Bài tập trắc nghiệm Toán 11 - Phương trình lượng giác cơ bản (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Toán 11 - Phương trình lượng giác cơ bản (Có đáp án)

1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2x Câu 1. Giải phương trình sin 0. 3 3 2 k3 A. x k k ¢ . B. x k ¢ . 3 2 k3 C. x k k ¢ . D. x k ¢ . 3 2 2 3 Câu 2. Số nghiệm của phương trình sin 2x 400 với 1800 x 1800 2 là? A. 2. B. 4. C. 6. D. 7. 1 Câu 3. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x trên 3 2 đường trịn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 4. D. 6. Câu 4. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y sin3x và y sin x bằng nhau? x k2 x k A. k ¢ . B. k ¢ . x k2 x k 4 4 2 C. x k k ¢ . D. x k k ¢ . 4 2 2cos2x Câu 5. Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 0. Mệnh 0 1 sin 2x đề nào sau đây là đúng? 3 A. x0 0; . B. x0 ; . C. x0 ; . D. 4 4 2 2 4 3 x0 ; . 4 Câu 6. Hỏi trên đoạn  2017;2017, phương trình sin x 1 sin x 2 0 cĩ tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642. Câu 7. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin 3x bằng: 4 2 A. . B. . C. . D. . 9 6 6 9 Trang 1
2. 0 3 Câu 8. Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của phương trình cos 5x 45 . 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 0 0 0 A. x0 30 ;0 .B. x0 45 ; 30 . 0 0 0 0 C. x0 60 ; 45 .D. x0 90 ; 60 . 13 Câu 9. Hỏi trên đoạn ;2 , phương trình cos x cĩ bao nhiêu nghiệm? 2 14 A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5 . x 0 Câu 10. Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 15 sin x. Mệnh đề 2 nào sau đây là đúng? A. 2900 X. B. 200 X. C. 2200 X. D. 2400 X. Câu 11. Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin 2x cos x 0 trên 0;2 . 5 A. T 3 . B. T . C. T 2 . D. T . 2 Câu 12. Trên khoảng ;2 , phương trình cos 2x sin x cĩ bao nhiêu 2 6 nghiệm? A. 3. B. 4 . C. 5 . D. 2. Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình tan 2x 150 1 trên khoảng 900 ;900 bằng: A. 00. B. 300. C. 300. D. 600. Câu 14. Giải phương trình cot 3x 1 3. 1 5 1 A. x k k ¢ . B. x k k ¢ . 3 18 3 3 18 3 5 1 C. x k k ¢ . D. x k k ¢ . 18 3 3 6 Câu 15. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y tan x 4 và y tan 2x bằng nhau? A. x k k ¢ . B. x k k ¢ . 4 2 12 3 3m 1 C. x k k ¢ . D. x k k ; k,m ¢ . 12 12 3 2 3 Câu 16. Số nghiệm của phương trình tan x tan trên khoảng ;2 là? 11 4 A. 1 B. 2. C. 3. D. 4. Trang 2
3. Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình tan5x tan x 0 trên nửa khoảng 0; bằng: 3 5 A. . B. . C. 2 . D. . 2 2 Câu 18. Giải phương trình tan3x.cot 2x 1. A. x k k ¢ . B. x k k ¢ . 2 4 2 C. x k k ¢ . D. Vơ nghiệm. Câu 19. Cho tan x 1 0 . Tính sin 2x . 2 6 1 3 A. sin 2x . B. sin 2x . 6 2 6 2 3 1 C. sin 2x . D. sin 2x . 6 2 6 2 Câu 20. Phương trình nào dưới đây cĩ tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x 1? 2 2 A. sin x . B. cos x . C. cot x 1. D. cot 2 x 1. 2 2 Câu 21. Giải phương trình cos2x tan x 0. x k A. x k k ¢ . B. 2 k ¢ . 2 x k x k C. 4 2 k ¢ . D. x k k ¢ . 2 x k Câu 22. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x m cĩ nghiệm. A. m 1. B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1. Câu 23. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x m 0 vơ nghiệm. A. m ; 1  1; . B. m 1; . C. m  1;1. D. m ; 1 . Câu 24. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos x m 1 cĩ nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vơ số. Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2x m 2 cĩ nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S. 3 A. T 6. B. T 3. C. T 2. D. T 6. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Trang 3
4. 2x Câu 1. Giải phương trình sin 0. 3 3 2 k3 A. x k k ¢ . B. x k ¢ . 3 2 k3 C. x k k ¢ . D. x k ¢ . 3 2 2 2x 2x Lời giải. Phương trình sin 0 k 3 3 3 3 2x k3 k x k ¢ . Chọn D. 3 3 2 2 3 Câu 2. Số nghiệm của phương trình sin 2x 400 với 1800 x 1800 2 là? A. 2. B. 4. C. 6. D. 7. 3 Lời giải. Phương trình sin 2x 400 sin 2x 400 sin 600 2 2x 400 600 k3600 2x 1000 k3600 x 500 k1800 . 0 0 0 0 0 0 0 0 2x 40 180 60 k360 2x 160 k360 x 80 k180 Xét nghiệm x 500 k1800. Vì 1800 x 1800  1800 500 k1800 1800 23 13 k 1 x 1300 k k ¢ . 0 18 18 k 0 x 50 Xét nghiệm x 800 k1800. Vì 1800 x 1800  1800 800 k1800 1800 13 5 k 1 x 1000 k k ¢ . 0 9 9 k 0 x 80 Vậy cĩ tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài tốn. Chọn B. Cách 2 (CASIO). Ta cĩ 1800 x 1800  3600 2x 3600. Chuyển máy về chế độ DEG, dùng chức năng TABLE nhập hàm 3 f X sin 2X 40 với các thiết lập Start 360, End 360, Step 40 . 2 Quan sát bảng giá trị của f X ta suy ra phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm. 1 Câu 3. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x trên 3 2 đường trịn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải. Trang 4
5. Phương trình 2x k2 x k 3 6 12 sin 2x sin k ¢ . 3 6 2x k2 x k 3 6 4 Biểu diễn nghiệm x k trên đường trịn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 12 1). Biểu diễn nghiệm x k trên đường trịn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2). 4 sin sin p 4 cos O cos O p - 12 Hình 1 Hình 2 Vậy cĩ tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình. Chọn C. 2 Cách trắc nghiệm. Ta đưa về dạng x k  số vị trí biểu diễn trên n đường trịn lượng giác là n . 2 Xét x k x k  cĩ 2 vị trí biểu diễn. 12 12 2 2 Xét x k x k  cĩ 2 vị trí biểu diễn. 4 4 2 Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí cĩ thể trùng nhau. Câu 4. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y sin3x và y sin x bằng nhau? x k2 x k A. k ¢ . B. k ¢ . x k2 x k 4 4 2 C. x k k ¢ . D. x k k ¢ . 4 2 Lời giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm: sin3x sin x x k 3x x k2 k ¢ . Chọn B. 3x x k2 x k 4 2 Trang 5
6. 2cos2x Câu 5. Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 0. Mệnh 0 1 sin 2x đề nào sau đây là đúng? 3 A. x0 0; . B. x0 ; . C. x0 ; . D. 4 4 2 2 4 3 x0 ; . 4 Lời giải. Điều kiện: 1 sin 2x 0 sin 2x 1. 2cos2x 2 2 sin 2x 1 loại Phương trình 0 cos2x 0 sin 2x cos 2x 1 1 sin 2x sin 2x 1 thỏa mãn sin 2x 1 2x k2 x k k ¢ . 2 4 1 Cho k 0  k . 4 4 3 3 Do đĩ nghiệm dương nhỏ nhất ứng với k 1 x ; . Chọn D. 4 4 Câu 6. Hỏi trên đoạn  2017;2017, phương trình sin x 1 sin x 2 0 cĩ tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642. Lời giải. Phương trình sin x 1 sin x 1 x k2 k ¢ . sin x 2 vo nghiem 2 2017 2017 Theo giả thiết 2017 k2 2017 2 k 2 2 2 2 xap xi 320,765 k 321,265 k ¢ k 320; 319; ;321. Vậy cĩ tất cả 642 giá trị nguyên của k tương úng với cĩ 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chọn D. Câu 7. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin 3x bằng: 4 2 A. . B. . C. . D. . 9 6 6 9 Lời giải. Ta cĩ 3x k2 3 4 3 sin 3x sin 3x sin 4 2 4 3 3x k2 4 3 Trang 6
7. 7 7 k2 3x k2 x 12 36 3 k ¢ . 11 11 k2 3x k2 x 12 36 3 7 7 x 0 k kmin 0 x 7 k2 Cho 24 36 TH1. Với x  . 36 3 7 17 x 0 k k 1 x 24 max 36 11 11 x 0 k kmin 0 x 11 k2 Cho 24 36 TH2. Với x  . 36 3 11 13 x 0 k k 1 x 24 max 36 13 So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là x và nghiệm dương 36 7 13 7 nhỏ nhất là x . Khi đĩ tổng hai nghiệm này bằng .Chọn 36 36 36 6 B. 0 3 Câu 8. Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của phương trình cos 5x 45 . 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 0 0 0 A. x0 30 ;0 .B. x0 45 ; 30 . 0 0 0 0 C. x0 60 ; 45 .D. x0 90 ; 60 . Lời giải. Ta cĩ 5x 750 k3600 x 150 k720 k ¢ . 0 0 0 0 5x 15 k360 x 3 k72 5 TH1. Với x 150 k720 0 k k 1 x 570. 24 max 1 TH2. Với x 30 k720 0 k k 1 x 690. 24 max So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x 570. Chọn C. 13 Câu 9. Hỏi trên đoạn ;2 , phương trình cos x cĩ bao nhiêu nghiệm? 2 14 A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5 . 13 13 Lời giải. Phương trình cos x x arccos k2 k ¢ . 14 14 13 13 Với x arccos k2 . Vì x ;2  arccos k2 2 14 2 2 14 Trang 7
8. 13 CASIO 0,3105 k 0,9394 k ¢ k 0  x arccos . xapxi 14 13 Với x arccos k2 . Vì 14 13 x ;2  arccos k2 2 2 2 14 CASIO k 13 13   0,1894 k 1,0605 ¢ k 0;1  x arccos ; arccos k2 . xapxi 14 14  Vậy cĩ tất cả 3 nghiệm thỏa mãn. Chọn B. 13 Cách 2 (CASIO). Dùng chức năng TABLE nhập hàm f X cos X với 14 các thiết lập Start , End 2 , Step . Ta thấy f X đổi dấu 3 lần nên 2 7 cĩ 3 nghiệm. Cách 3. Dùng đường trịn lượng giác 13 sin x = 14 cos O Vẽ đường trịn lượng giác và biểu diễn cung từ đến 2 . Tiếp theo ta kẻ 2 13 13 đường thẳng x . Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng x cắt cung lượng 14 14 giác vừa vẽ tại 3 điểm. x 0 Câu 10. Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 15 sin x. Mệnh đề 2 nào sau đây là đúng? A. 2900 X. B. 200 X. C. 2200 X. D. 2400 X. x 0 x 0 0 Lời giải. Ta cĩ cos 15 sin x cos 15 cos 90 x 2 2 x 0 0 0 15 90 x k360 0 0 2 x 50 k240 k ¢ . 0 x 0 0 0 x 210 k720 15 90 x k360 2 Nhận thấy 2900 X (do ứng với k 1 của nghiệm x 500 k2400 ). Chọn A. Trang 8
9. Câu 11. Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin 2x cos x 0 trên 0;2 . 5 A. T 3 . B. T . C. T 2 . D. T . 2 Lời giải. Ta cĩ sin 2x cos x 0 sin 2x cos x sin 2x sin x 2 k2 2x x k2 x 2 6 3 . 2x x k2 x k2 2 2 k2 1 11 0 2 k k 0;1;2 6 3 4 4 Vì x 0;2 , suy ra . 1 3 0 k2 2 k k 0 2 4 4 Từ đĩ suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn 0;2  là 5 3 ; ; ; T 3 . 6 6 2 2 Chọn A. Câu 12. Trên khoảng ;2 , phương trình cos 2x sin x cĩ bao nhiêu 2 6 nghiệm? A. 3. B. 4 . C. 5 . D. 2. Lời giải. Ta cĩ cos 2x sin x cos 2x cos x 6 6 2 2x x k2 x k2 6 2 3 k ¢ . 2 k2 2x x k2 x 6 2 9 3 Vì x ;2 , suy ra 2 7 5 k2 2 k k ¢ k 1 2 3 6 12 . 2 k2 8 5 2 k k ¢ k 2; 1 2 9 3 3 12 Vậy phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm trên khoảng ;2 . Chọn A. 2 Trang 9
10. Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình tan 2x 150 1 trên khoảng 900 ;900 bằng: A. 00. B. 300. C. 300. D. 600. Lời giải. Ta cĩ tan 2x 150 1 2x 150 450 k1800 x 300 k900 k ¢ . 4 2 Do x 900 ;900  900 300 k900 900 k 3 3 k 1 x 600 k ¢  600 300 300. Chọn B. 0 k 0 x 30 Câu 14. Giải phương trình cot 3x 1 3. 1 5 1 A. x k k ¢ . B. x k k ¢ . 3 18 3 3 18 3 5 1 C. x k k ¢ . D. x k k ¢ . 18 3 3 6 Lời giải. Ta cĩ cot 3x 1 3 cot 3x 1 cot 6 1 1 5 3x 1 k x k k ¢ k 1 x . Chọn A. 6 3 18 3 3 18 Câu 15. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y tan x 4 và y tan 2x bằng nhau? A. x k k ¢ . B. x k k ¢ . 4 2 12 3 3m 1 C. x k k ¢ . D. x k k ; k,m ¢ . 12 12 3 2 x m cos x 0 4 Lời giải. Điều kiện: 4 x m . 4 2 cos2x 0 x m 4 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm: tan 2x tan x 4 2x x k x k k ¢ . 4 12 3 3m 1 Đối chiếu điều kiện, ta cần cĩ k m k k, m ¢ . 12 3 4 2 2 3m 1 Vậy phương trình cĩ nghiệm x k k ; k,m ¢ . Chọn D. 12 3 2 Trang 10
11. 3 Câu 16. Số nghiệm của phương trình tan x tan trên khoảng ;2 là? 11 4 A. 1 B. 2. C. 3. D. 4. 3 3 Lời giải. Ta cĩ tan x tan x k k ¢ . 11 11 Do 3 CASIO k ¢ x ;2 k 2 xap xi 0,027 k 1,72  k 0;1. 4 4 11 Chọn B. Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình tan5x tan x 0 trên nửa khoảng 0; bằng: 3 5 A. . B. . C. 2 . D. . 2 2 Lời giải. Ta cĩ k tan5x tan x 0 tan5x tan x 5x x k x k ¢ . 4 k Vì x 0; , suy ra 0 0 k 4 k ¢ k 0;1;2;3 . 4 3  Suy ra các nghiệm của phương trình trên 0; là 0; ; ; . 4 2 4  3 3 Suy ra 0 . Chọn B. 4 2 4 2 Câu 18. Giải phương trình tan3x.cot 2x 1. A. x k k ¢ . B. x k k ¢ . 2 4 2 C. x k k ¢ . D. Vơ nghiệm. x k cos3x 0 6 3 Lời giải. Điều kiện: k ¢ . sin 2x 0 x k 2 Phương trình 1 tan3x tan3x tan 2x 3x 2x k x k k ¢ . cot 2x Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x k khơng thỏa mãn x k . 2 Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm. Chọn D. Câu 19. Cho tan x 1 0 . Tính sin 2x . 2 6 1 3 A. sin 2x . B. sin 2x . 6 2 6 2 Trang 11
12. 3 1 C. sin 2x . D. sin 2x . 6 2 6 2 Lời giải. Phương trình tan x 1 0 tan x 1 2 2 x k x k k ¢ . 2 4 4 2 Suy ra 2x k2  2x k2 k ¢ . 2 6 3 2 2 3 Do đĩ sin 2x sin k2 sin . Chọn C. 6 3 3 2 Câu 20. Phương trình nào dưới đây cĩ tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x 1? 2 2 A. sin x . B. cos x . C. cot x 1. D. cot 2 x 1. 2 2 Lời giải. Ta cĩ tan x 1 x k k ¢ . 4 Xét đáp án C, ta cĩ cot x 1 x k k ¢ . Chọn C. 4 1 Cách 2. Ta cĩ đẳng thức cot x . Kết hợp với giả thiết tan x 1, ta được tan x cot x 1. Vậy hai phương trình tan x 1 và cot x 1 là tương đương. Câu 21. Giải phương trình cos2x tan x 0. x k A. x k k ¢ . B. 2 k ¢ . 2 x k x k C. 4 2 k ¢ . D. x k k ¢ . 2 x k Lời giải. Điều kiện: cos x 0 x k k ¢ . 2 cos2x 0 Phương trình cos2x tan x 0 tan x 0 2x k x k thỏa mãn 2 4 2 k ¢ . Chọn C. x k x k thỏa mãn Câu 22. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x m cĩ nghiệm. A. m 1. B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1. Lời giải. Với mọi x ¡ , ta luơn cĩ 1 sin x 1. Trang 12
13. Do đĩ, phương trình sin x m cĩ nghiệm khi và chỉ khi 1 m 1. Chọn C. Câu 23. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x m 0 vơ nghiệm. A. m ; 1  1; . B. m 1; . C. m  1;1. D. m ; 1 . Lời giải. Áp dụng điều kiện cĩ nghiệm của phương trình cos x a . Phương trình cĩ nghiệm khi a 1. Phương trình vơ nghiệm khi a 1. Phương trình cos x m 0 cos x m. m 1 Do đĩ, phương trình cos x m vơ nghiệm m 1 . Chọn A. m 1 Câu 24. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos x m 1 cĩ nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vơ số. Lời giải. Áp dụng điều kiện cĩ nghiệm của phương trình cos x a . Phương trình cĩ nghiệm khi a 1. Phương trình vơ nghiệm khi a 1. Do đĩ, phương trình cos x m 1 cĩ nghiệm khi và chỉ khi m 1 1 1 m 1 1 2 m 0 m ¢ m 2; 1;0 . Chọn C. Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2x m 2 cĩ nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S. 3 A. T 6. B. T 3. C. T 2. D. T 6. Lời giải. Phương trình cos 2x m 2 cos 2x m 2. 3 3 Phương trình cĩ nghiệm 1 m 2 1 3 m 1 m ¢ S 3; 2; 1  T 3 2 1 6. Chọn D. Trang 13