5 Bài toán hay từ hình thang cân và tam giác - Nguyễn Huy Hoạt

Nội dung text: 5 Bài toán hay từ hình thang cân và tam giác - Nguyễn Huy Hoạt

1. NBS: Phạm Huy Hoạt 3-1-2014 Bài toán hay về hình thang & tam giác 5 BÀI TOÁN HAY TỪ HÌNH THANG CÂN &TAM GIÁC GIỚI THIỆU: Trong phần hình học lớp 8 và nhiều bài luyện tập chúng ta ít gặp “Hình thang cân”, nhưng hình thang cân trong thực tế có khá nhiều (Cái thang, mặt cắt của tòa tháp ). Một số bài tập khó giải về hình tam giác nếu biết ứng dụng tính chất hình thang sẽ thuận lợi hơn nhiều khi giải. NBS chọn 5 bài tiêu biểu giới thiệu để các bạn tham khảo. NBS tạm gọi 3 bài đầu như “Bổ đề” Từ định nghĩa: (*)Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối diện song song nhau. ( )Hình thang cân là hình thang có: - 2 góc ở đáy bằng nhau (C = D) - 2 cạnh bên bằng nhau ( AC = BD) - 2 đường chéo bằng nhau (AD =CB) 1./BÀI TOÁN 1 (Bổ đề 1a) “Trong một hình thang cân, hai đường trung trực của 2 đáy trùng nhau” CM: Có hình thang cân ABCD; Kéo dai 2 cạnh bên Cho cắt nhau tại S, Ta có 2 tam giác cân SAB và SCD (đương nhiên vì SCD = CDS và SAB=SBA) - Đường cao SE của SAB vừa là trung tuyến vừa là trung trực của AB, vừa là phân giác của S - Đường cao SF của SCD vừa là trung tuyến vừa là trung trực của CD, vừa là phân giác của S Vậy Trung trực Em của SAB trùng trung trực Fm của SCD (ĐPCM) 2/. BÀI TOÁN 2 (Bổ đề 1b) “Trong một tứ giác, nếu hai trung trực của 2 cạnh đối nhau không trùng nhau thì tứ giác đó không phải là hình thang cân” CM: Thực chất Bổ đề 1b là phần đảo của 1a, tuy nhiên chứng minh 1b không đơn giản như CM cho 1a. Hãy xét 2 trường hợp: TH1: Giải sử -Tứ giác ABCD có 2 đường trung trực Em //Fn 1
2. NBS: Phạm Huy Hoạt 3-1-2014 Bài toán hay về hình thang & tam giác AB//CD và AB<CD ABCD là hình thang. Nhưng không phải là hình thang cân, vì nếu lấy CD làm đáy cho cân SCD SDC < BDC - Tứ giác ABCD có 2 đường trung trực Em //Fn AB//CD và AB=CD ABCD là hình bình hành Chứng tỏ nếu 2 trung trực // nhau thì không có hình thang cân (ĐPCM) TH 2: Giải sử : Tứ giác ABCD có trung trực Em cắt trung trực Fn tại P ta có EPF mà nếu kéo dài AB và CD thì AB sẽ cắt CD tại một điểm Q để AQD = EPF (2 góc có cặp cạnh vuông góc nhau) AB không // CD ABCD không phải là hình thang theo định nghĩa(*), càng không thể là hình thang cân, theo định nghĩa ( ) (ĐPCM) 3/. BÀI TOÁN 3 (Bổ đề 2) Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC =BD, kèm theo: - a/ Nếu 2 cạnh bên AD =BC thì tứ giác đó là hình thang cân - b/ Nếu 2 góc ở đáy D =C thì tứ giác đó là hình thang cân *CM: a/Theo điều kiện bài toán 2 tam giác ADC và BDC có: AC=BD; AB=BC; DC chung ADC = BDC A1 = B1; D2 = C2 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn D2 = B2 (chắn 2 cung AD=BC) AB//DC (góc so le bằng nhau). Theo định nghia( )ABCD là hình thang cân (đpcm) b/ Trên 2 đường chéo AC, BD dựng 2 đường trung trực, 2 trung trực cắt nhau tại O O cách đều A,B, C, D ( vì AC=BD tạo ra 4 tam giác vuông bằng nhau) Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn O. A2=D2 (cùng chắn cung BC) mà A2=B2 ( IAB cân) D2 =B2 AB//DC ABCD là hình thang; và vì có D = C nên: 2
3. NBS: Phạm Huy Hoạt 3-1-2014 Bài toán hay về hình thang & tam giác ABCD là hình thang cân (đpcm) 4/. BÀI TOÁN 4 Chứng minh rằng: Một tam giác có 2 đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân (Đây là bài toán rất hay, đã từng được nhiều thế hệ HS (lớp 6-7 – hệ GD cũ và các lớp 8 – 9 – hệ GD mới) trăn trở tìm khá nhiều cách CM mà cách nào cũng phải có tìm tòi sáng tạo *. Nhân chuyên đề “hình thang cân” NBS giới thiệu 3 cách CM sau) Cách thứ nhất: Từ dữ liệu ít ỏi: ABC ; có B và C là 2 góc ở đáy; với B1=B2 , C1=C2 và BM=CN. Dựng đường trung trực Hm của BM và Kn của CN, 2 trung trực cắt nhau tại O. Vì BM=CN BH=HM=CK=KN OM=ON=OB=OC 4 điểm B,C,M,N cùng nằm trên đường tròn tâm O Có B1 = C1 ( cùng chắn cung MN) 2B1=2C1 Mà 2B1=ABC và 2C1=ACB ABC=ACB ABC cân (ĐPCM) Biện luận: 2 trung trực Hm và Kn cắt nhau vì 2 phân giác trong ABC đã cắt nhau.(Điều này tưởng như hiển nhiên, nhưng cần nêu) Cách thứ hai: (CM phản chứng ) Giải sử 1(S1) ABC có 2 đường phân giác BM=CN; B1=B2 , C1=C2: Nhưng B >C , B1>C1 và B2>C2 . Dựng 2 đường trung trực Hm của MN và Kn của BC, 2 trung trực cắt nhau tại P dễ dàng CM được BMP= CNP (c.c.c) MBP=NCP. Mà theo trung trực Kn của BC thì B3=C3 B2 = C2. Điều này trái với giả sử (S1) . Giả sử(S1) Không thể chấp nhận được; Nghĩa là không có B2>C2 và không có B >C S1 sai (đpcm) Cách thứ ba: (CM phản chứng ) 3
4. NBS: Phạm Huy Hoạt 3-1-2014 Bài toán hay về hình thang & tam giác Giải sử 2(S2) ABC có 2 đường phân giác BM=CN; B1=B2 , C1=C2: và B =C , B1=C1 và B2=C2. Cũng dựng 2 đường trung trực Hm của MN và Kn của BC. -Giải sử 3 (S3) 2 trung trực cắt nhau tại P. Nhưng theo Bổ đề 1b thì trường hợp này không có B = C (xem Bài toán 2-TH1 đã CM). Giải sử (S3) sai - Giả sử 4 (S4): 2 trung trực song song nhau; Nhưng theo Bổ đề 1b thì trường hợp này tứ giác MNCD cũng không phải là hình thang cân (Xem bài toán 2-TH1), không cóB =C. trái với giả sử 2 (S2) Vây chỉ có thể 2 trung trực đó trùng nhau và MN//CD. Theo bổ đề 1a, 1b tứ giác MNCD là hình thang cân B = C ABC cân (ĐPCM) 5/. BÀI TOÁN 5 Đây là bài toán tìm chỗ sai của một chứng minh ngụy biện. (NBS đã đọc thấy bài này ở 1 số trang Web toán học & tạp chí “Toán tuổi thơ”, nhưng chưa được đọc 1 bài giải nào có sức thuyết phục). Đề ra là, có một chứng minh sau: Trên đoạn thẳng AB dựng AM=BN sao cho MAB = 90º và NBA < 90º Nối MN và dựng hai trung trực của AB và MN. Hai trung trực cắt nhau tại I, tạo ra các tam giác cân IMN và IAB IM=IN; IA =IB; Cùng với giả thiết MA=NB có IMA = INB A2=B2 .1 Mặt khác do IAB cân A1=B1.2 Từ 1 và 2 MAB =NBA (Góc vuông = góc nhọn !?) Hãy tìm ra chỗ sai của CM ngụy biện trên Giải: Theo Bổ đề 1b (nêu tại Bài toán 2-TH2), với cách dựng như đề ra thì tứ giác MNBA không phải là hình thang cân, không thể có MAB =NBA. Sai lầm là ở cách vẽ hình. Theo giả thiết của đề ra thì phải vẽ hình như bên: Ta cũng có IMA = INB A2=B2. Nhưng rõ ràng không có MAB =NBA Mà MAB =NBA+NBI (ĐPCM) 4
5. NBS: Phạm Huy Hoạt 3-1-2014 Bài toán hay về hình thang & tam giác * Chú giải thêm: Bài toán này ( CM tam giác có 2 phân giác bằng nhau là tam giác cân), NBS gặp cách đây > 50 năm, khi học lớp 6 (chương trình PT 9 năm). Thày giáo “Đan Quế” ra đề cho tất cả HS trường PT Lương Ngọc Quyến –Thái Nguyên với thách đố trên tờ báo của trường “Ai giải được sẽ thưởng 1 TÔ PHỞ NÓNG” (Thời ấy tô phở giá trị lắm nhé !). Ấn tượng ấy làm NBS đến nay không quên. Nhân dịp viết lại bài toán này NBS phải cảm ơn những người thày tâm huyết như Thày Đan Quế. – Chia sẻ thông tin này mong các bạn HS ngày nay thông cảm ! NBS: Phạm Huy Hoạt – 3 – 1 – 2014 ( Nếu Bạn nào có lời giải khác hơn xin chia sẻ với NBS theo Email phamhuyhoat@gmail.com; Bạn nào dùng lại các đề và cách giải của bài này xin ghi rõ xuất xứ - cảm ơn!) 5