Các chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 2: Đường tròn - Tiếp tuyến của đường tròn - Lương Anh Văn

Nội dung text: Các chuyên đề Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 2: Đường tròn - Tiếp tuyến của đường tròn - Lương Anh Văn

1. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 194 Chuyeân ñeà 2: ÑÖÔØNG TROØN - TIEÁP TUYEÁN CUÛA ÑÖÔØNG TROØN A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT Phöông phaùp Ñeåå chöùng minh moät ñöôøng thaúûng laø tieáp tuyeán cuûa moät ñöôøng troøn ta thöôøng duøng caùc phöông phaùp sau: 1) Chöùng minh ñöôøng thaúng ñaõ cho vuoâng goùc vôùi baùn kính cuûa ñöôøng troøn taïi muùt cuûa noù. 2) Ñeå chöùng minh ñöôøng thaúng m tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (O) taïi dieåm A ta chöùng minh goùc taïo bôûi Am vôùi moät daây cung AB baèng moät goùc noäi tieáp chaén cung AB. B. CAÙC VÍ DUÏ MINH HOÏA Ví duï 1: Cho tam giac ABC, töø ñænh C keû tia Cx naèm khaùc phía vôùi tia CA ñoái vôùi ñöôøng thaúng BC sao cho BCx BAC . Chöùng minh tia Cx tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn qua ba ñieåm A, B, C tai C. Baøi giaûi : Caùch 1 : Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABC Keû ñöôøng kính COD cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC. Ta coù CBD 90 ( goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn). CAB CDB (hai goùc noäi tieáp cuøng chaén cung CB ). Maø xCB CAB (giaû thieát) neân xCB CDB Maët khaùc : CDB DCB 90o suy ra xCB DCB 90o hay xCD 90o ; hay Cx  DC taïi C maø C (O) suy ra Cx laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (ABC). Caùch 2 : Treân cuøng nöûa maët phaúng khoâng chöùa A bôø CB veõ tia Cx’ laø tia tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp (ABC). Ta coù x'CB CAB (goùc taïo bôûi hai tieáp tuyeán vaø daây cung vaø goùc noäi tieáp cuøng chaén moät cung) Maø (giaû thieát) neân x 'CB xCB Suy ra hai tia Cx’ vaø Cx truøng nhau. Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
2. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 195 Cho tia Cx laø tia tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (ABC) Ví duï 2: Treân caïnh Mx cuûa goùc xMy khaùc goùc beït laáy hai ñieåm A vaø B. Treân canh My laáy ñieåm T sao cho MT2 = MA.MB. Chöùng minh ñöôøng thaúng My tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn qua ba ñieåm A, B, T taïi T. Baøi giaûi : Xeùt MTA vaø MBT ta coù : MT MA = (do MT2 = MA.MB) MB MT xMy chung Vaäy ñoàng daïng vôùi ( c-g-c) Cho ta MTA MBT Do ñoù theo keát quaû ôû ví dùuï 1 ta suy ra MT laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (ABT). Ví duï 3: Qua ñieåm A ôû ngoaøi ñöôøng troøn (O), keû caùt tuyeán ABC vôùi ñöôøng troøn. Caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taïi B vaø C caét nhau ôû K. Qua K keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AO, caét AO tai H vaø caét ñöôøng troøn (O) taïi E vaø F. (E naèm giöõa K vaø F). Goïi M laø giao ñieåm cuûa OK vaø BC. Chöùng minh a) EMOF laø töù giaùc noäi tieáp. b) AE, AF laø caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O). Baøi giaûi : a) Xeùt KEB vaø KBF ta coù K1 chung BF11 (goùc taïo bôûi hai tieáp tuyeán vaø daây cung vaø goùc noäi tieáp cuøng chaén moät cung). Suy ra ñoàng daïng (g - g) KE KB Cho ta = hay KB2 = KE.KF (1) KB KF Ta coù OB  BK (tính chaát tieáp tuyeán) OBK vuoâng taïi B coù BM laø ñöôøng cao neân KB2 = KM.KO (heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra KE.KF = KM.KO (3) KE KM Xeùt KEM vaø KOF ta coù : = (töø (3) vaø goùc K chung KO KF 2 Vaäy ñoàng daïng (c – g - c) cho ta KME F2 . Suy ra töù giaùc EMOF noäi tieáp (töù giaùc coù goùc trong baèng goùc ñoái ngoaøi) Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
3. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 196 o o o b) Ñaët KME F2 . Ta coù AOE 90 E12 90 F 90 maø AME 90oo EMK 90 . Neân AOE AME . Suy ra töù giaùc AOME laø töù giaùc noäi tieáp (töù giaùc coù hai ñænh lieân tieáp cuøng nhìn moät caïnh döôùi goùc baèng nhau). Phoái hôïp vôùi keát quaû caâu a suy ra 5 ñieåm A, E, M, O, F thuoäc cuøng moät ñöôøng troøn ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn laø AO ( vì AMO 90o ) Do ñoù AFO AEO 90o (hai goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn) Suy ra AF  FO taïi F vaø AE OE taïi E. Cho ta AF vaø AE laø caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O) C. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB vaø hai tieáp tuyeán Ax, By cuûa noù. Moät ñöôøng thaúng d tieáp xuùc vôùi nöûa ñöôøng troøn taïi C (C A ; C B) caét Ax , By laàn löôït taïi E vaø F. Chöùng minh AB tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc OEF. Baøi 2: Cho hai ñöôøng troøn (O1) ; (O2) tieáp xuùc ngoaøi taïi A. Tieáp tuyeán chung ngoaøi tieáp xuùc (O1) ; (O2) taïi B vaø C. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh raèng AM laø tieáp tuyeán chung cuûa (O1) ; (O2) vaø O1M vuoâng goùc vôùi O2M. Baøi 3: Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB = 2R. Daây CD vuoâng goùc vôùi AB taïi H. M di ñoäng treân CD. Tia AM caét ñöôøng troøn O taïi N. Chöùng minh a) MC.MD = MA.MN ; AM.AN khoâng ñoåi b) AC laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc CMN. Baøi 4: Cho ñöôøng troøn (O ; R) vaø daây AB coá ñònh, M laø ñieåm baát kì treân cung lôùn AB. Döïng ñöôøng troøn taâm O1 qua M vaø tieáp xuùc vôùi AB taïi A, I laø trung ñieåm cuûa daây AB. Tia MI caét ñöôøng troøn (O1) taïi N vaø ñöôøng troøn (O) taïi C. Chöùng minh a) NA // BC vaø töù giaùc ANBC laø hình bình haønh. b) NIB ñoàng daïng IBM vaø IB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn qua ba ñieåm B, M, N. Baøi 5: Cho ñöôøng troøn (O ; R) vaø daây AB < 2R. Goïi M laø ñieåm chính giöõa cuûa cung nhoû AB . Keû hai daây MC, MD laàn löôït caét daây AB taïi E vaø F. Chöùùng minh a) ME.MC = MA2 b) Töù giaùc CEFD noäi tieáp Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
4. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 197 c) Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ACE tieáp xuùc vôùi MA taïi A, ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc BCE tieáp xuùc vôùi MB taïi B. Baøi 6: Cho hình thang vuoâng ABCD ( A D 90o ) coù BMC 90o vôùi M laø trung ñieåm cuûa AD. Chöùng minh : a) AD laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn coù ñöôøng kính BC. b) BC laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AD. Baøi 7: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O coù ñöôøng kính AB, C laø moät dieåm thuoäc nöûa ñöôøng troøn, H laø hình chieáu cuûa C treân AB. Qua trung ñieåm M cuûa CH keû ñöôøng vuoâng goùc vôùi OC, caét nöûa ñöôøng troøn taïi D vaø E. Chöùng minh AB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (C; CD). Baøi 8: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O coù ñöôøng kính AB, C laø moät ñieåm thuoäc nöûa ñöôøng troøn. Qua C keû tieáp tuyeán d vôùi nöûa ñöôøng troøn. Keû caùc tia Ax, By song song vôùi nhau, caét d theo thöù töï taïi D vaø E. Chöùng minh AB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn coù ñöôøng kính DE. Baøi 9: Cho ñöôøng troøn taâm O baùn kính 6 cm. Moät ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn sao cho caùc tieáp tuyeán AB, AC vôùi ñöôøng troøn vuoâng goùc vôùi nhau (B, C laø caùc tieáp ñieåm). Treân hai caïnh AB, AC cuûa goùc A, laáy caùc ñieåm E, D sao cho AE = 3cm ; AD = 3 cm. Chöùng minh DE laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O). Baøi 10: Cho tam giaùc ABC caân taïi A, ñöôøng trung tröïc cuûa AB caét BC taïi K. Chöùng minh AB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ACK. Baøi 11: Cho hình bình haønh ABCD ( A 90o ). Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc BCD caét AC ôû E. Chöùng minh BD laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc AEB. Baøi 12: Cho hai ñöôøng troøn (O) ; (O’) caét nhau ôû A vaø B. Keû tieáp tuyeán chung CC’ (C (O); C’ (O’)). Keû ñöôøng kính COD. Goïi E, F theo thöù töï laø giao ñieåm cuûa OO’ vôùi C’D ; CC’. Chöùng minh : a) EAF 90o (A, C, C’ naèm cuøng phía vôùi OO’) b) FA laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc CAC’. D. LÔØI GIAÛI Baøi 1: Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀN H, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
5. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 198 Theo tính chaát 2 tieáp tuyeán caét nhau ta co OE, OF laàn löôït laø hai tia phaân giaùc cuûa hai goùc keà buø AOC vaø BOC. Neân OE  OF hay EOF vuoâng taïi O. Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp (EOF) Suy ra I laø trung ñieåm cuûa EF. Ta coù AE AB, BF AB ( tính chaát tieáp tuyeán) AE // BF hay ABFE laø hình thang vuoâng, coù OI laø ñöôøng trung bình. OI // AE // BF ( vaø AE AB) AB IO taïi OI Vaäy AB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (EOF) Baøi 2: 1 Ta coù B sñAB (goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vaø daây cung) 1 2 O1 sñAB (goùc ôû taâm) 1 Suy ra BO 112 1 Chöùng minh töông töï ta coù CO . 122 Töù giaùc O1O2CB coù O1B // O2C ( cuøng vuoâng goùc vôùi BC). Suy ra O1O2CB laø hình thang. o Cho ta O12 O 180 (2 goùc trong cuøng phía) o o Daãn tôùi B11 C 90 cho ta BAC 90 hay BAC vuoâng taïi A Ta coù AM laø trung tuyeán neân AM = BM = CM. Xeùt O1 BM vaø O1 AM coù O1M chung ; MA = MB (cmt) O1B = O1A. Neân = o o cho ta O11 AM O BM maø O1 BM 90 neân O1 AM 90 hay O1A AM taïi A vôùi A (O1). Suy ra AM laø tieáp tuyeán cuûa (O1) Ta coù AM O2A taïi A vôùi A (O2). Suy ra AM laø tieáp tuyeán cuûa (O2) Vaäy AM laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (O1) ; (O2). Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau ta coù MO1 vaø MO2 laø hai tia phaân giaùc cuûa hai goùc keà buø BMA vaø CMA neân MO1 MO2. Baøi 3: Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
6. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 199 a) Xeùt MCN vaø MAD ta coù MM12 (2 goùc ñoái ñænh). MD (2 goùc noäi tieáp chaén cung AC) Suy ra ñoàng daïng cho ta: MC MN = hay MC.MD = MA.MN MA MD Ta coù ANB 90o ( goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn) Xeùt MAH vaø ANB ta coù A1 chung AHM ANB 90o Vaäy ñoàng daïng (g - g). MA AH Cho ta = hay AM.AN = AH.AB khoâng ñoåi AB AN b) Vì OA  CD (giaû thieát) neân AC = AD Ta coù CN11 (2 goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau = ) Neân AC laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (CMN). Baøi 4: a) Ta coù AM11 ( goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vaø daây cung vaø goùc noäi tieáp cuøng chaén cung AN trong (O)). MB12 ( 2 goùc noäi tieáp cuøng chaén cung ) Suy ra AB12 AIN vaø BIC coù II12 (2 goùc ñoái ñænh) (cmt) ; IA = IB (gæa thuyeát). Vaäy = (g – c - g) Cho ta AN = BC maø AN // BC ( ; 2 goùc sole trong baèng nhau) Neân ANBC laø hình bình haønh. Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
7. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 200 b) Ta coù AB21 (2 goùc sole trong coù AC // BN) vaø AM22 (2 goùc noäi tieáp cuøng chaén cung BC ). Suy ra MB21 . INB vaø IBM coù goùc I chung ; BM12 (cmt). Suy ra ñoàng daïng (g - g) Maët khaùc vì neân IB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (BMN). Baøi 5: a) Xeùt MAEvaø MCA CMA laø goùc chung ó MAE MCA hai goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau MA MB ñoàng daïng (g – g) MA ME Suy ra = MC MA Suy ra ME.MC = MA2 b) 1 Ta coù sñ AEC = (sñ AC + sñ MB ) ( tính chaát goùc coù ñænh beân trong ñöôøng troøn) 2 1 = (sñ + sñ AM ) ( = ) 2 1 = sñCAM (A naèm treân cung MC ) 2 1 Laïi coù sñ CDF = = sñ (tính chaát goùc noäi tieáp) 2 Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
8. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 201 Do ñoù AEC CDF Xeùt töù giaùc CDFE coù CDF CEA (cmt) Vaäy töù gaùc CDFE noäi tieáp (coù goùc trong baèng goùc ñoái ngoaøi) c) Chöùng minh :ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ACE tieáp xuùc vôùi MA taïi A. Treân nöûa maët phaúng bôø AE khoâng chöùa ñieåm C, veõ tia Ax sao cho Ax laø tia tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp CAE . Ta coù EAx ACE (goùc taïo bôûi tieáp tuyeán vaø daây cung vaø goùc noäi tieáp cuøng chaén AE ) Laïi coù EAM ACE (cmt) Suy ra EAx EAM Suy ra tia AM truøng vôùi tia Ax ( do 2 tia AM, Ax cuøng naèm treân nöûa maët phaúng bôø AE vaø EAM EAx ) Vaäy tia AM laø tia tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Hay ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tieáp xuùc vôùi MA taïi A. Chöùng minh : Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp CBE tieáp xuùc vôùi MB taïi B. Ta coù ECB EBM (2 goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau MB = AM ) Chöùng minh töông töï ta ñöôïc tia MB laø tia tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp hay ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tieáp xuùc vôùi MB taïi B. Baøi 6: a) Goïi O laø trung ñieåm cuûa BC Xeùt hình thang ABCD (AB // CD) M laø trung ñieåm cuûa AD (giaû thieát) Coù : O laø trung ñieåm cuûa BC (caùch laáy O) Suy ra MO laø ñöôøng trung bình cuûa hình thang ABCD Suy ra MO // AB Maø AB  AD (giaû thieát) Do ñoù MO AD taïi M Xeùt ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính BC : Coù : AD OM taïi M (giaû thieát) o M thuoäc ñöôøng troøn ñöôøng kính BC (BMC 90 ) Vaäy AD laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính BC b) Chöùng minh BC laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AD Keû MH BC taïi H Xeùt MBC vuoâng taïi M (giaû thieát) Coù MO laø trung tuyeán (O laø trung ñieåm cuûa BC) 1 Suy ra MO = OC = BC 2 Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
9. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 202 Suy ra OMC caân taïi O Suy ra HCM CMO Laïi coù DCM CMO ( 2 goùc sole trong do MO // DC) Do ñoù HCM DCM (cuøng baèng CMO) Xeùt MCH vaø MCD H D 90o Coù : MC laø caïnh chung HCM DCM cmt Suy ra MCH MCD (caïnh huyeàn – goùc nhoïn) Suy ra MH = MD Ta coù M laø trung ñieåm cuûa AD Suy ra M laø taâm cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AD Maø MH = MD (cmt) 1 Do ñoù MH = AD 2 Suy ra H thuoäc ñöôøng troøn ñöôøng kính AD Laïi coù BC  MH taïi H (caùch veõ MH) Vaäy BC laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AD Baøi 7: Chöùng minh : AB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (C ; CD) Goïi K laø giao ñieåm cuûa ED vaø CO Xeùt CHO vaø CKM H K 90o Coù : C laø goùc chung Suy ra ñoàng daïng (g - g) CH CO = CK CM 1 Maø CM = CH (M laø trung ñieåm CH) 2 CH 2OC CH Suy ra : = (thay CM = ) CK CH 2 CH2 = 2CO.CK (1) Xeùt CDK vuoâng taïi K vaø ODK vuoâng taïi K Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
10. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 203 KD2S=SCD2S-SCK2 Coù: 2 2 2 KD S=SOD S-SOK CD2 - CK2 = OD2 - OK2 CD2 - CK2 = ( OD - OK)(OD + OK) CD2 - CK2 = ( OC - OK)(OD + OK) (do OD = OC = R) CD2 - CK2 = CK(OC + OK) CD2 = CK2 + CK(OC + OK) CD2 = CK(CK + OC + OK) Do CK + OK = OC CD2 = CK.2OC (2) Töø (1) vaø (2) suy ra CH2 = CD2 Suy ra CH = CD Suy ra H (C ; CD) Laïi coù AB  CH taïi H (giaû thieát) Vaäy AB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (C ; CD) Baøi 8: Chöùng minh : AB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn coù ñöôøng kính laø DE Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ñöôøng kính DE. I laø trung ñieåm cuûa DE Keû IH AB taïi H Xeùt töù giaùc ADEB coù DA // BE (Ax // By, D Ax, E Ay) Töù giaùc ADEB laø hình thang Laïi coù : Error! Suy ra OI laø ñöôøng trung bình cuûa hình thang ADEB Suy ra OI // DA DMS SOIStaïiSM Keû : ANS SOIStaïiSN DM = AN (do AD // OI) 1 Laïi coù S DM.OI DIO 2 1 S AN.OI AIO 2 Do ñoù SS DIO AIO Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
11. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 204 1 S  DI.OI OC DI taïi C DIO 2 Maø: 1 S IH.OA AIO 2 1 1 Suy ra OC.DI = IH.OA 2 2 Laïi coù OC = OA = R Suy ra DI = IH 1 Suy ra IH = DE 2 Suy ra H thuoäc ñöôøng troøn ñöôøng kính DE Laïi coù AB  IH taïi H (caùch veõ IH) Vaäy AB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính DE Baøi 9: Xeùt töù giaùc ABOC Ta coù A 90o (giaû thieát) Vaø B C 90o (AB, AC laø hai tieáp tuyeán) Töù giaùc ABOC laø hính chöõ nhaät (töù giaùc coù 3 goùc vuoâng) Maø OB = OC = R ( baùn kính ñöôøng troøn (O)) Töù giaùc ABOC laø hình vuoâng (hình chöõ nhaät coù hai caïnh keà baèng nhau) Töø E veõ tieáp tuyeán EF ñeán (O) (F laø tieáp ñieåm) Caét AC tai D’ vaø OC taïi I Töø I veõ IH OE Ta coù EE12 (tính chaát hai tieáp tuyeán) Maø EB // CO (AB // CO, ABCO laø hình vuoâng) E1 EOC (so le trong) E2 EOC (cuøng baèng E1 ) IEO caân taïi I 1 Maø IH EO HE = HO = OE (IH vöøa laøñöôøng cao vöøa laø ñöôøng trung tuyeán) 2 Xeùt EBOvuoâng taïi B AB OB Ta coù EO2 = EB2 + BO2 = 32 + 62 = 45 (BE = = ) 2 2 EO = 3 5 (cm) Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
12. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 205 1 3 5 HO = OE = . 2 2 Xeùt EBO vaø OHI Ta coù B H 90o E1 EOC (cmt) EOB ñoàng daïng (g – g) EB EO EO.OH 1 15 = OI = = 3 5 . . OI = (cm) OH OI EB 3 2 15 3 Vaäy IC = IO - OC = - 6 = (cm) 2 2 Xeùt ICD' vaø EAD' Ta coù C A 90o D'D'21 (ñoái ñænh) ñoàng daïng (g - g) IC CD' 3 1 CD' = . = AE AD' 2 3 AD' CD' 1 CD' + AD' 1 + 2 = = AD' 2 AD' 2 AC 3 6 3 = = AD’ = 4 (cm) AD' 2 AD' 2 Maø AD = 4 (cm) D  D’ Hay ED laø tieáp tuyeán cuûa (O) Baøi 10: Xeùt AKB Ta coù KA = KB (K thuoäc ñöôøng trung tröïc AB) KAB B Maø BC ( ABC caân taïi A) KAB C Xeùt vaø CAB Ta coù Bchung Vaø (cmt) ñoàng daïng (g – g) AKB CAB Goïi Ax laø tieáp tuyeán cuûa (AKC) Ta coù AKC CAx (goùc noäi tieáp baèng goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vôùi 1 daây cung chaén cung AC) CAx CAB Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
13. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 206 Ax  AB Hay AB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (AKC) Baøi 11: Ta coù AB // CD (ABCD laø hình bình haønh) AC11 (so le trong) Maø BC11 (hai goùc cuùng chaén cung ED ) AB11 Goïi Bx laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (ABE) Ta coù A1 EBx (baèng goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vôùi 1 daây cung chaén BE ) B1 EBx BD Bx Hay BD laø tieáp tuyeán cuûa (ABE) Baøi 12: a) Chöùng minh : EAF = 900 Ta coù OD // O’C’ (cuøng  CC’) OE OD OE R = = (ñònh lí talet) O'E O'C' O'E R' Goïi phaân giaùc goùc OAO'caét OO’ tai E’ OA OE' OE' R Ta coù = = (ñònh lí ñöôøng phaân giaùc) O'A O'E' O'E' R' OE OE' Vaäy = E E’ (1 ñoaïn thaúng chæ coù 1 ñieåm chia trong ñoaïn AB theo tyû ñoái cho O'E O'E' tröôùc) AE laø phaân giaùc Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52
14. GV: NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang 207 Xeùt FOC ta coù OC // O’C’ (cuøng  CF) FO OC = (ñònh lí talet) FO' O'C' FO R = FO' R' F'O AO' Goïi AF’ laø phaân giaùc ngoaøi taïi A cuûa OAO'.Ta coù : (ñònh lyù ñöôøng phaân giaùc) F'O' AO F'OR F'O'R' FO F'O = F  F’ (1 ñoaïn OO’ chæ coù 1 dieåm chia ngoaøi theo tyû soá cho tröôùc) FO' F'O' Hay AF laø phaân giaùc ngoaøi EAF 90o (goùc taïo bôûi hai ñöôøng phaân giaùc cuûa hai goùc keà buø) b) Keû baùn kính O’K song song vaø cuøng chieàu vôùi OA. Goïi F’ laø giao ñieåm cuûa AK vôùi OO’. Ta coù FO OA R R = = . Nhö vaäy ñieåm F’ chia ngoaøi ñoaïn OO’ theo tyû soá suy ra F F’. FO' O'K R' R' Keùo daøi O’K caét CD taïi M ta coù COA CMK (2 goùc ñoàng vò coù OA // O’K) vaø CMK CO'K (2 goùc ñoàng vò coù CD // C’O) 1 Suy ra COA C'O'K maø C'CA COA (goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vaø daây cung vaø goùc ôû treân 2 cuøng chaén 1 cung). 1 C'AK C'O'K (goùc noäi tieáp vaø goùc ôû taâm cuøng chaén 1 cung) 2 Suy ra C'CA C'AK . Töø ñoù AF laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc CAC’. Năm học 2018 – 2019 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A SONG HÀNH, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12, TP.HCM Fanpage : ĐT : 088 880 51 52