Bài tập tự luyện Đại số Lớp 12 - Chủ đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

Nội dung text: Bài tập tự luyện Đại số Lớp 12 - Chủ đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

1. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶNG VIỆT HÙNG FREE FULL: ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶNG VIỆT HÙNG FREE FULL: CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Quy tắc xét dấu biểu thức p x Để xét dấu cho biểu thức g x ta làm như sau: q x - Bước 1: Điều kiện: q x 0 . Tìm tất cả các nghiệm của p x ; q x và sắp xếp các nghiệm đĩ theo thứ tự tăng dần và điền vào trục số Ox. - Bước 2: Cho x để xác định dấu cùa g x khi x . - Bước 3: Xác định dấu của các khoảng cịn lại dựa vào quy tắc sau: Chú ý: Qua nghiệm bội lẻ thì g x đổi dấu cịn qua nghiệm bội chẵn thì g x khơng đổi dấu (chẵn giữ nguyên, lẻ đổi dấu). x 4 . x 5 4 Ví dụ: Xét dấu của biểu thức f x . x 2 x 1 2 Bước 1: Ta thấy nghiệm của biểu thức trên là 2; 1;4;5 sắp xếp thứ tự tăng dần trên trục số. Bước 2: Khi x (ví dụ cho x = 10000) ta thấy f x nhận giá trị dương. Bước 3: Xác định dấu cùa các khoảng cịn lại. Do x 5 4 mũ chẵn (nghiệm bội chẵn) nên qua 5 biểu thức khơng đổi dấu. Do x 4 1 mũ lẻ (nghiệm bội lẻ) nên qua 4 biểu thức đổi dấu Ta được bảng xét dấu cùa f x như sau: x 2 1 4 5 f x + 0 0 0 + 0 + Kết luận: f x 0 x ; 2  4;5  5; và f x 0 x 2; 1  1;4 . 2) Tính đơn điệu của hàm số Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số v f x xác định trên K. ■ Hàm số y f x đồng biến (tăng) nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà thì f x1 f x2 tức là x1 x2 f x1 f x2 .
2. ■ Hàm số y f x nghịch biến (giảm) nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 x2 thì f x1 f x2 tức là x1 x2 f x1 f x2 . Ví dụ 1: Xét hàm số y f x 2x 1 Xét x1 x2 2x1 2x2 2x1 1 2x2 1 f x1 f x2 suy ra hàm số y f x 2x 1 là một hàm số đồng biến trên ¡ . Ví dụ 2: Hàm số y f x 7x 2 nghịch biến trên ¡ , vì: Giả sử x1 x2 , ta cĩ: f x1 f x2 7x1 7x2 7 x2 x1 0 f x1 f x2 suy ra hàm số y f x 7x 2 là một hàm số đồng biến trên ¡ . Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: x1; x2 K và x1 x2 , thì hàm số f x f x f x đồng biến trên K 2 1 0 x2 x1 f x f x f x nghịch biến trên K 2 1 0 x2 x1 Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải. ĐỊNH LÝ: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm trên K. a) Nếu f x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x đồng biến trên K. b) Nếu f x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x nghịch biến trên K. Tĩm lại xét trên K K : f x 0 f x đồng biến; f x 0 f x nghịch biến. Chú ý: Nếu f x 0 x K thì hàm số y f x là hàm số khơng đổi trên K. ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG Giả sử hàm số y f x cĩ đạo hàm trên K. Nếu f x 0 f x 0 , x K và f x 0chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. Ví dụ: Xét hàm số y x3 3x2 3x 10 thì y 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 , dấu bằng xảy ra chỉ tại điểm x 1 do đĩ hàm số đã cho đồng biến trên ¡ . II. CÁC DẠNG TỐN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1: CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN  Loại 1: Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) cùa hàm số y f x dựa vào bảng xét dấu y . Phương pháp giải.
3. ■ Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm y f x . ■ Bước 2. Tìm các điểm tại đĩ f x 0 hoặc f x khơng xác định. ■ Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y . Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y . ■ Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y . Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) y x3 3x2 2 b) y x4 2x2 Lời giải a) TXĐ: D ¡ 2 x 0 Ta cĩ: y 3x 6x x 2 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 0 2 y + 0 0 + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 và 2; , nghịch biến trên khoảng 0;2 . b) TXĐ: D ¡ 3 x 0 Ta cĩ: y 4x 4x x 1 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 1 0 1 y 0 + 0 0 + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0 và 1; , nghịch biến trên khoảng ; 1 và 0;1 Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) y x3 3x 2 b) y x4 4x3 2 Lời giải a) TXĐ: D ¡ 2 x 1 Ta cĩ: y 3x 3 0 x 1 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 1 1
4. y 0 + 0 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 1;1 và nghịch biến trên khoảng ; 1 và 1; . b) TXĐ: D ¡ Ta cĩ: y 4x3 12x2 4x2 x 3 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 0 3 y 0 0 + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 3; , nghịch biến trên khoảng ;3 . Ví dụ 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau x 3 3x 1 a) y . b) y . x 1 x 1 Lời giải a) TXĐ: D ¡ \ 1 4 Ta cĩ: y 0 x D x 1 2 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 1 y Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 và 1; . b) TXĐ: D ¡ \ 1 2 Ta cĩ: y 0 x D x 1 2 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 1 y + + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; . Ví dụ 4: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
5. 4 x2 x 9 a) y x . b) y . x x 1 Lời giải 4 x 2 a) TXĐ: D ¡ \ 0 . Ta cĩ: y 1 2 0 x x 2 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 2 0 2 y + 0 0 + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 2; , hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 và 0;2 . b) TXĐ: D ¡ \ 1 2 2x 1 x 1 x x 9 x2 2x 8 x 2 Ta cĩ: y 2 2 0 . x 1 x 1 x 4 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 2 1 4 y + 0 0 + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 4; , hàm số nghịch biến trên các khoảng 2;1 và 1;4 . Ví dụ 5: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) y 16 x2 b) y 6x x2 Lời giải 2x a) TXĐ: D  4;4 . Ta cĩ: y 0 x 0 2 16 x2 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 4 0 4 y + 0 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 4;0 và hàm số nghịch biến trên khoảng 0;4 . b) TXĐ: D 0;6 6 2x Ta cĩ: y 0 x 3 . 2 6x x2
6. Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 0 3 6 y + 0 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0;3 , hàm số nghịch biến trên khoảng 3;6 . Ví dụ 6: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) y x2 4x b) y x2 8x 12 Lời giải 2x 4 a) TXĐ: D ;04; . Ta cĩ: y 0 x 2 2 x2 4x Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 0 2 4 y 0 + Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 4; , hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 . b) TXĐ: D ;26; 2x 8 Ta cĩ: y 0 x 4 . 2 x2 8x 12 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 2 4 6 y 0 + Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 6; , hàm số nghịch biến trên khoảng ;2 . Ví dụ 7: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a) y x 1 2 x2 3x 3 b) y 2x 1 2x2 8 Lời giải a) TXĐ: D ¡ 2 2x 3 x2 2x 3 2x 3 Ta cĩ: y 1 0 x2 2x 3 2x 3 2 x2 2x 3 x2 2x 3
7. 2x 3 2x 3 0 x 1 2 2 x 1 x 2x 3 4x 12x 9 x 2 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 1 y 0 + Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1; và nghịch biến trên khoảng ; 1 . b) TXĐ: D ; 22; 4x 2 2x2 8 2x x 0 Ta cĩ: y 2 0 2x2 8 2x (vơ nghiệm). 2 2 2 2x2 8 2x2 8 2x 8 4x Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 2 2 y + + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 2; . Ví dụ 8: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau 2 3 a) y f x biết f x x x 1 x 3 , x ¡ . 2018 b) y g x biết g x x2 1 x 2 x 3 , x ¡ . Lời giải a) Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 3 0 1 y + 0 0 + 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 3 và 0; , hàm số nghịch biến trên khoảng 3;0 . b) Ta cĩ: g x x2 1 x 2 x 3 2018 x 3 2018 x 2 x 1 x 1 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 3 2 1 1 y 0 0 + 0 0 +
8. Hàm số đồng biến trên các khoảng 2; 1 và 1; , hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 và 1;1 . Ví dụ 9: Cho hàm số y f x cĩ bảng xét dấu đạo hàm sau: x 2 0 2 y + 0 0 + Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 .D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 . Lời giải Hàm số nghịch biến trên các khoảng 2;0 ; 0;2 . Và đồng biến trên các khoảng ; 2 và 2; . Chọn C. x2 2x 1 Ví dụ 10: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số y . x 2 A. 5; 2 và 2;1 B. 5; 2 và 1; C. ; 2 và 2;1 D. ; 2 và 1; Lời giải 2 2x 2 x 2 x 2x 1 x2 4x 5 x 1 Ta cĩ: y 2 2 0 . x 2 x 2 x 5 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 5 2 1 y 0 + + 0 Do đĩ, hàm số đồng biến trên các khoảng 5; 2 và 2;1 . Chọn A. Ví dụ 11: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số y x3 3x2 24x 1. A. 4;2 B. 4;0 và 2; C. ; 4 và 0;2 D. ; 4 và 2; Lời giải 2 x 4 Ta cĩ: y 3x 6x 24 0 . x 2 Bảng biến thiên (xét dấu y ):
9. x 4 2 y 0 + 0 Do đĩ, hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 4 và 2; . Chọn D. Ví dụ 12: Hàm số y x2 2x A. Đồng biến trên 2; và nghịch biến trên ;0 . B. Đồng biến trên ;0 và nghịch biến trên 2; . C. Đồng biến trên 1; và nghịch biến trên ;1 . D. Đồng biến trên 1;2 và nghịch biến trên 0;1 . Lời giải 2x 2 TXĐ: D ;02; . Ta cĩ: y 0 x 2 2 x2 2x Bảng biến thiên (xét dấu y ): x 0 1 2 y 0 + Do vậy hàm số đồng biến trên 2; và nghịch biến trên ;0 . Chọn A. Ví dụ 13: Hàm số y x 1 x2 2 2 2 2 A. Đồng biến trên các khoảng 1; và ;1 và nghịch biến trên ; . 2 2 2 2 2 2 2 2 B. Đồng biến trên ; và nghịch biến trên các khoảng 1; và ;1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 C. Đồng biến trên ; và nghịch biến trên các khoảng ; và ; . 2 2 2 2 2 2 D. Đồng biến trên ; và nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1; . 2 2 Lời giải TXĐ: D  1;1. x2 1 2x2 Ta cĩ: y 1 x2 . 1 x2 1 x2 Lập bảng xét dấu y :
10. 2 2 x 1 1 2 2 y 0 + 0 2 2 2 2 Do đĩ hàm số đồng biến trên ; và nghịch biến trên các khoảng 1; và ;1 . 2 2 2 2 Chọn B. x 2 Ví dụ 14: Hàm số y đồng biến trên: x2 x 1 A. ¡ .B. ;2 7 và 2 7; C. 2 7;2 7 D. Hàm số đã cho luơn nghịch biến trên ¡ . Lời giải TXĐ: D ¡ . 2 x 4x 3 2 Ta cĩ: y 2 0 x 4x 3 0 2 7 x 2 7 . Chọn C. x2 x 1 2x 1 Ví dụ 15: Cho hàm số y . Hàm số đã cho: x 1 2 A. Đồng biến trên các khoảng ;0 và 1; và nghịch biến trên khoảng 0;1 . B. Đồng biến trên khoảng 0;1 và nghịch biến trên các khoảng ;0 và 1; . C. Đồng biến trên khoảng ;0 và nghịch biến trên khoảng 1; . D. Đồng biến trên khoảng 1; và nghịch biến trên khoảng ;0 . Lời giải TXĐ: D ¡ \ 1 . 2 2 x 1 2 x 1 2x 1 2 x 1 2 2x 1 2x Ta cĩ: y . x 1 4 x 1 3 x 1 3 Lập bảng xét dấu của y : x 0 1 y 0 + Do vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0;1 và nghịch biến trên các khoảng ;0 và 1; . Chọn B.
11. 3x 2 Ví dụ 16: Cho hàm số y . Hàm số đã cho: x 2 2 2 2 A. Đồng biến trên các khoảng ; và 2; và nghịch biến trên khoảng ;2 . 3 3 2 2 B. Đồng biến trên khoảng ;2 và nghịch biến trên các khoảng ; và 2; . 3 3 2 C. Đồng biến trên khoảng ; và nghịch biến trên khoảng 2; . 3 2 D. Đồng biến trên khoảng 2; và nghịch biến trên khoảng ; . 3 Lời giải TXĐ: D ¡ \ 2. 2 3 x 2 2 x 2 3x 2 3 x 2 2 3x 2 3x 2 Ta cĩ: y . x 2 4 x 2 3 x 2 3 Lập bảng xét dấu y : 2 x 2 3 y 0 + 2 2 Do đĩ hàm số đồng biến trên khoảng ;2 và nghịch biến trên các khoảng ; và 2; . 3 3 Chọn B. Ví dụ 17: Cho hàm số y x 3 x nghịch biến trên khoảng: A. ;3 .B. ;2 .C. 2;3 .D. 2; . Lời giải TXĐ: D ;3. 1 6 2x x 6 3x Ta cĩ: y 3 x x. 0 x 2 . 2 3 x 2 3 x 2 3 x Lập bảng xét dấu y : x 2 3 y + 0 Do đĩ hàm số nghịch biến trên khoảng 2;3 . Chọn C.
12.  Loại 2: Tìm các khoảng đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số dựa vào đồ thị và bảng biến thiên Phương pháp giải: Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải. Chú ý tập xác định của hàm số. Ví dụ 1: Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như hình vẽ x 1 1 y + 0 0 + 2 y 0 Khẳng định nào sau đây là đúng. A. Hàm số đồng biến trên khoảng ;2 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 .D. Hàm số đồng biến trên ¡ . Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 và đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0 . Chọn B. Ví dụ 2: Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như hình vẽ x 2 0 1 y + 0 0 + 0 2 0 y 3 Khẳng định nào sau đây là đúng. A. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 và 3;0 .B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; 2 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;1 .D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; . Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng ;2 và 0;1 . Hàm số nghịch biến trên các khoảng 2;0 và 1; . Chọn B.
13. Ví dụ 3: Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như hình vẽ x 1 3 y + + 0 2 5 0 Khẳng định nào sau đây là đúng. A. Hàm số đồng biến trên khoảng ;3 .B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . C. Hàm số đồng biến trên ;1  1;3 . D. Hàm số đồng biến trên ;1 và 1;3 . Lời giải Hàm số xác định trên tập ¡ \ 1 . Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1;3 . Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; . Chọn D. Ví dụ 4: Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như hình vẽ x 1 2 4 y + 0 0 y 3 1 Khẳng định nào sau đây đúng. A. Hàm số đồng biến trên khoảng ;2 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . C. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 2;4 và 4; . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 . Lời giải Tập xác định của hàm số là: 1; \ 4. Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 và nghịch biến trên mỗi khoảng 2;4 và 4; . Chọn C.
14. Ví dụ 5: Cho hàm số y f x cĩ đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng. A. 1;1 B. ; 2 C. 1; D. 2;1 Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 và nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1; . Chọn A. Ví dụ 6: Cho hàm số y f x cĩ đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng. A. 2; 2 . B. 2;2 . C. 1;3 . D. 0; 2 . Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 , 0; 2 và nghịch biến trên các khoảng 2;0 và 2; . Chọn D. DẠNG 2: BÀI TỐN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM CĨ THAM SỐ  Loại 1: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba chứa tham số Phương pháp giải: Xét tam thức bậc 2: y ax2 bx c a 0 ta đã biết ở lớp 10 2 a 0 y 0 x ¡ ax bx c 0 x ¡ . Δ 0 2 a 0 y 0 x ¡ ax bx c 0 x ¡ . Δ 0
15.  Xét bài tốn 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y ax2 bx c a 0 đồng biến hoặc nghịch biến trên ¡ . Ta cĩ: 3a 0 - Hàm số đồng biến trên ¡ y 0 x ¡ 3ax2 2bx c 0 x ¡ . y 0 3a 0 - Hàm số đồng biến trên ¡ y 0 x ¡ 3ax2 2bx c 0 x ¡ . y 0 Chú ý: . Trong trường hợp hệ số a cĩ chứa tham số m ví dụ: y m 1 x3 mx2 2x 3 ta cần xét a 0 trước. . Số giá trị nguyên trên đoạn a;b bằng b a 1. Ví dụ 1: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 2x3 3mx2 6mx 2 đồng biến trên ¡ . A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Lời giải Ta cĩ: y 6x2 6mx 6m . a 6 0 Hàm số đồng biến trên y 0 x 0 m 4 . ¡  ¡ 2 Δ 9m 36m 0 Kết hợp m ¡ cĩ 5 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C. Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho hàm số y x3 mx2 4m 9 x 5 với m là tham số. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; ? A. 4.B. 6.C. 7.D. 5. Lời giải Ta cĩ: y 3x2 2mx 4m 9 . Hàm số nghịch biến trên khoảng ; y 0 x ¡ . ay 3 0 9 m 3 . 2 Δ y m 3 4m 9 0 Kết hợp m ¡ cĩ 7 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C. 1 Ví dụ 3: Cho hàm số y x3 2x2 m 3 x 2 . Số giá trị nguyên của tham số m  20;20 để hàm số 3 đã cho đồng biến trên ¡ là: A. 20.B. 19.C. 21.D. 23. Lời giải Ta cĩ: y x2 4x m 3.
16. a 1 0 Hàm số đồng biến trên ¡ y 0 x ¡ m 1. Δ y 4 m 3 0 m ¡ Kết hợp cĩ 20 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn A. m  20;20 Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m đề hàm số y 2x3 6 m 3 x2 24mx 2 nghịch biến trên ¡ là: A. Vơ số.B. 11.C. 7.D. 9. Lời giải 2 2 Ta cĩ: y 6x 12 m 3 x 24m 6 x 2 m 3 4m . a 1 0 Hàm số nghịch biến trên ¡ y 0 x ¡ 2 . Δ m 3 4m 0 m2 10m 9 0 9 m 1 Kết hợp m ¢ cĩ 9 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài. Chọn D. 1 Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x3 2mx2 2 m 6 x 2 3 nghịch biến trên tập xác định của nĩ. Tính tổng các phần tử của tập hợp S. A. 4.B. 3.C. 0.D. 2. Lời giải Ta cĩ: y x2 4mx 2m 12 . a 1 0 3 Hàm số nghịch biến trên y 0 x m 2 . ¡  ¡ 2 Δ 4m 2m 12 0 2 Kết hợp m ¢ m 1;0;1;2 Tổng các phần tử của tập hợp S là 2. Chọn D. Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x3 3 m 2 x2 12x 1 đồng biến trên tập xác định của nĩ. Tính tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 5.B. 10.C. 15.D. 6. Lời giải Ta cĩ: y 3x2 6 m 2 x 12. a 3 0 Hàm số đồng biến trên ¡ y 0 x ¡ 2 0 m 4 . Δ y 9 m 2 36 0 Kết hợp m ¢ m 0;1;2;3;4 Tổng các phần tử của tập hợp S là 10. Chọn B.
17. x3 Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y mx2 4x 3 luơn tăng trên 3 ¡ . Số phần tử của tập hợp S là: A. 0.B. 3.C. 4.D. 5. Lời giải Ta cĩ: y x2 2mx 4. a 1 0 Hàm số đồng biến trên ¡ y 0 x ¡ 2 m 2 . 2 Δ y m 4 0 Kết hợp m ¢ m 2; 1;0;1;2 Số phần tử của tập hợp S là 5. Chọn D. 1 Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y m 2 x3 m 2 x2 m 8 x m2 1 3 luơn nghịch biến trên ¡ . A. 2 m 1.B. m 2 .C. m 1.D. m 2 . Lời giải Với m 2 ta cĩ y 10x 3 (hàm số này luơn nghịch biến trên ¡ ). Với m 2 ta cĩ y m 2 x2 2 m 2 x m 8. m 2 0 Hàm số nghịch biến trên ¡ y 0 x ¡ 2 . Δ y m 2 m 2 m 8 0 m 2 m 2 m 2 9 m 0 Kết hợp cả hai trường hợp. Chọn D. Ví dụ 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT năm 2017] Hỏi cĩ bao nhiêu số nguyên m để hàm số y m2 1 x3 m 1 x2 x 4 nghịch biến trên khoảng ; ? A. 2.B. 1.C. 0.D. 3. Lời giải Với m 1 y x 4 hàm số nghịch biến trên ; . Với m 1 y 2x2 x 4 khơng thỏa mãn nghịch biến trên ; . Với m 1 y 3 m2 1 x2 2 m 1 x 1 nghịch biến trên ; 2 m 1 0 y 0 x ¡ Δ m 1 2 3 m2 1 0 y
18. 1 m 1 1 m 1 2 m 1 2m 1 0 2 Kết hợp m ¢ m 0, m 1. Chọn A. m Ví dụ 10: Hàm số y x3 2x2 m 3 x m luơn đồng biến trên ¡ thì giá trị m nhỏ nhất là 3 A. m 1.B. m 2 .C. m 4 .D. m 0 . Lời giải m Xét hàm số y x3 2x2 m 3 x m với x ¡ , ta cĩ y mx2 4x m 3 . 3 a m 0 m 0 Để hàm số luơn đồng biến trên ¡ y 0;x ¡ m 1. Δ y 0 4 m m 3 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 1. Chọn A.  Xét bài tốn 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x;m đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đĩ D là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, nửa đoạn). Phương pháp giải: Xét hàm số f x;m ta tính y f x;m . Hàm số đồng biến trên D y 0 x D . Hàm số nghịch biến trên D y 0 x D . Cơ lập tham số m và đưa bất phương trình y 0 hoặc y 0 về dạng m f x hoặc m f x . Sử dụng tính chất: . Bất phương trình: m f x x D m Max f x . D . Bất phương trình: m f x x D m Min f x . D Chú ý: Với hàm số y ax3 bx2 cx d a 0 liên tục trên ¡ nên hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng a;b thì nĩ đồng biến trên đoạn a;b . Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số các bạn xem chủ đề GTLN, GTNN của hàm số. Lưu ý bất đẳng thức Cosi (AM – GM): Cho các số thực khơng âm a1, a2 , ,an thì ta cĩ: n a1 a2 an n a1a2 an . Dấu bằng xảy ra a1 a2 an . 2 2 MaxF x a b c Với hàm số lượng giác F x a sinx bcos x c thì . 2 2 MinF x a b c
19. Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 3x2 mx 1 đồng biến trên khoảng 0; . Lời giải Ta cĩ: y 3x2 6x m . Hàm số đồng biến trên khoảng 2; y 3x2 6x m 0 x 0; m 3x2 6x g x x 0; m max g x 0; Mặt khác g x 6x 6 0 x 1. Ta cĩ lim g x 0; lim g x ; g 1 3. x 0 x Do vậy max g x . Do đĩ m 3 là giá trị cần tìm. 0; Ví dụ 2: Cho hàm số y x3 3x2 3mx 1. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; . Lời giải Ta cĩ: y 3x2 6x 3m . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; y 0 x  0; m x2 2x g x x 0; m min g x 0; Xét g x x2 2x x 0; ta cĩ: g x 2x 2 0 x 1 lim g x 0; lim g x ; g 1 1 nên min g x 1 x 0 x 0; Do đĩ m 1 là giá trị cần tìm. 1 Ví dụ 3: Cho hàm số y x3 x2 mx 1. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho 3 nghịch biến trên đoạn  2;0. Lời giải Ta cĩ: y x2 2x m . Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn  2;0 y 0 x  2;0 m x2 2x g x x  2;0 m max g x  2;0 Mặt khác g x 2x 2 0 x 1 Lại cĩ g 2 0; g 0 0; g 1 1. Do vậy max g x 0  2;0 Vậy m 0 là giá trị cần tìm. Ví dụ 4: [Đề thi tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2019]: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm
20. số y x3 6x2 4m 9 x 4 nghịch biến trên khoảng ; 1 là 3 3 A. ;0 .B. ; .C. ; .D. 0; . 4 4 Lời giải Ta cĩ: y 3x2 12x 4m 9 . Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 y 3x2 12x 4m 9 0 x ; 1 4m 4m 3x2 12x 9 x ; 1 x2 4x 3 x ; 1 * 3 Xét g x x2 4x 3 trên khoảng ; 1 ta cĩ: g x 2x 4 0 x 2 . 4m 3 Ta tìm được min g x g 2 1 * 1 m . Chọn C. ; 1 3 4 1 Ví dụ 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 m 2 x2 2m 3 x nghịch biến trên 3 khoảng 0;3 ? Lời giải Ta cĩ: y x2 2 m 2 x 2m 3 Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;3 y 0 x 0;3 (Do hàm số liên tục trên ¡ nên ta mở rộng ra đoạn 0;3 ). x2 4x 3 x2 4x 3 2m x 1 x 0;3 2m g x x 0;3 x 1 2m min g x 0;3 x2 7x 7 Ta cĩ: g x 0 x 0;3 x 1 2 2 x 1 2 Mặt khác g 2 2 1 6 4 2, g 0 3, g 3 0 . 3 Do đĩ min g x 3 2m 3 m . 0;3 2 Ví dụ 6: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 20 để hàm số y x3 6x2 m 2 x m2 đồng biến trên khoảng 1; . A. 13.B. 14.C. 15.D. 16. Lời giải Ta cĩ: y 3x2 12x m 2
21. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; y 0 x  1; (Do hàm số đã cho liên tục trên ¡ nên ta cĩ thể lấy x  1; ). g x 3x2 12x 2 m x  1; min g x m *  1; Ta cĩ: g x 6x 12 0 x  1; , g 1 7 . Suy ra * 7 m m 7 . m 20 Kết hợp cĩ 13 giá trị của tham số m. Chọn A. m ¢ 1 Ví dụ 7: Tìm tham số m để hàm số sau đồng biến trên 0; : y x3 mx . 3x A. m 1 B. m 0 C. m 1 D. m 2 Lời giải 1 Ta cĩ: y 3x2 m 3x2 1 Hàm số đồng biến trên 0; y 0 x 0; g x 3x2 m x 0; . 3x2 min g x m * . 0; 1 1 Theo BĐT AM – GM ta cĩ: 3x2 2 3x2. 2 3x2 3x2 Do đĩ * 2 m m 2 . Chọn D. Ví dụ 8: Tập hợp các giá trị của -m để hàm số y mx3 x2 3x m 2 nghịch biến trên 3;0 là 1 1 1 1 A. ; .B. ; .C. ; .D. ;0 . 3 3 3 3 Lời giải Ta cĩ: y mx3 x2 3x m 2 3mx2 2x 3 2x 3 2 y 0 3mx 2x 3 0 m 2 f x Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;0 3x x 3;0 x 3;0 x 3;0 2x 3 2 3 x Ta cĩ f x 2 3 0 x 3;0 f x đồng biến trên khoảng 3;0 . 3x 3x 1 1 1 Do đĩ f x f 3 x 3;0 m m ; . Chọn A. 3;0 3 3 3 Ví dụ 9: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
22. 1 y x3 m 1 x2 m 3 x 2017m đồng biến trên các khoảng 3; 1 và 0;3 là đoạn T a;b. 3 Tính a2 b2 . A. a2 b2 10.B. a2 b2 13.C. a2 b2 8 .D. a2 b2 5. Lời giải Ta cĩ y x2 2 m 1 x m 3 Để hàm số đồng biến trên các khoảng 3; 1 và 0;3 thì y 0 với mọi x 3; 1 và x 0;3 . x2 2x 3 Hay x2 2 m 1 x m 3 0 x2 2x 3 m 2x 1 m với mọi x 0;3 và 2x 1 x2 2x 3 m với x 3; 1 . 2x 1 x2 2x 3 2 x 1 x 2 x 1 Xét f x 2 f x 0 2x 1 2x 1 x 2 Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x , để f x đồng biến trên 0;3 thì m 2 , để f x đồng biến trên 3; 1 thì m 1 m  1;2 a2 b2 5 . Chọn D. x3 Ví dụ 10: Để hàm số y a 1 x2 a 3 x 4 đồng biến trên khoảng 0;3 thì giá trị cần tìm của 3 tham số a là 12 12 A. a 3.B. a 3.C. 3 a .D. a . 7 7 Lời giải Ta cĩ: y x2 2 a 1 x a 3 Để hàm số đồng biến trên khoảng 0;3 thì y 0 x 0;3 x2 2 a 1 x a 3 0 x 0;3 x2 2x 3 2ax a x2 2x 3 a a max f x * . 2x 1 0;3 x2 2x 3 Xét hàm số f x trên 0;3 . 2x 1 2x2 2x 8 Ta cĩ: f x 0 x 0;3 f x đồng biến trên khoảng 0;3 . 2x 1 2 12 12 Vậy f x f 3 . Do đĩ * a . Chọn D. 7 7 Ví dụ 11: Giá trị của tham số m sao cho hàm số y x3 2mx2 m 1 x 1 nghịch biến trên khoảng
23. 0;2 là 11 11 A. m 1.B. m .C. m .D. m 1. 9 9 Lời giải Ta cĩ: y 3x2 4mx m 1 Hàm số nghịch biến biến trên khoảng 0;2 3x2 4mx m 1 0 x 0;2 3x2 1 3x2 1 m 4x 1 x 0;2 m x 0;2 . 4x 1 3x2 1 Xét hàm số g x x 0;2 . 4x 1 2 6x 4x 1 4 3x 1 12x2 6x 4 Ta cĩ: g x 2 2 0 x 0;2 4x 1 4x 1 g x đồng biến trên đoạn 0;2 3x2 1 11 Ta cĩ: g x m x 0;2 m g 2 . Chọn C. 4x 1 9 Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 2x3 mx2 2x đồng biến trên khoảng 2;0 . 13 13 A. m 2 3 .B. m 2 3 .C. m .D. m . 2 2 Lời giải Cách 1: Ta cĩ: y 6x2 2mx 2 Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 y 0 x 2;0 . 1 mx 3x2 1 x 2;0 m 3x x 2;0 m max f x x 2;0 1 x loai 1 1 3 Xét f x 3x x 2;0 ta cĩ f x 3 0 x x2 1 x 3 13 1 Lại cĩ lim f x ; lim f x , f 2 3 x 0 x 2 2 3 Vậy m 2 3 . Chọn A. 1 1 1 Cách 2: f x 3x 3 x 2 3 max f x 2 3 khi x . x x 2;0 3
24. 1 Ví dụ 13: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y x3 mx đồng biến trên 5x5 khoảng 0; ? A. 5.B. 3.C. 0.D. 4. Lời giải 1 Ta cĩ: y 3x2 m x6 Để hàm số đồng biến trên khoảng 0; y 0 x 0; 1 g x 3x2 m x 0; min g x m * x6 0; 1 1 1 Lại cĩ: g x 3x2 x2 x2 x2 4 4 x2.x2.x2. 4 (Bất đẳng thức AM – GM) x6 x6 x6 Do đĩ * m 4 m 4 . Theo bài ta cĩ m 4; 3; 2; 1. Chọn D. Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x4 2 m 1 x2 m 2 đồng biến trên khoảng 1;3 . A. m 1.B. m 1.C. m 2 .D. m 2 . Lời giải Ta cĩ: y 4x3 4 m 1 x Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 4x3 4 m 1 x 0 x 1;3 (Do hàm số đã cho liên tục trên ¡ nên ta cĩ thể lấy x trên đoạn 1;3 ) g x x2 m 1 x 1;3 min g x m 1 1 m 1 m 2 . Chọn C. 1;3 Ví dụ 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x4 m2 x2 m đồng biến trên khoảng 0;4 . A. m 2;2 .B. m 0;2 .C. m  .D. m 0. Lời giải Ta cĩ: y 4x3 2m2 x Do hàm số đã cho liên tục trên ¡ nên nĩ đồng biến trên khoảng 0;4 y 0 x 0;4 4x3 2m2 x 0 x 0;4 2x2 m2 x 0;4 m2 0 m 0 . Chọn D.
25. 2 Ví dụ 16: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x3 2m 3 x2 2 m2 3m x 1 3 nghịch biến trên khoảng 1;3 ? A. 4.B. 1.C. 2.D. 3. Lời giải 2 2 Ta cĩ: y 2x 2 2m 3 x 2 m 3m 2 x m x m 3 0 m 3 x m Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 m 3 1 3 m 3 m 4 . Vậy cĩ 2 giá trị nguyên của tham số m 3;4 . Chọn C. x3 x2 Ví dụ 17: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 2m 1 m2 m 2 x 1 3 2 nghịch biến trên khoảng 1;2 . A. 0.B. 1.C. Vơ số.D. 3. Lời giải 2 2 Ta cĩ y x 2m 1 x m m 2 x m 2 x m 1 . Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 y 0, x 1;2 x m 2 x m 1 0 . m 2 x m 1 x 1 m 2 1 m 3 Với x 1;2 1 m 3 . x 2 m 1 2 m 1 Suy ra cĩ ba giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 . Chọn D. Ví dụ 18: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f x x2 4mx 4m2 3 nghịch biến trên khoảng ;2 . A. m 1.B. m 1.C. m 2 .D. m 2 . Lời giải Hàm số xác định x2 4mx 4m2 3 0 x 2m 2 3 0 (Luơn đúng). x 2m Ta cĩ f x x2 4mx 4m2 3 . x2 4mx 4m2 3 Hàm số nghịch biến trên khoảng ;2 , khi đĩ x 2m y 0 x ;2 0 x ;2 x2 4mx 4m2 3 x 2 Suy ra x 2m 0 x ;2 m x ;2 m 1. Chọn A. 2 2
26. Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3mx2 3 2m 1 x 1 nghịch biến trên đoạn cĩ độ dài bằng 2? A. m 0, m 2 .B. m 1.C. m 0 .D. m 2 . Lời giải 3 2 2 Ta cĩ y x 3mx 3 2m 1 x 1 3x 6mx 3 2m 1 . Hàm số nghịch biến trên đoạn cĩ độ dài bằng 2 PT y 0 là hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2 . Hàm số cĩ hai cực trị, khi đĩ Δ y 0 9m2 9 2m 1 0 m 1 2 0 m 1. x1 + x2 2m 2 Khi đĩ x1 x2 2 x1 x2 4 x1.x2 2m 1 2 2 2 m 0 x1 x2 4x1.x2 4 4m 4 2m 1 4 4m 8m 0 . Chọn A. m 2 1 Ví dụ 20: Tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện để hàm số y x3 mx2 3 2m x m 3 nghịch biến trên đoạn cĩ độ dài bằng 2 5 là: A. T 2 .B. T 2 .C. T 4 .D. T 4 . Lời giải Ta cĩ: y x2 2mx 3 2m . Hàm số nghịch biến trên đoạn cĩ độ dài bằng 2 5 khi phương trình x2 2mx 3 2m 0 * cĩ 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 x2 2 5 Phương trình (*) cĩ 2 nghiệm phân biệt khi Δ m2 2m 3 0 x1 x2 2m Theo định lí Vi-et ta cĩ: x1.x2 3 2m 2 2 2 Ta cĩ: x1 x2 2 5 x1 x2 20 x1 x2 4x1x2 20 4m 8m 12 20 t / m m 4 T 2 . Chọn B. m 2 Ví dụ 21: Xác định giá trị của b để hàm số f x sin x bx c nghịch biến trên tồn trục số. A. b 1.B. b 1. C. b 1.D. b 1. Lời giải Ta cĩ: y cos x b . Hàm số nghịch biến trên ¡ cos x b 0 x ¡ b cos x x ¡ b 1. Chọn D.
27. Ví dụ 22: : Xác định giá trị của m để hàm số f x sin 2x mx c đồng biến trên ¡ . A. m 2 .B. 2 m 2 .C. m 2 .D. m 2 . Lời giải Ta cĩ: y 2cos 2x m . Hàm số đồng biến trên ¡ y 0 x ¡ min y 2 m 0 m 2 . Chọn A. ¡ Ví dụ 23: Xác định giá trị của m để hàm số y msin x cos x m 1 x đồng biến trên ¡ . A. m 0 .B. 1 m 1.C. m 1.D. m 1. Lời giải Ta cĩ: y mcos x sin x m 1.Hàm số đồng biến trên ¡ y 0 x ¡ . m 1 min y m2 1 m 1 0 m 1 m2 1 2 2 ¡ m 2m 1 m 1 m 0 . Chọn A. Ví dụ 24: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y m 3 x 2m 1 cos x luơn nghịch biến trên ¡ . 2 2 A. 4 m .B. 4 m 3 .C. 1 m . D. 1 m 3. 3 3 Lời giải Ta cĩ: y m 3 2m 1 sin x . Hàm số nghịch biến trên ¡ y 0 x ¡ m 3 m 3 max y m 3 2m 1 0 3 m 2m 1 2 2 2 ¡ 3 m 2m 1 3m 10m 8 0 2 4 m . Chọn A. 3 Ví dụ 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3m 6 x2 3m2 12m x m2 m nghịch biến trên đoạn 1;3 . m 1 m 1 A. 0 m 1.B. .C. 1 m 1.D. . m 0 m 1 Lời giải 2 2 x m Ta cĩ: y 3x 6 m 2 x 3 m 4m 3 x m x m 4 ; y 0 . x m 4 Do đĩ phương trình y 0 luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt Bảng biến thiên x m m + 4
28. y + 0 0 + y m 1 m 1 Để hàm số nghịch biến trên 1;3 thì 1 m 1. Chọn C. m 4 3 m 1 Ví dụ 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 6mx2 12m2 3 x m 3 nghịch biến trên đoạn 0;1. 1 m 1 m 1 A. 1 m 1.B. .C. 2 . D. 0 m . m 1 2 m 0 Lời giải 2 2 x 2m 1 Ta cĩ: y 3x 12mx 12m 3 3 x 2m 1 x 2m 1 ; y 0 . x 2m 1 Do đĩ phương trình y 0 luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt Bảng biến thiên x 2m – 1 2m + 1 y + 0 0 + y 1 2m 1 0 m 1 Để hàm số nghịch biến trên 0;1 thì 2 0 m . Chọn D. 2m 1 1 2 m 0 Ví dụ 27: Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  20;20 để hàm số y x3 3 m 1 x2 9m2 6m x 2m 1 nghịch biến trên khoảng 2;4 là: A. 17.B. 36.C. 19.D. 41. Lời giải 2 Ta cĩ: y 3x 6 m 1 x 3m 3m 2 3 x m x 3m 2 0 Để hàm số nghịch biến trên khoảng 2;4 thì:
29. m 2 TH1: m 2 4 3m 2 m 2 . m 2 m 4 TH2: 3m 2 2 4 m 4 m 4 . m 3 m ¢ Kết hợp cĩ 36 giá trị nguyên của m. Chọn B. m  20;20 Ví dụ 28: Cho hàm số y 2x3 3 m 1 x2 6mx . Số giá trị nguyên dương của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2; là: A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Lời giải Yêu cầu bài tốn y 6 x2 m x 1 x m 0 x 2; x 1 x m 0 x 2; x m x 2; 2 m . Kết hợp m ¢ m 1;2 . Chọn B. Ví dụ 29: Cho hàm số y 2x3 3 m 2 x2 12mx 1. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m  10;10 để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 3; . Số phần tử của tập hợp S là A. 13.B. 14.C. 15.D. 16. Lời giải Ta cĩ: y 6x2 6 m 2 x 12m 0 x2 m 2 x 2m 0 . Giả thiết x m x 2 0 x 3 x m 0 x 3 x m x 3 3 m . m ¢ Kết hợp cĩ 14 giá trị của m. Chọn B. m  10;10 Ví dụ 30: Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x 1. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m  20;20 để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; . Số phần tử của tập hợp S là A. 22.B. 19.C. 21.D. 20. Lời giải Ta cĩ: y 3x2 6mx 3 m2 1 . Ta cĩ: y 0 x2 2mx m2 1 0 x m 1 x m 1 x m 1 0 . x m 1 Do vậy hàm số đồng biến trên ;m 1 và m 1;
30. Để hàm số đã cho đồng biến trên 0; m 1 0 m 1 m ¢ Kết hợp cĩ 20 giá trị nguyên của m. Chọn D. m  20;20 Ví dụ 31: Cho hàm số y x4 4 3m 2 x2 2m 1. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  20;20 để hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 A. 22.B. 23.C. 21.D. 20. Lời giải Ta cĩ: y 4x3 8 3m 2 x . Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 . 4x3 8 3m 2 x 0 x ; 2 x2 2 3m 2 0 x ; 2 (Do 4x 0 x ; 2 ) 4 2 3m 2 x2 x ; 2 2 3m 2 min x2 4 3m 2 2 m . ; 2 3 m ¢ Kết hợp cĩ 22 giá trị của m. Chọn A. m  20;20 Ví dụ 32: Cho hàm số y x4 2 2m 3 x2 m 1. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;3 . A. 8.B. 7.C. 6.D. 5. Lời giải Ta cĩ: y 4x3 4 2m 3 x . Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;3 . 4x3 4 2m 3 x 0 x 0;3 x2 2m 3 0 x 0;3 x2 2m 3 x 0;3 2m 3 9 m 3 m ¢ Kết hợp cĩ 8 giá trị của m. Chọn A. m  10;10 Ví dụ 33: Cho hàm số y x4 8 m2 5 x2 3m 1. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để hàm số đồng biến trên khoảng 3; . A. 4.B. 5.C. 6.D. 7. Lời giải Ta cĩ: y 4x3 8 m2 5 x . Hàm số đồng biến trên khoảng 3; . 4x3 8 m2 5 x 0 x 3; x2 2 m2 5 0 x 3; .
31. 19 2 m2 5 x2 x 3; 2 m2 5 9 m2 . 2 Kết hợp m ¢ m 0; 1; 2; 3. Chọn D.  Loại 2: Tính đồng biến nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số. ax b d  Xét hàm số y . TXĐ: D ¡ \ . cx d c  ax b ad bc Ta cĩ y y . cx d cx d 2 Nếu ad bc thì hàm số đã cho suy biến thành hàm hằng. Do đĩ: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ ad bc 0 . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ ad bc 0 . ad bc 0 Hàm số đồng biến trên miền D i; j y 0 x i; j d . i; j c ad bc 0 Hàm số nghịch biến trên miền D i; j y 0 x i; j d . i; j c x 1 Ví dụ 1: Cho hàm số y x 2m a) Tìm m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định. b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ; 10 . Lời giải 2m 1 a) TXĐ: D ¡ \ 2m. Ta cĩ: y x 2m 2 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi y 0 x D 2m 1 0 1 2m 1 m . 2 1 m 1 b) Hàm số đồng biến trên khoảng ; 10 2 5 m . 2 2m 10 x m 2 Ví dụ 2: Cho hàm số y x m a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 5; . Lời giải
32. m m 2 2m 2 a) TXĐ: D ¡ \ m . Ta cĩ: y x m 2 x m 2 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi 2m 2 0 2m 2 m 1 m 1 b) Hàm số đồng biến trên khoảng 5; 1 m 5. m 5 mx 4m Ví dụ 3: Cho hàm số y với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để x m hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S. A. 5.B. 4.C. Vơ số.D. 3. Lời giải m2 4m Ta cĩ: y . Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định y 0 x m x m 2 m2 4m 0 0 m 4 m ¢ m 1, m 2, m 3 . Chọn D. mx 16 Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y đồng biến trên các khoảng xác định là x m A. 8.B. 7.C. 6.D. 5. Lời giải m2 16 TXĐ: D ¡ \ m . Ta cĩ: y . Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định x m 2 y 0 x D m2 16 0 x  D 4 m 4 . Kết hợp m ¢ m 3; 2; 1;0;1;2;3 cĩ 7 giá trị của tham số m. Chọn B. mx 4 Ví dụ 5: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y đồng biến trên các khoảng xác định là 2x m A. 4.B. 7.C. 6.D. 5. Lời giải m m2 8 TXĐ: D ¡ \  . Ta cĩ: y . Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định 2  2x m 2 y 0 x D m2 8 0 2 2 m 2 2. Kết hợp m ¢ m 2; 1;0;1;2 cĩ 5 giá trị của tham số m. Chọn D. m 1 x 20 Ví dụ 6: Cho hàm số y . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số x m nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Số phần tử của tập hợp S là:
33. A. 8.B. 9.C. 10.D. 11. Lời giải m m 1 20 TXĐ: D ¡ \ m . Ta cĩ: y . x m 2 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định y 0 x D m2 m 20 0 5 m 4 . Kết hợp m ¢ m 4; 3; 2; 1;0;1;2;3 cĩ 8 giá trị của tham số m. Chọn A. mx 5m 4 Ví dụ 7: Cho hàm số y . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m  10;10 để x m hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 16.B. 10.C. 15.D. 15. Lời giải m2 5m 4 TXĐ: D ¡ \ m . Ta cĩ: y . x m 2 2 m 4 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định y 0 x D m 5m 4 0 . m 1 Kết hợp m ¢ m 10; 9; ;0 5;6;7;8;9;10 . Tổng các phần tử của tập hợp S bằng 4 3 2 1 10 . Chọn B. mx 1 Ví dụ 8: Số giá trị nguyên của tham số m  10;10 để hàm số y nghịch biến trên từng khoảng mx 2 xác định là: A. 10.B. 11.C. 12.D. 13. Lời giải 1 Với m 0 y khơng thỏa mãn yêu cầu. 2 2  3m Với m 0 . TXĐ: D ¡ \  . Ta cĩ: y . m mx 2 2 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định y 0 x D 3m 0 m 0 . Vậy cĩ 10 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A. x m 1 Ví dụ 9: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y đồng biến trên từng khoảng xác định. mx 2 A. 2.B. 3.C. 4.D. Vơ số. Lời giải
34. x 1 Với m 0 y (thỏa mãn đồng biến trên khoảng xác định). 2 2 2 m m 1 Với m 0 khi đĩ TXĐ: D ¡ \  . Ta cĩ: y . m  mx 2 2 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định y 0 x D m2 m 2 0 2 m 1. Kết hợp m ¢ m 1;0 . Chọn A. x 2 Ví dụ 10: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y đồng biến trên khoảng x 5m ; 10 ? A. 3.B. Vơ số.C. 1.D. 3. Lời giải 5m 2 y 0 2 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 10 x 5m x ; 10 5m 10 2 m 2 . Kết hợp m ¢ m 1;2. 5 Vậy cĩ hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chọn A. x 6 Ví dụ 11: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng x 5m 10; ? A. 3.B. Vơ số.C. 4.D. 5. Lời giải 5m 6 y 0 2 Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 10; x 5m x 10; 5m 10 6 2 m . Kết hợp m ¢ m 2; 1;0;1 . 5 Vậy cĩ 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chọn C. m 1 x 12 Ví dụ 12: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng x m ;0 ? A. 3.B. Vơ số.C. 4.D. 5. Lời giải
35. 2 m2 m 12 m m 12 0 Ta cĩ: y 2 . Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 x m m ;0 3 m 4 3 m 0 . Kết hợp m ¢ m 2; 1;0 . m 0 Vậy cĩ 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chọn A. mx 20 Ví dụ 13: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng x m 1 0; ? A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Lời giải 2 m2 m 20 m m 20 0 Ta cĩ: y 2 . Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; x m 1 1 m 0; 4 m 5 1 m 5 . Kết hợp m ¢ m 1;2;3;4. 1 m 0 Vậy cĩ 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chọn B. 2x 7 Ví dụ 14: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng x m 2; ? A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Lời giải 2m 7 2m 7 0 Ta cĩ: y 2 . Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; x m m 2; 7 m 7 2 m 2 . 2 m 2 Kết hợp m ¢ m 3; 2; 1;0;1;2 cĩ 6 giá trị nguyên của tham số m. Chọn D. m2 x 5 Ví dụ 15: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y nghịch biến trên 2mx 1 khoảng 3; ? A. 55.B. 35.C. 40.D. 45. Lời giải 1 m2 10m HD: Điều kiện: x . Ta cĩ: y . 2m 2mx 1 2
36. 0 m 10 y 0 m2 10m 0 m 0 Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; 1 6m 1 0 m 10 3 0 1 2m 2m m 6 Mà m ¢ m 1;2;3;4;5;6;7;8;9 Tổng các số nguyên là 45. Chọn D. DẠNG 3: BÀI TỐN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỢP  Loại 1: Đổi biến số Xét bài tốn: Tìm m để hàm số y f u x đồng biến hoặc nghịch biến trên D a;b . Phương pháp giải: x a t u a Cách 1: Đặt ẩn phụ: Đặt t u x t u x , x b t u b . Nếu t u x 0 x D thì bài tốn đồng (nghịch) biến trở thành bài tốn tìm m để hàm số y f t đồng (nghịch) biến trên Dt u a ;u b . . Nếu t u x 0 x D thì bài tốn đồng (nghịch) biến trở thành bài tốn tìm m để hàm số y f t nghịch (đồng) biến trên Dt u a ;u b . Cách 2: Tính trực tiếp đạo hàm. Chú ý cơng thức đạo hàm của hàm hợp: y f u .u x . tan x 1 Ví dụ 1: [Đề minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y tan x m đồng biến trên khoảng 0; . 4 m 0 A. .B. m 0 .C. 1 m 2 .D. m 2 . 1 m 2 Lời giải Cách 1: ĐK: tan x m . m 2 1 Khi đĩ y . tan x m 2 cos2 x tan x m Hàm số đồng biến trên khoảng 0; m 2 1 x 0; . . 0 4 2 2 4 tan x m cos x m 0 m 0 m 1 . Chọn A. 1 m 2 m 2 0
37. 1 Cách 2: [Đặt ẩn phụ] Đặt t tan x t 2 0 x 0; ; với x 0; t 0;1 . cos x 4 4 t 2 Khi đĩ bài tốn trở thành tìm m để hàm số f t đồng biến trên khoảng 0;1 t m m t m 1 m 2 m 0 . Chọn A. f t 2 0 t 0;1 m 0 1 m 2 t m m 2 mcos x 2 Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y nghịch biến trên khoảng 2cos x m ; . 3 2 A. 2 m 0 hoặc 1 m 2 .B. 1 m 2 . C. 2 m 0 . D. m 2 . Lời giải 2 m2 4 m 4 sin x Ta cĩ: y . sin x 2cos x m 2 2cos x m 2 m2 4 0 Hàm số đã cho nghịch biến trên ; y 0 x ; 3 2 3 2 2cos x m x ; 3 2 2 m 2 2 m 0 . Chọn A. m 0;1 1 m 2 cos x 2 Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y nghịch biến trên khoảng cos x m ;0 . 2 A. m 0 hoặc 1 m 2 .B. m 0 . C. 1 m 2 D. m 2 . Lời giải m 2 Ta cĩ: y 2 .sin x . Do đĩ sin x 0 x ;0 . mcos x 1 2 m 2 m 2 0 m 0 Hàm số nghịch biến trên ;0 m 1 . Chọn A. 2 m 0;1 1 m 2 m 0
38. 2cos x 3 Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y nghịch biến trên khoảng 2cos x m 0; . 3 m 3 3 m 1 A. m 3 .B. .C. m 3 .D. . m 2 m 2 Lời giải 2cos x 3 2m 6 sin x Ta cĩ: y 2 . 2cos x m 2cos x m y 0 2m 6 sin x 0 Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 3 x 0; x 0; 3 3 2m 6 0 m 3. 2cos x m 0 m 2cos x Mặt khác 1 m 1;2 m 3. Chọn C. x 0; cos x ;1 3 2 cot x 1 Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên khoảng mcot x 1 ; . 4 2 A. m ;0  1; . B. m 1; .C. m ;0 . D. m ;1 . Lời giải 1 m 1 Ta cĩ: y 2 . 2 mcot x 1 sin x 1 + Với m 0 y 1 cot x y 2 0 Hàm số đồng biến trên khoảng ; . sin x 4 2 y 0 + Với m 0 , hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 x ; 4 2 cot x 4 2 m m 1 1 m 0 1 0 m 1 1 m . 0;1 m 0 m 1 1 m Kết hợp 2 trường hợp suy ra m 1 là giá trị cần tìm. Chọn D.
39. msin2 x 16 Ví dụ 6: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y 2 nghịch biến trên khoảng 0; . cos x m 1 2 A. 5.B. 8.C. 7.D. 6. Lời giải 2 2 msin x 16 msin x 16 2 2 Ta cĩ: y 2 2 Do cos x 1 sin x cos x m 1 sin x m m2 16 m2 16 2 Khi đĩ y 2 . sin x 2 .2sin x cos x sin2 x m sin2 x m Do 2sin x cos x 0 x 0; do đĩ hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 2 m2 16 0 4 m 4 0; 2 . 2 sin x m x 0; m 0;1 2 Kết hợp m ¢ cĩ 7 giá trị của m. Chọn C. m 1 x 4 Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên khoảng 1 x m 0;1 . m 2 2 m 0 2 m 0 A. .B. 2 m 2 .C. .D. . m 2 1 m 2 1 m 2 Lời giải 1 Đặt t 1 x t 0 x 0;1 với x 0;1 t 0;1 2 1 x mt 4 Khi đĩ bài tốn trở thành tìm m để hàm số f t nghịch biến trên khoảng 0;1 . t m m 1 m t m 0 m 2 m2 4 t 0;1 . Chọn A. f t 0 2 m 2 m 2 t m m 2 1 5x 2 Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y nghịch biến trên khoảng 1 5x m 1 0; . 5 m 0 A. B. m 0 C. 1 m 2 D. m 2 1 m 2
40. Lời giải 5 1 1 Đặt t 1 5x t 0 x 0; với x 0; t 0;1 2 1 5x 5 5 t 2 Khi đĩ bài tốn trở thành tìm m để hàm số f t đồng biến trên khoảng 0;1 . t m m t m 1 m 0 m 2 t 0;1 m 0 . Chọn A. f t 0 2 1 m 2 t m m 2 4 Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y m x2 2x x 3 x 3 x luơn 3 đồng biến trên tập xác định. 2 1 4 3 A. m .B. m .C. m . D. m . 3 2 3 2 Lời giải 4 Ta cĩ: y m x2 2x x 3 x 3 x y 2m x 1 2 x 3 1; x 3 3 1 Đặt t x 3 0 t 0 x 3 x t 2 3, khi đĩ y f t 2m t 2 2 2t 1. 2 x 3 Để hàm số đồng biến trên tập xác định f t 0; t 0 2m t 2 2 2t 1; t 0 . 2t 1 2t 1 2m ; t 0 2m max g t với hàm số g t t 2 2 0; t 2 2 2 2t 1 t 1 Mặt khác g t 1 1 0 g t 1 max g t 1 t 2 2 t 2 2 0; 1 Vậy 2m 1 m là giá trị cần tìm. Chọn B. 2  Loại 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho trực tiếp Phương pháp giải: Cơng thức đạo hàm của hàm hợp f u f u .u . Lập bảng xét dấu y của hàm số đã cho và kết luận. 2 Ví dụ 1: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm f x x 1 2x 1 x 1 trên ¡ . a) Tìm khoảng đồng biến của hàm số g x f 1 2x . b) Tìm khoảng nghịch biến của hàm số h x f x 3 . Lời giải
41. 2 a) Ta cĩ: g x f 1 2x f 1 2x . 1 2x 2 1 2x 1 2 1 2x 1 1 2x 1 g x 8x2 1 4x 2 2x 16x2 4x 1 x 1 Bảng xét dấu cho g x . 1 x 0 1 4 g x 0 0 + 0 1 Vậy hàm số g x đồng biến trên khoảng ;1 . 4 2 b) Ta cĩ: h x f x 3 f x 3 . x 3 x 3 1 2 x 3 1 x 3 1 h x x 2 2 2x 5 x 4 0 Bảng xét dấu cho h x 5 x 4 2 2 h x + 0 0 + 0 + 5 Vậy hàm số h x nghịch biến trên khoảng 4; . 2 Ví dụ 2: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm trên ¡ và f x x 1 x 2 . a) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số g x f x2 2 . 3x2 b) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số h x f 1 x 5x 1. 2 Lời giải a) Ta cĩ: g x 2x. f x2 2 2x. x2 2 1 x2 2 2 2x. x2 1 x2 4 . Bảng xét dấu cho g x . x 2 1 1 2 g x + 0 0 + 0 0 + Vậy hàm số g x đồng biến trên các khoảng ; 2 ; 1;1 và 2; . Vậy hàm số g x nghịch biến trên các khoảng 2; 1 và 1;2 . b) Ta cĩ: h x f 1 x 3x 5 f 1 x 3x 5 1 x 1 1 x 2 3x 5 x 2 1 x 3x 5 x2 4x 3 x 1 (x 3) .
42. Bảng xét dấu cho h x x 1 3 h x 0 + 0 Vậy hàm số h x đồng biến trên khoảng 1;3 và nghịch biến trên các khoảng ;1 và 3; . Ví dụ 3: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm trên ¡ và f x x2 x . a) Tìm .khoảng đơn điệu của hàm số g x f 2x 1 12x . 16x3 b) Tìm khoảng đơn điệu của hàm số h x f x2 16x 2 . 3 Lời giải a) Ta cĩ: g x 2 f 2x 1 12 2. 2x 1 2 2x 1 12 2 4x2 2x 6 4 2x 3 x 1 Bảng xét dấu cho g x . 3 x 1 2 h x + 0 0 + 3 3 Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; và 1; , hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 . 2 2 b) Ta cĩ: h x 2x. f x2 2x(x4 x2 ) 16x2 16 2x3 x2 1 16 x2 1 2 x2 1 x3 8 Bảng xét dấu cho h x . x 2 1 1 g x 0 + 0 0 + Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 2; 1 và 1; , hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 và 1;1 . Ví dụ 4: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm f x x 2 2x 5 x ¡ . Tìm khoảng đồng biến của 1 hàm số y f x2 2 x4 2 2 A. 1;1 .B. 0;2 .C. 1; .D. 3;0 . Lời giải 1 Ta cĩ: y f x2 2 x4 2 y 2x. f x2 2 2x3 2x.x2 2x2 4 5 2x3 2
43. 2x3 2x2 2 4x3 x 1 x 1 . Bảng xét dấu cho y . x 1 0 1 y 0 + 0 0 + Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 1; . Chọn C. 2 Ví dụ 5: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm f x x3 x 1 2x 1 trên ¡ và hàm số g x f x 2 . Hàm số g x nghịch biến trên khoảng nào sau đây: 3 3 3 A. ; 2 .B. 2; .C. 2; .D. ; . 2 2 2 Lời giải 3 2 Ta cĩ: g x f x 2 x 2 x 2 1 2 x 2 1 3 2 3 x 2 x 1 . 2x 3 0 x 2 2x 3 0 2 x . 2 3 Suy ra hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2; . Chọn B. 2 2 Ví dụ 6: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm f x x2 x x 2 trên ¡ và hàm số g x f x2 1 . Hàm số g x đồng biến trên khoảng nào sau đây: A. 1;0 .B. 0;1 .C. 2; 1 . D. 1;1 . Lời giải Ta cĩ: f x x2 x x 2 2 x x 1 x 2 2 2 2 2 Khi đĩ g x f x 1 x 1 . f x 1 2 x 1 2 2 2 2 2x x 1 .x x 1 2 0 x x 1 0 1 x 0 Suy ra hàm số g x đồng biến trên khoảng 1;0 . Chọn A. Ví dụ 7: Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên ¡ , biết rằng f x x2 x , hàm số y f x2 1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 1;2 .B. 1;1 .C. 0;1 .D. ; 1 . Lời giải Ta cĩ cơng thức đạo hàm của hàm hợp f u f u .u x .
44. 2 2 2 3 Do đĩ f x 1 f x 1 .2x 2 x 1 x . x 1 2 Vẽ bảng xét dấu ta cĩ: f x 1 0 . 1 x 0 Do đĩ hàm số y f x2 1 đồng biến trên khoảng 1;0 và 1; . Chọn A. 2 5x Ví dụ 8: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm f x x x 1 x 2 . Hỏi hàm số y f 2 đồng x 4 biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 2 .B. 0;2 .C. 2;4 . D. 2;1 . Lời giải 5x x2 4 2x2 4 x2 Ta cĩ: 2 5. 2 5. 2 . x 4 x2 4 x2 4 5x 4 x2 5x 5x 2 5x Xét hàm số: y f 2 y 5. 2 . 2 2 1 2 2 0 x 4 x2 4 x 4 x 4 x 4 4 x2 x. 5x 2x2 8 0 x 2 x(x 2) 2x2 5x 8 0 x 2 x 2 x(x 2) 0 . 2 x 0 5x Vậy hàm số y f 2 đồng biến trên khoảng 2; nên nĩ đồng biến trên khoảng 2;4 . x 4 Chọn C. Ví dụ 9: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm f x x2 x 2 x ¡ . Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y f x2 18x2 2 A. 0;1 .B. 2;0 .C. 1;3 . D. 2; . Lời giải 2 2 2 2 Ta cĩ: y f x 18x 2 y 2x. f x 36x 2x. f x 18 2x x4 x2 2 18 2x x2 4 x2 5 . Bảng xét dấu cho y x 2 0 2 y 0 + 0 0 + Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 . Chọn A.
45. Ví dụ 10: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm f x x2 x 1 x2 4 . Hàm số y f 2 x đồng biến trên khoảng nào? A. ;0 .B. 0;1 .C. 2; .D. 1;4 . Lời giải Ta cĩ: f x x2 x 1 x2 4 x2 x 1 x 2 x 2 . Khi đĩ: y f 2 x y 2 x 2 1 x x 4 x x 2 2 x x 1 x 4 0 x 4 x x 1 x 4 0 . 0 x 1 Vậy hàm số y f 2 x đồng biến trên khoảng 0;1 . Chọn B. Ví dụ 11: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm f x x 3 x2 x . Hàm số x4 g x f x2 2x 2x3 2x2 đồng biến trên khoảng nào sau đây? 2 A. 2; 1 .B. 1;0 .C. 0;1 .D. 4; 3 . Lời giải Ta cĩ: f x x 3 x2 x ; g x 2x 2 . f x2 2x 2x3 6x2 4x 2 x 1 x2 2x 3 x2 2x x2 2x 1 2x x2 3x 2 2 2 2x x 1 x 2 x 2x 3 x 2x 1 1 2 Do x2 2x 1 x 1 0 x ¡ nên x2 2x 3 x2 2x 1 1 0 x ¡ x 0 Do đĩ g x 0 x x 1 x 2 0 . 2 x 1 Vậy g x đồng biến trên khoảng 2; 1 và 1; . Chọn A. Ví dụ : Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm cấp 2 xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn 2 f x f x f x x x 1 x 2 ,x ¡ . Hàm số g x f x . f x đồng biến trên khoảng nào? A. 0;2 .B. ;0 .C. 2; .D. 1;2 . Lời giải 2' x 1 Ta cĩ: g x f x .f x f x .f x f x x x 1 x 2 0 . 0 x 1 Do đĩ hàm số g x đồng biến trên khoảng 1; nên nĩ đồng biến trên khoảng 2; . Chọn C.
46. Ví dụ : Cho hàm số y f x liên tục và cĩ đạo hàm f x x x 1 2 x2 mx 16 . Cĩ bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số y f 4 x đồng biến trên khoảng 4; ? A. 6.B. 8.C. 5.D. 7. Lời giải Ta cĩ: y f 4 x y 4 x 3 x 2 t 2 mt 16 với t 4 x, x 4 t 0 . 2 2 Hàm số đồng biến trên khoảng 4; x 4 x 3 t mt 16 0 x 4; 16 t 2 mt 16 0 t 0 t 2 16 mt t 0 t m t 0 t 16 min g t m , với g t t ;0 t 16 Mặt khác theo BĐT AM – GM ta cĩ: g t 2 t. 8 m 8 là giá trị cần tìm. t Kết hợp m ¢ cĩ 8 giá trị nguyên dương của m. Chọn B.  Loại 3: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho qua bảng biến thiên hoặc đồ thị. Phương pháp giải: Giả sử giả thiết bài tốn cho đồ thị hàm f x với mọi x ¡ như hình vẽ dưới đây. . Đối với bài tốn tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y f x ta dựa đồ thị f x như hình vẽ để tìm khoảng đồng biến nghịch biến. . Đối với bài tốn tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm hợp y f u ta làm như sau: Ta thấy f x đổi dấu qua các điểm x b, x c, x d và f x bằng khơng nhưng khơng đổi dấu tại các điểm x a, x e nên ta cĩ thể thiết lập biểu thức đạo hàm:
47. f x k x a 2 x b x c x d x e 2 Trong đĩ hệ số k 0 nếu lim f x 0 và k 0 nếu lim f x 0 . x x Trong hình vẽ trên ta thấy k 0 (vì khi x thì f x 0 nên ta cĩ thể giả sử: 2 2 f x x a x b x c x d x e từ đĩ suy ra đạo hàm của hàm hợp f u u . f u . Từ đĩ lập bảng xét dấu và kết luận. Ví dụ 1: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x cĩ đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 0;2 . B. 1;3 . C. 1;1 . D. ;2 . Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta thấy 1 x 3 thì đồ thị hàm số y f x nằm ở dưới trục hồnh nên f x 0 hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 1;3 . Chọn B. Ví dụ 2: [Đề thi minh họa của Bộ GD&ĐT năm 2018] Cho hàm số y f x . Hàm số y f x cĩ đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số y f 2 x đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 1;3 .B. 2; . C. 2;1 .D. ; 2 . Lời giải Cách 1: Giả sử f x x 1 x 1 x 4 ta cĩ: f 2 x f 2 x . 2 x f 2 x 2 x 1 2 x 1 2 x 4 x 3 x 1 x 2 0 . Bảng xét dấu f 2 x x 2 1 3 y 0 + 0 0 +
48. Vậy hàm số đồng biến trên 2;1 và 3; . Cách 2: Ta cĩ: f 2 x f 2 x . 2 x f 2 x 0 f 2 x 0 2 x 1 x 3 Dựa vào đồ thị ta cĩ: f 2 x 0 . 1 2 x 4 2 x 1 Vậy hàm số đồng biến trên 2;1 . Chọn C. Ví dụ 3: Cho hàm số y f x cĩ bảng xét dấu như sau: x 2 0 2 y + 0 0 + 0 Hàm số y f x2 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;0 .B. 2; .C. 0;2 . D. ; 2 . Lời giải Dựa vào bảng xét dấu ta cĩ thể giả sử f x x 2 x x 2 (Chú ý: Do lim f x 0 nên ta chọn k 1). x Khi đĩ y f x2 2 y 2x.x2 x2 2 x2 4 0 x 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 0 0 x 2 . 2 x 2 Vậy hàm số y f x2 2 nghịch biến trên khoảng 2; . Chọn B. Ví dụ 4: Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: x 1 3 y + 0 0 + Hàm số y f 3 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;0 .B. 4;6 .C. 1;5 .D. 0;4 . Lời giải Dựa vào bảng xét dấu ta giả sử f x x 1 x 3 . Khi đĩ y f 3 x y 3 x 1 3 x 3 4 x x 0 x x 4 0 0 x 4 . Do đĩ hàm số y f 3 x đồng biến trên khoảng 0;4 . Chọn D.
49. Ví dụ 5: Cho hàm số y f x . Biết rằng hàm số y f x cĩ đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số y f 3 x2 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 0;1 . B. 1;0 . C. 2;3 . D. 2; 1 . Lời giải Giả sử f x x 6 x 1 x 2 , ta cĩ: y f 3 x2 y 2x. f 3 x2 . 2x. 3 x2 6 3 x2 1 3 x2 2 2x x2 9 x2 4 x2 1 Bảng xét dấu cho y : x 3 2 1 0 1 2 3 y 0 + 0 0 + 0 0 + 0 0 + Do đĩ hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 . Chọn B. Ví dụ 6: Cho hàm số y f x . Biết rằng hàm số y f x cĩ đồ thị như hình bên. Hàm số g x f 1 2x đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 1;0 . B. ;0 . C. 0;1 . D. 1; . Lời giải Giả sử f x x 1 x 1 x 2 x 4 2 Suy ra g x f 1 2x . 1 2x 2 2x 2x 1 2x 3 2x 2 . 2 0 x 1 x 1 x 2x 1 0 1 hàm số g x f 1 2x đồng biến trên khoảng 1; . x 1 2
50. Chọn D. Ví dụ 7: Cho hàm số y f x . Biết rằng hàm số y f x cĩ đồ thị như hình bên. Hàm số g x f 3 2x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 0;2 . B. 1;3 . C. ; 1 . D. 1; . Lời giải Giả sử f x x 2 x 2 x 5 Ta cĩ g x f 3 2x . 3 2x 5 2x 1 2x 2 2x . 2 0 . x 1 2x 5 2x 1 x 1 0 1 5 hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 . Chọn C. x 2 2 Ví dụ 8: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ cĩ đồ thị như hình bên. Hàm số y f x2 2x 3 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ;0 . B. 2; . C. 1;2 . D. ;2 . Lời giải Giả sử f x x2 x 2 x 3 2 2 Ta cĩ f x 2x 3 2x 2 . f x 2x 3 . 2 2 2 2 x 2 2x 2 x 2x 3 . x 2x 1 . x 2x 0 2x 2 x x 2 0 . 0 x 1 Do đĩ hàm số y f x2 2x 3 nghịch biến trên khoảng 2; . Chọn B.
51. Ví dụ 9: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ cĩ đồ thị như hình bên. Hàm số g x 2 f x x2 4x 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ; 1 , 1;2 . B. 1;1 , 2; . C. 1;2 . D. ; 1 , 2; . Lời giải Ta cĩ: g x 2 f x 2x 4 0 f x x 2 . Vẽ đồ thị hàm số y f x và y x 2 trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, ta thấy với x 2 hoặc 1 x 1 thì đồ thị hàm số y f x nằm trên đường thẳng y x 2 . x 2 Vậy nên f x x 2 . 1 x 1 Do đĩ hàm số g x đồng biến trên các khoảng 1;1 , 2; .Chọn B. Ví dụ 10: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2019] Cho hàm số f x cĩ bảng xét dấu của đạo hàm như sau: x 1 2 3 4 f x 0 + 0 + 0 0 + Hàm số y 3 f x 2 x3 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; .B. ; 1 .C. 1;0 . D. 0;2 . Lời giải Ta cĩ: y 3 f x 2 3x2 3; y 0 f x 2 x2 1 * Đặt t x 2 , khi đĩ * f t t 2 2 1 t 2 4t 3 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy t 1;2  f t 0 Và t 2 4t 3 0;t 1;2 suy ra f t t 2 4t 3 1 t 2 .
52. Do đĩ y 0 1 x 2 2 1 x 0 . Vậy hàm số đồng biến trên 1;0 . Chọn C. Ví dụ 11: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ , đạo hàm f x cĩ bảng xét dấu như sau: x 1 2 3 4 f x + 0 0 0 + 0 x3 Hàm số y f x 1 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 A. 2;3 .B. 1;2 .C. 3;4 .D. 0;1 . Lời giải Ta cĩ: y f x 1 x2 1. Đặt t x 1, khi đĩ y f t t 1 2 1 f t t 2 2t . Để hàm số nghịch biến thì y 0 f t 0 f t 0 Ta chọn t sao cho: t 2;3 x 1;2 . 2 t 2 t 2t 0 t 0 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 .Chọn B. Ví dụ 12: Cho hàm số y f x cĩ đồ thị đạo hàm f x trên ¡ như hình bên dưới và hàm số g x f x2 x 2 . Hàm số g x đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 1;0 . B. 0;1 . 1 C. 2; . 2 D. 4; 2 . Lời giải Giả sử f x x 2 x 2 x 1 2 2 2 Khi đĩ g x f x x 2 x x 2 . f x x 2 x 0 2 2 2 2x 1 x x 4 x x x x 3 0 2x 1 x x 1 0 1 . 1 x 2
53. Suy ra hàm số g x đồng biến trên khoảng 0;1 . Chọn B. Ví dụ : Cho hàm số y f x cĩ đồ thị đạo hàm f x như hình vẽ. Xét hàm số 1 3 3 g x x3 x2 x f x . Khẳng định nào 3 4 2 sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; 1 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 . Lời giải 2 3 3 Khẳng định 1 đúng. Ta cĩ: g x x x f x 0 2 2 3 3 Parabol y x2 x h x đi qua 3 điểm 3;3 , 1;2 và 1;1 . 2 2 x 3 Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị ta cĩ: g x h x f x 0 x 1 . x 1 3 3 Khi x thì f x x2 x g ' x 0 do đĩ ta cĩ bảng xét dấu. 2 2 x 3 1 1
54. f x 0 + 0 0 + Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 nên hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0 . Chọn C. Ví dụ 14: Cho hàm số y f x cĩ đồ thị đạo hàm f x như hình vẽ. 1 Hàm số g x f x x3 2018 nghịch biến trên 3 khoảng nào sau đây. A. 1;1 . B. 1;0 . C. 0;2 . D. 2; 1 . Lời giải Ta cĩ: g x f x x2 , parabol y x2 cũng đi qua các điểm 1;1 , 0;0 , 1;1 nằm trên đồ thị (Parabol y x2 cĩ đồ thị đậm hơn trong hình vẽ dưới). x 1 2 2 Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị ta cĩ f x x 0 x 0 , x f x x . x 1 Từ đĩ, ta cĩ bảng xét dấu cho g x như sau: x 1 0 1
55. g x + 0 0 + 0 Do đĩ hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1;0 . Ví dụ 15: Cho hàm số y f x cĩ đồ thị đạo hàm f x như 1 hình vẽ. Hàm số g x f x x3 x2 x nghịch biến trên 3 khoảng nào sau đây. A. 0;1 . B. 1;2 . C. 1;1 . D. 2; . Lời giải Ta cĩ: g x f x x2 2x 1 0 f x x 1 2 . Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y f x và Parabol y x 1 2 ta cĩ: x 0 2 f x x 1 x 1 . Từ đĩ ta cĩ bảng xét dấu của g x như sau: x 2 x 0 1 2 g x 0 + 0 0 +
56. Do đĩ hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1;2 . Chọn B. Ví dụ 16: Cho hàm số y f x cĩ đồ thị như hình vẽ Hàm số y f x2 2x 1 2018 giảm trên khoảng A. ;1 .B. 2; .C. 0;1 .D. 1;2 . Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y f x f x đổi dấu khi qua các điểm x 1; x 1. Giả sử f x k x 1 x 1 , lim f x 0 k 0 ta cĩ: x y f x2 2x 1 2018 y 2x 2 . f x2 2x 1 k 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 1 x 2 2k x 1 x x 2 . x 1 1 0 x x 1 x 2 0 . x 0 Do đĩ hàm số giảm trên khoảng 1;2 . Chọn D. Ví dụ 17: Cho hàm số y f x cĩ đồ thị đạo hàm y f x như hình vẽ. Hàm số g x 2 f x x 1 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây. A. 3;1 . B. 1;3 . C. ;3 . D. 3; . Lời giải
57. Ta cĩ: g x 2 f x 2 x 1 2 f x x 1 0 f x x 1. x 3 Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y f x và y x 1 ta cĩ f x x 1 x 1 . x 3 Dễ thấy khi x thì x 1 f x g x 0 ta cĩ bảng xét dấu g x x 3 1 3 g x + 0 0 + 0 Hàm số y g x đồng biến trên khoảng ;3 và 1;3 . Chọn B. Ví dụ 18: Cho hàm số y f x cĩ đồ thị đạo hàm y f x như hình vẽ. Đặt h x 2 f x x2 . Hàm số y h x đồng biến trên khoảng nào sau đây. A. ; 2 . B. 2;4 . C. 2;2 . D. 2; . Lời giải Ta cĩ: h x 2 f x 2x 2 f x x 0 f x x
58. x 2 Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y f x và y x ta cĩ f x x x 2 . x 4 Lập bảng xét dấu cho h x x 2 2 4 h x 0 + 0 0 + Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số y h x đồng biến trên khoảng 2;2 . Chọn C. Ví dụ 19: Cho hàm số y f x cĩ đồ thị đạo hàm y f x là Parabol như hình vẽ bên. Hàm số y f 1 x2 6x2 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ; 1 .B. 2; . C. 2;0 .D. 1; 2 . Lời giải Giả sử f x k x 1 x 2 , do f 0 2 k 1 f x x 1 x 2 . Khi đĩ: y f 1 x2 6x2 y 2x 1 x2 1 1 x2 2 12x 2 2 2 2 2x x x 1 6 2x x 3 x 2 Bảng xét dấu x 3 0 3 y + 0 0 + 0
59. Do đĩ hàm số đồng biến trên khoảng 0; 3 và ; 3 . Do đĩ hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2 . Chọn D. Ví dụ 20: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như sau: x -1 1 2 f x 2 Bất phương trình f x x3 x2 3x m đúng với mọi x 1;1 khi và chỉ khi A. m f 1 1.B. m f 1 1.C. m f 1 3.D. m f 1 3. Lời giải Bất phương trình f x x3 x2 3x m f x x3 x2 3x m x 1;1 . Xét g x f x x3 x2 3x g x f x 3x2 2x 3 Do Parabol y 3x2 2x 3 đi qua 2 điểm 1;2 và 1; 2 nên ta thấy f x 3x2 2x 3 x 1;1 suy ra hàm số g x f x x3 x2 3x đồng biến trên khoảng 1;1 nên g x g 1 x 1;1 . Suy ra m f 1 1 là giá trị cần tìm. Chọn B. Ví dụ 21: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho hai hàm số y f x và y g x . Hai hàm số y f x và y g x cĩ đồ thị như hình vẽ dưới đây, trong đĩ đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số y g x . Hàm 5 số h x f x 6 g 2x đồng biến trên khoảng 2 nào dưới đây? 21 1 A. ; .B. ;1 . 5 4 21 17 C. 3; . D. 4; . 5 4 Lời giải 5 Ta cĩ: h x f x 6 2g 2x 0 2
60. Trên đoạn 3;8, ta được min f x f 3 10;max g x g 8 5 . 3;8 3;8 Do đĩ f x 2g x 0 f x 2g x ;x 3;8 3 x 6 8 1 5 1 Nếu 5 x 2 thì f x 6 2g 2x h x 0 trên khoảng ;2 . 3 2x 8 4 2 4 2 1 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;2 . Chọn B. 4 Ví dụ 22: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho hai hàm số y f x và y g x . Hai hàm số y f x và y g x cĩ đồ thị như hình vẽ dưới đây, trong đĩ đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số 7 y g x . Hàm số h x f x 3 g 2x đồng biến trên 2 khoảng nào dưới đây? 13 29 36 36 A. ;4 .B. 7; .C. 6; .D. ; 4 4 5 5 Lời giải 7 Ta cĩ: h x f x 3 2g 2x 0 2 Trên đoạn 3;8, ta được min f x f 3 10;max g x g 8 5 . 3;8 3;8 Do đĩ f x 2g x 0 f x 2g x ;x 3;8 3 x 3 8 13 7 13 Nếu 7 x 5 thì f x 3 2g 2x h x 0 trên khoảng ;5 . 3 2x 8 4 2 4 2 13 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;4 . Chọn A. 4 DẠNG 4: ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ TRONG BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH . Bài tốn 1: Giải phương trình h x g x Biến đổi và vận dụng kết quả: Nếu hàm số f t luơn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì phương trình f t 0 cĩ tối đa một nghiệm và với mọi u,v D thì f u f v u v . . Bài tốn 2: Giải bất phương trình h x g x Biến đổi bất phương trình về dạng f u f v và sử dụng kết quả:
61. Hàm số f t đồng biến trên D thì u,v D ta cĩ f u f v u v . Hàm số f t nghịch biến trên D thì u,v D ta cĩ f u f v u v . Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 2x3 3x2 6x 11 5 x 2 3 . b) 2x2 1 2 3 x x 7 3 x 0 . Lời giải 2x3 3x2 6x 11 0 a) Điều kiện D . x 5 Xét hàm số f x 2x3 3x2 6x 11 5 x; x D . 3x2 3x 3 1 Ta cĩ: f x 0, x D nên hàm số đồng biến trên D. 2x3 3x2 6x 11 2 5 x Phương trình đã cho trở thành f x 2 3 f 2 x 2 . Thử lại thu được nghiệm duy nhất x 2 . b) Điều kiện x 3 . Phương trình đã cho tương đương với 2x3 x 7 2x 3 x 2x3 x 2 3 x 3 x 3 x 1 Xét hàm số f t 2t3 t; t ¡ f t 6t 2 1 0, t ¡ , vậy hàm số liên tục và đồng biến. 0 x 3 13 1 Khi đĩ 1 f x f 3 x x 3 x x . 2 x x 3 0 2 13 1 Kết luận phương trình để bài cĩ nghiệm duy nhất x . 2 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau 6 8 a) 6 . 3 x 2 x b) 5x3 1 3 2x 1 x 4 . Lời giải 6 8 a) Điều kiện x 2 . Xét hàm số f x 6, x ;2 , ta cĩ: 3 x 2 x 3 3 x 4 2 x f x 0, x ;2 . 3 x 2 6 2 x 2 8 Suy ra hàm số f x liên tục và đồng biến trên miền ;2 . 3 3 3 Mặt khác f 0 nên phương trình f x 0 cĩ duy nhất nghiệm x . Kết luận S . 2 2 2
62. b) Điều kiện 5x3 1. 1 3 3 3 Xét hàm số f x 5x 1 2x 1 x; x ; . 5 15x2 2 1 1 Ta cĩ f x 0, x 3 ; nên hàm số đồng biến trên 3 ; . 3 2 2 5x 1 33 2x 1 5 5 Bài tốn trở thành f x f 1 x 1. Kết luận tập nghiệm S 1. Ví dụ 3: Giải phương trình a) x3 6x2 12x 7 3 x3 9x2 19x 11 . b) x3 3x2 4x 2 3x 2 3x 1 . Lời giải a) Điều kiện x ¡ . Phương trình đã cho tương đương với x3 3x2 3x 1 2 x 1 x3 9x2 19x 11 2 3 x3 9x2 19x 11 x 1 3 2 x 1 x3 9x2 19x 11 2 3 x3 9x2 19x 11 * Xét hàm số f t t3 2t ta cĩ f t 3t 2 2 0, t ¡ . Do vậy hàm số f t liên tục và đồng biến trên ¡ . Khi đĩ * f x 1 f 3 x3 9x2 19x 11 x 1 3 x3 9x2 19x 11 x3 3x2 3x 1 x3 9x2 19x 11 x3 6x2 11x 6 0 x 1 x 2 x 3 0 x 1;2;3 . Kết luận tập hợp nghiệm S 1;2;3. 1 b) Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với 3 x3 3x2 3x 1 x 1 3x 1 1 3x 1 x 1 3 x 1 3x 1 3x 1 3x 1 Xét hàm số f t t3 t, t ¡ f t 3t 2 1 0, t ¡ , hàm số liên tục và đồng biến trên ¡ . x 1 Thu được f x 1 f 3x 1 x 1 3x 1 x 0;1 2  x 2x 1 3x 1 Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình đã cho cĩ hai nghiệm x 0; x 1. x2 3x 4 Ví dụ 4: Giải phương trình 2x 2 x 3 2 trên tập số thực. 2x 1 2 Lời giải
63. 2x 1 0 1 Điều kiện x , ta cĩ phương trình đã cho x 3 0 2 x 1 x 1 x 4 x 1 2x 2 x 4 2x 2 2x 1 2 x 3 2 * 2x 1 2 x 3 2 Giải phương trình (*), chúng ta cĩ x 3 1 2x 1 1 * x 3 1 x 3 2 2x 1 1 2x 1 2 2x 1 2 x 3 2 3 2 3 2 x 3 2 x 3 x 3 2x 1 2 2x 1 2x 1 3 2 x 3 0 Xét hàm số f t t 2t t , với điều kiện t 0 vì , cĩ 2x 1 0 f t 3t 2 4t 1 0, t 0 do đĩ f t là hàm số đồng biến và liên tục trên 0; nên suy ra f x 3 f 2x 1 x 3 2x 1 x 2 . Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm x 1; x 2 . x2 6x 8 Ví dụ 5: Giải phương trình x x 3 1 x ¡ x2 2x 2 Lời giải Điều kiện x 3 . Phương trình đã cho tương đương với x 2 x 2 x 4 x x 2 x 4 x x2 2x 2 1 x 3 1 2 x 1 1 x 3 1 u2 1 v 1 Đặt x 3 u; x 1 v ta thu được 1 u3 u2 u v3 v2 v . v2 1 u 1 Xét hàm số f t t3 t 2 t; t ¡ f t 3t 2 2t 1 0, t ¡ . Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên x 1 x 1 3 17 f u f v u v x 3 x 1 x . 2 2 x 3 x 2x 1 x 3x 2 0 2 3 17 Kết luận bài tốn cĩ nghiệm duy nhất x . 2 2 4x 1 x y 3 5 2y 0 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình x, y ¡ 2 2 4x y 2 3 4x 7 Lời giải
64. 3 5 Điều kiện x , y . 4 2 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương 4x2 1 2x 5 2y 1 5 2y 1 Khi đĩ phương trình (1) cĩ dạng: f 2x f 5 2y với f t t 2 1 t t3 t t ¡ Ta cĩ: f t 3t 2 1 0 t ¡ f t đồng biến trên ¡ . x 0 Do đĩ 1 2x 5 2y 5 4x2 y 2 2 2 5 2 Thế vào phương trình (2) ta được: 4x 2x 2 3 4x 7 0 3 2 3 Do x 0; x khơng phải là nghiệm của phương trình 4 2 2 5 2 3 Xét hàm số g x 4x 2x 2 3 4x 7 trên khoảng 0; . 2 4 4 4 Ta cĩ: g x 8x 8x 5 2x2 4x 4x2 3 0 g x nghịch biến. 3 4x 3 4x 1 1 Mặt khác g 0 3 cĩ nghiệm duy nhất x y 2 . 2 2 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là ;2 2 20 6 x 17 5 y 3x 6 x 3y 5 y 0 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau: 2 2 2x y 5 3 3x 2y 11 x 6x 13 Lời giải Điều kiện: x 6; y 5; 2x y 5 0; 3x 2y 11 0 . Khi đĩ: PT 1 20 3x 6 x 17 3y 5 y 6 x 3 6 x 2 5 y 3 5 y 2 Xét hàm f t t 3t 2 2 t ¡ 6 x 5 y y x 1 Thế vào PT(2) ta cĩ: 2 3x 4 3 5x 9 x2 6x 13 . 2 2 3 x x 1 0 . 2 3x 4 2x 4 3 5x 9 3x 9 4 Do x ;6 x 0; x 1. 3 Vậy hệ phương trình cĩ 2 nghiệm 0; 1 ; 1; 2 .
65. 2 x x y 2 x 1 y 1 Ví dụ 8: Giải hệ phương trình sau: x 1 2 x 2x 2 y 1 4 x 1 Lời giải y 1 x2 x Điều kiện: . Ta cĩ: PT 1 y 2 y 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 x3 x2 x x x 3 y 2 y 1 y 1 y 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Xét hàm số: f t t3 t t ¡ đồng biến trên ¡ . x Ta cĩ: f f y 1 x x 1 y 1 thế vào PT(2) ta cĩ: x 1 x x2 2x 2 4 x 1 x3 2x x 1 4 x 1 x 1 0 x 1 Đặt z x 1 ta cĩ: x3 2xz2 4z3 0 x 2z x 0 x 2 x 1 x 2 2 2 y 3 . 2 x 4x 4 Vậy hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất x; y 2 2 2;3 . 2x2 2x 1 x 2 2y2 3y 2y 1 Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau: 2 2 x 2y 2x y 2 Lời giải 1 Điều kiện: x 2; y . Khi đĩ ta cĩ: 1 2 ta cĩ: x2 4x 3 x 2 4y2 4y 2y 1 2 x 2 2 x 2 2y 1 2 2y 1 . Xét hàm số f t t 2 t đồng biến trên 0; . Khi đĩ ta cĩ: f x 2 f 2y 1 x 1 2y thế vào PT(2) ta cĩ: y 1; x 1 2 2y 1 2y2 2 2y 1 y 2 6y2 7y 1 0 1 2 . y ; x 6 3 2 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 1;1 ; ; . 3 6 Ví dụ 10: [Đề thi tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2018] Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình 3 m 33 m 3sin x sin x cĩ nghiệm thực? A. 5.B. 7. C. 3.D. 2.
66. Lời giải 3 m 3a b m 3a b3 Đặt 3 m 3sin x a; sin x b ta cĩ: 3 3 m 3b a m 3b a 3 a b b3 a3 b a b2 ba a2 b a b2 ba a2 3 0 Do b2 ab a2 3 0 a b m 3sin x sin3 x m sin3 x 3sin x b3 3b f b . Xét f b b3 3b b  1;1 ta cĩ: f b 3b2 3 0 b  1;1 . Do đĩ hàm số f b nghịch biến trên  1;1. Vậy f b f 1 ; f 1  2;2 . Do đĩ PT đã cho cĩ nghiệm m  2;2 . Vậy cĩ 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn A. Ví dụ 11: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình m 2 m 2sin x sin x cĩ nghiệm thực? A. 0.B. 1.C. 2. D. 3. Lời giải Điều kiện: sin x 0 u sin x m 2v u m 2v u2 Đặt u,v 0 2 v u u2 v2 2 v 2 m 2sin x m 2u v m 2u v 2 v u u v u v u v u v 2 0 * Do u, v 0 nên * u v m u2 2u với u sin x u 0;1 . Xét f u u2 2u u 0;1 ta cĩ f u 2u 2 0 . Suy ra hàm số f u nghịch biến trên đoạn 0;1. Mặt khác f 0 0; f 1 1 Phương trình cĩ nghiệm khi m  1;0. m 0 Kết hợp m ¢ . Chọn C. m 1 Ví dụ 12: Cho phương trình x x x 12 m 5 x 4 x 1 (m là tham số thực). Gọi A m ¢ 1 có nghiệm . Số phần tử của tập hợp A là? A. 12.B. 4.C. 21.D. 0. Lời giải x x x 12 Điều kiện 0 x 4 . Khi đĩ PT m 5 x 4 x
67. 1 Xét hàm số f x g x .h x trong đĩ g x x x x 12;h x 5 x 4 x Ta cĩ: g x 0;h x 0 x 0;4 1 1 3 1 2 5 x 2 4 x Mặt khác g x x 0;h x 2 0 2 2 x 12 5 x 4 x Do đĩ 2 hàm số g x và h x luơn dương và đồng biến do đĩ hàm số f x g x .h x cũng luơn 2 3 dương và đồng biến trên 0;4 , f 0 ; f 4 12 1 cĩ nghiệm khi và chỉ khi 2 5 2 3 m ;12 . Do đĩ A m ¢ 1 có nghiệm cĩ 12 phần tử. Chọn A. 2 5