›
›
›

Chuyên đề: Phương trình bậc hai – Dành cho học sinh khối Lớp 9

doc 25 trang thaodu 2820
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề: Phương trình bậc hai – Dành cho học sinh khối Lớp 9", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_phuong_trinh_bac_hai_danh_cho_hoc_sinh_khoi_lop_9.doc

Nội dung text: Chuyên đề: Phương trình bậc hai – Dành cho học sinh khối Lớp 9

  1. Chuyên đề – phương trình bậc hai – dành cho học sinh khối lớp 9 Lời nói đầu : phương trình bậc hai là 1 trong những nền tảng quan trọng trong các kì thi tuyển sinh lên 10 – viết bài viết này nhằm cho mọi người tham khảo A/Tóm tắt lý thuyết Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 Ta lập ∆ = b2 – 4ac Nếu ∆ 0 , phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : b b X1 = X2 = 2a 2a Các dang khuyết A : bx+c = 0 => x = c (b #0) b Dạng khuyết b : ax2 + c= 0 => x2 = c (a#0) a Có các trường hợp : nếu c = 0 , a#0 , phương trình có nghiệm x=0 nếu a và c trái dấu , phương trình có 2 nghiệm phân biệt nếu a và c cùng dấu , phương trình vô nghiệm Dạng khuyết c : ax2 +bx = 0  x (ax+b) = 0  x= 0 hoặc ax+b =0  x=0 hoặc x=-b/a ( a#0) Dạng phương trình trùng phương :ax4 + bx2+c=0 Đặt t =x2 ( t≥0) phương trình trở thành at2+bt+c=0 Giaỉ phương trình bậc 2 theo t ,ta tìm được t , nhở đối chiếu với ĐK : t≥0 ,có được t rồi giải ra tìm x B/Các ví dụ Dạng phương trình có 2 nghiệm phân biệt (dạng đơn giản) Bài 1 : Gỉai phương trình : x2-2x-3=0 Gỉai Ta có :∆ = (-2)2 – 4.1. (-3) = 16>0 , = 4
  2.  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 2 4 2 4 x1 = =3 x2 = = -1 1.2 1.2 Bài 2 : Gỉai phương trình : x2 – 8x + 15 =0 Gỉai ∆ = (-8)2 – 4.1.15 = 4 >0 = 2  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 8 2 8 2 x1 = = 5 x2 = =3 1.2 1.2 Bài 3/ : Gỉai phương trình : 4x2 -16x+15-0 Gỉai Ta có : ∆ = (-16)2 -4.4.15 = 16>0 =4  Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 16 4 5 16 4 3 X1 = = X2 = = 4.2 2 4.2 2 Bài 4 : Gỉai phương trình :x2 – 15x+50=0 Gĩai Ta có :∆ = (-15)2 -4.1.50 = 25>0 =5  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 15 5 15 5 x1 = = 10 x2 = =5 1.2 1.2 Bài 5 : Gỉai phương trình : 8x2 – 10x+3 = 0 Gỉai ∆ = (-10)2 -4.8.3=4> 0 =2  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 10 2 3 10 2 1 x2 = = x2 = = 8.2 4 8.2 2 Bài 6 :Gỉai phương trình :x2 -4x-21=0 Gỉai ∆ = (-4)2 -4.1.(-21)= 100>0 =10  phương trình đả cho có 2 nghiệm phân biệt : 4 10 4 10 x1 = =7 x2 = =-3 1.2 1.2 Bài 7 : Gĩai phương trình :16x2 -40x+21=0 Gỉai ∆ = (-40)2 -4.16.21=256>0 = 16
  3.  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 40 16 7 40 16 3 x1 = = x2 = = 16.2 4 16.2 4 Bài 8 : Gỉai phương trình : 49x2 -49x+6=0 Gỉai ∆ = (-49)2 -4.49. 6=1125>0 35  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 49 35 6 49 35 1 x1 = x2 = 49.2 7 49.2 7 Dạng phương trình có chứa nghiệm kép Bài 1 : Gỉai phương trình : x2 – 24x + 144=0 Gỉai Ta có : ∆ = (-24)2 -4.1.144=0  phương trình đã cho có nghiệm kép 24 x1 = x2 = = 12 1.2 Bài 2 : Gỉai phương trình : 4x2 – 28x +49=0 Gỉai Ta có :∆ = (-28)2 -4.4.49 = 0  phương trình đã cho có nghiệm kép 28 7 x 1 = x2 = = 4.2 2 Bài 3 : Gỉai phương trình : 4x2 -36x+81=0 Gỉai ∆ = (-36)2 -4.4.81 = 0  phương trình đã cho có nghiệm kép 36 9 x1=x2 = 4.2 2 Bài 4 : Gỉai phương trình : 9x2 -6x+1=0 Gỉai ∆ = (-6)2 -4.9.1 =0  phương trình đã cho có nghiệm kép 6 1 x1=x2 = 9.2 3 Bài 5 : Gỉai phương trình :16x2 -8x+1 =0 Gỉai Ta có : ∆ = (-8)2 -4.16.1=0  phương trình đã cho có nghiệm kép
  4. 8 1 x1 = x2 = 16.2 4 Bài 6 : Gỉai phương trình : 25x2 -20x+4=0 Gỉai ∆ = (-20)2 -4.25.4 =0  phương trình đã cho có nghiệm kép 20 2 x1=x2 = = 25.2 5 Phương trình đã cho vô nghiệm Bài 1 : Gỉai phương trình : 5x2 –x +1 =0 Gỉai ∆ = (-1)2 – 4.5.1 = -19 phương trình đã cho vô nghiệm Bài 4 : Gỉai phương trình : 12x2 +11x +3 =0 Gỉai ∆ = 112 -4.12.3 = -23<0  phương trình đã cho vô nghiệm Bài 5 : Gỉai phương trình :4x2 -4x+2=0 Gỉai ∆ = (-4)2 -4.4.2= -16<0  phương trình đã cho vô nghiệm Dạng phương trình bậc hai khuyết c Bài 1 : Gỉai phương trình : 3x2 – 6x = 0 Gỉai Nhận xét : Đây là 1 phương trình bậc 2 khuyết c Ta có thể giải trực tiếp bằng cách : 3x2 – 6x =0  3x (x-2) = 0  3x=0 hoặc x-2=0
  5.  x= 0 hoặc x=2 Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm S = {0;2} Hoặc có thể dùng biệt thức ∆ như sau : ∆ = (-6)2 – 4.3.0 = 36 >0 =6  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 6 6 6 6 x1 = = 2 x2 = =0 3.2 3.2 Bài 2 : Gỉai phương trình : 8x2 +7x=0 Gỉai 8x2 +7x=0  x( 8x+7)=0  x=0 hoặc 8x+7 =0  x=0 hoặc x= -7/8 Bài 3/ Gỉai phương trình : 8x2 -32x=0 Gỉai 8x2 -32x=0  8x (x-4) =0  8x = 0 hoặc x-4 = 0 x=0 hoặc x=4 Bài 4 : Gỉai phương trình : 13x2 -15x=0 Gỉai 13x2 -15x=0  x (13x -15)=0  x=0 hoặc 13x-15=0  x=0 hoặc x = 15/13 Bài 5 : Gỉai phương trình : 3x2 – 321x=0 Gỉai 3x2 – 321x=0  x (3x -321)=0  x=0 hoặc 3x -321=0 x=0 hoặc x = 107 Dạng phương trình khuyết A Bài 1 : Gỉai phương trình : 5x -10=0 Gỉai 5x-10=0  5x=10 x=2 Bài 2 : Gỉai phương trình :3x -102=0 Gỉai 3x -102=0  3x=102  x = 34 Bài 3 : Gỉai phương trình : 9x +24=0 Giaỉ
  6. 9x+24=0  9x =-24  x = -8/3 Dạng phương trình bậc 2 khuyết B Bài 1 : Gỉai phương trình : x2 = 9 Gỉai X2 = 9  x= 3 Bài 2 : Gỉai phương trình : x2 -12=0 Gỉai X2 -12=0  x2 =12  x= 2 3 Bài 3 : Gĩai phương trình : 5x2 = 8 Gỉai 8 40 5x2 = 8 x2 =8/5  x= 5 5 Dạng phương trình trùng phương Bài 1/ Gỉai phương trỉnh : x4 – 10x2 + 9=0 Gỉai Nhận xét đây là 1 phương trình trùng phương Ta đặt t =x2 ( t≥0) Phương trình trở thành t2 -10t+9=0 ∆ = (-10)2 -4.1 . 9 =64 > 0 =8  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 10 8 10 8 t1 = = 9 (nhận ) t1 = =1 ( nhận ) 1.2 1.2 Với t = 9 ta có : x2 = 9 => x= 3 Với t = 1 ,ta có : x2 =1 => x= 1 Bài 2: Gỉai phương trình : x4 -17x2+16=0 Gỉai Đặt t =x2 (t ≥0) phương trình trở thành : t2 -17t +16=0 ∆ = (-17)2 -4.1.16=225>0 =15  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 17 15 17 15 t1 = = 16 ( nhận ) t2 = =1 ( nhận ) 1.2 1.2 Với t=16 => x2 = 16 => x= 4 Với t =1 => x2 =1 => x= 1 Bài 3: Gỉai phương trình : x4 – 10x2+25=0 Gỉai Đặt t =x2 (t≥0) phương trình trở thành : t2 -10t+25=0 ∆ = (-10)2 -4.1.25=0
  7.  phương trình đã cho có nghiệm kép 10 t1 =t2 = = 5 ( nhận ) 1.2 với t = 5 => x2 = 5 => x = 5 Bài 4: Gỉai phương trình : x4 -4x2 – 45 =0 Gỉai Đặt t =x2 (t≥0) phương trình trở thành t2 -4t-15=0 ∆ = (-4)2 -4.1. (-45) = 196>0 =14  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 4 14 4 14 t1 = = 9 ( nhận ) t2 = = -5 ( loại ) 1.2 1.2 Với t = 9 =>x2 = 9 => x= 3 Bài 5 : Gỉai phương trình :x4-34x2+289=0 Gỉai Đặt t=x2 (t≥0) phương trình đã cho trở thành : T2 -34t+289=0 ∆ = (-34)2 -4.1.289=0  phương trình đã cho có nghiệm kép 34 t1=t2 = 17 ( nhận) 1.2 Với t=17 ta có :x2 = 17 => x= 17 Bài 6 : Gỉai phương trình :4x4 – 5x2 +1=0 Gỉai Đặt t=x2 (t≥0) phương trình đã cho trở thành : 4t2 -5t+1=0 ∆ = (-5)2 -4.4.1 = 9>0 =3  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 5 3 5 3 1 t1= 1 (nhận ) t2 = (nhận) 4.2 422 4 Với t=1 =>x2 =1 =>x= 1 1 Với t=1/4 =>x2 =1/4 => x= 2 Bài 7 : Gỉai phương trình :x4 +13x+30 =0 Gỉai Đặt t=x2 (t≥0) phương trình đã cho trở thành : T2 +13t-30=0 ∆ = (-13)2 -4.1.30 = 49>0 =7  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt :
  8. 13 7 13 7 t1 = 3 (loại ) t2 = 10 (loại) 1.2 1.2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bài 8 : Gỉai phương trình :x4 -7x2 -18=0 Gỉai Đặt t =x2 (t≥0) phương trình đã cho trở thành : T2 -7t – 18=0 ∆ = (-7)2 -4.1.(-18) = 121>0 =11  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 7 11 7 11 t1 = 9 (nhận ) t2 = 2 (loại) 1.2 1.2 Với t= 9 => x2 = 9 => x= 3 B/Một số dạng phương trình đặc biệt Chung quy cứ áp dụng công thức trên ta có thể bất kỳ phương trình bậc 2 nào ,các ví dụ trên chỉ là minh họa , tuy nhiên sẽ có một số phương trình rắc rối hơn dù chỉ là phương trình bậc hai ,xin được giới thiệu Dang phương trình tích : A.B.C=0  A=0 , B=0 , C=0 Dang phương trình chứa phân số ở mẫu : Nhớ đặt điều kiện cho mẫu khác 0 Đôi lúc các bạn sẽ khó chịu vì một số bài toán khi giải ra nghiệm của phương trình chỉ toàn căn thức . Phải qua giải bài tập mới biết được các bạn ah B/ CÁC VÍ DỤ Dạng bài tập phương trình tích Bài 1 : Gĩai phương trình : (x-1)(x-2)(x-4)=0 Gỉai (x-1)(x-2)(x-4)=0  x-1 =0 , x-2 =0 , x-4=0  x=1 , x=2 , x=4 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm S={1;2;4} Bài 2 : Gỉai phương trình : x3 -11x2 +28x =0 Gỉai X3 -11x2 +28x =0  x( x2 -11x+28) =0  x= 0 hoặc x2 -11x+28=0 Ta đi giãi phương trình x2 -11x+28=0
  9. ∆ = (-11)2 -4.1.28 = 9>0 =3  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 11 3 11 3 x1 = =7 x2 = =4 1.2 1.2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt S= {0;7;4} Bài 3 :Gỉai phương trình : (x-1)(x-2)(2x-1) = (x-1)(x-2)(x-5) Gỉai (x-1)(x-2)(2x-1) = (x-1)(x-2)(x-5)  (x-1)(x-2)(2x-1-x+5)=0 (x-1)(x-2)(x+4)=0  x-1=0 , x-2=0 ,x+4=0  x=1 , x=2 , x=-4 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm S={1;2;-4} Bài 4 : Gỉai phương trình (x2 -1)(x-3) = 45(x-1) Gỉai (x2 -1)(x-3) = 45(x-1)  (x-1)(x+1)(x-3) = 45(x-1)  (x-1)(x2-3x+x-3-45)=0  (x-1)(x2-2x-48)=0  x-1=0 hoặc x2-2x-48=0  x=1 Ta đi giãi phương trình x2-2x-48=0 ∆ = (-2)2 -4.1.(-48)=196>0 =14  phương trình đã cho có 2nghiệm phân biệt 2 14 2 14 x1 = 6 x2 = 8 1.2 1.2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm S= {1;-6;8} Bài 5 : Gỉai phương trình : (x2 – 6x+5)(x2+x+1) = 26x-130 Gỉai Bằng ngoài nháp ta tách được : x2-6x+5= (x-5)(x-1) Do đó phương trình đã cho trở thành (x-5)(x-1)(x2+x+1) = 26(x-5) (x-5)(x3-1) = 26(x-5) (x-5)(x3 – 27)=0  x-5 =0 hoặc x3 -27=0  x=5 hoặc x=3 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm S= {3;5} Bài 6 : Gỉai phương trình : x3 –x2 +x =0
  10. Gỉai x3 –x2 +x =0  x ( x2 –x+1 ) =0  x =0 hoặc x2 –x+1 =0 ∆ = (-1)2 -4.1.1 = -3 0 = 3  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 5 3 5 3 x1 = =4 x2 = = 1 1.2 1.2 Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm S= {1 :4} Bài 8 : Gỉai phương trình : (x2 –x-1)2 = (4x+5)2 Gỉai (x2 –x-1)2 = (4x+5)2 (x2-x-1-4x-5)(x2 –x-1+4x+5) =0 (x2 -5x-6)(x2 +3x+4) = 0  x2 -5x+6 =0 hoặc x2 +3x+4=0 Ta đi giãi phương trình :x2 -5x+6=0 ∆ = (-5)2 -4.16=1>0 =1  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 5 1 5 1 x1 = 3 x2 = 2 1.2 1.2 Ta đi giải phương trình :x2 +3x+4=0 ∆ = 32 -4.1.4 = -7<0  phương trình đã cho vô nghiệm Vậy tóm lại phương trình đã cho có 2nghiệm S= {3;2} Dạng phương trình bậc hai có tập nghiệm phức tạp Bài 1/ : Gỉai phương trình : 3x2 – 8x+1=0
  11. Gỉai ∆ = (-8)2 -4.3.1= 52>0  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 8 52 4 13 8 52 4 13 x1 = = x2 = = 3.2 3 3.2 3 ghi chú : trong trường hợp∆ không thể tính ra số nguyên ta vẫn giữ nguyên căn khi tính không sao cả Bài 2 : Gỉai phương trình : x2 – (2 +3 ).x +6 =0 Gỉai ∆ = (2 3 )2 – 4.1.6 = 5 +26 -46 = 5-26 >0 5 2 6 ( 3 2)2 | 3 2 | =3 2 phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 3 2 3 2 3 2 3 2 x1 = 3 x2 = 2 1.2 1.2 Bài 3 : Gỉai phương trình x2 – (3 +2).x +23 =0 Gỉai Ta có :∆ = (3 +2)2- (23 ).4.1 = 7+43 - 83 = 7-4 3 >0 =7 4 3 (2 3)2 | 2 3 | 2 3 => phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 3 2 2 3 3 2 2 3 x1 = 2 x2 = 3 1.2 1.2 Bài 4/ : Gỉai phương trình : x2 -2 2 x+1=0 Gỉai ∆ = (-22 )2 -4.1.1 = 4>0 =4 =>phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 2 2 2 2 2 2 X1 = = 2 +1 x2 = = 2 -1 1.2 1.2 Bài 5 : Gỉai phương trình :x2 -2x +2 5 5 =0 Gỉai ∆ =(-2)2 -4.1. (25 -5) =4 +20 - 85 = 24-85 >0 24 8 5 (2 5 2)2 | 2 5 2 | 2 5 2  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 2 2 5 2 2 2 5 2 x1 = 5 x2 = 2 5 1.2 1.2 Bài 6 : Gỉai phương trình : x2 – (3 2 2 ).x +6=0 Gỉai
  12. ∆ = (3 2 2 )2 -4.1.6 = 32 – 24 = 8 >0 2 2  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x1 = 3 2 x2 = 2 1.2 1.2 Bài 7 : Gỉai phương trình : x2-63 x +17=0 Gỉai ∆ = ( 6 3)2 4.1.17 0  phương trình đã cho có nghiệm kép 6 3 x1 =x2 = 3 3 1.2 Bài 8 : Gỉai phương trình :x2 – (33 -1).x +4-33 =0 Gỉai (3 3 1)2 4.1.(4 3 3) 28 6 3 16 12 3 12 6 3 >0 12 6 3 (3 3)2 | 3 3 | 3 3  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 3 3 1 3 3 3 3 1 3 3 x1 = 2 3 1 x2 = 3 2 1.2 1.2 Dạng bài tập phức tạp dài dòng : Bài 1 :Gỉai phương trình : x2 -5(x-2) -2(3x-7) =0 Hướng dẩn : rút gọn phương trỉnh đã cho Gỉai X2 -5(x-2)-2(3x-7) = 0  x2 -5x+10 – 6x+14=0  x2-11x+24=0 ∆ = (-11)2 -4.1.24 =25>0 =5  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 11 5 11 5 x1 = = 8 x2 = = 3 1.2 1.2 Bài 2 : Gỉai phương trình :x2 (x2-4) +3(x4-3) +10=0 Gỉai x2 (x2-4) +3(x4-3) +10=0  x4 -4x2+3x4– 9 +10=0 4x4 –4x2+1=0 Đặt t=x2 (t≥0) phương trình đã cho trở thành : 4t2 -4t+1=0 ∆ = (-4)2 -4.4.1 =0  phương trình đã cho có nghiệm kép: 4 1 t1 =t2 = ( nhận ) 4.2 2
  13. 2 Với t = ½ => x2 =1/2 => x= 2 Bài 3 : Gỉai phương trình :(x-1)(x-4) +2(x+17)-78=0 Gỉai :(x-1)(x-4) +2(x+17)-78=0  x2 -4x-x+4+2x+34-78=0  x2-3x -40=0 ∆ = (-3)2 -4.1.(-40) = 169>0 13  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 3 13 3 13 x1 = 8 x2 = 5 1.2 1.2 Bài 4 : Gỉai phương trình : x2(x-1)(x+1) +(10 -x)(10 +x) =0 Gỉai x2(x-1)(x+1) +(10 -x)(10 +x) =0 x2(x2 -1) + 10-x2 =0 x4 -2x2+10 =0 Đặt t=x2 (t≥0) phương trình đã cho trở thành T2-2t+10=0 ∆ = (-2)2-4.1.10= -36 phương trình đã cho có nghiệm Bài 5 : Gỉai phương trình :(x-1)(x-4)+(x+3)(x+6) -38=0 Gỉai :(x-1)(x-4)+(x+3)(x+6) -38=0 x2-4x-x+4+x2+3x+6x+18-38=0 2x2+4x-16=0  x2 +2x-8=0 ∆ = 22 -4.1.(-8) = 36>0 6  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 2 6 2 6 x1 = 2 x2 = 4 1.2 1.2 Dạng bài tập phương trình chứa ẩn ở mẫu x 1 x 6 Bài 1 : Gỉai phương trình : = 3 2x 5 x 1 Gỉai Điều kiện : 2x-5#0  x# 5/2 X+1#0  x# -1
  14. x 1 x 6 3  (x-1)(x+1) +(x+6)(2x-5) = 3 ( 2x-5)(x+1) 2x 5 x 1  x2 -1 +2x2 -5x +12x -30 =3(2x2 +2x-5x-5) x2 -1+2x2-5x +12x -30 =6x2 +6x – 15x-15  3x2 -16x +16=0 Ta có : ∆ = (-16)2 -4.3.16=64 >0 = 8  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 16 8 16 8 4 x1 = =4 (nhận) x2 = = ( nhận ) 3.2 3.2 3 Bài 2 : Gỉai phương trình : (x -1)( x4 –x2 -12) =0 x-2 Gỉai ĐK : x-2 #0  x# 2 Phương trình đã cho tương đương với : (x-1)(x4-x2-12)=0  x-1=0 hoặc x4 – x2 -12=0  x=1 ( nhận ) Ta đi giãi phương trình : x4 –x2 -12=0 Đặt t=x2 (t≥0) phương trình trở thành :t2 –t -12=0 ∆ = (-1)2 -4.1.(-12) = 49 > 0 =7  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân phân biệt 1 7 1 7 t1 = =4 ( nhận ) t2 = = -3 (loại ) 1.2 1.2 Với t = 4 => x2 = 4 => x= 2 Đối chiếu với điều kiện ta nhận x = -2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm S= { 1:-2} Bài 3 : Gỉai phương trình : x2+1 = x2 - 7 X2-4 Gỉai Đặt t =x2 ( t≥0) ĐK : t -4 # 0  t# 4 Viết lại phương trình đã cho dưới dạng : t+1 = (t-7)(t-4)  t+1 = t2 -4t-7t +28  t2 -12t +27=0 ∆ = (-12)2 -4.1.27 = 36 >0 =6  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 12 6 12 9 3 t1 = = 9 (nhận ) t2 = = ( nhận ) 1.2 1.2 2 Với t = 9 ta có : x2 = 9=> x= 3
  15. 3 6 Với t = 3/2 ta có : x2 = 3/2 => x= = 2 2 x 6 4x 3 Bài 4 : Gĩai phương trình : x 2 2x 1 Gỉai x 6 4x 3 : x 2 2x 1 ĐK : x+2#0  x# -2 2x-1#0  x# ½ Phương trình đã cho tương đương với (x+6)(2x-1) = (x+2)(4x-3)  2x2 –x+12x-6 = 4x2 -3x+8x -6 2x2 -6x =0  2x (x-3)=0  2x=0 hoặc x-3=0  x=0 hoặc x=3 Nhận nhận Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm S= {0;3} (x 1)(x 3) 1 Bài 5 : Gỉai phương trình : 3x 2 2 Gỉai (x 1)(x 3) 1 3x 2 2 ĐK : 3x-2#0  x# 2/3 Phương trình đả cho tương đương với : 2(x+1)(x-3) = 3x-2  2 (x2-3x+x-3) =3x-2  2x2-6x+2x-6 = 3x-2  2x2-7x-4 =0 ∆ = (-7)2 -4.2.(-4) = 81>0 9  phương trính đã cho có 2 nghiệm phân biệt 7 9 7 9 1 x1 = 4 ( nhận ) x2 = ( nhận) 2.2 2.2 2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm S= { 4 ; -1/2 } (x 5)(x 7) x 9 Bài 6 : Gỉai phương trình : (2x 4)(x 3) 2x 3 Gỉai
  16. (x 5)(x 7) x 9 (2x 4)(x 3) 2x 3 ĐK :2x+4#0  x# -2 X+3#0  x# -3 2x+3#0  x# -3/2 Phương trình đã cho tương đương với : (x+5)(x+7)(2x+3) = (2x+4)(x+3)(x+9)  (x2+5x+7x+35)(2x+3) = (2x2+6x+4x+12)(x+9)  (x2 +12x+35)(2x+3) = (2x2+10x+12)(x+9) 2x3 +24x2+70x+3x2+36x+105=2x3+10x2+12x+18x2+90x+108 x2-4x+3=0 ∆ = (-4)2 -4.1.3 = 4>0 2  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 4 2 4 2 x1 = =3 ( nhận ) x2 = 1 ( nhận) 1.2 1.2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm S= {1;3} Một số dạng bài tập phương trình bậc hai đặc biệt Dạng 1 : phương trình có chứa |A| Phương pháp giải : TH1 : Tuy theo trường hợp của x để mớ dấu |A| TH2 : Đặt t =|A| ta luôn có : t2 =A2 B/Các bài tập ví dụ Bài 1 : Gỉai phương trình : x2 -15|x| +14=0 Gĩai Bài toán có xuất hiện dấu | | nên ta đặt t= |x| (t≥0) Phương trình trờ thành t2 -15t +14=0 ∆ = (-15)2 – 4.1.14=169 >0 =13  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 15 13 15 13 t1 = = 14 nhận t2 = =1 ( nhận ) 1.2 1.2 Với t=1 => |x| = 1 => x= 1 Với t =14 => |x| =14 => x= 14 Bài 2 : Gỉai phương trình : x2+6x+|3x| -18=0 Gỉai Tùy theo trường hợp ta mở dấu trị tuyệt đối
  17. TH1 : nếu x ≤0 => |3x| = -3x Phương trình đã cho tương đương với x2 +6x -3x-18=0x2 +3x-18=0 ∆ = 32 -4.1. (-18) = 81>0 =9  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 3 9 3 9 x1 = 3(loại) x2 = 6 ( nhận ) 1.2 1.2 TH2 : nếu x>0 => |3x| =3x Phương trình đã cho tương đương với : X2+6x+3x-18=0  x2 +9x -18=0 ∆ = 92 -4.1.(-18)=153>0 3 17  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 9 3 17 9 3 7 x1 = (loại) x2 = (loại ) 2 2 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x=-6 Bài 3 : Gỉai phương trình :x2 -3x- | 7x-24| =0 Gỉai Ta có các trường hợp sau Nếu 7x-24≥0  x≥24/7 Phương trình đã cho tương đương với : X2 -3x-7x+24=0 x2-10x+24=0 ∆ = (-10)2 -4.1.24 = 4>0 2 =>phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 10 2 10 2 X1 = 6 ( nhận) x2 = 4 (nhận) 1.2 1.2 Nếu 7x-24 0 4 7  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 4 4 7 4 4 7 x1 = 2 7 2 (nhận) 2 2 7 (nhận) 1.2 1.2 Tóm lại phương trình đã cho có 4 nghiệm S={6;4;2 7 2 ; 2 2 7 } Bài 4 : Gỉai phương trình :x2 -7 |x| -8=0 Gỉai Đặt t = |x| , t≥0 , phương trình đã cho tương đương với T2-7t -8=0 ∆ = (-7)2-4.1.(-8)=81>0 9
  18.  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 7 9 7 9 t1 = 8 (nhận) t2 = 1 (loại) 1.2 1.2 Với t= 8 => |x| =8 => x= 8 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm S= (8;-8} Bài 5 : Gỉai phương trình :x2 -|x+1| =0 Gĩai Ta có các trường hợp : Nếu x+1 x=0 Với t=6 => x2 = 6 => x= 4 6 Bài 2 : Gỉai phương trình : 6x5 – 6x =0 Gỉai 6x5 -6x=0  6x ( x4 -1)=0  6x =0 hoặc x4 -1 =0  x =0 hoặc x = 1
  19. Vậy phương trình đã cho co` 3 nghiệm S= {0;1;-1} Bài 3 : Gỉai phương trình : 22 x2 =82 - 46 Gỉai 8 2 4 6 2 2(4 2 3) 22 x2 =82 - 46  x2 = 4 2 3 2 2 2 2  x = 4 2 3 ( 3 1)2 | 3 1| ( 3 1) => x = 3 -1 hoặc x= 1-3 Bài 4 : Gỉai phương trình : x - 5x +6=0 Gỉai Đặt t =x (t≥0) phương trình đã cho trở thành T2 -5t+6=0 ∆ = (-5)2 -4.16 =1>0 =1  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 5 1 5 1 t1 = =2 ( nhận ) t2 = =3 ( nhận) 1.2 1.2 Với t =2 ta có :x = 2 => x=4 Với t =3 =>x =3 => x=9 Vậy phương trình đã cho có 2nghiệm S= {4:9} Bài 5 : Gỉai phương trình : x4 = 17- 122 Gỉai x4 = 17- 122  x2 = 17 12 2 (3 2 2)2 | 3 2 2 | 3 2 2  x= 3 2 2 ( 2 1)2 | 2 1| ( 2 1) => x= 2 -1 hoặc x= 1-2 Bài 6 : Gỉai phương trình :x4 -2x3 = 1-2x Gỉai Để ý rằng cả 2 vế của phương trình đều có dạng giống hằng đẳng thức (a+b)2 =a2+2ab+b2 gợi ý cho ta công cả 2 vế cho x2 Phương trình đã cho tương đương với X4 -2x3 +x2 =x2 -2x+1  (x2 –x)2 = (x-1)2 =>x2-x =x-1 hoặc x2-x = -x+1 =>x2-2x+1=0 hoặc x2 =1 Để ý rằng cả 2 phương trình đều cho tập nghiệm x= 1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x= 1 (x2 5x 6)(x2 16)(x 8) Bài 7/ Gĩai phương trình : 0 (x2 6x 8)(x 1)
  20. Gỉai Ta dễ dang thấy được : x2-5x+ 6=(x-2)(x-3) X2 -16 = (x-4)(x+4) X2-6x+8 = (x-4)(x-2) Phương trình đã cho tương đương với : (x-2)(x-3)(x-4)(x+4)(x-8) =0 (x-4)(x-2)(x+1) ĐK : x-4 #0  x#4 x-2#0  x#2 x+1#0  x#-1 Do đó ta có : (x-3)(x+4)(x-8)=0  x-3=0 , x+4=0 ,x-8=0  x=3 ,x=-4 ,x=8 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm S = {3;-4;8} Bài 8 : Gỉai phương trình :x6 – 9x3 +8=0 Gỉai Đặt t =x3 , phương trình đã cho tương đương với T2 -9t+8=0 ∆ = (-9)2 -4.1.8=49>0 7  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt : 9 7 9 7 t1 = 8 t2 = 1 1.2 1.2 với t= 8 ta có : x3 = 8 => x=2 với t=1 ta có :x3 =1 => x=1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm S= {1;2} Bài 9 : Gỉai phương trình : 8x8 – 9x4+1=0 Gỉai Đặt t=x4 (t≥0) phương trình đã cho trở thành : 8t2 -9t+1=0 ∆ = (-9)2 -4.8.1 =49>0 7  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 9 7 9 7 1 t1 = 1 ( nhận ) t2 = (nhân 8.2 8.2 8 Với t= 1 =>x4 =1 => x= 1 8 4 8 Với t= 1/8 =>x4 =1/8 => x2 = => x= 8 8
  21. 4 8 Tóm lại phương trình đã cho có 4 nghiệm S = 1 , 8 Bài 10 : Gỉai phương trình :x5-17x3+16x=0 Gỉai x5-17x3+16x=0  x(x4 -17x2 +16)=0  x=0 hoặc x4-17x2+16=0 Ta đi giải phương trình :x4 -17x2+16=0 Đặt t=x2 (t≥0) phương trình đã cho trở thành : T2-17t+16=0 ∆ = (-17)2 -4.1.16=225>0 15  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 17 15 17 15 t1 = 16 (nhận) t2 = 1 (nhận) 1.2 1.2 Với t=16=>x2 = 16 => x= 4 Với t =1 =>x2 =1 => x= 1 Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm S= {0;1;-1;4;-4} Bài 11 : Gỉai phương trình : x6-4x4-x2 +4=0 Gỉai x6-4x4-x2 +4=0 x4(x2-4) – (x2-4)=0  (x4-1)(x2-4)=0  x4-1 =0 hoặc x2-4=0  x4 =1 hoặc x2 =4 x= 1 hoặc x= 2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm S= (1;-2;2;-1} Bài 12 : Gỉai phương trình :x2 - 6 .x+1=0 ( Biểu diển nghiệm của phương trình dưới dạng căn thức) Gỉai Ta có :∆ = ( 6)2 4.1.1 2 >0 =>phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 6 2 3 1 | 3 1| ( 3 1)2 4 2 3 X1= 2 3 1.2 2 2 2 2 6 2 3 1 | 3 1| ( 3 1)2 4 2 3 X2= 2 3 1.2 2 2 2 2 Bài 13 : Gỉai phương trình : (x2-5x)2+10x2+10(5x+3) -6=0 Gỉai
  22. (x2-5x)2+10x2+10(5x+3) -6=0 (x2-5x)2 +10x2+50x+30-6=0 (x2-5x)2 +10(x2-5x)+24=0 Đặt t = x2 – 5x , phương trình đã cho trở thành T2+10t+24=0 ∆ = 102-4.1.24=4>0 2  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 10 2 10 2 t1 4 t2 = 6 1.2 1.2 Với t= -6 phương trình ban đầu trở thành : X2-5x +6=0 . Ta đi giải phương trình này ∆ = (-5)2-4.1.6 =1>0 1 phương trình đã cho có 2 nghiệm 5 1 5 1 x1 = 3 x2 = 2 2.1 1.2 Với t = -4 phương trình đã cho trờ thành x2-5x+4=0 ∆ = (-5)2-4.1.4 = 9>0 3  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 5 3 5 3 x1 = 4 x2 = 1 1.2 1.2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm {1;2;3;4} Bài 14 : Gỉai phương trình :9x2+|3x|-42=0 Gỉai Đặt t = |3x| , t≥0 , phương trình đã cho trở thành T2+t -42=0 ∆ = 2-4.1.(-42) = 169>0 13 =>phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 1 13 1 13 T1 = 6 (nhận) T2 = 7 (loại) 1.2 1.2 Với t= 6=> |3x| = 6 => x=2 hoặc x = -2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm S= {2;-2} Bài 15 : Gỉai phương trình :x3 (x3+4) = x5+4x4 Gỉai x3 (x3+4) = x5+4x4 x6+4x3-x5-4x4 =0 x3(x3-x2-4x+4)=0 x3[x2(x-1)-4(x-1)]=0 x3(x-1)(x2-4)=0
  23. x3 =0 ,x-1=0 , x2 -4=0  x=0 ,x=1 , x= 2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm S= {0,1,2,-2} Bài 16 : Gỉai phương trình :x 4x 20x 6 2 5 0 Gỉai x 4x 20x 6 2 5 0  x 2 x 2 5. x 6 2 5 0  x x(2 2 5) 6 2 5 0 Đặt t= x (t≥0) phương trình đã cho trở thành T2+t(2-25 )+6-25 =0 (2 2 5)2 4.1.(6 2 5) 24 8 5 24 8 5 0  phương trình đã cho có nghiệm kép 2 5 2 t1 = t2 = 5 1 (nhận) 1.2 Với t=5 - 1 => x 5 1 => x = (5 -1)2 = 6-25 Bài 17 : Gỉai phương trình : (x-1)(x5+x4+x3) = x5+x(x-1-x3) Gỉai (x-1)(x5+x4+x3) = x5+x(x-1-x3) x3(x-1)(x2+x+1) –x5-x(x-1-x3)=0 x3(x3-1)-x5-x2+x+x4=0 x6-x5+x4-x3-x2+x=0 x5(x-1)+x3(x-1) –x(x-1) =0  (x-1)(x5+x3-x)=0 x(x-1)(x4+x2-1)=0  x=0 , x-1 =0 hoặc x4+x2-1=0  x=0 , x=1 hoặc x4+x2 -1=0 Ta đi giải phương trình :x4+x2-1=0 Đặt t=x2 (t≥0) phương trình đã cho tương đương với T2+t-1=0 ∆ =12-4.1.(-1)=5>0  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 1 5 1 5 t1 = ( nhận) t2 = (loại) 2 2 1 5 1 5 5 1 10 2 Với t= => x2 = => x= 2 2 2 2
  24. 10 2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm S={0;1; } 2 Bài18 : Gỉai phương trình :x2+\x|+|2x|+2=0 Gỉai Tùy theo trường hợp ta mở dấu trị tuyệt đối TH1 : nếu x 0  phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 3 17 3 17 x1 = (loại) x2 = (nhận) 2 2 Tóm lại phương trình đã cho có 1 nghiệm là S= 3 17 2 Bài 19 : Giaỉ phương trình :2(x2 1) 114 8 3 12 5 24 15 Gỉai 2(x2 1) 114 8 3 12 5 24 15  x2-1 =57 4 3 6 5 12 15 x2 = 58 4 3 6 5 12 15 58 4 3 6 5 12 15 12 (2 3)2 (3 5)2 2.2 3 2.3 5 2.2 3.3 5  x= (1 2 3 3 5)2 | (1 2 3) 3 5 | [3 5 (1 2 3)] (3 5 2 3 1)  x=3 5 2 3 1 hoặc x= 3 5 2 3 1 Bài 20 : Gỉai phương trình : x3+6x2+12x+7=0 Gỉai x3+6x2+12x+7=0 x3+6x2+12x+8 =1 x3+3.x2.2+3.x.22+23=13 (x+2)3=13  x+ 2=1  x=-1 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm S= -1 Bài 21 : Gỉai phương trình :x3 3x2. 2 6x 56 2 0
  25. Gỉai x3 3x2. 2 6x 56 2 0 x3-3x2 2 +6x -22 = 542  x3 -3.x2.2 +3.x.(2 )2 – (2 )3 = (32 )3 (x-2 )3 = (32 )3  x-2 = 32  x =4 2 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm S= 4 2