Các đề luyện thi Đại số 12 - Bài 2: Cực trị của hàm số

104 trang hoaithuk2 23/12/2022 2450

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các đề luyện thi Đại số 12 - Bài 2: Cực trị của hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

cac_de_luyen_thi_dai_so_12_bai_2_cuc_tri_cua_ham_so.doc

Nội dung text: Các đề luyện thi Đại số 12 - Bài 2: Cực trị của hàm số

BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Mục tiêu ❖ Kiến thức + Nắm vững định nghĩa cực trị của hàm số, khái niệm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số; điểm cực trị của đồ thị hàm số. + Hiểu và vận dụng được các định lí về điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị. + Trình bày và vận dụng được các cách tìm cực trị của một hàm số. + Nhận biết được các điểm cực trị trên đồ thị hàm số. ❖ Kĩ năng + Thành thạo tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số đã biết. + Biết cách khai thác bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị để tìm cực trị. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm cực trị của hàm số Chú ý: Định nghĩa 1) Điểm cực đại (cực tiểu) x0 được gọi chung là Giả sử hàm số f xác định trên K K  ¡ và điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 của x0 K hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt a) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K. 2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 tồn tại một khoảng a;b  K chứa điểm x0 sao không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số cho f x f x0 ,x a;b \ x0. f trên tập K; f x0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực đại của hàm của hàm số f trên một khoảng a;b chứa x . số f. 0 3) Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm b) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu x0 ; f x0 được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm tồn tại một khoảng a;b  K chứa điểm x0 sao số f. cho f x f x0 ,x a;b \ x0. Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Ví dụ 1: Hàm số y f x x xác định trên ¡ . Vì Định lí 1 f 0 0 và f x 0,x 0 nên hàm số đạt cực Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, tiểu tại điểm x 0 dù hàm số không có đạo hàm tại nếu f có đạo hàm tại điểm x thì f x 0. 0 0 điểm x = 0, vì: x, x 0 1, x 0 y x y . x, x 0 1, x 0 Chú ý: Ví dụ 2: Ta xét hàm số f x x3 , ta có: 1) Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo f x 3x2 0,x 0 . Hàm số đồng biến trên ¡ hàm f có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f nên không có cực trị dù f 0 0. không đạt cực trị tại điểm x0 . Trang 2
2) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2 a) Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 . b) Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 . Định lí 3 Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a;b chứa điểm x0 , f x0 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 . a) Nếu f x0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0. b) Nếu f x0 0thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0. Nếu f x0 0thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm. Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các bài tập nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị Bài toán 1: Tìm điểm cực trị của hàm số cụ thể Phương pháp giải Cách 1: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu Ví dụ 1: Hàm số f x x3 3x2 9x 1 đạt cực tiểu tại điểm A. x 1. B. x 3. Bước 1. Tìm f x C. x 1. D. x 3. Hướng dẫn giải Bước 2. Tìm các điểm xi i 1,2, tại đó đạo Cách 1: hàm bằng không hoặc hàm số liên tục nhưng Hàm số đã cho xác định trên . không có đạo hàm. ¡ Ta có f x 3x2 6x 9. Bước 3. Xét dấu f x . Nếu f x đổi dấu khi x x 1 qua điểm x thì hàm số đạt cực trị tại điểm x . i i Từ đó f x 0 . x 3 Bảng xét dấu f x Vậy hàm số đạt cực điểm tại điểm x 3. Chọn B. Cách 2: Dùng định lý 3 Cách 2: Bước 1: Tìm f x Hàm số đã cho xác định trên ¡ . Ta có: f x 3x2 6x 9. Bước 2: Tìm các nghiệm xi i 1,2, của phương x 1 trình f x 0. Từ đó: f x 0 . x 3 Bước 3: Tính f x i Ta có: f x 6x 6 . Khi đó: • Nếu f x 0 thì hàm số f đạt cực đại tại i f 1 12 0; f 3 12 0. điểm x . i Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 3. • Nếu f xi 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi . • Nếu f xi 0 thì ta lập bảng biến thiên Trang 4
để xác định điểm cực trị. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Số điểm cực đại của hàm số f x x4 8x2 7 là A. 1.B. 3.C. 2. D. 0. Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên ¡ . Ta có: f x 4x3 16x. x 0 f 0 7 Từ đó: f x 0 x 2 f 2 9 x 2 f 2 9 Bảng biến thiên: Vậy hàm số có hai điểm cực đại. Chọn C. x 1 Ví dụ 2: Số cực trị của hàm số f x là x 1 A. 1.B. 3.C. 2. D. 0. Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên ¡ \ 1 2 Ta có: f x 0,x ¡ \ 1. Vậy hàm số không có cực trị. x 1 2 Chọn D. x2 2x 7 Ví dụ 3: Giá trị cực tiểu của hàm số f x là x2 x 1 4 1 A. x 5. B. y . C. x . D. y 8. 3 3 Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên ¡ . 3x2 16x 5 Ta có: f x 2 . x2 x 1 Trang 5
1 x Từ đó: f x 0 3. x 5 Bảng xét dấu đạo hàm: 4 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 5, y f 5 . CT 3 Chọn B. Ví dụ 4: Số cực trị của hàm số f x 3 x3 3x 2 là A. 2.B. 1.C. 3. D. 0. Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên ¡ . x2 1 Ta có: f x . 2 3 x3 3x 2 x 1 2 x 1 0 x 1 Từ đó: f x 0 x 1 3 x 3x 2 0 x 1 x 2 ( f x không xác định tại điểm x 1và x 2). Bảng biến thiên: Vậy hàm số có hai cực trị là f 1 3 4 và f 1 0. Chọn A. Ví dụ 5: Giá trị cực đại của hàm số f x x 2 x2 1 là số nào dưới đây? 3 3 A. . B. 3. C. 3. D. . 3 3 Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên ¡ . Trang 6
2x Ta có: f x 1 . x2 1 2x 0 3 Từ đó: f x 0 x2 1 2x x . 2 2 x 1 4x 3 Bảng biến thiên: 3 3 Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x , giá trị cực đại của hàm số là f 3. 3 3 Chọn C. Ví dụ 6: Các điểm cực đại của hàm số f x x 2sin x có dạng (với k ¢ ) A. x k2 . B. x k2 . 3 3 C. x k2 . D. x k2 . 6 6 Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên ¡ . 1 Ta có: f x 1 2cosx . Khi đó f x 0 cosx x k2 , k ¢ 2 3 f x 2sin x Vì f k2 2sin k2 2sin 0 nên x k2 là điểm cực tiểu. 3 3 3 3 Vì f k2 2sin k2 2sin 2sin 0 nên x k2 là điểm cực đại 3 3 3 3 3 Chọn A. Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm số khi biết đồ thị Phương pháp giải +) Nếu đề cho đồ thị của hàm f (x) , xem lại lý thuyết. +) Nếu đề cho đồ thị của đạo hàm, để ý các điều sau để có thể lập được bảng xét dấu đạo hàm: Đồ thị f '(x) nằm phía trên trục hoành: f '(x) 0 . Đồ thị f '(x) nằm phía dưới trục hoành: f '(x) 0. Ví dụ mẫu Trang 7
Ví dụ 1: Hàm số y ax4 bx2 c (a,b,c ¡ ) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực tiểu của hàm số f là A. 1.B. 3.C. 2. D. 0. Hướng dẫn giải Hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu. Chọn C. Ví dụ 2: Hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số f trên khoảng ( 3;4) là A. 1.B. 3.C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Hàm số đã cho có bốn điểm cực trị. Chọn D. Ví dụ 3: Hàm số y f (x) xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số y f '(x) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số f trên khoảng (a;b) là A. 5.B. 3. C. 6.D. 4. Hướng dẫn giải Cách 1: Trong khoảng (a;b) , đồ thị f '(x) cắt (không tiếp xúc) trục hoành tại 5 điểm nên có 5 điểm cực trị trên (a;b) . Chọn A. Cách 2: Nhìn vào hình vẽ dưới đây, f '(x) đổi dấu tổng cộng 5 lần trong khoảng (a;b) nên có 5 điểm cực trị trên (a;b) . Trang 8
Chọn A. Ví dụ 4: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm đến cấp hai trên ¡ và có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ dưới đây (đồ thị y f (x) chỉ có 3 điểm chung với trục hoành như hình vẽ). Số điểm cực trị tối đa của hàm số là A. 1.B. 4.C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải Ta có bảng biến thiên của hàm số y f (x) như sau Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số y f (x) tại tối đa 2 điểm nên f (x) 0 có tối đa 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số y f (x) có tối đa 2 điểm cực trị. Chọn D. Bài toán 3. Tìm (điểm) cực trị thông qua bảng biến thiên Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây Trang 9
Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số có hai điểm cực trị.B. Hàm số có hai cực trị. C. Cực đại bằng – 1.D. Cực tiểu bằng – 2. Hướng dẫn giải Chọn C. Ví dụ 2: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số có ba cực trị.B. Hàm số có một cực tiểu. C. f ( 2) f (2) . D. f ( 1) f (2) . Hướng dẫn giải Chọn A. Bài toán 4. Tìm (điểm) cực trị thông qua đạo hàm Phương pháp giải Đếm số nghiệm bội lẻ của phương trình đạo hàm. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) (x2 1)(x3 3x 2)(x2 2x) . Số điểm cực trị của hàm số y f (x) là A. 6.B. 2.C. 3. D. 5. Hướng dẫn giải Ta có: f (x) (x 2)(x 1)3 x(x 1)(x 2) và f (x) 0 có 5 nghiệm bội lẻ nên có 5 điểm cực trị. Chọn D. Ví dụ 2: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) x2 (x 1)(x 4)2 . Tìm số điểm cực trị của hàm số y f (x2 ) . A. 1.B. 2.C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải 2 2 5 2 2 2 Ta có: f (x ) 2x.f (x ) 2x (x 1)(x 4) 2 2 Phương trình f (x ) 0 có 3 nghiệm bội lẻ là x 0, x 1 nên số điểm cực trị của hàm số y f (x ) là 3. Chọn C. Trang 10
Chú ý: Nhắc lại: Đạo hàm của hàm số hợp f u x f u x .u x hay fx fu .u x . 1 7 Ví dụ 3: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ , có f (x) 3x ,x 0 . x2 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số có đúng một điểm cực trị trên ¡ . B. Hàm số có ít nhất một điểm cực trị trên (0; ) . C. Hàm số không có điểm cực trị nào trên (0; ) . D. Hàm số có đúng hai điểm cực trị trên ¡ . Hướng dẫn giải 2 1 7 3 3 1 7 3 7 3 Với x 0 ta có: f (x) 3x 2 x x 2 3 0 . x 2 2 2 x 2 2 2 Vậy hàm số không có cực trị trên (0; ) . Chọn C. Ví dụ 4: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ , có đạo hàm f (x) (x2 x 2)(x3 6x2 11x 6)g(x) với g(x) là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ dưới đây ( g(x) đồng biến trên ( ; 1) và trên (2; ) . Số điểm cực trị của hàm số y f (x) là A. 5.B. 2. C. 3.D. 4. Hướng dẫn giải Dựa vào đồ thị, phương trình g(x) 0 có 3 nghiệm bội lẻ là x 0, x 1, x 2 và một nghiệm bội chẵn là x 1. Tóm lại, phương trình y ' 0 chỉ có x 1, x 0, x 2 và x 3 là nghiệm bội lẻ, nên hàm số có 4 điểm cực trị. Chọn D. Bài toán 5. Tìm (điểm) cực trị thông qua bảng xét dấu, bảng biến thiên của đạo hàm Ví dụ 1: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực tiểu của hàm số y f (x) là A. 1.B. 3.C. 2. D. 0. Hướng dẫn giải Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương 1 lần nên có 1 điểm cực tiểu. Trang 11
Chọn A. Ví dụ 2: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây Số điểm cực trị của hàm số y f (x) là A. 1.B. 3.C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Đạo hàm đổi dấu hai lần nên có hai điểm cực trị. Chọn C. Ví dụ 3: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây Số điểm cực trị của hàm số y f (x) là A. 1.B. 3.C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chắc chắn hàm số có 3 điểm cực trị là x 1, x 2, x 3. Xét tại điểm x 0 , đạo hàm đổi dấu, hàm số không có đạo hàm tại điểm x 0 , nhưng theo đề bài, hàm số liên tục trên ¡ nên f (0) xác định. Vậy hàm số có tổng cộng 4 điểm cực trị. Chọn D. Ví dụ 4: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ \ 1 và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây Số điểm cực trị của hàm số y f (x) là A. 1.B. 3.C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Hàm số có 3 điểm cực trị là x 2, x 2, x 3 (hàm số không đạt cực trị tại điểm x 1 vì hàm số không xác định tại điểm x 1). Chọn B. Ví dụ 5: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên của f (x) như hình vẽ dưới đây Trang 12
Số điểm cực trị của hàm số y f (x) là A. 4B. 2C. 3 D. 5 Hướng dẫn giải Dễ thấy phương trình f (x) 0 có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn C. Bài toán 6. Tìm (điểm) cực trị thông qua đồ thị f , f , f Ví dụ 1: Cho hàm số y f (x) là hàm đa thức. Trên hình vẽ là đồ thị hàm số y f (x) trên ( ;a] (và hàm số y f (x) nghịch biến trên ; 1), đồ thị của hàm số y f (x) trên a;b (và f (x0 ) 0 ), đồ thị của hàm số y f (x) trên b; (và hàm số y f (x) luôn đồng biến trên b; , f (x1) 0 ). Hỏi hàm số y f (x) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? Hướng dẫn giải Bảng xét dấu bên dưới được lập từ các suy luận sau: * Hàm số y f (x) nghịch biến trên ; 1 nên f (x) 0,x ; 1 và đồng biến trên 1;a nên f (x) 0,x 1;a . * Hàm số y f (x) có f (x) 0,x a;x0 và f (x) 0,x x0 ;b f (x) 0,x x0 ;b. * Hàm số y f (x) có f (x) 0,x b;x1 mà f (b) 0 f (x)<0,x b;x1 Lại có f (x) 0,x x1; . Vậy trong khoảng x1; , phương trình f (x) 0 có tối đa 1 nghiệm, và nếu có đúng 1 nghiệm thì f (x) đổi dấu khi qua nghiệm ấy. Vậy f (x) có tối đa 3 nghiệm (bội lẻ) nên hàm số y f (x) có tối đa 3 điểm cực trị. Trang 13
Ví dụ 2: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên ¡ . Trên hình vẽ là đồ thị hàm số y f (x) trên đoạn  2;3 , đồ thị của hàm số y f (x) trên ; 2, đồ thị của hàm số y f (x) trên 3; . Hỏi hàm số y f (x) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 7.B. 6.C. 5. D. 4. Hướng dẫn giải Bảng xét dấu bên dưới được lập từ các suy luận sau: + Đồ thị của hàm số y f (x) trên 3; cắt trục hoành tại điểm x 5, f (x) 0 khi x 3;5 và f (x) 0khi x 5; . + Đồ thị của hàm số y f (x) trên ; 2 cắt trục hoành tại điểm x 5, f (x) 0 khi x ; 5 và f (x) 0 khi x 5; 2 . + Đồ thị hàm số y f (x) trên đoạn  2;3 : hàm số đồng biến trên 2; 1 và 2;3 ; hàm số nghịch biến trên 1;2 Từ bảng xét dấu trên, đồ thị f (x) cắt trục hoành tối đa tại 2 điểm trên 3; , khi đó trên 2; thì f (x) đổi dấu 2 lần, trên ;2 thì f (x) đổi dấu 3 lần nên hàm số y f (x) có tối đa 5 điểm cực trị. Chọn C. Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Trang 14
Câu 1: Hàm số y 2x3 x2 5 có điểm cực đại là 1 A. x = . B. x = 5. C. x = 3. D. x = 0. 3 Câu 2: Hàm số y x4 4x3 5 A. nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.B. nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu. C. nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại.D. nhận điểm làm điểm cực đại. Câu 3: Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn  4;3 và có đồ thị trên đoạn  4;3 như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực đại? A. 0.B. 2. C. 1.D. 3. 4 2 Câu 4: Cho hàm số f (x) x . Hàm số g(x) f (x) 3x 6x 1 đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại x1 , x2 . Tìm m g(x1).g(x2 ) . 371 1 A. m 0 .B. m .C. m .D. m 11. 16 16 Câu 5: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại. B. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và có một điểm cực tiểu. C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. D. Hàm số đã cho không có cực trị. Câu 6: Hàm số dạng y ax4 bx2 c (a 0) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 2.B. 1.C. 4. D. 3. Bài tập nâng cao Câu 7: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên ¡ . Trên hình vẽ là đồ thị hàm số y f (x) trên đoạn ;a (và hàm số y f (x) nghịch biến trên ; 2), đồ thị của hàm số y f (x) trên a;1 đồ thị của hàm số y f (x) trên 1; (và hàm số y f (x) luôn đồng biến trênb; ). Hàm số y f (x) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? Trang 15
A. 5.B. 2.C. 4. D. 3. Câu 8: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ , có đạo hàm f (x)=(x+1)2 (x2 3x 2)(x sin x)g(x) với g(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây ( g(x) đồng biến trên ( ; 1) và trên (2; ) ). Hàm số y f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 4.C. 2. D. 3. Câu 9: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm đến cấp 2 trên ¡ và có đồ thị hàm số y f (x) như hình vẽ dưới đây (đồ thị y f (x) chỉ có 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ). Số điểm cực trị tối đa của hàm số là A. 5.B. 3.C. 4. D. 6. Dạng 2: Cực trị hàm bậc ba Bài toán 1. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm cho trước Phương pháp giải Ví dụ 1: Trang 16
1 Tìm m để hàm số y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt 3 cực đại tại điểm x = 3. A. m 1. B. m 5. C. m 5. D. m 1. Bước 1. Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm Hướng dẫn giải Ta có y x2 2mx m2 4 y 2x 2m. x0 thì f x0 0 , tìm được tham số. Bước 2. Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào Hàm số đạt cực đại tại x 3 thì m 1 hàm số ban đầu để thử lại. y 3 0 m2 6m 5 0 . m 5 Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc nghiệm như sau: • Với m 1, y 3 2.3 2.1 4 0 suy ra x 3là f x0 0 điểm cực tiểu. +) Hàm số đạt cực tiểu tại x x0 . f x0 0 • Với m 5, y 3 2.3 2.5 4 0 suy ra x 3là điểm cực đại. f x0 0 +) Hàm số đạt cực đại tại x x0 . Chọn C. f x0 0 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Hàm số y ax3 x2 5x b đạt cực tiểu tại x 1và giá trị cực tiểu bằng 2, giá trị của H 4a b là A. H 1. B. H 1. C. H 2. D. H 3. Hướng dẫn giải Ta có: y 3ax2 2x 5 y 6ax 2. +) Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 y 1 0 a 1. +) Thay a 1 ta thấy y 1 6 2 8 0 nên x 1là điểm cực tiểu. +) Mặt khác ta có: y 1 2 1 1 5 b 2 b 5. Vậy H 4.1 5 1. Chọn B. Ví dụ 2: Hàm số f x ax3 bx2 cx d đạt cực tiểu tại điểm x 0, f 0 0 và đạt cực đại tại điểm x 1, f 1 1. Giá trị của biểu thức T a 2b 3c d là A. T 2. B. T 3. C. T 4. D. T 0. Hướng dẫn giải Ta có f x 3ax2 2bx c. Trang 17
Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0, f 0 0 và đạt cực đại tại điểm x 1, f 1 1nên ta có hệ phương trình f 0 0 c 0 f 0 0 d 0 a 2 T 4. f 1 0 3a 2b 0 b 3 a b 1 f 1 1 Chọn C. Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giá trị của m để hàm số y x3 mx 1có cực đại và cực tiểu là A. m 0. B. m 0. C. m 0. D. m 0. Hướng dẫn giải Hàm số y x3 mx 1có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y 0 có hai nghiệm phân biệt hay 3x2 m 0 có hai nghiệm phân biệt. Do đó m 0. Chọn D. Chú ý: Do hàm bậc ba có đạo hàm là tam thức bậc hai nên các yêu cầu sau: hàm số có cực trị, hàm số có cực đại và cực tiểu, hàm số có hai cực trị có cách làm giống nhau, tức là y 0 có hai nghiệm phân biệt. m Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hàm số y x3 x2 x 7 có cực trị? 3 A. m 1;  0. B. m 1. C. m ;1 \ 0. D. m 1. Hướng dẫn giải Ta có: y mx2 2x 1. +) Với m 0 , hàm số trở thành y x2 x 7 , đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị. Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu. +) Xét m 0 , để hàm số có cực trị thì y 0 có hai nghiệm phân biệt 0 1 m 0 m 1. Hợp cả hai trưởng hợp, khi m 1thì hàm số có cực trị. Chọn B. Chú ý: Với bài toán hỏi “có cực trị” và hệ số của bậc ba (bậc cao nhất) có chứa tham số thì nên chia hai trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0. Trang 18
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để hàm số y mx3 3mx2 m 1 x 2 không có cực trị. 1 1 A. 0 m . B. 0 m . 4 4 1 1 C. 0 m . D. 0 m . 4 4 Hướng dẫn giải Ta có: y 3mx2 6mx m 1. +) Với m 0 , hàm số trở thành y x 2 là hàm đồng biến trên ¡ nên không có cực trị, nhận m 0 . +) Xét m 0 , hàm số không có cực trị khi y 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm 1 9m2 3m 1 m 0 12m2 3m 0 0 m . 4 1 Hợp cả hai trường hợp, khi 0 m thì hàm số không có cực trị. 4 Chọn C. Bài toán 3. So sánh hai điểm cực trị với một số hoặc hai số cho trước Phương pháp giải Nhắc lại các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn: Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c . Xét phương trình f x 0 * . (*) có hai nghiệm trái dấu ac 0 hay P 0. 0 (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu . P 0 0 (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương S 0. P 0 0 (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm S 0 . P 0 (*) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 x1 x2 0. x1 x2 0 (*) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 . x1 x2 2 x1 x2 0 (*) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 . x1 x2 2 Ví dụ 1: Số giá trị nguyên của tham số m  20;20 để hàm số Trang 19
m 1 3 2 2 2 y x m 4 x m 9 x 1 có hai điểm cực trị trái dấu là 3 A. 18.B. 17.C. 19. D. 16. Hướng dẫn giải y m 1 x2 2 m2 4 x m2 9 . Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi y 0 có hai nghiệm trái dấu 2 m 3 m 1 m 9 0 . 1 m 3 Vậy m 20; 19; ; 4;2 , có 18 giá trị của m. Chọn A. Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y mx3 m m 1 x2 m 1 x 1 có hai điểm cực trị đối nhau? A. 0.B. 2.C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải Ta có: y 3mx2 2m m 1 x m 1 . Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau y 0 có hai nghiệm đối nhau 3m 0 m 0 2 2 0 m m 1 3m m 1 0 m 1. S 0 m 1 0 Chọn C. m Ví dụ 3: Giá trị của m để đồ thị hàm số y x3 m 1 x2 m 2 x 6 có hai điểm cực trị có hoành 3 độ dương là 1 1 1 A. m . B. 0 m . C. m 0. D. m 0. 4 4 4 Hướng dẫn giải Ta có: y mx2 2 m 1 x m 2. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương y 0 có hai nghiệm phân biệt dương 1 m 1 2 m m 2 0 m 4 0 m 1 1 S 0 0 0 m 1 0 m . m 4 P 0 m 2 m 0 0 m m 2 Trang 20
Chọn B. Ví dụ 4: Cho hàm số y x3 1 2m x2 2 m x m 2. các giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 là m 1 m 1 m 1 m 2 A. 5 7 . B. 5 8 . C. 5 7 . D. 3 5 . m m m m 4 5 4 5 4 5 2 2 Hướng dẫn giải Ta có: y 3x2 2(1 2m)x 2 m . Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt m 1 2 2 (1 2m) 3(2 m) 0 4m m 5 0 5 . m 4 Khi đó, giả sử x1 , x2 (với x1 x2 ) là hai nghiệm của phương trình y 0 . Bảng biến thiên Khi đó, yêu cầu bài toán trở thành: 2m 1 4m2 m 5 x 1 1 4m2 m 5 4 2m 2 3 m 2 4 2m 0 7 m . 2 2 7 4m m 5 4m 16m 16 m 5 5 5 7 Kết hợp điều kiện có cực trị thì m 1 và m thỏa mãn yêu cầu. 4 5 Chọn A. Chú ý: Có thể dùng Vi-ét để lời giải đơn giản hơn như sau: Xét x1 x2 1 x1 x2 2 (x1 1)(x2 1) 0 2m 1 3 2 m 2(1 2m) 3 0 Trang 21
m 2 7 7 m m 5 5 Ví dụ 5: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 x2 mx 1 nằm bên phải trục tung. 1 1 A. m 0 .B. 0 m .C. m .D. Không tồn tại. 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: y 3x2 2x m . Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt 1 1 3m 0 m (1). 3 Khi đó, giả sử x1 , x2 (với x1 x2 ) là hai nghiệm của phương trình y 0 thì 2 x x 1 2 3 . m x .x 1 2 3 Bảng biến thiên 2 Do x x 0 nên điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 x2 mx 1nằm bên phải trục tung 1 2 3 m x .x 0 0 m 0 (2). 1 2 3 Từ (1), (2) ta có m 0 Chọn A. Ví dụ 6: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y 2x3 3(m 1)x2 6(m 2)x có các điểm cực trị thuộc khoảng ( 2;3) ? A. 5.B. 3.C. 4. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn B. Trang 22
1 Ví dụ 7: Giá trị của m để hàm số x3 (m 2)x2 (4m 8)x m 1 có hai điểm cực trị x , x thỏa 3 1 2 mãn x1 2 x2 là A. m 6. 3 3 C. m hoặc m > 6.D. m . 2 2 Hướng dẫn giải Ta có: y x2 2(m 2)x (4m 8) . Yêu cầu bài toán trở thành 3 (x 2)(x 2) 0 (4m 8) 4(m 2) 4 0 m 1 2 2 Chọn D. Bài toán 4. Hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm 2 2 số y x3 mx2 2(3m2 1)x có hai điểm cực 3 3 trị x1 , x2 sao cho x1.x2 2(x1 x2 ) 1? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Bước 1. Tìm điểm cực trị (trực tiếp hoặc gián tiếp). Hướng dẫn giải Ta có: y 2x2 2mx 2(3m2 1) Hàm số có hai điểm cực trị khi y 0 có hai nghiệm phân biệt hay m2 4(3m2 1) 0 13m2 4 0(*). x x m Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét. Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2 2 x1.x2 1 3m 2 Suy ra x1.x2 2(x1 x2 ) 1 1 3m 2m 1. m 0 2 m 3 2 Thử lại với điều kiện (*), ta nhận được m . 3 Chọn A. Ví dụ mẫu Trang 23
Ví dụ 1: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để hàm số y (x m)(x2 2x m 1) có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1.x2 1. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 2.B. – 2. C. 4. D. 0. Hướng dẫn giải Ta có: y 3x2 2(m 2)x m 1. Hàm số có hai điểm cực trị khi y 0 có hai nghiệm phân biệt m2 m 7 0 (luôn đúng). Theo định lí Vi-ét ta có: m 1 m 4 x1.x2 x1.x2 1 m 1 3 . 3 m 2 Vậy tổng cần tìm bằng 4 ( 2) 2 . Chọn A. 1 Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  20;20 để hàm số y x3 mx2 mx 1 có hai điểm 3 cực trị x1 , x2 sao cho x1 x2 2 6 ? A. 38.B. 35.C. 34. D. 37. Hướng dẫn giải Ta có y x2 2mx m . Hàm số có hai điểm cực trị khi y 0 có hai nghiệm phân biệt m2 m 0 (*). x1 x2 2m Theo định lí Vi-ét ta có . x1.x2 m Khi đó 2 2 m 3 x1 x2 2 6 (x1 x2 ) 4x1.x2 24 4m 4m 24 (thỏa mãn(*)). m 2 Do m nguyên và m  20;20 nên m 20; 19; ; 2;3;4; ;20 . Vậy có 37 giá trị của m. Chọn D. Ví dụ 3: Cho hàm số y x3 3(m 1)x2 9x m . Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 sao cho 3x1 2x2 m 6 là A. 0.B. 1.C. – 2. D. – 3. Hướng dẫn giải Ta có: y 3x2 6(m 1)x 9 Trang 24
Hàm số có hai điểm cực trị khi y 0 có hai nghiệm phân biệt 9(m 1)2 27 0 (m 1)2 3 (*). x1 x2 2(m 1) Theo định lí Vi-ét ta có . x1.x2 3 x1 x2 2(m 1) x1 m 2 Từ thế vào x1.x2 3 ta được 3x1 2x2 m 6 x2 m m 1 m(m 2) 3 thỏa mãn (*). m 3 Chọn C. 3 2 2 Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số y 2x 9mx 12m x có điểm cực đại xCD , 2 điểm cực tiểu xCT thỏa mãn xCD xCT ? A. 1.B. 0.C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải Ta có: y 6x2 18mx 12m2 6(x m)(x 2m) . Hàm số có hai điểm cực trị khi y 0 có hai nghiệm phân biệt m 0 (*) Trường hợp 1: m 0 lập bảng xét dấu đạo hàm ta có xCD 2m, xCT m . 1 x2 x 4m2 m m , loại. CD CT 4 Vậy m 2 thỏa mãn đề bài. Chọn A. Bài toán 5. Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía, khác phía so với trục hoành Bài toán 5.1. Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành Phương pháp giải Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số y x3 (m 1)x2 1 có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành. Hướng dẫn giải Cách 1: 2 Ta có y 3x 2(m 1)x . Bước 1. Xác định tham số để hàm số có hai điểm Trang 25
cực trị. Xét phương trình y 0 ta có x 0 2 3x 2(m 1)x 0 2(m 1) . x 3 Để đồ thị có hai điểm cực trị nằm khác phía so với Bước 2. Tìm điều kiện để yCD .yCT 0 . trục hoành yCT .yCD 0 Khi đó 2m 2 y(0).y 0 3 3 2 2m 2 2m 2 m 1 1 0 3 3 27 m 3 1. 16 Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số Cách 2: Định tham số để phương trình f x 0 y f x x3 (m 1)x2 (m 1)x 1 có hai điểm có ba nghiệm phân biệt. cực trị nằm khác phía so với trục hoành. Xét phương trình x3 (m 1)x2 (m 1)x 1 0 (x 1)(x2 mx 1) 0 x 1 2 x mx 1 0 1 . Để đồ thị có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành thì phương trình f x 0 có ba nghiệm phân biệt. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1. m 2 m2 4 0 m 2 Vậy m 2 . 2 1 m.1 1 0 m 2 m 2 Bài toán 5.2. Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm cùng phía so với trục hoành Phương pháp giải Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số y (x 1)(x2 2mx 1) có hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục hoành. Trang 26
Hướng dẫn giải Bước 1. Định tham số để hàm số có hai điểm cực Ta có: y 3x2 2(2m 1)x 1 2m . trị. 2 Để đồ thị hàm số y (x 1)(x 2mx 1) có hai điểm cực trị thì phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt. 1 m Khi đó: (2m 1)2 3(1 2m) 0 2 . m 1 Bước 2. Cách 1. Tìm m để yCT 0 hoặc yCD 0 . Để ý là đối với hàm bậc ba, có hai điểm cực trị thì yCT yCD Cách 2. Tìm tham số m để hàm số có hai điểm cực Xét phương trình trị và đồ thị chỉ có tối đa hai điểm chung với trục x 1 x2 2mx 1 0 hoành. x 1 2 x 2mx 1 0 1 . Để phương trình có nhiều nhất hai nghiệm thì: Trường hợp 1: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng 1. Ta có: m 1 m2 1 0 m 1. 2 1 2m 1 0 m 1 Không có giá trị nào của m thỏa mãn. Trường hợp 2: Phương trình (1) có nghiệm kép. Ta có: m2 1 0 m 1. Trường hợp 3: Phương trình (1) vô nghiệm. Ta có: m2 1 0 1 m 1. 1 Kết hợp với điều kiện ta có m 1. 2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  18;18 để đồ thị hàm số y x 1 x2 2mx 1 có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành? A. 34.B. 30.C. 25. D. 19. Hướng dẫn giải Trang 27
Bảng biến thiên của hàm số bậc ba khi có hai cực trị và hai điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía trục hoành là Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành thì y 0có ba nghiệm phân biệt x2 2mx 1 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 m 1 12 2m.1 1 0 m 1 2 m 1 0 . m 1 Do m nguyên và m  18;18 nên m 18; 17; ; 2;2;3; ;18 Vậy có 34 giá trị của m thỏa mãn đề. Chọn A. Ví dụ 2: Cho hàm số y 2x3 3mx2 x m . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m trong khoảng 10;10 để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng y x 6 . Số phần tử của tập S là A. 9.B. 12.C. 7. D. 11. Hướng dẫn giải Đặt f x 2x3 3mx2 m 6. 3 2 x 0 Ta có f x 0 2x 3mx m 6 0 . x m Xét g x g x x 6 . Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị nằm về hai phía đường thẳng y x 6 m 0 m 0 3 . g 0 .g m 0 m 12 m 12 0 Do m ¢ và thuộc 10;10 nên m 3;4; 9 . Chọn C. Bài toán 6. Diện tích tam giác có hai đỉnh là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Phương pháp giải Nhắc lại công thức tính diện tích tam giác ABC: Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số y x3 3x2 4có hai 1 S h .BC điểm cực trị là A, B. Diện tích tam giác OAB bằng ABC 2 A Trang 28
A. 4. B. 2. C. 8. D. 6. Bước 1. Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị rồi Hướng dẫn giải tính diện tích Ta có: y 0 3x2 6x 0 x 0 y 4 A 0;4 . x 2 y 0 B 2;0 Do A Ox, B Oy nên tam giác OAB vuông tại O. 1 Suy ra S OA.OB 4. OAB 2 Chú ý: Để tính diện tích tam giác ABC ta có thể Chọn A. làm như sau:   Bước 1. Tính AB, AC .   1 xAB yAB Bước 2. S ABC , trong đó   2 xAC yAC a b ad bc . c d Ví dụ mẫu Ví dụ: Cho hàm số y x3 3mx2 4m2 2 có đồ thị (C) và điểm C 1;4 . Tổng các giá trị nguyên dương của m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4 là A. 6.B. 5.C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải 2 x 0 Ta có y 0 3x 6mx 0 . x 2m Đồ thị (C) luôn có hai điểm cực trị với mọi m nguyên dương (vì m là số nguyên dương nên phương trình y 0 luôn có hai nghiệm phân biệt). Khi đó A 0;4m2 2 , B 2m; 4m3 4m2 2 AB 4m2 16m6 2 m 4m4 1. 2 x 0 y 4m 2 AB : 2m2 x y 4m2 2 0. 2m 0 4m3 Thế tọa độ C vào phương trình đường thẳng (AB), dễ thấyC AB . 2m2 4 4m2 2 2 m2 3 d C, AB . 4m4 1 4m4 1 Trang 29
2 m2 3 1 1 4 SABC .AB.d C, AB 4 .2 m . 4m 1. 4 2 2 4m4 1 m m2 3 2 m6 6m4 9m2 4 0 2 2 2 m 1 m 1 m 4 0 . m 2 Do m nguyên dương nên ta nhận được m 1,m 2. Tổng là 3. Chọn C. Chú ý: Học sinh nên kiểm tra điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị và điều kiện để ba điểm A, B, C không thẳng hàng (dù trong bài toán này, nếu “quên” thì không ảnh hưởng đến kết quả). Ta có thể tính nhanh diện tích như sau:   Ta có OA 0;4m2 2 và OB 2m; 4m3 4m2 2 1 2 Khi đó: SABC 2m 4m 2 4 2 Bài toán 7. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa điểm cực trị Phương pháp giải Ví dụ: Biết hàm số 1 y x3 m 1 x2 2m 1 x có hai điểm cực trị 3 x1, x2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 P x1 x2 10 x1 x2 bằng A. – 12. B. – 18. C. – 22.D. – 16. Hướng dẫn giải Ta có: y x2 2 m 1 x 2m 1 . Hàm số có hai điểm cực trị nếu 2 m 0 Bước 1. Dùng định lí Vi-ét, đưa biểu thức cần tìm m 1 2m 1 0 . m 4 về một biến. x1 x2 2m 2 Bước 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng các Theo định lí Vi-ét: . x1.x2 2m 1 phương pháp sau: 2 +) Bổ sung hằng đẳng thức. Khi đó P x1 x2 2x1.x2 10 x1 x2 +) Dùng bất đẳng thức đã học (bất đẳng thức 2 2m 2 10 2m 2 2 2m 1 AM – GM). 4m2 8m 18 +) Dùng bảng biến thiên. 2m 2 2 22 22 . Trang 30
Dấu “=” khi m 1(thỏa mãn y 0 có hai nghiệm phân biệt) Chọn C. Ví dụ mẫu 1 Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 x2 m2 3 x có hai điểm cực trị 3 x1, x2 sao cho giá trị biểu thức P x1 x2 2 2 x2 1 đạt giá trị lớn nhất? A. 2.B. 1.C. 4. D. 3. Hướng dẫn giải Ta có y x2 2x m2 3. Hàm số có hai điểm cực trị khi1 m2 3 0 2 m 2. x x 2 Theo định lí Vi-ét 1 2 . 2 x1.x2 m 3 P x1 x2 2 2 x2 1 x1x2 2 x1 x2 2 m2 3 2.2 2 m2 9 9. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 0 (thỏa mãn). Chọn B. 1 1 Ví dụ 2: Gọi x , x là hai điểm cực trị của y x3 mx2 4x 10. Giá trị lớn nhất của 1 2 3 2 2 2 S x1 1 x2 16 là A. 16.B. 32.C. 4. D. 0. Hướng dẫn giải Ta có y x2 mx 4 . Do a 1,c 4 trái dấu nhau nên y 0 luôn có hai nghiệm trái dấu hay hàm số luôn có hai điểm cực trị. x1 x2 m Theo định lí Vi-ét: . x1.x2 4 2 2 2 2 2 2 Khi đó S x1x2 16x1 x2 16 x1x2 2 16x1 .x2 16 0. 2 2 Dấu “=” xảy ra khi 16x1 x2 x2 4x1 m 3. Chọn D. Bài toán 8. Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba Phương pháp giải Để tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị, ta làm Ví dụ: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ Trang 31
các bước sau: thị hàm số y x3 6x2 9x đi qua điểm nào sau đây? 1 1 A. ;5 . B. ;5 . 2 2 C. 2;1 . D. 2; 1 . Hướng dẫn giải Bước 1. Tìm y . Định tham số để đồ thị hàm số có Ta có: y 3x2 12x 9. hai điểm cực trị (trong bài toán chứa tham số). Bước 2. Viết y y .t d , với t, d lần lượt là thương và dư trong phép chia đa thức y cho y . Khi đó d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Chú ý: Nếu tọa độ hai điểm cực trị dễ tìm được thì x 1 y 4 ta viết đường thẳng theo công thức: Xét y 0 . x 3 y 0 y y x x AB : A A . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A 1;4 và yB yA xB xA y 0 x 3 B 3;0 suy ra AB : y 2 x 3 . 4 0 1 3 Cách khác:  AB 2; 4 nên u 1; 2 là một vectơ chỉ  phương của đường thẳng AB nAB 2;1 . Suy ra phương trình đường thẳng AB : 2 x 3 1 y 0 0 y 2x 6. Chọn A. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số C : y x3 m 3 x2 2m 9 x m 6 có hai điểm cực trị và khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đạt giá trị lớn nhất 3 3  3 3  A. m 6 ; 6 . B. m 3 ; 3 . 2 2  2 2  C. m 3 6 2; 3 6 2. D. m 6 6 2; 6 6 2. Hướng dẫn giải Ta có y 3x2 2 m 3 x 2m 9 3x2 6x 9 2mx 2m x 1 3x 9 2m . Hàm số có hai cực trị khi y 0 có hai nghiệm phân biệt 3 9 2m 0 m 6 Trang 32
 Một trong hai điểm cực trị là A 1;1 và OA 1;1 OA 2 và k OA 1. 2 2 2 Đường thẳng d qua hai điểm cực trị có hệ số góc là kd 2m 9 m 3 3 9 Ta có d O;d  OA 2. 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi d  OA kd .k 1 2m 9 m 3 1 OA 3 9 3 m 6 . 2 Chọn A. Ví dụ 2: Giả sử A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 ax2 bx c và đường thẳng (AB) đi qua gốc tọa độ. Giá trị lớn nhất Pmin của P abc ab c bằng A. Pmin 9. B. Pmin 1. 16 25 C. P . D. P . min 25 min 9 Hướng dẫn giải 2 2a2 ab Đường thẳng qua hai cực trị là AB : y b x c . 3 9 9 ab Do (AB) qua gốc O nên c 0 ab 9c. 9 2 2 5 25 25 Khi đó P abc ab c 9c 10c 3c ,c ¡ . 3 9 9 5 25 c Vậy Pmin khi 9 . 9 ab 5 Chọn D. Ví dụ 3: Biết rằng đồ thị hàm số y x3 3mx 2 có hai điểm cực trị A, B. Gọi M, N là hai giao điểm của đường thẳng (AB) và đường tròn C : x 1 2 y 1 2 3. Biết MN lớn nhất. Khoảng cách từ điểm E 3;1 đến AB bằng A. 3. B. 2. C. 2 3. D. 2 2. Hướng dẫn giải Ta có: y 3x2 3m. Hàm số có hai điểm cực trị y 0 có hai nghiệm phân biệt m 0. x x Viết hàm số dưới dạng y 3x2 3m 2mx 2 y 2mx 2 3 3 Trang 33
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là AB : y 2mx 2. Đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định là M 0;2 . Đường tròn C tâm I 1;1 , bán kính R 3 và d I; AB IM 1 3 R nên đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm M, N. 1 Giả sử I 1;1 AB 1 2m 2 m . 2 1 Vậy khi m (thỏa mãn hàm số có hai điểm cực trị) thì (AB) qua I 1;1 , cắt đường tròn C tại hai điểm 2 M, N với MN 2R là lớn nhất. Khi đó: d E 3;1 ; AB : y x 2 0 2. Chọn B. Bài toán 9. Tính chất điểm uốn liên quan đến hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Phương pháp giải 3 Gọi xu là nghiệm của phương trình f x 0 . Ví dụ: Đồ thị hàm số y 2x x 1có điểm uốn U 0;1 do x 0 là nghiệm của y 12x. Khi ấy điểm U xu ; f xu được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số. Chú ý: Điểm uốn là trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba, suy ra điểm uốn nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị. xCD xCT 2xU Tức là: yCD yCT 2yU Đường thẳng đi qua điểm uốn luôn cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số bậc ba có hai điểm cực trị là x1 1và x2 . Biết rằng đạo hàm cấp hai triệt tiêu tại 2 điểm x . Giá trị của x bằng 3 2 1 4 1 A. x 2. B. x . C. x . D. x . 2 2 3 2 3 2 3 Hướng dẫn giải 4 1 x 2x x 1 . 2 1 3 3 Chọn B. Trang 34
x3 Ví dụ 2: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y mx2 m2 1 x có hai 3 điểm cực trị A và B sao cho A và B nằm khác phía và cách đều đường thẳng y 5x 9 . Tổng các phần tử của S bằng A. 0.B. 6.C. – 6. D. 3. Hướng dẫn giải Đường thẳng d : y 5x 9 cách đều hai điểm cực trị của đồ thị thì có hai khả năng sau: Khả năng 1: Đường thẳng d song song với đường thẳng AB, khi đó A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d, trái với giả thiết. Khả năng 2: Đường d đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số (vì điểm uốn là trung điểm của A và B). Ta có: y x2 2mx m2 1 x m 1 x m 1 luôn có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có hai cực trị. m3 m3 y 2x 2m; y 0 x m y m m , suy ra tọa độ điểm uốn là U m; m . 3 3 m3 Khi đó:U d m 5m 9 m 3. 3 Chọn D. Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản Câu 1: Cho hàm số bậc ba có hai điểm cực trị là x1 1và x2 5 . Biết rằng đạo hàm cấp hai triệt tiêu tại điểm xu . Khi đó xu bằng A. 3.B. 6.C. 2. D. – 2. Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của m thì đồ thị hàm số y 2x3 3 m 1 x2 6 m 2 x 1có cực đại, cực tiểu thỏa mãn xCD xCT 2? A. 1.B. 3.C. 2. D. 4. Câu 3: Đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 2x m đi qua điểm M 3;7 . Khi đó m bằng A. m 1. B. m 1. C. m 3. D. m 0. Câu 4: Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x m3 với m là tham số. Gọi C là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng, khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị C luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Hệ số góc k của đường thẳng d là 1 1 A. k 3. B. k . C. k 3. D. k . 3 3 Câu 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3mx2 4m3 có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y x ? Trang 35
A. 0.B. 3.C. 1. D. 2. 1 Câu 6: Cho hàm số y x3 2mx2 m 1 x 2m2 1 (m là tham số). Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa 3 độ O 0;0 đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên là 2 10 A. . B. 3. C. 2 3. D. . 9 3 Câu 7: Biết đường thẳng qua hai cực trị của đồ thị hàm số f x x3 cx d là y 6x 2020 . Khi đó f 2 bằng A. f 2 2010. B. f 2 2030. C. f 2 2022. D. f 2 2020. Câu 8: Biết đồ thị của hàm số y x3 3abx2 bx 3 có hai điểm cực trị và trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị đó thuộc đường thẳng x 1. Chọn khẳng định đúng. A. ab2 3. B. ab2 3. C. ab2 1. D. a.b2 0. Câu 9: Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x m3 m (m là tham số). Gọi A là điểm cực đại của đồ thị hàm số và điểm M thuộc đường tròn C : x 9 2 y 4 2 17 . Giá trị nhỏ nhất của độ dài MA bằng 17 3 17 1 A. . B. 17. C. . D. . 2 4 17 Câu 10: Biết điểm M 2m3; 1 tạo với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y 2x3 3 2m 1 x2 6m m 1 x một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. m 1;0 . B. m 0;1 . C. m 1;2 . D. m 2; 1 . Bài tập nâng cao Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 2020;2020 để đồ thị hàm số y x3 2m 1 x2 3mx m có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành? A. 4035.B. 4036.C. 4037. D. 4038. Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x3 8x2 m2 11 x 2m2 2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 4.B. 5.C. 6. D. 7. 1 3 2 2 Câu 13: Gọi x1, x2 là hai điểm cực trị của hàm số y x m 3 x 8x m . Giá trị lớn nhất của biểu 3 3 3 thức A x1 1 x2 8 là A. 8.B. 1064.C. 392. D. 0. Câu 14: Biết hàm số y x m x n x p không có cực trị. Giá trị nhỏ nhất của F m2 2n 4 p là A. Fmin 2. B. Fmin 1. C. Fmin 0. D. Fmin 1. Câu 15: Cho hàm số f x x a x b x c không có điểm cực đại. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a2 2b2 3c2 4a 5b 6c là Trang 36
75 25 3 7 A. S . B. S . C. S . D. S . min 8 min 2 min 2 min 3 3 2 Câu 16: Cho hàm số y x 3x 4 . Biết rằng có hai giá trị m1,m2 của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tiếp xúc với đường tròn C : x m 2 y m 1 2 5. . Giá trị của m1 m2 bằng A. 0.B. 10.C. 6. D. – 6. Câu 17: Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y x3 3mx2 3m2 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường phân giác của góc phần tư thứ nhất? A. 2.B. 1.C. 3. D. 0. Câu 18: Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x m3 m , (m là tham số). Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tổng tất cả các số m để ba điểm I 2; 2 , A, B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là 4 2 20 14 A. . B. . C. . D. . 17 17 17 17 PHẦN ĐÁP ÁN Dạng 1. Các bài tập nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị 1 - D 2 - A 3 - C 4 - D 5 - A 6 - D 7 - D 8 - C 9 - C Dạng 2. Cực trị của hàm số bậc ba 1 - A 2 - C 3 - C 4 - A 5 - D 6 - D 7 - A 8 - A 9 - B 10 - A 11 - D 12 - B 13 - C 14 - B 15 - A 16 - D 17 - A 18 - C Dạng 3. Cực trị hàm bậc bốn trùng phương Bài toán 1. Tìm tham số để hàm số có số điểm cực trị thỏa mãn đề bài Phương pháp giải Xét hàm số y ax4 bx2 c , a 0 , có đạo hàm là y 4ax3 2bx 2x 2ax2 b . Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y 0 có ba nghiệm phân biệt ab 0 . Đồ thị hàm số có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi y 0 có đúng một nghiệm ab 0 . Đồ thị hàm số hoặc có đúng một điểm cực trị hoặc có ba điểm cực trị, và luôn có một điểm cực trị nằm trên trục tung. Đồ thị hàm số có ba cực trị: • Nếu a 0 hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại; • Nếu a 0 hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Chú ý rằng ba điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn tạo thành một tam giác cân. Trang 37
Khi hàm số có một cực trị: a 0 thì điểm cực trị là điểm cực tiểu; a 0 thì điểm cực trị là điểm cực đại. Đồ thị hàm số y ax4 bx2 c có nhiều điểm cực trị nhất (bảy cực trị) khi đồ thị hàm số f x ax4 bx2 c có ba điểm cực trị và đồ thị của nó cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Đồ thị hàm số y ax4 bx2 c có ít điểm cực trị nhất (một cực trị) khi đồ thị hàm số f x ax4 bx2 c có một điểm cực trị và đồ thị của nó không có điểm chung hoặc chỉ tiếp xúc với trục hoành. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Có bao nhiêu số nguyên m  20;20 để đồ thị hàm số y mx4 m2 9 x2 1 có ba điểm cực trị? A. 20.B. 19.C. 18. D. 17. Hướng dẫn giải 3 2 2 2 Ta có y 4mx 2 m 9 x 2x 2mx m 9 . Trang 38
x 0 y 0 . 2 2 2mx m 9 0 1 Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y 0 có ba nghiệm phân biệt hay 1 có hai nghiệm phân biệt 2 m 3 khác 0 2m m 9 0 . 0 m 3 Vậy có 19 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn B. Ví dụ 2. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x4 3mx2 4 có ba điểm cực trị phân biệt và hoành độ của chúng trong khoảng 2;2 là 8 8 3 3 A. ;0 .B. 0; .C. ;0 .D. 0; . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải x 0 Ta có y 4x3 6mx . Cho y 0 . 2 2x 3m 2 Để thỏa mãn đề bài phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt khác 0 và thuộc khoảng 2;2 3m 8 0 4 0 m . 2 3 Chọn A. Ví dụ 3. Biết rằng hàm số y x4 2 m2 1 x2 2 có điểm cực tiểu. Giá trị lớn nhất của cực tiểu là A. 1.B. -1.C. 0. D. 2. Hướng dẫn giải x 0 y 4x3 4 m2 1 x y 0 . 2 2 x m 1 Rõ ràng phương trình y 0 luôn có ba nghiệm phân biệt. Lập bảng biến thiên, dễ thấy x m2 1 là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. 2 2 4 2 Giá trị cực tiểu là yCT 2 m 1 1 m 2m 1 (dấu " " xảy ra khi m 0 ). Chọn A. Ví dụ 4. Với giá trị nào của k thì hàm số y kx4 k 1 x2 1 2k chỉ có một cực trị? k 1 k 1 A. 0 k 1.B. 0 k 1.C. .D. . k 0 k 0 Hướng dẫn giải Với k 0 , hàm số trở thành y x2 1 có đồ thị là một parabol nên có đúng một cực trị. Do đó k 0 thỏa mãn đề bài. Trang 39
Với k 0 . Ta có y 4kx3 2 k 1 x 2x 2kx2 k 1 . Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phương trình 2kx2 k 1 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm k 1 x 0 k k 1 0 . k 0 Kết hợp hai trường hợp ta được các giá trị cần tìm là k 1 hoặc k 0 . Chọn D. x=0 là nghiệm của phương trình 2kx2 k 1 0 Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x0 cho trước. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giá trị của m để hàm số y m 1 x4 2mx2 2m m4 đạt cực đại tại x 2 là 4 4 3 A. m .B. m . C. m . D.  . 3 3 4 Hướng dẫn giải Ta có: y 4 m 1 x3 4mx y 12 m 1 x2 4m . 4 Để hàm số đạt cực đại tại x 2 thì y 2 0 32 m 1 8m 0 m . 3 4 4 2 4 Với m thì y 2 12 1 .2 4 0 , suy ra x 2 là điểm cực đại. 3 3 3 Chọn B. Chú ý: Nếu f '(x0 )= f ''(x0 )= 0 thì ta lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm để kiểm tra. 1 3 Ví dụ 2. Cho hàm số y x4 mx2 x có x m là một điểm cực trị. Tổng các giá trị của m là 2 2 1 1 A.1.B. . C. 1.D. . 2 2 Hướng dẫn giải y 2x3 3mx 1 y 6x2 3m . m 1 Hàm số đạt cực trị tại điểm x m y m 0 1 . m 2 • Với m 1, ta có: y 1 6 3 0 x 1 là điểm cực tiểu (cực trị) nên m 1 thỏa mãn. 1 1 3 3 1 1 • Với m , ta có: y 0 x là điểm cực tiểu (cực trị) nên m thỏa 2 2 2 2 2 2 mãn. 1 1 Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn điều kiện trên là 1 . 2 2 Trang 40
Chọn D. Ví dụ 3. Biết đồ thị hàm số y ax4 bx2 c có hai điểm cực trị là A 0;2 , B 2; 14 . Giá trị của y 1 là A. y 1 5. B. y 1 4 .C. y 1 2 .D. y 1 0 . Hướng dẫn giải Ta có y 4ax3 2bx . c 2 Các điểm A 0;2 , B 2; 14 thuộc đồ thị hàm số nên 1 . 16a 4b c 14 Mặt khác, hàm số đạt cực trị tại điểm x 2 , suy ra 32a 4b 0 2 . Từ 1 ; 2 ta có y x4 8x2 2 . Dễ thấy hàm số có các điểm cực trị là A 0;2 , B 2; 14 nên y x4 8x2 2 là hàm số cần tìm. Khi đó y 1 5. Chọn A. Bài toán 3. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Phương pháp giải Ví dụ: Các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 2x4 4mx2 1 có hai điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu bằng 8 là A. m 16 .B. m 16 . 25 25 C. m . D. m . 4 4 Bước 1. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Hướng dẫn giải x 0 Ta có: y 8x3 8mx ; y 0 . 2 x m Hàm số có ba điểm cực trị nên m 0 . Tọa độ hai điểm cực tiểu là Bước 2. Sử dụng các công thức tính khoảng cách B m; 2m2 1 , C m; 2m2 1 .  2 2 AB AB xA xB yA yB Khi đó BC 2 m 8 2 m m 16 . Chọn B. axM byM c d M xM ; yM ;d : ax by c 0 . a2 b2 Nếu AB / /Ox thì AB : y yA . Ví dụ mẫu Trang 41
Ví dụ 1. Biết rằng đồ thị hàm số y x4 2 m 1 x2 3m có A là điểm cực đại và B , C là hai điểm cực 12 tiểu. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P OA là BC A. 9.B. 8.C. 12. D. 15. Hướng dẫn giải x 0 Ta có: y 4x3 4 m 1 x . Cho y 0 . 2 x m 1 Hàm số có ba điểm cực trị nên m 1. Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A 0;3m , B m 1;5m m2 1 và C m 1;5m m2 1 . Suy ra OA 3m , BC 2 m 1 . 12 6 3 3 Ta có P OA 3m 3 m 1 3 BC m 1 m 1 m 1 2 3 3 33 3 m 1 12. m 1 3 Dấu " " xảy ra khi 3 m 1 m 2 . m 1 Chọn C. 4 2 Ví dụ 2. Cho đồ thị hàm số C1 : y f x x ax b và đồ thị hàm số 3 2 C2 : y g x x mx nx p như hình vẽ dưới. Gọi B , D là hai điểm cực tiểu của C1 và A , C lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của C2 ( A , C đối xứng nhau qua U Oy ). Biết hoành độ của A , B bằng nhau và hoành độ của C , D bằng nhau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để AB 3 ? A. 1.B. 2.C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Trang 42
x 0 2 n f x 0 a và g x 0 x . x2 3 2 a n 3 Theo đề bài ta có a,n 0 và n a . 2 3 2 Khi đó: a a2 n a y f b ; y g b a . B A 2 4 3 2 Phân tích: dựa vào đồ thị ta a2 a a a AB 2 . t 4 2t3 trong đó t 0 . có b p và m 0 . 4 2 2 2 3 Khi đó: C2 : y x nx b a Xét AB 3 t 4 2t3 3 t 1 1 a 2 . 2 Ta cần tìm tung độ của điểm A và B (theo a ). Do a 0 nên a 2; 1 . Chọn B. Ví dụ 4. Cho hai hàm đa thức y f x , y g x có đồ thị là hai đường cong như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số y f x có đúng một điểm cực trị là A , đồ thị hàm số y g x có đúng một điểm cực trị là 7 B (với x x ) và AB . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 10;10 để hàm số A B 2 y f x g x m có đúng bảy điểm cực trị? A. 5.B. 6.C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Gọi x1 , x2 với x1 x2 là hoành độ giao điểm của đồ thị y f x và y g x (dựa vào đồ thị đã cho, hai đồ thị chỉ có hai giao điểm đã kể trên, tức là Trang 43
x x1 f x g x 0 . x x2 Xét h x f x g x m . f x g x Ta có: h x f x g x . . f x g x Cho h x 0 x xA xB . Ta có bảng biến thiên của h x như sau 7 7 Dựa vào bảng biến thiên của h x , yêu cầu bài toán trở thành m 0 m m 0 . 2 2 Do m nguyên và m 10;10 nên m 3; 2; 1 . Chọn C. Bài toán 4. Tam giác tạo bởi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số Phương pháp giải Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số rồi sử dụng các công thức tính khoảng cách, góc, Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị y x4 2m2 x2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. A. m 1.B. m 0 .C. m 2 .D. m 1. Hướng dẫn giải x 0 Ta có y 4x3 4m2 x ; y 0 . 2 2 x m Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi m 0 . Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A 0;1 , B m; m4 1 ,C m; m4 1   AB m; m4 , AC m; m4 , dễ thấy AB AC .   Do đó tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi AB.AC 0 m2 m8 0 m 1 (do m 0 ). Trang 44
Chọn A. Ví dụ 2. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2 m 1 x2 3m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có góc bằng 60 thuộc khoảng nào sau đây? 5 13 12 5 11 11 12 A. ; .B. ; .C. 2; . D. ; . 2 5 5 2 5 5 5 Hướng dẫn giải x 0 Ta có y 4x3 4 m 1 x . Xét y 0 . 2 x m 1 2 Hàm số có ba điểm cực trị khi m 1. Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A 0;3m , B m 1;5m m2 1 và C m 1;5m m2 1 . Suy ra AB2 AC 2 m 1 m 1 4 ; BC 2 m 1 . Tam giác ABC là tam giác cân tại A , có một góc bằng 60 nên là tam giác đều AB BC m 1 m 1 4 4 m 1 m 1 3 3 . Chọn B. Ví dụ 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 2x4 4mx2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 30 ? A. 1.B. 2.C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải x 0 Ta có y 8x3 8mx ; y 0 . 2 x m Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi m 0 . Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A 0;1 , B m; 2m2 1 ,C m; 2m2 1 AB2 AC 2 m 4m4 , BC 2 m . Do đó tam giác ABC cân tại A . 2AB2 BC 2 Trường hợp 1: B· AC 30 , ta có cos B· AC 2 3 AB2 BC 2 2AB2 2 3 m 4m4 2m . 4 2 3 m3 3 Phương trình này có đúng một nghiệm thực. Trường hợp 2: ·ABC 30, khi đó BC 3.AB 3AB2 BC 2 3m 12m4 4m 12m3 1. Phương trình này có đúng một nghiệm thực. Trang 45
Chọn B. Ví dụ 4. Biết đồ thị hàm số y 2x4 4mx2 1 có ba điểm cực trị A (thuộc trục tung) và B ,C . Giá trị AB.AC nhỏ nhất của biểu thức T là BC 4 1 1 3 3 A. .B. . C. . D. . 4 8 8 16 Hướng dẫn giải Theo ví dụ 3 ta có: 4 AB.AC m 4m 1 1 2 1 1 2 3 T 4 2 4m 2. 4m . BC 16m 16 m 16 2m 16 1 1 Dấu " " xảy ra khi 4m2 m 0 . 2m 2 Chọn D. Ví dụ 5. Cho đồ thị hàm số C : y x4 2 m2 1 x2 m4 . Gọi A , B , C là ba điểm cực trị của C và S1 , S2 lần lượt là phần diện tích phía trên và phía dưới trục hoành của tam giác ABC . Có bao nhiêu giá S 1 trị của tham số m sao cho 1 ? S2 3 A. 1.B. 2.C. 4. D. 0. Hướng dẫn giải Ta có: y 4x3 4 m2 1 x . x 0 y m4 Cho y 0 . 2 2 2 x m 1 y 2m 1 Do hai tam giác đồng Hàm số luôn có ba điểm cực trị với mọi tham số m . dạng nên tỉ lệ diện tích bằng bình phương tỉ lệ 4 2 2 2 2 Gọi A 0;m , B m 1; 2m 1 , C m 1; 2m 1 là ba điểm cực trị đồng dạng, với tỉ lệ đồng dạng là tỉ lệ của đồ thị hàm số. đường cao. Ta có OA m4 , h d A; BC m4 2m2 1 2 4 2 S1 1 SABC S1 SABC h m 2m 1 3 4 4 4 2 S2 3 S1 S1 OA m m4 2m2 1 0 m 1 2 . Vậy có hai giá trị của tham số thỏa mãn đề bài. Chọn B. Bài toán 5. Các đồ thị có chung điểm cực trị Trang 46
Ví dụ mẫu 1 m3 Ví dụ 1. Cho hàm số f x x3 m 1 x2 m m 2 x có đồ thị C với m là tham số. Gọi S 3 3 là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị C và parabol P : y x2 2mx 8 có chung một điểm cực trị. Tổng bình phương tất cả các phần tử của S là A. 8.B. 10.C. 16. D. 18. Hướng dẫn giải P có điểm cực trị là M m; m2 8 . f x x2 2 m 1 x m m 2 x m A m;m2 f x 0 . x m 2 B m 2; yB M Vì hai đồ thị hàm số có chung một điểm cực trị nên A  M m2 m2 8 m 2. Chọn A. Ví dụ 2. Biết hai hàm số f x x3 ax2 2x 1 và g x x3 bx2 3x 1 có chung ít nhất một điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b là A. 30 .B. 2 6 .C. 3 6 . D. 3 3 . Hướng dẫn giải Giả sử điểm cực trị chung của f x và g x là x0 0 , suy ra 1 2 a 3x0 2 Chú ý: Khi A và B f x0 0 3x0 2ax0 2 0 2 x0 . 2 cùng dấu thì g x0 0 3x 2bx 3 0 1 3 0 0 b 3x A B A B . Hiển 0 2 x0 1 nhiên x và cùng 1 2 1 0 x Khi đó P a b 3x 3 x 0 0 0 2 x0 x0 dấu. Bất đẳng thức 1 5 AM GM 1 5 6 x .2 6 x . 30 . 0 0 AM GM : 2 x0 2 x0 x y 2 xy,x, y 0 5 30 Dấu " " xảy ra khi 6 x x . 2 0 x 0 6 0 Dấu " " xảy ra 9 30 11 30 x y . Khi đó a và b . 20 20 Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 3 Trang 47
Câu 1: Đồ thị của hàm số y x4 2mx2 3m2 có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận G 0;2 làm trọng tâm khi và chỉ khi 2 6 A. m 1. B. m .C. m 1.D. m . 7 15 Câu 2: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm là 3 1 A. m 1. B. m .C. m .D. Không tồn tại m . 2 2 Câu 3: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2m2 x2 m4 3 có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp. Số phần tử của tập S bằng A. 1.B. 3.C. 0. D. 2. Câu 4: Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị hàm số y x4 mx2 3m 2 có điểm cực trị nằm trên trục hoành? A. 2.B. 0.C. 3. D. 1. Câu 5: Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y x4 2 1 m2 x2 m 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất? 1 1 1 A. m .B. m 0 .C. m . D. m . 3 2 2 4 2 4 2 Câu 6: Biết hai đồ thị của hai hàm số C1 : y x 2x 2 và C2 : y mx nx 1 có chung ít nhất một điểm cực trị. Giá trị của 414m 115n là A. 368 . B. 368 .C. 386 .D. 386 . Câu 7: Với giá trị thực nào của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2 m 1 x2 m4 3m2 20 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32? A. m 4 . B. m 2 .C. m 5 .D. m 3 . 4 2 2 Câu 8: Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị hàm số Cm : y x 2 m 3m 2 x 1 có ba điểm cực trị nằm trên một parabol và điểm M 5; 3 thuộc parabol đó? A. 1.B. 2.C. 0. D. 3. Câu 9: Biết rằng đồ thị C : y ax4 bx2 c luôn có ba điểm cực trị và P x là parabol đi qua ba điểm cực trị đó. Giá trị nhỏ nhất của b.P c là 1 1 A. 1.B. 2 .C. . D. . 4 2 Đáp án: 1-D 2-B 3-D 4-A 5-B 6-A 7-C 8-B 9-D Dạng 4: Cực trị của hàm số khác Bài toán 1. Cực trị hàm phân thức Trang 48
Phương pháp giải u x u x .v x v x .u x Xét y . Ta có y . v x v2 x Gọi M x0 ; y0 là điểm cực trị. Khi đó y x0 0 . u x0 u x0 Suy ra u x0 .v x0 v x0 .u x0 0 y0 . v x0 v x0 u x u x Đường cong qua các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số y là y . v x v x ax2 bx c Nói riêng, đường thẳng qua các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số y là dx e 2ax b y . d Chú ý: b c a b a c b c adx2 2aex 1 1 x2 2 1 1 x 1 1 2 2 ax bx c d e a1x b1x c1 a2 b2 a2 c2 b2 c2 2 . 2 2 . dx e dx e a x b x c 2 2 2 2 a2 x b2 x c2 Ví dụ mẫu x2 mx 3m 1 Ví dụ 1. Giá trị của m để hàm số y có cực trị là x 1 1 1 1 A. m .B. m .C. m .D. m . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải x2 3m 1 Điều kiện x 0 . Ta có y . x2 Hàm số có cực trị khi x2 3m 1 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 1 3m 1 0 m . 3 Chọn A. x2 mx 1 Ví dụ 2. Giá trị của m để hàm số y đạt cực đại tại x 1 là x m A. m 2 . B. m 1.C. m 2 .D. m 1. Hướng dẫn giải Điều kiện: x m . x2 2mx m2 1 x m 1 Ta có y 2 ; y 0 . x m x m 1 Bảng biến thiên Trang 49
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại x 1 m 1 1 m 2 . Chọn C. q Ví dụ 3. Cho hàm số y x p (với p , q là tham số thực). Biết hàm số đạt cực đại tại x 2, giá x 1 trị cực đại bằng 2 . Tổng S p 2q bằng A. S 2 .B. S 0 . C. S 1.D. S 3. Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1. q Ta có: y 1 . x 1 2 Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2, giá trị cực đại bằng 2 nên 1 q 0 q 1 . 2 p q 2 p 1 Thử lại p q 1 thỏa mãn nên S 1 2 3 . Chọn D. x2 mx Ví dụ 4. Giá trị của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y bằng 10 là 1 x A. m 10 .B. m 8 .C. m 4 .D. m 2 . Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1. x2 2x m Ta có y . 1 x 2 2 Hàm số có hai cực trị khi x 2x m 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 2 m 0 m 1. 1 m 0 x1 x2 2 Khi đó theo định lý Vi-ét ta có . x1.x2 m Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là d : y 2x m . Trang 50
Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị là A x1; 2x1 m , B x2 ; 2x2 m  AB x2 x1;2x1 2x2 . Theo yêu cầu của đề bài ta có 2 2 2 x1 x2 4 x1 x2 100 x1 x2 4x1.x2 20 4 4m 20 m 4 . Chọn C. 1 Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y mx có hai điểm cực trị và tất cả các x điểm cực trị đều thuộc hình tròn tâm O , bán kính 6? A. 10.B. 8.C. 9. D. 7. Hướng dẫn giải 1 Điều kiện: x 0 . Ta có: y m . x2 1 x m Hàm số có hai điểm cực trị khi m 0 . Khi đó y 0 . 1 x m 1 1 Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị là A ;2 m , B ; 2 m . m m 1 Theo đề bài ta có OA2 OB2 4m 36 4m2 36m 1 0 . m Do m ¢ , m 0 nên m 1;2;3 ;8. Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn B. x2 m x 4 Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số y có hai điểm cực trị A , B và ba x m điểm A , B , C 4;2 phân biệt thẳng hàng? A. 0.B. 2.C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải Điều kiện: x m . 2 x2 2 m x m2 4 x m 4 Ta có y 2 2 . x m x m 2 x m 2 y m 4 Cho y 0 x m 4 0 . x m 2 y m 4 Trang 51
Do m 2 m 2, m nên y 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị là AB : y 2x m . Ba điểm A , B , C 4;2 phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi C 4;2 AB m 6 m 2 4 m 2 . m 2 4 m 6 Suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài. Chọn A. x2 2 m 1 x m2 4m Ví dụ 7. Cho hàm số C : y . Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị x 2 hàm số C có điểm cực đại, cực tiểu A , B sao cho tam giác OAB vuông? A. 4.B. 2.C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải x2 4x 4 m2 Điều kiện: x 2 . Ta có y . x 2 2 2 2 x m 2 Ta có x 4x 4 m 0 . x m 2 Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi m 0 . Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị là  A m 2; 2 , B m 2;4m 2 AB 2m;4m    Dễ thấy OA , OB , AB 0 . Trường hợp 1: Tam giác OAB vuông tại O   OA.OB 0 m2 8m 8 0 m 4 2 6 (thỏa mãn)   Trường hợp 2: Tam giác OAB vuông tại A OA.AB 0 2m m 2 2.4m 0 m 2 4 0 m 6 (thỏa mãn)   Trường hợp 3: Tam giác OAB vuông tại B OB.AB 0 2 2m m 2 4m 2 4m 0 m 2 2 4m 2 0 m (thỏa mãn) 3 Vậy có bốn giá trị thực của m thỏa mãn đề bài. Chọn A. x2 mx 1 Ví dụ 8. Cho hàm số C : y với m là tham số. Giá trị thực của m để đồ thị hàm số C x2 1 có hai điểm cực trị A , B sao cho đường thẳng AB đi qua điểm M 1;2 là A. m 8 .B. m 6 .C. m 4 .D. m 2 . Hướng dẫn giải Trang 52
mx2 4x m Tập xác định: D ¡ . Ta có y 2 . x2 1 Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi mx2 4x m 0 có hai nghiệm phân biệt m 0 m 0 . 2 4 m 0 2x m Đường cong qua hai điểm cực trị có phương trình là y . 2x 2x m k mx2 4x m Ta viết phương trình đường cong dưới dạng y . 2x Ta chọn k sao cho nghiệm của mẫu là nghiệm của tử để có thể rút gọn thành hàm số bậc nhất. Vì x 0 là nghiệm của mẫu, nên thế x 0 vào tử ta được m k m 0 k 1. 2x m mx2 4x m m m Với k 1: y x 1 AB : y x 1. 2x 2 2 m Điểm M 1;2 AB 2 1 m 6 (thỏa mãn) . 2 Chọn B. Bài toán 2. Cực trị của hàm chứa căn Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để hàm số y 2x 2 m x2 4x 5 có cực tiểu? A. 7.B. 16.C. 8. D. 14. Hướng dẫn giải Hàm số xác định trên ¡ . x 2 m Ta có y 2 m. và y . 2 3 x 4x 5 x2 4x 5 m x 2 0 2 y 0 2 x 2 1 m x 2 . 2 2 1 m 4 x 2 4 2 m 2 Hàm số có cực tiểu khi và chỉ khi 1 có nghiệm m 4 0 . Chú ý: Để làm trắc m 2 nghiệm ta có thể làm như 2 Khi đó, 1 có hai nghiệm phân biệt là x 2 . sau: Hàm số đạt cực tiểu 1;2 2 m 4 khi hệ sau có nghiệm: 2 • Với m 2 , thì x 2 thỏa mãn y x 0 và y x 0 , y 0 1 2 1 1 m 4 y 0 suy ra x1 là điểm cực tiểu, nhận m 2 . 2 • Với m 2 , thì x2 2 thỏa mãn y x2 0 và y x2 0 , m2 4 Trang 53
suy ra x2 là điểm cực đại, loại, do m 2 . m x 2 0 2 2 Do m nguyên, m 2 và m  10;10 nên m 3;4; ;9;10 . m 4 x 2 4 Chọn C. m 0 m 0, x 2 m 2 2 m 4 0 Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x m. x2 1 có điểm cực trị 82 và tất cả các điểm cực trị thuộc hình tròn tâm O , bán kính ? 3 A. 4.B. 2.C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải Tập xác định: D ¡ . x Ta có y 1 m. . x2 1 x2 1 Cho y 0 m , ( x 0 ). x x2 1 1 Xét g x g x 0 , x 0. x x2. x2 1 Ta có lim g x 1; lim g x 1; lim g x ; lim g x . x x x 0 x 0 Bảng biến thiên: Hàm số có cực trị khi m ¡ \  1;1. Gọi A a;b là điểm cực trị của đồ thị hàm số. a2 1 a2 1 1 1 Khi đó m và b a A a; . a a a a 1 82 1 Ta có: OA a2 a2 9 . a2 3 9 a2 1 1 10 Vậy m 1 2 ; 10 . a a 3 Trang 54
Kết hợp với các điều kiện m ¢ , m ¡ \  1;1, ta được m 3; 2;2;3. Chọn A. mx Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y 2x có điểm cực trị x2 2 và tất cả các điểm cực trị thuộc hình tròn tâm O , bán kính 68 ? A. 16.B. 10.C. 12. D. 4. Hướng dẫn giải Tập xác định: D ¡ . mx 2m Ta có: y 2x y 2 , x ¡ . 2 3 x 2 x2 2 y 0 x2 2 3 m . Hàm số có cực trị khi và chỉ khi 3 m 2 m 2 2 . Chú ý: Hàm số Gọi A a;b ( a 0 ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số, khi đó: không thể đạt cực ma ma a2 2 3 m và b 2a 2a a 2 3 m2 a a2 a3 . trị tại điểm x 0 . a2 2 3 m Theo đề bài ta có OA 68 a2 b2 68 a2 a6 68 a2 4 . Ta có: 0 a2 4 2 a2 2 6 2 3 m 6 6 6 m 2 2 . Vì m ¢ và 6 6 m 2 2 nên m 14; 13; ; 4; 3 . Vậy có 12 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài. Chọn C. Bài toán 3. Cực trị của hàm bậc cao và hàm lượng giác Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Biết rằng tồn tại các số thực a , b , c sao cho hàm số f x x6 ax4 bx2 3x c đạt cực trị tại điểm x 2 . Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x tại điểm có hoành độ x 2 là A. 0.B. 3 .C. 3.D. 6. Hướng dẫn giải Ta có: f x 6x5 4ax3 2bx 3 . Hàm số đạt cực trị tại điểm x 2 nên f 2 0 6.25 4.a.23 4b 3 0 . Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x tại điểm có hoành độ x 2 là f 2 0 6.25 4.a.23 4b 3 3 6.25 4.a.23 4b 6 . Chọn D. Trang 55
Ví dụ 2. Biết rằng tồn tại các số thực a , b , c sao cho hàm số f x a.sin2 x b.cos3x x c đạt cực trị tại điểm x . Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x tại điểm có hoành độ x là 6 6 A. 0.B. 1.C. 2. D. 2 . Hướng dẫn giải Ta có: f x a.sin 2x 3b.sin 3x 1. Hàm số đạt cực trị tại điểm x , suy ra f 0 a.sin 3b.sin 1 0 . 6 6 3 2 Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x tại điểm có hoành độ x là 6 f a.sin 3b.sin 1 2 . 6 3 2 Chọn C. Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x8 m 4 x5 m2 16 x4 1 đạt cực tiểu tại điểm x 0 ? A. 8.B. Vô số.C. 7. D. 9. Hướng dẫn giải 7 4 2 3 3 4 2 3 Ta có: y 8x 5 m 4 x 4 m 16 x x 8x 5 m 4 x 4 m 16 x .g x • Với g x 8x4 5 m 4 x 4 m2 16 . Ta xét các trường hợp sau: - Nếu m2 16 0 m 4 . + Khi m 4 ta có y 8x7 x 0 là điểm cực tiểu. + Khi m 4 ta có y x4 8x3 40 x 0 không là điểm cực tiểu. - Nếu m2 16 0 m 4 g 0 0. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x 0 lim g x 0 x 0 lim g x 0 lim g x 0 x 0 x 0 4 m2 16 0 m2 16 0 4 m 4 m 3; 2; 1;0;1;2;3. Tổng hợp các trường hợp ta có: m 3; 2; 1;0;1;2;3;4 . Vậy có tám giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A. Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x8 m 2 x5 m2 4 x4 1 đạt cực tiểu tại x 0 ? A. 3.B. 5.C. 4. D. Vô số. Trang 56
Hướng dẫn giải Ta có: y 8x7 5 m 2 x4 4 m2 4 x3 x3.h x với h x 8x4 5 m 2 x 4 m2 4 . Ta xét các trường hợp sau: • Nếu m2 4 0 m 2 . - Khi m 2 thì y 8x7 x 0 là điểm cực tiểu nên m 2 thỏa mãn. - Khi m 2 thì y x4 8x3 20 x 0 không là điểm cực tiểu. • Nếu m2 4 0 m 2 h 0 0. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 khi và chỉ khi giá trị đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x 0 . lim h x 0 x 0 Do đó lim h x 0 lim h x 0 x 0 x 0 4 m2 4 0 2 m 2 m 1;0;1 . Tổng hợp các trường hợp ta có m 1;0;1;2 . Vậy có bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu. Chọn C. Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản x2 mx 1 Câu 1: Biết hàm số y đạt cực đại tại x 2 khi m m . Mệnh đề nào sau đây đúng? x m 0 A. m0 0;2 .B. m0 4; 2 .C. m0 2;0 .D. m0 2;4 . b Câu 2: Các số thực a , b sao cho điểm A 0;1 là điểm cực đại của đồ thị hàm số y ax2 a2 là x 1 A. a 1; b 0 .B. a b 1.C. a b 1. D. a 1; b 0 . x2 mx 1 Câu 3: Cho hàm số y ( m là tham số). Giá trị của tham số m để hàm số có giá trị cực đại x m bằng 7 là A. m 7 . B. m 5 .C. m 9 .D. m 5 . x3 5x2 2020x m Câu 4: Biết đồ thị hàm số y ( m là tham số) có ba điểm cực trị. Parabol x y ax2 bx c đi qua ba điểm cực trị đó (trong đó a,b,c là các số thực và a 0 ). Giá trị của biểu thức T 5a 2b3 c là A. 29 . B. 35.C. 19.D. 20. Bài tập nâng cao Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 5;5 sao cho hàm số f x mx 3 sin 2x 4sin x không có cực trị trên  ; ? Trang 57
A. 4.B. 3.C. 2. D. 5. x2 2x a Câu 6: Giả sử hàm số y (với a là tham số thực) có giá trị cực tiểu là m , giá trị cực đại là x 3 M . Giả sử m M 4 khi a a0 thì a0 thuộc tập nào sau đây? A.  5; 2 .B.  2;1 .C. 1;3 .D. 3;5. x2 mx 3 Câu 7: Cho hàm số C : y với m là tham số. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để x2 2 đồ thị hàm số C có 2 điểm cực trị A , B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng : y m 3 x m . Tổng giá trị các phần tử của S là A. 1.B. 4 .C. 3 .D. 3. Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  20;20 để hàm số y 2x m 2x2 1 có cực đại? A. 19.B. 18.C. 17. D. 16. x Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để hàm số y có cực trị? 2x2 9 m A. 2.B. 4.C. 5. D. 3. Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x12 m 5 x9 m2 25 x6 1 đạt cực đại tại điểm x 0 ? A. 8.B. 9.C. Vô số. D. 10. 3 Câu 11: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và f x x sin x x m 3 x 9 m2 , x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f x đạt cực tiểu tại điểm x 0 ? A. 6.B. 7.C. 5. D. 4. 1 2 Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn  19;20 để hàm số y x5 x3 mx có đúng 5 3 hai điểm cực trị? A. 19.B. 21.C. 20. D. 22. Đáp án: 1-B 2-A 3-C 4-B 5-A 6-C 7-C 8-A 9-A 10-D 11-A 12-B Dạng 5. Cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đối (không có tham số) Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối Phương pháp giải Ví dụ: Tìm số điểm cực trị của hàm số f x x3 2x2 x 1 Hướng dẫn giải Trang 58
Bước 1. Tập xác định và tính đạo hàm x 3x2 4x 1, x 0 Ta có f x 3x2 4x 2 Đạo hàm hàm chứa trị tuyệt đối với công thức: x 3x 4x 1, x 0. u .u u u2 . u u khi u 0 Chú ý: u u khi u 0. Bước 2. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 và tìm Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0. những điểm làm cho đạo hàm không xác định x 1 (nhưng hàm số xác định tại những điểm đó). 1 Ta có f x 0 x 3 2 7 x x . 0 3 Bước 3. Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo Bảng xét dấu f (x) : hàm. Vậy hàm số có bốn điểm cực trị. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Số điểm cực đại của hàm số f (x) x 2 x2 2 x 2 là A. 1.B. 3.C. 2. D. 0. Hướng dẫn giải x x x Hàm số liên tục trên ¡ có f x 1 2 x2 2 x 2 Hàm số không có đạo hàm tại điểm x 0 . • Khi x 0 ta có x 1 3 3 f x 0 x2 2x 2 2x 2 x x . 2 1 3x 6x 2 0 3 • Khi x 0 ta có x 1 3 3 f x 0 x2 2x 2 2x 2 x x . 2 2 3x 6x 2 0 3 Bảng xét dấu y : Trang 59
Vậy hàm số có hai điểm cực đại. Chọn C. Ví dụ 2. Số điểm cực trị của hàm số y x 1 x 2 là A. 1.B. 4.C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Ta có đồ thị của hàm số y x 1 x 2 như sau. x 1 x 2 , x 2 Vì y x 1 x 2 x 1 x 2 , x 2 nên để vẽ đồ thị hàm số đã cho, ta giữ nguyên đồ thị y x 1 x 2 khi x 2 và lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị y x 1 x 2 ứng với x 2 . Dễ thấy hàm số y x 1 x 2 có hai điểm cực trị (xem hình vẽ dưới đây): Chọn C. Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm số nếu biết bảng biến thiên Phương pháp giải Khi cho trước bảng biến thiên của hàm số, tìm Ví dụ: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên cực trị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối: như hình vẽ dưới đây. Ta dùng các phép biến đổi đồ thị chứa giá trị tuyệt đối để lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu. Trang 60
Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x . Hướng dẫn giải Dễ thấy trục hoành cắt đồ thị y f x tại ba điểm phân biệt. Bảng biến thiên của y f x : Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Chú ý: Cách nhẩm nhanh số điểm cực trị của Nhẩm nhanh số cực trị hàm số. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số Bước 1. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x có hai điểm cực trị. y f x . Bước 2. Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình Dễ thấy trục hoành cắt đồ thị y f x tại ba điểm f x 0 phân biệt. Số nghiệm bội lẻ của phương trình f x 0 là 3. Bước 3. Số điểm cực trị của hàm số Suy ra hàm số có năm điểm cực trị. y f x là tổng số điểm của cả hai bước trên. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Chú ý: Có thể nhẩm nhanh số điểm cực trị như sau: Số điểm cực trị của hàm y f x bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số y f x rồi cộng thêm 1. Số cực trị của hàm số y f x là Trang 61
A. 5. B. 4.C. 3. D. 6. Hướng dẫn giải Khi x 0 thì f x f x nên bảng biến thiên của y f x trên 0; cũng chính là bảng biến thiên của y f x trên 0; . Do đồ thị y f x nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có bảng biến thiên của y f x trên ¡ như sau: Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn A. Ví dụ 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Biết f 0 f 0,5 0 . Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 8.B. 9.C. 10. D. 11. Hướng dẫn giải Hàm số đã cho đồng biến trên 1;1 nên f 0 f 0,5 . Kết hợp với giả thiết f 0 f 0,5 0 suy ra Chú ý: Nếu f 0 0 thì 2 f 0 f 0 f 0,5 f 0 0 . hàm số có 9 điểm cực trị. Bảng biến thiên của hàm số y f x (cách lập như ở ví dụ 1). Bảng biến thiên của hàm số y f x là Trang 62
Vậy hàm số có tổng cộng 11 điểm cực trị. Chọn D. Bài toán 3. Tìm cực trị khi cho trước đồ thị Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số f x x x2 3 có đồ thị như hình vẽ Gọi số điểm cực trị của hàm số g x x x 3 x 3 và h x x 3 x2 x 3 lần lượt là m , n . Giá trị của m n là A. 7.B. 5.C. 4. D. 6. Hướng dẫn giải x(x2 3), x 3 +) Xét g x x x 3 x 3 , suy ra đồ thị của g x gồm hai phần được suy 2 x(x 3), x 3 ra từ đồ thị ban đầu như sau: + Phần 1: là đồ thị hàm f x tương ứng với x 3 . + Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị hàm f x qua trục Ox khi x 3 . Đồ thị hàm số g x là đường nét liền ở hình dưới đây. Trang 63
Từ đồ thị hàm số g x , ta có số điểm cực trị là 3 hay m 3 . x(x2 3), x ; 3 0; 2 +) Xét h x x 3 x x 3 x(x2 3), x 0; 3 . Suy ra đồ thị của h x gồm 2 phần được suy ra từ đồ thị ban đầu như sau: + Phần 1: đồ thị hàm f x ứng với x 3 và với x 0 . + Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị hàm f x khi 0 x 3 . Đồ thị hàm số h x là đường nét liền ở hình dưới đây. Từ đồ thị hàm số h x , ta có số điểm cực trị là 4 hay n 4 . Vậy m n 3 4 7 . Chọn A. Ví dụ 2. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ Chú ý: Đề bài hỏi số điểm cực trị trong khoảng 4;4 nên các điểm x 4 không là điểm cực trị. Số điểm cực trị của hàm số y f x trên 4;4 là A. 5. B. 7.C. 9. D. 3. Hướng dẫn giải Ta có đồ thị y f x như sau: Trang 64
Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x trên 4;4 là 7. Chọn B. Bài toán 4. Một số bài toán sử dụng phép dịch chuyển đồ thị Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số (C) : y f x Chú ý : Khi tịnh tiến đồ thị lên – xuống, trái – phải • Đồ thị hàm số (C1) : y f x a có được thì số điểm cực trị của hàm số (C) , (C1) , (C2 ) là bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số (C) bằng nhau. qua bên phải a đơn vị nếu a 0 và dịch qua trái a đơn vị nếu a 0 . • Đồ thị hàm số (C2 ) : y f x b có được bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số (C) lên trên b đơn vị nếu b 0 và dịch xuống dưới b đơn vị nếu b 0 . Chú ý : Số điểm cực trị của các hàm số sau là bằng nhau: y m f x p q t n (1); Từ (1) qua (2): dịch chuyển lên xuống không làm thay đổi số điểm cực trị. y m f x p q t (2); Từ (2) qua (3): phóng to và thu nhỏ không làm thay y f x p q t (3); đổi số điểm cực trị. Từ (3) qua (4): dịch trái phải không làm thay đổi số y f x q t (4); điểm cực trị. Để tìm số điểm cực trị của hàm số, ta có thể làm Ví dụ: Cho hàm số y f x xác định trên như sau: ¡ \ 1 và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Trang 65
Đồ thị hàm số y f x 1 có bao nhiêu điểm cực trị? Bước 1. Tìm hàm số có cùng số điểm cực trị với Hướng dẫn giải hàm ban đầu. Số điểm cực trị của hàm y f x 1 bằng với số Bước 2. Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên, bảng điểm cực trị của hàm y f x . xét dấu đạo hàm của đề bài mà suy ra số điểm cực trị của hàm tìm được ở bước 1. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x , ta suy ra số điểm cực trị của hàm số y f x là 3. Do đó số điểm cực trị của hàm số y f x 1 là 3. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số y f x 3 9 là A. 4.B. 3.C. 2. D. 5. Hướng dẫn giải Số điểm cực trị của các hàm số sau đây là như nhau: y f x 3 9 ; y f x 9 . Ta có bảng biến thiên của hàm số y f x 9 là Trang 66
Suy ra số điểm cực trị của hàm số y f x 9 là 4. Chọn A. Ví dụ 2. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 0 và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số y 2 f (x 1) 1 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3.B. 4.C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Số điểm cực trị của các hàm số sau đây là như nhau: y 2 f (x 1) 1 1; y 2 f (x 1) 1 ; y f (x 1) 1 ; y f (x) 1 Hàm số y f x 1 có bảng biến thiên như hình vẽ: Suy ra số điểm cực trị của hàm y f (x) 1 là 4. Vậy hàm số y 2 f (x 1) 1 1 có 4 điểm cực trị. Chọn B. Ví dụ 3. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số y 2 f x 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5.B. 9,C. 7. D. 6. Hướng dẫn giải Trang 67
Số điểm cực trị của các hàm số sau đây là như nhau: 1 1 y 2 f x 2 1 ; y f x 2 ; y f x 2 2 1 Ta có bảng biến thiên của hàm số y f x là 2 1 Từ đó suy ra số cực trị của hàm số y f x là 9 nên số cực trị của hàm số y 2 f x 2 1 2 cũng là 9. Chọn B. Ví dụ 4. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số y 2 f x 2 3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3.B. 4.C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Số điểm cực trị của các hàm số sau đây là như nhau: y 2 f x 2 3; y 2 f x 2 ; y f x 2 ; y f x (vì ba hàm đầu có số nghiệm của đạo hàm là như nhau; từ hàm thứ tư, ta dịch qua phải 2 đơn vị sẽ được đồ thị hàm thứ ba). Từ bảng biến thiên đã cho, suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x : Trang 68
Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số y f x có 3 điểm cực trị. Do đó hàm số y 2 f x 2 3 có 3 điểm cực trị. Chọn A. Ví dụ 5*. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Biết f 0 . f 1 0 . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y 2 f x 2 3 là A. 5.B. 9.C. 7. D. 6. Hướng dẫn giải Quan sát bảng biến thiên, rõ ràng hàm số đã cho đồng biến trên ( 1;3) , suy ra f 0 f 1 . Lại do f 0 . f 1 0 nên f 0 0 f 1 . Tương tự như ở ví dụ 4, số điểm cực trị của hàm y 2 f x 2 3 bằng với số cực trị của hàm y f x . Bảng biến thiên của hàm số y f x là: Đến đây, ta dễ dàng suy ra được số điểm cực trị của hàm y f x là 7. Vậy hàm số y 2 f x 2 3 có 7 điểm cực trị. Chọn C. Chú ý: Nếu f (x)³ 0 thì hàm số y 2 f x 2 3 chỉ có 5 điểm cực trị. Ví dụ 6. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số y 3 f x 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị? Trang 69
A. 3.B. 4.C. 5. D. 2. Hướng dẫn giải Số điểm cực trị của các hàm số sau đây là như nhau: y 3 f x 2 1; y 3 f x 2 và y f x 2 . Để vẽ được bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y f x 2 , ta dịch bảng biến thiên (đồ thị) của hàm số y f x qua phải 2 đơn vị rồi lấy đối xứng phần bên phải trục Oy qua Oy (bỏ phần bên trái Oy). Sau đây lần lượt là bảng biến thiên của y f x 2 và y f x 2 Vậy hàm số ban đầu có 3 điểm cực trị. Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 5 Câu 1: Số điểm cực trị của hàm số y x 5 3 x2 là A. 2.B. 1.C. 4. D. 3. Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số y x2 2 x 2 1 là A. 0.B. 1.C. 2. D. 3. Câu 3: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y x4 5x2 4 là A. 5.B. 7.C. 9. D. 6. Trang 70
Câu 4: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 6.B. 3.C. 5. D. 7. Câu 5: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 1 và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 5.B. 3.C. 7. D. 6. Bài tập nâng cao Câu 6: Số điểm cực trị của hàm số f x x 2 x 1 x x 1 x 2 x2 là A. 1.B. 0.C. 3. D. 5. Câu 7: Số điểm cực đại của hàm số f x x 2 x 1 x x 1 x 2 x2 là A. 11.B. 5.C. 6. D. 4. Câu 8: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ Hàm số y 3 f x 2010 1 5 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 11.B. 9.C. 7. D. 13. Câu 9: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ có bảng xét dấu của hàm y f x như sau Hàm số y 3 f x 2021 2020 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6.B. 5.C. 7. D. 3. Câu 10: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ Trang 71
Hàm số y 5 f x 21 20 có bao nhiêu điểm cực trị A. 2.B. 3.C. 5. D. 4. Câu 11: Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên ¡ và có bảng biến thiên của f x như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3.B. 7.C. 5. D. 9. Câu 12: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3.B. 5.C. 4. D. 2. 1 – D 2 – B 3 – B 4 – C 5 – A 6 – A 7 – C 8 – A 9 – C 10 – B 11 – B 12 – C Dạng 6: Cực trị hàm chứa trị tuyệt đối có tham số Bài toán 1. Định tham số để hàm số chứa dấu trị tuyệt đối có n điểm cực trị Phương pháp giải Xét bài toán: Định tham số để đồ thị hàm số Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của y f x hoặc y f x có n điểm cực trị. m  20;20 để hàm số y x3 3x m có 3 điểm cực trị? Hướng dẫn giải Trang 72
Bước 1. Lập bảng biến thiên của hàm số Xét f x x3 3x m . y f x . 2 Ta có f x 3x 3. Bảng biến thiên: Bước 2. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra tham số Từ bảng biến thiên ta có: thỏa mãn yêu cầu đề bài Hàm số y x3 3x m có 3 điểm cực trị m 2 0 m 2 m 2 0 m 2. Do m nguyên và m  20;20 nên m 20; 19; ; 2;2;3; ;19;20 Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  5;5 để hàm số Lời bình: Ta có thể nhìn rõ những kết luận này từ y x3 6x2 9 m x 2m 2 có 5 điểm cực trị? việc biến đổi đồ thị. A. 6. B. 8C. 5. D. 7. Từ đồ thị y f x suy Hướng dẫn giải 3 2 ra đồ thị y f x Xét f x x 6x 9 m x 2m 2 Cho f x 0 x3 6x2 9 m x 2m 2 0 x3 6x2 9x 2 mx 2m 0 x 2 x2 4x 1 m 0 x 2 2 x 4x 1 m 0 Hàm số y x3 6x2 9 m x 2m 2 có 5 điểm cực trị khi f x 0 có 3 nghiệm phân biệt và chỉ khi x2 4x 1 m 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 4 (1 m) 0 m 3 m 3. 2 2 4.2 1 m 0 m 3 Do m nguyên m  5;5 nên m 2; 1;0;1;2;3;4;5 . Trang 73
Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn B. Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số Lời bình: Ta có thể nhìn y x 3 2m 1 x2 3m x 5 có 5 điểm cực trị. rõ những kết luận này từ việc biến đổi đồ thị. 1 1 A. m 0; .B. m 0;  1; . 4 4 Từ đồ thị y f x suy C. m 1; .D. m ;0 . ra đồ thị y f x . Hướng dẫn giải Xét f x x3 (2m 1)x2 3mx 5 . Suy ra f x 3x2 2(2m 1)x 3m . Hàm số y x 3 2m 1 x2 3m x 5 có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y f x có 2 điểm cực trị dương f x 0 có 2 nghiệm phân biệt dương 2 2m 1 9m 0 m 1 4m2 5m 1 0 2m 1 0 1 m 0 0 m m 0 4 Chọn B. Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m 2021;2020 để hàm số f x x2 2m x m 2020 2021 có 3 điểm cực trị? A. 1009.B. 2020.C. 2019. D. 1008 Hướng dẫn giải x m 2020 2x 2m, x m 2020 0 f x 2x 2m x m 2020 2x 2m, x m 2020 0. Dễ thấy hàm số không có đạo hàm tại điểm x m 2020 . 2x 2m 0 x m 2020 0 Ta có: f x 0 2x 2m 0 x m 2020 0 x m x m x m x m, m 1010. 2m 2020 0 Nếu m 1010 thì f x 0 x m và không có đạo hàm tại điểm x m 2020 nên không có đủ 3 điểm cực trị. Do đó loại trường hợp này. Trang 74
Khi m 1010 , ta có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Vậy hàm số có 3 điểm cực trị với m 1010 . Mà m 2021;2020 nên m 1011;1012; ;2019 . Vậy có 1009 số thỏa mãn đề bài. Chọn A. 3 2 m n 1 Ví dụ 4. Cho hàm số f x x mx nx 2 với m, n là các số thực thỏa mãn . Số điểm 2m n 5 cực trị của hàm số y f x là A. 1.B. 3.C. 5. D. 2. Hướng dẫn giải Hàm số f x x3 mx2 nx 2 liên tục trên ¡ . lim f x x lim f x . f 2 0 x f 2 8 4m 2n 2 2(2m n 5) 0 f 2 . f 1 0 f 1 1 m n 2 m n 1 0 f (1). lim f x 0 lim f x x x Suy ra phương trình f x 0 có ít nhất 3 nghiệm. Mà f x 0 là phương trình bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm. Vậy f x 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số y f x có đúng 5 điểm cực trị. Chọn C. 1 Ví dụ 5. Cho hàm số y x3 mx x2 1 với m là tham số thực. Đồ thị của hàm số đã cho có nhiều 3 nhất bao nhiêu điểm cực trị? A. 5.B. 3.C. 4. D. 2. Hướng dẫn giải 1 Xét f x x3 mx x2 1có tập xác định D ¡ . 3 2x2 1 x2 x2 1 2 Ta có f x x m ; f x 0 m 2 g x . x2 1 2x 1 x 2x4 3x2 2 Ta có g x . Bảng biến thiên g x : (2x2 1)2 x2 1 Trang 75
Dựa vào bảng biến thiên ta có f x 0 có tối đa 2 nghiệm khác 0 khi m 0 . Do hàm số f x liên tục trên ¡ nên f x 0 có tối đa 3 nghiệm phân biệt. Nếu tồn tại giá trị của tham số m sao cho 1 phương trình f x 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thì hàm số y x3 mx x2 1 có 5 điểm cực trị. 3 x 0 Ta có f x 0 2 2 x 3m x 1. 2 Khi m 0 thì (2) x4 9m2 x2 9m2 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Vậy phương trình f x 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt nếu m 0 . 1 Vậy số điểm cực trị tối đa của hàm số y x3 mx x2 1 là 5. 3 Chọn A. Ví dụ 6. Có bao nhiêu số nguyên của m 0;2021 để hàm số y x 3 m 1 x có đúng một điểm cực trị? A. 2021.B. 2022.C. 21. D. 20. Hướng dẫn giải Ta sẽ chứng minh hàm số trên luôn có đúng 1 điểm cực trị với mọi tham số m. Hiển nhiên hàm số liên tục trên ¡ . 3x3 3x2 m 1, x 0 Ta có: y m 1 2 x 3x m 1, x 0. Đạo hàm không xác định tại điểm x 0 . 3x2 , x 0 +) Khi m 1 thì y 2 3x , x 0 Hàm số không có đạo hàm tại điểm x 0 và đạo hàm đổi dấu khi đi qua điểm x 0 (vì lim y 0, lim y 0). x 0 x 0 Vậy hàm số chỉ đạt cực trị tại x 0 . +) Khi m 1, ta có y 0,x 0 và lim y 0 . x 0 Trang 76
m 1 Cho y 0 x và đạo hàm đổi dấu khi đi qua điểm đó nên hàm số cũng chỉ có 1 điểm cực 3 trị. 1 m +) Tương tự với m 1, hàm số cũng chỉ đạt cực trị tại điểm x . 3 Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực trị với mọi tham số m. Do m nguyên và m 0;2021 nên có 2022 giá trị của m. Chọn B. Bài toán 2. Cho bảng biến thiên, định giá trị tham số để hàm số có n điểm cực trị Phương pháp giải Bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số Ví dụ: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên y f x hoặc cho bảng biến thiên, bảng xét dấu như sau của f x . Yêu cầu tìm giá trị của tham số m để hàm số g x,m có n điểm cực trị. Tìm m để hàm số g x f x m có đúng 5 điểm cực trị. Hướng dẫn giải Đưa hàm số g x,m về hàm số đơn giản hơn Để có được đồ thị của hàm số g x f x m ta (nếu có thể). Sau đó sử dụng các phép biến đổi đồ lần lượt thực hiện các bước sau: thị hàm trị tuyệt đối. + Dịch chuyển đồ thị qua phải nếu m 0 , dịch chuyển qua trái nếu m 0 . + Giữ phần bên phải trục tung của đồ thị ở bước 1, rồi lấy đối xứng phần đó qua trục tung. Suy ra để hàm số g x f x m có đúng 5 cực trị, ta cần dịch chuyển đồ thị hàm số y f x qua phải sao cho đồ thị có đúng 2 điểm cực trị dương. m 0 Suy ra 1 m 0. m 1 Ví dụ mẫu Trang 77
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 1 , có đạo hàm trên ¡ \ 1 và có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  20;20 để hàm số g x 2 f x m 22020 có nhiều điểm cực trị nhất? A. 21.B. 19.C. 22. D. 20. Hướng dẫn giải Số điểm cực trị của g x 2 f x m 22020 bằng với số điểm cực trị của hàm số h x f x m . x Ta có h x f x m . x Hiển nhiên hàm số không có đạo hàm tại điểm x 0 . x m 0 x m Cho h x 0 x m x1 1 x x1 m. Hàm số h x f x m có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi h x 0 có nhiều nghiệm dương nhất hay 0 m . Do m nguyên và m  20;20 nên m 1;2;3; ;20. Chọn D. Ví dụ 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x f x4 4x2 m có nhiều điểm cực trị nhất? A. 2.B. 4.C. 3. D. 5. Hướng dẫn giải x4 4x2 m Ta có g x 4x3 8x f x4 4x2 m . 4 2 x 4x m Ta có x4 4x2 m 0 . Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f x4 4x2 m 0 vô nghiệm (*). Trang 78
Hàm số g x có nhiều điểm cực trị nhất khi g x 0 có nhiều nghiệm phân biệt nhất. x4 4x2 m 0 Kết hợp với (*), ta có hệ phương trình có nhiều nghiệm phân biệt nhất 3 4x 8x 0 x4 4x2 m 0 có nhiều nghiệm nhất và tất cả các nghiệm đều khác 0 và khác 2 (vì 4x3 8x 0 luôn có ba nghiệm phân biệt là 0; 2 ) m x4 4x2 có nhiều nghiệm nhất và tất cả các nghiệm đều khác 0 và khác 2 ( ). Lập bảng biến thiên của y x4 4x2 ta có: Do đó ( ) 0 m 4 . Vậy có ba giá trị nguyên là m 1;2;3 . Chọn C. Bài toán 3. Cho đồ thị, định tham số để có hàm số có n điểm cực trị Phương pháp giải Ví dụ: Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x m Bước 1. Tìm hàm số đơn giản hơn có cùng số Hướng dẫn giải điểm cực trị với hàm ban đầu. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x m bằng với số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x . Bước 2. Dựa vào đồ thị, xác định số cực trị của Dựa vào đồ thị, ta có số điểm cực trị hàm số hàm đơn giản ở bước 1. y f x là 4 và số nghiệm bội lẻ của phương trình f x 0 là 5. Trang 79
Suy ra số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x bằng 9. Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x m là 9. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho đường cong như hình vẽ là đồ thị của hàm số y f x . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y f x 3 m có 5 điểm cực trị. A. m ; 1 .B. m 1;1 . C. m 1; .D. m ; 1 . Hướng dẫn giải Số điểm cực trị của hàm số y f x 3 m bằng với số điểm cực trị của hàm số g x f x m . x Ta có g x . f x m . x x m 1 x 1 m Dựa vào đồ thị, ta có g x 0 * x m 1 x 1 m (chú ý rằng hàm số g x không có đạo hàm tại điểm x 0 ). Hàm số y f x 3 m có 5 điểm cực trị g x f x m có 5 điểm cực trị (*) có 4 nghiệm phân biệt 1 m 0 m 1. Chọn D. Ví dụ 2. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x m có nhiều điểm cực trị nhất. A. m 2;2 .B. m  2;2 . C. m 1;1 . D. m  1;1. Trang 80
Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số y f x m có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi y f x m cắt trục hoành tại nhiều điểm nhất 2 m 2 . Chọn A. Ví dụ 3. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. 1 Gọi S là tập hợp các số nguyên dương của m để hàm số y f x 2020 m2 có 5 điểm cực trị. Tổng 3 tất cả các phần tử của S là A. 5.B. 10.C. 6. D. 7. Hướng dẫn giải 1 Ta có số điểm cực trị của hàm y f x 2020 m2 bằng số điểm cực trị của hàm 3 1 y f x m2 . 3 1 Xét hàm g x f x m2 . 3 Dựa vào đồ thị ta có số điểm cực trị của hàm g x bằng số điểm cực trị của hàm f x và bằng 3. Trang 81
1 Suy ra hàm số y f x 2020 m2 có 5 điểm cực trị thì số giao điểm của g x với trục Ox 3 (không kể các điểm tiếp xúc) là 2. 1 2 m 2 3 2 3 m 3 2 9 m 18 1 6 m2 3 3 2 m 3. 3 Do m nguyên dương nên m 3;4 . Vậy tổng các giá trị là 7. Chọn D. Ví dụ 4. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g x f 3 x 3 f x m có đúng 9 điểm cực trị là A. 16.B. 17.C. 15. D. 18. Hướng dẫn giải Xét h x f 3 x 3 f x m . 2 Suy ra h x 0 3 f x f x 1 0 . x 0 Dựa vào đồ thị, ta có f x 0 x 2 x x1 2 f x 1 x x2 2;0 (đạo hàm đều đổi dấu khi đi qua cả 3 nghiệm đều là nghiệm đơn và khác x x3 0 2 nghiệm trên). x x4 x3 f x 1 (trong đó x x4 là nghiệm đơn x 2 là nghiệm kép). x 2 Ta tính các giá trị: h x1 h x2 h x3 m 2 h x4 h 2 m 2 và h 0 m 18 Bảng biến thiên h x : Trang 82
Suy ra hàm số h x luôn có 6 điểm cực trị. Đồ thị hàm số g x f 3 x 3 f x m có đúng 9 điểm cực trị tương đương đồ thị y h x cắt trục hoành tại đúng 3 điểm (không kể những điểm tiếp xúc) m 2 0 18 m 18 m 2 . Vậy m 17; 16; ; 2 hay có 16 giá trị nguyên của m. Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 6 1 3 Câu 1: Cho hàm số y x m 1 x2 m 3 x m2 4m 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 3 m để hàm số có 5 điểm cực trị. A. m 1. B. m 3 .C. m 4 .D. 3 m 1. Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x4 8x3 18x2 m có 3 điểm cực trị? A. 1.B. Không có.C. 2. D. Vô số. Câu 3: Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3x4 8x3 6x2 24x m có 7 điểm cực trị bằng A. 42.B. 63.C. 55. D. 30. Câu 4: Hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 4 x m 5 x 3 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  5;5 để số điểm cực trị của y f x là 3? A. 5.B. 3.C. 6. D. 7. 3 2 2 Câu 5: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 x 2 x 2 m 1 x m 7m 8 ,x ¡ . Co tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số g x f x có 5 điểm cực trị? A. 6.B. 7.C. 8. D. 5. 3 2 8 4a 2b c 0 Câu 6: Cho hàm số f x x ax bx c với a,b,c ¡ thỏa mãn 8 4a 2b c 0 Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng A. 1.B. 2.C. 3. D. 5. 3 2 a b 1 Câu 7: Cho hàm số f x x ax bx 2 thỏa mãn với a,b là các số thực. 3 2a b 0 Trang 83
Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng A. 5.B. 7.C. 9. D. 11. ab 0 4 2 Câu 8: Biết rằng a,b,c ¡ thỏa 2 . Hàm số y ax bx c có bao nhiêu điểm cực ac b 4ac 0 trị? A. 9.B. 5.C. 3. D. 7. Câu 9: Biết rằng hàm số bậc ba y a x b x c x d đồng biến trên ¡ với a,b,c,d ¡ . Đồ thị hàm số y x4 b c d x2 a có ít nhất bao nhiêu điểm cực trị? A. 1.B. 0.C. 3. D. 2. Câu 10: Cho hàm số y x5 mx x4 1 20x với m là tham số thực. Đồ thị của hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? A. 2.B. 5.C. 4. D. 3. Câu 11: Cho hàm số f x ax4 bx2 c với a, b, c là các số thực thỏa a 0,c 2020 và a b c 2020 . Số điểm cực trị của hàm số y f x 2020 là A. 7.B. 5.C. 4. D. 3. a b c 1 3 2 Câu 12: Cho các số thực a, b, c thỏa 4a 2b c 8. Đặt f x x ax bx c . Số điểm cực trị tối đa bc 0 của hàm số y f x là A. 5.B. 11.C. 9. D. 7. 1 – B 2 – D 3 – A 4 – A 5 – A 6 – D 7 – D 8 – D 9 – A 10 – B 11 – A 12 – D Dạng 7. Cực trị hàm ẩn Bài toán 1. Biết được đồ thị của hàm số f x tìm (số điểm) cực trị của hàm ẩn Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ 2 và có đồ thị như hình vẽ. Đặt g x f x . Hàm số g x có mấy điểm cực trị? Trang 84