Các dạng Toán Lớp 10 thường gặp: Tích vô hướng của hai vec to và ứng dụng

Nội dung text: Các dạng Toán Lớp 10 thường gặp: Tích vô hướng của hai vec to và ứng dụng

1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TOÁN 10 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TO VÀ ỨNG DỤNG 0H2-2 MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI 1 DẠNG 1. TÍCH VÔ HƯỚNG 1 DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ 3 DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC 4 DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ 5 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO 7 DẠNG 1. TÍCH VÔ HƯỚNG 7 DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ 11 DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC 13 DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ 18 PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. TÍCH VÔ HƯỚNG Câu 1. Cho hai vectơ u 2; , 1 v 3; . 4Tích u là.v A. 11. B. 10. C. 5. D. 2. Câu 2. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho a 2;5 và b 3;1 . Khi đó, giá trị của a.b bằng A. . 5 B. . 1 C. . 13 D. . 1 A 0;3 B 4;0 C 2; 5   Câu 3. Cho ; ; . Tính AB.BC . A. .1 6 B. .9 C. 10 . D. 9 . Câu 4. (HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Trong mặt phẳng tọa độ O , x choy hai vectơ u i 3 vàj v 2 j 2i . Tính u.v . A. .u .v 4 B. . u.v C.4 . D. .u.v 2 u.v 2 Câu 5. Trong hệ tọa độ Oxy , cho u i 3 j ; v 2; 1 . Tính biểu thức tọa độ của u.v . A. .u .v 1 B. . u.v C.1 . D. . u.v 2; 3 u.v 5 2 r r r Câu 6. Cho hai véctơ a và b đều khác véctơ 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? r r r r r r r r r r A. .a .b a . bB. . a.b a . b .cos a,b r r r r r r r r r r r r C. .a .bD. .a.b .cos a,b a.b a . b .sin a,b   Câu 7. Cho tam giác đều AB cóC cạnh bằng .Tích4a vô hướng của hai vectơ A vàB A làC A. .8 a2 B. . 8a C. . 8 3a2D. . 8 3a 1
2. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 8. (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho hình vuông ABC cóD   cạnh a Tính AB.AD .       a2   A. .A B.AD B.0 . C. .A B.ADD. a. AB.AD AB.AD a2 2 Câu 9. Cho hai véc tơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? 1 2 2 2 A. .aB b . a . b .cos a,b a.b a b a b 2 2 2 2 1 2 2 2 C. . a . b D. .a.b a.b a b a b 2   ˆ 0 ˆ 0 Câu 10. Cho tam giác ABC có A 90 , B 60 và AB .a Khi đó AC.C Bbằng A. . 2a2 B. . 2a2 C. . 3a2 D. . 3a2   Câu 11. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a . Tính tích vô hướng AB.BC .   a2 3   a2 3   a2   a2 A. .A B.BB.C . C. . D. . AB.BC AB.BC AB.BC 2 2 2 2 Câu 12. Cho tam giácABC vuông tại A có AB a; AC a 3 và AM là trung tuyến. Tính tích vô   hướng BA.AM a2 a2 A. . B. a2. C. a2. D. . 2 2   Câu 13. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , B· AD 60 . Tích vô hướng AB.AD bằng 1 1 A. . 1 B. . 1 C. . D. . 2 2   Câu 14. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , B· AD 60 . Tích vô hướng BA.BC bằng 1 1 A. . 1 B. C. . 1 D. . 2 2 Câu 15. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , B· AD 60 . Độ dài đường chéo AC bằng 7 A. . 5 B. . 7 C. . 5 D. . 2 Câu 16. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , B· AD 60 . Độ dài đường chéo BD bằng A. . 3 B. . 5 C. . 5 D. . 3 Câu 17. Cho các véc tơ a, b và c thỏa mãn các điều kiện a x, b y và z c và a b 3c 0 . Tính A a.b b.c c.a . 3x2 z2 y2 3z2 x2 y2 3y2 x2 z2 3z2 x2 y2 A. .A B. . C. . D. . A A A 2 2 2 2 2
3. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP   Câu 18. Cho ABC đều; AB 6 và M là trung điểm của BC . Tích vô hướng AB.MA bằng A. . 18 B. . 27 C. . 18 D. . 27   Câu 19. Cho tam giác ABC vuông tại ,B BC a .3 Tính AC.C .B a2 3 a2 3 A. .3 a2 B. . C. . D. . 3a2 2 2 Câu 20. Cho hai vectơ a và b . Biết a 2, b 3 và a,b 300 . Tính a b . A. . 11 B. . 13 C. . 12D. . 14 Câu 21. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D ;AB AD a,CD 2a. Khi đó tích vô hướng   AC.BD bằng 3a2 a2 A. . a2 B. . 0 C. . D. . 2 2 Câu 22. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tam giác ABC vuông tại A có   AB a; BC 2a . Tính tích vô hướng BA.BC .     a2     a2 3 A. .B A.BC B.a2 . C. . BA.BD.C . BA.BC 2a2 BA.BC 2 2   Câu 23. Cho tam giác ABC vuông tại A cóAB 4 . Kết quả BA.BC bằng A. .1 6 B. . 0 C. . 4 2 D. . 4 Câu 24. Cho tam giác ABC vuông tại A có Bµ 30, AC 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính giá   trị của biểu thức.P AM . BM A. .P 2 B. . P C.2 .3 D. P. 2 P 2 3 Câu 25. Cho hình bình hành ABCD có AB 2a, AD 3a, B· AD 60 . Điểm K thuộc AD thỏa mãn     AK 2DK . Tính tích vô hướng BK.AC A. .3 a 2 B. . 6a 2 C. . 0 D. . a 2   Câu 26. Cho tam giác ABC có AB=5, AC=8, BC=7 thì AB.AC bằng: A. -20. B. 40. C. 10. D. 20.   Câu 27. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8, AD 5 . Tích AB.BD         A. .A B.BD B.62 . C. . ABD B D. 64 AB.BD 62 AB.BD 64 DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ Câu 28. Cho hai vectơ avà bkhác .0 Xác định góc giữa hai vectơ avà bbiết a.b a . .b A. . 900 B. . 0C.0 . D. . 450 1800 Câu 29. Tam giác ABC có A 1;2 , B 0;4 , C 3;1 . Góc B· AC của tam giác ABC gần với giá trị nào dưới đây? A. .9 0 B. . 3652 C. . 14D.3 7. 537 Câu 30. Cho hai véctơ a, bkhác véctơ-không thỏa mãn a.b a . . bKhi đó góc giữa hai vectơ a , b bằng: 3
4. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A. . a; b 4B.50 . C. . a; b D.00 . a; b 1800 a; b 900 Câu 31. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho hai véctơ a, b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a - b = 4 . Gọi là góc giữa hai véctơ a,b . Chọn phát biểu đúng. 1 3 A. . = 600 B. . =C.30 .0 D. . cos = cos = 3 8 Câu 32. Cho hai vectơ a 4;3 và b 1;7 . Số đo góc giữa hai vectơ avà bbằng A. .4 50 B. . 900 C. . 600 D. . 300 Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho a 2;5 , b 3; 7 . Tính góc giữa hai véctơ a và b . A. . 60 B. . C.1 2. 0 D. . 45 135 Câu 34. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a 2;1 và b 3; 6 . Góc giữa hai vectơ a và b bằng A. .0  B. . 90 C. . 180 D. . 60 1 Câu 35. Cho hai vectơ a ;b khác vectơ 0 thỏa mãn a.b a . b . Khi đó góc giữa hai vectơ a ;b là 2 A. 60 . B. .1 20 C. . 150 D. . 30 Câu 36. Cho véc tơ a 1; 2 . Với giá trị nào của y thì véc tơ b 3; y tạo với véctơ a một góc 45 y 1 y 1 A. .y 9 B. . C. . D. . y 1 y 9 y 9  Câu 37. Cho hai vecto ,a bsao cho a ,2 b 2và hai véc tơ x a ,b y 2a bvuông góc với nhau. Tính góc giữa hai véc tơ a và b . A. .1 20 B. . 60 C. . 90 D. . 30 DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC Câu 38. Tìm x để hai vectơ a (x;2) và b (2; 3) có giá vuông góc với nhau. A. 3. B. 0. C. . 3 D. 2. Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ u 3;4 và v 8;6 . Khẳng định nào đúng? A. .u v B. vuôngu góc với . v C. . u v D. và ucùng vphương. Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A 1;2 , B 3;1 . Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao cho tam giác ABC vuông tại A . A. .C 6;0 B. . C 0C.;6 . D. . C 6;0 C 0; 6 Câu 41. Cho tam giác ABC có A 1;2 , B 0;3 ,C 5; 2 . Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC . A. . 0;3 B. . 0; 3 C. . D.3;0 . 3;0 4
5. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 42. Cho tam giác ABC có A 1;0 , B 4;0 ,C 0;m , m 0 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Xác định m để tam giác GAB vuông tại G . A. .m 6 B. . C.m . 3 6 D. . m 3 6 m 6 Câu 43. Cho tam giác ABC có A 1; 1 , B 3; 3 ,C 6;0 . Diện tích DABC là A. 6. B. .6 2 C. 12. D. 9. Câu 44. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm B 1;3 và C 3;1 . Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . A. A 0;0 hoặc A 2; 4 . B. A 0;0 hoặc A 2;4 . C. A 0;0 hoặc A 2; 4 . D. A 0;0 hoặc A 2;4 . Câu 45. Tìm bán kính đường tròn đi qua ba điểm A 0;4 , B 3;4 ,C 3;0 . 5 10 A. . B. . C. . 5 D. . 3 2 2 Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A 1;0 ;B 1;1 ;C 5; 1 . Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là A. .H 1; 9B. . C. . H 8; D.27 . H 2;5 H 3;14 Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ; cho tam giác ABC có A( 1;1), B(1;3) và trọng tâm là 2 G 2; . Tìm tọa độ điểm M trên tia Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M . 3 A. .M 0; 3 B. . MC. 0.; 3 D. . M 0; 4 M 0; 4 Câu 48. Trên hệ trục tọa độ xO ,y cho tam giác ABC có A 4;3 , B 2;7 , C 3; 8.Tọa độ chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là A. . 1; 4 B. . 1;4 C. . D.1; 4. 4;1 Câu 49. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Lấy M , N , P lần lượt nằm trên ba cạnh BC,CA, AB sao cho BM 2MC, AC 3AN , AP x, x 0 . Tìm x để AM vuông góc với.NP 5a a 4a 7a A. .x B. . x C. . D.x . x 12 2 5 12 Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giácABC .Biết A 3; 1 , B 1;2 và I 1; 1 là trọng tâm tam giác ABC. Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ a;b . Tính a 3b. 2 4 A. a 3b . B. a 3b . C. a 3b 1. D. a 3b 2. 3 3 Câu 51. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB 2a , các cạnh đáy AD a và BC 3a . Gọi   M là điểm trên đoạn AC sao cho AM k AC . Tìm k để BM  CD 5
6. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 9 7 3 5 Câu 52. (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Trong mặt phẳng tọa độ Ox , ycho tam giác ABC có A 3;0 , B 3;0 và C 2;6 . Gọi H a;b là tọa độ trực tâm tam giác đã cho. Tính a 6b . A. .a 6b 5 B. . C.a . 6b 6 D. . a 6b 7 a 6b 8    2 Câu 53. Cho hai điểm B,C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM.CB CM là : A. Đường tròn đường kính.BC B. Đường tròn B; B .C C. Đường tròn C;CB . D. Một đường khác.     Câu 54. Cho ba điểm A, B,C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM.CB CA.CB là : A. Đường tròn đường kínhAB . B. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với.BC C. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với.AC D. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB .   Câu 55. Cho tam giác ABC , điểm Jthỏa mãn AK 3K ,J Ilà trung điểm của cạnh A,điểmB Kthỏa    mãn KA KB 2KC 0 .      Một điểm M thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 3MK AK . MA MB 2MC 0 . Tập hợp điểm M là đường nào trong các đường sau. A. Đường tròn đường kính IJ . B. Đường tròn đường kính IK . C. Đường tròn đường kính JK . D. Đường trung trực đoạn JK . DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ   Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho AB 6;2 . Tính AB ?    A. . AB 2 B.10 . C. .A B 20D. . AB 4 10 AB 2 10 Câu 57. Cho hai điểm A 1;0 và B 3;3 . Tính độ dài đoạn thẳng AB . A. .A B 13 B. . C.A B. 3 2 D. . AB 4 AB 5   Câu 58. Cho tam giác OAB vuông cân tại O , cạnh OA 4 . Tính 2OA OB .     A. . 2OA B.O B. 4 2OA OB 2     C. . 2OA D.O .B 12 2OA OB 4 5 Câu 59. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A , D ; AB P CD ; AB 2a ; AD DC a . O là   trung điểm của AD . Độ dài vectơ tổng OB OC bằng a 3a A. . B. . C. . a D. . 3a 2 2 Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 1;2 ;B 1;1 . Điểm M thuộc trục Oy thỏa mãn tam giác MAB cân tại M . Khi đó độ dài đoạn OM bằng 5 3 1 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 61. Cho ABC đều cạnh 2a với M là trung điểm BC . Khẳng định nào đúng? 6
7. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP    a 3  a 3  A. .M B MC B. . C. . AM D. . AM AM a 3 2 2   Câu 62. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB 2a ; CD 6a thì AB CD ? A. . 4a B. . 8a C. . 2a D. . 4a   Câu 63. Cho tam giác vuông cân ABC với AB AC a . Khi đó 2AB AC bằng A. .a 3 B. . a 5 C. . 5a D. . 2a A 2;1 B 2; 1 C 2; 3 D 2; 1 Câu 64. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm , , , . Xét ba mệnh đề: I ABCD là hình thoi. II ABCD là hình bình hành. III AC cắt BD tại M 0; 1 . Chọn khẳng định đúng A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Chỉ II và III đúng. D. Cả ba đều đúng. Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC có A 1;4 ,B 2;5 ,C 2;7 . Hỏi tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là cặp số nào? A. . 2;6 B. . 0;6 C. . D. 0 .;12 2;6 Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A 1; 17 ;B 11; 25 . Tìm tọa độ điểm C thuộc tia BA sao cho BC 13. A. .C 14; B.2 7. C 8; 23 C. C 14; 27 và C 8; 23 . D. C 14;27 và C 8;23 . Câu 67. (THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Cho tam giác AB vuôngC tại , A   a2 BC a 3 , M là trung điểm của BC và có AM.BC . Tính cạnh AB,AC. 2 A. .A BB. .a, AC a 2 AB a, AC a C. .A BD. .a 2, AC a AB a 2, AC a 2 Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 3;1 . Giả sử A a;0 và B 0;b (với a, b là các số thực không âm) là hai điểm sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức T a2 b2 . A. .T 10 B. . T 9 C. . TD. .5 T 17 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO DẠNG 1. TÍCH VÔ HƯỚNG Câu 1. Chọn B u 2; 1 Với u.v 2. 3 1 4 10 v 3;4 Câu 2. Chọn D 7
8. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Ta có a.b 2. 3 5.1 1 . Câu 3. Chọn D   Ta có AB 4; 3 ; BC 6; 5   Vậy AB.BC 4. 6 3 . 5 9 . Câu 4. Chọn B Theo giả thiết ta có u 1;3 và v 2;2 . Khi đó u.v 1. 2 3.2 4 . Câu 5. Chọn A Ta có u i 3 j u 1;3 . Vậy u.v 1.2 3. 1 1 . Câu 6. Chọn B Theo định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ. Câu 7. Chọn A       1 Ta có AB.AC AB . AC cos AB, AC 4a.4a.cos60 4a.4a. 8a2 . 2 Câu 8. Chọn A   Vì ABCD là hình vuông nên AB  CD do đó AB.AD 0 . Câu 9. Chọn C 2 2 2 2 a.b a . b .cos a,b a . b .cos2 a,b nên C sai. Câu 10. Chọn D Gọi D là điểm đối xứng với A qua C .     3 2 Khi đó: AC.CB CD.CB CD.CB.cos150 a 3.2a. 3a . 2 Câu 11. Chọn D       a2 Ta có AB.BC AB BC cos AB, BC a.a.cos120 . 2 Câu 12. Chọn D 8
9. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A B C M BC Ta có tam giácABC vuông tại A và có AM là trung tuyến nên AM . 2 BC AB2 AC 2 a2 3a2 AM a . 2 2 2 Tam giác AMB có AB BM AM a nên là tam giác đều. Suy ra góc M· AB 60 .         a2 Ta có BA.AM AB.AM AB . AM .cos(AB , AM ) a.a.cos60 . 2 9