Báo cáo Các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn

Nội dung text: Báo cáo Các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn

1. BÁO CÁO CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A. Kiến thức cần nhớ I. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 bx c 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai : Phương trình bậc hai ax2 bx c 0(a 0) b2 4ac *) Nếu 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt : b b x ;x 1 2a 2 2a *) Nếu 0 phương trình có nghiệm kép : b x x 1 2 2a *) Nếu 0 phương trình vô nghiệm. III. Công thức nghiệm thu gọn: Phương trình bậc hai ax2 bx c 0(a 0) và b 2b' ' b'2 ac *) Nếu ' 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt : b' ' b' ' x ;x 1 a 2 a *) Nếu ' 0 phương trình có nghiệm kép: b' x x 1 2 a *) Nếu ' 0 phương trình vô nghiệm. IV. Hệ thức Vi - et và ứng dụng : 2 1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax bx c 0(a 0) thì: b x x 1 2 a c x x 1 2 a 2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: x2 Sx P 0 (Điều kiện để có u và v là S2 4P 0 ) 3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 bx c 0(a 0) có hai nghiệm: c x 1;x 1 2 a 1
2. Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax2 bx c 0(a 0) có hai nghiệm: c x 1;x 1 2 a V. Một số quy tắc, phép biến đổi: - Quy tắc nhân, chia đa thức. - Hằng đẳng thức đáng nhớ. - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. - Phương pháp quy đồng mẫu thức của hai hay nhiều phân thức. Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số. - Quy tắc biến đổi phương trình, bất phương trình. - Khái niệm căn bậc hai và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai. - Phương pháp giải hệ phương trình. B. Các dạng bài hay gặp trong bộ môn Toán I. Phương trình bậc hai không có tham số (Bài tập về giải phương trình) 1. Phương trình bậc hai dạng khuyết : a/ Phương trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất: (Khuyết b) Phương pháp giải: - Chuyển hạng tử tự do sang vế phải. - Chia cả hai vế cho hệ số bậc hai đưa về dạng: x2 = a +) a > 0 phương trình có nghiệm x a +) a = 0 phương trình có nghiệm x = 0 +) a < 0 phương trình vô nghiệm b/ Phương trình bậc hai khuyết hạng tử tự do: (Khuyết c) Phương pháp giải: Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải. 2. Phương trình bậc hai đầy đủ: Phương pháp giải : - Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải. - Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với một số phương trình đặc biệt. 3. Phương trình đưa được về phương trình bậc hai: a/ Phương trình trùng phương: ax4 bx2 c 0(a 0) Phương pháp giải: Đặt t = x2 (t 0 ) đưa về dạng: at2 bt c 0 b/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu : Phương pháp giải : - Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. - Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu. - Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được. - Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. 2
3. c/ Phương trình tích. Phân tích vế trái thành dạng tích, rồi áp dụng cách giải pt bậc hai. 4. Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức nghiệm (áp dụng định lý Vi- et). 5. Phương trình bậc cao đưa về bậc hai (Đặt ẩn phụ) II. Phương trình bậc hai có tham số 1. Giải phương trình khi biết giá trị của tham số. 2. Tìm tham số biết số nghiệm của phương trình (có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, có nghiệm hoặc vô nghiệm). 3. Áp dụng định lý Vi-et. a/ Tìm tham số khi biết nghiệm của phương trình. b/ Tìm tham số khi biết dấu của nghiệm (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương hoặc cùng âm) c/ Tìm tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm : - Hệ thức đối xứng. - Hệ thức không đối xứng. d/ Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số. e/ Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phương trình không phụ vào tham số. f/ Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình. III. Một số phương trình bậc hai đặc biệt 1. Dạng 1: Phương trình có chứa |A| Phương pháp giải : TH1: Tùy theo trường hợp của x để mở dấu |A| TH2: Đặt t =|A| ta luôn có: t2 =A2 2. Dạng 2: Dạng bài tập tổng hợp và một số dạng bài tập nâng cao. C. Một số ví dụ Bài 1. Giải các phương trình sau : a / 2x2 8 0 b / 3x2 5x 0 c / 2x2 3x 5 0 d / x4 3x2 4 0 e / x3 3x2 2x 6 0 f/ 3(x2 + x)2 –2(x2 + x) – 1 = 0 x 2 6 3 g/ x 5 2 x Giải a / 2x2 8 0 2x2 8 x2 4 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 x 0 x 0 2 b / 3x 5x 0 x(3x 5) 5 3x 5 0 x 3 3
4. 5 Vậy phương trình có nghiệm x 0;x 3 c / 2x2 3x 5 0 *) Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm : 32 4.( 2).5 9 40 49 0; 9 => phương trình có hai nghiệm phân biệt : 3 7 3 7 5 x 1;x 1 2.( 2) 2 2.( 2) 2 *) Cách 2: Nhẩm nghiệm : 5 5 Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phương trình có nghiệm : x 1;x 1 2 2 2 d / x4 3x2 4 0 Đặt t x2 (t 0) . Ta có phương trình : t2 3t 4 0 a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0 4 => phương trình có nghiệm : t 1 0 (thỏa mãn); t 4 0(loại) 1 2 1 t 1 x2 1 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 1 e / x3 3x2 2x 6 0 (x3 3x2 ) (2x 6) 0 x2 (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x2 2) 0 x 3 0 x 3 x 3 2 2 x 2 0 x 2 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 3;x 2 f/ 3t2 – 2t – 1 = 0 1 t1 = 1; t2 = 3 2 2 Với t1 = 1 ta có: x + x = 1 hay x + x – 1 = 0 1 5 1 5 x1 = ; x2 = 2 2 1 Với t2 = 3 1 x2 + x = 3 hay: 3x2 + 3x + 1 = 0 vô nghiệm Vậy pt có 2 nghiệm : 1 5 1 5 x1 = ; x2 = 2 2 x 2 6 g) Phương trình : 3 (ĐKXĐ : x 2;x 5 ) x 5 2 x 4
5. (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) 4 x2 6x 3x2 30 15x 6x 30 4x2 15x 4 0 152 4.( 4).4 225 64 289 0; 17 => phương trình có hai nghiệm : 15 17 1 x (thỏa mãn ĐKXĐ) 1 2.( 4) 4 15 17 x 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2 2.( 4) Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x2 mx m 3 0 (1) a/ Giải phương trình với m = - 2. 2 2 3 3 b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tính x1 x2 ;x1 x2 theo m. 2 2 c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 x2 9 . d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5. e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại. f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m. Giải a/ Thay m = - 2 vào phương trình (1) ta có phương trình : x2 2x 1 0 (x 1)2 0 x 1 0 x 1 Vậy với m = - 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b/ Phương trình : x2 mx m 3 0 (1) m2 4(m 3) m2 4m 12 Phương trình có nghiệm x1;x2 0 x1 x2 m (a) Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : x1x2 m 3 (b) 2 2 2 2 2 *) x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 ( m) 2(m 3) m 2m 6 3 3 3 3 3 2 *) x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) ( m) 3(m 3)( m) m 3m 9m c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1;x2 0 2 2 2 Khi đó x1 x2 m 2m 6 2 2 2 2 Do đó x1 x2 9 m 2m 6 9 m 2m 15 0 2 '(m) ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; (m) 4 5
6. 1 4 1 4 => phương trình có hai nghiệm : m 5;m 3 1 1 2 1 Thử lại : +) Với m 5 7 0 => loại. +) Với m 3 9 0 => thỏa mãn. 2 2 Vậy với m = - 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 x2 9 . d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1;x2 0 x1 x2 m (a) Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : x1x2 m 3 (b) Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5 (c) Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình : x1 x2 m 3x1 3x2 3m x1 3m 5 x1 3m 5 2x1 3x2 5 2x1 3x2 5 x2 m x1 x2 2m 5 x1 3m 5 Thay vào (b) ta có phương trình : x2 2m 5 ( 3m 5)(2m 5) m 3 6m2 15m 10m 25 m 3 6m2 26m 28 0 3m2 13m 14 0 2 (m) 13 4.3.14 1 0 => phương trình có hai nghiệm phân biệt : 13 1 m 2 1 2.3 13 1 7 m 2 2.3 3 Thử lại : +) Với m 2 0 => thỏa mãn. 7 25 +) Với m 0 => thỏa mãn. 3 9 7 Vậy với m 2;m phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5. 3 2 e/ Phương trình (1) có nghiệm x1 3 ( 3) m.( 3) m 3 0 2m 12 0 m 6 Khi đó : x1 x2 m x2 m x1 x2 6 ( 3) x2 3 Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x1 = x2 = - 3. f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ac 0 1.(m 3) 0 m 3 0 m 3 Vậy với m < - 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu. g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có : x1 x2 m m x1 x2 x1 x2 x1x2 3 x1x2 m 3 m x1x2 3 Bài 3: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x2 8x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính 6
7. 2 2 1 1 x1 x2 2 1. x1 x2 2. 3. 4. x1 x2 x1 x2 x2 x1 b) Cho phương trình : 8x2 72x 64 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1. 1 1 2 2 , 2. x1 x2 x1 x2 c) Cho phương trình : x2 14x 29 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1. 1 1 2 2 2. x1 x2 x1 x2 d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 1 x1 1 x2 2 2 1. 2. 3. x1 x2 4. x1 x2 x1 x2 x x 1 2 x2 1 x1 1 2 e) Cho phương trình x 4 3x 8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, 2 2 6x1 10x1x2 6x2 tính Q 3 3 5x1x2 5x1 x2 Bài 4: Cho phương trình x2 2mx m 2 0 (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. 24 Tìm m để biểu thức M = 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất x1 x2 6x1x2 HD a/ Phương trình (1) có ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > 0 với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b c b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = 2m ; P = m 2 a a 24 24 6 M = 2 = 2 2 (x1 x2 ) 8x1x2 4m 8m 16 m 2m 4 6 . Khi m = 1 ta có (m 1)2 3nhỏ nhất (m 1)2 3 6 6 M lớn nhất khi m = 1 M nhỏ nhất khi m = 1 (m 1)2 3 (m 1)2 3 Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là - 2 khi m = 1 7
8. D. Các bài đã gặp trong các đề thi học kì lớp 9, tuyển sinh vào lớp 10 trong những năm gần đây. I-CÁC BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1: (2.0 điểm): Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0 1. Giải phương trình khi m = 4 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Giải: 1. Khi m = 4, ta có phương trình x2 + 8x + 12 = 0 có ’ = 16 – 12 = 4 > 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - 4 + 2 = - 2 và x2 = - 4 - 2 = - 6 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0 Có D’ = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – 4 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì D’ > 0 => 2m – 4 > 0 => 2(m – 2) > 0 => m – 2 > 0 => m > 2 Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số. 1) Giải phương trình khi m = 1. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa x x 8 điều kiện 1 2 . x2 x1 3 HD: 1) Khi m = 1, phương trình thành : x2 – 2x – 3 = 0 x = -1 hay x = 3 (có dạng a–b + c = 0) x1 x2 8 2 2 2) Với x1, x2 0, ta có : 3(x1 x2 ) 8x1x2 3(x1 + x2)(x1 – x2) = 8x1x2 x2 x1 3 Ta có : a.c = -3m2 0 nên 0, m b c 2 Khi 0 ta có : x1 + x2 = 2 và x1.x2 = 3m 0 a a Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm 0 mà m 0 > 0 và x1.x2 < 0 x1 < x2 2 Với a = 1 x1 = b' ' và x2 = b 'x ' 1 – x2 = 2 ' 2 1 3m Do đó, ycbt 3(2)( 2 1 3m2 ) 8( 3m2 ) và m 0 1 3m2 2m2 (hiển nhiên m = 0 không là nghiệm) 4m4 – 3m2 – 1 = 0 m2 = 1 hay m2 = -1/4 (loại) m = 1 Bài 3. (1,5 đ) Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0. 1) Chứng minh rằng: Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. 2 2 2) Tìm giá trị của m để biểu thức A = x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. HD: 8
9. Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0. 2 2 1) Ta có (m 2) m 4m 3 1 > 0 với mọi m. Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. 2)Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. Theo hệ thức x x 2(m 2) Vi-ét ta có : 1 2 2 x1.x2 m 4m 3 2 2 2 2 2 2 A = x1 x2 = (x1 + x2) – 2 x1x2 = 4(m + 2) – 2(m + 4m +3) = 2m + 8m+ 10 = 2(m2 + 4m) + 10 = 2(m + 2)2 + 2 ≥ 2 với mọi m. Suy ra minA = 2 m + 2 = 0 m = - 2 Vậy với m = - 2 thì A đạt min = 2 Bài 4: (2,0 điểm) Cho phương trình: x 2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để 2 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x1 x2 7 Giải: + Phương trình đã cho có = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0, m Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt m x1 x2 4m 1 + Theo ĐL Vi –ét, ta có: 2 . x1x2 3m 2m 2 2 2 Khi đó: x1 x2 7 (x1 x2 ) 2x1x2 7 (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 7 10m2 – 4m – 6 = 0 5m2 – 2m – 3 = 0 3 Ta thấy tổng các hệ số: a + b + c = 0 => m = 1 hay m = . 5 Trả lời: Vậy Bài 5: (1,5 điểm) Cho phương trình (ẩn số x): x2 4x m2 3 0 * . 1. Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x2 5x1 . Giải: Cho phương trình (ẩn số x):. x2 4x m2 3 0 * 1. 16 4m2 12 4m2 4 4 0;m Vậy (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x2 5x1 . 2 Theo hệ thức VI-ET có :x1.x2 = - m + 3 ;x1+ x2 = 4; mà x2 5x1 => x1 = - 1 ; x2 = 5 2 Thay x1 = - 1 ; x2 = 5 vào x1.x2 = - m + 3 => m = 2 2 Bài 6: (2,0 ®iÓm): Cho ph­¬ng tr×nh: x2 – 2(m-1)x + m2 – 6 =0 ( m lµ tham sè). a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 3 2 2 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n x1 x2 16 Giải: 9
10. a, Thay x = 3 vào phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - 6 = 0 và giải phương trình: 2 x - 4x + 3 = 0 bằng nhiều cách và tìm được nghiệm x1 = 1, x2 = 3. b, Theo hệ thức Viét, gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - 6 = 0 , ta có: x1 x2 2(m 1) 2 x1.x2 m 6 2 2 2 và x1 + x2 = (x1 + x2) - 2x1.x2 = 16 Thay vào giải và tìm được m = 0, m = -4 Bài 7: (1,5 điểm) 2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x 5x 3 0 .Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau: 1 2 2 a, x1 + x2 b, c, x1 x2 x1 x2 Bài 8: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức 2 2 A = x1 – x1x2 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Giải: Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0 c) Giải phương trình khi m = 1 d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức 2 2 A = x1 – x1x2 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Đáp án a) x1 = 2 5 ; x2 = 2 5 e) Thấy hệ số của pt : a = 1 ; c = A – 1 pt luôn có 2 nghiệm Theo vi- ét ta có x1 + x2 =2(m – 3) ; x1x2 = –1 2 2 2 2 Mà A=x1 – x1x2 + x2 = (x1 + x2 ) – 3x1x2 = 4(m – 3) + 3 3 GTNN của A = 3 m = 3 Bài 9: (1,5 điểm) 1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0 2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để 3 3 phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x 2 x1x 2 6 Giải: 2 1. Giải phương trình x – 7x – 8 = 0 có a – b + c = 1 + 7 – 8 = 0 suy ra x1= -1 và x2= 8 2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để 3 3 phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x 2 x1x 2 6 . Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì ’ 0  1 – m + 3 0  m 4 Theo viet ta có: x1+ x2 =2 (1) và x1. x2 = m – 3 (2) 3 3 2 Theo đầu bài: x1 x 2 x1x 2 6 x1x 2 x1 x 2 2x1x 2 = 6 (3) Thế (1) và (2) vào (3) ta có: (m - 3)(2)2 – 2(m-3)=6  2m =12  m = 6 Không thỏa mãn điều kiện m 4 vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm x 1; x2 thỏa 3 3 mãn điều kiện x1 x 2 x1x 2 6 . 10
11. Bài 10. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 2(m 1)x m 2 0 , với x là ẩn số, m R a. Giải phương trình đã cho khi m – 2 b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m. Giải. Cho pt x2 2(m 1)x m 2 0 , với x là ẩn số, m R a. Giải phương trình đã cho khi m – 2 Ta có phương trình x2 2x 4 0 2 x2 2x 4 0 x2 2x 1 5 x 1 2 5 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 Vậy phương trinh có hai nghiệm x 1 5 và x 1 5 b. x1 x2 2m 2 (1) x1 x2 2m 2 x1 x2 2 x1x2 2 2 Theo Vi-et, ta có x x m 2 (2) m x x 2 1 2 1 2 m x1x2 2 Suy ra x1 x2 2 x1x2 2 2 x1 x2 2x1x2 6 0 II-CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 11: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0 a) Giải phương trình với m = - 5 b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài tập 12: Cho phương trình bậc hai: (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2 c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt f) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại Bài tập 13:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 a) Giải phương trình với m = - 2 b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 2 d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x1 + x2 = 8 2 2 e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x1 + x2 Bài tập 14: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m 11
12. Bài tập 15: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a 2 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x1 + x2 Bài tập 16: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 2 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1. x2 - x1 - x2 Bài tập 17: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 2 b) Tìm m để A = x1 + x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất 2 2 d) Tìm m để C = x1 + x2 - x1x2 Bài tập 18: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0 a) Giải phương trình với m = 4 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 2 2 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x1 x2 + x2 x1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài tập 19: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình 2 2 2 mx - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện x1 x2 1 Bài tập 20: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình 1 1 x1 x2 có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x1 x2 5 Bài tập 21: Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số). a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3 b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài tập 22: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2. Bài tập 23: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3. d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài tập 24: a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) 12
13. b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại. 2 Bài tập 25: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x - (2m - 1)x + m – 2 = 0 2 2 Tìm m để x1 x2 có giá trị nhỏ nhất. Bài tập 26: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Bài tập 27: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 2 2 Tìm m để x1 x2 có giá trị nhỏ nhất. Bài tập 28: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài tập 29: Cho phương trình: x 2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao 2 2 cho 2 nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn 10x1x2 +x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. III-CÁC BÀI TẬP ĐÃ THI (MỨC ĐỘ -YÊU CẦU- ĐÁP ÁN) Câu 1. (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + 2 = 0 1. Giải phương trình với m = 2 2. Tìm m để phương trình có nghiệm kép; vô nghiệm; có hai nghiệm phân biệt. Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*) 1. Giải phương trình (*) với a = 1. 2. Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a. 3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị của a để biểu thức: 2 2 N= x1 (x1 2)(x2 2) x2 có giá trị nhỏ nhất. Câu 3. (4,0 điểm) Cho phương trình x2 – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1). a) Giải phương trính (1) khi m = 1. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép. c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích). Giải: 13
14. a) Khi m = 1, pt(1) trở thành: x2 – 3x = 0 x 0 x(x – 3) = 0 x 3 Vậy khi m = 1, phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 3. b) Phương trình (1) có nghiệm kép khi có = 0 (-3)2 – 4. 1.(m – 1) = 13 – 4m = 0 13 m = 4 13 Vậy khi m = thì phương trình (1) có nghiệm kép. 4 c) 13 ĐK để pt(1) có hai nghiệm x1, x2 là 0 13 – 4m 0 m . 4 c Khi đó pt(1) có: x1x2 = = m – 1 . a Theo đề bài, ta có: x1x2 = 2 m – 1 = 2 m = 3( thỏa ĐK) Vậy khi m = 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích). Câu 4 (2,0 điểm). Cho phương trình: x2 2(m 1)x 2m 0 (1) (với ẩn là x ). 1) Giải phương trình (1) khi m =1. 2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . 3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 ; x2 . Tìm giá trị của m để x1 ; x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12 . Giải: Khi m = 1 ta có phương trình x2 – 4x + 2 = 0 Giải phương trình được x1 2 2 ; x2 2 2 Tính ' m2 1 Khẳng định phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 2m 2 0 Biện luận để phương trình có hai nghiệm dương m 0 2m 0 2 2 2 Theo giả thiết có x1 + x2 = 12 (x1 + x2) – 2x1x2 = 12 4(m 1)2 4m 12 m2 + m – 2 = 0 Giải phương trình được m = 1 ( thoả mãn), m = -2 (loại) Câu 5 (3,0 điểm): 1. Cho phương trình x2 - 2m - (m2 + 4) = 0 (1), trong đó m là tham số. a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x1 + x2 20 . 2. Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số. a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4). Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + 3 = 0 Giải: 1 a) ' ( 1) 2 1. (m 2 4) m 2 5 Vì m 2 0,m ' 0,m . 14
15. Vậy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m x1 x2 2 b) Áp dụng định lý Vi –ét 2 x1 x2 (m 4) 2 2 2 x1 x2 20 x1 x2 2x1 x2 20 22 2m 2 8 20 2m 2 8 m 2 vậy m= 2 2 a) Vì đồ thị của hàm số (1) đi qua A(1;4) 4= m.1+1 m 3 Với m = 3 hàm số (1) có dạng y = 3x +1; vì 3>0 nên hàm số (1) đồng biến trên R. b) (d) : y = - x – 3 m 1 Vì đồ thị của hàm số (1) song song với (d) 1 3 Vậy m = -1 thì đồ thị của hàm số (1) song song với (d) Câu 6: (2,0 điểm) Cho phöông trình x2 2 m 1 x m 4 0 (vôùi m laø tham soá ). a) Giải phương trình đã cho khi m 5 . b) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. c) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm x1, x2 thõa mãn hệ thức : 2 2 x1 x2 3x1x2 0. Giải: a) * Khi m = 5, phương trình đã cho trở thành: x2 8x 9 0 (vôùi a = 1 ; b = 8 ; c = 9) (*) * Ta thấy phương trình (*) có các hệ số thõa mãn a b + c = 0 ; nên nghiệm của phương trình (*) là: c x 1 vaø x 9 (nhaåm nghieäm theo Viet). 1 2 a * Vaäy khi m = 5, phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm phaân bieät x1 1 vaø x2 9. b) Phương trình đã cho (baäc hai ñoái vôùi aån x) coù caùc heä soá: a = 1 ; b/ = m + 1 vaø c = m 4 ; neân: 2 / 2 2 1 19 19 m 1 m 4 m m 5 m 0 2 4 4 2 1 vì m + 0 ;bình phöông moät bieåu thöùc thì khoâng aâm 2 / 0 ; vaäy phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá m. c) Theo câu b, phương trình đã cho cho luoân coù hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. Theo hệ thức Vi-et, ta có: x1 x2 2 m 1 I . x1 x2 m 4 m 0 2 2 2 2 Caên cöù (I), ta coù: x x 3x x 0 x x x .x 0 4m 9m 0 9 . 1 2 1 2 1 2 1 2 m 4 9 2 2 * Vaäy m 0 ;  thì phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x , x thoõa heä thöùc x x 3x x 0 . 4  1 2 1 2 1 2 15
16. IV. MỘT SỐ DANG BÀI TẬP KHÁC Bài 6. Cho phương trình ẩn x, tham số t : x2 2(t 1)x t2 3 0 (1) a/ Tìm t để phương trình (1) có nghiệm. b/ Tìm t để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích hai nghiệm. Bài 7. Cho phương trình ẩn x, tham số m : mx2 5x (m 5) 0 (1) a/ Giải phương trình (1) khi m = 5. b/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. c/ Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1; x2. Hãy tính theo m giá 2 2 trị của biểu thức A 16x1x2 3(x1 x2 ). Tìm m để A = 0. Bài 8. Cho phương trình ẩn x, tham số m : (m 3)x2 2(m2 3m)x m3 12 0 (1) a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho 2 2 x1 x2 là một số nguyên. Bài 9. Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : x2 2(m 3)x 2m 7 0 (1) a/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. 1 1 b/ Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1; x2 . Hãy tìm m để m x1 1 x2 1 Bài 10. 1 1 1. Cho a ;b 2 3 2 3 a/ Hãy tính : ab và a b . a b b/ Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là x ; x . 1 b 1 2 a 1 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : x2 3mx 3m 4 0 (1) a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt b/ Hãy tìm m để phương trình (1) có một nghiệm x1 4 2 3 . Khi đó hãy tìm nghiệm x2 của phương trình đó Bài 11. a b a b 1. Cho biểu thức P : (với a 0,b 0,a b ) ab b a ab a b b a a/ Rút gọn biểu thức P. b/ Tính giá trị của biểu thức P khi biết a và b là hai nghiệm của phương trình x2 8x 4 0 . 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : x2 2x m 0 (1) a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. 16
17. b/ Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) không thể có hai nghiệm cùng là số âm. c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = 5. Bài 12. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (a là tham số) : x2 3x a 2 0 (1) x2 ax 1 0 (2) a/ Giải các phương trình (1) và (2) trong trường hợp a = -1. b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai phương trình trên luôn có ít nhất một trong hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Bài 13. Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) : x2 (m n)x (m2 n2 ) 0 (1) a/ Giải phương trình (1) khi m = n = 1. b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phương trình (1) luôn có nghiệm. c/ Tìm m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình x2 x 5 0 . Bài 14. Cho phương trình: x2 2(m 1)x 2m 5 0 5 a/ Giải phương trình khi m 2 b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm. Bài 15. Cho phương trình bậc hai: x2 2(m 1)x m2 3m 2 0 (1) a/ Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2 2 b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn x1 x2 12 (Trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình) ? Bài 16. Cho hai phương trình : x2 3x 2m 6 0 (1) và x2 x 2m 10 0 (2) a/ Giải hai phương trình trên với m = - 3. b/ Tìm các giá trị của m để hai phương trình trên có nghiệm chung. c/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. Bài 17. 2 a/ Chứng minh rằng: Nếu phương trình bậc hai ax bx c 0 có hai nghiệm là x1, x2 b c thì x x và x .x . 1 2 a 1 2 a b/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng - 5. c/ Tìm số nguyên a để phương trình x2 ax a2 7 0 có nghiệm. Bài 18. Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1) (m là tham số) 1) Giải phương trình (1) với m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. 17
18. 3) Với x1, x2 là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức: A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1). Bài 19. Cho phương trình (ẩn x) : 2x2 + mx + m - 3 = 0 (1) 1) Giải phương trình (1) khi m = -1. 2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 3) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. Bài 20. Cho phương trình bậc hai x2 2(2m 1)x 3m2 4 0 (x là ẩn) (1) a/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Hãy tìm m để x1 2x2 2 Bài 21. 2 Cho phương trình x - 2x - 1 = 0 có hai nghiệm là x1, x2. x x Tính giá trị của biểu thức : S 2 1 x1 x2 Bài 22. Cho phương trình : (m 1)x2 2(m 1)x m 2 0 (1) (m là tham số). a/ Giải phương trình (1) với m = 3. 1 1 3 b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: . x1 x2 2 Bài 1. Cho phương trình : x2 3y2 2xy 2x 10y 4 0 (1) a/ Tìm nghiệm (x; y) của phương trình (1) thỏa mãn x2 + y2 = 10. b/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1). 2 Bài 2. Cho phương trình : (x k 3) x 2(k 3)x 3k 9 0 (1) a/ Giải phương trình (1) khi k = 3. b/ Tìm các giá trị của k để phương trình (1) có hai nghiệm dương và một nghiệm âm. Bài 3. Giải các phương trình : a / x 2x 1 x 2x 1 2 b / 6x2 15x 2x2 5x 1 1 c / 8x2 8x 3 12x2 12x 7 2( 2x2 2x 1) 18