Bài tập giải phương trình có chứa căn thức Lớp 9

Nội dung text: Bài tập giải phương trình có chứa căn thức Lớp 9

1. Bài 2. Giải phương trình 2x 3 x . ĐK: x 0 , bình phương hai vế: 2 2 x 1 (1) x 2x 3 x 2x 3 0 (x 1)(x 3) 0 x 3 Kết hợp với điều kiện: x 1 (loại) Vậy nghiệm của phương trình là: x 3 Bài 2. Giải phương trình: 4x 8072 9x 18162 5 . 4x 8072 9x 18162 5 (ĐK: x 2018 ) 2 x 2018 3 x 2018 5 5 x 2018 5 x 2018 1 Bình phương hai vế: x 2018 1 x 2017 (thỏa mãn ĐK) Vậy nghiệm của phương trình là x 2017 Bài 2. Giải phương trình sau: x + 3 x 4 0 Đặt x = t (t ≥ 0) (1) Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 + 3t – 4 = 0 (2) Phương trình (2) có tổng các hệ số bằng 0; suy ra (2) có hai nghiệm: t1 = 1 (thỏa mãn (1)); t2 = - 4 (loại do (1)). Thay t1 = 1 vào (1) suy ra x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 2. Giải phương trình: 2x 1 = 7 x 2x 1 = 7 x 7 x 0 2 2x 1 = 7 x x 7 1 2 x 16x 48 0 Giải phương trình: x2 – 16x + 48 = 0 2 Ta có: b 2 ac 8 1 48 64 48 16 0 16 4 b 8 4 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 12; 1 a 1 b 8 4 x 4 2 a 1 Đối chiếu với điều kiện (1) thì chỉ có x = 4 là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 2. Giải bất phương trình: 3x 2 7x 8 3x 2 0 3x 2 0 3x 2 7x 8 1 hoặc 2 2 7x 8 0 3x 2 7x 8 8 2 Giải (1) được: x ; 7 3 Giải (2):
2. 2 2 x 3x 2 0 x 3 2 4 2 3 x 3x 2 7x 8 2 4 3 9 9x 5x 4 0 1 x 9 Kết hợp cả (1) và (2) ta được nghiệm của bất phương trình là: 8 4 x 7 9 Bài 2. Giải phương trình x 3 2 x 6 x x2 1 1 . ĐK: 3 x 2 1 x 3 2 x 3 x 2 x 1 0 x 3 1 2 x 1 2 x 0 x 3 1 1 2 x 0 x 3 1 0 1 2 x 0 x 3 1 2 x 1 x 3 1 x 2 2 x 1 x 1 Kết hợp với điều kiện x  2;1 Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S  2;1 . Bài 2. Giải phương trình 6 x 2 3 3 x 3x 1 4 x2 x 6 . 6 x 2 3 3 x 3x 1 4 x2 x 6 6 2 x 3 3 x 3x 1 4 (2 x)(3 x) ĐK: 2 x 3 Đặt a 2 x , b 3 x (a,b 0) 3x 1 4a2 b2 10 Phương trình trở thành: 6a 3b 4a2 b2 10 4ab 3(2a b) (2a b)2 10 (2a b)2 3(2a b) 10 0 (2a b 2)(2a b 5) 0 2a b 5 0 (do a,b 0 2a b 2 0) 2a b 5 2 2 x 3 x 5 Cách 1: 2 2 x 3 x 5 4(2 x) 4 (2 x)(3 x) 3 x 25 3x 11 4 (2 x)(3 x) 25 4 (2 x)(3 x) 14 3x 16(6 x x2 ) 196 84x 9x2 (do x 3 14 3x 0) 25x2 100x 100 0 x2 4x 4 0 (x 2)2 0 x 2 (thỏa mãn ĐK) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 2
3. Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2 2 2 x 3 x 22 12 2 x 3 x 25 2 2 x 3 x 5 2 x Dấu “=” xảy ra 3 x 2 x 12 4x x 2 2 Bài 2. Giải phương trình: 7 2 x x 2 x 7 x . 7 2 x x 2 x 7 x (1) ĐK: 0 x 7 (1) 7 2 x x 2 7 x x. 7 x 7 x x. 7 x 2 x 2 7 x 0 7 x 7 x x 2 7 x x 0 7 x x 0 7 x x 7 x 2 0 7 x 2 0 7 x x 7 x x x 3,5 (TM) 7 x 2 7 x 4 x 3 (TM) Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3,5;3 x2 Bài 2. Giải phương trình: x2 4 8 x2 4 x2 x2 4 8 x2 x2 4 x2 4 16 2x2 (1) 4 ĐK: 2 x 2 2 ; Đặt y x2 4 (y 0) x2 y2 4 Phương trình (1) trở thành: y2 4 4y 16 2 y2 4 y 2 2 8 2y2 y 2 8 2y2 y 2 8 2y2 (do y 0 y 2 0) 2y2 y 6 0 (y 2)(2y 3) 0 3 2y 3 0 (do y 2 0) y 2 2 3 2 3 2 25 5 Với y , ta có: x 4 x x 2 2 4 2 5 Kết hợp với điều kiện x 2 5 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x . 2 3 2 Bài 2. Giải phương trình : x3 4 3 (x2 4)2 4 1 . 3 ĐK: x3 4 0 x 3 4
4. Đặt: x3 4 u2 (2) 3 x2 4 v (v 1) v3 4 x2 (3) 3 2 Khi đó phương trình (1) u2 v2 4 hay u3 4 v2 (4) Từ (2), (3), (4) ta có hệ phương trình: x3 4 u2 x3 v3 u2 x2 (5) v3 4 x2 3 3 2 2 3 2 u x v u (6) u 4 v Vì x, u, v > 1 nên giả sử x v thì từ (5) u x Có u x nên từ (6) v u Do đó: x v u x x v u Mặt khác, nếu x < v thì tương tự ta có x < v < u < x (vô lí) Vì x = u nên: x3 4 x2 x 2 x2 x 2 0 x 2 (thỏa mãn) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2. Bài 2. Giải phương trình: x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 Ta c ó: x2 3x 2 x 1 x 2 , x2 2x 3 x 1 x 3 Điều kiện: x 3 0; x 2 0 x 3; x 2 x ≥ 2 (*) Phương trình đã cho (x - 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 3) + x + 3 - x - 2 = 0 x - 1 ( x - 2 - x + 3) - ( x - 2 - x + 3) = 0 x - 2 - x + 3 x - 1 - 1 = 0 x - 2 = x + 3 (VN) x 2 (thoả mãn đk (*)) x - 1 - 1 = 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2. Bài 2. Giải phương trình: x2 + x + 2010 = 2010. Ta có x2 + x + 2010 = 2010 (1) Điều kiện: x ≥ - 2010 1 1 (1) x2 + x + - x - 2010 + x + 2010 - = 0 4 4 2 2 1 1 x + - x +2010 - = 0 2 2 1 1 x + = x + 2010 - . (2) 2 2 1 1 x + = - x + 2010 + . (3) 2 2 x 1 0 Giải (2) : (2) 2 (x 1) x 2010 (4)
5. (4) (x + 1)2 = x + 2010 x2 + x - 2009 = 0 ∆ = 1 + 4 . 2009 = 8037 - 1 + 8037 -1 - 8037 x = ; x = (loại) 1 2 2 2 2010 x 0 Giải (3): (3) x x 2010 2 x x 2010 (5) (5) x2 x 2010 0 .∆ = 1 + 4 . 2010 = 8041, 1 + 8041 1 - 8041 x = ; x = (loại nghiệm x1) 1 2 2 2 1 8037 1 8041 Vậy phương tình có 2 nghiệm: x ; x . 2 2 Bài 2. Giải phương trình: x + 8 x + 3 x2 11x + 24 1 5 . Câu 5: ĐK: x ≥ - 3 (1) Đặt x + 8 a; x + 3 b a 0; b 0 (2) Ta có: a2 – b2 = 5; x2 11x + 24 x + 8 x + 3 ab Thay vào phương trình đã cho ta được: (a – b)(ab + 1) = a2 – b2 (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 a - b = 0 x + 8 x + 3 (vn) x = - 7 1 - a = 0 x + 8 1 x = - 2 1 - b = 0 x + 3 1 Đối chiếu với (1) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = - 2. 4 1 5 Bài 2. Giải phương trình: x - x + 2x - x x x 1 5 Điều kiện: x 0, x - 0, 2x - 0. (*) x x 4 1 5 4 1 5 x - x 2x - x - x - - 2x - x x x x x x 4 x 4 x 4 1 x - x - 1 0 x 1 5 x 1 5 x - 2x - x - 2x - x x x x 4 1 x - 0 (vì 1 0 ) x 1 5 x - 2x - x x x 2 . Đối chiếu với điều kiện (*) thì chỉ có x = 2 thỏa mãn. Bài 2. Giải phương trình: 3x 75 0 . Phương trình tương đương với 3x 75 3x 5 3 x 5
6. Bài 2. Giải phương trình: 3x 2 6x 19 x 2 2x 26 = 8 - x2 + 2x . Câu 4: PT 3(x 1) 2 16 (x 1) 2 25 = 9 - (x - 1)2 VT > 9; VP 0) nên: VT 9 PT x = 1 (TM) VP 9 Bài 2. Giải phương trình x2 2x 4 2 . a) Bình phương hai vế ta được: x2 - 2x + 4 = 4 x(x - 2) = 0 x = 0 hoặc x = 2 Bài 2. Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 1 Câu 5: Đặt x 2 1 = t, với t > 0, ta có t2 - (x + 3) t + 3x = 0 Xem pt trên = (x + 3)2 - 12x là pt bậc 2 đối với t. t1 = t2 x 3 x 3 x 3 x 3 = (x - 3)2 x ; = 3 2 2 x 0 Do đó: - Hoặc: x 2 1 = x vô nghiệm. 2 2 x 1 x - Hoặc: x 2 1 = 3 x2 = 8 x = 2 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2 2 . Bài 2. Giải các phương trình: x + 5 x + 2 1 x2 7x + 10 3 Đk: x ≥ - 2 (1) Đặt x + 5 a; x + 2 b a 0; b 0 (2) Ta có: a2 – b2 = 3; x2 7x + 10 x + 5 x + 2 ab Thay vào phương trình đã cho ta được: (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 a - b = 0 x + 5 x + 2 (VN) x = - 4 1 - a = 0 nên x + 5 1 x = - 1 1 - b = 0 x + 2 1 Đối chiếu với (1) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = - 1.