Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11: Nhị thức Niutown

Nội dung text: Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11: Nhị thức Niutown

1. Bài toán: Ta kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, = − . 22푛+1+푛2+푛+2 Cho dãy số { } với = . Có bao nhiêu số hạng của dãy số{ } 푛 푛 2푛+1+2 푛 2526.2푛−99 23 thỏa mãn: ≤ ≤ . 2푛 +1 푛 65 (Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du số 1,Bắc Ninh) Lời giải Ta có: 1 = 2 = 0 2 = 4 = 0. Suy ra 1 và 2 không thỏa mãn đề bài. 22푛+1+푛2+푛+2 22푛+1−2+푛2+푛+4 22푛+1−2 푛2+푛+4 +Xét 푛 ≥ 3 ta có: = = + 2푛+1+2 2푛+1+2 2푛+1+2 2푛+1+2 2(22푛 − 1) 푛2 + 푛 + 4 2(2푛 − 1)(2푛 + 1) 푛2 + 푛 + 4 = + = + 2(2푛 + 1) 2푛+1 + 2 2(2푛 + 1) 2(2푛 + 1) 푛2 + 푛 + 4 = 2푛 − 1 + 2(2푛 + 1) Áp dụng Công thức nhị thức NiuTơn với 푛 ≥ 3 ta có: 푛(푛 − 1) 2푛 = (1 + 1)푛 = 0 + 1 + 2 + 3+. . + 푛 = 1 + 푛 + + 3+. . + 푛 푛 푛 푛 푛 푛 2 푛 푛 푛2 + 푛 + 2 푛2 + 푛 + 2 = + 3+. . + 푛 > 2 푛 푛 2 푛2+푛+2 푛2+푛+4 Suy ra 2푛 + 1 > + 1 = 2 2 푛2+푛+4 Suy ra 0 < < 1 2(2푛 +1) 푛2+푛+4 Mà 2푛 − 1 là số nguyên. Do đó số nguyên lớn nhất không vượt quá 2푛 − 1 + 2(2푛 +1) là 2푛 − 1 22푛+1+푛2+푛+2 푛2+푛+4 푛2+푛+4 suy ra = = 2푛 − 1 + − (2푛 − 1) = 푛 2푛+1+2 2(2푛 +1) 2(2푛 +1) (푛+1)2+(푛+1)+4 푛2+3푛+6 suy ra = = 푛+1 2(2푛+1+1) 2(2.2푛 +1) 푛2+푛+4 푛2+3푛+6 푛2+푛+4 2.2푛 +1 − 푛2+3푛+6 (2푛 +1) Xét − = − = 푛 푛+1 2(2푛 +1) 2(2.2푛 +1) 2(2푛 +1)(2.2푛 +1)
2. 푛2 − 푛 + 2 2푛 − 2푛 − 2 푛 푛 − 1 + 2 2푛 − 2푛 − 2 = = 2(2푛 + 1)(2. 2푛 + 1) 2(2푛 + 1)(2. 2푛 + 1) 푛 3 − 1 + 2 23 − 2푛 − 2 14푛 + 14 ≥ = > 0, ∀푛 ≥ 3 2(2푛 + 1)(2. 2푛 + 1) 2(2푛 + 1)(2. 2푛 + 1) Như vậy 푛 > 푛+1 nên với 푛 ≥ 3 dãy số { 푛 } là dãy số giảm 23 23 23 Lại có = suy ra ≤ ≤ = 푛 ≥ 6 6 65 푛 65 푛 6 65 Ta có: 2526.2푛−99 2526.2푛 −99 푛2+푛+4 2526.2푛 푛2+푛+4 2푛 2100 ≤ ≤ ≤ ≤ 2푛 +1 푛 2푛 +1 2(2푛 +1) 299 2 푛2+푛+4 10104 2푛 2100 ≤ (*) 푛2+푛+4 1002+100+4 2푛 2푛+1 2.2푛 Xét = = = 푛 푛2+푛+4 푛+1 (푛+1)2+(푛+1)+4 푛2+3푛+6 2.2푛 2푛 2푛 (푛2−푛+2) 2푛 (푛(푛−1)+2) − = − = = > 0 với ∀푛 ≥ 3 푛+1 푛 푛2+3푛+6 푛2+푛+4 (푛2+3푛+6)(푛2+푛+4) (푛2+3푛+6)(푛2+푛+4) Vậy dãy số { 푛 } là dãy số tăng. Suy ra: (∗) 푛 ≤ 100 푛 ≤ 100 2526.2푛−99 23 Vậy ta có ≤ ≤ 6 ≤ 푛 ≤ 100 푛 ∈ 6,7,8, . . ,100 2푛 +1 푛 65 Suy ra có 95 số hạng của dãy số{ 푛 } thỏa mãn đề bài.