›
›
›

Các dạng toán thường gặp trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia - Chuyên đề 19: Tích phân, phương pháp tính tích phân

docx 55 trang thaodu 3850
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các dạng toán thường gặp trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia - Chuyên đề 19: Tích phân, phương pháp tính tích phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxcac_dang_toan_thuong_gap_trong_ky_thi_tot_nghiep_thpt_quoc_g.docx

Nội dung text: Các dạng toán thường gặp trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia - Chuyên đề 19: Tích phân, phương pháp tính tích phân

  1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG CHUYÊN TÍCH PHÂN, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ĐỀ 19 MỤC LỤC Phần A. CÂU HỎI 1 Dạng 1. Tích phân cơ bản 1 Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải 1 Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản 3 Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ 6 Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN 9 Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ 10 Dạng 4.1 Hàm số tường minh 10 Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức 10 Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác 13 Dạng 4.13. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit 15 Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức 16 Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 17 Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN 21 Dạng 5.1 Hàm số tường minh 21 Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 24 Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán 28 Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác 30 Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 30 Dạng 7.2 Tích phân nhiều công thức 31 Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ 31 Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác 33 Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO 37 Dạng 1. Tích phân cơ bản 37 Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải 37 Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản 39 Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ 42 Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN 45 Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ 47 Dạng 4.1. Hàm số tường minh 47 Dạng 4.1.1. Hàm số chứa căn thức 47 Dạng 4.1.2. Hàm số chứa hàm lượng giác 53 Dạng 4.1.3. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit 55 1
  2. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Dạng 4.1.4. Hàm số hữu tỷ, đa thức 57 Dạng 4.2. Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 59 Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN 67 Dạng 5.1 Hàm số tường minh 67 Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 72 Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán 87 Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác 90 Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 90 Dạng 7.2. Tích phân nhiều công thức 94 Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ 94 Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác 99 2
  3. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Trân trọng giới thiệu thầy cô bộ tài liệu dạy thêm và ôn đội tuyển toán THPT 10,11,12 đầy đủ nhất - Bộ sách theo chuyên đề đủ 3 khối Lớp 10 ( 80 buổi dạy thêm ) Lớp 11 ( 85 buổi dạy thêm ) Lớp 12 ( 90 buổi dạy thêm ) - Đặc biệt mỗi bộ có 1 bản giáo viên và 1 bản học sinh, bản giáo viên là bản word, giải chi tiết và dẫn dắt từng câu + Bộ phân 4 mức độ 11, 12 giải chi tiết + Bộ đề hsg 10,11 12 giải chi tiết các tỉnh thành cả nước, và đề luyện thêm update thường xuyên + Bộ đề ôn kiểm tra định kì, thi học kì 1 và 2 giải chi tiết (mỗi khối 50-70 đề ) + Tiếp Cận Phương Pháp Và Vận Dụng Cao Trong Trắc Nghiệm Bài Toán Thực Tế + Thủ thuật Casio giải nhanh trắc nghiệm Toán 12 - Tặng kèm thầy cô giáo án theo phướng pháp mới, bài giảng powerpoint, công phá toán 10,11,12, bộ đề minh họa 2 năm 2020 - Tài liệu mới thầy cô quan tâm ib xem demo. Giảm giá đặc biệt với 10 thầy cô đầu tiên. zalo O937-351-107 , giảm ngay 50% với 10 thầy cô đầu tiên ib Phần A. CÂU HỎI Dạng 1. Tích phân cơ bản Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải 2 2 2 Câu 1. (Mã 103 - BGD - 2019) Biết f x dx 2 và g x dx 6 , khi đó  f x g x  dx bằng 1 1 1 A. .8 B. . 4 C. . 4 D. . 8 3
  4. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 1 Câu 2. (Mã 102 - BGD - 2019) Biết tích phân f x dx 3 và g x dx 4 . Khi đó 0 0 1  f x g x  dx bằng 0 A. . 7 B. . 7 C. . 1 D. . 1 1 1 1 Câu 3. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Biết f (x)dx 2 và g(x)dx 4 , khi đó  f (x) g(x)dx bằng 0 0 0 A. .6 B. . 6 C. . 2 D. . 2 1 1 1 Câu 4. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Biết f x dx 2 và g x dx 3 , khi đó  f x g x dx bằng 0 0 0 A. . 1 B. . 1 C. . 5 D. . 5 1 1 Câu 5. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho f x dx và2 g x dx , 5 khi 0 0 1  f x 2g x  dx bằng 0 A. 8 B. 1 C. 3 D. 12 Câu 6. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f , g liên tục trên K và a , b là các số bất kỳ thuộc K ? b f (x)dx b b b b f (x) A. .  fB.(x ). 2g(x)dx f (x)dx +2 g(x)dx dx a g(x) b a a a a g(x)dx a 2 b b b b b 2   C. .  f (x).gD.(x ).dx f (x)dx . g(x)dx f (x)dx=  f (x)dx a a a a  a  4 2 4 f y dy Câu 7. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho f x dx , 1 f t dt . Tính4 2 . 2 2 A. .I 5 B. . I 3 C. . I D.3 . I 5 2 2 Câu 8. (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho f x dx và3 g x dx , khi7 đó 0 0 2  f x 3g x dx bằng 0   A. .1 6 B. . 18 C. . 24 D. . 10 1 3 Câu 9. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho f dx(x) ; 1 f dx(x) . 5 0 0 3 Tính f (x) dx 1 A. 1. B. 4. C. 6. D. 5. 4
  5. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 3 Câu 10. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho f x dx và3 f x dx . 4 1 2 3 Khi đó f x dx bằng 1 A. 12. B. 7. C. 1. D. 12 . 2 Câu 11. Cho hàm số f xliên tục, có đạo hàm trên  1;2,f 1 8;f 2 . Tích1 phân f ' x dx 1 bằng A. 1. B. 7. C. 9. D. 9. Câu 12. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số f x liên tục trên R và có 2 4 4 f (x)dx 9; f (x)dx 4. Tính I f (x)dx. 0 2 0 9 A. .I 5 B. . I 36 C. . I D. . I 13 4 0 3 Câu 13. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho f x dx 3 f x dx Tích3. phân 1 0 3 f x dx bằng 1 A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 Câu 14. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f liênx 4 4 3 tục trên và f x dx 10 , f x dx 4 . Tích phân f x dx bằng 0 3 0 A. .4 B. . 7 C. . 3 D. . 6 1 Câu 15. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nếu F x 2x 1 và F 1 1 thì giá trị của F 4 bằng 1 A. ln 7. B. 1 ln 7. C. ln 3. D. 1 ln 7. 2 Câu 16. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số f ( liênx) tục trên thoả 8 12 8 mãn f x dx 9 , f x dx 3 , f x dx 5 . 1 4 4 12 Tính I f x dx . 1 A. .I =17 B. . I =1 C. . ID.= .11 I = 7 Câu 17. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số f liênx tục 10 6 2 10 trên 0;10 thỏa mãn f x dx 7 , f x dx 3 . Tính P f x dx f x dx . 0 2 0 6 A. .P 10 B. . P 4 C. . PD. .7 P 6 5
  6. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 18. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cho , f làg hai hàm liên tục trên đoạn 1;3 thoả: 3 3 3  f x 3g x dx 10 , 2 f x g x dx 6. Tính  f x g x dx . 1 1 1 A. 7. B. 6. C. 8. D. 9. Câu 19. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f xliên tục trên đoạn 10 6 2 10 0;10 và f x dx 7 ; f x dx 3 . Tính P f x dx f x dx . 0 2 0 6 A. P 4 B. P 10 C. P 7 D. P 4 Câu 20. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện 3 3 3  f x 3g x dx=10 đồng thời 2 f x g x dx=6 . Tính  f x g x dx . 1 1 1 A. .9 B. . 6 C. . 7 D. . 8 Câu 21. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho , f làg hai hàm liên tục 3 3 trên 1;3 thỏa:  f x 3g x  dx 10 và 2 f x g x  dx 6 . Tính 1 1 3 I  f x g x  dx . 1 A. 8. B. 7. C. 9. D. 6. Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản 2 2 Câu 22. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho f x dx . 5Tính I  f x 2sin x dx . 5 0 0 A. I 7 B. I 5 C. I 3 D. I 5 2 2 2 Câu 23. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho f x dx 2 và g x dx 1 . Tính 1 1 2 I x 2 f x 3g x  dx . 1 17 5 7 11 A. I B. I C. I D. I 2 2 2 2 5 Câu 24. (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hai tích phân f x dx 8 2 2 5 và g x dx 3 . Tính I  f x 4g x 1 dx 5 2 A. .1 3 B. . 27 C. . 11 D. . 3 6
  7. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 2 Câu 25. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho f (x)dx và2 g(x)dx , 1 1 1 2 khi đó x 2 f (x) 3g(x)dx bằng 1 5 7 17 11 A. B. C. D. 2 2 2 2 2 2 Câu 26. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho f x dx ,3 g x dx 1 thì 0 0 2  f x 5g x x dx bằng: 0 A. .1 2 B. . 0 C. . 8 D. 10 5 Câu 27. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho f x dx . 2 0 5 2 Tích phân 4 f x 3x  dx bằng 0 A. . 140 B. . 130 C. . 1D.20 . 133 Câu 28. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2 2 4 f x 2x dx 1. Khi đó f x dx bằng: 1 1 A. .1 B. . 3 C. . 3 D. . 1 1 Câu 29. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho f x dx 1 tích phân 0 1 2 f x 3x2 dx 0 bằng A. .1 B. . 0 C. . 3 D. . 1 Câu 30. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính tích phân 0 I 2x 1 dx . 1 1 A. .I 0 B. . I 1 C. . I D.2 . I 2 2 Câu 31. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số f x . Biết f 0 4 và f ' x 2sin x 1, x , khi 4 đó f x dx bằng 0 2 16 4 2 4 2 15 2 16 16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 7
  8. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 32. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số f x . Biết f 0 4 và f x 2sin2 x 3 , x R , 4 khi đó f x dx bằng 0 2 2 2 8 8 2 8 2 3 2 2 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 2 Câu 33. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số f (x).Biết f (0) 4 và f (x) 2cos x 3, x , khi đó 4 f (x)dx bằng? 0 2 8 8 2 8 2 2 6 8 2 2 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 1 Câu 34. Tích phân 3x 1 x 3 d bằngx 0 A. .1 2 B. . 9 C. . 5 D. . 6 2 Câu 35. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Giá trị của sin xd bằngx 0 A. 0. B. 1. C. -1. D. . 2 2 Câu 36. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính tích phân I (2x 1)dx 0 A. .I 5 B. . I 6 C. . I D.2 . I 4 b Câu 37. Với a ,làb các tham số thực. Giá trị tích phân 3x2 2ax 1 d bằngx 0 A. .b 3 b2a B.b . C. . b3 b2aD. b. b3 ba2 b 3b2 2ab 1 1 Câu 38. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 1 Biết rằng hàm số f x mx thỏan mãn f x dx , 3 0 2 f x dx 8. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 0 A. .m n 4 B. . C.m . n 4 D. . m n 2 m n 2 4 2 Câu 39. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Giả sử I sin 3xdx a b 0 2 a,b  . Khi đó giá trị của a b là 1 1 3 1 A. B. C. D. 6 6 10 5 8
  9. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 40. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x 2 2 2 liên tục trên và f x 3x dx 10 . Tính f x dx . 0 0 A. .2 B. . 2 C. . 18 D. . 18 Câu 41. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho m 3x2 2x 1 dx 6. Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? 0 A. . 1;2 B. . ;0C. . D. 0 .;4 3;1 Câu 42. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Biết rằng hàm số f x ax2 bx c thỏa mãn 1 7 2 f x dx , f x dx 2 và 0 2 0 3 4 4 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 4 Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ 2 dx Câu 43. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) bằng 1 2x 3 1 7 1 7 7 A. ln 35 B. ln C. ln D. 2ln 2 5 2 5 5 2 dx Câu 44. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) bằng 1 3x 2 1 2 A. 2ln 2 B. ln 2 C. ln 2 D. ln 2 3 3 2 dx Câu 45. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Tích phân bằng 0 x 3 2 16 5 5 A. B. C. log D. ln 15 225 3 3 1 1 1 Câu 46. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho dx aln 2 bln 3với a ,b là các số 0 x 1 x 2 nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a 2b 0 B. a b 2 C. a 2b 0 D. a b 2 e 1 1 Câu 47. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tính tích phân I dx 2 1 x x 1 1 A. I B. I 1 C. I 1 D. I e e e 3 dx Câu 48. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính tích phân I . 0 x 2 21 5 5 4581 A. .I B. . I C.l n. D. . I log I 100 2 2 5000 9
  10. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 dx Câu 49. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) bằng 1 3x 2 2 1 A. .2 ln 2 B. . ln 2 C. . ln 2 D. . ln 2 3 3 2 x 1 Câu 50. Tính tích phân I d . x 1 x 7 A. .I 1 ln 2 B. . I C. . D. . I 1 ln 2 I 2ln 2 4 Câu 51. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết 2 dx a ln 2 bln 3 c ln 5. Khi đó giá trị a b c bằng 1 x 1 2x 1 A. . 3 B. . 2 C. . 1 D. . 0 3 x 2 Câu 52. Biết dx a bln cvới, a,b,c ,c 9Tính. tổng S a b c. 1 x A. .S 7 B. . S 5 C. . S D.8 . S 6 Câu 53. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết 0 3x2 5x 1 2 I dx a ln b, a,b . Khi đó giá trị của a 4b bằng 1 x 2 3 A. 50 B. 60 C. 59 D. 40 2 1 x 2 1 Câu 54. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Biết dx nln , với2 m ,làn 0 x 1 m các số nguyên. Tính m n . A. .S 1 B. . S 4 C. . S D. .5 S 1 Câu 55. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tích phân 1 x 1 2 I dx a ln b trong đó a , b là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a b . 2 0 x 1 A. .1 B. . 0 C. . 1 D. . 3 5 x2 x 1 b Câu 56. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết dx a ln 3 x 1 2 với a , b là các số nguyên. Tính S = a-2b . A. .S 2 B. . S 2C. . SD. .5 S 10 2 2 x 10 a Câu 57. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho x dx ln với 1 x 1 b b a,b  . Tính P a b? A. .P 1 B. . P 5 C. . P D. 7 . P 2 Câu 58. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 3 x 3 dx a ln 2 bln 3 c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a b c bằng 2 1 x 3x 2 10
  11. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A. .0 B. . 2 C. . 3 D. . 1 4 5x 8 Câu 59. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho dx a ln 3 bln 2 c ln 5 , 2 3 x 3x 2 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a 3b c bằng A. 12 B. 6 C. 1 D. 64 5 x2 x 1 b Câu 60. Biết dx a ln với , a làb các số nguyên. Tính S = a-2 .b 3 x 1 2 A. .S 2 B. . S 2C. . SD. .5 S 10 1 1 a Câu 61. Biết rằng dx a,b ,a 10 . Khi đó a cób giá trị bằng 2 0 x x 1 b A. .1 4 B. . 15 C. . 13 D. . 12 Câu 62. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Biết 2 x2 5x 2 dx a bln 3 c ln 5 , a,b,c . Giá trị của abc bằng 2  0 x 4x 3 A. . 8 B. . 10 C. . 12 D. . 16 0 3x2 5x 1 2 Câu 63. (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Giả sử rằng dx a ln . Khib đó, 1 x 2 3 giá trị của a 2b là A. .3 0 B. . 60 C. . 50 D. . 40 Câu 64. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết 2 3sin x cos x 11 b dx ln 2 bln 3 c b,c Q . Tính ? 0 2sin x 3cos x 3 c 22 22 22 22 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 13 Câu 65. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết 4 x3 x2 7x 3 a a dx c ln 5 với a , b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. 2 1 x x 3 b b 2 3 Tính P a b c . A. . 5 B. . 4 C. 5. D. 0. Câu 66. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho 1 4x2 15x 11 dx a bln 2 c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức T a.c b bằng 2 0 2x 5x 2 1 1 A. .4 B. . 6 C. . D. . 2 2 Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN 11
  12. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ln x Câu 67. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x . x Tính: I F e F 1 ? 1 1 A. I B. I C. I 1 D. I e 2 e 1 Câu 68. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) bằnge3x 1dx 0 1 1 A. e4 e B. e3 e C. e4 e D. e4 e 3 3 2 Câu 69. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) bằnge3x 1dx 1 1 1 1 A. e5 e2 B. e5 e2 C. e5 e2 D. e5 e2 3 3 3 6 2 Câu 70. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho f (x)dx 12 . Tính I f (3x)dx. 0 0 A. I 5 B. I 36 C. I 4 D. I 6 Câu 71. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho với m , p , và là các phân số tối giản. Giá trị bằng 22 A. .1 0 B. . 6 C. . D. . 8 3 Câu 72. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tích phân 1 1 I dx có giá trị bằng 0 x 1 A. .l n 2 1 B. . ln 2 C. . ln 2D. . 1 ln 2 3 x Câu 73. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Tính K d . x 2 2 x 1 1 8 8 A. .K ln 2 B. . KC. ln .K D. 2ln 2 K ln . 2 3 3 1 x2 2 a b c Câu 74. Biết rằng xe dx e e với a,b,c . Giá trị của a b bằngc 0 2 A. .4 B. . 7 C. . 5 D. . 6 e x 1 Câu 75. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Biết dx ln ae vớib a ,làb 2 1 x x ln x các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T a2 ab b2. A. 3. B. 1. C. 0. D. 8. 12
  13. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 76. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết 2 1 p 2 x p x 1 e x dx me q n , trong đó m,n, p,q là các số nguyên dương và là phân số tối giản. 1 q Tính T m n p q . A. .T 11 B. . T 10C. . TD. .7 T 8 2 x 2tdt Câu 77. Số điểm cực trị của hàm số f x là 2 2x 1 t A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 78. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y f xcó đạo hàm trên 1 đồng thời thỏa mãn f 0 f 1 5 . Tính tích phân I f x e f x dx . 0 A. I 10 B. I 5 C. I 0 D. I 5 Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ Dạng 4.1 Hàm số tường minh Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức 21 dx Câu 79. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho a ln 3 bln 5 c ln 7 , với a,b,c là các số 5 x x 4 hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a b 2c B. a b 2c C. a b c D. a b c 55 dx Câu 80. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho a ln 2 bln 5 c ln11 , với a,b,c là các số 16 x x 9 hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a b 3c B. a b 3c C. a b c D. a b c 2 Câu 81. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tính tích phân I 2x x2 1d xbằng cách đặt 1 u x2 1, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 1 2 3 2 A. I udu B. I udu C. I 2 udu D. I udu 0 2 1 0 1 ln 6 ex Câu 82. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Biết tích phân dx a bln 2 c ln , với3 , a x 0 1 e 3 b , c là các số nguyên. Tính T a b c . A. .T 1 B. . T 0 C. . TD. 2. T 1 1 dx Câu 83. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Tích phân bằng 0 3x 1 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 13
  14. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 dx Câu 84. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Biết dx a b vớic a,b ,làc 1 (x 1) x x x 1 các số nguyên dương. Tính P a b c A. P 18 B. P 46 C. P 24 D. P 12 e ln x Câu 85. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết dx a b 2 1 x 1 ln x với a,b là các số hữu tỷ. Tính S a b . 1 3 2 A. .S 1 B. . S C. . S D. . S 2 4 3 2 2 Câu 86. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho tích phân I 16 x2 dvàx 0 x 4sin t . Mệnh đề nào sau đây đúng? 4 4 A. .I B. 8. 1 cos2t dt I 16 sin2 tdt 0 0 4 4 C. .I D. 8 . 1 cos2t dt I 16 cos2 tdt 0 0 Câu 87. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Biết 5 1 dx a bln 3 c ln 5 (a,b,c Q) . Giá trị của a b c bằng 1 1 3x 1 7 5 8 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 1 x 1 b Câu 88. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho dx ln d , với 3 1 x 1 a c 2 b a, b, c, d là các số nguyên dương và tối giản. Giá trị của a b c d bằng c A. 12 B. 10 C. 18 D. 15 7 x3 m m Câu 89. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Cho biết dx với là một phân 3 2 0 1 x n n số tối giản. Tính m 7n A. .0 B. . 1 C. . 2 D. . 91 Câu 90. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng 1 dx a ln 2 bln 3 c ln 5 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a b c bằng 0 3x 5 3x 1 7 10 5 10 5 A. B. C. D. 3 3 3 3 e ln x Câu 91. Biết dx a b với2 a ,làb các số hữu tỷ. Tính S a .b 1 x 1 ln x 14
  15. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 3 2 A. .S 1 B. . S C. . S D. . S 2 4 3 Câu 92. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 3 x a dx bln 2 c ln 3 với a,b,c là các số nguyên. Giá trị a b c bằng: 0 4 2 x 1 3 A. 9 B. 2 C. 1 D. 7 3 x a Câu 93. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho I dx bln 2 c ln , d với 0 4 2 x 1 d a a,b,c,d là các số nguyên và là phân số tối giản. Giá trị của a b c d bằng d A. 16. B. 4. C. 28. D. . 2 a x3 x Câu 94. Tính I d . x 2 0 x 1 1 A. .I a2 1 a2 1 1 B. . I  a2 1 a2 1 1 3   1 C. .I  a2 1 a2 D.1 . 1 I a2 1 a2 1 1 3   1 2 x Câu 95. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Giá trị của tích phân bằngdx tích phân 0 1 x nào dưới đây? 1 4 2 sin2 x 4 sin2 y 2 A. . 2sin2 ydB.y . C. . dxD. . dy 2sin2 ydy 0 0 cos x 0 cosy 0 2 2 x b Câu 96. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Biết dx ln 5 c ln 2 2 2 3 x 1 x 1 a a với a,b,c là các số nguyên và phân số là tối giản. Tính P 3a 2b c . b A. .1 1 B. . 12 C. . 14 D. . 13 Câu 97. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho tích phân 4 25 x2 5 6 12 với a,b,c,d là các số hữu tỉ. Tính tổng dx a b 6 c ln d ln 2 1 x 5 6 12 a b c d . 1 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 25 2 20 1 dx Câu 98. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho tích phân I nếu đổi biến số 2 0 4 x x 2sin t,t ; thì ta được. 2 2 15
  16. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG π π π π 3 6 4 6 dt A. .I dt B. . I C.dt . D. . I tdt I 0 0 0 0 t 1 x3 a b c Câu 99. (THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Biết dx với a, b, c là 2 0 x 1 x 15 các số nguyên và b 0 . Tính P a b2 c . A. .P 3 B. . P 7 C. .D. . P 7 P 5 1 2 n Câu 100. Cho n là số nguyên dương khác 0 , hãy tính tích phân I 1 x xdx theo n . 0 1 1 1 1 A. .I B. . I C. . D. . I I 2n 2 2n 2n 1 2n 1 Câu 101. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Giả sử 64 dx 2 I a ln b với a, b là số nguyên. Khi đó giá trị a b là 3 1 x x 3 A. . 17 B. 5. C. . 5 D. . 17 Câu 102. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Biết 2 x dx a b 2 c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P a 2b c 7 . 2 1 3x 9x 1 1 86 67 A. . B. . C. . 2 D. . 9 27 27 2 dx Câu 103. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Biết a b c với 1 x x 1 x 1 x a , b , c là các số nguyên dương. Tính P a b c . A. .P 44 B. . P C.42 . D. .P 46 P 48 4 2x 1dx 5 Câu 104. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Biết a bln 2 c ln a,b,c . Tính 0 2x 3 2x 1 3 3 T 2a b c . A. .T 4 B. . T 2 C. . T D.1 . T 3 Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác Câu 105. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính tích phânI cos3 x.sin xdx . 0 1 1 A. I B. I 4 C. I 4 D. I 0 4 4 2 cos x 4 Câu 106. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho dx a ln b , tính tổng 2 0 sin x 5sin x 6 c S a b c A. .S 1 B. . S 4 C. . S D.3 . S 0 16
  17. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 Câu 107. (SGD - BÌNH DƯƠNG - HK 2 - 2018) Cho tích phân I 2 cos x.sin xdx . Nếu đặt 0 t 2 cos x thì kết quả nào sau đây đúng? 2 3 2 2 A. .I tdt B. . C.I . tdt D. . I 2 tdt I tdt 3 2 3 0 4 sin2 x Câu 108. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - HKII - 2018) Tính tích phân I dx bằng cách đặt u tan x , 4 0 cos x mệnh đề nào dưới đây đúng? 4 2 1 1 1 A. .I u2du B. . C. I. dD.u . I u2du I u2du 2 0 0 u 0 0 π 3 sin x Câu 109. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tính tích phân I dx . 3 0 cos x 5 3 π 9 9 A. .I B. . I C. . D. .I I 2 2 3 20 4 2 sin x Câu 110. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho tích phân dx a ln 5 bln 2 với cos x 2 3 a, b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2a b 0. B. a 2b 0. C. 2a b 0. D. a 2b 0. Câu 111. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu số a 0;20 sao a 2 cho sin5 xsin 2xdx . 0 7 A. 10. B. 9. C. 20. D. 19. sin 2x cos x Câu 112. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết F(x )nguyên hàm của hàm số f (x) 1 sin x và F(0) 2 . Tính F 2 2 2 8 2 2 8 4 2 8 4 2 8 A. F B. F C. F D. F 2 3 2 3 2 3 2 3 6 dx a 3 b Câu 113. Biết , với a,b ,c và a,b,c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị 0 1 sin x c của tổng a b c bằng A. .5 B. . 12 C. . 7 D. . 1 17
  18. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 sinx Câu 114. Cho tích phân số dx a ln 5 bln 2 với a,b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? cos x 2 3 A. 2a b 0. B. a 2b 0. C. .2 a b 0D . a 2b 0. 2 sin x 4 Câu 115. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dx a ln b , với ,a 2 0 cos x 5cos x 6 c b là các số hữu tỉ, c 0 . Tính tổng S a b c . A. .S 3 B. . S 0 C. . S D.1 . S 4 Dạng 4.13. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit 1 dx 1 e Câu 116. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho a bln , với a , blà các số hữu x 0 e 1 2 tỉ. Tính S a3 b3 . A. .S 2 B. . S 0 C. . SD. 1. S 2 e 3ln x 1 Câu 117. (SGD&ĐT CẦN THƠ - HKII - 2018) Cho tích phân I dx . Nếu đặt t ln x thì 1 x 1 3t 1 e 3t 1 e 1 A. .I B. d. t C. . ID. . dt I 3t 1 dt I 3t 1 dt t 0 e 1 t 1 0 Câu 118. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho e ln x c I dx a ln 3 bln 2 , với a,b,c . Khẳng định nào sau đâu đúng. 2 1 x ln x 2 3 A. .a 2 b2B. c. 2 C.1 . D. . a2 b2 c2 11 a2 b2 c2 9 a2 b2 c2 3 4 Câu 119. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Biết I x ln x2 9 dx a ln 5 bln 3 c 0 trong đó a,b,c là các số thực. Giá trị của biểu thức T a b c là: A. T 11. B. T 9. C. T 10. D. T 8. e ln x Câu 120. Cho I dx có kết quả dạng I ln a b với a 0 , b . Khẳng định nào sau đây 2 1 x ln x 2 đúng? 3 1 3 1 A. .2 ab 1 B. . 2abC. .1 D. . b ln b ln 2a 3 2a 3 e 2ln x 1 a c Câu 121. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho dx ln với 2 1 x ln x 2 b d a c a , b , c là các số nguyên dương, biết ; là các phân số tối giản. Tính giá trị a b c d ? b d A. .1 8 B. . 15 C. . 16 D. . 17 18
  19. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 x3 2x ex3.2x 1 1 e Câu 122. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Biết dx ln p với x 0 e.2 m eln n e m , n , p là các số nguyên dương. Tính tổng S m n p . A. .S 6 B. . S 5 C. . S D.7 . S 8 Câu 123. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho e 3x3 1 ln x 3x2 1 dx a.e3 b c.ln e 1 với a,b, c là các số nguyên và lne 1 . Tính 1 1 x ln x P a2 b2 c2 . A. .P 9 B. . P 14 C. . PD. .10 P 3 Câu 124. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Biết ln 2 dx 1 I ln a ln b ln c với a , b , c là các số nguyên dương. 0 ex 3e x 4 c Tính P 2a b c . A. .P 3 B. . P 1C. . D.P 4 P 3 2 x 1 Câu 125. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Biết dx ln ln a b với a , b là các 2 1 x x ln x số nguyên dương. Tính P a2 b2 ab . A. .1 0 B. . 8 C. . 12 D. . 6 1 x2 x ex Câu 126. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Cho dx a.e bln e c với a , b x 0 x e , c . Tính P a 2b c . A. .P 1 B. . P 1C. . PD. .0 P 2 Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức 1 xdx Câu 127. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho a bln 2 c ln 3với a,b, clà 2 0 x 2 các số hữu tỷ. Giá trị của 3a b c bằng A. 2 B. 1 C. 2 D. 1 3 x Câu 128. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Tính K dx bằng 2 2 x 1 1 8 8 A. .K ln 2 B. . KC. . ln D. . K 2ln 2 K ln 2 3 3 1 x7 Câu 129. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho tích phân I d ,x giả sử đặt t 1 .x 2 2 5 0 1 x Tìm mệnh đề đúng. 3 3 1 2 t 1 3 t 1 A. .I B. . dt I dt 5 5 2 1 t 1 t 3 3 1 2 t 1 3 4 t 1 C. .I D. . dt I dt 4 4 2 1 t 2 1 t 19
  20. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 x Câu 130. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu số thực a để dx 1 . 2 0 a x A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 1 xdx Câu 131. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho a bln 2 c ln 3với a,b, clà 2 0 x 2 các số hữu tỷ. Giá trị của 3a b c bằng A. 2 B. 1 C. 2 D. 1 Câu 132. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho 2x 3x 2 6 dx 8 7 A 3x 2 B 3x 2 C với A, B,C . Tính giá trị của biểu thức 12A 7B . 23 241 52 7 A. B. C. D. 252 252 9 9 1 2x2 3x 3 Câu 133. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết dx a ln b với a,b là các số nguyên 2 0 x 2x 1 dương. Tính P a2 b2 . A. 13 . B. 5 . C. 4 . D. 10 . Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 5 Câu 134. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho biết f x dx 15 . Tính giá trị của 1 2 P  f 5 3x 7 dx . 0 A. .P 15 B. . P 37C. . D.P . 27 P 19 4 Câu 135. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho f x dx 2018 . Tính 0 2 tích phân I  f 2x f 4 2x  dx . 0 A. .I 0 B. I .2018 C. . I 40D.36 . I 1009 2 3 Câu 136. Cho y f x là hàm số chẵn, liên tục trên  6;6 . Biết rằng f x dx ; 8 f 2x dx . 3 1 1 6 Giá trị của I f x dx là 1 A. .I 5 B. . I 2 C. . I D.1 4. I 11 Câu 137. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số f xliên tục trên và 2 f x dx 2018 , tính I xf x2 dx. 0 0 A. .I 1008 B. . I C.2 .0 19 D. . I 2017 I 1009 20
  21. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 Câu 138. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho f x dx . 2Khi 1 4 f x đó dx bằng 1 x A. .1 B. . 4 C. . 2 D. . 8 2 5 Câu 139. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho f x2 1 xdx 2 . Khi đó I f x dx bằng 1 2 A. .2 B. . 1 C. . 4 D. . 1 Câu 140. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 1 Cho f , glà hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều 3 3 3 kiện  f x 3g x dx=10 đồng thời 2 f x g x dx=6 . Tính f 4 x dx +2 1 1 1 2 g 2x 1 dx 1 A. 9 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . Câu 141. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số f x liên tục trên 1 2 7 f x dx 2 f 3x 1 dx 6 I f x dx thỏa 0 và 0 . Tính 0 . A. .I 16 B. . I 18 C. . ID. .8 I 20 Câu 142. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho f x liên tục trên thỏa mãn 7 7 f x f 10 x và f x dx 4 . Tính I xf x dx . 3 3 A. .8 0 B. . 60 C. . 40 D. . 20 1 Câu 143. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho f x dx .9 Tính 0 6 I f sin 3x cos3xdx . 0 A. .I 5 B. . I 9 C. . I D.3 . I 2 4 Câu 144. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho tích phân I f x dx 32 Tính. 0 2 tích phân J f 2x dx. 0 A. J 32 B. J 64 C. J 8 D. J 16 Câu 145. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Biết f x là hàm liên tục trên và 9 4 f x dx 9 . Khi đó giá trị của f 3x 3 dx là 0 1 A. .0 B. . 24 C. . 27 D. . 3 21
  22. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 146. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f (x )thỏa mãn 1 2 f (2x)dx 2 .Tích phân f (x)dx bằng 0 0 A. 8. B. 1. C. 2. D. 4. 2017 1 Câu 147. Cho hàm f x thỏa mãn f x dx 1 . Tính tích phân I f 2017x dx . 0 0 1 A. .I B. . I 0C. . D. . I 2017 I 1 2017 2 1 Câu 148. Cho tích phân f x dx a . Hãy tính tích phân I xf x2 1 dx theo a . 1 0 a a A. .I 4a B. . I C. . ID. . I 2a 4 2 Câu 149. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x 2 2 4 e f ln x 2 2 f 2x liên tục trên và thỏa mãn tan x. f cos x dx 2 và dx 2 . Tính dx . 0 e x ln x 1 x 4 A. .0 B. . 1 C. . 4 D. . 8 Câu 150. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số x2 3x2 ; x 1 2 1 y f x . Tính I 2 f sin x cos xdx 3 f 3 2x dx . 5 x; x 1 0 0 71 32 A. .I B. . I 31 C. . D.I . 32 I 6 3 2 Câu 151. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho I f x dx 2 . Giá trị của 1 2 sin xf 3cos x 1 dx bằng 0 3cos x 1 4 4 A. .2 B. . C. . D. . 2 3 3 Câu 152. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết 4 5 2 ln 2 f x dx 5 và f x dx 20 . Tính f 4x 3 dx f e2x e2xdx . 1 4 1 0 15 5 A. .I B. . I 15 C. . ID. . I 25 4 2 Câu 153. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho f (x là) hàm số liên tục trên thỏa 2 x2 mãn f (x) f (2 x) x.e , x . Tính tích phân I f (x)dx . 0 e4 1 2e 1 A. .I B. . C.I . D. . I e4 2 I e4 1 4 2 22
  23. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 154. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f xliên tục trên 1 2 thỏa mãn f 2x 3 f x , x . Biết rằng f x dx 1 . Tính tích phân I f x dx . 0 1 A. I 5 B. I 6 C. I 3 D. I 2 Câu 155. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn 2 2 2 e f ln x 2 f 2x tan x. f cos2 x dx 2 và dx 2 . Tính dx . 0 e x ln x 1 x 4 A. .0 B. . 1 C. . 4 D. . 8 Câu 156. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f (x) liên tục trên thỏa mãn 3 8 f ( 3 x) tan x. f (cos2 x)dx dx 6 . 0 1 x 2 f (x2 ) Tính tích phân dx 1 x 2 A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 Câu 157. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên 2018 2018 e 1 x thỏa f x dx 2 . Khi đó tích phân f ln x2 1 dx bằng 2 0 0 x 1 A. .4 B. . 1 C. . 2 D. . 3 Câu 158. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn 4 1 x2 f x 1 f tan x dx 3 và dx 1. Tính I f x dx. 2 0 0 x 1 0 A. .I 2 B. . I 6 C. . I D.3 . I 4 Câu 159. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn 2 16 f x 1 f 4x cot x. f sin2 x dx dx 1. Tính tích phân dx . 1 x 1 x 4 8 3 5 A. .I 3 B. . I C. . I D.2 . I 2 2 Câu 160. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f 2 x 1 ln x 4 f x . Tính tích phân I f x dx . x x 3 A. .I 3 2B.ln .2 2 C. . I 2ln2 2 D. . I ln2 2 I 2ln 2 23
  24. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG f x Câu 161. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hàm số liên tục trên thảo 7 f x 4 f 4 x 2018x x2 9 4 mãn: ,  x . Tính I f x dx . 0 2018 7063 98 197764 A. . B. . C. . D. . 11 3 3 33 Câu 162. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Cho hàm số y f (x )liên tục trên 1;4 và thỏa mãn f (2 x 1) ln x 4 f (x) . Tính tích phân I f (x)dx . x x 3 A. .I 3 2B.ln 2. 2 C. . I 2ln2 2 D. . I ln2 2 I 2ln 2 Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN Dạng 5.1 Hàm số tường minh e Câu 163. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính tích phân I x ln xdx : 1 e2 1 1 e2 2 e2 1 A. I B. I C. I D. I 4 2 2 4 e Câu 164. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho 1 x ln x dx ae2 be cvới ,a ,b clà các số 1 hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a b c B. a b c C. a b c D. a b c e Câu 165. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho 2 x ln x dx ae2 be c với a,b,c là các số hữu tỉ. 1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a b c B. a b c C. a b c D. a b c 1 Câu 166. Tích phân x 2 e2xdx bằng 0 5 3e2 5 3e2 5 3e2 5 3e2 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 4 1 Câu 167. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Biết rằng tích phân 2x +1 exdx = a + b. ,e tích a. b 0 bằng A. . 15 B. . 1 C. 1. D. 20. Câu 168. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tích phân 2 ln x b b I dx aln 2 với a là số thực, b và c là các số dương, đồng thời là phân số tối 2 1 x c c giản. Tính giá trị của biểu thức P 2a 3b c . A. .P 6 B. . P 5 C. . PD. . 6 P 4 24
  25. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 4 Câu 169. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho tích phân I x 1 sin 2xd x. 0 Tìm đẳng thức đúng? 4 4 1 4 A. .I x 1 cosB.2x . cos2xdx I x 1 cos2x cos2xdx 0 2 0 0 4 4 1 4 1 4 C. .I xD. .1 cos2x cos2xdx I x 1 cos2x cos2xdx 2 2 0 0 0 0 Câu 170. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng tồn tại duy nhất các bộ số nguyên a,b,c 3 sao cho 4x 2 ln xdx a bln 2 c ln 3 . Giá trị của a b c bằng 2 A. .1 9 B. . 19 C. . 5 D. . 5 2 ln 1 x Câu 171. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho dx a ln 2 bln 3 , với a,b là các số hữu tỉ. 2 1 x Tính P a 4b . A. P = 0 B. P =1 C. P =3 D. P = -3 1000 2 ln x Câu 172. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Tính tích phân I dx , ta được 2 1 x 1 ln 21000 2 1000ln 2 21000 A. .I B.10 .01ln I ln 1 21000 1 21000 1 21000 1 21000 ln 21000 2 1000ln 2 21000 C. .I 100D.1l n. I ln 1 21000 1 21000 1 21000 1 21000 2 * Câu 173. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Biết 2xln x 1 dx a.lnb , với a,b , b là số 0 nguyên tố. Tính 6a 7b . A. .6 a 7b B.33 . C. . 6a 7D.b . 25 6a 7b 42 6a 7b 39 a Câu 174. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Biết rằng ln xdx 1 2a, a 1 Khẳng. 1 định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. .a 18;21B. . C.a . 1;4 D. . a 11;14 a 6;9 1 x Câu 175. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Cho tích phân (x 2)e dx a b ,e với a;b . 0 Tổng a b bằng A. .1 B. . 3 C. . 5 D. . 1 2 Câu 176. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tính tích phân I xexdx . 1 A. .I e2 B. . I eC.2 . D.I . e I 3e2 2e 25
  26. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 177. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng 3 x ln x dx mln 3 nln 2 p trong đó m,n, p  . Tính m n 2 p 2 5 9 5 A. . B. . C. . 0 D. . 4 2 4 2 Câu 178. (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 2 NĂM 2018-2019) Biết 2x ln 1 x dx a.ln , b 0 * với a, b , b là số nguyên tố. Tính 3a 4b . A. .4 2 B. . 21 C. . 12 D. . 32 2 ln x b Câu 179. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho tích phân I dx a ln 2 2 1 x c b với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng thời là phân số tối giản. Tính giá trị c của biểu thức P 2a 3b c . A. P 6 B. P 6 C. P 5 D. P 4 3 x 3 Câu 180. Biết I dx lnb . Khi đó, giá trị của a2 b bằng 2 0 cos x a A. .1 1 B. . 7 C. . 13 D. . 9 Câu 181. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho ln x2 x dx F x , F 2 2ln 2 4 . Khi đó 3  F x 2x ln x 1  I  dx bằng 2  x  A. .3 ln 3 3 B. . 3lnC.3 . 2 D. 3ln 3 1 3ln 3 4 Câu 182. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết 3 x 3 I dx ln b , với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức 2 0 cos x a T a2 b. A. .T 9 B. . T 13 C. . TD. .7 T 11 2 ln 1 2x a dx ln 5 bln 3 c ln 2 x2 2 Câu 183. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho 1 , a 2 b c với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của là: A. 0. B. 9. C. 3. D. 5. 2 ln 1 x Câu 184. Cho dx a ln 2 bln 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính P ab . 2 1 x 3 9 A. .P B. . P 0 C. . D.P . P 3 2 2 26
  27. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 x Câu 185. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Cho tích phân (x 2)e dx a b ,e với a;b . 0 Tổng a b bằng A. .1 B. . 3 C. . 5 D. . 1 Câu 186. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho π 4 ln sin x 2cos x dx a ln 3 bln 2 cπ với a , b , c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng 2 0 cos x 15 5 5 17 A. B. C. D. 8 8 4 8 12 1 c 1 x a Câu 187. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Biết 1 x e x dx e d trong đó 1 x b 12 a c a,b,c,d là các số nguyên dương và các phân số , là tối giản. Tính bc ad . b d A. 12. B. 1. C. 24. D. 64. 2 x ln x 1 a c Câu 188. (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Cho dx ln 3 (với 2 0 x 2 b d a c a,c ;b,d *; là các phân số tối giản). Tính P a b c d . b d A. .7 B. . 7 C. . 3 D. . 3 Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 1 Câu 189. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f x dx 1 0 0 1 và 2 f 1 f 0 2 . Tính f x dx . 0 A. I 1 B. I 8 C. I 12 D. I 8 Câu 190. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số y f (x )có đạo hàm liên tục trên và thỏa 2 1 mãn f (2) 16, f (x)dx 4 . Tính I xf (2x)dx . 0 0 A. I 20 B. I 7 C. I 12 D. I 13 Câu 191. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f (x )có đạo hàm 1 1 1 2 1 liên tục trên 0;1 thỏa mãn x2 f x dx , f 1 0 và  f ' x  dx . Giá trị của 0 21 0   7 1 f x dx bằng 0 5 1 4 7 A. . B. . C. . D. . 12 5 5 10 Câu 192. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn 27
  28. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 1 2 f x dx 1, f 1 cot1. Tính tích phân I  f x tan x f x tan x dx . 0 0 A. . 1 B. . 1 lnC. c o0.s1 D. . 1 cot1 f x Câu 193. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số có đạo hàm 1 1 1 liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 , x2 f x dx Tính x3 f ' x dx . 0 3 0 A. 1 B. 1 C. 3 D. 3 Câu 194. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số y = f ( xcó) đạo hàm 1 9 1 x 3 liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 0 . Biết f 2 x dx và f x cos dx . 0 2 0 2 4 1 Tích phân f x dx bằng 0 6 2 4 1 A. B. C. D. 2 Câu 195. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Biết m là số thực thỏa mãn x cos x 2m dx=2 2 .1 0 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m 0 . B. 0 m 3 . C. 3 m 6 . D. m 6 . Câu 196. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa 1 1 1 2 1 mãn f 1 0,  f (x) dx 7 và x2 f (x)dx . Tính tích phân f (x)dx 0 0 3 0 7 7 A. 4 B. C. 1 D. 5 4 Câu 197. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên 1 1 1 tục trên đoạn 0;1 và f 0 f 1 0 . Biết f 2 x dx , f x cos x dx . Tính 0 2 0 2 1 f x dx . 0 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 Câu 198. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên 1 1 2 2 1 tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 ,  f x  dx 7 và x f x dx . Tích phân 0 0 3 1 f x dx bằng 0 7 7 A. B. 1 C. D. 4 5 4 28
  29. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 199. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên 1 1 2 1 tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 4 ,  f x  dx 36 và x. f x dx . Tích phân 0 0 5 1 f x dx bằng 0 5 3 2 A. B. C. 4 D. 6 2 3 Câu 200. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên 2 2 2 2 1 tục trên đoạn 0;2 thỏa mãn f 2 3 ,  f x  dx 4 và x f x dx . Tích phân 0 0 3 2 f x dx bằng 0 2 297 562 266 A. B. C. D. 115 115 115 115 Câu 201. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên 1 1 2 1 tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 4 ,  f x  dx 5 và x. f x dx . Tích phân 0 0 2 1 f x dx bằng 0 15 17 17 15 A. B. C. D. 19 4 18 4 Câu 202. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên 2 2 2 17 tục trên đoạn 0;2 thỏa mãn f 2 6 ,  f x  dx 7 và x. f x dx . Tích phân 0 0 2 2 f x dx bằng 0 A. 8 B. 6 C. 7 D. 5 Câu 203. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên 3 3 2 2 154 tục trên đoạn 0;3 thỏa mãn f 3 6 ,  f x  dx 2 và x . f x dx . Tích phân 0 0 3 3 f x dx bằng 0 53 117 153 13 A. B. C. D. 5 20 5 5 29
  30. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 204. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f x có đạo hàm liên 1 1 2 3 tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 2 ,  f x  dx 8 và x . f x dx 10 . Tích phân 0 0 1 f x dx bằng 0 2 194 116 584 A. B. C. D. 285 95 57 285 Câu 205. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 1 2 2 x e 1 0;1 thỏa mãn f 1 0 và  f x  dx x 1 e f x dx . Tính tích phân 0 0 4 1 I f x dx . 0 e e 1 A. I 2 e . B. I e 2 . C. I . D. I . 2 2 Câu 206. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 4 4   2 0;  và f 0 . Biết f x dx , f x sin 2xdx . Tính tích phân  4  4 0 8 0 4 8 I f 2x dx 0 1 1 A. I 1 . B. I . C. I 2 . D. I . 2 4 Câu 207. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018). Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1  1 1 1 1 và f 0 f 1 0 . Biết f 2 x dx , f x cos x dx . Tính f x dx . 0 2 0 2 0 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 Câu 208. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên   4 f x 4 0;  thỏa mãn f 3 , dx 1 và sin x.tan x. f x  dx 2 . Tích phân  4  4 0 cos x 0 4 sin x. f x dx bằng: 0 2 3 2 1 3 2 A. .4 B. . C. . D. . 6 2 2 Câu 209. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên 1 2 1 1 2 1 đoạn 0;1 thỏa f 1 0 , f x dx và cos x f x dx . Tính f x dx . 0 8 0 2 2 0 30
  31. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 Câu 210. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1 1 1 2 3 1 trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 1 ,  f x  dx 9 và x f x dx . Tích phân f x dx 0 0 2 0 bằng: 2 5 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 5 Câu 211. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1 1 2 1 2 x e 1 đoạn 0;1 thỏa mãn  f x  dx x 1 e f x dx vàf 1 0 . Tính f x dx 0 0 4 0 e 1 e2 e A. . B. . C. . e 2 D. . 2 4 2 Câu 212. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; thỏa2 2 2 2 2 1 2 mãn x 1 f x dx , f 2 0 và  f x  dx 7 . Tính tích phân I f x dx . 1 3 1 1 7 7 7 7 A. .I B. . I C. . D. I. I 5 5 20 20 Câu 213. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 1 1 2 2 1 0;1 thỏa mãn: f 1 0,  f x  dx 7 và x . f x dx . Tính tích phân I f x dx . 0 0 3 0 7 7 A. .I 1 B. . I C. . I D.4 . I 5 4 Câu 214. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 1 1 1 2 4 4 7 0;1 thỏa mãn f 1 3,  f x  dx và x f x dx . Giá trị của f x dx là 0 11 0 11 0 35 65 23 9 A. . B. . C. . D. . 11 21 7 4 Câu 215. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;2  2 2 2 5 2 f x 5 3 và thỏa mãn f 2 0, f x dx ln và dx ln . Tính tích phân 2 1 12 3 1 x 1 12 2 2 f x dx. 1 3 2 3 3 3 3 3 A. . 2ln B. . ln C. . D. . 2ln 2ln 4 3 2 4 2 4 2 Câu 216. (SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1thỏa mãn 1 1 1 2 4 4 f x 8 f x f 1 0, f '(x) dx ln 3 và dx 2ln 3 . Tính tích phân dx bằng.   2 0 3 0 2x 1 3 0 4 31
  32. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 3ln 3 4 ln 3 ln 3 3 A. . B. . C. . D. . ln 3 3 16 16 Câu 217. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm số f (x )có đạo hàm liên tục trên 0; 1thỏa mãn 1 1 1 2 1 1 f 0 1;  f x  dx và 2x 1 f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 30 0 30 0 11 11 11 1 A. . B. . C. . D. . 30 12 4 30 Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán Câu 218. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên . Biết f 3 1 và 1 3 xf 3x dx 1, khi đó x2 f x dx bằng 0 0 25 A. . B. . 3 C. . 7 D. . 9 3 Câu 219. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên .Biết f 4 1 và 1 4 xf 4x dx 1, khi đó x2 f x dx bằng 0 0 31 A. 8. B. 14. C. . D. . 16 2 Câu 220. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên . Biết f 6 1 và 1 6 xf 6x dx 1, khi đó x2 f x dx bằng 0 0 107 A. . B. . 34 C. . 24 D. . 36 3 Câu 221. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên . Biết f (5) =1 và 1 5 2 xf (5x)dx =1, khi đó x f ¢(x)dx bằng ò0 ò0 123 A. 15 B. 23 C. D. 25 5 - 1 Câu 222. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho x ln(2 x2 )dx a ln 3 bln 2 c với 0 a,b,c là các số hữu tỷ. Giá trị của a b c bằng 3 A. .2 B. . 1 C. . D. . 0 2 32
  33. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 Câu 223. Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên , f 2 16 và f x dx 4 . Tích phân 0 4 x xf dx bằng 0 2 A. .1 12 B. . 12 C. . 56 D. . 144 2 Câu 224. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Cho tích phân I x sin xdx a 2 b 0 a,b . Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A. 3 B. a2 b 4 C. a b 6 D. 1;0 b b Câu 225. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f xliên tục 2 1 trên và f 2 16, f x dx 4 . Tính I x. f 2x dx . 0 0 A. .7 B. . 12 C. . 20 D. . 13 Câu 226. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết 4 ln sin x cos x a bc dx ln 2 với a, b, c là các số nguyên. Khi đó, bằng 2 0 cos x b c a 8 8 A. . 6 B. . C. . 6 D. . 3 3 Câu 227. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho tích phân 2 2 I x.sin xdx a b a, b , Mệnh đề nào sau đây đúng? 0 a a A. . 3 B. . aC.2 . b 4 D. . 1;0 a b 6 b b Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 228. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Cho alà số thực dương, tính tích phân a I x dx theo a . 1 2 a2 1 a2 2 2a2 1 3a 1 A. .I B. . C.I . D. . I I 2 2 2 2 1 Câu 229. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x liên tục trên và có f x dx ;2 0 3 1 f x dx 6 . Tính I f 2x 1 dx 0 1 33
  34. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 3 A. I 8 B. I 6 C. I D. I 4 2 Câu 230. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho số thực m thỏa1 mãn m 2mx 1 dx 1. Khẳng định nào sau đây đúng? 1 A. .m 4;6 B. . C.m . 2;4 D. . m 3;5 m 1;3 Câu 231. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 1 2018 2018 A. . B.x .3 dx x3dx x4 x2 1 dx x4 x2 1 dx 1 1 1 1 3 3 x x 2 2 2 C. . e x 1 D.dx . e x 1 dx 1 cos xdx sin xdx 2 2 2 2 5 x 2 Câu 232. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho tích phân dx a bln 2 c ln 3 1 x 1 với a, b, c là các số nguyên. Tính P = abc. A. P 36 B. P 0 C. P 18 D. P 18 Câu 233. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu số tự nhiên m để 2 2 x2 2m2 dx x2 2m2 dx . 0 0 A. Vô số. B. .0 C. Duy nhất. D. . 2 Câu 234. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f (x) liên tục trên và có 3 5 1 f (x)dx 8 và f (x)dx 4. Tính f ( 4x 1)dx. 0 0 1 9 11 A. . B. . C. 3. D. 6. 4 4 1 Câu 235. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Tính tích phân I 2x 2 x dx . 1 1 2 A. . B. . ln 2 C. . 2ln2 D. . ln 2 ln 2 Câu 236. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên thỏa 1 2 2 f 2x dx 2 và f 6x dx 14 . Tính f 5 x 2 dx . 0 0 2 A. .3 0 B. . 32 C. . 34 D. . 36 Câu 237. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Cho f x là hàm số liên tục trên và 1 3 1 f x d x 4, f x d x 6 . Tính I f 2x 1 d x . 0 0 1 A. .I 3 B. . I 5 C. . I D.6 . I 4 34
  35. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 238. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên 0;3 và 1 3 1 f x dx 2; f x dx 8. Giá trị của tích phân f 2x 1 dx ? 0 0 1 A. 6 B. 3 C. 4 D. 5 Dạng 7.2 Tích phân nhiều công thức 2x khi x 0 Câu 239. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Cho số thực a và hàm số f x 2 . Tính a x x khi x 0 1 tích phân f x dx bằng: 1 a 2a a 2a A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 6 3 6 3 Câu 240. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số x e m khi x 0 f x liên tục trên và 2  2x 3 x khi x 0 1 f x dx=ae b 3 c , a,b,c Q . Tổng a b 3c bằng 1 A. .1 5 B. . 10 C. . 19 D. . 17 x e m, khi x 0 Câu 241. Cho hàm số f (x) liên tục trên và 2 2x 3 x , khi x 0 1 f (x)dx ae b 3 c,(a,b,c ) . Tổng T a b 3c bằng 1  A. 15 B. 10 C. 19 D. 17 Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ Câu 242. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số f x liên tục trên và thoả mãn 3 2 f x f x 2 2cos 2x ,x . Tính I f x dx. 3 2 A. I 6 B. I 0 C. I 2 D. I 6 Câu 243. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho f x là hàm số chẵn trên a f x đoạn a;a và k 0 . Giá trị tích phân dx bằng   kx a 1 e a a a a A. . f x dx B. . C. .f x dx D. . 2 f x dx 2 f x dx 0 a a 0 Câu 244. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho f x , f xliên tục trên và thỏa 1 2 mãn 2 f x 3 f x . Biết I f x dx . Khi đó giá trị của m là 2 x 4 2 m 35
  36. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A. .m 2 B. . m 20C. . D.m . 5 m 10 Câu 245. (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số f ,x f x liên 1 2 tục trên và thõa mãn 2 f x 3 f x . Tính I f x dx . 4 x2 2 A. .I B. . I C. . D. I. I 20 10 20 10 4 sin x a Câu 246. (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - 2018) Cho dx c , với a,b,c , 2 1 x x b 4 b 15 . Khi đó a b c bằng: A. .1 0 B. . 9 C. . 11 D. . 12 Câu 247. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hàm số y f x là hàm lẻ và liên tục trên  4;4  biết 0 2 4 f x dx 2 và f 2x dx 4 . Tính I f x dx . 2 1 0 A. .I 10 B. . I C.6 . D.I . 6 I 10 Câu 248. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1 ln 2 ln 2;ln 2 và thỏa mãn f x f x . Biết f x dx a ln 2 bln 3 a;b .   x  e 1 ln 2 Tính P a b . 1 A. .P B. . P 2C. . D.P . 1 P 2 2 Câu 249. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Cho y f x là hàm số chẵn và liên tục trên . 1 1 2 2 f x Biết f x dx f x dx 1 . Giá trị của dx bằng x 0 2 1 2 3 1 A. .1 B. . 6 C. . 4 D. . 3 2 f x dx 10 Câu 250. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Hàm số f x là hàm số chẵn liên tục trên và . Tính 0 2 f x I dx x . 2 2 1 10 A. .I 10 B. . I C. . D.I . 20 I 5 3 Câu 251. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho f (x )là một hàm số liên 3 2 tục trên thỏa mãn f x f x 2 2cos 2x . Tính tích phân I f x dx .  3 2 A. .I 3 B. . I 4 C. . I D.6 . I 8 36
  37. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 252. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Cho hàm số y f x là hàm số chẵn, liên tục 1 1 f x trên đoạn 1;1 và f x dx 6 . Kết quả của dx bằng   x 1 11 2018 A. .2 B. . 3 C. . 4 D. . 5 Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác 1 2 Câu 253. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) và f (x) x f (x) 3 với mọi x . Giá trị của f (1) bằng 2 2 7 11 A. B. C. D. 3 9 6 6 1 Câu 254. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f x thỏa mãn f 2 và 5 3 2 f x x  f x  với mọi x . Giá trị của f 1 bằng 4 71 79 4 A. B. C. D. 35 20 20 5 Câu 255. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số f x có đạo hàm đến cấp hai trên thỏa 2 2 2 mãn: f 1 x x 3 f x 1 . Biết rằng f x 0,x , tính I 2x 1 f " x dx . 0 A. .8 B. . 0 C. . 4 D. . 4 Câu 256. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính tích phân 1 x 1 2x max{e ,e - }dx ò0 3 3 3 1 1 A. .e 1 B. . e C. e. D.e . e e 2 2 e Câu 257. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho tích phân 4 1 2 a dx ln b với a,b,c là các số nguyên dương. Tính 5 2 c 0 cot x tan x 12 6 a2 b2 c2 A. .4 8 B. . 18 C. . 34 D. . 36 Câu 258. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Cho hàm số y f (x )có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn 2 2 2 x. f (x). f '(x) f (x) x,x và có f (2) 1 . Tích phân f (x)dx 0 3 4 A. B. C. 2 D. 4 2 3 37
  38. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 259. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số f xnhận giá trị 2 không âm và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f x 2x 1  f x  ,x và 1 f 0 1. Giá trị của tích phân f x dx bằng 0 1 3 2 3 A. . B. . ln 2 C. . D. . 6 9 9 Câu 260. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên , f 0 0, f ' 0 0 và thỏa mãn hệ thức 2 2 f x . f ' x 18x 3x x f ' x 6x 1 f x ; . 1 f x 2 Biết x 1 e dx ae b, a,b  .Giá trị của a b bằng 0 2 A. 1. B. 2. C. 0. D. . 3 Câu 261. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số f x thỏa mãn 2 2  f x  1 1 f x 0 và f x f x x 0;1 . Biết f , khẳng định nào sau đây ex .x. x x2 2 2 đúng? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. f B. f C. f D. f 5 4 6 5 5 5 5 4 5 6 Câu 262. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hàm số f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn 0;1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 M 2 f x 3x f x dx 4 f x x xf x dx bằng 0 0 1 1 1 1 A. B. C. D. 24 8 12 6 Câu 263. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f cóx đạo hàm liên tục trên , f 0 0, f 0 0 và thỏa mãn hệ thức 2 2 f x . f x 18x 3x x f x 6x 1 f x ,x . 1 f x 2 Biết x 1 e dx a.e b , với a;b  . Giá trị của a b bằng. 0 2 A. .1 B. . 2 C. . 0 D. . 3 Câu 264. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số f xliên tục và có 1 1 2 2  1 1  2 109 f x đạo hàm trên ; thỏa mãn  f x 2 f x . 3 x  dx . Tính dx .     2  2 2 1 12 x 1 0 2 7 2 5 8 A. .l n B. . ln C. . ln D. . ln 9 9 9 9 38
  39. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 n Câu 265. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Với mỗi số nguyên dương tan kí hiệu I x2 1 x2 . dx n 0 I Tính lim n 1 . n In A. .1 B. . 2 C. . 3 D. . 5 Câu 266. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho f x là hàm liên tục trên đoạn 0;a thỏa mãn f x . f a x 1 a dx ba b và , trong đó b , c là hai số nguyên dương và là phân số f x 0,x 0;a   0 1 f x c c tối giản. Khi đó b c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11;22 . B. 0;9 . C. 7;21 . D. 2017;2020 . Câu 267. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số f x xá định trên 2 2    2  2 0;  thỏa mãn  f x 2 2 f x sin x  d x . Tích phân f x d x bằng  2  0  4  2 0 A. . B. . 0 C. . 1 D. . 4 2 Câu 268. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho số thực a 0 . Giả sử hàm số f (x) liên tục và luôn a 1 dương trên đoạn 0;a thỏa mãn f (x). f (a x) 1 . Tính tích phân I dx ? 0 1 f x 2a a a A. .I B. . I C. . ID. . I a 3 2 3 Câu 269. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Xét hàm số f x liên tục 1 trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 2 f x 3 f 1 x 1 x . Tích phân f x dx bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 xsin2018 x a Câu 270. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết d x trong đó ,a blà các 2018 2018 0 sin x cos x b số nguyên dương. Tính P 2a b . A. .P 8 B. . P 10 C. . PD. .6 P 12 Câu 271. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Cho hàm số f x đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên 2 2 6 đoạn 0;2 và thỏa mãn  f x  f x . f x  f x  0 . Biết f 0 1 , f 2 e . Khi đó f 1 bằng 3 5 A. .e 2 B. . e 2 C. . e3 D. . e 2 39
  40. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 272. (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0;3 ; 1 f 3 x . f x 1, f x 1 với mọi x 0;3 và f 0 . Tính tích phân: 2 3 x. f x dx . 2 2 0 1 f 3 x  . f x 5 1 3 A. .1 B. . C. . D. . 2 2 2 Câu 273. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho số thực a .0 Giả sử hàm số f x liên tục a 1 và luôn dương trên đoạn 0;a thỏa mãn f x . f a x 1 . Tính tích phân I dx ? 0 1 f x a a 2a A. .I B. . I C. . I D.a . I 3 2 3 Câu 274. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 4 4   2 0;  và f 0 . Biết f x dx , f x sin 2xdx . Tính tích phân  4  4 0 8 0 4 8 I f 2x dx . 0 1 1 A. .I 1 B. . I C. . I D.2 . I 2 4 Câu 275. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho hàm số y f x là hàm số 1 f x lẻ trên và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện f x 1 f x 1 , x và f , 2 x x 1 f x x 0. Gọi I .dx . Hãy chọn khẳng định đúng về giá trị của I . 2 0 f x 1 A. .I 1;0 B. . IC. . 1;2 D. . I 0;1 I 2; 1 Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1. Tích phân cơ bản Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải Câu 1. Chọn B 2 2 2 Ta có:  f x g x  dx f x dx g x dx 2 6 4 . 1 1 1 Câu 2. Chọn C 1 1 1 Ta có  f x g x  dx f x dx g x dx 3 4 1 . 0 0 0 Câu 3. Chọn C 1 1 1  f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx 2 ( 4) 2 . 0 0 0 Câu 4. Chọn C 40
  41. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 1 1  f x g x dx f x dx g x dx 2 3 5 . 0 0 0 Câu 5. Chọn A 1 1 1 Có  f x 2g x  dx f x dx 2 g x dx 2 2.5 8 . 0 0 0 Câu 6. Theo tính chất tích phân ta có b b b b b  f (x) g(x)dx f (x)dx + g(x)dx; kf (x)dx k f (x)dx , với k . a a a a a 4 4 4 4 Câu 7. Ta có: f t dt f x dx , f y dy f x dx . 2 2 2 2 2 4 4 Khi đó: f x dx f x dx f x dx . 2 2 2 4 4 2 f x dx f x dx f x dx 4 1 5 . 2 2 2 4 Vậy f y dy 5 . 2 Câu 8. Ta có 2 2 2  f x 3g x dx f x dx 3 g x dx 3 3.7 24 . 0   0 0 3 1 3 3 3 1 Câu 9. Ta có f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx f (x) dx = f (x) dx f (x) dx = 5+ 1= 6 0 0 1 1 0 0 3 Vậy f (x) dx = 6 1 3 2 3 Câu 10. f x dx f x dx f x dx 3 4 . 1 1 1 2 2 2 Câu 11. Ta có f ' x dx f x f 2 f 1 1 8 9. 1 1 4 2 4 Câu 12. Ta có: I f (x)dx f (x)dx f (x)dx 9 4 13. 0 0 2 0 3 3 0 3 Câu 13. Có f x dx 3; f x dx 1; f x dx f x dx f x dx 3 1 4 1 0 1 1 0 3 4 4 Câu 14. Theo tính chất của tích phân, ta có: f x dx f x dx f x dx . 0 3 0 3 4 4 Suy ra: f x dx f x dx f x dx 10 4 6 . 0 0 3 3 Vậy f x dx 6 . 0 4 4 1 1 4 1 Câu 15. Ta có: F x dx dx ln | 2x 1| ln 7 . 1 1 2x 1 2 1 2 41
  42. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 4 4 Lại có: F x dx F x F 4 F 1 . 1 1 1 1 1 Suy ra F 4 F 1 ln 7 . Do đó F 4 F 1 ln 7 1 ln 7 . 2 2 2 12 8 12 8 12 8 Câu 16. Ta có: I f x dx f x dx f x dx . f x dx f x dx f x dx 9 3 5 7 . 1 1 8 1 4 4 10 2 6 10 Câu 17. Ta có f x dx f x dx f x dx f x dx 0 0 2 6 2 10 10 6 Suy ra f x dx f x dx f x dx f x dx 7 3 4 . 0 6 0 2 3 3 3 Câu 18.  f x 3g x dx 1 0 f x dx 3 g x dx 1 .0 1 1 1 1 3 3 3 2 f x g x dx 6 2 f x dx g x dx 6 . 2 1 1 1 3 3 Đặt X f x dx , Y g x dx . 1 1 X 3Y 10 X 4 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình: . 2X Y 6 Y 2 3 3 Do đó ta được: f x dx 4 và g x dx 2 . 1 1 3 Vậy  f x g x dx 4 2 6 . 1 10 2 6 10 Câu 19. Ta có: f x dx f x dx f x dx f x dx . 0 0 2 6 7 P 3 P 4 . 3 3 3 Câu 20. Ta có:  f x 3g x dx=10 f x dx+3 g x dx=1 . 0 1 1 1 3 3 3 2 f x g x dx=6 2 f x dx- g x dx=6 . 1 1 1 3 3 Đặt u f x dx; v = g x dx . 1 1 3 f x dx=4 u 3v 10 u 4 1 Ta được hệ phương trình: 2u v 6 v 2 3 g x dx=2 1 3 Vậy  f x g x dx=6 . 1 3 3 Câu 21. Đặt a f x d vàx b g x d . x 1 1 42
  43. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 3 3 Khi đó,  f x 3g x  dx a 3b , 2 f x g x  dx 2a b . 1 1 a 3b 10 a 4 Theo giả thiết, ta có . 2a b 6 b 2 Vậy I a b 6 . Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản Câu 22. Chọn A Ta có 2 2 2 2 I  f x 2sin x dx f x dx +2 sin x dx f x dx 2cos x 2 5 2 0 1 7 .   0 0 0 0 0 Câu 23. Chọn A 2 2 x2 2 2 3 17 Ta có: I x 2 f x 3g x  dx 2 f x dx 3 g x dx 2.2 3 1 . 1 2 1 1 1 2 2 Câu 24. Lời giải 5 5 5 5 5 5 5 I  f x 4g x 1 dx f x dx 4g x dx dx f x dx 4 g x dx dx 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 5 f x dx 4 g x dx dx 8 4.3 x 8 4.3 7 13. 2 5 2 2 Câu 25. Chọn A 2 2 2 2 3 5 Ta có x 2 f (x) 3g(x)dx xdx 2 f (x)dx 3 g(x)dx 4 3 1 1 1 1 2 2 Câu 26. Chọn D 2 2 2 2  f x 5g x x dx f x dx 5 g x dx xdx 3 5 2 10 0 0 0 0 5 5 5 5 Câu 27. 4 f x 3x2  dx 4 f x dx 3x2dx 8 x3 8 125 13 . 3   0 0 0 0 Câu 28. Chọn A 2 2 2 2 2 x2 4 f x 2x dx 1 4 f x dx 2 xdx 1 4 f x dx 2. 1 1 1 1 1 2 1 2 2 4 f x dx 4 f x dx 1 1 1 Câu 29. Chọn. A. 1 1 1 2 f x 3x2 dx 2 f x dx 3 x2dx 2 1 1. 0 0 0 0 0 Câu 30. I 2x 1 dx x2 x 0 0 .0 1 1 Câu 31. Chọn A 1 Ta có f x 2sin2 x 1 dx 2 cos 2x dx 2x sin 2x C. 2 43
  44. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Vì f 0 4 C 4 1 Hay f x 2x sin 2x 4. 2 4 4 1 Suy ra f x dx 2x sin 2x 4 dx 0 0 2 2 2 2 1 1 16 4 x cos 2x 4x 4 . 4 16 4 16 0 Câu 32. Chọn C 1 f x dx 2sin2 x 3 dx 1 cos2x 3 dx 4 cos2x dx 4x sin 2x C . 2 1 Ta có f 0 4 nên 4.0 sin 0 C 4 C 4 . 2 1 Nên f x 4x sin 2x 4 . 2 4 4 2 1 2 1 8 2 f x dx 4x sin 2x 4 dx 2x cos2x 4x 4 . 2 4 8 0 0 0 Câu 33. Chọn B , 1 cos 2x Ta có f (x) f (x)dx (2cos2 x 3)dx (2. 3)dx 2 1 (cos 2x 4)dx =sin 2x 4x C dof (0) 4 C 4 . 2 1 4 4 1 Vậy f (x) sin 2x 4x 4 nên f (x)dx ( sin 2x 4x 4)dx 2 0 0 2 2 1 4 8 2 ( cos 2x 2x2 4x) . 4 0 8 1 1 1 Câu 34. Ta có: 3x 1 x 3 dx 3x2 10x 3 dx x3 5x2 3x 9 . 0 0 0 1 Vậy : 3x 1 x 3 dx 9 . 0 Câu 35. Chọn B 2 + Tính được sin xdx cos x 2 1 . 0 0 Câu 36. Chọn B 2 2 Ta có I (2x 1)dx x2 x 4 2 6 . 0 0 Câu 37. Chọn A 44
  45. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG b b Ta có 3x2 2ax 1 dx x3 ax2 x b3 ab2 b . 0 0 m Câu 38. Ta có: f x dx mx n dx = x2 nx C . 2 1 m 2 1 1 Lại có: f x dx 3 x nx 3 m n 3 1 . 0 2 0 2 2 m 2 2 f x dx 8 x nx 8 2m 2n 8 2 . 0 2 0 1 m n 3 m 2 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình: 2 . n 2 2m 2n 8 m n 4 . Câu 39. Chọn B 4 1 1 1 2 1 Ta có sin 3xdx cos3x 4 . Suy ra a b a b 0 . 0 0 3 3 3 2 3 Câu 40. Ta có: 2 2 2 2 2 f x 3x2 dx 10 f x dx 3x2dx 10 f x dx 10 3x2dx 0 0 0 0 0 2 2 2 f x dx 10 x3 f x dx 10 8 2 . 0 0 0 m m Câu 41. Ta có: 3x2 2x 1 dx 6 x3 x2 x 6 m3 m2 m 6 0 m 2 . 0 0 Vậy m 0;4 . a b Câu 42. Ta có: f x dx ax2 bx c dx = x3 x2 cx C . 3 2 1 7 a 3 b 2 1 7 1 1 7 Lại có: f x dx x x cx a b c 1 . 0 2 3 2 0 2 3 2 2 2 a 3 b 2 2 8 f x dx 2 x x cx 2 a 2b 2c 2 2 . 0 3 2 0 3 3 13 a 3 b 2 3 13 9 13 f x dx x x cx 9a b 3c 3 . 0 2 3 2 0 2 2 2 1 1 7 a b c 3 2 2 a 1 8 Từ 1 , 2 và 3 ta có hệ phương trình: a 2b 2c 2 b 3 . 3 16 9 13 c 9a b 3c 3 2 2 16 4 P a b c 1 3 . 3 3 45
  46. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ Câu 43. Chọn C 2 dx 1 2 1 1 7 Ta có ln 2x 3 ln 7 ln 5 ln . 1 2x 3 2 1 2 2 5 Câu 44. Chọn C 2 dx 1 2 1 2 Ta có ln 3x 2 ln 4 ln1 ln 2 . 1 3x 2 3 1 3 3 Câu 45. Chọn D 2 dx 5 ln x 3 2 ln 0 0 x 3 3 Câu 46. Chọn A 1 1 1 1   ; do đó dx ln x 1 ln x 2 0 2ln 2 ln 3 a 2;b 1 0 x 1 x 2 Câu 47. Chọn A e e 1 1 1 1 I dx ln x . 2 1 x x x 1 e 3 dx 3 5 Câu 48. I ln x 2 ln 5 ln 2 ln . 0 0 x 2 2 Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác Câu 253. Chọn A 2 Từ hệ thức đề cho:f (x) x f (x) (1), suy ra f (x) 0 với mọi x [1;2] . Do đó f (x) là hàm không giảm trên đoạn [1;2] , ta có f (x) f (2) 0 với mọi x [1;2] . 2 f (x) Chia 2 vế hệ thức (1) cho  f (x) x,x 1;2.  f (x)2 Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [1;2] hệ thức vừa tìm được, ta được: 2 2 f (x) 2 2 1 3 1 3 1 1 3 dx xdx df (x) 2 2 1  f (x) 1 1  f (x) 2 f (x) 1 2 f (1) f (2) 2 1 2 Do f (2) nên suy ra f (1) . 3 3 Chú ý: có thể tự kiểm tra các phép biến đổi tích phân trên đây là có nghĩa. Câu 254. Chọn D 2 2 2 f x f x Ta có: f x x3  f x  x3 dx x3dx   2 2 f x 1 f x 1 2 1 15 1 1 15 4 f 1 . f x 4 f 2 f 1 4 5 1 2 2 4 2 2 2 f 1 x x 3 , f x 1 f 1 x x 3 . f x 1 1 Câu 255. Ta có: 2 2 f 1 x x 3 . f 1 x 2 2 Từ 1 và 2 f 1 x x2 3 1 x 1 3 46
  47. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG f x x 1 2 3 f x 2 2 2 I 4x 2 dx 2x2 2x 4 . 0 0 ì 1 2x 1 ïe - khi 0 x 1 ï £ £ x 1-2x x 1-2x ï 3 Câu 256. Ta có: e ³ e Û x ³1-2x Û x ³ . Suy ra: max e ,e = íï 3 { } ï x 1 ïe khi £ x £1 îï 3 1 1 3 1 1 1 x 1-2x 1-2x x 1 1-2x 3 x Do đó I = max e ,e dx = e dx + e dx = - e +e 1 { } 2 0 ò0 ò0 ò1 3 3 1 1 1 1 3 e3 e e e3 e 3 e . = - 2 + 2 + - = 2( - ) 5 4 4 sin x cos x 1 12 6 dx dx 5 5 0 cot x tan x 0 cos x si n x 12 6 12 6 Câu 257. 7 7 4 sin si n 2x 4 2sin 12 4 dx 1 12 dx 0 7 0 7 sin si n 2x sin si n 2x 12 4 12 4 7 5 4 tan cos x x 4 12 12 6 7 5 1 dx 1 tan cot x tan x dx 0 5 0 12 6 12 cos x si n x 12 6 7 5 4 2 3 x tan ln sin x ln cos x ln 3 12 6 12 4 2 0 Do đó a 3;b 3;c 4 . Vậy a2 b2 c2 34 . Câu 258. Chọn C Ta có: x. f (x). f '(x) f 2 (x) x 2x. f (x). f '(x) 2 f 2 (x) 2x 2 2 2 2x. f (x). f '(x) f 2 (x) 3 f 2 (x) 2x x. f 2 (x) 'dx 3 f 2 (x)dx 2xdx 0 0 0 2 x. f 2 (x) 3I 4 2 3I 4 I 2 0 47
  48. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 f x f x 2x 1  f x  ,x 2 2x 1 ,x  f x  Câu 259. 1 2x 1 ,x f x 1 1 Vậy 2x 1 dx x2 x C f x . f x x2 x C 1 Do f 0 1 C 1 . Vậy f x . x2 x 1 1 1 1 1 1 I f x dx dx dx . 2 2 0 0 x x 1 0 1 3 x 2 4 3 2 3 1 tan t 3 1 3 2 2 3 3 Đặt x tan t, t ; . Suy ra I dt dt . 2 2 2 2 3 2 3 9 1 tan t 6 4 6 Câu 260. lời giải Chọn A Ta có f x . f ' x 18x2 3x2 x f ' x 6x 1 f x f 2 x 6x3 3x2 x f x lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 2  f x 6x2 f 2 x 2 3x2 x f x 12x3 0   f x 2x 1 2 f x 2 TH1: f x 6x không thoả mãn kết quả x 1 e dx ae b, a,b  0 1 1 3 1 3 1 TH2: f x 2x x 1 e f x dx x 1 e2xdx e2 . Suy ra a ;b 0 0 4 4 4 4 Vậy a b 1 Câu 261. Vì f x 0 và x 0;1 ta có: 2 2  f x  ex f x ex f ' x 2 f x f x   x 2 2 2 e .x. x x  f x  x x x 1 1 ex ' 2 2 2 ex 2 e 5 e 5 e dx 2 e 2 2 f x x x x 1 x x x f x 1 1 1 1 f f f 5 5 2 5 5 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 dx dx= d 4 1 4 2 1 1 x x 1 1 x x x 1 x2. 1 1 1 5 5 x 5 x 5 48
  49. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 5 e 1 2 e 2 2 e 4 f 5,97 1 5 5 e f 5 Câu 262. Chọn A 1 Ta có M 2 f 2 x 3xf x 4 f x xf x x xf x dx   0 1   2   x f x f x  f x x f x dx 0    Đặt a x f x , b f x thì 2 2 1 1  a b a b  1 x2 1 M  ab a2 b2 dx  . dx dx .   4 2 8 24 0 0   0 Câu 263. Ta có f x . f x 18x2 3x2 x f x 6x 1 f x  2   2   f x . f x 18x dx  3x x f x 6x 1 f x dx 1  f 2 x 6x3 dx  3x2 x f x  dx 2    1 f 2 x 6x3 3x2 x f x C , với C là hằng số. 2 Mặt khác: theo giả thiết f 0 0 nên C 0 . 1 Khi đó f 2 x 6x3 3x2 x f x 1 ,x . 2  f x 2x 1 f 2 x 12x3 6x2 2x f x  f x 2x  f x 6x2  0 .      2  f x 6x 2 Trường hợp 1: Với f x 6x ,x , ta có f 0 0 (loại). Trường hợp 2: Với f x 2x,x , ta có : 1 1 1 2x 1 2x f x 2x  x 1 e  e 3 2 1 x 1 e dx x 1 e dx   dx e 2 2 4 4 0 0   0 0 3 a 4 a b 1. 1 b 4 1 1 2 2 109 2 2 109 Câu 264.  f 2 x 2 f x . 3 x  dx .  f x 3 x 3 x  dx     1 12 1 12 2 2 1 1 2 2 2 2 109 f x 3 x dx 3 x dx . 1 1 12 2 2 49
  50. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 1 1 2 2 3 2 2 2 x 2 109 Mà 3 x dx 9 6x x dx 9x 3x 1 1 3 1 12 2 2 2 1 2 2 Suy ra f x 3 x dx 0 . 1 2 2  1 1   1 1  Vì  f x 3 x  0, x ; nên f x 3 x , x ; .  2 2  2 2 1 1 1 1 2 f x 2 3 x 2 1 x 2 2 1 2 Vậy dx dx dx + dx 2 2 2 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 x 1 1 x 1 2 ln x 1 ln 2 ln . x 1 9 0 du dx 1 u x 2 2 n n 1 Câu 265. Xét I x 1 x dx . Đặt 2 . n 2 n 1 x dv x 1 x dx 0 v 2 n 1 n 1 1 2 1 1 x 1 x 1 n 1 1 n 1 I 1 x2 dx 1 x2 dx n n 1 2 n 1 0 2 n 1 0 0 1 1 n 1 I 1 x2 1 x2 dx n 1 2 n 2 0 1 1 1  n 1 n 1  I 1 x2 dx x2 1 x2 dx n 1   2 n 2  0 0  1 I 2n 1 I I 2 n 1 I I  n 1 lim n 1 1. n 1  n n 1  n 2 n 2 In 2n 5 In Câu 266. Cách 1. Đặt t a x dt dx Đổi cận x 0 t a; x a t 0. a dx 0 dt a dx a dx a f x dx Lúc đó I 1 f x 1 f a t 1 f a x 1 1 f x 0 a 0 0 1 0 f x a dx a f x dx a Suy ra 2I I I 1dx a 0 1 f x 0 1 f x 0 1 Do đó I a b 1;c 2 b c 3. 2 Câu 267. Ta có: 2 2 2 2   2sin x d x 1 cos 2x  d x 1 sin 2x d x 0 4 0  2  0 50
  51. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 2 2 x cos 2x . 2 0 2 Do đó: 2 2  2  2 2 2  f x 2 2 f x sin x  d x 2sin x d x 0 0  4  0 4 2 2 2  2 2   f x 2 2 f x sin x 2sin x  d x 0 0  4 4  2 2    f x 2 sin x  d x 0 0  4  Suy ra f x 2 sin x 0 , hay f x 2 sin x . 4 4 Bởi vậy: 2 2 2 f x d x 2 sin x d x 2 cos x 0 . 0 0 4 4 0 Câu 268. Đặt t a x dt dx . a 1 a 1 a 1 Thay vào ta được I dx dt dx . 0 1 f x 0 1 f a t 0 1 f a x a  f a x f x  Suy ra 0  dx , do hàm số f (x) liên tục và luôn dương trên đoạn 1 f x 1 f a x 0   0;a . Suy ra f a x f x , trên đoạn 0;a . a 1 a Mà f (x). f (a x) 1 f x 1 . Vậy I dx . 0 2 2 Câu 269. Ta có: 2 f x 3 f 1 x 1 x 1 Đặt t 1 x x 1 t , phương trình 1 trở thành 2 f 1 t 3 f t t Thay t bởi x ta được phương trình 3 f x 2 f 1 x x 2 2 f x 3 f 1 x 1 x 1 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình f x 3 x 2 1 x 5 3 f x 2 f 1 x x 1 1 1 3 1 2 1 f x dx 3 x 2 1 x dx xdx 1 xdx 0 5 0 5 0 5 0 1 *Xét I xdx 0 Đặt u x u2 x dx 2udu Đổi cận: x 0 u 0 ; x 1 u 1 1 1 2u3 2 I 2 u2du 0 3 0 3 51
  52. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 *Xét J 1 xdx 0 Đặt v 1 x v2 1 x dx 2vdv Đổi cận: x 0 v 1 ; x 1 v 0 1 0 1 2v3 2 J 2 v2dv 2 v2dv 1 0 3 0 3 1 3 2 2 2 2 f x dx . . . 0 5 3 5 3 15 xsin2018 x Câu 270. Xét tích phân I d x . 2018 2018 0 sin x cos x Đặt x t d x dt . Khi x 0 thì t . Khi x thì t 0 . 0 t sin2018 t x sin2018 x Ta có I dt d x 2018 2018 2018 2018 sin t cos t 0 sin x cos x sin2018 x xsin2018 x d x d x 2018 2018 2018 2018 0 sin x cos x 0 sin x cos x sin2018 x d x I . 2018 2018 0 sin x cos x sin2018 x Suy ra I d x . 2018 2018 2 0 sin x cos x sin2018 x Xét tích phân J d x . 2018 2018 sin x cos x 2 Đặt x u d x du . 2 Khi x thì u 0 . 2 Khi x thì t . 2 2018 2 sin u 0 2018 2 cos x Nên J du d x . 2018 2018 2018 2018 sin x cos x 0 sin u cos u 2 2 2 cos2018 x Vì hàm số f x là hàm số chẵn nên: sin2018 x cos2018 x 0 cos2018 x 2 cos2018 x dx d x 2018 2018 2018 2018 sin x cos x sin x cos x 0 2 Từ đó ta có: 52
  53. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG sin2018 x 2 sin2018 x sin2018 x I d x d x d x 2 sin2018 x cos2018 x 2 sin2018 x cos2018 x sin2018 x cos2018 x 0 0 2 2 sin2018 x 2 cos2018 x d x d x 2 sin2018 x cos2018 x sin2018 x cos2018 x 0 0 2 sin2018 x cos2018 x 2 2 d x d x . 2018 2018 2 0 sin x cos x 2 0 4 Như vậy a 2 , b 4 . Do đó P 2a b 2.2 4 8 . Câu 271. Theo bài ra ta có hàm số f x đồng biến trên 0;2 f x f 0 1 0 do đó f x 0 x 0;2. 2  f x  f x . f x  f x  Ta có   f x 2    f x  2 2 Theo đề bài  f x  f x . f x  f x  0 2 2  f x  f x . f x  f x   f x    1  f x  f x 2 f x 2 2 1 x2 2 x C dx x C dx d f x Cx f x 0 f x 0 0 f x 2 0 2 f x ln f x 2 2C ln e6 ln 1 2 2C C 2 x 2 . 0 f x 1 x2 1 5 5 Do đó ln f x 2x ln f 1 f 1 e 2 . 0 2 0 2 2 Câu 272. 1 f 3 x . f 2 x f 2 x 2. f 3 x . f 2 x f 2 3 x . f 2 x 2 f 2 x 2. f x 1 f x 1 . 3 x. f x I dx 2 0 1 f x u x du dx Đặt f x 1 dv dx v 2 1 f x 1 f x 3 x 3 dx 3 I I 1 f x 1 f x 1 f 3 1 0 0 1 f 0 f 3 2 2 53
  54. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Đặt t 3 x dt dx Đổi cận x 0 t 3 x 3 t 0 3 dt 3 dx 3 f x .dx I 1 1 f 3 t 1 1 f x 0 0 1 0 f x 3 1 f x 3 2I dx 3 I 1 1 0 1 f x 2 3 1 Vậy I 1 . 2 2 Câu 273. - Đặt t a x dx dt ; đổi cận: x 0 t a , x a t 0 . a 1 a 1 a 1 a 1 a f x I dx dt dx dx dx 1 f (x) 1 f a t 1 f (a x) 1 1 f (x) 0 0 0 0 1 0 f x a a a a 1 f x 1 f x a 2I dx dx dx dx x a 0 0 1 f (x) 0 1 f (x) 0 1 f (x) 0 a Vậy I . 2 4 4 4 Câu 274. Ta có f x sin 2xdx sin 2xdf x  f x sin 2x 4 f x dsin 2x   0 0 0 0 4 f sin 2. f 0 sin 2.0 2 f x cos 2xdx 4 4 0 4 4 f 2 f x cos 2xdx 2 f x cos 2xdx . 4 0 0 4 Do đó 2 f x cos 2xdx . 0 4 4 4 4 2 1 1 1 Mặt khác: cos 2xdx 1 cos 4x dx x sin 4x . 0 2 0 2 8 0 8 Bởi vậy: 4 4 4 f 2 x dx 2 f x cos 2xdx cos2 2xdx 0 0 0 8 4 8 4 2 2  f x 2 f x cos 2x cos 2x dx 0 0 4 2  f x cos 2x dx 0 f x cos 2x . 0 54
  55. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Nên: 8 8 1 8 1 I f 2x dx cos 4xdx sin 4x . 0 0 4 0 4 Câu 275. - Đặt y f x . Khi đó từ giả thiết ta có : 1 y 1 1 y 1 f x 1 y 1, f 2 , f 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 y 1 x2 2x y Suy ra f f 1 f 1 2 1 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 y x2 y Và f f 1 1 f 1 2 2 , x x x x x x 1 x2 y f 2 x 1 x 2 x y f f x 2 . x 1 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x2 2x y x2 y - Từ 1 và 2 suy ra : x2 2x y x2 y y x hay f x x . x 1 2 x 1 2 2 1 f x 1 x 1 1 d x 1 1 1 1 Do đó: I .dx .dx ln x2 1 ln 2 0,35 . 2 2 2 0 f x 1 0 x 1 2 0 x 1 2 0 2 Vậy I 0;1 . 55