›
›
›

Bộ đề ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Thầy Hoàng

pdf 136 trang thaodu 8961
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ đề ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Thầy Hoàng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbo_de_on_thi_vao_lop_10_thpt_mon_toan_thay_hoang.pdf

Nội dung text: Bộ đề ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Thầy Hoàng

  1. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 A. ĐỀ THI ĐỀ SỐ 1: ĐỀ THI TOÁN CHUNG LAM SƠN 2017 Câu 1. ( 2 điểm ) x x 3 x 2 x 2 Cho biểu thức: A = 1 : Với x 0 ; x 4 ; x 9 x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu 2. ( 2 điểm ) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ; cho ba đường thẳng (d1) : y = -5(x + 1) ; (d2) : y = 3x – 13 ; (d3) : y = mx + 3 ( với m là tham số ). Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường (d1) và (d2) với giá trị nào của m thì đường thẳng (d3) đi qua điểm I ? x 1 2 y 2 5 b) Giải hệ phương trình 3. y 2 x 1 5 Câu 3. ( 2 điểm ) 2 a) Tìm m để phương trình (m – 1).x - 2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 x1 x2 5 và x2 khác không thỏa mãn điều kiện + = 0 x2 x1 2 b) Giải phương trình x x 2 = 9 - 5x Câu 4. ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) với tâm O có bán kính R đường kính AB cố định, M là một điểm di động trên (O) .sao cho M không trùng với các điểm A và B .Lấy C là điểm đối xứng với O qua A .Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N đường thẳng BN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E .các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F a) Chứng minh ba điểm A; E ; F thẳng hàng và tứ giác MENF nội tiếp. b) Chứng minh : AM .AN = 2R2. c) Xác định vị trí của điểm M trên đường tròn (O)để tam giá BNF có diện tích nhỏ nhất. Câu 5. ( 1 điểm ) Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: a 2 b2 c 2 b2 c 2 a 2 c 2 a 2 b2 + + > 1. 2ab 2bc 2ca Page 1 of 136
  2. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 2: ĐỀ THI TOÁN TỈNH BÌNH DƯƠNG 2017 Câu 1. (1 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 2 1) A 3 3 2 12 27 ; 2) B 3 5 6 2 5 . Câu 2. (1.5 điểm) Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y 4 x 9. 1) Vẽ đồ thị (P); 2) Viết phương trình đường thẳng ()d1 biết ()d1 song song (d) và ()d1 tiếp xúc (P). Câu 3. (2,5 điểm) 2x y 5 2017 1) Giải hệ phương trình . Tính P x y với x, y vừa tìm được. x 5 y 3 2) Cho phương trình x2 10 mx 9 m 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = 1; b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa điều kiện x1 9 x 2 0 . Câu 4. (1,5 điểm) Hai đội công nhân đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc chậm hơn đội II là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội đắp xong đê trong bao nhiêu ngày? Câu 5. (3,5 điểm) Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O; R). Kẻ MH vuông góc AB (H AB), MH cắt đường tròn tại N. Biết MA = 10cm, AB = 12cm. a) Tính MH và bán kính R của đường tròn; b) Trên tia đối tia BA lấy điểm C. MC cắt đường tròn tại D, ND cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau: NB2 NE. ND và AC BE BC AE ; c) Chứng minh NB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Page 2 of 136
  3. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 3: ĐỀ THI TOÁN TỈNH HẢI DƯƠNG 2017 Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 3x y 5 1) (2x 1)(x 2) 0 2) 3 x y Câu 2 (2,0 điểm) 2 1) Cho hai đường thẳng (d): y x m 2và (d’): y (m 2)x 3. Tìm m để (d) và (d’) song song với nhau. x x 2 x 1 x 2) Rút gọn biểu thức: P: với x 0;x 1;x 4. x x 2 x 2 x 2 x Câu 3 (2,0 điểm) 1) Tháng đầu, hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai, do cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% vả tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu, vì vậy, hai tổ đã sản xuất được 1000 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ? 2) Tìm m để phương trình: x2 5x 3m 1 0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm 3 3 x1, x2 thỏa mãn x1 x 2 3x 1 x 2 75. Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB. 1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 2) Chứng minh: MN2 = NF.NA vả MN = NH. HB2 EF 3) Chứng minh: 1. HF2 MF Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y, zlà ba số thực dương thỏa mãn: x y z 3.Tìm giá trị nhỏ x 1 y 1 z 1 nhất của biểu thức: Q . 1 y2 1 z 2 1 x 2 Page 3 of 136
  4. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 4: ĐỀ THI TOÁN TỈNH THANH HÓA 2014 Câu 1: (2,0 điểm) 1. Giải các phương trình: a. x – 2 = 0 b. x2 – 6x + 5 = 0 3x - 2y = 4 2. Giải hệ phương trình: x + 2y = 4 x -1 1 1 Câu 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức: A =2 : - với x > 0;x 1 x - x x x +1 1. Rút gọn A. 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4+ 2 3 Câu 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx -3 tham số m và Parabol (P): y = x2 . 1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0). 2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoàng độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1 - x 2 = 2 Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA; qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M), trên tia KN lấy điểm I sao cho KI = KM. Gọi H là giao điểm của AK và MN. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. 2. AK.AH = R2 3. NI = BK Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = + + x+y+1 y+z+1 z+x+1 Page 4 of 136
  5. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 5: ĐỀ THI TOÁN TỈNH THANH HÓA 2015 Câu 1 (2 điểm) : 1. Giải phương trình mx2 + x – 2 = 0 a) Khi m = 0 b) Khi m = 1 x y 5 2. Giải hệ phương trình: x y 1 4 3 6b 2 Câu 2 (2 điểm): Cho biểu thức Q = (Với b 0 và b 1) b 1 b 1 b 1 1. Rút gọn Q 2. Tính giá trị của biểu thức Q khi b = 6 + 2 5 Câu 3 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = x + n – 1 và parabol (P) : y = x2 1. Tìm n để (d) đi qua điểm B(0;2) 2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt 1 1 là x1, x2 thỏa mãn: 4 x1 x 2 3 0 x1 x 2 Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại 2 điểm E, F. Lấy điểm M bất kì trên tia đối FE, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). 1. Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn. 2. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh KM là phân giác của góc CKD. 3. Đường thẳng đi qua O và vuông góc với MO cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại R, T. Tìm vị trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ nhất. Câu 5 (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện: 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z. Page 5 of 136
  6. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 6: ĐỀ THI TOÁN TỈNH THANH HÓA 2016 Câu I: (2,0 điểm) 1. Giải các phương trình: a. x – 6 = 0 b. x2 – 5x + 4 = 0 2x - y = 3 2. Giải hệ phương trình: 3x + y = 2 Câu II: (2,0 điểm) y y-1 y y +1 2 y 2 y 1 Cho biểu thức: A = : với y > 0; y 1 y -y y + y y 1 1. Rút gọn biểu thức B. 2. Tìm các số nguyên y để biểu thức B khi có giá trị nguyên. Câu III: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = nx +1 và Parabol (P): y = 2x2 . 1. Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm B(1; 2). 2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoàng độ lần lượt M(x1; y1), N(x2; y2). Hãy tính giá trị của biểu thức S = x1 x 2 y 1 y 2 Câu IV: (3,0 điểm) Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn đường kính MQ. Hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại E. Gọi F là điểm thuộc đường thẳng MQ sao cho EF vuông góc với MQ. Đường thẳng PF cắt đường tròn đường kính MQ tại điểm thứ 2 là K. Gọi L là giao điểm của NQ và PF. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác PEFQ nội tiếp đường tròn. 2. FM là đường phân giác của góc NFK 3. NQ.LE= NE.LQ Câu V: (1,0 điểm) 1 2 3 Cho các số dương m, n, p thỏa mãn: m2+ 2n 2 3p 2 . Chứng minh rằng + m n p Page 6 of 136
  7. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 7 Bài 1: (2 Điểm) 1. Giải phương trình: x2 – 2x – 1 = 0 x y 1 2. Giải hệ phương trình: 1 2 2 x y 2 x 2 x 1 x 1 Bài 2: (2 Điểm) Cho biểu thức: M = x 2 x 1 2 1. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa. 2. Rút gọn M. 1 3. Chứng minh M 4 Bài 3: (1,5 Điểm) Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 - |m| - m = 0 (Với m là tham số) 1. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. 2 2 2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x1 + x2 = 6 Bài 4: (3,5 Điểm) Cho B và C là các điểm tương ứng thuộc các cạnh Ax, Ay của góc vuông xAy (B A, C A). Tam giác ABC có đường cao AH và phân giác BE. Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A lên BE, O là trung điểm của AB. 1. Chứng minh ADHB và CEDH là các tứ giác nội tiếp được trong đường tròn. 2. Chứng minh AH  OD và HD là phân giác của góc OHC. 3. Cho B và C di chuyển trên Ax và Ay thoả mãn AH = h (h không đổi). Tính diện tích tứ giác ADHO theo h khi diện tích của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5: (1,5 Điểm) Cho hai số dương x, y thay đổi sao cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 của biểu thức: P = 1 2 1 2 x y Page 7 of 136
  8. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 8 Bài 1: (2 Điểm) 1. Giải phương trình: x2 – 3x - 4 = 0 2(x y ) 3 y 1 2. Giải hệ phương trình: 3x 2( x y ) 7 a 2 a 2 a 1 Bài 2: (2 Điểm) Cho biểu thức: B = . a 2 a 1 a 1 a 1. Tìm điều kiện của a để biểu thức B có nghĩa. 2. Chứng minh B = 2 a 1 Bài 3: (2 Điểm) Cho phương trình: x2 – (m+1)x + 2m - 3 = 0 (Với m là tham số) 1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 của phương trình sao cho hệ thức đó không phụ thuộc m. Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác; M, N, P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A, K, H, B xuống đường thẳng d. 1. Chứng minh rằng: tứ giác AKHB nội tiếp và tứ giác HKNP là hình chữ nhật. 2. Chứng minh rằng:  HMP =  HAC,  HMP =  KQN. 3. Chứng minh rằng: MP = QN Bài 5: (1 Điểm) Cho 0 < x < 1 1 1. Chứng minh rằng: x( 1 – x ) 4 2 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4x 1 x2 (1 x ) Page 8 of 136
  9. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 9 a a 2 Bài 1: (2 Điểm) Cho biểu thức: A = a 1 a 1 a 1 1. Tìm điều kiện của a để biểu thức A có nghĩa. 2 2. Chứng minh A = a 1 3. Tìm a để A < – 1 Bài 2: (2 Điểm) 1. Giải phương trình: x2 – x – 6 = 0 2 2. Tìm a để phương trình: x – (a – 2)x – 2a = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: 2x1 + 3x2 = 0 Bài 3: (1,5 Điểm) Tìm hai số thực dương a, b sao cho điểm M có toạ độ (a; b2 + 3) và điểm N có toạ độ ( ab ; 2) cùng thuộc đồ thị của hàm số y = x2 Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Đường tròn (O) đường kính HC cắt cạnh AC tại N. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại điểm N cắt cạnh AB tại điểm M. Chứng minh rằng: 1. HN // AB và tứ giác BMNC nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Tứ giác AMHN là hình chữ nhật. 2 MN NC 3. 1 MH NA Bài 5: (1 Điểm) Cho a, b là các số thực thoả mãn điều kiện a + b 0 2 2 2 ab 1 Chứng minh rằng: a b 2 a b Page 9 of 136
  10. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 10 a a a 5 a Bài 1: (1,5 Điểm) Cho biểu thức: A = 3 3 a 1 a 5 1. Tìm các giá trị của a để biểu thức A có nghĩa. 2. Rút gọn A Bài 2: (1,5 Điểm) 6 1 Giải phương trình: 1 x2 9 x 3 Bài 3: (1,5 Điểm) 5(3x y ) 3 y 4 Giải hệ phương trình: 3 x 4(2 x y ) 2 Bài 4: (1 Điểm) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm: x2 – 2mx + m|m| + 2 = 0 Bài 5: (1 Điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2cm, AD = 3cm. Quay hình chữ nhật đó quanh AB thì được một hình trụ. Tính thể tích hình trụ đó. Bài 6: (2,5 Điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, Góc B gấp đôi góc C và AH là đường cao. Gọi M là trung điểm của cạnh AC, các đường thẳng MH, AB cắt nhau tại điểm N. Chứng minh rằng: a. Tam giác MHC cân. b. Tứ giác NBMC nội tiếp được trong một đường tròn. c. 2MH2 = AB2 + AB.BH Bài 7: (1 Điểm) Chứng minh rằng với a > 0 ta có: a5( a2 1) 11 a2 1 2 a 2 Page 10 of 136
  11. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2 Điểm) 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = a + ax + x + 1 2. Giải phương trình: x2 – 3x + 2 = 0 Bài 2: (1 Điểm) a a a a Chứng minh rằng với a 0; a 1 ta có: 1 1 1 a a 1 a 1 Bài 3: (2,5 Điểm) 1. Biết rằng phương trình x2 – 2(a+1)x + a2 + 2 = 0 (Với a là tham số) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại của phương trình này. 2 1 1 x 2 y 2 2. Giải hệ phương trình: 8 5 1 x 2 y 2 Bài 4: (3,5 Điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt cạnh AC tại điểm M (M A), đường tròn tâm O’ đường kính BH Cắt cạnh BC tại điểm N (N B). Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CMHN là hình chữ nhật. 2. Tứ giác AMNB nội tiếp được trong một đường tròn. 3. MN là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính AH và đường tròn đường kính OO’. Bài 5: (1 Điểm) Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện: a + b = 2005. Tìm giá trị lớn nhất của tích ab. Page 11 of 136
  12. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 12 Bài 1: (2 Điểm) Cho hai số x1 = 2 – 3 , x2 = 2 + 3 1. Tính x1 + x2 và x1x2 2. Lập phương trình bậc hai ẩn x nhận x1, x2 là hai nghiệm. Bài 2: (2,5 Điểm) 3x 4 y 7 1. Giải hệ phương trình: 2x y 1 a 1 1 a 1 2. Rút gọn biểu thức: A = Với a 0; a 1 a 1 a 1 a 2 Bài 3: (1 Điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m2 - m)x + m và đường thẳng (d’): y = 2x + 2. tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) Bài 4: (3,5 Điểm) Trong mặt phẳng cho đường tròn (O), AB là dây cung không đi qua tâm của đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của dây cung AB, M là một điểm trên cung lớn AB (M không trùng với A, B). Vẽ đường tròn (O’) đi qua m và tiếp xúc với đường thẳng AB tại A. Tia MI cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai N và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C. 1. Chứng minh BIC = AIN, từ đó chứng minh tứ giác ANBC là hình bình hành. 2. Chứng minh rằng BI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN 3. Xác định vị trí của điểm M trên cung lớn AB để diện tích tứ giác ANBC lớn nhất. Bài 5: (1 Điểm) Tìm nghiệm dương của phương trình: 2005 2005 1 x x2 1 1 x x 2 1 2 2006 Page 12 of 136
  13. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 13 Bài 1: (2 Điểm) Cho phương trình: x2 – 4x + q = 0 (1) với q là tham số 1. Giải phương trình (1) khi q = 3 2. Tìm q để phương trình (1) có nghiệm. 2x y 5 Bài 2: (1 Điểm) Giải hệ phương trình: x 2 y 7 Bài 3: (2,5 Điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm D(0;1). 1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D(0;1) và có hệ số góc k. 2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt G và H với mọi k. 3. Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng: x1.x2 = -1, từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông. Bài 4: (3,5 Điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K (khác với điểm B). Từ các điểm K, A và B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ điểm K cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B lần lượt tại C và D. 1. Gọi Q là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ K tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác BDQO nội tiếp được trong một đường tròn. CQ DQ 2. Chứng minh tam giác BKD đồng dạng với tam giác AKC, từ đó suy ra . CK DK 3. Đặt  BOD = . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và . Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vào . 3t 2 Bài 5: (1 Điểm) Cho các số thực t, u, v thoả mãn: u2 + uv + v2 = 1 – 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = t + u + v Page 13 of 136
  14. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 14 Bài 1: (2 Điểm) Cho phương trình: x2 + px – 4 = 0 (1) với p là tham số 1. Giải phương trình (1) khi p = 3 2. Giả sử x1, x2 là các nhiệm của phương trình (1), tìm p để: 2 2 x1(x2 + 1) + x2(x1 + 1) > 6 Bài 2: (2 Điểm) c 3 c 3 1 1 Cho biểu thức C = với c 0; c 9 c 3 c 3 3 c 1. Rút gọn C. 2. Tìm c để biểu thức C nhận giá trị nguyên. Bài 3: (2 Điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và các điểm C, D thuộc parabol (P) với xC = 2, xD = – 1. 1. Tìm toạ độ các điểm C, D và viết phương trình đường thẳng CD. 2. Tìm q để đường thẳng (d): y = (2q2 - q)x + q + 1 (với q là tham số) song song với đường thẳng CD. Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác BCD có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao CM, DN của tam giác cắt nhau tại H. 1. Chứng minh tứ giác CDMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. 2. Kéo dài BO cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh tứ giác CHDK là hình bình hành. 3. Cho cạnh CD cố định, B thay đổi trên cung lớn CD sao cho tam giác BCD luôn nhọn. Xác định vị trí điểm B để diện tích tam giác CDH lớn nhất. Bài 5: (1 Điểm) Cho u, v là các số dương thoả mãn u + v = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = u2 + v2 + 33 uv Page 14 of 136
  15. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 15 Bài 1: (1,5 Điểm) 1. cho hai số x1 = 1 + 2 , x2 = 1 - 2 Tính x1 + x2 x 2 y 1 2. Giải hệ phương trình: 2x y 3 Bài 2: (2 Điểm) c c4 c 1 1 Cho biểu thức C = : với c 0; c 4 c 2 c 2c 4 c 2 1. Rút gọn C. 2. Tính giá trị của C tại c 6 4 2 . Bài 3: (2,5 Điểm) Cho phương trình x2 – (2p – 1)x + p(p – 1) = 0 (1) (Với p là tham số) 1. Giải phương trình (1) với p = 2 2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi p. 3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) (với x1 < x2) 2 Chứng minh: x1 – 2x2 +3 0 Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác CDE có ba góc nhọn, các đường cao DK, EF của tam giác cắt nhau tại H. 1. Chứng minh tứ giác CFHK là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. 2. Chứng minh CFK và CED đồng dạng. 3. Kẻ tiếp tuyến Kz tại K của đường tròn tâm O đường kính DE cắt CH tại Q. Chứng minh Q là trung điểm của CH. Bài 5: (1 Điểm) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức a b c 2 b c a c b a Page 15 of 136
  16. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 16 x 2x - x Câu 1: Cho biểu thức: K = - với x >0 và x 1 x - 1 x - x 1) Rút gọn biểu thức K 2) Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2 3 Câu 2: 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + 1. Tìm hệ số a và b. 3x 2y 6 2) Giải hệ phương trình: x - 3y 2 Câu 3: Một đội xe nhận vận chuyển 96 tấn hàng. Nhưng khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa, nên mỗi xe chở ít hơn lúc đầu 1,6 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc. Câu 4: Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AC > AB và AC> BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE. 1) Chứng minh rằng: DE//BC 2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn. 3) Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F. 1 Chứng minh hệ thức: 1 = + 1 . CE CQ CF Câu 5: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b c 1 + + 2 a + b b + c c + a Page 16 of 136
  17. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 17 Câu 1: Cho x1 = 3 + 5 và x2 = 3 - 5 2 2 Hãy tính: A = x1 . x2; B = x1 + x 2 Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0 a) Giải phương trình với m = -2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6. Câu 3: Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (d’): y = (m2 - 2) x + 1 a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng. b) Tìm m để (d) song song với (d’) Câu 4: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC; AT là tiếp tuyến vẽ từ A. Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H và cắt đường tròn tại K (K T). Đặt OB = R. a) Chứng minh OH.OA = R2. b) Chứng minh TB là phân giác của góc ATH. c) Từ B vẽ đường thẳng song song với TC. Gọi D, E lần lượt là giao điểm của đường thẳng vừa vẽ với TK và TA. Chứng minh rằng ∆TED cân. HB AB d) Chứng minh = HC AC Câu 5: Cho x, y là hai số thực thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1 Page 17 of 136
  18. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 18 Câu 1: Rút gọn các biểu thức: 1) 45 20 5 . x x x 4 2) với x > 0. x x 2 Câu 2: Một thửa vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 72m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi của thửa vườn mới là 194m. Hãy tìm diện tích của thửa vườn đã cho lúc ban đầu. Câu 3: Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = 0 (1) 1) Giải phương trình (1) khi m = 2. 2) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức 2 2 x1 + x 2 = 5 (x1 + x2) Câu 4: Cho 2 đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA cắt (O), (O ) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O A cắt (O), (O ) lần lượt tại điểm thứ hai E, F. 1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I. 2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O ) (P (O), Q (O ) ). Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ. Câu 5: Giải phương trình: 1 + 1 = 2 x 2 x2 Page 18 of 136
  19. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 19 5 7 5 11 11 5 Câu 1: Cho các biểu thức A = ,:B 5 5 1 11 5 55 a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh: A - B = 7. 3x + my = 5 Câu 2: Cho hệ phương trình mx - y = 1 a) Giải hệ khi m = 2 b) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m. Câu 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m. Tính các cạnh góc vuông. Câu 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By. Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By lần lượt tại P và Q; AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F. a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh góc PCQ = 900. c) Chứng minh AB // EF. x4 + 2x 2 + 2 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . x2 + 1 Page 19 of 136
  20. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 20 Câu 1: Rút gọn các biểu thức : 2 2 a) A = - 5 - 2 5 + 2 1 x - 1 1 - x b) B = x - : + với x 0, x 1. x x x + x Câu 2: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = 1 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2 2 2 c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x 2 + x 1 x 2 = 24 Câu 3: Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy. Câu 4: Cho đường tròn (O,R) và một điểm S ở ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt đường tròn (O) tại M và N, với M nằm giữa S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O). a) Chứng minh: SO  AB b) Gọi H là giao điểm của SO và AB; gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn. c) Chứng minh OI.OE = R2. Câu 5: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt: x3 - 2mx2 + (m2 + 1) x - m = 0 (1). Page 20 of 136
  21. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 21 2 Câu 1. 1) Trục căn thức ở mẫu số . 5 1 x y 4 2) Giải hệ phương trình : . 2x 3 0 Câu 2. Cho hai hàm số: y x 2 và y x 2 1) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Oxy. 2) Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai đồ thị trên bằng phép tính. Câu 3. Cho phương trình 2x 2 2m 1 x m 1 0 với m là tham số. 1) Giải phương trình khi m 2 . 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2 2 4x1 2 x 1 x 2 4 x 2 1. Câu 4. Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A , B ). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. 1) Chứng minh rằng FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. 2) Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC. 3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của đường tròn (O) . 4x 9 Câu 5. Tìm nghiệm dương của phương trình : 7x 2 7x . 28 Page 21 of 136
  22. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 22 Câu 1: 1) Giải phương trình: x2 - 2x - 15 = 0 2) Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax - 1 đi qua điểm M (- 1; 1). Tìm hệ số a. a 1 a a a a Câu 2: Cho biểu thức: P = với a > 0, a 1 2 2 a a 1 a 1 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm a để P > - 2 Câu 3: Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Câu 4: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mp bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K . Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. 1) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn. 2) Chứng minh rằng AI.BK = AC.BC. 3) Tính APB . Câu 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + px + q = 0 biết p + q = 198. Page 22 of 136
  23. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 23 Câu 1. 1) Tính giá trị của A = 20 3 5 80 . 5 . 2) Giải phương trình 4x 4 7x 2 2 0 . Câu 2. 5 1) Tìm m để đường thẳng y 3x 6 và đường thẳng y x 2m 1 cắt nhau tại một điểm 2 nằm trên trục hoành. 2) Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó. Câu 3. Cho phương trình x 2 2x m 3 0 với m là tham số. 1) Giải phương trình khi m 3 . 2) Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn điều 2 kiện: x1 2x2 x1 x2 12 . Câu 4. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung DE của hai đường tròn với D (O) và E (O’) sao cho B gần tiếp tuyến đó hơn so với A. 1) Chứng minh rằng DAB BDE . 2) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh M là trung điểm của DE. 3) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng minh rằng PQ song song với AB. 4x 3 Câu 5. Tìm các giá trị x để là số nguyên âm. x 2 1 Page 23 of 136
  24. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 24 Câu 1. Rút gọn: 5 5 1) A = (1 5)  . 2 5 x x x x 2) B = 1 1 với 0 x 1. 1 x 1 x Câu 2. Cho phương trình x2 3 m x 2 m 5 0 với m là tham số. 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm x 2 . 2) Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm x 5 2 2 . Câu 3. Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80km trong thời gian đã dự định. Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 15km/h nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vận tốc dự định là 10km/h. Tính thời gian dự định của xe ô tô đó. Câu 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn và điểm D nằm trên đoạn OA. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Đường thẳng qua C, vuông góc với CD cắt cắt tiếp tuyên Ax, By lần lượt tại M và N. 1) Chứng minh các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp được đường tròn. 2) Chứng mình rằng MDN 900 . 3) Gọi P là giao điểm của AC và DM, Q là giao điểm của BC và DN. Chứng minh rằng PQ song song với AB. Câu 5. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: a b b c c a a b c 4 . c a b b c c a a b Page 24 of 136
  25. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 25 x 1 1 2 Câu 1. Cho biểu thức A = : với a > 0, a 1 x 1 x x x 1 x 1 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của A khi x 2 2 3. Câu 2. Cho phương trình x2 ax b 1 0 với a,b là tham số. 1) Giải phương trình khi a 3 và b 5 . 2) Tìm giá trị của a,b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn x1 x2 3 điều kiện: 3 3 . x1 x2 9 Câu 3. Một chiếc thuyền chạy xuôi dòng từ bến sông A đến bên sông B cách nhau 24km. Cùng lúc đó, từ A một chiếc bè trôi về B với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi về đến B thì chiếc thuyền quay lại ngay và gặp chiếc bè tại địa điểm C cách A là 8km. Tính vận tốc thực của chiếc thuyền. Câu 4. Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB. 1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn. 2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD. 3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất. 1 Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a b c . abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a b a c . Page 25 of 136
  26. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 26 1 1 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: . 2 5 2 5 3x + y = 9 2) Giải hệ phương trình: . x - 2y = - 4 1 1 x Câu 2: Cho biểu thức P = : với x > 0. x + x x 1 x + 2 x 1 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm các giá trị của x để P > 1 . 2 Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1) 1) Giải phương trình đã cho với m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1x2 2 – 1) = 9( x1 + x2 ). Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính AD, tâm O. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: 1) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được đường tròn. 2) E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH. 2) Năm điểm B, C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn. Câu 5: Giải phương trình: x + 8 x + 3 x2 11x + 24 1 5 . Page 26 of 136
  27. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 27 Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: 1 2 1) A = 20 80 45 2 3 5 5 5 5 2) B = 2 . 2 5 1 5 1 2x - y = 1 - 2y Câu 2: 1) Giải hệ phương trình: 3x + y = 3 - x 2 2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x – x – 3 = 0. 1 1 Tính giá trị biểu thức P = . x1 x 2 Câu 3. Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế-Hà Nội dài 645km. Câu 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh: 1) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn. 2) ∆ABD ~ ∆MBC 3) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI. Câu 5: Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. 1 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 y 2 xy Page 27 of 136
  28. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 28 2x + y = 7 Câu 1: 1) Giải hệ phương trình: x - 3y = - 7 2 2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x – x – 2 = 0. 2 2 Tính giá trị biểu thức P = x1 + x2 . a a a 1 Câu 2: Cho biểu thức A = : với a > 0, a 1. a 1 a + a a - 1 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm các giá trị của a để A < 0. Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1) 1) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. 2 2 2) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7. Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B). 1) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. 2) MA2 = MD.MB 3) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH. 4 1 5 Câu 5: Giải phương trình: x - x + 2x - x x x Page 28 of 136
  29. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 29 Câu 1: a) Cho đường thẳng d có phương trình: y mx 2m 4 . Tìm m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. b) Với những giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y () m2 m x 2 đi qua điểm A(-1; 2). 1 1 3 Câu 2: Cho biểu thức P = 1 với a > 0 và a 9. a 3 a 3 a a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của a để P > 1 . 2 Câu 3: Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn thời gian người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc. Câu 4: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH  BC. Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự tại D và E. a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn. c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó. 1 Câu 5: Giải phương trình: x3 + x2 - x = - . 3 Page 29 of 136
  30. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 30 Câu 1. 1) Giải phương trình: 3x 75 0. 3x 2y 1 2) Giải hệ phương trình . 2x y 4 Câu 2. Cho phương trình 2x2 m 3 x m 0 (1) với m là tham số. 1) Giải phương trình khi m 2 . 2) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x1 x2 . Câu 3. 9a 25 a 4 a3 1) Rút gọn biểu thức P = với a 0 . a2 2 a 2) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Câu 4. Cho tam giác vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AC. 1) Chứng minh tam giác ABD cân. 2) Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E (E A). Tên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF = AE. Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng. 3) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O). Câu 5. Cho các số dương a,b,c . Chứng minh bất đẳng thức: a b c 2. b c c a a b Page 30 of 136
  31. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 31 Câu 1: Tính: a) A 20 3 18 45 72 . b) B 4 7 4 7 . c) C x 2 x 1 x 2 x 1 với x > 1 Câu 2: Cho hàm số y = (2m - 1)x - m + 2 a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R. b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A (1; 2) Câu 3: Hai người thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 1 công việc. Hỏi mỗi người làm một mình 4 thì trong bao lâu làm xong công việc? Câu 4: Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O; R) bất kỳ đi qua B và C (BC 2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến (O) (M, N là tiếp điểm). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và MN; MN cắt BC tại D. Chứng minh: a) AM2 = AB.AC b) AMON; AMOI là các tứ giác nội tiếp đường tròn. c) Khi đường tròn (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp OID luôn thuộc một đường thẳng cố định. Câu 5: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: (2x +1)y = x +1. Page 31 of 136
  32. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 32 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: P = ( 7 3 2)( 7 3 2). 2) Trong mp toạ độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y () m2 1 x 1 song song với đường thẳng ():d y 3x m 1. Câu 2: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm. Câu 3: Cho a, b là các số dương thoả mãn ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (a + b + 1)(a2 + b2) + 4 . a b Câu 4: Qua điểm A cho trước nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm), lấy điểm M trên cung nhỏ BC, vẽ MH  BC; MI  AC; MK  AB. a) Chứng minh các tứ giác: BHMK, CHMI nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh MH2 = MI.MK c) Qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh chu vi APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M. x5 2y a (1) Câu 5: Chứng minh nếu a 2 thì hệ phương trình: vô nghiệm. 2 2 x y 1 (2) Page 32 of 136
  33. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 33 x 3y 10 Câu 1: a) Giải hệ phương trình: . 2x y 1 b) Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m + 2) x - 3 đồng biến trên tập xác định. 2 a 1 2 a Câu 2: Cho biểu thức A = 1 : với a > 0, a 1 a 1 a 1 a a a a 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2 2010 . Câu 3: Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = 0. a) Giải phương trình với k = - 1 . 2 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k. Câu 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B, C thứ tự là các tiếp điểm thuộc (O; R) và (O’; R’)). a) Chứng minh BAC = 900 . b) Tính BC theo R, R’. c) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và đường tròn (O) (D A), vẽ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E (O’)). Chứng minh BD = DE. 2 2 Câu 5: Cho hai phương trình: x + a1x + b1 = 0 (1) , x + a2x + b2 = 0 (2) Cho biết a1a2 > 2 (b1 + b2) . Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm. Page 33 of 136
  34. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 34 Câu 1: Rút gọn biểu thức: P = ( a 1 1) 2 ( a 1 1) 2 với a > 1 2 x 1 x 1 x 1 Câu 2: Cho biểu thức: Q = . 2 2 x x 1 x 1 1) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q. 2) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3 x - 3. Câu 3: Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) x + m + 1 = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. Câu 4: Giải phương trình: 3x 2 6x 19 x 2 2x 26 = 8 - x2 + 2x . Câu 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. M, N là các điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho MON = 900. 1) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). AB 2 2) Chứng minh AM . AN = . 4 3) Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất. Page 34 of 136
  35. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 35 x2 6x 9 Câu 1: Rút gọn A = với x 3 . x 3 Câu 2: a) Giải phương trình x2 2x 4 2 . b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(1; 2) và B(2; 0). Câu 3: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. Câu 4: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (tiếp điểm A; B) và cát tuyến cắt đường tròn tại 2 điểm C và D không đi qua O. Gọi I là trung điểm của CD. a) Chừng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh IM là phân giác của AIB . x4 y 4 1 Câu 5: Giải hệ phương trình: . 3 3 2 2 x y x y Page 35 of 136
  36. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 36 Câu 1: a) Tính (1 5)2 (1 5) 2 . b) Giải phương trình: x2 + 2x - 24 = 0. 2 a a 1 3 7 a Câu 2: Cho biểu thức: P = với a > 0, a 9. a 3 a 3 9 a a) Rút gọn. b) Tìm a để P < 1. Câu 3: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 4. b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt. Câu 4: Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua (O) cắt đường tròn (O) tại D; E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F. a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn. b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O), chứng minh DM  AC. c) Chứng minh: CE . CF + AD . AE = AC2. 2 1 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = , với 0 < x < 1 1 x x Page 36 of 136
  37. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 37 x2 x x2 x Câu 1: Cho biểu thức: M = x 1 x x 1 x x 1 Rút gọn biểu thức M với x 0. 3x 5y 18 Câu 2: a) Giải hệ phương trình: x 2y 5 b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào của a, b thì đường thẳng (d): y = ax + 2 - b và đường thẳng (d’): y = (3 - a)x + b song song với nhau. Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = - 3. 1 1 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2 2 = 1. x1 x2 Câu 4: Cho ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AK. a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình hình hành. b) Vẽ OM  BC (M BC). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và AH = 2.OM. c) Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao thuộc các cạnh BC, CA, AB của ABC. Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn nhất. x2 x 1 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = . x2 2x 2 Page 37 of 136
  38. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 38 x2 x 2x x Câu 1: Cho biểu thức: P = 1 với x > 0. x x 1 x a) Rút gọi biểu thức P. b) Tìm x để P = 0. Câu 2: a) Giải phương trình: x + 1 x2 1 6x 6y 5xy b) Giải hệ phương trình: 4 3 . 1 x y Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m + 1= 0. (1) a) Giải phương trình khi m = - 1. x1 x2 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn 4 . x2 x1 Câu 4: ABC cân tại A. Vẽ đường tròn (O; R) tiếp xúc với AB, AC tại B, C. Đường thẳng qua điểm M trên BC vuông góc với OM cắt tia AB, AC tại D, E. a) Chứng minh 4 điểm O, B, D, M cùng thuộc một đường tròn. b) MD = ME. Câu 5: Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 1 Page 38 of 136
  39. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 39 Câu 1: 1) Tính: 48 - 2 75 + 108 1 1 1 2) Rút gọn biểu thức: P= - . 1 - với x 1 và x >0 1 - x 1 + x x Câu 2: 1) Trên hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm M (3; 2) và N (4; -1). Tìm hệ số a và b. 2x + 5y = 7 2) Giải hệ phương trình: 3x - y = 2 Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1) 1). Giải phương trình (1) khi m = 2 2) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Câu 4: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C 3 không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. 1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . 2) Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC. 3) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Câu 5: Cho x và y là hai số thỏa mãn: x 0 , y 0, 2x + 3y 6 và 2x + y 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = x 2 - 2x – y. Page 39 of 136
  40. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 40 Câu 1. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y = 2. a) Tìm hệ số góc của đường thẳng d. 2 b) Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d1: y = (m -1)x + m song song với đường thẳng d. ax by 3 x 3 Câu 2. Tìm a, b biết hệ phương trình có nghiệm . bx ay 11 y 1 Câu 3. Cho phương trình: (1 3)x2 2x 1 3 0 (1) a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x1 , x 2 . Lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là 1 và 1 . x1 x 2 Câu 4. Bên trong hình vuông ABCD vẽ tam giác đều ABE . Vẽ tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm E, có bờ là đường thẳng AB sao cho Bx vuông góc với BE. Trên tia Bx lấy điểm F sao cho BF = BE. a) Tính số đo các góc của tam giác ADE. b) Chứng minh 3 điểm: D, E, F thẳng hàng. c) Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác AEB cắt AD tại M. Chứng minh ME // BF. x3 2y 2 4y 3 0 (1) Câu 5. Hai số thực x, y thoả mãn hệ điều kiện : . 2 2 2 x x y 2y 0 (2) Tính giá trị biểu thức P = x2 y 2 . Page 40 of 136
  41. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 41 2 3 5x 7 2 x 3 Câu 1) Cho biểu thức A : x 0, x 4 . x 2 2 x 1 2 x 3 x 2 5 x 10 x 1) Rút gọn biểu thức A . 2) Tính giá trị của A khi x 3 2 2 3) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên. Câu 2) Cho phương trình x2 m 1 m 2 m 2 0 , với m là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi m . b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1, x 2 . Tìm m để biểu thức 3 3 x x A 1 2 đạt giá trị lớn nhất. x2 x 1 Câu 3) Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với vận tốc dự định. nếu ca nô xuôi 13 km và ngược dòng 11 km với cùng vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. Câu 4) Từ điểm K nằm ngoài đường tròn O ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến O sao cho tia KC nằm giữa hai tia KA, KO . Gọi H là trung điểm CD . a) Chứng minh: 5 điểm AKBOH,,,, cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh: Tứ giác MODC nội tiếp. c) Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB tại I . Chứng minh CI OB . Câu 5) Cho các số thực x,, y z thỏa mãn điều kiện: x2 y 2 z 2 2. Chứng minh rằng: x y z xyz 2 . Page 41 of 136
  42. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 42 2 a b a a3 2 2 b 3 Câu 1) Cho biểu thức: P . a . 3 3 a 2 ab 2 b 2 b 2 ab a 2 2 b a) Tìm điều kiện của a và b để biểu thức P xác định. Rút gọn biểu thức P . 3 1 3 b) Biết a 1 và b . Tính giá trị của P . 2 2 4 2 2 Câu 2) Cho phương trình 2x 2 mx m 2 0, với m là tham số. Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình. a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x 2 không phụ thuộc vào m . 2x1 x 2 3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A 2 2 . x1 x 2 2 x 1 x 2 1 Câu 3) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau. x my m 1 Câu 4) Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất sao mx y 3 m 1 cho x. y đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5) Cho nửa đường tròn OR; đường kính BC . A là một điểm di động trên nửa đường tròn. Vẽ AH vuông góc với BC tại H . Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC và nửa đường tròn O lần lượt tại DEM,, . AM cắt BC tại N . a) Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và AME ACN . DE3 b) Tính theo R và chứng minh rằng DEN,, thẳng hàng. BD. CE c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABH lớn nhất. Câu 6) Cho x, y 0 và x2 y 3 x 3 y 4 . Chứng minh rằng: x3 y 3 2 . Page 42 of 136
  43. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 43 a3 b 3 a b Câu 1) Cho b a 0 . Xét biểu thức: P . a b a b b a a) Rút gọn P . b) Biết a 1 b 1 2 ab 1, hãy tính giá trị của biểu thức P . Câu 2) Cho Parabol ():P y x2 và đường thẳng (d ) : y mx 4 . a) Chứng minh đường thẳng ()d luôn cắt đồ thị ()P tại hai điểm phân biệt AB, .Gọi 2 x1 x 2 7 x1, x 2 là hoành độ của các điểm AB, . Tìm giá trị lớn nhất của Q 2 2 . x1 x 2 b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 8 . Câu 3) Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh AB, cách nhau 150km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 1,5h. Hỏi sau khi gặp nhau bao lâu thì ô tô đến B và xe 2 máy đến A biết rằng vận tốc của xe máy bằng vận tốc của ô tô. 3 Câu 4) Cho tam giác ABC vuông tại A và AB AC . Gọi H là hình chiếu của A trên BC và M là một điểm đối xứng của H qua AB . Tia MC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại điểm PPM . Tia HP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác APC tại điểm NNP . a) Chứng minh rằng HN MC . b) Gọi E là giao điểm thứ hai của AB với đường tròn ngoại tiếp tam giác APC . Chứng minh rằng EN song song với BC . c) Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác APC . Chứng minh rằng H là trung điểm BK . Câu 5) Cho các số a,, b c không âm. Chứng minh rằng a3 b 3 c 3 a 2 bcb 2 cac 2 ab . Page 43 of 136
  44. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 44 6x 4 3 x 1 3 3 x3 Câu 1) Cho biểu thức P 3 x 3 3 3x 8 3x 2 3 x 4 1 3 x . a) Rút gọn P . b) Xác định x nguyên sao cho P nguyên. x2 Câu 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P có phương trình y . Gọi d là 2 đường thẳng đi qua I 0; 2 và có hệ số góc k . a) Viết phương trình đường thẳng d . Chứng minh đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt AB, khi k thay đổi. b) Gọi HK, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của AB, trên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I . 1 1 9 x y x y 2 Câu 3) Giải hệ phương trình . 1 5 xy xy 2 Câu 4) Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài đường tròn O . Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn O ( BC, là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Qua A vẽ cát tuyến ADE của đường tròn IO ; D và E thuộc đường tròn O sao cho đường thẳng AE cắt đoạn thẳng HB tại I . Gọi M là trung điểm dây cung DE . a) Chứng minh AB2 AD. AE . b) Chứng minh năm điểm ABMOC,,,, cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp. d) Trên tia đối của tia HD lấy điểm F sao cho H là trung điểm DF . Tia AO cắt đường thẳng EF tại K . Chứng minh IK// DF . 1 a b b c c a Câu 5) Cho a, b , c ;1 . Chứng minh rằng: 2 3. 2 1 c 1 a 1 b Page 44 of 136
  45. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 45 x 3 x 2 x 2 x Câu 1) Cho P : 1 x 2 3 x x 5 x 6 x 1 a) Rút gọn P . b) Tìm x nguyên để P 0. 1 c) Tìm x để Q nhỏ nhất. P Câu 2) Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y m 5 x m với m là tham số. a) Chứng minh rằng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt. b) Gọi A x1;,; y 1 B x 2 y 2 là các giao điểm của d và P . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x1 x 2 . Câu 3) Trên quãng đường AB dài 210 m , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ A đến B và một ôt ô khởi hành từ B đi về A . Sauk hi gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A . Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô. Câu 4) Cho dường tròn O và dây cung BC không là đường kính. Gọi A là điểm chính giữa của cung lớn BC . Các tiếp tuyến tại BC, của O cắt nhau tại S . Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB và M là trung điểm của CH . Tia AM cắt đường tròn O tại điểm thứ hai N . a) Gọi D là giao điểm của SA với BC . Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp. b) Tia SN cắt đường tròn O tại điểm thứ hai E . Chứng minh rằng CE song song với SA c) Chứng minh đường thẳng CN đi qua trung điểm của đoạn thẳng SD . 3 3 2 2 x y 7 x y xy 8 xy 2 x y Câu 5) Giải hệ phương trình: y 2 x 3 6 2 x Page 45 of 136
  46. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 B. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1: ĐỀ THI TOÁN CHUNG LAM SƠN 2017 Câu Lời giải x x 3 x 2 x 2 1) A = 1 : x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 1 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 A = : x 1 x 2 x 3 1 1 1 1 x 2 A = : x 9 x 4 x 2 = : x 3 = : = x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 1 3 3 3 1 2) A = = 1- Để A nhận giá trị nguyên khi đạt giá trị nguyên x 1 x 1 x 1 . Hay -3 x 1 x 1là ước của -3 Nên x 1=1 x = 0 x = 0 thỏa mãn x 1=-1 x = -2< 0 không thỏa mãn x 1=3 x = 2 x = 4 thỏa mãn x 1=-3 x = -4< 0 không thỏa mãn vậy x = 0 hoặc x = 4 thì A nhận giá trị nguyên 1) Tọa độ giao điểm I của hai đường (d1) và (d2) là nghiệm của hệ y 5x 5 3x 13 5x 5 8x 8 x 1 y 3x 13 y 3x 13 y 3x 13 y 3 13 10 vậy tọa độ giao điểm I của hai đường (d1) và (d2) là I(1;-10) đường thẳng (d3) đi qua điểm I khi tọa độ của I là x = 1 và y = -10 thỏa mãn công thức y = mx + 3 thay vào ta có : -10 = m.1+ 3 m = -13 Vậy với m = - 13 thì đường thẳng (d3) đi qua điểm I x 1 2 y 2 5 Câu 2 2)Giải hệ phương trình đặt A = |x-1| 0;B = y 2 0 3. y 2 x 1 5 A 2B 5 A 2B 5 A 2B 5 A 1 Ta có Thỏa mãn 3.B A 5 A 3B 5 5B 10 B 2 x 1 1 x 2 | x 1| 1 | x 1| 1 x 1 1 x 0 y 2 2 y 2 4 y 2 y 2 vậy (x;y) = x;2 ; 0;2  là nghiệm của hệ 2 để phương trình (m – 1).x -2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 Câu 3 ' 0 m 2 m 1 m 2 0 m2 m2 3m 2 0 m 1 0 m 1 m 1 Page 46 of 136
  47. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 2m 2 x x 3m 2 0 m 2 1 2 m 1 3 m > theo vi ét ta có m 1 3 m 2 m 1 x1 x2 m 1 x x 5 x 2 x 2 5 x x 2 2x x 5 mà 1 2 + = 0 1 2 0 1 2 1 2 0 x2 x1 2 x1.x2 2 x1.x2 2 2 2 2m m 2 4m m 2 m 1 2. 2. m 1 m 1 5 m 1 2 m 1 2 5 0 0 m 2 2 m 2 2 m 1 m 1 4m 2 2m2 2m 4 2m2 2m 4 m 1 2 5 m 1 2 5 2m 2 2m 4 5 0 0 0 m 2 2 m 2 2 m 1 m 2 2 m 1 m 1 4m 2 4m 8 5(m 2 m 2) 0 2.(m 1)(m 2) 4m 2 4m 8 5m 2 5m 10 9m 2 m 2 0 0 ta có m 1;m 2 2.(m 1)(m 2) 2.(m 1)(m 2) 1 73 1 73 m1= hoặc m2= thỏa mãn 18 18 b) Giải phương trình x x 2 = 9- 5x 2 2 2 đặt t = x 2 0 x = t + 2 (t + 2).t = 9-5(t + 2) 3 2 3 2 t +2t + 5t +10 – 9 = 0 t + 5t +2t +1= 0 3 2 2 t + 4t + 4t+ t -2t +1= 0 2 2 3 2 2 Cách 2: x (x-2) =81-90x+25x x -2x -25x + 90x -81 = 0 3 2 3 2 2 x -27x + 90x -81 = 0 x -3.3x + 3.9.x -27 -18x + 63x -54 = 0 3 2 (x-3) -9(2x -7x+6) = 0 a) Chứng minh ba điểm A; E ; F thẳng hàng N ˆ 0 Xét BNF ta có BMA 90 ( nội tiếp chắn nữa 1 đường tròn) E BMˆN 900 NM  BF nên MN là đường cao BC  NF ( gt) Nên BC là đường cao B mà BC cắt MN tại A nên A là trực tâm FA O A 1 C Câu 4 thuộc đường cao thứ ba nên FA  BN mà BEˆA = 0 90 ( nội tiếp chắn nữa đường tròn) EA  BN M theo ơ clit thì qua A kẻ được duy nhất 1 đường 1 thẳng vuông góc với BN nên ba điểm A; E ; F F thẳng hàng Chứng minh tứ giác MENF nội tiếp ta có FEˆN = 900( FE  BN) Page 47 of 136
  48. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 FMˆN = 900( MN  BF) FEˆN = FMˆN = 900 Mà E và M nằm về nữa mặt phẳng bờ là NF vậy bốn điểm N;E ;M ; F Thuộc đường trong đường kính MN hay tứ giác MENF nội tiếp b) Chứng minh : AM .AN = 2R2 Xét BAN và MAC ta có ˆ ˆ N1 F1 ( góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tứ giác NEMF cùng chắn cung EM) (1) ˆ ˆ F1 C1 ( góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CAMF cùng chắn cung ˆ ˆ ˆ AM) (2) Từ (1) và (2) N1 C1 ( F1 ) (*) Mà BAˆN MAˆC ( đối đỉnh) ( ) từ (*) và( ) ta có BAN đồng dạng với MA AC MAC (g.g) AM.AN = AB . AC = 2R.R=2R2 AB AN 1 c) S BNF = BC.NF vì BC = 2R nên S BNF nhỏ nhất khi NF nhỏ nhất S 2 BMAlớn nhất ; vì BA cố định ; M thuộc cung tròn AB nên S BMAlớn nhất khi BAM là tam giác cân M là điểm chính giữa của Cung BA a2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 1 2ab 2 bc 2 ac 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ca( b c ) 2 abc ab ( c a ) 2 abc ba ( c b ) 2 abc 0 2 2 2 2 2 2 cab ( ) c abc ( ) a bac ( ) b 0 cabcabc( )( )( abcabca )( )( bacbacb )( )0 cabcabc( )( )( abcaabc )( )( bacbabc )( )0 (abccabc ) .( ) abca ( ) bacb ( ) 0 2 2 2 Câu 5 (a b c ) ca cb c ab ac a ba bc b 0 2 2 2 2 2 2 (abccababab ) 0 ( abcca ) 2 bab 0 2 2 2 2 2 (a b c ) c ( a 2 ba b ) 0 (a b c ) c ( a b ) 0 (a b c )( c a b )( c a b ) 0 đúng .vì a;b;c là độ dài ba cạnh của tam giác ta có : a + b > c suy ra a + b –c >0 ;tương tụ ta có c + b-a= c-a + b > 0 và c + a –b >0 nhân với với vế ba bất đẳng thức nói trên ta có ( a + b –c)( c-a+b) (c + a –b)>0 nên bất đẳng thức đầu đúng ĐPCM ĐỀ SỐ 2: ĐỀ THI TOÁN TỈNH BÌNH DƯƠNG 2017 Câu 1. 1) A 3 3 2 12 27 3 3 4 3 3 3 4 3 ; 2 2) B 3 5 6 2 5 3 5 5 1 2 Page 48 of 136
  49. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Câu 2. 1) parabol (P) qua 5 điểm y 0;0 , 1;1 , 1;1 , 2;4 , 2;4 4 2) ()d1 song song (d) ()d1 : y 4 x b (b 9) ()d1 tiếp xúc (P) khi phương trình hoàng độ giao điểm của hai đường x2 4 x b x 2 4 x b 0 có nghiệm kép 1 4 b 0 b 4 (d1 ) : y 4 x 4 -2 -1 1 2 x Câu 3. O 2x y 5 10 x 5 y 25 11 x 22 x 2 x 2 1) x 5 y 3 x 5 y 3 x 5 y 3 2 5 y 3 y 1 P 2 1 2017 1 2) x2 10 mx 9 m 0 (1) a) m 1 x2 10 x 9 0 có a + b + c = 1 10 + 9 = 0 nên có 2 nghiệm phân biệt c x 1, x 9 1 2 a b) Điều kiện (1) có 2 nghiệm phân biệt là 25m2 9 m 0 (*) Theo Viét, theo đề, ta có: x1 x 2 10 m 10 x 2 10 m x 2 m x 2 m x1 90 x 2 x 1 90 x 2 x 1 9 m x 1 9,(*) m m 1 x x 9 m x x 9 m 2 1 2 1 2 9m 9 m 0 m 0 m 1 Câu 4. Cách 1: Gọi x(ngày) là thời gian làm một mình xong việc của đội I (x > 6), y(ngày) là thời gian làm một mình xong việc của đội II (y > 6). Ta có phương trình x y = 9. 1 1 Trong 1 ngày lượng công việc làm được của đội I là , đội II là . Ta có phương trình x y 1 1 1 x y 6 x y 9 x 9 y x 9 y x 9 y x 18 Giải hệ 1 1 1 1 1 1 2 y 9 y 3 y 54 0 y 9 x y6 9 y y 6 y 6( l ) Vậy thời gian làm một mình xong việc của đội I là 18 (ngày), đội II là 9 (ngày). Cách 2: Gọi x(ngày) là thời gian làm một mình xong việc của đội I (x > 9), x 9(ngày) là thời gian làm một mình xong việc của đội II. 1 1 Trong 1 ngày lượng công việc làm được của đội I là , đội II là . Ta có phương trình x x 9 1 1 1 . x x 9 6 Page 49 of 136
  50. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 1 1 1 2 x 18 Giải phương trình: x 21 x 54 0 ( = 225) x x 9 6 x 3( l ) Vậy thời gian làm một mình xong việc của đội I là 18 (ngày), đội II là 9 (ngày). Câu 5. a) Theo t/c đường kính và dây cung H trung M điểm AB AH = 6cm AMH vuông tại H MH = AM2 AH 2 10 2 6 2 8 cm AMN vuông tại A, đường cao AH O D I AH 2 36 AH2 HM. HN HN 4,5 cm MH 8 A H E B C Bán kính MN MH HN 8 4,5 R 6,25 cm N 2 2 2 b) MDN 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), MHE 900 (MHAB) MDE MHE 1800 tứ giác MDEH nội tiếp. NBE và NDB có góc N chung, NBE NDB (cùng chắn hai cung bằng nhau là cung NA, NB t/c đường kính và dây cung) NB NE NBE đồng dạng NDB NB2 NE. ND ND NB Ta có cung NA bằng cung NB (t/c đường kính và dây cung) góc ADE bằng góc EDB DE là phân giác trong của ABD. DA EA CA Vì ED  DC Dc là phân giác ngoài ABD AC BE BC AE DB EB CB c) Kẻ EI // AM (I BM) AMB đồng dạng EIB EIB cân tại I IE = IB. Gọi (O ) là đường tròn tâm I ngoại tiếp EBD . Ta có NB  BM (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) BN  BI BN là tiếp tuyến đường tròn (O ) EBN ED B (cùng chắn cung BE) Mặt khác trên đường tròn (O), EBN EDB (cùng chắn hai cung bằng nhau NA, NB) D nằm trên đường tròn (O ) NB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE ĐỀ SỐ 3: ĐỀ THI TOÁN TỈNH HẢI DƯƠNG 2017 Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 2x 1 0 x I 2x 1 ( x 2) 0 2 x 2 0 x 2 Page 50 of 136
  51. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 3x y 5 x 1 2 1,00 3 x y y 2 1 m2 2 m 1 Điều kiện để hai đồ thị song song là II 1 m 2 3 m 1 1,00 Loại m = 1, chọn m =-1 x x 2 x 1 x A(): x x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 1 x 0,25 A(): x 1 x 2 x x 2 2 x 0,25 2 x x 2 x 1 x A(): 0,25 x 1 x 2 x x 2 2 x 0,25 2 A x 1 Gọi số chi tiết máy tháng đầu của tổ 1 là x chi tiết ( x nguyên dương, x < 900) Gọi số chi tiết máy tháng đầu của tổ 2 là y chi tiết ( ynguyên dương, y < 900) III 1 1,00 x y 900 x 400 Theo đề bài ta có hệ 1,1x 1,12 y 1000 y 500 Đáp số 400, 500 29 29 12m 0 m nên pt có hai nghiêm 12 Áp dụng vi ét x1 x 2 5 và x1 x 2 3 m 1 2 2 1 P = x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3 x 1 x 2 75 x 1 x 2 3 Kết hợp x1 x 2 5 suy ra x1 1; x 2 4 Thay vào x1 x 2 3 m 1 suy 5 ra m = 3 Page 51 of 136
  52. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 A E F M IV O 0,25 N H B a) MAO MBO 900 MAO MBO 180 0 . Mà hai góc đối nhau 0,75 nên tứ giác MAOB nội tiếp b) Chỉ ra MNF ANM() g g suy ra MN2 NF. NA Chỉ ra NFH AFH() g g suy ra NH2 NF. NA 1 Vậy MN2 NH 2 suy ra MN = NH Có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R MO là đường trung trực của AB AH  MO và HA = HB MAF và MEA có: AME chung; MAF AEF MAF MEA (g.g) MA MF MA2 MF.ME ME MA Áp dụng hệ thức lượng vào vuông MAO, có: MA2 = MH.MO ME MO 1 Do đó: ME.MF = MH.MO MH MF MFH MOE (c.g.c) MHF MEO Vì BAE là góc vuông nội tiếp (O) nên E, O, B thẳng hàng 1 FEB FAB =sđ EB MHF FAB 2 ANH NHF ANH FAB 900 HF  NA Áp dụng hệ thức lượng vào vuông NHA, có: NH2 = NF.NA NM2 NH 2 NM NH . Page 52 of 136
  53. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 HB2 EF 3) Chứng minh: 1. HF2 MF Áp dụng hệ thức lượng vào vuông NHA, có: HA2 = FA.NA và HF2 = FA.FN HB2 HA 2 FA.NA NA Mà HA = HB HF2 HF 2 FA.FN NF HB2 = AF.AN (vì HA = HB) EF FA Vì AE // MN nên (hệ quả của định lí Ta-lét) MF NF HB2 EF NA FA NF 1 HF2 MF NF NF NF 0,25 x 1 y 1 z 1 x y z 1 1 1 QMN 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x x y z Xét M , áp dụng Côsi ta có: 1 y2 1 z 2 1 x 2 2 2 xx 1 y xy xy2 xy 2 xy x x x 1 y2 1 y 2 1 y 2 2 y 2 y yz z zx Tương tự: y ; z ; Suy ra 1 z2 2 1 x 2 2 x y z xy yz zx xy yz zx M x y z 3 1 y2 1 z 2 1 x 2 2 2 V Lại có: 1,00 x2 y 2 z 2 xy yz zx x y z 2 3 xy yz zx xy yz zx 3 xy yz zx 3 3 Suy ra: M 3 3 Dấu “=” xảy ra x y z 1 2 2 2 1 1 1 Xét: N , ta có: 1 y2 1 z 2 1 x 2 1 1 1 3 N 1 2 1 2 1 2 1 y 1 z 1 x y2 z 2 x 2 y 2 z 2 x 2 x y z 3 1 y2 1 z 2 1 x 2 2 y 2 z 2 x 2 2 Page 53 of 136
  54. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 3 3 Suy ra: N 3 Dấu “=” xảy ra x y z 1 2 2 Từ đó suy ra: Q 3. Dấu “=” xảy ra x y z 1 Vậy Qmin 3 x y z 1 ĐỀ SỐ 4: ĐỀ THI TOÁN THANH HÓA 2014 Câu Nội dung Điểm 1. Giải các phương trình: a. x = 2 0.5 b. x2 – 6x + 5 = 0. Nhận thấy 1 + (-6) + 5 = 0 phương trình có dạng a+ Câu 1 x1 = 1 (2điểm) b + c = 0. Vậy ngiệm của phương trinh là: 0.75 x2 = 5 3x - 2y = 4 4x = 8 x = 2 2. Giải hệ phương trình: 0.75 x + 2y = 4 x + 2y = 4 y = 1 Câu 2 1. Với với x > 0;x 1 (2điểm) x -1 1 1 A =2 : - x - x x x +1 x -1 x +1- x A = : 1 x( x +1)( x -1) x x +1 1 x x +1 A =  x( x +1) 1 1 A = 1 x 2. Với x=4+23 (31) 2 x=(31) 2 31 , suy ra 0.5 1 3 1 A = 0.5 3 1 2 Câu 3 1. Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0) nên có 0 = m.1-3 m = 3 0.5 (2điểm) 2. Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (P): x2 - mx +3 = 0 Có 2 Δ = m -12 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoàng độ lần lượt là x1, x2 m 2 3 khi Δ = m2 -12 > 0 m 2 12 m 2 3 0.75 m 2 3 x1 + x 2 = m Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có: x x = 3 1 2 Theo bài ra ta có 2 2 2 2 x1 - x 2 = 2 x 1 - x 2 = 4 x 1 + x 2 - 4x 1 x 2 = 4 m - 4.3 = 4 m = 16 m = ±4 0.75 Page 54 of 136
  55. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 m = ±4 là giá trị cần tìm. 0 Câu 4 1. Ta có AMB = 90 (góc nội tiếp (3điểm) chắn nửa đường tròn); 1.0 MN AB 0 AMB+ BCH = 90 tứ giác 1.0 BCHK nội tiếp 2. Ta có ΔACH ΔAKB(gg) AH AC = AB AK 0.25 1 AH.AK = AC.AB = 2R. R = R 2 2 3. Ta có: ΔOAM đều (cân tại M và 0.25 O) MAB = NAB = MBN = 600 0.25 ΔMBN, ΔKMI đều Xét ΔKMB và ΔIMN có: MK = MI (cạnh tam giác đều KMI) 0.25 KMB = IMN (cùng cộng với góc BMI bằng 600) MB = MN (cạnh tam giác đều BMN) ΔKMB ΔIMN(c.g.c) NI = BK Câu 5 Với x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 ta đặt x = a3, y = b3, z = c3 (1điểm) abc = 1 0.25 Khi đó ta có: x + y +1 = a3 + b 3 + abc = a + b a 2 - ab + b 2 + abc a + b ab + abc = ab(a + b + c) 0.25 Tương tự: y+z+1 bc(a+b+c) 0.25 z+x+1 ca(a+b+c) 1 1 1 abc abc abc Q = + + + + 1 0.25 x+y+1 y+z+1 z+x+1 ab(a+b+c) bc(a+b+c) ca(a+b+ c) Vậy GTLN của Q = 1 khi a = b = c, hay x = y = z =1 Câu nàu la anh em với đề thi HSG lớp 9 huyện H.Hóa 2009 - 2010 Điểm thi vào lớp 10 t ĐỀ SỐ 5: ĐỀ THI TOÁN THANH HÓA 2015 Câu 1: 1. a. Khi m = 0 ta có x -2 = 0 => x = 2 2 b. Khi m = 1 ta được phương trình: x + x – 2 = 0 => x1 = 1; x2 = -2 2. Giải hệ phương trình: Page 55 of 136
  56. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 x y 5 x 3 x y 1 x 2 Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;2) Cấu 2. a. Rút gọn Q 4 3 6b 2 Q = = b 1 b 1 b 1 4(b 1)3 b 1 6 b 2 b 1 b 1 ( b 1)( b 1) 4b 4 3 b 3 6 b 2 (b 1)( b 1) b 1 (b 1)( b 1) 1 b 1 2. Thay b = 6 + 2 5 ( 5 1)2 (Thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức Q 1 1 đã rút gọn ta được: 5 2 ( 5 1)2 1 5 2 Vậy b = 6 + 2 5 thì Q = 5 -2 Câu 3. 1. Thay x = 0; y = 2 vào phương trình đường thẳng (d) ta được: n = 3 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 – x – (n - 1) = 0 (*) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 3 4n 3 0 n  . 4 x1 x 2 1 Khi đó theo định lý Vi ét ta có: x1 x 2 ( n 1) 1 1 x1 x 2 Theo đề bài: 4 x1 x 2 3 0 4 x1 x 2 3 0 x1 x 2 x1 x 2 4 n 2 0 n 1 n2 n 6 0( DK : n 1) T D n1 2( TM ); n 2 3( L ) Vậy n = 2 là giá trị cần tìm. d E K Câu 4. F 1. HS tự chứng minh O 2. Ta có K là trung điểm M của EF => OK  EF => MKO 900 => K thuộc đương tròn đường kính MO => 5 điểm D; M; C; C R Page 56 of 136
  57. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 K; O cùng thuộc đường tròn đường kính MO => DKM DOM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD) CKM COM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC) Lại có DOM COM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) => DKM CKM => KM là phân giác của góc CKD 3. Ta có: SMRT = 2SMOR = OC.MR = R. (MC+CR) 2R. CM. CR Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMR ta có: CM.CR = OC2 = R2 không đổi 2 => SMRT 2R Dấu = xảy ra CM = CR = R 2 . Khi đó M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính R 2 . Vậy M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính R 2 thì diện tích tam giác MRT nhỏ nhất. Câu 5 Ta có: 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 – 60 = 0 2 2 2 2 2 x = (yz) -5(4y + 3z – 60) = (15-y )(20-z ) Vì 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 => 4y2 60 và 3z2 60 => y2 15 và z2 20 => (15-y2) 0 và (20-z2) 0 => x 0 1 2 2 yz (15 y2 )(20 z 2 ) yz (15 y 20 z ) => x= 2 (Bất đẳng thức cauchy) 5 5 2yz 35 y2 z 2 35 ( y z ) 2 => x 10 10 35 (y z )2 10( y z ) 60 ( y z 5) 2 => x+y+z 6 10 10 y z 5 0 x 1 2 2 Dấu = xảy ra khi 15 y 20 z y 2 x y z 6 z 3 Vậy Giá trị lớn nhất của B là 6 đạt tại x = 1; y = 2; z = 3. ĐỀ SỐ 6: ĐỀ THI TOÁN THANH HÓA 2016 Câu Nội dung Điểm 1. Giải các phương trình: a. x = 6 0.5 b. x2 – 5x + 4 = 0. Nhận thấy 1 + (-5) + 4 = 0 phương trình có dạng a+ Câu 1 x = 1 (2điểm) 1 b + c = 0. Vậy ngiệm của phương trinh là: 0.75 x2 = 4 2x-y=3 5x 5 x=1 2. Giải hệ phương trình: 0.75 3x+y=2 3x+y=2 y=-1 Page 57 of 136
  58. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Câu 2 1. Với y > 0; y 1 Ư(2) (2điểm) y y-1 y y +1 2 y 2 y 1 A = : y -y y + y y 1 2 (y -1)(y + y +1) ( y +1)(y - y +1) 2 y 1 A = : y( y -1) y ( y 1) ( y 1)( y 1) (y +y +1) (y - y +1) 2 y 1 A = : y y( y 1) y +y +1- y + y -1 y 1 A =  y2( y 1) 2 y y 1 A =  y2( y 1) y 1 A = y 1 1 y 1 y 1 2 2 2. Với y > 0; y 1 Ta có A = 1 để A nhận giá trị y 1 y 1 y 1 2 nguyên thì nguyên hay y 1 2 y 1 y 1U (2) y 11,2  y 0,1 y  0,1 (không 1 thỏa mãn ĐKXĐ). Vậy không có giá trị nguyên nào của y để biểu thức B nhận giá trị nguyên Câu 3 1. Đường thẳng (d) đi qua điểm B(1; 2) nên có 2 = n.1+1 n = 1 là giá trị 0.5 (2điểm) cần tìm 2. Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (P): 2x2 - nx -1= 0 Có Δ = n2 8 0 với mọi n nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi n Vậy (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoàng độ lần lượt 0.75 2 2 M(x1; y1), N(x2; y2) khi đó y = 2x ; y = 2x 1 1 2 2 1 Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có: x1 x 2 = 2 Theo bài ra ta có 1 1 1 1 S =xx yy xx 2 x2 .2 x 2 xx 4( xx ) 2 4. 1 0.75 12 12 12 1 1 12 12 2 4 2 2 1 S là giá trị cần tìm. 2 0 Câu 4 1. Ta có MPQ = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); EF MQ (3điểm) 1.0 EPQ + EFQ = 900 90 0 180 0 tứ giác PEFQ nội tiếp đường tròn đường kính PQ 2. Tương tự ENM + EFM = 900 90 0 180 0 tứ giác MNEF nội tiếp PFQ PEQ (hai góc nộ tiếp cùng chắn Page 58 of 136
  59. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 cung PQ trong đường tròn đường kính EQ) NFM NEM (hai góc nội tiếp P cùng chắn N cung MN trong đường tròn đường E kính ME) L NEM PEQ (hai góc đối đỉnh) 1.0 PFQ MFK (hai góc đối đỉnh) M Q F NFM KFM hay PM là phân giác của góc NFM 3. Ta có: K NPM NQM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN trong đường tròn đường kính MQ) 1.0 EPF EQF (hai góc nộ tiếp cùng chắn cung EF trong đường tròn đường kính EQ) NPE EPL PE là phân giác trong của ΔNPL . Lại có PE PQ PE là ΕΝ QN phân giác ngoài của ΔNPL = ΕΝ.QL QN. ΕL (đpcm) ΕL QL Câu 5 Với a, b, c là các số dương ta có: (1điểm) 1 2 9 0.25 (+) + (1) (m + 2n)(n + 2m) 9 mn m n m + 2n 2m2 - 4mn + 2n 2 0 2(m- n) 2 0 (đúng). Dấu bằng xảy ra khi m = n 2 2 2 2 2 (+) m + 2n 3(m 2 n )(2) ( m 2 n ) 3( m 2 n ) 2m-4mn+2m2 2 0 2( m-n ) 2 0 (đúng). Dấu bằng xảy ra khi m = n 0.25 1 2 9 9 3 (+) Từ (1) và (2) suy ra + (do 0.25 m n m+2n3(m2 + 2n 2 ) p m2+ 2 n 2 3 p 2 ). 0.25 1 2 3 Suy ra + . Dấu bằng xảy ra khi m = n = p m n p ĐỀ SỐ 7 Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Bài 1: 1. Giải phương trình: x2 – 2x - 1 = 0 Ta có: ' = (-1)2 – (-1) = 2 > 0, ' 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: b'' 1 2 b'' 1 2 x 1 2 , x 1 2 1 a 1 2 a 1 Page 59 of 136
  60. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 1 2, x 2 1 2 x y 1(1) 2. Giải hệ phương trình: 1 2 2(2) x y Từ phương trình (1) ta có: x = -1 – y. Thay vào phương trình (2) ta được: 1 2 1 2 2y2 5 y 2 0 Giải ra ta được y 2, y 1 y y 1 2 2 Với y = -2 thay vào phương trình (1) ta được x = 1. Với y = 1 thay vào phương trình (1) ta được x = 1. 2 2 1 x x 1 2 , Vậy hệ phương rình đã cho có 2 nghiệm: y 2 1 y 2 2 x 2 x 1 x 1 Bài 2: (2 Điểm) Cho biểu thức: M = x 2 x 1 2 x 0 x 0 1. Để biểu thức M có nghĩa thì: x 1 0 x 1 2 x 2 x 1 x 1 2. M = x 2 x 1 2 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 = x 1 x 1 2 2 2 x x 2 x x 2 x 1 2 x x 1 = x 12 x 1 2 = x x 2 2 1 1 2 1 1 3. Ta có: M - = x x x x x 0 4 4 2 2 1 1 M dấu bằng xẩy ra khi x = 4 4 Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 - |m| - m = 0 (Với m là tham số) Page 60 of 136
  61. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 1. Ta có: ' m 2 m 2 m m m m 0 (Vì m m với  m) Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. x1 x 2 2 m 2. x1, x2 là hai nghiệm của phương trình nên: 2 (1) x1 x 2 m m m 2 2 2 x1 + x2 = 6 x1 x 2 2 x 1 x 2 6 (2) Thay (1) vào (2) ta được: 2m 2 2 m2 m m 6 2 m 2 2 m 2 m 6 (*) Nếu m 0 Phương trình (*) trở thành: 2m2 4 m 6 0 m 2 2 m 3 0 Giải ra ta được: m1 = 1 ; m2 = -3 (không thoả mãn) Nếu m < 0 Phương trình (*) trở thành: 2m2 = 6 m 3 (loại) hoặc m 3 2 2 Vậy để x1 + x2 = 6 thì m = 1 hoặc m 3 Bài 4: x 1. Ta có:  ADB =  AHB = 900 A, D, H, B cùng thuộc đường tròn đường tâm B O đường kính AB. Hay tứ giác ADHB là tứ giác H nội tiếp được trong đường tròn. O BC Trong đường tròn (O, ) ta có:  HDB =  D 2 HAB (Cùng chắn cung BH) (1) A E C y Mặt khác  HAB =  HCA (Cùng phụ với  ABC) (2) Từ (1) và (2) suy ra:  HDB =  HCE  HCE +  HDE =  HDB +  HDE = 1080 CEDH là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn BC 2. Vì  ABD =  DBF nên trong đường tròn (O, ) ta có:  AD =  DH hay D là 2 điểm chính giữa cung AH OD  AH Vì OD // BC (Cùng vuông góc với AH)  ODH =  DHC (so le trong) (3) Mặt khác: OHD cân tại O nên  ODH =  OHD (4) Từ (3) và (4) suy ra:  OHD =  DHC HD là phân giác góc OHC Page 61 of 136
  62. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 1 1 1 2 2 2 3. SABC = AH.BC = AH.(BH + HC) AH2 BH . HC AH . AH AH h 2 2 2 2 Giá trị nhỏ nhất của SABC = h khi BH = HC = AH = h Khi đó: AB AH2 HB 2 h 2 h 2 2 h 1 2 ADB vuông tại D, có O là trung điểm của AB OD = AB = h 2 2 2 2 2 Mà OD  AH SADHO = OD.AH = h.h = h 2 2 2 1 1 1 1 1 x y 2 xy 1 Bài 5: P = 1 2 1 2 = 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 x y x y x y x y x y 1 2xy 1 2 2 P = 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 8 9 x y x y x y xy x y 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 9 khi x y 2 ĐỀ SỐ 8 Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Bài 1: 1. Giải phương trình: x2 – 3x – 4= 0 Ta có: a – b + c = 1 –(-3) + (-4) = 0 c ( 4) Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1, x2 = 4 a 1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = -1, x2 = 4 2. Giải hệ phương trình: 2(x y ) 3 y 1 2x y 1 4 x 2 y 2 x 1 x 1 3x 2( x y ) 7 5x 2 y 7 5 x 2 y 7 2 x y 1 y 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x = 1, y = -1 Bài 2: a 2 a 2 a 1 a 2 a 2 a 1 B = . = . (1) 2 a 2 a 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a Page 62 of 136
  63. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 a 0 a 0 1. Để biểu thức B có nghĩa thì: a 1 0 a 1 a 0 a 2 a 1 a 1 a 2 a 1 a a 2 a a 2 a 1 2. (1) B = 2 2 a 1 a 1 a a 1 a 1 a 2a 1 2 B = . a 1 a 1 a a 1 Bài 3: Cho phương trình: x2 – (m+1)x + 2m - 3 = 0 (Với m là tham số) 2 2 2 1. Ta có: m1 423 m m 21812 m m m 694 m m 3 2 4 0 Với m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. x1 x 2 m 1 2. Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ta có: x1 x 2 2 m 3 Từ x1 + x2 = m + 1 m x1 x 2 1 (1) 1 Từ x1.x2 = 2m – 3 m x x 3 (2) 2 1 2 1 Từ (1) và (2) ta có: x x 1 x x 3 2 x 2 x x x 5 1 22 1 2 1 2 1 2 Vậy 2x1 2 x 2 x 1 x 2 5 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m. Bài 4: M N C P Q d K H A O B Page 63 of 136
  64. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 1. Ta có:  AKB =  AHB = 900 A, B, H, K cùng thuộc đường tròn đường kính AB hay tứ giác AKHB nội tiếp. Trong đườn tròn (O) ta có:  ABC =  ACN (1) (Góc nội tiếp và góc tạo bới tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung) Ta lại có:  ABC =  HKC (2) (Cùng bù với góc AKH ) Từ (1) và (2) suy ra:  ACN = HKC KH // NP (3) Mà: KN // HP (Cùng vuông góc với d) (4) Mặt khác:  KNP = 900 (5) Từ (3), (4), và (5) ta có: tứ giác HKNP là hình chữ nhật (Hình bình hành có một góc vuông) 2. Ta có:  AMC = 900 (AM  d),  AHC = 900 (AH  BC)  AMC +  AHC = 1800 Tứ giác AHCM nội tiếp  HMP =  HAC (Cùng chắn cung CH) (6) Chứng minh tương tự ta được BKCQ là tứ giác nội tiếp  KQN =  KBC (Cùng chắn cung BC) Mà  KBC =  HAC (cùng chắn cung KH trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHK) Nên  KQN =  HAC (7) Từ (6) và (7) suy ra:  KQN =  HMP 3. Xét MPH và QNK có:  MPH =  KNQ = 900  HMP =  KQN (Chứng minh trên) PH = KN (Vì tứ giác HKNP là hình chữ nhật) Do đó: MPH = QNK (Cạnh góc vuông – góc nhọn) MP = QN Bài 5: (1 Điểm) 1 1. Chứng minh rằng: x( 1 – x ) Với 0 < x < 1 4 2 1 2 1 1 1 Ta có: x(1 x ) x x x 0 x (1 x ) 4 4 2 4 2 1 1 1 x(1 x ) Khi x 0 x 4 2 2 Page 64 of 136
  65. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 A = 4x 1 Với 0 a a 2 Bµi 1: Cho biÓu thøc: A = a 1 a 1 a 1 1. Để biểu thức A có nghĩa thì: a 0 và a 1. 2. Với a 0 và a 1 thì: a a 2 a a 1 a a 1 2 A = = a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a a a 22 a 1 2 = a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 2 Vậy A = a 1 a 0 a 0 a 0 3. Để A < -1 thì a 1 a 1 a 1 0 a 1 2 a 1 1 a 1 1 0 a 1 a 1 Vậy: với 0 a 1 thì A < -1 Bài 2: (2 Điểm) 1. Giải phương trình: x2 – x - 6 = 0 Page 65 of 136
  66. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Ta có: = (-1)2 – 4.(-6) = 25 > 0, 25 5 1 5 1 5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 3, x 2 12 2 2 Vậy phương rình đã cho có hai nghiệm x1 = 3, x2 = -2 2. Phương trình: x2 – (a - 2)x – 2a = 0 x2 ax 2 x 2 a 0 x a x 2 0 Phương trình có hai nghiệm x = a, x = -2 Nếu: x1 = a, x2 = -2 thì: 2x1 + 3x2 = 0 2a + 3.(-2) = 0 a = 3 Nếu: x1 = -2, x2 = a thì: 4 2x1 + 3x2 = 0 2(-2) + 3.a = 0 a = 3 4 Vậy a = 3 hoặc a = thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn 2x1 + 3x2 = 0 3 Bài 3: Vì M(a; b2 + 3) thuộc đồ thị hàm số y = x2 nên ta có: b2 + 3 = a2 (1) 2 Vì N( ab ; 2) thuộc đồ thị hàm số y = x2 nên ta có: 2 = ab a (2) b Thay (2) vào (1) ta được: 2 2 2 4 2 2 b 3 b 3 b 4 0 b 1 b 1 (vì b là số thực dương) b Thay b 1 vào (2) ta được a = 2 Vậy với a = 2, b 1 thì điểm M có toạ độ (a; b2 + 3) và điểm N có toạ độ ( ab ; 2) cùng thuộc đồ thị của hàm số y = x2 Bài 4: B H 1. Ta có:  HNC = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đưởng M tròn) O HN// AB (Cùng vuông góc với AC) (*)  AMN =  MNH (So le trong) (1) A N C Page 66 of 136
  67. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Mà:  BCN =  MNH (2) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn (O)) Từ (1) và (2) suy ra:  BCN =  AMN Do đó:  BCN +  BMN =  AMN +  BMN = 1800 Tứ giác BMNC nội tiếp được trong một đường tròn. 2. AH  BO (gt) AH là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H.  AHN =  HMN (Hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn (O)) Xét MAN và HNA có:  MAN =  HNA = 900  AHN =  HMN (Chứng minh trên) AN chung Do đó: MAN = HNA MA = HN ( ) Từ (*) và ( ) suy ra: Tứ giác AMHN là hình bình hành. Mà  MAN = 900 Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (Hình bình hành có một góc vuông) 2 MN AH 2 3. Ta có: 2 (3) (Vì tứ giác AMHN là hình chữ nhật) MH AN NC NA NC AC AN. AC AH 2 Mặt khác: 1 (4) (Vì AHC vuông tại H có HN là NA NA AN AN2 AN 2 đường cao) 2 MN NC Từ (3) và (4) suy ra: 1 MH NA Bài 5: Ta có: 2 2 2 2 ab 1 2 ab 1 ab 1 a b a b 2 ab 2 a b 2 ab 2( ab 1) 2 ab 2 a b a b a b 2 2 2 ab 1 ab 1 2 2 a b 2 Dấu “=” xẩy ra khi: a b a ab b 1 0 a b a b 2 2 2 ab 1 Vậy a b 2 với a b 0 a b Page 67 of 136
  68. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 ĐỀ SỐ 10 Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 a a a 5 a Bµi 1: BiÓu thøc: A = 3 3 a 1 a 5 a 0 a 0 a 0 1. Để biểu thức A có nghĩa thì: a 5 0 a 5 a 25 a a a 5 a 3a 3 a a 3 a 15 a 5 a 2. A = 3 3 = a 1 a 5 a 1 a 5 a 4 a 3 8 a 15 a a 3 a 1 a 5 3 a a 1 a 5 a 1 a 5 a 3 3 a 9 a Vậy A = 9 – a Với a 0 và a 25 6 1 Bài 2: Giải phương trình: 1 (1) x2 9 x 3 x2 9 0 x 3 Điều kiện xác định của phương trình: x 3 x 3 0 (*) x 3 0 x 3 (1) 6 x2 9 x 3 x2 x 12 0 x 4 x 3 0 x = - 4 (thoả mãn điều kiện (*)) hoặc x = 3 (Không thoả mãn điều kiện (*)) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - 4 Bài 3: Giải hệ phương trình: 5(3x y ) 3 y 4 15 x 5 y 3 y 4 15 x 2 y 4 30 x 4 y 8 3 x 4(2 x y ) 2 3 x 8 x 4 y 2 9 x 4 y 1 9 x 4 y 1 1 1 1 x x 21x 7 x 3 3 3 9x 4 y 1 1 1 9x 4 y 1 9. 4y 1 y 3 2 1 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x , y 3 2 Bài 4: Phương trình: x2 – 2mx + m|m| + 2 = 0 có: ' m 2 m m 2 m 2 m m 2 Để phương trình đã cho vô nghiệm thì: ' 0 m 2 m m 2 0 (1) Nếu m 0 Bất phương trình (1) trở thành: Page 68 of 136
  69. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 m2 m 2 2 0 2 0 luôn đúng. (*) Nếu m -1 thì phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 5: Gọi V, R, h lần lượt là thể tích, bán kính đáy, chiều cao của hình trụ Theo bài ra ta có: R = 3 cm, h = 2cm V =  .R2.h =  .32.2 = 18 cm3 Bài 6: a. Ta có: AHC vuông tại H và M là trung điểm của AC B HM = MC hay MHC cân tại M N b. MHC cân tại M H  MHC =  MCH (1)  HMC = 1800 - 2  MCH = 1800 - 2  ACB = 1800 -  ABC C A M =  CBN hay  NMC =  NBC Tứ giác NBMC nội tiếp được trong một đường tròn c. Tứ giác NBMC nội tiếp  BNM =  BCM (2) (cùng chắn cung MB)  BHN =  BNH (đối đỉnh) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra:  BNH =  BHN BNH cân tại B BN = BH Mà AM = MC = MH Nên ta cần chứng minh: 2MH2 = AB2 + AB.BH 2MH.MH = AB (AB + BH) AC.AM = AB.AN Thật vậy: Xét ACN và ABM có: Â chung  ACN =  ABM (Cùng bù với  MBN ) AC AM Do đó: ACN  ABM AC.AM = AB.AN AB AN Page 69 of 136
  70. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Vậy: 2MH2 = AB2 + AB.BH Bài 7: Với a > 0 Ta có: a5( a2 1) a a 2 1 9( a 2 1) a2 1 2 a a 2 1 4 a 4 a a a2 1 9 1 a a 2 1 9 1 9 11 2 a 2 2 .2 a . 2 a 1 4 a 4 a a 1 4 a 4 a 2 2 a a2 1 2 a 1 4 a 1 Dấu “=” xẩy ra khi: a a 1 a a 0 a5( a2 1) 11 Vậy: Với a > 0 a2 1 2 a 2 ĐỀ SỐ 11 Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Bài 1: 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = a + ax + x + 1 = (a + ax) + (x + 1) = a(1 + x) + (x + 1) =(x+1)(a+1) 2. Giải phương trình: x2 – 3x + 2 = 0 Ta có: a + b + c = 1 +(-3) + 2 = 0 c Nên phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 = = 2 a Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 5 Bài 2: Chứng minh rằng với a 0; a 1 ta có: a a a a a a 1 a a 1 1 1 1 1 1 a a 1 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 Bài 3: 1. Vì phương trình x2 – 2(a+1)x + a2 + 2 = 0 (Với a là tham số) có một nghiệm x = 1, gọi nghiệm còn lại là x2 ta có: Page 70 of 136
  71. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 2 2 1 2(a 1) a 2 0 a 1 0 a 1 a 1 x a2 2 2 x 12 2 x 3 2 x2 a 2 2 2 Vậy: phương trình x2 – 2(a+1)x + a2 + 2 = 0 (Với a là tham số) có một nghiệm x = 1, nghiệm còn lại là x = 3 2 1 1 x 2 y 2 2. Giải hệ phương trình: 8 5 1 x 2 y 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 8 5 2 1 8 2 5 1 1 1 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 x 2 y 2 y 2 x 2 y 2 2 1 1 x 2 3 x 2 x 2 x 1 x 1 1 1 1 1 y 2 3 y 1 x 2 y 2 x 2 y 2 x 1 Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm y 1 Bài 4: 0 1. Ta có:  HNB = 90 (góc nội tiếp chắn C nửa đường tròn (O’)) M 0 I  HNC = 90 (1) N Ta có:  AMH = 900 (góc nội tiếp chắn A K H O' B nửa đường tròn (O)) O  HMC = 900 (2) ABC vuông tại C  MCN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) Tứ giác CMHN là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) 2. Vì tứ giác CMHN là hình chữ nhật  CMN =  CHN (4)  HBN =  CHN (5) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và đay cung củng chắn cung HN trong đườn tròn (O’)) Từ (4) và (5)  CMN =  HBN hay  CMN =  ABN  AMN +  ABN =  AMN =  NMC = 1800 Page 71 of 136
  72. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Tứ giác AMNB nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Gọi I là giao điểm của MN và HC IM = IH = IN Xét OMI và OHI có: IM = IH OM = OH OI chung Do đó: OMI = OHI  OMI =  OHI = 900 hay OM  MN MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH (*) Chứng minh tương tự ta có:  O’NI =  O’HI = 900 hay O’N  MN tứ giác OMNO’ là hình thang (OM // O’N) Gọi K là tâm đường tròn đường kính OO’ KO = KO’ Trong hình thang OMNO’ ta có KI là đường trung bình nên : KI // OM KI  MN (6) Và KI = 1 (OM + O’N) = 1 (OH + HO’) = 1 OO’ 2 2 2 I thuộc đường tròn đường kính OO’ (7) Từ (6) và (7) ta có: MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ Từ (*) và ( ) suy ra: MN là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính AH và đường tròn đường kính OO’ Bài 5: Từ a + b = 2005 a = 2005 - b Khi đó: ab = (2005 - b). b 2 2 2 2 2 2005 2005 2 2005 2005 2005 = 2005b b b 2 2 2 2 2 2 2005 2005 a b 0 2 Dấu “=” xẩy ra khi 2 2005 a 2005 b b 2 2 2005 2005 Vậy giá trị lớn nhất của ab bằng khi a b 2 2 ĐỀ SỐ 12 Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Bài 1: Cho hai số x1 = 2 - 3 , x2 = 2 + 3 1. Ta có: x1 x 2 (2 3) (2 3) 4 (1) Page 72 of 136
  73. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 2 x1 x 2 (2 3)(2 3) 4 (3) 1 (2) 2. Từ (1) suy ra: x1 4 x 2 thay vào (2) ta được: 2 x1 x 2 1 4 x 2 x 2 1 x 2 4 x 2 1 0 2 Vậy x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình x 4 x 1 0 Bài 2: 1. Giải hệ phương trình: 3x 4 y 7 3 x 4 y 7 11 x 11 x 1 x 1 2x y 1 8 x 4 y 4 2 x y 1 2.1 y 1 y 1 x 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm y 1 2. Rút gọn biểu thức: Với a 0; a 1 ta có: a 1 a 1 a 1 1 a 1 1 a 1 A = = a 1 a 1 a 2 a 1 a 1 a 2 2 a 1 1a 1 a a 2 a 1 = a a 1 a 2 a 1 a 2 Vậy A = a Với a 0; a 1 Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đường thẳng (d): y = (m2 - m)x + m song song với đường thẳng (d’): y = 2x + 2 m2 m 2 m 2 m 2 0 (m 1) m 2 0 m 1 m 2 m 2 m 2 Vậy với m = -1. thì đường thẳng (d) song song với C A đường thẳng (d’) B Bài 4: I H 1. Ta có:  NAI =  NMA (1) (góc nội tiếp và góc N tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung O' O AN trong đường tròn (O’))  ABC =  AMC (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC trong đường tròn (O)) M Page 73 of 136
  74. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Suy ra:  NMA = ICB (2) Từ (1) và (2) ta có:  NAI =  IBC Xét AIN và BIC có:  NAI =  IBC (c/m trên) AI = IB (vì I là trung điểm của AB)  AIN =  BIC (đối đỉnh) Do đó: AIN = BIC IC = IN tứ giác ANBC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Tứ giác ANBC là hình bình hành. 2. ANBC là hình bình hành  IBN =  IAC hay  IBN =  BAC (3) Mặt khác:  BMC =  BAC (4) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC trong đường tròn (O)) Từ (3) và (4) suy ra:  IBN =  BMI BI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. 3. Gọi AH là đường cao của tam giác ABC , C’ là điểm chính giữa cung nhỏ BC CH C’I 1 SANBC = 2SACB = 2. CH.AB = CH.AB 2 Để SANBC lớn nhất thì SACB lớn nhất CH lớn nhất CH = C’I C trùng với C’ hay C là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Mà M, I, C thẳng hàng M, O, C thẳng hàng M là điểm chính giữa cung lớn BC. 2005 2005 Bài 5: 1 x x2 1 1 x x 2 1 2 2006 Điều kiện xác định của phương trình x 1 hoặc x 1 Gọi a là nghiệm dương của phương trình khi đó a 1 Ta có: 1 a a2 1 0,1 a a 2 1 0 2005 2005 2005 2 2 2 2 1a a 1 1 a a 1 2 1 a a 1 1 a a 1 2005 2005 2005 1 a a2 1 1 a a 2 1 2 2 a 2 2005 2005 2005 1 a a2 1 1 a a 2 1 2 2.1 2 Vì a 1 Page 74 of 136
  75. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 2005 2005 1 a a2 1 1 a a 2 1 2.2 2005 2 2006 2005 2005 1 a a2 1 1 a a 2 1 1 a a2 1 1 a a 2 1 2 2006 a 1 a 1 ĐỀ SỐ 13 Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Bài 1: Phương trình: x2 – 4x + q = 0 (1) với q là tham số 1. Khi q = 3 Phương trình (1) trở thành x2 – 4x + 3 = 0 Ta có: a + b + c = 1 + (- 4) + 3 = 0 c Nên phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 = = 3 a 2. Để phương trình (1) có nghiệm thì: ' ( 2)2 q 0 4 q 0 q 4 Vậy với q 4 thì phương trình (1) có nghiệm. Bài 2: Giải hệ phương trình: 2x y 5 2 x 2 y 10 x 3 x 3 x 2 y 7 x 2 y 7 3 2 y 7 y 2 x 3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm y 2 Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm D(0;1). 1. Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D(0;1) và có hệ số góc k là: y = k(x - 0) + 1 y = kx + 1. 2. Hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của phương trình: x2 = kx + 1 x2 - kx - 1 = 0 (2) Ta có: = k2 –4.(- 1) = k2 + 4 > 0 với mọi k Nên phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k. Hay đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt G và H với mọi k. Page 75 of 136
  76. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 3. Hoành độ của hai điểm G và H lần lượt là x1 và x2. Khi đó x1 và x2 là hai nghiệm của c 1 phương trình (2)., áp dụng định lý vi – ét ta có: x1.x2 = = -1 Đường thẳng d1 đi qua a 1 2 O(0;0) và điểm G(x1 ; x1 ) có phương trình là: y = x1.x 2 Đường thẳng d2 đi qua O(0;0) và điểm H(x2 ; x2 ) có phương trình là: y = x2.x Vì x1.x2 = -1 nên d1  d2 hạy OG  OH suy ra: Tam giác GOH là tam giác vuông tại O Bài 4: 1. Ta có: C  OQD +  OBD = 900 + 900=1800 Tứ giác BDQO nội tiếp được trong một Q đường tròn. D 2. Xét BKD và AKC có:  KBD =  KAC = 900 K A O B  BKD =  AKC Do đó: BKD  AKC CA BD (1) CK DK Mà CA = CQ, DQ = DB (2) (hai tiếp tuyến cùng xuất phát tại một điểm) CQ DQ Từ (1) và (2) suy ra: hoctoancapba.com CK DK 3. Trong tam giác ODB vuông tại B ta có: BD = OB tg  BOD = R.tg Ta có:  BOQ = 2  BOD = 2 (Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  OKQ = 900 -  KOQ = 900 - 2 OQ R Trong tam giác vuông OQK vuông tại Q ta có: OK = = cosKOQ cos 2 R KA = OK + OA = + R cos 2 Trong tam giác KAC vuông tại A ta có: R AC = AK.tg  AKC = ( + R). tg(900 - 2 ) cos 2 1 1 Ta có:  DOQ =  BOQ,  COQ =  AOQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 2 2 Page 76 of 136
  77. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 1 1 Do đó:  COD =  DOQ +  COQ = (  BOQ +  AOQ) = .1800 = 900 2 2 COD vuông tại O Mà OQ  KC nên OQ2 = CQ.QD = AC.BD (vì CA = CQ, DQ = DB ) AC.BD = R2 Vậy: tích AC.BD chỉ phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vào . Bài 5: (1 Điểm) Ta có: D2 = (t + u + v)2 = u2 + v2 + t2 + 2uv + 2ut + 2vt (1) 3t 2 Mặt khác: Theo giả thiết u2 + uv + v2 = 1- 2uv = 2 - 2u2 - 2v2 -3t2 (2) 2 Thay (2) vào (1) ta được: D2 = 2 - u2 - v2 -2t2 + 2ut + 2vt = 2 – (u - t)2 – (v - t)2 2 2 2 t t 2 23 2 2 2 u v uv 1 t t 3 3 2 9 2 2 2 D = 2 khi u t u t u hoặc u 3 3 v t v t 2 2 v v 3 3 - 2 D 2 2 2 t t 3 3 2 2 Vậy: giá trị nhỏ nhất của D là - 2 khi u , giá trị lớn nhất là 2 khi u 3 3 2 2 v v 3 3 ĐỀ SỐ 14 Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Bài 1: (2 Điểm) Cho phương trình: x2 + px - 4 = 0 (1) với p là tham số 1. 1. Khi p = 3 Phương trình (1) trở thành x2 + 3x - 4 = 0 Ta có: a + b + c = 1 + (-6) + 5 = 0 c Nên phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 = = - 4 a 2. Ta có: p2 4.( 4) p 2 16 0 Page 77 of 136
  78. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 x1 x 2 p Nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1 x 2 4 Mặt khác: 2 2 x1(x2 + 1) + x2(x1 + 1) = xxxxxxxx12212112 4 xx 21 ( 4 x 1 ) x 2 3(x1 x 2 ) ( 3).( p ) 3 p 2 2 Để: x1(x2 + 1) + x2(x1 + 1) > 6 thì: 3p > 6 p > 2 Vậy với p > 2 thì phương trình (1) luôn có nghiệm x1, x2 thoả mãn 2 2 x1(x2 + 1) + x2(x1 + 1) > 6 Bài 2: Với c 0; c 9 ta có: 2 2 c 3 c 3 1 1 c 3 c 3 c 3 C = = c 3 c 3 3 c c 3 c 3 3. c c 3 c 3 c 3 c 3 12c 4 c 3 .3. c c 3 .3. c c 3 4 Vậy C = với c 0; c 9 c 3 4 4 2. Ta có: c 3 3 0 c 3 3 4 Do đó: giá trị nguyên của C = 1 Khi đó: 1 c 3 4 c 1 c 3 Vậy với c = 1 thì C nhận giá trị nguyên bằng 1 Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và các điểm C, D thuộc parabol (P) với xC = 2, xD = -1. 2 2 1. Tung độ của điểm C là: yC = xC = 2 = 4 điểm C có toạ độ là (2; 4) 2 2 Tung độ của điểm D là: yD = xD = (-1) = 1 điểm D có toạ độ là (-1; 1) x = k không phải là phương trình của đườn thẳng CD Gọi y = ax + b là phương trình đường thẳng CD. Vì điểm C(2; 4) thuộc đường thẳng CD nên ta có: 4 = 2a + b b = 4 – 2a (1) Vì điểm D(-1; 1) thuộc đường thẳng CD nên ta có: 1 = (-1)a + b (2) Thay (1) vào (2) ta được: 1 = -x + 4 – 2a a = 1 Page 78 of 136
  79. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 THPT _ Học toán tại tp Thanh Hóa gọi 0936.407.353 Thay a = 1 vào (1) ta được b = 4 – 2.1 = 2 Vậy đường thẳng CD có phương trình: y = x + 2 2. Để đường thẳng (d): y = (2q2 - q)x + q + 1 (với q là tham số) song song với đường thẳng CD thì: 2 2 1 2q q 1 2 q q 1 0 q 1 q 0 1 2 q . q 1 2 q 2 1 2 q 1 1 Vậy với q thì đường thẳng (d): y = (2q2 - q)x + q + 1 (với q là tham số) song song 2 với đường thẳng CD. Bài 4: 1. Ta có:  CMD = 900,  CND = 900 C Nên C, D, M, N cùng thuộc đường tròn đường kính CD N K' H Hay tứ giác CDMN là tứ giác nội tiếp trong một I K đường tròn. O P B 2.  KDB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) M D DK // CM (cùng vuông góc với BD) (1)  KCB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CK // DN (cùng vuông góc với BC) (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CHDK là hình bình hành. (tứ giác có các cặp cạnh đối song song). 3. Gọi KP là đường cao của tam giác CKD , I là trung điểm của CD, K’ là điểm chính giữa cung nhỏ DC KP K’I 1 Vì tứ giác CHDK là hình bình hành nên SCDH = SCKD = KP.CD 2 Để SCDH lớn nhất thì SCKD lớn nhất KP lớn nhất KP = K’I K trùng với K’ hay K là điểm chính giữa cung nhỏ CD. Mà K, O, B thẳng hàng B là điểm chính giữa cung lớn CD. Vậy điểm B là điểm chính giữa cung lớn CD thì diện tích tam giác CDH lớn nhất. Bài 5: Ta có: u + v = 4 u2 + v2 = 16 – 2uv Page 79 of 136