Các dạng Toán Lớp 11 thường gặp: Giới hạn dãy số

Nội dung text: Các dạng Toán Lớp 11 thường gặp: Giới hạn dãy số

1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TOÁN 11 GIỚI HẠN DÃY SỐ 1D4-1 Contents PHẦN A. CÂU HỎI 1 DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT 1 DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC 2 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu 2 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu 3 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu 7 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn 8 DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC 9 DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA 11 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG 12 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 13 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO 16 DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT 16 DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC 16 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu 16 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu 19 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu 24 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn 25 DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC 26 DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA 30 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG 32 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 33 1
2. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?. A. Nếu limun và limvn a 0 thì lim unvn . un B. Nếu limun a 0 và limvn thì lim 0 . vn un C. Nếu limun a 0 và limvn 0 thì lim . vn un D. Nếu limun a 0 và limvn 0 và vn 0 với mọi n thì lim . vn Câu 2. Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn P = 2,13131313 , 212 213 211 211 A. P = B. .P = C. . PD.= . P = 99 100 100 99 Câu 3. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Ta nói dãy số un có giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n , nếu lim un a 0 . n B. Ta nói dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu u ncó thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Ta nói dãy số un có giới hạn khi n nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Ta nói dãy số un có giới hạn khi n nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. 2
3. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP un Câu 4. Cho các dãy số un , vn và limun a, limvn thì lim bằng vn A. .1 B. . 0 C. . D. . Câu 5. Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng? (I) lim nk với k nguyên dương. (II) lim qn nếu q 1 . (III) lim qn nếu q 1 A. .0 B. . 1 C. . 3 D. . 2 1 Câu 6. Cho dãy số u thỏa u 2 với mọi n * . Khi đó n n n3 A. limun không tồn tại. B. .l imun 1 C. . D.lim .un 0 limun 2 Câu 7. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai? n A. limun c (un c là hằng số ). B. .lim q 0 q 1 1 1 C. .l im 0 D. . lim 0 k 1 n nk DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu n 1 Câu 8. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính L lim . n3 3 A. L 1. B. L 0. C. L 3. D. L 2. 1 Câu 9. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) lim bằng 5n 3 1 1 A. .0 B. . C. . D. . 3 5 1 Câu 10. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) bằnglim 2n 7 A. . 1 B. . C. . 1 D. . 0 7 2 1 Câu 11. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) bằnglim 2n 5 1 1 A. . B. . 0 C. . D. . 2 5 1 Câu 12. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) bằnglim 5n 2 1 1 A. . B. . 0 C. . D. . 5 2 3
4. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 7n2 2n3 1 Câu 13. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm I lim . 3n3 2n2 1 7 2 A. . B. . C. . 0 D. . 1 3 3 2n2 3 Câu 14. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim bằng: n6 5n5 3 A. .2 B. . 0 C. . D. . 3 5 2018 lim Câu 15. bằng n A. . B. . 0 C. . 1 D. . 2n 1 Câu 16. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn L lim ? 2 n n2 A. .L B. . L 2C. . D.L . 1 L 0 Câu 17. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ?0 n2 2 n2 2n 1 2n 1 2n2 A. .u B. . C. . uD. . u u n 5n 3n2 n 5n 3n2 n 5n 3n2 n 5n 3n2 2n 3 Câu 18. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính I lim 2n2 3n 1 A. .I B. . I 0 C. . ID. . I 1 1 1 1 Câu 19. Tìm limu biết u . n n 22 1 32 1 n2 1 3 3 2 4 A. . B. . C. D. . 4 5 3 3  1 1 1 1  Câu 20. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim  . 1.2 2.3 3.4 n n 1  3 A. .0 B. . 2 C. . 1 D. . 2 Câu 21. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Tìm 1 1 1 L lim 1 1 2 1 2 n 5 3 A. .L B. . L C. . D.L . 2 L 2 2 1 1 1 Câu 22. Với n là số nguyên dương, đặt S . Khi đó n 1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 n 1 n lim Sn bằng 1 1 1 A. B. . C. . 1 D. . 2 1 2 1 2 2 4
5. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP cos n sin n Câu 23. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của lim . n2 1 A. 1. B. 0. C. . D. . Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu 2 n Câu 24. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của lim bằng n 1 A. .1 B. . 2 C. . 1 D. . 0 n 2 Câu 25. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của lim bằng: 3n 1 1 1 A. . B. . C. . 2 D. . 1 3 3 3n 2 Câu 26. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn I lim . n 3 2 A. .I B. . I 1 C. . I D. 3 . k 3 1 2n Câu 27. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn lim 3n 1 bằng? 2 1 2 A. . B. . C. . 1 D. . 3 3 3 2n 2017 Câu 28. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn I lim . 3n 2018 2 3 2017 A. .I B. . I C. . D.I . I 1 3 2 2018 1 19n lim Câu 29. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) bằng 18n 19 19 1 1 A. . B. . C. . D. . 18 18 19 Câu 30. (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác ?0 1 1 n 1 sin n A. . B. . C. . D. . n n n n 1 n2 Câu 31. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) bằnglim 2n2 1 1 1 1 A. .0 B. . C. . D. . 2 3 2 4n 2018 Câu 32. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim . 2n 1 5
6. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1 A. . B. . 4 C. . 2 D. . 2018 2 8n5 2n3 1 Câu 33. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm lim . 4n5 2n2 1 A. .2 B. . 8 C. . 1 D. . 4 2n 1 Câu 34. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính lim được kết quả là 1 n 1 A. .2 B. . 0 C. . D. . 1 2 2n4 2n 2 Câu 35. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) bằnglim 4n4 2n 5 2 1 A. . B. . C. . D. . 0 11 2 2n2 3 Câu 36. (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của lim bằng 1 2n2 A. . 3 B. . 2 C. . 1 D. . 0 n2 n A lim 2 Câu 37. Giá trị 12n 1 bằng 1 1 1 A. . B. . 0 C. . D. . 12 6 24 5n 3 lim Câu 38. Tính 2n 1 . 5 A. .1 B. . C. . 2 D. . 2 n3 4n 5 lim 3 2 Câu 39. bằng 3n n 7 1 1 1 A. .1 B. . C. . D. . 3 4 2 n2 3n3 Câu 40. Tính giới hạn lim . 2n3 5n 2 1 3 1 A. . B. . 0 C. . D. . 5 2 2 2n 1 Câu 41. Giới hạn của dãy số u với u ,n * là: n n 3 n 2 1 A. . 2 B. . C. . 1 D. . 3 3 6
7. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 10n 3 Câu 42. Tính giới hạn I lim ta được kết quả: 3n 15 10 10 3 2 A. .I B. . I C. . D. I. I 3 3 10 5 2n 1 lim Câu 43. bằng n 1 A. .1 B. . 2 C. . 2 D. . 3n2 1 lim 2 Câu 44. bằng: n 2 1 1 A. .3 B. . 0 C. . D. . 2 2 8n2 3n 1 lim 2 Câu 45. Tính 4 5n 2n . 1 1 A. .2 B. . C. . 4 D. . 2 4 1 3 un Câu 46. Cho hai dãy số un và vn có un ; vn . Tính lim . n 1 n 3 vn 1 A. .0 B. . 3 C. . D. . 3 8n5 2n3 1 lim 2 5 Câu 47. Giới hạn 2n 4n 2019 bằng A. . 2 B. . 4 C. . D. . 0 4n2 3n 1 Câu 48. Giá trị của B lim bằng: 3n 1 2 4 4 A. . B. . C. . 0 D. 4 9 3 n3 n2 1 Câu 49. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính L lim  2018 3n3 1 1 A. . B. . 3 C. . D. . 2018 3 Câu 50. (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên thỏaa 3n 2 2 mãn lim a 4a 0 . Tổng các phần tử của S bằng n 2 A. .4 B. . 3 C. . 5 D. . 2 an2 a2n 1 Câu 51. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho a sao cho giới hạn lim a2 a 1 2 n 1 .Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng? 7
8. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1 A. .0 a 2 B. . 0C. a. D. . 1 a 0 1 a 3 2 2 3n 1 3 n a Câu 52. Dãy số un với un có giới hạn bằng phân số tối giản . Tính a.b 4n 5 3 b A. 192 B. 68 C. 32 D. 128 2n3 n2 4 1 Câu 53. Biết lim với a là tham số. Khi đó a a2 bằng an3 2 2 A. . 12 B. . 2 C. . 0 D. . 6 1 2 3 n Câu 54. Cho dãy số u với u . Mệnh đề nào sau đây đúng? n n n2 1 A. .limun 0 1 B. .limu n 2 C. Dãy số un không có giới hạn khi n . D. .limun 1 12 22 32 42 n2 Câu 55. (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn lim có giá n3 2n 7 trị bằng? 2 1 1 A. . B. . C. . 0 D. . 3 6 3 1 3 5 2n 1 lim 2 Câu 56. bằng 3n 4 2 1 A. . B. . 0 C. . D. . 3 3 1 2 3 n Lim 2 2 2 2 Câu 57. bằng n n n n 1 1 A. .1 B. . 0 C. . D. . 3 2 1 3 2n 1 Câu 58. Cho dãy số u xác định bởi: u  với n * Giá trị của limu bằng: n n n2 n2 n2 n A. 0`. B. . C. . D. 1 1 2 n Câu 59. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm lim 2 2 2 . n n n 1 1 A. . B. . C. . D. . 0 2 n 8
9. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 60. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tính giới hạn:  1 1 1  lim  1 2 1 2 1 2  .  2 3 n  1 1 3 A. .1 B. . C. . D. . 2 4 2 Câu 61. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số với un 1 1 1 un = + + + . Tính limun . 1.3 3.5 (2n-1).(2n +1) 1 1 A. . B. 0. C. 1. D. . 2 4 2019 2018 Câu 62. Tính lim( 2n 3n 4) ? A. . B. . C. . 2 D. . 2019 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu lim 2 3n 4 n 1 3 Câu 63. là: A. B. C. 81 D. 2 n3 2n L lim 2 Câu 64. Tính giới hạn 3n n 2 1 A. .L B. . L 0 C. . LD. . L 3 2 3n 2n3 Câu 65. Tính giới hạn của dãy số u n 3n 2 2 A. . B. . C. . 1 D. . 3 1 5 4n 3 lim Câu 66. Giới hạn 2n 1 bằng 2 A. .1 B. . C. . D. . 0 2 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn 4n2 1 n 2 Câu 67. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) bằnglim 2n 3 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 2 4n2 5 n Câu 68. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho I lim . Khi đó giá trị của Ilà: 4n n2 1 9
10. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 5 3 A. .I 1 B. . I C. . I D. 1. I 3 4 Câu 69. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn 4x2 x 1 x2 x 3 lim x 3x 2 1 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 n 1 3 5 2n 1 Câu 70. Tìm limu biết u n n 2n2 1 1 A. . B. . C. . 1 D. . 2 12 22 33 n2 Câu 71. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính lim 2n n 7 6n 5 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 2 6 2 DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC lim n2 3n 1 n Câu 72. bằng 3 A. . 3 B. . C. . 0 D. . 2 Câu 73. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1 ? 3n 1 2n 3n2 n A. .l im B. . lim 5 3n 4n2 5 3 2 2 2n 3 C. .l im n + 2n - nD.+ 1 lim 2 . ( ) 1 2n lim n n 4 n 3 Câu 74. Giới hạn bằng 7 1 A. .0 B. . C. . D. . 2 2 Câu 75. Tính giới hạn lim n n2 4n . A. .3 B. . 1 C. . 2 D. . 4 2 Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để lim n 4n 7 a n 0 ? A. .3 B. . 1 C. 2. D. . 0 Câu 77. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính I lim n n2 2 n2 1 .   10
11. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 3 A. .I B. . I C. . D. .I 1,499 I 0 2 Câu 78. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính lim n 4n2 3 3 8n3 n . 2 A. . B. . 1 C. . D. . 3 L lim 9n2 2n 1 4n2 1 Câu 79. Tính giới hạn . 9 A. . B. . 1 C. . D. . 4 L lim 4n2 n 1 9n Câu 80. Tính giới hạn . 9 A. . B. . 7 C. . D. . 4 2 2 1 Câu 81. Tính giới hạn L lim 4n n 4n 2 . ĐS: . 4 1 A. . B. . 7 C. . D. . 4 L lim n2 3n 5 n 25 Câu 82. Tính giới hạn . 53 9 A. . B. . 7 C. . D. . 2 4 2n 1 n 3 L lim 4n 5 Câu 83. Tính giới hạn . 53 2 1 A. . B. . 7 C. . D. . 2 2 Câu 84. Tính giới hạn sau L lim 3 n 4 3 n 1 . 53 A. . B. . 7 C. . D. . 0 2 Câu 85. Tính giới hạn L lim 3 8n3 3n2 2 3 5n2 8n3 . 53 2 A. . B. . 7 C. . D. . 2 3 Câu 86. Tính giới hạn L lim 3 8n3 3n2 4 2n 6 . 25 53 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 11
12. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 87. Tính giới hạn L lim 3 2n n3 n 1 . 53 1 A. . B. . 1 C. . D. . 2 2 Câu 88. Tính giới hạn L lim 3 n n3 n 2 . 1 A. . B. . 2 C. . 1 D. . 2 Câu 89. Tính giới hạn L lim 3 n3 2n2 n 1 . 5 53 5 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 Câu 90. Tính giới hạn L lim n4 n2 3 n6 1 . 5 1 5 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 Câu 91. Tính giới hạn L lim n2 n 1 3 n3 n2 . 5 53 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA Câu 92. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ?0 n n n n 4 1 5 5 A. . B. . C. . D. . e 3 3 3 Câu 93. (THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) bằng.lim 2n n A. .2 B. . C. . D. . 0 Câu 94. Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0 n n n 2 5 4 n A. .l im B. . limC. . D. . lim lim 2 3 3 3 n 2018 lim Câu 95. bằng. 2019 1 A. .0 B. . C. . D. . 2 2 Câu 96. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n n n n A. . 0,999 B. . 1 C. . D. . 1,0001 1,2345 12
13. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 100n 1 3.99n lim 2n n 1 Câu 97. 10 2.98 là 1 A. . B. . 100 C. . D. . 0 100 lim 3n 4n Câu 98. là 4 A. . B. . C. . D. . 1 3 3.2n 1 2.3n 1 Câu 99. Tính giới hạn lim . 4 3n 3 6 A. . B. . 0 C. . D. . 6 2 5 Câu 100. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? 1 2.2017n 1 2.2018n A. .l imB. . lim 2016n 2018n 2016n 2017n 1 1 2.2018n 2.2018n 1 2018 C. .l imD. . lim 2017n 2018n 2016n 2018n 2n 1 lim n Câu 101. Tính 2.2 3 . A. 2. B. 0. C. 1. D. .1 2 Câu 102. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộca 9n 3n 1 1 khoảng 0;2019 để lim ? 5n 9n a 2187 A. .2 018 B. . 2012 C. . 201D.9 . 2011 Câu 103. (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn T lim 16n 1 4n 16n 1 3n . 1 1 1 A. .T 0 B. . T C. . TD. . T 4 8 16 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG Câu 104. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tính tổng củaS cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu 1 u 1 và công bội q . 1 2 3 2 A. .S 2 B. . S C. . S D. 1 . S 2 3 2 2 2 Câu 105. Tổng vô hạn sau đây S 2 có giá trị bằng = + 3 + 32 + + 3n + 13
14. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 8 A. . B. . 3 C. . 4 D. . 2 3 Câu 106. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,15555 3,1 5 viết dưới dạng hữu tỉ là 63 142 1 7 A. . B. . C. . D. . 20 45 18 2 1 1 1 1 n Câu 107. Tổng 2 4 2 bằng 1 A. . B. 2. C. 1. D. . 2 u1 3 * Câu 108. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho dãy số (un ),n , thỏa mãn điều kiện u . u n n 1 5 Gọi S u1 u2 u3 un là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó lim Sn bằng 1 3 5 A. . B. . C. . 0 D. . 2 5 2 u 1 1 Câu 109. Cho dãy số un thoả mãn 2 . Tìm limun . u u 4, n * n 1 3 n  A. .l imun 1 B. . C.lim . un 4 D. . limun 12 limun 3 n Câu 110. Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 2 và công sai d 3 . Tìm lim . un 1 1 A. .L B. . L C. . LD. 3 L 2 3 2 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 111. (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Cho dãy số u n thỏa mãn * un n 2018 n 2017,n . Khẳng định nào sau đây sai? A. Dãy số un là dãy tăng. B. .lim un 0 n 1 * un 1 C. .0 un ,D.n . lim 1 n 2 2018 un 2 2 Câu 112. (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Đặt f n n n 1 1 , xét dãy số un sao f 1 . f 3 . f 5 f 2n 1 cho u . Tìm lim n u . n f 2 . f 4 .f 6 f 2n n 1 1 A. .l im n B.u . C. . D. .lim n u 3 lim n u lim n u 2 n 3 n n 2 n 14
15. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 113. (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho dãy số un xác định bởi u1 0 và un 1 un 4n 3 , n 1. Biết 2019 un u4n u 2 u 2018 a b lim 4 n 4 n u u u u c n 2n 22 n 22018 n với a , b , c là các số nguyên dương và b 2019 . Tính giá trị S a b c . A. .S 1 B. . S 0 C. . D. S. 2017 S 2018 Câu 114. (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Dãy số un nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng? 2018 2017 n 2 2 A. .u B.n . un n n 2018 n 2016 n 2018 n 2017 u 2017 1 1 1 1 1 C. . 1 D. . un u u 1 , n 1,2,3 1.2 2.3 3.4 n n 1 n 1 2 n Câu 115. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho dãy số un được xác định như sau 2 * u1 2016;un 1 n un 1 un , với mọi n ,n 2 , tìm giới hạn của dãy số un . A. .1 011 B. . 1010 C. . 1008D. . 1009 n Câu 116. Cho dãy số un như sau: un ,n 1 , 2 , Tính giới hạn lim u1 u2 un . 1 n2 n4 x 1 1 1 A. . B. . 1 C. . D. . 4 2 3 Câu 117. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho dãy số thỏaun mãn u1 2 . Tính limun . 3 4u 1 4u 1 4, n * n 1 n 1 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 3 u1 2 Câu 118. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số un biết , khi đó un 3un 1 1,n 2 u L lim n 3n 5 A. Không xác định. B. .L C. . L D. . L 0 6 Câu 119. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1, A2 B2C2 , A3B3C3 , sao cho A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác AnBnCn là tam giác trung bình của tam 15
16. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP giác An 1Bn 1Cn 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác AnBnCn . Tính tổng S S1 S2 Sn ? 15 9 A. S . B. S 4 . C. S . D. S 5 . 4 2 Câu 120. (CTN - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số un cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1 ? n n 2018 2017 A. .u B. . u n n2 2020 4n2 2017 n 2018 n n 2017 u 2018 2 2 2 1 C. .u D. . 1 n 1.3 3.5  2n 1 2n 3 u u 1 , n 1 n 1 2 n 2 2 * Câu 121. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho dãy số (un thỏa) mãn: u1 1 ; u u a,n . Biết n 1 3 n 2 2 2 rằng lim u1 u2 un 2n b . Giá trị của biểu thức T ab là A. . 2 B. . 1 C. . 1 D. . 2 Câu 122. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số tự nhiên lớn hơn , 2đặt 1 1 1 1 Sn 3 3 4 3 . Tính lim Sn C3 C4 C5 Cn 3 1 A. .1 B. . C. . 3 D. . 2 3 Câu 123. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Có bao nhiêu giá trị 9n 3n 1 1 nguyên của tham số a thuộc khoảng 0;2018 để có lim ? 5n 9n a 2187 A. .2 011 B. . 2016 C. . 201D.9 . 2009 Câu 124. Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm 1 xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt 10 trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. . 67m ; 6B.9m . C. . 60mD. ;.63m 64m ; 66m 69m ; 72m 16
17. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 125. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hai dãy số un , vn đều tồn tại giới hạn hữu hạn. Biết rằng hai dãy số đồng thời thỏa mãn các hệ thức un 1 4vn 2, vn 1 un 1 với mọi n . Giá trị của giới hạn lim un 2vn bằng n 3 1 A. 0. B. . C. . 1 D. . 2 2 Câu 126. Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là 5 0 cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Chiều cao mô hình không quá 1,5 mét B. Chiều cao mô hình tối đa là 2 mét C. Chiều cao mô hình dưới 2 mét. D. Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý. Câu 127. Trong một lần Đoàn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao 8m so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với mặt đất. Khi đó tổng quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng không máy nữa gần bằng số nào dưới đây nhất? A. .5 7m B. . 54m C. . 56m D. . 58m 2 2 2 Câu 128. Với mỗi số nguyên dương n , gọi sn là số cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y n . (nếu a b thì hai cặp số a;b và b;a khác nhau). Khẳng định nào sau đây là đúng? s s s s A. . lim B. n. 2 C. . D.l .im n 2 lim n lim n 4 n n n n n n n n PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Chọn C un Nếu limun a 0 và limvn 0 thì lim là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của vn là vn dương hay âm. Câu 2. Chọn D Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài Câu 3. Chọn A Câu 4. Chọn B Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số un , vn và limun a, limvn trong đó a hữu hạn thì u lim n 0 . vn Câu 5. Chọn D 17
18. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP (I) lim nk với k nguyên dương I là khẳng định đúng. (II) lim qn nếu q 1 II là khẳng định sai vì lim qn 0 nếu q 1 . (III) lim qn nếu q 1 III là khẳng định đúng. Vậy số khẳng định đúng là 2 . Câu 6. Chọn D 1 1 Ta có: u 2 lim u 2 lim 0 limu 2 0 limu 2 . n n3 n n3 n n Câu 7. Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim qn 0 q 1 . DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu Câu 8. Chọn B 1 1 n 1 2 3 0 Ta có lim lim n n 0 . 3 3 n 3 1 1 n3 Câu 9. Chọn A 1 1 Ta có lim lim n 0 . 3 5n 3 5 n Câu 10. Chọn D 1 1 Ta có: lim lim n 0 . 2n 7 7 2 n Câu 11. Chọn B 1 1 1 Ta có: lim lim . 0 . 5 2n 5 n 2 n Câu 12. Chọn B 1 1 1 1 lim lim 0. 0 . 2 5n 2 n 5 5 n Câu 13. Hướng dẫn giải 18
19. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Chọn B 7 1 2 3 2 7n 2n 1 3 2 Ta có I lim lim n n . 3 2 2 1 3n 2n 1 3 3 n n3 2 3 2 2n 3 4 6 Câu 14. Ta có .lim lim n n 0 6 5 5 n 5n 1 n Câu 15. Chọn B Câu 16. Chọn D 2 1 2n 1 2 Ta có: L lim lim n n 0 . 2 2 1 2 n n 1 n2 n Câu 17. Chọn C 2 2 1 n 2 2 1  Xét đáp án A. .lim lim n 2 5 5n 3n 3 3 n 2 2 1 n 2n 1  Xét đáp án B. lim lim n 2 5 5n 3n 3 3 n 1 2 1 2n 2  Xét đáp án C. .lim lim n n 0 2 5 5n 3n 3 n 1 2 2 1 2n 2 2  Xét đáp án D. .lim lim n 2 5 5n 3n 3 3 n 2 2 3 2 3 n 2 2n 3 n n 2 Câu 18. I lim lim lim n n .0 2 3 1 3 1 2n 3n 1 2 2 n 2 2 2 n n n n Câu 19. Chọn A 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: u n 22 1 32 1 n2 1 1.3 2.4 3.5 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 . 2 1 3 2 4 3 5 n 1 n 1 2 1 2 n 1 4 2 n 1 19
20. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 3 1  3 Suy ra: limun lim   . 4 2 n 1  4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Câu 20. Ta có: 1 . 1.2 2.3 3.4 n n 1 1 2 2 3  n 1 n n n 1 n 1  1 1 1 1  1 Vậy lim   lim 1 1 . 1.2 2.3 3.4 n n 1  n 1 1 k k Câu 21. Ta có 1 2 3 klà tổng của cấp số cộng có u , 1 d nên1 1 2 3 k 1 2 1 2 2 2 , k * . 1 2 k k k 1 k k 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L lim lim 2. 1 2 2 3 3 4 n n 1 1 n 1 Câu 22. Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 n 1 n 1 1 Ta có . n n 1 n 1 n n n 1 n 1 n n n 1 n n 1 Suy ra 1 1 1 S . n 1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 2 3 n n 1 n 1 Suy ra lim Sn 1 20