9 Chuyên đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Vũ Ngọc Thành

70 trang Đình Phong 23/10/2023 12436

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "9 Chuyên đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Vũ Ngọc Thành", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

9_chuyen_de_thi_hoc_sinh_gioi_cap_tinh_mon_toan_lop_9_nam_ho.pdf

Nội dung text: 9 Chuyên đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Vũ Ngọc Thành

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Chuyên đề 1 Căn thức và các bài tốn liên quan Câu 1. [9d1](hsg9 TP Cần Thơ 2020-2021) Cho bi ểu thức 22x4x+4+ 2x2 P =++ (với x ≥1) . x−1+xx−1−xx+1 + x a) Rút gọn biểu thức P. b) Chứng minh biểu thức P cĩ giá trị khơng âm với mọi giá trị x ≥1. 51+ 10 Câu 2. [9d3](hsg9 An Giang 2020-2021) Rút gọn A =−+3(2− 5) 322−5 − 2 Câu 3. [9d4](hsg9 Bà Rịa - Vũng tàu 2020-2021) xx−x−1 x+2x − 5 1) Rút gọn biểu thức P = − : − với x≥0, x ≠ 4 x−2x−2x x+1x−x − 2 2) Tính giá trị của biểu thức M=x3 −9x + 2021với x =312− 313+3 12 + 3 13 . Câu 4. [9d5](hsg9 Bình Dương 2020-2021) 3 2021 (27+ 910) 37 10− 117 a) Tính giá trị của biểu thức: M=(x9+x− x2020 ) với x = 10+91 − 8 10 1111 b) Rút gọn biểu thức: N =+++ + 1+1111 + 21 21+ 312011 + 2021 Câu 5. [9d6](hsg9 Bình Phước 2020-2021) x+2x1 x −1 1. Cho biểu thức A = ++ : xx−1x+1+x1− x 2 x 2 a. Rút gọn A . b. Chứng minh A < . 3 2. Cho (2x+4x2+13)( y+ 9y2 +1) =1.Tính giá trị biểu thức: 8x3+27y3 + 2021. 3x+9x−3x+1x + 2 Câu 6. [9d7](hsg9 Bắc Giang 2020-2021) Cho biểu thức A =−+ . x+x−2x+21− x (x≥0,x ≠ 1). a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Câu 7. [9d8](hsg9 Bắc Ninh 2020-2021) Cho P=2n−2n2 −1 với n là số nguyên dương. Lần lượt thay các giá trị n=1;n=2; ;n = 10 vào P ta được các giá trị tương ứng P1;;;P2 P10 . Tính S=P1+P2+ + P10 2x−9x+32x +1 A =−− Câu 8. [9d9](hsg9 Cao Bằng 2020-2021) Cho biểu thức x−5x+6x−23− x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị của x để A < 1 Trang 1
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 1975 Câu 9. [9d10](hsg9 Gia Lai 2020-2021) Tính giá trị biểu thức A=(x30−5x4 +3) , biết x =3−1−21− 12 3 . Câu 10. [9d11](hsg9 Hà Nam 2020-2021) Cho bi ểu th ức x−2xx−xx−6x+1 x + 39 x≥0;x≠ 1;x ≠ 4). Q = −+ . (với x − 4 x+x−21−x x+3x −10 a) Rút gọn Q. b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 11. [9d12](hsg9 Hịa Bình 2020-2021) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : A=x3−x2 − 4 . 2. Tính: B =28103−+4 + 2 3 3. Cho x,,yz thoả mãn: xy+ yz+zx = 1. Hãy tính giá trị biểu thức: (1+y2)(1+z2) (1+z2)(1+x2) (1+x2)(1+ y2 ) A=x+y+ z 1+x21+y21+ z2 Câu 12. [9d13](hsg9 Hải Dương 2020-2021) x− y x−yx2+ y2 1) Rút gọn biểu thức: A =(+ ). , với x>y > 0 . x+y+x− y x2−y2−x+yx2− y2 2) Cho a,,bc là các số thực khác 0 thỏa mãn: a+b+c−2020+2020( ab+ bc+ca )− abc = 0. 111 Tính : P =++ a2021b 2021c2021 Câu 13. [9d14](hsg9 Khánh Hịa 2020-2021) 3 a) Rút gọn A =322−−7 + 5 2 . b) Cho các số thực x,,yz thỏa mãn x+y+z = 3 và x2+y2+z2 =xy+ yz+ zx . Tính giá trị của biểu thức B=x2020+y2020 +z2020 + xyz . Câu 14. [9d15](hsg9 Kon Tum 2020-2021) Khơng dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức: 4+2+4− 2 P =−15− 4 14 4+2−4− 2 Câu 15. [9d16](hsg9 Lai Châu 2020-2021) Cho biểu thức x x+2x+3x + 2 A = 1− : ++ . x+1 x−5x+6x−23 − x 5 a) Rút gọn biểu thức A . b) So sánh A và − . 2 Câu 16. [9d17](hsg9 Lào Cai 2020-2021) Cho bi ểu th ức 3x2x9x+x+1 3x +1 P = −− : , (x>0,x ≠ 1) . x−13x+2x3x−x−2 7x− 7 x a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm x sao cho P nhận giá trị là một số nguyên. Câu 17. [9d18](hsg9 Lạng Sơn 2020-2021) Cho bi ểu th ức : x−yx+ y x+y+ 2xy P = − : 1+ với x≥0;y≥ 0;xy ≠ 1. 1+xy1− xy 1− xy a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị biểu thức P với y =9+ 4 5 . Trang 2
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 a − 4 Câu 18. [9d19](hsg9 Nam Định 2020-2021) Cho P=743−+3 a+ 3a−3a −1: − 1 () 3(a − 2) với a≥0;a≠ 1;a ≠ 4. Rút gọn biểu thức P. Câu 19. [9d20](hsg9 Phú Yên 2020-2021) Chứng minh rằng: 35+213+−3 5 213= 1. Câu 20. [9d21](hsg9 Quảng Bình 2020-2021) Rút gọn biểu thức x+211+x 3x +21+ 1 A = + : − với x > −2 và x ≠ 7. x+23+7 − x x− 3x+22+x + 2 Câu 21. [9d22](hsg9 Quảng Nam 2019-2020 2020-2021) Cho hai số thực dương phân biệt a,b . Xét hai a+ba− b a2+ b2 biểu thức A =+ B =⋅ Rút gọn biểu thức A và tính . B . theo A . a−ba+ b a2− b2 Câu 22. [9d23](hsg9 Quảng Nam 2020-2021) Rút gọn biểu thức sau: 3 3 44(−3 ) 44(− 3 ) 3 23+12 −3 23 − 12 − A =13+ 30 4+9 − 4 2 ; B =27+ 27 . 22 5x−12x−1 2x +1 Câu 23. [9d24](hsg9 Quảng Ngãi 2020-2021) Cho biểu thức A =+− với x+2x−1x+x − 2 x ≥ 0 và x ≠1. A a. Rút gọn biểu thức A ; b. Tìm giá trị của x để nhận giá trị nguyên. 2 5x−12x− 12x +1 Câu 24. [9d25](hsg9 Quảng Ninh 2020-2021) Cho biểu thức A =+− với x+2x−1x+x − 2 x ≥ 0 và x ≠1. A a. Rút gọn biểu thức A ; b. Tìm giá trị của x để nhận giá trị nguyên. 2 Câu 25. [9d26](hsg9 Sĩc Trăng 2020-2021) Cho biểu thức 1 x−1x+2021x +1 P= x −1+ ++ x+2021 x−2022 x+ 2021x−1 2021− x a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm giá trị của x để P = 2024 . 2xx+1 3− 11 x Câu 26. [9d27](hsg9 Sơn La 2020-2021) Cho hai biểu thức A =++ và x+3x − 3 9 − x x −3 B = với x≥0;x ≠ 9 x +1 22 a) Tính giá trị của tại x =+ . 545(−2021 ) 545 (+ 2021) b) Rút gọn A . c) Tìm tất cả các số nguyên x để P= A.B nhận giá trị nguyên. Câu 27. [9d28](hsg9 Thanh Hĩa 2020-2021) x−3x 3−xx−29 − x 1. Rút gọn biểu thức P = 1− : +− với x≥0;x≠ 4;x ≠ 9 x − 9 x−23+xx+x − 6 Trang 3
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 2. Cho a,,bc là các số thực đơi một khác nhau thỏa mãn a3+13;=ab3+ 13;=bc3 +1 = 3c . Tính giá trị biểu thức: Q=a2+b2+ c2 . 113 Câu 28. [9d29](hsg9 Thái Bình 2020-2021) Cho a =3 +− 339 a) Chứng minh rằng 9a2 +23a − 3= 0 b) Tính giá trị biểu thức S=33a2+27 a4 + 16a +8 Câu 29. [9d30](hsg9 Thái Nguyên 2020-2021) Cho bi ểu th ức x+2x+4x+2x+1 x + 21 P = + : + . Chứng minh giá trị của biểu thức P xx−8x +1 x+1x−3x + 2 khơng phụ thuộc vào x (với x≥0,x≠ 1,x≠3, x ≠ 4 ) . Câu 30. [9d31](hsg9 Thừa Thiên Huế 2020-2021) 3222 x+3x+( x−4) x −1− 4 2 3 a) Cho P(x) = , với x≥1,x≠ 2, x ≠ . Hãy tìm các giá trị của x3−3x2+(x2−4) x2 −1+ 4 3 x để biểu thức P( x) = 0. (Khơng sử dụng máy tính cầm tay) x+2x1 x −1 b) Cho biểu thức Q = ++ :(x>0,x ≠ 1 ) . Chứng tỏ rằng xx−1x+x+1 1− x 2 0<Q < 2 2021 Câu 31. [9d32](hsg9 Tiền Giang 2020-2021) Tính giá trị của biểu thức: A=(3x3+5x2 −2x + 2020) ( 52+) 3 17 5− 38 Với x = 5+14− 6 5 Câu 32. [9d33](hsg9 Trà Vinh 2020-2021) Cho bi ểu thức 2xx3x+3 2x − 2 M = +− : 1− x+3x−3x − 9 x − 3 1 1. Rút gọn M 2. Tìm x để M < 2 Câu 33. [9d34](hsg9 Tuyên Quang 2020-2021) Rút g ọn biểu th ức : 1111 S =+++ + 12+2.1 32+2.3 52+2.52021 2 + 2.2021 Câu 34. [9d35](hsg9 Vĩnh Long 2020-2021) Rút gọn biểu thức 12x 2 x a) P = − : 1− với x ≥ 0 và x ≠ 1 x−1xx+x−x −1 x +1 2 b) A =423++ 6− 2 5 + 5+ 3 x+13x+3 4x2 − 4 Câu 35. [9d36](hsg9 Vĩnh Phúc 2020-2021) Cho biểu thức: P = +− . . 2x−2x2 −12x + 2 5 a) Hãy tìm điều kiện xác định của P . b) Chứng minh rằng khi P xác định thì nĩ khơng phụ thuộc vào x. Câu 36. [9d37](hsg9 Yên Bái 2020-2021) Trang 4
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 2021 423++4 − 2 3 1) Tính giá trị của biểu thức A=(1−x5+ x7 ) , biết x = 12 2 x(1− x) 1−x3 1+ x3 = + − 2) Cho biểu thức B: x .x . 1+ x 1−x 1+ x 1 Với x≥0;x ≠ 1 . Chứng minh rằng M=x. B − ≤ 0 . 2 Câu 37. [9d747](hsg 9 Hậu Giang 2021-2022) Tính giá trị của biểu thức A=x4−x2 + 2 khi x =2−3+2+ 3. 2x+4x+6x − 23 Câu 38. [9d748](hsg 9 Lâm Đồng 2021-2022) Cho biểu thức P =++− 2 x+2x−3x−1x + 3 với x ≥ 0 , x ≠1 . Tìm tất cả các số tự nhiên x để P là số tự nhiên. Câu 39. [9d749](hsg 9 Quảng Trị 2021-2022) (a+b)2 −3 ab a−ba3− b3 = + >>≠ 1. Rút gọn biểu thức: P : ,(a0,b0, ab). a+b a− b b− a 2. Cho a =2+4− 2 3+ 1 . Chứng minh rằng a là một nghiệm của phương trình x4−10x2 + 1= 0 . Câu 40. [9d750](hsg 9 Thái Bình 2021-2022) 3+3−13− 48 a) Rút gọn biểu thức: A = 3+ 1 b) Cho hai số a;b thỏa mãn(a+a2+13)( b+9 b2 +1) =1 Tính giá trị biểu thức P=a3+27b3 +2 a+6b + 2022 . 2 x−1x+11 x Câu 41. [9d751](hsg 9 TP Cần Thơ 2021-2022) Cho biểu thức Q = − − với x+1x −1 2 2 2 x>0,x ≠ 1 a) Rút gọn biểu thức Q . Q b) Tìm các giá trị của x sao cho > 3. x x − 2 Câu 42. [9d752](hsg 9 Trà Vinh 2021-2022) Cho hai biểu thức A = và x −1 3xx+2 13x + 2 B =+− ; (với x≥0;x≠1; x ≠ 4 ) . x+22 − x 4 − x a) Tính giá trị biểu thức A khi x =(5+2)(5 − 2)+ 2 . b) Rút gọn biểu thức B . c) Tìm các giá trị nguyên của x để P= A.B nhận giá trị là một số tự nhiên. Câu 43. [9d753](hsg 9 Bà Rịa – Vũng Tàu 2021-2022) aa+a − 21 1 1) Rút gọn biểu thức P = − : ; với a>0,a ≠1 . a −1 a+1 aa− a 2) Tính giá trị của biểu thức Q=a3+ b3 với a=37+50 ,b =3 7 − 50 . Câu 44. [9d754](hsg 9 Bình Dương 2021-2022) Trang 5
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 1111 1. Chứng minh rằng: A =1++=1+− với a > 0 . Áp dụng để tính giá trị a2 (a +1)2 aa +1 111111 biểu thức: B =1+++1+++ +1 ++ . 12222232992 1002 2. Tính giá trị của biểu thức C=( x2022−8x2021 +11x 2020) +( y2022 −8 y 2021+11y 2020 ) biết x =4+ 5 và y =4− 5 . Câu 45. [9d755](hsg 9 Bình Phước 2021-2022) Cho bi ểu thức: 2x(6−x ) +12 5−x1− 2 x P =+− x − 9 3−xx + 3 a. Rút gọn biểu thức P. b. Tìm các giá trị của x để biểu thức P 0 thỏa mãn điều kiện: 4a2 +2(a−1) =0. Tính a+1 T = . a4+a +1 −a2 Câu 47. [9d757](hsg 9 B ắc Giang 2021-2022) Cho biểu thức 2 x1 x+x−2x+3x + 2 P = − − với x > 0 và x ≠ 1. 4 4x x+3x+2x+x − 2 a) Rút gọn biểu thức P . 19 b) Tìm các giá trị của x đề 4P+3 x = . 3 Câu 48. [9d758](hsg 9 Bắc Kạn 2021-2022) 3a+9a3 − a1+a − 2 1) Cho biểu thức A =−− với a≥0; a≠ 1 a+a−2a+2a− 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm tất cả các giá trị của a để A > 2. 7+5+7− 5 2) Tính giá trị của biểu thức B= . 7+ 2 11 Câu 49. [9d759](hsg 9 B ắc Ninh 2021-2022) Rút g ọn biểu thức x−2xx+112+x− 2 x P =++ , với x>0,x ≠ 1. xx−1 xx+x+xx2 − x Câu 50. [9d760](hsg 9 Cao Bằng 2021-2022) Cho biểu thức: xx+3x+2x + 2    A =−1: −+  . x+1 x−2x−3x−5x +6  1. Rút gọn biểu thức A . 2. Tìm x để biểu thức A cĩ giá trị bằng 0,5. Câu 51. [9d761](hsg 9 Gia Lai 2021-2022) Rút gọn bi ểu th ức 22  A= ()x ++−−+1x2()x1xx2 42 ++224 x 4 + 1 .   Trang 6
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 33 2+4−x2 .(2+x) −(2 − x) Câu 52. [9d762](hsg 9 Hà Nam 2021-2022) Xét biểu thức Q = . 4+4 − x2 Tìm điều kiện của x để Q xác định và rút gọn Q . x+412x + 5 Câu 53. [9d763](hsg 9 Hịa Bình 2021-2022) Cho biểu thức A = + : 1− (với x − 4 x−2 x + 2 x≥0,x ≠ 4 ) . 1. Rút gọn biểu thức A . 2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. 1 3. Tìm x sao cho ≥ 0 . (x−1) .A 7x− 2 Câu 54. [9d764](hsg 9 Hưng Yên 2021-2022) Cho hai biểu thức A = , 2 x+ 1 x+3x− 336 B =−− với x≥ 0,x≠ 9 . Tìm x để A= B . x−3x+ 3 x− 9 Câu 55. [9d765](hsg 9 Hải Dương 2021-2022) Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 6 abc 10 và a+b+c = 4 . Chứng minh rằng: ++= a+5b+5c + 5 (a+5)(b+5)( c + 5) Câu 56. [9d766](hsg 9 Kon Tum 2021-2022) Khơng dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức P =625+−29 − 12 5 . Câu 57. [9d767](hsg 9 Lai Châu 2021-2022) Cho bi ểu th ức: x+2x+3x+ 2 x P = −− : 2 − x−5x+62−xx−3 x +1 15 a. Rút gọn biểu thức P. b. Tìm x để ≤− . P 2 x2−xx2 + x Câu 58. [9d768](hsg 9 Long An 2021-2022) Cho biểu thức M =− x+x1x+− x+ 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=M+x− 1 Câu 59. [9d769](hsg 9 Lào Cai 2021-2022) Rút g ọn biểu thức sau: a−ba−b a2+ b2 P = + . , với a>b > 0 . a+b+a− b a2−b2−a+b a2−b2 x+2x1x −1 Câu 60. [9d770](hsg 9 Lạng Sơn 2021-2022) Cho A = ++ : với xx−1x+x+1 1− x 3x x>0,x ≠1 . a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A là số nguyên. Câu 61. [9d771](hsg 9 Nam Định 2021-2022) Cho m, n là các số tự nhiên thỏa mãn m+ n 2+3 +3 −5 = . Tính tổng m+ n. 2 Trang 7
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 62. [9d772](hsg 9 Phú Yên 2021-2022) Cho biểu thức 2x+x−1 2xx+x− x x P = + :−1 1− x 1+xx 1− x 11 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P . b) Tìm x thỏa mãn −x = . P 2 xx−3x+2x+2x −3 Câu 63. [9d773](hsg 9 Quảng Nam 2021-2022) Cho biểu thức A =− với x −1 x+4x + 3 x≥0,x ≠ 1. Rút gọn biểu thức A và tìm x để A=x − 3 . 5x−12x−12x + 1 Câu 64. [9d774](hsg 9 Quảng Ninh 2021-2022) Cho biểu thức A =+− với x+2x−1x+ x − 2 x ≥ 0 và x ≠ 1. A a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị của x để nhận giá trị nguyên. 2 Câu 65. [9d775](hsg 9 Sĩc Trăng 2021-2022) Cho bi ểu thức x 12 x P = 1+ :− −1. x +1 x−1xx+x−x −1 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P− x nhận giá trị nguyên. Câu 66. [9d776](hsg 9 S ơn La 2021-2022) Rút g ọn biểu thức x+4x+4x+ x 11 A = + : − ,(x>0;x ≠ 1 ) . x+x−21− x x+1 1− x Câu 67. [9d777](hsg 9 Thanh Hĩa 2021-2022) Rút gọn phân thức xx3 − x 2 P =+ . với x ≥ 0 ; y > 0; x≠ 4y ; x ≠ 1. xy−2y x+x−2xy−2y 1− x Câu 68. [9d778](hsg 9 Thừa Thiên Hu ế 2021-2022) Cho bi ểu thức: x+2022x− 2022 x 1 P = − 1++ x+2x+1x −1 2 2 x a. Rút gọn biểu thức P . b. Tính giá trị của P khi x =326− 15 3+3 26+ 15 3 . Câu 69. [9d779](hsg 9 Tiền Giang 2021-2022) Cho biểu thức : 12x1 x P()x = +− 1− với x>0,x ≠ 1. x+xx −1 x−x x +1 22 a) Chứng minh P()x =− b) Tính giá trị S=P(1)+P (2)+ + P(2021) xx +1 Câu 70. [9d780](hsg 9 Tuyên Quang 2021-2022) Rút gọn bi ểu thức xx−1 xx+1 2(x −2 x +1) = − P : với x>0;x ≠ 1. x− x x+ x x −1 Trang 8
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 71. [9d781](hsg 9 Điện Biên 2021-2022) Cho bi ểu thức xx−x−1 x+2x − 5 P = − : − x−2x−2x x+1x−x − 2 1. Rút gọn biểu thức P . 2. So sánh giá trị của biểu thức P với 4. Câu 72. [9d782](hsg 9 Đà N ẵng 2021-2022) Cho biểu th ức xx−1x+ 2x x 1 B = − − với x>0,x ≠ 1. Rút gọn biểu thức B và 2 x −1 x+x xx−1 x− x B2022 +1 chứng minh rằng > B với mọi x>0,x ≠ 1. b2020 +1 Câu 73. [9d783](hsg 9 Bình Phước 2021-2022) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 15x5 y 10 z = 4. Tính giá trị của biểu thức: M =++ 3x+xy+2 yz+y +33xz+ 2z + 2 Câu 74. [9d784](hsg 9 Qu ảng Ngãi 2021-2022) Cho bi ểu thức x +1 xy+ x xy+ x x +1 A = ++1 : 1−− . xy+11− xy xy −1 xy +1 11 a) Rút gọn biểu thức A . b) Cho += 6 . Tìm giá trị lớn nhất của A . xy 2 Câu 75. [9d785](hsg 9 Tây Ninh 2021-2022) Cho x là số thực thoả mãn ≤x ≤ 2. Rút gọn biểu thức 3 T=3x+243+x−2 +3x+243−x − 2. Trang 9
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Chuyên đề 2 Hàm số Câu 76. [9d38](hsg9 Cao Bằng 2020-2021) Cho hàm số y=f(x) =(3m2 −7m+5) x − 2021( *) . Chứng minh rằng hàm số (*) luơn đồng biến trên ℝ với mọi m. Câu 77. [9d39](hsg9 Thái Nguyên 2020-2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) :y=ax − 4 (a ≠ 0) và hai điểm A(0;− 2) ,B( 6;0). Tìm các giá trị của a để đường thẳng (d ) cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt M, N sao cho S∆OAB= S∆ OMN . Câu 78. [9d40](hsg9 An Giang 2020-2021) Cho ba đường thẳng: ():d1 y=x − 6; ():d2 y=−(2m+6) x+ 2m +1 ; ():d3 y=(m+1)x−m − 6 a. Với giá trị nào của tham số m thì ()d1 trùng với ()d2 , ()d2 trùng với ()d3 . b. Tìm các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho phân biệt và đồng quy. Câu 79. [9d41](hsg9 Bắc Giang 2020-2021) Cho đường thẳng d:y=ax+b ,(a ≠ 0) đi qua M (1;4) và cắt Ox tại điểm A cĩ hồnh độ dương, cắt Oy tại B cĩ tung độ dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=OA+ OB . Câu 80. [9d42](hsg9 Quảng Bình 2020-2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ():dy=ax+ b(a ≠ 0) đi qua điểm A(1;4) và cắt các tia Ox,Oy lần lượt tại B và C (khác O) . a) Viết phương trình đường thẳng ()d sao cho biểu thức OA+OB +OC đạt giá trị nhỏ nhất. OB. OC b) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P = . BC Câu 81. [9d43](hsg9 Vĩnh Phúc 2020-2021) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy đường thẳng d cĩ phương trình y=ax+ b cắt các trục tọa độ Ox,Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 và tổng OA+ OB đạt giá trị nhỏ nhất . Viết phương trình đường thẳng d . Câu 82. [9d44](hsg9 Kiên Giang 2020-2021) Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol: y= −x2 1. Chứng minh rằng đường thẳng ():d1 y =2x+ 1 tiếp xúc Parabol. Tìm toạ độ của tiếp điểm. 2. Xác định tiếp tuyến ()d2 với parabol nĩi trên sao cho d2⊥ d1 . 3. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 . Câu 83. [9d45](hsg9 Hịa Bình 2020-2021) ư Cho đường thẳng (d ) : y=(m−2) x+2m −1 ( m là tham số) a) Chứng minh rằng đường thẳng (d ) luơn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d ) cĩ giá trị bằng 2 . Câu 84. [9d46](hsg9 Bắc Ninh 2020-2021) Cho hàm số y= x2 cĩ đồ thị ()P . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng ():dy=mx + 2 cắt ()P tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho diện tích 15 hình thang ABCD bằng . Trong đĩ D,C lần lượt là hình chiếu của A,B trên trục hồnh. 2 1 Câu 85. [9d47](hsg9 Hà Nam 2020-2021) ư Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) : y= x2 và đường 2 thẳng (d) :y=mx + 2 (với m là tham số) . Tìm tất cả các giá trị của m để (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 5 (đơn vị diện tích) . Trang 10
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 86. [9d48](hsg9 Kon Tum 2020-2021) Cho hàm số y=f( x) =(m2 −3m+5) x−m + 2 . Đồ thị của nĩ là đường thẳng ∆ . Xác định tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng ∆ cắt trục Ox tại A , cắt trục Oy tại B (các điểm A , B khơng trùng với điểm O) , sao cho OB=3 OA. Câu 87. [9d49](hsg9 Sơn La 2020-2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) :y=(2m+1) x− 2m và parabol (P) :y= x2 (m là tham số) . a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d ) và (P) khi m = 2 . b) Tìm m để (d ) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1; x2 sao cho biểu thức 22 E=x1+x2− x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 88. [9d50](hsg9 Bình Phước 2020-2021) Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d) :y=mx +1 ( m là tham số thực) . Tìm m để (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 10 . 1 Câu 89. [9d51](hsg9 Tiền Giang 2020-2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) : y= x2 . 4 Đường thẳng ∆: y= m cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B . M là điểm tùy ý trên trục Ox . Tìm m để tam giác MAB cĩ diện tích bằng 2021. Câu 90. [9d786](hsg 9 Thái Bình 2021-2022) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y=mx+2m −1( m là tham số ) . Tìm m để đường thẳng (d ) cắt các trục Ox ,Oy lần lượt tại 11 A , B ( A , B khơng trùng điểm O ) sao cho T =+ đạt giá trị nhỏ nhất. OA2 OB2 1 Câu 91. [9d787](hsg 9 Lâm Đồng 2021-2022) Cho các hàm số bậc nhất: y=x − 3 , y=4 − x và 2 m y=x − 4 cĩ đồ thị lần lượt là các đường thẳng ( d ) , ( d ) và ( d ) . Với những giá trị nào 6 1 2 m của tham số m thì đường thẳng ( dm ) cắt hai đường thẳng ( d1 ) và ( d2 ) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A cĩ hồnh độ âm và điểm B cĩ hồnh độ dương? Câu 92. [9d788](hsg 9 Quảng Trị 2021-2022) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=(m2 +10) x − 25 cắt đồ thị hàm số y= x2 tại hai điểm phân biệt mà hồnh độ của chúng đều là các số nguyên. Câu 93. [9d789](hsg 9 Trà Vinh 2021-2022) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (0;1) đường thẳng ():4dx+3 y = 12 . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ()d . Câu 94. [9d790](hsg 9 Bắc Kạn 2021-2022) Cho đường thẳng (d) : y=(3mxm+) +−1 (với m là tham số) a) Tìm điểm cố định của đường thẳng (d) . b) Tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Câu 95. [9d791](hsg 9 Bắc Ninh 2021-2022) Cho đường thẳng d: y=ax+b ( a khác 0 ) . Tìm a,b biết d đi qua M (1;2) và cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân, O là gốc tọa độ. Câu 96. [9d792](hsg 9 Cao Bằng 2021-2022) Cho hàm số y=−+(m2)x2(m ≠ 2) cĩ đồ thị là đường thẳng (d). 1. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ luơn âm. Trang 11
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 2. Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) bằng 1. Câu 97. [9d793](hsg 9 Hịa Bình 2021-2022) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đồ thị hàm 2 số y=(m−1) x + 2 bằng . 5 Câu 98. [9d794](hsg 9 Quảng Bình 2021-2022) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A(6;0),B (0;− 3) và đường thẳng (d) cĩ phương trình y=−(m+2)x +2m + 2 ( m là tham số, 5 m ≠−2, m ≠− 2 a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ()d và AB b) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng d chia tam giác OAB thành hai phần cĩ diện tích bằng nhau ( O là gốc tọa độ) Câu 99. [9d795](hsg 9 Đà Nẵng 2021-2022) Cho điểm A(2;4) và điểm B (−4;1) . a) Tính diện tích tam giác OAB , với O là gốc toạ độ và đơn vị trên các trục là xentimét. b) Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng OA, biết d tiếp xúc với đường trịn (O;OA) . Câu 100. [9d796](hsg 9 Yên Bái 2021-2022) Cho đường thẳng d:y=mx+ m −1, với m là tham số thực và m ≠ 0 . a) Đường thẳng d cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại A và B . Tìm tọa độ của A và B theo m 1 b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính . 5 Câu 101. [9d797](hsg 9 Hưng Yên 2021-2022) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d:y) = mx+ m−1 ( m là tham số) . Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác cĩ diện tích bằng 2. Câu 102. [9d798](hsg 9 Tây Ninh 2021-2022) Cho parabol (P) :y= 3x2 và đường thẳng (d) :y=(104−m) x−3 m − 7 ( m là tham số) . Tìm các giá trị nguyên của m để (P) cắt (d ) tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ là các số dương. Câu 103. [9d799](hsg 9 Bà Rịa – Vũng Tàu 2021-2022) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ():Py= x2 . Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc ()P sao cho tam giác OAB đều. 3 Câu 104. [9d800](hsg 9 Hậu Giang 2021-2022) Trong mặt phẳng Oxy, cho hàm số y=x− m ( m là 4 1 tham số thực) cĩ đồ thị là đường thẳng d và hàm số y= x2 cĩ đồ thị là parabol (P ). Tìm m 2 để d cắt ()P tại hai điểm cĩ hồnh độ dương x1,.x2 Giả sử x1< x2. Tìm m biết rằng x2 là một 13 nghiệm của đa thức f()x=x3−x2 − mx. 68 Câu 105. [9d801](hsg 9 Tiền Giang 2021-2022) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol ():Py= x2 và đường thẳng y=2mx + 3 a) Chứng minh ()d luơn đi qua điểm cố định với mọi m b) Tìm m để ()d và ()P cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x1 ;y1 );B (x2 ;y2 ) thoả mãn y1−4y2=x1−4x2+ 3x1 x 2 Trang 12
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 106. [9d802](hsg 9 Bình Phước 2021-2022) Cho parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d) : y=x − 3 . Tìm trên parabol (P) hai điểm A và B sao cho AB = 3 2 và đường thẳng AB vuơng gĩc với đường thẳng (d) , biết rằng điểm A cĩ hồnh độ âm. Câu 107. [9d803](hsg 9 Hà Nam 2021-2022) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng d:y=2(m−1) x− m2 , với m là tham số. Tìm các giá trị nguyên của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt lần lượt cĩ hồnh độ x1, x2 thỏa mãn 22 x1+2(m−1) x2 ≤3m + 20 . Trang 13
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Chuyên đề 3 Phương trình Câu 108. [9d52](hsg9 Hà Tĩnh 2020-2021) Giải phương trình: (x2 −1)(x+3)(x +5) = 9. Câu 109. [9d53](hsg9 Ninh Bình 2020-2021) Cho phương trình: x2−2(m+ 1)x+4 m−m2 = 0 (1) ( x là ẩn, m là tham số) . a) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm dương phân biệt. b) Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x1− x2 . Câu 110. [9d54](hsg9 Bạc Liêu bảng A 2020-2021) Giải phương trình: (x−2)6+(x −4)6 = 64 (1) Câu 111. [9d55](hsg9 Bạc Liêu bảng B 2020-2021) Giải phương trình: (x−2)6+(x −4)6 = 64 . Câu 112. [9d56](hsg9 Hịa Bình 2020-2021) Giải phương trình: x2 −3x+2+x −1= 0 Câu 113. [9d57](hsg9 Lào Cai 2020-2021) Cho phương trình x2 −2(m−1) x+2 m −5= 0 , ( x là ẩn, m là tham số) . Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1−x2 = 2 2 . Câu 114. [9d58](hsg9 Lạng Sơn 2020-2021) Cho phương trình mx2 +2( m−2) x+m −3= 0 ( m là tham số) a) Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 11 2+2 = 2 . x1x2 Câu 115. [9d59](hsg9 Phú Thọ 2020-2021) Giả sử x1, x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình 32 nnn x−4x+2x +4= 0. Đặt Sn =x1+x2+ x3 . Chứng minh rằng Sn là số nguyên với mọi n nguyên dương. Câu 116. [9d60](hsg9 Quảng Nam 2019-2020 2020-2021) Cho ph ương trình x2−3( m+1) x+ 2 m2 +7 m− 4= 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt sao cho bình phương của một nghiệm bằng ba lần nghiệm cịn lại. Câu 117. [9d61](hsg9 TP Cần Thơ 2020-2021) Cho phương trình x2+(m+3) x−m2 −10= 0 (*) (m là tham số) . Tìm giá trị của mđể phương trình (*) cĩ hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 3 . a) Chứng minh phương trình f()x= x cĩ hai nghiệm phân biệt. b) Tìm số nghiệm của phương trình f( f( x)) = x . Trang 14
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 112 2. Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn: xy = 1. Chứng minh ++≥ 3 . xyx+ y 48 Câu 120. [9d64](hsg9 Vĩnh Long 2020-2021) Giải phương trình: x2 +−4x += 9 x2 x Câu 121. [9d65](hsg9 Lai Châu 2020-2021) Cho phương trình: x2 −2(m+1) x+ 2m +10= 0( mlà hằng số) . a) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm. b) Giả sử phương trình cĩ hai nghiệm x1, x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 P=x1+x2+ 8x1 x 2 . Câu 122. [9d66](hsg9 Sĩc Trăng 2020-2021) Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 33 22 x x x−(m−1) x−m+m−1= 0. Tìm m để biểu thức P = 1 + 2 đạt giá trị lớn nhất. x2 x1 Câu 123. [9d67](hsg9 Thừa Thiên Huế 2020-2021) Cho phương trình: x2 −(2m+1) x−(m +1) = 0 (1). ( x là ẩn số, m là tham số) a) Giải phương trình (1) khi m = 0. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm âm phân biệt. c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) . Tìm các giá trị của m để biểu thức 111 K =2+2 + đạt giá trị nhỏ nhất. x1x2x1 x 2 Câu 124. [9d68](hsg9 Vĩnh Long 2020-2021) Tìm m để phương trình x2 –2(m+1 ) x+4m = 0 ( x là ẩn, 3232 m là tham số) cĩ hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1−x1=x2− x2 Câu 125. [9d69](hsg9 Vĩnh Phúc 2020-2021) Cho phương trình ẩn x ( m là tham số) : m+353−mmx + 3 −= . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình vơ nghiệm. x+1x−2x2 −x − 2 Câu 126. [9d70](hsg9 Bình Định 2020-2021) 1. Giải phương trình: x−x2−1+x+x2 −1= 2 . 2b− c 2. Cho các số thực a,,bc thỏa mãn ≥ 4 . a Chứng minh rằng phương trình: ax2 + bx+c = 0 luơn cĩ nghiệm. Câu 127. [9d71](hsg9 TP Hà Nội 2020-2021) a) Giải phương trình x2 −x+8=4x + 3 a2b2c2 b) Chứng minh rằng biểu thức K =++ cĩ giá trị là (a−b)(a−c) (b−c)(b−a) (c−a)(c−b) số nguyên, trong đĩ a , b , c là ba số thực đơi một phân biệt. Câu 128. [9d72](hsg9 Bà Rịa - Vũng tàu 2020-2021) Giải phương trình 4x2+5x+12−x2 −x+ 19=x −3 Câu 129. [9d73](hsg9 Bình Phước 2020-2021) Giải phương trình: 2x2+5x+12+2 x2 +3x+2=x +5 Câu 130. [9d74](hsg9 Hưng Yên 2020-2021) Giải phương trình : x2 −x−42=x− 1( 1− x) . Trang 15
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 3x2 −17x + 27 1 [9d75](hsg9 Hải Dương 2020-2021) Giải phương trình: = Câu 131. 4x −9 2x −2− 1 Câu 132. [9d76](hsg9 Nam Định 2020-2021) Tìm tất cả các số thực x,,yz thoả mãn điều kiện 1 2x+2y−x+3z−y=(z +17) . 2 Câu 133. [9d77](hsg9 Nghệ An bảng A 2020-2021) Giải phương trình x2 −5x+22=x− 1−3 x +3 . Câu 134. [9d78](hsg9 Nghệ An bảng B 2020-2021) Giải phương trình x−6=6−x−x −1 . Câu 135. [9d79](hsg9 Quảng Bình 2020-2021) Giải phương trình x+4x−4+x−4x −4= 4 . Câu 136. [9d80](hsg9 Quảng Nam 2020-2021) Tìm giá trị của tham số m để phương trình ( x−1) 2x−1−mx+ m = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt. Câu 137. [9d81](hsg9 Quảng Ngãi 2020-2021) Giải phương trình: x2 −5x−4x +1+ 14= 0 . Câu 138. [9d82](hsg9 Quảng Ninh 2020-2021) Giải phương trình: x2 −5x−4x +1+ 14= 0 . Câu 139. [9d83](hsg9 Thanh Hĩa 2020-2021) Giải ph ương trình: 15(x3+x2+ 2x) =45(x2+2 ) x4 + 4 . Câu 140. [9d84](hsg9 Yên Bái 2020-2021) Giải ph ương trình: x+4+ 2020x+3 = 2020+x2 + 7x +12 (*) Câu 141. [9d85](hsg9 Bắc Giang 2020-2021) Giải phương trình 7x2−5x+6=(11x−1 ) x2 + 3 . Câu 142. [9d86](hsg9 Bắc Ninh 2020-2021) Giải phương trình x−2+4−x=2x2 −5x −1. Câu 143. [9d87](hsg9 Gia Lai 2020-2021) Giải phương trình 4x+3−193−x=− 2x − 5 . Câu 144. [9d88](hsg9 Hà Nam 2020-2021) Giải phương trình: 2x2+5x+11=(x+7 ) 2x2 +1. Câu 145. [9d89](hsg9 Lai Châu 2020-2021) Giải phương trình (x+3)(x−1) + (x +1)2 + 2= 0 . Câu 146. [9d90](hsg9 Nam Định 2020-2021) Giải phương trình: 6x2x3+7=6x3+2x+2242−x3 + 7. Câu 147. [9d91](hsg9 Quảng Nam 2019-2020 2020-2021) Giải phương trình 4x2 −2x−1052−x −1 = 0 Câu 148. [9d92](hsg9 Quảng Nam 2020-2021) Giải phương trình 432+x= 3x−1+ 4 4 − x . Câu 149. [9d93](hsg9 Thái Bình 2020-2021) Giải phương trình (12−x) x2+12 −x2 − 7x −1= 0 Câu 150. [9d94](hsg9 TP Cần Thơ 2020-2021) Giải phương trình x2 +x+82+xx+ 4=−4(x+x + 4) 2 Câu 151. [9d95](hsg9 Tiền Giang 2020-2021) Giải phương trình 7(x2 −x+1) =5( x+x −1) . Câu 152. [9d96](hsg9 Trà Vinh 2020-2021) Giải phương trình (x+4)(x+ 1)− 3x2 +5 x +2= 6 Câu 153. [9d97](hsg9 Bình Định 2020-2021) Tìm tất cả các giá trị của x để: 4 (x−24)(−x) +4x−2 +4 4−x+6x3x−x3 ≤ 30. Câu 154. [9d98](hsg9 Kon Tum 2020-2021) Giải phương trình: 10x− 5+x2 +124= 25x. Câu 155. [9d804](hsg 9 TP Cần Thơ 2021-2022) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2 −16 x−2mx+ m −2= 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho biểu thức P = 22 đạt x1+x2− 6x1 x 2 giá trị nhỏ nhất. Trang 16
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 156. [9d805](hsg 9 Hậu Giang 2021-2022) Cho hai số nguyên tố p và q thỏa mãn x2 −qx+p = 0 cĩ hai nghiệm nguyên dương x1, x2 phân biệt. a) Tìm x1+ x2 và x1.x2 theo p,.q b) Tìm p và q. Câu 157. [9d806](hsg 9 Bắc Giang 2021-2022) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 22 222 (x−3) x+ 2(m+1) x−m = 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt x1,,x2x3 thỏa mãn x1+x2+x3 = 91 . Câu 158. [9d807](hsg 9 Kon Tum 2021-2022) Cho phương trình x2 −2(m+1) x+2m +1= 0 (1) ( m là tham số) . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2 x1+2(m+1) x2 = 57 . Câu 159. [9d808](hsg 9 Lạng Sơn 2021-2022) Cho phương trình ẩn x , tham số m : x2−2(m+1) x+m2 +4= 0. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình cĩ hai nghiệm phân 22 biệt x1, x2 thỏa mãn x1+2(m+1) x2 ≤3m +16. Câu 160. [9d809](hsg 9 Quảng Nam 2021-2022) Tìm giá trị của tham số m để phương trình 22 x+2(m+2) x+m +1= 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1+x2= x1 x 2 . Câu 161. [9d810](hsg 9 Thừa Thiên Huế 2021-2022) Cho các số thực a,,bc thỏa mãn a ≠ 0 và 2 2a+3b+6c = 0 . Chứng minh rằng phương trình ax+ bx+c = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x1− x2 . Câu 162. [9d811](hsg 9 Sơn La 2021-2022) Cho phương trình: x2−(3m−2) x+2m2 −m −3= 0 (1) ,(với x là ẩn số) . a) Chứng minh rằng phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi m. b) Xác định m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1= 3x2 . Câu 163. [9d812](hsg 9 Tuyên Quang 2021-2022) Tìm m để phương trình ( x−1)( x2 −2x+m) = 0 (1) 1111 cĩ ba nghiệm phân biệt x1;x2;x3 thoả mãn ++= . x1 x2 x3 3 Câu 164. [9d813](hsg 9 Vĩnh Long 2021-2022) Cho phương trình x2 −(m+1) x+m−4= 0( 1) , m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x, x thỏa mãn 12 22 ( x1−mx1+m )( x2−mx2 + m) = 2. Câu 165. [9d814](hsg 9 Lai Châu 2021-2022) Tìm m sao cho phương trình x2−(2m+1) x+m2 +1= 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 với x1= 2x2 . Câu 166. [9d815](hsg 9 Điện Biên 2021-2022) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: 22 x+2(m+1) x+m+2m −8= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1−2x2 =1 . Câu 167. [9d816](hsg 9 Lào Cai 2021-2022) Cho phương trình x2−(m−2) x−m2 −3m −8= 0 (1) (m là tham số) . Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) , tìm tất cả các giá trị của tham số m để 33 x x Q = 1 + 2 đạt giá trị lớn nhất. x2 x1 Câu 168. [9d817](hsg 9 Quảng Trị 2021-2022) Giải phương trình 4x2 −2x+1=x + 2. Câu 169. [9d818](hsg 9 Trà Vinh 2021-2022) Giải phương trình sau: 3x2 +2662=x+5 + 10x . Câu 170. [9d819](hsg 9 TP Cần Thơ 2021-2022) Giải phương trình 4x−235−x− 6=3x −8 . Trang 17
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 171. [9d820](hsg 9 Thái Bình 2021-2022) Giải phương trình: 4x3+18x2 + 28x+ 15=3 2 x + 3 . 2x3x Câu 172. [9d821](hsg 9 Hậu Giang 2021-2022) Giải phương trình −= 4. 3x2+x−23x2 −2x − 2 Câu 173. [9d822](hsg 9 Hà Nội 2021-2022) Giải phương trình x+3+3x+1=x + 3. Câu 174. [9d823](hsg 9 Bình Dương 2021-2022) Giải phương trình: 2x2−2x+1=(2x+1)( x2 −x +2− 1) Câu 175. [9d824](hsg 9 Bình Định 2021-2022) Giải ph ương trình: ( x+5 −x +21)( +x2 +7 x +10) = 3 Câu 176. [9d825](hsg 9 Bạc Liêu 2021-2022) Giải phương trình sau: x2+5x+1=(x+5) x2 +1 x2 1 Câu 177. [9d826](hsg 9 Long An 2021-2022) Giải phương trình +=1 3+9− x2 43( − 9− x2 ) Câu 178. [9d827](hsg 9 Nghệ An 2021-2022) Giải phương trình ( x+1) x+2+( x+6) x+7=x2 +7x +12. Câu 179. [9d828](hsg 9 Phú Thọ 2021-2022) Giải phương trình x2 +x−2x +1= 1. 11 Câu 180. [9d829](hsg 9 Phú Yên 2021-2022) Giải phương trình: x+x++x +=1 24 Câu 181. [9d830](hsg 9 Qu ảng Ngãi 2021-2022) Giải ph ương trình: x2 +2020x− 2019= 2 2022x − 2021. 119 Câu 182. [9d831](hsg 9 Tiền Giang 2021-2022) Giải phương trình x+x++x += 244 Câu 183. [9d832](hsg 9 Vĩnh Long 2021-2022) Giải phương trình 22( x−1 ) −35x−6 =3x −8 . Câu 184. [9d833](hsg 9 Yên Bái 2021-2022) Giải phương trình 9x−5132+=−x( 9 x −5− 1) . 8x3 + 4x Câu 185. [9d834](hsg 9 Điện Biên 2021-2022) Giải phương trình: 2x +3 = 2x + 5 Câu 186. [9d835](hsg 9 Bình Phước 2021-2022) Giải phương trình x2 +4x−32+xx+73 +x + 7= 0 Câu 187. [9d836](hsg 9 B ắc Giang 2021-2022) Giải ph ương trình (2x2 −21x+ 55(3) x− 8−x+1)= 5(x − 5) . Câu 188. [9d837](hsg 9 Bắc Kạn 2021-2022) Giải phương trình x− 2018+ 4 x− 2022+ x− 2013− 6 x− 2022= 3. Câu 189. [9d838](hsg 9 Bắc Ninh 2021-2022) Giải phương trình 5x2 +6x+4=3(x+1) 3x2 + 4 . 27x3 + 3 x Câu 190. [9d839](hsg 9 Gia Lai 2021-2022) Giải phương trình sau x 2 +5 = . x 2 + 4 Câu 191. [9d840](hsg 9 Hà Nam 2021-2022) Giải phương trình: 10x−5 +5x2 +5=9x(x +2) (∗) . Câu 192. [9d841](hsg 9 Hưng Yên 2021-2022) Giải ph ương trình: 3(x2x+)( 2−3x4 +) = 2x2 −8x + 4 . Trang 18
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 x + 7 Câu 193. [9d842](hsg 9 Hải Dương 2021-2022) Giải phương trình: 3x2 +6x −3 = . 3 Câu 194. [9d843](hsg 9 Lai Châu 2021-2022) Giải ph ương trình: 2 ( x+5−x+21)( +x+ 7x +10) = 3 . Câu 195. [9d844](hsg 9 Nam Định 2021-2022) Cho ph ương trình (m+2xx2++43)(xxmx2 ++2)( +1 −m −1) = 0, với m là tham số. a) Giải phương trình với m = −1. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho cĩ đúng ba nghiệm phân biệt. Câu 196. [9d845](hsg 9 Qu ảng Nam 2021-2022) Giải ph ương trình 2−x+3+x+2(2−x)(3+x) −7= 0. Câu 197. [9d846](hsg 9 Quảng Ninh 2021-2022) Giải phương trình: x2 −5x−4x +1+ 14= 0 . Câu 198. [9d847](hsg 9 Thanh Hĩa 2021-2022) Giải ph ương trình 5 3x2 −6x−6=3(2−x) +(7− 19x)( 2 − x) . 4x 5 Câu 199. [9d848](hsg 9 TP Hồ Chí Minh 2021-2022) Giải phương trình: += x x +1+ 1 x Câu 200. [9d849](hsg 9 Thừa Thiên Huế 2021-2022) Giải phương trình: 2x−343−=( x−4 x +1) Câu 201. [9d850](hsg 9 Tây Ninh 2021-2022) Giải phương trình (2x+1) 4x2−4x+3=4x2 +1. Câu 202. [9d851](hsg 9 Đà Nẵng 2021-2022) Tìm các cặp số x, y thoả mãn: (x− y)2 +1=(yxy−22 y− 1222+)(y−1 − yxy ) . xy Câu 203. [9d852](hsg 9 Sơn La 2021-2022) Giải phương trình: ( 92−x+3)( 2x+93−) = 4x . Câu 204. [9d853](hsg 9 Hịa Bình 2021-2022) Giải phương trình 2x2−2x+2=(2x+1)( x2 −x +3− 1) . Trang 19
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Chuyên đề 4 Hệ Phương trình x+(m−1) y = 2 Câu 205. [9d99](hsg9 Hịa Bình 2020-2021) Cho hệ phương trình: (m+1) x−y=m +1 1 a) Giải hệ phương trình với m = 2 b) Xác định giá trị của m để hệ cĩ nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn điều kiện x> y. x+2021−y = 4042 Câu 206. [9d100](hsg9 Ninh Bình 2020-2021) Giải hệ phương trình . 2021−x+y = 4042 x+y+z = 2 Câu 207. [9d101](hsg9 Ninh Thuận 2020-2021) Giải hệ phương trình: . 2xy−z 2 = 4 xy+3 y2 +x = 3 Câu 208. [9d102](hsg9 Vĩnh Long 2020-2021) Giải hệ phương trình: x2+xy−2 y2 = 0 Câu 209. [9d103](hsg9 An Giang 2020-2021) Phân tích 2x2+5xy− 3y 2 thành tích các nhân tử. Từ đĩ x2 +xy = 3 giải hệ phương trình . x2+y2 = 5 x3+2xy2 +12 y = 0 Câu 210. [9d104](hsg9 Bà Rịa - Vũng tàu 2020-2021) Giải hệ phương trình 8y2+x2 =12 22 3x+y+4xy = 8 Câu 211. [9d105](hsg9 Bình Phước 2020-2021) Giải hệ phương trình sau: 2 (x+y)(x+xy +2) = 8 x2+y2+z2 =xy+ yz+ zx Câu 212. [9d106](hsg9 Bạc Liêu bảng A 2020-2021) Giải hệ phương trình: x2020+y 2020+z 2020=32021 x2+y2+z2 =xy+ yz+ zx Câu 213. [9d107](hsg9 Bạc Liêu bảng B 2020-2021) Giải hệ phương trình: . x2020+y 2020+z2020 = 3 2021 y 19 1++= xxyx 2 [9d108](hsg9 Hải Dương 2020-2021) Giải hệ phương trình: 2 4y x+xy −4 = Câu 214. x 222 y−y(x−x−1) =x− x Câu 215. [9d109](hsg9 Nghệ An bảng A 2020-2021) Giải hệ phương trình 232 y(x+1) −x+x = 2 . x+2(x+3) =yy(x +2) +1 Câu 216. [9d110](hsg9 Phú Thọ 2020-2021) Giải hệ phương trình 2 x+(y+12)(x−y+5 ) =x +16 Trang 20
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 xy 5  += 5  22x+y − xy Câu 217. [9d111](hsg9 Phú Yên 2020-2021) Giải hệ phương trình:   10 2x+y −xy + = 4.   xy x+y−xy = 1 Câu 218. [9d112](hsg9 Quảng Ngãi 2020-2021) Giải hệ phương trình: 22 . x+y−(x+y) = 2 x+y−xy = 1 Câu 219. [9d113](hsg9 Quảng Ninh 2020-2021) Giải hệ phương trình: 22 . x+y−(x+y) = 2 y2−2xy=8 x2 −6x +1 Câu 220. [9d114](hsg9 Sơn La 2020-2021) Giải hệ phương trình y2=x3+8x2 −x +1 22 x+xy+ y−4y +1= 0 Câu 221. [9d115](hsg9 Thanh Hĩa 2020-2021) Giải hệ phương trình: 2 . (x+1)(x+y−2) = y x−4y = 5 (1) Câu 222. [9d116](hsg9 Trà Vinh 2020-2021) Giải hệ phương trình 2|x−2|| y+x+y − 1|= 7 (2) Câu 223. [9d117](hsg9 Tuyên Quang 2020-2021) Giải các phương trình và hệ phương trình sau : x2 +xy−2x −y +1= 0 a) x4−5x2 +6= 0 b) 2x+y−1−x +2= 0 x+3y= 5xy Câu 224. [9d118](hsg9 Yên Bái 2020-2021) Giải hệ phương trình: (*) x2+y2= 5xy2 x+yy+1=x2+y2 + 2 ( ) Câu 225. [9d119](hsg9 Hà Nam 2020-2021) Giải hệ phương trình: 2 . x+4y − 4 xy−1+yx −1 = 2 x3+y3 = 65 Câu 226. [9d120](hsg9 Hưng Yên 2020-2021) Giải hệ phương trình: x2y+xy2 = 20 xy2+3x 2 = 2y Câu 227. [9d121](hsg9 Nam Định 2020-2021) Giải hệ phương trình: x2y+y2 =−2x . Câu 228. [9d122](hsg9 Quảng Nam 2019-2020 2020-2021) Giải hệ phương trình y3−2x3+3x2y−3xy2 = 0 x2y2−4x2y−y2 −8x+8y +4= 0 2 (x+y) +y2 +x+4y = 0 Câu 229. [9d123](hsg9 Thái Bình 2020-2021) Giải hệ phương trình 2 2 y(x+y) =2x+2x+13y x−2y−xy = 0 Câu 230. [9d124](hsg9 TP Cần Thơ 2020-2021) Giải hệ phương trình 1 x−1−y −1= 1 2 x2+xy−2 y2 = 0 Câu 231. [9d125](hsg9 Lai Châu 2020-2021) Giải hệ phương trình sau: . xy+3 y2 +x = 3 Trang 21
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 x3+2y2=x2 y+ 2xy Câu 232. [9d126](hsg9 Vĩnh Phúc 2020-2021) Giải hệ phương trình: . 2x2−2y−1+3 y3 −14=x − 2 3x+2y=19 Câu 233. [9d127](hsg9 Kiên Giang 2020-2021) Giải hệ phương trình: 2x3−y + 5 (với += 2 y +52x− 3 3 x>,y >−5 ) 2 xy+ x+y=x2− 2y2 Câu 234. [9d128](hsg9 Lạng Sơn 2020-2021) Giải hệ phương trình x2y−yx−12=x− 2y x3+5x=y3 + 5y [9d129](hsg9 Nghệ An bảng B 2020-2021) Giải hệ phương trình x4+y2 = 2 Câu 235. (x+1)2+y2 =xy+y + 1 [9d130](hsg9 Lào Cai 2020-2021) Giải hệ phương trình y3 =x+y + Câu 236. 21 x2+y2 −xy+4 y +1= 0 Câu 237. [9d131](hsg9 Quảng Nam 2020-2021) Giải hệ phương trình . 2 2 3x−y(x−y) +10y + 3= 0 2x+3y = m Câu 238. [9d854](hsg 9 Cao Bằng 2021-2022) Cho hệ phương trình:  ( m là tham số) . 15x−3 y = 3 Tìm giá trị của m để hệ phương trình cĩ nghiệm ( x; y) thoả mãn x>0;y < 0 . mx−2 y = 2 Câu 239. [9d855](hsg 9 Hịa Bình 2021-2022) Cho hệ phương trình (với m là tham số) . 2x+my = 5 5 Tìm m để hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm ( x; y) thỏa mãn x+y = . 2 a+b =1 Câu 240. [9d856](hsg 9 Hậu Giang 2021-2022) Cho hai số thực a,b thỏa mãn . Tìm ab. a3+b3 =19 x2+2xy−3 y2 = 0 Câu 241. [9d857](hsg 9 Trà Vinh 2021-2022) Giải hệ phương trình sau: . xx+yy =−8 Câu 242. [9d858](hsg 9 TP C ần Thơ 2021-2022) Giải hệ phương trình y2 =(5x+4)( 4 − x) . −5x2−4xy+16 x− 8y+y2 +16= 0 x+4y−12.4−xy+ x−8 y −2= 0 Câu 243. [9d859](hsg 9 Thái Bình 2021-2022) Giải hệ phương trình: x−23.4+y + 1= 4 y(x+y)2+y−2= 2x2 Câu 244. [9d860](hsg 9 Lâm Đồng 2021-2022) Giải hệ phương trình . x2+y2 +xy+1= 2y 3 3x−2y+2x+2y = 6 Câu 245. [9d861](hsg 9 Vĩnh Long 2021-2022) Giải hệ phương trình . 333 x− 2y−4x+2y =−22 4x2+1=y2 − 4x Câu 246. [9d862](hsg 9 Bà Rịa – Vũng Tàu 2021-2022) Giải hệ phương trình x2+2y2 = 3xy Trang 22
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 x2+ y2 = 10 Câu 247. [9d863](hsg 9 Quảng Ninh 2021-2022) Giải hệ phương trình: . xyxy2+2 +5x +5 y = 32 x+2022−y = 4044 Câu 248. [9d864](hsg 9 Bình Dương 2021-2022) Giải hệ phương trình: 2022−x+y = 4044 x2+y2 +xy = 7 Câu 249. [9d865](hsg 9 Bạc Liêu 2021-2022) Giải hệ phương trình sau: . x4+y4+x2y2 = 21 22 2xy x+y+=1 Câu 250. [9d866](hsg 9 Long An 2021-2022) Giải hệ phương trình x+ y xy+=x2 − y (x−y)2 +3(x−y) +2= 0 Câu 251. [9d867](hsg 9 Lạng Sơn 2021-2022) Giải hệ phương trình x2+y2 +2xy−10x −10 y +25 = 0 x2+2y2 −3xy+ x−2y = 0 Câu 252. [9d868](hsg 9 Nghệ An 2021-2022) Giải hệ phương trình . x2 +1= 4y xy+x +y = 3 Câu 253. [9d869](hsg 9 Quảng Ngãi 2021-2022) Giải hệ phương trình: 112 += 22 . x+2xy+ 2y 3 1 x 2 ++= x 2 3 yy Câu 254. [9d870](hsg 9 Tiền Giang 2021-2022) Giải hệ phương trình 1 x x ++= 3 yy x3+2xy2 +12 y = 0 Câu 255. [9d871](hsg 9 Điện Biên 2021-2022) Giải hệ phương trình: 8y2+x2 =12 32 −= 1 2x+y−1x+y − 2 Câu 256. [9d872](hsg 9 Đà Nẵng 2021-2022) Giải hệ phương trình: 3x+2y − 3 = 2 (2x+y−1)(x+y − 2) x(3x+1) =y(−2y+7x + 2) Câu 257. [9d873](hsg 9 Bình Phước 2021-2022) Giải hệ phương trình x2 +3xy−4 y +3= 0 x2+2y2 −3xy + 2x− 4y= 0 Câu 258. [9d874](hsg 9 Bắc Kạn 2021-2022) Giải hệ phương trình . x2−y2 =−4 (4x2 +1) x+( y−3) 52−y = 0 Câu 259. [9d875](hsg 9 Bắc Ninh 2021-2022) Giải hệ phương trình . x3−5x2 +3x−82+y = 0 x3+y3 =1+y−x+ xy (1) Câu 260. [9d876](hsg 9 Hà Nam 2021-2022) Giải hệ phương trình: . 7xy+ y−x = 7(2) xy+ x+1= 7y Câu 261. [9d877](hsg 9 Hải Dương 2021-2022) Giải hệ phương trình: . x2y2+xy+1= 13 y2 Trang 23
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 262. [9d878](hsg 9 Nam Định 2021-2022) Giải h ệ phương trình     y   9()x−1 y = y 2 +  ()1   x −1    2 y+ xy −5 x +7 = 02  ( ) x+y−x−y=4x− y Câu 263. [9d879](hsg 9 Phú Thọ 2021-2022) Giải hệ phương trình x2 −9=3y−3x +3− 2 (2x+y)( x+y) +y = 2 Câu 264. [9d880](hsg 9 Quảng Nam 2021-2022) Giải hệ phương trình 4x2+y2 −2x−2y+4xy =−2 43 += 4 2x+y+13x+y + 2 Câu 265. [9d881](hsg 9 Sơn La 2021-2022) Giải hệ phương trình: . 5x+2y + 35 = (2x+y+1.3)(x+y + 2) 4 x2 2 x2 +=6 − yy Câu 266. [9d882](hsg 9 Thanh Hĩa 2021-2022) Giải hệ phương trình 2 42 xy −1 x+x +=12 − yy2 2 11 x++x += 4 y2 y Câu 267. [9d883](hsg 9 Tuyên Quang 2021-2022) Giải hệ phương trình . 3 1x 1 x++ +x = 4 y3 y y Câu 268. [9d884](hsg 9 H ưng Yên 2021-2022) Giải h ệ phương trình 2222 (xyx−)( +xyy ++ 3) =3x( +y ) + 2 (1) xyx2+2 − 2x120−= (2) x2− xy+ y2 = 7 [9d885](hsg 9 Lai Châu 2021-2022) Giải hệ phương trình: x4+ x2 y2+ y4 = 21 Câu 269. x3+y3−xy2 =1 Câu 270. [9d886](hsg 9 Thừa Thiên Huế 2021-2022) Giải hệ phương trình: 4x4+y4 =4x+ y y2−x2 =1+ 2x Câu 271. [9d887](hsg 9 Kon Tum 2021-2022) Giải hệ phương trình . x2+xy+ y2 = 1 Trang 24
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Chuyên đề 5 Bất đẳng thức • 2 2 b 1 Câu 272. [9d143](hsg9 Kiên Giang 2020-2021) Cho hai số thực a,b khác 0 thoả mãn 2a++= 4 4 a2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=ab + 2019 . Câu 273. [9d144](hsg9 Nghệ An bảng B 2020-2021) Cho các số thực dương x,,yz thỏa mãn điều kiện xyx3+ y3 7 ++≥ x2+y2 +z= 3xy . Chứng minh rằng y+zx+ z16z 8 . Câu 274. [9d145](hsg9 Kiên Giang 2020-2021) Cho ba số thực dương thoả mãn: Tích của chúng bằng 1 và tổng của chúng luơn lớn hơn tổng nghịch đảo của chúng. Chứng minh rằng: cĩ một và chỉ một trong ba số đã cho lớn hơn 1. 111 Câu 275. [9d146](hsg9 Lào Cai 2020-2021) Cho 3 số thực dương a,,bc thỏa mãn ++=1 a2b2c2 a22bb 22ca2 c 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =++ . c(a2+b2) a(b2+c2) b(a2+ c2 ) 111 Câu 276. [9d147](hsg9 Lạng Sơn 2020-2021) Cho a,,bc là các số thực dương thỏa mãn ++= 6 a2b2c2 . b22cc2 a2a2b 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =++ . a(b2+c2) b(c2+a2) c(a2+ b2 ) Câu 277. [9d148](hsg9 Quảng Nam 2020-2021) Cho ba số thực dương x,,yz thoả mãn xyz = 1. Tìm giá 111 trị lớn nhất của biểu thức A =++ . x+2yzy +2zx z+ 2xy Câu 278. [9d149](hsg9 Bình Dương 2020-2021) Cho 3 số dương x,,yz thỏa x+y+z = 2 . Tìm giá trị 2818 nhỏ nhất của biểu thức A =++ x9y25z Câu 279. [9d150](hsg9 Tuyên Quang 2020-2021) Cho a;b > 0 thỏa mãn : a+1+2b = 6 .Chứng minh : a+b ≥11 Câu 280. [9d151](hsg9 Hà Tĩnh 2020-2021) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2+y2+z2 +2xyz =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+yz + zx− xyz . Câu 281. [9d152](hsg9 Hưng Yên 2020-2021) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M, N là hai điểm phân biệt di động lần lượt trên trục hồnh và trục tung sao cho đường thẳng MN luơn đi qua điểm cố 11 định I (1; 2) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =+ . OM2ON 2 Câu 282. [9d153](hsg9 Sĩc Trăng 2020-2021) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=10x2+ 4y2 +16x− 12y−12 xy + 2031. 18 2 Câu 283. [9d154](hsg9 Tiền Giang 2020-2021) Cho x, y là các số dương thỏa mãn +=1 tìm giá trị xy nhỏ nhất của biểu thức P=x+ y . Trang 25
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 284. [9d155](hsg9 TP Hà Nội 2020-2021) Cho các số thực khơng âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a2+b2+c2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=a+b+b+c+c+ a . Câu 285. [9d156](hsg9 Bạc Liêu bảng A 2020-2021) 11 1 a) Cho a >0 ; b > 0 ; c > 0 và ++=1. abc a2b2c2 a+b+ c b) Chứng minh rằng: ++≥ a+bc b+ca c+ ab 4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=(x−1)4+(x−3)4+6(x−1)2(x − 3)2 Câu 286. [9d157](hsg9 Bạc Liêu bảng B 2020-2021) x2y2z2 a) Cho x > 0 ; y > 0 ; z > 0 và x3+y3+z3 =1.Chứng minh rằng: ++≥ 2 1−x21−y21− z2 . b) Cho −1 0,bc=3 a2 , a+b+c= abc . Chứng minh rằng: a ≥ 3 Câu 291. [9d162](hsg9 Bắc Ninh 2020-2021) Cho a,,bc là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3 . a(a+c−2b) b(b+a−2c) c(c+b− 2a) Chứng minh rằng ++≥ 0 1+ab1+bc 1+ ca Câu 292. [9d163](hsg9 Ninh Thuận 2020-2021) Chứng minh rằng: 14 a+cb+dc+ad+ b 1) ≥ , với x,y > 0 . 2) +++≥ 4 , với a,,,bcd > 0 . xy (x+ y)2 a+bb+cc+dd+ a Câu 293. [9d164](hsg9 Phú Thọ 2020-2021) Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn abc a+b+c = 2021. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P(a,,bc) =++ . b+ca+ca+ b Trang 26
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 294. [9d165](hsg9 Quảng Bình 2020-2021) Cho a,,bc là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 2 . Chứng minh rằng: a+bb+cc+a (a−1)2( b−1)2 (c −1)2 ++≤4 ++ . a+bb+cc+ a bca Câu 295. [9d166](hsg9 Thái Bình 2020-2021) Cho a,,bc là các số thực dương thỏa mãn 2 ab+1bc +1 ca +1 a2+b2+c2 +(a+b+c) ≤ 4 . Chứng minh rằng ++≥ 3 (a+b)2(b+c)2(c+ a)2 111 Câu 296. [9d167](hsg9 Trà Vinh 2020-2021) Cho ba số dương x ,y , z thỏa mãn ++= 2 1+x1+y1+ z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= xyz . Câu 297. [9d168](hsg9 Bà Rịa - Vũng tàu 2020-2021) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 11 (a+1)(b+ 1)= 4ab . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =+ 3a2+13b2 +1 Câu 298. [9d169](hsg9 Bắc Giang 2020-2021) Cho các số thực dương x,,yz thỏa mãn x+y+z = 3. 111 Chứng minh rằng ++≥ 3 . xy+x +yyz+y +zzx+z + x Câu 299. [9d170](hsg9 Hịa Bình 2020-2021) Cho a,,bc là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 4a9b16c rằng: P =++≥ 26 b+c−ac+a−ba+b− c Câu 300. [9d171](hsg9 Hải Dương 2020-2021) Cho là các số thực dương thỏa mãn: 16xy 25yz 81 zx 2xy+5 yz+6zx = 18 xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =++ 2x+y4z+yx+ 4z Câu 301. [9d172](hsg9 Phú Yên 2020-2021) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 111  111 P=x3 + y3 với x ≠ 0 , y ≠ 0,  + = − + . xy x y  x2xyy 2 1 Câu 302. [9d173](hsg9 Quảng Ngãi 2020-2021) Cho các số thực dương x; y thỏa mãn x +≤1. Tìm y x2−2xy+ 2y 2 giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . xy+ y 2 1 Câu 303. [9d174](hsg9 Quảng Ninh 2020-2021) Cho các số thực dương x; y thỏa mãn x +≤1. Tìm y x2−2xy+ 2y 2 giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . xy+ y 2 111 Câu 304. [9d175](hsg9 Sơn La 2020-2021) Cho 3 số thực dương a,,bc thỏa mãn ++= 1. Tìm a2b2c2 b22cc 2a2a2b 2 giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =++ . a(b2+c2) b(c2+a2) c(a2+ b2 ) Câu 305. [9d176](hsg9 Thanh Hĩa 2020-2021) Cho các số thực dương x,,yz thỏa mãn x2+y2 +4xyz=2( xy + yz+ zx ) . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P=x(1−y)(1− z) . Trang 27
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 306. [9d177](hsg9 Yên Bái 2020-2021) Cho x,,yz là các số thực dương thỏa mãn x2+y2+z2 =1. xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =++ y2+z2z2+x2x2+ y2 Câu 307. [9d178](hsg9 Bình Phước 2020-2021) Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xy+yz + zx = 1 . 111 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =++ 4x2−yz+24 y2−zx+24 z2 −xy + 2 Câu 308. [9d179](hsg9 Hà Nam 2020-2021) Cho a,,bc là ba số thực dương, tùy ý. abc 3 2 Chứng minh rằng: ++≥ . ab+b 2bc+c 2ca+ a2 2 Câu 309. [9d180](hsg9 Kon Tum 2020-2021) Cho x, y thỏa mãn: x2−3y2 −2xy− 2(x−y) + 1= 0 và x+y ≠1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=y2 +2x + 11. Câu 310. [9d181](hsg9 Lai Châu 2020-2021) Cho x,,yz là ba số thực dương thỏa mãn x+y+z = 2 . x2y2z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =++ . y+zz+xx+ y Câu 311. [9d182](hsg9 Thừa Thiên Huế 2020-2021) Cho biểu thức E=x2−3x+y2 +xy + 2025. Với giá trị nào của x, y thì E đạt giá trị nhỏ nhất ? Tính giá trị nhỏ nhất đĩ. 3 Câu 312. [9d183](hsg9 Hưng Yên 2020-2021) Cho các số dương a, b , c thỏa mãn điều kiện a+b+c ≤ 2 11 11 11 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3++ 3++ 3++ . ab bc ca Câu 313. [9d184](hsg9 Nam Định 2020-2021) Cho các số thực dương x,,yz thoả mãn x3+y3+z3 = 24 2 xyz+2(x +y+ z) 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =− . xy+yz + zx xy+ yz+ zx +1 [9d185](hsg9 Quảng Nam 2019-2020 2020-2021) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn Câu 314. 1a1 b a2b+ab2+ ab=a 2+ b2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =1++1+ ab ba Câu 315. [9d186](hsg9 TP Cần Thơ 2020-2021) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x+y ≤1. Tìm 11 giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =+ . x2+xy+2021y2 + xy + 2021 Câu 316. [9d187](hsg9 Vĩnh Long 2020-2021) Cho bốn số thực dương a,,,bxy thỏa mãn a+b= 4ab . Chứng minh rằng: 2 a2b2 (a+ b) ab 1 a) +≥ b) +≥ xyx+ y 4b2+14a2 +1 2 Câu 317. [9d188](hsg9 Vĩnh Phúc 2020-2021) Cho Cho các số thực dương a,,bc . Chứng minh rằng: a25b4 c ++> 2 b+cc+aa+ b Câu 318. [9d888](hsg 9 Trà Vinh 2021-2022) Cho a,,bc là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab+bc + ca≤ a2+b2+c2 <2(ab+bc + ca) Trang 28
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 319. [9d889](hsg 9 Quảng Trị 2021-2022) Cho a,,bc là ba số thực dương. a 1 1. Chứng minh rằng ≤ . a2 + bc 2 bc 2. Biết a2+b2+c2 ≤ 2022abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức abc Q =++ . a2+bcb 2+cac 2 + ab Câu 320. [9d890](hsg 9 Hậu Giang 2021-2022) Cho ba số dương x,,yz thỏa x+y+z = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x+y+y+z+x+ z. abc Câu 321. [9d891](hsg 9 Thái Bình 2021-2022) Cho a,,bc là các số dương thỏa mãn: ++=1 bc caab abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =++ . a2+bc b2+ca c2 + ab 111 Câu 322. [9d892](hsg 9 TP Cần Thơ 2021-2022) Cho các số thực x,,yz > 1 thỏa mãn ++≥ 2. Tìm xyz giá trị lớn nhất của biểu thức M=( x−1)( y−1)( z −1) Câu 323. [9d893](hsg 9 TP Hồ Chí Minh 2021-2022) Cho ba số a,,bc thỏa mãn điều kiện a2+2022+b2+ 2022+ c2 + 2022 ab+bc + ca = 2022 . Chứng minh: ≥ 2 ab+ bc+ ca Câu 324. [9d894](hsg 9 Tuyên Quang 2021-2022) Cho các số thực dương a;;;bcd thoả mãn a≥ c+ d và b≥ c+ d. Chứng minh rằng ab≥ ad+ bc. Câu 325. [9d895](hsg 9 Bình Định 2021-2022) Cho các số thực a≥2;b ≥5; c ≥ 5 thỏa mãn 2a2+b2 +c2 =69 . Chứng minh rằng 12a+13 b + 11c ≥155 . Câu 326. [9d896](hsg 9 Bạc Liêu 2021-2022) 8 a) Chứng minh rằng: (a+b+c+d)2 ≥(ab+ac +ad + bc+ bd+ cd ) với a,,,bcd ∈ℝ . 3 b) Cho ba số dương x,,yz thỏa mãn điều kiện x+y+z = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2y2z2 P =++ . y+zz+xx+ y Câu 327. [9d897](hsg 9 Bình Dương 2021-2022) Cho x,,yz là các số thực dương thỏa mãn: 3 xy+ yz+zx +2 xyz =1. Chứng minh rằng x+y+z ≥ . 2 Câu 328. [9d898](hsg 9 Quảng Ngãi 2021-2022) Cho x,,yz là các số thực thoả mãn điều kiện x+y+z+xy+ yz+zx = 6 . Chứng minh bất đẳng thức x2+y2+z2 ≥ 3. Câu 329. [9d899](hsg 9 Điện Biên 2021-2022) Cho các số thực dương x,,yz thỏa mãn xyz=x +y+z + 2 111 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =++ . x2+2y2+2z2 + 2 Câu 330. [9d900](hsg 9 Phú Yên 2021-2022) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x+y =1. a) Chứng minh rằng x+y ≤ 2 . x+2yy+ 2x b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =+ . 1−x1− y Trang 29
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 331. [9d901](hsg 9 Yên Bái 2021-2022) Cho x,,yz là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh xyz rằng ++≥x+y+ z . x+y−zy+z−xz+x− y Câu 332. [9d902](hsg 9 Cao Bằng 2021-2022) Cho a,,bc là các số dương thoả mãn 1113 a+b +c +2 = abc . Chứng minh: ++≤ . abbc ca 2 Câu 333. [9d903](hsg 9 Lào Cai 2021-2022) a) Cho hai số thực khơng âm a,b . Chứng minh rằng: a3+b3 ≥ab( a+ b) . 11 11 11 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3++ 3++ 3 ++ ; trong đĩ a,,bc là ab bc ca 3 các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c ≤ . 2 Câu 334. [9d904](hsg 9 Thanh Hĩa 2021-2022) Cho a,b là các số thực dương .Chứng minh rằng a+babab a +b+ 2ab Q =+++≥ 3. 1+ab1+a 1+b(1+a)(1+ b) ab Câu 335. [9d905](hsg 9 Thừa Thiên Huế 2021-2022) Cho x là số thực tùy ý. Tìm giá trị lớn nhất của x+1x +1 biểu thức: Q =+ x2+31+ 3x2 Câu 336. [9d906](hsg 9 Vĩnh Long 2021-2022) Cho a,,bc là các số thực dương và thỏa mãn a+b+c = 3 . Chứng minh rằng: abc 3 a) 3(ab +bc+c a) ≤ (a +b + c)2 b) ++≥ . 1+b21+c21+ a2 2 Câu 337. [9d907](hsg 9 Bình Phước 2021-2022) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn : x + y + z =1. xyz CMR: ++≤ 1. x+x+yz y+y+yz z+z+ xy Câu 338. [9d908](hsg 9 Bắc Kạn 2021-2022) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh 111 rằng ++≥ 9. a2+2bc b2+2ac c2 + 2ba Câu 339. [9d909](hsg 9 Bắc Ninh 2021-2022) Cho ba số a,,bc khơng âm thỏa mãn a2+b2+c2 =1. 111 3 Chứng minh bất đẳng thức (a2b+b2c+c2a) ++ ≤ . a2+1b2+1c2 +1 2 Câu 340. [9d910](hsg 9 Hà Nam 2021-2022) Xét a,,bc là ba số thực dương thỏa mãn abc =1. Chứng b2c2a2 1 minh rằng: ++≥ . (ab+22)( ab+ 1) (bc +22)( bc+ 1) (ca +22)(ca + 1) 3 Câu 341. [9d911](hsg 9 Quảng Nam 2021-2022) Cho ba số thực dương x,,yz thỏa mãn xyz =1. Tìm x3−1y3−1z3 −1 giá trị nhỏ nhất của biểu thức H =++ x2+y+zy2+z+xz2 +x+ y Câu 342. [9d912](hsg 9 Sơn La 2021-2022) Cho ba số thực x,,yz thỏa mãn điều kiện 1+ 2 5 x>0, 5x2 =yz , x+y+z= xyz. Chứng minh rằng: x ≥ . 5 Trang 30
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 343. [9d913](hsg 9 Hịa Bình 2021-2022) Cho a,,bc là các số thực dương thoả mãn a+2b+3c ≥11 39137 . Chứng minh rằng: a+b+c +++≥ . a2b4c 4 Câu 344. [9d914](hsg 9 Hưng Yên 2021-2022) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc= 1000 . abc Tìm gái trị lớn nhất của biểu thức P =++ . b4+c4+1000ac 4+a4+1000b a4+b4 +1000c Câu 345. [9d915](hsg 9 Hà Nội 2021-2022) Với các số thực a,,bc thỏa mãn 0≤a,,bc ≤1 và a+b+c = 2 abbc ca , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =++ . 1+ab1+ bc1+ ca Câu 346. [9d916](hsg 9 Nghệ An 2021-2022) Cho các số thực khơng âm a,,bc thỏa mãn a+b+c ≤ 3. 111 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =++ . a2+b2b2+c2c2+ a2 Câu 347. [9d917](hsg 9 Quảng Bình 2021-2022) Cho các số thực dương x,,yz thỏa mãn 111 ++≥ 2022 . Tìm giá trị nhỏ nhất c ủa bi ều thức x+yy+zz+ x y2+3x2z2+ 3y2 x2+ 3z2 P =++ xyyz zx Câu 348. [9d918](hsg 9 Lạng Sơn 2021-2022) Cho x,,yz là các số thực dương thỏa mãn x+y+z = 3. 111 Tìm giá trị nhỏ nhất của P =++ 16x4 yz a Câu 349. [9d919](hsg 9 Tiền Giang 2021-2022) ưVới hai số a>1,b > 1 . Chứng minh rằng ≥ 2 . a −1 a2b2 Từ đĩ tìm giá trị nhỏ nhất của Q =+ b−1a −1 Câu 350. [9d920](hsg 9 Bắc Giang 2021-2022) Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện ab+ bc+ca ≤ 3 abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2+b2b2+c2c2+ a2 =+++++− ++ Pabbcca 2a+2b2b+2c2c+ 2a Câu 351. [9d921](hsg 9 Phú Thọ 2021-2022) Cho các số thực dương a,,bc thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a) =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bi ểu th ức a2+ab+ b2b2+bc+c 2c2+ca+ a 2 P =++ . ab+1bc +1 ca +1 1 Câu 352. [9d922](hsg 9 Quảng Ninh 2021-2022) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x +≤ 1. Tìm giá y x2−2xy+ 2 y2 trị nhỏ nhất của biểu thức P = . xy+ y2 Câu 353. [9d923](hsg 9 Tây Ninh 2021-2022) Cho a,,bc lần lượt là độ dài các cạnh của một tam giác và thoả mãn a+b+c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=27(a2+b2+c2 ) +108 abc . Câu 354. [9d924](hsg 9 Hải Dương 2021-2022) Cho a ; b ; c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c =1 a2+b2+2a2+c2+2c2+b2 + 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =++ . a+b−aba +c−ac c+b− cb Trang 31
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 355. [9d925](hsg 9 Lai Châu 2021-2022) Cho x,,yz là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của x1 y 1 z 1 biểu thức: P = + + + yz+2 zx +2 x+ y 2 Câu 356. [9d926](hsg 9 Nam Định 2021-2022) Xét tam giác ABC cĩ độ dài các cạnh là a, b , c thay đổi và thỏa mãn c+2 b = abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 354 P =++ . b+− c a a +− c b a + b − c Câu 357. [9d927](hsg 9 Bà Rịa – Vũng Tàu 2021-2022) Cho các số dương x,,yz thỏa mãn 2( x2+y2) +2( y2+z2) +2(z2+x2 ) +xyz = 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2y2z2 S =++ . y+zz+xx+ y Câu 358. [9d928](hsg 9 Gia Lai 2021-2022) Cho x,, y z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy+ yz + zx = 5. Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức sau 3x+3 y + 2 z P = . 6(x2++5) 6(y2+ 5) +z 2 + 5 111 Câu 359. [9d929](hsg 9 Kon Tum 2021-2022) Cho các số thực a,,bc thỏa mãn a≥;b≥;c ≥ và 444 a+b+c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=4a−1+4b−1+4c −1. Trang 32
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Chuyên đề 6 Giải bài tốn bằng cách lập pt • . Câu 360. [9d132](hsg9 Lào Cai 2020-2021) Lúc 7 giờ sáng một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa 1 điểm B với khoảng cách là 18 km . Sau khi đi được quãng đường do xe bị hỏng nên người đĩ 3 phải dừng lại sửa mất 20 phút rồi đi tiếp trên đoạn đường cịn lại với vận tốc kém vận tốc lúc đầu là 8 km / h . Khi đến B người đĩ nghỉ lại 30 phút rồi trở về A với vận tốc bằng một nửa vận tốc 1 đi trên quãng đường AB đầu tiên. Biết người đĩ trở về A lúc 10 giờ 20 phút sáng cùng ngày. 3 Hỏi xe đạp hỏng lúc mấy giờ? Câu 361. [9d133](hsg9 Cao Bằng 2020-2021) Một đồn học sinh đi tham quan khu di tích lịch sử hang Pác Bĩ bằng ơ tơ. Nếu mỗi xe chỉ chở 22 học sinh thì cịn thừa một học sinh. Nếu bớt đi một ơ tơ thì cĩ thể phân phối đều số học sinh vào các xe cịn lại. Hỏi lúc đầu cĩ bao nhiêu xe ơ tơ và cĩ bao nhiêu học sinh đi tham quan, biết rằng số học sinh mỗi xe khơng quá 32 em. Câu 362. [9d134](hsg9 Bình Dương 2020-2021) Cho 40 số nguyên dương thay đổi sao cho cĩ tổng bằng 58. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng các bình phương của chúng. Câu 363. [9d135](hsg9 Hịa Bình 2020-2021) Hai bến sơng A và B cách nhau 40 km . Một ca nơ xuơi từ A đến B rồi quay trở về A với vận tốc riêng khơng đổi hết tất cả 2 giờ 15 phút. Khi ca nơ khởi hành từ A thì cùng lúc đĩ, một khúc gỗ cũng trơi tự do từ A theo dịng nước và gặp ca nơ trên đường trở về tại địa điểm cách A là 8km . Tính vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dịng nước. Câu 364. [9d136](hsg9 Hưng Yên 2020-2021) Một nhĩm học sinh được giao sắp xếp 810 quyển sách vào tủ ở thư viện trong một thời gian nhất định. Khi bắt đầu làm việc, nhĩm được bổ sung thêm học sinh nên mỗi giờ nhĩm sắp xếp nhiều hơn dự định 110 quyển sách. Vì vậy khơng những hồn thành trước dự định 1 giờ 30 phút mà cịn vượt mức được giao 60 quyển sách. Hỏi số quyển sách mỗi giờ nhĩm dự định sắp xếp là bao nhiêu? Câu 365. [9d137](hsg9 Sĩc Trăng 2020-2021) Nhân dịp tết Nguyên đán Tân Sửu. Một nhà phân phối bánh kẹo đã chuẩn bị một số giỏ quà để tặng cho các cửa hàng. Tất cả các giỏ quà được đưa vào kho chứa hàng và họ dự định sẽ gửi tất cả giỏ quà đi trong 4 ngày. Ngày thứ nhất, họ vào kho 1 1 và lấy ra số giỏ quà, sau đĩ để lại 3 giỏ. Ngày thứ hai, họ tiếp tục vào kho và lấy ra số giỏ 7 3 1 quà, đồng thời lấy thêm 4 giỏ nữa. Ngày thứ ba, họ lấy ra số giỏ quà từ kho hàng và lấy thêm 2 1 giỏ quà nữa. Cuối cùng cịn lại 42 giỏ quà. Hỏi trong mỗi ngày, họ đã lấy bao nhiêu giỏ quà? Câu 366. [9d138](hsg9 TP Cần Thơ 2020-2021) Một nhĩm bạn trẻ “khởi nghiệp” mở cửa hàng kinh doanh mặt hàng tranh gỗ mỹ nghệ. Nhĩm bạn trẻ được ngân hàng cho vay 100 triệu đồng làm vốn kinh doanh với lãi suất ưu đãi là 5% năm. Cuối đợt 1 sau khi trừ các chi phí thì lãi là 15% so với vốn bỏ ra nên nhĩm bạn trẻ dồn cả vốn và lãi để đầu tư kinh doanh tiếp đợt 2 . Cuối đợt 2 sau khi trừ các chi phí thì lãi là 18% so với vốn đợt 2 bỏ ra. Hỏi sau một năm, qua hai đợt kinh doanh, trả hết nợ ngân hàng thì nhĩm bạn trẻ cịn được bao nhiêu tiền? Câu 367. [9d139](hsg9 Gia Lai 2020-2021) Trong một giải bĩng đá cĩ n đội tham gia thi đấu vịng trịn một lượt (hai đội bất kì thi đấu với nhau đúng một trận) . Ở mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội hồ được 1 điểm, đội thua 0 điểm. Kết thúc giải, người ta nhận thấy số trận thắng-thua gấp Trang 33
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 đơi số trận hồ và tổng số điểm của tất cả các đội là 280 điểm. Hãy tìm n là số đội bong tham gia thi đấu. Câu 368. [9d140](hsg9 Tiền Giang 2020-2021) Một cung thủ bắn hơn 11 lần vào bia và đều trúng vào các vịng 8 điểm, 9 điểm, 10 điểm. Biết tổng số điểm cung thủ đạt được sau các lần bắn là 100 điểm. Hỏi cung thủ đã bắn bao nhiêu lần và mỗi vịng trúng bao nhiêu mũi tên? Câu 369. [9d141](hsg9 TP Cần Thơ 2020-2021) Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi, ban Hồng quyết định mang số tiền tiết kiệm của mình đến nhà sách mua tập để tặng các em thiếu nhi. Bảng giá của nhà sách khuyến mãi như sau: - Loại tập 200 trang: Mua 5 quyển theo giá niêm yết là 10.000đồng/quyển, mua trên 5 quyển mỗi quyển giảm 1.000 đồng theo giá niêm yết. - Loại tập 100 trang: Mua 10 quyển theo giá niêm yết là 6.000 đồng/quyển, mua trên 10 quyển mỗi quyển giảm 10% theo giá niêm yết. Ban đầu Hồng chọn mua loai tập 200 trang, nhưng khi tính tiền lại thì thiếu 17.000 đồng, nên Hồng chọn mua tồn bộ loại tập 100 trang và vừa đủ số tiền mang theo. Tổng số quyển tập loại 100 trang mua được nhiều hơn tổng số quyển tập loại 200 trang mà Hồng đã chọn mua lúc đầu là 10 quyển. Hỏi bạn Hồng đã mang theo bao nhiêu tiền và mua bao nhiêu quyển tập loại 100 trang? Câu 370. [9d142](hsg9 Vĩnh Phúc 2020-2021) Anh A làm ở cơng ty X với mức lương ban đ ầu là 10 triệu đồng/tháng. Nếu hồn thành tốt nhiệm vụ thì cứ sau 6 tháng làm việc lương của anh sẽ được tăng thêm 20% so với mức lương mà anh đang hưởng tại thời điểm đĩ. Hỏi bắt đầu từ tháng thứ mấy kể từ khi vào làm cơng ty X , tiền lương mỗi tháng của anh A nhiều hơn 20 triệu đồng (biết rằng trong suốt thời gian làm việc ở cơng ty X , anh A luơn hồn thành tốt nhiệm vụ) ? Câu 371. [9d930](hsg 9 Lâm Đồng 2021-2022) Một cửa hàng quần áo nhập một cái áo khốc lơng cừu với giá 60 đơ la. Cửa hàng ước tính rằng nếu một cái áo khốc lơng cừu được bán với giá x đơ la thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua 140 – x cái. Hỏi cửa hàng bán một cái áo lơng cừu giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất. Câu 372. [9d931](hsg 9 TP Cần Thơ 2021-2022) Một cửa hàng chi ra số tiền 47 000000 đồng để nhập về 150 bao bột gạo và bao bột bắp. Mỗi bao bột gạo nặng 10kg và được bán ra với giá 300 000 đồng, mỗi bao bột bắp nặng 20 kg và được bán ra với giá 400 000 đồng. Do khâu bảo quản khơng tốt nên 5% số bao bột gạo và 10% số bao bột bắp bị hỏng và khơng thể bán được. Vì vậy, tổng số khối lượng bột gạo và bột bắp bán được là 1850 kg. Hỏi sau khi bán 1850 kg bột gạo và bột bắp, cửa hàng lãi được bao nhiêu tiền? Câu 373. [9d932](hsg 9 TP Cần Thơ 2021-2022) Để khuyến khích người dân sử dụng tiết kiệm điện, Cơng ty điện lực đưa ra bảng giá bán cho thấy nếu sử dụng điện càng nhiều thì giá tiền phải trả cho 1 kWh càng cao. Giá bán điện sinh hoạt năm 2021 được cho theo bảng sau (chưa tính thuế VAT) Mức tiêu thụ (kWh) Giá bán điện (đồng/kWh) Bậc 1: 0 – 50 1678 Bậc 2: 51 – 100 1734 Bậc 3: 101 – 200 2014 Bậc 4: 201 – 300 2536 Bậc 5: 301 – 400 2834 Bậc 6; từ 401 trở lên 2927 Trang 34
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Trong tháng 3 năm 2021, gia đình thầy Thiện đã trả tổng số tiền sử dụng điện là 1 064 294 đồng (bao gồm 10% thuế VAT) . Hỏi gia đình thầy Thiện đã sử dụng bao nhiêu kWh điện trong tháng 3 năm 2021? Câu 374. [9d933](hsg 9 Sĩc Trăng 2021-2022) Giá bán lẻ điện sinh hoạt được tập đồn điện lực Việt Nam chia theo thang giá 6 bậc như sau: Bậc 1: Cho kWh từ 0 đến 50. Bậc 2: Cho kWh từ 51 đến 100, giá mỗi kWh cao hơn bậc 1 là 56 đồng. Bậc 3: Cho kWh từ 101 đến 200 , giá mỗi kWh cao hơn bậc 2 là 280 đồng. Bậc 4: Cho kWh từ 201 đến 300, giá mỗi kWh cao hơn bậc 3 là 522 đồng. Bậc 5: Cho kWh từ 301 đến 400 , giá mỗi kWh cao hơn bậc 4 là 298 đồng. Bậc 6: Cho kWh từ 401 trở lên, giá mỗi kWh cao hơn bậc 5 là 93 đồng. Ngồi ra, người sử dụng cịn phải trả thêm 10% thuế giá trị gia tăng trên tổng số tiền điện sử dụng hàng tháng. Tháng 01 năm 2022, nhà bác Nam sử dụng hết 375 kWh và phải trả 921 965 đồng. Hãy tính giá bán mỗi kWh điện ở từng bậc. Câu 375. [9d934](hsg 9 Lào Cai 2021-2022) Một cửa hàng bán mận tam hoa của Bắc Hà, ngày thứ nhất bán với giá là 50.000 đồng 1 kg; với giá bán này cửa hàng chỉ bán được 50 kg. Ngày thứ hai, nếu cửa hàng này giảm giá bán mỗi kilogam mận đi 1.000 đồng thì số mận tam hoa bán được sẽ tăng thêm là 10 kg. Biết giá nhập về ban đầu 1 kg mận tam hoa là 35.000 đồng, ngày thứ hai để cửa hàng đĩ thu được lợi nhuận là 1.000.000 đồng thì phải bán với giá khơng đổi là bao nhiêu tiền một kilogam mận? Câu 376. [9d935](hsg 9 Hịa Bình 2021-2022) Hưởng ứng tháng Thanh niên, nhà trường dự kiến tổ chức cho những học sinh lớp 9A đủ điều kiện kết nạp Đồn đợt 26/3 một buổi lao động cộng sản trồng 18 cây xanh. Đến ngày lao động, cĩ 3 bạn bị nhiễm Covid 19 nên khơng tham gia trồng cây được, do đĩ mỗi bạn cịn lại phải trồng thêm 1 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra (số cây mỗi học sinh trồng được bằng nhau) . Hỏi thực tế cĩ bao nhiêu học sinh đã tham gia trồng cây? Câu 377. [9d936](hsg 9 Đà Nẵng 2021-2022) Trong phịng họp của cơng ty cĩ một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế bốn người dự họp thì thiếu một ghế. Nếu xếp mỗi ghế năm người dự họp thì thừa một ghế. Hỏi phịng họp của cơng ty cĩ bao nhiêu ghế và bao nhiêu người dự họp? Trang 35
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Chuyên đề 7 Biểu thức • . Câu 378. [9d2](hsg9 Tiền Giang 2020-2021) Cho hàm số y= f(x) với f(x) là một biểu thức đại số xác định với mọi x∈ℝ . Biết rằng (x+1)f(2−x) +(x2+x+4) f(2+x) =x3 +1. Tính giá trị của f (5) . Câu 379. [9d937](hsg 9 Quảng Bình 2021-2022) 5+21+5 − 21 2023 a) Cho x = . Tính giá trị của biều thức P=(1− 7x2019+ x 2021 ) 2 b) Cho các số thực dương x,,yz thỏa mãn x+y+z= xyz . Tính giá trị của biều thức 222222 1(1+y)(1+z) 1(1+z)(1+x) 1 (1+x)(1+ y ) Q =++ yz1+x 2zx1+ y2xy1+ z 2 Câu 380. [9d938](hsg 9 TP Hồ Chí Minh 2021-2022) Cho các số a,bthỏa mãn điều kiện: 8a−3b2a−5b 2a2+7ab−3b 2 =0,b≠ 2,ab≠−2 a . Tính giá trị của biểu thức: M =− 2a−b2a+b Câu 381. [9d939](hsg 9 Yên Bái 2021-2022) 1. Cho x và y là các số thực thỏa mãn x−y = −4 và xy =−2 . Tìm giá trị của biểu thức P=x3− y3 . 1111 2. Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn a++b+=a++b + . Chứng minh abba a= b . Câu 382. [9d940](hsg 9 Hà Nội 2021-2022) Cho a,,bc là các số thực khác 0 , thỏa mãn a2+ab=c 2 +bc 22 a b c và a+ac= b+ bc . Tính giá trị của biểu thức K = 1+ 1+ 1+ . b c a x3 Câu 383. [9d941](hsg 9 Hải Dương 2021-2022) Cho f()x = . Hãy tính giá trị của biểu thức 13−x+ 3x2 1 2 2020 2021 sau: A=f +f +⋯+f + f . 2022 2022 2022 2022 11 1 Câu 384. [9d942](hsg 9 Lào Cai 2021-2022) Cho a,,bc là các số thực khác khơng thỏa mãn ++= 2 abc 111 và a+b+c= abc . Chứng minh rằng ++= 2 . a2b2c2 Câu 385. [9d943](hsg 9 Nam Định 2021-2022) Chứng minh rằng với mọi số dương a và b thay đổi thỏa 111 mãn + = ta luơn cĩ a−1000+−b 1000= a + b . a b 1000 2x4−3x3−15x2 − 2x + 3 Câu 386. [9d944](hsg 9 Sơn La 2021-2022) Tính giá trị biểu thức B = , với x 3x3−10x2 − 2x + 2 x +11 thỏa mãn = . x2 +3x + 87 Trang 36
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 387. [9d945](hsg 9 Thanh Hĩa 2021-2022) Cho a,,bc là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+2abc =1. Tính giá tr ị của bi ểu th ức Q=a(1−b)(1−c) +b(1−c)(1−a) +c(1−a)(1−b) −abc + 2020. Câu 388. [9d946](hsg 9 Phú Yên 2021-2022) Cho x,,yz là các số thực thỏa mãn x+y+z = 0 . Chứng ( xy+2z 2)( yz+2x 2)( xz+ 2y 2 ) minh rằng 2 =−1 (2xy2+2yz 2+2zx 2 + 3 xyz) Câu 389. [9d947](hsg 9 Kon Tum 2021-2022) Cho biểu thức f( x) =x3+ax2 +bx + c , biết f(11)−f (− 8)− 100 f(1) =10;f ( 2) = 20 , Tính giá trị biểu thức S = . 100 Trang 37
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Chuyên đề 8 Số học • Câu 390. [9d189](hsg9 Quảng Nam 2019-2020 2020-2021) Tìm số tự nhiên cĩ 7 chữ số đơi một khác nhau cĩ dạng n = COVID19, biết n chia hết cho 7 và số COVID là số chính phương chia hết cho 5 . Câu 391. [9d190] a) Số nguyên dương n được gọi là số điều hịa nếu tổng các bình phương của các ước dương của nĩ (kể cả 1 và n ) bằng (n + 3)2 . Chứng minh rằng nếu pq (với p,q là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hịa thì pq + 2 là số chính phương. b) Tìm tất cả các số nguyên dương (;)xy thỏa mãn x3+y3=x2+y2 + 42xy . Câu 392. [9d191](hsg9 Nghệ An bảng B 2020-2021) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn x2−y2 =6x +8 . * 3 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n∈ N thì n+ 5n chia hết cho 6 . Câu 393. [9d192](hsg9 Lạng Sơn 2020-2021) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình x6+y6+15y4+z3+ 75y2= 3x2y2z+15x2z − 125. Câu 394. [9d193](hsg9 Lào Cai 2020-2021) Giải phương trình nghi ệm nguyên: y4+2y3−y2−2y−x2 −x = 0 Câu 395. [9d194](hsg9 Quảng Nam 2020-2021) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn đẳng thức x3+y3+3x2−3y2 −3xy+6x = 0 Câu 396. [9d195](hsg9 Bạc Liêu bảng B 2020-2021) a) Chứng minh rằng A =5.72(n+1) +2 3n + 2021 khơng chia hết cho 41. b) Tìm nghiệm nguyên tố x,,yz của phương trình 5(x+y+z) = xyz . Câu 397. [9d196](hsg9 Hưng Yên 2020-2021) 2 2021 2020 (2x−6x + 3) 3+ 5 a) Tính giá trị của biểu thức : B=(10x2 − 30x +11 ) + khi x = x5−3x4+x3 −1 2 b) Tìm các cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn x2 −(2y+3) x−y +1= 0. Câu 398. [9d197](hsg9 Phú Thọ 2020-2021) a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình (x+y−3)2+(y−2)2 =y − 2. b) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên n khơng vượt quá 2021 sao cho n5 + 2021 chia hết cho 30. Câu 399. [9d198](hsg9 Bình Định 2020-2021) 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x2+y)(x+y2 ) =(x− y)3 . 2. Cho 69 số nguyên dương phân biệt khơng vượt quá 100 . Chứng minh rằng cĩ thể chọn ra từ 69 số đĩ 4 số sao cho trong chúng cĩ 1 số bằng tổng của ba số cịn lại. Câu 400. [9d199](hsg9 Bà Rịa - Vũng tàu 2020-2021) 1) Tìm tất cả các số chính phương cĩ ba chữ số và chia hết cho 56 . 2) Tìm tất cả các cặp số nguyên (,)xy thỏa mãn phương trình x2+2y2 −2xy+3 y −4= 0 Câu 401. [9d200](hsg9 Gia Lai 2020-2021) Tìm tất cả các cặp số nguyên(x; y) sao cho x3+y3 +6xy = − 5. Trang 38
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 402. [9d201](hsg9 Phú Yên 2020-2021) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2+5y2 =13. (*) n3 −1 Câu 403. [9d202](hsg9 Quảng Ngãi 2020-2021) Tìm số tự nhiên n sao cho giá trị của biểu thức là 5 số nguyên tố. Câu 404. [9d203](hsg9 Sơn La 2020-2021) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2+2y2 +2xy+3 y −4= 0. Câu 405. [9d204](hsg9 Thanh Hĩa 2020-2021) 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x, y) thỏa mãn phương trình: 2x x2=9y2 −12y + 19 2. Cho x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn x2+y2 + 58 chia hết cho xy . x2+y2 + 58 Chứng minh: chia hết cho 12. xy a−b 2021 Câu 406. [9d205](hsg9 Hà Nam 2020-2021) Tìm các số tự nhiên a,,bc thỏa mãn là số hữu b− c 2021 tỷ và a2+b2+ c2 là số nguyên tố. Câu 407. [9d206](hsg9 Nam Định 2020-2021) 1) Tính tổng các số nguyên x thoả mãn x2 +x−a = 0 với a là số nguyên tố. 2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình (x+y)2 +y+3x=z 2 +1. Câu 408. [9d207](hsg9 Ninh Bình 2020-2021) Tìm các số nguyên x , y thỏa mãn: x2 −5x +7= 3y (*) Câu 409. [9d208](hsg9 TP Hà Nội 2020-2021) a) Tìm tất cả các số nguyên dương x , y , z thỏa mãn 3x+2y=1+ 2z . Câu 410. [9d209](hsg9 Vĩnh Long 2020-2021) a) Cho ba số dương a,,bc thỏa mãn điều kiện a3+ b3+ c3 ⋮ 14 . Chứng minh rằng abc⋮ 14 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2−3y2 +2xy−2x −10y + 4= 0 Câu 411. [9d210](hsg9 Yên Bái 2020-2021) 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x4=y2 +4y +1 2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n + 50 và n −11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đĩ. Câu 412. [9d211](hsg9 Cao Bằng 2020-2021) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn: x2 +xy−2019 x− 2020y −2021 = 0 Câu 413. [9d212](hsg9 Bình Phước 2020-2021) Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình: x2=y2( x+y4+ 2y 2 ). Câu 414. [9d213](hsg9 Thái Bình 2020-2021) Tìm các cặp số tự nhiên (m; n) thỏa mãn 3m −n2 +5n = 7 . Câu 415. [9d214](hsg9 Bạc Liêu bảng A 2020-2021) a) Chứng minh rằng A=5.72(n+1) +2 3n + 2021 khơng chia hết cho 41. b) Tìm nghiệm nguyên tố x ; y ; z của phương trình 5( x+y+z) = xyz. Câu 416. [9d215](hsg9 Nghệ An bảng A 2020-2021) a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để A=a2 +4a + 2021 là một số chính phương. b) Cho đa thức P()x với các hệ số nguyên thỏa mãn P(2019.) P ( 2020) = 2021 . Chứng minh rằng đa thức P(x )− 2022 khơng cĩ nghiệm nguyên. Trang 39
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 417. [9d216](hsg9 Gia Lai 2020-2021) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho số 9p +1 là lập phương của một số tự nhiên. Câu 418. [9d217](hsg9 Lai Châu 2020-2021) Chứng minh rằng: 202143( 43− 17 17 ) + 2020 chia hết cho 5 . Câu 419. [9d218](hsg9 Phú Yên 2020-2021) Biết đa thức x4++4x36px2 +4 qx + r chia hết cho đa thức x3+3x2 +9x +3. Tính giá trị của biểu thức ( p+q)r . Câu 420. [9d219](hsg9 Sĩc Trăng 2020-2021) Cho số tự nhiên n =11 122 25 (số n gồm cĩ 2021 chữ 20212022 số 1; 2022 chữ số 2 và 1 chữ số 5 ở hàng đơn vị) . Chứng minh rằng n là một số chính phương. Câu 421. [9d220](hsg9 Tiền Giang 2020-2021) Tìm sáu số nguyên tố liên tiếp mà cĩ tổng là một số nguyên tố. Câu 422. [9d221](hsg9 TP Hà Nội 2020-2021) a) Cho ba số a , b , c thỏa mãn a+b+ c và ab− bc− ca cùng chia hết cho 3. Chứng minh rằng chia hết cho 9. 3 b) Cho đa thức P( x) =x+ax+ b cĩ một nghiệm là 1+ 3 ( a , b là các số hữu tỉ) . Chứng minh rằng đa thức P(x) chia hết đa thức x2 −2x − 2. Câu 423. [9d222](hsg9 Trà Vinh 2020-2021) Cho a+b+c = 0. Tính giá trị của biểu thức N=a3+b3+c(a2+b2 ) − abc Câu 424. [9d223](hsg9 Vĩnh Phúc 2020-2021) Cho x,,yz là ba số thỏa mãn xyz = 1 và 111 x+y+z =++ . Tính giá trị biểu thức: P=(x9−1)(y2020− 1)(z2021 −1) . xyz Câu 425. [9d224](hsg9 Kon Tum 2020-2021) Cho a,b là các số nguyên thỏa mãn 1+ ab (2−a2−b2 )(a+b)2=4ab+(1− ab )2 .Chứng minh M = là một số nguyên. a2+b2 + ab Câu 426. [9d225](hsg9 Thái Nguyên 2020-2021) a) Tìm nghiệm nguyên dương x, y của phương trình x2+y2 −6x+4y −4= 0. b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì (2020n2 + 2) khơng phải là lập phương của số tự nhiên. c) Tìm các cặp số nguyên tố ( p,q) thỏa mãn 3pq2+p =q3+3p3 + 3. Câu 427. [9d226](hsg9 An Giang 2020-2021) Cho a;b là hai số nguyên tố thoả mãn a2 −7b −4= 0 . Tính tổng a+ b Câu 428. [9d227](hsg9 Bắc Giang 2020-2021) Cho a,,bc là các số nguyên dương thỏa mãn a− b là số nguyên tố và 3c2 =ab+ bc+ ca . Chứng minh rằng 8c +1 là số chính phương. Câu 429. [9d228](hsg9 Cao Bằng 2020-2021) Chứng minh rằng tổng A =122++2+ + 22019 chia hết cho 15. Câu 430. [9d229](hsg9 Hải Dương 2020-2021) 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: 2x2+y2 +3xy+3 x+2y +3= 0 . 2) Cho a,,bc là các số nguyên thỏa mãn: (a−b)(b−c)( c−a ) =a+b+ c . Chứng minh a+b+ c chia hết cho 27. Câu 431. [9d230](hsg9 Ninh Thuận 2020-2021) Tìm các số nguyên dương cĩ 2 chữ số, biết số đĩ là bội của tích 2 chữ số của chính số đĩ. Câu 432. [9d231](hsg9 Tuyên Quang 2020-2021) 2x +1 a) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa A=∈ Z 3x +1 Trang 40
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 2p−1 −1 b) Chứng minh rằng : 23 −1 chia hết cho 2p −1 với mọi số nguyên tố p > 3 Câu 433. [9d232](hsg9 Bắc Ninh 2020-2021) Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn 2222 n=d1+d2+d3+ d4 , trong đĩ d1,,,d2d3d4 là 4 ước số dương nhỏ nhất của n . Câu 434. [9d233](hsg9 Khánh Hịa 2020-2021) a2b +1 a +1 a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (,)ab sao cho: và là các số nguyên. a +1 b −1 b) Trên bản đồ cĩ 2021 đồng xu. Hai bạn An và Bình thực hiện một số trị chơi bằng cách đi lần lượt như sau: mỗi người, đến lượt của mình sẽ lấy đi một số các đồng xu sao cho nĩ là ước của số các đồng xu hiện cĩ trên bàn. Người lấy đồng xu lượt cuối cùng là thua. Nếu An đi trước, Bình sẽ dùng chiến thuật như thế nào để chiến thắng? Câu 435. [9d234](hsg9 Thái Nguyên 2020-2021) Cho các số tự nhiên a,b thỏa mãn (4a2+2b2 +4ab+12a +8 b + 2020) chia hết cho 3 . Chứng minh rằng (a−b) chia hết cho 3 . Câu 436. [9d235](hsg9 Nam Định 2020-2021) Cho 2021 số tự nhiên từ 4 đến 2024 trên bảng, mỗi lần thay bằng một hoặc một vài số bởi tổng các chữ số của nĩ cho đến khi trên bảng chỉ cịn lại các số từ 1 đến 9 . Hỏi cuối cùng trên bảng cĩ bao nhiêu số 3 , bao nhiêu số 7? Câu 437. [9d236](hsg9 Nghệ An bảng A 2020-2021) Cho đa giác đều cĩ 2021 đỉnh, sao cho mỗi đỉnh của đa giác đĩ chỉ được tơ bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đĩ được tơ cùng một màu. Câu 438. [9d237](hsg9 Lạng Sơn 2020-2021) Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tơ bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu. Câu 439. [9d238](hsg9 Nghệ An bảng B 2020-2021) Cho đa giác đều cĩ 2021 đỉnh, sao cho mỗi đỉnh của đa giác đĩ chỉ được tơ bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đĩ được tơ cùng một màu. Câu 440. [9d239](hsg9 Kiên Giang 2020-2021) a) Cho f()x=ax4+ bx3+cx 2 + dx+ e . Xác định các số hữu tỉ a,,,,bcde sao cho f()x−f(x−1) = x3 . Từ đĩ tính tổng: 13+23+33+ + n3 . b) Chứng minh rằng với mọi x, y∈ℤ thì A=(x+y)(x+2) y( x+ 3y)(x+4y ) + y4 là số chính phương. Câu 441. [9d240](hsg9 Thái Bình 2020-2021) Cho biểu thức P( x) =x4+ax3+bx 2 + cx+ d thỏa mãn P(1) =5,P(3 ) =13,P(5 ) = 29 Tính giá trị của bểu thức T=P(−4) + 21.P( 6) n3 −1 Câu 442. [9d241](hsg9 Quảng Ninh 2020-2021) Tìm số tự nhiên n sao cho giá trị của biểu thức 5 là số nguyên tố. Câu 443. [9d242](hsg9 Thái Nguyên 2020-2021) Cĩ n vận động viên tham gia một giải thi đấu cầu lơng theo thể thức loại trực tiếp, nghĩa là vận động viên thua sẽ bị loại ngay (khơng cĩ trận đấu hịa) . Theo thể lệ cuộc thi, hai vận động viên chỉ cĩ thể thi đấu với nhau nếu chênh lệch giữa số trận đã thi đấu của họ khơng quá 1. Biết rằng, cuối cùng chỉ cĩ đúng một vận động viên vơ địch, các vận động viên khác đều đã bị loại. Tìm n nhỏ nhất sao cho vận động viên vơ địch thắng được đúng 10 trận thi đấu. Câu 444. [9d243](hsg9 Ninh Bình 2020-2021) Cho một bảng ơ vuơng m x n (gồm m dịng và n cột) . Cho quy tắc tơ màu bảng ơ vuơng như sau: Mỗi ơ vuơng đơn vị được tơ bằng màu đỏ hoặc màu xanh sao cho bất kì bảng ơ vuơng 2 x 3 hoặc 3 x 2 nào cũng cĩ đúng hai ơ được tơ màu đỏ. Trang 41
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 a) Hãy chỉ ra một cách tơ màu theo quy tắc trên cho bản ơ vuơng 4 x 6 ( Điền chữ Đ vào ơ tơ màu đỏ, chữ X vào ơ được tơ màu xanh) . b) Người ta đã tơ bảng ơ vuơng 2021 x 2022 theo quy tắc trên. Hỏi bảng ơ vuơng này cĩ bao nhiêu ơ được tơ màu đỏ? Câu 445. [9d244](hsg9 Gia Lai 2020-2021) Trong một cuộc họp cĩ 6 đại biểu. người ta nhận thấy cứ ba đại biểu bất kỳ thì cĩ hai người quen nhau. Chứng minh rằng luơn cĩ ba đại biểu trong mỗi người đều quen với hai người cịn lại. Câu 446. [9d245](hsg9 TP Hà Nội 2020-2021) Cho một hình chữ nhật cĩ diện tích bằng 1. Năm điểm phân biệt được đặt tùy ý vào hình chữ nhật sao cho khơng cĩ ba điểm nào thẳng hàng (mỗi điểm trong năm điểm đĩ cĩ thể đặt được đặt trên cạnh hoặc đặt nằm trong hình chữ nhật) . a) Chứng minh rằng mọi tam giác tạo bởi ba điểm trong năm điểm đã cho đều cĩ diện tích 1 khơng vượt quá . 2 b) Với mỗi cách đặt năm điểm vào hình chữ nhật như trên, gọi n là số tam giác cĩ ba đỉnh là ba 1 điểm nằm trong năm điểm đĩ và diện tích khơng vượt qua . Tìm giá trị nhỏ nhất của n . 4 Câu 447. [9d948](hsg 9 Bạc Liêu 2021-2022) a) Với n là số nguyên dương chẵn, chứng minh rằng: 20n+ 16n−3 n −1 chia hết cho 323 . b) Cho C =44 .488 89 . Chứng tỏ rằng C là một số chính phương. n n−1 123 n Câu 448. [9d949](hsg 9 Hậu Giang 2021-2022) Cho Sn =2.2+3.2 +4.2 +⋯+ (n +1).2 (với n là số nguyên dương) gồm n số hạng. a) Tính S5. b) Chứng minh Sn chia hết cho n. Câu 449. [9d950](hsg 9 Lâm Đồng 2021-2022) Cho x,,yz là các số nguyên đơi một khác nhau. Chứng minh rằng: (x−y)3+(y−z)3+(z− x)3 chia hết cho (x−y)(y−z)( z− x ) . Câu 450. [9d951](hsg 9 Lâm Đồng 2021-2022) Số nhà bạn Bình là số nguyên tố gồm hai chữ số ab , biết ab= a2+b2 + 3 . Tìm số nhà bạn Bình? Câu 451. [9d952](hsg 9 Nghệ An 2021-2022) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n khơng chia hết cho 5 thì n4 −1 chia hết cho 5. b) Tìm tất cả các số nguyên tố a,,,,bcde thỏa mãn a4+b4+c4+d4+e4 = abcde. c) Tìm các số nguyên dương a,bthỏa mãn a(ab+1)⋮a 2 + b và b(ab+1)⋮ b2 − a. Câu 452. [9d953](hsg 9 Tây Ninh 2021-2022) Cho a,,bc là các số tự nhiên thoả mãn a+b+c = 30. Tìm dư của phép chia a5+b5+c5 + 2022 cho 30. x4−1y4 −1 Câu 453. [9d954](hsg 9 Bắc Giang 2021-2022) Cho x, y là các số nguyên khác -1 thỏa mãn + y+1x +1 là một số nguyên. Chứng minh rằng x4y 12 −1 chia hết cho y +1. Câu 454. [9d955](hsg 9 Yên Bái 2021-2022) 1. Chứng minh rằng nếu n là một số chính phương thì n3 − n chia hết cho 60 . 2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố ( p,,qr) thỏa mãn q > 2 và p=q2+ r3 . Câu 455. [9d956](hsg 9 Tiền Giang 2021-2022) Cho ba số tự nhiên a,b,c sao cho 7a+2b− 5c chia hết cho 11. Chứng minh rằng 3a−7b+ c cũng chia hết cho 11. Câu 456. [9d957](hsg 9 Tiền Giang 2021-2022) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là số chính phương Trang 42
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 457. [9d958](hsg 9 Gia Lai 2021-2022) Cho số pn=−411n 2 + 49 với n∈ N . Hãy tìm các giá trị của n để p là số nguyên tố. Câu 458. [9d959](hsg 9 Hà Nội 2021-2022) Tìm tất cả các số nguyên a,b sao cho số (a3+b)(b3 + a) là lập phương của một số nguyên tố. Câu 459. [9d960](hsg 9 Phú Thọ 2021-2022) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn x2+7xy+12y 2 +x+3 y −3= 0 . b) Tìm tất cả các số nguyên n > 2022 sao cho 41011+4 1012+2.4 1013+4 1014 +41015 + 2n là số chính phương. Câu 460. [9d961](hsg 9 Quảng Ngãi 2021-2022) 1) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố khác nhau (a;;bc) sao cho a⋅bc.=3(a +b+ c) . 2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên x , y của phương trình 4x2+5y2 +8x = 37 . 3) Chứng minh rằng x3 + 2021x chia hết cho 6 (với x∈ℤ ) . Câu 461. [9d962](hsg 9 Tây Ninh 2021-2022) Cho x, y là các số tự nhiên sao cho x2+y2 +2xy+ x+3y + 2 là một số chính phương. Tính giá trị của biểu thức S=5x−5y + 2022. Câu 462. [9d963](hsg 9 Bà Rịa – Vũng Tàu 2021-2022) 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (;)xy thoả mãn phương trình 4y2 −2xy+6 y−x +7= 0 . 2) Cho ba số nguyên a,,bc thỏa mađ a+b+c = 20222033 . Chứng minh a3+b3+ c3 chia hết cho 3. Câu 463. [9d964](hsg 9 Hà Nội 2021-2022) 1) Tìm tất cả các số tự nhiên m,n thỏa mãn 3m +2022 = n2 . 2) Tìm tất cả số nguyên tố p để phương trình x3+y3 −3xy+1 = p cĩ nghiệm nguyên dương. Câu 464. [9d965](hsg 9 Kon Tum 2021-2022) Tìm tất cả các cặp số nguyên khơng dương ( x, y) thoả mãn x3+y2=xy2 +1. Câu 465. [9d966](hsg 9 Thừa Thiên Huế 2021-2022) Tìm các cặp nghiệm nguyên dương (;)xy thỏa mãn phương trình: x2+y2 +21( +y) x=14 y −1 Câu 466. [9d967](hsg 9 Gia Lai 2021-2022) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau x (2xy++512)( + x2 + x + y) = 105. Câu 467. [9d968](hsg 9 Quảng Ninh 2021-2022) Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn: x3−9y2 +9x−6 y = 1. x a) Chứng minh là phân số tối giản; x 2 + 9 b) Tìm tất cả các cặp số ( x; y) . Câu 468. [9d969](hsg 9 Sĩc Trăng 2021-2022) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y , thỏa mãn: x2−2022xy+ 2021 y2 = 2021 . b) Chứng minh rằng nếu số tự nhiên a khơng chia hết cho 5 thì a8+3a4 − 4 chia hết cho 100. Câu 469. [9d970](hsg 9 Vĩnh Long 2021-2022) Trang 43
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 a) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2023k + 3 khơng phải là lập phương của một số nguyên. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 −2(yx−y) = 2(x + 1) . Câu 470. [9d971](hsg 9 Bắc Ninh 2021-2022) 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương ( x; y) của phương trình 111111 +−=++ . xy 10xy 100 2. Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn p=a2+ b2 là số nguyên tố và p −5 chia hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax2− by2 chia hết cho p . Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p . Câu 471. [9d972](hsg 9 Hải Dương 2021-2022) 1) Tìm các số nguyên x ; y thỏa mãn đẳng thức: 8x2y2+x2+y2 =10xy . 2) Cho p ; x ; y là các số tự nhiên thỏa mãn px2+x =( p+1) y2 + y . Chứng minh rằng px+py +1 là số chính phương. Câu 472. [9d973](hsg 9 Quảng Bình 2021-2022) a) Tìm các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn phương trình (x−y−1)(x+ 1−y)6+xy+ y2 (2−x−y )= 2(x+1)( y +1) b) Cho 2022 điểm phân biệt A1, A2 , , A2022 trên mặt phẳng. Chứng minh rằng trên đường trịn cĩ bán kính R =1 bất kì đều tồn tại điềm M sao cho MA+MA+ +MA ≥ 2022 122022 Câu 473. [9d974](hsg 9 Thanh Hĩa 2021-2022) 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) thỏa mãn phương trình a +3 4−b=344+b+b+3 4 − 4 b+ b . 4 2. Cho ba số tự nhiên a,,bc thỏa mãn a−b là sĩ nguyên tố và ab+ bc+ca = 3 c2 . Chứng minh 8c +1 là sĩ chính phương. Câu 474. [9d975](hsg 9 Thái Bình 2021-2022) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( x; y) thỏa mãn: x3+3x2 +3x+2=(9y +1945)2 . Câu 475. [9d976](hsg 9 Hà Nam 2021-2022) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x +33 = y2 . Câu 476. [9d977](hsg 9 Hịa Bình 2021-2022) Tìm các cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn: x( x2 +x +1) =4y −1. Câu 477. [9d978](hsg 9 Long An 2021-2022) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; y;z) thỏa mãn 3(xy+ yz+ zx)= 4xyz Câu 478. [9d979](hsg 9 Nam Định 2021-2022) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (m; n) thỏa mãn (2mn++512)( m + n + m2 + m) = 105. Câu 479. [9d980](hsg 9 TP Hồ Chí Minh 2021-2022) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (m;n) với m≥ n 3 sao cho A=(m+ n) là ước của B=2.3n( m2+n2 ) + 8 Câu 480. [9d981](hsg 9 Tuyên Quang 2021-2022) Trang 44
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x−y= xy. b) Cho các số nguyên dương a;;bn khơng chia hết cho số nguyên tố lẻ p. Chứng minh rằng p−1 Aabn=(−) 2 +a + b khơng chia hết cho p. Câu 481. [9d982](hsg 9 Bắc Kạn 2021-2022) Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2 =x( x+ 1)( x+ 7)( x+ 8) . Câu 482. [9d983](hsg 9 Sơn La 2021-2022) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2y+3xy+y =x2+2xy2 +3 x +1. Câu 483. [9d984](hsg 9 Điện Biên 2021-2022) 22 1. Tìm tất cả các cặp số ( x; y) nguyên thỏa mãn: x2y2 +(x−2)+(2y−2)−2xy( x+2y −4) = 5 2. Cho ba số tự nhiên a,,bc thỏa mãn điều kiện: 3c2 =ab+c (a+ b) và a−b là số nguyên tố. Chứng minh 8c +1 là số chính phương. Câu 484. [9d985](hsg 9 Lào Cai 2021-2022) a) Chứng minh rằng n3+6n2 +11n + 2022 chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n . b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x3−x2y−4y3 −y −2= 0 . Câu 485. [9d986](hsg 9 Bình Phước 2021-2022) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn 2 phương trình: (x−2022) =y4−6 y3+11y2 − 6y Câu 486. [9d987](hsg 9 Hà Nam 2021-2022) Xét đa thức bậc bốn P( x) =x4+ax3+bx 2 + cx+ d , (với a,,,bcd ∈ ℝ ) thỏa mãn P (−1) = 3, P (3) = 19 và P (5) = 51 . Tính giá trị của T=3P(−2) + 5P (6) . Câu 487. [9d988](hsg 9 Hậu Giang 2021-2022) Cho đa thức f()2x=x4−14 x3+ 5x2 +16x − 10. 7− 35 a) Tìm phần dư khi chia f()x cho x2 −1. b) Tính giá trị f()x khi x = . 0 0 2 Câu 488. [9d989](hsg 9 Thái Bình 2021-2022) Cho đa thức P( x) =6x4−7x3+mx2 +3x + 2 và đa thức Q( x) =x2 −x+ n . Tìm m, n để đa thức P( x) chia hết cho đa thức Q( x) . Câu 489. [9d990](hsg 9 Lâm Đồng 2021-2022) Cho đa thức f( x) =x2 +mx+ n với m, n ∈ ℤ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho f(k) = f(2021) f ( 2022) . Câu 490. [9d991](hsg 9 Hưng Yên 2021-2022) Tìm hai số a và b sao cho đa thức fx( ) = ax3+bx 2 +10x − 4 chia hết cho đa thức gx( ) =x 2 +x− 2 . Câu 491. [9d992](hsg 9 Phú Thọ 2021-2022) Cho P( x) là đa thức bậc ba cĩ hệ số bậc cao nhất bằng 1 và thỏa mãn P (2022) = 2024 , P (2023) = 2025 . Tính giá trị biểu thức P(2024) − P ( 2021) . Câu 492. [9d993](hsg 9 Cao Bằng 2021-2022) Tìm số a để đa thức x4+ax3 + x +1 chia hết cho x2 −x +1. Câu 493. [9d994](hsg 9 Nam Định 2021-2022) Cho đa thức P( x) = x3 +6 x2 + ax + b với a, b là các số hữu tỷ và thỏa mãn P (1−3) = 0. Tính giá trị của biểu thức 2022 Q=18P( 3) +3P(2) +(a − b + 3) . Trang 45
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Câu 494. [9d995](hsg 9 Gia Lai 2021-2022) Cho một đa giác cĩ 10 đỉnh như hình vẽ ở bên (bốn đỉnh: ABCD,,, hoặc BCDE,,, hoặc CDEF,,, hoặc hoặc JABC,,, được gọi là bốn đỉnh liên tiếp của đa giác) . Các đỉnh của đa giác được đánh số một cách tùy ý bởi các số nguyên thuộc tập hợp M = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} (biết mỗi đỉnh chỉ được đánh bởi một số, các số được đánh ở các đỉnh là khác nhau) . Chứng minh rằng ta luơn tìm được 4 đỉnh liên tiếp của đa giác được đánh số thuộc tập hợp M mà tổng các số đĩ lớn hơn 21. Câu 495. [9d996](hsg 9 Bình Định 2021-2022) Cho 2022 điểm trên mặt phẳng, trong đĩ khơng cĩ ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng những điểm này cĩ thể phân thành 1011 cặp (mỗi cặp gồm 2 điểm) sao cho các đoạn thẳng nối hai điểm của mỗi cặp điểm này khơng cắt nhau. Câu 496. [9d997](hsg 9 Lạng Sơn 2021-2022) Cho số tự nhiên n ≥ 0 và cho trước 7n+1 đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng. Chứng minh rằng cĩ n+1 đoạn thẳng đơi một phân biệt hoặc 8 đoạn thẳng cĩ điểm chung. Câu 497. [9d998](hsg 9 Nghệ An 2021-2022) Trong một hoạt động ngoại khĩa cĩ 20 giáo viên và 80 học sinh đến từ nhiều nơi tham gia. Biết rằng mỗi giáo viên quen với ít nhất 65 người và mỗi học sinh quen với tối đa 12 người (Quan hệ quen được xem là cĩ tính 2 chiều: Người A quen người B thì người B cũng quen người A) . Ban tổ chức xếp họ thành 41 nhĩm. Hỏi ban tổ chức cĩ thể xếp sao cho nhĩm nào cũng cĩ 2 người quen nhau khơng? Vì sao? Câu 498. [9d999](hsg 9 Quảng Trị 2021-2022) Tại điểm tiêm chủng số 1 của Trung tâm y tế thành phố Đơng Hà, người ta bố trí một phịng chờ cho những người đến tiêm. Để đảm bảo an tồn về phịng chống dịch Covid-19, yêu cầu khoảng cách tối thiểu giữa hai người bất kỳ trong phịng là 2m . Hỏi tại một thời điểm, phịng chờ đĩ chứa được tối đa bao nhiêu người? Biết rằng nền của phịng chờ là một hình vuơng cĩ diện tích 16m2 . Câu 499. [9d1000](hsg 9 Hà Nội 2021-2022) Trên bảng ta viết số tự nhiên 222 2 gồm 2022 chữ số 2. Mỗi bước ta chọn 22 chữ số liên tiếp nào đĩ cĩ chữ số ngồi cùng bên trái bằng 2 , rồi biến đổi các chữ số được chọn theo qui tắc: chữ số 2 đổi thành chữ số 0 cịn chữ số 0 đổi thành chữ số 2 a) Chứng minh mọi cách thực hiện đều phải dừng lại sau một số hữu hạn bước. b) Giả sử sau khi thực hiện được n bước thì khơng thể thực hiện được thêm bước nào nữa. Chứng minh n là số lẻ. Câu 500. [9d1001](hsg 9 Quảng Ngãi 2021-2022) Trong một tam giác cĩ cạnh lớn nhất bằng 2022 đơn vị, người ta lấy 9 điểm phân biệt. Chứng minh rằng luơn tìm được ba điểm tạo thành tam giác cĩ chu vi khơng vượt quá 3033 đơn vị. Câu 501. [9d1002](hsg 9 Tuyên Quang 2021-2022) Trên một tờ giấy A4 kích thước 210mm× 297 mm, bạn An vẽ 30 đường trịn bán kính 1cm. Chứng minh rằng sau khi bạn An vẽ 30 đường trịn, bạn Bình luơn dựng được 5 hình vuơng cĩ độ dài các cạnh là 2cm mà khơng cĩ điểm chung với bất kỳ đường trịn nào và hai hình vuơng bất kỳ cũng khơng giao nhau. Câu 502. [9d1003](hsg 9 Yên Bái 2021-2022) Trên bảng cho một dãy gồm n số nguyên dương đầu tiên (n∈ℕ, n > 3 ) được sắp xếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến n . Bạn An xĩa đi ba số hạng liên tiếp Trang 46
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 trong dãy, sau đĩ tính tổng tất cả các số cịn lại trên bảng thì nhận được kết quả bằng 2022 . Tìm ba số mà bạn An đã xĩa. Câu 503. [9d1004](hsg 9 Nam Định 2021-2022) Trên một mặt bàn phẳng cĩ 2021 đồng xu kích thước bằng nhau, mỗi đồng xu cĩ hai mặt trong đĩ cĩ một mặt màu xanh và một mặt màu đỏ, đồng thời tất cả các đồng xu đều ngửa mặt màu xanh lên trên mặt bàn. Thực hiện trị chơi sau đây: mỗi lượt chơi phải đổi mặt 10 đồng xu nào đĩ trên mặt bàn. Hỏi sau 2022 lượt chơi cĩ thể nhận được tất cả 2021 đồng xu trên mặt bàn đều ngửa mặt màu đỏ lên trên hay khơng? Hãy giải thích vì sao? Câu 504. [9d1005](hsg 9 Tiền Giang 2021-2022) Một bài kiểm tra Tốn cĩ 20 câu hỏi. Nếu học sinh làm đúng một câu thì được 5 điểm, làm sai một câu bị trừ 1 điểm và khơng làm câu nào thì khơng cĩ điểm. Biết rằng bạn An khơng làm được một số câu và số điểm đạt được là 58. Hỏi An làm bao nhiêu câu đúng, bao nhiêu câu sai và khơng làm bao nhiêu câu? Câu 505. [9d1006](hsg 9 Lai Châu 2021-2022) Tìm số chính phương cĩ bốn chữ số, chữ số hàng đơn vị khác 0, biết rằng số tạo bởi hai chữ số đầu (khơng đổi thứ tự) và tạo bởi hai chữ số cuối (khơng đổi thứ tự) đều là các số chính phương. Câu 506. [9d1007](hsg 9 Sĩc Trăng 2021-2022) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: 111122023 ++++ += . 3 6 10 15n2 + 3n + 22025 Câu 507. [9d1008](hsg 9 Lào Cai 2021-2022) Chọn ngẫu nhiên 1 số tự nhiên cĩ 3 chữ số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 9. Câu 508. [9d1009](hsg 9 Bình Dương 2021-2022) 1. Tìm số tự nhiên n biết tích các chữ số của n bằng n2 −10n − 22 . 2. Tìm các số thực a,b sao cho đa thức 4x4−11x3− 2ax2 +5 bx − 6 chia hết cho đa thức x2 −2x −3 . x3 + x Câu 509. [9d1010](hsg 9 Bình Định 2021-2022) Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn là số xy−1 nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương z sao cho x+y +z = xyz . Câu 510. [9d1011](hsg 9 Cao Bằng 2021-2022) Tìm tất cả các số chính phương cĩ 4 chữ số, biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được một số chính phương. Câu 511. [9d1012](hsg 9 Hưng Yên 2021-2022) Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn 22 (a2+b2 −2ab)(+)+( 1− ab) =− 4ab . Chứng minh rằng 1+ ab là số hữu tỉ Câu 512. [9d1013](hsg 9 Quảng Nam 2021-2022) Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho tổng của số đĩ với tổng các chữ số của nĩ bằng 2023. Trang 47
VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022 Chuyên đề 9 Hình học • Câu 513. [9d246](hsg9 Quảng Bình 2020-2021) Trong mặt phẳng, cho hai điểm B,C cố định với BC=2a (a > 0) và A thay đổi sao cho tam giác ABC vuơng tại A . Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng đi qua A vuơng gĩc với AM cắt các đường phân giác của các gĩc AMB và AMC lần lượt tại P và Q . Gọi D là giao điểm của MP với AB và E là giao điểm của MQ và AC . a) Giả sử AC= 2 AB , tính số đo gĩc BQC . 3 PD M P b) Chứng minh rằng = . QE M Q c) Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo a. Câu 514. [9d247](hsg9 Nghệ An bảng B 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC cĩ D,,EF lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba đỉnh A,,BC của tam giác. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và K là trung điểm của HC. a) Chứng minh rằng 4 điểm E,,,KDF cùng thuộc một đường trịn b) Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt DF tại M . Trên tia DE lấy điểm P sao cho MAP= BAC . Chứng minh rằng MA là phân giác FMP . Câu 515. [9d248](hsg9 Quảng Nam 2020-2021) Cho hình vuơng ABCD cĩ tâm O và cạnh bằng 6 (cm) , điểm M nằm trên cạnh BC . a) Khi BM = 2 (cm) , hạ OK vuơng gĩc với AM tại K . Tính độ dài đoạn thẳng OK . b) Khi điểm M thay đổi trên cạnh BC ( M khơng trùng B và C ) , điểm N thay đổi trên cạnh CD sao cho MAN =45°, E là giao điểm của AN và BD . Chứng minh tam giác AEM vuơng cân và đường thẳng MN luơn tiếp xúc với một đường trịn cố định. Câu 516. [9d249](hsg9 Kiên Giang 2020-2021) Cho hình vuơng ABCD , trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE= AF . Vẽ AH vuơng gĩc với BF ( H thuộc BF ) , AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N . 1. Chứng minh tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 111 2. Chứng minh rằng =+ . AD2AM 2AN 2 Câu 517. [9d250](hsg9 Hà Tĩnh 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Lấy hai điểm D, E lần lượt nằm trên cạnh AB, AC sao cho BD< DA, AE< EC và OD= OE . a) Chứng minh rằng OA2−OD 2 = DADB. . b) Gọi G, H, K lần lượt là trung điểm của đoạn BE, CD và ED. Chứng minh rằng KGH = EKH . Câu 518. [9d251](hsg9 Bình Định 2020-2021) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB , trên nửa đường trịn ()O lấy điểm C sao cho cung BC nhỏ hơn cung AC , qua C dựng tiếp tuyến với đường trịn (O) cắt AB tại D . Kẻ CH vuơng gĩc với AB (H∈ AB) , kẻ BK vuơng gĩc với CD (K∈CD) ; CH cắt BK tại E . a) Chứng minh BK+BD < EC . b) Chứng minh BH.AD = AH . BD . Trang 48