›
›
›

Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6

doc 17 trang thaodu 8110
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_boi_duong_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_6.doc

Nội dung text: Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6

  1. D·y Sè ViÕt theo quy luËt Bài to¸n 1 : TÝnh c¸c tæng sau 1. A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 2. B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 3100 Gi¶i : 1. 2A = 2 + 22 + 23 + + 210 + 211 . Khi ®ã : 2A – A = 211 – 1 2. 3B = 3 + 32 + 33 + + 3100 + 3101. Khi ®ã : 3B – B = 2B = 3101 – 1 . VËy B = Ta nghÜ tíi bµi to¸n tæng qu¸t lµ : TÝnh tæng S = 1 + a + a2 + a3 + + an , a ∈ Z+ , a > 1 vµ n ∈ Z+ Nh©n 2 vÕ cña S víi a ta cã aS = a + a2 + a3 + a4 + + an + an+1 . Råi trõ cho S ta ®­îc : aS – S = ( a – 1)S = an+1 – 1 . VËy : 1 + a + a2 + a3 + + an = . Tõ ®ã ta cã c«ng thøc : an+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a2 + a3 + + an) . Bài tËp ¸p dông : Tính các tổng sau: a) A 1 7 7 2 7 3 7 2007 b) B 1 4 4 2 43 4100 c) Chøng minh r»ng : 1414 – 1 chia hÕt cho 3 d) Chøng minh r»ng : 20092009 – 1 chia hÕt cho 2008 Bµi to¸n 2 : TÝnh c¸c tæng sau A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 Gi¶i : 1) A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 . VÊn ®Ò ®Æt ra lµ nh©n hai vÕ cña A víi sè nµo ®Ó khi trõ cho A th× mét lo¹t c¸c lòy thõa bÞ triÖt tiªu ?.Ta thÊy c¸c sè mò liÒn nhau c¸ch nhau 2 ®¬n vÞ nªn ta nh©n hai vÕ víi 32 , råi trõ cho A ta ®­îc : 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102 A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 32A – A = 3102 – 1 . Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1 . VËy A = ( 3102 – 1): 8 Tõ kÕt qu¶ nµy suy ra 3102 chia hÕt cho 8 2 ) T­¬ng tù nh­ trªn ta nh©n hai vÕ cña B víi 72 råi trõ cho B , ta ®­îc : 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101 B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 72B – B = 7101 – 7 , hay B( 72 – 1) = 7101 – 7 . VËy B = ( 7101 – 7) : 48 T­¬ng tù nh­ trªn ta còng suy ra 7101 – 7 chia hÕt cho 48 ; 7100- 1 chia hÕt cho 48 Bµi tËp ¸p dông : TÝnh c¸c tæng sau : A = 2 + 23 + 25 + 27 + 29 + + 22009 B = 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + + 2200 C = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + + 5101 D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + + 1399 Tổng quát : Tính * 2 4 6 2n b) S1 1 a a a a , với (a 2, n N ) 1
  2. 3 5 2n 1 * c) S2 a a a a , với (a 2, n N ) Bµi tËp kh¸c : Chøng minh r»ng : a. A = 2 + 22 + 23 + 24 + + 260 chia hÕt cho 21 vµ 15 b. B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34+ + 311 chia hÕt cho 52 c. C = 5 + 52 + 53 + 54 + + 512 chia hÕt cho 30 vµ 31 Bài toán 3 : Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 Lời giải 1 : Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được : 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990. A = 990/3 = 330 Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Ta cã kết quả tæng qu¸t sau : A = 1.2 + 2.3 + + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1)/3 Lời giải khác : Lời giải 2 : 3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 990 = 9.10.11 Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, nhưng liên hệ với lời giải 1, ta có : (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Ta có kÕt qu¶ tổng quát : P = 12 + 32 + 52 + 72 + + (2n + 1)2 = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Bài tËp vËn dông : Tính c¸c tổng sau : 1. P = 12 + 32 + 52 + 72 + + 992 2. Q = 112 + 132 + 152 + + 20092. 3. M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100 Bài toán 3 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 C = A + 10.11. Tính giá trị của C. Gi¶i : Theo cách tính A của bài toán 2, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3 Theo c¸ch giải 2 của bài toán 2, ta l¹i cã : C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 + 10.11 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (9.10 + 10.11) = 2( 1 + 3) + 4( 3 + 5) + 6( 5 + 7) + 8 ( 7 + 9) + 10( 9 + 11) = 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + 2.8.8 + 2.10.10 2
  3. = 2.22 + 2.42 + 2.62 + 2.82 + 2.102 = 2.( 22 + 42 + 62 + 82 + 102) VËy C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) = 10.11.12/3 .Tõ ®ã ta cã : 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 10.11.12/6 Ta lại có kết quả tổng quát lµ : 22 + 42 + 62 + + (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Bài tËp ¸p dông : 1. Tính tổng : 202 + 222 + + 482 + 502. 2. Cho n thuộc N*. Tính tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + + (n + 100)2. Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ .Bài toán có một kết quả duy nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n. 3.TÝnh tæng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 999.1000 Bài toán 4 : Chứng minh rằng : 12 + 22 + 32 + + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Lời giải 1 : Xét trường hợp n chẵn : 12 + 22 + 32 + + n2 = (12 + 32 + 52+ + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + + n2) = [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có 12 + 22 + 32 + + n2 = (12 + 32 + 52 + + n 2) + (22 + 42 + 62 + + (n – 1)2) = n(n + 1)(n + 2)/6 + (n – 1)n(n + 1)/6 = n(n + 1)(n + 2 + n – 1)/6 = n(n + 1)( 2n + 1) /6 ( ®pcm) Lêi gi¶i 2 : S = 1² + 2² + 3² + 4² + + n² S = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + + n.n = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + 4(5-1) + n[(n+1)- 1] = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 + + n(n + 1 ) – n = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + n( n + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 + + n ) = - = n( n + 1 ). ) = n( n + 1) Vậy S = VËy ta cã c«ng thøc tÝnh tæng cña d·y sè chÝnh ph­¬ng b¾t ®Çu tõ 1 lµ : 1 2 + 22 + 32 + + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Bài tËp ¸p dông : Tính giá trị cña c¸c biÓu thøc sau: N = 1 + 22 + 32 + 42 + 52 + + 992 A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + + 10000 B = - 12 + 22 – 32 + 42 - - 192 + 202. Gîi ý: Tách B = (22 + 42 + + 202) – (12 + 32 + + 192) ; tính tổng các số trong mỗi ngoặc đơn rồi tìm kết quả của bài toán. Bµi to¸n 5 . TÝnh : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 Gi¶i Nhận xét : Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2 , nhân hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được : 3
  4. 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + + 97.99(101- 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 6A = 3 + 97.99.101 1 97.33.101 A = 161 651 2 Trong bµi to¸n 2 ta nh©n A víi 3. Trong bµi to¸n 5 ta nh©n A víi 6 Ta cã thÓ nhËn thÊy ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau ta nh©n A víi 3 lÇn kho¶ng c¸ch k gi÷a 2 thõa sè trong mçi h¹ng tö. Bài toán 6 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10. Lời giải : Trở lại bài toán 2. mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Häc tËp c¸ch ®ã , trong bài này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số .Ta giải được bài toán nh­ sau : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4 4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + + 8.9.10.(11 – 7)] 4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 = 1980. Tõ ®ã ta có kết quả tổng quát A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 Bµi tËp ¸p dông : TÝnh c¸c tæng sau : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 99.100.101 Bµi to¸n 7 : TÝnh : A = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99 Gi¶i : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + + 95.97.99.101 - 15 95.97.99.101 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 A = 11 517 600 8 Trong bµi 6 ta nh©n A víi 4 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Trong bµi 7 ta nh©n A víi 8 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch) v× mçi h¹ng tö cña A còng cã 3 thõa sè. Bµi to¸n 8 : TÝnh A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100 Gi¶i A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + + (98 + 1).100 = 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + + 100) = 98.100.102 : 6 + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 C¸ch kh¸c :A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + + 99(101 - 1) = 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + + 99) = 171650 – 2500 = 169150 Trong bµi to¸n nµy ta kh«ng nh©n A víi mét sè mµ t¸ch ngay mét thõa sè trong mçi sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn c¸c d·y sè mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh hoÆc dÔ dµng tÝnh ®­îc. Bµi tËp áp dụng 4
  5. 1. TÝnh A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + + 99.99.100 Gi¶i : A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 - 3) + + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 2. TÝnh A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + + 99.1002 Gi¶i : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 Bµi tËp ¸p dông : TÝnh A = 12 + 42 + 72 + . +1002. B = 1.32 + 3.52 + 5.72 + + 97.992. C = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 49.51+ 50.50 D = 1.3 + 5.7 + 9.11 + + 97.101 E = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + - 97.99.101 F = 1.99 + 3.97 + 5.95 + + 49.51 G = 1.33 + 3.53 + 5.73 + + 49.513 H = 1.992 + 2.982 + 3.972 + + 49.512 Bµi to¸n 9 : TÝnh tæng S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³ Lêi gi¶i : Trước hết ta chứng minh một kêt quả sau đây : với n là số tự nhiên thì ta có n3 – n = (n – 1)(n + 1) . Thật vậy : n3 – n = n( n2 – 1) = n( n2 – n + n – 1) = n(n2 – n) + ( n – 1) = nn(n – 1) + ( n – 1) = (n – 1)n( n + 1) đpcm ¸p dông kÕt qu¶ trªn ®Ó tÝnh S Ta có S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³ S = 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 + + n3 – n + ( 1 + 2 + 3 + + n ) S = 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + 4( 42 – 1 ) + + n( n2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + + n ) S = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + + n ) S = = = n( n + 1). = n( n + 1 ). Nhận xét V× = 1 + 2 + 3 + 4 + + n , nªn ta cã kÕt qu¶ rÊt quan träng sau ®©y : 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³ = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + n )² Bµi to¸n 10 : TÝnh c¸c tæng sau : a ) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + + 5
  6. b ) B = 1 + 11 + 111 + 1111 + + c ) C = 4 + 44 + 444 + 4444 + + Gi¶i : a) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + + = 101 – 1 + 102 – 1 + 103 – 1 + + 1010 – 1 = 101 + 102 + 103 + + 1010 – 10 = ( 101+ 102 + 103+ 104 + + 1010 ) – 10 = 0 – 10 = 00 b) B = 1 + 11 + 111 + 1111 + + 9B = 9.(1 + 11 + 111 + 1111 + + ) = 9 + 99 + 999 + + 9B = 00 ( Theo kÕt qu¶ cña c©u a) VËy B = 00 / 9 c) C = 4 + 44 + 444 + 4444 + + = 4(1 + 11 + 111 + 1111 + + ) 9C = 9.4.( 1 + 11 + 111 + 1111 + + ) = 4.( 9 + 99 + 999 + 9999 + + ) = 4. 00 = 00 VËy C = 00 / 9 Bµi tËp ¸p dông : TÝnh c¸c tæng sau : A = 2 + 22 + 222 + 2222 + + B = 3 + 33 + 333 + 3333 + + C = 5 + 55 + 555 + 5555 + + Bµi to¸n 1. TÝnh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 §Ó tÝnh A ta biÕn ®æi A ®Ó xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau. Muèn vËy ta cÇn t¸ch mét thõa sè trong mçi h¹ng tö thµnh mét hiÖu : a = b - c Gi¶i: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + . + 99.100. (101 - 98) 6
  7. = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + + 99.100.101 - 98.99.100 = 99.100.101 A = 33.100.101 = 333 300 2) Mét sè d·y sè dÔ dµng tÝnh ®­îc 1 + 2 + 3 + + n a + (a + k) + (a + 2k) + + (a + nk) k lµ h»ng sè II) Khai th¸c bµi to¸n 1 Trong bµi to¸n 1 . C¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö h¬n kÐm nhau 1 hay c¸ch nhau 1 ®¬n vÞ. Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö ta cã bµi to¸n 2. Bµi to¸n 2 . TÝnh :A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 Gi¶i 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 1 97.33.101 = 3 + 97.99.101 A = 161 651 2 Trong bµi to¸n 1 ta nh©n A víi 3 (a = 3) . Trong bµi to¸n 2 ta nh©n A víi 6 (a = 6). Ta cã thÓ nhËn thÊy ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau ta nh©n A víi 3 lÇn kho¶ng c¸ch gi÷a 2 thõa sè trong mçi h¹ng tö. 3k n(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k) n (n + k) Thay ®æi sè c¸c thõa sè trong tÝch ta cã bµi to¸n 3 Bµi to¸n 3 : TÝnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + . + 98.99.100 Gi¶i :4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + .+ 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + + 98.99.100(101 - 97) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101 A = 98.99.25.101 = 24 497 550 Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö ë bµi 3 ta cã bµi to¸n: 7
  8. Bµi to¸n 4 : TÝnh : A = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99 Gi¶i : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + .+ 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + . + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 -1.3.5.7+ 5.7.9.11- 3.5.7.9 + + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 15 95.97.99.101 = 15 + 95.97.99.101 A = 11 517 600 8 Trong bµi 3 ta nh©n A víi 4 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Trong bµi 4 ta nh©n A víi 8 (bèn n lÇn kho¶ng c¸ch). Nh­ vËy ®Ó gi¶i bµi to¸n d¹ng  n(n k)(n 2k) ta nh©n víi 4k (4 n 1 lÇn kho¶ng c¸ch) sau ®ã t¸ch 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k) Thay ®æi sù kÕ tiÕp lÆp l¹i ë c¸c thõa sè trong bµi to¸n 1 ta cã bµi to¸n: Bµi to¸n 5 : TÝnh : A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + .+ 99.100 Gi¶i :A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + . + (98 + 1).100 = 3 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + . + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + . + 100) = 98.100.102 : 6 + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 C¸ch kh¸c : A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + . + 99(101 - 1) = 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + . + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + + 99) = 171650 – 2500 = 169150 Trong bµi to¸n nµy ta kh«ng nh©n A víi mét sè h¹ng mµ t¸ch ngay mét thõa sè trong tÝch lµm xuÊt hiÖn c¸c d·y sè mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh hoÆc dÔ dµng tÝnh ®­îc. Lµm t­¬ng tù víi c¸c bµi to¸n: Bµi to¸n 6 : TÝnh : A = 12 + 22 + 32 + 42 + + 1002 Gi¶i : A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + + 100(99 + 1) = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + + 99.100 + 100 8
  9. = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + + 100) = 333300 + 5050 = 338350 Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè trong bµi 6 ta cã bµi to¸n: Bµi to¸n 7: TÝnh A = 12 + 32 + 52 + + 992 Gi¶i :A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + + 99(2 + 97) = 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + + 2.99 + 97.99 = 1 + 2(3 + 5 + 7 + + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99) = 1 + 4998 + 161651 = 166650 Trong bµi to¸n 5 vµ 7 cã thÓ sö dông : (n - a) ((n + a) = n2 - a2 n2 = (n - a)(n + a) + a2 . a lµ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè Bµi to¸n 8 TÝnh A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + + 99.99.100 Gi¶i : A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 -3) + . + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 Thay ®æi sè mò cña bµi to¸n 7 ta cã bµi to¸n: Bµi to¸n 9 : TÝnh A = 13 + 23 + 33 + . + 1003 Gi¶i Sö dông : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n n3 = n + (n - 1)n(n + 1) A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + . + 100 + 99.100.101 = (1 + 2 + 3 + . + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + . + 99.100.101) = 5050 + 101989800 = 101994850 Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè ë bµi to¸n 8 ta cã bµi to¸n . Bµi to¸n 10: TÝnh A = 13 + 33 + 53 + . + 993 9
  10. Gi¶i : Sö dông (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + + 97.99.101 + 4.99 = 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + + 99) = 1 + 12487503 + 9996 = 12497500 Víi kho¶ng c¸ch lµ a ta t¸ch : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n. ë bµi to¸n 8, 9 ta cã thÓ lµm nh­ bµi to¸n 6, 7. Thay ®æi sè mò cña mét thõa sè trong bµi to¸n 1 ta cã: Bµi to¸n 11: TÝnh A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + . + 99.1002 Gi¶i :A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 Víi c¸ch khai th¸c nh­ trªn ta cã thÓ khai th¸c, ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n trªn thµnh rÊt nhiÒu bµi to¸n hay mµ trong qu¸ tr×nh gi¶i ®ßi hái häc sinh ph¶i cã sù linh ho¹t, s¸ng t¹o. Trong c¸c bµi to¸n trªn ta cã thÓ thay ®æi sè h¹ng cuèi cïng cña d·y b»ng sè h¹ng tæng qu¸t theo quy luËt cña d·y. *VËn dông c¸ch gi¶i trªn h·y gi¶i c¸c bµi to¸n sau: 1. TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 49.51+ 50.50 2. TÝnh B = 1.3 +5.7+9.11+ + 97.101 3 TÝnh C = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + 7.9.11+ + 97.99.101 4. TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + + 49.51 5. TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + + 49.513 6. TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + + 49.512 10
  11. mét sè ph­¬ng ph¸p tÝnh tæng I. Ph­¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p : Trong mét sè tr­êng hîp khi gÆp bµi to¸n tÝnh tæng h÷u h¹n Sn = a1 + a2 + an (1) B»ng c¸ch nµo ®ã ta biÕt ®­îc kÕt qu¶ (dù ®o¸n , hoÆc bµi to¸n chøng minh khi ®· cho biÕt kÕt qu¶). Th× ta nªn sö dông ph­¬ng ph¸p nµy vµ hÇu nh­ thÕ nµo còng chøng minh ®­îc . VÝ dô 1 : TÝnh tæng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = 1 2 S2 = 1 + 3 =2 2 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 3 Ta dù ®o¸n Sn = n2 Víi n = 1;2;3 ta thÊy kÕt qu¶ ®óng 2 gi¶ sö víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k (2) 2 ta cÇn ph¶i chøng minh Sk + 1 = ( k +1 ) ( 3) ThËt vËy céng 2 vÕ cña ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) 2 2 2 v× k + ( 2k +1) = ( k +1) nªn ta cã (3) tøc lµ Sk+1 = ( k +1) theo nguyªn lý quy n¹p bµi to¸n ®­îc chøng minh vËy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2 T­¬ng tù ta cã thÓ chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau ®©y b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc . n(n 1) 1, 1 + 2+3 + + n = 2 n(n 1)(2n 1) 2, 12 + 2 2 + + n 2 = 6 11
  12. 2 3 3 3 n(n 1) 3, 1 +2 + + n = 2 1 4, 15 + 25 + + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) 12 II . Ph­¬ng ph¸p khö liªn tiÕp : Gi¶ sö ta cÇn tÝnh tæng (1) mµ ta cã thÓ biÓu diÔn ai , i = 1,2,3 ,n , qua hiÖu hai sè h¹ng liªn tiÕp cña 1 d·y sè kh¸c , chÝnh x¸c h¬n , gi¶ sö : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 an = bn – bn+ 1 khi ®ã ta cã ngay : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1 1 1 1 1 VÝ dô 2 : tÝnh tæng : S = 10.11 11.12 12.13 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cã : , , 10.11 10 11 11.12 11 12 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 9 Do ®ã : S = 10 11 11 12 99 100 10 100 100 1 1 1 D¹ng tæng qu¸t Sn = ( n > 1 ) 1.2 2.3 n(n 1) 1 n Sn = 1- n 1 n 1 1 1 1 1 VÝ dô 3 : tÝnh tæng Sn = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cã Sn = 2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 n(n 1) (n 1)(n 2) 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 2 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)(n 2) 1 1 1 n(n 3) Sn = 2 1.2 (n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2) VÝ dô 4 : tÝnh tæng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n .n! ( n! = 1.2.3 n ) 12
  13. Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = 3 ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! VËy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1 3 5 2n 1 VÝ dô 5 : tÝnh tæng Sn = (1.2) 2 (2.3) 2 n(n 1)2 2i 1 1 1 Ta cã : ; i = 1 ; 2 ; 3; ; n i(i 1)2 i 2 (i 1) 2 1 1 1 1 1 1 n(n 2) ) Do ®ã Sn = ( 1- 2 2 2 2 2 = 1- 2 2 2 2 3 n (n 1) (n 1) (n 1) III > Ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh víi Èn lµ tæng cÇn tÝnh: VÝ dô 6 : TÝnh tæng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) ta viÕt l¹i S nh­ sau : S = 1+2 (1+2+22 + + 299 ) S = 1+2 ( 1 +2+22+ + 299 + 2 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Tõ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101 Þ S = 2101-1 2 3 n VÝ dô 7 : tÝnh tæng Sn = 1+ p + p + p + + p ( p 1) 2 n-1 Ta viÕt l¹i Sn d­íi d¹ng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p + + p ) 2 n-1 n n Sn = 1 + p ( 1+p +p + + p + p –p ) n 1 n n+1 n+1 P 1 Sn = 1+p ( Sn –p ) Sn = 1 +p.Sn –p Sn ( p -1 ) = p -1 Sn = Þ Þ Þ p 1 2 n VÝ dô 8 : TÝnh tæng Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) p , ( p 1) 2 3 n +1 Ta cã : p.Sn = p + 2p + 3p + + ( n+ 1) p = 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1 13
  14. = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1 n 1 P 1 n 1 p.Sn=Sn- (n 1)P ( theo VD 7 ) P 1 n 1 n 1 n 1 n+1 p 1 (n 1)P p 1 L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)p - Sn = P 1 Þ p 1 (P 1)2 IV . Ph­¬ng ph¸p tÝnh qua c¸c tæng ®· biÕt n C¸c kÝ hiÖu :  ai a1 a2 a3 an i 1 C¸c tÝnh chÊt : n n n 1, (ai bi )  ai bi i 1 i 1 i 1 n n 2,  a.ai a ai i 1 i 1 VÝ dô 9 : TÝnh tæng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) n n n n 2 2 Ta cã : Sn = i(i 1) (i i) i i i 1 i 1 i 1 i 1 V× : n n(n 1) i 1 2 3 n  2 i 1 (Theo I ) n n(n 1)(2n 1) i 2 i 1 6 n(n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)(n 2) cho nªn : Sn = 2 6 3 VÝ dô 10 : TÝnh tæng : Sn =1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1) n n n n 2 2 ta cã : Sn = i(3i 1) (3i i) Sn = 3i i i 1 i 1 i 1 i 1 3n(n 1)(2n 1) n(n 1) 2 Theo (I) ta cã: Sn = n (n 1) 6 2 3+ 3 3 3 VÝ dô 11 . TÝnh tæng Sn = 1 +2 +5 + + (2n +1 ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ta cã : Sn = [( 1 +2 +3 +4 + +(2n+1) ] –[2 +4 +6 + +(2n) ] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 ) 14
  15. (2n 1) 2 (2n 2) 2 8n 2 (n 1) 2 Sn = ( theo (I) – 3 ) 4 4 =( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) V. VËn dông trùc tiÕp c«ng thøc tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña d·y sè c¸ch ®Òu ( HS líp 6 ) C¬ së lý thuyÕt : + ®Ó ®Õm sè h¹ng cña 1 d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp cña d·y c¸ch nhau cïng 1 sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc: Sè sè h¹ng = ( sè cuèi – sè ®Çu 0 : ( kho¶ng c¸ch ) + 1 + §Ó tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp c¸ch nhau cïng 1 sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc: Tæng = ( sè ®Çu – sè cuèi ) .( sè sè h¹ng ) :2 VÝ dô 12 : TÝnh tæng A = 19 +20 +21 + + 132 Sè sè h¹ng cña A lµ : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( sè h¹ng ) A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 VÝ dô 13 : TÝnh tæng B = 1 +5 +9 + + 2005 +2009 sè sè h¹ng cña B lµ ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 VI / V©n dông 1 sè c«ng thøc chøng minh ®­îc vµo lµm to¸n VÝ dô 14 : Chøng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Tõ ®ã tÝnh tæng S = 1 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1) Chøng minh : c¸ch 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) (k 2) (k 1) = k (k+1) .3 = 3k(k+1) (k 2) (k 1) k(k 1)(k 2) k(k 1)(k 1) C¸ch 2 : Ta cã k ( k +1) = k(k+1). = * 3 3 3 1.2.3 0.1.2 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) 1.2 = Þ Þ 3 3 2.3.4 1.2.3 2.3 3 3 n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1) n(n 1) 3 3 15
  16. 1.2.0 (n 2)n(n 1) (n 1)n(n 2) S = 3 3 3 VÝ dô 15 : CMR: k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) tõ ®ã tÝnh tæng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) (k 3) (k 1) = k( k+1) ( k +2 ) .4 k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)k(k 1)(k 2) Rót ra : k(k+1) (k+2) = 4 4 1.2.3.4 0.1.2.3 ¸p dông : 1.2.3 = 4 4 2.3.4.5 1.2.3.4 2.3.4 = 4 4 n(n 1)(n 2)(n 3) (n 1)n(n 1)(n 2) n(n+1) (n+2) = 4 4 n(n 1)(n 2)(n 3) Céng vÕ víi vÕ ta ®­îc S = 4 * Bµi tËp ®Ò nghÞ: TÝnh c¸c tæng sau 1, B = 2+ 6 +10 + 14 + + 202 2 3 6.2 6 3 2 3 99 100 2, A = 1+2 +2 +2 + + 2 + 2 S = 5 + 5 + 5 + + 5 + 5 C = 7 + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 1 1 1 1 4 4 4 5, S = 6, S = 1.2 2.3 3.4 99.100 5.7 7.9 59.61 5 5 5 5 1 1 1 1 7, A = 8, M = 11.16 16.21 21.26 61.66 30 31 32 32005 1 1 1 2 2 2 9, Sn = 10, Sn = 1.2.3. 2.3.4 n(n 1)(n 2) 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 1 1 11, Sn = 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n 1)(n 2)(n 3) 16
  17. 12, M = 9 + 99 + 999 + + 99 9 (50 ch÷ sè 9 ) 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14. TÝnh S100 =? Trong qu¸ tr×nh båi d­ìng häc sinh giái, t«i ®· kÕt hîp c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn d¹ng tÝnh tæng ®Ó rÌn luyÖn cho c¸c em , ch¼ng h¹n d¹ng to¸n t×m x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820 1 1 1 2 1989 c, 1 + 1 3 6 10 x(x 1) 1991 Hay c¸c bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan 15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 lµ luü thõa cña 2 2 3 60 b, B =2 + 2 + 2 + + 2  3 ; 7; 15 3 5 1991 c, C = 3 + 3 +3 + + 3  13 ; 41 9 8 7 d, D = 11 + 11 +11 + + 11 +1  5 17