50 dạng toán phát triển minh họa ôn thi THPT Quốc gia - Lần 1 - Năm học 2019-2020

778 trang hangtran11 11/03/2022 2321

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "50 dạng toán phát triển minh họa ôn thi THPT Quốc gia - Lần 1 - Năm học 2019-2020", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

50_dang_toan_phat_trien_minh_hoa_on_thi_thpt_quoc_gia_lan_1.pdf

Nội dung text: 50 dạng toán phát triển minh họa ôn thi THPT Quốc gia - Lần 1 - Năm học 2019-2020

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2019-2020 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 TOÁN THPT Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA NĂM 2020
MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 MỤC LỤC 1 PHÉP ĐẾM 13 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 13 2 Bài tập mẫu 13 3 Bài tập tương tự và phát triển 14 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 2 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 17 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 17 2 Bài tập mẫu 18 3 Bài tập tương tự và phát triển 18 3 SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓN 21 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 21 2 Bài tập mẫu 21 3 Bài tập tương tự và phát triển 22 4 XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN 26 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 26 2 BÀI TẬP MẪU 26 3 Bài tập tương tự và phát triển 26 5 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU 32 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 32 h Geogebra Pro Trang 2
MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 2 BÀI TẬP MẪU 32 3 Bài tập tương tự và phát triển 32 6 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 36 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 36 2 BÀI TẬP MẪU 36 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 37 7 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 40 1 Kiến thức cần nhớ 40 2 Bài tập mẫu 40 3 Bài tập tương tự và phát triển 41 8 CỰC TRỊ HÀM SỐ 47 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 47 2 BÀI TẬP MẪU 47 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 47 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 9 KHẢO SÁT HÀM SỐ - NHẬN DẠNG HÀM SỐ, ĐỒ THỊ 55 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 55 2 BÀI TẬP MẪU 57 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 58 10 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA LOGARIT 65 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 65 2 BÀI TẬP MẪU 65 h Geogebra Pro Trang 3
MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 66 11 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM 69 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 69 2 BÀI TẬP MẪU 70 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 70 12 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC 74 1 Kiến Thức Cần Nhớ 74 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 2 Bài Tập Mẫu 75 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 75 13 BÀI TOÁN TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 79 1 Kiến Thức Cần Nhớ 79 2 Bài Tập Mẫu 80 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 80 14 XÁC ĐỊNH TÂM, BÁN KÍNH, DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA MẶT CẦU 85 1 Kiến Thức Cần Nhớ 85 2 Bài Tập Mẫu 85 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 86 15 XÁC ĐỊNH VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG 89 1 Kiến Thức Cần Nhớ 89 2 Bài Tập Mẫu 89 h Geogebra Pro Trang 4
MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 90 16 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 93 1 Kiến Thức Cần Nhớ 93 2 Bài Tập Mẫu 93 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 94 17 XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG 98 1 Kiến Thức Cần Nhớ 98 2 Bài Tập Mẫu 99 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 100 18 ĐẾM SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN 105 1 kiến thức cần nhớ 105 2 bài tập mẫu 105 3 Bài tập tương tự và phát triển 105 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 19 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN 113 1 Kiến Thức Cần Nhớ 113 2 Bài Tập Mẫu 113 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 114 20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT 118 1 Kiến Thức Cần Nhớ 118 2 Bài Tập Mẫu 118 h Geogebra Pro Trang 5
MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 119 21 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 123 1 Kiến Thức Cần Nhớ 123 2 Bài Tập Mẫu 123 3 Bài Tập Tương Tự và Thát Triển 124 22 Khối trụ 127 1 Kiến Thức Cần Nhớ 127 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 2 Bài Tập Mẫu 127 3 Bài Tập Tương Tự và Thát Triển 128 23 LIÊN QUAN GIAO ĐIỂM TỪ HAI ĐỒ THỊ 133 1 Kiến Thức Cần Nhớ 133 2 Bài Tập Mẫu 133 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 134 24 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 141 1 Kiến Thức Cần Nhớ 141 2 Bài Tập Mẫu 141 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 142 25 TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT 146 1 Kiến Thức Cần Nhớ 146 2 Bài Tập Mẫu 146 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 147 h Geogebra Pro Trang 6
MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 26 TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG 152 1 Kiến Thức Cần Nhớ 152 2 Bài Tập Mẫu 153 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 154 27 TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 160 1 Kiến Thức Cần Nhớ 160 2 Bài Tập Mẫu 160 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 161 28 TÍNH CHẤT ĐỒ THỊ - HÀM SỐ - ĐẠO HÀM 166 1 Bài Tập Mẫu 166 2 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 167 29 Ứng dụng tích phân 174 1 Kiến Thức Cần Nhớ 174 A Tóm tắt lí thuyết 174 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 1 Hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x) và trục hoành 174 2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 174 3 Thể tích vật thể 174 4 Thể tích khối tròn xoay 175 5 Bài Tập Mẫu 176 6 Bài tập tương tự và phát triển 176 h Geogebra Pro Trang 7
MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 30 CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC 184 1 Kiến Thức Cần Nhớ 184 2 Bài Tập Mẫu 184 3 Bài Tập Tương Tự và Phát Triển 185 31 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC 188 1 Kiến thức cần nhớ 188 2 Bài tập mẫu 188 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 3 Bài tập tương tự và phát triển 188 32 Tích vô hướng của hai vecto trong không gian 193 1 Kiến thức cần nhớ 193 2 Bài tập mẫu 194 3 Bài tập tương tự và mở rộng 194 33 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 198 1 Kiến thức cần nhớ 198 2 Bài tập mẫu 198 3 Bài tập tương tự và phát triển 199 34 Phương trình mặt phẳng liên quan đến đường thẳng 203 1 Kiến thức cần nhớ 203 2 Bài tập mẫu 203 3 Bài tập tương tự và phát triển 204 h Geogebra Pro Trang 8
MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 35 Tìm véc-tơ chỉ phương của đường thẳng 208 1 Kiến thức cần nhớ 208 2 Bài tập mẫu 209 3 Bài tập tương tự và phát triển 210 36 Tính xác suất của biến cố bằng định nghĩa 214 1 Kiến thức cần nhớ 214 2 Bài tập mẫu 214 3 Bài tập tương tự và phát triển 215 37 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 221 1 Kiến thức cần nhớ 221 2 Bài tập mẫu 223 3 Bài tập tương tự và phát triển 224 A SỬ DỤNG PP TỌA ĐỘ ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH. 228 38 Tích phân cơ bản (a), kết hợp (b) 230 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 1 kiến thức cần nhớ 230 2 Bài tập mẫu 231 3 Bài tập tương tự và phát triển 232 39 Tìm tham số để hàm số bậc 1 trên bậc 1 đơn điệu 239 1 Kiến thức cần nhớ 239 2 BÀI TẬP MẪU 241 3 Bài tập tương tự và phát triển 242 h Geogebra Pro Trang 9
MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 40 KHỐI NÓN 248 1 Kiến thức cần nhớ 248 2 Bài tập mẫu 249 3 Bài tập tương tự và phát triển 250 41 Lôgarit 256 1 kiến thức cần nhớ 256 2 Bài tập mẫu 256 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 3 Bài tập tương tự và phát triển 257 42 Max, min của hàm trị tuyệt đối có chứa tham số 262 1 kiến thức cần nhớ 262 2 Bài tập mẫu 262 3 Bài tập tương tự và phát triển 263 43 Phương trình logarit có chứa tham số 268 1 Kiến thức cần nhớ 268 2 Bài tập mẫu 268 3 Bài tập tương tự và phát triển 269 44 Nguyên hàm từng phần 275 1 Kiến thức cần nhớ 275 2 Bài tập mẫu 276 3 Bài tập tương tự và phát triển 276 h Geogebra Pro Trang 10
MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 45 Liên quan đến giao điểm của hai đồ thị. 283 1 Kiến thức cần nhớ 283 2 Bài tập mẫu 283 3 Bài tập tương tự và phát triển 285 Å ã 46 Tìm cực trị của hàm số hợp f u(x) khi biết đồ thị hàm số 296 1 kiến thức cần nhớ 296 2 Bài tập mẫu 297 3 Bài tập tương tự và phát triển 301 47 Ứng dụng phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit 312 1 Kiến thức cần nhớ 312 2 Bài tập mẫu 312 3 Bài tập tương tự và phát triển 313 48 Tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn 319 1 Kiến thức cần nhớ 319 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 2 Bài tập mẫu 320 3 Bài tập tương tự và phát triển 322 49 Tính thể tích khối chóp biết góc giữa hai mặt phẳng 330 1 Bài tập mẫu 330 2 Bài tập tương tự và phát triển 332 h Geogebra Pro Trang 11
MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT 338 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 338 2 BÀI TẬP MẪU 339 3 Bài tập tương tự và phát triển 342 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 h Geogebra Pro Trang 12
1. PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 1. PHÉP ĐẾM 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Quy tắc đếm cơ bản 1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện. ÿ Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: n(A ∪ B) = n(A) + n(B). 2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc. ÿ Dạng toán tìm số các số tạo thành: Gọi số cần tìm có dạng: abc ···, tuỳ theo yêu cầu bài toán: Nếu số lẻ thì số tận cùng là số lẻ. Nếu số chẵn thì số tận cùng là số chẵn. 2 BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1. Từ một nhóm học sinh 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh? A 14. B 48. C 6. D 8. Lời giải. Phân tích hướng dẫn giải Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán quy tắc đếm, cụ thể là quy tắc cộng. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Số cách chọn 1 học sinh nữ từ 8 học sinh nữ có 8 cách. B2: Số cách chọn 1 học sinh nam từ 6 học sinh nam có 6 cách. B3: Số cách chọn ra một học sinh là 8 + 6 = 14. LỜI GIẢI CHI TIẾT Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Cách 1. Số cách chọn 1 học sinh nữ từ 8 học sinh nữ có 8 cách. Số cách chọn 1 học sinh nam từ 6 học sinh nam có 6 cách Số cách chọn ra một học sinh là 8+6 = 14. Cách 2. Tổng số học sinh là 8 + 6 = 14. Số cách chọn 1 học sinh nữ từ 14 học sinh có 14 cách. Chọn phương án A h Geogebra Pro Trang 13
1. PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1. Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số từ 7 đến 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy? A 1. B 3. C 6. D 9. Lời giải. Mỗi quả cầu được đánh một số khác nhau, nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần. Số quả cầu là 6 + 3 = 9. Tương ứng với 9 cách. Chọn phương án D Câu 2. Lớp 12A có 43 học sinh, lớp 12B có 30 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh từ lớp 12A và 12B. Hỏi có bao nhiêu cách A 43. B 30. C 73. D 1290. 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Lời giải. Tổng số học sinh 2 lớp là 43 + 30 = 73. Số cách chọn là 73. Chọn phương án A Câu 3. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 1 chữ số? A 5. B 3. C 1. D 4. Lời giải. Số tự nhiên cần lập có 1 chữ số được lấy ra từ 4 số trên, do đó có 4 cách. Chọn phương án D Câu 4. Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các cây bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách A 16. B 2. C 64. D 3. Lời giải. Mua một cây bút mực có 8 cách. Mua một cây bút chì có 8 cách. Công việc mua bút là hành động liên tiếp, theo quy tắc nhân ta có 8.8 = 64 cách. Chọn phương án C Câu 5. Bạn cần mua một cây bút để viết bài. Bút mực có 8 loại khác nhau, bút chì có 8 loại khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách A 16. B 2. C 64. D 3. Lời giải. Công việc mua bút có 2 phương án độc lập nhau. Phương án 1 mua một cây bút mực có 8 cách. Phương án 2 mua một cây bút chì có 8 cách. Theo quy tắc cộng, ta có: 8 + 8 = 16 cách. Chọn phương án A h Geogebra Pro Trang 14
1. PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Câu 6. Từ thành phố A có 10 con đường đến thành phố B, từ thành phố B có 7 con đường đến thành phố C. Từ A đến C phải qua B, hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C? A 10. B 7. C 17. D 70. Lời giải. Công việc đi từ A đến C gồm 2 hành động liên tiếp. Hành động 1: đi từ A đến B có 10 cách. Hành động 2: đi từ B đến C có 7 cách. Theo quy tắc nhân, đi từ A đến C có 10 · 7 = 70 cách. Chọn phương án D Câu 7. Từ thành phố A có 10 con đường đi đến thành phố B, từ thành phố A có 9 con đường đi đến thành phố C, từ thành phố B đến thành phố D có 6 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 11 con đường và không có con đường nào nối B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố D. A 156. B 159. C 162. D 176. Lời giải. A 10 con đường B 6 con đường 9 con đường D 11 con đường C Phương án 1: đi từ A đến B rồi đến D. Đây là hành động liên tiếp nên ta áp dụng quy tắc nhân: 10 · 6 = 60. Phương án 2: đi từ A đến C rồi đến D. Tương tự ta áp dụng quy tắc nhân: 9.11 = 99. Hai phương án độc lập nhau nên ta áp dụng quy tắc cộng. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 60 + 99 = 159 cách. Chọn phương án B Câu 8. Trong một giải đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn. Cứ hai đội thì gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra? A 120. B 39. C 380. D 190. Lời giải. Mỗi đội phải đấu với 19 đội còn lại, nên theo quy tắc nhân ta có 19 · 20 = 380 trận. 380 Nhưng đội A gặp đội B thì được tính hai lần. Do đó số trận đấu thực tế là = 190 trận. 2 Chọn phương án D Câu 9. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả trong 5 loại, 1 loại nước uống trong 3 loại. Hỏi có bao nhiêu cách lập thực đơn? A 73. B 75. C 85. D 95. Lời giải. h Geogebra Pro Trang 15
1. PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Lập thực đơn gồm 3 hành động liên tiếp: Chọn món ăn có 5 cách. Chọn quả có 5 cách. Chọn nước uống có 3 cách. Theo quy tắc nhân: 5 · 5 · 3 = 75 cách. Chọn phương án B Câu 10. Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}; B = {e, f, g}. Kết quả của n(A ∪ B) là A 7. B 5. C 8. D 9. Lời giải. Ta có A ∩ B = ∅ nên A và B rời nhau. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 4 + 3 = 7. Chọn phương án A 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Câu 11. Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}; B = {c, d, e}. Kết quả của n(A ∪ B) là A 7. B 5. C 8. D 9. Lời giải. Ta có A ∩ B = {c, d} ⇒ n(A ∩ B) = 2. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). n(A ∪ B) = 4 + 3 − 2 = 5. Chọn phương án B Câu 12. Có bao nhiêu hình vuông trong hình dưới đây? 1cm 1cm A 14. B 12. C 10. D 5. Lời giải. Gọi A là tập hợp hình vuông có cạnh 1cm. B là tập hợp hình vuông có cạnh 2cm. A và B là hai tập hợp rời nhau. Số hình vuông trong hình là n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 10 + 4 = 14. Chọn phương án A Câu 13. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100? A 42. B 54. C 62. D 36. Lời giải. TH1: Số tự nhiên có một chữ số: 6 số. TH2: Số tự nhiên có hai chữ số: Ta đặt là ab. h Geogebra Pro Trang 16
1. PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Ta có: 6 · 6 = 36 số thoả mãn. Vậy số số tự nhiên thoả yêu cầu bài toán là 6 + 36 = 42. Chọn phương án A Câu 14. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm trên các trục toạ độ). Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ và nối chúng lại, hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng cắt hai trục toạ độ, biết đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì không qua O. A 91. B 42. C 29. D 23. Lời giải. y C A D B E O x F J G K I M H L N Để chọn 2 điểm trong 14 điểm đã cho nối lại cắt hai trục toạ độ thì hai điểm đó phải thuộc hai góc phần tư đối đỉnh với nhau. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINHTH1: HỌA Chọn 1 điểm ở góc phần tư thứ I và 1 điểm ở góc phần tư thứ III. Số đoạn thẳng tạo thành: 2.4 = 8. TH2: Chọn 1 điểm ở góc phần tư thứ II và 1 điểm ở góc phần tư thứ IV. Số đoạn thẳng tạo thành: 3.5 = 15. Theo quy tắc cộng ta có 8 + 15 = 23 đoạn thẳng. Chọn phương án D Câu 15. Cho tập hợp số A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hỏi có thể lập thành bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. A 114. B 144. C 146. D 148. Lời giải. Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Trong tập A, các tập con có 4 chữ số chia hết cho 3 là {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 2, 6}, {0, 2, 3, 4}, {0, 3, 4, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 3, 5, 6}. Xét bộ số {0, 1, 2, 3}, số số có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ bộ này là 3 · 3 · 2 · 1 = 18. h Geogebra Pro Trang 17
1. PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Tương tự các bộ {0, 1, 2, 6}, {0, 2, 3, 4}, {0, 3, 4, 5} cũng lập được 18 số. Xét bộ số {1, 2, 4, 5}, số số có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ bộ này là 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Tương tự cách bộ {1, 2, 3, 6}, {1, 3, 5, 6} cũng lập được 24 số. Vậy số số thoả yêu cầu bài toán là 18 · 4 + 24 · 3 = 144. Chọn phương án B Câu 16. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau? A 24. B 9. C 64. D 4. Lời giải. Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần lập có dạng abc. a có 4 cách chọn (từ 1, 2, 3, 4). b có 3 cách chọn (từ 1, 2, 3, 4 trừ số a đã chọn). c có 2 cách chọn (từ 1, 2, 3, 4 trừ số a, b đã chọn). 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Theo quy tắc nhân, ta có: 4 · 3 · 2 = 24 cách. Chọn phương án A Câu 17. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chia hết cho 5? A 180. B 120. C 360. D 216. Lời giải. Gọi số có 4 chữ số cần lập có dạng abcd. Để số lập được chia hết cho 5 thì số tận cùng phải chia hết cho 5, khi đó d = 5, có 1 cách chọn. a có 6 cách b có 5 cách c có 4 cách Theo quy tắc nhân ta có: 1 · 6 · 5 · 4 = 120 cách. Chọn phương án B Câu 18. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau. A 180. B 480. C 360. D 120. Lời giải. Gọi số có 4 chữ số cần lập có dạng abcd. Số lập được là số lẻ thì số tận cùng là số lẻ ⇒ d ∈ {1, 3, 5, 7}, suy ra: d có 4 cách a có 6 cách b có 5 cách c có 4 cách Theo quy tắc nhân ta có: 4 · 6 · 5 · 4 = 480 cách. Chọn phương án B Câu 19. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 5. h Geogebra Pro Trang 18
1. PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 A 660. B 420. C 679. D 523. Lời giải. Gọi số có 5 chữ số cần lập có dạng abcde. Trường hợp 1: e = 0, suy ra a có 6 cách chọn b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn e có 1 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có: 6 · 5 · 4 · 3 · 1 = 360 cách. Trường hợp 2: e = 5, suy ra a có 5 cách chọn b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn e có 1 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có: 5 · 5 · 4 · 3 · 1 = 300 cách. Theo quy tắc cộng, ta có 360 + 300 = 660 cách. Chọn phương án A Câu 20. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm 2011 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9? A 102010 − 16151 · 92008. B 102010 − 16153 · 92008. C 102010 − 16148 · 92008. D 102010 − 16161 · 92008. Lời giải. Đặt A1 = {0; 9}; A2 = {1}; A3 = {2}; A4 = {3}; A5 = {4}; A6 = {5}; A7 = {6}; A8 = {7}; A9 = {8}. Gọi số cần tìm là n = a1a2 ··· a2010a2011 (a1 6= 0). Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINHÿ HỌA Xét các số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số + Mỗi vị trí từ a2 đến a2011 đều có 10 cách chọn. + a1 phụ thuộc vào tổng (a2 + a3 + ··· + a2011) nên có 1 cách chọn. Vậy có 102010 số. ÿ Xét các số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số nhưng không có mặt chữ số 9 + a1 có 8 cách chọn. + Từ a2 đến a2010, mỗi vị trí đều có 9 cách chọn. + a2011 có 1 cách chọn. Vậy có 8 · 92009 số. ÿ Xét các số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số trong đó có đúng 1 chữ số 9 + Trường hợp a1 = 9 ta có: . Từ a2 đến a2010, mỗi vị trí đều có 9 cách chọn. . a2011 có 1 cách chọn. Do đó có 92009 số. h Geogebra Pro Trang 19
1. PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 + Trường hợp a1 6= 9 ta có: . a1 có 8 cách chọn. . Có 2010 cách xếp chữ số 9. . Ở 2008 vị trí còn lại, mỗi vị trí có 9 cách chọn. . Vị trí cuối cùng có 1 cách chọn. Do đó có 8.2010 · 92008 số. Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là 102010 − 8 · 92009 + 92009 + 8 · 2010 · 92008 = 102010 − 16161 · 92008 số. Chọn phương án D 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 h Geogebra Pro Trang 20
1. PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.A 3.D 4.C 5.A 6.D 7.B 8.D 9.B 10.A 11.B 12.A 13.A 14.D 15.B 16.A 17.B 18.B 19.A 20.D Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA h Geogebra Pro Trang 21
2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. CẤP SỐ CỘNG ∗ Định nghĩa: Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có: un+1 = un + d với n ∈ N . Số hạng tổng quát: Định lý 1: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1 + (n − 1)d với n ≥ 2. Tính chất: Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 u + u của hai số đứng kề với nó, nghĩa là u = k−1 k+1 với k ≥ 2. k 2 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: Định lý 3: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + ··· + un. Khi đó: n(u + u ) S = 1 n n 2 n (2u + (n − 1)d) S = 1 n 2 . 2. CẤP SỐ NHÂN ∗ Định nghĩa: Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có: un+1 = un · q với n ∈ N . Số hạng tổng quát: Định lý 1: Nếu cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được n−1 xác định bởi công thức: un = u1 · q với n ≥ 2. Tính chất: Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều 2 là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là uk = uk−1 · uk+1 với k ≥ 2. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: Định lý 3: Cho cấp số nhân (un) với công bội q 6= 1. Đặt Sn = u1 + u2 + ··· + un. Khi đó: u (1 − qn) S = 1 n 1 − q CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q sao cho |q| < 1. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Cho (un) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q. Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức u S = u + u + ··· + u + ··· = 1 1 2 n 1 − q h Geogebra Pro Trang 22
2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 2 BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1 (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020). Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2 và u2 = 6. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng 1 A 3. B −4. C 4. D . 3 Lời giải. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm các yếu tố của cấp số cộng và cấp số nhân. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Dựa vào định nghĩa cấp số nhân để tìm công bội. LỜI GIẢI CHI TIẾT u2 6 Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Ta có u2 = u1 · q ⇒ q = = = 3. u1 2 Chọn phương án A 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1. Cho cấp số cộng (un) với u3 = 2 và u4 = 6. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A −4. B 4. C −2. D 2. Lời giải. Ta có u4 = u3 + d ⇒ d = u4 − u3 = 6 − 2 = 4. Chọn phương án B Câu 2. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? A 1; 2; 3; 4; 5. B 1; 2; 4; 8; 16. C 1; 3; 9; 27; 81. D 1; −2; 4; −8; 16. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Lời giải. Dãy 1; 2; 3; 4; 5 là cấp số cộng với công sai d = 1. Dãy 1; 2; 4; 8; 16 không là cấp số cộng vì u3 − u2 6= u2 − u1. Dãy 1; 3; 9; 27; 81 không là cấp số cộng vì u3 − u2 6= u2 − u1. Dãy 1; −2; 4; −8; 16 không là cấp số cộng vì u3 − u2 6= u2 − u1. Chọn phương án A Câu 3. Cho cấp số cộng (un) với u1 = 2 và công sai d = 1. Khi đó u3 bằng A 3. B 1. C 4. D 2. Lời giải. Ta có u3 = u1 + 2d = 2 + 2 · 1 = 4. Chọn phương án C Câu 4. Cho cấp số cộng (un) với u10 = 25 và công sai d = 3. Khi đó u1 bằng A u1 = 2. B u1 = 3. C u1 = −3. D u1 = −2. h Geogebra Pro Trang 23
2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Lời giải. Ta có u10 = u1 + 9d ⇒ u1 = u10 − 9d = 25 − 9 · 3 = −2. Chọn phương án D Câu 5. Cho cấp số cộng (un) với u2 = 5 và công sai d = 3. Khi đó u81 bằng A 242. B 239. C 245. D 248. Lời giải. Ta có: u2 = u1 + d ⇒ u1 = u2 − d = 2. Lại có: u81 = u1 + 80d = 2 + 80 · 3 = 242. Chọn phương án A Câu 6. Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 3. Hỏi số 34 là số hạng thứ mấy? A 12. B 9. C 11. D 10. 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Lời giải. Ta có un = u1 + (n − 1)d ⇔ 34 = 1 + (n − 1) · 3 ⇔ (n − 1) · 3 = 33 ⇔ n − 1 = 11 ⇔ n = 12. Chọn phương án A Câu 7. Cho cấp số cộng (un) với u1 = −21 và công sai d = 3. Tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng A S16 = 24. B S16 = −24. C S16 = 26. D S16 = −25. Lời giải. Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên ta có: n (2u + (n − 1)d) 16 [2 · (−21) + (16 − 1) · 3] S = 1 = = 24. 16 2 2 Chọn phương án A Câu 8. Cho cấp số cộng (un): 2, a, 6, b. Khi đó tích a.b bằng A 22. B 40. C 12. D 32. Lời giải. ®2 + 6 = 2a ®a = 4 Theo tính chất của cấp số cộng: ⇒ ⇒ a · b = 32. a + b = 12 b = 8 Chọn phương án D Câu 9. Cho cấp số cộng (un) với u9 = 5u2 và u13 = 2u6 + 5. Khi đó số hạng đầu u1 và công sai d bằng A u1 = 3, d = 5. B u1 = 4, d = 5. C u1 = 3, d = 4. D u1 = 4, d = 3. Lời giải. ® ® ® ® u9 = 5u2 u1 + 8d = 5(u1 + d) 4u1 − 3d = 0 u1 = 3 Ta có ⇔ ⇔ ⇔ . u13 = 2u6 + 5 u1 + 12d = 2(u1 + 5d) + 5 u1 − 2d = −5 d = 4 Chọn phương án C Câu 10. Cho cấp số cộng (un) với S7 = 77 và S12 = 192. Với Sn là tổng n số đầu tiên của nó. Khi đó số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó là h Geogebra Pro Trang 24
2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 A un = 5 + 4n. B un = 2 + 3n. C un = 4 + 5n. D un = 3 + 2n. Lời giải. 7(2u + 6d) ® 1 = 77 ® ® S7 = 77  2u1 + 6d = 22 u1 = 5 Ta có ⇔ 2 ⇔ ⇔ S = 192 12(2u1 + 11d) 2u + 11d = 32 d = 2. 12  = 192 1 2 Nên un = u1 + (n − 1)d = 5 + (n − 1)2 = 2n + 3. Chọn phương án D Câu 11. Cho cấp số nhân (un) với u1 = −2 và công bội q = 3. Khi đó u2 bằng A u2 = 1. B u2 = −6. C u2 = 6. D u2 = −18. Lời giải. Số hạng u2 là u2 = u1 · q = −6. Chọn phương án B 2 Câu 12. Cho cấp số nhân (u ) với số hạng đầu u = −3 và công bội q = . Số hạng thứ năm của n 1 3 cấp số nhân bằng 27 16 27 16 A . B − . C − . D . 16 27 16 27 Lời giải. 24 16 Ta có u = u · qn−1 ⇒ u = −3 · = − . n 1 5 3 27 Chọn phương án B Câu 13. Cho cấp số nhân (un) với u4 = 1; q = 3. Tìm u1? 1 1 A u = . B u = 9. C u = 27. D u = . 1 9 1 1 1 27 Lời giải. u 1 1 Ta có: u = u · q3 ⇒ u = 4 = = . 4 1 1 q3 33 27 Chọn phương án D Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 1 Câu 14. Cho cấp số nhân (u ) với u = − ; u = −32. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng n 1 2 7 1 A q = ±2. B q = ± . C q = ±4. D q = ±1. 2 Lời giải. n−1 6 6 Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un = u1q ⇒ u7 = u1 · q ⇒ q = 64 ⇒ ñq = 2 . q = −2 Chọn phương án A Câu 15. Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 3, công bội q = 2. Tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng A S8 = 381. B S8 = 189. C S8 = 765. D S8 = 1533. Lời giải. 8 8 u1 1 − q 3 · 1 − 2 Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân ta có: S = = = 765. 8 1 − q 1 − 2 h Geogebra Pro Trang 25
2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Chọn phương án C Câu 16. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A 1; 2; 3; 4; 5. B 1; 2; 4; 8; 16. C 1; 3; 9; 27; 81. D 1; −2; 4; −8; 16. Lời giải. Dãy 1; 2; 4; 8; 16 là cấp số nhân với công bội q = 2. Dãy 1; 3; 9; 27; 81 là cấp số nhân với công bội q = 3. Dãy 1; −2; 4; −8; 16 là cấp số nhân với công bội q = −2. u u Dãy 1; 2; 3; 4; 5 là cấp số cộng với công sai d = 1, không phải cấp số nhân vì 4 6= 2 . u3 u1 Chọn phương án A Câu 17. Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy? A 11. B 9. C 8. D 10. 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Lời giải. n−1 n−1 n−1 10 Ta có un = u1 · q ⇔ 1 · 2 = 1024 ⇔ 2 = 2 ⇔ n − 1 = 10 ⇔ n = 11. Chọn phương án A 1 1 1 Câu 18. Tổng vô hạn S = 1 + + + ··· + + ··· bằng 2 22 2n A 2. B 2n − 1. C 1. D 4. Lời giải. 1 Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với u = 1; q = . 1 2 u 1 Khi đó: S = 1 = = 2. 1 − q 1 1 − 2 Chọn phương án A Câu 19. Viết thêm một số vào giữa hai số 5 và 20 để được một cấp số nhân. Số đó là A ±9. B ±10. C ±13. D ±14. Lời giải. ñq = 2 2 2 u3 u3 = u1q ⇒ q = = 4 ⇒ u1 q = −2. Với q = 2 ⇒ u2 = 10 (thỏa mãn). Với q = −2 ⇒ u2 = −10 (thỏa mãn). Chọn phương án B Câu 20. Dãy số (un) có công thức số hạng tổng quát nào dưới đây là một cấp số nhân 2 1 A u = 3n . B u = 3n + 1. C u = 3n. D u = . n n n n n Lời giải. (n+1)2 2 u 3 u = 3n n+1 = = 32n+1 Với n thì n2 không phải là hằng số. un 3 un+1 3(n + 1) + 1 3n + 4 Với un = 3n + 1 thì = = không phải là hằng số. un 3n + 1 3n + 1 h Geogebra Pro Trang 26
2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 1 un+1 n Với un = thì = không phải là hằng số. n un n + 1 n+1 n un+1 3 n Với un = 3 thì = n = 3 là hằng số. Vậy un = 3 là công thức của cấp số nhân. un 3 Chọn phương án C Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA h Geogebra Pro Trang 27
2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.A 3.C 4.D 5.A 6.A 7.A 8.D 9.C 10.D 11.B 12.B 13.D 14.A 15.C 16.A 17.A 18.A 19.B 20.C 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 h Geogebra Pro Trang 28
3. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 3. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓN 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ S h l O A r Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = πrl. 2 Công thức tính diện tích toàn phần của hình nón: S = Sxq + Sday = πrl + πr = πr(l + r) 1 Công thức tính thể tích của khối nón: V = πr2h. non 3 Áp dụng Pitago và các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông SOA: l2 = h2 + r2; cos ASO‘ = h r r ; sin ASO = ; tan ASO = . l ‘ l ‘ h a b c Định lý hàm số sin trong tam giác: = = = 2R.(R: bán kính đường tròn ngoại tiếp sin A sin B sin C của tam giác). Định lý Talet trong tam giác: MN AM AN MN k BC, M ∈ AB, N ∈ AC ⇒ = = . BC AB AC Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 2 BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1. Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r bằng 1 A 4πrl. B 2πrl. C πrl. D πrl. 3 Lời giải. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán nhắc lại công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r. 2. HƯỚNG GIẢI: Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón. LỜI GIẢI CHI TIẾT h Geogebra Pro Trang 29
3. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r là Sxq = πrl Chọn phương án C 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1. Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l = 5 cm và bán kính r = 3 cm bằng A 8π (cm2). B 15 (cm2). C 4π (cm2). D 15π (cm2). Lời giải. Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l = 5 và bán kính r = 3 là Sxq = πrl = π · 3 · 5 = 15π(cm2). Chọn phương án D Câu 2. Một hình nón có diện tích xung quanh bằng 40π cm2 và bán kính đáy r = 5 cm thì có 1 LẦN độ HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 dài đường sinh bằng A 8π (cm). B 8 (cm). C 4π (cm). D 4 (cm). Lời giải. Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r là Sxq = πrl. S 40π Từ đó suy ra độ dài đường sinh bằng l = xq = = 8(cm). πr π · 5 Chọn phương án B Câu 3. Một hình nón có diện tích xung quanh bằng 60 cm2 và độ dài đường sinh l = 5 cm thì có bán kính đáy gần nhất với số nào sau đây: A 4 (cm). B 3,7 (cm). C 3,9 (cm). D 3,8 (cm). Lời giải. Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r là Sxq = πrl. S 60 Từ đó suy ra bán kính đáy bằng r = xq = = 3,8197(cm). πl π · 5 Chọn phương án D Câu 4. Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l = 5 cm và bán kính đáy r = 4 cm. Tính thể tích V của khối nón. A 20π cm3. B 100 cm3. C 16π cm3. D 90π cm3. Lời giải. √ √ Chiều cao của khối nón là h = l2 − r2 = 52 − 42 = 3. 1 1 Vậy thể tích của khối nón bằng V = πr2h = π · 42 · 3 = 16π cm3. 3 3 Chọn phương án C Câu 5. Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l = 8 cm và chiều cao h = 6 cm. Tính thể tích V của khối nón. A V = 56π cm3. B V = 48π cm3. C V = 64π cm3. D V = 90π cm3. Lời giải. h Geogebra Pro Trang 30
3. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 √ √ √ Bán kính đáy của khối nón là r = l2 − h2 = 82 − 62 = 28. 1 1 Vậy thể tích của khối nón bằng V = πr2h = π · 28 · 6 = 56π cm3. 3 3 Chọn phương án A Câu 6. Một khối nón tròn xoay có thể tích V bằng 50π và chiều cao h = 6. Tính diện tích toàn phần của hình nón. √ √ √ √ A 5π( 61 − 5). B 5π( 61 + 5). C π( 61 + 25). D π( 61 + 5). Lời giải. 3V 3.50π Từ công thức tính thể tích khối nón ta có r2 = = = 25 ⇒ r = 5. √ √ πh π.6 Độ dài đường sinh là l = r2 + h2 = 61. √ 2 Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng S = Sxq + Sđáy = πrl + πr = πr(l + r) = 5π( 61 + 5) Chọn phương án B Câu 7. Một khối nón tròn xoay có thể tích V bằng 100πcm3 và bán kính đáy r = 5cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón. A 144π(cm2). B 90π(cm2). C 64π(cm2). D 65π(cm2). Lời giải. 3V 3.100π Từ công thức tính thể tích khối nón ta có: h = = = 12. √ πr2 π.52 Độ dài đường sinh là l = r2 + h2 = 13. Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng Sxq = πrl = 65π. Chọn phương án D Câu 8. Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 6 và diện tích xung quanh bằng 30π. Thể tích của khối√ nón là √ √ √ 6 11 25 11 4 11 5 11 A π. B π. C π. D π. 5 3 3 3 Lời giải. S Từ công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, ta có: r = xq = 5. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA √ √ πl 2 2 Chiều cao của nón là: h = l − r = 11. √ 1 25π 11 Vậy thể tích khối nón bằng V = πr2h = · 3 3 Chọn phương án B Câu 9. Một khối nón tròn xoay có thể tích V bằng 12πcm3 và diện tích xung quanh bằng 15πcm2. Biết bán kính đáy là một số nguyên. Tính diện tích đáy nón. A 10π(cm2). B 9π(cm2). C 45π(cm2). D 25π(cm2). Lời giải. Gọi đường sinh, bán kính đáy, đường cao của nón lần lượt là l, r, h. 1 1 √ Ta có:V = πr2h = π và r2 l2 − r2S = πrl. 3 3 xq 1 p ( p  πr2 l2 − r2 = 12π r2 l2 − r2 = 36 (1) Từ giả thiết ta được hệ phương trình 3 ⇔ πrl = 15π rl = 15. (2) 15 Từ (2) ta được l = · Thế vào (1) ta có r6 − 225r2 + 1296 = 0. r h Geogebra Pro Trang 31
3. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Đặt r2 = t (t > 0; t ∈ Z) ta được t3 − 225t + 1296 = 0 ⇒ t = 9. Suy ra r = 3. 2 Vậy diện tích đáy nón là Sđáy = πr = 9π Chọn phương án B Câu 10. Cho tam giác AOB vuông tại O, OAB’ = 30◦ và có cạnh AB = a. Quay tam giác AOB xung quanh cạnh OA ta được một hình nón tròn xoay. Tính diện tích toàn phần của hình nón này. √ πa2 3 3πa2 πa2 A πa2. B . C . D . 4 4 4 Lời giải. Quay tam giác AOB xung quanh cạnh OA ta được một hình nón A tròn xoay có đường sinh AB = a. a Bán kính đáy r = OB = AB · cos 60◦ = · 2 Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 3πa2 S = S + S = πr(l + r) = · xq đáy 4 O B Chọn phương án C Câu 11. Cho tam giác AOB vuông tại O, OA = 4a, OB = 3a. Quay tam giác AOB xung quanh cạnh AB ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay này. A 9,6πa3. B 10πa3. C 8,4πa3. D 4πa3. Lời giải. Kẻ đường cao OH của tam giác vuông AOB. O Khi quay tam giác vuông AOB xung quanh cạnh AB ta được một khối tròn xoay có thể coi như 2 khối nón đỉnh A và B, chung đường tròn đáy bán kính r = OH, hai chiều cao tương ứng là h1 = AH, A H B h2 = BH. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng tổng thể tích của 2 khối nón trên. 1 1 1 Vậy ta có: V = V + V = πr2h + πr2h = πr2(h + h ) = 1 2 3 1 3 2 3 1 2 1 π · OH2 · AB. 3 Áp dụng hệ thức lượng trong tam gác vuông AOB ta có: 1 1 1 25 12a = + = ⇒ OH = . OH2 √OA2 OB2 144a2 5 AB = OA2 + OB2 = 5a. 1 12a2 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là V = π · · 5a = 9,6πa3. 3 5 Chọn phương án A h Geogebra Pro Trang 32
3. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Câu 12. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R có BAC’ = 75◦, ACB’ = 60◦. Kẻ BH ⊥ AC. Quay 4ABC quanh AC thì 4BHC tạo thành hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng √ √ πR2 3 + 2 3 πR2(3 + 3) A Sxq = . B Sxq = . √ 2√ 4 πR2 3( 2 + 1) C S = . D Đáp án khác. xq 4 Lời giải. A ◦ 75 H 60◦ B C Áp dụng định lý sin trong 4ABC ta có: √ √ BC R 6 + 2 = 2R ⇒ BC = 2R sin 75◦ = . sin BAC’ 2 Trong tam giác vuông BHC ta có: √ √ √ R 3 6 + 2 BH = BC · sin 60◦ = . 4 Khi quay 4ABC quanh AC thì 4BHC tạo thành hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng BH, đường sinh bằng BC. Vậy diện tích xung quanh của hình nón này bằng Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA √ πR2 3 + 2 3 S = πr` = π · BH · BC = . xq 2 Chọn phương án A Câu 13. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a. Biết B, C thuộc đường√ tròn đáy. Thể tích của khối√ nón là √ 2 3πa3 a3π 3 3a3π A a3π 3. B . C . D . 9 24 8 Lời giải. Thiết diện của khối nón với mặt phẳng đi qua trục√ tạo thành tam giác đều ABC có cạnh bằng a a a 3 nên bán kính đáy là r = và chiều cao là h = . 2 √2 1 πa3 3 Vậy thể tích của khối nón là V = πr2 · h = . 3 24 Chọn phương án C h Geogebra Pro Trang 33
3. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Câu 14. Cho khối nón có đỉnh S, cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua đỉnh của khối nón tạo thành thiết diện là tam giác SAB. Biết khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến thiết diện bằng 2,√AB = 12, bán kính đường√ tròn đáy bằng 10. Chiều√ cao h của khối nón là 8 15 2 15 4 15 √ A . B . C . D 15. 15 15 15 Lời giải. √ 2 2 Gọi I là trung điểm của AB thì OI ⊥ AB. Ta có OI = OA − IA = 8. S Kẻ OH ⊥ SI thì OH ⊥ (SAB), suy ra OH = d(O, (SAB)) = 2. 1 1 1 1 1 Trong tam giác vuông SOI có: = + ⇒ = − OH2 SO2 OI2 SO2 OH2 1 15 = . OI2 64 √ 8 15 H Vậy chiều cao của nón là h = OH = . 15 O 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 B LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 I A Chọn phương án A Câu 15. Cho hình nón có đỉnh O, tâm đáy là H, bán kính đáy là a, góc tạo bởi một đường sinh ◦ OM và đáy là 60 . Tìm kết luận sai: √ πa3 3 A ` = 2a. B S = 2πa2. C S = 4πa2. D V = . xq tp 3 Lời giải. ◦ Vì góc tạo bởi một đường sinh và đáy bằng 60 nên thiết diện qua O trục của hình nón sẽ là một tam giác đều OMN. Bán kính đáy là r = HM = a. Vậy đường sinh ` = OM = 2a ⇒ A đúng. 2 Diện tích xung quanh Sxq = πr` = πa · 2a = 2πa ⇒ B đúng. Diện tích toàn phần S = S + S = 2πa2 + πa2 = 3πa2 ⇒ C sai. xq tq đáy √ √ 1 πa3 3 Dễ thấy đường cao OH = a 3 ⇒ V = πr2h = ⇒ D đúng. 3 3 60◦ N H M Chọn phương án C Câu 16. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a; Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD. Diện tích xung quanh của hình nón√ đó là √ √ √ πa2 3 πa2 2 πa2 3 πa2 6 A . B . C . D . 3 2 2 2 Lời giải. h Geogebra Pro Trang 34
3. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 A0 D0 O0 B0 C0 A D O B C √ a 2 Hình nón có chiều cao h = OO = a, và bán kính đáy r = OA = . √ 2 √ a 3 Từ đó đường sinh bằng l = OA = OO2 + OA2 = √ . 2 √ πa2 3 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là S = πrl = . xq 2 Chọn phương án C Câu 17. Cho hình chóp tam giac đều S.ABC có cạnh đáy là a, cạnh bên là 2a. Một hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp√ 4ABC. Tìm kết luận đúng: √ a 33 πa2 πa3 A R = a 3. B h = . C S = . D V = . 3 xq 4 9 Lời giải. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Bán kính đáy nón là bán√ kính đường tròn ngoại tiếp 4ABC S a 3 đều cạnh a, nên R = . 2 Chiều cao của nón chính là chiều cao của chóp đều S.ABC nên ta có: √ √ Å a ã2 a 33 h = SH = SA2 − R2 = (2a)2 − √ = . 3 3 √ 2πa2 3 Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq = πRl = . A B √ 3 H 1 πa3 33 Thể tích của khối nón là V = πr2 · h = . 3 27 C Chọn phương án B Câu 18. h Geogebra Pro Trang 35
3. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Cho hình nón có đáy là đường tròn có bán kính bằng 10. M Mặt phẳng vuông góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến là một đường tròn như hình vẽ. Thể tích của khối 6 nón có chiều cao bằng 6 bằng 200π A 32π. B 24π. C . D 96π. P 9 15 9 O 10 Lời giải. Gọi bán kính đáy nón có chiều cao bằng 6 là r1. r 6 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Theo định lý Talet ta có: 1 = ⇒ r = 4. 10 15 1 1 Vậy thể tích của khối nón đó bằng V = πr2h = 32π. 3 1 Chọn phương án A Câu 19. Cho hình tròn có bán kính là 6. Cắt bỏ hình S tròn giữa 2 bán kính OA, OB, rồi ghép 2 bán kính đó lại sao cho thành một hình nón (như hình vẽ). Thể tích khối nón tương ứng A O đó là √ √ 81π 7 9π 15 6 A . B . B A 8√ 8 O 81π 7 C . D Đáp án khác. B 4 Lời giải. 3 Khi ghép OA vào OB ta được hình nón có chu vi đáy bằng chu vi đáy của đường tròn lúc đầu, 4 3 tức là bằng CV = 2πR = 9π. 1 4 9 Gọi bán kính đáy của hình nón là r , ta có CV = 2πr = 9π ⇒ r = . 1 1 1 1 2 Hình nón tạo thành sẽ có đường sinh l = OA = 6. Suy ra đường cao của nón là √ 2 p 2 2 2 9 3 7 h = l − r1 = 6 − = . 2 2 √ 1 81π 7 Vậy thể tích của khối nón tương ứng là V = πr2h = . 3 1 8 Chọn phương án A Câu 20. h Geogebra Pro Trang 36
3. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Cho hình nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón có đỉnh O là tâm của đáy vàđáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Chiều cao x của khối nón này là bao nhiêu để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 < x < h? 2h h A x = . B x = . 3 2√ H h h h 3 r C x = . D x = . 3 3 x O0 R Lời giải. Gọi bán kính đáy của hình nón đỉnh O và O lần lượt là R và r. Ta có R không đổi còn r thay đổi r OH h − x R(h − x) theo x. Theo Talet ta có: = = ⇒ r = . R OO h h 1 π ÅR(h − x)ã2 πR2 Thể tích của khối nón đỉnh O là V = πr2 · HO = · x = (h − x)2x. 3 3 h 3h Vì R, h không đổi nên thể tích đạt giá trị lớn nhất khi (h − x)2x đạt giá trị lớn nhất. Xét hàm số f(x) = (h − x)2x = x3 − 2hx2 + h2x với x ∈ (0; h). Ta có f(x) = 3x2 − 4hx + h2.  x = h Xét f(x) = 0 ⇔  h x = . 3 Ta có bảng biến thiên: h x 0 h 3 f 0(x) + 0 − 0 + Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA f(x) 4h3 h Dựa vào bảng biến thiên ta có max f(x) = xảy ra khi x = . x∈(0;h) 27 3 Chọn phương án C h Geogebra Pro Trang 37
3. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 8.B 9.B 10.C 11.A 12.A 13.C 14.A 15.C 16.C 17.B 18.A 19.A 20.C 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 h Geogebra Pro Trang 38
4. XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 4. XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ —Nếu f 0(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (dấu " =" xảy ra tại một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm rời rạc trên K) thì hàm số đồng biến trên khoảng K. —Nếu f 0(x) ≤ 0, ∀x ∈ K (dấu " =" xảy ra tại một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm rời rạc trên K) thì hàm số nghịch biến trên khoảng K. 2 BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1. (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020)Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ −1 0 1 +∞ y0 + 0 − 0 + 0 − 2 2 y −∞ 1 −∞ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A (1; +∞). B (−1; 0). C (−1; 1). D (0; 1). Lời giải. Phân tích hướng dẫn giải Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xét sự đơn điệu của hàm số khi biết bảng biến thiên. 2. HƯỚNG GIẢI: Dựa vào định lý về sự đơn điệu. —Nếu f 0(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K. —Nếu f 0(x) 0, ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞) nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (0; 1). Chọn phương án D 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng? h Geogebra Pro Trang 39
4. XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 1 x −∞ 3 +∞ 2 y0 + + 0 − +∞ 4 y −∞ −∞ −∞ 1 A Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng −∞; − và (3; +∞). 2 1 B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng − ; +∞ . 2 C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +∞). D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 3). Lời giải. 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số. 1 1 Đồng biến trên các khoảng −∞; − và − ; 3 . 2 2 Nghịch biến trên khoảng (3; +∞). Chọn phương án C Câu 2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{−1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x −∞ −1 1 +∞ y0 − − 0 + +∞ +∞ +∞ y −∞ 2 A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞). C Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞). D Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (−∞; −1) đạo hàm y0 < 0 nên hàm số nghịch biến. Chọn phương án A Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x −∞ −2 0 +∞ y0 − 0 + 0 − Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A (−2; 0). B (−3; 1). C (0; +∞). D (−∞; −2). h Geogebra Pro Trang 40
4. XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Lời giải. Nhìn bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy y0 > 0, ∀x ∈ (−2; 0). Suy ra hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−2; 0). Chọn phương án A Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau x −∞ −1 0 1 +∞ y0 + + 0 − − +∞ 0 +∞ y 1 −∞ −∞ 1 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A (−∞; 0). B (−1; 1). C (−1; 0). D (1; +∞). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; 0). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0). Chọn phương án C Câu 5. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau x −∞ −3 −2 +∞ y0 + 0 + 0 − 5 y −∞ −∞ Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai? i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −5) và (−3; −2). ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 5). iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−2; +∞). iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; −2). A 1. B 2. C 3. D 4. Lời giải. Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; −2); nghịch biến trên khoảng (−2; +∞). Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng. Ta thấy khoảng (−∞; −3) chứa khoảng (−∞; −5) nên I Đúng. Vậy chỉ có II sai. Chọn phương án A h Geogebra Pro Trang 41
4. XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 x − 2 Câu 6. Cho hàm số y = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x + 1 A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1). C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞). D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; +∞). Lời giải. Tập xác định: R \ {−1}. 3 Ta có y0 = > 0, ∀x ∈ \ {−1}. (x + 1)2 R Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). Chọn phương án B 3 2 Câu 7. Cho hàm số y = −x + 3x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 A Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2). B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). C Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). D Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). Lời giải. ñx = 0 y0 = −3x2 + 6x, y0 = 0 ⇔ x = 2. Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y0 − 0 + 0 − +∞ 5 y 1 −∞ Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2). Chọn phương án A Câu 8. Cho hàm số y = x4 − 2x2 + 4. Trong các phát biểu sau, đâu là phát biểu sai? A Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0) và (1; +∞). B Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và [0; 1]. C Hàm số đồng biến trên [−1; 0] và [1; +∞). D Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) ∪ (0; 1). Lời giải. Tập xác định: D = R. ñx = 0 Ta có: y0 = 4x3 − 4x; y0 = 0 ⇒ x = ±1 h Geogebra Pro Trang 42
4. XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 x −∞ −1 0 1 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + +∞ 4 +∞ y 3 3 Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1). Chọn phương án D 2 Câu 9. Hàm số y = nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3x2 + 1 A (−∞; 0). B (−∞; +∞). C (0; +∞). D (−1; 1). Lời giải. Tập xác định D = R. −12x y0 = . (3x2 + 1)2 2 Ta có y0 0 nên hàm số y = nghịch biến trên khoảng (0; +∞). 3x2 + 1 Chọn phương án C Câu 10. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f 0(x) = 2x2 + 4 − cos x, ∀x ∈ R. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). B Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). D Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). Lời giải. Ta có Ta có f 0(x) = 2x2 + 4 − cos x > 0, ∀x ∈ R ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). Chọn phương án D Câu 11. Cho hàm số f(x) có đạo hàm là f 0(x) = (x − 2)(x + 5)(x + 1). Hàm số f(x) đồng biến trên Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA khoảng nào dưới đây? A (2; +∞). B (−2; 0). C (0; 1). D (−6; −1). Lời giải. x = −5 0  Cho f (x) = 0 ⇔ x = −1 x = 2. Ta có bảng xét dấu của f 0(x) như sau: x −∞ −5 −1 2 +∞ f 0(x) − 0 + 0 − 0 + Nhìn vào bảng xét dấu của f 0(x) ta thấy hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (−5; −1) và (2; +∞). Vậy hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞). Chọn phương án A h Geogebra Pro Trang 43
4. XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Câu 12. Cho hàm số f(x) có đạo hàm là f 0(x) = x3(x − 1)2(x + 2). Khoảng nghịch biến của hàm số là A (−∞; −2); (0; 1). B (−2; 0); (1; +∞). C (−∞; −2); (0; +∞). D (−2; 0). Lời giải. Bảng biến thiên: x −∞ −2 0 1 +∞ y0 + 0 − 0 + 0 + f(−2) +∞ y −∞ f(1) Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 0). 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Chọn phương án D Câu 13. ax + b Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = với a, b, c, d y cx + d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A y0 0, ∀x ∈ R. C y0 0, ∀x 6= 1. O 1 x Lời giải. Ta có y Dựa vào hình dáng của đồ thị ta được: + Điều kiện x 6= 1. + Đây là đồ thị của hàm nghịch biến. Từ đó ta được y0 < 0, ∀x 6= 1. O 1 x Chọn phương án A Câu 14. h Geogebra Pro Trang 44
4. XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng y nào trong các khoảng sau đây? A (0; 1). B (−∞; 1). C (−1; 1). D (−1; 0). −1 1 O x −2 Lời giải. Hàm số đồng biễn trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞). Chọn phương án D Câu 15. Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến y trên khoảng nào trong các khoảng sau? 3 A (0; 2). B (−2; 0). C (−3; −1). D (2; 3). −3 1 3 −1 2 x −3 Lời giải. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 1) và (2; 3). Chọn phương án D Câu 16. Cho bốn hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)? y y y y Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 1 O 1 x x O x x 1 O 2 3 1 4 O A 4. B 2. C 3. D 1. Lời giải. Có ba hàm số trong các hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +∞). Chọn phương án C Câu 17. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f 0(x) xác định, liên tục trên R và f 0(x) có đồ thị như y hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A Hàm số f(x) đồng biến trên (−∞; 1). O B Hàm số f(x) đồng biến trên (−∞; 1) và (1; +∞). 1 x C Hàm số f(x) đồng biến trên (1; +∞). D Hàm số f(x) đồng biến trên R. h Geogebra Pro Trang 45
4. XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số f 0(x), ta thấy f 0(x) > 0, ∀x ∈ (1; +∞) suy ra hàm số f(x) đồng biến trên (1; +∞). Chọn phương án C Câu 18. Hình bên là đồ thị của hàm số y = f 0(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên y khoảng nào dưới đây? A (2; +∞). B (1; 2). C (0; 1). D (0; 1) và (2; +∞). O 1 2 x Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy f 0(x) > 0, ∀x > 2 nên y = f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞). 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Chọn phương án A Câu 19. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f 0(x). Biết rằng y hàm số f 0(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng? O A Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−2; 0). −3 −2 x B Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞). C Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−∞; −3). D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; −2). Lời giải. Ta có f 0(x) f(3). D lim f(x) = +∞ và lim = −∞. x→+∞ x→−∞ Lời giải. Ta thấy trên khoảng (0; 3) đạo hàm mang dấu âm nên hàm số nghịch biến trên (0; 3). Vì thế f(0) > f(3). Chọn phương án C h Geogebra Pro Trang 46
4. XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.A 4.C 5.A 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D 11.A 12.D 13.A 14.D 15.D 16.C 17.C 18.A 19.B 20.C Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA h Geogebra Pro Trang 47
5. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 5. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho khối lập phương có cạnh bằng a thể tích của khối lập phương là V = a3. 2 BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1. Cho khối lập phương có cạnh bằng 6. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng A 216. B 18. C 36. D 72. Lời giải. 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích của khối lập phương. 2. HƯỚNG GIẢI: Áp dụng công thức tính thể tích để làm bài toán. LỜI GIẢI CHI TIẾT Thể tích của khối lập phương đã cho là V = 63 = 216. Chọn phương án A 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN √ Câu 1. Cho khối lập phương có cạnh bằng 3. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng √ √ A 3 3. B 3. C 3. D 6. Câu 2. Cho khối lập phương có cạnh bằng a. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng A a3. B 3a. C a2. D 3a2. Lời giải. 3 3 Thể tích của khối lập phương đã cho là V = (a) = a . A0 D0 B0 C0 D A B C Chọn phương án A Câu 3. Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt bằng 2, 3, 5. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng A 30. B 15. C 10. D 60. h Geogebra Pro Trang 48
5. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Lời giải. Thể tích của khối lập phương đã cho là V = 2 · 3 · 5 = 30. A0 D0 0 0 B 5 C 3 D A 2 B C Chọn phương án A √ Câu 4. Cho khối lập phương có đường chéo của mặt bên bằng 5 2. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng √ 125 √ A 125. B 250 2. C . D 125 2. 3 Lời giải. Gọi a là cạnh của hình lập phương, suy ra đường chéo mặt bên 0 0 √ A B là a 2. √ √ Theo bài a 2 = 5 2 ⇒ a = 5. Vậy thể tích của khối lập phương đã cho là V = (5)3 = 125. D0 C0 5 √ 2 A B D C Chọn phương án A √ Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINHCâu HỌA 5. Cho khối lập phương có đường chéo bằng 3 3. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng √ √ A 27. B 81 3. C 9. D 27 3. Lời giải. Gọi a là cạnh của hình lập phương, suy ra đường chéo hình lập 0 0 √ A B phương là a 3. √ √ Theo bài a 3 = 3 3 ⇒ a = 3. Thể tích của khối lập phương đã cho là V = (3)3 = 27. D0 C0 √ 3 3 A B D C h Geogebra Pro Trang 49
5. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Chọn phương án A √ Câu 6. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3, hình chiếu vuông góc của A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh AA0 hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30◦. Thể tích khối lăng trụ bằng √ A 6a3. B 9a3. C 2a3. D 24 3a3. Lời giải. A0 C0 Gọi M là trung điểm BC. G là trọng tâm của tam giác ABC. B0 Ta có A0G ⊥ (ABC). Suy ra GA là hình chiếu của AA0 lên mặt phẳng (ABC) 30◦ A C ⇒ AA¤0, (ABC) = A’0AG = 30◦. 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 N G M √ √ 2 Tam√ giác ABC đều cạnh 2a 3 ⇒ SABC = (2a 3) · B 3 √ = 3a2 3. 4 2 Tam giác A0AG vuông tại G có Ab = 30◦, AG = AM = √ 3 2 √ 3 · 2a 3 · = 2a 3 2 √ 2a 3 ⇒ A0G = AG · tan 30◦ = . 3 0 3 Vậy VABC.A0B0C0 = SABC · A G = 6a . Chọn phương án A Câu 7. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích khối lăng trụ√ bằng √ √ √ a3 3 a3 3 a3 2 a3 2 A . B . C . D . 4 2 4 2 Lời giải. Ta có V = B · h, trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều A0 C0 cao lăng trụ. √ a2 3 Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên B = SABC = . B0 √ 4 a a3 3 Mà h = AA0 = a ⇒ V = (đvtt). 4 A C a B Chọn phương án A h Geogebra Pro Trang 50
5. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Câu 8. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Thể tích khối lăng trụ này bằng A 9a3. B 6a3. C 3a3. D 12a3. Lời giải. 0 0 0 0 0 Vì ABCD.A B C D là lăng trụ đứng nên 4BDD vuông tại D. A0 B0 Do đó BD2 = BD02 − DD02 = 9a2 ⇒ BD = 3a. 3a 9a2 Tứ giác ABCD là hình vuông ⇒ AB = √ . Suy ra SABCD = . 2 4 D0 C0 3 Vậy V = SABCD · AA = 9a . 5a 4a A B D C Chọn phương án A 0 0 0 Câu 9. Cho hình lặng trụ tam giác√ đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa a 15 hai đường thẳng AB và A0C bằng . Thể tích của khối lăng trụ bằng 5 3 2 4 5 A a3. B a3. C a3. D a3. 4 3 5 6 Lời giải. 0 0 0 0 Gọi M; M lần lượt là trung điểm của AB và A B . Hạ MH ⊥ M C. A C 0 0 0 0 AB k (A√B C ) ⇒ d[AB,√ A C] = MH M a 15 a 15 √ HC = ; M 0C = ; MM 0 = a 3. 10 2 3 B Vậy V = a3. 4 H A0 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA C0 M 0 a B0 Chọn phương án A Câu 10. Cho lăng trụ đều ABC.A0B0C0 có các cạnh đáy bằng a. Khoảng cách từ tâm O của tam a giác ABC đến mặt phẳng (A0BC) bằng . Thể tích lăng trụ đều đó bằng √ √ 6 √ √ 3 2a3 3 2a3 3 2a3 3 2a3 A . B . C . D . 16 8 4 32 Lời giải. h Geogebra Pro Trang 51
5. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 0 Gọi M là trung điểm của BC. H là hình chiếu của O lên A M. 0 0 A Ta có: AM ⊥ BC; AA0 ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (A0AM) ⇒ BC ⊥ OH ⇒ OH ⊥ B (ABC). a Do đó : d[O, (A0BC)] = OH = . 6 0 0 0 C Đặt AA = x và có ∆OMH ∼ ∆√MAA √ OH MO a a 3 6 nên = ⇒ = ⇒ x = a. 0 0 AA MA 6x 3 4 H 6 x2 + a2 √ √ √a B A a2 3 6 3 2 Vậy V = · a = a3 (đvtt). ABC.ABC 4 4 16 M O C Chọn phương án A 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Câu 11. Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 54. Thể tích khối lập phương đã cho bằng A 9. B 27. C 54. D 81. Lời giải. Gọi độ dài của cạnh của hình lập phương là a, (a > 0). A D Ta có: 6.a2 = 54 ⇒ a2 = 9 ⇒ a = 3. 3 Thể tích khối lập phương đã cho bằng V = 3 = 27. B C A0 D0 B0 C0 Chọn phương án B Câu 12. Cho khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 có AC0 = 75. Thể tích khối lập phương đã cho bằng 125 A 125. B 75. C . D 25. 3 Lời giải. Gọi độ dài của cạnh của hình lập phương là a, (a > 0). A D Ta có: √ 0 0 02 02 0 02 2 2 2 2 a A C = 2a ⇒ AC = AA + A C = a + 2a = 3a = 75 ⇒ a = 25 ⇒ B C a = 5. 75 Vậy thể tích của khối lập hương đã cho bằng V = 53 = 125. A0 D0 B0 C0 h Geogebra Pro Trang 52
5. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Chọn phương án A Câu 13. Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Biết đường thẳng AC0 tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 45◦. Thể tích khối hộp đã cho bằng √ √ A 48 2. B 48. C 16 2. D 16. Lời giải. Ta có: √ A 4 D AA0 ⊥ (ABCD) ⇒ (AC0, (ABCD)) = AC’0A0 = 45◦; AC0 = 4 2 √ 4 ⇒ AA0 = AC0 · tan 45◦ = 4 2. √ √ B C Thể tích khối hộp đã cho là V = 4 2 · 4 · 4 = 48 2. A0 D0 45◦ B0 C0 Chọn phương án A Câu 14. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh AB = 4, AA0 = 6. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng √ √ √ A 24 2. B 8 3. C 24 3. D 64. Lời giải. √ √ 1 ◦ 1 3 Diện tích tam giác ABC: S = ·AB ·AC ·sin 60 = ·4·4· = 4 3. A0 C0 2 2 √2 √ 0 Thể tích của khối lăng trụ đã cho là V = AA ·SABC = 6·4 3 = 24 3. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA B0 6 4 A C 4 B Chọn phương án C Câu 15. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có tất cả các cạnh bằng 4. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng√ 16 3 √ √ A . B 8 3. C 16 3. D 64. 3 h Geogebra Pro Trang 53
5. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Lời giải. √ 1 ◦ 1 3 Diện tích tam giác ABC: SABC = · AB · AC · sin 60 = · 4 · 4 · = 0 0 √ 2 2 2 A C 4 3. √ √ 0 Thể tích của khối lăng trụ đã cho là V = AA ·SABC = 4·4 3 = 16 3. B0 4 4 A C 4 B Chọn phương án C 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = 3, AD = 4, AA0 = 5. Thể tích khối hộp đã cho bằng A 20. B 60. C 30. D 16. Lời giải. Ta có: SABCD = AB · AD = 3 · 4 = 12. A0 D0 0 Thể tích khối hộp đã cho là V = AA · SABCD = 5 · 12 = 60. 0 0 B 5 C 4 D A 3 B C Chọn phương án B Câu 17. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết AB = a, AC = 2a, AA0 = 3a. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A 3a2. B a3. C 3a3. D 6a3. Lời giải. 1 1 2 Diện tích tam giác ABC: S = · AB · AC = · a · 2a = a . 0 0 ABC 2 2 A C 0 2 3 Thể tích của khối lăng trụ đã cho là V = AA · SABC = 3a · a = 3a . B0 3a 2a A C a B Chọn phương án C h Geogebra Pro Trang 54
5. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Câu 18. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác. Biết AB = a, AC = 2a, BAC’ = ◦ 0 120 , AA√ = 3a. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng √ 3a3 √ 3 3a3 A . B 3 3a3. C . D 3a3. 2 2 Lời giải. √ √ 2 1 ◦ 1 3 a 3 Diện tích tam giác ABC: S = ·AB ·AC ·sin 120 = ·a·2a· = . 0 0 2 2 2 √2 A C 2 0 a 3 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng V = AA · SABC = 3a · = √ 2 B0 3 3a3 . 2 2a A ◦ C a 120 B Chọn phương án C Câu 19. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, AC = 2a, tam giác A0AC vuông cân tại A. Thể√ tích khối hộp đã cho bằng √ 2 3a3 √ √ 3 3a3 A . B 2 3a3. C 3a3. D . 3 2 Lời giải. √ √ √ Ta có: AD = AC2 − AB2 = 4a2 − a2 = a 3 √ √ A D 2 ⇒ SABCD = AB · AD = a · a 3 = a 3. a 2a Tam giác A0AC vuông cân tại A nên A0A = AC = 2a. √ √ B 0 2 3 Thể tích khối hộp đã cho bằng V = AA · SABCD = 2a · a 3 = 2 3a . C Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA A0 D0 B0 C0 Chọn phương án B Câu 20. Cho khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 có thể tích bằng 64. Độ dài cạnh của hình lập phương đã cho bằng √ A 6. B 4 3. C 8. D 4. Lời giải. h Geogebra Pro Trang 55
5. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 3 Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là a. Ta có: V = a = 64 ⇒ a = 4. A D B C a A0 D0 B0 C0 Chọn phương án D 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 h Geogebra Pro Trang 56
5. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.A 3.A 4.A 5.A 6.A 7.A 8.A 9.A 10.A 11.B 12.A 13.A 14.C 15.C 16.B 17.C 18.C 19.B 20.D Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA h Geogebra Pro Trang 57
6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các công thức thường dùng để giải phương trình bất phương trình logarit. a) loga bc = loga b + loga c. b b) log = log b − log c. a c a a α α c) loga b = α loga b. Nếu loga[f(x)] = α loga |f(x)| với α chẵn. 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 1 d) log α b = log b. a α a logc b e) loga b = . logc a 1 f) loga b = . loga b b Phương trình logrit cơ bản: loga f(x) = b ⇔ f(x) = a và loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(x). Bất phương trình logarit cơ bản: a) Với a > 1 thì loga f(x) > loga g(x) ⇔ f(x) > g(x). b) Với 0 loga g(x) ⇔ f(x) < g(x). 2 BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình log3(2x − 1) = 2 là 9 7 A x = 2. B x = 5. C x = . D x = . 2 2 Lời giải. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán giải phương trình logarit cơ bản. 2. HƯỚNG GIẢI: b Áp dụng công thức loga f(x) = b ⇔ f(x) = a . LỜI GIẢI CHI TIẾT 2 log3(2x − 1) = 2 ⇔ 2x − 1 = 3 ⇔ 2x = 10 ⇔ x = 5 Chọn phương án B h Geogebra Pro Trang 58
6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 2 Câu 1. Tập nghiệm của phương trình log0,25 x − 3x = −1 là {4} {1; −4} A . √ √ B . ß3 − 2 2 3 + 2 2™ C ; . D {−1; 4}. 2 2 Lời giải. Ta có ñx = −1 2 2 2 log0,25 x − 3x = −1 ⇔ x − 3x = 4 ⇔ x − 3x − 4 = 0 ⇔ x = 4. Vậy tập nghiệm của phương trình là {−1; 4}. Chọn phương án B Câu 2. Tập nghiệm S của bất phương trình log2(x − 1) 0 Điều kiện: ⇔ x > 1. x − 1 > 0 Với điều kiện trên, ta có log3(2x + 1) − log3(x − 1) = 1 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA ⇔ log3(2x + 1) = log3(x − 1) + log3 3 ⇔ log3(2x + 1) = log3(3x − 3) ⇔ 2x + 1 = 3x − 3 ⇔ x = 4 (thỏa mãn). Vậy tập nghiệm S = {4}. Chọn phương án D Câu 4. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 1 (x − 3) ≥ log 1 4 là 2 2 A 5. B 6. C 3. D 4. Lời giải. Ta có ®x − 3 > 0 ®x > 3 log 1 (x − 3) ≥ log 1 4 ⇔ ⇔ 2 2 x − 3 ≤ 4 x ≤ 7. h Geogebra Pro Trang 59
6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Tập nghiệm của bất phương trình là S = (3; 7]. Từ đó suy ra bất phương trình có 4 nghiệm nguyên. Chọn phương án D 2 Câu 5. Tổng các nghiệm của phương trình log4 x − log2 3 = 1 là A 6. B 5. C 4. D 0. Lời giải. Điều kiện: x 6= 0. Ta có: 2 2 log4 x − log2 3 = 1 ⇔ log4 x = log2 3 + 1 2 ⇔ log4 x = log2 6 2 ⇔ log4 x = log4 36 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ±6. (thỏa mãn) Suy ra tống các nghiệm của phương trình bằng 0. Chọn phương án D Câu 6. Biết rằng S là tập nghiệm của bất phương trình log −x2 + 100x − 2400 0 ®40 0 x 6= 50. Do đó, S = (40; 60) \{50} ⇒ a + b − x0 = 40 + 60 − 50 = 50. Chọn phương án A Câu 7. Biết tập nghiệm S của bất phương trình log π [log3(x − 2)] > 0 là khoảng (a; b). Tính 6 b − a. A 12. B 0. C 8. D 10. Lời giải. Ta có: log π [log3(x − 2)] > 0 ⇔ 0 0 ⇔ log3(x − 2) 1 ⇔ 0 3 ⇔ ⇔ 3 < x < 5. 2 < x < 5 h Geogebra Pro Trang 60
6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (3; 5) ⇒ a = 3; b = 5 ⇒ b − a = 2. Chọn phương án D 2 √ Câu 8. Số nghiệm của phương trình log3(x − 1) + log 3(2x − 1) = 2. A 2. B 1. C 4. D 3. Lời giải. 1 Với điều kiện x > , x 6= 1. 2 2 √ log3(x − 1) + log 3(2x − 1) = 2 2 2 ⇔ log3(x − 1) + log3(2x − 1) = log3 9 2 ⇔ log3[(x − 1)(2x − 1)] = log3 9 2 ⇔ 2x2 − 3x + 1 = 9 ñ2x2 − 3x + 1 = −3 ⇒ 2x2 − 3x + 1 = 3  1 x = − ⇔  2 x = 2. Thử lại ta có một nghiệm x = 2 thỏa mãn. Chọn phương án B Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 (x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ 0 là 3 11 A S = 3; . B S = (−∞; 4]. C S = (1; 4]. D S = (1; 4). 2 Lời giải. ® x − 1 > 0 11 Điều kiện: ⇔ 1 0 2 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINHTa HỌA có log 1 (x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ 0 3 ⇔ − log3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ 0 ⇔ log3(11 − 2x) ≥ log3(x − 1) ⇔ 11 − 2x ≥ x − 1 ⇔ x ≤ 4. So với điều kiện ta có: S = (1; 4]. Chọn phương án C 2 Câu 10. Số nghiệm của phương trình log2(x + 2) + log4(x − 5) + log 1 8 = 0 là 2 A 3. B 2. C 1. D 4. Lời giải. h Geogebra Pro Trang 61
6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Với D = (−2; +∞) \{5}, ta có 2 log2(x + 2) + log4(x − 5) + log 1 8 = 0 2 ⇔ log2(x + 2) + log2 |x − 5| − 3 = 0 ⇔ log2((x + 2)|x − 5|) = 3 ⇔ (x + 2)|x − 5| = 23 = 8  ®(x + 2)(x − 5) = 8   x > 5 ⇔   ®  (x + 2)(x − 5) = −8 x 0; x 6= 1. Ta có 1 2 log (125x) · log2 x = 1 ⇔ (log 125 + log x) log x = 1 ⇔ (3 · log 5 + 1) log2 x = 4. x 25 x x 2 5 x 5 Đặt log5 x = t phương trình tương đương:  ñ ñ x = 5 3 2 2 t = 1 log5 x = 1 + 1 t = 4 ⇔ t + 3t − 4 = 0 ⇔ ⇔ ⇔  1 t t = −4 log x = −4 x = . 5 625 h Geogebra Pro Trang 62
6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 1 Vậy tích các nghiệm của phương trình là . 125 Chọn phương án B x+1 Câu 13. Cho biết phương trình log3 3 − 1 = 2x + log 1 2 có hai nghiệm x1, x2. Hãy tính tổng 3 S = 27x1 + 27x2 A S = 252. B S = 45. C S = 9. D S = 180. Lời giải. Ta có x+1 x+1 log (3 − 1) = 2x + log1 2 ⇔ log 2(3 − 1) = 2x 3 3 3 ⇔ 2 · 3x+1 − 2 = 32x ⇔ 32x − 6 · 3x + 2 = 0. Đặt 3x = t, (t > 0), phương trình trở thành t2 − 6 · t + 2 = 0. Phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt. x x Đặt 3 1 = t1, 3 2 = t2, t1 + t2 = 6, t1 · t2 = 2. Ta có 3 3 3 S = (t1 + t2) = (t1 + t2) − 3t1 · t2(t1 + t2) = 216 − 3 · 2 · 6 = 180 Chọn phương án D log 3 Câu 14. Cho x thỏa mãn (log2 x − 1) log x (3x − 20) = 2. Giá trị của A = 8 x + x bằng 2 A 20. B 29. C 30. D 11. Lời giải.  2 x > Điều kiện: 3 x 6= 2. Ta có x (log2 x − 1) log x (3x − 2) = 2 ⇔ log2 log x (3x − 20) = 2 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 2 2 2 ⇔ log2(3x − 20) = 2 ⇔ 3x − 20 = 4 ⇔ x = 8 (thỏa mãn). log 3 Vậy A = 8 8 + 8 = 11. Chọn phương án D Å4x2 − 4x + 1ã Câu 15. Biết x , x là hai nghiệm của phương trình log +4x2 +1 = 6x và x +2x = 1 2 7 2x 1 2 1 √ (a + b) với a, b là hai số nguyên dương. Tính a + b. 4 A a + b = 13. B a + b = 11. C a + b = 16. D a + b = 14. Lời giải. 1 Điều kiện: x > 0, x 6= . 2 Ta có: Å4x2 − 4x + 1ã log + 4x2 + 1 = 6x ⇔ log 4x2 − 4x + 1 + 4x2 − 4x + 1 = log (2x) + 2x. 7 2x 7 7 h Geogebra Pro Trang 63
6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 1 Xét hàm số f(t) = log7 t + t có f(t) = + 1 > 0, ∀t > 0 nên là hàm số đồng biến trên (0; +∞). t ln 7 √ 3 ± 5 Do đó ta có 4x2 − 4x + 1 = 2x ⇔ 4x2 − 6x + 1 = 0 ⇔ x = . 4 Khi đó √ √ √ √ 3 − 5 3 + 5 1 √ 3 + 5 3 − 5 1 √ x1 + 2x2 = + 2 = (9 + 5) hoặc x1 + 2x2 = + 2 = (9 − 5). √4 4 √ 4 4 4 4 3 − 5 3 + 5 Vậy x = ; x = . 1 4 2 4 Do đó a = 9; b = 5 và a + b = 9 + 5 = 14. Chọn phương án C Å4a + 2b + 5ã Câu 16. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn log = a + 3b − 4. Tìm giá trị nhỏ 5 a + b nhất của biểu thức T = a2 + b2. 1 3 5 A . B 1. C . D . 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 2 2 2 Lời giải. Å4a + 2b + 5ã log = a + 3b − 4 ⇔ log (4a + 2b + 5) = log (a + b) + a + 3b − 4 5 a + b 5 5 ⇔ log5(4a + 2b + 5) + (4a + 2b + 5) = log5[5(a + b)] + 5(a + b)(∗) Xét hàm f(x) = log5 x + x, x > 0. 1 Đạo hàm f(x) = + 1 > 0, ∀x > 0. Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên (0; +∞). x · ln 5 Phương trình (∗) viết lại: f(4a + 2b + 5) = f (5(a + b)) ⇔ 4a + 2b + 5 = 5(a + b) ⇔ a + 3b = 5. 5 Mặt khác: 52 = (a + 3b)2 ≤ 12 + 32 · a2 + b2 ⇒ T = a2 + b2 ≥ . 2 a b 1 3 Dấu xảy ra ⇔ = ⇒ a = ; b = . 1 3 2 2 Chọn phương án D 4b − a Câu 17. Cho hai số a, b dương thỏa mãn đẳng thức log a = log b = log . Giá trị biểu thức 4 25 4 a √ M = log + 4b 2 − log b bằng 6 2 6 1 3 A 1. B 2. C . D . 2 2 Lời giải. 4b − a Đặt: log a = log b = log = t. 4 25 4 4b − a Khi đó: a = 4t, b = 25t, =10t. 4 Nên 4 · 25t − 4t 22t 2t 2t √ = 10t ⇔ 4 · 25t − 4t = 4 · 10t ⇔ + 4 · − 4 = 0 ⇔ = 2 2 − 2. 4 5 5 5 a 4 t √ √ Suy ra = = (2 2 − 2)2 = 12 − 8 2. b 25 a √ a √ Vậy M = log + 4b 2 − log b = log + 4 2 = log 6 = 1. 6 2 6 6 2b 6 h Geogebra Pro Trang 64
6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Chọn phương án A Câu 18. Giả sử S = (a, b] là tập nghiệm của bất phương trình p 2 3 4 2 p 2 5x + 6x + x − x log2 x > x − x log2 x + 5 + 5 6 + x − x . Khi đó b − a bằng 1 7 5 A . B . C . D 2. 2 2 2 Lời giải. ®x > 0 ®x > 0 Điều kiện: ⇔ 6 + x − x2 ≥ 0 − 2 ≤ x ≤ 3. D = (0; 3]. Ta có p 2 3 4 2 p 2 5x + 6x + x − x log2 x > x − x log2 x + 5 + 5 6 + x − x p 2 p 2 ⇔ 5x + x 6 + x − x log2 x > x(x − 1) log2 x + 5 + 5 6 + x − x p 2 ⇔ (x − 1) (5 − x log2 x) + 6 + x − x (x log2 x − 5) > 0 Ä p 2ä ⇔ (5 − x log2 x) x − 1 − 6 + x − x > 0  ( 5 − x log2 x > 0  p (I)  x − 1 − 6 + x − x2 > 0  ⇔  (  5 − x log2 x 0 (1) p x − 1 − 6 + x − x2 > 0 (2). Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Giải (1): 5 − x log2 x > 0. 5 Xét hàm số f(x) = x − log x = xg(x) với x ∈ (0; 3]. x 2 5 1 Ta có g(x) = − − 0∀x ∈ (0; 3]. x 2 h Geogebra Pro Trang 65
6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Xét bất phương trình (2):    x 0   5 5 6 + x − x2 ⇔ x > . x > 1 x > 1 2 2  x > 1 5 i Vậy nghiệm của hệ (I) là D = ; 3 . 2 Hệ (II) vô nghiệm. 5 i Vậy S = , 3 . 2 5 1 b − a = 3 − = . 2 2 Chọn phương án A √ √ √ √ 2 2 2 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình log2 x x + 2 + 4 − x +2x+ x + 2 ≤ 1 là − a; − b . Khi đó tích a.b bằng 12 5 15 16 A . B . C . D . 5 12 16 15 Lời giải. Ta có √ Äp ä 2x 2 3x + 2 x2 + 2 x x2 + 2 − x + 4 = √ + 4 = √ . x2 + 2 + x x2 + 2 + x √ Nhận xét: x2 + 2 + x > |x| + x ≥ 0, ∀x ∈ . √ √ R Khi đó x x2 + 2 + 4 − x2 > 0 ⇔ 2 x2 + 2 > −3x. (*) Với điều kiện (∗) bất phương trình đã cho tương đương √ 2 3x + 2 x2 + 2 p 2 log2 √ + 2x + x + 2 ≤ 1 x2 + 2 + x Ä p 2 ä Ä p 2 ä p 2 ⇔ 1 + log2 3x + 2 x + 2 − log2 x + x + 2 + 2x + x + 2 ≤ 1 p 2 Ä p 2 ä p 2 Ä p 2 ä ⇔ 3x + 2 x + 2 + log2 3x + 2 x + 2 ≤ x + x + 2 + log2 x + x + 2 Ä p ä Ä p ä ⇔ f 3x + 2 x2 + 2 ≤ f x + x2 + 2 . (1) Xét hàm số f(t) = t + log2 t trên khoảng (0; +∞). 1 f(t) = 1 + > 0 với ∀t > 0 nên hàm số f(t) luôn đồng biến trên trên khoảng (0; +∞). t ln 2 Do đó p p (1) ⇔ 3x + 2 x2 + 2 ≤ x + x2 + 2 ® p x ≤ 0 ⇔ x2 + 2 ≤ −2x ⇔ x2 + 2 ≤ 4x2  x ≤ 0    2  x ≤ − 2 ⇔  3 ⇔ x ≤ − . (∗∗)   3   2  x ≥  3 h Geogebra Pro Trang 66
6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 8 8 Với điều kiện trên thì (∗) ⇔ 4 x2 + 2 > 9x2 ⇔ − 0.  > 0 2x Khi đó, ta có Å2x2 + 1ã 1 1 1 1 1 log + 2x+ 2x = 5 ⇔ log x + + 2x+ 2x = 5 ⇔ log x + = 5 − 2x+ 2x . 2 2x 2 2x 2 2x √ √ 1 1 t Đặt t = x + ≥ 2 x · = 2, phương trình trở thành: log2 t = 5 − 2 , t ≥ 2. 2x √ 2x Xét f(t) = log2 t, t ≥ 2. 1 √ √ Ta có: f(t) = > 0, ∀t ≥ 2 nên f(t) đồng biến trên 2; +∞. t · ln 2 √ Xét g(t) = 5 − 2t, t ≥ 2. √ √ Ta có: g(t) = −2t · ln 2 0, nên đều là nghiệm của phương trình đã cho. 2 + 2 2 − 2 1 Tích hai nghiệm là · = . 2 2 2 Chọn phương án C h Geogebra Pro Trang 67
6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.A 3.D 4.D 5.D 6.A 7.D 8.B 9.C 10.A 11.C 12.B 13.D 14.D 15.C 16.D 17.A 18.A 19.D 20.C 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 h Geogebra Pro Trang 68
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tính chất của tích phân xác định. b c b Z Z Z f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx với a < c < b. a a c b b Z Z k f(x) dx = kf(x) dx(k 6= 0). a a b a Z Z f(x) dx = − f(x) dx. a b b Z b f(x) dx = F (x) = F (b) − F (a). a a b b b Z Z Z (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. a a a b b b Z Z Z f(x) dx = f(t) dt = f(z)dz. a a a b Z b f(x) dx = f(x) = f(b) − f(a). a a Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 2 BÀI TẬP MẪU 2 3 3 Z Z Z Ví dụ 1. Nếu f(x) dx = −2 và f(x) dx = 1 thì f(x) dx bằng 1 2 1 A −3. B −1. C 1. D 3. Lời giải. h Geogebra Pro Trang 69
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng tính chất để tính tích phân xác định của hàm số. 2. HƯỚNG GIẢI: 2 3 3 Z Z Z 1) Dựa trên giả thiết f(x) dx = −2 và f(x) dx = 1, ta tính tích phân f(x) dx. 1 2 1 3 2 3 Z Z Z 2) Ta có: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. 1 1 2 LỜI GIẢI CHI TIẾT 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 3 2 3 Z Z Z Ta có: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx = −2 + 1 = −1. 1 1 2 Chọn phương án B 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 4 10 10 Z Z Z Câu 1. Nếu f(x) dx = 4 và f(x) dx = 5 thì f(x) dx bằng 0 4 0 A −1. B 9. C 1. D 3. Lời giải. 10 4 10 Z Z Z Ta có f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx = 4 + 5 = 9. 0 0 4 Chọn phương án B 1 5 5 Z Z Z Câu 2. Cho f(x) dx = −5 và f(x) dx = 10, khi đó f(t) dt bằng −1 −1 1 A 8. B 5. C 15. D −15. Lời giải. 5 1 5 5 5 1 Z Z Z Z Z Z Ta có f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx ⇔ f(x) dx = f(x) dx − f(x) dx = 10 − (−5) = 15. −1 −1 1 1 −1 =1 5 5 Z Z f(t) dt = f(x) dx (Tích phân không phụ thuộc biến số). 1 1 h Geogebra Pro Trang 70
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 5 Z Vậy f(t) dt = 15. 1 Chọn phương án C 6 6 2 Z Z Z Câu 3. Cho f(x) dx = 5, f(t) dt = 4. Tính I = f(y)dy. 1 2 1 A I = 5. B I = −1. C I = 9. D I = 1. Lời giải. 6 6 Z Z Do tích phân không phụ thuộc vào biến số nên f(t) dt = f(x) dx = 4. 2 2 2 2 6 6 Z Z Z Z Ta có I = f(y)dy = f(x) dx = f(x) dx − f(x) dx = 5 − 4 = 1. 1 1 1 2 Chọn phương án D 4 4 1 Z Z Z Câu 4. Cho f(x) dx = 8 và 2f(x) dx = 12 khi đó I = f(x + 1) dx bằng 0 2 −1 A 4. B 2. C 14. D −2. Lời giải. 4 4 Z Z Ta có 2f(x) dx = 12 ⇒ f(x) dx = 6; 2 2 4 2 4 2 4 4 Z Z Z Z Z Z f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx ⇒ f(x) dx = f(x) dx − f(x) dx = 8 − 6 = 2. 0 0 2 0 0 2 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINHĐặt HỌA t = x + 1 ⇒ dt = dx; khi x = −1 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 2. 1 2 2 Z Z Z Khi đó I = f(x + 1) dx = f(t) dt = f(x) dx = 2. −1 0 0 Chọn phương án B 5 5 5 Z Z Z Câu 5. Cho f(x) dx = 10 và g(x) dx = 5. Giá trị của [2f(x) − 3g(x)] dx bằng 0 0 0 A 1. B 5. C 7. D −7. Lời giải. 5 5 5 Z Z Z Áp dụng tính chất của tích phân ta có [2f(x) − 3g(x)] dx = 2 f(x) dx−3 g(x) dx = 20−15 = 5. 0 0 0 Chọn phương án B h Geogebra Pro Trang 71
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 4 ◦ 4 Z Z Z Câu 6. Cho g(x) dx = g(x) dx = 3. Khi đó (g(x) + 1) dx bằng 1 1 0 A 4. B 9. C 14. D 6. Lời giải. ◦ 1 Z Z Ta có g(x) dx = 3 ⇒ g(x) dx = −3. 1 0 4 4 4 1 4 4 Z Z Z Z Z Z 4 Suy ra (g(x) + 1) dx = g(x) dx + dx = g(x) dx + g(x) dx + dx = −3 + 3 + x = 4. 0 0 0 0 0 1 0 Chọn phương án A 3 3 3 Z Z Z 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Câu 7. Cho f(x) dx = −3 và 3g(x) dx = 9. Khi đó (f(x) − g(x)) dx bằng −1 −1 −1 A 4. B 9. C −9. D −6. Lời giải. 3 3 3 Z Z Z Ta có 3g(x) dx = 3 · g(x) dx = 9 ⇒ g(x) dx = 3. −1 −1 −1 3 3 3 Z Z Z Suy ra (f(x) − g(x)) dx = f(x) dx − g(x) dx = −3 − 3 = −6. −1 −1 −1 Chọn phương án D 3 3 3 Z Z Z Câu 8. Cho f(x) dx = 2 và [2f(x) + 3g(x)] dx = 16, khi đó g(x) dx bằng 1 1 1 A 18. B 10. C 4. D 8. Lời giải. h Geogebra Pro Trang 72
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Ta có 3 Z [2f(x) + 3g(x)] dx = 16 1 3 3 Z Z ⇔ 2 f(x) dx + 3 g(x) dx = 16 1 1 3 Z ⇔ 2 · 2 + 3 g(x) dx = 16 1 3 Z ⇔ 3 g(x) dx = 12 1 3 Z ⇔ g(x) dx = 4. 1 Chọn phương án C 1 1 1 Z Z Z Câu 9. Cho f(x) dx = 3, g(x) dx = −1 thì [2f(x) + g(x) + ex] dx bằng 0 0 0 A 6 + e. B 5 + e. C 4 − e. D 4 + e. Lời giải. 1 1 1 1 Z Z Z Z 1 x x x [2f(x) + g(x) + e ] dx = 2 f(x) dx + g(x) dx + e dx = 2 · 3 + (−1) + e = 4 + e. 0 0 0 0 0 Chọn phương án D Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 2 2 2 Z Z Z Câu 10. Cho f(x) dx = 3, 2g(x) dx = 9 thì [2f(x) + 4g(x)] dx bằng 1 1 1 A 15. B 18. C 27. D 24. Lời giải. 2 2 2 Z Z Z 9 [2f(x) + 4g(x)] dx = 2 f(x) dx + 4 g(x) dx = 2 · 3 + 4 · = 24. 2 1 1 1 Chọn phương án D 2 2 Z Z Câu 11. Cho f, g là hai hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thoả [f(x) − g(x)] dx = −1, [f(x) + 1 1 2 Z 5g(x)] dx = 17. Tính [f(x) + g(x)] dx. 1 h Geogebra Pro Trang 73
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 A 6. B 5. C 12. D 8. Lời giải. 2 2 2 Z Z Z [f(x) − g(x)] dx = −1 ⇔ f(x) dx − g(x) dx = −1. (1) 1 1 1 2 2 2 Z Z Z [f(x) + 5g(x)] dx = 17 ⇔ f(x) dx + 5 g(x) dx = 17. (2) 1 1 1 2 2 Z Z Đặt X = f(x) dx, Y = g(x) dx. 1 1 ®X − Y = −1 ®X = 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ⇔ X + 5Y = 17 Y = 3. 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 2 2 Z Z Do đó ta được: f(x) dx = 2 và g(x) dx = 3. 1 1 2 Z Vậy [f(x) + g(x)] dx = 2 + 3 = 5. 1 Chọn phương án B 2 2 Z Z Câu 12. Cho f, g là hai hàm liên tục trên đoạn [0; 2] thoả [f(x) − g(x)] dx = −4, [2f(x) + 0 0 2 Z g(x)] dx = −2. Tính [f(x) + 2g(x)] dx. 0 A 7. B 6. C 2. D 4. Lời giải. 2 2 2 Z Z Z [f(x) − g(x)] dx = −4 ⇔ f(x) dx − g(x) dx = −4. (1) 0 0 0 2 2 2 Z Z Z [2f(x) + g(x)] dx = −2 ⇔ 2 f(x) dx + g(x) dx = −2. (2) 0 0 0 2 2 Z Z Đặt X = f(x) dx, Y = g(x) dx. 0 0 ®X − Y = −4 ®X = −2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ⇔ 2X + Y = −2 Y = 2. 2 2 Z Z Do đó ta được: f(x) dx = −2 và g(x) dx = 2. 0 0 h Geogebra Pro Trang 74
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 2 Z Vậy [f(x) + 2g(x)] dx = −2 + 2 · 2 = 2. 0 Chọn phương án C 8 5 Z Z Câu 13. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 8] và f(x) dx = 16; f(x) dx = 6. Tính P = 0 2 2 8 Z Z f(x) dx + f(x) dx. 0 5 A P = 4. B P = 10. C P = 7. D P = −4. Lời giải. 8 2 5 8 Z Z Z Z Ta có: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx ⇒ 16 = P + 6 ⇒ P = 10. 0 0 2 5 Chọn phương án B 10 4 Z Z Câu 14. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 10] và f(x) dx = 10; f(2x) dx = 6. Tính 0 2 4 10 Z Z P = f(x) dx + f(x) dx. 0 8 A P = 4. B P = 10. C P = 7. D P = −2. Lời giải. Đặt t = 2x ⇒ dt = 2 dx. Khi x = 2 ⇒ t = 4; x = 4 ⇒ t = 8. 4 8 8 8 Z 1 Z Z Z Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINHSuy HỌA ra 6 = f(2x) dx = f(t) dt ⇒ f(t) dt = f(x) dx = 12. 2 2 4 4 4 10 4 8 10 Z Z Z Z Ta có: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx ⇒ 10 = P + 12 ⇒ P = −2. 0 0 4 8 Chọn phương án D 2 Z Câu 15. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R, f(2) = 4 và f(−2) = 0. Tính I = f(x) dx. −2 A I = 4. B I = 3. C I = 0. D I = −4. Lời giải. 2 Z 2 I = f(x) dx = f(x) = f(2) − f(−2) = 4. −2 −2 Chọn phương án A h Geogebra Pro Trang 75
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Câu 16. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có một nguyên hàm là F (x), biết F (3) = 12, F (0) = 0 1 Z khi đó f(3x) dx bằng 0 A −5. B 12. C 4. D −9. Lời giải. Đặt t = 3x ⇒ dt = 3 dx. Khi x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 3. 1 3 3 Z Z Z 3 1 1 1 1 Khi đó ta có f(3x) dx = f(t) dt = f(x) dx = F (x) = (F (3) − F (0)) = 4. 3 3 3 0 3 0 0 0 Chọn phương án C Câu 17. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có một nguyên hàm là F (x), biết F (4) = 12, F (2) = 1 LẦN HỌA MINH 3 ĐỀ . TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 2 Z Khi đó f(2x) dx bằng 1 9 9 A . B 9. C . D −9. 4 2 Lời giải. Đặt t = 2x ⇒ dt = 2 dx. Khi x = 1 ⇒ t = 2; x = 2 ⇒ t = 4. 2 4 4 Z Z Z 4 1 1 1 1 9 Khi đó ta có f(2x) dx = f(t) dt = f(x) dx = F (x) = (F (4) − F (2)) = . 2 2 2 2 2 2 1 2 2 Chọn phương án C 2 Z Câu 18. Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [1; 2], biết tích phân f(x) dx = 4 và 1 f(1) = 2. Tính f(2). A f(2) = 6. B f(2) = 1. C f(2) = 3. D f(2) = −16. Lời giải. 2 Z 2 Ta có f(x) dx = 4 ⇔ f(x) = 4 ⇔ f(2) − f(1) = 4 ⇔ f(2) = 4 + f(1) = 4 + 2 = 6. 1 1 Vậy f(2) = 6. Chọn phương án A 1 Z Câu 19. Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(3x) = 3f(x), ∀x ∈ R. Biết rằng f(x) dx = 1. 0 3 Z Tính tích phân I = f(x) dx. 1 h Geogebra Pro Trang 76
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 A I = 8. B I = 6. C I = 3. D I = 2. Lời giải. 1 1 1 1 Z Z Z 1 Z Ta có: 3 = 3 · 1 = 3 · f(x) dx = 3f(x) dx = f(3x) dx = f(3x)d(3x), ∀x ∈ . 3 R 0 0 0 0 1 Đặt t = 3x ⇒ d(x) = dt, với x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 3. 3 Khi đó 1 3 3 Z 1 Z 1 Z 3 = f(3x) dx = f(t) dt = f(x) dx 3 3 0 0 0 3 Z ⇒ f(x) dx = 9 0 3 Z ⇔ f(x) dx = 9, ∀x ∈ R 0 1 3 Z Z ⇔ f(x) dx + f(x) dx = 9 0 1 3 1 Z Z ⇔ f(x) dx = 9 − f(x) dx = 8. 1 0 Chọn phương án A 1 3 Z Z Câu 20. Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f(x) dx = 1 và f(x) dx = 8. Tính tích phân I = Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 0 1 3 Z f(|2x − 5|) dx. 1 A I = −8. B I = 5. C I = −4. D I = −6. Lời giải. h Geogebra Pro Trang 77
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Ta có 5 3 3 Z Z2 Z I = f(|2x − 5|) dx = f(|2x − 5|) dx + f(|2x − 5|) dx 1 1 5 2 5 3 Z2 Z = f(5 − 2x) dx + f(2x − 5) dx 1 5 2 5 2 3 1 Z 1 Z = − f(5 − 2x)d(5 − 2x) + f(2x − 5)d(2x − 5) 2 2 1 5 2 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 ◦ 1 1 Z 1 Z = − f(t) dt + f(s)ds (t = 3 − 2x, s = 2x − 3) 2 2 3 0 3 1 1 Z 1 Z ⇒ I = f(x) dx + f(x) dx 2 2 0 0 Ñ 1 3 é 1 1 Z Z 1 Z = f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx 2 2 0 1 0 1 3 Z 1 Z = f(x) dx + f(x) dx 2 0 1 8 = 1 + = 5. 2 Chọn phương án B Câu 21. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành gồm hai y 5 phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích S = và phần nằm 1 12 1 1 O 2 x 8 Z phía dưới trục hoành có diện tích S = . Tính I = f(3x − 1) dx. 2 3 0 5 3 37 1 A I = . B I = − . C I = − . D I = − . 3 4 36 4 Lời giải. 1 Z Với I = f(3x − 1) dx. 0 Đặt t = 3x − 1 ⇒ dt = 3 dx. h Geogebra Pro Trang 78
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 ®x = 0 ⇒ t = −1 Khi x = 1 ⇒ t = 2. 2 2 Ñ ◦ 2 é 1 Z 1 Z 1 Z Z Ta được I = f(t) dt = f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx . 3 3 3 −1 −1 −1 0 ◦ Z 5 Trên đoạn [−1; 0]: f(x) ≥ 0 nên f(x) dx = . 12 −1 2 Z 8 Trên đoạn [0; 2]: f(x) ≤ 0 nên f(x) dx = − . 3 0 Ñ ◦ 2 é 1 Z Z 1 5 8 3 Vậy I = f(x) dx + f(x) dx = − = − . 3 3 12 3 4 −1 0 Chọn phương án B Câu 22. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị gồm một phần đường thẳng và một y phần đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ O như hình vẽ. Giá trị của 3 Z f(x)dx bằng 1 −3 −2 26 38 4 28 A . B . C . D . −1 O x 3 3 3 3 Lời giải. Dựa và đồ thị ta thấy: Phần đường thẳng đi qua các điểm A(−1; 1) và B(−2; 0) nên nó là một phần của đồ thị của hàm số y = x + 2. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Phần đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ O(0; 0) và đi qua điểm A(−1; 1) nên nó là một phần của đồ thị của hàm số y = x2. ®x + 2khix < −1 Do đó f(x) = x2khix ≥ −1. 3 −1 3 −1 3 Z Z Z Z Z 28 Nên f(x)dx = f(x) dx + f(x) dx = (x + 2) dx + x2 dx = . 3 −3 −3 −1 −3 −1 Chọn phương án D Câu 23. h Geogebra Pro Trang 79
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [−1; 4] như hình vẽ y 4 Z 2 dưới đây. Tính tích phân I = f(x) dx. −1 11 5 A I = 3. B I = . C I = 5. D I = . 2 2 −1 O 1 2 3 4 x −1 Lời giải. 4 2 4 Z Z Z 1 1 5 I = f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx = (3 + 1)2 − (1 + 2)1 = . 2 2 2 −1 −1 2 Chọn phương án D 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Câu 24. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [−1; 2]. Đồ thị của hàm số y y = f(x) được cho như hình vẽ. Diện tích hình phẳng (K), (H) lần lượt (K) 5 8 19 là và . Biết f(−1) = . Tính f(2). 1 O 2 x 12 3 12 23 2 2 11 A f(2) = . B f(2) = − . C f(2) = . D f(2) = . (H) 6 3 3 6 Lời giải. ◦ Z ◦ 5 5 Từ hình vẽ ta có: = f(x) dx = f(x) = f(0) − f(−1), suy ra f(0) = f(−1) + = 2. 12 −1 12 −1 2 Z 2 8 8 −2 Ta cũng có: = − f(x) dx = −f(x) = −f(2) + f(0), suy ra f(2) = f(0) − = . 3 0 3 3 0 Chọn phương án B Câu 25. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. y 4 2 Z Z Giá trị của biểu thức I = f(x − 2) dx + f(x + 2) dx bằng 4 0 0 2 A −2. B 2. C 6. D 10. O x −2 2 4 −2 Lời giải. 4 2 4 2 Z Z Z Z Xét I = f(x − 2) dx + f(x + 2) dx = f(x − 2)d(x − 2) + f(x + 2)d(x + 2). 0 0 0 0 h Geogebra Pro Trang 80
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 4 2 = f(x − 2) + f(x + 2) = [f(2) − f(−2)] + [f(4) − f(2)] = f(4) − f(−2) = 4 − (−2) = 6. 0 0 Chọn phương án C Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA h Geogebra Pro Trang 81
7. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.D 10.D 11.B 12.C 13.B 14.D 15.A 16.C 17.C 18.A 19.A 20.B 21.B 22.D 23.D 24.B 25.C 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 h Geogebra Pro Trang 82
8. CỰC TRỊ HÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 8. CỰC TRỊ HÀM SỐ 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y = f(x) có đạo hàm đổi dấu từ − sang + tại x = x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x0, giá trị cực tiểu y = y(x0). Hàm số y = f(x) có đạo hàm đổi dấu từ + sang − tại x = x0 thì hàm số đạt cực đại tại x = x0, giá trị cực đại y = y(x0). Cực đại và cực tiểu của hàm số gọi chung là điểm cực trị hàm số. 2 BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ 0 3 +∞ y0 + 0 − 0 + 2 +∞ y −∞ −4 Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A 2. B 3. C 0. D −4. Lời giải. Phân tích hướng dẫn giải Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA a) DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán dựa trên bảng biến thiên của hàm số, tìm điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số. b) HƯỚNG GIẢI: Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận giá trị cực tiểu của hàm số. LỜI GIẢI CHI TIẾT Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận giá trị cực tiểu của hàm số bằng −4. Chọn phương án D 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: h Geogebra Pro Trang 83
8. CỰC TRỊ HÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 x −∞ 0 2 +∞ y0 − 0 + 0 − +∞ 3 y −1 −∞ Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A 0. B −1. C 2. D 3. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có yCT = −1. Chọn phương án B Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 x −∞ −1 0 1 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + +∞ −3 +∞ y −4 −4 Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A −4. B 0. C 1. D −3. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có yCĐ = −3. Chọn phương án D Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ −1 0 1 +∞ y0 + 0 − 0 + 0 − 2 2 y −∞ 1 −∞ Số điểm cực trị của hàm số đã cho A 3. B 2. C 1. D 4. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên thì số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3. Chọn phương án A Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: h Geogebra Pro Trang 84
8. CỰC TRỊ HÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 x −∞ −3 −2 −1 +∞ y0 + 0 − − 0 + −2 +∞ +∞ y −∞ −∞ 2 Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A 2. B −3. C −1. D −2. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên thì giá trị cực đại của hàm số là −2. Chọn phương án D Câu 5. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: 4 x 1 2 +∞ 3 y0 + 0 − 0 + 4 +∞ 27 y 0 0 Điểm cực đại của hàm số đã cho bằng 4 4 A . B . C 2. D 0. 27 3 Lời giải. 4 Dựa vào bảng biến thiên thì điểm cực đại của hàm số đã cho là x = . 3 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINHChọn HỌA phương án B Câu 6. Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu x −∞ −1 0 1 +∞ y0 + 0 − 0 + 0 − Hàm số đạt cực tiểu tại A x = −1. B x = 0. C x = 1. D x = 2. Lời giải. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm y0 đổi dấu từ âm sang dương. Chọn phương án B Câu 7. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau h Geogebra Pro Trang 85
8. CỰC TRỊ HÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 x −∞ 0 1 +∞ y0 + − 0 + 0 +∞ y −∞ −1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A Hàm số có đúng một cực trị. B Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1. C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng −1. D Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. Lời giải. 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1. Chọn phương án B Câu 8. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên đoạn [−2; 2] và có đồ thị y là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm 4 nào dưới đây? A x = −2. B x = −1. C x = 1. D x = 2. 2 −2 −1 O 1 2 x −2 −4 Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta có xCĐ = −1. Chọn phương án B Câu 9. Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực y trị? A 0. B 1. C 2. D 3. O x Lời giải. Đồ thị hàm số đổi chiều 2 lần ta được 2 điểm cực trị. h Geogebra Pro Trang 86
8. CỰC TRỊ HÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Chọn phương án C Câu 10. Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho có bao y nhiêu điểm cực tiểu? A 3. B 2. C 1. D 0. O x Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy có 2 điểm cực tiểu. Chọn phương án B Câu 11. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm y số có bao nhiêu điểm cực tiểu? A 2. B 3. C 4. D 5. 2 −1 O 1 x Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy có 3 điểm cực tiểu. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINHChọn HỌA phương án B Câu 12. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Hỏi y hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A 2. B 3. C 4. D 5. −1 O 1 x −1 −2 Lời giải. Đồ thị hàm số y = f(x) đổi chiều 5 lần nên hàm số có 5 cực trị. Chọn phương án D h Geogebra Pro Trang 87
8. CỰC TRỊ HÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Câu 13. Hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số f 0(x) trên khoảng K như hình bên. Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị? y A 0. B 1. C 2. D 4. −1 O 2 x Lời giải. Đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất (không tính tiếp xúc) có nghĩa là đạo hàm chỉ đổi dấu một lần nên hàm số có 1 điểm cực trị. 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Chọn phương án B Câu 14. Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm f 0(x). Biết rằng hình vẽ bên y là đồ thị của hàm số y = f 0(x). Mệnh đề nào sau đây đúng? 4 A Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = −1. B Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = −2. 2 C Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = −1. D Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = −2. −2 −1O 1 x Lời giải. Từ đồ thị của hàm số y = f(x), ta suy ra BBT x −∞ −2 −1 +∞ y0 − 0 + 0 + y yCT Vậy hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = −2. Chọn phương án D Câu 15. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x −∞ −1 1 3 +∞ f 0(x) − 0 + + 0 − h Geogebra Pro Trang 88
8. CỰC TRỊ HÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị? A 2. B 1. C 3. D 3. Lời giải. Vì hàm số y = f(x) liên tục trên R và f 0(x) đổi dấu 2 lần nên hàm số đó có 2 điểm cực trị. Chọn phương án A Câu 16. Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm f 0(x). Đồ thị của y hàm số g = f 0(x) có đồ thị như hình bên. Điểm cực đại của hàm số là O 1 2 4 x A x = 4. B x = 3. C x = 1. D x = 2. Lời giải. Từ đồ thị của hàm số g = f(x), ta suy ra BBT x −∞ 1 2 4 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + +∞ yCĐ +∞ y yCT yCT Dựa vào BBT ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2. Chọn phương án D Câu 17. Cho hàm số y = f(x) đồ thị của hàm số y = f 0(x) như hình vẽ bên. Giá y trị cực đại của hàm số đã cho bằng Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA A f(0). B f(1). C f(2). D f(−1). 2 −1 O 1 x −2 Lời giải. Từ đồ thị của hàm số y = f(x), ta suy ra BBT h Geogebra Pro Trang 89
8. CỰC TRỊ HÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 x −∞ x1 0 x2 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + f(0) y f(x1) f(x2) Từ BBT ta được giá trị cực đại của hàm số bằng f(0). Chọn phương án A Câu 18. Cho hàm số y = f(x) có có đồ thị của hàm số y = f 0(x) như hình y vẽ bên. Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị? A 3. B 2. C 1. D 4. 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 −4 O 1 2 x Lời giải. Ta có bảng biến thiên x −∞ −4 0 1 2 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + 0 − f(0) f(2) y f(−4) f(1) Suy ra hàm số có 4 điểm cực trị. Chọn phương án D Câu 19. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị đạo hàm y = f 0(x) như hình bên. Khẳng y định nào sau đây là đúng? 5 A Hàm số y = f(x) − x2 − x đạt cực đại tại x = 0. B Hàm số y = f(x) − x2 − x đạt cực tiểu tại x = 0. C Hàm số y = f(x) − x2 − x không đạt cực trị tại x = 0. D Hàm số y = f(x) − x2 − x không có cực trị. 1 O 2 x Lời giải. h Geogebra Pro Trang 90
8. CỰC TRỊ HÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Ta có: y0 = f 0(x) − (2x + 1). Suy ra y0 = 0 ⇔ f 0(x) = 2x + 1. y 5 1 O 2 x Từ đồ thị ta thấy x = 0 là nghiệm đơn của phương trình y = 0. Ta có bảng biến thiên trên (−∞; 2) là x −∞ 0 2 y0 + 0 − f(0) y f(2) Từ bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Chọn phương án A Câu 20. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f 0(x) như y hình vẽ bên. Hỏi hàm số y = f(x2) có bao nhiêu điểm cực tiểu? Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA A 3. B 2. C 1. D 4. −1 O 1 4 x Lời giải. x = 0 x = 0 x2 = 4 0 2 0 0 2  y = f(x ) = 2xf (x ) = 0 ⇔  ⇔ x = ±1 x2 = 1   x = ±2. x2 = −1(L) Ta có bảng biến thiên là h Geogebra Pro Trang 91
8. CỰC TRỊ HÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 x −∞ −2 −1 0 1 2 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + 0 − 0 + f(−1) f(1) y f(−2) f(0) f(2) Hàm số có ba điểm cực tiểu. Chọn phương án A 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 h Geogebra Pro Trang 92
8. CỰC TRỊ HÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.D 3.A 4.D 5.B 6.B 7.B 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D 13.B 14.D 15.A 16.D 17.A 18.D 19.A 20.A Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA h Geogebra Pro Trang 93
9. KHẢO SÁT HÀM SỐ - NHẬN DẠNG HÀM SỐ, ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 9. KHẢO SÁT HÀM SỐ - NHẬN DẠNG HÀM SỐ, ĐỒ THỊ 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0). a > 0 a 0 a < 0 h Geogebra Pro Trang 94
9. KHẢO SÁT HÀM SỐ - NHẬN DẠNG HÀM SỐ, ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 y y Phương trình y0 = 0 có 2 nghiệm phân biệt. O x O x y y Phương trình y0 = 0 có nghiệm kép. O x O x y y Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Phương trình y0 = 0 vô nghiệm. O x O x ax + b HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ y = (c 6= 0; ad − bc 6= 0). cx + d D = ad − bc > 0 D = ad − bc < 0 h Geogebra Pro Trang 95
9. KHẢO SÁT HÀM SỐ - NHẬN DẠNG HÀM SỐ, ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 y y O x O x 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 2 BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1. (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Đồ thị của hàm số nào dưới đây y có dạng như đường cong hình bên? A y = −x4 + 2x2. B y = x4 − 2x2. C y = x3 − 3x2. D y = −x3 + 3x2. O x Lời giải. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán nhận dạng đồ thị hàm số cơ bản. 2. HƯỚNG GIẢI: Dựa vào những kiến thức đã học về đồ thị hàm số, đặc biệt là đồ thị hàm số hàm trùng phương ta thấy được đáp án. LỜI GIẢI CHI TIẾT Dễ thấy đồ thị hàm số trên là đồ thị hàm số trùng phương với hệ số a < 0. y Suy ra hàm số cần tìm là y = −x4 + 2x2. O x Chọn phương án A h Geogebra Pro Trang 96
9. KHẢO SÁT HÀM SỐ - NHẬN DẠNG HÀM SỐ, ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình bên? y A y = x4 − x2 + 2. B y = −x4 − x2 + 2. C y = −x2 + 2. D y = x2 + 2. O x Lời giải. Dễ thấy đồ thị hàm số trên là đồ thị của hàm số trùng phương có hệ số a 0 nên hàm số cần tìm là y = x4 − 2x2 + 2. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án C Câu 3. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình bên? y A y = −x3 + 3x − 1. B y = x4 − 2x2 − 2. C y = x3 − x + 2. D y = x3 − x − 2. O x Lời giải. Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a > 0. Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d < 0. h Geogebra Pro Trang 97
9. KHẢO SÁT HÀM SỐ - NHẬN DẠNG HÀM SỐ, ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Suy ra hàm số cần tìm là y = x3 − x − 2. Chọn phương án D Câu 4. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình bên? y A y = −x3 − 2x + 1. B y = −x3 − 2x − 1. C y = −x3 + 1. D y = x3 + 1. O x 0DN ONPÁ RỂ ỀMN Ọ Ầ 1 LẦN HỌA MINH ĐỀ TRIỂN PHÁT TOÁN DẠNG 50 Lời giải. Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a 0 (loại B). Mặt khác đồ thị hàm số không có điểm cực trị nên hàm số y = −x3 + 1 không thể thỏa mãn. Suy ra hàm số cần tìm là y = −x3 − 2x + 1. Chọn phương án A Câu 5. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình bên? y 1 1 A y = − x3 + x2 − x + 1. B y = − x3 + x2 − 2x + 1. 3 3 C y = −x2 − x + 1. D y = −x4 + x2 + 1. O x Lời giải. Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a < 0 (loại C, D). Đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm uốn cùng phương với trục hoành nên phương trình y = 0 có nghiệm kép. Xét đáp án B có y = −x2 + 2x − 2 = 0 vô nghiệm (loại B). 1 Suy ra hàm số cần tìm là y = − x3 + x2 − x + 1. 3 Chọn phương án A Câu 6. h Geogebra Pro Trang 98