›
›
›

400 Câu trắc nghiệm Toán 10 - Chương 8: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

docx 52 trang xuanha23 07/01/2023 2642
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "400 Câu trắc nghiệm Toán 10 - Chương 8: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docx400_cau_trac_nghiem_toan_10_chuong_8_tich_vo_huong_cua_hai_v.docx

Nội dung text: 400 Câu trắc nghiệm Toán 10 - Chương 8: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

  1. 7 TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ VAØ ÖÙNG DUÏNG BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC 1. BẤT KỲ TỪ 00 ĐẾN 1800 1. Định nghĩa Với mỗi góc a (00 £ a £ 1800 ) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao · cho xOM = a và giả sử điểm M có tọa độ M (x0 ; y0 ). Khi đó ta có định nghĩa: y · sin của góc a là y , kí hiệu sin a = y ; 0 0 1 · cosin của góc a là x0 , kí hiệu cosa = x0 ; M y0 y · tang của góc a là 0 (x ¹ 0), x 0 0 a x y kí hiệu tan a = 0 ; x x0 - 1 0 O 1 x0 x0 · cotang của góc a là (y0 ¹ 0), kí hiệu cot a = . y0 y0 2. Tính chất Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu x·OM = a thì · = 0 - a Ta có = = = - = Do đó xON 180 . yM yN y0 , x M xN x0 . y sin a = sin(1800 - a) cosa = - cos(1800 - a) y tan a = - tan(1800 - a) N 0 M cot a = - cot 1800 - a . ( ) a x - x0 O x 0 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị a 0 0 300 450 600 900 1800 lượng giác 1 2 3 sin a 0 1 0 2 2 2 3 2 1 cosa 1 0 - 1 2 2 2 1
  2. 1 tan a 0 1 3 P 0 3 1 cot a P 3 1 0 P 3 Trong bảng kí hiệu "P" để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn: 3 sin1200 = sin(1800 - 600 )= sin 600 = 2 2 cos1350 = cos(1800 - 450 )= - cos 450 = - . 2 4. Góc giữa hai vectơ a) Định nghĩa r r r uur r uur r Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a và OB = b. r r Góc A·OB với số đo từ 0 0 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc r r r r r r r r giữa hai vectơ a và b là (a,b). Nếu (a,b)= 900 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, r r r r kí hiệu là a ^ b hoặc b ^ a. r A b r r B r a a b O r r r r b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có (a,b)= (b,a). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Giá trị cos 450 + sin 450 bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 2. Giá trị của tan 300 + cot 300 bằng bao nhiêu? 4 1+ 3 2 A. . B. . C. . D. 2. 3 3 3 Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng? 3 3 A. sin150O = - . B. cos150O = . 2 2 1 C. tan150O = - . D. cot150O = 3. 3 Câu 4. Tính giá trị biểu thức P = cos30o cos 60o - sin 30o sin 60o. 2
  3. 3 A. P = 3. B. P = . C. P = 1. D. P = 0. 2 Câu 5. Tính giá trị biểu thức P = sin 30o cos 60o + sin 60o cos30o. A. P = 1. B. P = 0. C. P = 3. D. P = - 3. Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 45O + cos 45O = 2. B. sin 30O + cos 60O = 1. C. sin 60O + cos150O = 0. D. sin120O + cos30O = 0. Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 0O + cos 0O = 0. B. sin 90O + cos 90O = 1. 3 + 1 C. sin180O + cos180O = - 1. D. sin 60O + cos 60O = . 2 Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A. cos 45O = sin 45O. B. cos 45O = sin135O. C. cos30O = sin120O. D. sin 60O = cos120O. Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc Bµ= 300. Khẳng định nào sau đây là sai? 1 3 1 1 A. cos B = . B. sinC = . C. cosC = . D. sin B = . 3 2 2 2 Câu 10. Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là đúng? 3 1 3 1 A. sin B·AH = . B. cos B·AH = . C. sin A·BC = . D. sin A·HC = . 2 3 2 2 Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. sin(180°- a)= - cosa. B. sin(180°- a)= - sin a. C. sin(180°- a)= sin a. D. sin(180°- a)= cosa. Câu 12. Cho a và b là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin a = sin b. B. cosa = - cos b. C. tan a = - tan b. D. cot a = cot b. Câu 13. Tính giá trị biểu thức P = sin 30°cos15°+ sin150°cos165°. 3 1 A. P = - . B. P = 0. C. P = . D. P = 1. 4 2 Câu 14. Cho hai góc a và b với a + b = 180° . Tính giá trị của biểu thức P = cosa cos b - sin b sin a . A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 15. Cho tam giác ABC . Tính P = sin A.cos(B + C )+ cos A.sin(B + C ). A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 16. Cho tam giác ABC . Tính P = cos A.cos(B + C )- sin A.sin(B + C ). A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 17. Cho hai góc nhọn a và b phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? 3
  4. A. sin a = - cos b. B. cosa = sin b. C. tan a = cot b. D. cot a = tan b. Câu 18. Tính giá trị biểu thức S = sin2 15°+ cos2 20°+ sin2 75°+ cos2 110° . A. S = 0. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 4. Câu 19. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của biểu thức P = sin a cos b + sin b cosa . A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 20. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của biểu thức P = cosa cos b - sin b sin a . A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21. Cho a là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin a 0. C. tan a 0. Câu 22. Cho hai góc nhọn a và b trong đó a cot b. D. tan a + tan b > 0. Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai? A. cos75° > cos50°. B. sin 80° > sin 50°. C. tan 45° cos100°. C. tan 85° cos125°. Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 90° cos100°. D. cos150° > cos120°. Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 a + sin2 a = 1? a a 1 a a 1 A. cos2 + sin2 = . B. cos2 + sin2 = . 2 2 2 3 3 3 2 a 2 a 1 æ 2 a 2 a ö C. cos + sin = . D. 5çcos + sin ÷= 5. 4 4 4 èç 5 5 ø÷ a 3 a a Câu 27. Cho biết sin = . Giá trị của P = 3sin2 + 5cos2 bằng bao nhiêu ? 3 5 3 3 105 107 109 111 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 25 25 25 25 6 sin a - 7 cosa Câu 28. Cho biết tan a = - 3. Giá trị của P = bằng bao nhiêu ? 6 cosa + 7 sin a 4 5 4 5 A. P = . B. P = . C. P = - . D. P = - . 3 3 3 3 2 cot a + 3tan a Câu 29. Cho biết cosa = - . Giá trị của P = bằng bao nhiêu ? 3 2 cot a + tan a 4
  5. 19 19 25 25 A. P = - . B. P = . C. P = . D. P = - . 13 13 13 13 Câu 30. Cho biết cot a = 5. Giá trị của P = 2cos2 a + 5sina cosa + 1 bằng bao nhiêu ? 10 100 50 101 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 26 26 26 26 Câu 31. Cho biết 3cosa - sin a = 1 , 00 < a < 900. Giá trị của tan a bằng 4 3 4 5 A. tan a = . B. tan a = . C. tan a = . D. tan a = . 3 4 5 4 Câu 32. Cho biết 2 cosa + 2 sin a = 2 , 00 < a < 900. Tính giá trị của cot a. 5 3 2 2 A. cot a = . B. cot a = . C. cot a = . D. cot a = . 4 4 4 2 Câu 33. Cho biết sin a + cosa = a. Tính giá trị của sin a cosa. A. sina cosa = a2. B. sin a cosa = 2a. a2 - 1 a2 - 11 C. sin a cosa = . D. sin a cosa = . 2 2 1 Câu 34. Cho biết cosa + sin a = . Giá trị của P = tan2 a + cot2 a bằng bao nhiêu ? 3 5 7 9 11 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 4 4 4 4 1 Câu 35. Cho biết sin a - cosa = . Giá trị của P = sin4 a + cos4 a bằng bao nhiêu ? 5 15 17 19 21 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 5 5 5 5 Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 120O ? uuuur uuur uuur uuur uuuur uur uuuur uuur A. (MN,NP) B. (MO,ON ). C. (MN,OP). D. (MN, MP). uuur uuur uuur uur uur uuur Câu 37. Cho tam giác đều ABC. Tính P = cos(AB,BC )+ cos(BC,CA)+ cos(CA, AB). 3 3 3 3 3 3 A. P = . B. P = . C. P = - . D. P = - . 2 2 2 2 uuur uuur Câu 38. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính (AH,BA). A. 300. B. 600. C. 1200. D. 1500. Câu 39. Tam giác ABC vuông ở A và có góc Bµ= 500. Hệ thức nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur A. (AB, BC)= 1300. B. (BC, AC )= 400. uuur uur uuur uur C. (AB, CB)= 500. D. (AC, CB)= 400. 5
  6. uuur uur Câu 40. Tam giác ABC vuông ở A và có BC = 2AC. Tính cos(AC,CB). uuur uur 1 uuur uur 1 A. cos AC,CB = . B. cos AC,CB = - . ( ) 2 ( ) 2 uuur uur 3 uuur uur 3 C. cos AC,CB = . D. cos AC,CB = - . ( ) 2 ( ) 2 uuur uuur uuur uur uur uuur Câu 41. Cho tam giác ABC . Tính tổng (AB,BC )+ (BC,CA)+ (CA, AB). A. 180o. B. 360o. C. 270o. D. 120o. uuur uuur uuur uur Câu 42. Cho tam giác ABC với Aµ= 60o . Tính tổng (AB,BC)+ (BC,CA). A. 120o. B. 360o. C. 270o. D. 240o. Câu 43. Tam giác ABC có góc A bằng 100o và có trực tâm H. Tính tổng uuur uuur uuur uuur uuur uuur (HA,HB)+ (HB,HC )+ (HC,HA). A. 360o. B. 180o. C. 80o. D. 160o. uuur uuur Câu 44. Cho hình vuông ABCD . Tính cos(AC,BA). uuur uuur 2 uuur uuur 2 A. cos AC,BA = . B. cos AC,BA = - . ( ) 2 ( ) 2 uuur uuur uuur uuur C. cos(AC,BA)= 0. D. cos(AC,BA)= - 1. uuur uuur uuur uur uuur uuur Câu 45. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng (AB, DC )+ (AD,CB)+ (CO, DC ). A. 450. B. 4050. C. 3150. D. 2250. BAØI TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ 2. 1. Định nghĩa r r r r r Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là r r a.b, được xác định bởi công thức sau: r r r r r r a.b = a . b cos(a,b). r r r r r Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a.b = 0. Chú ý r r r r r r r · Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b = 0 Û a ^ b. r r r r uur · Khi a = b tích vô hướng a.a được kí hiệu là a2 và số này được gọi là bình phương vô r hướng của vectơ a. Ta có: 6
  7. r 2 r r r 2 a = a . a .cos 00 = a . 2. Các tính chất của tích vô hướng Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: r r r Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k ta có: r r r r · a.b = b.a (tính chất giao hoán); r r r r r r r · a(b + c)= a.b + a.c (tính chất phân phối); r r r r r r · (ka).b = k(a.b)= a.(kb); r 2 r 2 r · a ³ 0, a = 0 Û a = 0. Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: r r 2 r 2 r r r 2 · (a + b) = a + 2a.b + b ; r r 2 r 2 r r r 2 · (a - b) = a - 2a.b + b ; r r r r r 2 r 2 · (a + b)(a - b)= a - b . 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng r r r ur Trên mặt phẳng tọa độ (O;i; j), cho hai vectơ a = (a1;a2 ), b = (b1;b2 ). Khi đó tích vô r r hướng a.b là: r r a.b = a1b1 + a2b2. r r r Nhận xét. Hai vectơ a = (a1;a2 ), b = (b1;b2 ) đều khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1b1 + a2b2 = 0. 4. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ r Độ dài của vectơ a = (a1;a2 ) được tính theo công thức: r 2 2 a = a1 + a2 . b) Góc giữa hai vectơ r r Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (a1;a2 ) và b = (b1;b2 ) đều r khác 0 thì ta có r r r r a.b a b + a b cos a;b = r r = 1 1 2 2 . ( ) 2 2 2 2 a . b a1 + a2 . b1 + b2 7
  8. c) Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm A(x A ; yA ) và B(xB ; yB ) được tính theo công thức: 2 2 AB = (xB - x A ) + (yB - yA ) . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu 1. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? r r r r r r r r r r r r A. a.b = a . b . B. a.b = 0 . C. a.b = - 1. D. a.b = - a . b . r r r r r Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc a giữa hai vectơ a và b khi r r r r a.b = - a . b . A. a = 1800. B. a = 00. C. a = 900. D. a = 450. r r r r r r Câu 3. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 3, b = 2 và a.b = - 3. Xác định góc a giữa hai r r vectơ a và b. A. a = 300. B. a = 450. C. a = 600. D. a = 1200. r r r r r 2 r r r r r Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = b = 1 và hai vectơ u = a - 3b và v = a + b 5 r r vuông góc với nhau. Xác định góc a giữa hai vectơ a và b. A. a = 900. B. a = 1800. C. a = 600. D. a = 450. r r Câu 5. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? r r 1 ær r 2 r 2 r 2 ö r r 1 ær 2 r 2 r r 2 ö A. a.b = ça + b - a - b ÷. B. a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ø÷ 2 èç ø÷ r r 1 ær r 2 r r 2 ö r r 1 ær r 2 r r 2 ö C. a.b = ça + b - a - b ÷. D. a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ø÷ 4 èç ø÷ uuur uuur Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.AC. uuur uuur uuur uuur a2 3 uuur uuur a2 uuur uuur a2 A. AB.AC = 2a2 . B. AB.AC = - . C. AB.AC = - . D. AB.AC = . 2 2 2 uuur uuur Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.BC. uuur uuur uuur uuur a2 3 uuur uuur a2 uuur uuur a2 A. AB.BC = a2 . B. AB.BC = . C. AB.BC = - . D. AB.BC = . 2 2 2 Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Mệnh đề nào sau đây là sai? uuur uuur 1 uuur uur 1 uuur uuur a2 uuur uuur 1 A. AB.AC = a2 . B. AC.CB = - a2 . C. GA.GB = . D. AB.AG = a2 . 2 2 6 2 Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau đây là sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uur 2 0 a a A. AH.BC = 0. B. AB,HA = 150 . C. AB.AC = . D. AC.CB = . ( ) 2 2 8
  9. uuur uuur Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính AB.BC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 2 uuur uuur a2 2 A. AB.BC = - a2 . B. AB.BC = a2 . C. AB.BC = - . D. AB.BC = . 2 2 uuur uuur Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c, AC = b. Tính BA.BC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. BA.BC = b2 . B. BA.BC = c 2 . C. BA.BC = b2 + c 2 . D. BA.BC = b2 - c 2 . uur uur Câu 12. Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 5 cm. Tính CA.CB. uur uur uur uur uur uur uur uur A. CA.CB = 13. B. CA.CB = 15. C. CA.CB = 17. D. CA.CB = 19. uuur uuur uuur Câu 13. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính P = (AB + AC ).BC. c 2 + b2 c 2 + b2 + a2 c 2 + b2 - a2 A. P = b2 - c 2. B. P = . C. P = . D. P = . 2 3 2 Câu 14. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính uuuur uuur AM.BC. uuuur uuur b2 - c 2 uuuur uuur c 2 + b2 A. AM.BC = . B. AM.BC = . 2 2 uuuur uuur c 2 + b2 + a2 uuuur uuur c 2 + b2 - a2 C. AM.BC = . D. AM.BC = . 3 2 Câu 15. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng uur uur uuur (OA + OB).AB = 0 là A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại O. C. tam giác OAB vuông tại O. D. tam giác OAB vuông cân tại O. Câu 16. Cho M , N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai? uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur A. MN (NP + PQ)= MN.NP + MN.PQ . B. MP.MN = - MN.MP . uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur C. MN.PQ = PQ.MN . D. (MN - PQ)(MN + PQ)= MN 2 - PQ 2 . uuur uuur Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 1 A. AB.AC = a2 . B. AB.AC = a2 2. C. AB.AC = a2 . D. AB.AC = a2 . 2 2 uuur uuur uur Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính P = AC.(CD + CA). A. P = - 1. B. P = 3a2. C. P = - 3a2. D. P = 2a2. uuur uuur uuur uuur uuur Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = (AB + AC).(BC + BD + BA). A. P = 2 2a. B. P = 2a2. C. P = a2. D. P = - 2a2. Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính uuur uuur AE.AB. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AE.AB = 2a2 . B. AE.AB = 3a2 . C. AE.AB = 5a2 . D. AE.AB = 5a2 . 9
  10. Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AC uuur uuuur AM = . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính MB.MN. 4 uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur A. MB.MN = - 4. B. MB.MN = 0. C. MB.MN = 4. D. MB.MN = 16. uuur uuur Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tích AB.BD. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.BD = 62. B. AB.BD = 64. C. AB.BD = - 62. D. AB.BD = - 64. uuur uuur Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính AB.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.AC = 24. B. AB.AC = 26. C. AB.AC = 28. D. AB.AC = 32. Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 12 cm , góc A·BC nhọn và diện tích uuur uuur bằng 54 cm2 . Tính cos(AB,BC ). uuur uuur 2 7 uuur uuur 2 7 A. cos AB,BC = . B. cos AB,BC = - . ( ) 16 ( ) 16 uuur uuur 5 7 uuur uuur 5 7 C. cos AB,BC = . D. cos AB,BC = - . ( ) 16 ( ) 16 Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a 2 . Gọi K là trung điểm của cạnh uuur uuur AD. Tính BK.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. BK.AC = 0. B. BK.AC = - a2 2. C. BK.AC = a2 2. D. BK.AC = 2a2 . Vấn đề 2. QUỸ TÍCH uuur uuur uuur Câu 26. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA(MB + MC )= 0 là: A. một điểm.B. đường thẳng.C. đoạn thẳng. D. đường tròn. uuur uuur uuur uuur Câu 27. Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB(MA+ MB + MC)= 0 với A, B, C là ba đỉnh của tam giác. A. một điểm.B. đường thẳng.C. đoạn thẳng. D. đường tròn. uuur uuur Câu 28. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC = 0 là: A. một điểm.B. đường thẳng.C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Câu 29*. Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách bằng a . Tập hợp các điểm N thỏa mãn uuur uuur AN.AB = 2a2 là: A. một điểm.B. đường thẳng.C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Câu 30*. Cho hai điểm A, B cố định và AB = 8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn uuur uuur MA.MB = - 16 là: A. một điểm.B. đường thẳng.C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định A(x A ; yA ), B(xB ; yB ), C (xC ; yC ) thì æx + x y + y ö Trung điểm I của đoạn AB ¾ ¾® I ç A B ; A B ÷. èç 2 2 ø÷ 10
  11. æx + x + x y + y + y ö Trọng tâm G ¾ ¾® Gç A B C ; A B C ÷. èç 3 3 ø÷ uuur uuur ì ï HA.BC = 0 Trực tâm H ¾ ¾® íï uuur uur . ï îï HB.CA = 0 ïì AE 2 = BE 2 ¾ ¾® = = Û ï Tâm đường tròn ngoại tiếp E EA EB EC í 2 2 . îï AE = CE uuur uuur ì ï AK.BC = 0 Chân đường cao K hạ từ đỉnh A ¾ ¾® íï uuur uuur . ï îï BK = kBC uuur AB uuur Chân đường phân giác trong góc A là điểm D ¾ ¾® DB = - .DC. AC Chu vi: P = AB + BC + CA . 1 1 Diện tích: S = AB.AC.sin A = AB.AC. 1- cos2 A . 2 2 uuur uuur Góc A : cos A = cos(AB, AC ). uuur uuur ïì AB.AC = 0 Tam giác ABC vuông cân tại A ¾ ¾® íï . ï îï AB = AC Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3;- 1), B(2;10), C (- 4;2). Tính tích vô uuur uuur hướng AB.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.AC = 40. B. AB.AC = - 40. C. AB.AC = 26. D. AB.AC = - 26. Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3;- 1) và B(2;10). Tính tích vô hướng uuur uur AO.OB. uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur A. AO.OB = - 4. B. AO.OB = 0. C. AO.OB = 4. D. AO.OB = 16. r r r r r r Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = 4i + 6 j và b = 3i - 7 j. Tính tích vô r r hướng a.b. r r r r r r r r A. a.b = - 30. B. a.b = 3. C. a.b = 30. D. a.b = 43. r r Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 3;2) và b = (- 1;- 7). Tìm tọa độ r r r r r vectơ c biết c.a = 9 và c.b = - 20. r r r r A. c = (- 1;- 3). B. c = (- 1;3). C. c = (1;- 3). D. c = (1;3). r r r Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (1;2), b = (4;3) và c = (2;3). r r r Tính P = a.(b + c). A. P = 0. B. P = 18. C. P = 20. D. P = 28. r r Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 1;1) và b = (2;0). Tính cosin của r r góc giữa hai vectơ a và b. 11
  12. r r 1 r r 2 A. cos(a,b)= . B. cos(a,b)= - . 2 2 r r 1 r r 1 C. cos(a,b)= - . D. cos(a,b)= . 2 2 2 r r Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 2;- 1) và b = (4;- 3). Tính cosin r r của góc giữa hai vectơ a và b. r r 5 r r 2 5 A. cos a,b = - . B. cos a,b = . ( ) 5 ( ) 5 r r 3 r r 1 C. cos a,b = . D. cos a,b = . ( ) 2 ( ) 2 r r Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (4;3) và b = (1;7). Tính góc a giữa r r hai vectơ a và b. A. a = 90O. B. a = 60O. C. a = 45O. D. a = 30O. ur ur Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x = (1;2) và y = (- 3;- 1). Tính góc a ur ur giữa hai vectơ x và y. A. a = 45O. B. a = 60O. C. a = 90O. D. a = 135O. r r Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (2;5) và b = (3;- 7). Tính góc a r r giữa hai vectơ a và b. A. a = 30O. B. a = 45O. C. a = 60O. D. a = 135O. r Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a = (9;3). Vectơ nào sau đây không vuông r góc với vectơ a ? ur ur ur uur A. v1 = (1;- 3). B. v2 = (2;- 6). C. v3 = (1;3). D. v4 = (- 1;3). Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;2), B(- 1;1) và C (5;- 1). Tính cosin uuur uuur của góc giữa hai vectơ AB và AC. uuur uuur 1 uuur uuur 3 A. cos AB, AC = - . B. cos AB, AC = . ( ) 2 ( ) 2 uuur uuur 2 uuur uuur 5 C. cos AB, AC = - . D. cos AB, AC = - . ( ) 5 ( ) 5 Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6;0), B(3;1) và C (- 1;- 1). Tính số đo góc B của tam giác đã cho. A. 15O. B. 60O. C. 120O. D. 135O. Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 8;0), B(0;4), C (2;0) và D(- 3;- 5). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hai góc B·AD và B·CD phụ nhau. B. Góc B·CD là góc nhọn. 12
  13. uuur uuur uur uuur C. cos(AB, AD)= cos(CB,CD). D. Hai góc B·AD và B·CD bù nhau. r 1 r r r r r Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - 5 j và v = ki - 4 j. Tìm k để 2 r r vectơ u vuông góc với v. A. k = 20. B. k = - 20. C. k = - 40. D. k = 40. r 1 r r r r r Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - 5 j và v = ki - 4 j. Tìm k để 2 r r vectơ u và vectơ v có độ dài bằng nhau. 37 37 37 5 A. k = . B. k = . C. k = ± . D. k = . 4 2 2 8 r r r r r Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (- 2;3), b = (4;1) và c = ka + mb với r r r k, mÎ ¡ . Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ (a + b). Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2k = 2m. B. 3k = 2m. C. 2k + 3m = 0. D. 3k + 2m = 0. r r ur Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 2;3) và b = (4;1). Tìm vectơ d r ur r ur biết a.d = 4 và b.d = - 2 . ur æ5 6ö ur æ 5 6ö ur æ5 6ö ur æ 5 6ö A. d = ç ; ÷. B. d = ç- ; ÷. C. d = ç ;- ÷. D. d = ç- ;- ÷. èç7 7ø÷ èç 7 7ø÷ èç7 7ø÷ èç 7 7ø÷ r r r r r Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u = (4;1), v = (1;4) và a = u + m.v với r m Î ¡ . Tìm m để a vuông góc với trục hoành. A. m = 4. B. m = - 4. C. m = - 2. D. m = 2. r r Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (4;1) và v = (1;4). Tìm m để vectơ r r r r r r a = m.u + v tạo với vectơ b = i + j một góc 450. 1 1 1 A. m = 4. B. m = - . C. m = - . D. m = . 2 4 2 Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M (1;- 2) và N (- 3;4). A. MN = 4. B. MN = 6. C. MN = 3 6. D. MN = 2 13. Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;4), B(3;2), C (5;4). Tính chu vi P của tam giác đã cho. A. P = 4 + 2 2. B. P = 4 + 4 2. C. P = 8 + 8 2. D. P = 2 + 2 2. r r r 3 r 4 r r Câu 53. Trong hệ tọa độ (O;i ; j ), cho vectơ a = - i - j . Độ dài của vectơ a bằng 5 5 1 6 7 A. . B. 1. C. . D. . 5 5 5 r r Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (3;4) và v = (- 8;6). Khẳng định 13
  14. nào sau đây đúng? r r r r A. u = v . B. u và v cùng phương. r r r r C. u vuông góc với v . D. u = - v. æ 3ö Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;2), B(- 2;- 4), C (0;1) và Dç- 1; ÷. èç 2ø÷ Mệnh đề nào sau đây đúng ? uuur uuur uuur uuur A. AB cùng phương với CD. B. AB = CD . uuur uuur uuur uuur C. AB ^ CD. D. AB = CD. Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(7;- 3), B(8;4), C (1;5) và D(0;- 2). Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uur A. AC ^ CB. B. Tam giác ABC đều. C. Tứ giác ABCD là hình vuông. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn. Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 1;1), B(0;2), C (3;1) và D(0;- 2). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B. Tứ giác ABCD là hình thoi. C. Tứ giác ABCD là hình thang cân. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn. Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 1;1), B(1;3) và C (1;- 1). Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Tam giác ABC đều.B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn. C. Tam giác ABC cân tại B .D. Tam giác ABC vuông cân tại A . Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(10;5), B(3;2) và C (6;- 5). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều.B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông cân tại B . D. Tam giác ABC có góc A tù. Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 2;- 1), B(1;- 1) và C (- 2;2). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều.B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông tại B .D. Tam giác ABC vuông cân tại C . Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(- 2;4) và B(8;4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C. A. C (6;0). B. C (0;0), C (6;0). C. C (0;0). D. C (- 1;0). Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2) và B(- 3;1). Tìm tọa độ điểm C 14
  15. thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A. A. C (0;6). B. C (5;0). C. C (3;1). D. C (0;- 6). Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–4;0), B(–5;0) và C (3;0). Tìm điểm uuur uuur uuur r M thuộc trục hoành sao cho MA + MB + MC = 0. A. M (–2;0). B. M (2;0). C. M (–4;0). D. M (–5;0). Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M (–2;2) và N (1;1). Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm M , N, P thẳng hàng. A. P (0;4). B. P (0;–4). C. P (–4;0). D. P (4;0). Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ đó đến điểm N (- 1;4) bằng 2 5. A. M (1;0). B. M (1;0), M (- 3;0). C. M (3;0). D. M (1;0), M (3;0). Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B. æ 5 ö æ5 ö æ 3 ö æ3 ö A. C ç- ;0÷. B. C ç ;0÷. C. C ç- ;0÷. D. C ç ;0÷. èç 3 ø÷ èç3 ÷ø èç 5 ÷ø èç5 ø÷ Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;2), B(5;- 2). Tìm điểm M thuộc trục hoàng sao cho A·MB = 900 ? A. M (0;1). B. M (6;0). C. M (1;6). D. M (0;6). Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;- 1) và B(3;2). Tìm M thuộc trục tung sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất. æ 1ö æ 1ö A. M (0;1). B. M (0;- 1). C. M ç0; ÷. D. M ç0;- ÷. èç 2ø÷ èç 2÷ø Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A(- 2;0), B(2;5), C (6;2). Tìm tọa độ điểm D. A. D(2;- 3). B. D(2;3). C. D(- 2;- 3). D. D(- 2;3). Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;3), B(- 2;4), C (5;3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho. æ 10ö æ8 10ö æ4 10ö A. Gç2; ÷. B. Gç ;- ÷. C. G(2;5). D. Gç ; ÷. èç 3 ø÷ èç3 3 ø÷ èç3 3 ø÷ Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 4;1), B(2;4), C (2;- 2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho. æ1 ö æ 1 ö æ 1ö æ 1ö A. I ç ;1÷. B. I ç- ;1÷. C. I ç1; ÷. D. I ç1;- ÷. èç4 ø÷ èç 4 ÷ø èç 4ø÷ èç 4ø÷ Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 3;0), B(3;0) và C (2;6). Gọi H (a;b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a + 6b. A. a + 6b = 5. B. a + 6b = 6. C. a + 6b = 7. D. a + 6b = 8. 15
  16. Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3), B(2;7) và C (- 3;- 8). Tìm toạ độ chân đường cao A' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC. A. A'(1;- 4). B. A'(- 1;4). C. A'(1;4). D. A'(4;1). Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4), B(- 3;1), C (3;- 1). Tìm tọa độ chân đường cao A' vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho. æ3 1ö æ 3 1ö æ 3 1ö æ3 1ö A. A'ç ; ÷. B. A'ç- ;- ÷. C. A'ç- ; ÷. D. A'ç ;- ÷. èç5 5÷ø èç 5 5ø÷ èç 5 5ø÷ èç5 5ø÷ Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(- 3;- 2), B(3;6) và C (11;0). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình vuông. A. D(5;- 8). B. D(8;5). C. D(- 5;8). D. D(- 8;5). Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;4) và B(1;1). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B. A. C (4;0). B. C (- 2;2). C. C (4;0), C (- 2;2). D. C (2;0). Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1;- 1) và B(3;0). Tìm tọa độ điểm D , biết D có tung độ âm. A. D(0;- 1). B. D(2;- 3). C. D(2;- 3), D(0;1). D. D(- 2;- 3). Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(1;2), B(- 1;3), C (- 2;- 1) và D(0;- 2). Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ABCD là hình vuông. B. ABCD là hình chữ nhật. C. ABCD là hình thoi.D. ABCD là hình bình hành. Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác trong góc O của tam giác OAB. æ5 5ö æ3 1ö A. E = ç ; ÷. B. E = ç ;- ÷. èç2 2÷ø èç2 2ø÷ C. E = (- 2 + 3 2;4 + 2). D. E = (- 2 + 3 2;4 - 2). Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2;0), B(0;2) và C (0;7). Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D của hình thang cân ABCD. A. D(7;0). B. D(7;0), D(2;9). C. D(0;7), D(9;2). D. D(9;2). BAØI CAÙC HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC 3. VAØ GIAÛI TAM GIAÙC 1. Định lí côsin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c . A Ta có 2 2 2 a = b + c - 2bc.cos A; b b2 = c 2 + a2 - 2ca.cos B; c c 2 = a2 + b2 - 2ab.cosC. 16 B a C
  17. Hệ quả b2 + c 2 - a2 c 2 + a2 - b2 a2 + b2 - c 2 cos A = ; cos B = ; cosC = . 2bc 2ca 2ab 2. Định lí sin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c và R là A bán kính đường tròn ngoại tiếp. c b Ta có a b c I = = = 2R sin A sin B sinC B a C 3. Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C . Ta có A b2 + c 2 a2 m2 = - ; a 2 4 ma b a2 + c 2 b2 c m2 = - ; b 2 4 2 2 2 a + b c mb mc m2 = - . c 2 4 B a C 4. Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB ; ● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; ● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; a + b + c ● p = là nửa chu vi tam giác; 2 ● S là diện tích tam giác. Khi đó ta có: 1 1 1 S = ah = bh = ch 2 a 2 b 2 c 1 1 1 = bc sin A = ca sin B = ab sinC 2 2 2 abc = 4R = pr = p(p - a)(p - b)(p - c). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. GIẢI TAM GIÁC Câu 1. Tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 8 . Số đo góc Aµ bằng: A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°. Câu 2. Tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và Aµ= 60° . Tính độ dài cạnh BC . 17
  18. A. BC = 1. B. BC = 2. C. BC = 2. D. BC = 3. Câu 3. Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh AB = 9 và A·CB = 60° . Tính độ dài cạnh cạnh BC . 3+ 3 33 A. BC = 3+ 3 6. B. BC = 3 6 - 3. C. BC = 3 7. D. BC = . 2 Câu 4. Tam giác ABC có AB = 2, AC = 3 và Cµ= 45° . Tính độ dài cạnh BC . 6 + 2 6 - 2 A. BC = 5. B. BC = . C. BC = . D. BC = 6. 2 2 Câu 5. Tam giác ABC có Bµ= 60°, Cµ= 45° và AB = 5 . Tính độ dài cạnh AC . 5 6 A. AC = . B. AC = 5 3. C. AC = 5 2. D. AC = 10. 2 Câu 6. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1 cm và có B·AD = 60° . Tính độ dài cạnh AC . A. AC = 3. B. AC = 2. C. AC = 2 3. D. AC = 2. Câu 7. Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = 2 7 . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB . Tính độ dài cạnh AM . A. AM = 4 2. B. AM = 3. C. AM = 2 3. D. AM = 3 2. 6 - 2 Câu 8. Tam giác ABC có AB = , BC = 3, CA = 2 . Gọi D là chân đường phân 2 giác trong góc Aµ. Khi đó góc A·DB bằng bao nhiêu độ? A. 45°. B. 60°. C. 75°. D. 90°. Câu 9. Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH = 32 cm . Hai cạnh AB và AC tỉ lệ với 3 và 4 . Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu? A. 38 cm. B. 40 cm. C. 42 cm. D. 45 cm. Câu 10. Tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E, F sao cho các góc M· PE, E·PF, F·PQ bằng nhau. Đặt MP = q, PQ = m, PE = x, PF = y . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng? A. ME = EF = FQ. B. ME 2 = q 2 + x 2 - xq. C. MF 2 = q 2 + y2 - yq. D. MQ 2 = q 2 + m2 - 2qm. Câu 11. Cho góc x·Oy = 30° . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng: 3 A. . B. 3. C. 2 2. D. 2. 2 Câu 12. Cho góc x·Oy = 30° . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng: 3 A. . B. 3. C. 2 2. D. 2. 2 Câu 13. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi 18
  19. đẳng thức b(b2 - a2 )= c (a2 - c 2 ). Khi đó góc B·AC bằng bao nhiêu độ? A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°. Câu 14. Tam giác ABC vuông tại A , có AB = c, AC = b . Gọi l a là độ dài đoạn phân giác · trong góc BAC . Tính l a theo b và c . 2bc 2(b + c) 2bc 2 (b + c) A. l = . B. l = . C. l = . D. l = . a b + c a bc a b + c a bc Câu 15. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 600 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây? A. 61 hải lí. B. 36 hải lí. C. 21 hải lí. D. 18 hải lí. Câu 16. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C . Ta đo được khoảng cách AB = 40m , C·AB = 450 và C·BA = 700 . Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 53 m . B. 30 m . C. 41,5 m . D. 41 m . Câu 17. Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết AH = 4m, HB = 20m, B·AC = 450 . Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 17,5m . B. 17m . C. 16,5m . D. 16m . Câu 18. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24 m , C·AD = 630 , C·BD = 480 . Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây? A. 18m . B. 18,5m . 19
  20. C. 60m . D. 60,5m . Câu 19. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m . Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 500 và 400 so với phương nằm ngang. Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 12m . B. 19m . C. 24m . D. 29m . Câu 20. Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng CD = 60m , giả sử chiều cao của giác kế là OC = 1m . Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta A nhình thấy đỉnh A của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc A·OB = 600 . Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây: A. 40m . B. 114m . C. 105m . D. 110m . B 60° O Câu 21. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết 1m rằng độ cao AB = 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 300 , phương D 60m C nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15030' . Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 135m . B. 234m . C. 165m . D. 195m . Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Câu 22. Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm và BC = 10cm . Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác bằng: A. 4cm .B. 3cm . C. 7cm . D. 5cm . Câu 23. Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a . Tính độ dài đường trung tuyến BM của tam giác đã cho. a 5 A. BM = 1,5a. B. BM = a 2. C. BM = a 3. D. BM = . 2 Câu 24. Tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm và BC = 15 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác đã cho. 20
  21. 15 13 A. AM = cm.B. AM = 10 cm. C. AM = 9 cm.D. AM = cm. 2 2 15 Câu 25. Tam giác ABC cân tại C , có AB = 9cm và AC = cm . Gọi D là điểm đối xứng 2 của B qua C . Tính độ dài cạnh AD. A. AD = 6 cm.B. AD = 9 cm. C. AD = 12 cm.D. AD = 12 2 cm. Câu 26. Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8 . Gọi M là trung điểm của BC . Biết 5 13 cos A·MB = và AM > 3 . Tính độ dài cạnh AC . 26 A. AC = 13 .B. AC = 7 . C. AC = 13 .D. AC = 7 . Câu 27*. Tam giác ABC có trọng tâm G . Hai trung tuyến BM = 6 , CN = 9 và B·GC = 1200 . Tính độ dài cạnh AB . A. AB = 11 .B. AB = 13 . C. AB = 2 11 .D. AB = 2 13 . Câu 28 . Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15 . Diện tích của tam giác ABC bằng: A. 24 . B. 24 2 . C. 72 . D. 72 2 . Câu 29*. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Nếu giữa a, b, c có liên hệ b2 + c 2 = 2a2 thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác tính theo a bằng: a 3 a 3 A. . B. . C. 2a 3 . D. 3a 3 . 2 3 Câu 30*. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n . Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng: A. m2 + n2 = 3(a2 + b2 ). B. m2 + n2 = 2(a2 + b2 ). C. 2(m2 + n2 )= a2 + b2 . D. 3(m2 + n2 )= a2 + b2 . Câu 31 . Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức a2 + b2 = 5c 2 . Góc giữa hai trung tuyến AM và BN là góc nào? A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . 2 2 2 Câu 32 . Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma , mb , mc thỏa mãn 5ma = mb + mc . Khi đó tam giác này là tam giác gì? A. Tam giác cân. B. Tam giác đều. C. Tam giác vuông. D. Tam giác vuông cân. Câu 33 . Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Gọi ma , mb , mc là độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm. Xét các khẳng định sau: 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 (I). ma + mb + mc = (a + b + c ). (II). GA + GB + GC = (a + b + c ). 4 3 Trong các khẳng định đã cho có A. (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai cùng sai. D. Cả hai cùng đúng. 21
  22. Vấn đề 3. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP Câu 34. Tam giác ABC có BC = 10 và Aµ= 30O . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 10 A. R = 5 .B. R = 10 . C. R = .D. R = 10 3 . 3 Câu 35. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6 và Aµ= 60° . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R = 3 .B. R = 3 3 . C. R = 3 .D. R = 6 . Câu 36. Tam giác ABC có BC = 21cm, CA = 17cm, AB = 10cm . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 85 7 85 7 A. R = cm .B. R = cm . C. R = cm .D. R = cm . 2 4 8 2 Câu 37. Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R . Khi đó bán kính R bằng: a 3 a 2 a 3 a 3 A. R = .B. R = . C. R = .D. R = . 2 3 3 4 12 AB 3 Câu 38. Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = cm và = . Tính bán kính 5 AC 4 R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R = 2,5cm .B. R = 1,5cm . C. R = 2cm .D. R = 3,5cm . Câu 39. Cho tam giác ABC có AB = 3 3, BC = 6 3 và CA = 9 . Gọi D là trung điểm BC . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. 9 9 A. R = .B. R = 3 . C. R = 3 3 .D. R = . 6 2 Câu 40 . Tam giác nhọn ABC có AC = b, BC = a , BB ' là đường cao kẻ từ B và C·BB ' = a . Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC được tính theo a, b và a là: a2 + b2 - 2ab cosa a2 + b2 + 2ab cosa A. R = .B. R = . 2 sin a 2 sin a a2 + b2 + 2ab cosa a2 + b2 - 2ab cosa C. R = .D. R = . 2 cosa 2 cosa Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC Câu 41. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, B·AC = 60° . Tính diện tích tam giác ABC . 9 3 9 A. S = 9 3 .B. S = . C. S = 9 .D. S = . DABC DABC 2 DABC DABC 2 Câu 42. Tam giác ABC có AC = 4, B·AC = 30°, A·CB = 75° . Tính diện tích tam giác ABC . A. SDABC = 8 .B. SDABC = 4 3 . C. SDABC = 4 .D. SDABC = 8 3 . Câu 43. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Diện tích của tam giác ABC bằng: A. SDABC = 16 .B. SDABC = 48 . C. SDABC = 24 .D. SDABC = 84 . 22
  23. · Câu 44. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC = 60° . Tính độ dài đường cao ha của tam giác. 3 A. h = 3 3 .B. h = 3 . C. h = 3 .D. h = . a a a a 2 Câu 45. Tam giác ABC có AC = 4, A·CB = 60° . Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A của tam giác. A. h = 2 3 .B. h = 4 3 . C. h = 2 .D. h = 4 . Câu 46. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Gọi B ' là hình chiếu vuông góc của B trên cạnh AC . Tính BB ' . 84 168 84 A. BB ' = 8 . B. BB ' = . C. BB ' = .D. BB ' = . 5 17 17 Câu 47. Tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 18 cm và có diện tích bằng 64 cm2 . Giá trị sin A ằng: 3 3 4 8 A. sin A = .B. sin A = . C. sin A = .D. sin A = . 2 8 5 9 Câu 48. Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = a 2 và B·AD = 450 . Khi đó hình bình hành có diện tích bằng: A. 2a2 .B. a2 2 . C. a2 .D. a2 3 . Câu 49*. Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 30 cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G . Diện tích tam giác GFC bằng: A. 50 cm2 .B. 50 2 cm2 . C. 75 cm2 .D. 15 105 cm2 . Câu 50*. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 4 cm có diện tích bằng: A. 13 cm2 B. 13 2 cm2 C. 12 3 cm2 D. 15 cm2 . Câu 51*. Tam giác ABC có BC = 2 3, AC = 2AB và độ dài đường cao AH = 2 . Tính độ dài cạnh AB . 2 3 A. AB = 2 . B. AB = . 3 2 21 2 3 C. AB = 2 hoặc AB = . D. AB = 2 hoặc AB = . 3 3 Câu 52*. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S . Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng: A. 2S . B. 3S . C. 4S . D. 6S . Câu 53*. Tam giác ABC có BC = a và CA = b . Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng: A. 600 .B. 900 . C. 1500 .D. 1200 . Câu 54*. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN vuông góc với nhau và có BC = 3 , góc B·AC = 300 . Tính diện tích tam giác ABC . 3 3 A. S = 3 3 . B. S = 6 3 .C. S = 9 3 .D. S = . DABC DABC DABC DABC 2 23
  24. Vấn đề 5. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP Câu 55. Tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và B·AC = 600 . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. r = 1 . B. r = 2 . C. r = 3 . D. r = 2 3 . Câu 56. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. 7 A. r = 16 . B. r = 7 . C. r = . D. r = 8 . 2 Câu 57. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a . a 3 a 2 a 3 a 5 A. r = .B. r = . C. r = .D. r = . 4 5 6 7 Câu 58. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, BC = 10 cm. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. r = 1 cm.B. r = 2 cm. C. r = 2 cm.D. r = 3 cm. Câu 59. Tam giác ABC vuông cân tại A , có AB = a . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. a a a a A. r = .B. r = . C. r = .D. r = . 2 2 2 + 2 3 Câu 60. Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R . Gọi r là R bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Khi đó tỉ số bằng: r 2 + 2 2 - 1 1+ 2 A. 1+ 2 .B. .C. . D. . 2 2 2 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ 7 VAØ ÖÙNG DUÏNG BAØI GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KYØ 1. TÖØ 00 ÑEÁN 1800 Câu 1. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được ïì ï 0 2 ï cos 45 = ï 2 0 0 í ¾ ¾® cos 45 + sin 45 = 2. Chọn B. ï ï 0 2 ï sin 45 = îï 2 Câu 2. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 24
  25. ïì 0 1 ï tan 30 = 4 íï 3 ¾ ¾® tan 300 + cot 300 = . Chọn A. ï ï 0 3 îï cot 30 = 3 Câu 3. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 1 tan150O = - . Chọn C. 3 ïì sin 300 = cos 600 Câu 4. Vì 300 và 600 là hai góc phụ nhau nên íï ï 0 0 îï sin 60 = cos30 ¾¾® P = cos30o cos60o - sin30o sin60o = cos30o cos60o - cos60o cos30o = 0. Chọn D. ïì sin 300 = cos 600 Câu 5. Vì 300 và 600 là hai góc phụ nhau nên íï ï 0 0 îï sin 60 = cos30 ¾¾® P = sin30o cos60o + sin60o cos30o = cos2 60o + sin2 60o = 1. Chọn A. Câu 6. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được ïì ï 0 3 ï cos30 = ï 2 0 0 í ¾ ¾® cos30 + sin120 = 3. Chọn D. ï ï 0 3 ï sin120 = îï 2 Câu 7. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được ïì cos 00 = 1 íï ¾ ¾® cos 00 + sin 00 = 1. Chọn A. ï 0 îï sin 0 = 0 Câu 8. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được ïì 0 1 ï cos120 = - ï 2 íï . Chọn D. ï 3 ï sin 600 = îï 2 Câu 9. Từ giả thiết suy ra Cµ= 600. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 3 cos B = cos300 = . Chọn A. 2 ïì · 1 ï sin BAH = ï 2 Câu 10. Ta có B·AH = 300 ¾ ¾® íï . Do đó A sai; B sai. ï 3 ï cos B·AH = îï 2 3 Ta có A·BC = 600 ¾ ¾® sin A·BC = . Do đó C đúng. Chọn C. 2 Câu 11. Hai góc bù nhau a và (180°- a) thì cho có giá trị của sin bằng nhau. Chọn C. Câu 12. Hai góc bù nhau a và b thì cho có giá trị của sin bằng nhau, các giá trị còn lại thì đối 25
  26. nhau. Do đó D sai. Chọn D. Câu 13. Hai góc 300 và 1500 bù nhau nên sin 30° = sin150° ; Hai góc 15° và 165° bù nhau nên cos15° = - cos165° . Do đó P = sin 30°cos15°+ sin150°cos165° = sin150°.(- cos165°)+ sin150°cos165° = 0 . Chọn B. Câu 14. Hai góc a và b bù nhau nên sina = sinb ; cosa = - cos b . Do đó P = cosa cos b - sin b sin a = - cos2 a - sin2 a = - (sin2 a + cos2 a)= - 1 . Chọn C. Câu 15. Giả sử Aµ= a; Bµ+ Cµ= b . Biểu thức trở thành P = sina cosb + cosa sinb . Trong tam giác ABC , có Aµ+ Bµ+ Cµ= 180° Þ a + b = 180° . Do hai góc a và b bù nhau nên sina = sinb ; cosa = - cos b . Do đó, P = sina cosb + cosa sinb = - sina cosa + cosa sina = 0 . Chọn A. Câu 16. Giả sử Aµ= a; Bµ+ Cµ= b . Biểu thức trở thành P = cosa cosb - sina sinb . Trong tam giác ABC có Aµ+ Bµ+ Cµ= 180° Þ a + b = 180° . Do hai góc a và b bù nhau nên sina = sinb ; cosa = - cos b . Do đó P = cosa cos b - sin a sin b = - cos2 a - sin2 a = - (sin2 a + cos2 a)= - 1 . Chọn C. Câu 17. Hai góc nhọn a và b phụ nhau thì sin a = cos b; cosa = sin b; tan a = cot b; cot a = tan b . Chọn A. Câu 18. Hai góc 15° và 75° phụ nhau nên sin75° = cos15°. Hai góc 20° và 110° hơn kém nhau 90° nên cos110° = - sin 20°. Do đó, S = sin2 15°+ cos2 20°+ sin2 75°+ cos2 110° =sin2 15°+ cos2 20 + cos2 15°+ (- sin 20°)2=(sin2 15°+ cos2 15°)+ (sin2 20°+ cos2 20°)= 2 Chọn C. Câu 19. Hai góc a và b phụ nhau nên sin a = cos b; cosa = sin b . Do đó, P = sin a cos b + sin b cosa = sin2 a + cos2 a = 1 . Chọn B. Câu 20. Hai góc a và b phụ nhau nên sin a = cos b; cosa = sin b . Do đó, P = cosa cosb - sinb sina = cosa sina - cosa sina = 0 . Chọn A. Câu 21. Chọn C. Câu 22. Chọn A. Câu 23. Chọn A. Trong khoảng từ 0° đến 90° , khi giá trị của góc tăng thì giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Câu 24. Trong khoảng từ 90° đến 180° , khi giá trị của góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm. - Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Chọn B. Câu 25. Trong khoảng từ 90° đến 180° , khi giá trị của góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm. - Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Chọn C. 26
  27. a a Câu 26. Từ biểu thức cos2 a + sin2 a = 1 ta suy ra cos2 + sin2 = 1. 5 5 æ 2 a 2 a ö Do đó ta có 5çcos + sin ÷= 5. Chọn D. èç 5 5 ø÷ a a a a 16 Câu 27. Ta có biểu thức sin2 + cos2 = 1 Û cos2 = 1- sin2 = . 3 3 3 3 25 2 2 a 2 a æ3ö 16 107 Do đó ta có P = 3sin + 5cos = 3.ç ÷ + 5. = . Chọn B. 3 3 èç5ø÷ 25 25 sin a 6 - 7 6 sin a - 7 cosa 6 tan a - 7 5 Câu 28. Ta có P = = cosa = = . Chọn B. a + a sin a + a 6 cos 7 sin 6 + 7 6 7 tan 3 cosa 5 Câu 29. Ta có biểu thức sin2 a + cos2 a = 1 Û sin2 a = 1- cos2 a = . 9 æ ö2 cosa sin a ç 2÷ 5 + 3 2 2 ç- ÷ + 3. cot a + 3tan a cos a + 3sin a èç 3ø÷ 9 19 Ta có P = = sin a cosa = = = . 2 cot a + tan a cosa sin a 2 cos2 a + sin2 a æ 2ö2 5 13 2 + 2.ç- ÷ + sin a cosa èç 3ø÷ 9 Chọn B. æ cos2 a cosa 1 ö 2 2 ç ÷ Câu 30. Ta có P = 2 cos a + 5sin a cosa + 1 = sin a ç2 2 + 5 + 2 ÷ èç sin a sin a sin a ø÷ 1 3cot2 a + 5cot a + 1 101 = (2 cot2 a + 5cot a + 1+ cot2 a)= = . Chọn D. 1+ cot2 a cot2 a + 1 26 2 Câu 31. Ta có 3cosa - sin a = 1 Û 3cosa = sin a + 1 ® 9 cos2 a = (sin a + 1) Û 9 cos2 a = sin2 a + 2 sin a + 1 Û 9(1- sin2 a)= sin2 a + 2 sin a + 1 ésin a = - 1 ê Û 10 sin2 a + 2 sin a - 8 = 0 Û ê 4 . êsin a = ëê 5 · sin a = - 1 : không thỏa mãn vì 00 < a < 900. 4 3 sin a 4 · sin a = Þ cosa = ¾ ¾® tan a = = . Chọn A. 5 5 cosa 3 2 Câu 32. Ta có 2 cosa + 2 sin a = 2 Û 2 sin a = 2- 2 cosa ® 2 sin2 a = (2- 2 cosa) Û 2 sin2 a = 4 - 8cosa + 4 cos2 a Û 2(1- cos2 a)= 4 - 8cosa + 4 cos2 a écosa = 1 ê Û 6 cos2 a - 8cosa + 2 = 0 Û ê 1. êcosa = ëê 3 · cosa = 1 : không thỏa mãn vì 00 < a < 900. 1 2 2 cosa 2 · cosa = Þ sin a = ¾ ¾® cot a = = . Chọn C. 3 3 sin a 4 27
  28. 2 Câu 33. Ta có sin a + cosa = a ® (sin a + cosa) = a2 a2 - 1 Û 1+ 2 sin a cosa = a2 Û sin a cosa = . Chọn C. 2 1 2 1 Câu 34. Ta có cosa + sin a = ® (cosa + sin a) = 3 9 1 4 Û 1+ 2 sin a cosa = Û sin a cosa = - . 9 9 2 2 2 2 æsin a cosa ö Ta có P = tan a + cot a = (tan a + cot a) - 2 tan a cot a = ç + ÷ - 2 èçcosa sin a ÷ø æ 2 2 ö2 æ ö2 æ ö2 çsin a + cos a ÷ ç 1 ÷ ç 9÷ 7 = ç ÷ - 2 = ç ÷ - 2 = ç- ÷ - 2 = . Chọn B. èç sin a cosa ø÷ èçsin a cosa ø÷ èç 4÷ø 4 1 2 1 Câu 35. Ta có sin a - cosa = ® (sin a - cosa) = 5 5 1 2 Û 1- 2 sin a cosa = Û sin a cosa = . 5 5 2 Ta có P = sin4 a + cos4 a = (sin2 a + cos2 a) - 2 sin2 a cos2 a 2 17 = 1- 2(sin a cosa) = . Chọn B. 5 uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur Câu 36. ·Vẽ NE = MN . Khi đó (MN,NP)= (NE,NP) P · 0 · 0 0 0 = PNE = 180 - MNP = 180 - 60 = 120 . Chọn A. F uuur uuur uuur uuur uuur uuur · Vẽ OF = MO . Khi đó MO,ON = OF,ON = N·OF = 600. ( ) ( ) O uuuur uur · Vì MN ^ OP ¾ ¾® (MN,OP)= 900. E N M uuuur uuur · Ta có (MN, MP)= N·MP = 600. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Câu 37. Vẽ BE = AB . Khi đó (AB,BC )= (BE,BC )= C·BE = 180- C·BA = 1200 C uuur uuur 1 ¾ ¾® cos AB,BC = cos1200 = - . ( ) 2 uuur uur uur uuur 1 Tương tự, ta cũng có cos(BC,CA)= cos(CA, AB)= - . 2 A B E uuur uuur uuur uur uur uuur 3 Vậy cos AB,BC + cos BC,CA + cos CA, AB = - . Chọn C. ( ) ( ) ( ) 2 uuur uuur Câu 38. Vẽ AE = BA . C uuur uuur · Khi đó (AH, AE)= HAE = a (hình vẽ) H a = 1800 - B·AH = 1800 - 300 = 1500. B A E 28
  29. Chọn D. uuur uur Câu 39. (Bạn đọc tự vẽ hình) Chọn D. Vì (AC, CB)= 1800 - A·CB = 1800 - 400 = 1400. uuur uur Câu 40. Xác định được (AC,CB)= 1800 - A·CB. C AC 1 Ta có cos A·CB = = ¾ ¾® A·CB = 600 CB 2 uuur uur ¾ ¾® (AC,CB)= 1800 - A·CB = 1200 A B uuur uur 1 Vậy cos AC,CB = cos1200 = - . Chọn B. ( ) 2 Câu 41. uuur uuur ïì AB,BC = 1800 - A·BC ï ( ) ï uuur uur ï 0 Ta có í BC,CA = 180 - B·CA ï ( ) ï uur uuur ï CA, AB = 1800 - C·AB îï ( ) uuur uuur uuur uur uur uuur ¾ ¾® (AB,BC )+ (BC,CA)+ (CA, AB)= 5400 - (A·BC + B·CA + C·AB)= 5400 - 1800 = 3600. Chọn B. uuur uuur ì 0 ï AB,BC = 180 - A·BC ï ( ) Câu 42. Ta có í uuur uur ï 0 ï BC,CA = 180 - B·CA îï ( ) uuur uuur uuur uur ¾ ¾® (AB,BC )+ (BC,CA)= 3600 - (A·BC + B·CA) = 3600 - (1800 - B·AC )= 3600 - 1800 + 600 = 2400. Chọn D. uuur uuur ïì · ï (HA,HB)= BHA H ï ï uuur uuur Câu 43. Ta có í HB,HC = B·HC ï ( ) ï uuur uuur F ï I ï HC,HA = C·HA A îï ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur ¾ ¾® (HA,HB)+ (HB,HC )+ (HC,HA)= B·HA + B·HC + C·HA 1000 = 2B·HC = 2 1800 - 1000 = 1600 ( ) B C (do tứ giác HIAF nội tiếp. Chọn D. uuur uuur Câu 44. Vẽ AE = BA . C D uuur uuur uuur uuur Khi đó cos(AC,BA)= cos(AC, AE) 2 = cosC·AE = cos1350 = - . Chọn B. 2 B A E Câu 45. 29
  30. uuur uuur uuur uuur · Ta có AB, DC cùng hướng nên (AB,DC) = 00 . uuur uur uuur uur · Ta có AD,CB ngược hướng nên (AD,CB)= 1800 . uur uuur A B · Vẽ CE = DC , khi đó uuur uuur uuur uur (CO,DC)= (CO,CE)= O·CE = 1350. O uuur uuur uuur uur uuur uuur Vậy (AB, DC )+ (AD,CB)+ (CO, DC ) = 00 + 1800 + 1350 = 3150. D C E Chọn C. BAØI TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ 2. r r r r r r Câu 1. Ta có a.b = a . b .cos(a,b) . r r r r r r Do a và b là hai vectơ cùng hướng nên (a,b)= 00 ¾ ¾® cos(a,b)= 1 . r r r r Vậy a.b = a . b . Chọn A. r r r r r r Câu 2. Ta có a.b = a . b .cos(a,b) . r r r r r r r r Mà theo giả thiết a.b = - a . b , suy ra cos(a,b)= - 1 ¾ ¾® (a,b)= 1800. Chọn A. r r r r r r r r r r r r a.b - 3 1 0 Câu 3. Ta có a.b = a . b .cos(a,b)¾ ¾® cos(a,b)= r r = = - ¾ ¾® (a,b)= 120 . a . b 3.2 2 Chọn D. r r r r æ2 r rö r r 2 r 2 13 r r r 2 Câu 4. Ta có u ^ v ¾ ¾® u.v = 0 Û ç a - 3b÷ a + b = 0 Û a - ab - 3b = 0 èç5 ø÷( ) 5 5 r r a = b = 1 r r ¾ ¾ ¾¾® ab = - 1. r r r r r r a.b 0 Suy ra cos(a,b)= r r = - 1 ¾ ¾® (a,b)= 180 . Chọn B. a . b 1 1 Câu 5. Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số và nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặc D. 2 4 r r 2 r r 2 r r 2 r r 2 r r r r 1 ær r 2 r r 2 ö Ta có a + b - a - b = a + b - a - b = 4ab ¾ ¾® a.b = ça + b - a - b ÷. ( ) ( ) 4 èç ø÷ Chọn C. r r 2 r r 2 r r r r r r r r r r r r r 2 r 2 r r · A đúng, vì a + b = (a + b) = (a + b).(a + b)= a.a + a.b + b.a + b.b = a + b + 2a.b r r 1 ær r 2 r 2 r 2 ö ¾ ¾® a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ø÷ 30
  31. r r 2 r r 2 r r r r r r r r r r r r r 2 r 2 r r · B đúng, vì a - b = (a - b) = (a - b).(a - b)= a.a - a.b - b.a + b.b = a + b - 2a.b r r 1 ær 2 r 2 r r 2 ö ¾ ¾® a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ø÷ uuur uuur uuur uuur Câu 6. Xác định được góc (AB,AC) là góc Aµ nên (AB, AC )= 600. uuur uuur uuur uuur a2 Do đó AB.AC = AB.AC.cos AB, AC = a.a.cos 600 = . Chọn D. ( ) 2 uuur uuur uuur uuur Câu 7. Xác định được góc (AB,BC ) là góc ngoài của góc Bµ nên (AB,BC )= 1200. uuur uuur uuur uuur a2 Do đó AB.BC = AB.BC.cos AB,BC = a.a.cos1200 = - . Chọn C. ( ) 2 Câu 8. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: uuur uuur uuur uuur · Xác định được góc (AB,AC) là góc Aµ nên (AB, AC )= 600. uuur uuur uuur uuur a2 Do đó AB.AC = AB.AC.cos AB, AC = a.a.cos 600 = ¾ ¾® A đúng. ( ) 2 uuur uur uuur uur · Xác định được góc (AC,CB) là góc ngoài của góc Cµ nên (AC,CB)= 1200. uuur uur uuur uur a2 Do đó AC.CB = AC.CB.cos AC,CB = a.a.cos1200 = - ¾ ¾® B đúng. ( ) 2 uuur uuur uuur uuur · Xác định được góc (GA,GB) là góc A·GB nên (GA,GB)= 1200. uuur uuur uuur uuur a a a2 Do đó GA.GB = GA.GB.cos(GA,GB)= . .cos1200 = - ¾ ¾® C sai. Chọn C. 3 3 6 uuur uuur uuur uuur · Xác định được góc (AB,AG) là góc G·AB nên (AB, AG)= 300. uuur uuur uuur uuur a a2 Do đó AB.AG = AB.AG.cos(AB, AG)= a. .cos300 = ¾ ¾® D đúng. 3 2 uuur uur uuur uur Câu 9. Xác định được góc (AC,CB) là góc ngoài của góc Aµ nên (AC,CB)= 1200. uuur uur uuur uur a2 Do đó ChọnAC.CB D.= AC.CB.cos AC,CB = a.a.cos1200 = - . ( ) 2 uuur uuur uuur uuur Câu 10. Xác định được góc (AB,BC ) là góc ngoài của góc Bµ nên (AB,BC )= 1350. uuur uuur uuur uuur Do đó AB.BC = AB.BC.cos(AB,BC )= a.a 2.cos1350 = - a2 . Chọn A. uuur uuur uuur uuur c Câu 11. Ta có BA.BC = BA.BC.cos(BA,BC )= BA.BC.cos Bµ= c. b2 + c 2 . = c 2 . b2 + c 2 Chọn B. uuur uuur Cách khác. Tam giác ABC vuông tại A suy ra AB ^ AC Þ AB.AC = 0. 31
  32. uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur Ta có BA.BC = BA.(BA + AC )= BA + BA.AC = AB 2 = c 2 . Chọn B. Câu 12. Ta có AB + BC = CA Þ ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C. uur uur uur uur Khi đó CA.CB = CA.CB.cos(CA,CB)= 3.5.cos 00 = 15. Chọn B. uuur 2 uur uur 2 uur uur Cách khác. Ta có AB 2 = AB = (CB - CA) = CB 2 - 2CBCA + CA2 uur uur 1 1 ¾ ¾® CBCA = (CB 2 + CA2 - AB 2 )= (32 + 52 - 22 )= 15. 2 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Câu 13. Ta có P = (AB + AC ).BC = (AB + AC ).(BA + AC ). uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 = (AC + AB).(AC - AB)= AC - AB = AC 2 - AB 2 = b2 - c 2 . Chọn A. uuur uuur uuuur Câu 14. Vì M là trung điểm của BC suy ra AB + AC = 2 AM. uuuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur Khi đó AM.BC = AB + AC .BC = AB + AC . BA + AC 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur 2 uuur 2 1 b2 - c 2 = AC + AB . AC - AB = AC - AB = (AC 2 - AB 2 )= . Chọn A. 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 uur uur uuur uur uur uur uur Câu 15. Ta có (OA + OB).AB = 0 Û (OA + OB).(OB - OA)= 0 uur 2 uur 2 Û OB - OA = 0 Û OB 2 - OA2 = 0 Û OB = OA. Chọn B. Câu 16. Đáp án A đúng theo tính chất phân phối. uuur uuuur uuuur uuur Đáp án B sai. Sửa lại cho đúng MP.MN = MN.MP . Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán. Đáp án D đúng theo tính chất phân phối. Chọn B uuur uuur uuur uuur 2 Câu 17. Ta có AB, AC = B·AC = 450 nên AB.AC = AB.AC.cos 450 = a.a 2. = a2 . ( ) 2 Chọn A. Câu 18. Từ giả thiết suy ra AC = a 2. uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uur uuur uuur 2 Ta có P = AC.(CD + CA)= AC.CD + AC.CA = - CA.CD - AC uur uuur 2 = - CA.CD cos(CA,CD)- AC 2 = - a 2.a.cos 450 - (a 2) = - 3a2 . Chọn C. ì ï BD = a 2 Câu 19. Ta có íï uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur . ï BC + BD + BA = BC + BA + BD = BD + BD = 2BD îï ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Khi đó P = (AB + AC ).2BD = 2AB.BD + 2AC.BD = - 2BA.BD + 0 uuur uuur 2 = - 2.BA.BD cos BA,BD = - 2.a.a 2. = - 2a2 . Chọn D. ( ) 2 Câu 20. Ta có C là trung điểm của DE nên DE = 2a. A B 32 D C E
  33. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Khi đó AE.AB = (AD + DE).AB = 1A4D42.A44B3+ DE.AB 0 uuur uuur = DE.AB.cos(DE, AB)= DE.AB.cos 00 = 2a2 . Chọn A. uuur uuuur Câu 21. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ MB, MN theo các vectơ có giá vuông góc với nhau. A B uuur uuur uuuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur · MB = AB - AM = AB - AC = AB - AB + AD = AB - AD. 4 4 ( ) 4 4 M uuuur uuur uuuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur · MN = AN - AM = AD + DN - AC = AD + DC - AB + AD 4 2 4 ( ) uuur 1 uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur = AD + AB - AB + AD = AD + AB. Suy ra: 2 4 ( ) 4 4 D N C uuur uuuur æ3 uuur 1 uuuröæ3 uuur 1 uuurö 1 uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur MB.MN = ç AB - AD÷ç AD + AB÷= 3AB.AD + 3AB - 3AD - AD.AB èç4 4 ø÷èç4 4 ø÷ 16 ( ) 1 = (0 + 3a2 - 3a2 - 0)= 0 . Chọn B. 16 uuur uuur Câu 22. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB, BD theo các vectơ có giá vuông góc với nhau. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có AB.BD = AB.(BA + BC )= AB.BA + AB.BC = - AB.AB + 0 = - AB 2 = - 64 . Chọn D. B Câu 23. Gọi O = AC ÇBD , giả thiết không cho góc, uuur uuur ta phân tích các vectơ AB, AC theo các vectơ A C có giá vuông góc với nhau. Ta có uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur 1 1 2D AB.AC = AO + OB .AC = AO.AC + OB.AC = AC.AC + 0 = AC = 32 . ( ) 2 2 Chọn D. 2 Câu 24. Ta có SABCD = 2.SDABC = 54 Û SDABC = 27 cm . Diện tích tam giác ABC là: 1 1 S = .AB.BC.sin A·BC = .AB.AD.sin A·BC. A D DABC 2 2 · 2.S 2.27 9 Þ sin ABC = DABC = = AB.AD 8.12 16 B C · · 5 7 ¾ ¾® cos ABC = 1- sin2 ABC = (vì A·BC nhọn). 16 uuur uuur Mặt khác góc giữa hai vectơ AB, BC là góc ngoài của góc A·BC uuur uuur æ 0 · ö · 5 7 Suy ra cos AB,BC = cosç180 - ABC÷= - cos ABC = - . Chọn D. ( ) èç ø÷ 16 Câu 25. Ta có AC = BD = AB 2 + AD 2 = 2a2 + a2 = a 3. A K D B C 33
  34. ïì uuur uuur uuur uuur 1 uuur ï BK = BA + AK = BA + AD Ta có íï 2 ï uuur uuur uuur îï AC = AB + AD uuur uuur æuuur 1 uuurö uuur uuur ¾ ¾® BK.AC = çBA + AD÷ AB + AD èç 2 ø÷( ) uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 2 = BA.AB + BA.AD + AD.AB + AD.AD = - a2 + 0 + 0 + (a 2) = 0. Chọn A. 2 2 2 uuur uuur uuur Câu 26. Gọi I là trung điểm BC ¾ ¾® MB + MC = 2MI. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có MA(MB + MC )= 0 Û MA.2MI = 0 Û MA.MI = 0 Û MA ^ MI . (*) Biểu thức (*) chứng tỏ MA ^ MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI. Chọn D. uuur uuur uuur uuuur Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ¾ ¾® MA + MB + MC = 3MG. uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur Ta có MB(MA + MB + MC )= 0 Û MB.3MG = 0 Û MB.MG = 0 Û MB ^ MG. (*) Biểu thức (*) chứng tỏ MB ^ MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BG. Chọn D. uuur uuur Câu 28. Ta có MA.BC = 0 Û MA ^ BC. Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC. Chọn B. uuur uuur Câu 29*. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B . Khi đó AC = 2AB. uuur uuur uuur 2 Suy ra AB.AC = 2AB = 2a2 . uuur uuur uuur uuur Kết hợp với giả thiết, ta có AN.AB = AB.AC uuur uuur uuur uuur uuur Û AB(AN - AC )= 0 Û AB.CN = 0 Û CN ^ AB . Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng qua C và vuông góc với AB. Chọn B. uur uur Câu 30*. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB ¾ ¾® IA = - IB. uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur Ta có MA.MB = (MI + IA)(MI + IB)= (MI + IA)(MI - IA) uuur 2 uur 2 AB 2 = MI - IA = MI 2 - IA2 = MI 2 - . 4 AB 2 AB 2 82 Theo giả thiết, ta có MI 2 - = - 16 Û MI 2 = - 16 = - 16 = 0 ¾ ¾® M º I. 4 4 4 Chọn A. uuur uuur Câu 31. Ta có AB = (- 1;11), AC = (- 7;3) . uuur uuur Suy ra AB.AC = (- 1).(- 7)+ 11.3 = 40. Chọn A. uuur uur uuur uur Câu 32. Ta có AO = (- 3;1), OB = (2;10). Suy ra AO.OB = - 3.2 + 1.10 = 4. Chọn C. r r Câu 33. Từ giả thiết suy ra a = (4;6) và b = (3;- 7). 34
  35. r r Suy ra a.b = 4.3+ 6.(- 7)= - 30. Chọn A. r Câu 34. Gọi c = (x; y). r r ì ï c.a = 9 ïì - 3x + 2y = 9 ïì x = - 1 r Ta có íï r r Û íï Û íï ¾ ¾® c = (- 1;3). Chọn B. ï ï - x - 7y = - 20 ï y = 3 îï c.b = - 20 ïî ïî r r r r r Câu 35. Ta có b + c = (6;6). Suy ra P = a.(b + c)= 1.6 + 2.6 = 18. Chọn B. r r r r a.b - 1.2 + 1.0 2 Câu 36. Ta có cos(a,b)= r r = = - . Chọn B. a . b (- 1)2 + 12 . 22 + 02 2 r r r r a.b - 2.4 + (- 1).(- 3) 5 Câu 37. Ta có cos(a,b)= r r = = - . Chọn A. a . b 4 + 1. 16 + 9 5 r r r r a.b 4.1+ 3.7 2 r r Câu 38. Ta có cos(a,b)= r r = = ¾ ¾® (a,b)= 450. Chọn C. a . b 16 + 9. 1+ 49 2 ur ur ur ur x.y 1.(- 3)+ 2.(- 1) 2 ur ur Câu 39. Ta có cos(x, y)= ur ur = = - ¾ ¾® (x, y)= 1350. Chọn D. x . y 1+ 4. 9 + 1 2 r r r r a.b 2.3+ 5(- 7) 2 r r Câu 40. Ta có cos(a,b)= r r = = - ¾ ¾® (a,b)= 1350. Chọn D. a . b 4 + 25. 9 + 49 2 r r Câu 41. Kiểm tra tích vô hướng a.v , nếu đáp án nào cho kết quả khác 0 thì kết luận vectơ đó r không vuông góc với a. Chọn C. uuur uuur Câu 42. Ta có AB = (- 2;- 1) và AC = (4;- 3) . uuur uuur uuur uuur AB.AC - 2.4 + (- 1).(- 3) 5 Suy ra cos(AB, AC )= uuur uuur = = - . Chọn D. AB . AC 4 + 1. 16 + 9 5 uuur uuur Câu 43. Ta có BA = (3;- 1) và BC = (- 4;- 2) . Suy ra: uuur uuur uuur uuur BA.BC 3.(- 4)+ (- 1).(- 2) 2 uuur uuur cos(BA,BC )= uuur uuur = = - ¾ ¾® Bµ= (BA,BC )= 135O. BA . BC 9 + 1. 16 + 4 2 Chọn D. uuur uuur uur uuur Câu 44. Ta có AB = (8;4), AD = (5;- 5), CB = (- 2;4), CD = (- 5;5). ïì uuur uuur 8.5+ 4.(- 5) 1 ï cos AB, AD = = ï ( ) 2 2 2 2 ï 8 + 4 . 5 + 5 10 Suy ra íï ï uur uuur (- 2).(- 5)+ 4.(- 5) 1 ï cos CB,CD = = - ï ( ) 2 2 2 2 îï 2 + 4 . 5 + 5 10 uuur uuur uur uuur ¾ ¾® cos(AB, AD)+ cos(CB,CD)= 0 Þ B·AD + B·CD = 1800. Chọn D. r æ1 ö r Câu 45. Từ giả thiết suy ra u = ç ;- 5÷,v = (k;- 4). èç2 ø÷ 35
  36. r r 1 Yêu cầu bài toán: u ^ v Û k + (- 5)(- 4)= 0 Û k = - 40 . Chọn C. 2 r æ1 ö r Câu 46. Từ giả thiết suy ra u = ç ;- 5÷,v = (k;- 4). èç2 ø÷ r 1 1 r Suy ra u = + 25 = 101 và v = k 2 + 16 . Do đó để 4 2 r r 1 101 37 37 u = v Û k 2 + 16 = 101 Û k 2 + 16 = Û k 2 = Û k = ± . Chọn C. 2 4 4 2 r r r ì ï c = ka + mb = (- 2k + 4m;3k + m) Câu 47. Ta có íï r r . ï îï a + b = (2;4) r r r r r r Để c ^ (a + b)Û c (a + b)= 0 Û 2(- 2k + 4m)+ 4(3k + m)= 0 Û 2k + 3m = 0. Chọn C. ïì 5 ï x = - ur ïì - 2x + 3y = 4 ï 7 Câu 48. Gọi d = (x; y) . Từ giả thiết, ta có hệ íï Û íï . Chọn B. ï 4x + y = - 2 ï 6 îï ï y = îï 7 r r r r Câu 49. Ta có a = u + m.v = (4 + m;1+ 4m). Trục hoành có vectơ đơn vị là i = (1;0). r r r Vectơ a vuông góc với trục hoành Û a.i = 0 Û 4 + m = 0 Û m = - 4. Chọn B. r r r ì ï a = m.u + v = (4m + 1;m + 4) Câu 50. Ta có íï r r r . ï îï b = i + j = (1;1) r r 2 Yêu cầu bài toán Û cos a,b = cos 450 = ( ) 2 (4m + 1)+ (m + 4) 2 5(m + 1) 2 Û = Û = 2 2 2 2 (4m + 1) + (m + 4) 2 2 17m + 16m + 17 2 ì 2 ï m + 1³ 0 1 Û 5(m + 1)= 17m + 16m + 17 Û í 2 2 Û m = - . îï 25m + 50m + 25 = 17m + 16m + 17 4 Chọn C. uuuur 2 Câu 51. Ta có MN = (- 4;6) suy ra MN = (- 4) + 62 = 42 = 2 13. Chọn D. uuur ì ïì 2 2 ï AB = (2;- 2) ï AB = 2 + (- 2) = 2 2 ï uuur ï ï 2 2 Câu 52. Ta có í BC = (2;2) Þ íï BC = 2 + 2 = 2 2 ï uur ï ï ï 2 2 ï CA = (- 4;0) ï CA = (- 4) + 0 = 4 î îï Vậy chu vi P của tam giác ABC là P = AB + BC + CA = 4 + 4 2. Chọn B. r 3 r 4 r r æ 3 4ö r æ 3ö2 æ 4ö2 Câu 53. Ta có a = - i - j ¾ ¾® a = ç- ;- ÷Þ a = ç- ÷ + ç- ÷ = 1. Chọn B. 5 5 èç 5 5÷ø èç 5÷ø èç 5÷ø 36
  37. r r r r Câu 54. Ta có u.v = 3.(- 8)+ 4.6 = 0 suy ra u vuông góc với v . Chọn C. uuur uuur æ 1ö uuur uuur 1 Câu 55. Ta có AB = (- 3;- 6) và CD = ç- 1; ÷ suy ra AB.CD = (- 3).(- 1)+ (- 6). = 0. èç 2ø÷ 2 uuur uuur Vậy AB vuông góc với CD. Chọn C. uuur ì 2 2 ï AB = (1;7)Þ AB = 1 + 7 = 5 2 ï uuur ï ï BC = (- 7;1)Þ BC = 5 2 Câu 56. Ta có í uuur ¾ ¾® AB = BC = CD = DA = 5 2. ï ï CD = (- 1;- 7)Þ CD = 5 2 ï uuur ï îï DA = (7;- 1)Þ DA = 5 2 uuur uuur Lại có AB.BC = 1(- 7)+ 7.1 = 0 nên AB ^ BC . Từ đó suy ra ABCD là hình vuông. Chọn C. uuur ì ï AB = (1;1) uuur uuur Câu 57. Ta có íï uuur ¾ ¾® DC = 3AB . ï îï DC = (3;3) Suy ra DC PAB và DC = 3AB. (1) ì 2 2 ï AD = 1 + 3 = 10 Mặt khác íï ¾ ¾® AD = BC. (2) ï 2 2 îï BC = 3 + 1 = 10 Từ (1) và (2) , suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân. Chọn C. uuur uuur uuur Câu 58. Ta có AB = (2;2), BC = (0;- 4) và AC = (2;- 2). ì ï AB = AC = 2 2 Suy ra í . Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Chọn D. ï 2 2 2 îï AB + AC = BC uuur uuur uuur Câu 59. Ta có AB = (- 7;- 3), BC = (3;- 7) và AC = (- 4;- 10). uuur uuur Suy ra AB.BC = (- 7).3+ (- 3).(- 7)= 0 và AB = BC. Vậy tam giác ABC vuông cân tại B. Chọn C. uuur uuur uuur Câu 60. Ta có AB = (3;0), BC = (- 3;3) và AC = (0;3). ïì AB = AC = 3 Do đó íï Þ AB 2 + AC 2 = BC 2 . ï îï BC = 3 2 Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Chọn B. uur ì ï CA = (- 2- c;4) Câu 61. Ta có C Î Ox nên C (c;0) và íï uur . ï îï CB = (8- c;4) uur uur Tam giác ABC vuông tại C nên CA.CB = 0 Û (- 2- c).(8- c)+ 4.4 = 0 éc = 6 ® C (6;0) 2 ê Û c - 6c = 0 Û ê . Chọn B. ëêc = 0 ® C (0;0) 37
  38. uuur ì ï AB = (- 4;- 1) Câu 62. Ta có C Î Oy nên C (0;c) và íï uuur . ï îï AC = (- 1;c - 2) uuur uuur Tam giác ABC vuông tại A nên AB.AC = 0 Û (- 4).(- 1)+ (- 1)(c - 2)= 0 Û c = 6. Vậy C (0;6) . Chọn A. Câu 63. uuur ïì MA = (- 4 - x;0) ï ï uuur uuur uuur uuur Ta có M Î Ox nên M (x;0) và í MB = (- 5- x;0) ¾ ¾® MA + MB + MC = (- 6- 3x;0). ï uuur ï MC = (3- x;0) îï uuur uuur uuur r Do MA + MB + MC = 0 nên- 6- 3x = 0 Û x = - 2 ¾ ¾® M (- 2;0). Chọn A. uuur ì ï MP = (x + 2;- 2) Câu 64. Ta có P Î Ox nên P (x;0) và íï uuuur . ï îï MN = (3;- 1) x + 2 - 2 Do M , N, P thẳng hàng nên = Û x = 4 ¾ ¾® P (4;0). Chọn D. 3 - 1 uuuur Câu 65. Ta có M Î Ox nên M (m;0) và MN = (- 1- m;4). uuuur 2 Theo giả thiết: MN = 2 5 Û MN = 2 5 Û (- 1- m) + 42 = 2 5 ém = 1 ¾ ¾® M (1;0) 2 2 ê Û (1+ m) + 16 = 20 Û m + 2m - 3 = 0 Û ê . Chọn B. ëêm = - 3 ¾ ¾® M (- 3;0) uuur ì ï AC = (x - 1;- 3) Câu 66. Ta có C Î Ox nên C (x;0) và íï uuur . ï îï BC = (x - 4;- 2) 2 2 2 2 2 2 5 æ5 ö Do CA = CB Û CA = CB Û (x - 1) + (- 3) = (x - 4) + (- 2) Û x = ¾ ¾® C ç ;0÷. 3 èç3 ø÷ Chọn B. uuuur ì ï AM = (m - 2;- 2) Câu 67. Ta có M Î Ox nên M (m;0) và íï uuur . ï îï BM = (m - 5;2) uuuur uuur Vì A·MB = 900 suy ra AM.BM = 0 nên (m - 2)(m - 5)+ (- 2).2 = 0. ém = 1 éM (1;0) Û m2 - 7m + 6 = 0 Û ê ¾ ¾® ê . Chọn B. ê ê ëm = 6 ëêM (6;0) uuur ì ï MA = (1;- 1- m) Câu 68. Ta có M Î Oy nên M (0;m) và íï uuur . ï îï MB = (3;2- m) uuur 2 uuur 2 2 2 Khi đó MA2 + MB 2 = MA + MB = 12 + (- 1- m) + 32 + (2- m) = 2m2 - 2m + 15. 38
  39. æ 1ö2 29 29 = 2çm - ÷ + ³ ; " m Î ¡ . èç 2ø÷ 2 2 29 Suy ra {MA2 + MB 2 } = . min 2 1 æ 1ö Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = ¾ ¾® M ç0; ÷. Chọn C. 2 èç 2ø÷ uuur uuur Câu 69. Gọi D(x; y). Ta có AD = (x + 2; y) và BC = (4;- 3) . Vì ABCD là hình bình hành uuur uuur ïì x + 2 = 4 ïì x = 2 nên AD = BC ¾ ¾® íï Û íï ¾ ¾® D(2;- 3). Chọn A. îï y = - 3 îï y = - 3 ì ï 1- 2 + 5 4 ï xG = = ï 3 3 Câu 70. Tọa độ trọng tâm G(x ; y ) là íï . Chọn D. G G ï 3+ 4 + 3 10 ï y = = îï G 3 3 uur ïì AI = (x + 4; y - 1) ï ï uur Câu 71. Gọi I (x; y) . Ta có í BI = (x - 2; y - 4). ï uur ï CI = (x - 2; y + 2) îï ïì IA2 = IB 2 = = Û ï Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA IB IC í 2 2 îï IB = IC ì 2 2 2 2 2 2 ïì 1 ï (x + 4) + (y - 1) = (x - 2) + (y - 4) ïì (x + 4) = (x - 2) + 9 ï x = - Û ï Û ï Û ï . í 2 2 2 2 í í 4 ï (x - 2) + (y - 4) = (x - 2) + (y + 2) ï y = 1 ï îï î îï y = 1 Chọn B. uuur uuur ì ï AH = (a + 3;b) & BC = (- 1;6) Câu 72. Ta có íï uuur uuur . Từ giả thiết, ta có: ï îï BH = (a - 3;b) & AC = (5;6) uuur uuur ïì ïì a = 2 ï AH.BC = 0 ïì (a + 3).(- 1)+ b.6 = 0 ï íï uuur uuur Û íï Û í ¾ ¾® a + 6b = 7. Chọn C. ï ï ï 5 ï BH.AC = 0 îï (a - 3).5+ b.6 = 0 ï b = îï îï 6 uuur ïì AA' = (x - 4; y - 3) ï ï uuur Câu 73. Gọi A'(x; y) . Ta có í BC = (- 5;- 15) . ï uuur ï BA' = (x - 2; y - 7) îï uuur uuur ì ïì AA' ^ BC ï AA'.BC = 0 (1) Từ giả thiết, ta có íï Û íï uuur uuur . ï B, A', C thang hang ï îï îï BA' = kBC (2) · (1)Û - 5(x - 4)- 15(y - 3)= 0 Û x + 3y = 13. x - 2 y - 7 · (2)Û = Û 3x - y = - 1. - 5 - 15 39
  40. ïì x + 3y = 13 ïì x = 1 Giải hệ íï Û íï ¾ ¾® A'(1;4). Chọn C. îï 3x - y = - 1 îï y = 4 uuur ïì AA' = (x - 2; y - 4) ï ï uuur Câu 74. Gọi A'(x; y). Ta có í BC = (6;- 2) . ï uuur ï BA' = (x + 3; y - 1) îï Vì A' là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên ïì AA' ^ BC íï îï B, C, A' thaúng haøng ì ì uuur uuur ì ï ï 3 ïì ï (x - 2).6 + (y - 4).(- 2)= 0 ï ï x = ï AA'.BC = 0 ï ï 6x - 2y = 4 ï 5 Û í uuur uuur Û í x + 3 y - 1 Û í Û í . Chọn D. ï BA' = kBC ï = ï - 2x - 6y = 0 ï 1 îï îï 6 - 2 ï ï y = - îï îï 5 uuur uuur Câu 75. Dễ dàng kiểm tra BA.BC = 0 ¾ ¾® A·BC = 900. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD. Suy ra I là trung điểm của AC ¾ ¾® I (4;- 1). ïì x + 3 ï = 4 ï 2 ïì x = 5 Gọi D(x; y) , do I cũng là trung điểm củaB D ¾ ¾® íï Û íï Þ D(5;- 8). ï y + 6 ï y = - 8 ï = - 1 îï îï 2 Chọn A. uuur ì ï BA = (1;3) Câu 76. Gọi C (x; y) . Ta có íï uuur . ï îï BC = (x - 1; y - 1) uuur uuur ì ì ï BA.BC = 0 ï 1.(x - 1)+ 3.(y - 1)= 0 Tam giác ABC vuông cân tại B Û í Û íï ï ï 2 2 2 2 îï BA = BC îï 1 + 3 = (x - 1) + (y - 1) ïì x = 4 - 3y ïì y = 0 ïì y = 2 Û í 2 Û í hay í . Chọn C. îï 10y - 20y = 0 îï x = 4 îï x = - 2 uuur ì ï AB = (2;1) Câu 77. Gọi C = (x; y). Ta có íï uuur . ï îï BC = (x - 3; y) uuur uuur ïì AB ^ BC Vì ABCD là hình vuông nên ta có íï ï îï AB = BC ì ïì ì ï 2(x - 3)+ 1.y = 0 ï y = 2(3- x) ï y = 2(3- x) ïì x = 4 ïì x = 2 Û íï Û íï Û íï Û íï hoặc í . ï 2 2 ï 2 ï 2 ï y = - 2 ï y = 2 îï (x - 3) + y = 5 îï 5(x - 3) = 5 îï (x - 3) = 1 îï îï Với C1 (4;- 2) ta tính được đỉnh D1 (2;- 3) : thỏa mãn. Với C2 (2;2) ta tính được đỉnh D2 (0;1) : không thỏa mãn. Chọn B. 40
  41. uuur ì ï AB = (- 2;1) uuur uuur ï ïì ï uuur ï AB = DC Câu 78. Ta có í BC = (- 1;- 4)¾ ¾® íï uuur uuur ¾ ¾® ABCD là hình hình hành. ï ï ï uuur îï AB.BC = - 2 ¹ 0 ï DC = (- 2;1) îï Chọn D. EA OA 2 Câu 79. Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có = = . EB OB 2 uuur 2 uuur Vì E nằm giữa hai điểm A, B nên EA = - EB. (*) 2 uuur ì ï EA = (1- x;3- y) Gọi E (x; y) . Ta có íï uuur . ï îï EB = (4 - x;2- y) ì ï 2 ï 1- x = - (4 - x) ì ï 2 ï x = - 2 + 3 2 Từ (*) , suy ra í Û íï . Chọn D. ï ï ï 2 îï y = 4 - 2 ï 3- y = - (2- y) îï 2 Câu 80. Để tứ giác ABCD là hình thang cân, ta cần có một cặp cạnh đối song song không bằng nhau và cặp cạnh còn lại có độ dài bằng nhau. Gọi D(x; y). ïì AB P CD uuur uuur Trường hợp 1: íï Û CD = k AB (với k ¹ - 1 ) îï AB ¹ CD ïì x = - 2k Û (x - 0; y - 7)= (- 2k;2k)Û íï . (1) îï y = 2k + 7 ì uuur 2 ï = - 2; Þ = - 2 + 2 ï AD (x y) AD (x ) y 2 2 Ta có í uuur ¾ ¾® AD = BC Û (x - 2) + y = 25. (2) ï îï BC = (0;5)Þ BC = 5 ék = - 1(loaïi) 2 2 ê Từ (1) và (2) , ta có (- 2k - 2) + (2k + 7) = 25 Û ê 7 ¾ ¾® D(7;0). êk = - ëê 2 ïì AD P BC Trường hợp 2: íï . Làm tương tự ta được D = (2;9). îï AD ¹ BC Vậy D(7;0) hoặc D(2;9) . Chọn B. BAØI CAÙC HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC 3. VAØ GIAÛI TAM GIAÙC AB 2 + AC 2 - BC 2 52 + 82 - 72 1 Câu 1. Theo định lí hàm cosin, ta có cos Aµ= = = . 2AB.AC 2.5.8 2 Do đó, Aµ= 60° . Chọn C. Câu 2. Theo định lí hàm cosin, ta có 41
  42. BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB.AC.cos Aµ= 22 + 12 - 2.2.1.cos 60° = 3 Þ BC = 3 . Chọn D. Câu 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC . A ¾¾® MN là đường trung bình của DABC . 1 M ¾ ¾® MN = AC . Mà MN = 3 , suy ra AC = 6 . 2 Theo định lí hàm cosin, ta có B N C AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2.AC.BC.cos A·CB Û 92 = 62 + BC 2 - 2.6.BC.cos 60° Þ BC = 3+ 3 6 Chọn A. Câu 4. Theo định lí hàm cosin, ta có 2 2 AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2.AC.BC.cosCµÞ ( 2) = ( 3) + BC 2 - 2. 3.BC.cos 45° 6 + 2 Þ BC = . Chọn B. 2 AB AC 5 AC 5 6 Câu 5. Theo định lí hàm sin, ta có = Û = Þ AC = . sinCµ sin Bµ sin 45° sin 60° 2 Chọn A. Câu 6. B Do ABCD là hình thoi, có B·AD = 60° Þ A·BC = 120° . Theo định lí hàm cosin, ta có AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2.AB.BC.cos A·BC A C = 12 + 12 - 2.1.1.cos120° = 3 Þ AC = 3 Chọn A. D Câu 7. 2 2 2 AB 2 + BC 2 - AC 2 4 + 6 - (2 7) 1 Theo định lí hàm cosin, ta có : cos B = = = . 2.AB.BC 2.4.6 2 1 Do MC = 2MB ¾ ¾® BM = BC = 2 . A 3 Theo định lí hàm cosin, ta có AM 2 = AB 2 + BM 2 - 2.AB.BM.cos Bµ 1 = 42 + 22 - 2.4.2. = 12 Þ AM = 2 3 2 B M C Chọn C. Câu 8. Theo định lí hàm cosin, ta có: A 42 B D C
  43. AB 2 + AC 2 - BC 2 1 cos B·AC = = - 2.AB.AC 2 Þ B·AC = 120° Þ B·AD = 60° AB 2 + BC 2 - AC 2 2 cos A·BC = = Þ A·BC = 45° 2.AB.BC 2 Trong DABD có B·AD = 60°, A·BD = 45° Þ A·DB = 75° . Chọn C. Câu 9. Do tam giác ABC vuông tại A , có tỉ lệ 2 cạnh góc vuông AB : AC là 3 : 4 nên AB là cạnh nhỏ nhất trong tam giác. AB 3 4 Ta có = Þ AC = AB . AC 4 3 Trong DABC có AH là đường cao 1 1 1 1 1 1 1 9 . Chọn B. Þ 2 = 2 + 2 = 2 + Û 2 = 2 + 2 Þ AB = 40 AH AB AC AB æ4 2 ö 32 AB 16AB ç AB ÷ èç3 ø÷ Câu 10. M· PQ Ta có M· PE = E·PF = F·PQ = = 30° Þ M· PF = E·PQ = 60° . 3 Theo định lí hàm cosin, ta có P · ME 2 = AM 2 + AE 2 - 2.AM.AE.cos MAE = q 2 + x 2 - 2qx.cos30° = q 2 + x 2 - qx 3 2 2 2 · MF = AM + AF - 2AM.AF.cos MAF 2 2 2 2 = q + y - 2qy.cos 60° = q + y - qy M E F Q MQ 2 = MP 2 + PQ 2 = q 2 + m2 . Chọn C. Câu 11. Theo định lí hàm sin, ta có: OB AB AB · 1 · · = Û OB = .sinOAB = .sinOAB = 2 sinOAB · · · sinOAB sin AOB sin AOB sin 30° Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi y sinO·AB = 1 Û O·AB = 90° . B Khi đó OB = 2 . Chọn D. x O Câu 12. Theo định lí hàm sin, ta có A OB AB AB · 1 · · = Û OB = .sinOAB = .sinOAB = 2 sinOAB · · · y sinOAB sin AOB sin AOB sin 30° Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi B sinO·AB = 1 Û O·AB = 90° . Khi đó OB = 2 . x O A Tam giác OAB vuông tại A Þ OA = OB 2 - AB 2 = 22 - 12 = 3 . 43
  44. Chọn B AB 2 + AC 2 - BC 2 c 2 + b2 - a2 Câu 13. Theo định lí hàm cosin, ta có cos B·AC = = . 2.AB.AC 2bc Mà b(b2 - a2 )= c (a2 - c 2 )Û b3 - a2b = a2c - c 3 Û - a2 (b + c)+ (b3 + c 3 )= 0 Û (b + c)(b2 + c 2 - a2 - bc)= 0 Û b2 + c 2 - a2 - bc = 0 (do b > 0, c > 0 ) Û b2 + c 2 - a2 = bc b2 + c 2 - a2 1 Khi đó, cos B·AC = = Þ B·AC = 60° . Chọn C. 2bc 2 Câu 14. Ta có BC = AB 2 + AC 2 = b2 + c 2 . · A Do AD là phân giác trong của BAC AB c c c b2 + c 2 Þ BD = .DC = .DC = .BC = . AC b b + c b + c B D C Theo định lí hàm cosin, ta có c 2 b2 + c 2 2 2 2 · ( ) 2 2 BD = AB + AD - 2.AB.AD.cos ABD Û 2 = c + AD - 2c.AD.cos 45° (b + c) æ 2 2 2 ö ç c (b + c )÷ 2bc 3 Þ AD 2 - c 2.AD + çc 2 - ÷= 0 Û AD 2 - c 2.AD + = 0 . ç 2 ÷ 2 èç (b + c) ø÷ (b + c) 2bc 2bc Þ AD = hay l = . Chọn A. b + c a b + c Câu 15. Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30 và Aµ= 600. Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có a2 = b2 + c 2 - 2bc cos A = 302 + 402 - 2.30.40.cos600 = 900+ 1600- 1200 = 1300. Vậy BC = 1300 » 36 (hải lí). Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí. Chọn B. AC AB Câu 16. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có = sin B sinC AB.sin b 40.sin700 Vì sinC = sin(a + b) nên AC = = » 41,47 m. Chọn C. sin(a + b) sin1150 AH 4 1 Câu 17. Trong tam giác AHB , ta có tan A·BH = = = ¾ ¾® A·BH » 11019' . BH 20 5 Suy ra A·BC = 900 - A·BH = 780 41' . Suy ra A·CB = 1800 - (B·AC + A·BC )= 56019' . Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC , ta được 44
  45. AB CB AB.sin B·AC = ¾ ¾® CB = » 17m. Chọn B. sin A·CB sin B·AC sin A·CB AD AB Câu 18. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có = . sin b sin D Ta có a = Dµ+ b nên Dµ= a - b = 630 - 480 = 150. AB.sin b 24.sin 480 Do đó AD = = » 68,91 m. sin(a - b) sin150 Trong tam giác vuông ACD, có h = CD = AD.sina » 61,4 m. Chọn D. Câu 19. Từ hình vẽ, suy ra B·AC = 100 và A·BD = 1800 - (B·AD + A·DB)= 1800 - (500 + 900 )= 400 . Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta có BC AC BC.sin A·BC 5.sin 400 = ¾ ¾® AC = = » 18,5 m . sin B·AC sin A·BC sin B·AC sin100 · CD · Trong tam giác vuông ADC , ta có sinCAD = ¾ ¾® CD = AC.sinCAD = 11,9 m. AC Vậy CH = CD + DH = 11,9+ 7 = 18,9 m. Chọn B. AB Câu 20. Tam giác OAB vuông tại B, có tan A·OB = Þ AB = tan 600.OB = 60 3 m. OB Vậy chiếu cao của ngọn tháp là h = AB + OC = (60 3 + 1)m. Chọn C. Câu 21. Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có C·AB = 600 , A·BC = 105030¢ và c = 70. Khi đó Aµ+ Bµ+ Cµ= 1800 Û Cµ= 1800 - (Aµ+ Bµ)= 1800 - 165030¢= 14030¢. b c b 70 Theo định lí sin, ta có = hay = sin B sinC sin105030¢ sin14030¢ 70.sin105030¢ Do đó AC = b = » 269,4 m. sin14030¢ Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện AC 269,4 với góc 300 nên CH = = = 134,7 m. 2 2 Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m. Chọn A. Câu 22. b2 + c 2 a2 A Áp dụng công thức đường trung tuyến m2 = - ta được: a 2 4 AC 2 + AB 2 BC 2 82 + 62 102 m2 = - = - = 25 a B C 2 4 2 4 M Þ ma = 5. Chọn D. Câu 23. 45
  46. AC a M là trung điểm của AC Þ AM = = . B 2 2 Tam giác DBAM vuông tại A 2 2 2 2 a a 5 C Þ BM = AB + AM = a + = . Chọn D. A 4 2 M Câu 24. b2 + c 2 a2 Áp dụng hệ thức đường trung tuyến m2 = - ta được: A a 2 4 AC 2 + AB 2 BC 2 122 + 92 152 225 m2 = - = - = . a 2 4 2 4 4 B C 15 M Þ m = . Chọn A. a 2 Câu 25. Ta có: D là điểm đối xứng của B qua C Þ C là trung điểm của BD. Þ AC là trung tuyến của tam giác DDAB. D BD = 2BC = 2AC = 15. Theo hệ thức trung tuyến ta có: C AB 2 + AD 2 BD 2 BD 2 AC 2 = - Þ AD 2 = 2AC 2 + - AB 2 2 4 2 2 2 B 2 æ15ö 15 2 A Þ AD = 2.ç ÷ + - 9 = 144 Þ AD = 12. Chọn C. èç 2 ø÷ 2 Câu 26. BC Ta có: M là trung điểm của BC Þ BM = = 4. 2 AM 2 + BM 2 - AB 2 Trong tam giác ABM ta có: cos A·MB = 2AM.BM Û AM 2 - 2AM.BM.cos A·MB + BM 2 - AB 2 = 0. é êAM = 13 > 3 (thoaû maõn) 2 20 13 ê Û AM - AM + 7 = 0 Û ê 7 13 13 êAM = < 3 (loaïi) ëê 13 Þ AM = 13. A Ta có: A·MB và A·MC là hai góc kề bù. 5 13 Þ cos A·MC = - cos A·MB = - 26 Trong tam giác DAMC ta có: B C AC 2 = AM 2 + CM 2 - 2AM.CM.cos A·MC M æ ö ç 5 13 ÷ = 13+ 16- 2. 13.4.ç- ÷= 49 Þ AC = 7. Chọn D. èç 26 ø÷ Câu 27*. 46
  47. Ta có: B·GC và B·GN là hai góc kề bù mà B·GC = 1200 Þ B·GN = 1200. G là trọng tâm của tam giác DABC ïì 2 ï BG = BM = 4. A ï 3 Þ íï ï 1 M ï GN = CN = 3. N îï 3 G Trong tam giác DBGN ta có: BN 2 = GN 2 + BG 2 - 2GN.BG.cos B·GN B C 1 Þ BN 2 = 9 + 16- 2.3.4. = 13 Þ BN = 13. 2 N là trung điểm của AB Þ AB = 2BN = 2 13. Chọn D. ïì 2 2 2 ï 2 b + c a ï ma = - = 81 ï 2 4 2 ì ï ïì a = 292 ï a = 2 73 ï 2 2 2 ï ï ï 2 a + c b ï 2 ï Câu 28 . Ta có: í m = - = 144 Û í b = 208 Þ íï b = 4 13 ï b 2 4 ï ï ï ï 2 ï ï 2 2 2 ï c = 100 ï c = 10 ï a + b c ïî ï ï 2 îï ï mc = - = 225 îï 2 4 b2 + c 2 - a2 208 + 100- 292 1 Ta có: cos A = = = 2bc 2.4 13.10 5 13 æ ö2 2 ç 1 ÷ 18 13 sin A = 1- cos A = 1- ç ÷ = . Chọn C. èç5 13 ÷ø 65 1 1 18 13 Diện tích tam giác DABC : S = bc sin A = .4 13.10. = 72 DABC 2 2 65 b2 + c 2 a2 Câu 29*. Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác: m2 = - a 2 4 2a2 a2 3a2 a 3 Mà: b2 + c 2 = 2a2 Þ m2 = - = Þ m = . Chọn A. a 2 4 4 a 2 1 m Câu 30*. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có: BO = BD = . 2 2 BO là trung tuyến của tam giác DABC BA2 + BC 2 AC 2 m2 a2 + b2 n2 Þ BO 2 = - Û = - Û m2 + n2 = 2(a2 + b2 ) . Chọn B. 2 4 4 2 4 Câu 31 . Gọi G là trọng tâm tam giác DABC. 2 2 AC 2 + AB 2 BC 2 b2 + c 2 a2 4 2(b + c ) a2 Ta có: AM 2 = - = - Þ AG 2 = AM 2 = - 2 4 2 4 9 9 9 BA2 + BC 2 AC 2 c 2 + a2 b2 1 c 2 + a2 b2 BN 2 = - = - Þ GN 2 = BN 2 = - 2 4 2 4 9 18 36 Trong tam giác DAGN ta có: 47
  48. 2 2 2(b + c ) a2 c 2 + a2 b2 b2 - + - - AG 2 + GN 2 - AN 2 cos A·GN = = 9 9 18 36 4 2.AG.GN 2 2 2 2 2 2 2(b + c ) a c + a b 2. - . - 9 9 18 36 2 2 2(b + c ) a2 c 2 + a2 b2 b2 - + - - 10c 2 - 2(a2 + b2 ) = 9 9 18 36 4 = = 0 2 2 2 2 2(b + c ) a2 c 2 + a2 b2 2(b + c ) a2 c 2 + a2 b2 2. - . - 36.2. - . - 9 9 18 36 9 9 18 36 Þ A·GN = 900. Chọn D. ïì b2 + c 2 a2 ï m2 = - ï a 2 4 ï ï a2 + c 2 b2 Câu 32 . Ta có: íï m2 = - ï b 2 4 ï ï a2 + b2 c 2 ï 2 ï mc = - îï 2 4 æb2 + c 2 a2 ö a2 + c 2 b2 a2 + b2 c 2 2 2 2 ç ÷ Mà: 5ma = mb + mc Þ 5ç - ÷= - + - èç 2 4 ø÷ 2 4 2 4 Û 10b2 + 10c 2 - 5a2 = 2a2 + 2c 2 - b2 + 2a2 + 2b2 - c 2 Û b2 + c 2 = a2 Þ tam giác DABC vuông. Chọn C. ïì b2 + c 2 a2 ï m2 = - ï a 2 4 ï ï 2 2 2 ï 2 a + c b 2 2 2 3 2 2 2 Câu 33 . Ta có: í mb = - Þ ma + mb + mc = (a + b + c ) ï 2 4 4 ï ï a2 + b2 c 2 ï 2 ï mc = - îï 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 3 2 2 2 1 2 2 2 GA + GB + GC = (ma + mb + mc )= . (a + b + c )= (a + b + c ). Chọn D. 9 9 4 3 BC BC 10 Câu 34. Áp dụng định lí sin, ta có = 2R Þ R = = = 10. sin B·AC 2.sin Aµ 2.sin 300 Chọn B. Câu 35. Áp dụng định lí Cosin, ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB.AC.cos B·AC = 32 + 62 - 2.3.6.cos600 = 27 Û BC 2 = 27 Û BC 2 + AB2 = AC 2. AC Suy ra tam giác ABC vuông tại B, do đó bán kính R = = 3. Chọn A. 2 AB + BC + CA Câu 36. Đặt p = = 24. Áp dụng công thức Hê – rông, ta có 2 2 SDABC = p(p - AB)(p - BC )(p - CA) = 24.(24 - 21).(24 - 17).(24 - 10) = 84 cm . 48
  49. AB.BC.CA AB.BC.CA 21.17.10 85 Vậy bán kính cần tìm là SDABC = Þ R = = = cm. 4R 4.SDABC 4.84 8 Chọn C. Câu 37. Xét tam giác ABC đều cạnh a, gọi M là trung điểm của BC. 1 1 a2 3 Ta có AM ^ BC suy ra S = .AM.BC = . AB 2 - BM 2 .BC = . DABC 2 2 4 AB.BC.CA AB.BC.CA a3 a 3 Vậy bán kính cần tính là SDABC = Þ R = = = . 4R 4.S a2 3 3 DABC 4. 4 Chọn C. Câu 38. Tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH Þ AB.AC = AH 2 (*). 2 AB 3 3 3 2 æ12ö 8 3 Mặt khác = Û AB = AC thế vào (*), ta được AC = ç ÷ Û AC = . AC 4 4 4 èç 5 ø÷ 5 3 8 3 6 3 Suy ra AB = . = Þ BC = AB 2 + AC 2 = 2 3. 4 5 5 BC Vậy bán kính cần tìm là R = = 3 cm. 2 AB 2 + AC 2 BC 2 Câu 39. Vì D là trung điểm của BC Þ AD 2 = - = 27 Þ AD = 3 3. 2 4 Tam giác ABD có AB = BD = DA = 3 3 Þ tam giác ABD đều. 3 3 Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R = AB = .3 3 = 3. Chọn B. 3 3 B¢C Câu 40 . Xét tam giác BB¢C vuông tại B¢, có sinC·BB¢= Þ B¢C = a.sin a. BC Mà AB¢+ B¢C = AC Û AB¢= b- a.sina và BB¢2 = a2.cos2 a. 2 Tam giác ABB¢ vuông tại B¢, có AB = BB¢2 + AB¢2 = (b - a.sin a) + a2 .cos2 a = b2 - 2ab.sin a + a2 sin2 a + a2 cos2 a = a2 + b2 - 2ab sin a . Bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tính là AB a2 + b2 - 2ab sin a = 2R Û R = . sin A·CB 2 cosa 1 1 9 3 Câu 41. Ta có S = .AB.AC.sin Aµ= .3.6.sin 600 = . Chọn B. DABC 2 2 2 Câu 42. Ta có A·BC = 1800 - (B·AC + A·CB)= 75° = A·CB . Suy ra tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 4 . 1 Diện tích tam giác ABC là S = AB.AC sin B·AC = 4. Chọn C. DABC 2 49
  50. 21+ 17 + 10 Câu 43. Ta có p = = 24 . 2 Do đó S = p(p - a)(p - b)(p - c) = 24(24 - 21)(24 - 17)(24 - 10) = 84 . Chọn D. Câu 44. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB.AC cos A = 27 ¾ ¾® BC = 3 3 . 1 1 9 3 Ta có S = .AB.AC.sin Aµ= .3.6.sin 600 = . DABC 2 2 2 1 2S Lại có S = .BC.h ¾ ¾® h = = 3. Chọn C. DABC 2 a a BC Câu 45. Gọi H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A . AH 3 Tam giác vuông AHC , có sin A·CH = ¾ ¾® AH = AC.sin A·CH = 4. = 2 3. AC 2 Chọn A. 21+ 17 + 10 Câu 46. Ta có p = = 24 . 2 Suy ra S = p(p - a)(p - b)(p - c) = 24(24 - 21)(24 - 17)(24 - 10) = 84 . 1 1 168 Lại có S = b.BB '¬ ¾® 84 = .17.BB ' ¾ ¾® BB ' = . Chọn C. 2 2 17 1 1 8 Câu 47. Ta có S = .AB.AC.sin B·AC Û 64 = .8.18.sin A Û sin A = . Chọn D. DABC 2 2 9 1 1 a2 Câu 48. Diện tích tam giác ABD là S = .AB.AD.sin B·AD = .a.a 2.sin 450 = . DABD 2 2 2 a2 Vậy diện tích hình bình hành ABCD là S = 2.S = 2. = a2 . Chọn C. ABCD DABD 2 1 Câu 49*. Vì F là trung điểm của AC Þ FC = AC = 15 cm. 2 Đường thẳng BF cắt CE tại G suy ra G là trọng tâm tam giác ABC. d (B;(AC )) BF 1 AB Khi đó = = 3 Þ d (G;(AC ))= d (B;(AC ))= = 10 cm. d (G;(AC )) GF 3 3 Vậy diện tích tam giác GFC là: 1 1 S = .d (G;(AC )).FC = .10.15 = 75 cm2 . Chọn C. DGFC 2 2 Câu 50*. Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh bằng a. BC a Theo định lí sin, ta có = 2R Û = 2.4 Û a = 8.sin 600 = 4 3. sin B·AC sin 600 2 1 · 1 0 2 Vậy diện tích cần tính là SDABC = .AB.AC.sin BAC = .(4 3) .sin 60 = 12 3 cm . 2 2 Chọn C. 50
  51. AB + BC + CA 2 3 + 3AB Câu 51*. Ta có p = = . 2 2 æ öæ öæ öæ ö ç3AB + 2 3 ÷ç3AB - 2 3 ÷ç2 3 - AB ÷ç2 3 + AB ÷ Suy ra S = ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ . èç 2 ø÷èç 2 ø÷èç 2 ø÷èç 2 ø÷ 1 Lại có S = BC.AH = 2 3. 2 æ öæ öæ öæ ö ç3AB + 2 3 ÷ç3AB - 2 3 ÷ç2 3 - AB ÷ç2 3 + AB ÷ Từ đó ta có 2 3 = ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ èç 2 ø÷èç 2 ø÷èç 2 ø÷èç 2 ø÷ éAB = 2 (9AB 2 - 12)(12- AB 2 ) ê ¬ ¾® 12 = ¬ ¾® ê . Chọn C. ê 2 21 16 êAB = ë 3 1 1 Câu 52*. Diện tích tam giác ABC ban đầu là S = .AC.BC.sin A·CB = .ab.sin A·CB. 2 2 Khi tăng cạnh BC lên 2 lần và cạnh AC lên 3 lần thì diện tích tam giác ABC lúc này là 1 1 S = .(3AC ).(2BC ).sin A·CB = 6. .AC.BC.sin A·CB = 6S. Chọn D. DABC 2 2 1 1 Câu 53*. Diện tích tam giác ABC là S = .AC.BC.sin A·CB = .ab.sin A·CB. DABC 2 2 ab Vì a, b không đổi và sin A·CB £ 1, " C nên suy ra S £ . DABC 2 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi sin A·CB = 1 Û A·CB = 900. ab Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là S = . Chọn B. 2 Câu 54*. Vì BM ^ CN ¾¾® 5a2 = b2 + c 2 . (Áp dụng hệ quả đã có trước) 2a2 Trong tam giác ABC , ta có a2 = b2 + c 2 - 2bc.cos A = 5a2 - 2bc cos A ¾ ¾® bc = . cos A 1 1 2a2 Khi đó S = bc sin A = . .sin A = a2 tan A = 3 3 . Chọn A. 2 2 cos A Câu 55. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có BC 2 = AB2 + AC 2 - 2AB.AC cos A = 49 ¾¾® BC = 7 . 1 1 3 Diện tích S = AB.AC.sin A = .5.8. = 10 3 . 2 2 2 S 2S Lại có S = p.r ¾ ¾® r = = = 3 . Chọn C. p AB + BC + CA 21+ 17 + 10 Câu 56. Ta có p = = 24 . 2 Suy ra S = 24(24- 21)(24- 17)(24- 10) = 84 . 51
  52. S 84 7 Lại có S = p.r ¾ ¾® r = = = . Chọn C. p 24 2 a2 3 Câu 57. Diện tích tam giác đều cạnh a bằng: S = . 4 a2 3 S a 3 Lại có S = pr ¾ ¾® r = = 4 = . Chọn C. p 3a 6 2 AB + BC + CA Câu 58. Dùng Pitago tính được AC = 8 , suy ra p = = 12 . 2 1 S Diện tích tam giác vuông S = AB.AC = 24 .Lại có S = p.r ¾ ¾® r = = 2 cm. 2 p Chọn C. Câu 59. Từ giả thiết, ta có AC = AB = a và BC = a 2 . æ ö AB + BC + CA ç2 + 2 ÷ Suy ra p = = aç ÷ . 2 èç 2 ø÷ 1 a2 Diện tích tam giác vuông S = AB.AC = . 2 2 S a Lại có S = p.r ¾ ¾® r = = . Chọn C. p 2 + 2 BC a 2 Câu 60. Giả sử AC = AB = a ¾ ¾® BC = a 2 . Suy ra R = = . 2 2 æ ö AB + BC + CA ç2 + 2 ÷ Ta có p = = aç ÷ . 2 èç 2 ø÷ 1 a2 Diện tích tam giác vuông S = AB.AC = . 2 2 S a R Lại có S = p.r ¾ ¾® r = = . Vậy = 1+ 2 . Chọn A. p 2 + 2 r 52