Bài tập Toán Lớp 6: Tính giá trị biểu thức - Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 6: Tính giá trị biểu thức - Lũy thừa với số mũ tự nhiên

1. BÀI TẬP PHẦN TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài 1: So sánh các số sau: 1) 714 và 507 2) 530 và 12410 3) 921 và 7297 108 2 108 4) 3111 và 1714 5) So sánh: A với ? 108 1 108 3 6) Cho A = 3 + 22 + 23 + 24 + + 22010 và B = 22011 So sánh A và B. HD: A = 3 + 22 + 23 + 24 + + 22010 = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 22009 + 22010 2A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + + 22010 + 22011 A = 2A – A = 22011 – 1 3150 mà 3150 = 32.75 = 975 975 > 875 nên: 3150 > 2225 .Vậy: 3151 > 3150 > 2225 23.33.53.7.8 Bài 2: 1) Rút gọn phân số sau: 3.24.53.14 2) Chứng tỏ rằng: a) Giá trị của biểu thức A = 5 + 52 + 53 + 54 + + 58 chia hết cho 30. b) Giá trị của biểu thức B = 3 + 33 + 35 + 37 + + 329 chia hết cho 273 / Ta có A = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 57 + 58 = (5 + 52) + 52(5 + 52) + 54(5 + 52) + 56(5 + 52) = 30 + 52.30 + 54.30 +56 .30 = 30 . ( 1 + 52 + 54 +56) 30 Vậy A = 5 + 52 + 53 + 54 + + 58 chia hết cho 30. b) Ta có B = 3 + 33 + 35 + 37 + + 329 = (3 + 33 + 35) + ( 37 + 39 + 311) + + ( 325 + 327 + 329) = 273 + 36 (3 + 33 + 35) + + 324(3 + 33 + 35) = 273 + 36 . 273 + + 324 . 273 = 273 . (1 + 36 + + 324) 273 Vậy B = 3 + 33 + 35 + 37 + + 329 chia hết cho 273 3) Cho biểu thức:M = 1 +3 + 32+ 33 + + 3118+ 3119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? HD: 3a) M = 1 +3 + 32+ + .+ 3118 + 3119 3M = 3.(1 +3 + 32+ + + 3118 + 3119 ) = 3 + 32 + .+ 3119 + 3120 3M- M =(3 + 32 + + 3119 + 3120 ) - (1 +3 + 32+ + .+ 3118 + 3119 ) 3120 1 2M = 3120 – 1→ M 2 3b) *) M = 1 +3 + 32+ + + 3118 + 3119 = (1 +3 + 32)+( 33+34+35)+ +(3117 +3118+ 3119 ) = (1 +3 + 32)+33(1 +3 + 32)+ +3117(1 +3 + 32) = 13 + 33.13 + + 3117. 13 = 13( 1+ 33 + + 3117) Vậy M chia hết cho 13. *) M = 1 +3 + 32+ + .+ 3118 + 3119 = (1 +3 + 32+33) +(34+35+36+37) + +( 3116+3117 +3118+ 3119 ) = (1 +3 + 32+33)+34(1 +3 + 32+33)+ +3116(1 +3 + 32+33) 4 116 4 116 = 40 + 3 .40 + +3 .40 = 40(1+3 + + 3 )Vậy M 40 , mà 405 nên M 5 4) Tính:A = 2100- 299- 298- 297 - - 22 - 2 – 1 A = 2100 – ( 299 + 298 + + 2 + 1) Đặt B = 299 + 298 + 297 + + 22 + 2 + 1 Ta có: 2B =2(299 + 298 + 297 + + 22 + 2 + 1) = 2100 +299 + + 22+ 2 2B - B = (2100 +299 + + 22+ 2) – (299 + 298 + + 2 + 1)→ B = 2100 – 1 Vậy A= 2100 – (2100 – 1) = 1
2. 6) Cho D 2 22 23 24 220 a. Chứng minh D chia hết cho 5. b) Tìm chữ số tận cùng của D. a) Chứng tỏ rằng D chia hết cho 5: D = 2(1 + 2+ 22 + 23 )+ 25(1 + 2+ 22 + 23 )+29(1 + 2+ 22 + 23 )+ +213(1 + 2+ 22 + 23 ) +217(1 + 2+ 22 + 23 ) =(1 + 2+ 22 + 23 )(2 + 25+29 +213 +217) = 15(2 + 25+29 +213 +217) = 5.3. (2 + 25+29 +213 +217) Kết luận D chia hết cho 5. Tìm chữ số tận cùng của D:) - D chia hết cho 2 do D là tổng của các số chia hết cho 2. - D chia hết cho 5 nên Dcó chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. - D vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 nên có chữ số tận cùng là 0. Bài 3: Chứng tỏ rằng tổng của hai số tự nhiên (aaa bbb ) chia hết cho 37 Ta có: aaa bbb = 111 . a + 111 . b = 111. ( a + b) = 37 . 3 ( a + b ) 37 1 5 1 2 2) Tính: A= 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 B = 14: (4 2 ) + 14.  12 8 4 3 5.415.99 4.320.89 1 1 1 1 C= 9 19 29 6 D= 1 1 1 1 5.2 .6 7.2 .27 1.3 2.4 3.5 2014.2016 A = 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 = 72(21 – 11 + 90) + 49.125.16 = 49. 100 + 49. 100. 20 = 49.100(1 + 20) = 49.100.21 15 9 20 9 5.4 .9 4.3 .8 5 .2 3 0.3 1 8 2 2.3 2 0.2 2 7 229.318 (5.2 32 ) C= = 2 5.29.619 7.229.276 5 .2 9.2 1 9.3 1 9 7 .2 2 9.3 1 8 228.318 (5.3 7.2) = 1 1 1 1 22 32 42 20152 D= 1 1 1 1 . . 1.3 2.4 3.5 2014.2016 1.3 2.4 3.5 2014.2016 (2.3.4 2015).(2.3.4 2015) 2015.2 2015 (1.2.3 2014).(3.4.5 2016) 2016 1008 1 1 1 1 1 1 Bài 4: 1) Tính tổng: S 2 6 12 20 2352 2450 1 1 1 1 1 1 2) Tính tích sau: P 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 99 100 1 1 1 1 1 1 HD: 1) Tính tổng: S 2 6 12 20 2352 2450 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 1.2 2.3 3.4 48.49 49.50 1 2 2 3 3 4 49 50 1 49 S 1 → S 50 50 1 1 1 1 1 1 2) Tính tích: P 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 99 100 1 2 3 4 98 99 1.2.3.4 98.99 1 P . . . . →P → P 2 3 4 5 99 100 2.3.4.5 99.100 100 3) Tính giá trị của các biểu thức: 3 3 3 3 3 A 5.8 8.11 11.14 2009.2012 2012.2015 1 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 2 3 4 2014 2015 HD
3. 3 3 3 3 3 A 5.8 8.11 11.14 2009.2012 2012.2015 8 5 11 8 14 11 2012 2009 2015 2012 5.8 8.11 11.14 2009.2012 2012.2015 8 5 11 8 2009 2015 2012 5.8 5.8 8.11 8.11 2009.2012 2012.2015 2012.2015 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 403 1 402 5 8 8 11 11 14 2009 2012 2012 2015 5 2015 2015 2015 1 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 2 3 4 2014 2015 2 1 3 1 4 1 2014 1 2015 1 1.2.3 2013.2014 1 2 3 4 2014 2015 2.3.4.5 2014.2015 2015 2 3 63 2 3 2000 Bài 5: 1) Thu gọn S1 = 1 + 2 + 2 + 2 + + 2 S2 = 1 +3 + 3 + 3 + + 3 2) Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29; B = 5.28. Hãy so sánh A và B 2 3 4 5 6 2004 3). Cho S = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 . Chứng minh S  126 và S  65. Bài 6. Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào? Bài 7: 1) Tìm hai số, biết: a) Tổng hai số bằng 361 và số lớn chia số nhỏ được thương là 9 và số dư là 11. b) Hiệu hai số là 578 và số lớn chia số nhỏ được thương là 8 và dư là 53. c) Cho n 7a5 8b4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b. 2) Tìm số tự nhiên x biết : a. x (x 1) (x 2)  (x 2010) 2029099 b. 2 4 6 8  2x 210 HD: a/ Giả sử hai số cần tìm là a và b với a > b , ta có: Tổng hai số bằng 361, do đó; a + b = 361 ( 1) Số lớn chia số nhỏ được thương là 9 và dư 11, do đó: a = 9 . b + 11 ( 2) Thay ( 2) vào (1), ta được: 9 . b + 11 + b = 361 9b b 361 11 350 10.b 350 b 350 :10 35. Vậy b = 35 suy ra a = 9 . 35 +11 = 326 b) Giả sử hai số cần tìm là a và b với a > b , ta có: Hiệu hai số bằng 578, do đó; a - b = 578 ( 1) Số lớn chia số nhỏ được thương là 8 và dư 53, do đó: a = 8 . b + 53 ( 2) Thay ( 2) vào (1), ta được: 8 . b + 53 - b = 578 7b 578 53 525 b 525 : 5 75 Vậy b = 35 suy ra a = 578 + 75 = 653 5) Tìm các số a, b để n = 7a5 8b4  9 . Ta có: n = 7a5 8b4  9 7 a 5 8 b 4  9 24 a b9 a b 3;12 (vì a + b 3. Do đó a + b = 12. Kết hợp với a – b = 6, suy ra a = 9, b = 3. PHẦN 2: n Bài 1: Cho A y / y 2 20;n  a) Viết tập hợp A dưới dạng liệt kê b) Viết tập hợp Bchứa các phần tử thuộc A là các số chính phương c) Tập hợp B có bao nhiêu tập hợp con Bài 2: Cho tập hợp A x / 58 x 68; x2 a) Viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử và cho biết tập hợp A có bao nhiêu phần tử. b) Viết các tập hợp con của A. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con? Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức: 3 3 3 3 3 1) A C = 273.31 727.69 273.38 5.8 8.11 11.14 2009.2012 2012.2015
4. 1 1 1 1 1 17 16 2) B 1 1 1 1 1 D = 4 64 : 4 16 2 3 4 2014 2015 2 a) 42 : 175: 345 145:35.5 b) 23.15 120 15 8 3)   11 10 2011 0 4) a)99 204 : 6 12.14 b)20 : 20 1 200 c) 5. 25:5 5 5 :5 d) 4,25. 58,47 – 125 + 41,53 . 4,25 1 1 1 1 e) 1+ (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 20) 2 3 4 20 Bài 3: 1) Tìm các số tự nhiên x; y biết: 2x. 3y 2 (3y 2) 55 2) Tìm các số tự nhiên x biết: 1) 2 . 52 . 32 + {[2 . 53 - (5. x + 4) . 5] : (22 . 3 . 5)} = 453 2): 3x 3.9 243 3 ) x 25 207 150 b) 7272 : 12x 91 2332 x x 1 2 9 4) 3x 2 :8 4 5 ) 3 .9 3 2 .3 6) x+2x+3x+4x=100 Bài 4: 1) Vẽ đ. thẳng chứa ba điểm A, B, C (theo thứ tự). Nêu các cách gọi tên đ. thẳng trên? 2) Cho trước 6 điểm A; B; C; D; E; F trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ một đường thẳng, số đường thẳng kẻ được là bao nhiêu? 3) Cho trước 6 điểm A; B; C; D; E; F trong đó đúng ba điểm nào thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ một đường thẳng, số đường thẳng kẻ được là bao nhiêu? 4) Cho trước n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ một đường thẳng. Số đường thẳng kẻ được là bao nhiêu? 5) Cho trước n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ một đường thẳng. Biết tổng số đường thẳng vẽ được là 15. Số điểm cho trước là bao nhiêu? Bài 5: Khi chia số tự nhiên a cho 24 được số dư là 9. Hỏi số A có chia hết cho 4 không? Bài 6: a) Thay a, b bởi các chữ số thích hợp để số 2a3b chia hết cho cả 2,3 và 5. b) Chứng tỏ rằng: 2 22 23 24 290 chia hết cho 7. c) Số tự nhiên a chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4. Số a chia cho 91 thì dư bao nhiêu? e) Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15. 2n 2 5n 17 3n d) Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên: B = n 2 n 2 n 2 Bài 7: Hai người đi mua gạo. Người thứ nhất mua gạo nếp , người thứ hai mua gạo tẻ. Giá gạo tẻ rẻ hơn giá g ạo nếp là 20%. Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều hơn khối lượng gạo nếp là 20%. Hỏi người nào trả tiền ít hơn? ít hơn mấy % so với người kia? 2n 9 5 n 17 3n 2n 9 5n 17 3n 4n 26 B = n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 4n 26 4(n 2) 18 18 4 HD một số bài: B = n 2 n 2 n 2 18 Để B là số tự nhiên thì là số tự nhiên 18 (n+2) => n+2 ư ( 18) = 1;2;3;6;9;18 n 2  + n + 2= 1 n= - 1 (loại) + n + 2= 2 n= 0 + n + 2= 3 n= 1 + n + 2= 6 n= 4 + n + 2= 9 n= 7 + n + 2= 18 n= 16 Vậy n 0;1;4;7;16 thì B N Bài 7: Gọi giá gạo nếp là a (đồng/kg) ; khối lượng gạo nếp đã mua là b (kg) 80 120 Suy ra giá gạo tẻ là .a ; khối lượng gạo tẻ đã mua là .b 10 100 Số tiền người thứ nhất phải trả là a.b (đồng)
5. 80 120 96 Số tiền người thứ hai phải trả là .a. .b. a.b 100 100 100 96 Vậy người thứ hai trả ít tiền hơn người thứ nhất . Tỉ lệ % ít hơn là a.b .a.b : a.b 4% 100 a) Cho 12 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối từng cặp hai điểm trong 12 điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính số đoạn thẳng được tạo thành. Nối điểm thứ nhất với 11 điểm còn lại ta được 11 đoạn thẳng. Nối điểm thứ hai với 10 điểm còn lại ta được 10 đoạn thẳng (điểm thứ nhất đã nối với điểm thứ hai ở lần nối thứ nhất) Nối điểm thứ 10 với 2 điểm còn lại ta được 2 đoạn thẳng. Nối điểm thứ 11 với 1 điểm còn lại ta được 1 đoạn thẳng. Vậy tổng số đoạn thẳng là: 11 + 10 + + 2 + 1 = (11 + 1) + (10 + 2) + (9 + 3) + (8 + 4) + (7 + 5) + 6 = 66 (đoạn thẳng) - Từ giả thiết suy ra (x 20)25 và (x 20)28 và (x 20)35 x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. - Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 k N . - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra x 999 x 20 1019 k = 1 x + 20 = 700 x = 680. 3101 b) So sánh hai số A và B: A 1 3 32 32 3100 ; B 2 Bài 8: a) Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. Giải: Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lai tạo nên 100 giao điểm . Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm, nhưng mỗi giao điểm được tính hai lần nên chỉ có: (101.100) : 2 = 5050 (giao điểm). b) Cho 2015 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối từng cặp hai điểm trong 2015 điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính số đoạn thẳng được tạo thành. c) Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng (a - 1)(a + 4) chia hết cho 6. b) Chọn 1 điểm trong 2015 điểm đã cho. Qua điểm đó và 2014 điểm còn lại ta vẽ được 2014 đoạn thẳng. Làm như vậy với tất cả 2015 điểm ta vẽ được số đoạn thẳng là ; 2015.2014 = 5058210 ( đoạn thẳng) Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính 2 lần. Do đó số đoạn thẳng chỉ có là: 5058210 : 2 = 2029105 ( đoạn thẳng). Vậy với 2015 điểm đã cho ta vẽ được 2029105 ( đoạn thẳng). Bài 9 : a) Hãy viết thêm đằng sau số 664 ba chữ số để nhận được số có 6 chữ số chia hết cho 5, cho 9 và cho 11. HD: Viết thêm vào sau số 664 bà chữ số abc ta được số 664abc 664abc 664000 abc 663795 205 abc 495.1341 205 abc Vì 664abc chia hết cho 5, cho 9, cho 11 Nếu 664abc495 205 abc 495
6. Vậy 205 abc = 495 hoặc 205 abc = 990 Do đó: abc = 495 – 205 = 290 hoặc abc = 990 – 205 = 785 Bài 10: Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu? Giải: Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có: A = 7.a + 3 = 17.b + 12 = 23.c + 7 Mặt khác: A + 39 = 7.a + 3 + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + 7 + 39 = 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2) Như vậy A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23. Nhưng 7,17 và 23 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: (A + 39)  7.17.23 nên (A+39)  2737 Suy ra A+39 = 2737.k suy ra A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698 Do 2698 < 2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737 Bài 11: a. Cho biểu thức : A 2010 20102 20103 20102009 20102010 Chứng minh rằng A chia hết cho 2011 b. Cho B 802 79.80 1601 CMR : B là bình phương của một số tự nhiên HD: a. A 2010 20102 20103 20102009 20102010 Có 2010số hạng A 2010 20102 20103 20104 20102009 20102010 2010. 1 2010 20103. 1 2010 20102009. 1 2010 2010.2011 20103.2011 20102009.2011 2011. 2010 20103 20102009 chia hết cho 2011 nên A chia hết cho 2011 b. Cho B 802 79.80 1601 80 80 79 1601 80.1 1601 1681 412 Vậy B là bình phương của một số tự nhiên 41