Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 9 (Có đáp án)

177 trang Thái Huy 14/09/2023 2861

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 9 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_30_de_thi_toan_nang_cao_lop_9_co_dap_an.doc

Nội dung text: Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 9 (Có đáp án)

Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn môn: toán chung . thời gian: 150' ( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" ) Bài I: (2 điểm ) Cho a,b,c là ba số khác nhau từng đôi một, c 0 . Chứng minh rằng nếu các phương trình: x2 ax bc 0 và x2 bx ca 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm thứ hai của các phương trình đó thỏa mãn phương trình x2 cx ab 0 Bài II: (2 điểm ) 1 1 1 Gọi S = , n N,n 1. n 1 2 2 3 n n 1 Tìm tất cả các giá trị của n sao cho n 100 và Sn có giá trị nguyên Bài III: (2 điểm ) yz zx xy Giải phương trình nghiệm nguyên: 3 x y z Bài IV: ( 1 điểm ) 1 4a 1 Cho a > 0 , chứng minh a a a a  2 n so a Bài V: ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC , các tiếp điểm tại D, E, F . Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn môn toán chung ( Gồm 2 tờ ) Bài I: 2 điểm. ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm ) 2 Ta gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình: x ax bc 0 , 1 và 2 x bx ca 0, 2 . Và x1 , x2 lần lượt là các nghiệm thứ hai của 1 và 2 , với 2 x0 ax0 bc 0 x x . Khi đó ta có: 1 2 2 x0 bx0 ac 0 x0. a b c. a b 0 a b . x0 c 0 , a b x0 c . Mặt khác, áp dụng định lý Viét cho 1 và 2 ta có: x0.x1 b.c x1 b , x0 c 0 x1 x2 a b , 3 . x0.x2 a.c x2 a x0 x1 a Ngoài ra: , x0 c 2c x1 x2 a b , 4 x0 x2 b Kết hợp 4 với 3 ta đợc c a b . Nh vậy ta có: x1 x2 c và 2 x1.x2 a.b x1 và x2 là nghiệm của phương trình x cx ab 0 .đpcm Bài II: 2điểm. ( Mỗi phần tương ứng cho 0,5 điểm ) 1 k 1 k Chú ý rằng: k 1 k ,k N,k 1 k k 1 k k 1 k 1 k Suy ra Sn = 2 1 3 2 n n 1 n 1 n = n 1 1 2 Sn nhận giá trị nguyên , khi n 1 là một số chính phương . Dạng n k 1 Kết hợp với điều kiện n N,1 n 100 , suy ra tập các giá trị của n thỏa mãn các yêu cầu của bài toán là: 3,8,15,24,35,48,63,80,99 Bài III: 2điểm. ( Mỗi mục tương ứng cho 1,0 điểm ) Với điều kiện: xyz 0 yz zx xy Ta có: 3 , 1 2x2 y2 2y2z2 2z2x2 6xyz , 2 x y z x2 y2 2x2 yz x2z2 x2z2 2xyz2 y2z2 y2z2 2xy2z x2 y2 6xyz 2x2 yz 2xy2z 2xyz2 2 2 2 xy xz xz yz yz xy 2xyz 1 x 1 y 1 z , 3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Nhận xét: Từ 2 xyz 0 , vì vậy 3 3 x y z 0 .Phương trình có nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại do xyz 0 suy ra các nghiệm nguyên của phương trình 1 là: x, y,z 1,1,1 , 1, 1,1 , 1, 1, 1 , 1,1, 1 Bài IV: 1điểm. ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm ) Ký hiệu: x = a a a a , ta có x > 0 với  n 1 n  n n so a Ta chứng minh xn-1 1 + Ta có: a 0, ta có xk-1 xk. Theo nguyên lý quy nạp suy ra: xn-1< xn 1 4a 1 1 4a 1 x2 a x a x x2 x a 0 x . x 0 k k 1 k n n n n 2 2 1 4a 1 1 4a 1 1 4a 1 x . Vậy a a a a . đpcm 2 n 2  2 n so a Bài V: 3điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 1,0 điểm ) Bổ đề: Khoảng cách từ một điểm trên đờng tròn đến đờng thẳng qua hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến với đờng tròn là trung bình nhân khoảng cách từ điểm ấy đến 2 tiếp tuyến . Xét hai tiếp tuyến AB và AC , M (O) C Hạ các đờng vuông góc MK, MH, ML xuống các tiếp tuyến AB, AC và dây EF E ằ D MEN MFH ( chắn cung MF ). ẳ K N MFN MEK ( ME ) M O Suy ra các tam giác MEN và MFH , MFN và MEK đồng dạng. Từ đó MN MF MH 2 A H MN MH.MK (1). Bổ F B MK ME MN đề đợc chứng minh áp dụng (1), gọi a, b, c, d, e, f lần lượt là khoảng cách từ M đến các đờng thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, EF, FD, DE của các tam giác ABC và DEF ta đợc: d2 b.c, e2 c.a, f 2 a.b . Nhân vế với vế của ba đẳng thức, suy ra điều phải chứng minh. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 đề thi vào lớp 10 thpt lam sơn môn thi : toán ( Chung cho tất cả các lớp chuyên ) (Thời gian 150 phút ) Bài 1 ( 2 điểm ) 1 3 2 Cho biểu thức P - x 1 x x 1 x - x 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của P Bài 2 ( 2 điểm ) Giải các phương trình sau x2 48 x 4 a) 10( - ) 3 x2 3 x x 2 b) x 1 - x 9 - 4 2 4 Bài 3 ( 2 điểm ) ( x 2 1)( y 2 1) 10 Giải hệ phương trình ( x y )( xy -1) 3 Bài 4 ( 3 điểm ) Cho góc xIy . A là điểm lấy trên đường phân giác góc trong của góc đó , Gọi K , M lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A đến 2 cạnh Ix , Iy của góc xIy . Trên KM lấy điểm P ( KP 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc 52 . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án và thang điểm Bài ý Nội dung cơ bản Điểm Điều kiện x 0 1 3 2 P - 0,25 x 1 ( x 1)(x - x 1) x - x 1 x - x 1- 3 2 x 2 P a) x x 1 0,25 x( x 1) P 0,25 x x 1 x P x - x 1 0,25 Bài 2 1 3 1 x - x 1 x - 0 x 0 Ta có 2 4 0,25 x 0 x 0 x nên P 0 ,  x 0 x - x 1 0,25 P = 0 x = 0 . Vậy min P = 0 2 b) Ta có x -1 0 ,  x 0 x - 2 x + 1 0 x - x + 1 x ,  x 0 0,25 x 1,  x 0 x - x 1 P 1  x 0 ; P = 1 x = 1 . Vậy MaxP = 1 khi x = 1 0,25 Tóm lại : minP = 0 khi x = 0 ; MaxP = 1 khi x = 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Điều kiện x 0 Phương trình đã cho tương đương với x2 16 x 4 3 10( - ) 2 Bài 9 x 3 x 2 a) x 4 x 2 16 8 0,25 Đặt t = - t2 = - 3 x 9 x 2 3 8 PT trở thành : 3 t 2 10 t 3 3t2 - 10t + 8 = 0 t = 2 hoặc t = 4/3 0,25 Bài ý Nội dung cơ bản Điểm x 4 * với t = 2 thì - = 2 x2 - 6x - 12 = 0 3 x x = 3 21 0,25 a) x 4 4 * Với t = 4/3 thì - = x2 - 4x - 12 = 0 3 x 3 x = 6 ; x = - 2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là : 0,25 x = 6 ; x = - 2 ; x = 3 21 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài x 2 2 PT : x 1 - x 9 - 4 2 4 2 x 2 1 - x 2 2 -1 b) 2 0,25 x 1 - x 2 2 -1 2 0,25 x Nếu 1 0 x - 2 , PT trên trở thành 2 x + 2 - 2x = 4 2 - 2 x = 4 - 4 2 thỏa mãn x - 2 nên x = 4 - 4 2 là nghiệm của phương trình đã cho . 0,25 x Nếu 1 < 0 x < - 2 , PT trên trở thành 2 -( x + 2) - 2x = 4 2 - 2 - 3x = 4 2 x = - 4 2 /3 , không thỏa mãn x < -2 nên 0,25 loại Vậy phương trình đã cho có nghiệm : x = 4 - 4 2 ( x 2 1)( y 2 1) 10 Ta có hệ ( x y )( xy -1) 3 x2y2 x2 y2 1 10 ( x y )( xy -1) 3 Bài (x y)2 (xy -1)2 10 3 ( x y )( xy -1) 3 0,25 u2 v 2 10 Đặt u = x + y ; v = xy - 1 hệ trở thành : u.v 3 Bài ý Nội dung cơ bản Điểm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ( u v)2 16 u v 4 0,25 u.v 3 u.v 3 u v 4 u 3 u 1 Nếu thì ta có hoặc 0,25 u.v 3 v 1 v 3 u 3 x y 3 x y 3 * với thì v 1 xy -1 1 xy 2 Bài (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) 0,25 3 u 1 x y 1 x y 1 * Với thì v 3 xy -1 3 xy 4 nên x , y là 2 nghiệm của PT : t2 - t + 4 = 0 có < 0 vô 0,25 nghiệm hệ vô nghiệm trong trường hợp này . u v 4 u - 3 u -1 Nếu thì ta có hoặc u.v 3 v -1 v - 3 u - 3 x y - 3 x y - 3 * Với ta có v -1 xy -1 -1 xy 0 (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3) 0,25 u -1 x y -1 x y -1 * Với ta có v - 3 xy -1 - 3 xy - 2 0,25 (x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2) Tóm lại hệ đã cho có 6 nghiệm là (x ;y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ; (- 3; 0) ; (0 ; - 3) ; (-2 ; 1) ; (1; - 2) . 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x Q K 1 1 P Bài A 4 a) H 1 2 I 1 1 S M y Theo giả thiết  AKQ =  APQ = 900 , nên tứ giác KPAQ nội tiếp trong đường tròn đường kính AQ . 0,50 Cũng theo giả thiết  AMS =  APS = 900 nên tứ giác PSMA nội tiếp đường tròn đường kính AS . (ĐPCM) 0,50 Bài ý Nội dung cơ bản Điểm b) Trong tứ giác nội tiếp KPAQ ta có  K1 =  Q1 (cùng chắn cung AP) . 0,25 Trong tứ giác nội tiếp PSMA ta có  S1 =  M1 (cùng chắn b) cung AP) . 0,25 Mà A nằm trên phân giác của  xIy nên AK = AM  K1 = 0,25  M1 . Vậy  Q1 =  S1 hay AQS cân tại A có AP là đường cao nên AP là trung tuyến P là trung điểm của QS . 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài c) Do AK  Ix ; AM  Iy và A nằm trên phân giác của góc xIy 4 nên  I1 =  I2 = và AKI = AMI IK = IM ; AK = AM AI là trung trực của KM . Gọi H = AI  KM H là trung điểm của KM và IA  KM tại 0,25 H . Trong tam giác vuông AIK ta có  I1 =  K1 (cùng phụ với c)  IAK) nên  K1 =  Q1 = . Trong tam giác vuông AHK có : KH = KM/2 = a/2 ; K1 = 0,25 KH a nên AK . cos K1 2cos Trong tam giác vuông APQ có : QP = QS/2 = b/2 ;  Q1 = b 0,25 nên AQ . 2cos Trong tam giác vuông AKQ có : KQ AQ 2 - AK 2 nên b 2 a 2 b 2 - a 2 KQ - = 2 0,25 4cos2 4cos2 4cos Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC ta có : a b c b c - a p -a = - a > 0 ; tương tự p -b > 0 ; p- c > 0 2 2 áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 3 số dơng ta có : 3 3p - (a b c) 0 3(a + b + c ) + 2abc 52 . ( ĐPCM ) 0,25 Dấu " = " xảy ra a = b = c = 2 . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn Môn thi : Toán chung Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Bài 1 :( 1 điểm ) Rút gọn và nêu điều kiện cần có của x x 2 4 x 2 4 P x x x x Bài 2 : ( 1 điểm ) Phân tích thành nhân tử : A x 2 7x y 6y Bài 3 : ( 1 điểm ) Cho phương trình : x2- ( 2m+1)x+ m2 + m -6 = 0 3 3 Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1 x2 50 Bài 4 : ( 1 điểm ) Hai người ở cách nhau 3,6 km , khởi hành cùng một lúc và ngược nhau . Họ gặp nhau ở vị trí cách một trong 2 điểm khởi hành là 2 km . Nếu không thay đổi vận tốc nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa đường , tính vận tốc của từng người . Bài 5 : ( 1 điểm ) Giải phương trình : x 2 x 2 2 x 2 4 2x 2 Bài 6 :( 1 điểm ) x 2 Cho Pa ra bol (P) : y 4 ( d ) là đường thẳng qua M ( 1,-2) và có hệ số góc m CMR ( d ) luôn cắt ( P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m Bài 7 : ( 1 điểm ) a 2 b 2 Cho a >1, b > 1 tìm giá trị nhỏ nhất của S b 1 a 1 Bài 8 : ( 1 điểm ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H , gọi B1,C1 là hai đường tương ứng trên các đoạn HB ,HC sao cho góc 0 AB1C bằng góc AC1B bằng 90 . Chứng minh AB1C1 cân Bài 9 : ( 1 điểm ) Trong đường tròn O cho 2 dây cung AB và CD cắt nhau tại M gọi N là trung điểm của BD , đường thẳng MN cắt AC tại K . AK AM 2 Chứng minh : KC CM 2 Bài 10 :( 1 điểm ) Cho hình lăng trụ đứng ABC .A’B’C’ có đáy ABC là tam giác với  AB=AC=a , BAC 1200 . Cạnh bên BB’=a . Gọi I là trung điểm của CC’ Chứng minh : AB' I vuông . Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam sơn Đáp án : Đề thi môn toán chung Bài Đáp án Điểm Điều kiện : x 2 0.25 x 2 4 4 P 2 2 x 2 x = 2x+ 2 0.5 1 x x (1đ) 2x 4 P 0.25 x 2 2 A 2x 3x y 4x y 6y x(2x 3 y) 2 y(2x 3 y) 0.5 0.5 (1đ) A (2x 3 y)(x 2 y) 2m 1 2 4 m2 m 6 25 0m x1 m 2 Phương trình (1) có 2 nghiệm số x2 m 3 0.5 3 3 3 3 2 x1 x 2 50 (m 2) (m 3) 50 5(3m 3m 7) 50 3 1 25 (1đ) 5 3m2 3m 7 50 vì 3m2 + 3m +7 =3( m+ )2 + 0 với m 2 4 1 5 m1 2 m2 + m -1 =0 1 5 m2 0.5 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Gọi x ( km/phút ) là vận tốc ngời đi nhanh ( x > 0) y ( km/phút ) là vận tốc ngời đi chậm ( y > 0) 0.25 Khi gặp nhau ngời đi nhanh đi đợc 2 km , ngời đi chậm đi đợc 3,6 - 2 =1,6 km . 2 1,6 Thao bài ra ta có phương trình : x y 1,8 1,8 Tương tự ở trường hợp 2 . Ta có phương trình : 6 x y Từ đó ta có hệ phương trình : 2 1,6 0.5 x y 4 1,8 1,8 (1đ) 6 x y 3 x 40 Giải hệ ta đợc nghiệm thoả mãn bài toán 3 y 50 3 Trả lời : Vận tốc ngời đi nhanh : 60 4,5km 40 3 Vận tốc ngời đi chậm : 60 3,6km 50 0.25 Điều kiện : x 2 0.25 PT (1) x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 0 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 0 Đặt x 2 x 2 t 0.25 2 t 1 Phương trình trở thành : t + t - 2 = 0 t 2 5 - Với t=1 x 2 x 2 1 (1đ) x 2 1 x 2 x-2 = 3+x+2 x 2 2 x 2 5 Phương trình vô nghiệm . 0.25 - Với t=-2 x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x 2 4 x 2 x 2 x 2 0 x 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2 . 0.25 Phương trình đường thắng d : y+2=m(x-1) y=mx-m-2 0.25 Phương trình hoành độ giao điểm : x 2 0.25 mx m 2 6 4 (1đ) x2+ 4mx – 4m -8 =0 , 4m 2 4m 8 2m 1 2 7 0m 0.5 Vậy ( d ) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m áp dụng bất đẳng thức cô si : a 2 b 2 a 2b 2 a b 2 2 b 1 a 1 (a 1)(b 1) a 1 b 1 0.5 a a> 1 ta có 2 a 2 a 1 a 2 4 a 1 a 2 2 0 0.25 a 1 b Tương tự 2 7 b 1 (1đ) S 8 S=8 a=b=2 Vậy minS= 8 khi a=b=2 0.25 A E D B1 H C1 DeThi.edu.vn B
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 8 (1đ) 2 Trong tam giác vuông ABC1 ta có AC1 =AE.AB C 2 Trong tam giác vuông AB1C ta có AB1 = AD.AC 0.5 Mặt khác : ABD  ACE ( 2 tam giác vuông chung góc nhọn A ) AB AD Suy ra AE.AB AD.AC AC AE 2 2 0.5 Từ đó AC1 = AB1 AC1=AB1 AB1C1 cân đỉnh A B C Q I K N M P A D 9 (1đ) Qua C kẻ đường thẳng song song với KN cắt AB tại Q qua Q kẻ đường thẳng song song với BD cắt KN và CD lần lợt tại I và P 0.25 N là trung điểm BD => I là trung điểm của PQ => M là trung điểm CP   PQ// BD => AQP ABD ( đồng vị )   ABD ACD ( góc nội tiếp cùng chắn cung AD )   AQP ACD = > Tứ giác ACQP nội tiếp 0.25 2 CM.MP CM AM AM2 => AM.MQ=CM.MP MQ ( vì MP=CM ) 0.25 AM AM MQ CM2 AK AM Trong tam giác ACQ có MK//CD nên KC MQ 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn AK AM2 KC CM2 C’ B’ I a A’ 0.25 H C B 10 (1đ) a  A 0 Gọi H là trung điểm BC => AH BC Trong ABC có ACB 30 => HC=AC .cos300 = a 3 2 BC=2HC= a 3 a 2 5a 2 AI2=AC2 + IC 2 = a 2 4 4 0.5 2 2 2 2 a a 13a B’I2 = B’C’ 2 +IC’ 2 = a 3 3a 2 2 4 4 AB’ 2= AB 2 +BB’ 2 = 2a2 5a 2 13a 2 AI2+AB’ 2 = 2a 2 B' I 2 4 4 0.25 Vậy AB’I vuông tại A DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Môn: Toán chung Thời gian làm bài : 150' Bài 1 (2.5 điểm): 2 a 1 2 a Cho biểu thức: A = 1 : a 1 1 a a a a a 1 a.Rút gọn biểu thức A. b.Tính giá trị biểu thức A khi a 2006 2 2005 . Bài 2 (3.0 điểm): x 2 y 2 x 0 Cho hệ phương trình: x my m 0 a.Giải hệ phương trình khi m = 1. b.Tìm m để hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. c. Gọi (x1; y1) và ( x2; y2 ) là các nghiệm của hệ phương trình đã cho. 2 2 CMR: (x2- x1 ) + ( y2 - y1 ) 1. Bài 3 ( 1.5 điểm): Tìm các nghiệm nguyên dương của phươnh trình 2x 2 7x 5 y x 2 5x 7 Bài 4 ( 3.0 điểm): Cho ABC có  B = 900 và  A > 600 . Gọi M là trung điểm của AC. Đường vuông góc hạ từ A xuống BM cắt cạnh BC tại I. Vẽ đường tròn tâm tiếp xúc với AC tại K. đường thẳng qua A tiếp xúc với (I) tại E ( E K) cắt đường thẳng BM tại N. a.Chứng minh 5 điểm A, B, E, I, K cùng nằm trên một đường tròn . b.Tứ giác EKMN là hình gì ? Tại sao ? c. CMR: NEB cân. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án và thang điểm môn toán chung Kỳ thi tuyến sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn. Bài 1 (1.5 điểm): a. (2.0 điểm) Điều kiện: a 0. 0.25 2 a 1 2 a A = 1 : a 1 1 a a a a a 1 a 2 a 1 1 2 a : 0.5 a 1 1 a (a 1)(1 a) ( a 1) 2 a 1 2 a : 0.5 a 1 (1 a)(a 1) ( a 1) 2 (1 a)(a 1) 0.5 (a 1)( a 1) 2 1 a 0.25 b. ( 0.5 điểm ) Khi a 2006 2 2005 ( 2005 1) 2 0.25 Thì A = 1 + ( 2005 1) 2 2005 0.25 Bài 2( 3.0 điểm): a.( 1.0 điểm ) x 2 y 2 x 0 (1) Hệ phương trình x my m 0 (2) Từ (2) x = m - my Thay vao (1) Ta đợc (m2 + 1 ) y2 -( 2m2 - 1)y + m2 - m = 0 (3) 0.25 Khi m = 1 thì phương trình (3) trở thành y( 2y - 1 ) = 0 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn y1 0 x1 1 1 1 0.25 y x 2 2 2 2 Hệ phương trình có 2 nghiệm (1;0) và ( 1 ; 1 ). 0.25 2 2 b. ( 1.0 điểm ) Từ x = m - my mỗi giá trị y tương ứng với 1 giá trị x Để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì (3) phải có 2 nghiệm phân biệt 0.25 m 2 1 0 4 m( 4-3m) > 0 0 (3;2) là nghiệm nguyên dương của phương trình. 0.25 + Nếu y 2 thì * là phương trình bậc 2 đối với x .Phương trình có nghiệm 0 -y2 + 2y + 3 0 -1 y 3 0.25 y 1 Do y nguyên dương và y 2 y 3 Với y = 1 x 1 3 (loại) 0.25 Với y = 3 x = 4 (thoã mãn) Vậy phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm nguyên dương là DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn (3;2) và (4;3). 0.25 Bài 4 ( 3.0 điểm): a. ( 1.0 điểm) Có  ABI = 900 (gt) 0.25  AEB = 90o (vì AE là tiếp tuyến ) 0.25  AKI = 90o(vì AK là tiếp tuyến ) 0.25 B, E,K cùng nhìn đoạn thẳng AI cố định dới một góc vuông. A, B, E, I, K cùng nằm trên một đường tròn đường kính AI . 0.25 b. (1.0 điểm) Ta sẽ chứng minh tứ giác EKMN là hình thang cân. Có EK  AI và AE = AK ( hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm). 0.25 Mặt khác MN  AI nên suy ra EK // MN 0.25 mà AE = AK . 0.25 Vậy tứ giác EKMN là hình thang cân. 0.25 c. (1.0 điểm) * Theo câu b : A, B, E, I nằm trên một đường tròn nên  AIB =  AEB =  NEB (cùng chắn cung AB ) (1) 0.25 và  EBI =  EAI ( góc nội tiếp cùng chắn cung EI ) *Lại có  EAI =  IAC (tính chất hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm) suy ra  EBI =  IAC (2) * M là trung điểm của AC nên MB = MC ( do ABC vuông tại B ) BMC cân tại M  MBC =  MCB (3) 0.25 *Kết hợp (2) và (3)  MBC +  EBI =  MCB +  IAC Mặt khác  MBC +  EBI =  MBE và  MCB +  IAC =  AIB (góc ngoài tam giác)  MBE =  AIB (4) 0.25 *Từ (1) và (4)  MBE =  NEB NBE cân tại N.(đpcm) 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn Môn: Toán - Thời gian làm bài 150’ Câu I (2đ): 1) Cho biết a = x.y + (1 x 2 )(1 y 2 ) b = x 1 y 2 + y 1 x 2 Giả thiết rằng: xy dương, hãy tính b theo a. 2) Tìm các giá trị của a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình: x2 - (a-1)x - a2 + a - 2 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II (2đ): 1) Giải hệ phương trình: 2x2 - y2 = 1 xy + x2 = 2 2) Cho hàm số y = x2 với x -1 (1). Vẽ đồ thị (c) của hàm số(1) và tìm b để đường thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B lần lượt có hoành độ trái dấu. Câu III (2đ): 1) Giải phương trình: (x2 - 3x + 2) (x2 + 15x + 56) + 8 = 0 2) Cho n số thực a , a ,, ., a sao cho a 3 + a 3 + + a 3 = 0 1 2 n n 1 2 n Chứng minh: a + a + .+ a . Biết rằng - 1 ai 1 với i =1,2, ,n 1 2 n 3 Câu IV (3đ): Cho hình vuông ABCD 1) 0 là một điểm bên trong hình vuông. Dựng điểm E trên đường thẳng d chứa cạnh AB, điểm F trên đường thẳng d’ chứa cạnh DC sao cho E0F vuông ở 0 và có diện tích nhỏ nhất. 2) Trên cạnh BC và CD lấy hai điểm tương ứng M và N sao cho MAN = 450. BD cắt AM, AN lần lượt tại I và K. Chứng minh S CIK = SNMIK. Câu V(1đ): Cho đường tròn (0; R), dựng đường tròn (0’; R’) sao cho 0 nằm trên đường tròn (0’, R’). Dây AB của đường tròn (0; R) di động và tiếp xúc với đường tròn (0’; R’) tại điểm C. Xác định vị trí của dây AB để AC2 + BC2 đạt giá trị lớn nhất. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn đáp án và biểu chấm toán tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam sơn Câu Nội dung Điểm I 2.0đ I1 1.0đ Ta có: a2 = 1 + x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy (1 x 2 )(1 y 2 ) (1) 0,25đ b2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy (1 x 2 )(1 y 2 ) (2) 0,25đ So sánh (1) và (2) suy ra b2 = a2 - 1 Do xy > 0 nên ta xét hai trờng hợp sau: + Nếu x > 0 và y > 0 thì b > 0, từ đó ta có: b = a 2 1 + Nếu x < 0 và y < 0 thì b < 0. Từ đó ta có: b = - a 2 1 0,5đ I2 1.0đ Ta có a2- a + 2 = (a - 1 )2 + 7 7 - (a- )12 + 7 < 0 0,25đ 2 4 4 2 4 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) 0,25đ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, Ta có: với mọi a 2 2 2 2 2 x1 + x2 = (x1 + x2) - 2x1x2 = (a-1) + 2(a - a + 2) 0,25đ 2 11 2 11 11 = 3( a - )2 +  = 3(a- )2 + 0,25đ 3 9 3 3 3 2 2 2 11 Dấu bằng xảy ra khi a = . Vậy GTNN của x1 + x2 bằng 3 3 II 2,0đ II1 1,0đ 1 + Nếu y = 0 hệ đã cho trở thành x2 = hệ này vô nghiệm. 0,25đ 2 x2 = 2 DeThi.edu.vnx x y y x y 2y x 2 3 y 3 2y 2y 3 3
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn + Nếu y 0 hệ đã cho suy ra xy + x2 = 4x2 - 2y2 3x2 - xy -2y2 (* )= 0 Chia hai vế của (*) cho y 0 Ta được 3( )2 - ( ) - 2 = 0 = 1 x = y x = 0,25đ = - x = 1 + Từ x = y hệ đã cho viết thành x = y y = 1 2x2 - y2 = 1 x = - 1 y = -1 + Từ x = - hệ đã cho viết thành: x = - 0,25đ 2x2 - y2 =1 Hệ này vô nghiệm Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x = - 1 và x = 1 0,25đ y = - 1 y = 1 II2 1,0đ y B y= x2 (x 1) 0,25đ 2 (c) A -1 0 x Đường thẳng y = x + b song song (hoặc trùng) với đường phân giác góc phần tử thứ nhất: y = x. 0,25đ + Thay toạ độ điểm A (-1, 1) vào y = x + b ta được b = 2 Vậy đường thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B thoả mãn đề bài thì phải có: 0 < b 2. 0,5đ III 2,0đ III1 1,0đ Vế trái của phương trình đã cho bằng: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x4 + 12x3 + 13x2 - 138x + 120 = (x4 + 6x3 - 15x2) + (6x3 + 36x2 - 90x)- - (8x2 + 48x - 120) = x2 (x2 + 6x - 15) + 6x (x2+ 6x - 15) - 8(x2+6x-15) 0,5đ = (x2 + 6x - 15) (x2 + 6x - 8). Vậy phương trình đã cho viết thành: (x2 + 6x - 15) (x2 + 6x - 8) = 0 *Giải các phương trình: x2 + 6x - 15 = 0 và x2 + 6x - 8 = 0 ta được phương trình đã cho có bốn nghiệm: 0,5đ x1 = -3 + 2 6 ; x2 = -3 - 2 6 ; x3 = - 3 + 17 ; x4 = - 3 - 17 . III2 1,0đ 1 + Ta có: 4a3 - 3a + 1 = 4 (a + 1) (a- )2 0 với mọi a thoả mãn -1 a 1 0,25đ 2 3 12 + Từ đó 4a1 - 3a1 + 1 = 4(a1 + 1) (a1 - ) 0 3 1 22 4a2 - 3a2 + 1 = 4(a2 + 1) (a1 - ) 0 2 3 12 4an - 3an + 1 = 4(an + 1) (an - ) 0 2 3 3 3 Vậy ta có : 4(a1 + a2 + .+ an ) - 3(a1 + a2 + .+an) + n 0 0,5đ = 0 n - 3(a1 + a2 + + an) - n (a1 + a2 + .+an) 3 đ. p. c/m. 0,25đ Câu Nội dung Điểm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn IV IV1 Gọi P,Q lần lợt là hình A E P B d chiếu của 0 trên d và d’ a Đặt diện tích 0EF = S Ta có P0E = 0FQ = (góc 0 có cạnh tơng ứng vuông góc) 0,25đ Đặt 0P = a, 0Q = b b d’ a b Ta có 0E = , 0F = D F Q C cos sin ab Do đó: S = vì a,b không đổi 2sin cos nên S nhỏ nhất khi 2sin cos lớn nhất. 0,25đ Vì sin , cos dơng nên 2sin cos sin2 + cos2 = 1 (BĐTcôsy) do đó Max (2sin cos ) = 1 khi sin = cos . Vậy S nhỏ nhất khi sin = cos = 45 0 .Vậy E và F cần dựng thoả mãn P0E = 0FQ = 450. 0,25đ * Bài toán có hai nghiệm hình (vì E, F là hai điểm trên d và d’). 0,25đ VI2 2đ Vì C đối xứng với A qua DB A B nên điều phải chứng minh S AIK = SNMIK 450 I 1 AIK= AMN 0,5đ S 2S M K do IAN = IDN = 450 nên tứ giác IADN nội tiếp. D N C Suy ra AI  IN Tơng tự ta có AK KM do đó MIKN là tứ giác nội tiếp. 0,5đ Suy ra AIK = ANM; AKI = AMN suy ra AKI AMN AK AI 1 Do đó : = cos 450 = (tỷ số đồng dạng) 0,5đ AM AN 2 AK.AI 1 S AIK = AM.AN 2 S AMN DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy: Suy ra điều cần chứng minh. 0,5đ Câu Nội dung Điểm V Gọi H, K lần lợt là trung điểm của AB và chân đường vuông góc hạ từ 0 xuống 0’C. Ta có: 0H  AB và hình chữ nhật 0HCK. 0,25đ AB C B Do đó AC2 + BC2 = ( HC)2 H 2 2 AB AB 2 A K + HC = 2HC 2 O O’ 2 2 = 2(R2 - 0H2) + (00’2 - 0’K)2 = (R2 - 0H2) + 2R’2 - (R’ - 0H)2 = 2R2 - 40H2 + 4R’0H = = 2R2 + R’2 - (R’ - 20H)2 2R2 + R’2 0,5đ Vậy giá trị lớn nhất của AC2 + BC2 = 2R2 + R’2 đạt được khi R ' (R’- 20H)2 = 0 hay 0H = . Suy ra có hai vị trí của AB là: khi nó là 2 tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn (0’; R’) và (0; R).' 0,25đ 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 Đề thi vào lớp 10 - THPT chuyên lam Sơn (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I: (3điểm) x 2 x 1 x 1 Cho biểu thức: A= : x x 1 x x 1 1 x 2 1- Rút gọn biểu thức A. 2- Tính giá trị của A khi x = 7 - 6. 3- Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất? Câu II: (3 điểm) (1) 1- Cho phương trình : (m-1)x2-(2m+3)x+m+4 =0 a) Giải phương trình (1) khi m = 2. b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 2 2 x1; x 2 thoả mãn : x1 x2 2 (a 1)x 2y 1 2- Cho phương trình (I) 3x ay 1 a) Giải hệ (I) với a = 3 + 1. b) Tìm các giá trị của a để hệ (I) vô nghiệm. Câu III: (3điểm) Cho tam giác ABC (AC > AB), trung tuyến AM, điểm N AM, (điểm N nằm giữa A và M), vẽ đường tròn (O) có đường kính AN. 1- Gọi F là giao điểm của phân giác trong AD với (O), gọi E là giao điểm của phân giác ngoài góc Aˆ với (O). Chứng minh: EF là đường kính của đường tròn (O). 2- Đường tròn (O) cắt AB ở K, cắt AC ở H, KH cắt AD ở I. Chứng minh: FK2 = FI. FA. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 3- Chứng minh: NH.CD = NK. BD. Câu IV: (1điểm) Tính tổng : 1 1 1 1 1 1 S 1 1 1 2 2 32 32 4 2 20052 2006 2 Đáp án đề thi vào lớp 10 chuyên lam sơn Câu ý Lời giải vắn tắt Điểm I 3,0đ 1 1,0 ĐK: 0 x 1 0,25 x 2 x( x 1) (x x 1) 2 A = . x x 1 x 1 0,25 ( x 2 x 1)2 2 = 0,5 ( x 1) 2 (x x 1) x x 1 2 1,0 2 2 A 2 1 2 3 1 3 x 0,5 2 4 4 4 Dấu "=" xảy ra x = 0 x =0 0,25 Vậy Max A = 2 khi x = 0 0,25 3 0,1 Với x = 7-2 6 = ( 6-1)2 x = 6 -1 0,5 2 2 Ta có : A = = 0,5 7 - 2 6 + 6 - 1 + 1 7 - 6 II 3,0đ 1 1,5đ a Khi m = 2 ta có phương trình: x2 - 7x+6=0 0,25 Ta có a +b+c = 0 phương trình có hai nghiệm: x = 1; x2 = 6 0,25 b Nhận thấy a + b+ c =0 nên để phương trình có 2 nghiệm phân biệt m 1; x1 x2 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn m + 4 Khi đó 2 nghiệm của (1) : x1=1; x2 = 0,25 m - 1 m 1 m 1 3 ycbt: x 1 x 2 2 m 4 1  m 2 2 2 m 4 m 1 1 m 1 0,5 3 Vậy m = - là giá trị cần tìm 2 II 2 1,5đ Với a = 3 + 1 thì hệ (I) đa về: 3x 2y 1 3x ( 3 1)y 1 0,5 1 a) (1 3)[ 3x y] 0 3x y x   3 3x 2y 1 y 1 y 1 1 ay 0,5đ (a 2)(x y) 2 x (1) (I)  3 3x ay 1 (2) (a 2)(4 a)y 6 Để hệ (I) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm. b) a 2 0,5 .Vậy a= -2; a=4 là các giá trị cần tìm. a 4 III 3,0đ Ta có: AE và AF là hai tia phân giác 1 E A của 2 góc kề bù đỉnh A nên AE  AF EAF = 1v O là góc nội tiếp chắn nửa 1,0 H I đường tròn - Hay EF là đk K đường tròn (O) - đpcm. N F B M D C DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 Xét AKF và KIF có KAF = IKF 0,25 (Chắn 2 cung bằng nhau: KF = FH) Mà AF = AH + HF = AH + FK 1 1 và AKF = số đo AF; KIF = số đo (AH+FH) nên AKF=KIF 2 2 0,25 AKF ∾ KIF 0,25 FK FI 2 = FK = FA.FI-  0,25 FA FK III 3 1,0 Xét ABM và ACM có: S ABM = S ACM mà S NCM = S NBM 0,25 (Cùng đường cao và cạnh đáy bằng nhau) NH AB Nên: S ANC = S ANB NH.AC = NK.AB = (1) 0,25 NK AC AB BD áp dụng tính chất đường phân giác: = (2) AC DC 0,25 Từ (1) và (2) NH.CD = NK.BD -  0,25 IV 1,0đ 1 1 36 9 4 7 Ta có: 1 22 32 (2.3) 2 6 1 1 144 16 4 13 1 32 42 (3.4) 2 12 0,5 1 1 (2005.2006) 2 20052 20062 2005.2006 1 1 20052 20062 (2005.2006) 2 2005.2006 7 13 2005.2006 1 S 6 12 2005.2006 1 1 1 0,25 =1 1 1 6 12 2005.2006 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 1 1 = 2004 (vì từ 2 2005 có 2004 số) 2 3 3 4 2005 2006 1 1 501 0,25 = 2004 2004 2 2006 1003 Chú ý: Nếu thí sinh giải bằng cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tơng ứng. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 Đề thi vào lớp 10 THPT Lam Sơn- Thanh Hoá môn : toán Thời gian : 150 phút Câu 1(2đ): Cho biểu thức: 8x x 1 x x 1 3x x 2 A= : 1 3 9x 3x x 1 3x x 1 3x x 1 a) Rút gọn biểu thức A. 3 b) Tìm x để A= 2 Câu 2(2đ): Cho biểu thức A= y2-5xy + 6x2 a) Phân tích A thành nhân tử b) Tìm các cặp số (x,y) thoả mãn điều kiện: x – y + 1=0 và A=0 2 Câu 3(2đ): Cho phương trình: x +ax+b=0 có 2nghiệm x1,x2 2 Và phương trình x +cx+ d= 0 có 2nghiệm x3, x4 Chứng minh rằng: 2 2 2 2(x1+x3)(x1+x4)(x2+x3)(x2+x4)= 2(b-c) - (a -c )(b-d)+ (a2+c2)(b+d) Câu 4(2đ): Giải hệ phương trình: z 2 1 2 xy 2 x 1 2yz 1 4xy Câu 5(2đ): Giải phương trình a) 3x 2 6x 7 5x 2 10x 14 4 2x x 2 b) (x-1)6+(x-2)6=1 Câu 6(2đ): Tìm a để 3 đường thẳng sau đây đồng quy: y= 2x y=-x-3 y= ax+5 Câu 7(2đ): Chứng minh rằng tổng bình phương của 1984 số tự nhiên liên tiếp không DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Thể là bình phương của một số nguyên . Câu 8(2đ): Cho ABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự Là A , F , N . AB AC 2AM a) Chứng minh : AE AF AN b) Giả sử đường thẳng d // BC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P đường thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ//BC. Câu 9(2đ): Cho một đường tròn (O) đường kính AB. Có một điểm M nằm trên cung AB sao cho CA < CB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Đường thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt Ax và By theo thứ tự tại P và Q, gọi R là giao điểm của AM và CP, S là giao điểm của BM và CQ. a) Chứng minh tứ giác APMC, BQMC nội tiếp. b) RS//AB c) Tứ giác ARSC có thể là hình bình hành được không ? tại sao? Câu 10(2đ): Cho hai đường thẳng d và d’ và có một điểm A không ở trên d và d’. Hãy dựng điểm B trên d và C trên d’ sao cho: ABC là tam giác đều. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bảng hướng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào 10 thpt lam sơn Thời gian : 150 phút Môn : toán Bài 1: (2đ) a) (1đ) 1 - Điều kiện: x 0 , x 3 9 0,25 đ x 3 x x - Ta có : A= 3x x 1 0,75 đ b) (1đ) 3 x 3 x x 3 A= 2 3x x 1 2 2x 3 7x x 3 0 0,25 đ Đặt t x x 2t 2 7t 3 0 1 t 3,t 1 2 2 0,25 đ x x 3 x 3 9 0,25 đ 1 1 x x x 2 3 4 0,25 đ Bài 2: (2đ) a)(1đ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Ta có : A= y 2 2xy 3xy 6x 2 = y 2x y 3x 1đ b)(1đ) Ta có : A 0 y 2x 0 y 3x 0 Để thoả mãn điều kiện bài toán ta có hai hệ: y 2x 0 y 3x 0 (I) và (II) x y 1 0 x y 1 0 0,25 đ Hệ (I) có nghiệm: x 1, y 2 0,25 đ 1 3 Hệ (II) có nghiệm: x ; y 2 2 0,25 đ Bài 3(2đ) 2 Phương trình: x ax b 0 có hai nghiệm: x1 , x2 (x x1 )(x x2 ) 0 2 Phương trình: x cx d 0 có hai nghiệm : x3 , x4 (x x3 )(x x4 ) 0 2 Đặt f (x) x ax b (x x1 )(x x2 ) 2 g(x) x cx d (x x3 )(x x4 ) 2 Ta có: f ( x3 ) (x1 x3 )(x2 x4 ) x3 ax3 b (1) 2 f ( x4 ) (x1 x4 )(x2 x4 ) x4 ax4 b (2) Nhân vế với vế tương ứng của (1) và (2) ta được : 2 2 (x1 x3 )(x2 x3 )(x1 x4 )(x2 x4 ) (x3 ax3 b)(x4 ax4 b) x x c Biến đổi vế phải: ( Dùng 3 4 ) x3 x4 d Ta được: VP = 2(b d) 2 (a 2 c 2 )(b d) (a 2 c 2 )(b d) đpcm. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 4(2đ): 1 Từ phương trình đầu suy ra : xy 4 0,25 đ 1 Từ phương trình hai suy ra : xy 4 0,25 đ 1 Vậy xy 4 0,25 đ 1 xy 4 2 1 z 1 1 z 0 xy ; x2 1 Từ đó ta có hệ: 4 2 x 1 0 0,5 đ 1 x 1; y ; z 0 4 1 x 1; y ; z 0 4 0,5 đ 1 1 KL: 1; ;0 và 1; ;0 4 4 0,25 đ Bài 5(2đ): a)(1đ) Phương trình đã cho viết lại nh sau: 3(x 1) 2 4 5(x 1) 2 9 5 (x 1) 2 0,25 đ Nhận thấy: VT 2 3 5 0,25 đ VP 5 0,25 đ DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy : x 1 0 x 1 0,25 đ b)(1đ) Giải phương trình: (x 1)6 (x 2)6 1 Đặt: a (x 1) 2 0,25 đ b (x 2) 2 (a;b 0) a 3 b3 1 Ta được: a b 1 Giải hệ a b x 1; x 2 Bài 6(2đ): Đặt: y 2x d1 y x 3 d 2 y ax 5 d3 y 2x x 1 d1  d 2 I là nghiệm của hệ y x 3 y 2 0,75 đ Để d1  d 2  d3 I I d3 : 2 a 5 a 3 0,75 đ KL: Vậy a =-3 0,25 đ Bài 7(2đ): Giả sử có những so nguyên không âm a và b sao cho: (a 1) 2 (a 2) 2 (a 9b4) 2 b 2 0,5 đ Sau khi tính tổng bên trái và rút gọn: 25 31(2a 2 3970a 1985 1323) b 2 0,75 đ Từ đây ta thấy số mũ lớn nhất của số 2, mà bên phải chia hết cho nó DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn là 5, trong khi đó bên phải (nó là số bình phương) số mũ này là số mũ chẵn. Suy ra những số với t/c đã cho là không có. 0,75 đ A Bài 8(2đ): đ F a)(1 ) E Kẻ BI,CS // EF (I, S AM ) AB AI AC AS Ta có: , AE AN AF AN I AB AC AI AS ( ) B C AE AF AN AN M 0,5 đ S Ta có: BIM CSM (cgc) IM MS Vậy: AI AS AI AI IM MS 2AM Thay vào (*) ta được (đpcm) 0,5 đ b)(1đ) + Khi d // BC EF // BC N là trung điểm của EF 0,25 đ +Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP tại L Ta có: NFP NFL(cgc) EP LF 0,25 đ Do đó : A EP LF KF K (1) PB PB KB E N P 0,25 đ Q +Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt B C KM tại H M Ta có BMH CMQ(cgc) BH QC H DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn FQ FQ KF Do đó: (2) QC BH KB FP FQ Từ (1)(2) PQ // BC (đpcm) PB QC 0,5 đ DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam sơn (Thời gian: 150 phút) 2b x 2 4 Bài 1: Cho biểu thức M x x 2 4 a b Tìm giá trị của M khi x= b a Bài 2 Cho đa thức bậc 5 có hệ số nguyên. Biết rằng f(x) nhận giá trị 1975 với 4 giá trị nguyên khác nhau của x. Chứng minh rằng với mọi x z thì f(x) không thể có giá trị bằng 1992 Bài 3: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình x 2 kx a 0(a 0) Tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức: x x ( 1 )3 ( 2 )3 52 x2 x1 x 2 y 2 xy 1 Bài 4: Giải hệ phương trình: 3 3 x y x 3y Bài 5 : Giải phương trình 2x 15 32x 2 32x 20 Bài 6 : x 2 Trong mp(oxy) cho Parabol(P): y và điểm I (0,-2) gọi (d) là 4 đường thẳng qua I và có hệ số gốc m 1, Vẽ (P) chứng tỏ với mọi m R,(d) luôn cắt (P) tại 2 điểm điểm phân biệt A,B 2, Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất Bài 7 : Cho a, b, c>0 chứng minh rằng: a b c a b b c 1 b c a b c a b Bài 8: Cho tam giác ABC có Cˆ Bˆ 900 , đường cao AH, trung truyến AM và phân giác trong AD 1, Chứng minh D nằm giữa 2 điểm H và M 1 7 2, Biết SADM= SABC, SAHM= SABC. Hãy tính số đo góc BAC 14 50 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 9 : Cho ABC. Qua một điểm M bất kỳ thuộc cạnh AC, kẻ các đường song song với hai cạnh kia; chúng tạo thành với 2 cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy có diện tích lớn nhất. Bài 10 : Cho hình chóp tam giác đều và khoảng cách giữa hai cạnh chéo nhau bằng l, hãy xác định hình chóp có thể tích bé nhất. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án và biểu điểm Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam sơn Đề thi đề nghị môn Toán (Thời gian 150 phút) a b a Bài 1 : (2điểm). Khi cho và thì 0 a.b 0 (0,25đ) b a b a b a b Do đó x x 2 2 (0,25đ) b a b a 2 2 a b (a b) a b x 4 2 4 (0,25đ) b a ab ab a b 2b 2b x 2 4 ab 2b a b Từ đó : M (0,75đ) x x 2 4 a b a b a b a b ( ) b a ab 2b(a b) Nếu a b thì : M a b (0,25đ) a b a b 2b(b a) b(b a) Nếu a b thì M (0,25đ) a b b a a Bài 2 (2đ) Gọi x1,x2,x3x4 là giá trị nguyên khác nhau của đa thức f(x)- 1975 suy ra f(x)-1975 = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4).g(x) (g(x) là đa thức có hệ số nguyên)(0,5đ) Giả sử tồn tại a z mà f(a)=1992 ta có: (a-x1)(a-x2)(a-x3)(a-x4).g(a)=17 * (0,5đ) Do x1,x2,x3x4 z khác nhau nên a-x1,a-x2 , a-x3 ,a-x4 là 4 số nguyên khác nhau và g(a) z, mà 17 chỉ có thể phân tích thành một tích có nhiều nhất ở thừa số nguyên khác nhau : 17= 1(-1)(-17) nên (*) không xảy ra ĐPCM (1,0đ) Bài 3 (2đ) Dễ thấy x1,x2 0 Ta xét a hai trường hợp DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn * Nếu a 0 x1 3 x2 3 x1 x2 2 x1 x2 2 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 x2 x1 x2 x1 x2 x1 2 2 2 2 x x x1 x2 (x1 x2 ) 2x1 x2 k Mà 1 2 2 (Theo viét) x2 x1 x1 x2 x1 x2 a 2 2 x1 3 x2 3 k k 2 Do đó : ( ) ( ) =( 2) ( 2) 3 52 (1) (0,5đ) x2 x1 a a k 2 Đặt =t, ta có (t 2)(t 2) 2 3 52 a (t 6)(t 2 9) 0 (2) k 2 Ta thấy (t 2 9) 0 mọi t. Do đó (2) chỉ đúng khi (t 6) 0 hay 6 0 a Do a 0 nên k 2 6a . Bởi vậy 6a k 6 (0,75đ) Vậy a 0 thì k là số thực thỏa mãn 6a k 6 (0,25đ) Bài 4 (2đ) Giải hệ phương trình x2 y 2 xy 1(1) 3 3 x y x 3y(2) Từ (1) ta có PT (2) có dạng : x 3 y 3 = (x 3y)(x 2 y 2 xy) (0,25đ) x 3 y 3 x 3 xy 2 x 2 y 3x 2 y 3y 3 3xy 2 4x 2 y 4x y 2 2y 3 0 2y(2x 2 2xy y 2 ) 0 2yx 2 (x y) 2  0 y o y o y 0 x 0 x 0 2 2 (1,0đ) x (x y) 0 y x y 0 + Với y=0 thay vào (1) ta đợc x2=1 x 1 + Với x=0, y=0 thay vào (1) không thỏa mãn x=0, y=0 loại (0,5đ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x,y) là (1,0) và (-1,0) (0,25đ) Bài 5 (2đ) Điều kiện 2x +15 0 và 32 x2+32x-20 0 15 x 2 2 14 15 x 4 56 4 2 x (0,25đ) 8 2 14 x 4 56 4 x 8 PT đã cho tương đương với 2x 15 2(4x 2) 2 28 (1) Đặt 4y 2 2x 15 ĐK 4y 2 0 (0,25đ) Từ đó ta có : (4y 2) 2 2x 15 (2) PT trở thành: (4x 2) 2 2y 15 (3) Lấy (2 ) trừ cho (3) theo từng vế ta đợc : (4y 2)2 (4x 2)2 2(x y) (4y 2 4x 2)(4y 2 4x 2) 2(x y) 0 4(y x).4(x y 1) 2(x y) 0 (x y)(8x 8y 9) 0 x y 0 (0,75đ) 8x 8y 9 0 * Trường hợp 1 : x - y = 0 x=y thay vào (3 ) ta đợc: 16x2+14x-11=0 1 x TM 2 11 x Loại 8 (0,25đ) * Trường hợp 2 : 8x+8y +9=0 9y=8x-9 thay vào (3) ta có : 64x2+72x-35=0 9 221 TM x 16 (0,25đ) 9 221 Loại x 16 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 9 221 Vậy phương trình có 2 nghiệm x= hoặc x (0,25đ) 2 16 Bài 6: (2đ) 1. (1đ) đường thẳng (d ) có phương trình là y=mx-2 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x 2 mx 2 4 x 2 4mx 2 0 4m 2 2 0m Chứng tỏ (d) luôn cắt (P ) tại 2 điểm phân biệt A, B (0,5đ) Vẽ (P) (0,5đ) y 2, (1đ) Điểm A, B có tọa độ : A(x1, mx1-2), B(x2, mx2-2) Với x1, x2 có nghiệm của phương trình: x2+4mx-2=0 -2 2 Theo Viét ta có: O x B x1 x2 4m A I -2 x1.x2 2 y=-x2/4 Do đó 2 2 2 2 AB = (x1 x2 ) m (x1 x2 ) (m 2 1)(x x ) 2 4x x  1 2 1 2 (m 2 1)(16m 2 8) 8 vì m 2 0 AB 2 2 Dấu “=” xảy ra khi m = 0 Vậy AB ngắn nhất khi và chỉ khi m = 0 (0,5đ) Bài 7: (2đ): a, b, c>0 a b c a b b c CM: 1 (1) b c a b c a b a(a b)(b c) b(a b)(b c) c(a b)(b c) (1) (a b) 2 (b c) 2 (a b)(b c) (0,5đ) b c a a 2c b 2 (a b) cb (b c) a 2 ab ac b 2 ab c 2 bc b c a Mặt khác (a b) 2 (b c) 2 (a b)(b c) = a 2 ac c 2 3b 2 3ab 3bc Do đó ta cần chứng minh: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn a2c b2 (a b) cb(b c) 2b2 2bc ab (2) (0,5) b c a a2c b2 (a b) cb(b c) 1 a2c b3 1 a2c c2b 1 b3 c2b c a VT ( ) ( ) ( ) b2 ( ) b c a 2 b c 2 b a 2 c a a c b4c ab ac3 2b2 ab 2bc 2b2 VP a Dấu “=” xảy ra khi a = b = c (1đ) Bài 8 (2đ) 1, (1đ) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ABC. Gọi F là trung điểm của cung BC khác nhau với A. A, D, F thẳng hàng D ở giữa A,F D ở giữa H, M (0,5đ) A 2, Ta có .O B M H D C 1 MD S / S 14 ADM ABC BC DB 1 1 3 F BC 2 14 7 DB 3 DC 4 AB 3 DB AB (do ) AC 4 DC AC 7 S MH AHM (0,75đ) 50 S ABC BC HB 1 7 9 HB 9 BC 2 50 25 HC 16 HB AB ( )2 * (0,75đ) BC AC 0 Trên đường thẳng AH chọn A0 sao cho  BA0C=90 (A0 là giao điểm của HA với đường tròn đường kính BC) 2 2 2 HB HB.HC HA 0 A0 B HB A0 B 2 2 2 2 ( ) HC HC HC A0C HC A0C 2 2 AB A0 B Từ (*) và ( ) ta có : 2 2 AC A0C DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 2 2 2 BH AH BH A0 H 2 2 2 2 A0 H AH CH AH CH A0 H 0 BAC BA0C 90 Bài 9 (2đ) Gọi hình bình hành tạo thành là BEMF; dt(BEMF)=S’; dt(ABC)=S= const Kẻ AK  BC, AK cắt EM ở H. Ta có S’=EM.HK (0,5đ) 1 S' EM KH A S BC.AK nên 2 . 2 S BC AK x Đặt MA =x, MC=y. Theo định lí Talét ta có: EM x HK y ; (0,5đ) E H M BC x y AK x y ’ y S 2xy S nên 2 S (x y) B K F A 2 2 Lại có: (x y) 4xy do (x y) 0x, y (0,5đ) C S 1 1 Do đó max S = S khi đó x=y S 2 2 Tức là M là trung điểm của AC (0,5đ) Bài 10 (2đ) Giả sử hình chóp SABC đều, O là tâm đều ABC, M là trung điểm của BC. Ta có BC  (SAM). Vẽ MN  SA thì MN vuông góc với BC. (0,25đ) S N A C O B M B Đặt AB=BC=CA=x khi đó 1 x 3 x 2 3 S x. ABC 2 2 4 S SOA MNA SO MN OA NA MN.OA 2 3l.x SO NA 3 3x 2 4l 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Điều kiện x> 2l (0,25đ) 3 Ta có thể tích hình chóp: 1 3 2 3.l.x lx3 V x 2 . 3 4 3 3x 2 4l 2 6 3x 2 4l 2 l 2 x6 l 2 x6 .4l 4 4l 6 x6 l 6 .27.x6 l 6 x6 l 6 V 2 36(3x 2 4l 2 ) 36(3x 2 4l 2 ).2l 2 .2l 2 3x 2 4l 2 4l 2 9.x6 .27 9x6 9 36( )3 3 (0,75đ) l 3 V Dấu “=” xãy ra khi : 3x2- 4l2-2l2 3 x=l 2 0 Vậy thể tích của hình chóp nhỏ nhất khi SA+SB+SC=l 2 (0,25đ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 Đề thi chuyên lam sơn Môn : Toán (Toán chung) Bài 1 : (2đ) Cho biểu thức : x 8 x 8 x 2 x x 3 1 P : x 2 x 2 x x x 2 x x a. Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng P 1 . b. Tìm x thoả mãn : x 1 .P 1 Bài 2 : (3đ) a. Giải phương trình : 2 x x 2 1 x 1 b. Giải hệ phương trình : x2y – 2x + 3y2 = 0 x2+ y2x + 2y = 0 c. Giải phương trình : 2006.x 4 x 4 . x 2 2006 x 2 2005.2006 Bài 3 : (1,5đ) Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng : 25a 16b c 8 . b c a c a b Bài 4 : (2đ) Cho ABC với BC=a, CA=b, AB=c (c<a, c<b) . Gọi M và N lần lượt là tiếp điểm của cạnh AC và cạnh BC với đường tròn tâm O nội tiếp ABC . Đoạn thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tia BO tại Q .Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC . MP NQ PQ a. Chứng minh rằng : . a b c b. Chứng minh rằng : Q, E, F thẳng hàng . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 5 : (1,5đ) Hình tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với cạnh CD, AD=AC, diện tích của thiết diện đi qua cạnh AB và trung điểm của cạnh DC bằng S ; DC=a . Tính thể tích của tứ diện ABCD theo a và S . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án Đề thi chuyên lam sơn Môn : Toán (Toán chung) Bài 1 : (2đ) a. Điều kiện x>0 ( x) 2 (8 x 8) ( x 2) 2 (x x 3) ( x 2) Ta có : P : (0.25đ) x.( x 2) x.( x 2) 4 x 4 P= (0.25đ) x 2 x 5 4 x 4 ( x 1) 2 P-1= 1 0 (0.25đ) x 2 x 5 ( x 1) 2 4 Vậy P 1 (0.25đ) b. ( x 1).P 1 2 4 x 1 x 2 x 5 (0.25đ) 3x + 6 x -1 = 0 (0.25đ) 3 2 3 x (loại) 3 3 2 3 (thỏa mãn) x (0.25đ) 3 7 4 3 x (thoã mãn điều kiện x>0) . (0.25đ) 3 Bài 2 : (3đ) 2 2 x a. Giải phương trình : x 1 (1) x 1 ĐK : x 1 2x 2 x 2x 2 (1) x 2 ( ) 2 1 (0.25đ) x 1 x 1 x 1 x x 2 (x ) 2 2. 1 (0.25đ) x 1 x 1 x 2 ( 1) 2 2 x 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x 2 (1 2)x (1 2) 0 (0.25đ) x 2 (1 2)x (1 2) 0 2 1 2 2 1 x (thỏa mãn) (0.25đ) 2 b. Giải hệ phương trình : x2y – 2x + 3y2 = 0 x2+ y2x + 2y = 0 Nếu y=0 x=0 Vậy x=0, y=0 là nghiệm của hệ phương trình . Với y 0 hệ đã cho trở thành x2y – 2x + 3y2 = 0 x2y+ y3x + 2y2 = 0 (0.25đ) y 3 x 2x y 2 0 (1) x 2 y 2 x 2y 0 (2) Nhận thấy y 3 2 không thoả mãn hệ phương trình . y 2 Xét y 3 2 từ (1) x thay vào (2) ta có : y 3 2 2 2 3 3 y 2 2 y y y ( 3 ) y . 3 2y 0 y 3 2 3 2 0 y 2 y 2 (y 2) y 2 3y 6 11y 3 8 0 (0.25đ) y 3 1 y 1 x 1 8 2 (0.25đ) y 3 y x 2 3 3 3 3 2 Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0) (1;-1) (-2 3 ; ) . (0.25đ) 3 3 c. 2006x 4 x 4 x 2 2006 x 2 2005.2006 x 4 ( x 2 2006)  x 2 2006 2006. x 2 2006 2006 0 (0.25đ)  x 2 2006 2006(x 4 x 2 2006 2006) 0 x 4 2006 x 2 2006 (0.25đ) 1 1 x 4 x 2 x 2 2006 x 2 2006 4 4 1 1 (x 2 ) 2 ( x 2 2006 ) 2 2 2 1 1 x 2 x 2 2006 (0.25đ) 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 4011 8021 8021 1 x 2 2006 2x 2 8021 1 x 2 2 2 8021 1 x . (0.25đ) 2 Bài 3 : (1.5đ) Đặt b+c=x , c+a=y, a+b=z (ĐK: x,y,z>0) y z x a 2 x z y b (0.25đ) 2 y x z c 2 Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta có : 25(y z x) 16(x z y) y x z 1 25y 25z 16x 16z y x VT 25 16 1 2x 2y 2z 2 x x y y z z 1 25y 16x x 25z 16z y ( ) ( ) ( ) 42 (1) (0.25đ) 2 x y z x y 2 áp dụng bất đẳng thức CôSi cho các số dơng : 25y 16x 25y.16x ( ) 2 40 x y xy x 25z x.25z ( ) 2 10 (0.25đ) z x z.x 16z y 16z.y 2 8 y 2 y.z 1 Thay vào (1) ta có : VT (40 10 8.42) 8 (0.25đ) 2 Dấu bằng bất đẳng thức xảy ra khi : 25y 16x x y 5y 4x z k x 25z x 5z y 4k(k 0) (0.25đ) z x 4z y x 5k 16z y y z DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn y z x 4k k 5k a= 0 (loại vì a >0) (0.25đ) 2 2 25a 16b c Vậy không có dấu bằng xảy ra 8 . b c a c a b Bài 4 : A M E F O Q P B N C 1 a. Ta có : BOP là góc ngoài AOB BOP= OAB + OBA = (BAC + 2 ABC) 1800 ACB 1 Lại có : PNB=1800 – MNC =1800 - 1800 (BAC ABC) (0.25đ) 2 2 BOP+PNP=1800 tứ giác BOPN nội tiếp OPM = OBC (cùng bù OPN ) Mặt khác : OMP = OCN OPM OBC (g.g) (0.25đ) PM OM OP (1) (0.25đ) a OC OB Tơng tự ta có : NQ ON OM PM ONQ OCA (g.g)  b OC OC a PQ OP PM AOB QOP (g.g)  (0.25đ) c OB a MP NQ PQ Từ (1) , (2) hay : (0.25đ) a b c b. Tứ giác AMQO nội tiếp (CM trên) AQO=AMO = 900 ABQ vuông tại Q có QE là trung tuyến (0.25đ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn EQB= EBQ=CBQ EQ//BC (0.25đ) mà EF//BC E, Q, F thẳng hàng . (0.25đ) Bài 5 : A D B H M C Ta có : AC = AD gọi M là trung điểm của CD vì ACD cân (0.25đ) AM  CD AB  CD CD  (ABM) CD  BM . (0.25đ) Ta có thiết diện đi qua cạnh AB và trung điểm CD là mặt phẳng (ABM) Ta có : CD  BM CM=MD BCD cân tại B (0.25đ) Từ A hạ đường vuông góc cắt BM tại H AH  BM AH  CD lại có BAM  CD (0.25đ) AH  (BCD) . Vậy AH chính là đường cao của tứ diện ABCD hạ từ A . V ABCD (0.5đ) 1 1 1 1 1 1 Sa = SBCD.AH= AH. BMCD= AH.BM.CD= SABM.CD= .S.a= (đvtt) 3 3 2 6 3 3 3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 Đề thi vào lớp 10 Trường THPT Lam Sơn Môn Toán chung Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức: x 3 x 2 9 x 3 x 9 P : 1 2 x 3 x x x 6 x 9 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. Câu 2: (2 điểm) Cho phương trình: 2x2 + 2mx + m2 – 2 = 0. a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm nguyên. b) Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2x1x2 + x1 + x2 . Câu 3: (2 điểm) a) Giải phương trình: x 2 x 1 x 8 6 x 1 4 . b) Tìm trên đường thẳng y = 4x + 1 những điểm có toạ độ thoả mãn: y2 – 5y x + 4x = 0. Câu 4: (2 điểm) Cho ABC đều, nội tiếp trong đường tròn tâm O. D là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. trên tia AD lấy điểm E sao cho AE = DC. a) Chứng minh AEB = CDB. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho tổng (DA + DB + DC) lớn nhất. Câu 5: (1 điểm) Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ABD, M là một điểm thuộc cạnh BC sao cho MB = 2 MC. Chứng minh: MG // (ACD). Câu 6: (1 điểm) Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 1 8(x4 y4 ) 5 xy DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án gồm 3 trang. +Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa. Câu ý Nội dung điểm 1 1a x 0 x 0 Điều kiện để P có nghĩa: x 2 x 4 . 0,50 x 9 x 9 (x 9) (4 x) 9 x (2 x)( x 3) ( x 2)( x 3) Ta có: P 0,50 x( x 3) ( x 3)( x 3) (x 9) (4 x) (9 x) x 3 P . 0,25 (2 x)( x 3) x 4 x 2 x P . 0,25 (2 x) x x 1b 2 x 2 Theo câu a ta có: P 1 . 0,25 x x 2 x 1 Do đó để P Z thì ta cần Z 0,25 x x 2 (loại) x = 1. Vậy với x = 1 thì P có giá trị nguyên. 2 2a Vì phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên có 2 0,25 nghiệm khi và chỉ khi: ’ = m2 – 2(m2 – 2) 0 4 – m2 0 -2 m 2. 0,50 Vậy giá trị cần tìm của m là: - 2 m 2. 0,25 2b Vì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 nên ta có -2 m 2 m2 2 và theo định lý Viét thì: x1 + x2 = -m; x1x2 = . 2 0,25 2 Do đó: A = 2x1x2 + x1 + x2 = (m – 2) - m DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 9 0,25 A (m )2 . 2 4 0,25 5 1 3 1 25 Vì -2 m 2 m 0 (m )2 2 2 2 2 4 9 25 9 maxA max 0 ; 4. 4 4 4 0,25 Vậy maxA = 4 đạt khi m = -2. 3 3a Điều kiện: x 1. 0,25 Ta có: x 2 x 1 x 8 6 x 1 4 ( x 1 1)2 ( x 1 3)2 4 0,25 ( x 1 1) x 1 3 4 x 1 3 3 x 1 x 1 3 0 x 10 0,25 1 x 10 0,25 3b Điều kiện: x 0. 0,25 Khi đó ta có: y2 – 5y x + 4x = 0 y x (y x)(y 4 x) 0 . 0,25 y 4 x Do đó để điểm M(x0; y0) với với y0 = 4x0 + 1 là điểm thuộc đờng thẳng y = 4x + 1 thoả mãn yêu cầu bài toán thì ta cần có x0 0 và: 1 15 2 4x0 1 x0 (2 x0 ) 0 1 4 16 x . 0 4 0,25 4x0 1 4 x0 2 (2 x0 1) 0 1 Vậy toạ độ điểm M cần tìm là: M = ;2 . 0,25 4 4 4a Vì ABC đều nên AB = CB (1). 0,25 A 0,25 0,25 E O DeThi.edu.vn B C D
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Theo giả thiết ta có AE = CD (2). 0,25 Ta lại có Bã AE Bã CD (cùng chắn cung AD) (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra: ABE = CBD. 4b Theo câu a ta có: ABE = CBD BE = BD BED cân. 0,25 Mặt khác ta lại có: Bã DA Bã CA (cùng chắn cung AB) 0,25 BED đều BD = ED. Vậy ta có: DA + DB + DC = DA + ED + AE = 2DA 0,25 Vì điểm D thuộc cung BC không chứa A nên suy ra tổng (DA + DB + DC) lớn nhất khi DA là đờng kính của đờng tròn (O), hay D là điểm chính giữa của cung BC nhỏ. 0,25 5 Gọi I là trung điểm của AD. Theo tính chất của trọng tâm BG 2 A tam giác ta có: (1) BI 3 I BM 2 Theo giả thiết ta có: (2) G BC 3 Từ (1) và (2) suy ra: GM // IC. (3) B D Nhưng I AD IC (ACD) (4) Từ (3) và (4) suy ra: GM // (ACD). M C 6 Ta có: x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = [(x + y)2 – 2xy]2 – 2x2y2 = (1 – 2xy)2 – 2x2y2 = 2x2y2 – 4xy + 1. 0,25 1 1 8(x4 y4 ) 16x2y2 32xy 8 xy xy 1 (4xy 7)(4xy 1) 1 0,25 xy Vì x > 0 và y > 0 nên theo BĐT Côsi ta có: (4xy 7)(4xy 1) 0 1 2 xy x y 1 xy 1 0,25 4 4 xy DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 1 (4xy 7)(4xy 1) 1 5 8(x4 y4 ) 5 xy xy x y 1 Dấu bằng xảy ra khi x y . 0,25 x y 1 2 Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút . Bài I (2 điểm) 1/ Giải phương trình: 7 x x 1. 2/ Chứng minh phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ) luôn có hai nghiệm phân biệt. Biết rằng 5a – b + 2c = 0. Bài II (2 điểm) x y 2 2 Cho hệ phương trình ( m là tham số ) 2x y m 1/ Giải hệ phương trình với m 1. 2/ Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Bài III (3 điểm) Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộc cạnh AB ( M khác A và B ). Tia CM cắt tia DA tại N. Vẽ tia Cx vuông góc với CM và cắt tia AB tại E. Gọi H là trung điểm của đoạn NE. 1/ Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong đường tròn. 2/ Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình vuông ABCD. 3/ Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính cácđường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không đổi. Bài IV(2 điểm) Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB = x , tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. 1/ Chứng minh MN vuông góc với AB và CD. 2/ Với giá trị nào của x thì thể tích hình chóp A.BCD lớn nhất. Bài V(1 điểm) Cho các số dương a , b , c thay đổi và thoả mãn a + b + c = 4. Chứng minh: a b b c c a 4 . Họ và tên thí sinh: Số báo danh . . . Chữ ký của người coi thi: Số 1: . Số 2: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Hướng dẫn chấm thi Môn : Toán -Hướng dẫn chấm này có 4 trang . - Dới đây là sơ lựoc cách giải, Giám khảo căn cứ vào bài làm của học sinh để chấm cho chính xác. Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa .- Điểm của bài thi là tổng của các điểm thành phần không làm tròn . Bài 1 ( 2 điểm) Điểm Câu I (1điểm ) 0,5 đ x 1 0 7 x x 1 2 7 x x 1 x 1 0,25 x 3;x 2 x 3 đ 0,25 đ Câu 2 ( 1 điểm ) Do a khác 0 nên phương trình đã cho là bậc hai . Ta có = b2 – 4ac mà 5a – b + 2c = 0 nên b = 5a +2c . 0,25đ Suy ra = ( 5a + 2c )2 – 4ac = 25a2 + 20ac + 4c2 -4ac = 25a2 +16ac + 4c2 0,25đ = ( 4a + 2c )2 + 9a2 > 0 . Vì a khác 0 0,25 đ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt . 0,25 đ Bài II ( 2 điểm) Câu 1 ( 1 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x y 2 2 Khi m = - 1 hệ trở thành 2x y 1 0,25 đ x y 4 x 1 1) Với y  hệ trở thành thoả mãn 2x y 1 y 3 0,25 đ x y 0 x 1 2) Với y 2 (*) 3 0,25 đ x y 0 x m 2) Với y 2 . Vậy hệ vô nghiệm khi m > 2 . 0,25 đ Bài III (3điểm) Câu 1 ( 1 điểm) Do góc NAE = góc NCE = 1v (gt) nên tứ giác NACE nội tiếp trong đường tròn góc CNE = góc CAE = 450 0,5 đ => tam giác NCE vuông cân tại C . Mặt khác do CH là trung tuyến nên CH là đường cao góc CHE = 1 v 0,25 đ DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn => gócCBE = góc CHE = 1v => HBCE là tứ giác nội tiếp đợc trong đường tròn. 0,25 đ Câu 2 (1 điểm) Không mất tính tổng quát ta gọi cạnh hình vuông là 1 thì diện tích hình vuông là 1 . Đặt AN = x ( x > 0) DN =1 + x . Trong tam giác vuông NDC có CN2 = CD2 + DN2 = 1 + (1 +x)2 = x2 +2x + 2 . 0,25 đ 2 1 1 2 x 3x 2 Khi đó : SNACE = SNAC + SNCE = AN.CD CN = 2 2 2 0,25 đ 2 x 3x 2 2 Từ SNACE = 3 S ABCD 3 x 3x 4 0 2 => x = 1 , x = - 4 ( loại ) . 0,25 đ AM AN Vậy AN = 1 . Mà theo định lý Ta lét ta có : 1 MB BC => AM = MB hay M là trung điểm của AB . 0,25 đ Câu 3 (1 điểm) Trớc hết ta chứng minh tam giác ANC đồng dạng với tam giác BHC . + ) Tứ giác NACE nội tiếp trong đường tròn => góc AEN =góc ACN (1) ( cùng chắn cung AN ) và góc NAC + góc NEC = 2 v (2) 0,25 đ +) Tứ giác HBCE nội tiếp nên góc BEH = góc BCH ( 3 ) ( cùng chắn cung BH ) và góc HBC + góc HEC = 2 v (4) . 0,25 đ Từ (1) và (3) ta có góc HCB = góc ACN và góc HBC = góc NAC . Vậy tam giác ANC đồng dạng với tam giác BHC . 0,25 đ Gọi r1 ; r2 lần lợt là bán kính vòng tròn nội tiếp hai r AC tam giác ANC và BCH . Khi đó 1 2 ( không đổi ) r2 BC 0,25 đ DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài IV(2 điểm) Câu 1 (1 điểm) Từ giả thiết ta có tam giác ACD và BCD là các tam giác đều nên AN , BN là các đường cao tơng ứng của 2 tam giác đó . Do đó CD  AN và CD  BN => CD  (ANB ) => CD MN . 0,5 đ Lại có AN = BN vì chúng là đường cao của tam giác đều cạnh bằng 1 nên tam giác ANB cân mà MN là đường trung tuyến nên MNAB . 0,5 đ Câu 2 (1 điểm) Theo chứng minh trên thì CN và DN là các đường cao của hai hình chóp C.ABN và D.ABN Gọi V là thể tích hình chóp ABCD , VCABN ,VDABN là thể tích hình chóp CABN và DABN thì : 1 1 1 V = VCABN + V DABN = S .CN S .DN S .CD 3 ABN 3 ABN 3 ABN 1 1 1 = . .AB.MN.CD x.MN 3 2 3 0,25 đ Tính MN : Trong tam giác AMN có MN2 = AN2 – AM2 3 Do tam giác ACD đều có cạnh bằng 1 nên AN = 2 x 3 x 2 3 x 2 còn AM = nên MN = 2 4 4 2 0,25 đ 1 Vậy V= x. 3 x 2 6 0,25 đ x 2 3 x 2 3 Ta có x 3 x 2 2 2 3 Dấu bằng xảy ra khi x2 = 3 - x2  x = . 2 1 3 1 3 Do vậy V . . => V lớn nhất khi x = 0,25 6 2 4 2 đ Bài V (1 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Do a , b, c > 0 và từ giả thiết ta có : a + b a b 2 a b 2 a b (1 ) 0,5 đ Tơng tự ta có b + c < 2 b c (2) a + c < 2 c a (3) 0,25 đ Cộng vế với vế của (1) , (2) , và (3) ta có 2 a b c 2 a b b c a c hay a b b c c a 4 ( ĐPCM) 0,25 đ N H A M B E A M D C B D Hình vẽ bài III N C Hình vẽ bài IV DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn Môn : Toán chung (Thời gian làm bài 150 phút) Không kể thời gian giao đề Bài 1 (2 điểm) x y x y Cho P = . xy y xy x xy a, Rút gọn P. x x 1 b, Chứng minh rằng nếu thì P có giá trị không đổi. y y 5 Bài 2 ( 2 điểm) a 6 2a 5 a 2 Tính giá trị biểu thức Q = a 5 1 a 5 25 16 Biết và . x y x z (x z)2 (z y)(2x y z) Bài 3 ( 2 điểm) Cho phương trình bậc 2 ẩn : x2 – 2mx + 2m – 1 = 0. Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Bài 4 ( 2 điểm) 2x ay b Xác định a, b để hệ phương trình : ax by 1 a, Có nghiệm là x =1, y = 2 b, Có vô số nghiệm. Bài 5 ( 2 điểm) Giải phương trình : 2x 2 2x 1 2x 2 2x 1 = 2 Bài 6 ( 2 điểm) Cho hàm số y = ax2 (a 0) a, Xác định a biết đường cong y = ax2 đi qua điểm A(3;3). Vẽ đồ thị của hàm số tìm được. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn b, Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m (m 0) và đi qua 1 điểm (1;0). Tìm m để đường thẳng đó tiếp xúc với parabol y = x2. 3 Bài 7 (2 điểm) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz =1. Tìm GTNN của biểu thức : 1 1 1 E = . x3 (y z) y 3 (z x) z 3 (x y) Bài 8 ( 2 điểm) Cho ABC cân (AB=AC, gócBAC = 450). Một điểm M ở trên cạnh BC sao cho MB < MC. Qua M lần lượt kẻ các đường thẳng song song với AB, AC cắt AC, AB tương ứng tại các điểm H,I. Lấy điểm N đối xứng với M qua đường thẳng HI; Gọi giao điểm của các đường thẳng AN và BC là P. a, Tứ giác AHMI là hình gì? INB là tam giác gì? Tại sao? b, Chứng minh tứ giác AHIN là hình thang cân. Bài 9 (2 điểm) Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K. a, Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định. b, Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định. c, Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Bài 10 ( 2 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB', CC', C'D'. a, Dựng giao tuyến của mặt phẳng(MNP) với các mặt (A'B'C'D') và mặt phẳng (AA'B'B) b, Tính tỷ số thể tích của hai phần hình lập phương do mặt phẳng (MNP) cắt ra. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án - Hướng dẫn chấm Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn Môn : Toán chung Bài Lời giải Điểm Bài 1 2 điểm a, Điều kiện xy > 0, x y 0.5 điểm (x y)( xy x y) x y P = (y x) xy xy 0.25 điểm x y P = y x 0.25 điểm b, x x 1 Do = y = 5x y y 5 0.5 điểm x y 6x 3 Ta có P = = = y x 4x 2 0.5 điểm P có giá trị không đổi Bài 2 2 điểm a 5 5 a 5 a Ta có x y x z z y 2x y z 0.25 điểm 25 (5 a)(5 a) Suy ra = = (x z)2 (z y)(2x y z) 25 a 2 16 = = (z y)(2x y z) (z y)(2x y z) 0.25 điểm 2 2 Suy ra 25 – a = 16 a = 9 a= 3 0.25 điểm a 6 2a 5 a 2 a 5 (a 2) (a 2) Mặt khác Q = = = a 5 1 a 5 1 0.25 điểm (a 2)(a 5 1) = = a – 2, với a - 1 a 5 1 0.25 điểm Với a = 3 thì P = 1 0.25 điểm với a = -3 thì P = -5 0.25 điểm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 3 2 điểm 3x2 2m (1) Giả sử x1 = 2x2 2 0.5 điểm 2x2 2m 1 (2) x2 1 2 2x2 – 3x2 + 1 = 0 1 0.5 điểm x2 2 3 Với x2 = 1 x1 = 2 m = 0.5 điểm 2 1 3 Với x2 = x1 = 1 m = 0.5 điểm 2 4 Bài 4 2 điểm a, 2 2a b Hệ có nghiệm x = 1, y = 2 khi 0.5 điểm a 2b 1 5 4 a = ; b = 0.5 điểm 3 3 b, 2x ay b (1) ax by 1 (2) b ay b ay Từ (1) x = thay vào (2) ta có a. + by = 1 0.5 điểm 2 2 y(a2 + 2b) = 2 – ab (3). Phương trình (3) có vô số nghiệm khi a 2 2b 0 a 3 4 0.5 điểm 2 ab 0 b 3 2 Bài 5 1 Điều kiện : x 2 0.5 điểm Phương trình 2x 1 + 1 + | 2x 1 - 1 | = 2 | 2x 1 - 1 | = 1 - 2x 1 0.5 điểm Đặt y = 2x 1 , y 0 Phương trình: | y – 1 | = 1 – y y 1. 1 0.25 điểm Kết hợp với điều kiện 0 y 1 0 2x 1 1 x 1 0.25 điểm 2 1 Đáp số : x 1 0.25 điểm 2 0.25 điểm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 6 2 điểm a, 1 Đường cong y = ax2 đi qua A(3;3) a = 3 0.5 điểm 1 y = x2 0.5 điểm 3 b, Đường thẳng có hệ số góc m có dạng y = mx + b 0.25 điểm qua (1;0) b = - m đường thẳng y = mx – m 0.25 điểm 1 Đường thẳng y = mx – m tiếp xúc với (P) y = x2 khi phương 3 trình 0.25 điểm 1 4 x2 = mx – m (1) có nghiệm 1 nghiệm kép m = 3 3 0.25 điểm 4 4 đường thẳng y = x - 3 3 Bài 7 2 điểm 1 1 1 1 Đặt a = , b = , c = abc = = 1 x y z xyz 0.25 điểm x + y = c(a + b) y + z = a(b + c) 0.25 điểm x + z = b(c + a) a 2 b 2 c 2 E = + + b c c a a b 0.25 điểm a b c 3 Dễ dàng chứng minh đợc + + b c c a a b 2 0.25 điểm Nhân hai vế với a + b + c > 0 a(a b c) b(a b c) c(a b c) 3 + + (a+b+c) 0.25 điểm b c c a a b 2 a 2 b 2 c 2 a b c 3 3 abc 3 + + = 0.25 điểm b c c a a b 2 2 2 3 E 2 0.25 điểm Dấu "=" xảy ra a = b = c = 1 3 Vậy min E = khi a = b = c = 1 0.25 điểm 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 8 2 điểm a, Ta có AHMI là hình bình hành (có cạnh đối song song) 0.25 điểm A Vì M, N đối xứng nhau qua HI IN = IM . K H 0.25 điểm Mặt khác do IM//AC N D góc IMB = ACB =IBM E I IBM cân 0.25 điểm IM = IB. Vậy IN = IM = IB P B M C 0.25 điểm INB cân b, Vì N, M đối xứng với nhau qua HI nên HI là đường trung trực của MN và đi qua trung điểm E của NM. 0.25 điểm Mặt khác do AHMI là hình bình hành do đó HI cắt AM tại trung điểm D của AM. Vậy DE là đường trung bình của NMA. 0.25 điểm DE//NA hay HI//NA tứ giác AHIN là hình thang. Ngoài ra ta có NH=HM (do N đối xứng với M qua HI) 0.25 điểm HM=AI (do AHMI là hình chữ nhật) NH = AI. Vậy hình thang AHIN có 2 đường chéo bằng nhau do đó nó là hình thang cân 0.25 điểm Bài 9 2 điểm a, 0.25 điểm Chứng minh đợc OM  BC M HOK  AOM OH OK = OA OM B OA.OK = OH.OM (1) H 0.25 điểm Xét BOM vuông tại B K nên OB2 = OH.OM (2) O A Từ (1) và (2) OA.OK = = OB2 = R2 (không đổi) C 0.25 điểm R 2 OK = không đổi OA K cố định trên OA 0.25 điểm b, H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định 0.5 điểm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn c, 1 S = dtMBOC = MO.BC 2 S nhỏ nhất OM nhỏ nhất và BC nhỏ nhất 0.25 điểm OM nhỏ nhất M  A 0,25 điểm BC nhỏ nhất BC  OK M  A Bài 10 2 điểm a, D' P C' A' Q B' N M D C A B - Ta có MN//B'C' nên giao tuyến của mp(PMN) và mp(A'B'C'D') là PQ//B'C' 0,5 điểm - Ta có Q, M mp(PMN) và Q,M mp(AA'BB'). Vậy giao tuyến của mp(PMN) với mp(AA'BB') là QM 0,5 điểm b, Mặt phẳng (PMN) chia hình lập phương thành 2 lăng trụ đứng B'QM.C'PN và AA'QMB.DD'PNC có đường cao là a, nên tỷ số thể tích của chúng chính là tỷ số các diện tích đáy. 0,5 điểm 1 a 2 VB'QM .C 'PN S B'QM 8 1 Vậy : = = = 0,5 điểm V S 2 1 2 7 AA'QMB.DD'PNC AA'QMB a a 8 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 Đề thi tuyển sinh vào lớp10 chuyên Lam Sơn Môn Toán(đề chung) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(1điểm): Cho biểu thức x x 3 2( x 3) x 3 P x 2 x 3 x 1 3 x Rút gọn P. Bài 2(1điểm): Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình: x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm. Bài 3(1điểm): Giải phương trình sau: 4 5 x 6 2x 7 x 25 Bài 4(1điểm): Giải hệ phương trình sau: 2x2 y2 xy y 5x 2 0 2 2 x y x y 4 0 Bài 5(1điểm): Chứng minh rằng: 8 3 3 2 2 3 3 2 2 36 1 1 1 Bài 6(1điểm): Cho x, y, z> 0 thoả mãn: 3 x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2x2 y2 2y2 z 2 2z 2 x2 P xy yz zx Bài 7(1điểm): Trong mặt phẳng 0xy cho đường thẳng (d) có phương trình 2kx + (k - 1)y = 2 (k là tham số) a) Tìm k để đường thẳng (d) song song đường thẳng y = x 3 . Khi đó tính góc tạo bởi đường thẳng (d) với 0x. b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn nhất. Bài 8(1điểm): Cho góc vuông x0y và 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA >0), điểm M bất kỳ trên cạnh Oy(M O). Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA,MB lần lượt tại điểm thứ hai: C , E . Tia OE cắt đường tròn (T) tại điểm thứ hai F. 1. Chứng minh 4 điểm: O, A, E, M nằm trên 1 đường tròn. 2. Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao? DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 9(1điểm): Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao: AA1, BB1, CC1 đồng qui tại H. HA HB HC Chứng minh rằng: 6 . Dấu "=" xảy ra khi nào? HA1 HB1 HC1 Bài 10(1điểm): Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng, đôi một vuông góc với nhau. Lấy điểm A, B, C bất kỳ trên Ox, Oy và Oz. a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: OH vuông góc với mặt phẳng ABC 2 2 2 2 b) Chứng minh rằng: S ABC S OAB S OBC S OAC. Đáp án: Bài Bài giải Điểm Điều kiện: x 0 x 2 x 3 0 0 x 9 0.25 x 3 0 * Rút gọn: Bài 1 (1 điểm) x x 3 2( x 3) 2 ( x 3)( x 1) P 0.25 ( x 1)( x 3) x x 3x 8 x 24 0.25 ( x 1)( x 3) x 8 0.25 x 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Ta có: =(a + b + c)2 - 4(ab + bc + ca) = a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca 0.25 * Vì a, b, c là 3 cạnh a2 < (b + c)a Bài 2 b2 < (a + c)b 0.25 2 (1 điểm) c < (a + b)c 2 2 2 a + b + c < 2ab + 2ac + 2bc 0.25 < 0 phương trình vô nghiệm. 0.25 * Điều kiện: 5 x 0 7 / 2 x 5 0.25 2 x 7 0 * Phương trình (2x 7 6 2x 7 9) (5 x 4 5 x 4) 0 2 2 0.25 Bài 3 2x 7 3 5 x 2 0 (1 điểm) 0.25 2x 7 3 0 5 x 2 0 0.25 x 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 4 2x2 xy y2 5x y 2 0 (1) Giải hệ: 2 2 (1 điểm) x y x y 4 0 (2) Từ (1) 2x2 + (y - 5)x - y2 + y + 2 = 0 2 2 2 x (y 5) 8( y y 2) 9(y 1) 5 y 3(y 1) x 2 y 4 0.25 5 y 3(y 1) y 1 x 4 2 * Với: x = 2 - y, ta có hệ: x 2 y 2 2 x y x y 4 0 x 2 y x y 1 0.25 2 y 2y 1 0 y 1 *Với x , ta có hệ: 2 y 1 x 2 2 2 x y x y 4 0 x y 1 4 y 2x 1 x 0.25 5 5x2 x 4 0 13 y 5 4 13 0.25 Vậy hệ có 2 nghiệm: (1;1) và ; 5 5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đặt a = x + y, với: x 3 3 2 2 ; y 3 3 2 2 Ta phải chứng minh: a8 > 36 Ta có: x3 y3 6 0.25 x.y 1 a3 (x y)3 x3 y3 3xy(x y) 6 3a 0.25 Bài 5 cos y (1 điểm) 3(1 1 a) 3.33 1.1.a 0.25 (vì: x > 1; y > 0 a > 1) a9 > 93.a a8 > 36 (đpcm). 0.25 1 2 * áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho: 1, 2 và , Bài 6 x y (1 điểm) 2 2 1 2 1 2 (12 2 ) 2 2 x y x y 2x2 y2 2 1 1 1 2 0.25 (1) 2 2 xy y x 3 x y Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y Tơng tự: 2y2 z 2 1 1 2 (2) 0.25 yz 3 y z 2z 2 x2 1 1 2 (3) 0.25 zx 3 z x 1 3 3 3 Từ (1), (2), (3) P 3 3 x y z 0.25 Suy ra: Pmin = 3 khi: x = y = z = 3 . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1).* Với k = 1 suy ra phương trình (d): x = 1 không song song: y = 3 x 2k 2 * Với k 1: (d) có dạng: y .x k 1 k 1 2k để: (d) // y = 3 x 3 k 3(2 3) 0.25 k 1 Khi đó (d) tạo Ox một góc nhọn với: tg = 3 = 600. 0.25 2)* Với k = 1 thì khoảng cách từ O đến (d): x = 1 là 1. * k = 0 suy ra (d) có dạng: y = -2, khi đó khoảng cách từ O đến (d) là 2. * Với k 0 và k 1. Gọi A = d  Ox, suy ra A(1/k; 0) B = d  Oy, suy ra B(0; 2/k-1) 1 2 Suy ra: OA = ;OB 0.25 k k 1 Xét tam giác vuông AOB, ta có : Bài 7 1 1 1 (1 điểm) OH 2 OA 2 OB 2 2 2 2 OH 5 2 2 2 5k 2k 1 1 4 5 k 5 5 5 Suy ra (OH)max = 5 khi: k = 1/5. Vậy k = 1/5 thì khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất. 0.25 Bài 8 y (1điểm) M a) Xét tứ giác OAEM có: F   1 O E 2v E 0.25  (Vì: E 1v góc nội tiếp ) 1 Suy ra: O, A, E, M B cùng thuộc đường tròn. 0.25 O A 1 x C   b) Tứ giác OAEM nội tiếp, suy ra: M1 E1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn   0.25 *Mặt khác: A, C, E, F cùng thuộc đường tròn (T) suy ra: E1 C1   0.25 Do đó: M1 C1 OM // FC Tứ giác OCFM là hình thang. b)* Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm trong tam giác. A * Đặt S = S ABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB. Ta có: C1 B1 1 .AA .BC S 1 AA HA 2 1 1 H 0.25 S 1 HA HA 1 .HA .BC 1 1 2 1 S HB Tơng tự: 1 B A1 C S 2 HB1 S HC 1 S3 HC1 0.25 Suy ra: Bài 9 HA HB HC 1 1 1 (1điểm) S 3 HA1 HB 1 HC 1 S1 S 2 S 3 1 1 1 (S1 S 2 S 3 ) 3 S1 S 2 S 3 Theo bất đẳng thức Côsy: 0.25 1 1 1 0.25 (S1 S 2 S 3 ) 9 S1 S 2 S 3 HA HB HC 9 3 6 HA1 HB 1 HC 1 Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều Bài 10 a) Gọi AM, CN là đường cao của tam giác ABC. (1điểm) Ta có: AB  CN AB  OC (vì: OC  mặt phẳng (ABO) Suy ra: AB  mp(ONC) AB  OH (1). 0.25 Tơng tự: BC  AM; BC  OA, suy ra: BC  mp(OAM) OH  BC (2). Từ (1) và (2) suy ra: OH  mp(ABC) 0.25 b) Đặt OA = a; OB = b; OC = c. 1 1 1 Ta có: S CN.AB S 2 CN 2.AB2 (OC 2 ON 2 ).(OA2 OB2 ) ABC 2 ABC 4 4 Mặt khác: Do tam giác OAB vuông, suy ra: 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 1 a2b2 ON 2 ON 2 OA2 OB2 a2 b2 a2 b2 1 a2b2 1 1 1 S 2 c2 (a2 b2 ) a2b2 c2b2 a2c2 ABC 2 2 4 a b 4 4 4 2 2 2 SOBC SOAB SOAC 0.25 z C M H B y N O A x DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 Đề tuyển sinh vào 10 - Chuyên Lam Sơn a 1 1 2 Bài 1: Cho K = ( - ) : ( + ) a 1 a a a 1 a 1 Tính K khi a = 3 +2 2 Bài 2: Cho f(x) = x4 – 4x2 + 12x –9 a, Phân tich f(x) thành tích b, Giải phương trình f(x) = 0 Bài 3: Giải phương trình . x x 1 2 Bài 4 : Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm mx y 1 x y 334 2 3 Bài 5: Cho (P ) y = x2- 2x –1 ; ( ) y = x-1 a, Tìm toạ độ giao điểm A, B của (P) và ( ) . b, Tìm M ε(OX) sao cho MA + MB là nhỏ nhất Bài 6: Giải hệ phương trình x 3 3x 8y 3 y 2y 8x Bài 7: Cho a,b là hai số dương. Chứng minh rằng : 1 1 4 + a b a b Bài 8. Cho tam giác ABC có trọng tâm G a, Chứng minh rằng dt( GAB)đt( GCA),dt( GBC) b, Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,BC,CA. O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . CMR O là trực tâm của MNP. Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD có AB =a, BC = a 2 , gọi M là trung điểm của BC CMR : AM  BD Bài 10: Cho hình chóp SABCD Có đáy ABCD là hình vuông, SA  đáy . M là một điểm di động trên BC , K là hình chiếu của S trên DM . Tìm quỹ tích của điểm K khi M DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn di động . Đáp án toán chung- Tuyển sinh vào 10 lam sơn Bài Nội dung Đỉểm a 1 a 1 a 1 K = : ( a 1) 1 a( a 1) a 1 a 1.0 (2đ) a 1 = a 2 2 2 Khi a= 3 + 2 2 = ( 2 + 1)2 => K = =2 2 1 1.0 2 a, Ta có f(x) = x4 - 4x2 + 12x - 9 1.0 (2đ) = x4- (2x - 3)2 = (x2 + 2x - 3)(x2 - 2x + 3) =((x +1)2 - 2x2)(x2 - 2x + 3) =(x - 1)(x + 3)(x2 - 2x + 3) b, f(x) = 0 tương đương với x 1 1.0 x 3 2 x 2x 3 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1, x = -3 3 Phương trình (2đ) 1.0 1.0 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x x 1 2 x x 1 2 1. 0 x x 1 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 0 x 1 x 2 x 1 2 x x  x 2 0 x -1/2 x 1 x 2 x 1 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x= - 1 2 4 Hệ  y = mx-1 (2đ) (m- 3 )x= -1001 (*) 1.0 2 Hệ phương trình vô nghiệm  (*) vô nghiệm  m - 3 = 0 2  m = 3 thì hệ vô nghiệm. 2 1.0 5 a. Giao điểm của (P) và ( ) là nghiệm của hệ (2đ) y x 1 y x 1 x 0 2 1.0 y x 2x 1 x 3 => Giao điểm A(0;-1) và B(3;2) b. Vì A(0;-1) và B( 3;2) nằm về hai phía của ox  M cần tìm là giao điểm của ox và AB 1.0 Trong đó AB : x 0 = y 1  x-y =1 3 0 2 ( 1) y 0  M M (1: 0) x y 0 Vậy M(1;0) thì MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất 6 2.0 Hệ DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x 3 y 3 5(x y) (x y)(x 2 xy y 2 5) 0 x y 1.0 3 3 3 ( x 3x 8y x 3x 8y x 11x 0 y 3y 2 vì x 2 xy y 2 5 (x ) 2 5 0) 2 4 x 0 y 0 x 11 y 11 x 11 y 11 Vậy hệ có nghiệm (0; 0) ( 11 ; 11 ),(- 11 ;- 11 ) 1.0 7 2.0 1 1 4 Bất đẳng thức tương đương với 0 a b a b 1.0 b(a b) a(a b) 4ab 0 a 2 b 2 2ab 0 (a b) 2 0 Bất đẳng thức đã cho đúng 1.0  Dấu bằng xảy ra  a=b 8 dt( GBC) GH GN 1 Ta có : = 1 = = (2đ) dt( ABC) AH AN 3 1.0 1 => dt( GBC) = dt( ABC) 3 1 Tương tự :dt( GCA) = dt( ABC) 3 1 dt( GAB) = dt( ABC) 3 dt( GAB)=dt( GBC)=dt( GCA) Ta có ON  BC => ON MP => ON là đờng cao của MNP MP // BC OM  AB => OM  NP OM là đờng cao của MNP NP // AB  O là trực tâm của MNP 1.0 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 9 Gọi H là giao điểm của AM và BD (2đ) Trong vuông ABD ta có BD = AB2 AD2 =a 3 a 6 1.0 vuông có AM = AB2 BM 2 = 2 Vì M = 1 AD => HA = HD = AD 2 HM HB BM  HA = 2HM = 3 BD= 2a 3 2 3 HA 2 + HD2= AD2 1.0  HAD vuông tại H -> AM  BD Ta có : 10 DM  SA 1.0 => DM  (SAK) (2đ) DM  SK  DM  AK   Góc AKD 900 1.0 -> K thuộc đờng tròn đờng kính AD DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 đề thi chung vào lớp 10 Môn: Toán (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2đ) a. Rút gọn biểu thức 2 3 6 8 4 P 2 3 4 b. Tính : 3 5 2 7 3 5 2 7 Bài 2:(1,5đ) a. Cho phương trình (m+1)x2 - 3mx + 4m =0 a. Giải phương trình với m= -2 b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương Bài 3:(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x6 = y3 - 3y2 + 3y + 1 Bài 4:(3 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A và điểm I trên cạnh AC. Đường tròn đường kính IC cắt cạnh BC ở E và cắt BI ở D Chứng minh rằng: a. Tứ giác ABCD nội tiếp 2. I là tâm đường tròn nội tiếp ADE 3. AB, CD, EI đồng quy BC Bài 5:(1,5) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy M sao cho BM ; 3 BC Kéo dài DC về phía C đoạn CN , AM cắt BN tại I cà CI cắt AB tại K. 2 Gọi H là hình chiếu của M xuống AC DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Chứng minh K, M, H thẳng hàng hết Họ tên thí sinh: Só báo danh: đáp án đề thi vào lớp 10 - THPT Lam sơn Môn: Toán Bài 1 a. ( 2 3 2) ( 2 3 2) 2 1,0 đ P 1 2 2 3 2 3 3 3 b. Đặt A 5 2 7 5 2 7 A 14 3A 3 2 2 => A - 2A + 2A - 4A + 7A - 14 = 0 1,0 đ (A - 2)(A2 + 2A + 7) = 0 => A = 2 Vậy 3 5 2 7 3 5 2 7 =2 Bài 2: 0,5đ 2 2 x1 2 a. Khi m = -2 pt là: -x + 6x - 8 = 0 => x - 6x + 8 = 0 => x2 4 b. Để phương trình có 2 nghiệm dơng thì 0 7m 2 16m 0 x1 x2 0  m 0,5đ 0 x1 x2 0 m 1 16 m 0 16 => 7  m 1 7 0,5đ m 1 m 0 Bài 3: (2 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x6 = y3 - 3y2 +3y +1 => x6 - (y3 - 3y2 + 3y - 1) = 2 => (x2 )3 - (y - 1)3 = 2 => (x2 - y + 1)[x4 + x2(y - 1) + (y - 1)2] = 2 (*) 0,5đ y 1 3 Do x4 + x2(y - 1) + (y - 1)2 = (x2 + )2 + (y 1) 2 0 2 4 x 2 y 1 1 (A) 4 2 2 x x (y 1) (y 1) 2 Vậy (*) x 2 y 1 2 (B) 4 2 2 x x (y 1) (y 1) 1 0,5đ x 2 y (A) => Hệ này không có nghiệm nguyên 4 2 3x 3x 1 0 0,25đ x 2 1 y x 1 0,5đ (B) => 4 2 x 2x 1 0 y 0 Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên (1; 0) và (-1; 0) 0,25đ B Bái 4: (3 điểm) 1 E 1. Tam giác ABCD có góc BAC = góc BDC = 900 0,5đ I 1 A 1 2 2 C vậy ABCD là tứ giác nội tiếp 1 2 D Góc A1 = góc B1 ; góc B1 = góc A2 > góc A1 = góc A2 Vậy AI là đường phân giác trong của góc EAD 1,0 đ ta lại có góc C1 = D1 ; góc C1 = D2 > góc D1 = góc D2 vậy ID là phân giác trong của góc ADE Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AED 3. do BA  AI ; vậy BA là phân giác ngoài góc EAD. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Tơng tự CD là đường phân giác ngoài góc ADE còn IE là phân giác trong 1,5đ góc AED của tam giác ADE. Vậy 3 đường thẳng BA, CD, EI đồng quy B K Bài 5 A AB BM 1 M AI cắt DC tại N ; do I CD CM 2 0,5đ > CP = 2AB H D C N P > PN = 3CN BK BI AB Lại có 0,5đ CN IN PN (do tam giác BIK đồng dạng tam giác NIC và tam giác ABI đồng dạng tam giác DNI) BK 2 2 1 > BK CN BC BM CN 3 3 3 vậy tam giác ABM = tam giác CBK => góc BAM = góc BCK 0,5đ => tứ giác ABIC nội tiếp => AI  CK => KM  AC do MH  AC Vậy K, M, H cùng năm trên một đường thẳng DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 sớ giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thanh hoá THPT chuyên Lam sơn môn: toán (chuyÊn toán) (Thời gian 150 phút – không kể thời gian giao đề) Bài 1 (1,5 điểm) 3a 9a 3 a 1 a 2 Cho A a a 2 a 2 1 a 1. Rút gọn A. 2. Tìm tất cả các số nguyên a để A là một số nguyên. Bài 2 ( (1,5 điểm) 3. 1. Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương khác nhau x, y sao cho hai số xy + x và xy + y đều là các số chính phương. 4. Có hay không hai số nguyên dương khác nhau x, y trong khoảng (668; 2005) sao cho hai số xy + x và xy + y đều là các số chính phương. Bài 3 ( (2 điểm) x 1 y 1 a 5. Với giá trị nào của a thì hệ sau có nghiệm. x y 2a 1 6. Giải phương trình x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 Bài 4 ( (2 điểm) Trên hệ trục toạ độ vuông góc Oxy: 1. Vẽ tập hợp các điểm M có toạ độ (x; y) thoả mãn: x 1 y 2 1 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x 1 y 2 1 2 x y m x y 1 x y 0 Bài 5 ( (3 điểm) 1. Cho ABC vuông tại C, có đường cao CH. Hai điểm I và K lần lượt là giao điểm của 3 đường phân giác của CHA và CHB. Đường thẳng IK cắt các cạnh CA, CB lần lượt tại M, N. a. Chứng minh rằng các tứ giác AMIH và BNKH nội tiếp. b. Kẻ Cx vuông góc với MN , Chứng minh rằng Cx luôn đi qua một điểm cố định c. Giả sử AB cố định C di chuyển trên đường tròn đường kính AB. Tìm vị trí của C để diện tích CMN là lớn nhất. 2. Cho đường thẳng x’x và hai điểm A, B không nằm trên x’x. Hãy dựng điểm M thuộc x’x sao cho x’MA = xMB . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Hết Họ và tên chữ ký thí sinh: Số báo danh: Họ và tên chữ ký giám thị : Số 1 : Số 2 : sớ giáo dục đào tạo HƯớNG dẫn và biểu điểm chấm Lam sơn. thanh hoá môn: toán (chuyên toán) (Đáp án này gồm có 4 trang) Tên bài Nội dung Điểm Bài 1 1,5 3a 9a 3 a 1 a 1 a 2 a 2 0,25 1/ A a 2 a 1 3a 9a 3 a 1 a 4 a 3 a 2 0,75 0,25 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 0,25 2 2 0,25 2/ A 1 Để A Z ⇔ Z , với a 0, a 1 a 1 a 1 a 1 2; 1; 1; 2 0,25 0,75 Với a 1 = - 2 Với a = - 1 < 0 (loại) Với a 1 = - 1 a = 0 Với a 1 = 1 a = 4 Với a 1 = 2 a = 9 0,25 Bài 2 1,5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Tên bài Nội dung Điểm 1/ Ta có x = 1, y = 8 xy + x = 9 = 32 , 0,5 và xy + y = 16 = 42 . 0,5 2/ Giả sử ∃ m2 , n2 sao cho: m2 = xy + x , n2 = xy + y. 0,25 0,25 Giả sử y > x xy + x > x2 m2 > x2 m > x Ta có y – x = xy + y – (xy + x) = n2 – m2 (m + 1)2 – 1,0 2 m 0,25 2 2 y – x > (x + 1) – x = 2x + 1 y > 3x + 1 0,25 Vì x (668; 2005) y > 3.668 + 1 = 2005 y (668; 2005). Bài 3 2,0 1. Điều kiện x 1; y - 1. Đặt x 1 u, y 1 v u 0, v 0 0,25 u v a u, v 0 Khi đó hệ 2 2 u v 2a 1 u v a u, v 0 u v a u, v 0 2 1 2 0,25 u v 2uv 2a 1 uv a 2a 1 1,0 2 Khi đó để hệ có nghiệm khi và chỉ khi a 0, 1 a2 – 2a – 1 0 và phương trình : t 2 at a 2 2a 1 0 2 0,25 có a 0 2 nghiệm a 2a 1 0 1 2 a 2 6 0,25 2 2 a 2 a 2a 1 0 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Tên bài Nội dung Điểm x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 2. 0,25 x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 5 2 2 x 1 2 x 1 3 5 0,25 x 1 2 x 1 3 5 Nếu x 1 3 0 x 1 9 x 10 Khi đó phương trình 1,0 x 10 x 10 x 10 x 10 0,25 x 1 2 x 1 3 5 x 1 3 x 10 (1) Nếu x 1 3 0 x 1 9 x 10 Khi đó phương trình: 0,25 1 x 10 1 x 10 (2) x 1 2 x 1 3 5 Kết hợp (1) và (2) được 1 x 10 Bài 4 2,0 1/ Có 4 trường hợp xảy ra : y x 1, y 2 0,25 ❖ M thuộc đoạn AB A dm x y 4 3 x 1, y 2 0,25 ❖ M thuộc đoạn BC D B x y 0 2 m d 1,0 x 1, y 2 0,25 ❖ M thuộc đoạn CD 1 x y 4 C x 1, y 2 ❖ M thuộc đoạn DA O 1 2 x y 2 x 0,25 Vậy tập hợp các điểm M là - 1 hình vuông ABCD. 2/ Phương trình x 1 y 2 1có đồ thị là hình vuông ABCD 0,25 Phương trình: 2 0,25 x y m x y 1 x y 0 1,0 x y x y 1 m x y 1 0 y x 1 x y 1 x y m 0 y x m ❖ Gọi d : y = x – 1 Đờng thẳng d không có điểm chung với hình vuông ABCD nên khi đó hệ vô nghiệm. 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Tên bài Nội dung Điểm ❖ Gọi dm : y = x + m là họ đường thẳng song song với đường phân giác góc (I) và song song cạnh AD, BC của 0,25 hình vuông ABCD, cắt trục tung tại điểm có tung độ là m. Khi đó 0 m 2 d m có điểm chung với hình vuông ABCD nên hệ có nghiệm. Vậy 0 m 2 thì hệ có nghiệm. Bài 5 3,5 1/ 2,0 a) Ta có CIH ∽ BKH vì : 0,25 CHI = BHK = 450 , ICH = 1 ACH = 1 CBH = KBH 2 2 0,25 HI HK HIK HCB HKI = HBC HC HB ∽ 0,25 HKN + HBN = 1800. tứ giác BNHK nội tiếp . Từ HIK ∽ HCB HIK = HCB = CAB 0,25 HAM + HIM = 1800 tứ giác BNHK nội tiếp . b) Theo câu a) ta có tứ giác BNHK nội tiếp CNK = KHB = 450 CMN cân CM = CN 0,25 0,5 Cx là đường phân giác của góc vuông ACB Cx cắt đường tròn đường kính AB tại điểm chính giữa E của 0,25 cung AB (đối diện với C qua AB) cố định. c) Ta có CMI = CHI (g.c.g) CM = CH 1 1 1 0,25 Mà S CM.CN CM 2 CH 2 CMN 2 2 2 Diện tích CMN lớn nhất ⇔ H  O ⇔ C là giao của 0,25 Cx  AB tại O (có 2 điểm C) C 0,5 N D K A MI B H O E DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Tên bài Nội dung Điểm 2/ 1,5 Phân tích : Giả sử đã dựng được điểm M : x’MA = 2. xMB Kẻ đường phân giác y’My MB’ đối xứng của MB qua x’x nằm trên y’My. Vẽ đường tròn (C) tâm B’ bán kính R = BB’/2 0,5 đường thẳng AM tiếp xúc với (C). Từ đó cách dựng Cách dựng : ❖ Dựng B’ đối xứng của B qua x’x BB' ❖ Dựng đường tròn C(B’, ) 2 ❖ Dựng tiếp tuyến AT, AT’ với đường tròn (C) (T, T’ là 0,5 tiêp điểm) M = AT  x’x là điểm cần tìm . Còn M’ = AT’  x’x cho ta xM’A = 2.x’M’B (loại) Chứng minh : Ta có xMB = xMB’ (vì MB’ đối xứng với MB qua x’x) x’MA = TMH = 2.xMB. 0,5 1,5 Biện luận : Bài toán luôn có một nghiệm hình (vì trường hợp M’ = AT’  x’x bị loại) A B y’ x’ H M’ x M T’ B’ T y DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 (Thời gian: 150 phút) Bài 1: ( 2 điểm ) 1. Rút gọn biểu thức sau: 2 3 2 3 A 2 2 3 2 2 3 2. Gải phương trình sau: 3 x 1 1 2 x 1 2 x Bài 2: ( 2 điểm) Gải hệ phương trình: 2x2 – y2 = 1 xy + x2 = 2 Bài 3: ( 2 diểm) Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m2 – 1 = 0 1. Gải phương trình với m = 0 2. Khi phương trình có 2 nghiệm x1, x2. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: 2 2 y1 = 4x1 – 1; y2 = 4x 2 –1 Bài 4: ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB > AC. Vẽ trung tuyến AM và phân giác AD của tam giác ABC ( M, D thuộc đoạn BC ). Đường tròn qua 3 điểm A, D, M cắt AB, AC theo thứ tự tại E, F 1.Chứng minh: BA BE BD . CA CF CD 2.Chứng minh BE = CF 3.Giả sử tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 8 cm, đường cao AH của tam giác ABC bằng 5 cm. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 5: ( 1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có: SA = SB = SC = a, ASB = 900, BSC = 600, ASC = 1200. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh rằng: SI  (ABC) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn đáp án đề thi (Môn toán) Bài 1: (2 điểm) 1. (1 điểm) 4 2 3 ( 3 1) 2 Ta có: 2 3 2 2 4 2 3 ( 3 1) 2 2 3 2 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 A= 2 2 3 1 3 1 2(3 3) 2(3 3) 6( 3 1) 6( 3 1) 2 2 2 2 3 1 3 1 2 3 = 2 6 6 6 2. (1 điểm) Điều kiện: x 1 đặt t = x 1 ; t 0 phương trình đã cho trở thành; t3 + 4t2 + 5t = 0 t(t2 + 4t + 5) = 0 t 0 2 t 4t 5 0 (vô nghiệm) với t = 0 x 1 0 x = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Bài 2: (2 điểm) 4x 2 2y 2 2 => 4x2 - 2y2 = xy + x2 3x2 - xy - 2y2 = 0 (*) 2 xy x 2 Với y = 0 hệ đã cho trở thành: 2x 2 1 vô nghiệm 2 x 2 Với y 0 chia cả 2 vế của Pt (*) cho y2 ta đợc x x 3( ) 2 2 0 y y DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn t 1 x đặt t = ta có: 3t2 - t - 2 = 0 => 2 y t 3 x 1 x 1 x 1 Với t = 1 ta có y ; ; y 1 y 1 2 2 2x y 1 x 2 2 Với t ta có y 3 vô nghiệm 3 2 2 2x y 1 x 1 x 1 Vậy HPT có nghiệm ; ; y 1 y 1 Bài 3: (2 điểm) 1. (1 điểm) m = 0 pt trở thành: x2 - 4x - 1 = 0 pt có hai nghiệm phân biệt x1 = 2 - 5 ; x2 = 2 + 5 2. Giả sử pt có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ta có 2 x1 + x2 = 2(m + 2); x1.x2 = m - 1 theo bài ra ta có 2 y1 + y2 = 4[(x1 + x2) - 2x1x2] - 2 2 2 y1.y2 = 16(x1x2) - 4[(x1 + x2) - 2x1x2] + 1 => y1y2 là nghiệm của phương trình X2 - (8m2 + 64m + 70)X + 16m4 - 40m2 - 64m - 55 = 0 A Bài 4: F E B N C M D 1. Ta có: tam giác BDE đồng dạng với tam giác BAM ( góc B chung, góc MAB = góc BDE) BD BE => => BA.BE = BD.BM (1) BA BM tơng tự ta có: tam giác CMF đồng dạng với tam giác CAD DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn CM CF => => CA.CF = CM.CD (2) CA CD BA.BE BD.BM Chia 2 vế của (1) cho (2) ta có CA.CF CM.CD BA BE BD mà CM = BM => . => đpcm CA CF CD BA BD 2. Theo tính chất phân giác ta có: CA CD BE theo câu a => 1 => BE = CF (đpcm) CF 3. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nối A với O cắt (O) tại N => góc ANB = góc ACB => tam giác vuông ABN đồng dạng tàm giác vuông AHC AB AH AB.AC A => AN =24 (cm) AN AC AH Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là l = 2R = 24 75,36 (cm) B H C S N Bài 5: (1 điểm) Theo giả thiết ta có: SI  AC (1) mặt khác ta có I C AB = a 2 (tam giác SAB vuông cân) A BC = a (tam giác SBC đều) ta có: B AI a 3 sin(góc ASI) = AI = SA.sin(góc ASI) = a.sin600 = => AC = a 3 SA 2 xét tam giác ABC , có AC2 = AB2 + BC2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 a 3 => tam giác ABC vuông tại B => BI = AC = AI => BI = 2 2 a tơng tự ta có SI = AS.cos(góc ASI) = 2 Xét tam giác SIB có SB2 = SI2 + IB2 = a2 => tam giác SIB vuông tại I => SI  IB (2) Từ (1) và (2) => SI  (ABC) => đpcm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 18 Câu1: (2đ) 2 x 2 1 1.Tính giá trị của biểu thức: A x x 2 1 1 a b Với x , trong đó a>0 ; b>0. 2 b a 2.Chứng minh rằng biểu thức : x x a x a x 2a a 4 là bình phương của một đa thức. Câu2: (2đ) 1.Cho phương trình : 3x 2 5x m 0 xác định m để phương trình có 2 2 5 hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn : x x . 1 2 9 m 1 x my 3m 1 2.Cho hệ phương trình: 2x y m 5 Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho: S x 2 y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu3: (2đ) 1.Giải phương trình: 5 x 2x 7 2.Cho Parabol (P) có phương trình : y x 2 (1) và đường thẳng (D) có phương trình : y x m (2) Tìm m sao cho đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt A , B và khoảng cách AB 3 2 . Câu4: (2đ) 1.Cho các số dương a,b,c thay đổi và thoả mãn : a+b+c=4. CMR: a b b c c a 4 . 2.Cho ABC (AB=AC) . từ trung điểm M của cạnh BC kẻ MH  AC tại H. Gọi I là trung điểm của MH , AI cắt BC tại N; BH cắt AM tại K và AI tại P . Chứng minh rằng MKPN nội tiếp được. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Câu5: (2đ) : Trong mp(P) cho ABC vuông tại A . Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại A lấy một điểm S sao cho SA=BC=1. Đặt AB=x. (0<x<1) 1.Tính thể tích của tứ diện SABC theo x. 2.Với giá trị nào của x thì thể tích trên đạt GTLN. đáp án Câu1: (2đ) 1.(1đ) 2 1 a b a b 2 2 *Ta có : x 1 1 0,25đ 4 b a 4ab 2 a b 2 ab 2 a b A 0,5đ a b a b a b a b 2 ab 2 ab 2 a b a b *Nếu a b thì A a b a b b 2 a b b a *Nếu a b thì A 0,25đ a b a b a 2.(1đ) *Đặt A x x a x a x 2a a 4 x x a x a x 2a a 4 x 2 ax x 2 ax 2a 2 a 4 0,5đ *Đặt x 2 ax t 0,25đ 2 A t t 2a2 a4 t 2 2a2t a4 t a2 2 *Vậy A x 2 ax a 2 đpcm 0,25đ Câu2: (2đ) 1.(1đ) *Để phơng trình có 2 nghiệm x1,x2 thì 25 0 25 12m 0 m (*) 12 5 x1 x2 (1) *Theo định lý vi-ét ta có : 3 0,25đ m x .x (2) 1 2 3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 5 5 *Từ x 2 x 2 x x x x (3) 1 2 9 1 2 1 2 9 1 Thay (1) vào (3) ta đợc : x x (4) 0,25đ 1 2 3 5 x x x 1 1 2 3 1 *Từ (1) và (4) ta có hệ : 2 0,25đ 1 x2 x1 x2 3 3 *Thay vào (2) m 1 thoả mãn điều kiện (*) 0,25đ 2.(1đ) x 1 x 1 *Nếu m=0 thì hệ có dạng 2x y 5 y 3 Khi đó S x 2 y 2 10 0,25đ m 1 x my 3m 1 (1) *Nếu m 0 thì hệ đã cho 2 2mx my m 5m (2) Lấy (2) trừ đi (1) ta đợc : m 1 x m 1 2 0,25đ Khi m = -1 thì hệ có vô số nghiệm , không thoả mãn ĐK bài toán. x m 1 Khi m -1 thì hệ có nghiệm duy nhất y m 3 0,25đ S x 2 y 2 m 1 2 m 3 2 2m 2 4m 10 2 m 1 2 8 8 0,25đ Vậy S min 8 m 1 0,25đ Câu3: (2đ) 1.(1đ) 2x 7 0 5 x 2x 7 5 x 2x 7 2 0,5đ 5 x 2x 7 7 7 x x 2 0,25đ 2 11 4x 2 27x 44 0 x 4; x 4 11 x 0,25đ 4 2.(1đ) *Phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là: x 2 x m x 2 x m 0 (1) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn *Để có hai giao điểm A , B thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt tức : 1 0 1 4m 0 m (*) 0,25đ 4 *Giả sử A x1; y1 ; B x2 ; y2 (hình vẽ) 2 2 2 2 2 Ta thấy AB AH BH x2 x1 y2 y1 0,25đ y2 x2 m *Do A,B (D) nên : y1 x1 m 2 2 2 2 2 suy ra AB x2 x1 x2 x1 2 x2 x1 2 x1 x2 8x1.x2 x1 x2 1 *áp dung định lý vi-ét ta có : Suy ra x1.x2 m AB2 2 1 4m 0,25đ *Theo giả thiết AB 3 2 AB 2 18 2 1 4m 18 m 2 thoả mãn (*) *Vậy giá trị cần tìm là m=2 0,25đ Câu4: (2đ) 1(1đ) *Do a,b,c >0 và từ giả thiết ta có : a b a b c 4 a b 2 a b 2 a b (1) 0,5đ *Hoàn toàn tơng tự ta cũng có: b c 2 b c (2) c a 2 c a (3) 0,25đ *Cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta có: 2 a b c 2 a b b c c a Hay 4 a b b c c a đpcm 0,25đ DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2.(1đ) *Kẻ đờng cao BD của ABC BD  MH H là trung điểm của DC (vì M là trung điểm của BC) 0,25đ BC DC * BDC  AHM AM HM 0,25đ BC CH Mà DC 2CH; HM 2MI nên AM MI 0,25đ   *Suy ra BCH  AMI CBH MAI     Mà BKM AKP (đ đ) APK KMB 1v *Vậy MKPN có hai góc đối nhau mỗi góc bằng 1v nên nó nội tiếp đợc. ( 0,25đ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Câu5: (2đ) 1.(1đ) 1 *Thể tích tứ diện : V .SA.S 0,25đ SABC 3 ABC 1 1 *Diện tích ABC: S AB.AC x 1 x 2 0,25đ ABC 2 2 1 1 1 * V 1 x 1 x 2 x 1 x 2 0,5đ SABC 3 2 6 2.(1đ) 1 1 x 2 1 x 2 1 *áp dụng BĐT côsi: V x 1 x 2  SABC 6 6 2 12 0,5đ 1 2 * V đvdt x2 1 x2 x max 12 2 0,25đ 1 2 *Vậy V đạt giá trị LN bằng khi x SABC 12 2 0,25đ. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 19 Câu 1: (1điểm) 3 1 4 Cho A x 4 x 3 x 1 x 4 x 3 x 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 32 CMR: 0 A x 1 9 Câu 2: (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôi một khác nhau sao cho: 1 1 1 1 1 1 A nguyên dương a b c ab bc ca Câu 3: (2,5 điểm) a) Tìm m để phương trình ( x 2 - 1 ) ( x + 3 ) ( x + 5 ) = m có 4 nghiệm phân biệt b) Giải phương trình: 3 9 x 2 x 1 Câu 4: (1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 y(4-x-y) với x 0; y 0; x+y 6 Câu 5: (3 điểm) Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tia phân giác trong góc A cắt (O) tại D. Một đường tròn (L) thay đổi nhưng luôn đi qua A, D cắt AB, AC tại điểm thứ hai lần lượt tại M, N. a) CMR: BM = CN b) Tìm quỹ tích trung điểm K của MN c) Tìm vị trí của (L) sao cho MN ngắn nhất. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 9 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án Câu 1: x 4 - x 3 + x - 1 = ( x 2 - 1 ) ( x 2 - x + 1 ) x 4 - x 3 - x - 1 = ( x 2 - 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x 5 - x 4 + x 3 - x 2 +x-1=(x-1)(x 4 + x 2 +1)=(x-1)(x 2 - x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) 3(x 2 x 1) (x 2 x 1) 4(x 1) 2 A (x 2 1)(x 2 x 1)(x 2 x 1) (x 2 x 1)(x 2 x 1) 2 2 2 1 3 1 3 x x 2 4 2 4 32 0 A 9 Câu 2: Quy đồng mẫu số ta có: A . a b c = a b + b c + c a + a + b + c (1) ta có a, b, c cùng chẵn hoặc cùng lẻ * Nếu abc lẻ a, b, c cùng lẻ * Nếu abc chẵn ít nhất 1 trong các số a, b, c chẵn. Không mất tính tổng quát, giả sử a là chẵn: Từ (1) b c + b + c chẵn mà b c + b + c = ( b + 1 ) ( c + 1 ) - 1 ( b + 1 ) ( c + 1 ) lẻ b + 1 ; c + 1 l ẻ b , c chẵn Vậy a, b, c cùng chẵn, hoặc cùng lẻ Ta có: Không mất tính tổng quát, giả sử a < b < c * Với a 3 b 5; c 7 1 1 1 1 1 1 a 2 A 1 3 5 7 15 21 35 a 1 Với a = 2 : b 4;c 6 DeThi.edu.vn