›
›
›

Bài tập ôn tập Đại số Lớp 8 - Chương I

doc 17 trang thaodu 4090
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập ôn tập Đại số Lớp 8 - Chương I", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_on_tap_dai_so_lop_8_chuong_i.doc

Nội dung text: Bài tập ôn tập Đại số Lớp 8 - Chương I

  1. BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC 3. Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = 2. 2 A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 4. Tìm hệ số của x trong đa thức : Q = 5x( 3x2 – x + 2) – 2x2( x – 2) + 15(x – 1). A(B + C) = AB + AC B. BÀI TẬP BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Bài 1: 1. Tính : A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN a./ (- 4xy)(2xy2 – 3x2y) b./ (- 5x)(3x3 + 7x2 – x) A B C D AC AD BC BD 2. Rut gọn: A = x2(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1) B. BÀI TẬP B = x2(11x – 2) + x2(x – 1) – 3x(4x2 - x – 2) Bài 1: 3. Tìm hệ số của x3 và x2 trong đa thức sau: 1. Tính : ( 2a – b)(4a2 + 2ab + b2). Q x3 3x2 2x 1 x2 x 2x2 3x 1 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 3 B i 2: Q x 4 (x 2) (x 1)(x 3),cho x 1 à 4 1 3 2 3 4 4 3 3. Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4 1) Tính : a b ab a b 2 4 3 4. Tìm hệ số của x4 trong đa thức: P = ( x3 - 2x2 +x – 1)( 2) Rut gọn và tính giá trị biểu thức: 5x3 – x). 12 Bài 2: Q 3x x 4y y y 5x ,cho x 4, y 5 5 1. Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức 3) Tìm x, biết : 2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = 0 A a 3 9a 8 2 a (9a 1) bằng – 29. 4) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x 2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc và y: vào x: M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x2 – y2) – 1. Q 3x 5 2x 11 2x 3 3x 7 5) Cho S = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5.Cm : xS – S = 3. Biết (x – 3)(2x2 + ax + b) = 2x3 – 8x2 + 9x – 9 x6 - 1 .Tìm a,b. Bài 3: Bài 3: 1. Tính (3a3 – 4ab + 5c2)(- 5bc). 1. Tính : 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x2) b./ ( x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x A = 4a2( 5a – 3b) – 5a2(4a + b),với a = -2,b = -3. + y) 3. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 2. Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x2 - 8) = 0 B = x(x2 + x + 1) – x2( x + 1) – x +5. 3. Tìm m sao cho: 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – 4. Tìm x,biết : x(x – 1) – x2 + 2x = 5 7x + 15). 5. Tìm m,biết: ( x2 – x + 1)x – ( x + 1)x2 + m = - 2x2 Bài 4: + x + 5. 1. Rút gọn : Bài 4: A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4) 1. Rút gọn: 9y3 – y(1 – y + y2) – y2 + y B = (3a – 2b)( 9a2 + 6ab + 4b2). 2. Tìm hệ số của x2 trong đa thức: 2. Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2) 2 2 2 2 luôn chia hết cho 7,với mọi số nguyên n. 3. Q 5x a(x a) 3(a x ) 2ax 2ax 4(a 2ax ) 3. Biết : x4 – 3x +2 = ( x – 1)(x3 + bx2 + ax – 2). 4. Tìm m, biết: 2 – x2(x2 + x + 1) = - x4 – x3 – x2 + m. Bài 5: 5. Chứng minh : khi a = 10, b = -5 giá trị biểu thức : 1. Tìm m,biết : x4 – x3 + 6x – x + m = (x2 – x + 5)(x2 A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) bằng 5. + 1). 6. Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = 2. Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x). 25. 3. Chứng minh: ( x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = Bài 5: x5 – y5. 1. Tính : ( -a4x5)(- a6x + 2a3x2 – 11ax5). 2. Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y3(x + y) tại x = -1,y = 1 1
  2. 1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b2 + c2 + 2bc – a2 = BAØI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 4p(p – a). 2. CMR nếu a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca thì a = b = c. . KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 3. Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0. Bài 6: 1. Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3 2 A B A2 2AB B2 2. Tính x3 + y3,biết x + y = 3 và xy = 2 3 3 2 3. Cho a + b = 1.Chứng minh : a + b = 1 – 3ab. A B A2 2AB B2 Bài 7: A2 B2 A B A B 1. Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3 3 3 3 3 2 2 3 2. Rút gọn: (x – 3) – (x + 3) . A B A 3A B 3AB B 3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = 1 + 3ab. A B 3 A3 3A2 B 3AB2 B3 Bài 8 : 3 3 3 3 2 2 1 1 A B A B A AB B 1. Rút gọn : a b a b . 2 2 A3 B3 A B A2 AB B2 2. Tìm x,biết : x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0. 3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc B. BÀI TẬP vào x: Bài 1: 3 2 1. Chứng minh : ( a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 4x 1 4x 3 16x 3 2. Rút gọn: ( a +2)2 – ( a + 2)(a – 2) Bài 9 : 3. Tìm x,biết : ( 2x + 3)2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49 1. Rút gọn biểu thức : (x + 5)3 – x3 – 125. 4. Tìm giá trị biểu thức: 2. Tìm x, biết : (x – 2)3 + 6(x + 1)2 - x3 + 12 = 0 2 1 Q x 3 x 3 (x 3) 2(x 2)(x 4),cho x 3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc 2 vào x: Bài 2: 3 x 1 x3 3x2 3x 1 1. Rút gọn biểu thức : A (4x2 y2 )(2x y)(2x y) 2 2 2 Bài 10: 2. Chứng minh: (7x + 1) – (x + 7) = 48(x – 1) 3 2 2 2 1. Tìm x,biết : x + 6x + 12x +8 = 0 3. Tìm x,biết : 16x - (4x – 5) = 15 3 3 3 2 2. Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a + b + c = 3abc. 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x + 2x + 3 2 3 3. Chứng minh rằng: (a + 2) – (a +6)(a +12) + 64 = Bài 3: 0,với mọi a. 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc Bài 11 : vào m: 1.Rút gọn biểu thức : A = (m – n)(m2 + mn + n2) - (m + n)(m2 - mn + A (2m 5)2 (2m 5)2 40 n2) 2. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp 2.Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a2)(4 + 2a + a2) = là một số lẻ a6 – 9a3 + 8 2 3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4) – 10x – (x – 4)(x 3. Tìm x, biết : (x +2 )(x2 – 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) = +4). 26. 2 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x – 4x +5. Bài 12 : Bài 4: 1. Tính giá trị biểu thức: 2 2 1. Chứng minh rằng: (x – y) – (x + y) = - 4xy A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x2 + 3x +9),với 2 2 2. Chứng minh: (7n – 2) – (2n – 7) luôn luôn chia 1 hết cho 9, x 4 với mọi n là giá trị nguyên 2. Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x2 – 4x +1) – 16x(4x2 – 5) 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x2 + 6x = 17. +1. 3. Rút gọn : Q = (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 +a +1). 4. Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + : by)2 Bài 13 thì ay – bx = 0 1. Tính giá trị biểu thức : Bài 5: 2
  3. Q = (2x – 1)(4x2 + 2x +1) – 4x(2x2 – 3),với x = c) C 2x 2 2x 2 1 2 d) D 9x 2 6x 25y 2 10y 4 2 3 2. Tìm x, biết : (x – 3)(x + 3x +9) – (3x – 17) = x Bài 20: Tìm Min hoaëc Max cuûa caùc bieåu thöùc sau: – 12. a) M x 2 6x 1 3. Cho x + y = 1 và xy = -1.Tính x3 + y3. Bài 14 : b) N 10y 5y 2 3 1. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x. 2 2 Bài 21:Thu goïn: A x 1 x x 1 x 1 x x 1 2 4 32 64 a) 2 1 2 1 2 1 . . . . . 2 1 2 2 2. Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x )(x + 2) + x(x – 1)(x + 2 2 4 4 b) 5 3 5 3 5 3 . . . . . 1) = 0. 128 128 3 3 5 3 3. Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x + y ) – 564 364 3(x2 + y2). 2 Bài 15 : ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 1. Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) (Thùc hiÖn trong 6 tiÕt) 2. Tìm x, biết: (4x2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x2 – 3) = 23. A. ThÕ nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ? 3. Cho a – b = 1 và ab = 6.Tính a3 – b3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ biÕn ®æi ®a thøc ®ã Bài 16: Ruùt goïn: thµnh mét tÝch cña nh÷ng ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c. a) 2m 5m 2 2m 3 3m 1 Bµi to¸n 1. Trong c¸c c¸ch biÕn ®æi ®a thøc sau ®©y, c¸ch nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ?T¹i sao nh÷ng c¸ch biÕn b) 2x 4 8x 3 4x 1 2 ®æi cßn l¹i kh«ng ph¶i lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ? 2 c) 7y 2 2 7y 1 7y 1 2x + 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1) 3 2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5 - ) (2) x d) a 2 3 a. a 3 2 5 3 Bài 17: 2x2 + 5x – 3 = 2(x2 + x - ) (3) CM caùc bieåu thöùc sau khoâng phuï thuoäc vaøo bieán 2 2 x, y: 2x2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4) 2 a) 2x 5 2x 5 2x 3 12x 1 2x2 + 5x – 3 = 2(x - )(x + 3) (5) 2 b) 2y 1 3 2y. 2y 3 2 6y 2y 2 B. Nh÷ng ph­¬ng ph¸p nµo th­êng dïng ®Ó ph©n tÝch c) x 3 x 2 3x 9 20 x 3 ®a thøc thµnh nh©n tö? - Ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung. d) - Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc. 3y. 3y 2 2 3y 1 9y 2 3y 1 6y 1 2 - Ph­¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö. Bài 18: Tìm x: Mét sè ph­¬ng ph¸p kh¸c nh­ : 2 - Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng a) 2x 5 2x 7 4x 3 16 tö. - Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö. 2 b) 8x 2 3 8x 2 3 8x 2 1 22 - Ph­¬ng ph¸p gi¶m dÇn luü thõa cña sè h¹ng cã 2 bËc cao nhÊt. c) 49x 14x 1 0 - Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô(®æi biÕn). d) x 1 3 x. x 2 2 x 2 0 - Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh. Bài 19:Chöùng minh bieåu thöùc luoân döông: - Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng. - Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc. a) A= 16x 2 8x 3 Ph­¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chung b) B y 2 5y 8 Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung lµ g× ? Ph­¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh 3
  4. chÊt nµo cña c¸c phÐp to¸n vÒ ®a thøc? Cã thÓ = (2x + nªu ra mét c«ng thøc ®¬n gi¶n cho ph­¬ng ph¸p y)(4x - y). nµy kh«ng ? VÝ dô 2 NÕu tÊt c¶ c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã mét nh©n tö a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 chung th× ®a thøc ®ã biÓu diÔn ®­îc thµnh mét tÝch HD: nhãm 2 h¹ng tö ®Çu a3 + b3 cña nh©n tö chung ®ã víi mét ®a thøc kh¸c. = 3(x – z)(x- y)(z – y) Ph­¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt ph©n phèi cña b, (x2 +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3 phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng c¸c ®a thøc. = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z) C«ng thøc : AB + AC + + AF = A(B + C + + c, a3 + b3 + c3 – 3abc 3 3 F) = (a + b) + c – 3ab(a +b + c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) Ph­¬ng ph¸p: T×m nh©n tö chung. d, x3 + y3 – z3 + 3xyz - LÊy ¦CLN cña c¸c hÖ sè. = (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y – z) = - LÊy c¸c biÕn chung cã mËt trong tÊt c¶ c¸c h¹ng tö. - §Æt nh©n tö chung ra ngoµi ngoÆc theo c«ng thøc Ph­¬ng ph¸p 3: Nhãm nhiÒu h¹ng tö AB + AC + + AF = A(B + C + + F) Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p nhãm nhiÒu Chó ý: h¹ng tö lµ g× ? - Ph­¬ng ph¸p nµy ¸p dông khi c¸c h¹ng tö cña ®a thøc Nhãm nhiÒu h¹ng tö cña mét ®a thøc mét c¸ch hîp lÝ ®Ó cã nh©n tö chung. cã thÓ ®Æt ®­îc nh©n tö chung hoÆc dïng ®­îc h»ng ®¼ng - NhiÒu khi muèn cã nh©n tö chung ta ph¶i ®æi dÊu c¸c thøc ®¸ng nhí. sè h¹ng b»ng c¸ch ®­a sè h¹ng vµo trong ngoÆc hoÆc ®­a vµo trong ngoÆc ®»ng tr­íc cã dÊu céng hoÆc trõ. Chó ý: VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. - Mét ®a thøc cã thÓ cã nhiÒu c¸ch nhãm a) 3x2 + 12xy. - Sau khi nhãm ta cã thÓ ¸p dông ph­¬ng ph¸p ®Æt b) 5x(y + 1) - 2(y + 1). nh©n tö chung, ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc ®Ó xuÊt c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y). hiÖn nh©n tö chung míi hoÆc h»ng ®¼ng thøc míi. Gi¶i VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) 3x2 + 12xy = 3x(x + 4y). a) x2 - 2xy + 5x - 10y. b) x(2x -3y) - 6y2 + 4xy. c) b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2). 8x3 + 4x2 - y3 - y2 c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y) Gi¶i = 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2) a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y) = (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y). = x(x – 2 y) + 5 (x – 2y) = (x Ph­¬ng ph¸p 2: Dïng h»ng ®¼ng thøc – 2 y)(x + 5) b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2 Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p dïng h»ng = x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y) ®¼ng thøc lµ g× ? = (2x – 3y)(x + 2y) NÕu ®a thøc lµ mét vÕ cña h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí nµo c) 8x3 + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2) ®ã th× cã thÓ dïng h»ng ®¼ng thøc ®ã ®Ó biÓu diÔn ®a thøc = (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x – y)( nµy thµnh mét tÝch c¸c ®a thøc. 2x +y) Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc: = (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y). - NhËn d¹ng c¸c h»ng ®¼ng thøc. Ph­¬ng ph¸p 4: Phèi hîp nhiÒu ph­¬ng ph¸p - KiÓm tra xem cã ph¶i ®óng lµ h»ng ®¼ng thøc kh«ng. Chó ý: NhiÒu khi ph¶i ®æi dÊu míi ¸p dông ®­îc Khi cÇn ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö, h»ng ®¼ng thøc. chØ ®­îc dïng riªng rÏ tõng ph­¬ng ph¸p hay cã thÓ dïng phèi hîp c¸c ph­¬ng ph¸p ®ã ? VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. Cã thÓ dïng phèi hîp c¸c ph­¬ng ph¸p ®· biÕt. a) x2 – 4x + 4. b) 8x3 + 27y3. VÝ dô 1 . Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. c) 9x2 - (x - y)2. a) a3 - a2b - ab2 + b3 b) ab2c3 + 64ab2 Gi¶i c) 27x3y - a3b3y. a) x2 – 4x + 4 = (x - 2)2 Gi¶i b) 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) = c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x (a - b)(a2 - b2) = (a - b) 2 (a + b). –x +y)(3x + x - y) 4
  5. b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a) ab2(c + 4)(c2 – 4c + 16). = a2b2(b- c + c – a) + c) 27x3y – a3b3y = y(27x3 – a3b3) = y(3 - ab) b2c2(c – b) – a2c2( c – a) (9x2 – 3ab + a2b2). = = (b – c) (a – c)(b- a) KiÕn thøc N©ng cao. (ab + bc + ca) Ph­¬ng ph¸p 5: Ph­¬ng ph¸p t¸ch Ph­¬ng ph¸p 7: §Æt biÕn phô Khi ph©n tÝch ®a thøc : ax2 + bx + c thµnh nh©n tö Trong ®a thøc cã biÓu thøc xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn ta ®Æt biÓu thøc ®ã lµm biÕn phô ®­a vÒ ®a thøc ®¬n C¸ch 1: T¸ch ax2 + bx + c = a x2 + b x + b x + c 1 2 gi¶n. Sau khi ph©n tÝch ®a thøc nµy ra nh©n tö råi Víi b = b1+ b2 vµ b1.b2 = a.c l¹i thay biÕn cò vµo vµ tiÕp tôc ph©n tÝch : C¸ch 2: T¸ch ax2 + bx + c = X2 - B2 VÝ dô 1 A , (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 3) -5 2 4 2 2 2 4 a) 2x2 - 3x + 1. C , ( x - 2x + 2) - 20x (x - 2x + 2) + 64 x 2 D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15 b) 6x + x - 2 2 2 2 2 E , (x + x) + 4x + 4x - 12 c) x - 2x - 3 2 2 Gi¶i F , (x + x)(x + x + 1) - 2. 2 2 Gi¶i a) 2x – 3x + 1 = 2x – 2x – x + 1 = 2x(x – 1) – (x 2 – 1) A.§Æt y = x + 4x + 8 råi dïng ph­¬ng ph¸p t¸ch ph©n tÝch = (x – 1)(2x – 1). 2 2 2 KÕt qu¶: A = (x + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4) b) 6x + x – 2 = 6x + 4x – 3x – 2 = 2x(3x + 2) – (3x 2 + 2) B. ®Æt y = x + 3x +1 B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) = (3x + 2) (2x – 1) 2 c) x2 – 2x - 3 = x2 + x – 3x – 3 = C.§Æt y = x – 2x + 2 C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x + VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 2) 2 2 a) x2 – 2x – 3 D = (x + 8x + 7)( x + 8x + 15) + 15 2 b) x2 - 10x + 16 = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) F. (x2 + x)(x2 + x + 1) – 2. (*) Gi¶i 2 2 2 2 2 §Æt(x + x) = y Th× (*) a)x – 2x – 3 = x – 2x + 1 – 4 = (x- 1) – 2 = 2 2 (x – 3)(x+1) trë thµnh: y(y + 1) – 2 = y + y - 1 – 1 = (y - 1) + (y – 2 2 2 1) b)x – 10x + 16 = x – 10x + 25 – 9 = (x – 5) – 32 = (x – 8)(x – 2) = (y + 1)(y – 1) + (y – 1) = (y – 1)(y + 2). ( ) Ph­¬ng ph¸p 6: Ph­¬ng ph¸p thªm bít Thay trë l¹i vµo ( ) ta cã : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2). 2 2 2 2 VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. VËy(x + x)(x + x + 1) – 2 = (x + x - 1) )(x + x + 2). VÝ dô 2: a) y4 + 64. a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) b. 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) - 3x2 c) a2b2(b -a) + b2c2(c - b) - a2c2( c - a) c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 Gi¶i HD: a) y4 + 64 = y4 +16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8) 2 - (4y) 2 c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y) = (y2 + 8 - 4y) (y2 + 8 (x+z)+ y2z2 + 4y). = 4 (x2 +xy+xz)(x2 +xy b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2 +xz +yz)+ y2z2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) (§Æt t = x2 +xy+xz) = x( y2 – x2) + x(x2 – = 4t (t + yz) + y2z2 z2) - y(x2-z2 ) - z( y2 – x2) = (2t + yz)2 2 2 2 = (y - x ) ( x – z) + (x VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2 – z )(x – y) a. (2x2 + x)2 - 4(2x2 + x) + 3 = 0 = (y – x)( x – z) (y +x b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = 0 – x – z) 5
  6. HD: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, ®­a Pt vÒ d¹ng PT Ta cã f(2) = 0 => x = 2 lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) tÝch => f (x)(x 2) a. (t - 1)(t- 3) = 0 => f(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 2) 2 *. t = 1  2x + x = 1  (x +1)(2x-1)= 0 VÝ dô 3: g(x) = 4x3 - 7x2 -x - 2 2 *. t = 3  2x + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0 = (x - 2)(4x2 + x +1) Ph­¬ng ph¸p 8: Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng VÝ dô 4 : H(x) = x3 - x2 - 14x + 24 = (x-2)(x - 3)(x + 4) KiÕn thøc: VÝ dô 5 1. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)  f(a) = 0 P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y). 2. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) => P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y). f (x)(x a) Ta thÊy nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× ®a L­îc ®å Hoor ne thøc P kh«ng thay ®æi. . S¬ ®å Hoãc - ne Do ®ã ®a thøc P cã d¹ng: P = k(x - y)(y - z)( z - x). 3 2 NÕu ®a thøc bÞ chia lµ a0x + a1x + a2x + a3, ®a (k lµ h»ng sè). 2 2 2 2 thø chia lµ x - a ta ®­îc th­¬ng lµ b 0x + b1 x + b2. Theo => P = x (y - z) + y ( z - x) + z (x - y) = k(x - y)(y - z)( z - s¬ ®å Hoãc - ne ta cã: x). §óng víi mäi x, y, z, nªn ta cho c¸c biÕn x, y, z gi¸ trÞ a0 a1 a2 a3 riªng, a b0 = a0 b1 = ab0 + b2 = ab1 + r = ab2 + ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = 0 (gi¸ trÞ riªng cña c¸c biÕn x, a1 a2 a3 y, z tuú chän sao cho (x - y)(y - z)( z - x) 0). Ta ®­îc: k = -1 VËy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x - céng y)(y - z)( z - x) a = (y - x)(y - nh©n z)( z - x). §iÒu kiÖn ®Ó tam thøc bËc hai ph©n tÝch ®­îc VÝ dô 6 A = x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) thµnh nh©n tö. Gi¶i §èi víi tam thøc bËc hai d¹ng ax2 + bx + c, muèn xÐt xem ®a thøc nµy cã ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö hay +.NÕu x = y => A = 0 => A  (x - y) kh«ng th­êng dïng ph­¬ng ph¸p sau: +.V× vai trß cña x,y,z nh­ nhau - TÝnh = b2 – 4ac. =>A  (y-z); (z-x) - NÕu 0 th× ph©n tÝch ®­îc. =>A  (x - y)(y-z)(z-x) +.V× cã bËc cao nhÊt lµ 3 cßn bËc cña (x - y)(y-z)(z-x) - NÕu A = k (x - y)(y-z)(z-x) ®óng víi mäi x, y, z LÇn l­ît kiÓm tra víi ­íc cña – 4 lµ 1, - 1, 2, - Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vµo => k = 1 2, - 4, 4. VËy A = (x - y)(y-z)(z-x) f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 4 = - 4 => x= -1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. VÝ dô 7 f(1) = (1)3- (1)2 - 4 = - 4 => x = 1 kh«ng ph¶i lµ P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a) nghiÖm. HD: lµm t­¬ng tù nh­ VD6, thay a = 2; b = 1; c = o t×m f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. ®­îc k = -1 f(-2) = -16 => x = - 2 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. Ph­¬ng ph¸p 9: Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh f(4) = 44 => x = 4 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. 3 f(- 4) = - 48 => x = - 4 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. VÝ dô 1: Ph©n tÝch : x – 15x – 18 thµnh ®a thøc bËc §a thøc cã nghiÖm x = 2 do ®ã ®a thøc chøa thõa sè (x nhÊt vµ bËc hai – 2). Gi¶i Sö dông l­îc ®å Hoor ne ta cã: f(x) = (x – 2)(x2 – x + Gi¶ sö ®a thøc trªn ®­îc ph©n tÝch th× 2). x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c) 3 3 2 VÝ dô 2:  x – 15x – 18 = x + (a+b)x + (ab+ c)x + ac Ph©n tÝch f(x) = x3 - 2x - 4 Gi¶i 6
  7. §ång nhÊt 2 ®a thøc ë 2 vÕ ta ®­îc: a.ta cã x = - 1; x = -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc 3 2 a b 0(1) => x + 4x + 5x +2  (x+1);(x+2) 3 2 ab c 15(2) => x + 4x + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b) b = 1 ac 18(3) b.Ta cã x = 2; x = -1 lµ nghiÖ cña ®a thøc 4 3 2 Tõ (3)chän a = 3; th× c = -6; b = -3 tho¶ m·n (2) => 2x – 3x – 7x + 6x + 8 (x+1);(x-2) VËy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 – 3x – 6) => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ VÝ dô 2 b) Ph©n tÝch : x3 – 19x - 30 thµnh ®a thøc bËc nhÊt §ång nhÊt 2 ®a thøc ta cã a = -1; b =- 4 vµ bËc hai Gi¶i Ph­¬ng ph¸p 10: Ph­¬ng ph¸p h¹ bËc Gi¶ sö ®a thøc trªn ®­îc ph©n tÝch th× x3 – 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c) VÝ dô 1:  x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac a) a5 + a +1. a b 0(1) Gi¶i a) a5 + a +1= a5 + a4 – a4 + a3 – a3 + a2 – a2 + a + 1 §ång nhÊt 2 ®a thøc ta cã ab c 19(2) = (a5 + a4 + a3 ) – ( a4+a3 + a2) + ( a2 + a + 1) ac 30(3) = a3( a2 + a + 1) – a2( a2 + a + 1) + ( a2 + a + Tõ (3) chän a = 2 th× c =- 15; b = -2 tho¶ m·n (2) 1) 2 3 2 VËy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15) = ( a + a + 1) (a – a + 1). VÝ dô 3 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3. C. øng dông Gi¶i ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã thÓ cã Ých Ta thÊy x 1; 3 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc cho viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ t×m nghiÖm cña ®a thøc, chia ®a thøc, rót gän ®a thøc.  ®a thøc kh«ng cã nghiÖm I. T×m x nguyªn, kh«ng cã nghiÖm VÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: h÷u tØ, a) 2(x + 3) - x(x + 3) = 0 b) x3 + 27 +  nªn ®a thøc cã d¹ng (x + 3)(x - 9) = 0 §Ó ph©n tÝch ®a thøc nµy thµnh thõa sè th× ph¶i cã c) x2 + 5x = 6. d¹ng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b Gi¶i +d)x2 +(ad + bc)x + bd. a) 2(x + 3) – x(x + 3) = 0  (x + 3)(2 – x) = 0 x 3 0 x 3 §ång nhÊt ®a thøc nµy víi ®a thøc ®· cho, ta ®­îc hÖ ®iÒu     kiÖn: 2 x 0 x 2 a c 6 a 2 S ={-3; 2}. a c 6 b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0  (x + 3)(x2 - 3x + 9) + ac b d 12 b 3  ac 8  (x + 3)(x – 9) = 0 ad bc 14 c 4  (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x a 3c 14 bd 3 d 1 + 3)(x – 9) = 0 VËy ®a thøc x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 - 4x  (x + 3)(x2 - 3x + 9 + x + 1)(x2 - 2x + 3). – 9) = 0 C¸ch 2  (x + 3)(x2 - 2x) = 0 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3  x(x + 3)(x - 2) = 0 = x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + x 0 x 0 3     x 3 0   x 3 S ={-3; 0; 2}. = x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x +   1) x 2 0 x 2 = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3). c) x2 + 5x = 6  x2 + 5x – 6 = 0 2 VÝ dô 4  x - x + 6x – 6 = 0 2 a. x3 + 4x2 + 5x +2  (x - x) + (6x – 6) = 0 b. 2x4 - 3x3 -7x2 + 6x + 8  x (x - 1) + 6(x – 1) = 0 Gi¶i 7
  8. x 6 0 x 6 e) E = x3 - 9x 2 + 27x - 27 víi x = 13  (x + 6)( x – 1) = 0     S = {- x 1 0 x 1 6; 1}. g) G = 3 VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau x -1 - 4x x -1 x +1 + 3 x -1 x3 + x +1 v a. (x2 + 2x)2 - x2 - 2x - 2 = 0 íi x = - 2 b. x4 - x3 - x2 - x - 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x2+1)= 0] c. x3 - 2x2 - 9x +18 = 0 [(x-3)(x+3)(x-2) = 0 ] 2 2 VÝ dô 3. T×m c¸c cÆp sè (x; y) tho¶ m·n h) H = x -1 x - 2 x + x +1 4 + 2x + x víi x = a. x2 + y2 = 0 1 b. (x-1)2 + (y+2)2 = 0 c. 4x2 + y2 - 2(2x+y - 1) = 0 2 2 d. x + 2y + 2y(1-x) = -1 VÝ dô 3 : Cho x - y = 7 . TÝnh 2 e. 2x (1 - y) + y(y + xy -2x) = 0 A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37 HD: B = x2(x + 1) - y2 (y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1) - 95 A 0 ( = (x-y)3 + (x -y)2 - 95 = 297 ) §­a vÒ d¹ng A2 + B2 = 0 B 0 VÝ dô 4: x y 0 x y 0 a) Cho x + y = 7, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. e.(x -y)2 + x2(y +1)2 = 0 hoÆc M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2 x2 0 y 1 0 M = (x + y)3 + 2(x + y)2 = 441. . T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh VÝ dô 4 b) Cho x - y = - 5, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. a.x+ xy + y + 2 = 0 3 2 2 b. x + y = xy N = (x - y) - x + 2xy - y c. x2 + 21 = y2 N = (x - y)3 - (x - y)2 = - 150 HD: BiÕn ®æi vÒ d¹ng X.Y = a (const) VÝ dô 5 => X, Y ¦(a) Chøng minh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc VÝ dô 5. T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh vµo gi¸ trÞ cña biÕn. 2 2 a. x + 21 = y a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12) b.(x + 1)y - 2x = 8 P = 0 HD: a.  (y- x)(y+ x) = 21 > 0 b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1)  y +x > y – x > 0 Q = - 8 y x 7 y x 21 2 2 2 2 4 4  hoÆc c) A = y(x - y )(x + y ) - y(x - y ) y x 3 y x 1 A = 0 II.TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x Ph­¬ng ph¸p : Thu gän biÓu thøc B = 2 T×m gi¸ trÞ cña biÕn thay vµo 1 2 2 1 3 1 VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc e) M = + 2x 4x - x 8x A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) víi x = - 3 3 9 27 1/2 2 +. Rót gän A = 4x2 + 20 M = +.Thay A = 21 27 VÝ dô 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc. D. Bµi tËp ¸p dông Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (3x - 1)2 - (5x + a) A = 9x2 +42x + 49 víi x = 1 3)2 1 1 b) B = 5x 2 - 2xy + y2 víi x= : y = - 5 b) (2x + y - 25 5 4z)2 - (x + y - z)2 2 x3 x 2 y xy2 y3 c) ( x + c) C = + + + víi x = - 8; y = 6 xy)2 - (x2 - xy - 2y2)2 8 4 6 27 d) x4 - x2- d) D = x3 + 15x 2 + 75x + 125 víi x = - 10 2x-1 Bµi 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y. víi x=88 vµ y=-76 8
  9. b) B = x2 + xy -7 x - 7y. Bµi 16. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó ph©n thøc sau b»ng 0. 3 2 3x 2 5x 2 víi x= 7 vµ y=2 a) b) 4 5 3x 2 7x 2 Bµi 3. 2 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 - (a + b)xy + aby2 ( x 7x 12) b) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) (x 4) 4 (x 3) 2 c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2 Bµi 17. Cho biÓu thøc: A= 2 2 2 d) a (b - c) + b (c - a) + c (a - b) 2 2  4x   x 2 2 3x x 4 Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 2 x 2 . 3 .  a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy - x + y  x 4 2x 4 x 4x x 2  c) (x - z)2 - y2 + 2y - 1 d) x3 + y3 + 3y2 + a) T×m ®iÒu kiÖn cña biÕn x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu 3y + 1 thøc ®­îc x¸c ®Þnh. Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: b) TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt 2x 1 3 2 2 A = x - 5x - 2xy + 5x + y + 4, biÕt x - y = 1 2 2 2 2x 10x 12 B = x (x + 1) - y (y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1), biÕt Bµi 18 a) T×m x ®Ó 0 . x - y = 7. x3 4x Bµi 6. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó a) (1 + x2)2 - 4x(1 - x + x2) b) x2 - y2- 2yz - z x 4 16 2 cã gi¸ trÞ nguyªn. x 4 4x 3 8x 2 16x 16 c) 3a2 - 6ab + 3b 2 - 12c2 d) x2 - 2xy + y2 - Bµi 19. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 + 25 +10x m2 + 2mn - n2 - y2 - 2y – 1 Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 2 2 2 2 2 4 3 b) x + 4y - a) a - 10a + 25 - y - 4yz - 4z b) x - 2x + 4xy - z2 + 6z - 9 2x - 1 ROI 4 3 2 3 2 Bµi 20. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng c) x + 2x + 2x + 2x + 1 d) x + 4x + phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña c¸c biÕn: (x + y – z - 5x + 2 t)2 - (z + t – x - y)2. Bµi 8. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: 2 2 a) A = x - 5x - 2xy + 5y + y + 4, biÕt x - y=1 Chuyªn ®Ò: mét sè ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc b) B = x2(x +1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y +1), mét biÕn thµnh nh©n tö. biÕt x - y=7 C¸c ph­¬ng ph¸p: Bµi 9. Cho x = y = z = 0. Chøng minh r»ng x3+ x2y - y2x - - T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö. xyz + y3 = 0 - Thªm, bít cïng mét h¹ng tö. Bµi 10. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét - §æi biÕn sè. tam gi¸c th×. - HÖ sè bÊt ®Þnh. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > 0. Bµi 11. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. - XÐt gi¸ trÞ riªng (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu a) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 biÕn). b) 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x - 8 I) Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng Bµi 12. T×m c¸c hÖ sè a,b,c,d sao cho ®a thøc: tö: f(x) = x4 + ax3 + bx2 - 8x + 4 lµ b×nh ph­¬ng ®óng §èi víi c¸c ®a thøc mµ c¸c h¹ng tö kh«ng cã nh©n cña tö chung, khi ph©n tÝch ra nh©n tö ta th­êng ph¶i t¸ch ®a thøc g(x) = x2 + cx + d mét h¹ng tö nµo ®ã ra thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c ®Ó nhãm Bµi 13. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (x2 - 8)2 + 36. víi c¸c h¹ng tö ®· cã trong ®a thøc ®Ó cho trong b) 81x4 + 4. c¸c nhãm cã nh©n tö chung, tõ ®ã gi÷a c¸c nhãm cã c) x5 + x + 1 nh©n tö chung míi hoÆc xuÊt hiÖn c¸c h»ng ®¼ng thøc Bµi 14. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. quen thuéc. A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20 VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 2 B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y - 35 f(x) = 2x - 3x + 1. C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 Gi¶i: D = (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö thø hai: -3x = -2x - x. Bµi 15. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. Ta cã f(x) = (2x2 - 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12 = (x - 1)(2x - 1). b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 C¸ch 2: 9
  10. Ta cã f(x) = (x2 - 2x + 1) + (x2 - x) = (x - 1)2 + x(x 1 5 1 Trë vÒ vÝ dô 3: XÐt c¸c sè ; , ta thÊy lµ - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x] 3 3 3 nghiÖm cña ®a thøc, do ®ã khi ph©n tÝch ra nh©n tö, = (x - 1)(2x - 1). ®a thøc chøa nh©n tö 3x - 1. 2 Tæng qu¸t: §Ó ph©n tÝch tam thøc bËc hai f(x) = ax + Tõ ®ã: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = (3x3 - x2) - (6x2 bx + c ra nh©n tö, ta t¸ch h¹ng tö bx thµnh b1x + - 2x) + (15x - 5) b2x sao cho b1b2 = ac = x2(3x - 1) - Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) a) 4x2 - 4x - 3; c) 3x2 - 5x - 2; = (3x - 1)(x2 - b) 2x2 - 5x - 3; d) 2x2 + 5x + 2. 2x + 5). VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - 4. a) 6x2 - x - 1; e) 2x3 - 5x2 + 5x - 3 Gi¶i: b) 6x2 - 6x - 3; f) 2x3 + 3x2 + 3x + 1; Ta lÇn l­ît kiÓm tra víi x = 1; 2; 4 ta thÊy f(2) c) 15x2 - 2x - 1; g) 3x3 - 2x2 + 5x + 2; = 0. d) 2x3 - x2 + 5x + 3; h) 27x3 - 27x2 + 18x - §a thøc f(x) cã nghiÖm x = 2, do ®ã khi ph©n tÝch 4; ra nh©n tö, f(x) chøa nh©n tö x - 2. §¸p sè: Tõ ®ã: f(x) = x3 - x2 - 4 = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + a) (2x - 1)(3x + 1); e) (2x - 3)(x2 - x + 1); (2x - 4) b) (2x + 3)(3x - 1); f) (2x + 1)(x2 + x + = x2(x - 2) + x (x - 2) + 2 c) (3x + 1)(5x - 1); 1); (x - 2) d) (2x + 1)(x2 - x + 3); g) (3x + 1)(x2 - x +2); = (x - 2)(x2 + x + 2). h) (3x - 1)(9x2 - 6x + 4); n n-1 Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anx + an-1x + + a1x II) Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö: + a0 cã nghiÖm nguyªn lµ Môc ®Ých: Thªm, bít cïng mét h¹ng tö ®Ó nhãm x = x0 th× x0 lµ mét ­íc cña hÖ sè tù do a0, khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) cã víi c¸c h¹ng tö ®· cã trong ®a thøc nh»m xuÊt hiÖn nh©n chøa nh©n tö x - x . V× vËy ®èi víi nh÷ng ®a thøc tö chung míi hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc, ®Æc biÖt lµ 0 xuÊt hiÖn hiÖu cña hai b×nh ph­¬ng. mét biÕn bËc cao, ta nªn t×m lÊy mét nghiÖm cña nã ®Ó ®Þnh h­íng viÖc ph©n tÝch III) Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn: ra nh©n tö. Mét sè ®a thøc cã bËc cao, nhê ®Æt biÕn phô ®­a Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: vÒ ®a thøc cã bËc thÊp h¬n ®Ó thuËn tiÖn cho viÖc ph©n a) x3 + 2x - 3; e) x3 - 9x2 + 6x + 16; tÝch ra nh©n tö, sau khi ph©n tich ra nh©n tö ®èi víi ®a b) x3 - 7x + 6; f) x3 - x2 - x - 2; thøc míi, thay trë l¹i biÕn cò ®Ó ®­îc ®a thøc víi c) x3 - 7x - 6; (NhiÒu g) x3 + x2 - x + 2; biÕn cò. 3 2 c¸ch) h) x - 6x - x + 30. VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 3 2 d) x + 5x + 8x + 4; f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 128. 3 2 f(x) = 3x - 7x + 17x - 5. Gi¶i: Gi¶i: Ta cã: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128. Theo vÝ dô 2, ta thÊy c¸c sè 1; 5 kh«ng lµ §Æt x2 + 10x + 12 = y, ®a thøc trë thµnh: nghiÖm cña ®a thøc. Nh­ vËy ®a thøc kh«ng cã f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y nghiÖm nguyªn, tuy vËy ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ - 4)(y + 4) kh¸c. = (x2 + 10x + 8)( x2 + 10x + 16) = (x + Ta chøng minh ®­îc ®iÒu sau ®©y: 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8). n n-1 Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anx + an-1x + + a1x + a0 cã p VÝ dô 4’: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: nghiÖm h÷u tØ lµ x = (d¹ng tèi gi¶n) th× p lµ mét ­íc cña q f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1. hÖ sè tù do a0 cßn q lµ ­íc d­¬ng cña hÖ sè cao nhÊt an. Gi¶i: Khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) cã chøa nh©n tö qx - p. C¸ch 1: f(x) = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2. 10
  11. VÝ dô 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: = (x2 + 3x - 1)2. f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3. C¸ch 2: Gi¶ sö x ≠ 0; Ta cã: Gi¶i: 6 1 1 NhËn xÐt: C¸c sè 1; 3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm f(x) = x2(x2 + 6x + 7 - ) = x2[(x2 + ) + x x 2 x2 cña ®a thøc f(x) nªn ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, 1 còng kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ. Nh­ vËy nÕu f(x) ph©n tÝch 6(x - ) + 7]. ®­îc thµnh nh©n tö th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)( x2 + x cx + d), víi a, b, c, d Z. 1 2 1 2 4 §Æt x - = y, suy ra: x + 2 = y + 2. Do ®ã ®a Khai triÓn d¹ng nµy ra ta ®­îc ®a thøc: x + x x (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd. §ång nhÊt ®a thøc trë thµnh: thøc nµy víi f(x) ta ®­îc hÖ ®iÒu kiÖn: f(x; y) = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 a c 6 = ac b d 12 1 [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1) 2. ad bc 14 x Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: bd 3. a) (x2 + x)2 - d) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; XÐt bd = 3, víi b, d Z, b { 1; 3}. Víi b = 3 2(x2 + x) - e) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + th× d = 1, hÖ ®iÒu kiÖn trë thµnh: 15; 4a) + a4; 2 2 2 2 2 a c 6 b) (x + x + 1)( f) (x +y +z )(x+y+z) + x2 + x + 2) - (xy+yz+zx)2; ac 8 12; c) (x + 2)(x + a 3c 14. 3)(x + 4)(x + Tõ ®ã t×m ®­îc: a = -2; c = -4. VËy f(x) = (x2 - 2x 5) - 24; + 3)( x2 - 4x + 1). g) A = 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + Ta tr×nh bµy lêi gi¶i nh­ sau: z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4. f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x4 - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) §¸p sè: = x2(x2 - 4x + 1) - a) §Æt x2 + x = y. Ta ph©n tÝch ®­îc thµnh: (x2 + x - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) 5)(x2 + x + 3). = (x2 - 4x + 1)(x2 b) §Æt x2 + x + 1 = y. §¸p sè: (x2 + x + 5)(x+2)(x- - 2x +3). 1). c) BiÕn ®æi thµnh: (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24; Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö, dïng §Æt x2 + 7x + 11 = y. §¸p sè: (x2 + 7x + 16)(x + ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh: 1)(x + 6). a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + c) x4 - 8x + 63; d) §Æt x + y = z. §¸p sè: (x + y + 3)(x + y -4) 2x + 1; d) (x+1)4 + (x2 + x e) §Æt x2 + 5ax + 5a2 = y. §¸p sè: (x2 + 5ax +5a2)2. b) x4 - 7x3 + 14x2 - +1)2. f) §Æt x2+y2+z2 = a; xy + yz + zx = b. Ta ®­îc: a(a 7x + 1; + 2b) + b2 = (a + b)2 = g) §Æt c¸c biÓu thøc ®èi xøng: x4 + y4 + z4 = a; x2 + §¸p sè: y2 + z2 = b; x + y + z = c. a) (2x2 + x + 1)2. Cã thÓ dïng ph­¬ng ph¸p t¸ch: 5x2 = Ta cã: A = 2a - b2 -2bc2 + c4 = (2a - 2b2) + (b2 - 4x2 + x2. 2bc2 + c4) = 2(a - b2) + (b - c2)2. b) (x2 - 3x + 1)(x2 - 4x + 1). Thay a - b2 = -2(x2y2 + x2z2 + y2z2); b - c2 = -2(xy c) (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9). + xz + yz). d) (x2 + 2x + 2)(2x2 + 2x +1). Ta ®­îc M = -4(x2y2 + x2z2 + y2z2) + 4(xy + xz + C¸ch kh¸c: (x+1)4 + (x2 + x +1)2 = (x+1)4 + x2(x yz)2 +1)2 + 2x(x + 1) + 1 = 8x2yz + 8xy2z + 8xyz2 = 8xyz(x + y = (x + 1)2[(x + 1)2 + z). + x2] + (2x2 + 2x + 1) = (x2 + 2x + 1)(2x2 IV) Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh: + 2x + 1) + (2x2 + 2x + 1) 11
  12. = (2x2 + 2x + 1)(x2 f) x8 + x4 + 1; + 2x +2). Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (176): V) Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; b) * x3 + 3xy (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn, cã thÓ ho¸n + y3 - 1. vÞ vßng quanh) Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (172): VÝ dô 6: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: A = (a + b + c)3 - 4(a3 + b3+ c3) - 12abc b»ng c¸ch P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y). ®æi biÕn: ®Æt a + b = m, a - b = n. Gi¶i: Bµi tËp 6 : Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (178): NhËn xÐt: NÕu thay x bëi y th× P = 0, nªn P chia a) x8 + 14x4 + 1; b) x8 + 98x4 hÕt cho x - y + 1. H¬n n÷a nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P Bµi tËp 7: Chøng minh r»ng tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn kh«ng thay ®æi (Ta nãi ®a thøc P cã thÓ ho¸n vÞ vßng tiÕp céng thªm 1 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng. (180) quanh). Do ®ã: P chia hÕt cho x - y th× P còng chia hÕt Bµi tËp 8*: Chøng minh r»ng: sè A = (n + 1)4 + n4 + 1 cho chia hÕt cho mét sè chÝnh ph­¬ng y - z vµ z - x. kh¸c 1 víi mäi sè n nguyªn d­¬ng. (181) Tõ ®ã: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong ®ã a lµ h»ng Bµi tËp 9: T×m c¸c sè nguyªn a, b, c sao cho khi ph©n tÝch sè, kh«ng chøa biÕn v× P cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c ®a thøc (x + a)(x - 4) - 7 ra nh©n tö ta ®­îc (x + b)(x + biÕn, cßn tÝch (x - y)(y - z)(z - x) còng cã bËc 3 ®èi víi c). tËp hîp c¸c biÕn. Bµi tËp 10: T×m c¸c sè h÷u tØ a, b, c sao cho khi ph©n tÝch Ta cã: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - ®a thøc x3 + ax2 + bx2 + c thµnh nh©n tö ta ®­îc (x + y)(y - z)(z - x) (*) ®óng víi mäi x, y, z R nªn ta chän a)(x + b)(x + c). c¸c gi¸ trÞ riªng cho x, y, z ®Ó t×m h»ng sè a lµ xong. Bµi tËp 11:(184)Sè tù nhiªn n cã thÓ nhËn bao nhiªu gi¸ Chó ý: C¸c gi¸ trÞ cña x, y, z ta cã thÓ chän tuú trÞ, biÕt r»ng khi ph©n tÝch ®a thøc ý, chØ cÇn chóng ®«i mét kh¸c nhau ®Ó tr¸nh P = 0 x2 + x - n ra nh©n tö ta ®­îc (x - a)(x + b) víi a, b lµ ®­îc. lµ c¸c sè tù nhiªn vµ 1 < n < 100 ? Ch¼ng h¹n: Chän x = 2; y = 1; z = 0 thay vµo ®¼ng Bµi tËp 12: (185)Cho A = a2 + b2 + c2, trong ®ã a vµ b lµ thøc (*), ta t×m ®­îc a = - 1 hai sè tù nhiªn liªn tiÕp vµ c = ab. VËy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y CMR: A lµ mét sè tù nhiªn lÎ. - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z). Chñ ®Ò 1: TÝnh chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn Bµi tËp 6: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a A. KiÕn thøc c¬ b¶n + b - c)( b + c - a)( c + a - b). - N¾m ®­îc tÝnh chÊt chia hÕt trong tËp hîp sè Gi¶i: NhËn xÐt: víi a = 0 th× Q = 0, cho nªn a lµ mét nguyªn nh©n tö cña Q. Do vai trß b×nh ®¼ng cña a, b, c nªn b vµ c - VËn dông tèt tÝch chÊt ®Ó lµm c¸c bµi tËp còng lµ nh©n tö cña Q, mµ Q cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn nªn Q = k.abc. B. Ph­¬ng ph¸p chung Chän a = b = c = 1 ®­îc k = 4. VËy Q = 4abc. I. Chøng minh tÝnh chia hÕt trong tËp hîp sè Bµi tËp tù luyÖn: nguyªn Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n N Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (173): a) 4x4 - 32x2 + 1; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 hoÆc n Z) b) x6 + 27; + x + 1)2; d) (2x2 - 4)2 + 9; §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho mét sè m, ta th­êng Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (174): ph©n tÝch A(n) thµnh thõa sè, trong ®ã cã mét thõa sè lµ a) 4x4 + 1; b) 4x4 + y4; c) x4 m. Nõu m lµ mét hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa + 324. Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (175): sè ®«i mét nguyªn tè cïng nhau, råi chøng minh A(n) a) x5 + x4 + 1; d) x5 - x4 - 1; chia hÕt cho tÊt c¶ c¸c sè ®ã b) x5 + x + 1; e)x 7 + x5 + 1; c) x8 + x7 + 1; ROI 12
  13. NhËn xÐt: Trong k sè nguyªn liªn tiÕp bao giê b) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph­¬ng chia cho 4 còng tån t¹i mét béi cña k chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 hoÆc 1 VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: Gi¶i: A = n3(n2 - 7)2 - 36n chÝ hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn Gäi A lµ sè chÝnh ph­¬ng A = n2 (n N) n a) XÐt c¸c tr­êng hîp: Gi¶i: n = 3k (k N) A = 9k2 chia hÕt cho 3 4 2 Ph©n tÝch ra thõa sè: 5040 = 2 .3 .5.7 n = 3k 1 (k N) A = 9k2 6k +1 chia Ta cã: cho 3 d­ 1 2 2 2 A = n[n (n - 7) - 36] VËy sè chÝnh ph­¬ng chi cho 3 chØ cã thÓ cã sè d­ 3 2 2 = n[(n - 7n) - 6 ] b»ng 0 hoÆc 1 3 3 = n(n - 7n - 6)(n - 7n + 6) b) XÐt c¸c tr­êng hîp Ta l¹i cã: n = 2k (k N) ) A = 4k2 chia hÕt cho 4 n3 - 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3) n = 2k + 1 (k N) A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 n3 - 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3) chia cho 4 d­ 1 Do ®ã: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3) VËy sè chÝnh ph­¬ng chi cho 4 chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 §©y chÝnh lµ tÝch cña b¶y sè nguyªn liªn tiÕp. Trong hoÆc 1 b¶y sè nguyªn liªn tiÕp ¸p dông: - Tån t¹i mét béi cña 5 nªn A chia hÕt cho 5 Trong c¸c sè sau cã sè nµo lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng? - Tån t¹i mét béi cña 7 nªn A chia hÕt cho 7 M = 19922 + 19932 + 19942 - Tån t¹i hai béi cña 3 nªn A chia hÕt cho 9 N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 - Tån t¹i ba béi cña 2, trong ®ã cã mét béi cña 4 nªn P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 A chia hÕt cho 16 L­u ý: C¸c h»ng ®¼ng thøc hay dïng ®Ó chøng minh tÝnh A chia hÕt cho c¸c sè 5, 7,9,16 ®«i mét nguyªn tè chia hÕt cña mét luü thõa. cïng nhau nªn A chia hÕt cho 5.7.9.16 = 5040 an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 .b2 + + a.bn-2 + bn-1) ¸p dông: víi n N* Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 .b2 - - a.bn-2 + bn-1) a) a2 - a chia hÕt cho 2 víi mäi n lÎ C«ng thøc Niu-t¬n b) a3 - a chia hÕt cho 3 (a + b)n = an + c an-1b + c an-2b2 + + c abn-1 + bn c) a5 - a chia hÕt cho 5 1 2 n-1 C¸c hÖ sè c ®­îc x¸c ®Þnh bëi tam gi¸c Pa-xcan d) a7 - a chia hÕt cho 7 i ¸p dông vµo tÝnh chÊt chia hÕt ta cã: Gîi ý: Ph©n tÝch thµnh tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn n n tiÕp, khi ®ã tån t¹i c¸c sè lµ béi cña 2, 3, 5, 7 a - b Chia hÕt cho a - b (a b) a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) n n VÝ dô 2: Sè chÝnh ph­¬ng (a + b) = BS a + b (BS a lµ béi sè cña a) a) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph­¬ng chia cho 3 VÝ dô: chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 hoÆc 1 Bµi tËp ¸p dông: 13
  14. 1/ Cho A = 11100 -1 Ph­¬ng ph¸p: Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 10, chia hÕt cho 1000 XÐt sè tù nhiªn A = nk víi n, k N 2/ Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n - C¸ch 1: 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n Muèn t×m ch÷ sè cuèi cïng cña A ta chØ cÇn biÓu 3/ Chøng minh r»ng víi n N: diÔn A d­íi d¹ng: n+1 2n+1 a) 11 + 12 chia hÕt cho 133 A = 10a + b = ab 4n+2 3n+1 b) 3 + 2.4 chia hÕt cho 17 Th× b lµ ch÷ sè cuèi cïng cña A 2n+1 3n+1 c) 3.5 + 2 chia hÕt cho 17 Ta viÕt A = nk = (10q + r)k = 10t + rk II. T×m sè d­ Th× ch÷ sè cuèi cïng cña A còng chÝnh lµ ch÷ sè cña cïng 100 VÝ dô: T×m sè d­ khi chia 2 cña rk a) Cho 9 - NÕu A = 100b + ab = abc th× bc lµ hai ch÷ sè b) Cho 25 cuèi cïng cña A c) Cho 125 - Gi¶i: C¸ch 2: a) Luü thõa cña 2 s¸t víi béi cña 9 lµ 23 = 8 = 9 - 1 Khi lÊy k lÇn l­ît nh÷ng gi¸ trÞ tù nhiªn kh¸c nhau Ta cã: 2100 = 2.(23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 th× trong biÓu diÔn thËp ph©n cña sè A = nk ch÷ sè cuèi = BS 9 + 7 cïng hoÆc mét ch÷ sè cuèi cïng xuÊt hiÖn tuÇn hoµn. Ta Sè d­ khi chia 2100 cho 9 lµ 7 chØ cÇn t×m chu k× cña hiÖn t­îng nµy vµ A ë tr­êng hîp b) Luü thõa cña 2 s¸t víi mét béi sè cña 25 lµ 210 = nµo víi gi¸ trÞ k ®· cho 1024 = BS 25 - 1 C¸ch 3: Dïng phÐp chia cã d­ Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1 VÝ dô: T×m 3 ch÷ sè tËn cïng cña 2100 khi viÕt trong hÖ VËy sè d­ khi chia 2100 cho 25 lµ 1 thËp ph©n c) Dïng c«ng thøc Niu-t¬n: Gi¶i: 50.49 Ba ch÷ sè tËp cïng cña 2100 lµ sè d­ cña phÐp chia 2100 cho 2100 = (5 - 1)50 = 550 - 50.549 + + 2 .52 - 50.5 + 1 1000 Ta thÊy 48 sè h¹ng ®Çu tiªn chøa luü thõa cña 5 víi sè mò Theo vÝ dô trªn ta cã 2100 = BS 125 + 1, mµ 2100 lµ sè ch½n, lín h¬n 3 nªn chia hÕt cho 125. hai sè h¹ng tiÕp theo còng nªn ba ch÷ sè t©n cïng cña nã chØ cã thÓ lµ 126, 376, 626 chia hÕt cho 125, sè h¹ng cuèi cïng lµ 1 hoÆc 876 VËy sè d­ khi chia 2100 cho 125 lµ 1 Mµ 2100 chia hÕt cho 8 nªn ba ch÷ sè tËn cïng cña nã còng Bµi tËp ¸p dông: ph¶i chia hÕt cho 8. Trong bèn sè trªn chØ cã 376 tho¶ n n n n a) T×m sè d­ cña phÐp chia Sn = 1 + 2 + 3 + 4 cho 4 m·n ®iÒu kiÖn b) Chøng minh r»ng: VËy ba ch÷ sè tËn cïng cña 2100 lµ 376 52n + 5n + 1 chia hÕt cho 31 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho Bµi tËp: 3 1) T×m 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 khi viÕt III. T×m ch÷ sè cuèi cïng trong biÓu diÔn thËp trong hÖ thËp ph©n. ph©n cña mét sè 14
  15. 2) T×m ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña sè 171983 + Sè d­ cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho x - a b»ng gi¸ 111983 - 71983 trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a 3) T×m ba ch÷ sè cuèi cïng cña sè A = m100 * §a thøc cã bËc tõ bËc hai trë lªn trong ®ã m lµ mét sè tù nhiªn kh¸c 0 C¸ch 1: T¸ch ®a thøc bÞ chia thµnh nh÷ng ®a thøc IV. T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt chia hÕt cho ®a thøc chia VÝ dô: T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt C¸ch 2: XÐt c¸c gi¸ trÞ riªng cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B Chó ý: A = n3 + 2n2 - 3n + 2 an - bn Chia hÕt cho a - b (a b) B = n2 - n a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) BiÕn ®æi VÝ dô 1: n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n2 - n)(n + 3) + 2 Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ Muèn A chia hÕt cho B th× 2 ph¶i chia hÕt cho n2 - sè b»ng 0 th× ®a thøc Êy chia hÕt cho x - 1 n hay n(n - 1) do ®ã 2 ph¶i chia hÕt cho n Gi¶i: n n-1 n 1 -1 2 -2 Gäi f(x) = a0x + a1x + + an-1x + an n-1 0 -2 1 -3 Theo gi¶ thiÕt: a0 + a1 + + an-1 + an = 0 n(n - 1) 0 2 2 6 Sè d­ cña phÐp chia f(x) cho x - 1 lµ Lo¹i Lo¹i r = f(1) = a0 + a1 + + an-1 + an = 0 VËy n = -1 ; n = 2 VËy f(x) chia hÕt cho x - 1 Bµi tËp: VÝ dô 2: 1) T×m sè nguyªn d­¬ng n ®Ó n5 + 1 chia hÕt cho n3 + Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ sè 1 luü thõa bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè luü thõa bËc lÎ th× 2) T×m sè tù nhiªn n sao cho f(x) chia hÕt cho x + 1 a) 2n - 1 chia hÕt cho 7 2. T×m th­¬ng vµ sè d­ cña phÐp chia c¸c ®a thøc b) 2n - 1 chia hÕt cho 7 Ph­¬ng ph¸p: c) n2 - 3n + 6 chia hÕt cho 5 - §Æt phÐp chia d) n3 - n + 1 Chia hÕt cho 7 - Dïng s¬ ®å Hoãc-ne e) 2.3n + 3 chia hÕt cho 11 §a thøc bÞ chia n f) 10 - 1 chia hÕt cho 81 n n 1 n 2 a0 x a1x a2 x an 1x x g) 10n - 1 chia hÕt cho 11 n h) 10 -1 chia hÕt cho 121 §a thøc chia lµ x - a th­¬ng lµ V. TÝnh chia hÕt ®èi víi ®a thøc b x n 1 b x n 2 b x b 1. T×m sè d­ cña phÐp chia mµ kh«ng thùc hiÖn phÐp 0 1 n 2 n 1 sè d­ r chia Víi Ph­¬ng ph¸p: b0 = a0 * §a thøc chia cã d¹ng x - a víi a lµ h»ng sè b1 = a.b0 + a1 b2 = a.b1 + a2 15
  16. VÝ dô 3: bn-1 = a.bn-2 + an-1 Chøng minh r»ng f(x) chia hÕt cho g(x) 99 88 77 11 r = abn-1 + an f(x) = x + x + x + + x + 1 3. Chøng minh mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Ph­¬ng ph¸p: Gi¶i: * Ph©n tÝch ®a thøc bÞ chi thµnh nh©n tö, trong ®ã f(x) - g(x) = x99 - x9+ x88 - x8 + + x11 - x cã mét nh©n tö lµ ®a thøc chia = x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + + VÝ dô 1: x(x10 - 1) Chøng minh r»ng x8n + x4n + 1 chia hÕt cho x2n + C¸c biÓu thøc trong ngoÆc ®Òu chia hÕt cho x10 - 1, xn + 1 víi mäi mét sè tù nhiªn n. mµ x10 - 1 chia hÕt cho g(x) Gi¶i: VËy f(x) chia hÕt cho g(x) x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n * Chøng tá r»ng mäi nghiÖm cña ®a thøc chia ®Òu = (x4n + 1)2 - (x2n)2 lµ nghiÖm cña ®a thøc bÞ chia = (x4n + x2n +1) (x4n - x2n VÝ dô: +1) Cho f(x) = (x2 + x - 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 chøng x4n + x2n +1 = x4n + 2x2n +1- x2n ming r»ng f(x) chia hÕt cho x2 - x = (x2n + 1)2 - (xn)2 Gi¶i: = (x2n + xn +1) (x2n - xn +1) §a thøc x2 - x cã hai nghiÖm lµ x = 0 vµ x = 1. Ta VËy x8n + x4n + 1 chia hÕt cho x2n + xn + 1 sÏ chøng minh x=0 vµ x = 1 còng lµ nghiÖm cña ®a thøc * BiÕn ®æi c¸c ®a thøc chia thµnh mét tæng c¸c ®a f(x) thøc chia hÕt cho ®a thøc chia VÝ dô 2: Chøng minh r»ng x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1 víi mäi sè tù nhiªn m, n Gi¶i: x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 + 1 - x2 + x2 + x + 1 = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + x2 + x + 1 Ta thÊy x3m - 1 vµ x3n - 1 chia hÕt cho x3 - 1 Do ®ã x3m - 1 vµ x3n - 1 chia hÕt cho x2 + x + 1 VËy x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1 * Sö dông c¸c biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng, ch¼ng h¹n ®Ó chøng minh f(x) chia hÕt cho g(x), cã thÓ chøng minh f(x) + g(x) chia hÕt cho g(x) hoÆc f(x) - g(x) chia hÕt cho g(x) 16