74 Bài tập hình học nâng cao Lớp 8 – Chương III – Phần 2

Nội dung text: 74 Bài tập hình học nâng cao Lớp 8 – Chương III – Phần 2

1. Bài tập hình học nâng cao lớp 8 – chương III – phần 2 &&& +++++ &&& Bồi dưỡng HSG Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có góc B là góc tù. Kẻ AH vuông góc với BD tại H, HK vuông góc với CD tại K. Gọi M là trung điểm của DK và N là trung điểm của BH. (cho biết S là diện tích) 1/ Chứng minh: ∆ 푵 ~ ∆푯푫푴 2/ Kẻ NO vuông góc với AB tại O. Chứng minh: 3 điểm O, H, M thẳng hàng 푺∆ 푯푫 푺∆ 푯푭 3/ AN cắt BC tại E và cắt CD tại F. Trong trường hợp = . Tính tỷ số 푺∆푪푬푭 푺∆ 푵푬 푯푴 푪 4/ Kẻ NS vuông góc với AD tại S. Chứng minh: = 푯푺 Bài 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, EF cắt AH tại O. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của C và B trên đường thẳng EF 푶 푶푭 1/ Chứng minh: = 푫 푫푭 푴푪 푯푪 푪 2/ Chứng minh: = . 푵 푯 푬푭 푯 3/ Chứng minh: = 푴푵 푫+푯푫 푴 푶푭 4/ Chứng minh: = 푵 푶푬
2. Bài 3. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, EF cắt AH tại O 1/ Chứng minh: HC.OF = OH.AC 2/ Gọi M là trung điểm của OB và N là trung 푯 푪. 푫 điểm của OC. Chứng minh: = 푴푵 .푭푪 3/ Chứng minh: − 푪 = ퟒ. ( 푴 − 푵 ) 4/ MF cắt EN tại S. Chứng minh: Đường thẳng AS đi qua trung điểm đoạn thẳng BC Bài 4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H 1/Chứng minh: 푫 = 푭. + 푬. 푪 + 푫. 푪푫 2/ Gọi I là trung điểm của BC và K là điểm đối xứng H qua I. Chứng minh : ∆ 푲푪 ~ ∆ 푯푭 3/ AK cắt HC tại O. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AC sao cho EF // OM. Chứng minh: HM // BC 4/ KC cắt AD tại L và cắt HM tại J. Gọi T là điểm đối xứng O qua C. Chứng minh: Tam giác LTJ là tam giác vuông
3. Bài 5. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của F và E trên đường thẳng AH 푵 1/ Chứng minh: = 푴 푪 2/ Chứng minh: Với mọi trường hợp tam giác ABC nhọn, không thể xảy ra trường hợp M là trực tâm của tam giác BNC 푴 푵 푫 푴 3/ Chứng minh: . = ( + ) 푴푯 푵푯 푵푫 푴푫 4/ Chứng minh: + − = (S là diện tích) 푺∆ 푭푪 푺∆ 푬푪 푺∆ 푯푪 푺∆ 푪 Bài 6. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC). Vẽ đường phân giác trong AD ( D thuộc BC). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD 푬 푫푬 1/ Chứng minh: = 푭 푫푭 2/ EC cắt AB tại K và cắt BF tại O. Chứng minh: 3 đường thẳng KF, BE, OD đồng quy 3/ OA cắt BC tại M. Chứng minh: 푴 = 푴 . 푴푪 − . 푪 푫 푫 푫푬 푶 푫 4/ Chứng minh: . + = 1 và = ( − ) 푪푫 푬 푬 푶푴 푫푪
4. Bài 7. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Điểm E di động trên đoạn thẳng AB, điểm F di động trên đoạn thẳng AC sao cho EF // BC và BE > AE. Gọi M là N lần lượt là trung điểm của AF và AC. 1/ Chứng minh: Tứ giác EMNB là hình thang 2/ Chứng minh: Khi E và F di động thì giá trị 푺 푬푴푵 푺∆푬푭푵 của biểu thức A = + có giá trị 푺 푬푭푪 푺∆ 푴푭 Không đổi (S là diện tích) 푺∆ 푶푰 3/ NE cắt BM tại O và EC cắt BF tại I. Chứng minh: OI // BC và > 푺 푶푰푪 4/ Trong trường hợp 푪 = . Chứng minh: góc 푴 푭̂ = góc 푵푬푪̂ Bài 8/ Cho tam giác ABC có N là trung điểm của AC. Điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho BM = 2AM. Cho MN cắt BC tại E. Cho biết S là diện tích 1/ Trong trường hợp BC = 12cm. Tính độ dài EC 2/ Biết diện tích tam giác AMN = 10 cm2. Tính diện tích tam giác NCE 푰푯 3/ MC cắt BN tại I, EI cắt AC tại H và cắt AB tại K. Tính tỉ số 푰푲 4/ Tính tỉ số diện tích tứ giác HMKC với diện tích tứ giác AICE
5. Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kẻ D và E lần lượt là hình chiếu của M và N trên đường thẳng BC 1/ Chứng minh: NE2 = EC.BD 푬푪 푪 2/ Chứng minh: = 푫 푫 푫.(ퟒ푬푪+ 푫) 3/ Chứng minh: = 푬 푬푪.(ퟒ 푫+푬푪) 4/ BN cắt MD tại P và MC cắt NE tại Q. . Đặt a = AB2 , b = AC2. Tính PQ2 theo a và b 푸 푸푬.( 푫+푬푪) 5/ Chứng minh: = 푷 푷푫.( 푬푪+ 푫) Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D bất kì. Kẻ DE vuông góc với BC tại E, BD cắt AE tại O 1/ Chứng minh: ∆ 푶푫 ~ ∆ 푶푬 2/ Dựng hình bình hành DOEM và AOBN. 푺∆푫푶푬 푺∆푪푫푴 Chứng minh: = 푺∆ 푶 푺∆푪푶 3/ Chứng minh: 3 điểm C, M, N thẳng hàng 4/ Chứng minh: AD.BE + DE.AB = AE.BD 5/ MN cắt AB tại P. Trên đoạn thẵng AB lấy Q sao cho góc 푪푶푫̂ = góc 푶푸̂ . Chứng minh: BP = AQ
6. Bài 11. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E bất kì, DE cắt AB tại M và AE cắt CD tại N 1/ Xác định vị trí điểm E trên đoạn thẳng BC để BM + NC đạt giá trị nhỏ nhất. 2/ MC cắt BN tại O. Chứng minh: BO.BN = CO.CM 3/ MC cắt AD tại I. Chứng minh: BI _|_ AN 4/ BI cắt ND và NA lần lượt tại H và T, AH cắt IN tại G. Chứng minh: + − = 푫푮 푬 푰푯 푻. 푰 Bài 12. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của F và E trên đường thẳng BC. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: ∆푴푫푭 ~ ∆푬푯푪 푴푫 푴 푪푫 2/ Chứng minh: = . 푵푫 푫 푵푪 3/ Chứng minh: 3 đường thẳng ME, NF, AD đồng quy 4/ Chứng minh: 푺푴푭푬푵 푬푭 푴푭.푺∆ 푭푫+푵푬.푺∆푫푬푪 = − 푺∆ 푪 푯 푫.푺∆ 푪
7. Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E bất kì. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B và D trên đường thẳng AE. Cho biết S là diện tích 푬 푪+ 푬 1/ Chứng minh: = 푬 푯+ 푲 2/ Trong trường hợp 푺∆ 푬 = 푯 , 푺 = . Tính tỷ số 푫푪푬 푫푲 3/ Trong trường hợp ABCD là hình vuông. Xác định vị trí điểm E trên đoạn thẳng BC 푺∆ 푬 푺∆ 푯푫 để: a/ = b/ = 푺∆ 푫푲 ퟒ 푺∆ 푲푪 Bài 14. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, EF cắt AH và BC lần lượt tại O và I. Cho biết S là diện tích 푺∆푶푯푬 푺∆푪푯푬 1/ Chứng minh: IB.IC = IF.IE và = 푺∆푶 푭 푺∆푪 푭 푰푭 푫 푪 2/ Chứng minh: = . 푰푬 푪푫 3/ Chứng minh: + = và + = 푰 푰푪 푰푫 푰푭 푰푬 푰푶 4/ Chứng minh: ( + ) = ( + ) + ( + ) 푬푶 푬푰 푶 푫 푪푫 푪푰
8. Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ( H thuộc BC). Vẽ HK vuông góc với AB tại K 푲 푯 1/ Chứng minh: = 푲 푯푪 2/ Chứng minh: HK.AC + BK.AB = BH.BC 3/ Gọi E là điểm đối A qua B, F là điểm đối xứng F qua H. Chứng minh: EC _|_ KF 4/ EF cắt HK tại M. Trên đoạn thẳng AH lấy điểm S sao cho AK2 = HS.AF. Chứng minh: KH.KM = AS.AF Bài 16. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD 1/ Chứng minh: 3 đường thẳng AC, BD, MN đồng quy 2/ Trên tia đối tia BD lấy điểm E bất kì, EM cắt AD tại H và EN cắt BC tại K. Chứng minh: HK // CD 3/ Đặt AB = a; CD = b ; BD = c. Xác định vị trí điểm E trên tia đối tia BD sao cho: a/ HK đi qua điểm đồng quy của 3 đường thẳng AC, BD, MN b/ HK chia hình thang ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau
9. 17. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M là trung điểm của AB, AC cắt MD tại O và BD cắt MC tại I. Cho biết S là diện tích, AB = a, CD = b 1/ Chứng minh: OI // CD. Tính độ dài OI theo a và b 2/ AI và BO cắt đường thẳng CD lần lượt tại E và F. Chứng minh: EF = 3CD 푺푭푶푰푬 푺∆ 푰푭 3/ Tính tỉ số và theo a và b 푺 푶푰 푺∆ 푶푬 Bài 18. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Trên cạnh CD lấy điểm E bất kì. Lấy điểm M thuộc cạnh AD, điểm N thuộc cạnh BC sao cho ME // AC và BD // NE. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: 푺∆ 푴푬 = 푺∆ 푵푬 푺∆푫푴푬 푬푫 và = . Từ đó xác 푺∆푪푵푬 푬푪 định vị trí điểm E thuộc cạnh CD để (푺∆푫푴푬) + (푺∆푪푵푬) đạt giá trị nhỏ nhất 2/ MN cắt BD và AC lần lượt tại H và K, AC cắt BD tại O. Chứng minh: MH = KN Và OE đi qua trung điểm của cạnh MN 푫푯 푶 3/ Chứng minh: = 푲 푶 4/ AH cắt BK tại S, OS cắt CD tại L. Đặt ED = a ; EC = b ; AB = c. 푳푫 Tính tỷ số theo a, b, c 푳푪
10. Bài 19. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Vẽ HK vuông góc với AC tại K, BK cắt AH tại O. Gọi Q là trung điểm của cạnh AB. 1/ Chứng minh: 3 điểm C, O, Q thẳng 푶푯 푲푪 hàng và = 푶 푲푯 2/ Gọi D là điểm đối xứng A qua H. Chứng minh: OC _|_ DK 3/ DK cắt OC và BC lần lượt tại M và N, kẻ DE vuông góc với BK tại E. 푯푴 푶 푪 Chứng minh: = . 푯푬 푶푪 4/ Gọi P là trung điểm của AK, AN cắt HP tại I. Trên đoạn thẳng HD lấy điểm L sao cho LD = 2LH. Chứng minh: góc 푰푸̂ = góc 푪푳푯̂ Bài 20. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Trên đoạn thẳng AH lấy điểm D bất kỳ, BD cắt AC tại M. Kẻ CK vuông góc với BM tại K. 1/ Chứng minh: AB2 = BD.BK 2/ Gọi E là điểm đối xứng A qua H. Chứng minh: góc 푲푯̂ = góc 푫푪푬̂ 3/ Chứng minh: AK.EK =KM.KB 4/ EK cắt AC và BC lần lượt tại N và O. Chứng minh: AC là tia phân giác của góc 푲 푶̂ 5/ Chứng minh: + = 푴 푪 푵
11. Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và AHB. Cho AM và AN cắt đoạn thẳng BC lần lượt tại E và F. Cho biết S là diện tích và P là chu vi 1/ Chứng minh: MN // BC và HC = 3MN 2/ Cho biết 푷∆ 푪 = ; 푷∆푯푴푵 = , 2 , 푺∆ 푯 = , ퟒퟒ cm . Tính 푺푪푴푵 3/ Tính BN2 + MC2 theo HB và HC 4/ Trong trường hợp NE, MF, AH đồng quy. 푵푪 + 푴 Tính giá trị biểu thức A = 푪 Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác AHC và AHB. Cho AM và AN cắt đoạn thẳng BC lần lượt tại E và F. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: ∆푯푴푵 ~ ∆ 푪 . Tìm tỷ số đồng dạng 2/ MN cắt AH tại O. Chứng minh: 푶푵 푯 = 푶푴 푯푪 3/ Tính AM2 + AN2 theo OA và MN 푺∆푪푴푭 4/ Trong trường hợp 3 đường thẳng MF, EN, AH đồng quy. Tính tỷ số 푺∆ 푵푬 5/ Trên AC lấy điểm P, trên AB lấy điểm Q sao cho MP // AH // NQ. Chứng minh: Tứ giác MPQN là hình chữ nhật 6/ PE cắt QF tại S. Chứng minh: 2 tam giác AEB và SBC có chung trực tâm và tính giá 푯푷 +푯푸 trị biểu thức A = theo AB và AC 푵푪 + 푴
12. Bài 23. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi E là điểm đối xứng H qua A, D là điểm đối xứng H qua B 1/ Chứng minh: ∆ 푫 ~ ∆푪 푬 2/ AD cắt EF tại F. Chứng minh: DF2 = FC.FE + 2HB2 + 2AC2 3/ Trên đoạn thẳng CD lấy điểm K sao cho DF2 = 2DK.DC. Chứng minh: 푫푭 KC.BC = 푫푪 + ퟒ 4/ Đường trung trực của DE cắt DF tại S. Trên tia đối tia HE lấy điểm M, trên tia đối tia FD lấy điểm N sao cho DF // MC và HE // NC. Chứng minh: MN // BS Bài 24. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Đường thẳng qua C song song với AB cắt AH tại G 1/ Chứng minh: AC2 = HB.HC + HA.HG 2/ Gọi D là trung điểm của AB và vẽ AK vuông góc với CD tại K. Chứng minh: góc 푪푲푯̂ = góc 푲푫̂ 3/ AK cắt BC tại M. Gọi I là trung điểm của HB. Chứng minh: AH.AG = CM.CI và MH.MB = MI.MC 4/ Chứng minh: 3 điểm D, M, G thẳng hàng 푳 푯 5/ Trên tia đối tia BA lấy điểm L sao cho = . Lấy điểm S thuộc IL sao 푳 푯푪−푯 cho BS // AC. Chứng minh: HK _|_ HS
13. Bài 25. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Trên tia đối tia CB lấy điểm D bất kì. Vẽ 3 đường cao AE, BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ 3 đường cao AE, CI, DJ của tam giác ACD cắt nhau tại K. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: ∆푬푴푱 ~ ∆ 푫 푬푴 푯푪 2/ Chứng minh: = ; 푬푱 푲푪 푬 푫푪 푯 푬푵 푯푬 푫 . = và = . 푫푬 푪 푴 푬푰 푬푲 3/ Chứng minh: EC.BD = AC.MJ và góc 푴푵푬̂ = góc 푬푰푱̂ 푴푬푵̂ −푰푬푱̂ 4/ Chứng minh: Khi D di động trên tia đối tia CB thì A = 푫̂ + không dổi 푺 푴푬 ퟒ 5/ Cho BE = 4cm ; EC = 6cm ; HE = 3cm ; = . Tìm 푺 푲푫 푺 푬푱푫 푺∆푯푴푬.푺∆ 푬푱 푺∆푲푪푱 6/ Cho = . Tìm tỉ số 푺∆푯 .푺∆푲 푪 푺∆ 푱푫 Bài 26. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi E là điểm đối xứng H qua A, D là điểm đối xứng A qua B. Biết S là diện tích 1/ Chứng minh: ∆ 푯푫 ~ ∆ 푬푪 và HD vuông góc với EC 2/ AD cắt EC tại I. Chứng minh: ∆푪푰푵 ~ ∆푪푫푬 푺∆ 푰푯 푺∆푫푯푪 3/ Chứng minh: = 푺∆ 푯 푺∆푫 푪 4/ HD cắt IC tại M. Gọi P là Q lần lượt là trung điểm của HD và AM. Chứng minh: Tam giác PQC là tam giác vuông 5/ Vẽ HK _|_ AC tại K. Vẽ điểm L sao cho BL // AC, L và H nằm ở 2 mặt phẳng bờ AB khác nhau và BL.AC = BH.(BC +BH). Chứng minh: 3 điểm M, K, L thẳng hàng
14. Bài 27. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc AMH là góc tù và HM _|_ HN. Đường thẳng qua B song song với AC cắt AH tại K. Cho biết S là diện tích 푴 푵푪 1/ Chứng minh: = 푴 푵 푺∆ 푯 푺∆ 푪 2/ Cho biết = . Tính tỉ số 푺 푲푪 푺∆ 푲 3/ HN cắt BK tại D. Chứng minh: HM2 = HN.DN 4/ MK cắt BN tại O, HO cắt AB tại Q. 푸 푵 Chứng minh: BN _|_ MK và = 푸 푪 Bài 28. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Đường thẳng qua B song song với AC cắt AH tại K. Cho biết S là diện tích 푺∆ 푯푫 푺∆ 푫 1/ Chứng minh: = 푺∆푪푯푫 푺∆ 푪 2/ Chứng minh: BN _|_ MD 푯푴 푰푵 3/ AH cắt BN tại I. Chứng minh: = 푯푵 푰 4/ Đường thẳng qua A song song với BC cắt MD tại K. Chứng minh: IC _|_ BK
15. Bài 29. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi D là trung điểm của AC. Vẽ DE _|_ BC tại E. Đường thẳng qua B song song với AC cắt DE tại M, AM cắt BD tại O. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: BC2 = AC.(CD + MB) 2/ Chứng minh: = + 푶푬 푫 푴 푺∆푪푫푬 푺 푫푬 3/ Tính tỉ số . Nếu = 푺∆ 푪 푺∆푴푬 4/ Gọi P là trung điểm của BC. Đường thẳng qua B song song với DE cắt PD tại S. Đường thẳng qua P song song với AC cắt OC tại Q. 푺∆푴푪푺 Tính tỉ số nếu góc 푷푸푺̂ = góc 푪 ̂ 푺∆푴푬푸 Bài 30. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Trên cạnh AC lấy điểm D bất kỳ. Vẽ DH _|_ BC tại H. Cho BD cắt AH tại O. 푯푪 푶푫 1/ Chứng minh: = 푪 푶 2/ Vẽ các đường phân giác trong OM, ON, OP, OQ lần lượt của các tam giác DOH, BOH, AOB, DOA. (M, N, P, Q lần lượt thuộc HD, HB, AB, AD). 푯 푶푷.푴푵 Chứng minh: = 푶푵.푷푸 3/ Chứng minh: 3 đường thẳng MN, PQ, BD đồng quy tại điểm I 4/ Chứng minh: BI là tia phân giác của góc 푰푯̂
16. Bài 31. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H 1/ Chứng minh: BD2 = BH.BE – HD.AD 2/ Chứng minh: DE.DF.EF = AF.BD.EC 3/ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của 푴푵 푴푫 HE và AF. Chứng minh: = 푬푭 푬푪 Bài 32. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DE và HE, MN cắt AB tại O. 1/ Chứng minh: ∆푯푬푫 ~ ∆푯 2/ Chứng minh: góc 푬푶푴̂ = góc 푬푭푵̂ 푫 푭 푯 3/ Chứng minh: + = 푫푪 푭 푴푶− 푯 4/ NF cắt BM tại S. Chứng minh: Tam giác BSC vuông 5/ Chứng minh rằng: nếu tam giác ABC cân tại C thì 3 điểm O, S, C thẳng hàng
17. Bài 33. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là hình chiếu của B trên đường thẳng EF, N là hình chiếu của C trên đường thẳng DF 1/ Chứng minh: ∆푵푫푪 ~ ∆푬푯푪 2/ Chứng minh: ME = NF 푴 푫 3/ Chứng minh: = 푵푪 푪푫 4/ DF cắt BH tại O. 푴 푶푫 Chứng minh: = 푵 푶푭 Bài 34. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của EF và BC, I là điểm đối xứng H qua N. Kí hiệu S là diện tích 1/ Chứng minh: ∆ 푴푭 ~ ∆ 푵푪 2/ Chứng minh: ∆ 푴푯 ~ ∆ 푵푰 푬푭 푺∆ 푴푯 3/ Tính tỷ số nếu = 푯 푺∆ 푯푰 4/ IF cắt BE tại P, IE cắt CF tại Q, PQ cắt BC tại O. Chứng minh: IA _|_ IO
18. Bài 35. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC) . Gọi D là E lần lượt là hình chiếu của H trên các đoạn thẳng AB và AC. 1/ Tính giá trị của biểu thức + 푪 − 푪 A = ( + 푪 )( ퟒ+ 푪ퟒ− 푪ퟒ) 2/ Chứng minh: EC.BD.BC = EH.BH.AC 3/ Tính B = BC2 – BD2 – EC2 theo HB và HC 4/ Chứng minh: AH5 = BD.BH.HC.BC.EC 5/ Chứng minh: (HC + HE).(BC + AB) = (AH + AC)2 6/ Chứng minh: + = 푯+ 푯 푯+푯푪 푯 푺∆ 푫푬 푫. 푬+ 푯. 푬+ 푯. 푫 7/ Chứng minh: = (S là diện tích ) 푺∆ 푪 . 푪+ . 푪+ 푪. 푪 ퟒ ퟒ (푺∆푯푬푪) +(푺∆푯 푫) 푯 +푯푪 8/ Chứng minh: = ퟒ ퟒ (푺∆ 푬) +(푺∆ 푪푫) + 푪 9/ Chứng minh: BE.CD = BD.HD + EH.EC + 3BD.EC 10/ Chứng minh: (AB + AC – BC)2 = (AH + BH – AB)2 + (AH + HC – AC)2 푺∆ 푫푬 푫 11/ Tính tỷ số trong trường hợp = 푺 푫푬푪 푬푪 푫+푬푪 ( 푫+ 푬) 12/ Tính giá trị của biểu thức C = + + 푪 푯.푪푯 13/ Chứng minh: AB.AC.BC – BD.HB.HB – EC.EC.HC = 3BD.EC.BC 푯 .( 푪 + 푯 ).( 푯 − 푪 ) 14/ Chứng minh: (푺 ) + (푺 ) = 푫푯푪 푬푯 푪 푯 − 푬 푪−푬푪 − 푫 15/ Chứng minh: = ( ) . ( ) 푯푪 − 푫 푪− 푫 푪 − 푬 푯푪 푯 푪 .(푯푬+푬푪)( 푫+푬푪) 16/ Chứng minh: + = 푯+ 푯 푯+푯푪 . 푪.푯푪( 푪+ 푯) 17/ Chứng minh: . (푷∆푯푬푪) + 푪 . (푷∆ 푯푫) = 푯 . 푪. ( 푯 + 푷∆ 푪). ( 푯 + 푷∆ 푪) (P là chu vi)
19. Bài 36. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC) . Gọi D là E lần lượt là hình chiếu của H trên các đoạn thẳng AB và AC. Cho CD cắt HE tại M, BE cắt HD tại N. Cho biết S là diện tích 푴푬 푵푫 1/ Chứng minh: + = 1 푯푬 푯푫 ( 푯+ )(푯푪+ 푪) 2/ Chứng minh: AH = 푯+ 푪+ + 푪 3/ Chứng minh: MN // BC và 푺 푴푯푵 = 푺∆ 푫푬 4/ Chứng minh: 푺∆푯푴푵. 푺∆ 푪 = (푺 푴푯푵) 5/ Tính AM2 + AN2 theo AH và BC 푺 푵푴푪 푪 6/ Tính tỉ số nếu AM2 + AN2 = 푺∆ 푴푵 7/ Giả sử B và C cố định. Điểm A chuyển động sao cho tam giác ABC luôn vuông tại A. 푯 푺∆ 푴푵 Hãy tính tỉ số trong trường hợp tỉ số đạt giá trị lớn nhất 푯푪 푺∆ 푪 Chứng minh rằng: 8/ AM2 + BM2 + AN2 + NC2 – BE2 – CD2 = MN.BC 9/ ( + ) . ( + ) = 푴푵 푪 푬 푪푫 푯. 푫. 푬 푯 −푯푪 ( + 푪).( 푪− 푯).( 푪+ 푯) 10/ = − 푪 푪 − 푪 푪.( 푪+ 푯) 11/ = 푯 −푯푪 ( + 푪).(푬푪− 푬) 12/ . (푷∆ 푯푪) + 푪. (푷∆ 푯 ) = 푯. (푷∆ 푪) (P là chu vi) 13/ 푺∆ 푯 . 푷∆ 푯푪 + 푺∆ 푯푪. 푷∆ 푯 = 푯 . ( 푯 + 푷∆ 푪) 14/ (푯 + 푯 )(푯 + 푯푪)( + 푪) = 푯. 푪. ( + 푪 + 푫 + 푬푪) ( 푯− 푬)( − 푯) (푯푫+푯 )(푯푪+ 푪) 15/ + = ( 푯 + 푪) 푬 푫 + 푫 푪+푬푪 푯+푷∆ 푪 16/ + = 푯+ 푯푪+ 푪 푯+푷∆ 푪+푷∆ 푫푬
20. Bài 37. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC) . Gọi D là E lần lượt là trung điểm của AB và AC, DE cắt AH tại I. Biết S là diện tích 1/ Tính IB2 + IC2 theo AH và BC 푰 +푰푪 2/ Chứng minh rằng: Nếu = 푬 +푪푫 thì tam giác ABC vuông cân 푰푪 푰 3/ Chứng minh: + = 1 푪푫 푬 4/ Chứng minh: 푪. 푯 .( 푪 − 푯 ) (푺 ) + (푺 ) = ∆푫푰 ∆푪푰푬 ퟒ 5/ Qua D kẻ đường thẳng song song với AH cắt AC tại M. Chứng minh: BH.BC = 2AM.AC 6/ Gọi K là điểm đối xứng A qua H. Kẻ MP _|_ HE tại P. Chứng minh: CD _|_ PK 7/ Dựng điểm S sao cho BS // AC, KS // AB. Cho PK cắt AC tại T. Dựng HL _|_ AB tại L . Chứng minh: ST _|_ LC Bài 38. Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M bất kì. Đường thẳng qua M song song với BC cắt AC tại N 푺∆ 푴푵 1/ Đặt BC = a ; BM = b. Tính tỉ số 푺 푴푵푪 theo a và b (S là diện tích) 2/ Xác định vị trí điểm M trên cạnh AB để chu vi tứ giác BMNC bằng chu vi tam giác AMN 3/ Gọi D và E lần lượt là trung điểm của MN và BN. Gọi O là trọng tâm của tam giác AMN. Chứng minh: EO _|_ EC và góc 푶푴̂ = góc 푪푬̂ 4/ Điểm K thuộc cạnh AB sao cho góc 푬푶푲̂ = 150*. Chứng minh: AM2 = 3AK.AB 푺∆ 푴푵 푺∆푲푬푪 5/ Tính tỉ số nếu như OE _|_ ON và tỉ số nếu như AM = 2BM 푺∆ 푶푵 푺∆푲푫푬
21. Bài 39. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC) . Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AC và AB, HO cắt AB tại D. Cho biết S là diện tích 푫 푯 1/ Chứng minh: = 푫푪 푯푪 푬푰 푪 2/ IC cắt OH tại E. Chứng minh: = 푬푪 푯푪 3/ Lấy điểm F thuộc cạnh HC sao cho EF //AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: FC2 = FM.FH 4/ Vẽ HK vuông góc với AC tại K. Chứng minh: = + 푯푬 푲푪 푪 Bài 40. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi I là trung điểm của AB. Vẽ AK vuông góc với IC tại K. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: BH.BC = 4IK.IC 푺∆ 푯 2/ Trong trường hợp AH2 = 2AK2. Tính tỷ số 푺∆ 푲푪 3/ Chứng minh: góc 푲푰̂ = góc 푯푲푪̂ 4/ HK cắt AC tại M. Lấy điểm N thuộc cạnh MB sao cho AN // BK. Chứng minh: Đường thẳng IN đi qua trung điểm của cạnh AC 5/ Đường thẳng qua H vuông góc với HK cắt AC tại O. Chứng minh: OA = 2OC
22. Bài 41. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ HK vuông góc với AB tại K 1/ Chứng minh: BH.HC = KB.KA + HK.(AC – HK) 2/ Vẽ AD vuông góc với CK tại D. Chứng minh: ∆푪푲푯 ~ ∆푪 푫 và DA.DB = DH.DC 푯 +푯푲 3/ Chứng minh: − = 푫 푯 푲.푯푲. . 푪 4/ BD cắt AC tại E. Đường thẳng qua C song song với BE cắt HK tại F. Đường thẳng qua C song song với AB cắt EF tại O. Chứng minh: 3 điểm O, H, D thẳng hàng Bài 42. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ HK vuông góc với AB tại K. Cho biết S là diện tích và P là chu vi 푺∆ 푯푲 푷∆ 푯 푺∆ 푲푪 1/ Chứng minh: = . 푺∆ 푯푪 푷∆ 푯푪 푺∆ 푪 2/ Vẽ AD vuông góc với KC tại D. Chứng minh: HD _|_ BD 3/ Gọi I là trung điểm của BC, AI cắt HK tại E. 푬푪 푫 Chứng minh: = 푬푲 푫 4/ Lấy điểm M thuộc cạnh AH sao cho MD // AB. Dựng điểm N sao cho MN // AC và AN // BC. Chứng minh: DN đi qua trung điểm cạnh MK
23. Bài 43. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D là điểm đối xứng A qua B, E là điểm đối xứng A qua H, CD cắt AE tại I. 푰푫 푫푬 1/ Chứng minh: = 푰푪 푬 2/ Lấy điểm F thuộc cạnh EC sao cho IF // BC. Đường thẳng qua F song song với BE cắt HC và HA lần lượt tại M và N. Chứng minh: H là trung điểm của đoạn thẳng IN 3/ HD cắt NC tại K. Chứng minh: Tam giác AKD là tam giác vuông 4/ AK cắt HC tại O. Chứng minh: OE _|_ HF và 3 điểm K, M, E thẳng hàng Bài 44. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Trên cạnh HC lấy điểm M bất kì. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng AB và AC. Cho biết S là diện tích. 1/ Xác định vị trí điểm M trên đoạn thẳng HC để: a/ BD.EC = AB2 b/ A = 푺∆푴푬푪. 푺∆푴 푫 đạt giá trị lớn nhất và B = (푺∆푴푬푪) + (푺∆푴 푫) đạt giá trị lớn nhất 푯 푯푫 2/ Chứng minh: HD _|_ HE và = 푯푪 푯푬 푺∆ 푯푫 푺∆ 푯푬 3/ Chứng minh: + = 1 푺∆ 푴푪 푺∆ 푴 푫 푴 푺∆ 푯푬 4/ Trong trường hợp = . Tính tỉ số 푬푪 푴푪 푺 푴푯푫 5/ HE cắt MD tại I. Cho biết AB = 15cm ; AC = 20cm. Xác định vị trí điểm M trên 푰푫 cạnh HC để = 푰푴
24. Bài 45. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ HK vuông góc với AC tại K. Gọi E là trung điểm của AB. Cho biết S là diện tích 푬 푪 1/ Chứng minh: = 푲 푯 2/ EC cắt HK tại I. Chứng minh: IH = IK 푺∆ 푰푪 푯푪 và = 푺∆ 푰푬 푯 3/ Vẽ CM vuông góc với AI tại M. Gọi O là trung điểm của AC. Chứng minh: Tam giác BMO vuông 푺∆ 푯푲 푺. 푴 4/ Dựng điểm S sao cho BS // AC và AS // OM. Chứng minh: − = 1 푺∆푶푰푬 푯푴. 푪 Bài 46. Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ HK vuông góc với AC tại K. Gọi O và E lần lượt là trung điểm của AB và AC 1/ Chứng minh: OA. HK + AK.AE = HB.HC 2/ Dựng điểm D sao cho OD // AC và AD //BC. Chứng minh: ∆ 푯푫 ~ ∆ 푲푶 3/ Vẽ AM vuông góc với HD tại M. Chứng minh: 3 điểm M, O, K thẳng hàng 4/ Gọi N là điểm đối xứng M qua H. Trên cạnh MC lấy điểm I sao cho IM = 2IC. Trên cạnh AE lấy điểm S sao cho AS = EK. Chứng minh: góc 푰푵푪̂ = góc 푺푯푬̂
25. Bài 47. Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AC và HC 1/ Chứng minh: góc 푶̂ = góc 푯 푰̂ 2/ Gọi E là trung điểm của AB. Cho AB = 15cm ; AC = 20cm. Tính diện tích tam giác OIE 3/ HE cắt OI tại K. Chứng minh: OB _|_ AK 4/ Đường thẳng qua I song song với OH cắt AH tại G. Trên đoạn thẳng OE lấy điểm S sao cho BH = 2OS. Chứng minh: GE.GO = GB.GC và HS _|_ GK Bài 48. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D và I lần lượt là trung điểm của AH và AC. Gọi E là điểm đối xứng H qua I 1/ Chứng minh: BH2.HE2 + AB2.AE2 = AH2.BC2 2/ ID cắt AB tại O. Chứng minh: góc 푫̂ = góc 푪 푰̂ . Tính giá trị của biểu thức A = BD2 + CD2 + BI2 + OC2 theo AH và BC 3/ Đường thẳng qua A vuông góc với BI cắt OH tại K. Chứng minh: AB // CK 4/ Đường thẳng qua D vuông góc với DB cắt IK 푺∆ 푴푪 tại M. Tính tỉ số (S là diện tích) 푺∆ 푴푬 5/ Chứng minh: Nếu BE2 = 5AH2 thì tam giác ABC vuông cân 6/ Đường thẳng qua I song song với AB cắt EC tại S. Chứng minh: 3 điểm S, D, B thẳng hàng 푶푬 7/ Trong trường hợp 푺 + 푺 = 13,5 cm2 ; = . Tính 푺 ∆ 푫푰 ∆푪푶푫 ∆ 푲푬
26. Bài 49. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng BD và EC. Gọi K là điểm đối xứng C qua H, HN cắt AC tại I. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: + = 푴 푵 ퟒ 푯 푯푴 푯푪.(푯푪+ퟒ푯 ) 푯푴 푪푵 푯푪 2/ Chứng minh: = ; . = và 푴푯̂ + 푯푵푪̂ = 180* 푯푵 푯 .(푯 +ퟒ푯푪) 푴 푯푵 푯 푪 .( 푪 − 푯 ) 3/ Chứng minh: BM2 + NC2 = . Từ đó chứng minh rằng: ퟒ 푪 + 푯 Nếu BM2 + NC2 = 2.(HM2 + HN2) thì tam giác ABC vuông cân 푺∆푯푴푵 푯푴 ퟒ 4/ Chứng minh: 3 điểm K, M, I thẳng hàng. Tính tỉ số nếu như = 푺∆ 푪 푯푵 Bài 50. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi I và O lần lượt là trung điểm của AB và AC. Đặt L là tổng bình phương độ dài 3 cạnh trong 1 tam 2 2 2 giác. Ví dụ: 푳∆ 푪 = AB + AC + BC 1/ Tính A = 푳∆ 푯 + 푳∆ 푯푪 theo BC B = 푳∆ 푯푰 + 푳∆푪푯푶 theo AH và BC C = 푳∆푪푯푰 + 푳∆ 푯푶 theo HB và HC và D = (푳∆푪푯푰) + (푳∆ 푯푶) theo HB và HC 푺∆푰푶푲 2/ Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh: = − (S là diện tích) 푺∆ 푪 ퟒ 푪 3/ Dựng KM _|_ IC tại M. Đường thẳng qua K song song với BC cắt IC tại N. Chứng 푯푴 푴푪 푺푰푯푴푲 푯푴 minh: ∆푴푲푯 ~ ∆푲푪푵 và = . Từ đó tính tỉ số nếu = 푯푰 푰푪 푺푵푯푴푲 푯푰 4/ Gọi P là trung điểm của AK. Dựng điểm Q sao cho HK // QC, H và Q nằm ở cùng nửa mặt phẳng bờ AC và HK = 2QC. Chứng minh: MH _|_ PQ
27. Bài 51. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường phân giác trong BD và EC (D thuộc AC và E thuộc AB). Đặt BC = a ; AB = b. Biết S là diện tích 1/ Chứng minh: Tứ giác BEDC là hình thang cân 2/ Tìm DE và (푺∆ 푫푬) theo a và b 푺 푬푶푫 3/ BD cắt AE tại O. Tính tỷ số theo a và b. 푺∆ 푪 Nếu như AB = 15cm ; BC = 16cm. Tìm diện tích của tứ giác AEOD 4/ Gọi M là trung điểm của AD, MO cắt BC tại I. 푺∆ 푶푴 푰 푺 푬푶푰 Nếu như = , tìm tỉ số của a với b ; và 푺∆ 푪 푰푪 푺푴푬푰푪 푶푴 푷∆ 푫푬 5/ Tính tỉ số nếu như = (P là chu vi) 푶푰 푷 푬푫푪 Bài 52. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ các đường thẳng đi qua B và C và cùng song song với AD giao với đường thẳng EF lần lượt tại M và N. Cho EF cắt AH tại O 1/ Chứng minh: NC2 = NE.NF 2/ Chứng minh: AD là tia phân giác của góc 푴푫푵̂ và 3 đường thẳng AD, MC, BN đồng quy 푯 푴푭 3/ Chứng minh: = 푴 푴푬 푴푭 푯 4/ Chứng minh: = và = 푵푭 푪 푵푬 푯푪
28. Bài 53. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua A song song với BC cắt DF tại K, CK cắt AD tại M 1/ Chứng minh: ∆ 푭푫 ~ ∆ 푪 2/ Chứng minh: AF2 = FE.EK và ME // BC 3/ MB cắt EF tại O. Chứng minh: OH đi qua trung điểm của cạnh BC 4/ Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AK và AE. Vẽ PS _|_ FQ tại S, QL _|_ AK tại L. Chứng minh: AB // SL Bài 54. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường trung trực đoạn thẳng BC cắt FC, BE, EF lần lượt tại M, N, I 푴푪 1/ Chứng minh: = 푵 푪 푴푯 푬 2/ Chứng minh: = 푴푵 푬푭 푰푭 푪 − 푯 3/ Chứng minh: = 푰푬 −푯푪 푭푴 .( 푪 − 푯 ) và = 푬푵 푪.( −푯푪 ) 4/ Đường thẳng qua B song song với AD cắt EF tại P. Chứng minh: IC // DP
29. Bài 55. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Dựng DK vuông góc với EF tại K 1/ Chứng minh: FC là tia phân giác góc 푬푭푫̂ 2/ Chứng minh: AB2 +AC2 – BC2 = 2AD.AH 푪 + − 푪 푫 và = 푪 + 푪 − 푪푫 푫푭 푫 푯푫 3/ Chứng minh: = + 푫푲 푯푫 푫 4/ Chứng minh: DK là tia phân giác của góc 푲푪̂ Bài 56. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi O và I lần lượt là trung điểm của CD và AH. 1/ Chứng minh: ( 푯−푯푫).( 푯− 푯푫)+ 푪 OI2 = ퟒ 2/ Đường thẳng qua C song song với AD cắt 푲푬 푯푪 EF tại K. Chứng minh: = 푲푭 푪 3/ Chứng minh: OI _|_ BK 4/ OI cắt KC tại M. Đường thẳng qua M song song với BC cắt AB tại N. Gọi G là trung điểm của HK. Chứng minh: Tam giác GCN vuông 푯 .푯 .푯푪 . 푪. 푪 5/ Chứng minh: = 푯푫.푯푬.푯푭 푫푬.푫푭.푬푭
30. Bài 57. Cho tam giác ABC nhọn (AB AB. Vẽ đường phân giác trong AD của tam giác ABC (D thuộc BC). Trên cạnh AB lấy điểm E, cạnh AC lấy điểm F sao cho góc 푪̂ = góc 푫푬̂ và góc 푪 ̂ = góc 푫푭̂ 1/ Chứng minh: Tam giác DEF cân 2/ EF cắt AD tại O. Chứng minh: ∆ 푬푭 ~ ∆ 푪 và AE.AF = AO.AD 3/ Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MF // AD, MO cắt AB tại N. Chứng minh: góc 푴 ̂ = góc 푵푫̂ 4/ Chứng minh: AD2 = AB.AC – DB.DC 5/ Trên cạnh MF lấy điểm L sao cho OA = ML. Dựng hình bình hanh DONS. Chứng minh: 3 điểm B, S, L thẳng hàng
31. Bài 59. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi D là trung điểm của AB. Kẻ AK vuông góc với CD tại K. Kí hiệu S là diện tích 푺∆ 푫푲 푪 1/ Chứng minh: = 푺∆ 푯 .( 푪+ 푯푪) . Từ đó tính diện tích tam giác ABC nếu như 푺∆ 푫푲 AB = 9cm và = 푺∆ 푯 ퟒ 2/ Chứng minh: 푫푯̂ = 푪푲푯̂ + 푫푲 ̂ 3/ Dựng điểm E sao cho HE // AC và EC // AB, AE cắt CD tại I, HI cắt AC tại M. Chứng minh: M là trung điểm của AC và 3 đường thẳng AK, HE, MB đồng quy Bài 60. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, DF cắt ME tại I. 1/ Chứng minh: FC là tia phân giác của góc 푬푭푫̂ 2/ Chứng minh: IM.IE = ID.IF 3/ Chứng minh: Tia phân giác trong góc I của tam giác IEF song song với tia phân giác trong góc A của tam giác ABC 4/ AI cắt BC tại K. 푲 푴푪 Chứng minh: = 푲푪 푪푫 + 푪 − 푪 푪 + − 푪 푯 5/ Chứng minh: + = + 푪 − 푪 푪 + 푪 − 푯푫
32. Bài 61. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Cho DF cắt BH tại M, DE cắt HC tại N 푫 푴푫 푵푫 1/ Chứng minh: − − = 1 푯 푴푭 푵푬 푭푴 푬푵 푪 2/ Chứng minh: + = 푯푴 푯푵 푯 .푯푪 푫푵 푯푬+ 푬 3/ Chứng minh: . = 푪 푫푴 푯푭+푭푪 4/ Đường thẳng qua C song song với AD cắt MN tại K. Gọi I là điểm đối xứng C qua K. Chứng minh: 3 đường thẳng AD, MN, BI đồng quy Bài 62. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ FM vuông góc với BC tại M 1/ Chứng minh: FM.AH + CD.BC = FC2 2/ Trên đoạn thẳng BC lấy điểm K sao cho FC.BH = HC.FK. Đường thẳng qua B song song với AD cắt FK tại I. Chứng minh: BE.BK = BC.BI 3/ Dựng điểm O sao cho OB // EF và OE //AD. Chứng minh: 푬푭푶̂ = 푬푰̂ 푵푬 푯 4/ Vẽ CN vuông góc với EF tại N. Chứng minh: = 푴 푯푪 5/ Chứng minh: 푭푴푰̂ = 푭푵 ̂
33. Bài 63. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, EF cắt AH tại I. Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại M 푰 푪 1/ Chứng minh: = 푬 푫+푯푫 푬 푯푪 푯푫 2/ Chứng minh: − = 푰 푯 푯푭. 푫 푫푬 푴 3/ Chứng minh: = 푫푭 푴푪 푯 푯푪 푪 4/ Chứng minh: + = 푪 푴 Bài 64. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi O và D lần lượt là trung điểm của BC và AC. Đường thẳng qua C song song với AH cắt OD tại E. Biết S là diện tích và P là chu vi 1/ Chứng minh: AC4 + BC4 – AB4 = 32OA2.HD2 và DO.DE + AH.EC = CO.CH 2/ Chứng minh: 푺∆ 푬 = 푺∆푯 푬 và 푺∆푬 푫 = 푺∆푪푯푫 + 푺∆푬푯푫 3/ Cho AB =15cm ; AC =20 cm. Tìm diện tích tam giác BCE 4/ Chứng minh: BC4 = 4HB2.OE2 + 4EC2.AB2 푷∆ 푪푬 ퟒ푺∆푪푶푬 5/ Chứng minh: ( ) = 푷∆ 푫 푺∆ 푪 6/ Vẽ HK vuông góc với BE tại K. Chứng minh: 푬̂ = 푯 푲̂ 7/ AK cắt BC tại N và BD cắt AH tại M. Chứng minh: MN // HD
34. Bài 65. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi D là trung điểm của AC. Vẽ AK vuông góc với BD tại K. Biết S là diện tích 푲푫 푲 1/ Chứng minh: = 푯푪 푯 2/ AK cắt BC tại I. Chứng minh: KI là tia phân giác góc 푯푲푪̂ 3/ Tính A = KC2 + HD2 theo AB và 푺∆푰푯푲 AC. Từ đó tính tỉ số 푺∆ 푪 Nếu như KC2 + HD2 = 3AB2 4/ Đường thẳng qua D song song với AK cắt AB và AH lần lượt tại M và N, HM cắt KN tại J. Lấy điểm S thuộc cạnh BN sao cho AS //BC. Chứng minh: CK _|_ BN và MN.JS = NJ.AS Bài 66. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Trên tia đối tia FC lấy điểm N, tia đối tia EB lấy điểm M để AN // BE và FC // AM 푯푴 푫푪 푬푴 푭 푯 1/ Chứng minh: = và + = 푯푵 푫푬 푬푯 푭 푯푫 푬푴 푭푵 푬푴 푭푵 푯 1/ Chứng minh: = và + = 푬 푭푪 푫 푯푪 푯푫. 푫 푴푪 3/ EF cắt BC tại I. Chứng minh: MN // HI và = 푵 푪
35. Bài 67. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua A song song với BC cắt BE và CF lần lượt tại M và N 1/ Chứng minh: ∆푯푬푭 ~ ∆푯푵푴 và ∆푪푬푵 ~ ∆ 푭푴 푴푬 푯 푯푵 푯푴 푯 2/ Chứng minh: = . và + = 푵푭 푪 푯푪 푬푪 푭 푬푭. 푫 푭푵 푬푯 푪푫 푫푵 푭푵 푬푯 푯 + 푫 3/ Chứng minh: . = và = . . 푭푯 푬푴 푫 푫푴 푭푯 푬푴 푯 +푬푪 Bài 68. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua E vuông góc với EF cắt FC và BC lần lượt tại M và P 1/ Chứng minh: ∆푯 푪 ~ ∆푯푭푬 và PC2 = PM.PE 2/ Đường thẳng qua F vuông góc với EF cắt BE và BC lần lượt tại N và Q, PF cắt QE tại I. Chứng minh: QI.QN = PM.IE 푯푵 푫 3/ Chứng minh: = 푯푬 푪푫 4/ Chứng minh: 푵̂ = 푴 푪̂ 푷푸 푯 5/ Chứng minh: = 푪 푫+푯푫
36. Bài 69. Cho tam giác ABC nhọn (AB AD). Vẽ AH vuông góc với BD tại H, AH cắt CD tại K. Cho biết S là diện tích. Đặt AD = a; AB = b 1/ Chứng minh: AH.HK + HD.HB = AD2 . Tính diện tích tứ giác ADKB theo a và b 2/ Đường thẳng qua C vuông góc với BK cắt AK tại N. Kẻ NO vuông góc với CD tại O, BK cắt AD tại E. 푫 푲푶 Chứng minh: = 푫푬 푲푪 3/ Chứng minh: BO // EC 푵 푺∆푯푬푪 4/ Tìm tỉ số và theo a và b 푲 푺∆푵푬푪
37. Bài 71. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua B song song với AC cắt EF tại M. Đường thẳng qua C song song với AB cắt EF tại N 1/ Chứng minh: EC2 = EN.ED 푴푭 푯 2/ Chứng minh: = . 푬푵 푪 푯푪 푴푬 và = 푵푭 푪 푴 푯 3/ Chứng minh: = . và BC2 = MF.EN 푵푪 푯푪 푪 푪 4/ Chứng minh: + = 푴푭 푬푵 푯푪. 푭 Bài 72. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D là điểm đối xứng A qua H và E là điểm đối xứng A qua B. Cho BC cắt AD tại N. Vẽ AK vuông góc với EC tại K. 1/ Chứng minh: 푫푲푬̂ = 푪 ̂ 2/ Chứng minh: ∆푲푫 ~ ∆ 푬푪 3/ Chứng minh: AH.AN = NC.EK 4/ Đường thẳng qua B song song với AH cắt AK tại P, AH cắt PC tại Q. 푶 + Đặt KD = a.KA. Trên đoạn thẳng AK lấy điểm O sao cho = . Chứng 푶푲 − minh: AH = AQ và OC _|_ BQ
38. Bài 73. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi O và I lần lượt là trung điểm của BC và AC. Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt OI tại D. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng OC và CD 1/ Chứng minh: DI.AB = 2EF2 푶푬 2/ Chứng minh: = 푫푭 푪 3/ Chứng minh: AE _|_ BD 4/ BD cắt AC tại M. Lấy điểm N thuộc cạnh OD sao cho MN // BC. 푫푵 푬푪 Chứng minh: = và NF _|_ DE 푶푵 푶푬 5/ Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt AC và CD lần lượt tại P và Q. 푷푵 푷푭 푴 Chứng minh: . = 푷푸 푷푴 푴푪 Bài 74. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D là điểm đối xứng A qua B và E là điểm đối xứng A qua H, AE cắt CD tại I. Lấy điểm K thuộc cạnh AD sao cho IK _|_ CD 1/ Chứng minh: ∆ 푯푫 ~ ∆ 푫푪 푯푰 푪푰 2/ Chứng minh: = và HK _|_ HD 푯 푪푫 3/ Đường thẳng qua K song song với AC cắt AE và DE lần lượt tại M và N. Chứng minh: KA.KD = KH.KC và 푲푪푴̂ = 푯푵푲̂ 4/ Lấy điểm O thuộc cạnh EC sao cho OI //AC. Chứng minh: AE đi qua trung điểm của cạnh OK ^^^o0o &&& Hết &&& o0o^^^