Bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Nội dung text: Bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

1. Đề 1 Bài 1: (6,0 điểm) 2021x y z 1. Cho xyz 2021. Tính giá trị biểu thức A xy 2021 2021x yz y 2021 xz z 1 2. Tìm các số tự nhiên a,b biết 2a 37 b 45 b 45 3. Có tồn tại hay không cặp số nguyên x; y thỏa mãn a2021 20202020 a2020 20212021 Bài 2: (4,0 điểm) ab ac bc ba ca cb a b c 1. Cho . Chứng minh rằng 2 3 4 3 5 15 2. Cho đa thức f x ax2 bx c . Xác định a,b,c biết f 2 f 2 0 và a c 3 Bài 3: (2,0 điểm) Chứng minh 2n3 3n2 n chia hết cho 6 với mọi n Z Bài 4: (6,0 điểm) Cho ABC nhọn. Vẽ ra ngoài ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN a) Chứng minh BN CM ; BN  CM b) Kẻ AH  BC H BC . Chứng minh AH đi qua trung điểm MN c) Lấy điểm O bất kì trong ABC . Chứng minh OA OB OC AB AC BC Bài 5: (2,0 điểm) Cho ABC cân tại B có ·ABC 800 . Lấy điểm I bên trong tam giác sao cho I·AC 100 và I·CA 300 . Tính số đo ·AIB
2. Đề 2 Bài 1: (6,0 điểm) a b 2c 1. Cho abc 2 . Tính giá trị biểu thức A ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 2. Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn 2xy 6y x 9 3. Có tồn tại hay không số nguyên n và k thỏa mãn n2 k 2 2022 Bài 2: (4,0 điểm) 2b c a 2c b a 2a b c 1. Cho các số a,b,c 0 thỏa mãn . a b c 3a 2b 3b 2c 3c 2a Tính giá trị biểu thức P 3a c 3b a 3c b 2. Cho đa thức f x x 2 2021 . Biết sau khi khai triển và thu gọn đa thức trên ta được 2021 2020 3 2 f x a2021x a2020 x a3 x a2 x a1x a0 Tính giá trị biểu thức S a0 a2 a4 a2020 Bài 3: (2,0 điểm) a b c 6 Cho 1 1 1 47 a b b c c a 60 a b c 17 Chứng minh rằng b c c a a b 10 Bài 4: (6,0 điểm) Cho ABC vuông tại A và Bµ 600 . Tia phân giác của Bµ cắt AC tại D . Trung tuyến AM a) Chứng minh ABD MBD b) Chứng minh AD DC AG c) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AM tại G . Tính GM Bài 5: (2,0 điểm) Cho ABC có ·ABC 450 , ·ACB 150 . Trên tia phân giác trong của B· AC lấy điểm D sao cho ·ACD 750 . Chứng minh BCD đều
3. Đề 3 Bài 1: (6,0 điểm) 1 1 1 1. Cho xyz 1. Chứng minh rẳng 1 1 x xy 1 y yz 1 z xz 2. Tìm cặp số nguyên x; y biết 2x xy y 3 3. Có tồn tại không không cặp số nguyên x thỏa mãn x 3 2 x 2 2 x 1 x 2021 Bài 2: (4,0 điểm) 1 2y 1 4y 1 6y 1. Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn 18 24 6x 2. Cho đa thức P x ax3 bx2 cx d a,b,c,d Z . Biết rằng đa thức P x chia hết cho 5 với mọi x Z . Chứng minh rằng A 20212022 a 20222023 b 20232024 c 20242025 d chia hết cho 5 Bài 3: (2,0 điểm) Cho a,b,c ¡ và đôi một khác nhau thỏa mãn a2 b b2 c c2 a . Tính giá trị biểu thức M a b 1 b c 1 a c 1 Bài 4: (6,0 điểm) Cho ABC vuông tại A , phân giác BD . Vẽ DE  BC a) Chứng minh AD DE b) Chứng minh AD DC c) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt CA tại M . Gọi I là điểm bất kì trên đoạn thẳng AB . Trên tia đối của tia AB lấy điểm J sao cho AJ BI . Đường thẳng vuông góc với AB tại I cắt BM tại P . Chứng minh PJ  JC Bài 5: (2,0 điểm) Cho ABC đều. Lấy I là điểm bất kì trong ABC . Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ I đến ba cạnh của ABC có số đo không đổi
4. Đề 4 Bài 1: (6,0 điểm) 1. Cho a b 50 . Tính giá trị biểu thức A 10a 16b 4a 2b 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 2. Tìm x ¢ sao cho 5 21 23 25 27 29 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 3. Có tồn tại hay không n ¥ thỏa mãn 2020 2019 2018 2017 2016 2015 Bài 2: (4,0 điểm) x y z 1. Cho các số thực a,b,c, x, y, z khác 0 thỏa mãn . Chứng minh a 2b c 2a b c 4a b c a b c rằng x 2y z 2x y z 4x 4y z 1 2 2. Cho đa thức f x xác định với mọi x ¡ thỏa mãn f x 3 f x . Tính f 2 3 Bài 3: (2,0 điểm) Cho 2 p 1 là số nguyên tố và p 2 . Hỏi 2 p 1 là số nguyên tố hay hợp số ? Chứng minh điều đó Bài 4: (6,0 điểm) Cho ABC nhọn có µA 600 . Phân giác của ·ABC cắt AC tại D. Phân giác của ·ACB cắt AB tại E. BD cắt CE tại I a) Tính B· IC b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE. Chứng minh CID CIF c) Trên IF lấy điểm M sao cho IM = IB + IC. Chứng minh BMC đều Bài 5: (2,0 điểm) Cho ABC vuông cân tại A. Lấy điểm M trong tam giác sao cho MA 2cm, MB 3cm và ·AMC 1350 . Tính MC
5. Đề 5 Bài 1: (6,0 điểm) 1. Cho a,b,c là các số thực khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn a2 b c b2 a c 2021. Hãy tính giá trị biểu thức c2 a b a3 3a2 5 5b 2. Tìm a,b,c ¥ * thỏa mãn: c a 3 5 3. Cho n ¢ . Chứng minh rằng n5 n30 Bài 2: (4,0 điểm) 2021a b c d a 2021b c d a b 2021c d a b c 2021d 1. Cho . Hãy tính giá trị a b c d a b b c c d d a biểu thức M c d d a a b b c 2. Cho đa thức f x ax2 bx c có tính chất f 1 , f 4 , f 9 là các số hữu tỉ. Chứng minh các số a,b,c đều là các số hữu tỉ Bài 3: (2,0 điểm) Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a2 b2 c2 d 2 . Chứng minh rằng a b c d là hợp số Bài 4: (6,0 điểm) Cho ABC vuông cân tại A . Gọi H là trung điểm của BC . Gọi AE là phân giác của H· AC a) Kẻ EI  AC . Chứng minh AI HC b) Trên cạnh AB lấy điểm K . Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho AK AM . Chứng minh BM  CK c) Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Cx  AC . Qua E kẻ EN  AE N Cx . Chứng minh AE EN Bài 5: (2,0 điểm) Cho ABC có ·ABC ·ACB 360 . Trên tia phân giác của ·ABC lấy điểm N sao cho B· CN 120 . So sánh CN và CA