1 d 31 d d  1;31  Để hai số đó nguyên tố cùng nhau thì d 31 Mà 7n 331 7 n 33131 7 n 431 n 4 31(vì 7 và 31 nguyên tố cùng nhau) n 31 k 4 k Do đó d 31 n 31 k 4 Vậy hai số 7nn 3,8 1nguyên tố cùng nhau khi n 31 k 4 k b) Gọi hai số phải tìm là a, b a , b *, a b ak 28 Ta có: UCLN( a , b ) 28 k , q *, k , q 1 bq 28 Ta có: a b 84 k q 3 Theo bài ra : 300 b a 440 10 q k 16 Chỉ có 2 số 11, 14 nguyên tố cùng nhau và có hiệu là 3 qk 11, 14 a 28.11 308 . Vậy hai số phải tìm là 308,392. b 28.14 392 Câu 6. xy x y 6 x 1 y 2 4( x , y ) x 1 1 1 2 2 4 4 y 2 4 4 2 2 1 1 x 0 2 1 3 3 5 y 6 2 4 0 3 1 Câu 7. 51
y C D A B a) Vì B Ax, D tia đối tia Ax Anằm giữa D và B BD BA AD 5 3 8 cm b) Vì A nằm giữa D và B nên tia CA nằm giữa hai tia CB, CD ACD ACB BCD ACD BCD ACB 850 50 0 35 0 c) *Trường hợp 1: K thuộc tia Ax Chứng minh được K nằm giữa A và B AK KB AB KB AB AK 5 1 4( cm ) D A K B x *Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax -Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B Suy ra : KB KA AB KB 5 1 6 cm D K A B x Vậy KB 4 cmhoặc KB 6 cm 52
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN HOẰNG HÓA NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN 6 Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 2 5 1 2 aA) :5 . 3 3 6 18 23 bB) 3. 5. 5 2 :11 16  2015 1 1 1 1 cC) 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2014.2016 Bài 2. 2 a) Tìm số tự nhiên x biết: 8.6 288: x 3 50 b) Tìm các chữ số xy, để A x183 ychia cho 2;5 và 9 đều dư 1 c) Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 1chia hết cho 3 Bài 3. 5 a) Cho biểu thức : B n ,3 n n 3 Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B nguyên b) Tìm các số nguyên tố xy, sao cho xy22 117 c) Số 2100 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số. Bài 4. Cho góc xBy 550 .Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm ACABCB,; . Trên đoạn thẳng AC lấy diểm D sao cho ABD 300 a) Tính độ dài AC, biết: AD 4 cm , CD 3 cm b) Tính số đo của DBC c) Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz 900 .Tính số đo ABz Bài 5. a) Tìm các chữ số abc,,khác 0 thỏa mãn abbc ab ac 7 1 2015 94 b) Cho A 732012 92 . Chứng min A là số tự nhiên chia hết cho 5. 2 53
ĐÁP ÁN Bài 1. 2 5 12 2 1 1 1 aA) :5 . 3 3 6 18 3 6 2 3 23 bB) 3. 5. 5 2 :11 16  2015 3. 5. 33:11  16  2015 2012 1 1 1 1 cC) 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2014.2016 22 3 2 2015 2 2.3.4 2015 . 2.3.4 2015 2015 . 1.3 2.4 2014.2016 1.2.3 2014 . 3.4.5 2016 1008 Bài 2. 222 x 3 12 x 15( tm ) a) Biến đổi được: x 3 144 12 12 x 3 12 x 9( ktm ) b) Do Ax 1831chia cho 9 dư 1 xx 1 8 3 1 1 9 6 Vậy xy 6; 1 c) Xét số nguyên tố p khi chia cho 3. Ta có: pk 31hoặc p 3 k 2 k * 2 Nếu p 3 k 1 p22 1 3 k 1 1 9 k 6 k 3 2 Nếu pk 32thì p22 1 3 k 2 1 9 k 12 k 3 3 Vậy p2 13 Bài 3. a) Để B nhận giá trị nguyên thì n 3 U (5)  1; 3  n  2;2;4;8  b) Với x 2 222 117 121 y 121 y 11(là số nguyên tố) Với xx 2, là số nguyên tố nên x lẻ yx22 117là số chẵn Nên y chẵn, kết hợp với y nguyên tố nên y 2( ktm ) Vậy xy 2; 11 c) Ta có: 1030 1000 10 và 2100 1024 10 10 30 2 100 (1) Lại có 2100 2 31 .2 63 .2 6 2 31 .512 7 .64và 1031 2 31 .5 28 .5 3 2 31 .625 7 .125 Nên 2100 10 31 2 54
Từ (1) và (2) suy ra số 2100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số. Bài 4. x A z D B y C z' a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C AC AD CD 4 3 7 cm b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA, BC nên ta có: ABC ABD DBC DBC ABC ABD 550 30 0 25 0 c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa 2 tia Bz, BD Tính được: ABz 900 ABD 90 0 30 0 60 0 - Trường hợp 2: Tia Bz và BD nằm về cùn nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia Bz, BA Tính được: ABz 900 ABD 90 0 30 0 120 0 Bài 5. a) Ta có: abbc ab. ac .7 (1) 100ab bc 7. ab . ac ab . 7 ac 100 bc bc bc 7.ac 100 . Do 0 10 0 7. ac 100 10 ab ab 100 110 100 7.ac 110 14 ac 16 ac 15 77 55
Thay vào (1) được: 1bb 5 1 b .15.7 1005 110 b 1050 105 b b 9 Vậy a 1, b 9, c 5 b) Vì 2012, 92 đều là bội của 4 nên 20122015 và 9294 cũng là bội của 4 20122015 4m ( m *);92 4 n n * 2015 94 Khi đó 72012 3 92 7 4mn 3 4 1 1 0 vậy 1 2015 94 A có tận cùng là 0 nên chia hết cho 10 nên A 72012 3 92 5 2 56
TRƯỜNG THCS LÝ NHÂN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TP BUÔN MÊ THUỘC CẤP TRƯỜNG 2018-2019 MÔN TOÁN 6 Câu 1. (1,5 điểm) Thực hiện phép tính 3 3 3 3 3 24.47 23 aA). 7 11 1001 13 24 47 23 9 9 9 9 9 1001 13 7 11 1 2 22 2 3 2 2012 bM) 222014 Câu 2. (2,5 điểm) a) Cho S 5 52 5 3 5 4 5 5 5 6 5 2012 .Chứng tỏ S chia hết cho 65 b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11 c) Chứng tỏ: An 10n 18 1chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên) Câu 3. (2 điểm) a) Tìm xy, nguyên biết: 2x 3 y 2 3 y 2 55 1 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng: 42 6 2 8 2 2n 2 4 Câu 4. (2,5 điểm) Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng a0 , vẽ tia OD tạo với tia OC một góc 0 0 bằng a 10 và với tia OB một góc a 20 . Tính a b) Tính góc xOy , biết AOx 220 và BOy 480 c) Gọi OE là tia đối của tia OD,tính số đo góc kề bù với góc xOD khi AOC bằng a0 Câu 5. (1,5 điểm) Cho A 102012 10 2011 10 2010 10 2009 8 a) Chứng minh rằng Achia hết cho 24 b) Chứng minh rằng Akhông phải là số chính phương 57
ĐÁP ÁN Câu 1. a) Đặt ABC . 24.47 23 1105 B 24 47 23 48 1 1 1 1 31 7 11 1001 13 1 C 1 1 1 1 3 91 1001 13 7 11 1105 A 144 b) Đặt AA 1222 2 2 3 2012 2 2013 1 1 Đặt B 22014 2 2 2 2013 1 M 2 Câu 2. aS) 5 52 5 3 5 2012 5 52 5 3 5 4 5 2009 5 2010 5 2011 5 2012 5 52 5 3 5 4 5 2009 . 5 5 2 5 3 5 4 Vì 5 5234 5 5 780 65 Vậy S chia hết cho 65 b) Goi số cần tìm là a ta có: a 6 11; a 1 4; a 11 19 a 6 33 11; a 1 28 4; a 11 38 19 a 27 11, a 27 4, a 27 19 Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a 27nhỏ nhất suy ra: a 27 BCNN 4,11,19 a 809 c) A 10nn 18 n 1 10 1 9 n 27 n 999 9 9n 27 n so9 9. 11 11 nn 27 n so1 Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó 58
111 1 n 9 nên 9. 11111 1 n 9 nên 9. 111 1 n 27. V y A 27 ậ n n so1 n Câu 3. a) 2x 3 y 2 3 y 2 55 55 3y 221 x 5521 x (1) 32y Để x nguyên thì 3yU 2 (55)  1; 11; 55; 5  )3y 2 1 y 1 x 28 7 )3y 2 5 3 y 7 y ( ktm ) 3 13 )3y 2 11 y ( ktm ) 3 )3y 2 55 y 19 x 1 1 )3y 2 1 y ( ktm ) 3 )3y 2 11 y 3 x 2 53 )3y 2 55 y ( ktm ) 3 Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thỏa mãn là: xy,  28;1 ; 1;19 ; 5; 1 ; 2; 3  59
b) Ta có: 1 1 1 1 A 42 6 2 8 2 2n 2 1 1 1 1 A 2.2 2 2.3 2 2.4 2 2.n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c) A . 2 2 2 2 . 4 2 3 4n 4 1.2 2.3 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 A . 4 1 2 2 3nn 1 1 1 1 A . 1 ( dfcm ) 44 n Câu 4. Học sinh tự vẽ hình a) Do OC, ODnằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và COD COA( a 10 a )nên tia OC nằm giữa hai tia OA và OD AOC COD DOB AOB a00 a 10 00 a 20 180 3aa 300 180 0 50 0 b) Ta có: AOy 1800 BOy 180 0 48 0 132 0 AOx 22 0 Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy AOx xOy AOy 220 xOy 132 0 xOy 110 0 c) Vì tia OC nằm giữa hai tia OA, OD nên: AOC COD AOD AOD a0 a10 0 2 a 10 0 2.50 0 10 0 110 0 Vì AOx AOD 2200 110 nên tia Ox nằm giữa hai tia OA, OD AOx xOD AOD 220 xOD 110 0 xOD 110 0 22 0 88 0 Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là: 1800 88 0 92 0 Câu 5. a) Ta có: 60
A 103 10 2009 10 2008 10 2007 10 2006 8 8.125. 102009 10 2008 10 2007 10 2006 8 2009 2008 2007 2006 8. 125. 10 10 10 10 1 8 1 Ta lại có các số: 102012 ;10 2011 ;10 2010 ;10 2009 có tổng các chữ số bằng 1, nên các số 102012 ;10 2011 ;10 2010 ;10 2009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1, 8 chia 3 dư 2 Vậy Achia hết cho 3 (2) Và 3,8 1 (3) Từ 1 , 2 , 3 A 24 b) Ta có các số 102012 ;10 2011 ;10 2010 ;10 2009 đều có chữ số tận ùng là 0 nên A 102012 10 2011 10 2010 10 2009 8có chữ số tận cùng là 8 Vậy A không phải là số chính phương vì số chính phương là những số có tận cùng là 0;1;4;5;6;9 61
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM 2018-2019 QUỲNH LƯU Môn Toán lớp 6 Câu 1. (2 điểm) a) Tính nhanh: 16 27 7.6 94.7 27.99 2 2 2 2 b) Tính tổng: A 1.4 4.7 7.10 97.100 Câu 2. (2 điểm) Cho biểu thức : M 5 52 5 3 5 80 . Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho 6 b) M không phải là số chính phương. Câu 3. (2 điểm) 25n a) Chứng tỏ rằng: n là phân số tối giản n 3 25n b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B có giá trị là số nguyên. n 3 Câu 4. (1 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11. Câu 5. (2 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy,, Oz Ot sao cho xOy 300 , xOz 70 0 , xOt 110 0 . a) Tính yOz, zOt b) Trong 3 tia Oy,, Oz Ot tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ? c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của yOt 1 1 1 1 Câu 6. (1 điểm) Chứng minh rằng: 1 22 3 2 4 2 100 2 62
ĐÁP ÁN Câu 1. a)16 27 7.6 94.7 27.99 16 27 7.6 94.7 27.99 16 27 27.99 7.6 94.7 16 27.100 7.100 16 100. 27 7 16 100.20 2000 16 2016 2 2 2 2 bA) 1.4 4.7 7.10 97.100 2111111 11 211 33 . . 3 1 4 4 7 7 10 97 100 3 1 100 50 Câu 2. aM) 5 52 5 3 5 80 5 52 5 3 5 4 5 79 5 80 5 52 5 2 . 5 5 2 5 78 . 5 5 2 30. 1 52 5 78 30 b) Ta thấy : M 5 52 5 3 5 80 chia hết cho 5 (1) Mặt khác, do 52 5 3 5 80 chia hết cho 52 M 5 52 5 3 5 80 không chia hết cho 25 (2) Từ (1) và (2) suy ra M không là số chính phương. Câu 3. a) Gọi d là ước chung của n 3và 25n với d nd3 và 25nd 2325 n n d 1 d d 1 UC n 3,251 n 25n UCLN( n 3,2 n 5) 1 n là phân số tối giản. n 3 2n 52 n 3 1 1 b) Ta có: 2 n 3 n 3 n 3 63
1 Để B có giá trị nguyên thì nguyên n 3 1 n 3 n 3 U (1)  1  n  4; 2  Câu 4. Goi số phải tìm là x Theo bài ra ta có: x 2chia hết cho 3,4,5,6 x 2là bội chung của 3,4,5,6 Mà BCNN(3,4,5,6) 60 x 2 60 n Do đó z 60 n 2 n 1;2;3; Mặt khác x 11nên lần lượt cho n 1;2;3; Ta thấy nx 7 418 11 Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418 Câu 5. z t y 30 x O a) xOy xOz 3000 70 Tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz yOz 700 30 0 40 0 xOz xOt 7000 110 Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot zOt 1100 70 0 40 0 b) xOy xOt 3000 110 Tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Ot yOt 1100 30 0 80 0 Theo trên, yOz 400 yOz yOt 40 0 80 0 Oz nằm giữa hai tia Oy, Ot 64
c) Theo trên, tia Oz nằm giữa hai tia Oy, Ot và yOz 4000 , zOt 40 Oz là tia phân giác của yOt Câu 6. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 22 3 2 4 2 100 2 1.2 2.3 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 99 100 100 65
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỒNG THÁP Năm học 2018-2019 Môn Toán 6 Câu 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính: 9 6 14 5. 22 .3 2 . 2 2 2. 2 2 .3 .3 4 1) A 5.228 .3 18 7.2 29 .3 18 12 12 12 5 5 5 12 5 158158158 2)B 81.7 289 85 : 13 169 91 . 4 4 4 6 6 6 46 711711711 7 289 85 13 169 91 Câu 2. (4,0 điểm) 1) So sánh P và Q 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Biết : P và Q 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2) Tìm hai số tự nhiên a, b biết: BCNN( a , b ) 420; UCLN ( a , b ) 21và ab 21 Câu 3. (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng: Nếu 7xy 4 37thì 13xy 18 37 2 3 4 2012 2013 1 3 3 3 3 3 3 2) Cho A và B :2 2 2 2 2 2 2 2 Tính BA Câu 4. (6,0 điểm) Cho xAy , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB 6. cm Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD 4 cm 1) Tính BD 2) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BCD 8000 , BCA 45 .Tính ACD 3) Biết AK 2 cm K BD . Tính BK Câu 5. (2,0 điểm) x 31 1) Tìm các số tự nhiên xy, sao cho: 9y 18 10n 3 2) Tìm số tự nhiên n để phân số B đạt GTLN. Tìm giá trị lớn nhất. 4n 10 66
ĐÁP ÁN Câu 1. 2 29 2 6 2 14 4 5. 2 .3 . 2 2. 2 .3 .3 5.2.318 .2 12 2.2 28 .3 14 .3 4 aA) 5.228 .3 18 7.2 29 .3 18 5.2 28 .3 18 7.2 29 .3 18 5.230 .3 18 2 29 .3 18 229 .3 18 . 5.2 1 2.9 2 228 .3 18 .(5 7.2) 2 28 .3 18 . 5 14 9 1 1 1 1 1 1 12. 1 5. 1 7 289 85 13 169 91 158.1001001 bB) 81. :. 11 1 1 1 1 711.1001001 4. 1 6. 1 7 289 85 13 169 91 12 5 158 18 2 324 81. : . 81. . 4 6 711 5 9 5 Câu 2. a) Ta có: 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Q 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2011, 2010, 2012 ta thấy PQ am 21 b) Vì UCLN( a , b ) 21 , m , n 1 bn 21 Vì BCNN( a , b ) 420 BCNN (21 m ,21 n ) 420 21.20 BCNN ( m , n ) 20 Vì a 21 b 21 m 21 21 n m 1 n(*) mn 4, 5 Trong các trường hợp cần xét chỉ có là thỏa (*) mn 2, 3 mn 4, 5 a 21.4 84 Vậy với mn 2, 3 b 21.5 105 Câu 3. a) Ta có 5 13xy 18 4 7 xyxyxyxyxy 4 65 90 28 16 37 74 37 2 37 Hay 5 13x 18 y 4 7 x 4 y 37(*) 67
Vì 7xy 4 37mà 4,37 1 4 7xy 4 37 Do đó, từ (*) suy ra: 5 13xy 18 37mà 5,37 1nên:13xy 18 37 b) Ta có: 2 3 4 2012 1 3 3 3 3 3 A (1) 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2012 2013 3 3 3 3 3 3 3 A 2 2 4 2 2 2 2 2 Lấy (2) – (1) ta được: 2013 3 3 3 1 3 32013 1 AAA 2012 2 2 4 2 2 2 2 3352013 2013 Vậy BA 22014 2 2012 2 Câu 4. y C x D A B a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax Anằm giữa D và B BD BA AD 6 4 10( cm ) b) Vì A nằm giữa D và B nên tia CA nằm giữa hai tia CB, CD ACD ACB BCD ACD BCD ACB 800 45 0 35 0 c) Trường hợp 1: K thuộc tia Ax 68
Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B Suy ra AK KB AB KB AB AK 6 2 4( cm ) D A K B x Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax -Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B Suy ra : KB KA AB 6 2 8 cm D K A B x Vậy KB=4cm hoặc KB=8cm Câu 5. x3 1 x 1 3 2 x 1 3 a) Từ 9y 18 9 18 y 18 y 2xy 1 54 1.54 2.27 3.18 6.9 Vì x là số tự nhiên nên 21x là ước số lẻ của 54. 21x 1 3 9 27 x 1 2 5 14 y 54 18 6 2 Vậy xy; 1;54 ; 2;18 ; 5;6 ; 14;2 10n 3 22 b) B 2,5 4nn 10 4 10 22 22 Vì n nên B 2,5 đạt GTLN khi đạt GTLN 4n 10 4n 10 22 Mà đạt GTLN khi 4n 10là số nguyên dương nhỏ nhất 4n 10 11 *)4n 10 1 n ( ktm ) 4 *)4nn 10 2 3 Vậy GTLN của B là 13,5 khi n 3 69
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TƯ NGHĨA Năm học 2018-2019 Môn thi:Toán 6 12n 1 Câu 1. (3,0 điểm) Cho A . Tìm giá trị của n để: 23n a) A là một phân số b) A là một số nguyên Câu 2. (4,0 điểm) a) Không quy đồng hãy tính tổng sau: 1 1 1 1 1 1 A 20 30 42 56 72 90 b) So sánh P và Q biết: 2010 2011 2012 2010 2011 2012 P và Q 2011 2012 2013 2011 2012 2013 Câu 3. (3,0 điểm) Tìm x,biết: ax) 7 11 3 252 .5 200 13 bx)3 16 13,25 34 3 Câu 4. (3,0 điểm) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng số còn lại. Cuối năm 7 2 có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng số còn lại. Tính số học 3 sinh của lớp 6A. Câu 5. (2,0 điểm) Cho ababab là số có 6 chữ số, chứng tỏ số ababab là bội của 3 Câu 6. (5,0 điểm) Cho xAy,trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB 5. cm Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD 3, cm C là một điểm trên tia Ay a) Tính BD. b) Biết BCD 8500 , BCA 50 .Tính ACD c) Biết AK 1. cm K BD Tính BK 70
ĐÁP ÁN 12n 1 n Câu 1. a) A là phân số khi 12n 1 ,2 n 3 ,2 n 3 0 23n n 1,5 12n 1 17 b) A 6 2nn 3 2 3 Alà số nguyên khi 2n 3 U (17) 2 n 3 1; 17  n  10; 2; 1;7  Câu 2. 1 1 1 1 1 1 aA) 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 1 1 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 5 6 6 7 9 10 1 1 3 4 10 20 2010 2011 2012 2010 2011 bQ) 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2012 2011 2012 2013 2010 2010 Ta có: 2011 2012 2013 2011 2011 2011 2012 2012 ; 2011 2012 2013 2012 2011 2012 2013 2013 PQ Câu 3. 71
3 52 13 ax) 7 11 2 .5 200 bx)3 16 13,25 34 7x 113 800 200 10 67 53 3 x 7x 11 1000 103 3 4 4 10 53 67 7xx 11 10 3 x 30 3 4 4 x 9 Câu 4. 3 Số học sinh giỏi kỳ I bằng số học sinh cả lớp 10 2 Số học sinh giỏi cuối năm bằng số học sinh cả lớp 5 2 3 1 4 học sinh là : (số học sinh cả lớp) 5 10 10 1 Số học sinh 6A là : 4: 40 (học sinh) 10 Câu 5. ababab ab.10101 3 ababablà bội của 3 72
Câu 6. y C D A B a) Vì B Ax, D tia đối tia Ax Anằm giữa D và B BD BA AD 5 3 8 cm b) Vì A nằm giữa D và B nên tia CA nằm giữa hai tia CB, CD ACD ACB BCD ACD BCD ACB 850 50 0 35 0 c) *Trường hợp 1: K thuộc tia Ax Chứng minh được K nằm giữa A và B AK KB AB KB AB AK 5 1 4( cm ) D A K B x *Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax -Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B Suy ra : KB KA AB KB 5 1 6 cm D K A B x Vậy KB 4 cmhoặc KB 6 cm 73
UBND HUYỆN VĨNH LỘC KỲ THI HỌC SINH GIỎI THCS PHÒNG GD VÀ ĐT Môn: Toán 6 Năm học 2017-2018 Bài 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính: aA) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 8.8 2 3.4.216 bB) 11.213 .4 11 16 9 131313 131313 131313 cC) 70. 565656 727272 909090 1 1 1 1 d) Thực hiện phép tính: B 4.9 9.14 14.19 64.69 Bài 2. (4,0 điểm) Tìm x biết: 1 2 7 ax)2 2 3 3 bx) 3 54 .8 : 4 18 c) 2 x 15 53 2 x 15 d) x x 1 x 2 x 2013 2035147 Bài 3. (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, còn chia cho 7 thì dư 3. b) Tìm xy, nguyên biết: x y xy 40 c) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 còn khi chia a 9 ta được số dư là 5. Tìm số dư trong phép chia a cho 36 Bài 4. (6,0 điểm) Cho xBy 550 .Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm AC, sao cho ABCB ,.Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD 300 a) Tính độ dài AC, biết AD 4 cm , CD 3 cm b) Tính số đo DBC c) Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz 900 . Tính số đo ABz Bài 5. (2,0 điểm) 2 3 4 2016 2017 Cho tổng T 21 2 2 2 3 2 2015 2 2016 So sánh T với 3 74
ĐÁP ÁN Bài 1. aA) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 8.8 1.2.3 8. 9 1 8 0 1622 2 16 3.4.2 3.2 .2 9.236 bB) 11.213 .4 11 16 9 11.2 13 .2 22 2 36 11.2 35 2 36 9.236 9.2 36 2 235 . 11 2 2 35 .9 131313 131313 131313 13 13 13 cC) 70. 70. 565656 727272 909090 56 72 90 1 1 1 1 1 70.13. 70.13. 39 7.8 8.9 9.10 7 10 11 1 11111111 11 dB) . 4.9 9.14 14.19 64.69 5 4 9 9 14 14 19 64 69 1 1 1 13 . 5 4 69 276 Bài 2. 1 2 1 2 1 10 a) 2 x 4 2 x 4 2 x 2 3 2 3 2 3 1 10 17 17 22x x x 2 3 6 12 1 10 23 23 22x x x 2 3 6 12 bx) 3 54 .8 : 4 18 3xx 54 .8 72 3 54 9 3xx 63 21 75
c) 2 x 15 53 2 x 15 2xx 15 53 2 15 0 2xx 1532 . 2 15 1 0 2x 15 3 0 2 x 15 0 x 7,5 222 2xx 15 1 8 2xx 15 1 0 2 15 1 2xx 15 1 7 Vay x 7;7,5;8  d) x x 1 x 2 x 2013 2035147 2014x 1 2 3 2013 2035147 2014x 2027091 2035147 2014xx 8056 4 Bài 3. a) Gọi a là số tự nhiên cần tìm Vì a chia cho 3,4,5,6 đều dư 2 nên a 2chia hết ch0 3,4 ,5,6 a 2 BC 3;4;5;6 , BCNN(3,4,5,6) 60 aa 2  0;60;120;180   2;62;122;182;  Mà a là số nhỏ nhất và chia cho 7 dư 3 a 122 b) x y xy 40 y 1 x y 141 x 1141 y Mà xy, nguyên nên xy 1, 1là ước của 41 Tính được xy,  40,0 ; 0;40 ; 2; 42 ; 42; 2  c) Theo đề bài ta có: a 4 p 3 9 q 3( p , q ) a 13 4 p 3 13 4 p 4 (1) a 13 9 q 5 13 9 q 2 2 Từ (1) và (2) ta nhận thấy a 13là bội của 4 và 9 mà 4,9 1 a 13là bội của 4.9 36 Ta có a 13 36 k k a 36 k 13 36 k 1 23 Vậy a chia cho 36 dư 23. 76
Bài 4. y C z D x B A z a) Vì D thuộc đoạn AC nên D nằm giữa A và C AC AD CD 4 3 7( cm ) AC 7 cm b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA, BC Ta có đẳng thức : ABC ABD DBC DBC ABC ABD 550 30 0 25 0 c) Xét hai trường hợp (học sinh vẽ hình trong 2 trường hợp) - Trường hơp 1:Tia Bz và BA nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là BD Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD Tính được: ABz DBz ABD 900 30 0 60 0 - Trường hợp 2: Tia Bz 'và BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là BD Lập luận tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA Tính được: ABz DBz ABD 900 30 0 120 0 Bài 5. 2 3 4 2016 2017 T 1 2 3 2015 2016 2 2 2 2 2 3 4 2016 2017 2T 2 21 2 2 2 2014 2 2015 3 2 4 3 2016 2015 2017 2016 2017 2TT 2 21 2 1 2 2 2 2 2 2014 2 2014 2 2015 2 2015 2 2016 77
1 1 1 2017 T 2 21 2 2 2 2015 2 2016 1 1 1 1 1 1 Đặt NN 2 1 21 2 2 2 2015 2 1 2 2 2 2014 1 2NNN 1 1 22015 2017 2017 Nên TT 2 1 3 3 222016 2016 78
KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN 6 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1. a) Tính giá trị biểu thức: 20102010 . 7 10 :7 8 3.2 4 2 2010 : 2 2010 b) So sánh hai số: 3210 và 2350 Câu 2. Cho tổng S 1 3 5 2009 2011 a) Tính S b) Chứng tỏ S là một số chính phương c) Tìm các ước nguyên tố khác nhau của S Câu 3. a) Tìm giá trị n là số tự nhiên để n 7 chia hết cho n 2 b) Tìm x là số chia trong phép chia 235cho x được số dư là 14 Câu 4. a) Tìm số tự nhiên x có ba chữ số sao cho x chia cho 7;8;9 đều dư 2 b) Cho n là số tự nhiên bất kỳ Chứng minh n 3 và 25n là hai số nguyên tố cùng nhau Câu 5. Trong mặt phẳng cho 6 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng a) Vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng đi qua các điểm đã cho b) Vẽ được bao nhiêu tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. 79
ĐÁP ÁN Câu 1. a)20102010 . 7 10 :7 8 3.2 4 2 2010 :2 2010 2010 2010 . 49 3.16 1 0 70 70 b)33210 3.70 3 3 27; 70 22 350 5.70 2 5 32 70 Vì 2770 32 70 nên suy ra 32210 350 Câu 2. 2011 1 2011 1 2 aS) 1 3 5 2009 2011 . 1 1006 1012036 22 b) S 22 .503 2 1006 2 là số chính phương c) S có hai ước nguyên tố là: 2 và 503 Câu 3. a) x 7 x 25 x 2 x 2 U (5)  1;5  x  3; 1; 7;3  bx)235: dư 14 235 14x x 14 221 x x 14 x  17;221  Câu 4. a) Tìm x : x chia cho 7;8;9 dư 2 và x có ba chữ số x 2 7;8;9và x có ba chữ số x 2 BC 7;8;9 và x có ba chữ số x 504 2 506 b) Gọi d n 3,2 n 5 n 3 d ;2 n 5 d 2 n 3 d ,2 n 5 d 2n 6 2 n 5 d 1 d d 1 Vậy n 3và 25n là hai số nguyên tố cùng nhau. Câu 5. a) Số đoạn thẳng vẽ được là: 6.5 : 2 15(đoạn thẳng) b) Số tam giác vẽ được là: 15.4 :3 20 (tam giác) 80
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019-2020 DUY XUYÊN Môn Toán 6 Câu 1. a) Tìm các số tự nhiên xy, sao cho 2xy 1 5 12 b) Tìm số tự nhiên n sao cho 45n chia hết cho 21n c) Tìm tất cả các số B 62 xy 427 , biết rằng B chia hết cho 99 Câu 2. Tìm x a)5x 125 b )32 x 81 c )5 2 x 3 2.5 2 5 2 .3 Câu 3. 12n 1 a) Chứng tỏ rằng: là phân số tối giản 30n 2 1 1 1 b) Chứng minh rằng: 1 22 3 2 100 2 Câu 4. So sánh các phân số: 23 23232323 2323 232323 ;;; 99 99999999 9999 999999 Câu 5. Hai lớp 6AB ,6 cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6Acó 1 bạn thu được 24kg còn lại mỗi bạn thu được 11kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 23kg còn lại mỗi bạn thu 10kg .Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200kg đến 300kg 81
ĐÁP ÁN Câu 1. a) Ta có: 2x 1; y 5 U (12) 1.12 2.5 3.4 2x 1 1 x 0; y 17 Do 21x lẻ 2x 1 3 x 1; y 9 Vậy xy; 0,17 ; 1,9 b) Ta có: 4nn 5 2 2 1 3 Để 4n 52 n 1 32 n 1 2 n 1 U (3)  1;3  n  1;2  c) Ta có 99 9.11 BBB99 11; 9 xy 6 B9 6 2 4 7 2 x y 9 21 x y 9 xy 15 B11 7 4 x 6 2 2 y 11 13 x y 11 x y 9( ktm ) vs y x 2 y x 2& x y 6 x 2; y 4 y x 2 & x y 15( ktm ) Vậy B 6224427 Câu 2. ax)5x 125 53 3 b)324x 81 3 2 x 4 x 2 c)52x 3 2.5 2 5 2 .3 52x 3 5 2 .3 5 2 .2 5 3 2x 3 3 2 x 6 x 3 Câu 3. a) Gọi d là ước chung của 12nn 1;30 2 ta có: 5 12n 1 2 30 n 2 1 d d 1nên 12nn 1;30 2nguyên tố cùng nhau 12n 1 Do đó là phân số tối giản. 30n 2 b) Ta có: 82
11 111 1 111 11 1 22 3 2 100 2 1.2 2.3 99.100 2 2 3 99 100 1 1 1 1 99 1 1 22 3 2 100 2 100 100 Câu 4. 23 23.101 2323 99 99.101 9999 23 23.10101 232323 99 99.10101 999999 23 23.1010101 23232323 99 99.1010101 99999999 23 2323 232323 23232323 99 9999 999999 99999999 Câu 5. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x() kg thì xx 24 11; 23 10 x 13 10,11 Do đó x 13 BC 10;11  0;110;220;330;  Mà số kg giấy nằm trong khoảng 200 đến 300 xx 13 220 233 Số học sinh lớp 6A: 233 24 :11 1 20(học sinh) Số học sinh lớp 6B : 233 23 :10 1 22học sinh 83
ÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LÂM THAO Môn Toán 6 Năm học 2018-2019 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị A. 30 B.40 C. 45 D. 55 Câu 2. Tổng của hai số tự nhiên là 102. Nếu thêm chữ số 0 vào bên phải số bé rồi cộng với số lớn ta được tổng mới là 417. Khi đó số lớn là: A. 43 B. 54 C. 60 D. 67 Câu 3. Kết quả của phép tính 1 2 3 4 5 6 99 100là: A. 50 B. 50 C. 100 D. 0 Câu 4. Tập hợp các số nguyên n để nn 31 là A. 0;1; 2; 3  B. 0;1  C.  2; 3  D.  1; 2  Câu 5. Cho 7 ô liên tiếp sau 13 a 27 Biết rằng tổng của ba ô bất kỳ luôn bằng 0. Khi đó giá trị của a là : A. 13 B. 27 C. 13 D. 27 4 6 9 7 7 5 3 11 Câu 6. Cho A và B 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 A Tỷ số là: B 7 7 5 11 A. B. C. D. 4 2 2 4 Câu 7. Trung bình cộng của tử số và mẫu số của một phân số là 68. Cộng thêm vào tử 3 số của phân số đó 4 đơn vị thì ta được phân số mới bằng phân số .Phân số lúc đầu là: 2 84 76 75 80 A. B. C. D. 52 60 61 56 Câu 8. Trên đường thẳng a lấy ba điểm MNP,,sao cho MN 2 cm , NP 5 cm .Khi đó độ dài đoạn thẳng MP bằng: A. 3cm B. 7cm C. 3cm hoặc 7cm D. 3,5cm Câu 9. Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm vẽ một đường thẳng. Số đường thẳng vẽ được là: A. 200 B. 4950 C. 5680 D. 9900 Câu 10. Cho xOy 800 ,tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy sao cho xOz 300 . Số đo yOz là A. 500 B. 1100 C. 500 hoặc 1100 D. 800 . Câu 11. Cho xOy 800 ,Oz là tia phân giác của góc xOy, Ot là tia phân giác của xOz . Số đo của yOt là: 84
200 B. 400 C. 500 D. 600 Câu 12. Có 9 miếng bánh chưng cần ráng vàng cả hai mặt. Thời gian ráng mỗi mặt cần 3 phút. Nếu dùng một chiếc chảo mỗi lần chỉ ráng được nhiều nhất 6 miếng thì cần thời gian ít nhất là bao lâu để ráng xong 9 miếng bánh chưng đó A. 9 phút B. 12 phút C. 18 phút D. 27 phút II. PHẦN TỰ LUẬN Câu 1. (4 điểm) a) Cho biết ab 4 chia hết cho 13 ab,. Chứng minh rằng 10 b 13 b) Tìm số nguyên tố ab a b 0 sao cho ab ba là số chính phương Câu 2. (4 điểm) a) Cho M a b b c a c a .Trong đó bc, còn a là một số nguyên âm. Chứng minh rằng biểu thức M luôn dương b) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Câu 3. (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB, Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA,. OB a) Chứng tỏ rằng OA OB b) Trong ba điểm OMN,,điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại. c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB) Câu 4. (2 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 1234 2017 1111 1 B 2017 : 4 5 6 7 2020 20 25 30 35 10100 ĐÁP ÁN I.trắc nghiệm 1C 2D 3B 4A 5B 6C 7D 8C 9B 10A 11D 12A II. tự luận Câu 1. a)4 b 13 10 a 40 b 13 10 a b 39 b 13 Do39 b 13 10 a b 13 b) ab  43;73  Câu 2. a) Ma mà a là số nguyên âm nên M luôn dương b) xy 0, 0hoặc xy 2, 2 Câu 3. a) Lập luận chứng tỏ được OA OB b) Lập luận chứng tỏ OM ON nên M nằm giữa hai điểm O và N AB c) MN .Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi. 2 Câu 4. B 15 85
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học : 2019-2020 Môn: Toán 6 Bài 1. (2,0 điểm) 2 3 .333 .5 .7.8 a) Rút gọn phân số: 3.534 .2 .42 7 15 15 7 b) So sánh không qua quy đồng: AB ; 102005 10 2006 10 2005 10 2006 Bài 2. (2,0 điểm) Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: 1 1 1 1 1 1 aA) 20 30 42 56 72 90 5 4 3 1 13 bB) 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 3. (2,0 điểm) Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65kg ,71 kg ,58 kg ,72 kg ,93 kg .Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài. Bài 4. (3,0 điểm) Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng 5 lần góc AOB a) Tính số đo mỗi góc b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD c) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA,,, OB OC ODđã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc ? Bài 5. (1,0 điểm) Cho pp,4 là các số nguyên tố p 3 . Chứng minh p 8là hợp số 86
ĐÁP ÁN Bài 1. a) Hs tự rút gọn 7 15 7 8 7 bA) 102005 10 2006 10 2005 10 2006 10 2006 15 7 7 8 7 B 102005 10 2006 10 2005 10 2005 10 2006 88 AB 102006 10 2005 Bài 2. 1 1 1 1 1 1 1 1 aA) 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9.10 1 1 1 1 1 1 3 4 5 9 10 4 10 20 5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 bB) 7. 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7. 7. 3 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 4 Bài 3. Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65 71 58 72 93 359(kg ) Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3. Trong các số 65;71;58;72;93chỉ có 71 chia cho 4 dư 3 Vậy gỉ cam bán đi là giỏ 71kg Số xoài và cam còn lại: 359 71 288(kg ) Số cam còn lại: 288:4 72(kg ) Vậy các giỏ đựng cam: 71kg, 72kg Các giỏ đựng xoài: 65kg, 58kg, 93kg 87
Bài 4. D B A O C a) Vì góc AOB và BOC là hai góc kề bù nên: AOB BOC 1800 mà BOC 5 AOB nên 6.AOB 1800 AOB 30 0 , BOC 150 0 1 b) Vì OD là tia phân giác của BOC nên BOD DOC BOC 750 2 Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD DOC 1800 Do đó: AOD 1800 DOC 180 0 75 0 105 0 c) Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc. Có 2010 tia tạo thành 2010.2009 góc, nhưng như thế mỗi 2010.2009 góc tính 2 lần. Vậy có tất cả 2019045 góc 2 Bài 5. P có dạng 3k 1,3 k 2 k Dạng p 3 k 2 p 4là hợp số trái với đề bài p 3 k 1 p 8 3 k 9 3 p 8là hợp số 88
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018-2019 Môn thi: TOÁN 6 Câu 1.Tính giá trị các biểu thức sau: aA) 1. 1.2 1. 3 1 4 1 2010 . 1 2011 131313 131313 131313 bB) 70. 565656 727272 909090 2a 3 b 4 c 5 d 2a 3 b 4 c 5 d cC) biết 3b 4 c 5 d 2 a 3b 4 c 5 d 2 a Câu 2. Tìm x là các số tự nhiên, biết: x 18 a) 21x 22 0,4 13 bx) : 9 9 11 88 22 1,6 9 11 Câu 3. a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên xy, sao cho 34xy 5 chia hết cho 36 b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: 9 19 9 19 AB ; 102010 10 2011 10 2011 10 2010 n 1 Câu 4. Cho A n 4 a) Tìm n nguyên để Alà một phân số b) Tìm n nguyên để Alà một số nguyên. Câu 5. Cho tam giác ABC có ABC 550 ,trên cạnh AC lấy điểm D ( D không trùng với A và C) a) Tính độ dài AC, biết AD 4 cm , CD 3 cm b) Tính số đo DBC biết ABD 300 c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx 900 .Tính số đo ABx d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với Avà B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau. 89
ĐÁP ÁN Câu 1. a) 1.1. 1 1 .1. 1 1 13 13 13 1 1 1 bB) 70. 70.13. 56 72 90 7.8 8.9 9.10 11 70.13. 39 7 10 2a 3 b 4 c 5 d c) Đặt k 3b 4 c 5 d 2 a 2a 3 b 4 c 5 d Ta có: . . . k44 k 1 k 1 C 4 3b 4 c 5 d 2 a Câu 2. x 18 22 ax) 1 16 4 21x )xx 1 4 3 )x 1 4 x 5( ktm ) Vậy x 3 2 2 2 2 0,4 0,4 1 3 9 11 19 3 9 11 b) x : 9 x : 2 2 88 2 2 22 1,6 4. 0,4 9 11 9 11 x 1 x 2 84 Câu 3. a) Ta có: 36 9.4mà ƯC( 4,9) 1 Vậy để 34xy 5 chia hết cho 36 thì 34xy 5 chia hết cho 4 và 9 34xy 5 chia hết cho 9 khi 3 4 x 5 y 9 12 x y 9 1 34xy 5 chia hết cho 4 khi 5y 4 y 2, y 6 Với y 2thay vào (1) 14 xx 9 4 x 0 Với y 6thay vào (1) 18 x 9 x 9 Vậy các cặp xy, cần tìm là : 4,2 ; 0,6 ; 9,6 b) Ta có: 90
9 19 9 10 9 A 102010 10 2011 10 2010 10 2011 10 2011 9 19 9 10 9 B 102011 10 2010 10 2011 10 2010 10 2010 10 10 Ta thấy AB 102011 10 2010 Câu 4. n 1 a) A là phân số khi nn 4 0 4 n 4 nn 1 4 5 5 b) A 1 n 4 n 4 n 4 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên 5n 4 n 4 U 5  1; 5  Lập luận tìm ra được n 9; 5; 3;1 Câu 5. A E D B C a) D nằm giữa A và C AC AD CD 4 3 7 cm b) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC ABD DBC DBC ABC ABD 550 30 0 25 0 c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được: ABx 900 ABD 91
Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA, BC nên 000 ABD 55 900 55 0 ABx 90 0 0 0 35 0 ABx 90 0 - Trường hợp 2: Tia Bx, BDnằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được: ABx 900 ABD Lập luận tương tự trường hợp 1 chỉ ra được: 9000 ABx 145 Vậy 350 ABx 145 0 , ABx 90 0 d) Xét đường thẳng BD Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ BD chứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A tia BAthuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A E thuộc đoạn AB E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A EC, ở hai nửa mặt phẳng bờ BD đường thẳng BD cắt đoạn EC Xét đường thẳng CE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy 2 đoạn thẳng EC, BDcắt nhau 92
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN BẠCH THÔNG NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN – LỚP 6 Câu 1. (4,0 điểm) a) Thực hiện phép tính A 540: 23,7 19,7 42. 132 75 36 7317 210 .13 2 10 .65 B 28 .104 b) Chứng minh rằng tổng của 5 số tự nhiên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số tự nhiên lẻ liên tiếp chia cho 10 dư 5 Câu 2. (4,0 điểm) a) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2015hay không ? Vì sao ? b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p 11cũng là số nguyên tố. Câu 3. (4,0 điểm) a) Tìm x biết: x 1 x 3 x 5 x 99 0 b) Tìm n biết: 3nn 8 1 Câu 4. (4,0 điểm) 1 1 1 1 a) Tìm tích 1 1 1 1 2 3 4 100 2013.2014 1 2014.2015 1 b) So sánh Avà B biết: A và B 2013.2014 2014.2015 Câu 5. (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB;điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi MN, thứ tự là trung điểm của OA, OB a) Chứng tỏ OA OB b) Trong ba điểm OMN,,điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia OB). 93
ĐÁP ÁN Câu 1. aA) 540: 4 42.171 7317 A 135 7182 7317 0 210 .13 2 10 .65210 .13. 1 5 2 10 .13.6 B 3 28 .104 2 8 .8.13 2 8 .2 3 .13 b) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là:2;2n n 2;2 n 4;2 n 6;2 n 8 Tính tổng ta được: 10n 20 10 Gọi 5 số lẻ liên tiếp là: 2n 1;2 n 3;2 n 5;2 n 7;2 n 9 Tính tổng được: 10nn 25 10 2 5chia cho 10 dư 5 Câu 2. a) Tổng của hai số nguyên tố bằng 2015 là số lẻ, nên một trong hai số nguyên tố phải là 2 Khi đó số kia là 2013, số này là hợp số Vậy không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng 2015 b) Nếu p lẻ p 11là số chẵn lớn hơn 11 nên không là số nguyên tố Suy ra p chẵn p 2 Câu 3. a) Ta có: x 1 x 3 x 5 x 99 0 xx 1 99 .50 0 2 x 50 .50 0 xx 50 0 50 b) Ta có: 3n 8 3 n 3 5 3 n 1 5 Suy ra : 3nn 8 1 khi nU 1 (5)  1; 5  Tìm được: n  6; 2;0;4  Câu 4. a) Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 100 1 2 3 99 1.2.3.4 99 1 . . 2 3 4 100 2.3.4 100 100 94
b) Ta có: 2013.2014 1 1 A 1 2013.2014 2013.2014 2014.2015 1 1 B 1 2014.2015 2014.2015 11 Vì nên AB 2013.2014 2014.2015 Câu 5. O M A N B a) Hai tia OA, OB đối nhau nên điểm Anằm giữa hai điểm O và B, suy ra OA OB OA OB b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB nên OM ; ON 22 Vì OA OB OM ON Hai điểm M và N thuộc tia OB mà OM ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N c) Ta có: OM MN ON MN ON OM OB OA AB Hay MN 22 Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi. 95
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019 GIAO THỦY MÔN TOÁN LỚP 6 Bài 1. 1) Tính tổng A 1.2 2.3 3.4 98.99 1 1 1 1 2) Cho biểu thức : B 52 6 2 7 2 100 2 11 Chứng tỏ rằng B 64 Bài 2. Tìm số nguyên x biết: 2x .2 x 1 .2 x 2 1000 0:5 18 18chu so 0 Bài 3. 1) Cho abc deg 7.Chứng minh abcdeg 7 2) Tìm số nguyên n sao cho nn2 11 Bài 4. Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780. Tính n Bài 5. Tìm các chữ số ab, sao cho ab 4và 7ab 5 1 3 96
ĐÁP ÁN Bài 1. 1)3A 1.2.3 2.3.3 3.4.3 98.99.3 1.2.3 2.3. 4 1 3.4 . 5 2 98.99. 100 97 1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 98.99.100 97.98.99 98.99.100 A 98.33.100 323400 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2)B 52 6 2 100 2 4.5 5.6 99.100 4 5 5 6 99 100 1 1 1 B (1) 4 100 4 11 111 11111 11 B 52 6 2 100 2 5.6 6.7 100.101 5 6 6 7 100 101 1 1 96 96 1 1 BB (2) 5 101 505 576 6 6 1 1 1 1 1 1 Từ (1) và (2) 6 52 6 2 7 2 100 2 4 Bài 2. 2x .2 x 1 .2 x 2 1000 0:5 18 18chu so 0 23x 3 10:5 18 18 2 18 3318xx 5 Bài 3. 1) Ta có: abcdeg 1000. abc deg 1001 1 abc deg 1001 abc abc deg 1001 abc abc deg Vì 1001abc 7.143 abc 7.143. abc 7 (1) abc deg 7 (gt) (2) Từ (1) và (2) suy ra abcdeg 7 2) Ta có: 2 n 2 n n 1 n 1 3 Vì n n 11 n và nn 11 Để nn2 21thì 3n 1 n 1 U (3)  1; 3  n  2;0; 4;2  Bài 4. 97
Mỗi đường thẳng cắt n 1đường thẳng còn lại tạo nên n 1giao điểm Có n đường thẳng nên có nn 1 giao điểm nn 1 Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần nên số giao điểm là 2 Vậy với n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không nn 1 có ba đường thẳng nào đồng quy có giao điểm (1) 2 Theo bài ra với n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780 (2) nn 1 Từ (1) và (2) 780 n n 1 1560 39.40 n 40 2 Bài 5. Vì 75137a b a 5 b 13 a b 133 a b 13 Mà 0 a b 18 a b  2;5;8;11;14;17 (1) Vì ab 4chẵn nên a và b cùng lẻ hoặc cùng chẵn abchẵn (2) Từ (1) và (2) suy ra ab 2;8;14  a b 2; a b 4 a 3, b 1( ktm ) a b 8; a b 4 a 6; b 2( tm ) a b 14; a b 4 a 9; b 5( tm ) Vậy ab 6, 2 hoặc ab 9, 5 98
PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 Trường THCS Trung Nguyên Năm học 2018-2019 Môn Toán 6 Bài 1. (2 điểm) a) Cho ababab là số có 6 chữ số. Chứng tỏ ababab là bội của 3 b) Cho S 5 52 5 3 5 4 5 2004 .Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65. Bài 2. (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết: a) x x 1 x 2 x 2010 2029099 bx)2 4 6 8 2 210 Bài 3. (2,5 điểm) a) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 4931 ,32 2000 b) Chứng tỏ rằng: 102011 8chia hết cho 72 c) So sánh các số sau: 339 và 1121 ;19920 và 200315 Bài 4. (1,5 điểm) Khối 6 của một trường chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10;12;15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính số học sinh khối 6 Bài 5. (1,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Lấy điểm O nằm giữa A và B, lấy điểm I nằm giữa O và B a) Giả sử AB 5 cm , AO 2 cm , BI 2 cm .Tính OI b) Giả sử OA a,. BI b Tìm điều kiện của a và b để AI OB Bài 6. (1 điểm) a) Vẽ 5 đoạn thẳng đôi một cắt nhau sao cho tổng số giao điểm là 10. Giải thích vì sao số giao điểm không thể vượt quá 10 ? b) Cho trước n điểm nn ,2 . Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm được tất cả 210 đoạn thẳng. Tìm n. 99
ĐÁP ÁN Bài 1. a) ababab ab .10101 3 ababab là bội của 3 b) Chứng minh S chia hết cho 126 Có: 55 23456 5 5 5 5 515 32333 515 515 126.(55 23 5)126 S 55234566 5 5 5 5 5.55 23456 5 5 5 5 51998 . 5 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 Tổng trên có 2004:6=334 số hạng chia hết cho 126 nên S 126 *Chứng minh S chia hết cho 130 Có: 5 52 5 3 5 4 5 5 3 5 5 5 3 130 5.130 5 5 2 5 3 5 4 130 S 552344 5 5 555 234 5 5 5.55 2000 234 5 5 Tổng trên có 2004 :4=501 số hạng chia hết cho 130 nên S 130. Bài 2. ax)2011 1 2 2010 2029099 2010.2011 2011x 2029099 2 2010.2011 x 2029099 : 2011 4 2 bx)2 1 2 3 210 xx 1 2. 210 x . x 1 210 14.15 x 14 2 Bài 3. a) Do 49 có chữ số tận cùng là 9, khi đó nâng lên lũy bậc lẻ có chữ số tận cùng là 9 Vậy 4931có chữ số tận cùng là 9 Ta có 322000 32 4.500 có chữ số tận cùng là 0 nên khi nâng lên lũy thừa 4n có tận cùng là chữ số 6. Vậy 322000 có chữ số tận cùng là 6 b) Vì 102011 8có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9 Lại có 102011 8có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 Vậy 102011 8chia hết cho 72. 10 10 c) Ta có: 339 3 40 3 4 81 10 ;11 21 11 20 11 2 121 10 Vì 12110 81 10 nên 1121 3 39 100
Ta có: 19920 200 20 8.25 20 2 60 .5 40 15 200315 2000 15 2 4 .5 3 2 60 .5 45 Vì 260 .5 40 2 60 .5 45 nên 19920 2003 15 Bài 4. Gọi x là số học sinh khối 6 x Theo đề ra ta có: x 3 BC 10,12,15 và xx11, 400 BCNN(10,12,15) 60 x 3;63;123;183;243;303;363;423;543 , mà xx11, 400 x 363 Vậy số học sinh khối 6 là 363 em Bài 5. a) Có hình vẽ đúng Vì I nằm giữa A và B nên AB AI IB AI AB IB 5 2 3 cm O nằm giữa A và I nên AI OA OI OI AI AO 3 2 1 cm b) Vì O nằm giữa A và I nên AI OA OI I nằm giữa O và B nên OB OI IB Để AI OB thì OA BI a b Bài 6. a) Mỗi đoạn thẳng có số giao điểm với bốn đoạn còn lại nhiều nhất chỉ có thể là 4. Vậy với 5 đoạn thẳng thì số giao điểm nhiều nhất là 5.4 20.Nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần do đó số giao điểm nhiều nhất chỉ có 4.5:2 10,suy ra số giao điểm không thể vượt quá 10 b) Qua mỗi cặp điểm vẽ được 1 đoạn thẳng. Có n điểm cho trước vẽ được: nn 1 : 2đoạn thẳng. Số đoạn thẳng vẽ được là : 210 đoạn thẳng nên ta có: n n 1 :2 210 n ( n 1) 210 21.20 Vậy n 21 101
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 -2018 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 6 Câu 1. (5,0 điểm) 10.11 50.55 70.77 a) Rút gọn biểu thức: 11.12 55.60 77.84 b) Tìm số tự nhiên x,biết: 5x .5 x 1 .5 x 2 1000 0: 2 18 18 chu so 0 c) Tìm hiệu ab ,biết rằng: a 1.2 2.3 3.4 98.99và b 12 2 2 3 2 98 2 Câu 2. (3,0 điểm) a) Cho A 5 52 5 100 .Tìm số tự nhiên n,biết rằng: 4.A 5 5n 18n 3 b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số có thể rút gọn được. 21n 7 Câu 3. (5,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19dư 11. b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2016 2018 là số nguyên tố hay hợp số c) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp đôi tích các chữ số của nó Câu 4. (6,0 điểm) Cho hai góc AOx 380 và BOx 1120 .Biết rằng AOx và BOxkhông kề nhau a) Trong 3 tia OA,, OB Ox tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ? b) Tính số đo góc AOB c) Vẽ tia phân giác OM của góc AOB.Tính số đo góc MOx d) Nếu AOx ;, BOx trong đó 000  180 và  .Tìm điều kiện liên hệ giữa và  để tia OA nằm giữa hai tia OB và Ox.Tính số đo MOx theo và  Câu 5. (1,0 điểm) Cho 100số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất 15 số mà hiệu hai số tùy ý chia hết cho 7 102
ĐÁP ÁN Câu 1. 10.11 50.55 70.7710.11. 1 5.5 7.7 5 a) Ta có: 11.12 55.60 77.84 11.12. 1 5.5 7.7 6 b) Ta có: 5x .5 x 1 .5 x 2 1000 0 : 2 18 5 x x 1 x 2 10 18 : 2 18 18 chu so 0 18 18 3x 310 10 18 5 18 5 3xx 3 18 5 22 c) Ta có: a 1.2 2.3 3.4 98.99 1. 1 1 2 1 2 3 1 3 98. 1 98 1 12 2 2 2 3 3 2 98 98 2 12 2 2 3 2 98 2 1 2 3 98 b 1 2 3 98 bb 1 98 .98: 2 4851 Vậy ab 4851 Câu 2. a) Ta có: 5A 52 5 3 5 101 5AA 52 5 3 5 101 5 5 2 5 100 5 101 5 4A 5 5101 Lại có: 4An 5 5nn 5 5101 101 b) Giả sử 18n 3và 21n 7cùng chia hết cho số nguyên tố d Khi đó 18nd 3 và 21n 7 d 6 21 n 7 7 18 n 3 d 21 d d Ư(21) 3;7  +Nếu d 3 không xảy ra vì 21n 7không chia hết cho 3 +Nếu d 7 khi đó, để phân số có thể rút gọn được thì: 18n 3 7 vi 21 n 7 7 18 n 3 21 7 18 n 1 7mà 18,7 1 n 1 7 n 7 k 1 k 18n 3 Vậy để phân số có thể rút gọn được thì n 71 k k 21n 7 103
Câu 3. a) Gọi số cần tìm là aa * , ta có: aa 6 11; 1 4và a 11 19 aa 6 33 11 27 11 Ta có: aa 1 28 4 27 4 aa 11 38 19 27 19 Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a 27nhỏ nhất Suy ra : a 27 BCNN 4;11;19 836 Từ đó tìm được a 809 b) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia cho 3 dư 1 hoặc p chia cho 3 dư 2 p2 chia cho 3 dư 1 1008 Mà pp2016 2 nên p2016 chia cho 3 dư 1. Mặt khác: 2018chia cho 3 dư 2, do đó: p2016 2018 3 Vì p2016 2018 3và p2016 2018 3nên p2016 2018 là hợp số c) Gọi số tự nhiên phải tìm là ab với a, b ,1 a 9,0 b 9 Theo đề bài, ta có: 10ab 2 ab 10 a 2 abb 10 aba 2 1 10aa 2 1mà aa;2 1 1nên 10 2a 1 2a 1 1 a 1 b 10( ktm ) Vì 21a lẻ nên 2a 1 5 a 3 b 6( tm ) Vậy số cần tìm là 36 104
Câu 4. B M A x O a) Do AOx và BOxlà hai góc không kể nhau mà có chung cạnh Ox nên hai tia OA và OB cùng nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox Mà AOx BOx (vì 3800 112 ) nên tia OA nằm giữa hai tia OB và Ox b) Do OA nằm giữa hai tia OB và Ox nên ta có: AOx AOB BOx 380 AOB 112 0 AOB 74 0 11 c) Do OM là phân giác của góc AOBnên: AOM AOB .7400 37 22 Do tia OA nằm giữa hai tia OB và Ox;tia Om nằm giữa hai tia OA và OB (OM là tia phân giác của AOB)nên tia OA nằm giữa hai tia OM và Ox MOx AOM AOx 370 38 0 75 0 d) Có OA và OB nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox nên để tia OA nằm giữa hai tia OB và Ox thì  Thật vậy, nếu  thì AOx BOx tia OB nằm giữa hai tia OA và Ox Nếu  thì AOx BOx tia OB trùng với tia OA Với  ta có: AOx AOB BOx AOB  11 AOB  AOM AOB  22 105
11 Vậy MOx AOM AOx   22 Câu 5. Ta có 100 số khi đem chia cho 7 thì các số dư nhận nhiều nhất là 7 giá trị khác nhau Vì 100 7.14 2nên theo nguyên lý Dirichle ta sẽ tìm được 15 số mà khi chia cho 7 có cùng số dư Vậy hiệu của hai số tùy ý trong 15 số này thì chia hết cho 7 106
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TẤT THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 Môn: Toán 6 Câu 1. (2,0 điểm) Cho A 2 22 2 3 2 4 2 20 . Tìm chữ số tận cùng của A Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng: n n 1 2 n 1 3 n 1 4 n 1 chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n Câu 4. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7 pq và pq 11cũng là các số nguyên tố. Câu 5. (1,5 điểm) a) Tìm UCLN(7 n 3,8 n 1) n * .Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau. b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, UCLN của chúng bằng 28 và các số đó khoảng từ 300 đến 400 Câu 6. (1,0 điểm) Tìm các số nguyên xy, sao cho : xy 26 x y Câu 7. (2,0 điểm) Cho xAy , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB 5. cm Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD 3, cm C là một điểm trên tia Ay a) Tính BD b) Biết BCD 8500 , BCA 50 .Tính ACD c) Biết AK 1. cm K BD Tính BK. 107
ĐÁP ÁN Câu 1. A.2 2 22 2 3 2 4 2 20 .2 2 2 2 3 2 21 2AAA 221 2 2 21 2 5 Ta có: 221 2 4.5 1 2 4 .2 16 5 .2 165 có tận cùng là 6 nên 165 .2có tận cùng là 2 nên A 2221 có tận cùng là 0 Câu 3. Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau: Th1: n 5thì tích chia hết cho 5 Th2: n chia cho 5 dư 1 thì nk 51 4nk 1 20 5chia hết cho 5 tích chia hết cho 5 Th3: n chia cho 5 dư 2 thì nk 52 2nk 1 10 5chia hết cho 5 tích chia hết cho 5 Th4: n chia cho 5 dư 3 thì nk 53 3nk 1 15 10chia hết cho 5 tích chia hết cho 5 Th5: n chia cho 5 dư 4 thì nk 54 nk 1 5 5 chia hết cho 5 tích chia hết cho 5 Vậy n n 1 2 n 1 3 n 1 4 n 1 chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n Câu 4. Nếu pq 11là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ (vì pq 11 2) pq là số chẵn ít nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2 +giả sử p 2.Khi đó 7p q 14 q ; pq 11 2 q 11 Thử q 2( ktm ), q 3( tm ), q 3có 1 số là hợp số pq 2, 3 +Giả sử q 2, cmtt p 3 108