›
›
›

Bài tập Toán Lớp 11 - Phương trình lượng giác thường gặp - Năm học 2022-2023 (Có lời giải)

docx 57 trang Hàn Vy 03/03/2023 2713
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Toán Lớp 11 - Phương trình lượng giác thường gặp - Năm học 2022-2023 (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_toan_lop_11_phuong_trinh_luong_giac_thuong_gap_nam_h.docx

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 11 - Phương trình lượng giác thường gặp - Năm học 2022-2023 (Có lời giải)

  1. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUY VỀ BẬC NHẤT Câu 1. Giải phương trình cos x(2cos x 3) 0 . 5 5 A. x k , x k ;k ¢ . B. x k , x k2 ;k ¢ . 2 6 2 6 5 2 C. x k , x k2 ;k ¢ . D. x k , x k2 ;k ¢ 2 6 2 3 Lời giải Chọn C. x k 2 cos x 0 5 Ta cĩ cos x 2cos x 3 0 3 x k2 ;k ¢ . cos x 6 2 5 x k2 6 Câu 2. Nghiệm của phương trình 2.sin x.cos x 1 là: A. x k2 . B. x k . C. x k . D. x k . 4 2 Lời giải Chọn B. Ta cĩ 2.sin x.cos x 1 sin2x 1 2x k2 x k k ¢ 2 4 Câu 3. Giải phương trình 4sin x cos x cos 2x 1 0 A. x k2 ;k ¢ . B. x k ;k ¢ . 8 8 C. x k ;k ¢ . D. x k ;k ¢ . 8 4 8 2 Lời giải Chọn D. 4sin x cos x cos 2x 1 0 2sin2xcos2x 1 sin4x 1 x k ;k ¢ . 8 2 Câu 4. Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos2x 0 là: A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 2 8 4 Lời giải Chọn D. 1 1 sin x.cos x.cos2x 0 sin 2x.cos 2x 0 sin 4x 0 sin 4x 0 4x k 2 4
  2. x k k ¢ . 4 Câu 5. Nghiệm của phương trình sin x. 2cos x 3 0 là : x k x k A. . k ¢ B. k ¢ . x k2 x k 6 6 x k2 C. k ¢ . D. x k2 k ¢ . x k2 6 3 Lời giải Chọn A. sin x 0 x k sin x. 2cos x 3 0 3 k ¢ cos x x k2 2 6 Câu 6. Phương trình (sin x 1)(2cos 2x 2) 0 cĩ nghiệm là A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 2 8 C. x k ,k ¢ . D. Cả A, B,C đều đúng. 8 Lời giải Chọn D. sin x 1 x k2 x k2 2 2 (sin x 1)(2cos 2x 2) 0 2 (k ¢ ) cos 2x 2x k2 x k 2 4 8 Câu 7. Phương trình sin x 1 sin x 2 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 k ¢ . B. x k2 , x k k ¢ . 2 4 8 C. x k2 . D. x k2 . 2 2 Lời giải Chọn A. sin x 1 sin x 1 sin x 2 0 x k2 k ¢ sin x 2 L 2 Câu 8. Phương trình sin2x. 2sin x 2 0 cĩ nghiệm là
  3. x k x k x k 2 2 x k 2 A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 4 4 4 4 3 3 3 x k2 x k x k2 x k2 4 4 4 4 Lời giải Chọn A. k x 2 sin2x 0 sin2x. 2sin x 2 0 x k2 x k ., k ¢ . 2sin x 2 0 4 3 3 x k2 4 Câu 9. Trong nửa khoảng 0;2 , phương trình sin 2x sin x 0 cĩ số nghiệm là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A. k2 2x x k2 x Phương trình đề bài sin 2x sin x 3 , k ¢ . 2x x k2 x k2 k2 k2 + Với x . Vì x 0;2 0 2 0 k 3 k 0;1;2 (vì k ¢ ). 3 3 1 1 + Với x k2 . Vì x 0;2 0 k2 2 k k 0 (vì k ¢ ). 2 2 2 4 Vậy trong nửa khoảng 0;2 , phương trình cĩ 4 nghiệm là: x 0 ; x ; x ; x 3 3 Câu 10. Phương trình nào tương đương với phương trình sin2 x cos2 x 1 0 . A. cos2x 1. B. cos2x 1. C. 2cos2 x 1 0 . D. (sin x cos x)2 1. Lời giải Chọn B. Ta cĩ sin2 x cos2 x 1 0 cos 2x 1 0 cos 2x 1. Câu 11. Nghiệm của phương trình sin4 x cos4 x 0 là 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 4 4 2 4 4 Lời giải Chọn B. Cách 1: sin4 x cos4 x 0 cos2 x sin2 x 0 cos 2x 0 2x k x k , k ¢ . 2 4 2
  4. Cách 2: 2 sin x sin x sin 4 4 2 2 2 1 2 4 sin x cos x 0 sin x cos x 0 sin x 2 2 sin x sin sin x 2 4 x k2 4 3 x k2 4 x k k ¢ . 4 2 x k2 4 5 x k2 4 Câu 12. Giải phương trình :sin4 x cos4 x 1 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 2 4 C. x k2 , k ¢ . D. x k , k ¢ . 4 2 Lời giải Chọn D. 2 1 sin4 x cos4 x 1 sin2 x cos2 x 2sin2 x cos2 x 1 1 sin2 2x 1 2 1 1 1 cos 4x 1 cos 4x 1 4x k2 x k 4 2 7 Câu 13. Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình sin6 x cos6 x là: 16 5 7 A. . B. . C. . D. . 6 2 6 6 Lời giải Chọn B. Ta cĩ: sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x sin4 x sin2 x cos2 x cos4 x 3 3 1 cos 4x 5 3cos 4x sin2 x cos2 x 3sin2 x cos2 x 1 sin2 2x 1 . 4 4 2 8 5 3cos 4x 7 1 2 cos 4x cos 4x cos 8 16 2 3 2 4x k2 x k 3 6 2 k ¢ 2 4x k2 x k 3 6 2
  5. Suy ra phương trình cĩ 2 nghiệm dương nhỏ nhất là x và x 1 6 2 3 Vậy x x 1 2 2 Câu 14. Giải phương trình 4 sin6 x cos6 x 2 sin4 x cos4 x 8 4cos2 2x k k A. x , k ¢ . B. x , k ¢ . 3 2 24 2 k k C. x , k ¢ . D. x , k ¢ . 12 2 6 2 Lời giải Chọn C. Ta cĩ: 4 sin6 x cos6 x 2 sin4 x cos4 x 8 4cos2 2x 4 1 3sin2 x cos2 x 2 1 2sin2 x cos2 x 8 4cos2 2x 6 4sin2 2x 8 4cos2 2x 1 cos 4x 2 x x Câu 15. Phương trình sin 2x cos4 sin4 cĩ các nghiệm là; 2 2 2 x k x k x k x k 6 3 4 2 3 12 2 A. . B. . C. . D. . 3 x k2 x k x 3 k2 x k 2 2 2 4 Lời giải Chọn A x x Phương trình sin 2x cos4 sin4 sin 2x cos x 2 2 2 2x x k2 x k 2 6 3 cos x cos x , k ¢ 2 2x x k2 x k2 2 2 x x 5 Câu 16. Các nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình: sin4 cos4 là: 2 2 8 5 9 2 4 5 3 3 5 7 A. ; ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; . D. ; ; ; . 6 6 6 3 3 3 3 4 2 2 8 8 8 8 Lời giải Chọn B
  6. x k 4 x 4 x 5 1 2 5 2 1 3 sin cos 1 sin x 4sin x 3 cos2x , k ¢ 2 2 8 2 8 2 x k 3 2 4 5 Do x 0;2 nên nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình là ; ; ; . 3 3 3 3 Câu 17. Phương trình 3 4cos2 x 0 tương đương với phương trình nào sau đây? 1 1 1 1 A. cos 2x . B. cos 2x . C. sin 2x . D. sin 2x . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A. 2 1 cos 2x 1 Ta cĩ 3 4cos x 0 3 4 0 1 2cos 2x 0 cos 2x . 2 2 Câu 18. Cho phương trình cos x.cos7x cos3x.cos5x 1 Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình 1 A. sin5x 0. B. cos 4x 0 . C. sin 4x 0 . D. cos3x 0 . Lời giải Chọn C. 1 1 cos x.cos7x cos3x.cos5x cos6x cos8x cos 2x cos8x 2 2 sin 4x 0 cos6x cos2x 0 2sin 4x.sin 2x 0 sin 2x 0 sin 4x 0 ( Do sin 4x 2sin 2x cos 2x ) Câu 19. Tìm số nghiệm x 0;14 nghiệm đúng phương trình : cos3x 4cos2x 3cosx 4 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Chọn D Phương trình 4cos3 x 3cos x 4(2cos2 x 1) 3cos x 4 0 4cos3 x 8cos2 x 0 cos x 0 x k 2 3 5 7 Vì x 0;14 x ,x ,x ,x . 2 2 2 2 Câu 20. Giải phương trình sin x.cos x 1 tan x 1 cot x 1. k A. Vơ nghiệm. B. x k2 , k ¢ . C. x , k ¢ . D. x k , k ¢ . 2 Lời giải Chọn A
  7. sin x 0 Điều kiện: sin 2x 0 x k cos x 0 2 sin x cos x sin x cos x pt sin x.cos x 1 cos x sin x. 2 sin x cos x 1 sin 2x 0 (loại). Phương trình vơ nghiệm. 69 2 Câu 21. Số nghiệm thuộc ; của phương trình 2sin 3x. 1 4sin x 1 là: 14 10 A. 40 . B. 32. C. 41 . D. 46 . Lời giải Chọn C 2sin 3x. 1 4sin2 x 1 2sin 3x. 4cos2 x 3 1 TH1: cos x 0 sin2 x 1 . PT cĩ dạng: 1 2sin 3x. 4cos2 x 3 1 2 3sin x 4sin x.1 4.0 3 1 sinx Vơ lý vì sin2 x 1 2 TH2: cos x 0. PT cĩ dạng: 2 x k 2 14 7 2sin 3x. 4cos x 3 1 2sin 3x.cos3x cos x sin 6x cos x 2 x k 104 5 2 69 1 2863 k k 69 14 12 7 10 24 120 Vì x ; . 14 10 2 69 1 h h 17 14 10 5 10 14 Cĩ 24 giá trị k và cĩ 17 giá trị h k x . 12 2 2 Câu 22. Phương trình tan x tan x tan x 3 3 tương đương với phương trình: 3 3 A. cot x 3. B. cot3x 3. C. tan x 3. D. tan3x 3. Lời giải Chọn C. Trước hết, ta lưu ý cơng thức nhân ba: sin 3a 3sin a 4sin3 a ; cos3a 4cos3 a 3cos a ; 3tan a tan3 a tan 3a . 1 3tan2 a 2 tan x tan tan x tan tan x 3 tan x 3 PT tan x 3 3 3 3 tan x 3 3 2 1 tan x tan 1 tan x tan 1 3 tan x 1 3 tan x 3 3
  8. tan x 1 3tan2 x tan x 3 1 3 tan x tan x 3 1 3 tan x 3 3 1 3tan2 x tan x 3tan3 x tan x 3 tan2 x 3 3tan x tan x 3 tan2 x 3 3tan x 3 3 1 3tan2 x 9 tan x 3tan3 x 3tan x tan3 x 3 3 3 tan 3x 3. 1 3tan2 x 1 3tan2 x Câu 23. Giải phương trình sin x. cos x. cos 2 x 0 A. k . B. k . C. k . D. k . 2 4 8 Lời giải Chọn C 1 k Ta cĩ : sin x. cos x. cos 2 x 0 sin 2x cos2x 0 sin 4x 0 x k ¢ . 2 4 1 Câu 24. Nghiệm của phương trình cos x cos5x cos6x (với k ¢ ) là 2 k k k A. x k . B. x . C. x . D. x . 8 2 4 8 4 Lời giải Chọn D 1 1 1 k Ta cĩ : cos x cos5x cos6x cos6x cos4x cos6x cos4x 0 x k ¢ 2 2 2 8 4 3 3 3 Câu 25. Các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình sin x.cos3x cos x.sin 3x là: 2 8 5 5 5 5 A. , . B. , . C. , . D. , . 6 6 8 8 12 12 24 24 Lời giải Chọn D 3 Phương trình sin3 x.cos3x cos3 x.sin 3x 8 3 sin3 x 4cos3 x 3cos x cos3 x 3sin x 4sin3 x 8 3 1 3sin x.cos3 x 3cos x.sin3 x sin x.cos3 x cos x.sin3 x 8 8 k x 2 2 1 24 2 8sin x cos x cos x sin x 1 4sin 2x.cos2x 1 sin 4x , k ¢ 2 5 k x 24 2 5 Do x 0; nên nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình là , . 2 2 24 24
  9. sin 3x cos3x 2 Câu 26. Phương trình cĩ nghiệm là: cos2x sin 2x sin 3x A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 8 4 6 3 3 2 4 Lời giải Chọn B. k cos2x 0 k x 2x 4 Điều kiện sin 2x 0 2 k sin 3x 0 3x k x 3 sin 3x.sin 2x cos2x.cos3x 2 sin 2x.cos2x sin 3x 2cosx 2 1 sin 3x. cos x sin 4 x sin 2x sin4x sin 4x sin 4x sin 3x 2 x k 2x 4x k2 sin 2 x sin 4 x k 2x 4x k2 x 6 3 So sánh với điều kiện, ta nhận x k . 6 3 sin4 x cos4 x 1 Câu 27. Phương trình tan x cot x cĩ nghiệm là: sin 2x 2 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. Vơ nghiệm. 2 3 4 2 Lời giải Chọn D Điều kiện sin 2x 0 x k 2 sin4 x cos4 x 1 tan x cot x sin 2x 2 2 2 2 2 2 sin x cos x 2sin x cos x 1 2sin x cos x 2sin x cos x 2 1 2 sin x cos x 1 sin xcos x 0 sin 2x 0 x k , k ¢ 2 So sánh điều kiện ta cĩ phương trình vơ nghiệm. Câu 28. Cho phương trình cos2x.cos x sin x.cos3x sin 2xsin x sin3xcos x và các họ số thực:. I. x k , k ¢ . 4 II. x k2 , k ¢ . 2 2 III. x k , k ¢ . 14 7
  10. 4 IV. x k , k ¢ . 7 7 Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là A. I, II. B. I, III. C. II, III. D. II, IV. Lời giải Chọn C cos2x.cos x sin x.cos3x sin 2xsin x sin3xcos x cos 2x.cos x sin 2xsin x sin x.cos3x sin 3x cos x 0 cos3x sin 4x 0 sin 4x cos3x sin 4x sin 3x 2 4x 3x k2 x k2 2 2 sin 4x sin 3x , k ¢ . 2 3 k2 4x 3x k2 x 2 14 7 Từ x k2 nên I đúng. 2 3 k2 2 l Từ x , so sánh với nghiệm x như sau: 14 7 14 7 2 l + Ta thấy x họ nghiệm này khi biểu diễn trên đường trịn lượng giác đều được 7 điểm. 14 7 3 k2 2 l + Cho k l 1. Điều này cĩ nghĩa, ứng với một số nguyên k luơn cĩ một số 14 7 14 7 nguyên l 3 k2 2 l Do đĩ 2 họ nghiệm x và x là bằng nhau. 14 7 14 7 Chú ý: 3x 4x k x k 2 2 cos3x sin 4x cos3x cos 4x 2 k2 3x 4x k2 x 2 14 7 Câu 29. Cho phương trình cos2 x 300 sin2 x 300 sin x 600 và các tập hợp số thực: 0 0 I. x 30 k120 , k ¢ . II. x 600 k1200 , k ¢ . 0 0 III. x 30 k360 , k ¢ . IV. x 600 k3600 , k ¢ . Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. I, III. D. I, IV. Lời giải
  11. Chọn C cos2 x 300 sin2 x 300 sin x 600 cos 2x 600 sin x 600 cos 2x 600 cos 300 x x 300 k1200 k ¢ 0 0 x 30 k360 4 4 x x Câu 30. Phương trình sin x sin x 4sin cos cos x cĩ nghiệm là 2 2 2 3 3 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 8 2 3 3 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 12 16 2 Lời giải Chọn B 4 4 x x 4 4 sin x sin x 4sin cos cos x sin x cos x 2sin x cos x 2 2 2 sin2 x cos2 x sin 2x sin 2x cos2x 0 2 sin 2x 0 x k k ¢ . 4 8 2 Câu 31. Giải phương trình sin x.cos x(1 tan x)(1 cot x) 1. k A. Vơ nghiệm. B. x k2 , k ¢ . C. x , k ¢ . D. x k , k ¢ . 2 Lời giải Chọn A. sin x 0 k Điều kiện: sin 2x 0 x , k ¢ cos x 0 2 Phương trình đề bài cos x(1 tan x).sin x(1 cot x) 1 (cos x sin x)(sin x cos x) 1 sin 2 x 0 (vơ nghiệm). sin 3x Câu 32. Số nghiệm của phương trình 0 thuộc đoạn [2 ;4 ] là cos x 1 A. 2 . B. 6. C. 5. D. 4 . Lời giải Chọn B. Điều kiện: cos x 1 0 x k2 . Trên 2 ,4 , điều kiện x 3 . sin 3x Ta cĩ 0 sin 3x 0 3x k x k ;k ¢ . cos x 1 3
  12. Vì x 2 ,4 nên 2 k 4 6 k 12;k ¢ k 7;8;9;10;11 3 7 8 10 11 x 2 , , , 3 , , , 4 . 3 3 3 3 7 8 10 11 So với điều kiện, ta chỉ cịn x 2 , , , , , 4 . 3 3 3 3 sin 2x 1 Câu 33. Tất cả các nghiệm của phương trình 0 là 2.cos x 1 x k2 ,k ¢ 3 4 A. x k2 ,k ¢ . B. . 4 3 x k2 ,k ¢ 4 C. x k ,k ¢ . D. x k2 ,k ¢ . 4 4 Lời giải Chọn A. 1 Điều kiện cos x x k2 . 2 4 sin 2x 1 Ta cĩ 0 sin 2x 1 2x k2 x k . 2.cos x 1 2 4 3 Kết hợp điều kiện, suy ra x k2 ,k ¢ . 4 2 Câu 34. Phương trình 2sin 3x 1 8sin 2x.cos 2x cĩ nghiệm là: 4 x k x k x k x k 6 12 18 24 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 x k x k x k x k 6 12 18 24 Lời giải Chọn B Điều kiện 1 8sin 2x.cos2 2x 0 2 2 2 2sin 3x 1 8sin 2x.cos 2x 4sin 3x 1 8sin 2x.cos 2x . 4 4 2 2 2 1 cos 6x 1 8sin 2x.cos 2x 8sin 2x.cos 2x 2sin 6x 1 0 . 2 8sin 2x 1 sin2 2x 2 3sin 2x 4sin3 2x 1 0 2sin 2x 1 0 x k 1 12 sin 2x , k ¢ . 2 5 x k 12
  13. x k 12 Thử lại điều kiện, , k ¢ đều thoả. 5 x k 12 Câu 35. Phương trình sin3 x cos3 x sin3 x.cot x cos3 x.tan x 2sin2x cĩ nghiệm là: 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 8 4 4 4 Lời giải Chọn B Điều kiện: sin 2 x 0 (do cĩ điều kiện của tan x, cot x ) sin3 x cos3 x sin3 x.cot x cos3 x.tan x 2sin2x sin3 x cos3 x sin2 xcos x cos2 x.sin x 2sin2x sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 2 sin 2x sin x cos x 2sin2x 2 sin x cos x 2sin 2x 1 sin 2 x 2x k x k , k ¢ 2 4 2 So sánh điều kiện ta cĩ nghiệm phương trình là: x k , k ¢ 4 sin6 x cos6 x Câu 36. Để phương trình m cĩ nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện: tan x tan x 4 4 1 1 A. 1 m . B. 2 m 1. C. 1 m 2. D. m 1. 4 4 Lời giải Chọn A. sin x 0 4 k cos x 0 x 4 4 2 k ĐK: x k 4 2 sin x 0 x 4 4 2 cos x 0 4 2 2 4 2 2 4 sin6 x cos6 x sin x cos x sin x sin x cos x cos x m m tan x 1 tan x 1 tan x tan x . 4 4 1 tan x 1 tan x 2 2 2 2 2 sin x cos x 3sin x cos x 3 4m 4 m 1 sin2 2x m sin2 2x 1 4 3
  14. Phương trình cĩ nghiệm k 2 k 4m 4 x sin 2 4m 4 4 2 4 2 3 1 3 2 4m 4 4m 4 sin 2x có nghiệm 0 1 0 4m 4 3 3 3 1 m 3 4m 4 4 1 1 m 4 4m 1 1 4 1 m 4 2 Câu 37. Để phương trình: 4sin x .cos x a 3sin 2x cos2x cĩ nghiệm, tham số a phải 3 6 thỏa điều kiện: 1 1 A. 1 a 1 . B. 2 a 2 . C. a . D. 3 a 3 . 2 2 Lời giải Chọn B 2 Phương trình 4sin x .cos x a 3sin 2x cos2x 3 6 2 3 1 2 sin sin 2x a 2 sin 2x cos2x 2 6 2 2 2 2 2 1 sin 2x a 2 cos .sin 2x sin .cos2x 2 2sin 2x a 2sin 2x 6 6 6 6 6 1 2 1 2 1 2 sin 2x sin 2x a 1 2cos 2x.sin a 1 cos2x a 1 6 6 2 6 2 2 1 2 1 2 2 Vì 1 cos 2 x 1 nên 1 a 1 1 0 a 2 0 a 4 2 a 2 . 2 2 CÁCH KHÁC: Chọn a 3  3;3 của đáp án D. Ta thấy phương trình 4sin x .cos x 9 3sin 2x cos2x khơng cĩ nghiệm qua chức năng 3 6 giải nhanh SOLVE của máy tính cầm tay. Chọn a 2  2;2 của đáp án B. Ta thấy phương trình 4sin x .cos x 4 3sin 2x cos2x cĩ nghiệm qua chức năng giải 3 6 nhanh SOLVE của máy tính cầm tay. Vậy đáp án B đúng. a2 sin2 x a2 2 Câu 38. Để phương trình cĩ nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 1 tan2 x cos2x
  15. a 1 a 2 a 3 a 4 A. . B. . C. . D. . a 3 a 3 a 3 a 3 Lời giải Chọn A cos x 0 a2.cos2 x sin2 x a2 2 Điều kiện: tan x 1 (1). Phương trình đã cho tương đương: 2 2 cos x sin x cos2x cos2x 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 1 a .cos x sin x a 2 a 1 .cos x a 1 cos x 2 a 1 2 2 1 Vì cos 2 x 0 nên 2cos x 1 0 cos x (2) 2 Do đĩ, theo điều kiện (1) và (2), phương trình trên cĩ nghiệm khi a2 1 0 1 a2 1 a 1 . a2 1 1 a 3 a2 1 2 DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUY VỀ BẬC HAI, BẬC CAO Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác Dạng Đặt Điều kiện asin2x bsin x c 0 t = sinx 1 t 1 a cos2 x b cos x c 0 t = cosx 1 t 1 a tan2 x b tan x c 0 t = tanx x k (k Z) 2 Nếu đặt: t sin2 x hoặc t sin x thì điều kiện : 0 t 1. a cot2 x b cot x c 0 t = cotx x k (k Z) Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác A. 2sin2 x sin 2x 1 0. B. 2sin2 2x sin 2x 0. C. cos2 x cos2x 7 0. D. tan2 x cot x 5 0.
  16. Lời giải Chọn B. Câu 2. Nghiệm của phương trình sin2 x – sin x 0 thỏa điều kiện: 0 x . A. x . B. x . C. x 0 . D. x . 2 2 Lời giải Chọn A. x k sin x 0 2 sin x – sin x 0 k ¢ sin x 1 x k2 2 Vì 0 x nên nghiệm của phương trình là x . 2 Câu 3. Nghiệm của phương trình sin2 x sin x 0 thỏa điều kiện: x . 2 2 A. x 0 . B. x . C. x . D. x . 3 2 Lời giải Chọn A. x k sin x 0 2 sin x sin x 0 k ¢ sin x 1 x k2 2 Vì x nên nghiệm của phương trình là x 0 . 2 2 Câu 4. Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình: 2sin2 x 7sin x 4 0 là: 4 5 A. B. C. D. 3 6 6 Lời giải Chọn A. 2sin2 x 7sin x 4 0 1 sin x 2 . sin x 4 VN x k2 6 k ¢ 5 x k2 6 5 Vậy tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất là: . 6 6 Câu 5. Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin2 x 3sin x 1 0 thỏa điều kiện 0 x là: 2
  17. 5 A. x B. x C. x D. x 3 2 6 6 Lời giải Chọn C. t 1 2 Đặt t sin x 1 t 1 , phương trình trở thành: 2t 3t 1 0 1 t 2 Với t 1, ta cĩ: sin x 1 x k2 k ¢ . 2 1 Do 0 x nên 0 k2 k 0. Vì k ¢ nên khơng tồn tại k. 2 2 2 4 x k2 1 1 6 Với t , ta cĩ: sin x sin . 2 2 6 5 x k2 6 Do 0 x nên x . 2 6 Vậy phương trình cĩ nghiệm x thỏa điều kiện 0 x . 6 2 Câu 6. Phương trình sin2 x 3sin x 4 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 ,k Z B. x k2 ,k Z 2 C. x k ,k Z D. x k ,k Z 2 Lời giải Chọn A. 2 t 1 Đặt t sin x 1 t 1 , phương trình trở thành: t 3t 4 0 . t 4 (l) Với t 1, ta cĩ: sin x 1 x k2 k ¢ . 2 Câu 7. Trong 0;2 , phương trình sin x 1 cos2 x cĩ tập nghiệm là    A. ; ;2 . B. 0;  . C. 0; ;  . D. 0; ; ;2 . 2  2  2  Lời giải Chọn C. x k sin x 0 2 2 sin x 1 cos x sin x sin x k ¢ . sin x 1 x k2 2  Mà x 0;2 x 0; ;  . 2 
  18. Câu 8. Phương trình: 2sin2 x 3 sin 2x 2 cĩ nghiệm là: x k2 x k 6 6 A. ,k ¢ B. ,k ¢ x k2 x k 2 2 C. x k ,k ¢ D. x k2 ,k ¢ 2 2 Lời giải Chọn B. Ta cĩ : 2 1 cos 2x 2sin x 3 sin 2x 2 2. 3 sin 2x 2 3 sin 2x cos 2x 1 sin 2x sin 2 6 6 2x k2 x k 6 6 2x k2 6 3 k ¢ . 5 2x k2 2x k2 x k 6 6 2 Câu 9. Nghiệm của phương trình sin2 x 4sin x 3 0 là : A. x k2 ,k ¢ B. x k2 ,k ¢ 2 2 C. x k2 ,k ¢ D. x k2 ,k ¢ 2 Lời giải Chọn C. 2 sin x 1 sin x 4sin x 3 0 sin x 3 Với sin x 1 x k2 ,k ¢ 2 Phương trình sin x 3 1 vơ nghiêm. Câu 10. Nghiệm của phương trình 5 5sin x 2cos2 x 0 là A. k ,k ¢ . B. k2 ,k ¢ . C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ . 2 6 Lời giải Chọn C. sin x 1 2 2 2 5 5sin x 2cos x 0 5 5sin x 2 1 sin x 0 2sin x 5sin x 7 0 7 sin x 2 Với sin x 1 x k2 ,k ¢ 2 7 Phương trình sin x 1 vơ nghiêm. 2
  19. 3 Câu 11. Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin2 x 2sin x 0 . 4 5 A. x k2 (k ¢ ) . B. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6 5 C. x k2 ; x k2 (k ¢ ) . D. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6 6 Lời giải Chọn C. 1 sin x 2 3 2 sin x 2sin x 0 4 3 sin x 2 x k2 1 6 Với sin x k ¢ 2 5 x k2 6 3 Phương trình sin x 1 vơ nghiêm. 2 Câu 12. Phương trình 2sin2 x sin x 3 0 cĩ nghiệm là: A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ . 2 2 6 Lời giải Chọn C. sin x 1 2 2sin x sin x 3 0 3 sin x 2 Với sin x 1 x k2 ,k ¢ 2 3 Phương trình sin x 1 vơ nghiêm. 2 Câu 13. Các họ nghiệm của phương trình cos 2x sin x 0 là 2 2 A. k ; k2 ;k ¢ . B. k ; k2 ;k ¢ . 6 3 2 6 3 2 2 2 C. k ; k2 ;k ¢ . D. k ; k2 ;k ¢ . 6 3 2 6 3 2 Lời giải Chọn C.
  20. x k2 2 sin x 1 2 Ta cĩ cos 2x sin x 0 1 2sin x sin x 1 x k2 k ¢ . sin x 6 2 5 x k2 6 Câu 14. Nghiệm của phương trình 2sin2 x – 3sin x 1 0 thỏa điều kiện: 0 x . 2 A. x . B. x . C. x . D. x . 6 4 2 2 Lời giải Chọn A. x k2 2 sin x 1 2 2sin x – 3sin x 1 0 1 x k2 k ¢ sin x 6 2 5 x k2 6 Vì 0 x nên nghiệm của phương trình là x . 2 6 Câu 15. Nghiệm của phương trình 2sin2 x – 5sin x – 3 0 là: 7 5 A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 6 6 3 6 5 C. x k ; x k2 . D. x k2 ; x k2 . 2 4 4 Lời giải Chọn A. sin x 3 1 x k2 2 6 2sin x – 5sin x – 3 0 1 k ¢ . sin x 7 2 x k2 6 Câu 16. Nghiêm của pt sin2 x –sinx 2là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k . 2 2 2 Lời giải Chọn A. Đặt t sin x . Điều kiện t 1 2 2 t 1 ( TM) Phương trình trở thành: t t 2 t t 2 0 t 2 (L) Với t 1 sin x 1 x k2 (k Z). 2
  21. 3 Câu 17. Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin2 x 2sin x 0 . 4 5 A. x k2 (k ¢ ) . B. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6 5 C. x k2 ; x k2 (k ¢ ) . D. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6 6 Lời giải Chọn C. 3 sin x 2 3 2 sin x 2sin x 0 . 4 1 sin x 2 3 3 + sin x vơ nghiệm vì 1. 2 2 x k2 1 6 + sin x sin x sin , k ¢ . 2 6 5 x k2 6 Câu 18. Nghiệm của phương trình cos2 x sin x 1 0 là A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 2 2 C. x k2 ,k ¢ . D. x m k2 ,k ¢ . 2 2 Lời giải Chọn C. cos2 x sin x 1 0 1 sin2 x sin x 1 0 sin2 x sin x 2 0 sin x 1 x k2 ,k ¢ sin x 2(vn) 2 Câu 19. Nghiêm của phương trình sin2 x sin x 2 là A. x k ,k ¢ . B. x k2 ,k ¢ . 2 C. x k2 ,k ¢ . D. x k ,k ¢ . 2 2 Lời giải Chọn C. 2 2 sin x 1 sin x sin x 2 sin x sin x 2 0 x k2 ,k ¢ sin x 2(vn) 2 Câu 20. Phương trình 2sin2 x 3sin x 2 0 cĩ nghiệm là
  22. A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . 2 5 C. k2 ,k ¢ . D. k2 ; k2 ,k ¢ . 2 6 6 Lời giải Chọn D. 1 x k2 2 sin x 6 2sin x 3sin x 2 0 2 ,k ¢ 5 sin x 2(vn) x k2 6 Câu 21. Nghiệm của phương trình lượng giác: 2cos2 x 3sin x 3 0 thõa điều kiện 0 x là: 2 5 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 2 6 6 Lời giải Chọn C. 2cos2 x 3sin x 3 0 2 1 sin2 x 3sin x 3 0 x k sin x 1 2 2sin x 3sin x 1 0 1 x k2 ,k ¢ . sin x 6 2 5 x k2 6 Do 0 x nên ta chọn x . 2 6 Câu 22. Nghiệm của phương trình 1 5sin x 2cos2 x 0 là x k2 x k2 6 6 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . 5 x k2 x k2 6 6 x k2 x k2 3 3 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . 2 x k2 x k2 3 3 Lời giải Chọn B. 1 5sin x 2cos2 x 0 1 5sin x 2 1 sin2 x 0 2sin2 x 5sin x 3 0 1 x k2 sin x 6 2 sin x sin , k ¢ . 6 5 sin x 3 VN x k2 6
  23. Câu 23. Nghiệm của phương trình 5 5sin x 2cos2 x 0 là: A. k ,k ¢ . B. k2 ,k ¢ . C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ . 2 6 Lời giải Chọn C. 5 5sin x 2cos2 x 0 5 5sin x 2 1 sin2 x 0 2sin2 x 5sin x 3 0 . sin x 1 3 x k2 ,k ¢ . sin x VN 2 2 Câu 24. Họ nghiệm của phương trình sin2 2x 2sin2x 1 0 là : A. k . B. k . C. k2 . D. k2 . 4 4 4 4 Lời giải Chọn B. sin2 2x 2sin 2x 1 0 sin 2x 1 2x k2 x k k ¢ . 2 4 Câu 25. Một họ nghiệm của phương trình cos2 2x sin 2x 1 0 là A. k . B. k . C. k . D. k . 2 3 2 2 2 Lời giải Chọn D. 2 2 sin 2x 1 cos 2x sin 2x 1 0 sin 2x sin 2x 0 . sin 2x 0 +) sin 2x 1 2x k2 x k k ¢ . 2 4 k +) sin 2x 0 2x k x k ¢ . 2 Câu 26. Một họ nghiệm của phương trình 2cos 2x 3sin x 1 0 là 1 1 A. arcsin k2 . B. arcsin k2 . 4 4 1 1 1 C. arcsin k . D. arcsin k . 2 2 4 2 4 Lời giải Chọn B. sin x 1 2 2 2cos 2x 3sin x 1 0 2 1 2sin x 3sin x 1 0 4sin x 3sin x 1 1 . sin x 4 +) sin x 1 x k2 k ¢ . 2
  24. 1 x arcsin k2 1 4 +) sin x k ¢ . 4 1 x arcsin k2 4 Câu 27. Nghiệm của phương trình sin2 2x 2sin 2x 1 0 trong khoảng ; là : 3  3  3  3  A. ;  . B. ;  . C. ; . D. ;  . 4 4  4 4  4 4  4 4  Lời giải Chọn B. sin2 2x sin 2x 1 0 sin 2x 1 . 2x k2 x k k ¢ 2 4 x 3 5 k 0 4 Theo đề ra x k k . 4 4 4 k 1 3 x 4 Câu 28. Giải phương trình:sin2 x 2sin x 3 0. A. k . B. k . C. k2 . D. k2 . 2 2 2 Lời giải Chọn C. Phương trình: 2 sin x 1 sin x 2sin x 3 0. . sin x 3 + sin x 1 x k2 k ¢ . 2 + sin x 3 phương trình vơ nghiệm. Câu 29. Giải phương trình 3cos2 x 2cos x 5 0 . A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 2 2 Lời giải Chọn D. 5 Ta cĩ:3cos2 x 2cos x 5 0 cos x 1 hoặc cos x (loại vì 1 cos x 1). 3 Khi đĩ, cos x 1 x k2 k ¢ . Câu 30. Giải phương trình lượng giác 4sin4 x 12cos2 x 7 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 . B. x k . C. x k . D. x k . 4 4 2 4 4
  25. Lời giải Chọn B. Ta cĩ: 4sin4 x 12cos2 x 7 0 4sin4 x 12sin2 x 5 0. x k2 4 1 2 5 3 sin x L sin x x k2 2 2 4 k x , k ¢ . 2 1 1 4 2 sin x sin x x k2 2 2 4 5 x k2 4 5 Câu 31. Phương trình cos 2 x 4cos x cĩ nghiệm là: 3 6 2 x k2 x k2 x k2 x k2 6 6 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 5 x k2 x k2 x k2 x k2 2 2 6 4 Lời giải Chọn A. 5 2 5 cos 2 x 4cos x 1 2sin x 4cos x . 3 6 2 3 2 3 2 2 5 2 3 1 2sin x 4sin x 2sin x 4sin x 0 . 3 3 2 3 3 2 3 sin x x k2 x k2 3 2 3 6 6 sin x sin , k ¢ . 1 3 6 5 sin x x k2 x k2 3 2 3 6 2 Câu 32. Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: cos2 x 4cos x 3 0 . A. x k2 (k ¢ ) . B. x k2 (k ¢ ) . 2 C. x k2 (k ¢ ) . D. x k (k ¢ ) . Lời giải Chọn C. cos x 1 2 cos x 4cos x 3 0 x k2 k ¢ . cos x 3 VN Câu 33. Giải phương trình 2cos2 x 3cos x 1 0  A. x k2 , k ¢ . B. k2 , k2 , k ¢ . 3 3 
  26. C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 3 Lời giải Chọn B. cos x 1 2 2cos x 3cos x 1 0 1 cos x 2 Với cos x 1 x k2 ,k ¢ . 1 Với cos x x k2 ,k ¢ 2 3 Câu 34. Phương trình cos2x 2cos x 11 0 cĩ tập nghiệm là: A. x arccos 3 k2 , k ¢ , x arccos 2 k2 , k ¢ . B.  . C. x arccos 2 k2 , k ¢ . D. x arccos 3 k2 , k ¢ . Lời giải Chọn B. 2 cos x 3 cos2x 2cos x 11 0 2cos x 2cos x 12 0 vơ nghiệm. cos x 2 Câu 35. Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A. sin x 3 0. B. 2cos2 x cos x 1 0 . C. tan x 3 0 . D. 3sin x 2 0 . Lời giải Chọn A. sin x 3 0 sin x 3 1 PT vơ nghiệm. x x Câu 36. Phương trình: sin2 2cos 2 0 cĩ nghiệm là: 3 3 A. x k ,k ¢ B. x k3 ,k ¢ C. x k2 ,k ¢ D. x k6 ,k ¢ Lời giải Chọn D. 2 x x 2 x x 2 x x Ta cĩ: sin 2cos 2 0 1 cos 2cos 2 0 cos 2cos 3 0 . 3 3 3 3 3 3 x cos 1 3 x k2 x k6 k ¢ . x 3 cos 3 (vn) 3 3 Câu 37. Phương trình : cos2 2x cos 2x 0 cĩ nghiệm là 4
  27. 2 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 3 3 C. x k ,k ¢ . D. x k2 ,k ¢ . 6 6 Lời giải Chọn B. 1 cos 2x 2 3 2 cos 2x cos 2x 0 4 3 cos 2x (VN) 2 cos 2x cos 2x k2 x k 3 3 6 Câu 38. Nghiệm của phương trình cos2 x – cosx 0 thỏa điều kiện 0 x : A. x . B. x . C. x . D. x . 6 2 4 2 Lời giải Chọn B. Ta cĩ cos2 x – cosx 0 cos x cosx 1 0 cos x 0 x k 2 k ¢ cosx 1 0 x k2 1 1 k 0 k 2 2 k 0 Với 0 x 2 k ¢ k ¢ x 1 VN 2 0 k2 0 k 2 3 Câu 39. Nghiệm của phương trình cos2 x cos x 0 thỏa điều kiện: x . 2 2 3 3 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 2 2 Lời giải Chọn A. cos x 0 x k 2 cos x cos x 0 2 k ¢ cos x 1 x k2 3 Vì x nên nghiệm của phương trình là x . 2 2 Câu 40. Nghiệm của phương trình 3cos2 x – 8cos x – 5 là: A. x k . B. x k2 . C. x k2 . D. x k2 . 2 Lời giải Chọn B.
  28. cos x 1 3cos2 x – 8cos x – 5 3cos2 x 8cos x 5 0 5 x k2 k ¢ . cos x 1 3 Câu 41. Nghiệm của pt 2cos 2x 2cos x – 2 0 A. x k2 B. x k C. x k2 D. x k 4 4 3 3 Lời giải Chọn A. 2cos 2x 2cos x – 2 0 2 2cos2 x 1 2cos x – 2 0 4cos2 x 2cos x 2 2 0 2 cos x 2 1 2 cos x loai 2 Câu 42. Phương trình 2cos2 x 3cos x 2 0 cĩ nghiệm là A. k2 ,k ¢ . B. k2 ,k ¢ . 6 3 2 C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ . 3 3 Lời giải Chọn B. 1 cos x 2cos2 x 3cos x 2 0 2 x k2 ,k ¢ . 3 cos x 2(vn) Câu 43. Phương trình lượng giác: sin2 x 3cos x 4 0 cĩ nghiệm là A. x k2 ,k ¢ B. x k2 ,k ¢ C. x k ,k ¢ D. Vơ nghiệm 2 6 Lời giải Chọn D. Ta cĩ: sin2 x 3cos x 4 0 (1 cos2 x) 3cos x 4 0 cos2 x 3cos x 3 0 Đặt t cos x 1 t 1 . Phương trình trở thành: t 2 3t 3 0 (pt vơ nghiệm) Vậy phương trình đã cho vơ nghiêm. Câu 44. Phương trình lượng giác: cos2 x 2cos x 3 0 cĩ nghiệm là A. x k2 ,k ¢ B. x 0 C. x k2 ,k ¢ D. Vơ nghiệm 2 Lời giải Chọn A.
  29. 2 t 1 Đặt t cos x 1 t 1 . Phương trình trở thành: t 2t 3 0 t 3 (l) Với t 1 cos x 1 x k2 (k ¢ ). 3 Câu 45. Phương trình sin2 2x 2cos2 x 0 cĩ nghiệm là 4 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 6 4 2 C. x k ,,k ¢ . D. x k ,k ¢ . 3 3 Lời giải Chọn A. 3 3 sin2 2x 2cos2 x 0 1 cos2 2x 1 cos2x+ 0 4 4 3 cos2x = (vn) 2 3 2 cos 2x cos2x 0 2x k2 x k ,k ¢ 4 1 3 6 cos2x = 2 Câu 46. Họ nghiệm của phương trình cos2 2x cos 2x 2 0 là k A. k . B. . C. k2 . D. k2 . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A. 2 cos 2x 1 cos 2x cos 2x 2 0 . cos 2x 2 (VN) cos 2x 1 2x k2 x k k ¢ . 2 Các bạn muốn tải đầy đủ 38 chuyên đề ơn thi 12 file word (hơn 5500 trang) thì liên hệ Câu 47. Họ nghiệm của phương trình 3cos 4x 2cos 2x 5 0 là A. k2 . B. k2 . C. k . D. k2 . 3 3 Lời giải Chọn C. 3cos 4x 2cos 2x 5 0 . cos 2x 1 3 2cos2 2x 1 2cos 2x 5 0 6cos2 2x 2cos 2x 8 0 4 . cos 2x (VN) 3 cos 2x 1 2x k2 x k k ¢ . Câu 48. Các họ nghiệm của phương trình 3sin2 2x 3cos 2x 3 0 là A. k ; k . B. k ; k . C. k ; k . D. k ; k . 4 2 4 2 4 4
  30. Lời giải Chọn A. 3sin2 2x 3cos 2x 3 0 . 2 2 cos 2x 1 3 1 cos 2x 3cos 2x 3 0 3cos 2x 3cos 2x 0 . cos 2x 0 +) cos 2x 1 2x k2 x k k ¢ . k +) cos 2x 0 2x k x k ¢ . 2 4 2 2 3 3 Câu 49. Nghiệm của phương trình 2cos 2x 3cos 2x 5 0 trong khoảng ; là: 3 3 2 2 7 5  7 5  7 5  7 5  A. ; ;  . B. ; ;  . C. ; ;  . D. ; ; . 6 6 6  6 6 6  6 6 6  6 6 6  Lời giải Chọn D. cos 2x 1 2 3 2cos 2x 3cos 2x 5 0 3 3 5 cos 2x Loai . 3 2 cos 2x 1 2x k2 x k k ¢ 3 3 6 7 x 6 k 1 3 3 4 5 Theo đề ra x k k k 0 x . 2 6 2 3 3 6 k 1 5 x 6 Câu 50. Phương trình sin2 x sin2 2x 1 cĩ nghiệm là: x k x k 2 3 2 A. (k ¢ ) . B. . x k x k 6 4 x k 12 3 C. . D. Vơ nghiệm. x k 3 Lời giải Chọn A. Ta cĩ sin2 x sin2 2x 1 1 cos 2x 2(1 cos2 2x) 2 2cos2 2x cos 2x 1 0 .
  31. cos 2x 1 2x k2 x k 2 1 (k ¢ ) . cos 2x 2x k2 2 3 x k 6 Câu 51. Phương trình tan2 x 5tan x 6 0 cĩ nghiệm là: A. x k ;xx arctan( 6) k = k ¢ x = 4 C. x k2 ;xx arctan( 6) k2 = k ¢ x = 4 B. x k ;xx arctan( 6) k2 = k ¢ 4 D. x k ;xx arctan( 6) k = k ¢ . Lời giải Chọn A. 2 t 1 Đặt t tan x , phương trình trở thành: t 5t 6 0 . t 6 Với t 1 ta cĩ tan x 1 x k k ¢ . 4 Với t 6 ta cĩ tan x 6 x arctan 6 k k ¢ . Các bạn muốn tải đầy đủ bộ tài liệu lớp 11 file word ( 3042 trang) thì liên hệ Câu 52. Giải phương trình 3 tan2 x 1 3 tan x 1 0 A. x k , x k , k ¢ . B. x k2 , x k2 , k ¢ . 4 6 3 4 C. x k2 , x k2 , k ¢ . D. x k , x k , k ¢ . 4 6 3 6 Lời giải Chọn A. tan x 1 2 3 tan x 1 3 tan x 1 0 3 tan x 3 Với tan x 1 x k ,k ¢ 4 3 Với tan x x k ,k ¢ 3 6 Câu 53. Phương trình tan x 3cot x 4 (với. k ¢ .) cĩ nghiệm là: A. k2 ,arctan 3 k2 . B. k . 4 4 C. arctan 4 k . D. k ,arctan 3 k . 4
  32. Lời giải Chọn D. Điều kiện x k . tan x 1 x k tan x 3cot x 4 tan2 x 4 tan x 3 0 4 k ¢ . tan x 3 x arctan 3 k Câu 54. Phương trình tan x 2cot x 3 0 cĩ các nghiệm dạng x k2 và x arc tan m k ; 4 k ¢ thì: 1 A. m 1. B. m 2 . C. m . D. m 2 . 2 Lời giải Chọn B. Điều kiện sin x 0 . cos x 0 Ta cĩ: tan x 2cot x 3 0 2 tan x 3 0 tan x tan2 x 3tan x 2 0 tan x 1 tan x 2 x k 4 k ¢ x arctan 2 k Vậy m 2 . 3 Câu 55. Nghiệm của phương trình: 2 tan2 x 3 là: cos x A. x k , k ¢ . B. x 2k 1 , k ¢ . C. x k3 , k ¢ . D. x k , k ¢ . 3 Lời giải Chọn B. Điều kiện: cos x 0 x k k ¢ . 2 1 1 Ta cĩ: 1 tan2 x tan2 x 1 cos2 x cos2 x Do đĩ:
  33. 3 2 tan2 x 3 cos x 1 3 2 2 1 2 3 cos x cos x 1 1 2. 3. 1 0 cos2 x cos x 1 1 cos x 1 1 cos x 2 cos x 1 TM cos x 2 l x k2 k ¢ . Câu 56. Phương trình tan x 3cot x 4 (với k ¢ ) cĩ nghiệm là A. k2 ,arctan 3 k2 . B. k . 4 4 C. arctan 4 k . D. k ,arctan 3 k . 4 Lời giải Chọn D. Đk: sin 2x 0 x k x k . 2 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với. tan x 1 2 x k tan x 4 tan x 3 0 4 k ¢ . tan x 3 x arctan 3 k Câu 57. Phương trình 3 tan2 x 3 3 tan x 3 0 cĩ nghiệm là x k x k x k x k 4 4 4 4 A. . B. . C. . D. . x k x k x k x k 3 3 3 3 Lời giải Chọn A. tan x 1 2 3 tan x 3 3 tan x 3 0 . tan x 3 +) tan x 1 x k k ¢ . 4 +) tan x 3 x k k ¢ . 3 Câu 58. Phương trình 2 tan2 x 3tan x 1 0 cĩ nghiệm là
  34. 1 A. k (k ¢ ) . B. k ; arctan( ) (k ¢ ) . 4 2 1 1 C. k2 , arctan( ) (k ¢ ) . D. k ; arctan( ) k (k ¢ ) . 2 2 4 2 Lời giải Chọn D. 1 1 x arctan k 2 tan x 2 Ta cĩ 2 tan x 3tan x 1 0 2 (k ¢ ) . tan x 1 x k 4 Câu 59. Một họ nghiệm của phương trình tan2 2x 3tan 2x 2 0 là A. k . B. k . C. k . D. k . 8 8 8 2 8 2 Lời giải Chọn D. 2 tan 2x 1 tan 2x 3tan 2x 2 0 . tan 2x 2 k +) tan 2x 1 2x k x k ¢ . 4 8 2 arctan 2 k +) tan 2x 2 2x arctan 2 k x k ¢ . 2 2 Câu 60. Họ nghiệm của phương trình 3tan 2x 2cot 2x 5 0 là 1 2 1 2 A. k . B. k . C. arctan k . D. arctan k . 4 2 4 2 2 3 2 2 3 2 Lời giải Chọn D. ĐK 2x k x k . 2 4 3tan 2x 2cot 2x 5 0 3tan2 2x 5tan 2x 2 0 tan 2x 1 2x k x k 4 8 2 2 k ¢ . tan 2x 2 1 2 3 2x arctan k x arctan k 3 2 3 2 Câu 61. Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 tan2 x 5tan x 3 0 là : 5 A. . B. . C. . D. . 3 4 6 6 Lời giải Chọn B. Dùng chức năng CALC của máy tính để kiểm tra.
  35. Câu 62. Số nghiệm của phương trình 2 tan x 2cot x 3 0 trong khoảng ; là : 2 A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn D. Điều kiện: sin 2x 0 . Phương trình: 2 tan x 2cot x 3 0 . tan x 2 2 2 tan x 3tan x 2 0 1 tan x 2 Dùng đường trịn lượng giác ta thấy trên khoảng ; phương trình cĩ 3 nghiệm. 2 2 Câu 63. Giải phương trình : tan x 2 tan x 1 0. A. k . B. k . C. k2 . D. k . 4 2 4 2 Lời giải Chọn B. Ta cĩ: tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k k ¢ . 4 Câu 64. Nghiệm của phương trình tan x cot x 2 là A. x k2 ,k ¢ . B. x k2 ,k ¢ . 4 4 C. x k ,k ¢ . D. x k ,k ¢ . 4 4 Lời giải Chọn D. tan x cot x 2 Điều kiện: x k 2 1 tan x cot x 2 tan x 2 tan x tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k ,k ¢ 4 tan x 1 Câu 65. Phương trình 2 cot x cĩ nghiệm là: 1 tan x 2 4 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 3 6 2 8 4 12 3 Lời giải Chọn D.
  36. Điều kiện: x k ; x k ,k ¢ 2 4 2 1 tan x.tan tan x 1 2 tan x cot x 4 2 2 1 tan x 2 4 1 tan x tan x tan 4 2 tan x 1 tan x 2 2 tan x 1 tan x 1 tan2 x 1 tan x 5 x k 2 tan x 2 3 12 tan x 4 tan x 1 0 k ¢ tan x 2 3 x k 12 tan x 3 Câu 66. Nghiệm của phương trình 0 là: 2cos x 1   A. S k ,k Z  B. S (2k 1) ,k Z  3  3    C. S k2 ,k Z  D. S k ,k Z  3  3 2  Lời giải Chọn C. tan x 3 0 2cos x 1 1 cos x Điều kiện: 2 . Được biểu diễn trên đường trịn như sau: cos x 0 Phương trình tan x 3 x k k ¢ 3 Nghiệm phương trình được biểu diễn trên đường trịn như sau:
  37. Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là x k2 k ¢ 3 13 Câu 67. Phương trình cos6 x sin6 x cos2 2x cĩ bao nhiêu điểm biểu diễm trên đường trịn lượng giác? 8 A. 3 . B. 4 . C. 8 . D. 6 . Lời giải Chọn C. 13 cos6 x sin6 x cos2 2x 8 13 cos2 x sin2 x cos4 x sin2 x.cos2 x cos4 x cos2 2x 8 13 cos 2x sin2 x cos2 x sin2 x.cos2 x cos2 2x 8 1 2 13 2 cos 2x 1 sin 2x cos 2x 0 4 8 cos 2x 0 1 13 1 1 cos2 2x cos 2x 0 4 8 cos 2x 0 2 2cos 2x 13cos 2x 6 0 cos 2x 0 1 cos 2x 2 x k 4 2 k ¢ x k 6 + Biểu diễn nghiệm trên đường trịn
  38. Suy ra các nghiệm 3 5 7 + Với x k cĩ 4 nghiệm: x ; x ; x ; x 4 2 4 4 4 4 7 + Với x k cĩ 2 nghiệm: x ; x 6 6 6 5 + Với x k cĩ 2 nghiệm: x ; x 6 6 6 Vậy cĩ 8 điểm biểu diễm trên đường trịn lượng giác 3 Câu 68. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3cot x 3 là: sin2 x 5 2 A. .B. .C. . D. . 2 6 6 3 Lời giải Chọn A. Điều kiện: sinx 0 x k k ¢ Phương trình 3 1 cot2 x 3cot x 3 3 cot2 x 3cot x 0 x k cot x 0 2 k ¢ cot x 3 x k 6 Vậy nghiệm âm lớn nhất là 2 x x Câu 69. Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 của phương trình sin4 cos4 1 2sin x là: 2 2 A. 207046 .B. .C 2 06403 D. . 205761 204603 Lời giải Chọn B. 2 2 x 2 x 2 x 2 x Phương trình sin cos 2sin cos 1 2sin x 2 2 2 2 1 2 1 2 sinx 0 1 sin x 1 2sin x sin x 2sin x 0 x k k ¢ 2 2 sinx 4(VN) 2018 0 x 2018 0 kx 2018 0 k k 1,2,3, ,642
  39. Vậy tổng các nghiệm cần tìm là: 642 642 1 S 2 3 642 1 2 3 642 206403 2 (1 sin x cos 2x)sin x 4 1 Câu 70. Phương trình: cos x cĩ các nghiệm dạng x k2 ; 1 tan x 2 x  k2 , ;k Z, ,  thì 2  2 là: 2 35 2 13 2 15 2 A. B. C. D. 36 36 18 18 Lời giải Chọn C. cos x 0 Điều kiện: * tan x 1 (1 sin x cos 2x) 2 sin(x ) Pt 4 cos x sin x cos x cos x (1 sin x 1 2sin2 x) 2 sin(x ) 4 1 2 sin(x ) 4 sin x 1 2 2 2 sin x 2sin x 1 2sin x sin x 1 0 1 sin x 2 x k2 6 Kết hợp điều kiện(*) ta cĩ nghiệm của pt là k Z 5 x k2 6 2 25 2 26 2 13 2 2  2 36 36 36 18 1 1 1 Câu 71. Phương trình cĩ tổng các nghiệm trên (0; ) là: cos x sin 2x sin 4x 2 A. B. C. D. 6 6 3 Lời giải Chọn D.
  40. cos x 0 cos x 0 cos x 0 sin x 1 Điều kiện: sin 2x 0 sin x 0 sin x 0 sin x 0 sin 4x 0 cos 2x 0 2 2 sin x sin x 2 2 1 1 1 Pt cos x 2sin x cos x 4sin x cos x cos 2x 2sin x cos 2x cos 2x 1 0 2sin x(1 2sin2 x) 1 2sin2 x 1 0 2sin x(1 2sin2 x sin x) 0 sin x 1 l x k2 sin x 0 l 6 k Z 2 1 1 2sin x sin x 0 sin x 5 2 x k2 6 5 =>cĩ 2 nghiệm trên (0; ) là x= và x= 6 6 5 Vậy tổng các nghiệm trên (0; ) là: 6 6 4 4 3 Câu 72. Phương trình cos x sin x cos x sin 3x 0 cĩ tổng 2 nghiệm âm lớn nhất liên 4 4 2 tiếp là: 3 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn D. 4 4 3 cos x sin x cos x .sin 3x 0 4 4 2 2 2 1 3 1 2sin x.cos x sin 4x sin 2x 0 2 2 2 2 sin2 2x cos4x sin 2x 3 0 2 sin2 2x 1 2sin2 2x sin 2x 3 0 sin2 2x sin 2x 2 0 sin 2x 2 vn 2x k2 x k k ¢ . sin 2x 1 2 4 3 7 5 Vậy tổng hai nghiệm âm lớn nhất là . 4 4 2 Câu 73. Phương trình 2 2 sin x cos x .cos x 3 cos 2x cĩ nghiệm là: A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 6 6
  41. C. x k2 , k ¢ . D. Vơ nghiệm. 3 Lời giải Chọn D. Ta cĩ: 2 2 sin x cos x .cos x 3 cos 2x 2 2 sin x cos x 2 2 cos2 x 3cos2 x 3sin2 x cos2 x sin2 x sin2 x 2 sin x cos x 2 2 cos2 x 0 tan2 x 2 tan x 2 2 0 (vì cos x 0 khơng là nghiệm của phương trình) Phương trình vơ nghiệm. sin 3x cos3x Câu 74. Giải phương trình 5 sin x cos 2x 3 . 1 2sin 2x A. x k2 , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 3 6 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 3 6 Lời giải Chọn A. 3sin x 4sin3 x 4cos3 x 3cos x pt 5 sin x cos 2x 3 1 2sin 2x 3 sin x cos x 4 sin3 x cos3 x 5 sinx cos 2x 3 1 2sin 2x 1 cos x 5 sin x sin x cos x 2cos2 x 1 3 2cos2 x 5cos x 2 0 2 x k2 3 cos x 2 1 2 Câu 75. Phương trình: 48 1 cot 2x.cot x 0 cĩ các nghiệm là cos4 x sin2 x A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 16 4 12 4 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 8 4 4 4 Lời giải Chọn C. Điều kiện: sin 2x 0 x k . 2 cos 2x.cos x sin 2x.sin x cos 2x x 1 Ta cĩ: 1 cot 2x.cot x sin 2x.sin x 2sin2 x.cos x 2sin2 x Do đĩ, phương trình tương đương:
  42. 1 1 sin4 x cos4 x 1 48 0 48 1 sin2 2x 3sin4 2x cos4 x sin4 x sin x.cos x 4 2 Đặt t sin2 2x , 0 t 1 ( Do điều kiện sin 2x 0 ). Phương trình trở thành: 1 t n 1 2 2 1 t 3t 2 2 t l 3 1 k Suy ra: sin2 2x cos 4x 0 x , k ¢ 2 8 4 Câu 76. Phương trình cos 2x sin2 x 2cos x 1 0 cĩ nghiệm là x k2 A. , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . x k2 3 x k 3 C. x k2 , k ¢ . D. , k ¢ . 3 x k 3 Lời giải Chọn B. cos 2x sin2 x 2cos x 1 0 2cos2 x 1 1 cos2 x 2cos x 1 0 cos2 x 2cos x 1 0 cos x 1 x k2 k ¢ 4 4 3 Câu 77. Phương trình: cos x sin x cos x .sin 3x 0 cĩ nghiệm là: 4 4 2 A. x k2 k ¢ . B. x k3 k ¢ . C. x k4 k ¢ . D. x k k ¢ . 4 Lời giải Chọn D. 4 4 3 1 2 1 3 cos x sin x cos x .sin 3x 0 1 sin 2x sin 4x sin 2x 0 4 4 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 1 sin2 2x cos 4x sin 2x 0 1 sin2 2x 1 2sin2 2x sin 2x 0 2 2 2 2 2 2 1 2 1 sin 2x 1 sin 2x sin 2x 1 0 . 2x 2k x k , k ¢ . 2 2 sin 2x 2 (VN) 2 4 Câu 78. Phương trình sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x tương đương với phương trình: sin x 0 sin x 0 sin x 0 sin x 0 A. . B. . C. 1 . D. 1 . sin x 1 sin x 1 sin x sin x 2 2 Lời giải
  43. Chọn C. Phương trình sin 3x cos 2x 1 sin 3x sin x sin x 0 2sin2 x sin x 0 1 . sin x 2 Câu 79. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x cos 2x 2sin 3xsin 2x 0 trên 0;2  là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A. cos x 1 x k2 2 pt cos5x cos2x cos5x cos x 0 2cos x cos x 1 0 1 cos x x k2 2 3 5  Vì x 0;2  x , , . Vậy tổng các nghiệm là 3 . 3 3  cos4x Câu 80. Số nghiệm của phương trình tan 2x trong khoảng 0; là : cos2x 2 A. 2 . B. 4 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn A. Điều kiện: cos2x 0 sin 2x 1 cos4x Ta cĩ : tan 2x cos4x sin 2x 1 2sin2 2x sin 2x 2sin2 2x sin 2x 1 0 cos2x sin 2x 1 l x k 6 1 k ¢ sin 2x n x k 2 3 Vì x 0; x ; x 2 6 3 cos x cos x 2sin x 3sin x sin x 2 Câu 81. Nghiệm phương trình 1 sin 2x 1 A. x k2 . k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 4 3 C. x k2 , x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 4 4 4 Lời giải Chọn D.
  44. x k2 4 Điều kiện sin 2x 1 0 x k 4 3 x k2 4 pt cos2 x 2cos x.sin x 3sin2 x 3 2 sin x sin 2x 1 2sin2 x 3 2 sin x 1 0 2 x k2 sin x 4 2 x k2 5 4 sin x 2 x k2 l 4 Câu 82. Cho phương trình cos5x cos x cos4x cos2x 3cos2 x 1. Các nghiệm thuộc khoảng ; của phương trình là: 2 2 A. , . B. , . C. , . D. , . 3 3 3 3 2 4 2 2 Lời giải Chọn D. Phương trình cos5x cos x cos4x cos2x 3cos2 x 1 1 1 cos6x cos4x cos6x cos2x 3cos2 x 1 cos4x cos2x 6cos2 x 2 2 2 2cos2 2x 1 cos2x 3 3cos2x 2 2 cos2x 1 2cos 2x 4cos2x 6 0 x k ,k ¢ . cos2x 3(PTVN ) 2 Vậy các nghiệm thuộc khoảng ; của phương trình là x , x . 2 2 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (casio 570 VN Plus, ), kiểm tra giá trị x , x của 2 2 đáp án D thỏa. 4 4 4 5 Câu 83. Phương trình: sin x sin x sin x cĩ nghiệm là: 4 4 4 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k2 . 8 4 4 2 2 Lời giải Chọn B. 4 4 4 5 sin x sin x sin x 4 4 4 2 2 1 2 1 1 5 1 cos2x 1 cos 2x 1 cos 2x 4 4 2 4 2 4 1 cos2x 2 1 sin 2x 2 1 sin 2x 2 5
  45. 1 2cos2x cos2 2x 1 2sin 2x sin2 2x 1 2sin 2x sin2 2 5 2 2 cos 2x 0 2cos 2x sin 2x 1 0 cos 2x 2cos 2x 0 x k ,k ¢ . cos 2x 2(PTVN) 4 2 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ). Câu 84. Phương trình: cos 2x cos 2x 4sin x 2 2 1 sin x cĩ nghiệm là: 4 4 x k2 x k2 x k2 x k2 12 6 3 4 A. . B. . C. . D. . 11 5 2 3 x k2 x k2 x k2 x k2 12 6 3 4 Lời giải Chọn B. cos 2x cos 2x 4sin x 2 2 1 sin x 4 4 1 1 cos2x sin 2x sin 2x cos2x 4sin x 2 2 1 sin x 2 2 2 cos2x 4sin x 2 2 1 sin x 2 1 2sin2 x 4sin x 2 2 1 sin x 0 2 2 sin2 x 4 2 sin x 2 0 sin x 2 PTVN x k2 6 1 k ¢ sin x 5 x k2 2 6 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ). Kiểm tra giá trị x của đáp án A, x của đáp án C, x của đáp án D đều khơng thỏa phương 12 3 4 trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra khơng thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị x của đáp án B thỏa phương trình. 6 Kiểm tra giá trị x của đáp án A, x của đáp án C, x của đáp án D đều khơng thỏa phương 8 2 trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra khơng thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị x của đáp án B thỏa phương trình. 4 sin 3x cos3x 3 cos2x Câu 85. Cho phương trình: sin x . Các nghiệm của phương trình thuộc 1 2sin 2x 5 khoảng 0;2 là:
  46. 5 5 5 5 A. , . B. , . C. , . D. , . 12 12 6 6 4 4 3 3 Lời giải Chọn D. 1 Điều kiện: sin 2x . Phương trình đã cho tương đương: 2 3sin x 4sin3 x 4cos3 x 3cos x 3 cos2x sin x 1 2sin 2x 5 3 3 3 sin x cos x 4 sin x cos x 3 cos2x sin x 1 2sin 2x 5 3 sin x cos x 4 sin x cos x 1 sin x.cos x 3 cos2x sin x 1 2sin 2x 5 sin x cos x 1 4sin x.cos x 3 cos2x sin x 1 2sin 2x 5 sin x cos x 1 2sin 2x 3 cos2x sin x 1 2sin 2x 5 3 cos2x sin x sin x cos x 5cos x 3 cos2x 5 1 cos x 2cos2 x 5cos x 2 0 2 x k2 ,k ¢ . 3 cos x 2 PTVN 5 Vì các nghiệm của phương trình thuộc khoảng 0;2 nên nghiệm của phương trình là x , x . 3 3 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ), kiểm tra các giá trị 5 x , x của đáp án D đều thỏa phương trình. 3 3 Câu 86. Phương trình 2sin x 1 sin x m 0 ( m là tham số) cĩ nghiệm trên 0; khi: A. m ¡ . B. m  . C. m 0;1. D. m 0;1 . Lời giải Chọn C. 2sin x 1 sin x m 0 * cĩ nghiệm thuộc 0; 1 sin x 1 2 sin x m 2 Giải 1 sin x sin 6
  47. x k2 6 k Z 7 x k2 6 PT (1) khơng cĩ nghiệm nào thuộc 0; (*) cĩ nghiệm 0; sin x m cĩ nghiệm 0; m 0;1. Chú ý: cĩ thể dùng tính chất vi-et của phương trình bậc 2 để giải 2 Câu 87. Tìm m để phương trình 2sin x 2m 1 sin x m 0 cĩ nghiệm x ;0 . 2 A. 1 m 0. B. 1 m 2. C. 1 m 0. D. m ¡ . Lời giải Chọn D. Với x ;0 1 sin x 0 2 1 sin x 2sin2 x 2m 1 sin x m 0 2 sin x m x k2 1 6 sin x k Z cĩ nghiệm ;0 2 7 6 2 x k2 6 Vậy phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi m Câu 88. Các giá trị của m a;b để phương trình cos 2x sin2 x 3cos x m 5 cĩ nghiệm thì: A. a b 2 . B. a b 12 . C. a b 8 . D. a b 8 . Lời giải Chọn C. cos 2x sin2 x 3cos x m 5(*) 2cos2 x 1 1 cos2 x 3cos x m 5 0 cos2 x 3cos x m 5 Đặt cos x t  1;1 , phương trình t 2 3t m 5
  48. Bảng biến thiên: => Phương trình (*) cĩ nghiệm 2 m 5 4 7 m 1. Vậy a b 8 Chú ý: cĩ thể dùng tính chất vi-et của phương trình bậc 2 để giải. Câu 89. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2022 để phương trình 3 3tan2 x tan x cot x m cĩ nghiệm ? sin2 x A. 2022 . B. 2020 . C. 2010 . D. 2015 . Lời giải Chọn D. 3 3tan2 x tanx cot x m sin2 x 3 1 cot2 x 3tan2 x tan x cot x 3 m 0 3 tan2 x cot2 x tan x cot x 3 m 0 Đặt t tan x cot x t 2 2 tan2 x cot2 x t 2 2 => Yêu cầu bài tốn trở thành tìm m để phương trình 3 t 2 t 3 m 0 cĩ nghiệm t 2 t ; 22; m 3t 2 t 3 cĩ nghiệm t ; 22; Bảng biến thiên: => Phương trình cĩ nghiệm m 7 Vậy cĩ 2015 giá trị của m nhỏ hơn 2022 Chú ý: cĩ thể dùng tính chất vi-et của phương trình bậc 2 để giải. Câu 90. Phương trình sin6 x cos6 x 3sin x cos x m 2 0 cĩ nghiệm khi m a;b thì tích a.b bằng:
  49. 9 9 45 15 A. . B. . C. . D. . 4 2 16 4 Lời giải Chọn C. sin6 x cos6 x 3sin x.cos x m 2 0 3 3 1 sin2 2x sin 2x m 2 0 (*) 4 2 4m 3sin2 2x 6sin 2x 12 Đặt t sin 2x,t  1;1 . Xét f t 3t 2 6t 12 trên  1;1 . 3 15 Suy ra (*) cĩ nghiệm 3 4m 15 m . 4 4 45 Vậy ab . 16 Chú ý: cĩ thể dùng tính chất vi-et của phương trình bậc 2 để giải. Câu 91. Phương trình cos 2020x 9cos 1010x m 2 0 cĩ hai nghiệm khi m a;b thì tích a.b bằng: 567 891 891 219 A. a.b . B. a.b . C. a.b . D. a.b . 8 8 8 4 Câu 92. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin2 x m2 3 sin x m2 4 0 cĩ hai 3 nghiệm thuộc ;2 ? 2 A. 1. B. 2 . C. Vơ số. D. Khơng cĩ m . Lời giải Chọn D. sin x 1 sin2 x m2 3 sin x m2 4 0 2 sin x 4 m + Với sin x 1 x k2 k ¢ 2
  50. 3 3 cĩ 1 nghiệm x ;2 2 2 3 2 3 3 + Phương trình cĩ 2 nghiệm ;2 sin x m 4 cĩ 1 nghiệm ;2 khác . 2 2 2 3 Câu 93. Giá trị của m để phương trình cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 cĩ nghiệm trên ; là 2 2 m a;b thì a b là: A. 0 . B. 1. C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn B. 1 2 cos x cos2x 2m 1 cos x m 1 0 2cos x 2m 1 cos x m 0 2 cos x m 3 1 3 x ; cos x  1;0 cos x khơng cĩ nghiệm thỏa mãn ; . 2 2 2 2 2 3 Phương trình cĩ nghiệm trên ; 1 m 0 a b 1. 2 2 Câu 94. Phương trình cos 2x 2m 1 sin x m 1 0 cĩ nghiệm trên ; khi tất cả các giá trị thỏa 2 mãn: A. m  . B. m ¡ . C. m  1;1. D. m 1;1 . Lời giải Chọn B. cos 2x 2m 1 sin m 1 0 1 2sin2 x 2msin x sin x m 1 0 2sin x m sin x m sin x 0 1 sin x (1) sin x m 2sin x 1 0 2 sin x m(2)
  51. 1 Giải (1): sin x luơn cĩ 2 nghiệm ; 2 2 m phương trình cĩ nghiệm. Câu 95. Phương trình tan2 x 2m tan x 1 0 cĩ nghiệm khi và chỉ khi: m 1 A. m 1 B. C. 1 m 1 D. m 4 m 1 3 Câu 96. Với giá trị nào của m thì phương trình cos 2x (2m 1)cos x m 1 0 cĩ nghiệm x ; 2 2 ? 1 1 A. 0 m 1 B. 1 m 0 C. m 1 D. 1 m 2 2 Câu 97. Tìm m để phương trình cos 2x (2m 1)cos x 2m 0 cĩ nghiệm x ; . 2 2 1 m 1 1 1 2 1 A. m 1 B. m C. D. m 1 2 2 2 1 3 m 2 Câu 98. Phương trình: cos 2x (2m 1)sin x m 1 0 (*) . Tìm m để phương trình (*) cĩ nghiệm trên khoảng ;2 . A. 1 m 0 B. 1 m 0 C. 1 m 0 D. 1 m 0 Câu 99. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn 10 của m để phương trình 2 2cos x 1 2cos 2x 2cos x m 3 4sin x cĩ hai nghiệm thuộc ; ? 2 2 A. 7 . B. 6 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A. PT 2cos x 1 2cos 2x 2cos x m 3 4sin2 x cĩ đúng hai nghiệm ; 2 2 2cos x 1 4cos2 x 2 2cos x m 2cos x 1 2cos x 1 2cos x 1 4cos2 x 3 m 0 1 cos x (1) 2cos x 1 0 2 4cos2 x 3 m 0 m 3 cos2 x (2) 4
  52. 1 Giải (1): cos x cĩ hai nghiệm thuộc ; 2 2 2 => Phương trình cĩ hai nghiệm thuộc ; 2 2 m 3 1 4 m 1 1 m 3 (2) vơ nghiệm hoặc (2) cos x 0 m 3 2 4 m 2 m 3 1 4 4 Vậy cĩ 7 giá trị của m thỏa mãn. Chú ý: cos2 x 0;1x R Câu 100.Xác định m để phương trình (3cosx – 2)(2cosx + 3m – 1) = 0 (1) cĩ đúng 3 nghiệm phân biệt 3 x 0 ; . 2 1 1 m 1 A. m 1 B. m 1 C. 3 D. m 1 3 3 m 1 Câu 101.Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3 3 2 sin x m 3 cos x 2sin x m cĩ nghiệm? 3 A. 4 . B. 6 . C. 5 . D. vơ số. Câu 102.Xác đinh m để hai phương trình sau tương đương: 2cos x.cos 2x 1 cos 2x cos3x 1 4cos3 x mcos x 4 m 1 cos 2x 4cos2 x 3cos x 2 m 3 m 3 m 3 m 1 m 4 m 4 A. m 4 B. C. D. m 4 m 1 m 1 m 1 m 5 m 5 m 5 1 4 tan x Câu 103. Cho phương trình cos4x m . Để phương trình vơ nghiệm, các giá trị của tham số m 2 1 tan2 x phải thỏa mãn điều kiện: 5 3 5 3 A. m 0 . B. 0 m 1. C. 1 m . D. m hay m . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D.
  53. Điều kiện x k , k ¢ . 2 1 4 tan x 1 cos4x m cos4x 4 tan x.cos2 x m cos4x 8sin x.cos x 2m . 2 1 tan2 x 2 1 2sin2 2x 4sin 2x 2m 2sin2 2x 4sin 2x 2m 1 0 1 Đặt t sin 2x t 1;1 \ 0. 1 trở thành 2t2 4t 2m 1 0 2 , 4 4m 2 6 4m . Ta xét 1 cĩ nghiệm, tức là 2 cĩ nghiệm to  1;1 . 3 Nếu 0 m . 2 cĩ nghiệm kép là t 1 , loại do t 1  1;1 \ 0. 2 3 Nếu 0 m . 2 1 Nếu 2 cĩ nghiệm t 0 m nghiệm cịn lại là t 2  1;1 \ 0. 2 2 6 4m 1 1 a 1 1 t1 1 2 Khi m thì 2 phải cĩ hai nghiệm thoả 2 1 t2 1 2 6 4m 1 1 b 2 5 m 2 6 4m 2 6 4m 4 2 5 3 Giải a , a m . 3 2 2 2 6 4m 2 6 4m 0 m 2 2 6 4m 2 6 4m 4 Giải b , b m  . 2 6 4m 2 6 4m 0 5 3 Khi đĩ, 1 cĩ nghiệm khi m . 2 2 5 3 Vậy 1 vơ nghiệm khi m hoặc m . 2 2 Câu 104.Để phương trình: sin2 x 2 m 1 sin x 3m m 2 0 cĩ nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là: 1 1 1 1 2 m 1 1 m 1 m m A. 2 2 . B. 3 3 . C. . D. . 0 m 1 3 m 4 1 m 2 1 m 3 Lời giải Chọn B. Đặt t sin x . Điều kiện t  1;1 . Phương trình trở thành: t2 2 m 1 t 3m m 2 0 (1). Đặt f t t2 2 m 1 t 3m m 2 .
  54. Phương trình cĩ nghiệm thuộc đoạn  1;1 (1) cĩ một nghiệm thuộc  1;1 hoặc cĩ hai nghiệm thuộc  1;1 0 f 1 0 f 1 . f 1 0 hoặc f 1 0 S 1 1 2 4m2 4m 1 0 2 2 2 3m 8m 3 0 3m 8m 3 3m 4m 1 0 hoặc 2 3m 4m 1 0 1 m 1 1 m ¡ 1 1 1 m 1 1 1 m 3 m 3 3 hoặc 3 3 hoặc m  1 1 m 3 m 3 1 m 3 3 2 m 0 1 1 Vậy m hoặc 1 m 3 . 3 3 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ), kiểm tra giá trị trong khoảng như 4 3;4 ở đáp án D khơng thoả, 3 1;3 ở đáp án B thì phương trình cĩ nghiệm. Vậy chọn đáp án B. Câu 105.Để phương trình sin6 x cos6 x a |sin2x | cĩ nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 3 1 1 A. 0 a . B. a . C. a . D. a . 8 8 8 4 4 Lời giải Chọn D. 3 sin6 x cos6 x a |sin2x | sin2 x cos2 x 3sin2 x.cos2 x. sin2 x cos2 x a sin 2x 3 1 3sin2 x.cos2 x a sin 2x . 1 sin2 2x a sin 2x . 4 2 3 sin 2x 4a sin 2x 4 0 1 . Đặt t sin 2x 0 t 1 1 trở thành 3t2 4at 4 0 2 . Để phương trình 1 cĩ nghiệm thì phương trình 2 phải cĩ nghiệm trong đoạn 0;1. 2 4a 12 0a ¡ Xét phương trình 2 , ta cĩ: , nên 2 luơn cĩ hai nghiệm phân biệt trái dấu. 3. 4 0
  55. 2a 4a2 12 t 0 1 3 Do đĩ các nghiệm t1,t2 t1 t2 thoả 2a 4a2 12 t 0 1 2 3 2a 4a2 12 0 2a 4a2 12 0 a 2 2 2a 4a 12 0 4a 12 2a b . 2a 4a2 12 3 4a2 12 3 2a c Xét a , 2a 4a2 12 2a 4a2 2a 2a 2a 2a 0 2a 4a2 12 0 a ¡ . 4a2 12 0 2a 0 Xét b , b 4a2 12 0 a ¡ . 2a 0 2 2 4a 12 4a 2 3 4a 12 0 a 2 1 Xét c , c 3 2a 0 a 1 4 4a2 12 9 12a 4a2 a 4 Câu 106.Cho phương trình: 4 sin4 x cos4 x 8 sin6 x cos6 x 4sin2 4x m trong đĩ m là tham số. Để phương trình là vơ nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: 3 A. 1 m 0. B. m 1. 2 3 25 C. 2 m . D. m hay m 0. 2 4 Lời giải Chọn D. 4 sin4 x cos4 x 8 sin6 x cos6 x 4sin2 4x m 1 2 3 2 2 4 1 sin 2x 8 1 sin 2x 4 1 cos 4x m 2 4 4cos2 4x 4sin2 2x 8 m 0 4cos2 4x 2cos4x 6 m 0 1 Đặt t cos4x t  1;1 . 1 trở thành 4t2 2t 6 m 0 2 , 25 4m . Để tìm m sao cho 1 vơ nghiệm, ta sẽ tìm m sao cho 1 cĩ nghiệm rồi sau đĩ phủ định lại. 1 cĩ nghiệm thì 2 phải cĩ nghiệm thoả to  1;1 . 25 1 25 Nếu 0 m , 2 cĩ nghiệm kép t  1;1 , nên m thoả 1 cĩ nghiệm. 4 4 4
  56. 25 1 t1 1 Nếu 0 m , khi đĩ 2 phải cĩ hai nghiệm phân biệt thoả 4 1 t2 1 1 25 4m 1 1 a 4 . 1 25 4m 1 1 b 4 m 0 1 25 4m 4 25 4m 5 25 Giải a , a 25 m 0 1 25 4m 4 25 4m 3 m 4 4 1 25 4m 4 25 4m 5 25 4m 0 25 Giải b , b m 4 1 25 4m 4 25 4m 3 25 4m 9 4 25 Kết hợp lại, 1 cĩ nghiệm khi m 0 . 4 25 Do đĩ 1 vơ nghiệm khi m hoặc m 0. 4 CÁCH KHÁC: Bài tĩan đã cho trở thành tìm m sao cho phương trình 4t2 2t 6 m (*) khơng cĩ nghiệm t  1;1 . 2 P : y 4t 2t 6 Đặt d : y m Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của P và d . Phương trình (*) khơng cĩ nghiệm t  1;1 khi chỉ khi P và d khơng giao nhau trong  1;1 . 25 Dựa vào đồ thị ta cĩ m hoặc m 0. 4
  57. sin6 x cos6 x Câu 107.Cho phương trình: 2m.tan 2x , trong đĩ m là tham số. Để phương trình cĩ cos2 x sin2 x nghiệm, các giá trị thích hợp của m là 1 1 1 1 A. m hay m . B. m hay m . 8 8 4 4 1 1 1 1 C. m hay m . D. m hay m . 8 8 4 4 Lời giải Chọn C. Điều kiện: cos 2x 0 3 1 sin2 2x sin 2x pt 4 2m 3sin2 2x 8msin2 2x 4 0 1 cos 2x cos 2x Đặt t sin 2x, 1 t 1 . Phương trình trở thành: 4m 16m2 12 t1 2 3 3t 8mt 4 0 . 4m 16m2 12 t 2 3 Vì a.c 0 Phương trình 2 luơn cĩ hai nghiệm trái dấu t2 0 t1. 4m 16m2 12 1 1 2 m 3 16m 12 3 4m 8 Do đĩ 1 cĩ nghiệm 2 2 1 4m 16m 12 16m 12 3 4m m 1 3 8