Bài tập Đại số Lớp 8: Bất đẳng thức Bunhia Copxky

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 8: Bất đẳng thức Bunhia Copxky

1. . Bất đẳng thức Bunhia copxky I.Kiến thức cơ bản. Định lý: Với mọi số a1, a2, an, b1, b2 , ., bn ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 anbn ) (a1 +a2 + +an )(b1 +b2 + +bn ) a a a Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: 1 2 n b1 b2 bn Chứng minh: 2 (a1t-b1) 0 2 (a2t-b2) 0 2 (ant-bn) 0 2 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 + .+an )t -2(ab+ab+ +ab)t+(b1 b2 + .+bn ) 0 2 2 2 Đặt A=a1 a2 + .+ an B=ab+ab+ab 2 2 2 C=b1 b2 + .+bn Ta có: At2-2Bt+C 0 với mọi t B 2 AC A[(t-B)2- ] 0 với mọi t 4A B2-AC 0 B2 AC (điều phải chứng minh). II. Một số ví dụ: 1)Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh các bất đẳng khác. Ví dụ 1. Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 a b c b 2 c 2 a 2 b c a với a, b, c > 0 ta có : a+b+c 3 3 abc (bất đẳng thức Cosi) 1 a2+b2+c2 (a+b+c)2 Cosi-Bunhia 3 a 2 b 2 c 2 1 a b 1 a b c a b c a b c Hay ( )2 ( ) 3 3 . . = (đpcm) b 2 c 2 a 2 3 b c 3 b c a b c a b c a Ví dụ 2. Cho a2+b2+c2=1 và m2+n2 = 1 - 1 -
2. Chứng minh rằng: am bn c 2 Ta có: m2+n2+1 = 2 do đó: (am+bn+c)2 (a2+b2+c2)( m2+n2+1)=1.2 (áp dụng BĐT Bunhia a,b,c và m,n,1) (am+bn+c)2 2 am bn c 2 (đpcm) Ví dụ 3. Cho ba số a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1 1 Chứng minh rằng a2+b2+c2 3 Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1,1,1 và a,b,c ta có: (12+12+12)( a2+b2+c2) (1. a+1.b+1.c)2 =( a+b+c)2=1 3( a2+b2+c2) 1 1 a2+b2+c2 3 1 Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c= 3 2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Ví dụ 4. Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x4+y4+z4 Ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho 6 số a1=x; a2=y; a3=z; b1=y; b2=z; b3=x ta có: 1=(xy+yz+zx)2 (x2+y2+z2)( x2+y2+z2) ( x2+y2+z2 ) 1 2 2 2 Ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho: a1=1; a2=1; a3=1; b1=x ; b2=y ; b3=z 1 1 (x2+y2+z2)2 (1+1+1) (x4+y4+z4) ( x4+y4+z4 ) 3 x y z 3 Dấu đẳng thức xẩy ra khi: và x2=y2=z2 x=y=z= y z x 3 1 Vậy Pmin = 3 Ví dụ 5: - 2 -
3. Cho các số dương a,b,c và các số dương x,y,z thay đổi sao cho: a b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+z x y z Giải: a b c Ta có: a b c . x . y . z x y z áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: a b c ()a b c 2 ( )(x y z) x y z ()a b c 2 x+y+z Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: a b c : x : y : z x y z a b c a b c x y z x y =1:(a b c ) Đến đây dễ dàng suy ra: x= a( a b c) y= b( a b c) z= c( a b c) Khi đó 2 Amin=(a b c ) 3.Dùng bất đẳng thức cosi-bunhia copxky vào giải phương trình. I. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình x 4 +x 6 =x2 - 10x + 27 Giải: Đk:4 x 6 Ta có VP= x2 - 10x + 27= x2 - 10x + 25+2=(x-5)2+2 2 VT2=(x 4 +x 6 )2 (12+12)  ( x 4 )2 +(x 6 )2  - 3 -
4. (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 1,1 vàx 4 ,x 6 ) Măt khác : ( x 4 )2 +(x 6 )2=x-4+6-x=2 Suy ra : VT2 2.2 VT 2(vì VT= x 4 +x 6 0) Ta thấy VP 2, VT 2 nên phương trình có nghiệm khi VT=VP=2 x 5 Vậy phương trình có môt nghiệm x=5. Ví dụ 2. Giải phương trình 4 1 x 2 4 1 x 4 1 x 3 Giải: Đk : -1 x 1 Theo bât đẳng thưc Cô-si ta có: 1 x 1 x 1 1 x 4 1 x 2 =4 (1 x)(1 x) + (1) 4 1 x 4 1.(1 x) 2 2 2 (2) 1 1 x 4 1 x =4 1.(1 x) (3) 2 Từ (1),(2),và(3) ta có : 4 1 x 2 +4 1 x +4 1 x 1+1 x + ! x 1 1 x 1 1 x 1+ + =3 2 2 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 1 x = 1 x 1 x =1 1 x =1 x=o Kiểm tra lại ta thấy x=0 là nghiệm của phương trình. - 4 -