Bồi dưỡng học sinh giỏi về Số học Lớp 6 - Chuyên đề: Số chính phương

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi về Số học Lớp 6 - Chuyên đề: Số chính phương

1. Chuyên đề : Số chính phương BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG I. Định nghĩa: Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. A : là số chính phương thì A = k2 (k N) II. Tính chất: 1) Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng: 0;1; 4; 5; 6; 9; không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; 8. 2) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chức các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. Chứng minh: Giả sử A = k2 và k = ax.by.cz (a; b; c; là các số nguyên tố) thì A = (ax.by.cz )2 = a2x.b2y.c2z (đpcm) Từ tính chất 2 ta có các hệ quả: a. Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4 b. Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9 c. Số chính phương chia hết cho 5 phải chia hết cho 25 d. Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16 e. Tích của các số chính phương là một số chính phương f. A = a.b, nếu a là số chính phương thì b cũng là số chính phương. 3) Số lượng các ước của một số chính phương là lẻ. Ngược lại, một số có số lượng các ước là lẻ thì số đó là số chính phương Chứng minh: Nếu A = 1 thì A là số chính phương có một ước. Ta giả sử A > 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A = ax.by.cz thì số lượng các ước của A là (x+1)(y+1)(z+1) a) Nếu A là số chính phương thì x; y; z; là các số chẵn, nên x+1; y+1; z+1; là lẻ, do đó số lượng các ước của A là lẻ.; b) Nếu số lượng các ước của A là lẻ thì (x+1)(y+1)(z+1) là lẻ Do đó các thừa số x+1; y+1; z+1; đều là số lẻ, Suy ra x; y; z; là các số chẵn. Đặt x = 2x’, y = 2y’; z = 2z’; (x’; y’; z’; N) thì A = (ax’by’cz’ )2 nên A là số chính phương (đpcm) 4) Nếu số A bao hàm giữa bình phương hai số tự nhiên liên tiếp thì A không thể là số chính phương. Nghĩa là : nếu n2 < A < (n+1)2 thì A không là số chính phương. III. Các kiến thức liên quan: 1. Nếu mỗi số hạng của một tổng (hoặc hiệu) chia hết cho một số thì tổng (hoặc hiệu) đó chia hết cho số đó. 2. Số có chữ số tận cùng chia hết cho 2 thì số đó chia hết cho 2 Số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4 Số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8 Số có chữ số tận cùng chia hết cho 5 thì số đó chia hết cho 5 Số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì số đó chia hết cho 25 - 1 -
2. Chuyên đề : Số chính phương Số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3 Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9 3. Dấu hiệu chia hết cho 11 Cho A = a5a4 a3a2 a1a0 A  11 (a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + )  11 IV. Các dạng bài tập thường gặp: Dạng 1: Kiểm tra một số có phải là số chính phương hay không: Ví dụ 1: Cho số chính phương n2 , tìm các số chính phương biết  n 11;101;1001;10001;100001;1000001; ;100 01  k chữ số 0  Giải Ta có 112 = 121 1012 = 10201 10012 = 1002001 100012 = 100020001 1000012 = 10000200001 10000012 = 1000002000001 Tổng quát 100 012 100 0200 01    k chữ số 0 k chữ số 0 k chữ số 0 Ví dụ 2: Các tổng sau có phải là số chính phương không ? a) A = 3 + 32 + 33 + +320 b) B = 11 + 112 + 113 c) C = 1010 + 8 d) D = 100! + 7 e) E = 1010 + 5 f) F = 10100 + 1050 + 1 Giải n 2 3 20 a) Ta có 3  9 với mọi n 2 nên 3 + 3 + +3  9 Suy ra A = 3 + 32 + 33 + +320 chia cho 9 dư 3 Vì A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không phải là số chính phương (t/c 2) b) Ta có B = 11 + 112 + 113 = 11.(1 + 11 + 112) = 11.(1 + 11 + 121) = 11.133 = 1463 Có chữ số tận cùng là 3 nên B không phải là số chính phương (t/c 1) c) Ta có 1010 + 8 có chữ số tận cùng là 8 nên không phải là số chính phương (t/c 1) d) Ta có 100! + 7 có chữ số tận cùng là 7 nên không phải là số chính phương (t/c 1) e) Ta có 1010 + 5 có chữ số tận cùng là 05 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không phải là số chính phương (t/c 2) - 2 -
3. Chuyên đề : Số chính phương f) Ta có 10100 + 1050 + 1 có tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không phải là số chính phương (t/c 2) Ví dụ 3: a) Cho A = 22 + 23 + 24 + + 220. Chứng minh rằng A + 4 không là số chính phương b) Cho B = 31 + 32 + 33 + + 3100 . Chứng minh rằng 2B + 3 không là số chính phương Giải a) Ta có A = 22 + 23 + 24 + + 220 nên 2A = 23 + 24 + 25 + + 221 suy ra 2A – A = 221 – 2222 do đó A – 4 = 221 – 2222 – 4 = 221 = (210)2.2 không là số chính phương vì 2 không là số chính phương. b) Ta có B = 31 + 32 + 33 + + 3100 nên 3B = 32 + 33 + 34 + + 3101 suy ra 3B – B = 3101 – 3 do đó 2B + 3 = 3101 – 3 + 3 = 3101 = 3100.3 = (350)2.3 không là số chính phương vì 3 không là số chính phương. Ví dụ 4: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số A = 1234 1112. Số A có thể có 81 ước được không ? Giải Giả sử A có 81 ước. Vì số lượng các ước của A là 81 (là số lẻ) nên A là số chính phương (1) Mặt khác, tổng của các chữ số của A là 1+2+3+ +12 = 51 Vì 51  3; 51  51 nên A chia hết cho 3 nhưng A không chia hết cho 9, do đó A không là số chính phương mâu thuẫn với (1). Vậy A không thể có 81 ước Dạng 2 : Lập số chính phương từ các chữ số đã cho Ví dụ 1 : Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 3, 6, 8, 8. Giải : Gọi n2 là số chính phương phải tìm Vì số chính phương không tận cùng bằng 3, 8 nên do đó n2 phải tận cùng bằng 6 Số tận cùng của n2 bằng 86 hoặc 36 Nếu tận cùng là 86 thì chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương (tính chất 2.a) Suy ra: n2 có tận cùng bằng 36 Vậy số chính phương đó là 8836 = 942 Dạng 3: Áp dụng tính chất 4 Ví dụ: Chứng minh rằng không tồn tại hai số tự nhiên x và y sao cho x2 + y và x + y2 là số chính phương. Giải: Giả sử x y. Ta có : x2 < x2 + y ≤ x2 + x < (x + 1)2 Dạng 3: Kiểm chứng một số thỏa mãn điều kiện cho trước có là số chính phương hay không. Ví dụ 1: Một số tự nhiên gồm một số chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương không ? - 3 -
4. Chuyên đề : Số chính phương Giải Giả sử n2 là số chính phương cần tìm Nếu n2 tận cùng bằng 0 thì nó phải tận cùng bằng một số chẵn chữ số 0. Ta bỏ tất các chữ số 0 tận cùng này đi thì số còn lại tận cùng bằng 6 và phải là số chính phương. Ta xét hai trường hợp : Số còn lại tận cùng là 06 hoặc 66. Trong cả hai trường hợp đều chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương (t/c 2) Nếu n2 tận cùng là 6 thì tương tự như trên cũng không phải là số chính phương Vậy số có tính chất như đề bài không thể là một số chính phương. Ví dụ 2: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì ta được một số chính phương. Giải: Gọi số phải tìm là n, ta có 135n = a2 (a N) hay 33. 5. n = a2. Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n = 3. 5. k2 (k N). Với k = 1 thì n = 15; với k = 2 thì n = 60; với k 3 thì n 135; có nhiều hơn hai chữ số (lọai) Vậy số phải tìm là 15 hoặc 60. Ví dụ 3: Tìm số chính phương có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ cuối giống nhau. Giải : Cách 1: Gọi số chính phương phải tìm là n2 = aabb (a,b N, 1≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9). Ta có n2 = aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11(99a + a + b) (1). Do đó 99a + a + b chia hết cho 11 nên a + b chia hết cho 11, Vậy a + b = 11. Thay a + b = 11 vào (1) ta được n2 = 11(99a + 11) = 112(9a + 1). Do đó 9a + 1 phải là số chính phương . Thử với a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9a+1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 Ta thấy chỉ có a = 7 thì 9a + 1 = 64 = 82 là số chính phương Vậy a = 7 => b = 4 ta có số cần tìm là 7744 = 112 . 82 = 882 Cách 2 : Biến đổi n2 =aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11.a0b , Do đó a0b 11k 2 (k N). 11 7 Ta có 100 ≤ 11k2 ≤ 909 => 9 k 2 82 => 4 ≤ k ≤ 9 9 11 k 4 5 6 7 8 9 11k2 176 275 396 539 704 891 Ta chọn 704 vì có chữ số hàng chục là 0 Suy ra k = 8 và n2 = aabb = 11 . 11 . 82 = 7744. Ví dụ 4: Tìm số nguên tố ab (a > b > 0) sao cho ab ba là số chính phương. Giải : ab ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b - 4 -
5. Chuyên đề : Số chính phương = 9(a – b) = 32(a – b) Để ab ba là số chính phương thì a – b phải là số chính phương. Ta thấy 1 ≤ a – b ≤ 8 nên a – b {1; 4}. Với a – b = 1 thì ab {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98}lọai các hợp số 21; 32; 54; 65; 76; 87; 98; còn lại 43 là số nguyên tố. Với a – b = 4 thì ab {51; 62; 73; 84; 95} lọai các hợp số 51; 62; 84; 95; còn 73 là số nguyên tố. Vậy ab bằng 43 hoặc 73. Dạng 4: Toán chứng minh: Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương. Chứng minh: Giả sử trong bốn số tự nhiên liên tiếp ta chọn số tự nhiên nhỏ nhất là a, ta phải xét tích số a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 có là số chính phương hay không? Ta biết a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = a(a+3) (a+1) (a+2) + 1 = (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) + 1 = (a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a) + 1 = (a2 + 3a + 1)2 Vì a là một số tự nhiên nên (a2 + 3a + 1)2 phải là một số chính phương Suy ra điều cần phải chứng minh. Thông qua bài chứng minh trên ta không chỉ biết được a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 là một số chính phương mà còn biết được nó còn là bình phương của số nào. Ví dụ : a) 1. 2. 3. 4 + 1 = 25 = 52 2. 3. 4. 5 + 1 = 121 = 112 3. 4. 5. 6 + 1 = 361 = 192 4. 5. 6. 7 + 1 = 841 = 292 b) Biểu thức sau đây là bình phương của số tự nhiên nào ? + 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = ? Biết a = 10 nên a2 + 3a + 1 = 102 + 3.10 + 1 = 131 Nên 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 1312 + 15 . 16 . 17 . 18 + 1 = ? Biết a = 15 nên a2 + 3a + 1 = 152 + 3.15 + 1 = 271 Nên 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 2712 Với cách chứng minh tương tự như trên ta có các tính chất sau: i) Tích của 4 số tự nhiên chẳn liên tiếp cộng 16 là một số chính phương. ii) Tích của 4 số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng 16 là một số chính phương. Ví dụ 2: Chứng minh rằng một số tự nhiên viết toàn bằng chữ số 2 thì không phải là số chính phương. Giải Cách 1: Ta có 2 4; 22 4. Giả sử có số tự nhiên A được ghi bởi n chữ số 2 với n > 2 thì : A = 222 222 = 222 200 + 22 = 100.A1 + 22 - 5 -
6. Chuyên đề : Số chính phương Trong đóA1 làsố được ghi bởi n – 2 chữ số 2 A = 4.25A1 + 22 Vì 4.25A14; 22 4 => A 4 A là số chẳn chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên A không là số chính phương. Cách 2: Ta có một số tự nhiên viết toàn bằng chữ số 2 thì có chữ số tận cùng là 2 nên không thể là số chính phương. Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương. Giải Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a; a+1; a+2; a+3; Ta có S = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 Bởi vì 4a 2; 6 2 => S 2; 4a 4; 6 4 => S 4 Vậy S chia hết cho 2 nhưng S không chia hết cho 4 nên S không là số chính phương. V. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN: 1/. (Dạng 1) Các số sau có phải là số chính phương không ? a) A = 2004000 b) B = 20012001 2/. (Dạng 3) Chứng tỏ rằng các số sau không là số chính phương. a) abab b) abcabc c) ababab 3/. (Dạng 3) Chứng tỏ rằng tổng sau không là số chính phương. A = abc bca cab 4/. (Dạng 2) Cho bốn chữ số 0, 2, 3, 4. Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên. 5/. (Dạng 2) Cho bốn chữ số 7, 4, 2, 0. Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên. 6/. (Dạng 2) Cho bốn chữ số 0, 2, 3, 5. Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên. 7/.(Dạng 3) a) Cho một số tự nhiên gồm 15 chữ số 2. Có cách nào viết thêm các chữ số 0 vào vị trí tùy ý để số mới tạo thành là một số chính phương hay không ? b) Một số tự nhiên gồm một chữ số 1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, bốn chữ số 4, có thể là một số chính phương hay không? 8/. (Dạng 1) Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 101 làm thành một số A a) A có là hợp số hay không ? b) A có là số chính phương hay không ? c) A có thể có 35 ước hay không ? 9/. (Dạng 1) Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập tất cả các số có năm chữ số gồm cả năm chữ số ấy. Trong tất cả các số đó có số nào là số chính phương không? 10/. (Dạng 3) Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương. 11/. (Dạng 3) Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 45 thì ta được một số chính phương. 12/. (Dạng 4) a) Các số tự nhiên n và 2n có tổng các chữ số bằng nhau. Chứng minh rằng n chia hết cho 9. - 6 -
7. Chuyên đề : Số chính phương b) Tìm số chính phương n có ba chữ số, biết rằng n chia hết cho 5 và nếu nhân n với 2 thì tổng các chữ số của nó không đổi. 13/.(Dạng 3) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu cộng nó với số có hai chữ số ấy viết theo chiều ngược lại thì ta được một số chính phương. 14/. (Dạng 3) Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng : các chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự đó làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng dần. 15/. (Dạng 3) Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị và số chính phương đó viết được dưới dạng (5n+4)2 với n N. 16/. (Dạng 1) Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng minh rằng A – B là một số chính phương. 17/. (Dạng 1) Có hay không có một số chính phương mà số đó gồm 1995 chữ số 1 và các chữ số còn lại là chữ số 0 18/. (Dạng 1) Các số sau có là số chính phương không : a) A = 10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20 b) B = 31 + 32 + 33 + + 3100 c) C = 11 + 112 + 113 19/. (Dạng 1) Tìm số tự nhiên n sao cho tổng 1! + 2! + 3! + + n! là một số chính phương. 20/. (Dạng 1) Số nào là số chính phương; số nào không là số chính phương? 1945 a) 21000 b) 31993 c) 4161 d) 192 21/. (Dạng 1) Chứng minh rằng số 22499 9100 09 là số chính phương  n-2 số 9 n số 0 22/. (Dạng 1) Chứng minh rằng 100! không phải là số chính phương. 23/. (Dạng 4) Chứng minh rằng tổng của n số lẻ dầu tiên là một số chính phương: 1 + 3 + 5 + + (2n + 1) = n2 24/. (Dạng 4) Chứng minh rằng: Tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp từ 1 là một số chính phương: 13 +23 + + n3 = (1 + 2 + + n)2 25/. Chứng minh rằng tổng các chử số của một số chính phương không thể bằng 5. 26/. Bình phương các số 1, 2, 3, , 1982 rồi viết chúng liền nhau theo một thứ tự nào đó. Có được một số có nhiều chữ số là số chính phương không ? 27/. Số chính phương có thể bắt đầu bằng 1983 chữ số 9 không ? 28/. Tồn tại hay không số tự nhiên A mà khi viết thêm chính nó vào bên phải sẽ được số chính phương không ? 29/. Số tự nhiên N là một số chính phương và không tận cùng bằng chữ số 0. Sau khi xóa hai chữ số cuối cùng của nó ta lại được một số chính phương. Tìm số N lớn nhất có tính chất trên. 30/. Chứng minh rằng các số 16, 1156, 111556, trong đó mỗi số bắt đầu bằng chữ số thứ hai, bằng số liền trước nó xen số 15 vào giữa, là những số chính phương. (xem mục “Bạn tin không ?”) 31/. Tìm tất cả các số có bốn chữ số mà khi viết nó vào bên phải số 400 sẽ được một số chính phương. 32/. Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 1983 không? 1984 không? 33/. Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy số 11, 111, 1111, không thể là số chính phương. - 7 -
8. Chuyên đề : Số chính phương 34/. Viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1976 theo thứ tự bất kì. Chứng minh rằng số viết được không là số chính phương. HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ 1/. a) Số A không tận cùng một số chẵn chữ số 0 (3 chữ số 0). nên không là số chính phương. b) Ta có B = 20012001 = (20011000)2 . 2001 Số 2001 có tổng các chữ số là 3 chia hết cho ba nhưng không chia hết cho 9 => B không là số chính phương. 2 2/. a) n abab 101.ab ab101 , vô lí. 2 b) n abcabc 1001.abc abc1001 , vô lí. 2 c) n ababab 10101.ab 3.7.13.37.ab ab10101 , vô lí. 3/. A = abc bca cab = 111a 111b 111c = 3.37.(a b c) số chính phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, do đó a+b+c = 37k2 (k N). Vô lí vì a+b+c ≤ 27. Vậy A không là số chính phương. 4/. Đáp số : 2304 = 482 5/. Đáp số : 2704 = 522 6/. Đáp số : 3025 = 552 7/. a) Không phải là số chính phương vì số mới tạo thành chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 b) Không phải là số chính phương vì số mới tạo thành chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 8/. a) Tổng các chữ số của A là 903 nên A 3 do đó là hợp số b) A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không là số chính phương. Hay A có số gốc là 3 nên không phải là số chính phương c) A không là số chính phương nên số lượng các ước không thể là lẻ. 9/. Tổng các chữ số từ các số lập được là 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên mỗi số lập được không phải là số chính phương 10/. Vì n có 2 chữ số nên 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n + 1 ≤ 199. Các số chính phương lẻ trong khoảng trên là 25; 49; 81; 121; 169. 25 49 81 121 169 n 12 24 40 60 84 3n + 1 37 73 121 181 253 Chỉ có số 3n + 1 = 121 là số chính phương. Vậy n = 40 11/. Đáp số : 20; 45; 80 12/. a) Gọi tổng các chữ số của n và của số 2n là k => ta có n – k  9 và 2n – k  9; do đó (2n – k) – (n – k)  9 hay n  9 - 8 -
9. Chuyên đề : Số chính phương b) số chính phương phải tìm  5;  9 và có 3 chữ số nên có 2 đáp số : 225 và 900 13/. n 2 ab ba ; có 8 đáp số: 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92. 14/. Giả sử n 2 (a 1)a(a 2)(a 3) chữ số tận cùng của số chính phương là a + 3 chỉ có thể bằng 4; 5; 6; 9. Tương ứng ta có n2 bằng 2134; 3245; 4356; 7689 Chỉ có 4356 = 662 còn các trường hợp còn lại loại 15/. Số 5n + 4 tận cùng là 4 hoặc 9. Ta xét 2 trường hợp: TH 1: Số 5n + 4 tận cùng là 4 thì (5n + 4)2 tận cùng là 6. Cần tìm các số có dạng 6 6 là bình phương của một số tận cùng bằng 4. Không có số nào thỏa mãn vì 742 = 5476 < 6 6 < 7056 = 842 TH 2: Số 5n + 4 tận cùng là 9 thì (5n + 4)2 tận cùng là 1. Cần tìm các số có dạng 1 1 là bình phương của một số tận cùng bằng 9. Ta thấy 292 = 841 <1 1 < 2401 = 492 còn 392 = 1521 Vậy số cần tìm là 1521 16/. Ta có A = 11 1 00 0 + 11 1    50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số Đặt C = 11 1 thì B = 2C  Suy ra A = C.1050 + C do đó A – B = C.1050 + C – 2C = C(1050 – 1). Ta có 1050 – 1 = 99 9 = 9C  50 chữ số Vậy A – B = C. 9C = 9C2 = (3C)2 = 99 9 là số chính phương.  50 chữ số 17/. Giả sử A = 11 100 0  1995 số 1 Tổng các chữ số của A bằng: 1 1 1 0 0 0 1995 là một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết  1995 số 1 cho 9 nên A không là số chính phương. 18/. a) Không vì A tận cùng 3 chữ số 0 b) Không (xem ví dụ 2 dạng 1) c) Không vì C có chữ số tận cùng là 3 19/. Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 9 = 32 là số chính phương Với n 4 thì 1! + 2! + + n! tận cùng bằng 3 nên không là số chính phương. (Thậy vậy 1! + 2! + 3! + 4! = 33, còn 5!; 6! đều tận cùng bằng 0). Vậy n = 1 hay n = 3 20/. a) 21000 = 22.500 = (2500)2 b) 31993 = 31992.3 = (3996)2.3 - 9 -
10. Chuyên đề : Số chính phương c) 4161 = (22)161 = (2161)2 1945 1994 1994 d) 192 192 .2 (192 )2 21/. Ta có 22499 9100 09 = 224.102n 99 9.10 n 2 10 n 1 9 n-2 số 9   n số 0 n-2 số 9 = 224.102n (10 n 2 1).10 n 2 10 n 1 9 = 224.102n 10n 2.10n 2 1.10n 2 10n 1 9 = 224.102n 102n 10 n 2 10 n 1 9 = 225.102n (102 10).10 n 9 = (15.10 n )2 2.3.15.10 n 9 = (15.10n 3)2 là số chính phương 22/. Ta có 100! = 1.2.3 100 Ta đi tìm số có tận cùng là 2 hoặc 5 (vì 2.5 = 10)và tận cùng là 0 Có 10 số tận cùng là 2 là: 2; 12; 22; 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92. Có 10 số tận cùng là 5 là: 5; 15; 25; 35; 45; 55; 65; 75; 85; 95. => Tích của chúng có 10 chữ số 0 tận cùng Có 9 số tận cùng là 1 số 0 : 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90. Có 1 số tận cùng là 2 số 0 : 100 Vậy 100! có 10 + 9 + 2 = 21 (lẻ) chữ số 0 tận cùng nên không là số chính phương. 23/. Giả sử công thức: 1 + 2 + 3 + + (2n + 1) = n2 (1) đúng với n=k, ta chứng minh công thức (1) đúng với n = k + 1. Theo quy nạp ta có: 1 + 3 + 5 + + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 Suy ra điều phải chứng minh. 24/. Theo bài toán của Gauss ta có: n(n 1) 1 2 3 n 2 n 2 (n 1)2 Bài tóan trở thành cmr: 13 23 33 n 3 (1) 4 Giả sử công thức (1) đúng với n, ta chứng minh công thức (1) đúng với n + 1. Theo quy nạp ta có : n 2 (n 1)2 13 23 33 n 3 (n 1)3 (n 1)3 4 n 2 (n 1) 4(n 1)3 (n 1)2 n 2 4(n 1) (n 1)2 (n 2)2 4 4 4 Suy ra điều phải chứng minh. - 10 -