›
›
›

Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

doc 155 trang thaodu 3880
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccac_chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8.doc

Nội dung text: Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

  1. CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. MỤC TIÊU: * Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử * Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất + Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1 + Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1 f(1) f(-1) + Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì a - 1 và a + 1 đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do 1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4 Cách 1: Tách hạng tử thứ 2 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) = (x – 2)(3x – 2) Ví dụ 2: x3 – x2 - 4
  2. Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2 Cách 1: x3 2x2 x2 2x 2x 4 x2 x 2 x(x 2) 2(x 2) x3 – x2 – 4 = = x 2 x2 x 2 Cách 2: x3 x2 4 x3 8 x2 4 x3 8 x2 4 (x 2)(x2 2x 4) (x 2)(x 2) x 2 x2 2x 4 (x 2) (x 2)(x2 x 2) = Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 Nhận xét: 1, 5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ 1 Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 3x3 x2 6x2 2x 15x 5 3x3 x2 6x2 2x 15x 5 2 2 = x (3x 1) 2x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)(x 2x 5) 2 2 2 Vì x 2x 5 (x 2x 1) 4 (x 1) 4 0 với mọi x nên không phân tích được thành nhân tử nữa Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4 Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
  3. x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2) Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) = x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002) II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: 1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương: Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x) = (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) 2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
  4. 3 3 2 2 3 2 = x(x - 1)(x + 1) + (x + x + 1 ) = x(x – 1)(x + x + 1 ) (x + 1) + (x + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) 7 5 7 5 2 2 Ví dụ 2: x + x + 1 = (x – x ) + (x – x ) + (x + x + 1) 3 3 2 3 2 = x(x – 1)(x + 1) + x (x – 1) + (x + x + 1) 2 4 2 2 2 = (x + x + 1)(x – 1)(x + x) + x (x – 1)(x + x + 1) + (x + x + 1) 2 5 4 2 3 2 2 5 4 3 = (x + x + 1)[(x – x + x – x) + (x – x ) + 1] = (x + x + 1)(x – x + x – x + 1) Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ; x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; đều có nhân tử chung là x2 + x + 1 III. ĐẶT BIẾN PHỤ: Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 Giả sử x 0 ta viết 6 1 1 + x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – x x2 ) = x2 [(x2 + x2 ) + 6(x - 1 x ) + 7 ] 1 1 Đặt x - x = y thì x2 + x2 = y2 + 2, do đó
  5. 1 2 2 2 2 2 2 2 2 A = x (y + 2 + 6y + 7) = x (y + 3) = (xy + 3x) = [x(x - x ) + 3x] = (x + 3x – 1)2 Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 2 2 2 2 2 Ví dụ 3: A = (x y z )(x y z) (xy yz+zx) (x2 y2 z2 ) 2(xy yz+zx) (x2 y2 z2 ) (xy yz+zx)2 = 2 2 2 Đặt x y z = a, xy + yz + zx = b ta có 2 2 2 A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x y z + xy + yz + zx)2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 Ví dụ 4: B = 2(x y z ) (x y z ) 2(x y z )(x y z) (x y z) Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 2 2 2 2 2 2 Ta lại có: a – b2 = - 2(x y y z z x ) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; 2 2 2 2 2 2 B = - 4(x y y z z x ) + 4 (xy + yz + zx)2 = 4x2 y2 4y2 z2 4z2 x2 4x2 y2 4y2 z2 4z2 x2 8x2 yz 8xy2 z 8xyz2 8xyz(x y z) 3 3 3 3 Ví dụ 5: (a b c) 4(a b c ) 12abc Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2 m2 - n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + 4 ). Ta có: m3 + 3mn2 4c3 3c(m2 - n2 ) C = (m + c)3 – 4. 4 = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
  6. = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 Nhận xét: các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a c 6 ac b d 12 ad bc 14 đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: bd 3 Xét bd = 3 với b, d Z, b  1, 3 với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành a c 6 ac 8 2c 8 c 4 a 3c 14 ac 8 a 2 bd 3 Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) a 4 3 a 1 b 2a 7 b 5 c 2b 6 c 4 = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c 2c 8 Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
  7. Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 2 1)(2x - x - 4) 4 3 2 2 Vậy: 2x - 3x - 7x + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x - x - 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) 2 2 = acx + (3c - a)x + bdy + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 ac 12 a 4 bc ad 10 c 3 3c a 5 b 6 bd 12 d 2 3d b 12 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) BÀI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: CHUYÊN ĐỀ 2 - SƠ LƯỢC VỀ CHỈNH HỢP,
  8. CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP A. MỤC TIÊU: * Bước đầu HS hiểu về chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp * Vận dụng kiến thức vào một ssó bài toán cụ thể và thực tế * Tạo hứng thú và nâng cao kỹ năng giải toán cho HS B. KIẾN THỨC: I. Chỉnh hợp: 1. định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp X ( 1 k n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ấy k Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu A n 2. Tính số chỉnh chập k của n phần tử II. Hoán vị: 1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp X theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử ấy Số tất cả các hoán vị của n phần tử được kí hiệu Pn 2. Tính số hoán vị của n phần tử ( n! : n giai thừa)
  9. III. Tổ hợp: 1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử trong n phần tử của tập hợp X ( 0 k n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy k Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu Cn 2. Tính số tổ hợp chập k của n phần tử C. Ví dụ: 1. Ví dụ 1: Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5 a) có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên c)Có bao nhiêu cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên Giải: a) số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ 3 số trên là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: A5 = 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số b) số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên là hoán vị cua 5 phần tử (chỉnh hợp chập 5 của 5 phần tử): 5 A5 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 số
  10. c) cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử: 5.(5 - 1).(5 - 2) 5 . 4 . 3 60 3 10 C5 = 3! 3.(3 - 1)(3 - 2) 6 nhóm 2. Ví dụ 2: Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng 5 chữ số này: a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại? Tính tổng các số lập được b) lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, trong đó có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn Giải a) số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi 4 trong các chữ số 4 trên là chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử: A5 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số Trong mỗi hang (Nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số có mặt: 120 : 5 = 24 lần Tổng các chữ số ở mỗi hang: (1 + 2 + 3 + 4 + 5). 24 = 15 . 24 = 360 Tổng các số được lập: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960 b) chữ số tận cùng có 2 cách chọn (là 2 hoặc 4) bốn chữ số trước là hoán vị của của 4 chữ số còn lại và có P4 = 4! = 4 . 3 . 2 = 24 cách chọn Tất cả có 24 . 2 = 48 cách chọn
  11. c) Các số phải lập có dạng abcde , trong đó : a có 5 cách chọn, b có 4 cách chọn (khác a), c có 4 cách chọn (khác b), d có 4 cách chọn (khác c), e có 4 cách chọn (khác d) Tất cả có: 5 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1280 số d) Chọn 2 trong 2 chữ số chẵn, có 1 cách chọn chọn 2 trong 3 chữ số lẻ, có 3 cách chọn. Các chữ số có thể hoán vị, do đó có: 1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số · 0 Bài 3: Cho xAy 180 . Trên Ax lấy 6 điểm khác A, trên Ay lấy 5 điểm khác A. trong 12 điểm nói trên (kể cả điểm A), hai điểm nào củng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy Giải B5 y B4 B3 B2 B1 A A 1 A2 A3 A4 A5 A 6 x Cách 1: Tam giác phải đếm gồm ba loại: + Loại 1: các tam giác có một đỉnh là A, đỉnh thứ 2 thuộc Ax (có 6 cách chọn), đỉnh thứ 3 thuộc Ay (có 5 cách chọn), gồm có: 6 . 5 = 30 tam giác + Loại 2: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 5 điểm B1, B2, B3, B4, B5 (có 5 cách chọn), hai đỉnh kia là 2 trong 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Có 2 6.5 30 15 C6 2! 2 cách chọn)
  12. Gồm 5 . 15 = 75 tam giác + Loại 3: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đỉnh kia là 2 trong 5 điểm B1, B2, B3, B4, B5 gồm có: 6. 2 5.4 20 6. 6. 60 C5 2! 2 tam giác Tất cả có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác Cách 2: số các tam giác chọn 3 trong 12 điểm ấy là 3 12.11.10 1320 1320 220 C12 3! 3.2 6 Số bộ ba điểm thẳng hang trong 7 điểm thuộc tia Ax là: 3 7.6.5 210 210 35 C7 3! 3.2 6 Số bộ ba điểm thẳng hang trong 6 điểm thuộc tia Ay là: 3 6.5.4 120 120 20 C6 3! 3.2 6 Số tam giác tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác D. BÀI TẬP: Bài 1: cho 5 số: 0, 1, 2, 3, 4. từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) Có 5 chữ số gồm cả 5 chữ số ấy? b) Có 4 chữ số, có các chữ số khác nhau? c) có 3 chữ số, các chữ số khác nhau? d) có 3 chữ số, các chữ số có thể giống nhau? Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số lập bởi các chữ số 1, 2, 3 biết rằng số đó chia hết cho 9 Bài 3: Trên trang vở có 6 đường kẻ thẳng đứng và 5 đường kẻ nằm ngang đôi một cắt nhau. Hỏi trên trang vở đó có bao nhiêu hình chữ nhật
  13. CHUYÊN ĐỀ 3 - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC A. MỤC TIÊU: HS nắm được công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức: (a + b)n Vận dụng kiến thức vào các bài tập về xác định hệ số của luỹ thừa bậc n của một nhị thức, vận dụng vào các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử B. KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG: I. Nhị thức Niutơn: n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] C k Trong đó: n 1.2.3 k II. Cách xác định hệ số của khai triển Niutơn: n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] C k 1. Cách 1: Dùng công thức n k ! Chẳng hạn hệ số của hạng tử a4b3 trong khai triển của (a + b)7 là 7.6.5.4 7.6.5.4 C 4 35 7 4! 4.3.2.1 k n ! C n Chú ý: a) n!(n - k) ! với quy ước 0! = 1 7! 7.6.5.4.3.2.1 C 4 35 7 4!.3! 4.3.2.1.3.2.1 4 3 7.6.5. k k - 1 C C 35 C C 7 7 b) Ta có: n = n nên 3! 2. Cách 2: Dùng tam giác Patxcan
  14. Đỉnh 1 Dòng 1(n = 1 1 1) Dòng 2(n = 1 2 1 1) Dòng 3(n = 1 3 3 1 3) Dòng 4(n = 1 4 6 4 1 4) Dòng 5(n = 1 5 10 1 5 1 5) 0 Dòng 6(n = 1 6 15 20 15 6 1 6) Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2 dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 3. Cách 3: Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước: a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1 b) Muốn có hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k
  15. 1.4 4.3 4.3.2 4.3.2. 4 4 3 2 2 3 5 Chẳng hạn: (a + b) = a + 1 a b + 2 a b + 2.3 ab + 2.3.4 b Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau n(n - 1) n(n - 1) (a + b)n = an + nan -1b + 1.2 an - 2b2 + + 1.2 a2bn - 2 + nan - 1bn - 1 + bn III. Ví dụ: 1. Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử a) A = (x + y)5 - x5 - y5 Cách 1: khai triển (x + y)5 rồi rút gọn A 5 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 A = (x + y) - x - y = ( x + 5x y + 10x y + 10x y + 5xy + y ) - x - y5 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) = 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5) x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có: x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm được nhân tử còn lại b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - y7 = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 = 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )] = 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)} = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ]
  16. = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ] = 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2 Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các đa thức có được sau khi khai triển a) (4x - 3)4 Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có: (4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4. 4x. 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81 Tổng các hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = 1 4 4 3 2 b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3) = c0x + c1x + c2x + c3x + c4 Tổng các hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 4 Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có: (4.1 - 3) = c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = 1 * Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giá trị của đa thức đó tại x = 1 C. BÀI TẬP: Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) (a + b)3 - a3 - b3 b) (x + y)4 + x4 + y4 Bài 2: Tìm tổng các hệ số có được sau khi khai triển đa thức a) (5x - 2)5 b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011 CHUÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN A. MỤC TIÊU:
  17. * Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức * HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số chính phương * Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết vào các bài toán cụ thể B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN: I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết 1. Kiến thức: * Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó * Chú ý: + Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k + Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m + Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì: 2. Bài tập: 2. Các bài toán Bài 1: chứng minh rằng a) 251 - 1 chia hết cho 7 b) 270 + 370 chia hết cho 13
  18. c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37 e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N Giải a) 251 - 1 = (23)17 - 1 M 23 - 1 = 7 b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 M 4 + 9 = 13 c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 1719 + 1 M 17 + 1 = 18 và 1917 - 1 M 19 - 1 = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) hay 1719 + 1917 M 18 d) 3663 - 1 M 36 - 1 = 35 M 7 3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2 e) 2 4n - 1 = (24) n - 1 M 24 - 1 = 15 Bài 2: chứng minh rằng a) n5 - n chia hết cho 30 với n N ; b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n Z n c) 10 +18n -28 chia hết cho 27 với n N ; Giải: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì (n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*) Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 5n(n2 - 1) chia hết cho 5
  19. Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 ( ) Từ (*) và ( ) suy ra đpcm 4 2 4 2 2 2 2 b) Đặt A = n -10n + 9 = (n -n ) - (9n - 9) = (n - 1)(n - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k Z) thì A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia hết cho 16 (1) Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384 n n c) 10 +18n -28 = ( 10 - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 M 27 (1) 9{ 9 9{ 9 1{ 1 + 10 n - 9n - 1 = [(n + 1) - 9n - 1] = n - 9n = 9( n - n) M 27 (2) 1{ 1 1{ 1 vì 9 M 9 và n - n M 3 do n - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 Từ (1) và (2) suy ra đpcm 3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a) a3 - a chia hết cho 3 b) a7 - a chia hết cho 7 Giải a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3 b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) Nếu a = 7k (k Z) thì a chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 1 (k Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 2 (k Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 3 (k Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
  20. Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7 Vậy: a7 - a chia hết cho 7 Bài 4: Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + + 100 Giải Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101. 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B Bài tập về nhà Chứng minh rằng: a) a5 – a chia hết cho 5 b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24 d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 e) 20092010 không chia hết cho 2010 f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho 9 Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia Bài 1: Tìm số dư khi chia 2100 a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125 Giải
  21. a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1 Ta có : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7 Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7 b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + 1 Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1 c)Sử dụng công thức Niutơn: 50.49 100 50 50 49 2 2 = (5 - 1) = (5 - 5. 5 + + 2 . 5 - 50 . 5 ) + 1 Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số 50.49 hạng tiếp theo: 2 . 52 - 50.5 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1 Vậy: 2100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1 Bài 2: Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu? Giải 1995 Đặt 1995 = a = a1 + a2 + + an. S a 3 a 3 + a 3 + + a 3 a 3 a 3 + a 3 + + a 3 Gọi 1 2 3 n = 1 2 3 n + a - a 3 3 3 = (a1 - a1) + (a2 - a2) + + (an - an) + a Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6 1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3 Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân giải
  22. Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000 Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125 Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B(125) + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876 Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8 Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376 Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376 Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7 a) 2222 + 5555 b)31993 1930 c) 19921993 + 19941995 d)32 Giải a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS 7 +1)22 + (BS 7 – 1)55 = BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên 2222 + 5555 chia 7 dư 0 b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1 Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó: 1993 6k + 1 3 2k 2k 3 = 3 = 3.(3 ) = 3(BS 7 – 1) = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3 c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó: 19921993 + 19941995 = (BS 7 – 3)1993 + (BS 7 – 1)1995 = BS 7 – 31993 + BS 7 – 1 Theo câu b ta có 31993 = BS 7 + 3 nên 19921993 + 19941995 = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3
  23. 1930 d) 32 = 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4 Bài tập về nhà Tìm số d ư khi: a) 21994 cho 7 b) 31998 + 51998 cho 13 c) A = 13 + 23 + 33 + + 993 chia cho B = 1 + 2 + 3 + + 99 Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết Bài 1: Tìm n Z để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 - n Giải Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n + 3)(n2 - n) + 2 Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 - n = n(n - 1) do đó 2 chia hết cho n, ta có: n 1 - 1 2 - 2 n - 1 0 - 2 1 - 3 n(n - 1) 0 2 2 6 loại loại Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 - n thì n  1;2 Bài 2: a) Tìm n N để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1 b) Giải bài toán trên nếu n Z Giải
  24. Ta có: n5 + 1 M n3 + 1 n2(n3 + 1) - (n2 - 1) M n3 + 1 (n + 1)(n - 1) M n3 + 1 (n + 1)(n - 1) M (n + 1)(n2 - n + 1) n - 1 M n2 - n + 1 (Vì n + 1 0) a) Nếu n = 1 thì 0 M 1 Nếu n > 1 thì n - 1 < n(n - 1) + 1 < n2 - n + 1 nên không thể xẩy ra n - 1 M n2 - n + 1 Vậy giá trụ của n tìm được là n = 1 b) n - 1 M n2 - n + 1 n(n - 1) M n2 - n + 1 (n2 - n + 1 ) - 1 M n2 - n + 1 1 M n2 - n + 1. Có hai trường hợp xẩy ra: n 0 + n2 - n + 1 = 1 n(n - 1) = 0 n 1 (Tm đề bài) + n2 - n + 1 = -1 n2 - n + 2 = 0 (Vô nghiệm) Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho: a) n2 + 2n - 4 M 11 b) 2n3 + n2 + 7n + 1 M 2n - 1 c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 M n4 - 1 d) n3 - n2 + 2n + 7 M n2 + 1 Giải a) Tách n2 + 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B(11) n2 + 2n - 4 M 11 (n2 - 2n - 15) + 11 M 11 (n - 3)(n + 5) + 11 M 11 n 3M1 1 n = B(11) + 3 (n - 3)(n + 5) M 11 n + 5 M1 1 n = B(11) - 5 b) 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5 Để 2n3 + n2 + 7n + 1 M 2n - 1 thì 5 M 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5) 2n 1 = - 5 n = - 2 2n 1 = -1 n = 0 2n 1 = 1 n = 1 2n 1 = 5 n = 3 Vậy: n  2; 0; 1; 3  thì 2n3 + n2 + 7n + 1 M 2n - 1
  25. c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 M n4 - 1 Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1) = n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1) B = n4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1) A chia hết cho b nên n 1 A chia hết cho B n - 1 M n + 1 (n + 1) - 2 M n + 1 n 1 = - 2 n = -3 n 1 = - 1 n = - 2 n 1 = 1 n = 0 n 1 = 2 $ 2 M n + 1 n = 1 (khong Tm) Vậy: n  3; 2; 0  thì n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 M n4 - 1 d) Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 được thương là n - 1, dư n + 8 Để n3 - n2 + 2n + 7 M n2 + 1 thì n + 8 M n2 + 1 (n + 8)(n - 8) M n2 + 1 65 M n2 + 1 Lần lượt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0; 2; 8 Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8 (T/m) Vậy: n3 - n2 + 2n + 7 M n2 + 1 khi n = 0, n = 8 Bài tập về nhà: Tìm số nguyên n để: a) n3 – 2 chia hết cho n – 2 b) n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1 c)5n – 2n chia hết cho 63 Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết Bài 1: Tìm n N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7 Giải n 3k k Nếu n = 3k ( k N) thì 2 – 1 = 2 – 1 = 8 - 1 chia hết cho 7
  26. Nếu n = 3k + 1 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1 Nếu n = 3k + 2 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3 V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3 Bài 2: Tìm n N để: a) 3n – 1 chia hết cho 8 b) A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25 c) 5n – 2n chia hết cho 9 Giải a) Khi n = 2k (k N) thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8 Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3. (9k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2 Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k N) b) A = 32n + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n = 25. 32n + 2.32n + 2.24n = BS 25 + 2(9n + 16n) Nếu n = 2k +1(k N) thì 9n + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25 Nếu n = 2k (k N) thì 9n có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16n có chữ số tận cùng bằng 6 suy ra 2((9n + 16n) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25 c) Nếu n = 3k (k N) thì 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho 9 Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k = BS 9 + 3(BS 9 – 1)k = BS 9 + BS 9 + 3 Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9
  27. CHUYEÂN ÑEÀ 5: SOÁ CHÍNH PHÖÔNG I. Soá chính phöông: A. Moät soá kieán thöùc: Soá chính phöông: soá baèng bình phöông cuûa moät soá khaùc Ví duï: 4 = 22; 9 = 32 A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2 + Số chính phương không tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8 + Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 23 thì chia hết cho 24, 1{1 1 9{9 9 9{9 9 + Số n = a thì n = 9a 9a + 1 = n + 1 = 10n B. Moät soá baøi toaùn: 1. Baøi 1: Chöùng minh raèng: Moät soá chính phöông chia cho 3, cho 4 chæ coù theå dö 0 hoaëc 1 Giaûi
  28. Goïi A = n2 (n N) a) xeùt n = 3k (k N) A = 9k2 neân chia heát cho 3 n = 3k 1 (k N) A = 9k2 6k + 1, chia cho 3 dö 1 Vaäy: soá chính phöông chia cho 3 dö 0 hoaëc 1 b) n = 2k (k N) thì A = 4k2 chia heát cho 4 n = 2k +1 (k N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dö 1 Vaäy: soá chính phöông chia cho 4 dö 0 hoaëc 1 Chuù yù: + Soá chính phöông chaün thì chia heát cho 4 + Soá chính phöông leû thì chia cho 4 thì dö 1( Chia 8 cuûng dö 1) 2. Baøi 2: Soá naøo trong caùc soá sau laø soá chính phöông a) M = 19922 + 19932 + 19942 b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 d) Q = 12 + 22 + + 1002 e) R = 13 + 23 + + 1003 Giaûi a) caùc soá 19932, 19942 chia cho 3 dö 1, coøn 19922 chia heát cho 3 M chia cho 3 dö 2 do ñoù M khoâng laø soá chính phöông b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 goàm toång hai soá chính phöông chaün chia heát cho 4, vaø hai soá chính phöông leû neân chia 4 dö 2 suy ra N khoâng laø soá chính phöông c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 chia 4 dö 2 neân khoâng laø soá chính phöông d) Q = 12 + 22 + + 1002
  29. Soá Q goàm 50 soá chính phöông chaün chia heát cho 4, 50 soá chính phöông leû, moãi soá chia 4 dö 1 neân toång 50 soá leû ñoù chia 4 thì dö 2 do ñoù Q chia 4 thì dö 2 neân Q khoâng laø soá chính phöông e) R = 13 + 23 + + 1003 k(k + 1) k(k - 1) Goïi Ak = 1 + 2 + + k = 2 , Ak – 1 = 1 + 2 + + k = 2 2 2 3 Ta coù: Ak – Ak -1 = k khi ñoù: 3 2 1 = A1 3 2 2 2 = A2 – A1 3 2 2 n = An = An - 1 Coäng veá theo veá caùc ñaúng thöùc treân ta coù: 2 2 n(n + 1) 100(100 1) 2 50.101 3 3 3 2 2 2 1 + 2 + +n = An = laø soá chính phöông 3. Baøi 3: CMR: Với mọi n N thì caùc soá sau laø số chính phương. a) A = (10n +10n-1 + +.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1 10n 1 1 1112 3 1 .(10n 1 5) 1 A = (n )(10 n+1 + 5) + 1 10 1 2 a - 1 a 2 + 4a - 5 + 9 a 2 + 4a + 4 a + 2 Đặt a = 10n+1 thì A = 9 (a + 5) + 1 = 9 9 3 114112 4.3 1 514552 43 5 b) B = n n - 1 6 ( có n số 1 và n-1 số 5)
  30. 114112 4.3 1 514552 43 5 114112 4.3 1 514552 43 5 114112 4.3 1 B = n n + 1 = n . 10n + n + 1 = n . 10n + 5 114112 4.3 1 n + 1 1112 3 1 Ñaët n = a thì 10n = 9a + 1 neân 2 3{3 34 2 2 B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a + 6a + 1 = (3a + 1) = n - 1 1112 3 1 41442 43.4 c) C =2n .+ n + 1 1112 3 1 1112 3 11112 3 1 1112 3 1 Ñaët a = n Thì C = n n + 4. n + 1 = a. 10n + a + 4 a + 1 = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 9192 3 9 0102 3 0 9192 3 9 d) D = n 8n 1 . Ñaët n = a 10n = a + 1 9192 3 9 D = n . 10n + 2 + 8. 10n + 1 + 1 = a . 100 . 10n + 80. 10n + 1 = 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = 9192 3 9 ()n + 1 2 1112 3 1 2122 3 2 1112 3 1 2122 3 2 1112 3 1 1112 3 1 e) E = n n + 1 5 = n n + 1 00 + 25 = n .10n + 2 + 2. n 00 + 25 3132 3 3 = [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a2 + 300a + 25 = (30a + 5)2 = (n 5)2 4142 3 4 1112 3 1 1112 3 1 f) F = 100 = 4.100 laø soá chính phöông thì 100 laø soá chính phöông 1112 3 1 Soá 100 laø soá leû neân noù laø soá chính phöông thì chia cho 4 phaûi dö 1 Thaät vaäy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 chia 4 dö 1
  31. 1112 3 1 100 coù hai chöõ soá taän cuøng laø 11 neân chia cho 4 thì dö 3 1112 3 1 4142 3 4 vaäy 100 khoâng laø soá chính phöông neân F = 100 khoâng laø soá chính phöông Baøi 4: 1114 2 4.131 1114 2 4131 6146 2 4636 a) Cho các số A = 2m ; B = m + 1 ; C = m CMR: A + B + C + 8 là số chính phương . 102m 1 10m 1 1 10m 1 6. Ta coù: A 9 ; B = 9 ; C = 9 Neân: 102m 1 10m 1 1 10m 1 6. A + B + C + 8 = 9 + 9 + 9 + 8 = 102m 1 10m 1 1 6(10m 1) 72 9 2 10m 16.10m 64 m 2 102m 1 10.10m 1 6.10m 6 72 10 8 = 9 = 9 3 b) CMR: Với mọi x,y Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 laø số chính phương. A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 Baøi 5: Tìm soá nguyeân döông n ñeå caùc bieåu thöùc sau laø soá chính phöông a) n2 – n + 2 b) n5 – n + 2 Giaûi
  32. a) Vôùi n = 1 thì n2 – n + 2 = 2 khoâng laø soá chính phöông Vôùi n = 2 thì n2 – n + 2 = 4 laø soá chính phöông Vôùi n > 2 thì n2 – n + 2 khoâng laø soá chính phöông Vì (n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2 b) Ta coù n5 – n chia heát cho 5 Vì n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1) Vôùi n = 5k thì n chia heát cho 5 Vôùi n = 5k 1 thì n2 – 1 chia heát cho 5 Vôùi n = 5k 2 thì n2 + 1 chia heát cho 5 Neân n5 – n + 2 chia cho 5 thì dö 2 neân n5 – n + 2 coù chöõ soá taän cuøng laø 2 hoaëc 7 neân n5 – n + 2 khoâng laø soá chính phöông Vaäy : Khoâng coù giaù trò naøo cuûa n thoaõ maõn baøi toaùn Baøi 6 : a)Chöùng minh raèng : Moïi soá leû ñeàu vieát ñöôïc döôùi daïng hieäu cuûa hai soá chính phöông b) Moät soá chính phöông coù chöõ soá taän cuøng baèng 9 thì chöõ soá haøng chuïc laø chöõ soá chaün Giaûi Moïi soá leû ñeàu coù daïng a = 4k + 1 hoaëc a = 4k + 3 Vôùi a = 4k + 1 thì a = 4k2 + 4k + 1 – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2 Vôùi a = 4k + 3 thì a = (4k2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2 b)A laø soá chính phöông coù chöõ soá taän cuøng baèng 9 neân A = (10k 3)2 =100k2 60k + 9 = 10.(10k2 6) + 9
  33. Soá chuïc cuûa A laø 10k2 6 laø soá chaün (ñpcm) Baøi 7: Moät soá chính phöông coù chöõ soá haøng chuïc laø chöõ soá leû. Tìm chöõ soá haøng ñôn vò Giaûi Goïi n2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 neân chöõ soá haøng ñôn vò caàn tìm laø chöõ soá taän cuøng cuûa b2 Theo ñeà baøi , chöõ soá haøng chuïc cuûa n2 laø chöõ soá leû neân chöõ soá haøng chuïc cuûa b2 phaûi leû Xeùt caùc giaù trò cuûa b töø 0 ñeán 9 thì chæ coù b2 = 16, b2 = 36 coù chöõ soá haøng chuïc laø chöõ soá leû, chuùng ñeàu taän cuøng baèng 6 Vaäy : n2 coù chöõ soá haøng ñôn vò laø 6 Baøi taäp veà nhaø: Baøi 1: Caùc soá sau ñaây, soá naøo laø soá chính phöông 2122 3 2 a) A = 50 4 b) B = 11115556 c) C = 9192 39 0102 3 0 41442 43.4 8{8 8 n n 25 d) D = n n - 1 9 e) M 1141.2 43.1 2122 3 2 =2n – n f) N = 12 + 22 + + 562 Baøi 2: Tìm soá töï nhieân n ñeå caùc bieåu thöùc sau laø soá chính phöông a) n3 – n + 2 b) n4 – n + 2 Baøi 3: Chöùng minh raèng a)Toång cuûa hai soá chính phöông leû khoâng laø soá chính phöông
  34. b) Moät soá chính phöông coù chöõ soá taän cuøng baèng 6 thì chöõ soá haøng chuïc laø chöõ soá leû Baøi 4: Moät soá chính phöông coù chöõ soá haøng chuïc baèng 5. Tìm chöõ soá haøng ñôn vò CHUYEÂN ÑEÀ 6 - CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ ÑÒNH LÍ TA-LEÙT A M N B C A.Kieán thöùc: 1. Ñònh lí Ta-leùt: ABC  AM AN  = * §Þnh lÝ Ta-lÐt: MN // BC AB AC AM AN MN = * HÖ qu¶: MN // BC AB AC BC B. Baøi taäp aùp duïng: 1. Baøi 1:
  35. B A O E G D C Cho töù giaùc ABCD, ñöôøng thaúng qua A song song vôùi BC caét BD ôû E, ñöôøng thaúng qua B song song vôùi AD caét AC ôû G a) chöùng minh: EG // CD b) Giaû söû AB // CD, chöùng minh raèng AB2 = CD. EG Giaûi Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD OE OA = a) Vì AE // BC OB OC (1) OB OG = BG // AC OD OA (2) OE OG = Nhaân (1) vôùi (2) veá theo veá ta coù: OD OC EG // CD b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD neân AB OA OD CD AB CD = = AB2 CD. EG EG OG OB AB EG AB Baøi 2: Cho ABC vuoâng taïi A, Veõ ra phía ngoaøi tam giaùc ñoù caùc tam giaùc ABD vuoâng caân ôû B, ACF vuoâng caân ôû C. Goïi H laø giao ñieåm cuûa AB vaø CD, K laø giao ñieåm cuûa Ac vaø BF.
  36. D A H K F B C Chöùng minh raèng: a) AH = AK b) AH2 = BH. CK Giaûi Ñaët AB = c, AC = b. BD // AC (cuøng vuoâng goùc vôùi AB) AH AC b AH b AH b neân HB BD c HB c HB + AH b + c AH b AH b b.c AH Hay AB b + c c b + c b + c (1) AB // CF (cuøng vuoâng goùc vôùi AC) neân AK AB c AK c AK c KC CF b KC b KC + AK b + c AK b AK c b.c AK Hay AC b + c b b + c b + c (2) Töø (1) vaø (2) suy ra: AH = AK AH AC b AK AB c AH KC AH KC b) Töø HB BD c vaø KC CF b suy ra HB AK HB AH (Vì AH = AK) AH2 = BH . KC
  37. 3. Baøi 3: Cho hình bình haønh ABCD, ñöôøng thaúng a ñi qua A laàn löôït caét BD, BC, DC theo thöù töï taïi E, K, G. Chöùng minh raèng: a) AE2 = EK. EG 1 1 1 b) AE AK AG c) Khi ñöôøng thaúng a thay ñoåi vò trí nhöng vaãn qua A thì tích BK. DG coù giaù trò khoâng ñoåi A a B b K E D C G Giaûi a) Vì ABCD laø hình bình haønh vaø K BC neân AD // BK, theo heä quaû cuûa ñònh lí Ta-leùt ta coù: EK EB AE EK AE = = AE2 EK.EG AE ED EG AE EG AE DE AE BE = = b) Ta coù: AK DB ; AG BD neân AE AE BE DE BD 1 1 1 1 1 = 1 AE 1 AK AG BD DB BD AK AG AE AK AG (ñpcm) BK AB BK a KC CG KC CG = = = = c) Ta coù: KC CG KC CG (1); AD DG b DG (2) BK a = BK. DG = ab Nhaân (1) vôùi (2) veá theo veá ta coù: b DG khoâng ñoåi (Vì a = AB; b = AD laø ñoä daøi hai caïnh cuûa hình bình haønh ABCD khoâng ñoåi)
  38. 4. Baøi 4: B E A P H F O D Q N M G C Cho töù giaùc ABCD, caùc ñieåm E, F, G, H theo thöù töï chia trong caùc caïnh AB, BC, CD, DA theo tæ soá 1:2. Chöùng minh raèng: a) EG = FH b) EG vuoâng goùc vôùi FH Giaûi Goïi M, N theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa CF, DG 1 1 BM 1 BE BM 1 = = = Ta coù CM = 2 CF = 3 BC BC 3 BA BC 3 EM BM 2 2 = EM = AC EM // AC AC BE 3 3 (1) NF CF 2 2 = NF = BD T¬ng tù, ta cã: NF // BD BD CB 3 3 (2) mµ AC = BD (3) Tõ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a) 1 T¬ng tù nh trªn ta cã: MG // BD, NH // AC vµ MG = NH = 3 AC (b)
  39. MÆt kh¸c EM // AC; MG // BD Vµ AC  BD EM  MG E·MG = 900 (4) T¬ng tù, ta cã: F·NH = 900 (5) Tõ (4) vµ (5) suy ra E·MG = F·NH = 900 (c) Tõ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH b) Gäi giao ®iÓm cña EG vµ FH lµ O; cña EM vµ FH lµ P; cña EM vµ FN lµ Q th× · 0 · · 0 · · · · PQF = 90 QPF + QFP = 90 mµ QPF = OPE (®èi ®Ønh), OEP = QFP ( EMG = FNH) · · 0 Suy ra EOP = PQF = 90 EO  OP EG  FH 5. Bµi 5: Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y nhá CD. Tõ D vÏ ®êng th¼ng song song víi BC, c¾t AC t¹i M vµ AB t¹i K, Tõ C vÏ ®êng th¼ng song song víi AD, c¾t AB t¹i F, qua F ta l¹i vÏ ®êng th¼ng song song víi AC, c¾t BC t¹i P. Chøng minh r»ng a) MP // AB b) Ba ®êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy Gi¶i CP AF = a) EP // AC PB FB (1)
  40. D C P M I A K F B CM DC = AK // CD AM AK (2) c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la c¸c h×nh b×nh hµnh nªn AF = DC, FB = AK (3) CP CM KÕt hîp (1), (2) vµ (3) ta cã PB AM MP // AB (§Þnh lÝ Ta-lÐt ®¶o) (4) CP CM DC DC b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BD vµ CF, ta cã: PB AM = AK FB DC DI CP DI Mµ FB IB (Do FB // DC) PB IB IP // DC // AB (5) Tõ (4) vµ (5) suy ra : qua P cã hai ®êng th¼ng IP, PM cïng song song víi AB // DC nªn theo tiªn ®Ò ¥clÝt th× ba ®iÓm P, I, M th¼ng hang hay MP ®i qua giao ®iÓm cña CF vµ DB hay ba ®êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy 6. Bµi 6: Cho ABC cã BC < BA. Qua C kÎ ®êng th¼ng vu«ng go¸c víi tia ph©n gi¸c BE cña A·BC ; ®êng th¼ng nµy c¾t BE t¹i F vµ c¾t trung tuyÕn BD t¹i G. Chøng minh r»ng ®o¹n th¼ng EG bÞ ®o¹n th¼ng DF chia lµm hai phÇn b»ng nhau
  41. B M K G F A D E C Gi¶i Gäi K lµ giao ®iÓm cña CF vµ AB; M lµ giao ®iÓm cña DF vµ BC KBC cã BF võa lµ ph©n gi¸c võa lµ ®êng cao nªn KBC c©n t¹i B BK = BC vµ FC = FK MÆt kh¸c D lµ trung ®iÓm AC nªn DF lµ ®êng trung b×nh cña AKC DF // AK hay DM // AB Suy ra M lµ trung ®iÓm cña BC 1 DF = 2 AK (DF lµ ®êng trung b×nh cña AKC), ta cã BG BK BG BK 2BK = = GD DF ( do DF // BK) GD DF AK (1) CE DC - DE DC AD 1 1 Mæt kh¸c DE DE DE DE (V× AD = DC) CE AE - DE DC AD 1 1 DE DE DE DE CE AE - DE AE AB AE AB 1 2 2 Hay DE DE DE DF (v× DE = DF : Do DF // AB) CE AK + BK 2(AK + BK) 1 2 2 Suy ra DE DE AK (Do DF = 2 AK) CE 2(AK + BK) 2BK 2 DE AK AK (2) BG CE Tõ (1) vµ (2) suy ra GD = DE EG // BC
  42. OG OE FO = = Gäi giao ®iÓm cña EG vµ DF lµ O ta cã MC MB FM OG = OE Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Cho tø gi¸c ABCD, AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. §êng th¼ng qua O vµ song song víi BC c¾t AB ë E; ®êng th¼ng song song víi CD qua O c¾t AD t¹i F a) Chøng minh FE // BD b) Tõ O kÎ c¸c ®êng th¼ng song song víi AB, AD c¾t BD, CD t¹i G vµ H. Chøng minh: CG. DH = BG. CH Bµi 2: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, ®iÓm M thuéc c¹nh BC, ®iÓm N thuéc tia ®èi cña tia BC sao cho BN = CM; c¸c ®êng th¼ng DN, DM c¾t AB theo thø tù t¹i E, F. Chøng minh: a) AE2 = EB. FE 2 AN b) EB = DF . EF CHUYEÂN ÑEÀ 7 – CAÙC BAØI TOAÙN SÖÛ DUÏNG ÑÒNH LÍ TALEÙT VAØ TÍNH CHAÁT ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC
  43. A B D C A D' B C A. Kieán thöùc: 2. Tính chaát ñöôøng phaân giaùc: BD AB = ABC ,AD laø phaân giaùc goùc A CD AC BD' AB = AD’laø phaân giaùc goùc ngoaøi taïi A: CD' AC B. Baøi taäp vaän duïng 1. Baøi 1: A c b I B D C a Cho ABC coù BC = a, AB = b, AC = c, phaân giaùc AD
  44. a) Tính ñoä daøi BD, CD AI b) Tia phaân giaùc BI cuûa goùc B caét AD ôû I; tính tæ soá: ID Giaûi BD AB c a) AD laø phaân giaùc cuûa B·AC neân CD AC b BD c BD c ac BD = CD + BD b + c a b + c b + c ac ab Do ñoù CD = a - b + c = b + c AI AB ac b + c c : b) BI laø phaân giaùc cuûa A·BC neân ID BD b + c a 2. Baøi 2: A C M D B Cho ABC, coù Bµ 4 DM Giaûi Aµ Aµ + Cµ 1800 - Bµ A·DB = Cµ + 600 a)Ta coù 2 > 2 = 2 A·DB > Bµ AD < AB
  45. b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong ADC, AM laø phaân giaùc ta coù DM AD DM AD DM AD = = = CM AC CM + DM AD + AC CD AD + AC CD.AD CD. d ab DM = AD + AC b + d ; CD = b + c ( Vaän duïng baøi 1) DM = abd (b + c)(b + d) 4abd Ñeå c/m BC > 4 DM ta c/m a > (b + c)(b + d) hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) Thaät vaäy : do c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd . Baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc c/m Baøi 3: Cho ABC, trung tuyeán AM, caùc tia phaân giaùc cuûa caùc goùc AMB , AMC caét AB, AC theo thöù töï ôû D vaø E a) Chöùng minh DE // BC A I D E B M C b) Cho BC = a, AM = m. Tính ñoä daøi DE c) Tìm taäp hôïp caùc giao dieåm I cuûa AM vaø DE neáu ABC coù BC coá ñònh, AM = m khoâng ñoåi
  46. d) ABC coù ñieàu kieän gì thì DE laø ñöôøng trung bình cuûa noù Giaûi DA MB a) MD laø phaân giaùc cuûa A·MB neân DB MA (1) EA MC ME laø phaân giaùc cuûa A·MC neân EC MA (2) DA EA Töø (1), (2) vaø giaû thieát MB = MC ta suy ra DB EC DE // BC x m - DE AD AI x 2a.m 2 x = b) DE // BC BC AB AM . Ñaët DE = x a m a + 2m 1 a.m c) Ta coù: MI = 2 DE = a + 2m khoâng ñoåi I luoân caùch M moät ñoaïn khoâng ñoåi neân taäp hôïp caùc ñieåm I laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính MI = a.m a + 2m (Tröø giao ñieåm cuûa noù vôùi BC d) DE laø ñöôøng trung bình cuûa ABC DA = DB MA = MB ABC vuoâng ôû A 4. Baøi 4: Cho ABC ( AB < AC) caùc phaân giaùc BD, CE A K D E M B C
  47. a) Ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi BC caét AB ôû K, chöùng minh E naèm giöõa B vaø K b) Chöùng minh: CD > DE > BE Giaûi a) BD laø phaân giaùc neân AD AB AC AE AD AE = EB KB EB E naèm giöõa K vaø B b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa DE vaø CB. Ta coù C·BD = K·DB (Goùc so le trong) K·BD = K·DB maø E naèm giöõa K vaø B neân K·DB > E·DB K·BD > E·DB E·BD > E·DB EB E·CB D· EC >D· CE (Vì D· CE = E·CB ) Suy ra CD > ED CD > ED > BE 5. Baøi 5: Cho ABC vôùi ba ñöôøng phaân giaùc AD, BE, CF. Chöùng minh DB EC FA . . 1 a. DC EA FB . 1 1 1 1 1 1 b. AD BE CF BC CA AB .
  48. Giaûi DB AB = a)AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa B·AC neân ta coù: DC AC (1) H A F E C B D EC BC FA CA = = Töông töï: vôùi caùc phaân giaùc BE, CF ta coù: EA BA (2) ; FB CB (3) DB EC FA AB BC CA . . = . . Töø (1); (2); (3) suy ra: DC EA FB AC BA CB = 1 b) §Æt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. Qua C kÎ ®êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H. AD BA BA.CH c.CH c AD .CH Theo §L TalÐt ta cã: CH BH BH BA + AH b + c 2bc d Do CH < AC + AH = 2b nªn: a b c 1 b c 1 1 1 1 1 1 1 da 2bc 2 b c da 2 b c 1 1 1 1 1 1 1 1 d 2 a c d 2 a b Chøng minh t¬ng tù ta cã : b Vµ c Nªn:
  49. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 da db dc 2 b c a c a b 1 1 1 1 1 1 1 .2 da db dc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 d d d a b c a b c ( ®pcm ) Bµi tËp vÒ nhµ Cho ABC coù BC = a, AC = b, AB = c (b > c), caùc phaân giaùc BD, CE a) Tính ñoä daøi CD, BE roài suy ra CD > BE b) Veõ hình bình haønh BEKD. Chöùng minh: CE > EK c) Chöùng minh CE > BD CHUYEÂN ÑEÀ 8 – CHÖÕ SOÁ TAÄN CUØNG A. Kieán thöùc: 1. Moät soá tính chaát: a) Tính chaát 1: + Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 0; 1; 5; 6khi naâng leân luyõ thöøa baäc baát kyø naøo thì chöõ soá taän cuøng khoâng thay ñoåi + Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 4; 9 khi naâng leân luyõ thöøa baäc leû thì chöõ soá taän cuøng khoâng thay ñoåi + Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 3; 7; 9 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø 1
  50. + Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 2; 4; 8 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø 6 b) Tính chaát 2: Moät soá töï nhieân baát kyø khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n + 1 (n N) thì chöõ soá taän cuøng khoâng thay ñoåi c) Tính chaát 3: + Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 3 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n + 3 (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø 7; Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 7 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n + 3 (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø 3 + Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 2 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n + 3 (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø 8; Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 8 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n + 3 (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø 2 + Caùc soá coù chöõ soá taän cuøng laø 0; 1; 4; 5; 6; 9 khi naâng leân luyõ thöøa baäc 4n + 3 (n N) thì chöõ soá taän cuøng laø khoâng ñoåi 2. Moät soá phöông phaùp: + Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa x = am thì ta xeùt chöõ soá taän cuøng cuûa a: - Neáu chöõ soá taän cuøng cuûa a laø caùc chöõ soá: 0; 1; 5; 6 thì chöõ soá taän cuøng cuûa x laø 0; 1; 5; 6 - Neáu chöõ soá taän cuøng cuûa a laø caùc chöõ soá: 3; 7; 9 thì : * Vì am = a4n + r = a4n . ar Neáu r laø 0; 1; 2; 3 thì chöõ soá taän cuøng cuûa x laø chöõ soá taän cuøng cuûa ar Neáu r laø 2; 4; 8 thì chöõ soá taän cuøng cuûa x laø chöõ soá taän cuøng cuûa 6.ar B. Moät soá ví duï: Baøi 1:
  51. Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa a) 2436 ; 1672010 6 7 9 9 14 5 7 1414 4 b) ; ; Giaûi a) 2436 = 2434 + 2 = 2434. 2432 2 6 243 coù chöõ soá taän cuøng laø 9 neân chöõ soá taän cuøng cuûa 243 laø 9 Ta coù 2010 = 4.502 + 2 neân 1672010 = 1674. 502 + 2 = 1674.502.1672 1674.502 coù chöõ soá taän cuøng laø 6; 1672 coù chöõ soá taän cuøng laø 9 neân chöõ soá taän cuøng cuûa 1672010 laø chöõ soá taän cuøng cuûa tích 6.9 laø 4 b) Ta coù: +) 99 - 1 = (9 – 1)(98 + 97 + + 9 + 1) = 4k (k N) 99 = 4k + 9 79 1 = 74k + 1 = 74k.7 neân coù chöõ soá taän cuøng laø 7 1414 = (12 + 2)14 = 1214 + 12.1413.2 + + 12.12.213 + 214 chia heát cho 4, vì caùc haïng töû tröôùc 214 ñeàu coù nhaân töû 12 neân chia heát cho 4; haïng töû 214 = 47 chia heát cho 4 hay 14 1414 1414 = 4k = 144k coù chöõ soá taän cuøng laø 6 7 56 +) 56 coù chöõ soá taän cuøng laø 5 neân = 5.(2k + 1) 5.(2k + 1) – 1 = 4 q (k, q N) 6 7 45 5.(2k + 1) = 4q + 1 = 44q + 1 = 44q . 4 coù chöõ soá taän cuøng laø chöõ soá taän cuøng tích 6. 4 laø 4
  52. Baøi 2: Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa 1 5 9 13 8009 A = 2 + 3 + 4 + 5 + + 2004 Giaûi a) Luyõ thöøa cuûa moïi soá haïng cuûa A chia 4 thì dö 1(Caùc soá haïng cuûa A coù daïng n4(n – 2) + 1 (n {2; 3; ; 2004} ) neân moïi soá haïng cuûa A vaø luyõ thöøa cuûa noù coù chöõ soá taän cuøng gioáng nhau (Tính chaát 2) neân chöõ soá taän cuøng cuûa A laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång caùc soá haïng Töø 2 ñeán 2004 coù 2003 soá haïng trong ñoù coù 2000 : 10 = 200 soá haïng coù chöõ soá taän cuøng baèng 0,Toång caùc chöõ soá taän cuøng cuûa A laø (2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 9009 coù chöõ soá taän cuøng laø 9 Vaây A coù chöõ soá taän cuøng laø 9 Baøi 3: Tìm 7 77 a) Hai chöõ soá taän cuøng cuûa 3999; b) Ba chöõ soá taän cuøng cuûa 3100 c) Boán chöõ soá taän cuøng cuûa 51994 Giaûi 999 998 499 499 499 498 a) 3 = 3.3 =3. 9 = 3.(10 – 1) = 3.(10 – 499.10 + +499.10 – 1) = 3.[BS(100) + 4989] = 67 7 77 77 = (8 – 1)7 = BS(8) – 1 = 4k + 3 = 74k + 3 = 73. 74k = 343.( 01)4k = 43
  53. 50.49 b) 3100 = 950 = (10 – 1)50 = 1050 – 50. 1049 + + 2 . 102 – 50.10 + 1 49 = 1050 – 50. 1049 + + 2 . 5000 – 500 + 1 = BS(1000) + 1 = 001 Chuù yù: + Neáu n laø soá leû khoâng chi heát cho 5 thì ba chöõ soá taän cuøng cuûa n100 laø 001 + Neáu moät soá töï nhieân n khoâng chia heát cho 5 thì n100 chia cho 125 dö 1 HD C/m: n = 5k + 1; n = 5k + 2 + Neáu n laø soá leû khoâng chia heát cho 5 thì n101 vaø n coù ba chöõ soá taän cuøng nhö nhau c) Caùch 1: 54 = 625 Ta thaáy soá ( 0625)n = 0625 51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(0625)k = 25.( 0625) = 5625 Caùch 2: Tìm soá dö khi chia 51994 cho 10000 = 24. 54 Ta thaáy 54k – 1 chia heát cho 54 – 1 = (52 – 1)(52 + 1) chia heát cho 16 Ta coù: 51994 = 56. (51988 – 1) + 56 Do 56 chia heát cho 54, coøn 51988 – 1 chia heát cho 16 neân 56(51988 – 1) chia heát cho 10000 6 Ta coù 5 = 15625 Vaäy boán chöõ soá taän cuøng cuûa 51994 laø 5625 Chuù yù: Neáu vieát 51994 = 52. (51992 – 1) + 52 Ta coù: 51992 – 1 chia heát cho 16; nhöng 52 khoâng chia heát cho 54 Nhö vaäy trong baøi toaùn naøy ta caàn vieát 51994 döôùi daïng 5n(51994 – n – 1) + 5n ; n 4 vaø 1994 – n chia heát cho 4
  54. C. Vaän duïng vaøo caùc baøi toaùn khaùc Baøi 1: Chöùng minh raèng: Toång sau khoâng laø soá chính phöông a) A = 19k + 5k + 1995k + 1996k ( k N, k chaün) b) B = 20042004k + 2001 Giaûi a) Ta coù: 19k coù chöõ soá taän cuøng laø 1 5k coù chöõ soá taän cuøng laø 5 1995k coù chöõ soá taän cuøng laø 5 1996k coù chöõ soá taän cuøng laø 6 Neân A coù chöõ soá taän cuøng laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång caùc chöõ soá taän cuøng cuûa toång 1 + 5 + 5 + 6 = 17, coù chöõ soá taän cuøng laø 7 neân khoâng theå laø soá chính phöông b) Ta coù :k chaün neân k = 2n (n N) 20042004k = (20044)501k = (20044)1002n = ( 6)1002n laø luyõ thöøa baäc chaün cuûa soá coù chöõ soá taän cuøng laø 6 neân coù chöõ soá taän cuøng laø 6 neân B = 20042004k + 2001 coù chöõ soá taän cuøng laø 7, do ñoù B khoâng laø soá chính phöông Baøi 2: Tìm soá dö khi chia caùc bieåu thöùc sau cho 5 a) A = 21 + 35 + 49 + + 20038005
  55. b) B = 23 + 37 +411 + + 20058007 Giaûi a) Chöõ soá taän cuøng cuûa A laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång (2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 = 9005 Chöõ soá taän cuøng cuûa A laø 5 neân chia A cho 5 dö 0 b)Töông töï, chöõ soá taän cuøng cuûa B laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + + 9) + 8 + 7 + 4 + 5 = 9024 B coù chöõ soá taän cuøng laø 4 neân B chia 5 dö 4 Baøi taäp veà nhaø 5 73 Baøi 1: Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa: 3102 ; ; 320 + 230 + 715 - 816 9 27 Baøi 2: Tìm hai, ba chöõ soá taän cuøng cuûa: 3555 ; Baøi 3: Tìm soá dö khi chia caùc soá sau cho 2; cho 5: a) 38; 1415 + 1514 b) 20092010 – 20082009 CHUYEÂN ÑEÀ 9 – ÑOÀNG DÖ A. Ñònh nghóa: Neáu hai soá nguyeân a vaø b coù cuøng soá dö trong pheùp chia cho moät soá töï nhieân m 0 thì ta noùi a ñoàng dö vôùi b theo moâñun m, vaø coù ñoàng dö thöùc: a  b (mod m) Ví duï:7  10 (mod 3) , 12  22 (mod 10) + Chuù yù: a  b (mod m) a – b M m
  56. B. Tính chaát cuûa ñoàng dö thöùc: 1. Tính chaát phaûn xaï: a  a (mod m) 2. Tính chaát ñoãi xöùng: a  b (mod m) b  a (mod m) 3. Tính chaát baéc caàu: a  b (mod m), b  c (mod m) thì a  c (mod m) a  b (mod m) a c  b d (mod m) 4. Coäng , tröø töøng veá: c  d (mod m) Heä quaû: a) a  b (mod m) a + c  b + c (mod m) b) a + b  c (mod m) a  c - b (mod m) c) a  b (mod m) a + km  b (mod m) a  b (mod m) ac  bd (mod m) 5. Nhaân töøng veá : c  d (mod m) Heä quaû: a) a  b (mod m) ac  bc (mod m) (c Z) b) a  b (mod m) an  bn (mod m) 6. Coù theå nhaân (chia) hai veá vaø moâñun cuûa moät ñoàng dö thöùc vôùi moät soá nguyeân döông a  b (mod m) ac  bc (mod mc) Chaúng haïn: 11  3 (mod 4) 22  6 (mod 8) ac  bc (mod m) a  b (mod m) 7. (c, m) = 1 16  2 (mod 7) 8  1 (mod 7) Chaúng haïn : (2, 7) = 1 C. Caùc ví duï:
  57. 1. Ví duï 1: Tìm soá dö khi chia 9294 cho 15 Giaûi Ta thaáy 92  2 (mod 15) 9294  294 (mod 15) (1) Laïi coù 24  1 (mod 15) (24)23. 22  4 (mod 15) hay 294  4 (mod 15) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra 9294  4 (mod 15) töùc laø 9294 chia 15 thì dö 4 2. Ví duï 2: Chöùng minh: trong caùc soá coù daïng 2n – 4(n N), coù voâ soá soá chia heát cho 5 Thaät vaäy: Töø 24  1 (mod 5) 24k  1 (mod 5) (1) Laïi coù 22  4 (mod 5) (2) Nhaân (1) vôùi (2), veá theo veá ta coù: 24k + 2  4 (mod 5) 24k + 2 - 4  0 (mod 5) Hay 24k + 2 - 4 chia heát cho 5 vôùi moïi k = 0, 1, 2, hay ta ñöôïc voâ soá soá daïng 2n – 4 (n N) chia heát cho 5 Chuù yù: khi giaûi caùc baøi toaùn veà ñoàng dö, ta thöôøng quan taâm ñeán a  1 (mod m) a  1 (mod m) an  1 (mod m) a  -1 (mod m) an  (-1)n (mod m) 3. Ví duï 3: Chöùng minh raèng a) 2015 – 1 chia heát cho 11 b) 230 + 330 chi heát cho 13
  58. c) 555222 + 222555 chia heát cho 7 Giaûi a) 25  - 1 (mod 11) (1); 10  - 1 (mod 11) 105  - 1 (mod 11) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra 25. 105  1 (mod 11) 205  1 (mod 11) 205 – 1  0 (mod 11) b) 26  - 1 (mod 13) 230  - 1 (mod 13) (3) 33  1 (mod 13) 330  1 (mod 13) (4) Töø (3) vaø (4) suy ra 230 + 330  - 1 + 1 (mod 13) 230 + 330  0 (mod 13) Vaäy: 230 + 330 chi heát cho 13 c) 555  2 (mod 7) 555222  2222 (mod 7) (5) 23  1 (mod 7) (23)74  1 (mod 7) 555222  1 (mod 7) (6) 222  - 2 (mod 7) 222555  (-2)555 (mod 7) Laïi coù (-2)3  - 1 (mod 7) [(-2)3]185  - 1 (mod 7) 222555  - 1 (mod 7) Ta suy ra 555222 + 222555  1 - 1 (mod 7) hay 555222 + 222555 chia heát cho 7 4n + 1 4. Ví duï 4: Chöùng minh raèng soá 22 + 7 chia heát cho 11 vôùi moïi soá töï nhieân n Thaät vaäy:Ta coù: 25  - 1 (mod 11) 210  1 (mod 11) Xeùt soá dö khi chia 24n + 1 cho 10. Ta coù: 24  1 (mod 5) 24n  1 (mod 5) 2.24n  2 (mod 10) 24n + 1  2 (mod 10) 24n + 1 = 10 k + 2 4n + 1 Neân 22 + 7 = 210k + 2 + 7 =4. 210k + 7 = 4.(BS 11 + 1)k + 7 = 4.(BS 11 + 1k) + 7
  59. = BS 11 + 11 chia heát cho 11 Baøi taäp veà nhaø: Baøi 1: CMR: a) 228 – 1 chia heát cho 29 b)Trong caùc soá coù daïng2n – 3 coù voâ soá soá chia heát cho 13 Baøi 2: Tìm soá dö khi chia A = 2011 + 2212 + 19962009 cho 7. CHUYEÂN ÑEÀ 10 – TÍNH CHIA HEÁT ÑOÁI VÔÙI ÑA THÖÙC A. Daïng 1: Tìm dö cuûa pheùp chia maø khoâng thöïc hieän pheùp chia 1. Ña thöùc chia coù daïng x – a (a laø haèng) a) Ñònh lí Bôdu (Bezout, 1730 – 1783): Soá dö trong pheùp chia ña thöùc f(x) cho nhò thöùc x – a baèng giaù trò cuûa f(x) taïi x = a Ta coù: f(x) = (x – a). Q(x) + r Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = a, ta coù f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r Ta suy ra: f(x) chia heát cho x – a f(a) = 0 b) f(x) coù toång caùc heä soá baèng 0 thì chia heát cho x – 1 c) f(x) coù toång caùc heä soá cuûa haïng töû baäc chaün baèng toång caùc heä soá cuûa caùc haïng töû baäc leû thì chia heát cho x + 1 Ví duï : Khoâng laøm pheùp chia, haõy xeùt xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia heát cho
  60. B = x + 1, C = x – 3 khoâng Keát quaû: A chia heát cho B, khoâng chia heát cho C 2. Ña thöùc chia coù baäc hai trôû leân Caùch 1: Taùch ña thöùc bò chia thaønh toång cuûa caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia vaø dö Caùch 2: Xeùt giaù trò rieâng: goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b thì f(x) = g(x). Q(x) + ax + b Ví duï 1: Tìm dö cuûa pheùp chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1 Caùch 1: Ta bieát raèng x2n – 1 chia heát cho x2 – 1 neân ta taùch: x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1 = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dö 3x + 1 Caùch 2: Goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b, Ta coù: x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b vôùi moïi x Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = 1, ta coù 4 = a + b (1) vôùi x = - 1 ta coù - 2 = - a + b (2) Töø (1) vaø (2) suy ra a = 3, b =1 neân ta ñöôïc dö laø 3x + 1 Ghi nhôù: an – bn chia heát cho a – b (a -b) an + bn ( n leû) chia heát cho a + b (a -b) Ví duï 2: Tìm dö cuûa caùc pheùp chia
  61. a) x41 chia cho x2 + 1 b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1 c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1 Giaûi 41 41 40 4 10 4 a) x = x – x + x = x(x – 1) + x = x[(x ) – 1] + x chia cho x – 1 dö x neân chia cho x2 + 1 dö x 27 9 3 27 9 3 b) x + x + x + x = (x – x) + (x – x) + (x – x) + 4x = x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dö 4x c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7 HÖ sè thø 2 + cña ®a thøc HÖ sè thø bÞ chia a 1®a thøc bÞ chia HÖ sè cña ®a thøc chia chia cho x2 + 1 dö – 2x + 7 B. Sô ñoà HORNÔ 1. Sô ñoà Ñeå tìm keát quaû cuûa pheùp chia f(x) cho x – a (a laø haèng soá), ta söû duïng sô ñoà hornô 3 2 Neáu ña thöùc bò chia laø a0x + a1x + a2x + a3, ña thöùc chia laø x – a ta ñöôïc thöông laø
  62. 2 b0x + b1x + b2, dö r thì ta coù a 0 a1 a2 a3 b = a b = ab + a a 0 0 1 0 1 b2 = ab1+ a2 r = ab2 + a3 Ví duï: Ña thöùc bò chia: x3 -5x2 + 8x – 4, ña thöùc chia x – 2 Ta coù sô ñoà 1 - 5 8 - 4 2 1 2. 1 + (- 5) = -3 2.(- 3) + 8 = 2 r = 2. 2 +(- 4) = 0 Vaäy: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 laø pheùp chia heát 2. AÙp duïng sô ñoà Hornô ñeå tính giaù trò cuûa ña thöùc taïi x = a Giaù trò cuûa f(x) taïi x = a laø soá dö cuûa pheùp chia f(x) cho x – a 1. Ví duï 1: Tính giaù trò cuûa A = x3 + 3x2 – 4 taïi x = 2010 Ta coù sô ñoà: 1 3 0 -4 a = 2010 1 2010.1+3 = 2013 2010.2013 + 0 2010.4046130 – 4 = 4046130 = 8132721296 Vaäy: A(2010) = 8132721296 C. Chöngs minh moät ña thöùc chia heát cho moät ña thöùc khaùc I. Phöông phaùp:
  63. 1. Caùch 1: Phaân tích ña thöùc bò chia thaønh nhaân töû coù moät thöøa soá laø ña thöùc chia 2. Caùch 2: bieán ñoåi ña thöùc bò chia thaønh moät toång caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia 3. Caùch 3: Bieán ñoåi töông ñöông f(x) M g(x) f(x) g(x) M g(x) 4. caùch 4: Chöùng toû moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia ñeàu laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia II. Ví duï 1.Ví duï 1: Chöùng minh raèng: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1 Ta coù: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1) Ta laïi coù: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) chia heát cho x2n + xn + 1 Vaäy: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1 2. Ví duï 2: Chöùng minh raèng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N Ta coù: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1 = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1) Vì x3m – 1 vaø x3n – 1 chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1 Vaäy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N 3. Ví duï 3: Chöùng minh raèng
  64. f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Ta coù: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + 1 – 1 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia heát cho x10 – 1 Maø x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia heát cho x9 + x8 + x7 + + x + 1 Suy ra f(x) – g(x) chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Neân f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 4. Ví duï 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x Ña thöùc g(x) = x2 – x = x(x – 1) coù 2 nghieäm laø x = 0 vaø x = 1 Ta coù f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0 x = 0 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá x f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 x = 1 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá x – 1, maø caùc thöøa soá x vaø x – 1 khoâng coù nhaân töû chung, do ñoù f(x) chia heát cho x(x – 1) hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x 5. Ví duï 5: Chöùng minh raèng a) A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1 b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia heát cho D = (x – 1)2 c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia heát cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1)
  65. Giaûi a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x) Ta coù: x2 – x + 1 chia heát cho B = x2 – x + 1 x9 + 1 chia heát cho x3 + 1 neân chia heát cho B = x2 – x + 1 x1945 – x = x(x1944 – 1) chia heát cho x3 + 1 (cuøng coù nghieäm laø x = - 1) neân chia heát cho B = x2 – x + 1 Vaäy A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1 b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8 - 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1) 8 7 7 6 = 8(x – 1)(x + x + + 1) – 9(x – 1)(x + x + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho x – 1 vì coù toång heä soá baèng 0 suy ra (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho (x – 1)2 c) Ña thöùc chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) coù ba nghieäm laø x = 0, x = - 1, x = 1 - 2 Ta coù: C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0 x = 0 laø nghieäm cuûa C(x) C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 x = - 1 laø nghieäm cuûa C(x) 1 1 1 1 1 C(- 2 ) = (-2 + 1)2n – (-2 )2n – 2.(- 2 ) – 1 = 0 x = - 2 laø nghieäm cuûa C(x) Moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia ñpcm
  66. 6. Ví duï 6: Cho f(x) laø ña thöùc coù heä soá nguyeân. Bieát f(0), f(1) laø caùc soá leû. Chöùng minh raèng f(x) khoâng coù nghieäm nguyeân Giaû söû x = a laø nghieäm nguyeân cuûa f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong ñoù Q(x) laø ña thöùc coù heä soá nguyeân, do ñoù f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1) Do f(0) laø soá leû neân a laø soá leû, f(1) laø soá leû neân 1 – a laø soá leû, maø 1 – a laø hieäu cuûa 2 soá leû khoâng theå laø soá leû, maâu thuaån Vaäy f(x) khoâng coù nghieäm nguyeân Baøi taäp veà nhaø: Baøi 1: Tìm soá dö khi a) x43 chia cho x2 + 1 b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1 Baøi 2: Tính giaù trò cuûa ña thöùc x4 + 3x3 – 8 taïi x = 2009 Baøi 3: Chöùng minh raèng a) x50 + x10 + 1 chia heát cho x20 + x10 + 1 b) x10 – 10x + 9 chia heát cho x2 – 2x + 1 c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia heát cho x2 + 2x + 1 d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia heát cho x2 + 1 e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia heát cho (x + 1)(x – 1)2 CHUYEÂN ÑEÀ 11 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ BIEÅU THÖÙC HÖÕU TÆ
  67. A. Nhaéc laïi kieán thöùc: Caùc böôùc ruùt goïn bieåu thöùc höûu tæ a) Tìm ÑKXÑ: Phaân tích maãu thaønh nhaân töû, cho taát caû caùc nhaân töû khaùc 0 b) Phaân tích töû thaønh nhaân , chia töû vaø maãu cho nhaân töû chung B. Baøi taäp: x4 5x2 4 Baøi 1: Cho bieåu thöùc A = x4 10x2 9 a) Ruùt goïn A b) tìm x ñeå A = 0 c) Tìm giaù trò cuûa A khi 2x 1 7 Giaûi a)Ñkxñ : x4 – 10x2 + 9 0 [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) 0 x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1) 0 (x2 – 1)(x2 – 9) 0 (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) 0 x 1 x 1 x 1 x 3 x 3 x 3 Töû : x4 – 5x2 + 4 = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) Vôùi x 1; x 3 thì
  68. (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) A = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3) (x - 2)(x + 2) b) A = 0 (x - 3)(x + 3) = 0 (x – 2)(x + 2) = 0 x = 2 2x 1 7 2x 8 x 4 c) 2x 1 7 2x 1 7 2x 6 x 3 (x - 2)(x + 2) (4 - 2)(4 + 2) 12 * Vôùi x = 4 thì A = (x - 3)(x + 3) (4 - 3)(4 + 3) 7 * Vôùi x = - 3 thì A khoâng xaùc ñònh 2. Baøi 2: 2x3 7x2 12x 45 Cho bieåu thöùc B = 3x3 19x2 33x 9 a) Ruùt goïn B b) Tìm x ñeå B > 0 Giaûi a) Phaân tích maãu: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9) = (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1) 1 Ñkxñ: (x – 3)2(3x – 1) 0 x 3 vaø x 3 b) Phaân tích töû, ta coù: 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15) = (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5) 1 Vôùi x 3 vaø x 3
  69. 2x3 7x2 12x 45 (x - 3)2 (2x + 5) 2x + 5 2 Thì B = 3x3 19x2 33x 9 = (x - 3) (3x - 1) 3x - 1 1 x 3 3x 1 0 5 1 x x 2x 5 0 2 3 3x 1 0 1 5 x x 2x 5 0 3 2 5 2x + 5 x c) B > 0 3x - 1 > 0 2 3. Baøi 3 1 2 5 x 1 2x 2 : 2 Cho bieåu thöùc C = 1 x x 1 1 x x 1 a) Ruùt goïn bieåu thöùc C b) Tìm giaù trò nguyeân cuûa x ñeå giaù trò cuûa bieåu thöùc B laø soá nguyeân Giaûi a) Ñkxñ: x 1 1 2 5 x 1 2x 1 x 2(1 x) 5 (x 1)(x 1) 2 2 : 2 . C = 1 x x 1 1 x x 1 (1 x)(1 x) 1 2x 2x 1 2 b) B coù giaù trò nguyeân khi x laø soá nguyeân thì 2x 1 coù giaù trò nguyeân 2x 1 1 x 1 2x 1 1 x 0 2x 1 2 x 1,5 2x – 1 laø Ö(2) 2x 1 2 x 1 Ñoái chieáu Ñkxñ thì chæ coù x = 0 thoaû maõn 4. Baøi 4
  70. x3 x2 2x 2 Cho bieåu thöùc D = x x 2 x 4 a) Ruùt goïn bieåu thöùc D b) Tìm x nguyeân ñeå D coù giaù trò nguyeân c) Tìm giaù trò cuûa D khi x = 6 Giaûi a) Neáu x + 2 > 0 thì x 2 = x + 2 neân x3 x2 2x x3 x2 2x x(x 1)(x 2) x2 x 2 2 D = x x 2 x 4 = x(x 2) x 4 x(x 2) (x 2)(x 2) 2 Neáu x + 2 - 2 x > - 2 Vì x(x – 1) laø tích cuûa hai soá nguyeân lieân tieáp neân chia heát cho 2 vôùi moïi x > - 2 x x M 2 x = 2k x 2k (k Z; k - 2 neân D = 2 = 2 Baøi taäp veà nhaø Baøi 1:
  71. 2 x 3 x 2 x x 2 : 1 Cho bieåu thöùc A = x 3 x 2 x 5x 6 x 1 a) Ruùt goïn A b) Tìm x ñeå A = 0; A > 0 Baøi 2: 3y3 7y2 5y 1 3 2 Cho bieåu thöùc B = 2y y 4y 3 a) Ruùt goïn B 2D b) Tìm soá nguyeân y ñeå 2y + 3 coù giaù trò nguyeân c) Tìm soá nguyeân y ñeå B 1 CHUYEÂN ÑEÀ 12 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ BIEÅU THÖÙC (TIEÁP) * Daïng 2: Caùc bieåu thöùc coù tính quy luaät Baøi 1: Ruùt goïn caùc bieåu thöùc 3 5 2n 1 (1.2)2 (2.3)2 2 a) A = n(n 1) Phöông phaùp: Xuaát phaùt töø haïng töû cuoái ñeå tìm ra quy luaät 2n 1 2n 1 1 1 2 2 2 2 2 Ta coù n(n 1) = n (n 1) n (n 1) Neân 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n(n 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A = 1 2 2 3 3 n n (n 1) 1 (n 1) (n 1)
  72. 1 1 1 1 1 2 . 1 2 . 1 2 1 2 b) B = 2 3 4 n 1 k 2 1 (k 1)(k 1) 1 Ta coù k 2 k 2 k 2 Neân B = 1.3 2.4 3.5 (n 1)(n 1) 1.3.2.4 (n 1)(n 1) 1.2.3 (n 1) 3.4.5 (n 1) 1 n 1 n 1 . . . . 22 32 42 n2 22.32.42 n2 2.3.4 (n 1)n 2.3.4 n n 2 2n 150 150 150 150 1 1 1 1 1 1 1 150. . c) C = 5.8 8.11 11.14 47.50 = 3 5 8 8 11 47 50 1 1 9 50. 45 = 50. 5 50 10 1 1 1 1 d) D = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1) = 1 1 1 1 1 1 1 . 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n 1)n n(n 1) 1 1 1 (n 1)(n 2) = 2 1.2 n(n 1) 4n(n 1) Baøi 2: m 1 m 2 2 1 1 1 1 1 A a) Cho A = 1 2 m 2 n 1 ; B = 2 3 4 n . Tính B Ta coù n n n n 1 1 1 1 1 1 1 n (n 1) 1 2 n 2 n 1 1 4 2 43 1 2 n 2 n 1 A = n 1 1 1 1 1 1 1 1 A n 1 n nB = 1 2 n 2 n 1 2 n 2 n 1 B = n
  73. 1 1 1 1 b) A = 1.(2n - 1) 3.(2n - 3) (2n - 3).3 (2n - 1).1 ; B = 1 + 1 1 3 2n - 1 Tính A : B Giaûi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 2n 2n - 1 3 2n - 3 2n - 3 3 2n - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n 3 2n - 1 2n - 3 2n - 1 2n - 3 3 1 1 1 1 1 A 1 .2. 1 .2.B 2n 3 2n - 1 2n - 3 2n B n Baøi taäp veà nhaø Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau: 1 1 1 + + a) 1.2 2.3 (n - 1)n b) 12 32 52 n2 . . 22 1 42 1 62 1 (n + 1)2 1 1 1 1 + + c) 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n +2) * Daïng 3: Ruùt goïn; tính giaù trò bieåu thöùc thoaû maõn ñieàu kieän cuûa bieán 1 x + = 3 Baøi 1: Cho x . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 1 1 A = x2 + B = x3 + C = x4 + a) x2 ; b) x3 ; c) x4 ; d) 1 D = x5 + x5 . Lêi gi¶i
  74. 1 æ 1ö2 A = x2 + = çx + ÷ - 2 = 9 - 2 = 7 2 ç ÷ a) x è xø ; 1 æ 1ö3 æ 1ö B = x3 + = çx + ÷ - 3çx + ÷= 27- 9 = 18 3 ç ÷ ç ÷ b) x è xø è xø ; 1 æ 1 ö2 C = x4 + = çx2 + ÷ - 2 = 49 - 2 = 47 4 ç 2 ÷ c) x è x ø ; æ 1 öæ 1 ö 1 1 A.B = çx2 + ÷çx3 + ÷= x5 + + x + = D + 3 ç 2 ÷ç 3 ÷ 5 d) è x øè x ø x x D = 7.18 – 3 = 123. x y z a b c + + = 2 + + = 2 Baøi 2: Cho a b c (1); x y z (2). 2 2 2 a b c + + Tính giaù trò bieåu thöùc D = x y z Töø (1) suy ra bcx + acy + abz = 0 (3) Töø (2) suy ra 2 2 2 2 2 2 a b c ab ac bc a b c ab ac bc + + + 2 . 4 + + 4 2 . x y z xy xz yz x y z xy xz yz (4) Thay (3) vaøo (4) ta coù D = 4 – 2.0 = 4 Baøi 3 a b 2c a) Cho abc = 2; ruùt goïn bieåu thöùc A = ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2 Ta coù : a ab 2c a ab 2c A = ab + a + 2 abc + ab + a ac + 2c + 2 ab + a + 2 2 + ab + a ac + 2c + abc
  75. = a ab 2c a ab 2 ab + a + 2 1 ab + a + 2 2 + ab + a c(a + 2 + ab) ab + a + 2 2 + ab + a a + 2 + ab ab + a + 2 b) Cho a + b + c = 0; ruùt goïn bieåu thöùc B = a 2 b2 c2 a 2 - b2 - c2 b2 - c2 - a 2 c2 - b2 - a 2 Töø a + b + c = 0 a = -(b + c) a2 = b2 + c2 + 2bc a2 - b2 - c2 = 2bc Töông töï ta coù: b2 - a2 - c2 = 2ac ; c2 - b2 - a2 = 2ab (Hoaùn vò voøng quanh), neân a 2 b2 c2 a3 b3 c3 B = 2bc 2ac 2ab 2abc (1) a + b + c = 0 -a = (b + c) -a3 = b3 + c3 + 3bc(b + c) -a3 = b3 + c3 – 3abc a3 + b3 + c3 = 3abc (2) a3 b3 c3 3abc 3 Thay (2) vaøo (1) ta coù B = 2abc 2abc 2 (Vì abc 0) c) Cho a, b, c töøng ñoâi moät khaùc nhau thoaû maõn: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 a 2 b2 c2 + Ruùt goïn bieåu thöùc C = a 2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab Töø (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ab + ac + bc = 0 a2 + 2bc = a2 + 2bc – (ab + ac + bc) = a2 – ab + bc – ac = (a – b)(a – c) Töông töï: b2 + 2 ac = (b – a)(b – c) ; c2 + 2ab = (c – a)(c – b)
  76. C = a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 + - (a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (a - b)(b - c) (a - c)(b - c) = a 2 (b - c) b2 (a - c) c2 (b - c) (a - b)(a - c)(b - c) - 1 (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) * Daïng 4: Chöùng minh ñaúng thöùc thoaû maõn ñieàu kieän cuûa bieán 1 1 1 1 1 1 + + = 2 + + = 2 1. Baøi 1: Cho a b c (1); a 2 b2 c2 (2). Chöùng minh raèng: a + b + c = abc Töø (1) suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + 2 + 2 + 2. + + 4 2. + + 4 2 + 2 + 2 a b c ab bc ac ab bc ac a b c 1 1 1 a + b + c + + 1 1 ab bc ac abc a + b + c = abc 2. Baøi 2: Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn 1 1 1 1 + + = a b c a + b + c . Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. 1 1 1 1 2009 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 Tõ ®ã suy ra r»ng :a b c a + b + c . 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + - = 0 Ta cã : a b c a + b + c a b c a + b + c a + b a + b + = 0 ab c(a + b + c)
  77. éa + b = 0 éa = - b c(a + b + c) + ab ê ê (a + b). = 0 Û (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Û êb + c = 0 Û êb = - c ê ê abc(a + b + c) ê ê ëc + a = 0 ëc = - a 1 1 1 1 1 1 1 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + 2009 + 2009 = 2009 Tõ ®ã suy ra : a b c a (- c) c a 1 1 1 2009 2009 2009 = 2009 2009 2009 = 2009 a + b + c a + (- c) + c a 1 1 1 1 2009 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c . a b c b c a + + 3. Baøi 3: Cho b c a a b c (1) chöùng minh raèng : trong ba soá a, b, c toàn taïi hai soá baèng nhau 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Töø (1) a c + ab + bc = b c + ac + a b a (b - c) - a(c b ) bc(c - b) = 0 (c – b)(a2 – ac = ab + bc) = 0 (c – b)(a – b)( a – c) = 0 ñpcm 4. Baøi 4: Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc); abc 0 vaø a b 1 1 1 + + = a + b + c Chöùng minh raèng: a b c Töø GT a2b – b2c - a3bc + ab2c2 = ab2 – a2c – ab3c + a2bc2 (a2b – ab2) + (a2c – b2c) = abc2(a – b) + abc(a - b)(a + b) (a – b)(ab + ac + bc) = abc(a – b)(a + b + c) ab + ac + bc 1 1 1 = a + b + c + + = a + b + c abc a b c a b c + + = 0 5. Baøi 5: Cho a + b + c = x + y + z = x y z ; Chöùng minh raèng: ax2 + by2 + cz2 = 0
  78. Töø x + y + z = 0 x2 = (y + z)2 ; y2 = (x + z)2 ; z2 = (y + x)2 ax2 + by2 + cz2 = a(y + z)2 + b(x + z)2 + c (y + x)2 = = (b + c)x2 + (a + c)y2 + (a + b)z2 + 2(ayz + bxz + cxy) (1) Töø a + b + c = 0 - a = b + c; - b = a + c; - c = a + b (2) a b c + + = 0 Töø x y z ayz + bxz + cxy = 0 (3). Thay (2), (3) vaøo (1); ta coù: ax2 + by2 + cz2 = -( ax2 + by2 + cz2 ) ax2 + by2 + cz2 = 0 a b c + 0 6. Baøi 6: Cho b - c c - a a - b ; chöùng minh: a b c + 0 (b - c)2 (c - a)2 (a - b)2 a b c a b c b2 ab + ac - c2 + 0 = Töø b - c c - a a - b b - c a - c b - a (a - b)(c - a) a b2 ab + ac - c2 1 2 (b - c) (a - b)(c - a)(b - c) (1) (Nhaân hai veá vôùi b - c ) b c2 bc + ba - a 2 c a 2 ac + cb - b2 2 2 Töông töï, ta coù: (c - a) (a - b)(c - a)(b - c) (2) ; (a - b) (a - b)(c - a)(b - c) (3) Coäng töøng veá (1), (2) vaø (3) ta coù ñpcm 7. Baøi 7: a - b b - c c - a c a b + + Cho a + b + c = 0; chöùng minh: c a b a - b b - c c - a = 9 (1) a - b b - c c - a c 1 a 1 b 1 = x ; y; z = ; Ñaët c a b a - b x b - c y c - a z 1 1 1 x + y + z + + 9 (1) x y z
  79. 1 1 1 y + z x + z x + y x + y + z + + 3 + + Ta coù: x y z x y z (2) Ta laïi coù: y + z b - c c - a c b2 bc + ac - a 2 c c(a - b)(c - a - b) c(c - a - b) . . x a b a - b ab a - b ab(a - b) ab c2c - (a + b + c) 2c2 = ab ab (3) x + z 2a 2 x + y 2b2 Töông töï, ta coù: y bc (4) ; z ac (5) Thay (3), (4) vaø (5) vaøo (2) ta coù: 1 1 1 2c2 2a 2 2b2 2 x + y + z + + 3 x y z + ab bc ac = 3 + abc (a3 + b3 + c3 ) (6) Töø a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc (7) ? 1 1 1 2 x + y + z + + 3 Thay (7) vaøo (6) ta coù: x y z + abc . 3abc = 3 + 6 = 9 Baøi taäp veà nhaø: 1 1 1 yz xz xy + + 0 2 + 2 + 2 1) cho x y z ; tính giaù trò bieåu thöùc A = x y z xyz xyz xyz 3 + 3 + 3 HD: A = x y z ; vaän duïng a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc ; Tính giaù trò bieåu thöùc A = a b c + 1 + 1 + 1 b c a y z x z x y 3 0 3) Cho x + y + z = 0; chöùng minh raèng: x y z
  80. a b c 4) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1; x y z . Chöùng minh xy + yz + xz = 0 CHUYEÂN ÑEÀ 13 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG A. Kieán thöùc: * Tam giaùc ñoàng daïng: a) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.c.c) AB AC BC = = ABC A’B’C’ A'B' A'C' B'C' b) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.g.c) AB AC = ABC A’B’C’ A'B' A'C' ; Aµ = Aµ' c. Tröôøng hôïp ñoàng daïng thöù ba (g.g) ABC A’B’C’ Aµ = Aµ' ; Bµ = Bµ' A'H' AH; A’H’laø hai ñöôøng cao töông öùng thì: AH = k (Tæ soá ñoàng daïng); SA'B'C' S 2 ABC = K B. Baøi taäp aùp duïng Baøi 1: Cho ABC coùBµ = 2 Cµ , AB = 8 cm, BC = 10 cm. a)Tính AC
  81. A E B C D b)Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc treân laø ba soá töï nhieân lieân tieáp thì moãi caïnh laø bao nhieâu? Giaûi Caùch 1: Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm E sao cho:BD = BC AC AD ACD ABC (g.g) AB AC 2 AC AB. AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm Caùch 2: Veõ tia phaân giaùc BE cuûa A·BC ABE ACB AB AE BE AE + BE AC = AC2 = AB(AB + CB) AC AB CB AB + CB AB + CB = 8(8 + 10) = 144 AC = 12 cm b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c thì töø caâu a ta coù b2 = a(a + c) (1) Vì b > aneân coù theå b = a + 1 hoaëc b = a + 2 2 2 + Neáu b = a + 1 thì (a + 1) = a + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1
  82. a = 1; b = 2; c = 3(loaïi) + Neáu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4 - Vôùi a = 1 thì c = 8 (loaïi) A D B C - Vôùi a = 2 thì c = 6 (loaïi) - vôùi a = 4 thì c = 6 ; b = 5 Vaäy a = 4; b = 5; c = 6 Baøi 2: Cho ABC caân taïi A, ñöôøng phaân giaùc BD; tính BD bieát BC = 5 cm; AC = 20 cm Giaûi CD BC 1 = Ta coù AD AC 4 CD = 4 cm vaø BC = 5 cm Baøi toaùn trôû veà baøi 1 Baøi 3: Cho ABC caân taïi A vaø O laø trung ñieåm cuûa BC. Moät ñieåm O di ñoäng OB2 CE = treân AB, laáy ñieåm E treân AC sao cho BD . Chöùng minh raèng
  83. a) DBO OCE b) DOE DBO OCE c) DO, EO laàn löôït laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE, CED d) khoaûng caùch töø O ñeán ñoaïn ED khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB Giaûi A E I 1 2 D 1 H 2 3 B O C OB2 CE OB CE = = a) Töø BD OB BD vaø Bµ = Cµ (gt) DBO OCE µ µ b) Töø caâu a suy ra O3 = E2 (1) µ · · 0 Vì B, O ,C thaúng haøng neân O3 + DOE EOC 180 (2) µ µ · 0 trong tam giaùc EOC thì E2 + C EOC 180 (3) Töø (1), (2), (3) suy ra D·OE Bµ Cµ DO OE = DOE vaø DBO coù DB OC (Do DBO OCE) DO OE = vaø DB OB (Do OC = OB) vaø D·OE Bµ Cµ neân DOE DBO OCE µ µ c) Töø caâu b suy ra D1 = D2 DO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE
  84. µ µ Cuûng töø caâu b suy ra E1 = E2 EO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc CED c) Goïi OH, OI laø khoaûng caùch töø O ñeán DE, CE thì OH = OI, maø O coá ñònh neân OH khoâng ñoåi OI khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB Baøi 4: (Ñeà HSG huyeän Loäc haø – naêm 2007 – 2008) Cho ABC caân taïi A, coù BC = 2a, M laø trung ñieåm BC, laáy D, E thuoäc AB, AC sao cho D·ME = Bµ a) Chöùng minh tích BD. CE khoâng ñoåi b)Chöùng minh DM laø tia phaân giaùc cuûa B·DE c) Tính chu vi cuûa AED neáu ABC laø tam giaùc ñeàu Giaûi a) Ta coù D·MC = D·ME + C·ME = Bµ + B·DM , maø D·ME = Bµ (gt) neân C·ME = B·DM , keát hôïp vôùi Bµ = Cµ ( ABC caân taïi A) suy ra BDM CME (g.g) BD BM = BD. CE = BM. CM = a 2 CM CE khoâng ñoåi DM BD DM BD = = b) BDM CME ME CM ME BM (do BM = CM) DME DBM (c.g.c) M· DE = B·MD hay DM laø tia phaân giaùc cuûa B·DE
  85. A E I D H K B M C c) chöùng minh töông töï ta coù EM laø tia phaân giaùc cuûa D· EC keû MH  CE ,MI  DE, MK  DB thì MH = MI = MK DKM = DIM DK =DI EIM = EHM EI = EH Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) ABC laø tam giaùc ñeàu neân suy ra CME cuûng laø tam giaùc ñeàu CH = MC a 2 2 AH = 1,5a PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a
  86. F K A E D M B C Baøi 5: Cho tam giaùc ABC, trung tuyeán AM. Qua ñieåm D thuoäc caïnh BC, veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AM, caét AB, AC taïi E vaø F a) chöùng minh DE + DF khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân BC b) Qua A veõ ñöôøng thaúng song song vôùi BC, caét FE taïi K. Chöùng minh raèng K laø trung ñieåm cuûa FE Giaûi DE BD BD = DE = .AM a) DE // AM AM BM BM (1) DF CD CD CD = DF = .AM = .AM DF // AM AM CM CM BM (2) Töø (1) vaø (2) suy ra BD CD BD CD BC .AM + .AM + .AM = .AM = 2AM DE + DF = BM BM = BM BM BM khoâng ñoåi FK KA = b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) AM CM (3)
  87. EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = = ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM (2) (Vì CM = BM) FK EK Töø (1) vaø (2) suy ra AM AM FK = EK hay K laø trung ñieåm cuûa FE Baøi 6: (Ñeà HSG huyeän Thaïch haø naêm 2003 – 2004) Cho hình thoi ABCD caïnh a coù Aµ = 600 , moät ñöôøng thaúng baát kyø qua C caét tia ñoái cuûa caùc tia BA, DA taïi M, N a) Chöùng minh raèng tích BM. DN coù giaù trò khoâng ñoåi b) Goïi K laø giao ñieåm cuûa BN vaø DM. Tính soá ño cuûa goùc BKD M 1 C B 1 K A D N Giaûi MB CM = a) BC // AN BA CN (1) CM AD = CD// AM CN DN (2) MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a 2 Töø (1) vaø (2) suy ra BA DN b) MBD vaø BDN coù M· BD = B·DN = 1200
  88. MB MB CM AD BD = = BD BA CN DN DN (Do ABCD laø hình thoi coù Aµ = 600 neân AB = BC = CD = DA) MBD BDN µ µ · · µ µ Suy ra M1 = B1 . MBD vaø BKD coù BDM = BDK vaø M1 = B1 neân B·KD = M· BD = 1200 Baøi 7: F D C I G M K A B E N Cho hình bình haønh ABCD coù ñöôøng cheùo lôùn AC,tia Dx caét SC, AB, BC laàn löôït taïi I, M, N. Veõ CE vuoâng goùc vôùi AB, CF vuoâng goùc vôùi AD, BG vuoâng goùc vôùi AC. Goïi K laø ñieåm ñoái xöùng vôùi D qua I. Chöùng minh raèng a) IM. IN = ID2 KM DM = b) KN DN c) AB. AE + AD. AF = AC2 Giaûi IM CI = a) Töø AD // CM ID AI (1) CI ID Töø CD // AN AI IN (2)
  89. IM ID Töø (1) vaø (2) suy ra ID = IN hay ID2 = IM. IN DM CM DM CM DM CM = = = b) Ta coù MN MB MN + DM MB + CM DN CB (3) Töø ID = IK vaø ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM = = = = IM IK IM IK IM IK KN IK KM IM CM CM = KN ID AD CB (4) KM DM = Töø (3) vaø (4) suy ra KN DN AE AC = AB.AE = AC.AG c) Ta coù AGB AEC AG AB AB. AE = AG(AG + CG) (5) AF CG CG = CGB AFC AC CB AD (vì CB = AD) AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6) Coäng (5) vaø (6) veá theo veá ta coù: AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vaäy: AB. AE + AD. AF = AC2 Baøi taäp veà nhaø Baøi 1 Cho Hình bình haønh ABCD, moät ñöôøng thaúng caét AB, AD, AC laàn löôït taïi E, F, G AB AD AC + = Chöùng minh: AE AF AG
  90. HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuoäc AC) Baøi 2: Qua ñænh C cuûa hình bình haønh ABCD, keû ñöôøng thaúng caét BD, AB, AD ôû E, G, F chöùng minh: FE a) DE2 = EG . BE2 b) CE2 = FE. GE (Gôïi yù: Xeùt caùc tam giaùc DFE vaø BCE, DEC vaø BEG) Baøi 3 Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH, trung tuyeán BM, phaân giaùc CD caét nhau taïi moät ñieåm. Chöùng minh raèng BH CM AD . . 1 a) HC MA BD b) BH = AC CHUYEÂN ÑEÀ 14 – PHÖÔNG TRÌNH BAÄC CAO A.Muïc tieâu: * Cuûng coá, oân taäp kieán thöùc vaø kyõ naêng giaûi caùc Pt baäc cao baèng caùch phaân tích thaønh nhaân töû * Khaéc saâu kyõ naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû vaø kyõ naêng giaûi Pt B. Kieán thöùc vaø baøi taäp: I. Phöông phaùp:
  91. * Caùch 1: Ñeå giaûi caùc Pt baäc cao, ta bieán ñoåi, ruùt goïn ñeå döa Pt veà daïng Pt coù veá traùi laø moät ña thöùc baäc cao, veá phaûi baèng 0, vaän duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ñeå ñöa Pt veà daïng pt tích ñeå giaûi * Caùch 2: Ñaët aån phuï II. Caùc ví duï: 1.Ví duï 1: Giaûi Pt a) (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 2x3 + 10x = 12 x3 + 5x – 6 = 0 (x3 – 1) + (5x – 5) (x – 1)(x2 + x + 6) = 0 x = 1 x - 1 = 0 2 x 1 2 2 1 23 1 23 x + x + 6 = 0 x + 0 x + 0 2 4 (Vì 2 4 voâ nghieäm) b) x4 + x2 + 6x – 8 = 0 (1) Veá phaûi cuûa Pt laø moät ña thöùc coù toång caùc heä soá baèng 0, neân coù moät nghieäm x = 1 neân coù nhaân töû laø x – 1, ta coù (1) (x4 – x3) + (x3 – x2) + (2x2 – 2x) + (8x – 8) = 0 (x – 1)(x3 + x2 + 2x + 8) (x – 1)[(x3 + 2x2) – (x2 + 2x) + (4x – 8) ] = 0 (x – 1)[x2(x + 2) – x(x + 2) + 4(x + 2) = 0 (x – 1)(x + 2)(x2 – x + 4) = 0 c) (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8 x3 – 3x2 + 3x – 1 + 8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 27x3 – 8 = 0 - 18x3 + 33x2 + 57 x + 18 = 0 6x3 - 11x2 - 19x - 6 = 0 (2)
  92. Ta thaáy Pt coù moät nghieäm x = 3, neân veá traùi coù nhaân töû x – 3: (2) (6x3 – 18x2) + (7x2 – 21x) + (2x – 6) = 0 6x2(x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0 (x – 3)(6x2 + 7x + 2) = 0 (x – 3)[(6x2 + 3x) + (4x + 2)] = 0 (x – 3)[3x(2x + 1) + 2(2x + 1)] = 0 (x – 3)(2x + 1)(3x + 2) d) (x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) = 24 [(x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) + 1] – 25 = 0 (x2 + 5x - 1)2 – 25 = 0 (x2 + 5x - 1 + 5)( (x2 + 5x - 1 – 5) = 0 (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x – 6) = 0 [(x2 + x) +(4x + 4)][(x2 – x) + (6x – 6)] = 0 (x + 1)(x + 4)(x – 1)(x + 6) = 0 e) (x2 + x + 1)2 = 3(x4 + x2 + 1) (x2 + x + 1)2 - 3(x4 + x2 + 1) = 0 (x2 + x + 1)2 – 3(x2 + x + 1)( x2 - x + 1) = 0 ( x2 + x + 1)[ x2 + x + 1 – 3(x2 - x + 1)] = 0 ( x2 + x + 1)( -2x2 + 4x - 2) = 0 (x2 + x + 1)(x2 – 2x + 1) = 0 ( x2 + x + 1)(x – 1)2 = 0 f) x5 = x4 + x3 + x2 + x + 2 (x5 – 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 (x – 2) (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 +) x – 2 = 0 x = 2 +) x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 (x4 + x3) + (x + 1) + x2 = 0 (x + 1)(x3 + 1) + x2 = 0 1 1 3 (x + 1)2(x2 – x + 1) + x2 = 0 (x + 1)2 [(x2 – 2.x.2 + 4 ) + 4 ] + x2 = 0
  93. 2 2 1 3 1 3 x + + x + + 2 4 2 4 (x + 1)2 + x2 = 0 Voâ nghieäm vì (x + 1)2 0 nhöng khoâng xaåy ra daáu baèng Baøi 2: a) (x2 + x - 2)( x2 + x – 3) = 12 (x2 + x – 2)[( x2 + x – 2) – 1] – 12 = 0 (x2 + x – 2)2 – (x2 + x – 2) – 12 = 0 Ñaët x2 + x – 2 = y Thì (x2 + x – 2)2 – (x2 + x – 2) – 12 = 0 y2 – y – 12 = 0 (y – 4)(y + 3) = 0 * y – 4 = 0 x2 + x – 2 – 4 = 0 x2 + x – 6 = 0 (x2 + 3x) – (2x + 6) = 0 (x + 3)(x – 2) = 0 * y + 3 = 0 x2 + x – 2 + 3 = 0 x2 + x + 1 = 0 (voâ nghieäm) b) (x – 4)( x – 5)( x – 6)( x – 7) = 1680 (x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680 Ñaët x2 – 11x + 29 = y , ta coù: (x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680 (y + 1)(y – 1) = 1680 y2 = 1681 y = 41 y = 41 x2 – 11x + 29 = 41 x2 – 11x – 12 = 0 (x2 – x) + (12x – 12) = 0 (x – 1)(x + 12) = 0
  94. 11 * y = - 41 x2 – 11x + 29 = - 41 x2 – 11x + 70 = 0 (x2 – 2x. 2 + 121 159 4 )+4 = 0 c) (x2 – 6x + 9)2 – 15(x2 – 6x + 10) = 1 (3) Ñaët x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = y 0, ta coù (3) y2 – 15(y + 1) – 1 = 0 y2 – 15y – 16 = 0 (y + 1)(y – 15) = 0 Vôùi y + 1 = 0 y = -1 (loaïi) Vôùi y – 15 = 0 y = 15 (x – 3)2 = 16 x – 3 = 4 + x – 3 = 4 x = 7 + x – 3 = - 4 x = - 1 d) (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0 (4) Ñaët x2 + 1 = y thì (4) y2 + 3xy + 2x2 = 0 (y2 + xy) + (2xy + 2x2) = 0 (y + x)(y + 2x) = 0 +) x + y = 0 x2 + x + 1 = 0 : Voâ nghieäm +) y + 2x = 0 x2 + 2x + 1 = 0 (x + 1)2 = 0 x = - 1 Baøi 3: a) (2x + 1)(x + 1)2(2x + 3) = 18 (2x + 1)(2x + 2)2(2x + 3) = 72. (1) Ñaët 2x + 2 = y, ta coù (1) (y – 1)y2(y + 1) = 72 y2(y2 – 1) = 72 y4 – y2 – 72 = 0 Ñaët y2 = z 0 Thì y4 – y2 – 72 = 0 z2 – z – 72 = 0 (z + 8)( z – 9) = 0
  95. * z + 8 = 0 z = - 8 (loaïi) * z – 9 = 0 z = 9 y2 = 9 y = 3 x = b) (x + 1)4 + (x – 3)4 = 82 (2) Ñaët y = x – 1 x + 1 = y + 2; x – 3 = y – 2, ta coù (2) (y + 2)4 + (y – 2)4 = 82 y4 +8y3 + 24y2 + 32y + 16 + y4 - 8y3 + 24y2 - 32y + 16 = 82 2y4 + 48y2 + 32 – 82 = 0 y4 + 24y2 – 25 = 0 Ñaët y2 = z 0 y4 + 24y2 – 25 = 0 z2 + 24 z – 25 = 0 (z – 1)(z + 25) = 0 +) z – 1 = 0 z = 1 y = 1 x = 0; x = 2 +) z + 25 = 0 z = - 25 (loaïi) Chuù yù: Khi giaûi Pt baäc 4 daïng (x + a)4 + (x + b)4 = c ta thöôøng ñaët aån phuï a + b y = x + 2 c) (4 – x)5 + (x – 2)5 = 32 (x – 2)5 – (x – 4)5 = 32 Ñaët y = x – 3 x – 2 = y + 1; x – 4 = y – 1; ta coù: (x – 2)5 – (x – 4)5 = 32 (y + 1)5 - (y – 1)5 = 32 y5 + 5y4 + 10y3 + 10y2 + 5y + 1 – (y5 - 5y4 + 10y3 - 10y2 + 5y - 1) – 32 = 0 10y4 + 20y2 – 30 = 0 y4 + 2y2 – 3 = 0 Ñaët y2 = z 0 y4 + 2y2 – 3 = 0 z2 + 2z – 3 = 0 (z – 1)(z + 3) = 0 d) (x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4 Ñaët x – 7 = a; x – 8 = b ; 15 – 2x = c thì - c = 2x – 15 a + b = - c , Neân
  96. (x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4 a4 + b4 = c4 a4 + b4 - c4 = 0 a4 + b4 – (a + b)4 = 0 2 3 7 2 3 4ab a + b + b 4 16 4ab(a2 + 2 ab + b2) = 0 = 0 4ab = 0 2 3 7 2 a + b + b (Vì 4 16 0 nhöng khoâng xaåy ra daáu baèng) ab = 0 x = 7; x = 8 2 1 1 6 x 2 7 x - 36 0 e) 6x4 + 7x3 – 36x2 – 7x + 6 = 0 x x 1 1 x - x2 (Vì x = 0 khoâng laø nghieäm). Ñaët x = y x2 = y2 + 2 , thì 2 1 1 6 x 2 7 x - 36 0 x x 6(y2 + 2) + 7y – 36 = 0 6y2 + 7y – 24 = 0 (6y2 – 9y) + (16y – 24) = 0 (3y + 8 )(2y – 3) = 0 8 1 8 x - +) 3y + 8 = 0 y = - 3 x = - 3 (x + 3)(3x – 1) = x = - 3 x + 3 = 0 1 3x - 1 = 0 x = 0 3 3 1 3 x - +) 2y – 3 = 0 y = 2 x = 2 (2x + 1)(x – 2) = x = 2 x - 2 = 0 1 2x + 1 = 0 x = - 0 2 Baøi 4: Chöùng minh raèng: caùc Pt sau voâ nghieäm
  97. a) x4 – 3x2 + 6x + 13 = 0 ( x4 – 4x2 + 4) +(x2 + 6x + 9) = 0 (x2 – 2)2 + (x + 3)2 = 0 Veá traùi (x2 – 2)2 + (x + 3)2 0 nhöng khoâng ñoàng thôøi xaåy ra x2 = 2 vaø x = -3 b) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 (x – 1)( x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 x7 – 1 = 0 x = 1 x = 1 khoâng laø nghieäm cuûa Pt x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 Baøi taäp veà nhaø: Baøi 1: Giaûi caùc Pt a)(x2 + 1)2 = 4(2x – 1) HD: Chuyeån veá, trieån khai (x2 + 1)2, phaân tích thaønh nhaân töû: (x – 1)2(x2 + 2x + 5) = 0 b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 (Nhaân 2 nhaân töû vôùi nhau, aùp duïng PP ñaët aån phuï) c) (12x + 7)2(3x + 2)(2x + 1) = 3 (Nhaân 2 veá vôùi 24, ñaët 12x + 7 = y) d) (x2 – 9)2 = 12x + 1 (Theâm, bôùt 36x2) e) (x – 1)4 + (x – 2)4 = 1 ( Ñaët y = x – 1,5; Ñs: x = 1; x = 2) f) (x – 1)5 + (x + 3)5 = 242(x + 1) (Ñaët x + 1 = y; Ñs:0; -1; -2 ) g) (x + 1)3 + (x - 2)3 = (2x – 1)3 Ñaët x + 1 = a; x – 2 = b; 1 - 2x = c thì a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc 1 x + h) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0 (Chia 2 veá cho x2; Ñaët y = x )
  98. 5 4 3 2 i) x + 2x + 3x + 3x + 2x + 1 = 0 (Veá traùi laø ña thöùc coù toång caùc heä soá baäc chaün baèng toång caùc heä soá baäc leû ) Baøi 2: Chöùng minh caùc pt sau voâ nghieäm a) 2x4 – 10x2 + 17 = 0 (Phaân tích veá traùi thaønh toång cuûa hai bình phöông) 4 3 2 b) x – 2x + 4x – 3x + 2 = 0 (Phaân tích veá traùi thaønh tích cuûa 2 ña thöùc coù giaù trò khoâng aâm ) CHUYEÂN ÑEÀ 1 5 – SÖÛ DUÏNG COÂNG THÖÙC DIEÄN TÍCH ÑEÅ THIEÁT LAÄP QUAN HEÄ ÑOÄ DAØI CUÛA CAÙC ÑOAÏN THAÚNG Ngaøy soaïn:23 – 3 - 2010 A. Moät soá kieán thöùc: 1. Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc: 1 S = 2 a.h (a – ñoä daøi moät caïnh, h – ñoä daøi ñöôøng cao töông öùng) 2. Moät soá tính chaát: Hai tam giaùc coù chung moät caïnh, coù cuøng ñoä daøi ñöôøng cao thì coù cuøng dieän tích Hai tam giaùc baèng nhau thì coù cuøng dieän tích B. Moät soá baøi toaùn: 1. Baøi 1:
  99. Cho ABC coù AC = 6cm; AB = 4 cm; caùc ñöôøng cao AH; BK; CI. Bieát CI + BK AH = 2 A K I B H C Tính BC Giaûi 2SABC 2SABC Ta coù: BK = AC ; CI = AB 1 1 AC AB BK + CI = 2. SABC 1 1 1 1 1 2AH = 2.2 . BC. AH . AC AB BC. AC AB = 2 1 1 1 1 BC = 2 : AC AB = 2 : 6 4 = 4,8 cm Baøi 2: Cho ABC coù ñoä daøi caùc caïnh laø a, b, c; ñoä daøi caùc ñöôøng cao töông öùng laø ha, hb, hc. Bieát raèng a + ha = b + hb = c + hc . Chöùng minh raèng ABC laø tam giaùc ñeàu Giaûi Goïi SABC = S
  100. 2S 2S 1 1 a - b - 2S. - 2S. b a b a ab Ta xeùt a + ha = b + hb a – b = ha – hb = a - b 2S 2S. 1 - a – b = ab (a – b) ab = 0 ABC caân ôû C hoaëc vuoâng ôû C (1) Töông töï ta coù: ABC caân ôû A hoaëc vuoâng ôû A (2); ABC caân ôû B hoaëc vuoâng ôû B (3) Töø (1), (2) vaø (3) suy ra ABC caân hoaëc vuoâng ôû ba ñænh (Khoâng xaåy ra vuoâng taïi ba ñænh) ABC laø tam giaùc ñeàu Baøi 3: Cho ñieåm O naèm trong tam giaùc ABC, caùc tia AO, BO, Co caét caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC theo thöù töï taïi A’, B’, C’. Chöùng minh raèng: OA' OB' OC' OA OB OC 1 2 a) AA' BB' CC' b) AA' BB' CC' OA OB OC 6 c) M = OA' OB' OC' . Tìm vò trí cuûa O ñeå toång M coù giaù trò nhoû nhaát A B' C' O B A' C OA OB OC . . 8 d) N = OA' OB' OC' . Tìm vò trí cuûa O ñeå tích N coù giaù trò nhoû nhaát
  101. Giaûi Goïi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB . Ta coù: OA S S S S = 2 = 3 2 3 OA' S S S OA'C OA'B 1 (1) OA' S S S S S = OA'C = OA'B OA'C OA'B 1 AA' S S S S S AA'C AA'B AA'C AA'B (2) OA S S 2 3 Töø (1) vaø (2) suy ra AA' S OB S1 S3 OC S1 S2 OB' S OC' S 2 3 OB' S OC' S Töông töï ta coù 2 ; 3 ; BB' S ; CC' S OA' OB' OC' S S S S 1 2 3 1 a) AA' BB' CC' S S S S OA OB OC S S S S S S 2S 2 3 1 3 1 2 2 b) AA' BB' CC' S S S S c) M = OA OB OC S S S S S S S S S S S S 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 1 3 OA' OB' OC' S1 S2 S3 S2 S1 S2 S3 S3 S1 S S S S S S 1 2 3 2 1 3 2 2 2 6 S S S S S S Aùp duïng Bñt Coâ si ta coù 2 1 2 3 3 1 Ñaúng thöùc xaåy ra khi S1 = S2 = S3 O laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC S S S S S S S S S S S S 2 3 . 1 3 . 1 2 2 3 1 3 1 2 S S S S .S .S d) N = 1 2 3 1 2 3 2 2 2 S S S S S S 4S S .4S S .4S S 2 3 1 3 1 2 1 2 2 3 1 3 64 S .S .S 2 S .S .S 2 N2 = 1 2 3 1 2 3 N 8 Ñaúng thöùc xaåy ra khi S1 = S2 = S3 O laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC Baøi 4:
  102. Cho tam giaùc ñeàu ABC, caùc ñöôøng caoAD, BE, CF; goïi A’, B’, C’ laø hình chieáu cuûa M (naèm beân trong tam giaùc ABC) treân AD, BE, CF. Chöùng minh raèng: Khi M thay ñoåi vò trí trong tam giaùc ABC thì: a) A’D + B’E + C’F khoâng ñoåi b) AA’ + BB’ + CC’ khoâng ñoåi Giaûi Goïi h = AH laø chieàu cao cuûa tam giaùc ABC thì h khoâng ñoåi Goïi khoaûng caùch töø M ñeán caùc caïnh AB; BC; CA laø MP; MQ; MR thì A’D + B’E + C’F = MQ + MR + MP Vì M naèm trong tam giaùc ABC neân SBMC + SCMA + SBMA = SABC BC.(MQ + MR + MP) = BC . AH MQ + MR + MP = AH A’D + B’E + C’F = AH = h Vaäy: A’D + B’E + C’F = AH = h khoâng ñoåi b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F) A E F C' R P B' A' M B Q D C = (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h khoâng ñoåi
  103. Baøi 5: Cho tam giaùc ABC coù BC baèng trung bình coäng cuûa AC vaø AB; Goïi I laø giao ñieåm cuûa caùc phaân giaùc, G laø troïng taâm cuûa tam giaùc. Chöùng minh: IG // BC Giaûi Goïi khoaûng caùch töø a, I, G ñeán BC laàn löôït laø AH, IK, GD Vì I laø giap ñieåm cuûa ba ñöôøng phaân giaùc neân khoaûng caùch töø I ñeán ba caïnh AB, BC, CA baèng nhau vaø baèng IK Vì I naèm trong tam giaùc ABC neân: A I G B H K D M C SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1) AB + CA Maø BC = 2 AB + CA = 2 BC (2) 1 Thay (2) vaøo (1) ta coù: BC. AH = IK. 3BC IK = 3 AH (a) Vì G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC neân: 1 1 1 SBGC = 3 SABC BC . GD = 3 BC. AH GD = 3 AH (b) Töø (a) vaø (b) suy ra IK = GD hay khoaûng caùch töø I, G ñeán BC baèng nhau neân IG // BC
  104. Baøi taäp veà nhaø: · 0 1) Cho C laø ñieåm thuoäc tia phaân giaùc cuûa xOy = 60 , Mlaø ñieåm baát kyø naèm · treân ñöôøng vuoâng goùc vôùi OC taïi C vaø thuoäc mieàn trong cuûa xOy , goïi MA, MB thöù töï laø khoaûng caùch töø M ñeán Ox, Oy. Tính ñoä daøi OC theo MA, MB 2) Cho M laø ñieåm naèm trong tam giaùc ñeàu ABC. A’, B’, C’ laø hình chieáu cuûa M treân caùc caïnh BC, AC, AB. Caùc ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BC taïi C, vuoâng goùc vôùi CA taïi A , vuoâng goùc vôùi AB taïi B caét nhau ôû D, E, F. Chöùng minh raèng: a) Tam giaùc DEF laø tam giaùc ñeàu b) AB’ + BC’ + CA’ khoâng phuï thuoäc vò trí cuûa M trong tam giaùc ABC CHUYEÂN ÑEÀ 16 – BAÁT ÑAÚNG THÖÙC PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý A B A B 0 1-§inhnghÜa: A B A B 0 2-tÝnh chÊt + A>B B A + A > B > 0 An > Bn n + A>B vµ B >C A > C + A > B An > Bn víi n lÎ + A>B A + C >B + C + A > B An > Bn víi n ch½n + A>B vµ C > D A +C > B + D + m > n > 0 vµ A > 1 Am > An + A>B vµ C > 0 A.C > B.C m n + A>B vµ C n > 0 vµ 0 <A < 1 A < A + 0 < A < B vµ 0 < C < D 0 < A.C < B.D
  105. 1 1 +A 0 A B 3 - mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc + A2 0 víi  A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + An 0 víi A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + A 0 víi A (dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + -A 0) + A B A B ( dÊu = x¶y ra khi A.B B Ta chøng minh A – B > 0 Lu ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M2 0 víi  M VÝ dô 1  x, y, z chøng minh r»ng : a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz Gi¶i: 1 a) Ta xÐt hiÖu : x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx = 2 .2 .( x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx) 1 (x y)2 (x z)2 (y z)2 =2 0 ®óng víi mäi x;y;z R V× (x-y)2 0 víix ; y .DÊu b»ng x¶y ra khi x = y (x- z)2 0 víix ; z . DÊu b»ng x¶y ra khi x = z (y- z)2 0 víi z; y . DÊu b»ng x¶y ra khi z = y VËy x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx . DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z
  106. b)Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z)2 0 ®óng víi mäi x;y;z R VËy x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z R DÊu b»ng x¶y ra khi x + y = z VÝ dô 2: chøng minh r»ng : 2 2 2 2 2 a 2 b 2 a b a b c a b c a) 2 2 ; b) 3 3 c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n gi¶i a) Ta xÐt hiÖu 2 2 2 2 2 2 2 a b a b 2 a b a 2ab b 1 2 2 2 2 2a 2b a b 2ab 2 2 = 4 4 = 4 = 1 a b 2 0 4 2 a 2 b 2 a b VËy 2 2 DÊu b»ng x¶y ra khi a = b 2 a 2 b 2 c 2 a b c 1  a b 2 b c 2 c a 2  0 b)Ta xÐt hiÖu: 3 3 = 9 2 a 2 b 2 c 2 a b c VËy 3 3 DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c 2 a 2 a 2 a 2 a a a 1 2 n 1 2 n c)Tæng qu¸t: n n * Tãm l¹i c¸c bíc ®Ó chøng minh A B theo ®Þnh nghÜa Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B Bíc 2:BiÕn ®æi H = (C+D)2 hoÆc H=(C+D)2 + .+(E+F) 2
  107. Bíc 3: KÕt luËn A B 2) ph¬ng ph¸p 2 : Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng Lu ý: Ta biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh lµ ®óng. VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng b 2 a 2 ab a) 4 b)a 2 b 2 1 ab a b c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e Gi¶i: 2 2 b a ab 2 a) 4 4a 2 b 2 4ab 4a 2 4a b 2 0 2a b 0 (B®t nµy lu«n ®óng) b 2 a 2 ab VËy4 (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a = b) 2 2 b) a 2 b 2 1 ab a b 2(a b 1 2(ab a b) 2 2 2 a 2 2ab b 2 a 2 2a 1 b 2 2b 1 0 (a b) (a 1) (b 1) 0 (lu«n ®óng) VËy a 2 b 2 1 ab a b DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = 1 c) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e 2 2 2 2 2 4 a b c d e 4a b c d e 2 2 2 2 2 2 2 2 a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c 0 2 2 2 2 a 2b a 2c a 2d a 2c 0 10 10 2 2 8 8 4 4 VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: a b a b a b a b Gi¶i: