Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Chủ đề 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y=f(x) đơn điệu

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Chủ đề 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y=f(x) đơn điệu

1. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 CHỦ ĐỀ 2 TèM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ m ĐỂ HÀM SỐ y f x ĐƠN ĐIỆU I. Cơ sở lý thuyết Cho hàm số y = f (x,m) với m là tham số, cú tập xỏc định D. • Hàm số y = f (x,m) đồng biến trờn D Û y ' ³ 0 " x ẻ D Tham số m • Hàm số y = f (x,m) nghịch biến trờn D Û y ' Ê 0, " x ẻ D • Hàm số y = f (x,m) đồng biến trờn Ă Û y ' = f '(x,m) ³ 0, " x ẻ Ă Û miny ' ³ 0 xẻ Ă • Hàm số y = f (x,m) nghịch biến trờn Ă Û y ' = f '(x,m) Ê 0, " x ẻ Ă Û max y ' Ê 0 xẻ Ă • Hàm số đồng biến trờn Ă thỡ nú phải xỏc định trờn Ă . II. Phương phỏp giải Dạng 1: Nếu y ' = f '(x,m) = ax2 + bx + c thỡ: ỡ ù a > 0 • Để hàm số y = f (x,m) đồng biến (tăng) trờn Ă Û y ' = f '(x,m) ³ 0; " x ẻ Ă Û ớ ù D Ê 0 ợù ỡ ù a < 0 • Để hàm số y = f (x,m) nghịch biến (giảm) trờn Ă Û y ' = f '(x,m) Ê 0; " x ẻ Ă Û ớ ù D Ê 0 ợù Chỳ ý: Đối với hàm phõn số hữu tỉ thỡ dấu “=” khụng xảy ra. Dạng 2: Nếu y ' = ax + b ; " x ẻ [a;b] thỡ: ỡ y '(a) ³ 0 ù • Để hàm số y = f (x,m) đồng biến trờn [a;b]Û y ' ³ 0 ; " x ẻ [a;b]Û ớù ù y '(b) ³ 0 ợù ỡ y '(a) Ê 0 ù • Để hàm số y = f (x,m) nghịch biến trờn [a;b]Û y ' Ê 0 ; " x ẻ [a;b]Û ớù ù y '(b) Ê 0 ợù Dạng 3: Nếu y ' = f '(x) = ax2 + bx + c hoặc y ' = f '(x) là một hàm bất kỳ nào khỏc, mà ta cần y ' = f '(x) ³ 0 hay y ' = f '(x) Ê 0 trờn khoảng (a,b) hoặc đoạn [a,b] (hoặc trờn nửa đoạn hay nửa khoảng nào đú). Thỡ ta làm theo cỏc bước sau: • Bước 1: Tỡm miền xỏc định của y ' = f '(x) . • Bước 2: Độc lập (tỏch) m (hay biểu thức chứa m ) ra khỏi biến x và chuyển m về một vế. Đặt vế cũn lại là g(x) . Lưu ý khi chuyển vế thành phõn thức thỡ phải để ý điều kiện xỏc định của biểu thức để khi xột dấu g'(x) ta đưa vào bảng xột dấu g'(x) . • Bước 3: Tớnh g'(x) . Cho g'(x) = 0 và tỡm nghiệm. • Bước 4: Lập bảng biến thiờn của g'(x) . • Bước 5: Kết luận: “Lớn hơn số lớn – Bộ hơn số bộ”. Nghĩa là: + khi ta đặt m ³ g(x) thỡ dựa vào bảng biến thiờn ta sẽ lấy giỏ trị m ³ số lớn nhất trong bảng biến thiờn + khi ta đặt m Ê g(x) thỡ dựa vào bảng biến thiờn ta sẽ lấy giỏ trị m Ê số nhỏ nhất trong bảng biến thiờn Dạng 4: Tỡm m để hàm số y = ax 3 + bx2 + cx + d cú độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l . Ta giải như sau: • Bước 1: Tớnh y ' = f '(x) . Trang 1
2. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 ỡ a ạ 0 ù • Bước 2: Tỡm điều kiện để hàm số cú khoảng đồng biến và nghịch biến: ớ (1). ù D > 0 ợù 2 2 • Bước 3: Biến đổi x1 - x2 = l thành (x1 - x2 ) - 4x1.x2 = l (2). • Bước 4: Sử dụng định lý Viột đưa (2) thành phương trỡnh theo m . • Bước 5: Giải phương trỡnh, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. III. Một số lưu ý khi giải toỏn • Lưu ý 1: Cần sử dụng thành thạo định lớ Viột và so sỏnh nghiệm của phương trỡnh bậc hai với số . • Lưu ý 2: Ta cú thể dựng dạng toỏn loại 3 để giải bài toỏn tỡm tham số m của một bất phương trỡnh hoặc tỡm điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm, vụ nghiệm hoặc 1, 2, n nghiệm, Mọi thắc mắc, đúng gúp liờn hệ facebook của mỡnh: DẠNG 1 HÀM SỐ ĐA THỨC 1 Cõu 1. Cho hàm số sau y x3 mx2 (2m 3)x m 2 . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho 3 hàm số luụn nghịch biến trờn A ? A. . B.3 m .1C. .D. m 1 . 3 m 1 m 3;m 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn A Tập xỏc định: D Ă . Ta cú y x2 2mx 2m 3 . ay 0 1 0 (hn) Để hàm số nghịch biến trờn thỡ y 0, x 3 m 1 Ă Ă 2 0 m 2m 3 0 Cõu 2. Cho hàm số sau y 2x3 3(m 2)x2 6(m 1)x 3m 5 . Cú bao nhiờu giỏ trị thực của tham số m để hàm số luụn đồng biến trờn Ă ? A. 4.B. Vụ số .C. 5.D. 1. HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn D. Tập xỏc định: D Ă . Ta cú y ' 6x2 6x m 2 6 m 1 . ay' 0 2 Để hàm số đồng biến trờn Ă thỡ m 2 4 m 1 0 m 0 y' 0 Trang 2
3. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x3 Cõu 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số y mx2 mx m luụn đồng biến trờn Ă ? 3 A. m 5 .B. .C. m .D. 0 . m 1 m 6 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn C. Tập xỏc định: D Ă . Ta cú y x2 2mx m 1 0(hn) Hàm số đồng biến trờn y 0,x 1 m 0 Ă Ă 2 m m 0 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến trờn Ă là m 1 Cõu 4. Tổng cỏc giỏ trị nguyờn của tham số m  10;10 để hàm số y x3 3x2 3(m 2)x 3m 2021 đồng biến trờn trờn Ă là: A. 27 .B. 35 .C. 44 .D. 54 . HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn C. y x3 3x2 3(m 2)x 3m 2021 * Hàm số đó cho xỏc định trờn D = Ă . * Để hàm số đồng biến trờn Ă Û y ' = 3x2 - 6x + 3(m + 2)³ 0, " x ẻ Ă . ùỡ ỡ ù a > 0 ù 3 > 0 Û ớù Û ớ Û m ³ - 1 . ù D ' Ê 0 ù 9- 9(m + 2) Ê 0 ợù ùợ * Vậy m ³ - 1thỡ hàm số đồng biến trờn Ă . Do m  10;10 nờn Tổng cỏc giỏ trị nguyờn của tham số là 44 . b b Cõu 5. Biết giỏ trị tham số m a; (với a,b,c  và là phõn số tối giản) thỡ hàm số c c a2 b2 y x3 2m 1 x2 2 m x 2 đồng biến trờn trờn Ă . Giỏ trị biểu thức P c 9 13 13 A. P .B. P .C. P 4 .D. P . 4 2 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn B. Hàm số đó cho xỏc định trờn D = Ă . * Để hàm số đồng biến trờn Ă Û y ' = 3x2 - 2(2m - 1)x + (2- m)³ 0, " x ẻ Ă . ùỡ a = 3 > 0 ù 5 Û ớ 2 Û - 1 Ê m Ê . ù D ' = 2m - 1 - 3 2- m = 4m2 - m - 5 Ê 0 4 ợù ( ) ( ) 5 * Vậy - 1 Ê m Ê thỡ hàm số đồng biến trờn Ă . 4 a 1 b a2 b2 13 Do m a; nờn b 5 P c c 2 c 4 Trang 3
4. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Cõu 6. Hỏi cú bao nhiờu số nguyờn m để hàm số y m 2 1 x3 m 1 x2 x 4 nghịch biến trờn khoảng ; . A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn A TH1: m 1. Ta cú: y x 4 là phương trỡnh của một đường thẳng cú hệ số gúc õm nờn hàm số luụn nghịch biến trờn Ă . Do đú nhận m 1. TH2: m 1. Ta cú: y 2x2 x 4 là phương trỡnh của một đường Parabol nờn hàm số khụng thể nghịch biến trờn Ă . Do đú loại m 1. TH3: m 1. Khi đú hàm số nghịch biến trờn khoảng ; y 0 x Ă , dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trờn Ă . 3 m2 1 x2 2 m 1 x 1 0 , x Ă 2 2 1 m 1 a 0 m 1 0 m 1 0 1 2 1 m 1 . Vỡ m  0 m 1 3 m2 1 0 m 1 4m 2 0 m 1 2 2 nờn m 0 . Vậy cú 2 giỏ trị m nguyờn cần tỡm là m = 0 hoặc m = 1. a a Cõu 7. Biết giỏ trị tham số m ;c (với a,b,c  và là phõn số tối giản) thỡ hàm số b b 1 a2 b2 c2 y 3 m x3 m 3 x2 m 2 x 2020 đồng biến trờn trờn Ă . Giỏ trị biểu thức P 3 a.b.c 14 14 7 7 A. P .B. P .C. P .D. P . 5 5 3 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn D * Hàm số đó cho xỏc định trờn D = Ă . Để hàm số (1) luụn tăng trờn Ă Û y ' = (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + (m + 2)³ 0 " x ẻ R * Trường hợp 1: 3 - m = 0 Û m = 3 ị y ' = - 12x + 5 ị m = 3 khụng thỏa * Trường hợp 2: 3 - m ạ 0 Û m ạ 3 Để hàm số (1) luụn tăng trờn Ă Û y ' ³ 0 " x ẻ R ỡ ùỡ a = 3- m > 0 ù m < 3 ù ù 3 Û 2 Û Û - Ê m Ê - 1. ớ 2 ớ 3 ù D ' = (m + 3) - (3- m)(m + 2)= 2m + 5m + 3 Ê 0 ù - Ê m Ê - 1 2 ợù ợù 2 a a2 b2 c2 7 Do m ;c nờn P b a.b.c 3 Trang 4
5. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Cõu 8. Biết giỏ trị tham số m ;ab; (với a,b  ) thỡ hàm số 1 a2 b2 y m2 1 x3 m 1 x2 3x 2 đồng biến trờn trờn Ă . Giỏ trị biểu thức P 3 a.b 3 5 1 1 A. P .B. P .C. P .D. P . 2 2 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn A * Hàm số đó cho xỏc định trờn D = Ă . * Để hàm số luụn đồng biến trờn Ă Û y ' = (m2 - 1)x2 + 2(m + 1)x + 3 ³ 0. + Trường hợp 1: m2 - 1 = 0 Û m = ± 1 Với m = - 1 ị y ' = 3 > 0 " x ẻ Ă ị m = - 1 thỏa Với m = 1 ị y ' = 4x + 3 ị m = 1 khụng thỏa + Trường hợp 2: m2 - 1 ạ 0 Û m ạ ± 1 Để hàm số (1) luụn tăng trờn Ă Û y ' ³ 0 " x ẻ R ỡ ỡ 2 ùỡ ù a > 0 ù m - 1 > 0 ù m ẻ (- Ơ ;- 1)ẩ (1;+ Ơ ) Û ớ Û ớù Û ớù Û m ẻ (- Ơ ;- 1)ẩ ộ2;+ Ơ ). ù D Ê 0 ù - 2m2 + 2m + 4 Ê 0 ù m ẻ - Ơ ;- 1ựẩ ộ2;+ Ơ ởờ ợù ợù ợù ( ỷỳ ởờ ) ự ộ Kết hợp hai trường hợp ị m ẻ (- Ơ ;- 1ỷỳẩ ởờ2;+ Ơ ) a2 b2 3 Do m ;ab; nờn P a.b 2 Cõu 9. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 6x2 mx 1 đồng biến trờn khoảng 0; ? A. m 0 .B. .C. m .D. 12 . m 0 m 12 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn D. Cỏch 1:Tập xỏc định: D Ă . Ta cú y 3x2 12x m • Trường hợp 1: 3 0 (hn) Hàm số đồng biến trờn A y 0, x Ă m 12 36 3m 0 • Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trờn 0; y 0 cú hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 x2 0 (*) ✓ Trường hợp 2.1: y 0 cú nghiệm x 0 suy ra m 0 . Nghiệm cũn lại của y 0 là x 4 (khụng thỏa (*)) ✓ Trường hợp 2.2: y 0 cú hai nghiệm x1, x2 thỏa 0 36 3m 0 x1 x2 0 S 0 4 0(vl) khụng cú m .Vậy m 12 P 0 m 0 3 Cỏch 2: Hàm số đồng biến trờn 0; m 12x 3x2 g(x),x (0; ) . Lập bảng biến thiờn của g(x) trờn 0; . Trang 5
6. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 0 2 +∞ g + 0 – 12 g 0 –∞ Vậy m 12 Cõu 10. Tổng cỏc giỏ trị nguyờn của tham số m  10;10 để hàm số y x3 2mx2 m 1 x 1 đồng ộ ự biến trờn đoạn ởờ0;2ỷỳ. A. 45 .B. 46 .C. 45 . D. 55 . HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn D. Cỏch 1: chỉ dựng khi tham số m cựng bậc 3 2 ộ ự * Để hàm sốy = x - 2mx - (m + 1)x + 1đồng biến (tăng) trờn đoạn ởờ0;2ỷỳthỡ 2 ộ ự y ' = 3x - 4mx - m - 1 ³ 0 ; " x ẻ ởờ0;2ỷỳ 2 ộ ự Û 3x - 1 ³ m (4x + 1) ; " x ẻ ởờ0;2ỷỳ 2 3x - 1 ộ ự Û m Ê = g(x) ; " x ẻ ờ0;2ỳ. (4x + 1) ở ỷ 12x2 + 6x + 4 * Tớnh g'(x) = > 0, " x ẻ ộ0;2ự. 2 ởờ ỷỳ (4x + 1) * Bảng biến thiờn: x 0 2 g'(x) + 11 9 g(x) 1 * Dựa vào bảng biến thiờn: m Ê - 1 (m Ê g(x) nờn lấym nhỏ hơn số nhỏ trong BBT). Do m  10;10 nờn tổng cỏc giỏ trị m nguyờn là 55 Cỏch 2: cỏch này làm dài dũng và phức tạp hơn y = x 3 - 2mx2 - (m + 1)x + 1 ị y ' = 3x 2 - 4mx - (m + 1) + Cho y ' = 0 Û 3x 2 - 4mx - (m + 1) = 0 (1) ổ ùỡ 4 > 0 ử 2 2 ỗ ù ữ D ' = 4m + 3 m + 1 = 4m + 3m + 3 > 0, " m ẻ Ă ỗvi ớ ữ ( ) ỗ ù D = 9 - 4.4.3 < 0ữ ốỗ ợù ứữ Trang 6
7. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 ộ 2 ờ 2m - 4m + 3m + 3 ờx1 = ị ờ 3 ờ 2m + 4m2 + 3m + 3 ờx = ởờ 2 3 * Bảng biến thiờn: - Ơ x x + Ơ x 1 2 y ' + 0 - 0 + + Ơ y - Ơ ộx ³ 2 ộ0;2ựè - Ơ ;x ự ộ ự ờ 1 (ởờ ỷỳ ( 1ỷỳ) * Dựa vào bảng biến thiờn: Để hàm số đồng biến (tăng) trờn đoạn ờ0;2ỳthỡ: ờ ở ỷ ờx Ê 0 ộ0;2ựè ộx ;+ Ơ ở 2 (ởờ ỷỳ ởờ 2 )) ộùỡ 2m - 6 ³ 0 ộ 2 ờù 2m - 4m + 3m + 3 ờớ 2 ờ ộ 2 2 ờ ³ 2 ờ 4m + 3m + 3 Ê 2m - 6 ờù 4m + 3m + 3 Ê (2m - 6) Û ờ 3 Û ờ Û ờợù 2 2 ờ ờ2m + 4m + 3m + 3 ờ 4m + 3m + 3 Ê - 2m ùỡ - 2m ³ 0 ờ Ê 0 ởờ ờù ờ ờớ 2 ở 3 ờù 4m2 + 3m + 3 Ê - 2m ởờợù ( ) ộùỡ m ³ 3 ờù ờớù VN ờù 33( ) ờù m Ê Û ờợù 27 Û m Ê - 1 ờỡ ù m Ê 0 ờớ ờù m Ê - 1 ởờợù Cõu 11. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m  2020;2020 để hàm số y x3 3x2 m 1 x 4m nghịch biến trờn khoảng (- 1;1). A. 2011.B. 2010 .C. 4040 .D. 2012 . HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn A. * Để hàm số nghịch biến trờn(- 1;1)Û y ' = 3x2 + 6x + m + 1 Ê 0, " x ẻ (- 1;1) Û m Ê - 3x2 - 6x - 1 = g(x), " x ẻ (- 1;1). * Ta cú g'(x)= - 6x - 6. Cho g(x)= 0 Û - 6x - 6 = 0 Û x = - 1. * Bảng xột dấug'(x): x - Ơ - 1 1 + Ơ g'(x) + 0 - 2 g(x) - 10 Dựa vào bảng biến thiờn, để hàm số nghịch biến trờn khoảng (- 1;1) thỡ m Ê - 10 . Trang 7
8. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Cõu 12. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m  2020;2020 để hàm số y x3 3x2 mx 4 đồng biến trờn khoảng(0;+ Ơ ). A. 2020 .B. 2010 .C. 2021.D. 4040 . HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn C. * Để hàm số đồng biến trờn khoảng(0;+ Ơ ) thỡ y ' = 3x2 + 6x - m ³ 0, " x ẻ (0;+ Ơ ) Û m Ê 3x2 + 6x = g(x), " x ẻ (0;+ Ơ ). ộx = 0 * Chog' x = 0 Û 3x2 + 6x = 0 Û ờ . ( ) ờx = - 2 ởờ * Bảng xột dấug'(x): x - Ơ - 2 0 + Ơ g'(x) + 0 - 0 + + Ơ g(x) 0 * Dựa vào bảng biến thiờn, để hàm số đồng biến trờn(0;+ Ơ )thỡ m Ê 0 . Do m  2020;2020 nờn cú 2021 giỏ trị m nguyờn. a a Cõu 13. Với giỏ trị tham số thực m ; (với a,b  và là phõn số tối giản) thỡ hàm số b b 1 y x3 mx2 2m 1 x m 2 nghịch biến trờn khoảng(- 2;0). Giỏ trị P a4 b4 là 3 A. 10.B. 20 .C. P 17 .D. P 5 . HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn C. 1 d/ Tỡm tham sốm để hàm số: y = x 3 - mx2 + (2m - 1)x - m + 2 nghịch biến trờn khoảng(- 2;0). 3 * y ' = x 2 - 2mx + 2m - 1 * Để hàm số đồng biến trờn khoảng(- 2;0) y ' Ê 0 Û x 2 - 2mx + 2m - 1 Ê 0 Û x2 - 1 Ê 2m (x - 1), " x ẻ (- 2;0) x 2 - 1 Û ³ 2m, " x ẻ (- 2;0) (Chỳ ý x - 1 0. Trang 8
9. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 * Bảng xột dấu g'(x): x - 2 0 g'(x) + 1 g(x) - 1 1 Dựa vào bảng biến thiờn: 2m Ê - 1 Û m Ê - . 2 a a Cõu 14. Biết giỏ trị tham số thực m ; (với a,b  và là phõn số tối giản) thỡ hàm số b b 3 mx 2 a b y f (x) 7mx 14x m 2 nghịch biến trờn nửa khoảng [1; ) . Giỏ trị biểu thức P là: 3 a.b 29 29 3 2 A. P .B. P .C. P .D. P . 100 210 10 5 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn B. Tập xỏc định D R , yờu cầu của bài toỏn đưa đến giải bất phương trỡnh 14 mx2 14mx 14 0,x 1, tương đương với g(x) m (1) x2 14x 14 Dễ dàng cú được g(x) là hàm tăng x 1; , suy ra min g(x) g(1) x 1 15 14 Kết luận: (1) min g(x) m m x 1 15 a 14 a b 29 P b 15 a.b 210 Cõu 15. Gọi S là tập hợp cỏc giỏ trị nguyờn dương của m để hàm số y x3 3 2m 1 x2 12m 5 x 2 đồng biến trờn khoảng 2; . Số phần tử của S bằng A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D Tập xỏc định D Ă . y 3x2 6 2m 1 x 12m 5 . Hàm số đồng biến trong khoảng 2; khi y 0 , x 2; 3x2 6 2m 1 x 12m 5 0 , x 2; . 3x2 6x 5 3x2 6 2m 1 x 12m 5 0 m ,x (2; ) 12 x 1 3x2 6x 5 Xột hàm số g x với x 2; . 12 x 1 Trang 9
10. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3x2 6x 1 g x 0 với x 2; hàm số g x đồng biến trờn khoảng 2; . 12 x 1 2 5 Do đú m g x , x 2; m g 2 m . 12 Cõu 16. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m để hàm số y 2x3 mx2 2x đồng biến trờn khoảng 2;0 . 13 13 A. m 2 3 . B. m . C. m 2 3 . D. m . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta cú y ' 6x2 2mx 2 . Hàm số đó cho đồng biến trờn khoảng 2;0 y ' 0,x 2;0 1 mx 3x2 1,x 2;0 m 3x m max f(x),x 2;0 . x 2;0 1 x (L) 1 1 3 Xột f x 3x ,x 2;0 . Ta cú: f ' x 3 0 . x x2 1 x 3 13 1 Lại cú lim f (x) ; lim f (x) và f 2 3 . x 0 x 2 2 3 Bảng biến thiờn: Dựa vào bảng biờn thiờn suy ra: max f(x) 2 3 m 2 3 . 2;0 Cõu 17. Cho hàm số f x 2x3 3 2m 1 x2 6m m 1 x 1 ( m là tham số thực). Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn dương của m để hàm số đó cho đồng biến trờn khoảng 2; ? A. 1. B. 0 . C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải Đỏp ỏn: A Tập xỏc định: D Ă . 2 x m 2 2 y 6x 6 2m 1 x 6m m 1 , y 0 (do (2m 1) 4(m m) 1). x m 1 Suy r hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ;m và m 1; . Do đú hàm số đồng biến trờn (2; ) m 1 2 m 1. Do m Ơ * nờn m 1. Trang 10
11. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 b b Cõu 18. *Biết giỏ trị tham số thực m a; (với a,b,c  và là phõn số tối giản) thỡ hàm số c c 3 2 2 2 ộ y x m 1 x 2m 3m 2 x 2m m đồng biến trờn nửa đoạn, nửa khoảng ởờ2;+ Ơ ). Giỏ trị biểu a2 b2 c2 thức P là: a.b.c 9 17 9 17 A. P .B. P .C. P .D. P . 4 12 4 12 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn D. * Ta cú: y ' = 3x2 - 2(m + 1)x - (2m2 - 3m + 2). ộ ộ * Để hàm số đồng biến trờn nửa khoảng ởờ2;+ Ơ ) Û y ' ³ 0, " x ẻ ởờ2;+ Ơ ) 2 2 ộ Û f (x)= 3x - 2(m + 1)x - (2m - 3m + 2), " x ẻ ởờ2;+ Ơ ). * Vỡ tam thức bậc hai f (x)cú D ' = 7m2 - 7m + 7 > 0, " m ẻ Ă nờn f (x)cú hai nghiệm là: ộ 2 ờ m + 1- 7m - 7m + 7 ờx1 = ờ 3 . ờ m + 1+ 7m2 - 7m + 7 ờx = ởờ 2 3 * Bảng biến thiờn: - Ơ x x + Ơ x 1 2 y ' + 0 - 0 + + Ơ y - Ơ ộx Ê x * Vỡ x < x nờn f x ³ 0 Û ờ 1 . 1 2 ( ) ờx ³ x ởờ 2 m + 1+ D ' * Do f (x)³ 0, " x ẻ ộ2;+ Ơ ) Û x Ê 2 Û Ê 2 Û D ' Ê 5- m ởờ 2 3 ùỡ m Ê 5 ùỡ ù ù m Ê 5 3 Û ớ 2 Û ớ Û - 2 Ê m Ê . ù D ' Ê 5- m ù 2m2 + m - 6 Ê 0 2 ợù ( ) ợù b a2 b2 c2 17 Do m a; nờn P c a.b.c 12 2 Cõu 19. *Cho hàm số y = f (x) cú đạo hàm f Â(x)= x (x - 1) (x 2 + mx + 9) với mọi x ẻ Ă . Cú bao nhiờu số nguyờn dương m để hàm số g(x)= f (3- x) đồng biến trờn khoảng (3;+ Ơ )? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 Từ giả thiết suy ra f Â(3- x)= (3- x)(2- x) ộ(3- x) + m(3- x)+ 9ự. ởờ ỷỳ Trang 11
12. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta cú gÂ(x)= - f Â(3- x). Để hàm số g(x) đồng biến trờn khoảng (3;+ Ơ ) khi và chỉ khi gÂ(x)³ 0, " x ẻ (3;+ Ơ ) Û f Â(3- x)Ê 0, " x ẻ (3;+ Ơ ) 2 2 Û (3- x)(2- x) ộ(3- x) + m(3- x)+ 9ựÊ 0, " x ẻ (3;+ Ơ ) ởờ ỷỳ 2 (x - 3) + 9 Û m Ê , " x ẻ (3;+ Ơ ) x - 3 2 (x - 3) + 9 Û m Ê min h(x) với h(x)= . (3;+ Ơ ) x - 3 2 (x - 3) + 9 9 9 Ta cú h(x)= = (x - 3)+ ³ 2 (x - 3). = 6. x - 3 x - 3 x - 3 + Vậy suy ra m Ê 6 ắ mắẻ Âắđ m ẻ {1;2;3;4;5;6}. Chọn B. Cõu 20. *Cho hàm số f x cú đạo hàm trờn Ă là f x x 1 x 3 . Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m thuộc đoạn  10;20 để hàm số y f x2 3x m đồng biến trờn khoảng 0;2 ? A. 18 . B. 17 . C. 16 . D. 20 . Hướng dẫn giải Chọn A Bảng biến thiờn Ta cú: y 2x 3 f x2 3x m . Vỡ 2x 3 0, x 0;2 . Do đú, để hàm số y f x2 3x m đồng biến trờn khoảng 0;2 thỡ f x2 3x m 0,x 0;2 (*). Đặt t x 2 3x m . Vỡ x 0;2 t m;10 m . (*) trở thành: f t 0,t m;10 m . 13 m 20 10 m 3 m 13 Dựa vào bảng xột dấu của f x ta cú: 10 m 1 1 m m 1 m  m 10; 9; ; 1;3;4; ;20}. Cõu 21. *Cho hàm số y f x liờn tục trờn Ă và cú bảng xột dấu đạo hàm như sau Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m để hàm số g x f x m đồng biến trờn khoảng 0 ;2 . Trang 12
13. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A Từ giả thiết suy ra hàm số y f x đồng biến trờn cỏc khoảng 1;1 , 1;3 và liờn tục tại x 1nờn đồng biến trờn 1;3 . Ta cú g x f x m và x 0;2 x m m;m 2 . m 1 g x đồng biến trờn khoảng 0 ;2 m;2 m  1;3 1 m 1. 2 m 3 Vỡ m  nờn m cú 3 giỏ trị là m 1;m 0;m 1. Cõu 22. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y = - x 3 + x2 - (2 - m)x + 1 đồng biến trờn một đoạn cú độ dài là 2? 4 14 1 1 A. m = .B. m = .C. m = .D. m = - . 3 3 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn B. * Hàm số đó cho xỏc định trờn D = Ă . 2 ' * Ta cú: y ' = - 3x + 2x - (2- m)và D y ' = - 5 + m . ' * Nếu D y ' = - 5 + m Ê 0 Û m Ê 5thỡ y ' ³ 0, " x ẻ Ă , do đú hàm số tăng trờn Ă , khụng thỏa YCBT. ' * Nếu D y ' = - 5 + m > 0 Û m > 5. Khi đú y ' = 0 cú hai nghiệm phõn biệt x1,x2 (giả sử x1 < x2 ) và hàm số nghịch biến trong đoạn ộx ;x ự với độ dài l = x - x . ởờ 1 2 ỷỳ 1 2 ùỡ 2 ù x + x = ù 1 2 * Theo định lý Viột ta cú: ớù 3 . ù 2- m ù x x = ợù 1 2 3 2 * Hàm số đồng biến trờn đoạn cú độ dài bằng 2 Û l = x1 - x2 = 2 Û (x1 - x2 ) = 4 2 4 2- m 14 Û (x + x ) - 4x x = 4 Û - 4. = 4 Û m = . 1 2 1 2 9 3 3 1 1 Cõu 23. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 mx2 2mx 3m 4 nghịch 3 2 biến trờn một đoạn cú độ dài là 3? A. m 1;m 9 .B. .C.m 1 .D. .m 9 m 1;m 9 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn A. Tập xỏc định: D Ă . Ta cú y x2 mx 2m Ta khụng xột trường hợp y 0,x Ă vỡ a 1 0 Hàm số nghịch biến trờn một đoạn cú độ dài là 3 y 0 cú 2 nghiệm x1, x2 thỏa 2 0 m 8m 0 m 8 hay m 0 m 1 x1 x2 3 2 2 m2 8m 9 m 9 x1 x2 9 S 4P 9 Trang 13
14. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3 9 Cõu 24. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn õm của tham số m để hàm số y x4 x2 2m 15 x m 3 4 2 nghịch biến trờn khoảng 0; ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn C Yờu cầu bài toỏn y 3x3 9x 2m 15 0x 0; và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc 0; 3x3 9x 15 2m x 0; . Xột hàm số: g(x) 3x3 9x 15 trờn 0; . Ta cú: g (x) 9x2 9 x 1 g x 0 . x 1 (l) Bảng biến thiờn: 9 Từ BBT ta cú: 2m 9 m 2 Vậy m { 4; 3; 2; 1} . Cõu 25. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y x4 2(m 1)x2 m 2 đồng biến trờn khoảng (1;3) ? A. m  5;2 .B. m . ;2 C. m . 2, D. m . ; 5 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn B. Tập xỏc định D Ă . Ta cú y ' 4x3 4(m 1)x . Hàm số đồng biến trờn (1;3) y ' 0,x (1;3) g(x) x2 1 m,x (1;3) . Lập bảng biến thiờn của g(x) trờn (1;3) . x 1 3 g + 0 10 g 2 Dựa vào bảng biến thiờn, kết luận: m min g(x) m 2 . Cõu 26. Tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y x4 (2m 3)x2 m nghịch biến trờn p p khoảng 1;2 là ; , trong đú phõn số tối giản và q 0 . Hỏi tổng p q là? q q A. 5.B. 9. C. 7.D. 3. Trang 14
15. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn C. Tập xỏc định D Ă . Ta cú y 4x3 2(2m 3)x . 3 Hàm số nghịch biến trờn (1;2) y 0,x (1;2) m x2 g(x),x (1;2) . 2 Lập bảng biến thiờn của g(x) trờn (1;2) . g (x) 2x 0 x 0 Bảng biến thiờn x 1 2 g + 0 1 1 g 5 2 2 5 Dựa vào bảng biến thiờn, kết luận: m min g(x) m . 2 Vậy p q 5 2 7 . Cõu 27. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn khụng õm của tham số m để hàm số y x4 2mx2 3m 1 đồng biến trờn khoảng 1;2 . A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C Tập xỏc định: D Ă . Ta chỉ xột cỏc giỏ trị của m 0 . Trường hợp m 0 hàm số trở thành y x4 1 đồng biến trờn Ă suy ra đồng biến trờn khoảng 1;2 . Hay m 0 thỏa món yờu cầu của bài toỏn. x 0 Trường hợp m 0 ta cú: y ' 4x3 4mx . Khi đú y ' 0 . x m Bảng xột dấu của y' : Vậy hàm số đồng biến trờn 1;2 m 1 m 1. Kết luận cú 2 giỏ trị thỏa món bài toỏn: m 0,1 nờn chọnChọnC. Cõu 28.Tập hợp tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m để hàm số y mx m 1 x 2 nghịch biến trờn D 2; là A. m 1. B. m 0. C. m 1. D. 2 m 1. Hướng dẫn giải Chọn A m 1 Ta cú: y mx m 1 x 2 y m , y xỏc định trờn khoảng 2; . 2 x 2 1 Nhận xột: khi x nhận giỏ trị trờn 2; thỡ nhận mọi giỏ trị trờn 0; . 2 x 2 1 Yờu cầu bài toỏn y 0,x 2; m 1 t m 0,t 0; (đặt t ). 2 x 2 Trang 15
16. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 m 1 0 m 1. m m 1 0 0 Cõu 29. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m  2020; 2020 để hàm số y x2 1 mx 1 đồng biến trờn ; . A. 2017 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2018 . Hướng dẫn giải Chọn D TXĐ : D Ă . x y m . x2 1 x Hàm số đồng biến trờn Ă y 0 , x Ă m , x Ă 1 . x2 1 x Xột f x trờn Ă . x2 1 lim f x 1; lim f x 1. x x 1 f x 0 , x Ă nờn hàm số đồng biến trờn Ă . x2 1 x2 1 x Ta cú: m , x Ă m 1. x2 1 Mặt khỏc m  2020;2020 m  2020; 1. Vậy cú 2020 số nguyờn m thoả điều kiện. Trang 16
17. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 DẠNG 2 HÀM SỐ PHÂN THỨC x m 2 Cõu 30. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y giảm trờn cỏc khoảng mà nú x 1 xỏc định ? A. m 3 .B. .C. m .D. 3 . m 1 m 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn D m 1 Tập xỏc định: D Ă \ 1 . Ta cú y x 1 2 Để hàm số giảm trờn cỏc khoảng mà nú xỏc định y 0,x 1 m 1 (m 3)x 2 Cõu 31. Tỡm số nguyờn m nhỏ nhất sao cho hàm số y luụn nghịch biến trờn cỏc khoảng xỏc x m định của nú? A. .mB. 1 .C. .D. Khụngm cú 2 . m 0 m HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn D. m2 3m 2 Tập xỏc định: D Ă \ m . Ta cú y x m 2 Yờu cầu đề bài y 0,x D m2 3m 2 0 2 m 1 Vậy khụng cú số nguyờn m nào thuộc khoảng 2; 1 . mx 4 Cõu 32. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y giảm trờn khoảng ;1 ? x m A. 2 m 2 .B. .2C. m 1 .D. 2 m . 1 2 m 2 HƯỚNG DẪN GIẢI * Hàm số xỏc định trờn khoảng(- Ơ ;1). m2 - 4 * Ta cú: y ' = , " x ạ - m . 2 (x + m) ỡ ù y ' < 0, " x ẻ (- Ơ ;1) * Để hàm đó cho nghịch biến trờn khoảng(- Ơ ;1)khi và chỉ khi: ớù ù - m ẽ - Ơ ;1 ợù ( ) ỡ 2 ỡ ỡ ù m - 4 < 0 ù - 2 < m < 2 ù - 2 < m < 2 Û ớù Û ớ Û ớ Û - 2 < m < - 1. ù - m ẽ - Ơ ;1 ù - m ³ 1 ù m Ê - 1 ợù ( ) ợù ùợ * Vậy thỏa yờu cầu bài toỏn thỡ: - 2 < m < - 1. Trang 17
18. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 (m + 1)x + 2m + 2 Cõu 33. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y = nghịch biến trờn x + m khoảng (- 1;+ Ơ ). A. m 1. B. 1 m 2 . C. 1 m 2 . D. ;1  2; . Hướng dẫn giải Đỏp ỏn B Điều kiện x ạ - m ị - m Ê - 1 ị m ³ 1(1) m2 - m - 2 y ' = < 0 ị m2 - m - 2 < 0 Û - 1 < m < 2 2 2 ( ) (x + m) (1),(2) 1 m 2 - mx + 3m + 4 Cõu 34. Cho hàm số f (x)= ( m là tham số thực). Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn m để hàm số x- m nghịch biến trờn khoảng (2;+ Ơ )? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C Tập xỏc định: D = Ă \ {m}. m2 - 3m- 4 Ta cú: f Â(x)= . (x- m)2 - mx + 3m + 4 Hàm số f (x)= nghịch biến trờn (2;+ Ơ ) khi và chỉ khi: x- m ỡ Â 2 ù f (x)< 0 ùỡ m - 3m- 4 < 0 ùỡ - 1< m < 4 ớ Û ớù Û ớù Û - 1< m Ê 2. ù ù ù ợù m ẽ (2;+ Ơ ) ợù m Ê 2 ợù m Ê 2 Do m nhận giỏ trị nguyờn nờn m ẻ {0;1;2}. Vậy cú 3 giỏ trị nguyờn của m thỏa món yờu cầu bài toỏn. mx 1 Cõu 35. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để hàm số y đồng biến trờn khoảng (2; ) x m A. 2 m 1 hoặc m 1. B. m 1 hoặc m 1. C. 1 m 1 . D. m 1 hoặc m 1. Hướng dẫn giải Chọn A TXĐ: D Ă \{ m} m2 1 y (x m)2 2 mx 1 m 1 0 Hàm số y đồng biến trờn khoảng (2; ) x m m 2; m2 1 0 m ( ; 1)  (1; ) m ( ; 1)  (1; ) y' 0,x 2; m 2 m 2 m 2 m [ 2; 1)  (1; ) . x 2 Cõu 36. Tồn tại bao nhiờu số nguyờn m để hàm số y đồng biến trờn khoảng ; 1 . x m Trang 18
19. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. Vụ số. Hướng dẫn giải Chọn C x 2 m 2 Ta cú: y y . x m x m 2 m 2 0 m 2 Để hàm số đồng biến trờn khoảng ; 1 . m 1 m 1 x 2 Vậy cú 2 giỏ trị nguyờn của m để hàm số y đồng biến trờn khoảng ; 1 . x m mx - 2 Cõu 37. Cho hàm số y = (m là tham số thực). Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của m để hàm số đó cho x - 2m đồng biến trờn khoảng (1;+ Ơ ) ? A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2. Hướng dẫn giải Chọn B Tập xỏc định D R\\ 2m . 2m2 2 y x 2m 2 Hàm số đồng biến trờn 1; khi và chỉ khi 1 m 1 y 0,x D 2m2 2 0 1 1 1 m 2m 1; 2m 1 m 2 2 Mà m  nờn m 0. x 6 Cõu 38. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m để hàm số y nghịch biến trờn khoảng 10; ? x 5m A. 3. B. Vụ số. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn C TXĐ D Ă \ 5m . 5m 6 y 0 Ta cú y 2 . Để hàm số nghịch biến trờn khoảng 10; thỡ x 5m 5m 10; 6 5m 6 0 m 5 . Do m  m 2; 1; 0; 1. 5m 10 m 2 m 1 x 2m 12 Cõu 39. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m để hàm số y nghịch biến trờn x m khoảng 1; ? A. 6 . B. 5 . C. 8 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B Trang 19
20. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 m2 m 12 Hàm số nghịch biến trờn khoảng 1; y 0 với x 1; x m 2 m2 m 12 0 3 m 4 3 m 4 , x 1; , x 1; 1 m 4 . x m 0 m x m ; 1 1 m 4 m 1;0;1;2;3 . m  x 2 Cõu 40. Cú tất cả bao nhiờu giỏ trị nguyờn của m để hàm số y đồng biến trờn ( ; 6) . x 3m A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D 3m 2 Ta cú y ' . x 3m 2 2 3m 2 0 m 2 Hàm số đồng biến trờn ( ; 6) 3 m 2 . 3m 6 3 m 2 Vậy cú 2 giỏ trị nguyờn của m thỏa món yờu cầu bài toỏn. mx 18 Cõu 41. Tỡm số giỏ trị nguyờn của tham số m để hàm số y nghịch biến trờn khoảng 2;5 . 2x m A. 2 . B. 1. C. 11. D. 10 . Hướng dẫn giải Chọn A m Tập xỏc định: D Ă \  . 2  mx 18 m2 36 Ta cú y y . 2x m 2x m 2 6 m 6 2 m 36 0 m 6 m 6 5 YCBT m 2 m 10 4 m 6 . 2;5 m m 4 2 2 2 Vậy cú hai giỏ trị nguyờn của tham số m thỏa món. mx + 2 Cõu 42. Cho hàm số y = , m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của tham số m 2x + m để hàm số nghịch biến trờn khoảng (0;1). Tỡm số phần tử của S . A. 1 B. 5 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn C ùỡ mùỹ Tập xỏc định D = Ă \ ớù - ýù ợù 2 ỵù m2 - 4 yÂ= . (2x + m)2 Trang 20
21. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 ỡ - < < ù 2 m 2 ỡ 2 ù ùỡ - 2 < m < 2 ù m - 4 < 0 ù ộ- m ù ù ù ờ Ê 0 ù Yờu cầu bài toỏn Û ớ - m Û ớ ờ 2 Û ớ ộm ³ 0 Û 0 Ê m < 2 . ù ẽ (0;1) ù ờ ù ờ ợù 2 ù ờ- m ù ởờm Ê - 2 ù ờ ³ 1 ợù ợù ởờ 2 2 1 x 14 Cõu 43. Gọi S là tập cỏc giỏ trị nguyờn dương của m để hàm số y đồng biến trờn khoảng m 1 x 15; 3 . Số phần tử của tập S là A. 4 . B. 3. C. 6 . D. 5. Hướng dẫn giải Chọn D 2t 14 Đặt t 1 x , x 15; 3 t 2;4 và y . t m t 2m 14 1 Ta cú . yx yt .tx 2 m t 2 1 x Hàm số đồng biến trờn khoảng 15; 3 2m 14 1 x 15; 3 , t 2;4 yx 2 0, m t 2 1 x 2m 14 2m 14 0 m 7 4 m 7 2 0, t 2;4 , t 2;4 . m t m t 0 m 2;4 m 2 4 m 7 m 2 m 1;2;4;5;6 . * m Ơ Vậy cú 5 giỏ trị nguyờn dương của m thỏa món. m. x 1 9 Cõu 44. Cho hàm số y . Cú tất cả bao nhiờu giỏ trị nguyờn của m để hàm số đồng biến trờn x 1 m khoảng (2;17) ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Đặt t x 1 t 0,x (2;17) t là hàm đồng biến và t (1;4) . 2 x 1 mt 9 Khi đú bài toỏn cú thể phỏt biểu lại là: “Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của m để hàm số y đồng biến trờn t m khoảng (1;4) ”. Trang 21
22. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Yờu cầu bài toỏn tương đương: m 1 m2 9 m (1;4) y 0, t (1;4) 2  2 m 4 (t m) m 9 0 3 m 3 3 m 1m Â m 2; 1;0;1: cú 4 giỏ trị m thỏa món. (4 m) 6 x 3 Cõu 45. Cho hàm số y . Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của m trong khoảng ( 10;10) sao 6 x m cho hàm số đồng biến trờn khoảng ( 8;5) ? A. 14. B. 13 . C. 12. D. 15 . Hướng dẫn giải Chọn A 4 m t 3 Đặt t 6 x f t f x f t .t x . t m 1 Với x ( 8;5) , ta cú t x 0, x ( 8;5) và x ( 8;5) t (1; 14) . Từ đú ta suy ra hàm số 2 6 x (4 m) 6 x 3 4 m t 3 y đồng biến trờn khoảng ( 8;5) khi hàm số f t nghịch biến trờn khoảng 6 x m t m (1; 14) . m2 4m 3 0 m 1 m [ 1;1)  (3; ) f t nghịch biến trờn khoảng (1; 14) 2 m 4m 3 0 m 14 m 14 Do m ( 10;10) nờn m 9; 8; 7; 6; 5; 4; 1;0;4;5;6;7;8;9}. Như vậy cú 14 số m nguyờn trong khoảng ( 10;10) sao cho hàm số đồng biến trờn khoảng ( 8;5) . m 1 2x 3 1 Cõu 46. Cho hàm số f (x) ( m 0 và là tham số thực). Tập hợp m để hàm số đó cho 2 2x 3 m 1 nghịch biến trờn khoảng ; 1 cú dạng S ; a  b; cd; , với a, b, c, d là cỏc số thực. Tớnh 2 P a b c d . A. - 3 . B. - 1. C. 0 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn A 3 x 2 Điều kiện xỏc định: . 2 2x 3 0 m 1 1 Đặt u 2x 3 u 0,x ; 1 , suy ra hàm số u 2x 3 nghịch biến trờn khoảng 2x 3 2 1 ; 1 . 2 Trang 22
23. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 Với x ; 1 u 1; 2 . 2 m 1 u 1 Yờu cầu bài toỏn trở thành tỡm m để hàm số g u đồng biến trờn khoảng 1; 2 . 2 u m 2 m 1 1 m 2 Ta cú g u 2 , u . 2 m u m g u 0, u 1; 2 Hàm số g u đồng biến trờn khoảng 1; 2 khi và chỉ khi 2 1; 2 m 2 m 2 m 1 1 0 0 m 0 m m m 0 m 2 m 2 2 m 2 m 2 1 0 m 2 0 m 1. m m m 2 m 0 m 2 2 m 1 m 1 2 0 0 m 1 m m Vậy S ; 2  0; 12; a 2; b 0; c 1; d 2 . Do đú P 2 0 1 2 3 . ln x m Cõu 47. Tỡm tập cỏc giỏ trị của m để hàm số y đồng biến trờn khoảng e; . m ln x 4 A. ; 2  2; . B. ; 2 4; . C. ; 2 . D. 2; . Hướng dẫn giải Chọn B t m Đặt t ln x , x e; t 1; và y . t mt 4 4 m2 1 Ta cú yx yt .tx 2 . mt 4 x 4 m2 1 Hàm số đồng biến trờn khoảng e; yx 2 0, x e; , t 1; . mt 4 x 4 m2 0 m 2 4 m2 m 4 , t 1; m 2 2 0, t 1; 4 . mt 4 m m 2 t m 0;4 e 2 x m Cõu 48. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m để hàm số y đồng biến trờn khoảng ln2; . me 2 x 1 Trang 23
24. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 m 1 A. 4 m 1. B. 4 m 1. C. m 1. D. . 4 m 1 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Đặt t e 2 x ; x (ln 2; ) t (0; ) 4 2x Vỡ t e NB tren (ln2; ) nờn YCBT trở thành: Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m để hàm số t m 1 y nghịch biến trờn khoảng 0; . mt 1 4 1 m2 Ta cú y ' (mt 1)2 m 1 m 1 m 1 2 1 m 0 m 1 1 m 1 => 1 1 0 (0; ) m m 0 4 m 1 m 4 1 1 4 m 0 m 4 log x 2 Cõu 49. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn dương của m để hàm số y 3 đồng biến trờn khoảng 1; . log3 x m A. 2 . B. 1. C. Vụ số. D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t log3 x . Hàm số t log3 x đồng biến trờn 0; . Với x 1; t 0; . t 2 m 2 Hàm số trở thành y f t y f t . t m t m 2 log x 2 Để hàm số y 3 đồng biến trờn khoảng 1; thỡ hàm số y f t đồng biến log3 x m m 2 0 m 2 trờn 0; m 0 . m 0; m 0 Do đú khụng tồn tại giỏ trị nguyờn dương nào của m thỏa món yờu cầu. log x 2 Cõu 50. Cho hàm số y (với m là tham số thực). Gọi S là tập hợp cỏc giỏ trị nguyờn õm của m để log x 3m hàm số nghịch biến trờn khoảng 1;10 . Tỡm số phần tử của S . A. 1. B. 2. C. 0. D. 4. Trang 24
25. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hướng dẫn giải Chọn C log x 2 y f x log x 3m Đặt t log x , điều kiện t 0;1 t 2 3m 2 g t ; g t t 3m t 3m 2 Để hàm số f x nghịch biến trờn 1;10 thỡ hàm số g t nghịch biến trờn 0;1 g t 0, t 0;1 3m 2 0,t 0;1 t 3m 2 2 m 0 3m 2 0 3 3m 0;1 1 m 3 S là tập hợp cỏc giỏ trị nguyờn õm S  . Vậy số phần tử của tập S là 0 . x2 (m 1) 2m 1 Cõu 51. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y tăng trờn từng x m khoảng xỏc định của nú? A. m 1 .B. .C. .D.m 1 . m 1 m 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn B. x2 2mx m2 m 1 Tập xỏc định: D Ă \ m . Ta cú y (x m)2 Để hàm số tăng trờn từng khoảng xỏc định của nú 2 2 1 0(hn) y 0, x D x 2mx m m 1 0,x D m 1 m 1 0 x2 2mx m 2 Cõu 52. Hỏi cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trờn x m từng khoảng xỏc định của nú? A. Hai.B. Bốn.C. Vụ số.D. Khụng cú. HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn C. x2 2mx 2m2 m 2 g(x) Tập xỏc định D Ă \ m . Ta cú y . (x m)2 (x m)2 Hàm số đồng biến trờn từng khoảng xỏc định khi và chỉ khi g(x) 0,x D . 2 m 1 Điều kiện tương đương là g(x) m m 2 0 m 2 Kết luận: Cú vụ số giỏ trị nguyờn của m thỏa yờu cầu bài toỏn. Trang 25
26. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2x2 (1 m)x 1 m Cõu 53. Hỏi cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn dương của tham số m sao cho hàm số y x m đồng biến trờn khoảng (1; ) ? A. 3.B. 1.C. 2.D. 0. HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn D. 2x2 4mx m2 2m 1 g(x) Tập xỏc định D Ă \ m . Ta cú y (x m)2 (x m)2 Hàm số đồng biến trờn (1; ) khi và chỉ khi g(x) 0,x 1 và m 1 (1) 2 Vỡ g 2(m 1) 0,m nờn (1) g(x) 0 cú hai nghiệm thỏa x1 x2 1 2g(1) 2(m2 6m 1) 0 Điều kiện tương đương là S m 3 2 2 0,2 . m 1 2 Do đú khụng cú giỏ trị nguyờn dương của m thỏa yờu cầu bài toỏn. mx 2 + 6x - 2 Cõu 54. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y = nghịch biến trờn nửa x + 2 ộ khoảng ởờ1;+ Ơ ). 1 14 14 1 A. m ³ .B. m < - .C. m Ê - .D. m Ê . 2 5 5 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn C. ộ * Hàm số xỏc định trờn nửa khoảng ởờ1;+ Ơ ). mx2 + 4mx + 14 * Ta cú: y ' = . 2 (x + 2) ộ ộ * Để hàm số nghịch biến trờn nửa khoảng ởờ1;+ Ơ ) Û y ' Ê 0, " ẻ ởờ1;+ Ơ ). mx2 + 4mx + 14 Û Ê 0, " ẻ ộ1;+ Ơ Û mx2 + 4mx + 14 Ê 0, " ẻ ộ1;+ Ơ . 2 ởờ ) ởờ ) (x + 2) - 14 14 Û m Ê = g x , " ẻ ộ1;+ Ơ Û m Ê min g x = g 1 = - . 2 ( ) ởờ ) ( ) ( ) x + 4x x³ 1 5 DẠNG 3 HÀM SỐ CHỨA LƯỢNG GIÁC Trang 26
27. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Cõu 55. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y f (x) x mcos x luụn đồng biến trờn Ă ? 3 1 A. m 1 .B. .C. m . D. . m 1 m 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn A * Hàm số đó cho xỏc định trờn Ă . * Ta cú: y ' = 1- m sin x . Cỏch giải 1: * Để hàm số đồng biến trờn Û y ' ³ 0, " x ẻ Ă Û 1- m sin x ³ 0, " x ẻ Ă Û m sin x Ê 1,, " x ẻ Ă (*) + Với m = 0thỡ(*)luụn đỳng. 1 1 + Với m > 0 thỡ(*) Û sin Ê , " x ẻ Ă Û 1 Ê Û 0 4. B. m < 2. C. m 1 D. m 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Phương phỏp Hàm số y f x đồng biến trờn a;b f ' x 0  a;b và bằng 0 tại hữu hạn điểm. Cỏch giải TXĐ: D Ă . Ta cú: y ' 2sin 2x m . Để hàm số đồng biến trờn Ă y ' 0 x Ă 2sin 2x m 0 x Ă m 2sin 2x x Ă m 2 . Cõu 57. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y (m 3)x (2m 1)cos x luụn nghịch biến trờn Ă ? 2 m 3 A. 4 m .B. .C. m 2 .D. . m 2 3 m 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn A. Tập xỏc định: D Ă . Ta cú: y ' m 3 (2m 1)sin x Trang 27
28. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hàm số nghịch biến trờn Ă y ' 0,x Ă (2m 1)sin x 3 m,x Ă 1 7 Trường hợp 1: m ta cú 0 ,x A . Vậy hàm số luụn nghịch biến trờn Ă . 2 2 1 3 m 3 m Trường hợp 2: m ta cú sin x ,x Ă 1 2 2m 1 2m 1 3 m 2m 1 m 4 1 Trường hợp 3: m ta cú: 2 3 m 3 m 2 sin x ,x Ă 1 3 m 2m 1 m . 2m 1 2m 1 3 2 Vậy m 4; 3 Cõu 58. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của m để hàm số y 3x m sin x cos x m đồng biến trờn Ă ? A. 3 . B. Vụ số. C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta cú: y 3 m cos x sin x . Hàm số đồng biến trờn Ă khi và chỉ khi y 0,x Ă (1). Đặt t cos x sin x,t 2; 2 , thu được hàm y t 3 mt,t 2; 2 . Khi đú điều kiện (1) trở thành: y 2 0 3 2m 0 3 3 y t 0,t 2; 2 m . y 2 0 3 2m 0 2 2 Cỏc giỏ trị nguyờn của m nhận được là: 2, 1,0,1,2 . Cõu 59. Tỡm mối liờn hệ giữa cỏc tham số a và b sao cho hàm số y f (x) 2x asin x bcosx luụn tăng trờn Ă ? 1 1 1 2 A. 1 .B. .aC. 2b 2 3 .D. a2 b2 . 4 a 2b a b 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn C. Tập xỏc định D R . Ta cú: y 2 acosx bsin x Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta cú 2 a2 b2 y 2 a2 b2 Yờu cầu của bài toỏn đưa đến giải bất phương trỡnh y 0,x 2 a2 b2 0 a2 b2 4 . Cõu 60. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số và  sao cho hàm số x3 1 3 y f (x) (sin cos )x2 xsin cos  2 luụn giảm trờn Ă ? 3 2 2 5 A. k k ,k Z và  2 .B. k vàk ,k Z .  2 12 4 12 12 5 C. k ,k Z và  2 .D. và . k ,k Z  2 4 12 Trang 28
29. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn B. Điều kiện xỏc định:  2 1 Yờu cầu của bài toỏn đưa đến giải bất phương trỡnh sin 2 1 2 5 Kết luận: k k ,k Z và  2 . 12 12 cos x 2 Cõu 61. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số mđể hàm số y nghịch biến trờn khoảng 0; . cos x m 2 1 m 2 A. m 2 . B. . C. m 2. D. m 0. m 0 Hướng dẫn giải Chọn B x 0; t 0;1 t 2 Đặt t cosx, và yt . 2 t m m 2 Ta cú y x yt .tx sin x . t m 2 m 2 Hàm số nghịch biến trờn khoảng 0; yx 2 sin x 0, x 0; , t 0;1 2 t m 2 m 2 0 m 2 1 m 2 m 2 2 0, t 0;1 , t 0;1 . t m t m 0 m 0;1 m 0 2sin x 1 Cõu 62. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham sốm để hàm sốy đồng biến trờn khoảng 0; . sin x m 2 m 0 1 A. . B. m 0. C. m . D. m 1. m 1 2 Hướng dẫn giải Chọn B TXĐ: D Ă \ m . Đặt t sin x , với x 0; t 0;1 . Ta cú hàm số t sin x đồng biến trờn khoảng 0; . 2 2 2sin x 1 2t 1 Do đú hàm số y đồng biến trờn khoảng 0; khi và chỉ khi hàm số y đồng biến trờn sin x m 2 t m khoảng 0;1 . 2m 1 f (t) 0 , t 0;1 0 , t 0;1 . t m 2 Trang 29
30. Chương 1 – Bài 1: Tớnh đơn điệu của hàm số - Cú lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 m 2m 1 0 2 m 0 . m 0 m 0;1 m 1 Vậy m 0. tan x 2 Cõu 63. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trờn khoảng tan x m 0; ? 4 A. 1 m 2 .B. m . C.0 ;1 m .D.2 . m 2 m 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn B. +) Điều kiện tan x m . Điều kiện cần để hàm số đồng biến trờn 0; là m 0;1 4 2 m +) y' . cos2 x(tan x m)2 1 +) Ta thấy: 2 2 0x 0; ;m 0;1 cos x(tan x m) 4 y' 0 m 2 0 +) Để hs đồng biến trờn 0; m 0 hoặc 1 m 2 4 m (0;1) m 0;m 1 msin x 4 Cõu 64. Cho hàm số f x ( m là tham số thực). Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của m để hàm số đó sin x m cho nghịch biến trờn 0; ? 2 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B Đk: sin x m . m2 4 cos x Ta cú: f x sin x m 2 Vỡ x 0; nờn cos x 0,0 sin x 1. 2 Hàm số đó cho nghịch biến trờn 0; f x 0,x 0; 2 2 2 2 m 4 0 m 4 cos x 2 m 1 . 2 0,x 0; m 0 sin x m 2 0 m 2 m 1 Mà m nguyờn nờn m 1;0;1. Vậy cú 3 giỏ trị nguyờn m thỏa món. Trang 30