›
›
›

Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4: Bài toán tham số m liên quan cực trị

doc 38 trang hangtran11 10/03/2022 2650
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4: Bài toán tham số m liên quan cực trị", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_dai_so_lop_12_chuong_1_bai_2_cuc_tri_cua_ham_so_chu.doc

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4: Bài toán tham số m liên quan cực trị

  1. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 CHỦ ĐỀ 4 BÀI TOÁN THAM SỐ m LIÊN QUAN CỰC TRỊ VẤN ĐỀ 1 TÌM THAM SỐ m ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI x0 Bài toán 1: Cho hàm số y = f (x,m) . Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 . Phương pháp giải + Tìm tập xác định + Tính y ' = f '(x,m) ïì f '(x ,m) = 0 ï 0 + Để hàm số đạt cực trị tại x = x thì: íï Þ m . 0 ï éf '' x ,m ¹ 0 îï ëê ( 0 ) Bài toán 2: Cho hàm số y = f (x,m) . Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = x0 . Phương pháp giải + Tìm tập xác định + Tính y ' = f '(x,m);y '' = f ''(x,m) ïì ï f '(x0,m) = 0 + Để hàm số đạt cực đại tại x = x thì: íï Þ m 0 ï f '' x ,m 0 îï ( 0 ) Mọi thắc mắc, đóng góp liên hệ facebook của mình: Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số y m2 5m x3 6mx2 6x 6 có cực trị tại x 1. m 2 m 2 A. .B. . C. m 1. D. m 2 . m 1 m 1 Hướng dẫn giải: Chọn A Phương pháp tự luận * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên ¡ . * Ta có: y ' = - 3(m2 + 5m)x2 + 12mx + 6 Þ y '' = - 6(m2 + 5m)x + 12m . ïì ém = - 2 ï ê ì ì 2 ï ê é ï y '(1) = 0 ï - 3m - 3m + 6 = 0 ï êm = 1 m = - 2 * Hàm số đạt cực tiểu tạix = 1 Û ï Û ï Û ï ë Û ê . í í 2 í ì ê ï y ''(1) ¹ 0 ï - 6m - 18m ¹ 0 ï ï m ¹ - 3 êm = 1 îï îï ï í ë ï ï m ¹ 0 îï îï Phương pháp trắc nghiệm + Chọn m 2 y 6x3 12x2 6x 6 Trang 1
  2. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 y ' 18x2 24x 6 x 1 y ' 0 18x2 24x 6 0 1 x 3 Lập bảng biến thiên thấy có cực trị tại x 1. Loại B, C + Chọn m 1 y 6x3 6x2 6x 6 y ' 18x2 12x 6 x 1 y ' 0 18x2 12x 6 0 1 x 3 Lập bảng biến thiên thấy có cực trị tại x 1. Vậy Đáp A đúng Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx2 (2m 3)x 3 đạt cực đại tại x 1 . A. B.m C. 3 D m 3. m 3. m 3. Hướng dẫn giải: Chọn B y '(1) 3.12 2m.1 2m 3 0 + Để hàm số đạt cực đại x 1 thì m 3 y ''(1) 6.1 2m 0 Câu 3. Hàm số y x3 3x2 mx 2 đạt cực tiểu tại x 2 khi? A. B.m 0. C. D. m 0. m 0. m 0. Hướng dẫn giải: Chọn C y ' 3x2 6x m y '' 6x 6 y '(2) 3.22 6.2 m 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 khi: m 0 y ''(2) 6.2 6 0 1 Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số đểm hàm số y x3 mx2 m 1 đạtx 1cực đại tại 3 x 2 ? A. Không tồn tại .mB. .C. . D. 1 . 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A y ' x2 2mx m 1 y" 2x 2m y ' 2 0 4 4m m 1 0 m 1 Hàm số đạt cực đại tại x 2 khi : (không tồn tại m ). y" 2 0 4 2m 0 m 2 Trang 2
  3. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số y x3 (m2 m 2)x2 3m2 1 x đạt cực 3 tiểu tại x 2 . m 3 m 3 A B C D. . m 3 m 1 m 1 m 1 Hướng dẫn giải: Chọn B y x2 2(m2 m 2)x 3m2 1 y 2x 2(m2 m 2) y 2 0 m2 4m 3 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 khi: m 3 2 y 2 0 m m 0 x2 mx 1 Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đạt cực tiểu tại x 2 . x m m 3 m 3 A. .B. .C. m 1. D. m 3 . m 1 m 1 Hướng dẫn giải: Chọn D * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = ¡ \ {- m} . x2 + 2mx + m2 - 1 2x + 2m * Ta có: y ' = Þ y '' = (x + m)2 (x + m)4 x2 + mx + 1 * Hàm số y = đạt cực đại tại x = 2 khi và chỉ khi: x + m ïì m2 + 4m - 3 ï = 0 ì ï 2 ï ém = - 3 ïì ï ï ê ï y '(2) = 0 ï (2 + m) ï íï Û íï Û í êm = 1 Û m = - 3 . ï y ''(2)< 0 ï 2m + 4 ï ëê îï ï < 0 ï ï 4 ï m < - 2 ï 2 + m î îï ( ) Câu 7. Hàm số y asin 2x bcos3x 2x (0 x 2 ) đạt cực trị tại x ; x . Khi đó, giá trị của 2 biểu thức P a 3b 3ab là: A. B.3. C. D. 1. 1. 3. Hướng dẫn giải: Chọn C TXĐ: D R + Ta có: y ' 2a cos 2x 3bsin 3x 2 . Hàm số đạt cực trị tại x ; x nên ta có hệ phương trình: 2 a 1 y '( ) 2a 3b 2 0 2 4 b y '( ) 2a 2 0 3 Do đó, giá trị của biểu thức P a 3b 3ab 1 . Trang 3
  4. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 VẤN ĐỀ 2 BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Biện luận số cực của hàm số y = ax 3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) Ta có: y ' = 3ax2 + 2bx + c Þ y ' = 0 Û 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ì ï a ¹ 0 + Hàm số * có 2 cực trị 1 có hai nghiệm phân biệt Û íï ( ) ( ) ï D > 0 îï (1) ì ï a ¹ 0 + Hàm số * không có cực trị 1 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm Û íï ( ) ( ) ï D £ 0 îï (1) 2. Biện luận số cực của hàm trùng phương: y = ax 4 + bx2 + c (a ¹ 0) é x = 0 Ta có: y ' = 4ax 3 + 2bx = x 4ax2 + 2b Þ y ' = 0 Û ê ( ) ê4ax2 + 2b = 0 = g x 1 ëê ( ) ( ) ì ï g(0) ¹ 0 Hàm số * có 3 cực trị 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û íï ( ) ( ) ï D > 0 îï (1) Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi a > 0. Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi a 0 ê (1) ï ï Û ê Û í Û í g 0 = 0 ï g 0 = 0 ï b = 0 ëê ( ) îï ( ) ïî Khi đó: Hàm số chỉ có cực tiểu khi a > 0 (nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại). Hàm số chỉ có cực đại khi a < 0 (nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu). Chú ý: Hàm bậc 4 trùng phương: Luôn có ít nhất 1 cực trị. Nếu có 3 cực trị thì 3 cực trị này luôn tạo thành 1 tam giác cân tại đỉnh thuộc trục oy. DẠNG 1 HÀM SỐ y = ax 3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) Câu 8. Cho hàm số y (m 1)x3 3x2 (m 1)x 3m2 m 2 . Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì: A. B.m C. 1 D tùy ý. m 1. m 1. m Hướng dẫn giải: Chọn B Phương pháp tự luận * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên D = ¡ . * Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị) y ' 3 m 1 x2 6x m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt. Trang 4
  5. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 a m 1 0 m 1 m 1. 2 ' 9 3 m 1 m 1 0 ' m 2 0 Phương pháp trắc nghiệm Cách 1: + Chọn m 1 y 3x2 2x 4 y ' 6x 2 1 y ' 0 x . 3 Chỉ có 1 cực trị suy ra Loại A, D y (m 1)x3 3x2 (m 1)x 3m2 m 2 + Chọn m 0 y x3 3x2 x 2 y ' 3x2 6x 1 0 x ¡ Loại C Vậy Đáp B đúng Cách 2: sử dụng công thức b2 3ac 0 9 3(m 1)(m 1) 0 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m 1 a 0 m 1 0 Câu 9. Biết giá trị tham số m ;a 3 b  c d 3; (với a,b,c,d ¢ ) thì hàm số a2 b2 c2 d 2 y x3 m 3 x2 2mx 2 có cực đại và cực tiểu. Giá trị biểu thức P a.b.c.d 2 5 18 5 A. P .B. P .C. P .D. P . 5 2 5 18 HƯỚNG DẪN GIẢI Chọn D. * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên D = ¡ . * Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị) Û y ' = 3x2 + 2(m - 3)x + 2m = 0 có 2 nghiệm phân biệt. ïì a = 3 ¹ 0 ém 0 Û ê . ï D ' = m - 3 - 6m > 0 êm > 6 + 3 3 îï ( ) ë a2 b2 c2 d 2 5 P a.b.c.d 18 1 Câu 10. Cho hàm số y x3 2mx2 (4m 1)x 3 . Mệnh đề nào sau đây sai? 3 1 A. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi B.m Với .mọi , hàm số luôn có cựcm trị. 2 1 C. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi mD. Hàm. số có cực đại, cực tiểu khi m 1. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C Phương pháp trắc nghiệm Trang 5
  6. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hàm số bậc 3 có cực đại, cực tiểu thì b2 3ac 0 4m2 (4m 1) 0 1 (2m 1)2 0 m . 2 Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2020;2019 để hàm số y x3 2x2 m 3 x 1 không có cực trị ? A. 2039 .B. 2021.C. 2020 .D. 2018 . Hướng dẫn giải: Chọn C y ' 3x2 4x m 3 5 Hàm số không có cực trị 'y ' 0 4 3 m 3 0 m 3 Có 2020 giá trị nguyên của tham số m . Câu 12. Tổng các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y x3 m 1 x2 3x 2 không có cực trị là: A. 10.B. 7 .C. 0 . D. 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B * Hàm số đã cho liên tục và xác định trên D = ¡ . * Hàm số không có cực trị Û y ' = 3x 2 + 2(m - 1)x + 3 = 0vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 2 Û D ' = (m - 1) - 9 £ 0 Û m2 - 2m - 8 £ 0 Û - 2 £ m £ 4 . Suy ra tổng các giá trị nguyên là 7 . 1 Câu 13. Biết giá trị tham số m ;a  b; (với a,b ¢ ) thì hàm số y x3 mx2 m 6 x m 3 a2 b2 có cực đại và cực tiểu . Giá trị biểu thức P là: a.b 13 5 1 1 A. P .B. P . C. P .D. P . 6 6 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B y x2 2mx m 6 2 m 2 Hàm số có cực đại và cực tiểu y 0 có hai nghiệm phân biệt. m m 6 0 m 3 a2 b2 5 P a.b 6 Câu 14. Với giá trị tham số m a;b \ c (với a,b,c ¢ ) thì hàm số y m 2 x3 3x2 mx 6 có 2 cực trị. Giá trị biểu thức P a b c là: A. P 4 .B. P 4 .C. P 3 .D. P 5 . Hướng dẫn giải: Trang 6
  7. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Chọn A y 3 m 2 x2 6x m Hàm số có 2 cực trị y 0 có hai nghiệm phân biệt. m 2 m 2 m 3;1 \ 2 P a b c 4 2  m 2m 3 0 3 m 1 1 Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx2 (2m 1)x 3 có cực trị. 3 A. m 1. B. . m C.m D. 1. m 1. Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có : y x2 2mx 2m 1 Hàm số có cực trị y 0 có 2 nghiệm phân biệt m2 2m 1 0 m 1 . Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m  2020;2020 để hàm số 3 2 y mx 3mx m 1 x 1 có cực trị ? A. 2038 .B. 2020 .C. 2018 .D. 2021. Hướng dẫn giải: Chọn B * y ' = 3mx2 + 6mx - (m - 1) + Khi m = 0 Þ y ' = 1 > 0 Þ hàm số luôn đồng biến Þ m = 0 không thỏa + Khi m ¹ 0 Þ y ' = 0 Û 3mx2 + 6mx - (m - 1) = 0 (1) D ' = 9m2 + 3m (m - 1) = 12m2 - 3m ém 0 Û 12m - 3m > 0 Û ê 1 êm > ëê 4 Suy ra Có 2020 bao nhiêu giá trị nguyên âm 3 2 Câu 17. Cho hàm số y 2x 3mx 6(m 1)x 2(m 1) với m ¹ 2. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số trên là: A. y m2 4m 4 x m2 m 2 .B. y m 4 x m2 2 . 5m 1 m C. y 2x .D. y x . 6 3 6 Hướng dẫn giải: Chọn A æ ö ç1 m÷ 2 2 + Lấy f (x) chia f '(x) ta được: y = f (x) = ç x - ÷.f '(x) + (- m + 4m - 4)x + m - m + 2 èç3 6 ø÷ + Do đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: y m2 4m 4 x m2 m 2 Câu 18. Giả sử A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f x x3 ax2 bx c và đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của P abc ab c . Trang 7
  8. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 16 25 A. . B. 9 . C. . D. 1. 25 9 Lời giải Chọn C. TXĐ D ¡ . f x 3x2 2ax b . Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là f x 0 có hai nghiệm phân biệt a2 3b 0 . Lấy f x chia cho f x . 1 1 2 2 1 Ta có f x f x . x a b x c ab . 3 9 3 9 9 2 2 1 Suy ra đường thẳng đi qua A , B là: y b x c ab d . 3 9 9 1 Theo đầu bài d đi qua gốc tọa độ c ab 0 ab 9c . 9 2 2 5 25 Khi đó P abc ab c P 9c 10c P 3c . 3 9 25 Suy ra min P . 9 Câu 19. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y | x |3 (2m 1)x2 3m | x | 5 có 3 điểm cực trị. 1 1 A. ; . B. (1; ). C. ( ;0]. D. 0;  (1; ). 4 4 Đáp án C Xét f (x) x3 (2m 1)x2 3mx 5 và f (| x |) | x |3 (2m 1)x2 3m | x | 5 Ta có 3 2a 1 a 1là số điểm cực trị dương của hàm số y f (x). Vậy yêu cầu tương đương với: f (x) có đúng một điểm cực trị dương 2 f (x) 3x 2(2m 1)x 3m 0 có hai nghiệm thoả mãn x1 0 x2 m 0. 2 (Vì x 0 m 0 lúc đó x 0. còn x 0 thì a.c < 0 suy ra m < 0 ) 1 2 3 1 Trang 8
  9. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 DẠNG 2 HÀM TRÙNG PHƯƠNG y = ax 4 + bx2 + c (a ¹ 0) Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y mx4 m 1 x2 2m 1 có 3 điểm cực trị ? m 1 A. .B. . C D. m 1 . 1 m 0 m 1 m 0 Hướng dẫn giải: [Phương pháp tự luận]: y ' 4mx3 2 m 1 x 0 x 0 2x 2mx2 m 1 0 2 2mx m 1 m 1 Hàm số có 3 điểm cực trị m m 1 0 m 0 [Phương pháp trắc nghiệm] : Đồ thị hàm số y ax4 bx2 c có 3 cực trị khi và chỉ khi a và b trái dấu , tức là : ab 0 m 1 Suy ra : m m 1 0 m 0 4 2 3 Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y m 1 x mx chỉ có cực tiểu mà 2 không có cực đại. A.B.m 1. C. 1 m 0. D. m 1. 1 m 0. Hướng dẫn giải: Chọn B Ta xét hai trường hợp sau đây: 3 TH1: m 1 0 m 1 . Khi đó y x2 hàm số chỉ có cực tiểu (x 0 ) mà không có cực đại 2 m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH2: m 1 0 m 1 . Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có : 3 2 m y ' 4 m 1 x 2mx 4 m 1 x x . 2 m 1 Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại y ' có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương khi x đi 4 m 1 0 qua nghiệm này m 1 m 0 . 0 2 m 1 Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có 1 m 0 . Câu 22. Hàm số y x4 2(m 2)x2 m2 2m 3 có đúng 1 điểm cực trị thì giá trị của m là: A. B.m C. 2 D m 2. m 2. m 2. Hướng dẫn giải: Chọn A Trang 9
  10. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 + Hàm trùng phương có 1 điểm cực trị khi ab 0 m 2 0 m 2 . Câu 23. Với giá trị tham số m ;ab; (với a,b ¢ ) thì hàm số y mx4 m 1 x2 m chỉ có đúng một cực trị. Giá trị biểu thức là P 2a2019 3b2020 : A. P 22019 3.B. P 2 3.22020 .C. P 3 .D. P 0 . Hướng dẫn giải: Chọn C Trường hợp 1: m 0 Ta có hàm số: y x2 , hàm số này có 1 cực trị. Vậy m 0 thỏa mãn. Trường hợp 2: m 0 y 4mx3 2 m 1 x m 1 m 1 Hàm số có đúng 1 cực trị 0 m m 0 m 0 Kết hợp TH1 và TH2, ta có: thỏa mãn. m 1 P 2a2019 3b2020 3 Câu 24. Với giá trị tham số m ;a  b;c (với a,b,c ¢ ) thì hàm số y mx4 m2 4m 3 x2 2m 1 có ba điểm cực trị. Giá trị biểu thức là P a2 b2 c2 : 5 A. P 10 .B. P .C. P 20 .D. P 16 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A y 4mx3 2 m2 4m 3 x m 0 m 0 Hàm số có 3 cực trị m2 4m 3 m ;0  1;3 0 m ;0  1;3 m P a2 b2 c2 10 Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  1000;2010 để hàm số y mx4 m2 9 x2 10 có 3 điểm cực trị. A. 1000 .B. 3010 .C. 2010 .D. 999 . Hướng dẫn giải: Chọn D Để hàm số có ba cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm số trùng phương tức m 0 . m2 9 Ta có : .y ' 4mx3 2 m2 9 x 4mx(x2 ) 2m m2 9 Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi : y ' có 3 nghiệm phân biệt 0 2m 2 0 m 3 m m 9 0 . m 3 0 m 3 Vậy các giá trị cần tìm của m là : . m 3 Có 999 giá trị nguyên. Trang 10
  11. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 26. Với giá trị tham số m a;b (với a,b ¢ ) thì hàm số y m 1 x4 3mx2 5 có cực đại mà a b không có cực tiểu. Giá trị biểu thức là P : a b 1 1 A. P 1.B. P .C. P .D. P 1 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Phương pháp tự luận y ' 4 m 1 x3 6mx 0 (*) TH1 : Nếu m 1 , (*) trở thành : y ' 6x 0 hay x= 0 ,y '' 6 0 Vậy m 1 hàm số đạt cực đại tại x 0 x 0 TH2 : Nếu m 1 : (*) 3m x2 2 m 1 m 1 0 Hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu 3m 0 m 1 0 2 m 1 Kết hợp 2 trường hợp : m 0;1 Trang 11
  12. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 VẤN ĐỀ 3 TÌM THAM SỐ m ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC CỦA BÀI TOÁN (liên quan hệ thức Vi -et) DẠNG 1 HÀM SỐ BẬC 3: y ax3 bx2 cx d a 0 Cách viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của hàm bậc ba: y ax3 bx2 cx d a 0 y .y Cách 1: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y . 18a Cách 2: Chia y cho y ' ta được: y Q(x).y ' Ax B Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : y Ax B 1 1 Câu 27. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y mx3 (m 1)x2 3 m 2 x đạt cực trị tại 3 6 x1, x2 thỏa mãn x1 2x2 1. 2 6 6 m A 1B. . m 1 3 2 2 m 2 6 6 C mD. 1 . ;1 \ 0 m 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B Phương pháp tự luận y mx2 2(m 1)x 3 m 2 Yêu cầu của bài toán y 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: x1 2x2 1. m 0 m 0 m 0 6 6 6 6 2 1 m 1 1 m 1 m 1 3m m 2 0 2 2 2 2 m 2 3 m 2 3m 4 3m 4 x1x2 x1 x1 2 m m m m 3 2 m 1 2 m 2 m x x x x 1 2 2 m 2 m m x1 2x2 1 3 m 2 3m 4 2 m 3 m 2 x1x2 m m m m Phương pháp trắc nghiệm 1 1 + Chọn m 1 y x3 3x 3 6 y ' x2 3x Trang 12
  13. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 x 0 y ' 0 x 3x 0 suy ra hàm số có hai cực trị x 3 Và không thoả x1 2x2 1. Loại A, C 2 2 1 + Chọn m y x3 x2 4x 3 9 3 2 2 y ' x2 x 4 3 2 2 2 2 x 3 y ' 0 x x 4 0 suy ra hàm số có hai cực trị 3 2 x 2 Và có thoả x1 2x2 1. Loại D Vậy đáp B + Cách làm này là loại đáp án sai chứ không phải chọn đáp án đúng nhé các em !!! + Chọn giá trị m cho khéo để loại trừ đáp án càng nhiều càng tốt. 2 2 Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 mx2 2 3m2 1 x có hai 3 3 điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 sao cho x1x2 2 x1 x2 1 . 2 2 1 A.m 0. B.C.m D. . m . m . 3 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn C Phương pháp tự luận Ta có :y ' 2x2 2mx 2 3m2 1 2 x2 mx 3m2 1 , g x x2 mx 3m2 1 là tam thức bậc hai có 13m2 4 . Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y ' có hai nghiệm phân biệt g x có hai nghiệm phân biệt 2 13 m 13 0 . (1) 2 13 m 13 x1 x2 m x , x là các nghiệm của g x nên theo định lý Vi-ét, ta có . 1 2 2 x1x2 3m 1 m 0 2 2 Do đó x1x2 2 x1 x2 1 3m 2m 1 1 3m 2m 0 2 . m 3 2 Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 Phương pháp trắc nghiệm Làm như câu trên : chọn từng đáp án , Loại A, B . C đúng thì dừng không thử đáp án D Trang 13
  14. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3 2 2 3 Câu 29. Gọi xlà1 ,haix2 điểm cực trị của hàm số y x 3mx 3 m 1 x m . Tìmm tất cả các giá trị 2 2 của tham số thực mđể : x1 x2 x1x2 7 A. m 2 .B. .C D. m. 2 m 0 m 1 Hướng dẫn giải Chọn B Phương pháp tự luận y ' 3x2 6mx 3 m2 1 Hàm số luôn luôn có cực trị với moi m x1 x2 2m Theo định lí Viet : 2 x1.x2 m 1 2 2 2 2 x1 x2 x1x2 7 2m 3 m 1 7 m= ±2 Cách 2 : 2 2 x m 1 y’=0 x 2mx m 1 =0 x m 1 2 2 2 2 x1 x2 x1x2 7 m 1 m 1 m 1 m 1 7 .m 2 Câu 30. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m b (với a b;a,b ¢ ) thì đồ thị hàm số 3 2 2 2 y x 2 m 1 x m 4m 1 x 2 m 1 có hai điểm cực trị và hoành độ x 1 , x2 thoả mãn 1 1 1 a b x1 x2 . Tính giá trị biểu thức P 2 2 x1 x2 2 a b 3 2 2 3 A. P B. P C. P . D. P 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: Chọn C * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . * Để hàm số có hai cực trị thìy ' = 3x2 + 4(m - 1)x + (m2 - 4m + 1) = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt. ïì é ï a = 3 ¹ 0 êm 0 êm > - 2 + 3 îï y ' ë * Khi có cực trị, hoành độ cực trị x1,x2 là nghiệm của phương trình(1). 1 1 1 (x1 + x2 ) 1 * Ta có: + = (x1 + x2 ) Û = (x1 + x2 ) Û (x1 + x2 )(2 - x1x2 ) = 0 (3) x1 x2 2 x1x2 2 b 4(1- m) c m2 - 4m + 1 * Theo định lý Viét: S = x + x = - = ; P = x x = = (4) 1 2 a 3 1 2 a 3 é 4(1- m) ém = 1 2 ê ê 4(1- m) æ m - 4m + 1÷ö ê = 0 * Thay(4)vào 3 , ta được: .ç2 - ÷= 0 Û ê 3 Û êém = - 1. ( ) ç ÷ 2 êê 3 èç 3 ø÷ ê m - 4m + 1 êê ê2 - = 0 êêm = 5 ëê 3 ëë * Kết hợp (2)ta được : m = 1 và m = 5 thỏa yêu cầu bài toán. a b 2 P a2 b2 13 Trang 14
  15. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 m Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số đểm hàm số y x3 2x2 mx có 1 2 điểm cực trị thỏa 3 mãn xCĐ xCT . A. .mB C.2 .D 2 m 0 2 m 2 0 m 2 Hướng dẫn giải: Chọn D y ' mx2 4x m 2 'y' 0 4 m 0 ycbt 0 m 2 m 0 m 0 1 Câu 32. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 (m 3)x2 4 m 3 x m3 m đạt cực 3 trị tại x1, x2 thỏa mãn 1 x1 x2. 7 m 3 7 A. m 2 .B. .3 C. .mD 1 m 3 2 m 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn D y x2 2(m 3)x 4 m 3 Yêu cầu của bài toán y 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 1 x1 x2. m 3 2 m 1 m 3 4 m 3 0 m 3 m 1 0 7 7 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 m m 3 2 2 x x 2 x x 2 1 2 1 2 m 2 a a Câu 33. Với các giá trị thực của tham số m ; \ c (với a,b,c ¢ và là phân số tối giản) thì đồ b b 1 thị hàm số y x3 mx2 2m 1 x 2 có hai điểm cực trị và hoành độ cực trị đều dương. Tính giá trị biểu 3 a b c thức P a2.b2.c2 1 3 3 1 A. P B. P C. P .D. P 2 5 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn C * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . * Ta có: y ' = x2 - 2mx + (2m - 1), y ' = 0 Û g(x) = x2 - 2mx + (2m - 1) = 0 (1). * Để đồ thị hàm số có hai cực trị dương Û (1) có hai nghiệm dương phân biệt: Trang 15
  16. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 ïì a = 1 ¹ 0 ï ïì ï 2 ï 2 ï D ' = m - 2m + 1 > 0 ï (m - 1) > 0 ïì m ¹ 1 ï ï ï ï b ï ï Û í S = - = 2m > 0 Û í m > 0 Û í 1 . ï ï ï m > ï a ï 1 îï 2 ï c ï m > ï P = = 2m - 1 > 0 îï 2 îï a ì ï m ¹ 1 ï * Vậy í 1 là những giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán. ï m > îï 2 a b c 3 P a2.b2.c2 2 Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 3mx2 (m 1)x 2 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. A.0 m 1. B.m 1. C.D.m 0. m 1. Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có y ' 3x2 6mx m 1 . Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y 0 có hai nghiệm phân biệt Điều này tương đương ' 9m2 3(m 1) 0 3m2 m 1 0 (đúng với mọi m). 2m 0 S 0 Hai điểm cực trị có hoành độ dương m 1 m 1 P 0 0 3 Vậy các giá trị cần tìm của m là m 1 . Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2019;2019 thì đồ thị hàm số y x3 3 m 1 x2 3m2 7m 1 x m2 1 có điểm cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1? A. 2018 B. 2020 C. 2019 .D. 4038 Hướng dẫn giải: Chọn C * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . * Hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. éx 0 ï 9(m + 1) - 3(3m + 7m - 1)> 0 Û ê ï Û êï ï ê 2 ê3 Û - 3.g'(1) ³ 0 ï 3 3m + m - 4 ³ 0 ê( ) í êí ( ) ï êï ê ï S êï m + 1 < 1 ê ï < 1 êï ëê îï 2 ëî Trang 16
  17. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 é 4 ê- 0 Û êï é 4 Û 3 Û m 0 ê - 13 + 189 îï êm > ëê 2 Cách giải 1. Gọi x1,x2 (x1 < x2 )là hai nghiệm củay ' = g(x) = 0 . 2 Để 2 cực trị nằm về 2 phía so với trục tung Û x1.x2 < 0 Û m - 3m + 2 < 0 Û 1 < m < 2 . a.b 2 P a2 b2 5 Cách giải 2. Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị) Û y ' = g(x) = 0 có 2 nghiệm phân x1,x2 (x1 < x2 ) biệt thỏa: 2 x1 < 0 < x2 Û a.g(0)< 0 Û 3.(m - 3m + 2) < 0 Û 1 < m < 2 . a.b 2 P a2 b2 5 Câu 37. Với các giá trị thực của tham số m a (với a ¢ ) thì đồ thị hàm số y 2x3 mx2 12x 13 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm này cách đều trục tung Oy . Biết t thoả mãn phương trình sau: 4t 2 3at a2 3a 9 0 . Tính giá trị của t . 3 3 A. t 3 B. t C. t .D. t 3 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . Trang 17
  18. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 * Để hàm số có 2 cực trị Û y ' = 6x + 2mx - 12 = 0 có 2 nghiệm phân biệtx1 ¹ x2 . ì ï a = 6 ¹ 0 Û íï Þ " m Î ¡ hàm số luôn có 2 cực trị. ï D ' = m2 + 72 > 0 îï éx = x (do x ¹ x ) * Hai điểm cực trị cách đều trục tung Û x = x Û ê 1 2 1 2 1 2 êx = - x ëê 1 2 - 2m Û x + x = 0 Û = 0 Û m = 0 . 1 2 6 3 4t 2 9 0 t 2 a a Câu 38. Với các giá trị thực của tham số m (với là phân số tối giản) thì đồ thị hàm số b b y x3 3mx 1 có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ). Tính giá trị biểu thức P a2 ab b2 7 A. P 10 B. P 5 C. P .D. P 7 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có y' 3x2 3m y ' 0 x2 m 0 * Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị PT * có 2 nghiệm phân biệt m 0 Khi đó 2 điểm cực trị A m;1 2m m , B m;1 2m m   1 Tam giác OAB vuông tại O OA.OB 0 4m3 m 1 0 m ( thỏa mãn). 2 1 Vậy m . 2 a a Câu 39. Với các giá trị thực của tham số m (với là phân số tối giản) thì đồ thị hàm số b b 3 2 9 y x 3(m 1)x 12mx 3m 4 (C) có hai điểm cực trị là A và B và hai điểm này cùng với điểm C 1; 2 a2 b2 lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. Tính giá trị biểu thức P 2ab 25 15 7 5 A. P B. P C. P .D. P 4 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có y' 3x2 6(m 1)x 12m . Hàm số có hai cực trị y 0 có hai nghiệm phân biệt (m 1)2 0 m 1 (*). Khi đó hai điểm cực trị là A(2;9m), B(2m; 4m3 12m2 3m 4) . 2 2m 1 0 1 ABC nhận O làm trọng tâm 9 m (thoả (*). 4m3 12m2 6m 4 0 2 2 Trang 18
  19. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 40. Tìm các giá trị của tham số mđể đồ thị hàm số y 2x3 3 m 3 x2 11 3m có hai điểm cực trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C 0; 1 thẳng hàng . A. mB. 4. C.m 1. D. m 3. m 2. Hướng dẫn giải: Chọn A Phương pháp tự luận y ' 6x2 6 m 3 x x 0 y’=0 x 3 m Hàm số có 2 cực trị m 3 Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A 0;11 3m ; B 3 m;m3 9m2 24m 16  3 AB 3 m, 3 m . 2 Phương trình đt AB : 3 m x y 11 3m 0 A, B,C thẳng hàng C AB Hay : 1 11 3m 0 m 4 . Phương pháp trắc nghiệm Thay từng đáp án là OK. Câu 41. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m b (với a,b ¢ ) thì đồ thị hàm số y 2x3 3 m 1 x2 6mx có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng: a b y x 2 . Tính giá trị biểu thức P . a2 b2 3 1 1 5 A. P B. P C. P .D. P 2 2 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có : y 6x2 6 m 1 x 6m x 1 y ' 0 x m Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m 1 Ta có : A 1;3m 1 B m; m3 3m2 2 Hệ số góc đt AB là : k m 1 m 0 Đt AB vuông góc với đường thẳng khiy vàx chỉ2 khi k 1 m 2 a b 1 P a2 b2 2 Câu 42. Cho hàm số y x3 6x2 3 m 2 x m 6 . Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có hoành độ 2 cực trị cùng dấu . 15 21 17 A. 2 m 2 .B. .C. m 2 . D. m 2 . m 2 4 4 4 Hướng dẫn giải: Trang 19
  20. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Chọn D y ' 3x2 12x 3 m 2 y ' 0 y ' x2 4x m 2 0 Hàm số có 2 điểm cực trị x1, x2 ' 0 m 2 1 Chia y cho y’ ta được : y y ' x 2 m 2 2x 1 3 Điểm cực trị tương ứng : A x1; m 2 2x1 1 và B x2 ; m 2 2x2 1 2 Có : y1.y2 m 2 4x1x2 2 x1 x2 1 x1 x2 4 2 Với : nên : y1.y2 m 2 4m 17 x1x2 m 2 17 2 m Hai cực trị cùng dấu y1.y2 0 m 2 4m 17 0 4 m 2 17 Kết hợp đk : m 2 . 4 Câu 43. Tính theo m khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu ( nếu có) của đồ thị hàm số: 1 y x3 mx2 x m 1 . 3 2 4 A. m2 1 4m4 5m2 9 . B. C. 2m2 1 4m4 8m2 13 . 3 9 2 m2 1 4m4 8m2 13 . D. 4m2 4 4m4 8m2 10 . 3 Hướng dẫn giải: Chọn C Cách 1: y x2 2mx 1 2 m 1 0m , suy ra hàm số có 2 cực trị m .Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt y 0 a b 1 Lấy y ; y’ = P Bấm máy tính: a2 b2 2 1 3 2 2 x m x i,m A 1000 2003 2000002 x mx x m 1 x 2mx 1  i 3 3 3 3 3 2m 3 2m2 2 x 3 3 2m 3 2m2 2 2m 3 2m2 2 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A x1; x1 ; B x2 ; x2 3 3 3 3 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 AB x2 x1 m 1 x2 x1 x2 x1 1 m 1 9 9 4m2 4 4m4 8m2 13 2 4 2 2 2 2 4 2 4m 4 1 m 1 AB m 1 4m 8m 13 9 9 3 4e 16e3 b2 3ac Cách 2: Sử dụng công thức AB với e a 9a Trang 20
  21. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 m2 1 4e 16e3 2 e AB m2 1 4m4 8m2 13 . 3 a 3 Câu 44. Tìm các giá trị của tham số đểm đồ thị hàm số: y 2x3 3 m 1 x2 6m 1 2m có x điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trên đường thẳng có phương trình: y 4x d . 1  1  A. mB. 1. C.m 0;1. D. m 0; ; 1. m . 2  2 Hướng dẫn giải: Chọn A y 6x2 6 m 1 x 6m 1 2m 1 Hàm số có 2 cực trị m 3 Bấm máy tính: 3 2 2 x m 1 x i,m A 1000 2x 3 m 1 x 6m 1 2m x 6x 6 m 1 x 6m 1 2m  3 6 1997001000 8994001i 2.109 3.106 103 9.106 6.103 1 i 9m2 6m 1 x 2m3 3m2 m Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y 9m2 6m 1 x 2m3 3m2 m 2 9m 6m 1 4  d m 1. 3 2 2m 3m m 0 a 10 3 c Câu 45. Với các giá trị thực của tham số m hoặc m (với a,b,c,d ¢ ) thì đồ thị hàm số: b d y x3 mx2 7x 3 có đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu vuông góc với đường thẳng có a b phương trình : y 3x d . Tính giá trị biểu thức P . c2 d 2 1 1 5 9 A. P B. P C. P D. P 104 104 104 104 Hướng dẫn giải: Chọn A y 3x2 2mx 7 Hàm số có 2 cực trị m 21 Bấm máy tính: 3 2 2 x m x i,m A 1000 6973 1999958 x mx 7x 3 3x 2mx 7  i 3 9 9 9 7000 27 2.106 42 2m2 42 7m 27 i x 9 9 9 9 2m2 42 7m 27 Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y x 9 9 2 2m 42 2 45 45 3 10  d 3 1 m m m ( thỏa mãn). 9 2 2 2 Trang 21
  22. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 a b P c2 d 2 Câu 46. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m b (với a,b ¢ ) thì thị hàm số: y x3 3x2 3 m2 1 x 3m2 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác a b vuông tại O. Tính giá trị biểu thức P . a2 b2 1 A. P B. P 1 C. P 2 D. P 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn D y 3x2 6x 3 m2 1 Hàm số có 2 cực trị m 0 , gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y 0 Bấm máy tính: 3 2 2 2 2 2 x 1 x i,m A 1000 x 3x 3 m 1 x 3m 1 3x 6x 3 m 1  3 3 2000002 2000000i 2.106 2 2.106 i 2m2 x 2m2 2 2 2 2 2 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A x1;2m x1 2m 2 ; B x2 ;2m x2 2m 2   OAB vuông tại O OA.OB 0 2 2 2 2 x1x2 2m x1 2m 2 2m x2 2m 2 0 4 2 2 2 2 x1x2 4m x1x2 4m m 1 x1 x2 4 m 1 0 1 m2 1 4m4 4 m2 1 1 m2 2m2 0 1 m2 4m4 4m2 5 0 m 1. Câu 47. Tìm các giá trị của tham số đểm đồ thị hàm số: y x3 3x2 mx có2 điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình: y x 1 d . m 0 9 A. mB. 0. C. 9 . D. m 2. m . m 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A y 3x2 6x m Hàm số có 2 cực trị m 3 , gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y 0 , ta có: x1 x2 2 Bấm máy tính: 3 2 2 x 1 x i,m A 1000 x 3x mx 2 3x 6x m  3 3 994 2006 1000 6 2000 6 2m 6 m 6 i i x 3 3 3 3 3 3 2m 6 m 6 2m 6 m 6 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A x1; x1 ; B x2 ; x2 3 3 3 3 Gọi I là trung điểm của AB I 1; m Trang 22
  23. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2m 6 m 6 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y x 3 3 2m 6 9 / /d or  d 1 m Yêu cầu bài toán 3 2 I d m 1 1 m 0 Kết hợp với điều kiện thì m 0 . a c a c Câu 48. Với các giá trị thực của tham số m hoặc m (với a,b,c,d ¢ và , là các phân số tối b d b d giản) thì hàm số y x3 3x2 3 m2 1 x 3m2 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số a b c d cách đều gốc tọa độ O . Tính giá trị biểu thức P . a2 b2 6 5 4 7 A. P B. P C. P D. P 5 6 7 4 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có :.y ' 3x2 6x 3 m2 1 3 x2 2x m2 1 g x x2 2x m2 1 là tam thức bậc hai có ' m2 . Do đó: y có cực đại cực tiểu y ' có hai nghiệm phân biệt g x có hai nghiệm phân biệt ' 0 m 0 . (1) Khi đó y ' có các nghiệm là: 1 m tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 1 m; 2 2m3 và B 1 m; 2 2m3 .  2 2 Ta có: OA 1 m; 2 2m3 OA2 1 m 4 1 m3 .  2 2 OB 1 m; 2 2m3 OB2 1 m 4 1 m3 . A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi : 2 2 2 2 OA OB OA2 OB2 1 m 4 1 m3 1 m 4 1 m3 m 0 3 4m 16m 0 1 . m 2 1 Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 a b c d 6 P a2 b2 5 Câu 49. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m b (với a,b ¢ ) thì đồ thị hàm số y x3 3mx2 3m3 có hai điểm cực trị A ,B và tam giác OAB có diện tích bằng 48 . Giá trị biểu thức P a3 2b3 là: A. P 16 .B. P 8 C. P 0 D. P 24 Hướng dẫn giải: Chọn D y ' 3x2 6mx 3x x 2m Trang 23
  24. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 0 y ' 0 . x 2m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi :2m 0 m 0 . (1) Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0;3m3 , B 2m; m3 .  Ta có: OA 0;3m3 OA 3 m3 . (2) Ta thấy A Oy OA  Oy d B,OA d B,Oy 2 m . (3) 1 Từ (2) và (3) suy ra S OAd B,OA 3m4 . OAB 2 4 Do đó: S OAB 48 3m 48 m 2 (thỏa mãn (1) ). P a3 2b3 24 a 2 c 2 a c Câu 50. Với các giá trị thực của tham số m hoặc m (với a,b,c,d ¢ và , là các phân b d b d số tối giản) thì đồ thị hàm số y x3 3mx2 4m3 có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d) : y x . Giá trị biểu thức P a3 b3 c3 d 3 là: A. P 8 B. P 28 C. P 10 . D. P 18 Hướng dẫn giải: Chọn D y 3x2 6mx x 0 y 0 Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m 0 . x 2m  Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0;4m3 ); B(2m;0) AB (2m; 4m3 ) Trung điểm của đoạn AB là I(m;2m3 ) . Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y x là AB vuông góc với đường thẳng (d) : y x và m 0 2m 4m3 0 I (d) 3 2 2m m m 2 2 Kết hợp với điều kiện ta có: m . 2 P a3 b3 c3 d 3 18 Câu 51. Với các giá trị thực của tham số m a 2 b hoặc m c 2 d (với a,b,c,d ¢ ) thì đồ thị hàm số y x3 3mx2 3(m2 1)x m3 m có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. Giá trị biểu thức a3 b3 P là: c3 d 3 5 1 A. P .B. P 2 .C. P 1 . D. P 13 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Trang 24
  25. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta có y 3x2 6mx 3(m2 1) Hàm số (1) có cực trị thì PT y 0 có 2 nghiệm phân biệt x2 2mx m2 1 0 có 2 nhiệm phân biệt 1 0,m Khi đó, điểm cực đại A(m 1;2 2m) và điểm cực tiểu B(m 1; 2 2m) m 3 2 2 Ta có OA 2OB m2 6m 1 0 . m 3 2 2 a3 b3 P 1 c3 d 3 b b Câu 52. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m (với a,b,c ¢ và phân số tối giản ) thì đồ c c thị hàm số y mx3 3mx2 3m 3 có hai điểm cực trị A, B và thoả mãn 2AB2 (OA2 OB2 ) 20 ( trong đó a b c O là gốc tọa độ) . Giá trị biểu thức P là: a.b.c 187 28 187 29 A. P B. P .C. P .D. P . 28 187 29 187 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: y m(3x2 6x) x 0 y 3m 3 Với mọi m 0 , ta có y 0 . Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị. x 2 y m 3 Giả sử A(0;3m 3); B(2; m 3) . m 1 2 2 2 2 Ta có : 2AB (OA OB ) 20 11m 6m 17 0 17 ( thỏa mãn) m 11 m 1 Vậy giá trị m cần tìm là: 17 . m 11 a b c 29 P a.b.c 187 b 3 e b Câu 53. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m d (với a,b,c,d,e ¢ và phân số c 2 c tối giản ) thì của đồ thị hàm số: y x3 3mx 2 đi qua 2 điểm cực trị, đồng thời đường thẳng qua 2 điểm cực trị cắt đường tròn tâm Ibán 1; 1kính bằng 1 tại 2 điểm màA ,diệnB tích tam giác lớnIA nhấtB . Giá trị biểu thức a b c d e P là: a.b.c.d.e 3 4 3 5 A. P B. P C. P D. P 4 3 5 3 Hướng dẫn giải: Chọn B y ' 3x2 3m Trang 25
  26. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x m y ' 0 . Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi : m 0 x m Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: M m; 2m m 2  N m;2m m 2 MN 2 m;4m m Phương trình đt M: N 2mx y 2 0 ( Học sinh có thể dùng cách lấy y chia choy ) 1 1 1 Ta có : S IA.IB.sin ·AIB sin ·AIB IAB 2 2 2 2 2m 1 1 3 Dấu bằng xảy ra khi ·AIB 900 d I, MN  m 1 2 4m2 1 2 2 a b c d e 4 P a.b.c.d.e 3 b b Câu 54. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m (với a,b,c ¢ và phân số tối giản ) thì c c đường thẳng : x my 3 0 tạo với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3x2 (C) một 4 a b c góc , biết cos .Giá trị biểu thức P là: 5 a b c 15 15 11 11 A. P .B. P .C. P . D. P . 11 11 15 15 Hướng dẫn giải: Chọn A Đường thẳng đi qua ĐCĐ, ĐCT là 1 : 2x y 0 có VTPT n1 2;1 Đường thẳng đã cho : x my 3 0 có VTPT n2 1;m m 2 4 Yêu cầu bài toán cos , 1 cos n1,n2 5. m2 1 5 m 2 2 2 2 25 m 4m 4 5.16. m 1 11m 20m 4 0 2 m 11 a b c 15 P a b c 11 Câu 55. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M (2m3;m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y 2x3 3(2m 1)x2 6m(m 1)x 1 (C) một tam giác có diện tích nhỏ nhất. A.B.m 2. C.m 0. D. m 1. m 1. Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: y ' 6x2 6(2m 1)x 6m(m 1) x m y ' 0 m ¡ , hàm số luôn có CĐ, CT x m 1 Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là A(m;2m3 3m2 1), B(m 1;2m3 3m2 ) Suy ra AB 2 và phương trình đường thẳng AB : x y 2m3 3m2 m 1 0 . Do đó, tam giácMAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất. Trang 26
  27. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3m2 1 1 1 Ta có: d(M , AB) d(M , AB) min d(M , AB) đạt được khi m 0 . 2 2 2 Câu 56. Cho hàm số y 2x3 9x2 12x m . Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A, B đồng thời A, B cùng với gốc tọa đọ O không thẳng hàng. Khi đó chu vi OAB nhỏ nhất bằng bao nhiêu ? A. 10 2 . B. . C. 10 2 . D. . 20 10 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có : y ' 6x2 18x 12 x 1 y 1 5 m y 0 x 2 y 2 4 m A 1;5 m và B 2;4 m là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.    OA 1;5 m , OB 2;4 m , AB 1; 1 OAB là 1 tam giác 4 m 2 m 6 2 2 Chu vi của OAB là: 2 p 1 m 5 4 m 4 2 Sử dụng tính chất u v u v với u 1; 5 m và v 2;4 m 2 2 2 Từ đó ta có : 1 m 5 4 m 4 2 32 1 2 10 2 5 m 1 14 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u,v cùng hướng m . 4 m 2 3 14 Vậy chu vi OAB nhỏ nhất bằng 10 2 khi m . 3 1 Câu 57. Với các giá trị thực của tham số m a (với a ¢ ) thì đồ thị hàm số y x3 mx2 x 1 m có 3 cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa hai điểm ấy là ngắn nhất. Giá trị biểu thức P a3 a2 2a 1 là: A. P 4 . B. P 0 . C. P 3 . D. P 4 . Hướng dẫn giải * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . 2 * Để hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị) Û y ' = x - 2mx - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệtx1 ¹ x2 ì ï a = 1 ¹ 0 Û íï Þ " m Î ¡ hàm số luôn luôn có 2 cực trị. ï D ' = m2 + 1 > 0, " m Î ¡ îï 2 2 * Thực hiện phép chiay choy ', ta được phần dư bậc nhất: y = - (1+ m2)x + m + 1 là phương trình 3 3 đường thẳng nối 2 điểm cực trị. 2 2 2 Hai điểm cực trị là: A x1;y (x1) ,B x2;y (x2 ) Î y = - (1+ m )x + m + 1. ( ) ( ) 3 3 æ 2 2 ö æ 2 2 ö ç 2 ÷ ç 2 ÷. Þ Açx1;- (1+ m )x1 + m + 1÷;B çx2;- (1+ m )x2 + m + 1÷ èç 3 3 ø÷ èç 3 3 ø÷ 2 2 é 2 2 æ 2 2 öù Þ AB 2 = x - x + ê- 1+ m2 x + m + 1- ç- 1+ m2 x + m + 1÷ú ( 2 1) ê ( ) 2 ç ( ) 1 ÷ú ëê 3 3 è 3 3 øûú Trang 27
  28. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 2 é2 ù 2 2 é 4 2 ù Û AB 2 = x - x + ê 1+ m2 ú x - x = x - x ê1+ 1+ m2 ú ( 2 1) ê ( )ú ( 1 2 ) ( 1 2 ) ê ( ) ú ë3 û ë 9 û é 2 ùæ 4 8 4 ö 2 ç 2 4 ÷ Û AB = ê(x1 + x2 ) - 4x1x2 úç1+ + m + m ÷ ëê ûúèç 9 9 9 ø÷ é 4 2 ù Û AB 2 = 4m2 + 4 ê1+ 1+ m2 úÞ AB 2 Û m = 0 . ( )ê ( ) ú min ë 9 û P a3 a2 2a 1 0 a c a c Câu 58. Với các giá trị thực của tham số m ;  ; (với a,b,c,d ¢ và ; là phân số b d b d 1 tối giản ) thì đồ thị hàm số y mx3 3mx2 3m 1 x 2 có 2 điểm cực trị và hoành độ cực đại x 3;0 . 3 a b c d Giá trị biểu thức P là: a.b.c.d 11 11 18 11 A. P . B. P . C. P . D. P . 9 18 11 15 Hướng dẫn giải * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . * Ta có: y ' = mx2 + 6mx + (3m + 1). + Nếu m = 0 thì y ' = 1 > 0; " x Î ¡ Þ Hàm số luôn tăng " x Î ¡ , do đó hàm số không có cực trị. + Nếu m ¹ 0 , ta có: D ' = m (6m - 1). Bảng xét dấu: 1 m - ¥ 0 6 + ¥ D ' + 0 – 0 +  Với 0 0, " x Î R Þ Hàm số luôn tăng " x Î ¡ , do đó hàm số không 6 có cực trị. 1 3 1 2  Với m = 1 Þ y ' = x2 + x + = (x + 3) ³ 0, " x Î ¡ Þ Hàm số luôn tăng 6 6 2 6 " x Î ¡ , do đó hàm số không có cực trị. 1  Với m , khi đó tam thức bậc haiy ' = mx2 + 6mx + (3m + 1)có hai 6 é ê D ' êx1 = - 3 + nghiệm phân biệt: ê m . ê D ' êx = - 3 - ëê 2 m - Nếu m < 0 thì x1 < x2 ta có bảng xét dấu: m - ¥ x1 x2 + ¥ D ' – 0 + 0 – Trang 28
  29. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Dựa vào bảng xét dấu suy rax2 là hoành độ cực trị của hàm số D ' Theo bài toán, ta có: - 3 0 Û ê ( ) ( ) ê 3 m > 0 ëê 1 So với m thì x > x ta có bảng xét dấu: 6 1 2 m - ¥ x2 x1 + ¥ D ' – 0 + 0 – Dựa vào bảng xét dấu suy ra x1 là hoành độ cực trị của hàm số D ' Theo bài toán, ta có: - 3 0 Û ê ( ) ( ) ê 3 m > 0 ëê 1 1 So với m > , ta nhận giá trị m > 6 6 é 1 êm ë 6 a b c d 11 P a.b.c.d 18 Trang 29
  30. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 VẤN ĐỀ 2 TÌM THAM SỐ m LIÊN QUAN HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y = ax 4 + bx2 + c (a ¹ 0) Câu 59. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2020;2010 để đồ thị hàm số y 3x4 mx2 2 có 2 cực đại tại A 0; 2 và đạt cực tiểu tại hai điểm B,C sao cho xC xB 6 m m ? A. 2009 B. 2020 . C. 4030 . D. 2019 . Hướng dẫn giải: Chọn A * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . éx = 0 * Ta có: y ' = 12x 3 - 2mx Þ y ' = 0 Û 12x 3 - 2mx = 0 Û ê ê12x2 - 2m = 0 = g x * ëê ( ) ( ) * Để hàm số có 3 cực trị Û y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û (*)có 2 nghiệm phân biệt¹ 0: ì ï m ¹ 0 Û í Û m > 0 1 . ï m > 0 ( ) îï * Khi đó, điểm cực đại của hàm số làA(0;- 2) ; 2 điểm cực đại của hàm số là B (xB ,yB ), C (xC ,yC ). ïì x + x = 0 ï 1 2 ï * Viet cho PT (*): í m ï x .x = - îï 1 2 6 * theo yêu cầu bài toán: ïì é 2 ï m £ 0 ïì m - m ³ 0 ï ê 2 ï ï êm ³ 1 x - x 0 ï ê ë ï ç ÷ ( ) îï ï ê 10 îï è 6 ø ï m > îï ëê 9 * đối chiếu ĐK (1)Þ m ³ 1 là giá trị cần tìm. Có 2009 giá trị nguyên của tham số m 2020;2010 Câu 60. Tìm các giá trị của tham số đểm đồ thị hàm số: y x4 2 m 1 x2 cóm2 ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. m 0 A. Không tồn tại m.B C D m 0 m 1 m 1 Hướng dẫn giải: Chọn B Trang 30
  31. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 y 4x3 4 m 1 x y 0 4x x2 m 1 0 Hàm số có điểm 3 cực trị m 1 Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là : A 0;m2 , B m 1; 2m 1 , C m 1; 2m 1 Do tính chất đối xứng, ta có ABC cân tại đỉnh A .   Vậy ABC chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A AB.AC 0 2 2 4 3 2 m 0 m 1 ( m 2m 1) 0 m 4m 6m 3m 0 m 1 Kết hợp điều kiện ta có: m 0 ( thỏa mãn). Lưu ý: Có thể làm theo cách khác: +) Cách 1: Gọi M là trung điểm của BC, tìm tọa độ điểm M, ABC vuông tại đỉnh A thì 2AM BC . +) Cách 2: Sử dụng định lý Pitago BC 2 AB2 AC 2   +) Cách 3: cos BA, BC cos 450 b3 +) Hoặc sử dụng công thức 1 0 8a Câu 61. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m b (với a,b ¢ ) thì đồ thị hàm số y x4 2m2 x2 1 (C) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Giá trị biểu thức a b P là: a.b A. P 0 B. P 1 . C. P 1. D. P 2 Hướng dẫn giải: Chọn A x 0 Ta có: 3 2 2 2 y ' 4x 4m x 4x x m 0 2 2 x m Hàm số (C) có ba điểm cực trị m 0 (*) . Với điều kiện gọi(*) ba điểm cực trị là: A 0;1 ;B m;1 m4 ;C m;1 m4 . Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân, thì sẽ vuông cân tại đỉnh A. Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC .    AB m; m4 ; AC m; m4 ;BC 2m;0 . Tam giác ABC vuông khi: BC 2 AB2 AC 2 4m2 m2 m8 m2 m8 2m2 m4 1 0; m4 1 m 1 Vậy với m 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. Phương pháp trắc nghiệm b3 Yêu cầu bài toán 1 0 m6 1 0 m 1 8a a b P 0 a.b Trang 31
  32. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 62. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m b (với a ¢ ;b ¢ ) thì đồ thị hàm số y x4 2m2 x2 1 (C) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Giá trị biểu thức 3a2 b2 P là: a.b A. P 0 B. P 1. C. P 2 . D. P 2 Hướng dẫn giải: Chọn D y 4x3 4m2 x y 0 4x x2 m2 0 Hàm số có 3 điểm cực trị m 0 Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là : A 0;1 , B m;1 m4 , C m;1 m4 Do tính chất đối xứng, ta có ABC cân tại đỉnh A .   2 8 m 0 Vậy ABC chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A AB.AC 0 m m 0 m 1 Kết hợp điều kiện ta có: m 1 ( thỏa mãn). b3 Lưu ý: có thể sử dụng công thức 1 0 . 8a Câu 63. Với các giá trị thực của tham số m a 3 b (với a,b ¢ ) thì đồ thị hàm số: a2 b2 y x4 2mx2 2m m4 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều. Giá trị biểu thức P là: a.b 17 25 10 5 A. P .B. P .C. P .D. P . 5 3 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn C y 4x3 4mx y 0 4x x2 m 0 Hàm số có 3 cực trị m 0 Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là : A 0;m4 2m , B m;m4 m2 2m , C m;m4 m2 2m Do tính chất đối xứng, ta có ABC cân tại đỉnh A . m 0 Vậy ABC đều chỉ cần AB BC m m4 4m 3 m 3 Kết hợp điều kiện ta có: m 3 3 ( thỏa mãn). 3 b3 2m Lưu ý: có thể sử dụng công thức 3 0 3 0 m3 3 m 3 3 8a 8 a2 b2 10 P a.b 3 Trang 32
  33. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 b 3 3 b Câu 64. Với các giá trị thực của tham số m a (với a,b,c ¢ và là phân số tối giản ) thì đồ thị c c hàm số y x4 4 m 1 x2 2m 1 có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều. Giá trị biểu thức P 2a 3b 4c là: A. P 11 .B. P 9 .C. P 21.D. P 15 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có y 4x3 8 m 1 x 4x x2 2 m 1 . x 0 y 0 2 nên hàm số có 3 điểm cực trị khi m 1 . x 2 m 1 Với đk m 1 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A 0;2m 1 ,B 2 m 1 ; 4m2 10m 5 ,B 2 m 1 ; 4m2 10m 5 . Ta có: AB2 AC 2 2 m 1 16 m 1 4 BC 2 8 m 1 Để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác đều thì: AB AC BC AB2 AC 2 BC 2 2 m 1 16 m 1 4 8 m 1 m 1 4 3 8 m 1 3 m 1 0 m 1 8 m 1 3 0 3 3 m 1 2 3 3 So sánh với điều kiện ta có: m 1 thỏa mãn. 2 P 2a 3b 4c 21 3 3 b 3 3 Cách khác: áp dụng công thức 3 0 8 m 1 3 0 m 1 8a 2 Câu 65. Cho hàm số y x4 2 1 m2 x2 m 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực đểm hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất . 1 1 A.m . B. mC. D. . m 0. m 1. 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C y ' 4x3 4 1 m2 x x 0 y ' 0 2 2 x 1 m Hàm số có cực đại , cực tiểu khi và chỉ khi :m 1 Tọa độ điểm cực trị A 0;m 1 B 1 m2 ; m4 2m2 m C 1 m2 ; m4 2m2 m Trang 33
  34. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093  BC 2 1 m2 ;0 Phương trình đường thẳng BC : y m4 2m2 m 0 d A,BC m4 2m2 1 , BC 2 1 m2 1 2 4 2 2 5 S ABC BC.d[A, BC] 1 m m 2m 1 = 1 m 1 2 Vậy S đạt giá trị lớn nhất m 0 . Cách khác:  AB 1 m2 ; m4 2m2 1  AC 1 m2 ; m4 2m2 1 1   5 Khi đó S = AB, AC = 1 m2 m4 2m2 1 = 1 m2 1 2 Vậy S đạt giá trị lớn nhất m 0 . Câu 66. Cho hàm số y x4 2mx2 m 1 . Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm thì giá trị của tham số thưc m thuộc khoảng nào sau đây? A. m 10; 5 .B. m 5;0 .C. m 0;5 .D. m 5;10 . Hướng dẫn giải: Chọn C y ' 4x3 4mx x 0 y ' 0 . Hàm số có 3 điểm cực trị 2 m 0 x m Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A 0;m 1 ; B m;m2 m 1 ; C m;m2 m 1 Vì B,C đối xứng nhau qua trục tung nên BC  OA   Do đó O là trực tâm tam giác ABC OB  AC hay OBAC 0   Với OB m,m2 m 1 , AC m,m2 Từ đó : m m2 m2 m 1 0 m 0 m 1 Vậy mlà gtct1 . b d Câu 67. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m (với a,b,c,d ¢ ) thì đồ thị hàm số c y x4 2mx2 m 1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính a b c d đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Giá trị biểu thức P là: a.b 7 7 1 1 A. P .B. P .C. P .D. P . 2 2 2 2 Trang 34
  35. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hướng dẫn giải: Chọn B x 0 Ta có: y' 4x3 4mx 4x x2 m 0 2 x m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m 0 (*) Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0;m 1 , B m; m2 m 1 , C m; m2 m 1 1 S y y . x x m2 m ; AB AC m4 m, BC 2 m ABC 2 B A C B 4 m 1 AB.AC.BC m m 2 m R 1 1 m3 2m 1 0 2 5 1 4S ABC 4m m m 2 m 1 Kết hợp điều kiện (*) ta có 5 1 . m 2 [Phương pháp trắc nghiệm] 3 3 m 1 b 8a 2m 8 3 Áp dụng công thức: R 1 m 1 2m 1 5 8 a b 8 2m m 2 m 1 Kết hợp điều kiện (*) ta có 5 1 . m 2 a b c d 7 P a.b 2 Câu 68. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m b (với a,b ¢ ) thì đồ thị hàm số: y x4 2m2 x2 m4 1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp. Giá trị biểu thức P a2 5ab b2 là: A. P 7 B. P 2 C. P 5 .D. P 3 Hướng dẫn giải: Chọn A y y 4x3 4m2 x Hàm số có 3 điểm cực trị khi m 0 Khi đó 3 điểm cực trị là: A 0;m4 1 , B m;1 ,C m;1 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC . Do tính chất đối xứng , ta có: A,O, I thẳng hàng AO là đường kính của đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC .   2 4 m 0 Vậy AB  OB AB.OB 0 m m 0 m 1 Kết hợp điều kiện m 1 ( thỏa mãn). P a2 5ab b2 7 Trang 35
  36. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 69. Tìm các giá trị của tham số đểm đồ thị hàm số: y x4 8m2 x2 có1 ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 64. A. Không tồn tại m.B. C.D. m 5 2. m 5 2. m 5 2. Hướng dẫn giải: Chọn D Hàm số có 3 điểm cực trị khi m 0 b2 b b2 b 64m4 8m2 Áp dụng công thức S , ta có: S 64 m 5 2 ( thỏa ABC 4 a 2a ABC 4 a 2a 4 2 mãn). Câu 70. Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số: y x4 2mx2 m có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1. A.B.m 1. m 2. C.m ; 1  2; . D. Không tồn tại m. Hướng dẫn giải: Chọn B Hàm số có 3 điểm cực trị khi m 0 Ba điểm cực trị là A 0;m , B m;m m2 ,C m;m m2 Gọi I là trung điểm của BC I 0;m m2 1 S AI.BC m2 m ABC 2 Chu vi của ABC là: 2 p AB BC AC 2 m m4 m S m2 m Bán kính đường tròn nội tiếp ABC là: r ABC p m m4 m 2 4 m2 m m m m m m Theo bài ra: r 1 1 4 1 (vì m 0 ) m m4 m m 4 2 2 5 2 2 m 1 m m m m m m m m m m m 2 0 m 2 So sánh điều kiện suy ra m 2 thỏa mãn. Cách khác b2 4m2 m2 Sử dụng công thức r r 4 a 16a2 2ab3 4 16 16m3 1 1 m3 2 3 2 m 1 m 1 m 3 Theo bài ra: r 1 1 3 1 1 m 1 m 1 1 m3 m 3 3 2 m 1 1 m m 1 1 m m 1 m m 2 0 m 2 So sánh điều kiện suy ra m 2 thỏa mãn. Trang 36
  37. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 71. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y x4 3m 1 x2 2m có1 ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với điểm D 7;3 nội tiếp được một đường tròn. A. mB. 3. C.m 1. D. Khôngm tồn 1 tại. m. Hướng dẫn giải: Chọn A 1 Hàm số có 3 điểm cực trị khi m 3 Áp dụng công thức: 2 2 2 2 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: x y c y c 0 b 4a b 4a Thay vào ta có phương trình: 3 2 4 3 2 2 27m 75m m 15 54m 75m 41 27m 11 x y y 0 T 4 3m 1 4 3m 1 D 7;3 T 27m4 78m3 92m2 336m 99 0 Sử dụng chức năng SOLVE , tìm ra nghiệm duy nhất thỏa mãn là m 3 . Câu 72. Với các giá trị thực của tham số m a 2 b hoặc m c d 2 (với a,b,c,d ¢ ) thì hàm số y x4 2 m 1 x2 m (C) có ba điểm cực trị A , B , C sao cho OA BC ; trong đó O là gốc tọa độ, A là a2 ab b2 điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. Giá trị biểu thức P là: c2 d 2 3 2 5 2 A. P B. P C. P D. P 2 3 2 5 Hướng dẫn giải: Chọn A 3 2 Ta có :.y ' 4x 4 m 1 x 4x x m 1 Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi : y ' có 3 nghiệm phân biệt m 1 0 m 1 . * A 0;m x 0 2 Khi đó, ta có: y ' 0 x m 1 B m 1; m m 1 , x m 1 C m 1; m2 m 1 (vai trò của B , C trong bài toán là như nhau ) nên ta giả sử : B m 1; m2 m 1 , C m 1; m2 m 1 ).   Ta có :OA 0;m OA m ; BC 2 m 1;0 BC 2 m 1 . Do đó OA BC m 2 m 1 m2 4m 4 0 ( ' 8 ) m 2 2 2 (thỏa mãn * ). Vậy m 2 2 2 . a2 ab b2 3 P c2 d 2 2 Trang 37
  38. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2020 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 a c 2 e 2 Câu 73. Với các giá trị thực của tham số m hoặc m hoặc m (với b d f a a,b,c,d,e, f ¢ và là phân số tối giản) thì đồ thị hàm số: y x4 2mx2 4m 1 có ba điểm cực trị, b a2 b2 c2 đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ tạo thành 1 hình thoi. Giá trị biểu thức P là: d 2 e2 f 2 1 3 1 4 A. P .B. P C. P D. P 4 4 2 5 Hướng dẫn giải: Chọn B Hàm số có 3 điểm cực trị khi m 0 Ba điểm cực trị là: A 0;1 4m , B m;m2 4m 1 ,C m;m2 4m 1 Tứ giác OBAC đã có OB OC, AB AC . Vậy tứ giác OBAC là hình thoi chỉ cần thêm điều kiện 2 2 OB AC m m2 4m 1 m m4 m2 4m 1 m4 0 m2 4m 1 m2 m2 4m 1 m2 0 1 4m 2m2 4m 1 1 m 4 ( thỏa mãn 2 2 m 2 a2 b2 c2 3 P d 2 e2 f 2 4 Trang 38